VIILUSORVIN REAALIAIKAINEN MONIKAPPALEDYNAMIIKKAMALLI REAL-TIME MULTIBODY DYNAMICS MODEL OF A VENEER LATHE

Transkriptio

1 LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LUT School of Energy Systems LUT Kone BK10A0402 Kandidaatintyö VIILUSORVIN REAALIAIKAINEN MONIKAPPALEDYNAMIIKKAMALLI REAL-TIME MULTIBODY DYNAMICS MODEL OF A VENEER LATHE Lappeenrannassa Heikki Korpilahti Tarkastaja: Professori Aki Mikkola. Ohjaaja: TkL Roope Eskola.

2 TIIVISTELMÄ Lappeenrannan teknillinen yliopisto LUT Energiajärjestelmät LUT Kone Heikki Korpilahti Viilusorvin reaaliaikainen monikappaledynamiikkamalli Kandidaatintyö sivua, 12 kuvaa, 0 taulukko(a) ja 1 liitettä Tarkastaja: Ohjaaja: Professori Aki Mikkola TkL Roope Eskola Hakusanat: Sorvaus, simulointi, reaaliaikainen mallinnus, monikappaledynamiikka Koneiden ja mekanismien kasvavan monimutkaisuuden vuoksi, niiden käyttäytymistä tarkastellaan enenevässä määrin monikappaledynamiikan ja simulaatiomallien avulla. Mallit voivat olla joko ei-reaaliaikaisia tai reaaliaikaisia. Ei-reaaliaikaisessa mallinnuksessa mallille annetaan lähtötiedot ja ennalta määritetyt ohjaussignaalit, jonka jälkeen mallin liikeyhtälöt ratkaistaan ja integroidaan ajan suhteen. Reaaliaikainen simulaatio taas mahdollistaa käyttäjän ottamisen mukaan koneen tai mekanismin mallintamiseen ja tarjoaa mahdollisuuden tarkastella koneen käyttäytymistä todellisemmissa olosuhteissa, kuin ei-reaaliaikainen malli. Tämä kandidaatintyö oli osa projektia, jossa luotiin Raute Oyj:n Smart-viilusorvin reaaliaikainen simulaatiomalli käyttäen monikappaledynamiikkamenetelmää. Malli luotiin Mevea Ltd.:n kehittämällä ja ylläpitämällä Modeller-ohjelmistolla, joka on tarkoitettu reaaliaikaisten monikappalejärjestelmien mallintamiseen. Saatu simulaatiomalli voidaan ajaa Mevean Solver-ohjelmistolla, joka pystyy ratkaisemaan ja integroimaan mallin liikeyhtälöt. Kandidaatintyön tavoitteena oli luoda sorvimallin mekaniikka, sekä sen hydrauliset ja sähköiset toimilaitteet. Sorvimalliin yhdistettiin projektin ohessa lisäksi todellisen sorvin ohjauslaitteet. Itse ohjaus toteutettiin todellisen sorvin ohjauskoodilla ja PLC:llä. Malli esiteltiin onnistuneesti keväällä 2017 Saksassa pidetyillä LIGNA2017 puualan messuilla, jossa messuvierailla oli mahdollisuus kokeilla viilusorvin ajamista ja pöllin sorvaamista. Tehty malli toimii hyvänä pohjana mallin jatkokehittämiselle eteenpäin mahdollistaen mallin vastaamaan paremmin todellista sorvia.

3 ABSTRACT Lappeenranta University of Technology LUT School of Energy Systems LUT Mechanical Engineering Heikki Korpilahti Real-time multibody dynamics model of a veneer lathe Bachelor s thesis pages, 12 figures, 0 table(s) ja 1 appendices Examiner: Supervisor: Professor Aki Mikkola Lic. Sc.(Tech.) Roope Eskola Keywords: Peeling, simulation, real-time modeling, multibody dynamics As modern machines and mechanism complexity increases, their movements and behavior is modeled increasingly through multibody dynamics simulations and numerical analyses. The models can be made for either real-time or nonreal-time simulations. In nonreal-time simulations, the model s starting conditions and possible inputs are predetermined before the simulation starts, afterwhich the equations of motion are solved for accelerations and constraint forces, and integrated with respect to time to get the system s velocities and positions. Real-time models enable a human in the loop (HITL) simulations, where the user can affect the simulations outcome through control devices, which is often very difficult to reproduce using nonreal-time models. This Bachelor s thesis was part of a joint project between Raute Oyj and Mevea Ltd. to create a real-time multibody dynamics model of Raute s Smart product line veneer lathe. The model was created using Mevea s Modeller and Solver softwares, which are designed to build and model real-time multibody system models and simulate them. The aim of the thesis was to create the lathe s mechanics and hydraulic and electric actuators using the Modeller software. The whole model also consisted of a control system based on a real lathe s control program and devices. The simulator was unveiled at the LIGNA2017 forestry industry show held in Germany in the spring of The resulting model serves as a capable base to continue simulation development in Raute, eventually integrating it into product development and personnel training.

4 4 SISÄLLYSLUETTELO TIIVISTELMÄ ABSTRACT SISÄLLYSLUETTELO SYMBOLI- JA LYHENNELUETTELO 1 JOHDANTO MONIKAPPALEDYNAMIIKKA Koordinaatistot Jäykän kappaleen dynamiikka HYDRAULIIKAN MALLINNUS Hydraulineste Yhteet /3 suuntaventtiili Hydraulisylinteri Hydraulimoottori SORVIMALLI Mekaniikka Rajoitteet Hydrauliikka Toimilaitteet Ohjaus ja anturointi Grafiikat YHTEENVETO LÄHTEET LIITTEET LIITE I Liite I

5 5 SYMBOLI- JA LYHENNELUETTELO A A a v B B C C t C tt C q C C v C vleak C vl D F F G I I θθ L l M M a m n nb nc n f nh Transformaatiomatriisi Pinta-ala Kvadraattiset nopeustermit Puristuskerroin Yksikötön puristuskerroin Rajoiteyhtälöiden vektori Rajoiteyhtälöiden osittaisderivaatta ajan suhteen Rajoiteyhtälöiden toisen asteen osittaisderivaatta ajan suhteen Rajoiteyhtälöiden Jacobin matriisi Vakio Venttiilin virtausvakio Venttiilin vuotovirtauskerroin Vuotokerroin Halkaisija Voimavektori Voima Eulerin kulmien rotaatiomatriisi Yksikkömatriisi Inertiamatriisi Letkun pituus sylinterin iskun maksimipituus Massamatriisi Voimavektorin aikaansaama momentti Massa Polytrooppinen indeksi Kappaleiden lukumäärä Rajoitteiden lukumäärä Voimien lukumäärä Putkien/letkujen lukumäärä

6 6 nk nm P p Q d Q e Q v Q q R r r T t U U re f u ū V v W x Komponenttien lukumäärä Momenttien lukumäärä Ruuvin nousu Paine Rajoiteyhtälöiden kvadraattisten termien vektori Yleistettyjen voimien vektori Inertiavoimien kvadraattinen nopeusvektori Tilavuusvirta Yleistettyjen koordinaattien vektori Referenssipisteen asema Pisteen asemavektori Kehäpituus Vääntömomentti Aika Karan asema Karan referenssiasema Pisteen asema inertiaalikoordinaatistossa Pisteen asema lokaalissa koordinaatistossa Tilavuus Translaationopeus Työ Sylinterin isku α Kulmakiihtyvyysvektori α Hydraulimoottorin suhteellinen tilavuus α g θ Kaasun osuus hydraulinesteessä Orientaatiovektori φ, θ, ψ Eulerin kulmat ω Kulmanopeusvektori ω Kulmanopeusvektorin vinosymmetrinen matriisi ω Kulmanopeus λ Lagrangen kertoimien vektori

7 7 τ Leikkausjännitys τ s Aikavakio µ Dynaaminen viskositeetti ν Kinemaattinen viskositeetti ρ Tiheys η Sylinterin kerroin η m η v Hydraulimoottorin mekaaninen hyötysuhde Hydraulimoottorin volumetrinen hyötysuhde a a ā a i ã δa a T Aikaderivaatta Toisen asteen aikaderivaatta Jokin parametri ilmaistuna lokaalissa koordinaatistossa Kappale i Vinosymmetrinen matriisi Virtuaalinen muutos Vektorin tai matriisin transpoosi CAD DOF MBS V I Computer Aided Design, tietokoneavusteinen suunnittelu Degrees Of Freedom, Vapausasteiden määrä Multi-Body System, monikappalejärjestelmä Viskositeetti-indeksi

8 8 1 JOHDANTO Tämän kandidaatintyön tavoitteena oli luoda Rauten Smart-sorvin virtuaalisen messusimulaattorin mekaniikka, hydrauliikka sekä sorvin mekaniikkaa ohjaavat toimilaitteet. Kandidaatintyö on osa isompaa projektia, jossa luotiin Rauten Smart-sorvista reaaliaikainen simulaatiomalli Saksassa pidettyjä LIGNA messuja varten. Ligna on puualan yksi suurimmista messuista, joihin tänä vuonna osallistui jopa 1500 esillepanijaa eri puualan sektoreista. Vierailijoita messuilla kävi yhteensä noin (LIGNA 2017) Projekti tehtiin Rauten ja Mevean yhteistyönä, josta tämä kandidaatintyö kattaa vain pienen osan. Valmiilla messumallilla piti pystyä sorvaamaan pöllejä viiluiksi automaattitai käsiajolla, jolloin sorvauksessa oleva pölli pienenee fyysisesti, sekä sorvista tulee viilumatto ulos. Simulaatiomallin ohjaus toteutettiin yhdistämällä malli Siemensin PLC:hen jossa käytettiin oikean viilusorvin ohjauskoodia. PLC puolestaan oli kytketty oikeaan sorvioperaattorin tuoliin ja sen hallintalaitteisiin, jolloin simulaattoria pystyi ohjaamaan kuin todellista sorvia. Tämä työ käsittelee projektista vain osan, joka kattaa sorvimallin mekaniikan, hydrauliikan sekä toimilaitteiden mallintamisen. Sorvimallin monikappaledynamiikkamalli luotiin Mevean Modeller ohjelmalla, joka on tarkoitettu reaaliaikaisten monikappaledynamiikkamallien luomiseen (Mevea 2017). Valmis malli simuloitiin Mevean Solver ohjelmalla, joka kykenee ratkaisemaan ja integroimaan Modellerilla luotuja monikappaledynamiikkamalleja. Tässä työssä käsitellään lisäksi monikappaledynamiikan, sekä hydrauliikan mallinnuksen teoriaa, sillä näiden ymmärrys on tärkeää mallin luomisessa, vaikka itse laskenta suoritetaankin tietokoneella ohjelman ratkaisijan avulla.

9 9 2 MONIKAPPALEDYNAMIIKKA Monikappalejärjestelmät koostuvat useista, toisiinsa jollakin tavalla kiinnitetyistä kappaleista, jotka voivat liikkua toistensa suhteen. Kappaleet voivat olla kiinnitettyinä toisiinsa erilaisten nivelien tai voimakomponenttien, kuten jousien, iskunvaimentimien tai toimilaitteiden avulla, sekä kappaleisiin voi kohdistua muita ulkoisia voimia tai momenttejä. Monikappalejärjestelmä kattaa siten alleen lukuisia erilaisia mekanismeja ja nykyään lähes kaikki modernit koneet ja mekatroniset järjestelmät lukeutuvat monikappalesysteemeiksi. Esimerkiksi erilaiset koneet, kuten kuormaajat, kaivinkoneet, lentokoneet ja autot ovat monikappalejärjestelmiä. Nykyaikaisten koneiden eri komponenttien liikkeiden tarkastelu kokonaisena systeeminä on usein hyvin monimutkaista, sillä järjestelmän käytös voi riippua monesta toisistaan riippuvista tekijöistä. Monikappaledynamiikalla tarkastellaan tällaisten monimutkaisten järjestelmien käyttäytymistä numeerisen laskennan keinoin. (García de Jalón 2009, s. 1-6) (Shabana 2001, s. 1..3) Monikappalejärjestelmä (MBS) on kokoelma kappaleita, jotka kokevat suuria translaatioja rotaatiomuodonmuutoksia ja jossa kappaleiden liikkeitä toistensa suhteen on rajoitettu erilaisten rajoitteiden avulla. Lisäksi kappaleisiin voi kohdistua erilaisia voimia tai vääntömomentteja, joko kappaleiden välisistä voimaelementeistä johtuen tai ulkoisien voimien vaikutuksesta. (Bauchau 2011, s ) (Flores 2015, s. 1) Kuvassa 1 on periaattellinen esitys monikappalejärjestelmästä. Kuva 1. Periaatekuva monikappalejärjestelmästä. (Flores 2015, s. 2)

10 10 MBS:n kappaleet voivat olla jäykkiä tai joustavia. Jäykät kappaleet oletetaan täysin jäykiksi, jolloin ne eivät koe muodonmuutoksia riippumatta niihin kohdistuvista voimista. Jäykät kappaleet voivat kokea translaatio-, sekä rotaatioliikkeitä, mutta niiden muoto ei muutu. Todelliset kappaleet eivät ole ikinä täysin jäykkiä, mutta suuressa osassa monikappalejärjestelmien tarkasteluita todellisten kappaleiden kokemat muodonmuutokset ovat pieniä verrattuna niiden kokoon. Olettamalla kappaleet mallinnuksessa täysin jäykiksi, voidaan laskentaa yksinkertaistaa huomattavasti, sillä jäykän kappaleen liike voidaan 3D-tapauksessa kuvata vain kuudella yleistetyllä koordinaatilla, jolloin sillä on kuusi vapausastetta. Joustavalla kappaleella on näiden kuuden vapausasteen lisäksi n määrä vapausasteita, jotka tarvitaan kuvaamaan kappaleen muodonmuutoksia, mikä lisää laskennan määrää huomattavasti. (Bauchau 2011, s ) (Flores 2015, s. 1-2) (Shabana 2001, s. 3) Monikappaledynamiikka voidaan jakaa kahteen osa-alueeseen; kinematiikkaan ja kinetiikkaan. Kinematiikassa tarkastellaan kappaleiden liikkeitä välittämättä voimista mitkä aiheuttavat liikkeet. Kinematiikka siis käsittelee kappaleiden asemia, nopeuksia ja kiihtyvyyksiä. (Flores 2015, s. 8) (Shabana 2001, s. 9) Kinetiikka sen sijaan tarkastelee kappaleiden kokemien voimien aiheuttamia liikkeitä. Kinetiikassa kappaleiden liike kuvataan toisen asteen differentiaaliyhtälöillä, kun taas kinematiikassa riittää algebralliset yhtälöt. (Flores 2015, s. 8) (Shabana 2001, s. 12) Monikappalejärjestelmän kinetiikkaa ja sen tarkastelua kutsutaan usein myös järjestelmän dynamiikan analyysiksi, sillä kinetiikka pohjautuu kinemaattiseen analyysiin. Dynamiikan tarkastelu voidaan jakaa käänteiseen ja suoraan dynamiikkaan. Suorassa dynamiikassa tarkastellaan miten MBS liikkuu, kun siihen kohdistuvat voimat ovat tiedossa. Käänteisessä dynamiikassa järjestelmän liikkeet ovat tiedossa, jonka perusteella pyritään määrittämään minkälaisia voimia liikkeet aiheuttavat. (Flores 2015, s. 9) (Shabana 2001, s ) Tässä työssä käsitellään suoran dynamiikan tarkastelua, sillä vaikka Mevean ohjelmistolla on mahdollista suorittaa käänteisen dynamiikan tarkastelua, sen käyttö ei ollut messudemossa oleellista. 2.1 Koordinaatistot Monikappalejärjestelmän asemien ja liikkeiden kuvaamiseen on kehitetty useita erilaisia menetelmiä ja koordinaatistoja, joilla on omat etunsa ja heikkoutensa. Vaikka saman mekanismin kuvaaminen voidaan tehdä erilaisilla koordinaatistoilla, niiden välillä voi olla

11 11 suuria eroja siinä kuinka helposti liikeyhtälöiden muodostaminen onnistuu tai kuinka raskas mallin laskenta on. MBS voidaan kuvata käyttämällä riippumattomia koordinaatteja tai riippuvia koordinaatteja. (García de Jalón 2009, s. 8-9) (Shabana 2001, s.12-14) Riippumattomia koordinaatteja käyttäessä järjestelmä kuvataan koordinaateilla, joiden määrä on yhtäsuuri kuin järjestelmän vapausasteiden määrä. Tällöin MBS:n kaikkien koordinaattien asemat ovat toisistaan riippumattomat, ja kappaleiden asemat saadaan laskettua käyttämällä pienintä määrää yhtälöitä. Riippumattomilla koordinaateilla on kuitenkin erityisiä heikkouksia. Yksi tärkeimmistä on se, että vaikka riippumattomat koordinaatit kertovat niiden kappaleiden asemat, joita liikutetaan ulkoisten voimien tai syötteiden avulla, ne eivät kerro koko systeemin asemaa. Sopivien koordinaattien valinta, sekä liikeyhtälöiden muodostaminen ei myöskään ole triviaalia, mikä hankaloittaa riippumattomien koordinaattien käytön yleistetyissä tapauksissa ja luotaessa monikappaledynamiikan laskentaohjelmia tietokoneella. (García de Jalón 2009, s. 8-9) (Shabana 2001, s.12-14) (Flores 2015, s. 6-7) Vaihtoehtona riippumattomille koordinaateille on käyttää riippuvaisia koordinaatteja. Tällöin kappaleet kuvataan koordinaateilla, jotka määrittävät kaikkien kappaleiden asemat yksiselitteisesti. Riippuvaiset koordinaatit ovat nimensä mukaisesti toisistaan riippuvaisia, joten laskemisen mahdollistamiseksi liikeyhtälöihin täytyy lisätä rajoiteyhtälöitä, jotka määrittävät miten kappaleet voivat liikkua toistensa suhteen. (García de Jalón 2009, s. 8-9 & 16-18) (Shabana 2001, s.12-14) Tärkeimmät käytössä olevat riippuvaiset koordinaatit ovat suhteelliset koordinaatit, referenssikoordinaatit eli karteesiset koordinaatit ja luonnolliset eli täysin karteesiset koordinaatit. (García de Jalón 2009, s. 8-9 & 16-18) Suhteelliset koordinaatit määrittävät kappaleiden asemat suhteessa kinemaattisen ketjun edelliseen kappaleeseen. Koordinaatit kertovat siten kahden kappaleen välisen suhteellisen vapausasteen aseman. Esimerkiksi, jos kahden tasossa olevan kappaleen rajoitteena toimii kiertonivel, niin suhteellinen koordinaatti kertoo kappaleiden välisen kulman. Suhteelliset koordinaatit kuvaavat MBS:n pienimmällä määrällä riippuvaisia koordinaatteja, mikä luonnollisesti vähentää ratkaistavien yhtälöiden määrää. (García de Jalón 2009, s 19) Suhteelliset koordinaatit soveltuvat etenkin teollisuusrobottien ja tarttujien mallintamiseen, joissa niitä käytetään lähes poikkeuksetta. (García de Jalón 2009, s )

12 12 Referenssikoordinaatit määrittävät kappaleen absoluuttisen aseman inertiaalikoordinaatistossa. Nimi tulee siitä, että kappaleeseen lisätään jäykästi kiinnitetty, lokaali referenssikoordinaatisto, jonka avulla kuvataan kappaleen asema, sekä orientaatio inertiaalikoordinaatistossa. Inertiaalikoordinaatistoa kutsutaan myös globaaliksi koordinaatistoksi, ja referenssikoordinaatistoa lokaaliksi tai paikalliseksi koordinaatistoksi. Referenssikoordinaatit lisäävät tarvittavien yhtälöiden määrää huomattavasti, mutta ne soveltuvat tietokoneella tehtävään numeeriseen laskentaan, sillä MBS:n luominen niiden avulla on melko suoraviivaista ja liikeyhtälöiden matriisit sisältävät paljon nollaelementtejä, mikä mahdollistaa harvojen matriisien laskentaan käytettäviä tekniikoita. Tämä puolestaan tekee laskennasta edullisempaa tietokoneella. (García de Jalón 2009, s 24-26, 38-39) (Flores 2015, s. 8-9) Tässä työssä käsitellään monikappaledynamiikan yhtälöitä käyttämällä referenssikoordinaatteja. Luonnollisissa koordinaateissa kappaleet määritellään liittämällä karteesisia koordinaatteja kappaleiden tärkeimpien kohtien paikkoihin, sekä hyödyntämällä karteesisia yksikkövektoreita. Jokainen kappale tarvitsee vähintään riittävän määrän pisteitä ja vektoreita joilla kappaleen liike voidaan määrittää täydellisesti. (García de Jalón 2009, s ) Tasotapauksessa kappale määritellään vähintään kahdella pisteellä, jolloin kappaleen asema ja sen kulma voidaan määrittää suoraan näiden kahden pisteen karteesisista koordinaateista. (García de Jalón 2009, s ) 2.2 Jäykän kappaleen dynamiikka Referenssikoordinaatteja käyttämällä kappaleen asema yleisessä rajoittamattomassa liikkeessä kuvataan käyttämällä vähintään kuutta parametria; kolmea riippumatonta koordinaattia, jotka kertovat kappaleen translaatioliikkeen, ja kolme riippumatonta koordinaattia, jotka kuvaavat referenssikoordinaatiston ja siten kappaleen orientaation globaalissa koordinaatistossa. Translaatioliike kuvataan usein referenssikoordinaatiston pisteen asemana globaalissa koordinaatistossa. Kappaleen i jokin mielivaltainen piste voidaan kuvata globaalissa koordinaatistossa yhtälöllä r i = R i + A i ū i (1)

13 13 x jossa R i = y on kappaleen referenssikoordinaatiston asema globaalissa karteesisessa z koordinaatistossa, A i on 3x3 kokoinen transformaatiomatriisi, joka muuttaa pisteen ū i koordinaatit paikallisesta koordinaatistosta globaaliin koordinaatistoon ja ū i kertoo pisteen aseman kappaleen paikallisessa koordinaatistossa. (Shabana 2001, s ) Kuvassa 2 on nähtävissä kappaleen jonkin pisteen asema. Kuva 2. Kappaleen pisteen asema. (Shabana 2001, s. 379) Transformaatiomatriisin muodostamiseen voidaan käyttää useita eri menetelmiä, kuten suuntakosinit tai Eulerin kulmat tai paramerit. Yksi yleisimmistä tavoista kuvata kappaleen orientaatiota on käyttää Eulerin kulmia. Eulerin kulmat määrittävät kappaleen minkä tahansa orientaation kolmella peräkkäisellä rotaatiolla. Kaksi peräkkäistä rotaatiota ei voi olla saman akselin suhteen, jolloin mahdollisia järjestyksiä Eulerin kulmille on yhteensä 12. Yleinen rotaatiojärjestys on Z X Z. (Shabana 2001, s ) Tällöin kappale pyörii ensin lokaalin Z-akselin suhteen kulman φ i verran. Ensimmäisen rotaation transformaatiomatriisi on silloin

14 14 A i 1 = cos φ i sin φ i 0 sin φ i cos φ i (2) Kappale pyörii sen jälkeen kulman θ i nykyisen X-akselin suhteen, jonka transformaatiomatriisi on A i 2 = cos θ i sin θ i 0 sin θ i cos θ i (3) Viimeisenä rotaationa kappale pyörii kulman ψ i nykyisen Z-akselin suhteen, mikä ei ole sama kuin ensimmäinen rotaatio. Viimeisen rotaation transformaatiomatriisi on siten A i 3 = cos ψ i sin ψ i 0 sin ψ i cos ψ i (4) Matriisitulon mukaisesti kappaleen i lopullinen transformaatiomatriisi A i, joka kertoo kappaleen orientaation, on A i = A i 1 Ai 2 Ai 3 cos ψ i cos φ i cos θ i sin φ i sin ψ i sin ψ i cos φ i cos θ i sin φ i cos ψ i sin θ i sin φ i A i = cos ψ i sin φ i + cos θ i cos φ i sin ψ i sin ψ i sin φ i + cos θ i cos φ i cos ψ i sin θ i cos φ i sin θ i sin ψ i sin θ i cos ψ i cos θ i (5) Kulmia φ, θ ja ψ ovat Eulerin kulmia ja vektoria, joka sisältää Eulerin kulmat kutsutaan φ i kappaleen orientaatiovektoriksi θ i =. Kuten edellä oli mainittu, ZXZ ei ole θ i ψ i

15 15 ainoa rotaatiojärjestys, jolla kappaleen orientaatio voidaan kuvata Eulerin kulmilla. Eri rotaatiojärjestykset tuottavat erilaisen transformaatiomatriisin A, mutta matriisi saadaan muodostettua seuraamalla samaa toimintajärjestystä. (Shabana 2001, s ) Kappaleen pisteen nopeus globaalissa koordinaatistossa saadaan differentioimalla yhtälö 1 ajan suhteen, josta saadaan r i = R i + A i ū i (6) jossa R i on kappaleen referenssipisteen translaationopeus, A i on transformaatiomatriisin muutosnopeus ja ū i on kappaleen pisteen asema lokaalissa koordinaatistossa. Translaationopeus R i on yksinkertaisesti x R i = v i = y z (7) mutta A i laskenta ei ole yhtäsuoraviivaista. ortogonaalisuus saadaan Ottamalla huomioon transformaatiomatriisin A i A it = I (8) jossa A it on transformaatiomatriisin transpoosi ja I on 3x3 kokoinen yksikkömatriisi. Differentioimalla yhtälö 8 saadaan A i A it + A i A it = 0 (9) josta saadaan siirtämällä toinen termi oikealle puolelle A i A it = A i A it (10)

16 16 joka voidaan kirjoittaa muodossa ( A ) i A it = A i A it T (11) Matriisia, joka on yhtäkuin sen transpoosi kerrottuna 1:llä kutsutaan vinosymmetriseksi matriisiksi. Yhtälö 11 voidaan siten kirjoittaa muotoon A i A it = ω i (12) jossa ω i on vinosymmetrinen matriisi ω i = 0 ω z ω y ω z 0 ω x ω y ω x 0 (13) jossa ω x, ω y ja ω z ovat kappaleen kulmanopeusvektorin ω i = ω z Kulmanopeusvektori ω i kertoo kappaleen kulmanopeudet globaalin koordinaatiston akselien ympäri. A i saadaan nyt ratkaistua kertomalla yhtälö 12 A i :lla ja hyödyntämällä transformaatiomatriisin ortogonaalisuutta, jolloin saadaan ω x ω y komponentit. A i = ω i A i (14) Sijoittamalla yhtälö 14 yhtälöön 6 saadaan r i = R i + ω i A i ū i (15) Ilmaisemalla kappaleen piste ū i globaalissa koordinaatistossa ja käyttämällä vektorin

17 17 ristituloa, voidaan yhtälö 15 kirjoittaa muotoon r i = R i + ω i u i (16) jossa u i = A i ū i. (Shabana 2001, s ) Kappaleen kiihtyvyys saadaan differentioimalla yhtälö 6 ajan suhteen, josta saadaan r i = R i + A i ū i (17) Transformaatiomatriisin kiihtyvyys saadaan differentioimalla yhtälö 14 joka on A i = ω i A i + ω i A i (18) Sijoittamalla tähän yhtälö 14 saadaan A i = α i A i + ( ω i ) 2 A i (19) jossa α i = ω i on kappaleen kulmakiihtyvyysvektorin α i = matriisi. Nyt yhtälö 17 voidaan kirjoittaa muodossa α x α y α z ω x = ω y vinosymmetrinen ω z r i = R i + α i u i + ω i ( ω i u i) (20) kun ilmaistaan kappaleen piste globaalissa koordinaatistossa, sekä hyödyntämällä vektorien ristituloa. (Shabana 2001, s. 396) Kulmanopeusvektorin ω komponentit eivät kuitenkaan ole kappaleen orientaatiovektorin θ aikaderivaattoja, jolloin niiden integrointi ei tuota orientaatiokoordinaatteja, eli Eulerin

18 18 kulmia. Kappaleen nopeus- ja kiihtyvyysyhtälöt on siten muodostettava käyttäen yleistettyjä orientaatiokoordinaatteja. Kulmanopeusvektori ω i voidaan ilmaista Eulerin kulmien ja niiden aikaderivaattojen avulla muodossa ω i = G i θ i (21) jossa matriisin G i = 0 cos φ i sin θ i sin φ i 0 sin φ i sin θ i cos φ i 1 0 cos θ i (22) sarakkeet ovat yksikkövektoreita, joiden ympäri Eulerin kulmien rotaatiot suoritetaan. (Shabana 2001, s ) Sijoittamalla yhtälö 21 yhtälöön 16 ja muuttamalla ristitulo vinosymmetrisen matriisin tuloksi, voidaan kappaleen pisteen nopeus ilmaista muodossa r i = R i ũ i G i θ i (23) Samoin kappaleen jonkin pisteen kiihtyvyys voidaan ilmaista yleistettyjä orientaatiokoordinaatteja. Differentioimalla yhtälö 21 ajan suhteen saadaan α i = G i θ i + G i θ i (24) Sijoittamalla tämä yhtälöön 20 ja hyödyntämällä vektorien ristitulon ja vinosymmetrisen matriisitulon yhteyttä saadaan r i = R i ũ i G i θ i + a i v (25) jossa a i v = ( ω i) 2 u i ũ G i θ i on vektori, joka sisältää kvadraattiset nopeudet. (Shabana 2001, s.

19 ) Kappaleen asema ja orientaatio, sekä niiden muutokset voidaan kuvata käyttämällä yleistettyjä koordinaatteja. Yhden kappaleen yleistetyt koordinaatit ovat sen referenssipisteen asema globaalissa karteesisessa koordinaatistossa R i ja orientaatiovektori θ i. Yleistettyjen koordinaattien vektori on q i = R i θ i (26) ja monikappalesysteemin yleistetyt koordinaatit ovat q = q 1 q 2... q nb (27) jossa nb on kappaleiden lukumäärä. (Shabana 2001, s ) Kappaleiden liikeyhtälöt voidaan muodostaa virtuaalisen työn periaatteen avulla. Kappaleen jonkin pisteen virtuaalinen muutos lokaalissa koordinaatistossa saadaan yhtälöllä δr i = ] [I δr i A i ū i Ḡ i δθ i (28) Kappaleen inertiavoimien virtuaalinen työ on δwi i = ρ i r it dv i V i (29) jossa ρ i on kappaleen tiheys ja V i on kappaleen tilavuus. Sijoittamalla virtuaalisen työn yhtälöön yhtälöt 28 ja pisteen absoluuttisen nopeuden yhtälö ilmaistuna lokaalissa koordinaatistossa voidaan yhtälö 29 kirjoittaa muotoon

20 20 δw i i = [ ] R it θ it V i ρ i I Ḡ it ū it A it ] [I [ ] A i ū i G i it + a v I A i ū i Ḡ i dv i δr i δθ i (30) joka on δw i i = [ ] q it M i Q it v δq i (31) jossa M i on kappaleen massamatriisi ja Q i v on inertiavoimien kvadraattinen nopeusvektori joka voidaan laskea yhtälöllä Q i v = ρ i V i Massamatriisi M i voidaan kirjoittaa muodossa I Ḡ it ū it A it a i v dv i (32) M i = m i RR m i θr mi Rθ m i θθ (33) jonka komponentit ovat m i RR = mi I (34) [ ] m i Rθ = mit θr = Ai ρ i ū i dv i Ḡ i (35) V i m i θθ = ḠiT Ī i θθḡi (36) joissa m i on kappaleen kokonaismassa ja Ī i θθ on symmetrinen, 3x3 kokoinen inertiamatriisi, joka kertoo kappaleen hitausmomentit ja -tulot lokaalissa koordinaatistossa. Inertiamatriisin komponenttien laskeminen uudestaan joka aika-askeleella ei ole triviaalia, mutta hyödyntämällä tietoa, että jäykällä kappaleella lokaali inertiamatriisi on vakio, voidaan

21 21 inertiamatriisi ilmaista globaalissa koordinaatistossa yhtälöllä m i θθ = GiT A i Ī i θθ AiT G i = G it I i θθ Gi (37) Massamatriisin ja kvadraattisen nopeusvektorin yhtälöt ovat esitettyinä yleisessä muodossaan, kappaleen jonkin mielivaltaisen pisteen suhteen. (Shabana 2001, s ) Molemmat yhtälöt yksinkertaistuvat huomattavasti, jos referenssipiste on asetettuna kappaleen massakeskipisteeseen. Lisäksi se mahdollistaa massamatriisin translaation ja rotaation komponenttien irrottamisen toisistaan. (Shabana 2001, s. 424) Kappaleeseen vaikuttavat yleistetyt ulkoiset voimat voidaan kuvata inertiavoimien tavoin käyttämällä virtuaalisen työn periaatetta hyödyksi. Kuvassa näkyy kappaleen pisteeseen P i vaikuttava voimavektori F i,joka on kuvattu globaalissa koordinaatistossa. Voimavektorin virtuaalinen työ voidaan silloin kuvata yhtälöllä δw i e = F it δr i P (38) jossa δr i P = δri ũ i P Gi δθ i (39) Sijoittamalla yhtälö 39 yhtälöön 38 saadaan δw i e = F it δr i F it ũ i P Gi δθ i (40) Ottamalla huomioon, että ristitulon ja vinosymmetrisen matriisitulon yhteyttä, yhtälön 40 toinen termi voidaan kirjoittaa muodossa G it ( u i P Fi) δθ i = G it M i aδθ i (41)

22 22 Kuva 3. Kappaleeseen vaikuttava voimavektori. (Shabana 2001, s. 414) jossa M i a on voimavektorin aikaansaama momentti ilmaistuna globaalissa karteesisessa koordinaatistossa. Kappaleeseen vaikuttaessa useita voimia ja momentteja, näiden virtuaalinen työ voidaan ilmaista δw i e = F it 1 δri FiT n f δri n f + (M i Mi nm) T G i δθ i (42) jossa n f ja nm ovat kappaleeseen vaikuttavien voimien ja momenttien lukumäärät. Yhtälö voidaan muuttaa muotoon δw i e = ( ) T ( ) T Q i e R δri + Q i e θ δθi (43) jossa ( Q i ) e R (Shabana 2001, s. ja ( Q i ) e θ käyttämällä muodossa ovat kappaleeseen vaikuttavien yleistettyjen voimien vektorit ) Yhtälö 43 voidaan kirjoittaa yleistettyjä koordinaatteja

23 23 δw i e = Q it e δq i (44) Jäykän kappaleen rajoittamattoman liikkeen liikeyhtälöt saadaan Käyttämällä virtuaalisen työn periaatetta. Tällöin voidaan kirjoittaa δw i i = δwi e (45) Avaamalla yhtälö sijoittamalla siihen inertiavoimien ja ulkoisten voimien virtuaalisen työn yhtälöt saadaan [ M i q i Q i v] T δq i = Q i eδq i (46) Siirtämällä kaikki termit vasemmalle puolelle saadaan [ M i q i Q i v Q i e] T δq i = 0 (47) Rajoittamattomalla liikkeellä kappaleen yleistetyt koordinaatit ovat toisistaan riippumattomia, jolloin liikeyhtälöksi saadaan M i q i = Q i e + Q i i (48) josta voidaan ratkaista kappaleen kokemat kiihtyvyydet, ja integroimalla liikeyhtälö kahdesti, saadaan ratkaistua kappaleen nopeudet, sekä asema ja orientaatio. (Shabana 2001, s ) Yllä oleva yhtälö kuvaa kappaleen yleisen liikkeen, kun kappaleen vapausasteita ei ole rajoitettu mitenkään. MBS:n rajoitteiden huomioonottamiseen on kehitetty erilaisia menetelmiä, joista tässä työssä tarkastellaan Lagrangen kertoimien menetelmää. Lagrangen kertoimissa luodaan liikeyhtälöt riippumattomille ja riippuvaisille yleistetyille

24 24 koordinaateille. Systeemin vapausasteita rajoittavat nivelet kuvataan rajoiteyhtälöillä, jotka luovat yhteyden riippumattomien ja riippuvaisten koordinaattien välille. Rajoiteyhtälöt lisätään systeemin liikeyhtälöihin joista voidaan ratkaista MBS:n kiihtyvyydet, nopeudet sekä asemat. (Shabana 2001, s. 427) Tarkastellaan MBS:ää, joka koostuu nb määrästä kappaleita, jotka ovat liitettyinä toisiinsa erilaisten rajoitteiden avulla, joita on yhteensä yhteensä nc:n verran. Systeemin yleistetyt q 1 koordinaatit ovat tällöin q =..., jossa q i R i =. Systeemin rajoiteyhtälöt voidaan θ q nb i kirjoittaa vektorimuodossa C (q, t) = 0 (49) jossa t on aika. Rajoiteyhtälöt rajoittavat systeemin vapausasteita esimerkiksi asettamalla ehdon, että kaksi kappaletta voivat liikkua toistensa suhteen vain yhden koordinaatin suunnassa. Differentioimalla rajoiteyhtälöiden vektori C (q, t) ajan suhteen saadaan C q q = C t (50) jossa C q on rajoitteiden Jacobin matriisi ja C t = C t ajan suhteen. on rajoiteyhtälöiden osittaisderivaatat Jacobin matriisi muodostetaan differentioimalla rajoiteyhtälöt yleistettyjen koordinaattien q suhteen. Jos mikään rajoitteista ei ole ajasta riippuvainen, vektori C t on nollavektori. Differentioimalla yhtälö 50 uudestaan ajan suhteen saadaan C q q = Q d (51) jossa Q d sisältää kvadraattiset termit ja on muotoa Q d = C tt ( C q q ) q q 2C qt q (52)

25 25 jossa C tt = 2 C t 2 on rajoiteyhtälöiden osittaisderivaatat kahdesti ajan suhteen. (Shabana 2001, s ) MBS:n rajoitetut liikeyhtälöt voidaan nyt muodostaa Lagrangen kertoimia käyttämällä. Lagrangen kertoimet liittävät rajoiteyhtälöt differentiaalisiin liikeyhtälöihin. rajoitetut liikeyhtälöt ovat Systeemin M q + C T qλ = Q e + Q v (53) M M jossa M = 2.. q on systeemin massamatriisi, q =. on systeemin M nb q nb λ [ ] 1 kiihtyvyysvektori, C q = C 1 q... Cq nb on rajoiteyhtälöiden Jacobin matriisi, λ =. ovat Lagrangen kertoimet, Q e = ja Q v = Q 1 v. Q 1 e. Q nb e λ nc on systeemiin vaikuttavien ulkoisten voimien vektori on systeemin inertiavoimien vektori. Q nb v yhtälöstä ratkaistavat termit ovat Lagrangen kertoimet λ, joita on nc määrä, sekä yleistetyt Suoran dynamiikan tapauksessa kiihtyvyydet q, joita on 6 nb määrä, jolloin ratkaistavia parametrejä on yhteensä 6 nb+nc. Yhtälöllä 53 voidaan ratkaista yhteensä 6 nb tuntematonta. Jotta loput tuntemattomat voidaan ratkaista, pitää yhtälöt 53 ja 51 yhdistää, joka voidaan esittää matriisimuodossa M C q 0 C q T q λ = Q e + Q v Q d (54) Yhtälöstä 54 voidaan ratkaista systeemin kiihtyvyydet, sekä Lagrangen kertoimet. Lagrangen kertoimien avulla voidaan laskea systeemin rajoitevoimat C q T λ. Kiihtyvyydet voidaan sen

26 26 jälkeen integroida ajan suhteen, jolloin saadaan systeemin yleistetyt nopeudet q, sekä asemat q. (Shabana 2001, s )

27 27 3 HYDRAULIIKAN MALLINNUS Hydraulijärjestelmiä käytetään muuttamaan tehoa muodosta toiseen, usein ensin mekaanisesta tehosta hydrauliseksi ja takaisin, jotta voidaan liikuttaa esimerkiksi kaivinkoneen kauhaa. Hydraulijärjestelmillä on useita etuja, minkä vuoksi niiden käyttö on yleistä teollisuudessa ja raskaissa työkoneissa. Hydraulijärjestelmillä saadaan aikaan korkea teho-painosuhde, ne ovat itsevoitelevia, hydraulijärjestelmillä ei ole saturaatioilmiötä, kuten sähkömoottoreilla, joissa maksimivääntö on rajoitettu magneettisen saturaation vuoksi. Hydraulijärjestelmän etuihin kuuluvat lisäksi sylintereiden korkea jäykkyys, mikä mahdollistaa kuormien pysäyttämisen mihin tahansa kohtaan liikkeen aikana, sekä mahdollisuus energian varastoimiseen hydraulisten akkujen avulla, eikä hydrauliikka ole räjähdysherkkä. (Galal Rabie 2009, s. 6-11) Hydraulijärjestelmissä nesteen liike riippuu useista eri muuttujista, kuten nesteen inertiasta, nesteen kokemasta kitkasta, sekä kokoonpuristuvuudesta, että eri osissa vaikuttavista paineista. Hydraulinesteen nopeus, paine ja lämpötila vaihtelevat gradienttina järjestelmän putkien pituuden, sekä säteittäisen etäisyyden välillä. Kaikkien näiden muuttujien huomioonottaminen tekisi matemaattisen mallin luomisesta liian monimutkaista ellei peräti mahdotonta, joten laskennallisia malleja luotaessa täytyy ilmöitä yksinkertaistaa riittävästi, jotta mallintaminen on mahdollista. Mallin täytyy silti pystyä kuvaamaan järjestelmän dynaamista käyttäytymistä hyväksyttävällä tarkkuudella, jotta se olisi hyödyllinen. Hydraulijärjestelmien mallintamisessa käytetään yleisesti keskittyneiden paineiden teoriaa. (Galal Rabie 2009, s ) Mevean ohjelmistossa hydrauliikka mallinnetaan keskittyneiden paineiden teorialla, sekä semi-empiirisellä metodilla joidenkin komponenttien kohdalla. Letkuissa ja putkissa tapahtuvia paineaaltoja ei oteta huomioon ja hydraulijärjestelmän eri tilavuuksien yli vaikuttava paine oletetaan jakautuneen tasaisesti. Paine tilavuudessa i lasketaan yhtälöllä p i = B ei V i n c Q i j j=1 (55)

28 28 jossa B ei on tilavuuden i efektiivinen puristuskerroin, V i on tilavuus, Q i j on komponentin j tilavuusvirta liittyen tilavuuteen i ja nc on komponenttien määrä, jotka vaikuttavat tilavuuteen i. (Reference Manual for Solver Library 2015, s ) Tilavuuden efektiivinen puristuskerroin lasketaan yhtälöllä B ei = 1 B o + n c j=1 1 V j V i B j + n h k=1 (56) V k V i B k jossa B o on hydraulinesteen puristuskerroin, n h on tilavuuten i liittyvien letkujen ja putkien kokonaismäärä, V k on letkun tai putken k tilavuus ja B k on letkun tai putken k puristuskerroin. Tilavuus V i on siihen liitettyjen hydraulikomponenttien ja letkujen sekä putkien tilavuuksien summa. (Reference Manual for Solver Library 2015, s ) Seuraavissa kappaleissa käydään läpi sorvimallin tärkeimpien hydrauliikkakomponenttien mallintamisen teoriaa. 3.1 Hydraulineste Hydraulinesteitä käytetään tehonsiirtoon hydraulijärjestelmissä. Tehonsiirto tehdään nostamalla nesteen paine-energiaa. Nesteen tärkein tehtävä on tehonsiirto, mutta sen lisäksi sillä on myös muita toimintoja, kuten komponenttien kontaktipintojen voitelu, jäähdytys, sekä hydraulijärjestelmän putsaus suodattimien avulla. Mineraaliöljyjä käytettiin hydraulinesteinä 1900-luvun alkupuolella, mutta hydraulijärjestelmien kehittyessä ja nesteiltä vaadittujen ominaisuuksien tiukentuessa, nykyään hydraulinesteinä käytetään synteettisiä nesteitä. (Galal Rabie 2009, s. 15) Yksi tärkeimmistä hydraulinesteen ominaisuuksista on sen viskositeetti, joka kertoo miten neste pystyy vastustamaan virtausta. Viskositeetti johtuu nesteen ja letkujen molekyylien välisistä interaktioista. Kuvassa 4 on näkyvissä nestepatsas kahden päättymättömän levyn välissä. Ylempi levy liikkuu tasaisella nopeudella v ja alempi on paikallaan. Ylemmän levyn liikkuessa oikealle, siihen kohdistuu vasempaan suuntaan kitkavoima, sillä levy pyrkii liikuttamaan levyyn kosketuksissa olevan nesteen mukanaan. Nesteeseen vaikuttaa samansuuruinen, mutta päinvastaiseen suuntaan kohdistuva kitkavoima. Samalla tavalla alempaan levyyn kohdistuu kitkavoima, sillä neste liikkuessaan yrittää vetää levyä mukaansa.

29 29 Nesteen kokema liike aiheuttaa siihen leikkausjännityksen τ, joka saadaan Newtonin viskositeetin yhtälöstä τ = µ du dy (57) jossa µ on dynaaminen viskositeetti ja du/dy on nesteen kokema nopeusgradientti. Dynaaminen viskositeetti on leikkausjännitys, joka aikaansaa yksikkönopeusgradientin nesteessä. Newtonilaisille nesteille dynaaminen viskositeetti on riippumaton nopeusgradientista, mutta se on riippuvainen paineesta ja lämpötilasta. (Galal Rabie 2009, s ) Kinemaattinen viskositeetti ν saadaan yhtälöstä ν = µ ρ (58) jossa ρ on nesteen tiheys. (Galal Rabie 2009, s. 17) Viskositeetti on vahvasti riippuvainen nesteen lämpötilasta. Hydraulinesteen viskositeetti-indeksi (VI) kertoo kuinka paljon lämpötilan muutos vaikuttaa nesteen viskositeettiin. Alhainen VI tarkoittaa suurta vaihtelua nesteen viskositeetissä lämpötilan muuttuessa. Ideaalisen hydraulinesteen viskositeetti pysyisi vakiona lämpötilan muutoksista huolimatta. Todellisilla nesteillä näin ei ole, mutta hydraulisen järjestelmän toiminnalle on tärkeätä, että nesteen viskositeetti pysyy suunnitelluissa käyttöolosuhteissa tietyn vaihteluvälin sisällä. Hyväksyttävä viskositeetin vaihtelu riippuu hydraulijärjestelmän käyttökohteesta, sen komponenteista, sekä odotettavista käyttöolosuhteista. (Galal Rabie 2009, s. 18) Paineen vaikutus viskositeettiin on huomattavasti pienempi, kuin lämpötilan. Paineen kasvaessa nesteen viskositeetti kasvaa, mikä tarvitsee ottaa huomioon hydraulijärjestelmissä, jotka toimivat laajalla ja korkealla painealueella. Tavallisesti hydraulijärjestelmät toimivat kuitenkin alle 300 barin paineilla, jolloin paineen vaikutus viskositeettiin ei ole merkitsevä. (Galal Rabie 2009, s. 19) Toinen hydraulinesteen tärkeä ominaisuus on sen kokoonpuristuvuus. Nesteen kokoonpuristuvuus määritellään nesteen tilavuuden muutokseksi, kun siihen kohdistuva

30 30 Kuva 4. Nesteen kokemat nopeuserot kahden samansuuntaisen levyn välissä. (Galal Rabie 2009, s. 16) paine muuttuu. Puhtaalle nesteelle tilavuuden ja paineen muutoksien suhdetta kuvataan puristuskertoimella B, joka voidaan laskea yhtälöllä B = p V/V = p V V (59) jossa B on puristuskerroin, p on paineen muutos, V on tilavuuden muutos ja V on tilavuus. Hydraulinesteen puristuvuudella on merkitystä hydraulisen järjestelmän dynamiikkaan. Puristuskerroin on riippuvainen nesteen lämpötilasta ja paineesta. Paineen kasvu suurentaa puristuskerrointa ja lämpötilan nousu puolestaan pienentää puristuskerrointa. Paineen nousu 0:sta 300:aan bar:iin kasvattaa puristuskerrointa noin 21 %, kun taas lämpötilan nousu 40 C pienentää sitä noin 25 %. Hydraulinesteen puristuskerroin oletetaan kuitenkin usein vakioksi, kun lämpötila ja järjestelmän paine ovat tavallisissa lukemissa. (Galal Rabie 2009, s ) Puhtaan hydraulinesteen puristuskerroin oletetaan usein vakioksi, mutta jos öljyn seassa on ilma- tai kaasukuplia, niin puristuskerrointa ei voida enää pitää vakiona kaasujen vahvan kokoonpuristuvuuden vuoksi. Tällöin neste-kaasuseokselle lasketaan efektiivinen puristuskerroin B e, joka riippuu nesteessä olevan kaasun määrästä, sekä nesteen omasta puristuskertoimesta. (Galal Rabie 2009, s. 32) Kaasun kokoonpuristuvuus saadaan yhtälöillä pv n = C (60)

31 31 V n p + nv n 1 p V = 0 (61) B g = p V/V = np (62) joissa p on paine, V on tilavuus, n on polytrooppinen indeksi, C on vakio ja B g on kaasun puristuskerroin. (Galal Rabie 2009, s. 32) Jos neste-kaasuseos kokee paineen muutoksen p, niin tilavuuksien muutokset ovat V g = α gv T np p (63) ja V o = (1 α g)v T B p (64) joissa V g = α g V T on kaasun tilavuus, V T on seoksen kokonaistilavuus ja V o = (1 α g )V T on nesteen tilavuus. Tällöin efektiivinen puristuskerroin on p B e = (65) ( V o + V g )/V T Sijoittamalla yhtälöt 63 ja 64 yhtälöön 65 saadaan B e = nbp np(1 α g ) + Bα g (66) joka voidaan ilmaista muodossa 1 = α g B e np + 1 α g B (67)

32 32 Efektiivinen puristuskerroin voidaan muuttaa yksiköttömäksi puristuskertoimeksi jakamalla se nesteen puristuskertoimella B = B e B (68) Kuvassa 5 on näkyvissä seokseen sekoittuneen kaasun vaikutus puristuskertoimeen. Kuvasta on nähtävissä kuinka kaasujen hyvin suuren kokoonpuristuvuuden vuoksi hydraulinesteeseen sekoittunut kaasu pienentää puristuskerrointa voimakkaasti. (Galal Rabie 2009, s. 33) Tämän on kuka tahansa voinut todeta helposti, jos he ovat joskus unohtaneet ilmata autonsa tai pyöränsä jarrut! Kuva 5. Dimensiottoman puristuskertoimen B muutos siihen sekoittuneen ilman ja vaikuttavan paineen vaikutuksesta. (Galal Rabie 2009, s. 33) Nesteeseen sekoittunut kaasu voi aiheuttaa hydraulijärjestelmässä epätasaisia liikkeitä, melua sekä kaasukuplan puristussyttymisen. Jos neste-kaasuseos puristuu riittävän nopeasti, nesteessä olevan kaasukuplan lämpötila nousee niin korkeaksi, että siinä oleva kaasu-ilmaseos syttyy. Tämä aiheuttaa hydraulinesteessä pienellä alueella suuren lämpötilaja painepiikin, mikä vähentää hydraulinesteen käyttöikää, sekä mahdollisesti vahingoittaa hydraulijärjestelmän komponentteja. (Galal Rabie 2009, s. 33 & 40-42)

33 Yhteet Hydraulijärjestelmässä siirretään hydraulineste eri komponenteille letkujen ja putkien avulla. Hydraulipiirissä paikallaan olevat ja värähtelemättömät komponentit ovat yleisesti yhdistetty toisiinsa jäykkien putkien avulla. Osa hydraulijärjestelmän komponenteista voi olla pakko kiinnittää mekanismiin, joka liikkuu tai värähtelee, jolloin komponentit pitää yhdistää taipuisilla letkuilla. Hydraulijärjestelmässä olevilla putkilla ja letkuilla on tärkeä merkitys järjestelmän käyttäytymiselle niiden yksinkertaisesta rakenteesta huolimatta. Yhteet vaikuttavat hydraulijärjestelmän käyttäytymiseen muunmuassa yhteiden painehäviöiden ja kitkahäviöiden, sekä yhteiden jäykkyyden kautta. (Galal Rabie 2009, s. 59) Letkun tai putken mallinnus määritellään Meveassa kahdella yhtälöllä. lasketaan letkun tai putken tilavuus V Ensimmäisellä V = πd2 L 4 (69) jossa D on putken tai letkun sisähalkaisija ja L on pituus. Tilavuuden lisäksi tarvitaan laskentaa varten letkun efektiivinen puristuskerroin B e, joka voidaan laskea yhtälöllä B e = MIN ( ( , M AX B h pi, )) (70) jossa B h on yhteen puristuskerroin, ja p i on letkussa vaikuttava paine. Efektiivinen puristuskerroin on siten paineesta riippuvainen. Letkun puristuskertoimelle B h löytyvät arvot kirjallisuudessa vaihtelevat välillä Kuvassa 6 on nähtävissä letkun efektiivisen puristuskertoimen riippuvuus järjestelmässä vaikuttavasta paineesta. (Reference Manual for Solver Library 2015, s )

34 34 Kuva 6. Letkun efektiivisen puristuskertoimen paineriippuvuus. (Reference Manual for Solver Library 2015, s. 71) 3.3 4/3 suuntaventtiili Suuntaventtiili ohjaa nimensä mukaisesti hydraulipiirissä kulkevan virtauksen suuntaa. Venttiilin sisällä on kara, joka liikkuessaan sulkee ja aukaisee yhteyksiä venttiilin porttien välillä ja säätelee virtauksen suuntaa ja suuruutta. Suuntaventtiilit luokitellaan yleisesti kahdella numerolla. Kuinka monta yhteyttä/porttia venttiilissä on ja kuinka monta ohjausasemaa venttiilillä on. 4/3 suuntaventtiilillä on neljä yhteyttä ja kolme asentoa, kaksi auki-asentoa, sekä kiinni-asento. Kuvassa 7 on nähtävissä hydraulisylinterin ohjaus 4/3 suuntaventtiilillä. Venttiili on kytketty painelinjaan (P), tankkilinjaan (T) ja sylinterin yhteisiin A ja B. Ensimmäisessä auki-asennossa kara avaa yhteydet P-A ja B-T, jolloin pumpun tuottama tilavuusvirta kulkee venttiilin läpi sylinterin A porttiin, ja liikuttaa sylinterivartta ulospäin, joka työntää sylinterin B-puolella olevaa hydraulinestettä takaisin tankkiin venttiilin läpi. Kiinni-asennossa venttiilin kara sulkee kaikki portit, jolloin sylinteri pysähtyy, ja toisessa auki-asennossa kara avaa yhteydet P-B ja A-T, jolloin sylinterinvarsi liikkuu päinvastaiseen suuntaan. (Galal Rabie 2009, s. 157)

35 35 Kuva 7. Hydraulisylinterin ohjaus 4/3 suuntaventtiilillä. (Galal Rabie 2009, s. 157) Virtaukset venttiilin porttien yli saadaan laskettua yhtälöillä Q A = Q B = Q P = Q T = UC v pt p A STEP(p T p A, , , 1, 1) C vleak pt p A STEP(p T p A, , , 1, 1) UC v pp p A STEP(p P p A, , , 1, 1) UC v pp p B STEP(p P p B, , , 1, 1) C vleak pt p B STEP(p T p B, , , 1, 1) UC v pp p B STEP(p P p B, , , 1, 1) UC v pp p B STEP(p P p B, , , 1, 1) : U < : U : U > (71) : U < : U : U > (72) : U < : U UC v pp p A STEP(p P p A, , , 1, 1) UC v pt p A STEP(p T p A, , , 1, 1) C vleak pt p A STEP(p T p A, , , 1, 1) C vleak pt p B STEP(p T p B, , , 1, 1) UC v pt p B STEP(p T p B, , , 1, 1) : U > (73) : U < : U : U : U > (74) joissa U on venttiilin karan asema, C v on venttiilin virtausvakio ja C vleak on venttiilin vuotovirtauskerroin, p A, p B, p P ja p T ovat venttiilin porttien kokemia paineita ja Q A, Q B, Q P ja Q T ovat venttiilin läpi kulkevat tilavuusvirrat. Karan asema määritetään ohjausjännitteen U avulla. Ohjausjännite lasketaan yhtälöllä

36 36 U = U re f U τ s (75) jossa U re f on karan referenssijännite ja τ s on aikavakio, joka kuvaa karan dynamiikkaa. (Reference Manual for Solver Library 2015, s ) 3.4 Hydraulisylinteri Hydraulisylinteri muuttaa hydraulisen voiman mekaniiseksi voimaksi, jota voidaan käyttää liikuttamaan lineaarisesti kapppaleita tai mekanismeja. Öljyn paine aiheuttaa voiman sylinterissä olevaan mäntään, joka puolestaan välittää voiman männänvarren kautta liikutettavaan kappaleeseen. (Galal Rabie 2009, s. 251) Sylinterin tuottama voima saadaan yhtälöstä F = p 1 A p p 2 A r F µ (76) jossa p 1 on männän puoleisen tilavuuden paine, A p on männän pinta-ala, p 2 on sylinterinvarren puoleisen tilavuuden paine, A r on sylinterinvarren puoleisen männän pinta-ala ja F µ on sylinterin kokonaiskitkavoima. (Galal Rabie 2009, s. 251) Kitkavoima on riippuvainen sylinterivoimasta, sylinterin kertoimesta η, sekä nopeudesta riippuvaisesta kitkan kertoimesta. Kitkavoima saadaan yhtälöllä F µ = ( p 1 A p p 2 A r ) (1 η) f ( x) (77) jossa η on sylinterin kerroin ja f ( x) on nopeudesta riippuvainen kitkakerroin. (Reference Manual for Solver Library 2015, s ) Hydraulisylinterin tilavuuksien muutokset lasketaan yhtälöillä V 1 = xa p (78)

37 37 V 2 = (l x) A r (79) joissa x on sylinterin isku ja l on sylinterin iskun maksimipituus. (Reference Manual for Solver Library 2015, s ) Männän liike sylinterissä aiheuttaa tilavuusvirran, joka voidaan laskea sylinterin molemmille puolille yhtälöillä Q 1 = xa p (80) Q 2 = xa r (81) 3.5 Hydraulimoottori Hydraulimoottori muuttaa hydraulisen voiman mekaaniseksi kiertoliikkeeksi. Moottori toimii päinvastaisesti, kuin pumppu, jossa mekaaninen kiertoliike muutetaan hydrauliseksi tilavuusvirraksi. Moottorin geometrinen tilavuus kertoo hydraulinesteen tilavuuden, mikä tarvitaan pyörittämään moottorin akselia yhden kierroksen verran. Moottorin pyörimisnopeus riippuu moottorin läpi kulkevasta tilavuusvirrasta ja moottorin syöttöpaine taas riippuu moottorin kokemasta kuormamomentista. (Galal Rabie 2009, s ) Moottorin tuottama vääntömomentti saadaan yhtälöllä T = (p 1 p 2 ) V rot αη m (82) jossa p 1 on moottorin sisääntulon hydraulinen paine ja p 2 on moottorin ulostulon paine, V rot on geometrinen tilavuus, α on moottorin suhteellinen tilavuus ja η m on moottorin mekaaninen hyötysuhde. (Reference Manual for Solver Library 2015, s ) Moottorin tilavuusvirrat saadaan laskettua yhtälöillä Q 1 = ωαv rot η v (83)

38 38 Q 2 = ωαv rot η v (84) Jos moottorille on asetettu sisäisiä vuotoja, ne lisätään tilavuusvirtojen kaavoihin 83 ja 84. Vuotojen tilavuusvirrat saadaan yhtälöistä Q 1L = C vl p 1 p 2 sign(p 1 p 2 ) (85) Q 2L = C vl p 1 p 2 sign(p 1 p 2 ) (86) joissa C vl on moottorin vuotokerroin. (Reference Manual for Solver Library 2015, s )

39 39 4 SORVIMALLI Sorvimalli luotiin Mevean Modeller-ohjelmistolla, jolla on mahdollista luoda reaaliaikaisia MBS-malleja. Malliin kuului sorvin mekaniikan ja toimilaitteiden lisäksi sen ohjaus PLC:n avulla, sekä yksinkertainen sorvausprosessimalli, joka mahdollisti pöllin sorvaamisen simulaation aikana. 4.1 Mekaniikka Sorvimalli koostuu 26 jäykästä kappaleesta, sekä 8:sta dummy-kappaleesta. Kappaleet ovat liitettyinä toisiinsa erinäisten rajoitteiden avulla, joilla luodaan mallin kinemaattiset ketjut. Käytettäessä Mevean rekursiivista ratkaisijaa, täytyy kinemaattisten ketjujen olla joko avoimia ketjuja tai puutopologian tyyppisiä. Kuvassa 8 on nähtävissä sorvimallin topologia. Mallin topologia on hyödyllistä piirtää auki, kuten kyseisessä kuvassa, sillä siitä ilmenee helposti, jos topologiassa on ei-toivottuja suljettuja kinemaattisia ketjuja. Tässä mallissa on nähtävissä, että kaikki ketjut ovat joko avoimia tai puutyyppisiä, jolloin on mahdollista käyttää Mevean rekursiivista ratkaisijaa simulaatiota ajaessa. Jos mallissa olisi suljettuja ketjuja, niihin täytyisi lisätä katkaisunivel sopivaan paikkaan. Katkaisunivel luo virtuaalisen nivelen kahden kappaleen välille ja muuttaa ketjun puumaiseksi, mikä mahdollistaa rekursiivisen ratkaisijan käytön. Jokaiselle kappaleelle täytyy määrittää massa, hitausmomentit, sekä massakeskipisteen sijainti. Määritettäessä hitausmomentteja on otettava huomioon minkä suhteen hitausmomentit on määritetty. Mevean Modeller-ohjelma antaa mahdollisuuden määrittää hitausmomentit mielivaltaisen inertia-framen suhteen. Ominaisuutta voi käyttää esimerkiksi määritettäessä hitausmomentit kappaleen paikallisen referenssikoordinaatiston suhteen. Tässä työssä kaikkien kappaleiden hitausmomentit on määritetty kappaleiden massakeskipisteiden suhteen. Kappaleiden massa- ja hitausmomenttitiedot sekä massakeskipisteiden sijainnit laskettiin sorvin CAD-mallista (Computer Aided Design), jossa komponenteille oli määritetty oikeat materiaalitiedot. Ennen kuin tiedot saatiin ulos, CAD-malli piti ensin jaotella sopiviin osakokonaisuuksiin, jotka vastasivat MBS-mallin kappaleita. Lisäksi CAD-mallin skaalaus piti muuttaa SI-yksiköihin perinteisestä koneenrakennuksen mm, kg, s skaalauksesta, sillä Mevean ohjelma käsittelee mittoja sekä