TLT-5200 TIETOLIIKENNETEORIA

Transkriptio

1 TTY / Tietoliikennetekniikka TLT-500 TIETOLIIKENNETEORIA Luentomoniste 01 Mikko Valkama & Markku Renfors mikko.e.valkama@tut.fi

2 TLT-500 TIETOLIIKENNETEORIA, 5-7 op Syksy 01 ( English version of the course also available under TLT-506 ) TLT-500 / i Seuraa kurssin www-sivua mahdollisten eli todennäköisten muutosten ja muiden tiedotusten varalta. Tavoitteet ja sisältö Tavoitteena on antaa perustiedot tiedonsiirtojärjestelmissä esiintyvistä signaaleista, siirtokanavan aiheuttamista vääristymistä sekä käytettävistä signaalinmuokkausmenetelmistä ja niiden merkityksestä tiedonsiirron kannalta. Deterministiset ja satunnaiset signaalit ja niiden suodattaminen. Korrelaatiofunktiot, Fourier-muunnos ja spektri. Kohina ja häiriöt tiedonsiirrossa. Analogiset modulaatiomenetelmät. Näytteenotto ja pulssimodulaatio. Johdatus digitaaliseen siirtotekniikkaan. Informaatioteorian perusteet. Lähetin- ja vastaanotinrakenteiden perusteita. Kurssiin kuuluu luennot, laskuharjoitukset, Matlab-harjoitukset, harjoitustyöt ja tentti (no niinpä tietysti). Vaatimukset (5 op) Hyväksytysti suoritettu tentti, tai ehkä myös välikokeet (katsotaan). Kaksiosainen harjoitustyö (tietokonesimulointeja kurssin aiheista). 7 op extensiosta tarkemmin jäljempänä Luennot TORSTAISIN klo 09-1 salissa TB aloitusluento (vko 35) Luennoitsijoina M. Valkama (& J. Talvitie), yhteystiedot jäljempänä. Harjoitukset TLT-500 / ii Laskuharjoitukset, ~1.5-h/viikko alkaen viikolla 37. Harjoitukset pitää Yaning Zou ja Ville Syrjälä. Valittavana kaksi rinnakkaista ryhmää: TO 14-16, sali TC1 PE 10-1, sali TC1 Osallistujamääristä riippuen mahdollisesti myös kolmas ryhmä, seuraa verkkosivuja Matlab-harjoitukset, 5 kertaa ~1.5h, järjestää Toni Lähteensuo ja Behnam Badihiolyaei. Ajoista tarkemmin myöhemmin (seuraa WWW sivua). Osallistumalla voit tienata porkkanapisteitä tenttiin, tarkemmin alla Kurssimateriaali A.B. Carlson, Communication Systems, Fourth Edition, McGraw-Hill, 001. Käsiteltävät osat tarkentuvat luentojen kuluessa. (Kirjan kolmas painos vuodelta 1986 käy myös yhtä hyvin.) Luentokalvot ja harkkamateriaalit löytyvät sähköisesti verkkosivulta. Tehtäväkokoelma, joka antaa kuvaa kurssin sisällöstä. Communication Systems Laboratory Manual, Experiments 1&. Tehtäväkokoelma ja labramanuaali soveltuvien osin verkossa. Esitiedot TLT-5100 Tiedonsiirtotekniikan perusteet (83400) SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät (800003) SMG-100 Piirianalyysi II ( ) (Tahi em. kursseja vastaavat tiedot) harkkamateriaalit => WWW

3 TLT-500 / iii TLT-500 / iv Porkkanapisteet :^/ Osallistumalla aktiivisesti järjestettyyn lähiopetukseen on mahdollista saada porkkanapisteitä tenttiin. Algoritmi (voimassa 3 seuraavassa tentissä!): osallistuminen laskuharkkoihin (max. 10) 5 op vs. 7 op suoritukset osallistuminen matlab-harkkoihin (max. 5) ansaitut lisäpisteet Matlab-Harjoituksista Yhteensä 5 eri harjoitusta, aloitetaan viikolla Tietoliikennetekniikan PC-luokassa TC1 Valittavana 4 eri ryhmää, kullakin ryhmällä on siis harjoituskerta joka toinen viikko. Alustavat päivämäärät ja ajat alla ( seuraa kurssisivuja mahdollisten muutosten varalta ): ryhmä 1: TI 1-14 (18.9.,.10., 3.10., 6.11., 0.11.) ryhmä : TI 1-14 (5.9., 9.10., , , 7.11.) ryhmä 3: KE 1-14 (19.9., 3.10., 4.10., 7.11., 1.11.) ryhmä 4: KE 1-14 (6.9., , , , 8.11.) Harjoitukset järjestää Toni Lähteensuo ja Behnam Badihiolyaei. Harjoitusmateriaalit verkossa Peruspaketti (5op) kuvattu edellä luennot, harkat, tietokoneharkat, tentti ja kaksi harkkatyötä. Toteutus periodeilla 1 &. Laajempi (7op) versio sisältää em. aihioiden lisäksi pari lisäluentoa ja ylimääräisen kolmannen harjoitustyön periodin lopussa (tarkemmin kurssin edetessä). siirtotekniikan syventävät opinnot ja muut aiheesta kiinnostuneet tentti on sama kaikille (5op & 7op) Yhteystiedot Mikko Valkama, mikko.e.valkama@tut.fi, TG110, puh [ HUOM! ] Kurssin perustiedot (ajat, paikat, jne) löytyvät POP:sta; materiaalien jako yms kuitenkin pääasiassa ym. verkkosivun kautta!

4 TLT-500 / v TLT-500 / vi SUUNNITELTU SISÄLTÖ SUUNNITELTU SISÄLTÖ (jatkoa) Luentokerta Aihe Prujun sivut~ 1 Johdanto, motivaatiota Signaaleista ja systeemeistä 10-57, Spektrikäsite, Fourier-muunnoksen käyttö tietoliikennesignaalien ja -järjestelmien analysoinnissa; suodattimista ja siirtofunktioista -3 Signaalien vääristyminen siirrossa 58-7 Vääristymätön siirto, vääristymätyypit, kanavakorjausperiaate 3-4 Korrelaatioanalyysi ja spektrintiheys Signaalien samankaltaisuuden mittaaminen, yhteys spektriin; tehotiheys, energiatiheys 4 Satunnaissignaalit ja kohina todennäköisyys ja satunnaismuuttujat, satunnaisprosessit; lämpökohina, valkoinen kohina; kohinan vaikutus tiedonsiirrossa, SNR 5 Kaistanpäästöjärjestelmät ja signaalit I/Q-esitysmuoto vs. verhokäyrä ja vaihe; alipäästö-kaistanpäästö-muunnos; ryhmäviiveestä 5-6 Lineaariset modulaatiomenetelmät AM, DSB, SSB, VSB; Hilbert-muunnos, analyyttinen signaali; QAM-periaate; modulaattorirakenteita; ilmaisuperiaatteet; sekoitus; kantoaaltosynkronoinnin merkitys 7 Vaihe- ja taajuusmodulaatio 1-58 Kulmamodulaatioperiaatteet; FM-lähetin ja vastaanotintekniikkaa; interferenssi-tarkasteluja, esikorostus-jälkikorjaus 8-9 Analogisten modulaatiomenetelmien toiminta kohinaisessa kanavassa Kohinaisen siirtokanavan mallintaminen; S/N-suhde eri modulaatiomenetelmillä 9-10 Radioarkkitehtuurien perusteet ja muita toteutusnäkökohtia Vastaanotinrakenteita, superheterodyneperiaate; vaihelukittu silmukka (PLL) ja taajuussynteesi; esimerkkejä tietoliikennejärjestelmistä 9-10 Signaalien näytteistys Diskreetit signaalit ja näytteistetyn signaalin spektri; näytteenoton epäideaalisuudet; näytteenotto radiolaitteissa, kaistanpäästönäytteistys 10-1 Digitaalisen siirtotekniikan perusteet ja johdanto informaatioteoriaan Bitit, symbolit ja aaltomuodot; kantataajuinen ja kantoaaltomoduloitu PAM, digitaalinen taajuusmodulaatio; informaatioteorian perusteet 1 Yhteenvetoa, kertausta, tentistä, yms op suoritukseen liittyvät lisäluennot (sisältö, materiaalit & ajat => WWW)

5 TLT-500 / vii TLT-500 / viii Tiedonsiirtotekniikan opinnoista, lyhyesti [Muutamia erilaisia suuntautumisvaihtoehtoja] Langattomat tietoliikennejärjestelmät Opintojakso Opintopisteet TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka 7 op TLT-5500 Tiedonsiirtotekniikan työkurssi 5-9 op TLT-5606 Spread Spectrum Techniques 5-7 op TLT-5706 Multicarrier Techniques 4 op TLT-606 Radio Propagation in Wireless Networks 3 op TLT-6507 Advanced Course on Wireless Communications 5 op Yhteensä 9-35 op Tietoliikennelaitteet ja signaalinkäsittely Opintojakso Opintopisteet SGN-010 Digitaalinen lineaarinen suodatus I 5 op TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka 7 op TLT-5500 Tiedonsiirtotekniikan työkurssi 5-9 op TLT-5806 Receiver Architectures and Signal Processing 5-7 op TLT-6306 RF Equipment for Wireless Networks 3 op TLT-8107 Basic Communication Circuits - 7 op Yhteensä 3-38 op + Radioverkkosuunnitteluun painottuva vaihtoehto + Tietoliikennepiireihin painottuva vaihtoehto Tietoliikenteen kehitysnäkymistä Digitaalinen siirtotekniikka on yleistynyt kaikilla tietoliikennetekniikan osa-alueilla. Lähes kaikki uudet ja kehityksen alla olevat tietoliikennejärjestelmät perustuvat digitaalitekniikkaan. Esimerkkejä digitaalisista tiedonsiirtojärjestelmistä Puhelinverkko - äänitaajuusmodeemit puhelinverkon liittymien välillä - PCM-tekniikka runkoverkoissa - ISDN-liittymä (144 kbit/s) - nopeat Digital Subscriber Line eli xdsl-tekniikat (HDSL, ADSL, VDSL, ) tarjoavat joitakin megabittejä/s siirtonopeudeksi tilaajajohdoissa, ja jopa 3 Mbit/s and beyond nopeutta lyhyillä (satoja metrejä) etäisyyksillä Ääniradio & TV: digitaaliset järjestelmät tulossa/tulleet kaikkiin siirtomedioihin; voidaan käyttää myös datasiirtoon - DAB (Digital Audio Broadcasting) - DVB-T/T: maanpäälliset (terrestrial) lähetysjärjestelmät - DVB-C: kaapeli-tv-verkot - DVB-S: satelliittilähetysjärjestelmät - DVB-H: kannettavat mobiililaitteet - kaapelimodeemit Matkapuhelimet ja muut solukkoverkot - GSM900, GSM1800, GSM GSM:n parannukset nopeaan datasiirtoon: GPRS, EDGE - 3rd generation (3G): WCDMA, UMTS, IMT-000, HSPA - beyond 3G, 3.9G, LTE, 4G, WiMAX, IMT-Advanced, - muut langattomat laajakaistatekniikat Wireless LAN: keveiden kannettavien työasemien liittäminen langattomasti tietoverkkoon - 10/0/50/100 Mbit/s tekniikat käytössä/koekäytössä Low-power RF - Bluetooth, home RF: lyhyiden etäisyyksien (metrejä) datasiirtoon

6 TLT-500 / ix TLT-500 / x Tiedonsiirtotekniikan tutkimuksesta, lyhyesti Tiedonsiirtotekniikan tutkimuksesta, lyhyesti (jatkoa) Voidaan jaotella karkeasti kahteen pääteemaan (vertaa kalvon vi opintokokonaisuudet) Tietoliikenneteoreettinen tutkimus & järjestelmäkehitys Radiolaitteiden implementaatioon painottuva tutkimus & tuotekehitys TIETOLIIKENNETEOREETTINEN NÄKÖKULMA Radiospektri on rajallinen ja kovasti kilpailtu luonnonvara Käytettävät siirtotiet hankalasti hallittavissa, etenkin langattomissa mobiili-järjestelmissä Toisaalta olemassa olevia siirtomedioita (esim. tilaajajohdot) tulisi myös pyrkiä hyödyntämään tehokkaasti => Haasteena yleisesti eri siirtomedioiden (radiotie, kaapelit, jne) tiedonsiirtokapasiteetin kasvattaminen/maksimointi; aaltomuoto- ja järjestelmätason asiat RADIOLAITTEIDEN MONIKÄYTTÖISYYS JA KUSTANNUSTEHOKKUUS tavoitteina mm. radiolaitteiden pieni tehonkulutus, pieni koko, matala hinta, jne., tärkeää etenkin terminaalipuolella mutta myös mm. tukiasemissa toisaalta myös radio-osien ja radiolaitteiden monikäyttöisyys (monen standardin kännykät, yms) => digitaalisen signaalinkäsittelyn (DSP) merkitys korostuu; selektiivisyys-suodatus, digitaalinen ylös-/alassekoitus, kantoaallon ja ajastuksen synkronointi, RF-modulien epäideaalisuuksien korjaus, monen näytetaajuuden tekniikat => tarvitaan toisaalta myös uusia arkkitehtuureja radio-osille => RF analogiaelektroniikan osuus pienenee mutta toisaalta jäljelle jäävien modulien toiminnallisuus ja toteutus tulevat entistä kriittisemmiksi Ajankohtaisia tutkimusaiheita mm. 3. sukupolven jälkeisten matkaviestimien ja muiden langattomien laajakaistatekniikoiden radiorajapinnat (modulaatio, koodaus, jne) xdsl tekniikat nopea tiedonsiirto puhelinverkon tilaajajohdoissa DVB-T/T/C/S/H/X digitaaliset TV tekniikat ja muut broadcast järjestelmät Paikannusmenetelmät ja niihin liittyvät aaltomuodot ja signaalinkäsittely Tukiasemaverkkojen ja radio-resurssien hallinnan optimointi solukkoverkon suorituskyky ja kustannustehokkuus huomioiden Ajankohtaisia tutkimusaiheita mm. uudet lähetin- ja vastaanotinarkkitehtuurit (mm. suorakonversio ja suoranäytteistys radioarkkitehtuurit) integroidut RF-piirit (RF-ASIC) kustannustehokkaat DSP algoritmit ja niiden käyttö radiolaitteiden toiminnallisuuteen RF/analogiaelektroniikan epäideaalisuuksien korjaus DSP:llä software defined radio (SDR) ja cognitive radio (CR) konseptit laajakaistaiset A/D muunnin -tekniikat

7 JOHDANTO TLT-500 / 1 Informaatio ja viestit (jatkoa) TLT-500 / Informaatio ja viestit Tietoliikenne on informaation siirtoa paikasta toiseen sähköisessä tai sähkömagneettisessa muodossa. Jatkossa puhutaan informaatiota kantavasta viestistä, joka voi olla aaltomuoto, bittijono, tms. informaation fyysikaalinen ilmenemismuoto. Tietoliikennejärjestelmän tehtävänä on muodostaa vastaanottopäässä viesti, joka on mahdollisimman hyvä kopio lähetetystä viestistä. Toisaalta kaikki (tai ainakin useimmat) fysikaaliset siirtomediat, ja täten siirtomedioissa siirrettävät transmissiosignaalit eli aaltomuodot ovat luonteeltaan analogisia (jatkuvia) jännite-/virtasignaali kaapelissa, sähkömagneettinen aalto radiotiellä, jne INFORMAATIO- LÄHDE SIIRTO- JÄRJESTELMÄ INFORMAATIO- KAIVO INFORMAATIO- LÄHDE SIIRTO- JÄRJESTELMÄ INFORMAATIO- KAIVO Alkuperäinen viesti voi olla analoginen (esim. puhe) tai digitaalinen (esim. teksti). Lähteen muodosta riippumatta, viesti voidaan siirtää joko analogisessa tai digitaalisessa muodossa jaottelu analogisen ja digitaalisen tiedonsiirron välillä muodostuukin pitkälti siitä miten lähteen informaatio siirtojärjestelmän näkökulmasta esitetään LÄHETIN SIIRTO- MEDIA VASTAAN- OTIN Täten tiedonsiirtotekniikka on pohjimmiltaan: viestiä mukanaan tehokkaasti kuljettava ja käytetyn siirtomedian ominaisuuksiin mahdollisimman hyvin sopiva aaltomuoto. Esimerkiksi puheen siirto, alkuperäinen viesti siis analoginen analoginen siirtojärjestelmä: tavoitteena alkuperäisen viestin mahdollisimman häiriötön ja vääristymätön siirto, käyttäen esim. sopivaa kantoaaltomodulaatiota digitaalinen siirtojärjestelmä: alkuperäisen viestin esittäminen jonona bittejä (lähdekoodaus, tässä puhekoodekki), bittijonon tehokas siirto käyttäen valittuja kommunikaatio-aaltomuotoja Analogisessa siirrossa on tietyt laatukriteerit (signaali/kohina-suhde, särö, jne.). Digitaalisessa siirrossa taas pyritään minimoimaan syntyvien bittivirheiden todennäköisyyttä.

8 Tiedonsiirtojärjestelmän elementit TLT-500 / 3 Siirtokanavia TLT-500 / 4 Sähköjohdin johtopari (mm. tavallinen puhelinyhteys) koaksiaalikaapeli Lähettimen tehtävänä on sovittaa lähteestä tuleva viestisignaali siirtokanavaan. Keskeisiä signaalinmuokkausoperaatioita ovat mm. modulaatio (lähes kaikki siirtojärjestelmät) koodaus (digitaalinen lähde ja/tai digitaalinen siirtojärjestelmä) Kaksi olennaista perusresurssia ovat lähetysteho/-energia [mw,w, ] kaistanleveys [khz,mhz, ] Siirtokanava aiheuttaa erinäisiä epätoivottuja muutoksia viestisignaaliin (käytännössä niitä syntyy myös mm. vastaanottimessa, mutta mallissa ne kaikki yhdistetään kanavaan). Näitä ovat mm: vaimennus Huom! Fysikaaliset ja/tai viranomais rajoitukset kohina: satunnaisluonteinen summautuva häiriösignaali häiriö: tunnistettavasta lähteestä (esim. viereisen kanavan lähete) aiheutuva summautuva häiriösignaali vääristyminen: siirtojärjestelmän epäideaalisesta vasteesta aiheutuva signaalin vääristyminen (lineaarinen suodatus, epälineaarisuudet, yms) Siirto voi olla yksisuuntaista tai kaksisuuntaista: o simplex: yksisuuntainen o full-duplex: samanaikainen siirto molempiin suuntiin o half-duplex: siirto molempiin suuntiin, mutta ei samanaikaisesti Radiotie broadcasting (yleisradiolähetykset) mikroaaltolinkit satelliittilähetys solukkoverkot Optinen kuitu Magneettinauha, yms. Vastaanotin palauttaa viestisignaalin alkuperäiseen muotoon (vahvistus, suodatus, demodulaatio, dekoodaus) pyrkien minimoimaan kanavan epäideaalisuuksia.

9 Fysikaaliset rajoitukset TLT-500 / 5 Sähkömagneettisen spektrin jakoa TLT-500 / 6 Keskeiset luonnonlaeista aiheutuvat rajoitukset tietoliikennetekniikassa koskevat tehoa/energiaa ja kaistanleveyttä. Luonnossa on aina olemassa mm. lämpökohinaa, joka annetulla teho/energiatasolla voi muodostua signaalin laatua rajoittavaksi tekijäksi esim. siirtoetäisyyttä kasvatettaessa (siirtovaimennuksen kasvaessa). Kaikilla fysikaalisilla järjestelmillä on toisaalta rajallinen kaistanleveys. Kaistanleveys tulee ennenpitkää rajoittavaksi tekijäksi, koska se vaikuttaa suoraan saavutettavissa olevaan tiedonsiirtonopeuteen. Radiotietä käyttävillä järjestelmillä kaistanleveys on monesti erityisen rajoittava tekijä. Kanavalle, jonka kaistanleveys B ja signaali- ja kohinatehojen suhde ( S/ N ) tunnetaan, voidaan laskea suurin mahdollinen kapasiteetti C = Blog (1 + S/ N) Tämä tunnetaan nimellä Hartley-Shannon laki, ja on yksi informaatioteorian suurimmista tuotoksista liittyen kommunikaatiojärjestelmiin. Tähän tutustutaan tarkemmin kurssin loppupuolella (johdanto informaatioteoriaan -osuus), tässä vaiheessa pitkälti vain alustavaa hahmottelua. Yllämainitut perusresurssit (teho/energia ja kaistanleveys) ovat joka tapauksessa ne fysikaaliset kulmakivet, joiden ympärille koko kurssin sisältö (ja siis kaikkien tiedonsiirtojärjestelmien fyysinen kerros) mm. aaltomuototarkastelujen osalta rakentuu.

10 Modulaatio TLT-500 / 7 Modulaatiosta saatavat hyödyt TLT-500 / 8 Modulaatiossa yhdistetään kaksi aaltomuotoa: moduloiva viestisignaali sekä sopivasti valittu kantoaalto. Seuraavassa esimerkkejä amplitudimodulaatiosta käyttäen sinisignaalia ja suorakaideaaltoa kantoaaltona. Kummassakin tapauksessa viestisignaali näkyy moduloidun signaalin verhokäyrässä. Se voidaan vastaanottopäässä helposti erottaa eli demoduloida. Siirtokanavan vaatimukset Esimerkiksi radiolähetyksissä tarvittavan antennin koko on verrannollinen aallonpituuteen (vähintään 1/10 aallonpituudesta). Esim. 100 Hz:n taajuudella tarvittaisiin 300 km pitkä antenni. 100 MHz:n taajuudella käytännöllinen antennikoko on noin 1 m. Lähetysasemien erottelu toisistaan Valitsemalla eri lähetteiden kantoaaltotaajuudet erisuuriksi, voidaan esimerkiksi radiotiellä lähettää monia viestejä niin että ne eivät häiritse toisiaan. Radiotaajuudet on kansainvälisillä sopimuksilla jaettu taajuusalueisiin kutakin tietoliikennepalvelua varten. Multipleksointi Samassa kanavassa voidaan lähettää samanaikaisesti useita viestejä, kun ne esim. moduloidaan eri kantoaaltotaajuuksille. Kohinan ja häiriöiden pienentäminen Sopivia modulaatiomenetelmiä käytettäessä voidaan lähetteen kaistanleveyttä kasvattamalla pienentää kohinan vaikutusta demoduloidussa signaalissa lähetystehoa muuttamatta. Toteutuksesta aiheutuvat rajoitukset Yleensä kantoaaltotaajuus on paljon suurempi kuin suurin signaalissa esiintyvä taajuus. Yleisesti moduloidun signaalin taajuusalue on kantoaaltotaajuuden ympäristössä. Modulaatiossa tapahtuu siis taajuussiirto. Tietoliikenne-elektroniikan toteutuksen kannalta suhteellisen kaistanleveyden (lähetteen kaistanleveys/kantoaaltotaajuus) tulisi olla luokkaa 1-10%. Modulaatiomenetelmä on valittava kantoaaltotaajuuden ja viestin kaistanleveyden perusteella.

11 Koodaus TLT-500 / 9 SIGNAALEISTA JA SPEKTREISTÄ TLT-500 / 10 Koodaus on lähinnä digitaaliseen siirtoon liittyvää viestisignaalin muokkausta. Dekoodaus on vastaanottopäässä tehtävä käänteinen operaatio. Esimerkkejä: 1) ASCII-koodi: alfanumeeristen merkkien koodaus binääriseksi dataksi ) Kun lähetetään binääristä dataa hyvälaatuisessa kanavassa, voidaan siirtokapasiteettia parantaa lähettämällä M-tasoisia symboleja joista jokainen vastaa M:ää binääristä data-bittiä. 3) Virheenkorjauskoodauksessa lähetteeseen lisätään redundanssia joka mahdollistaa kanavassa syntyvien virheiden korjaamisen käytetystä koodista riippuvaan rajaan saakka. Sähköinen/sähkömagneettinen signaali: sähköinen tai sähkömagneettinen ja ajasta riippuva suure. Esim. johdinparin päiden välinen jännite ajan funktiona tai sähkömagneettinen aalto radiotiellä. Seuraavassa tarkastellaan signaaleiden esittämistä aikatasossa ja taajuustasossa sekä näiden esitysmuotojen välisiä yhteyksiä. Signaalin taajuusesityksessa se hajoitetaan eritaajuisiksi sinimuotoisiksi komponenteiksi. Matemaattisesti signaalin taajuusesitys eli spektri määritellään Fouriermuunnoksen avulla. Jaksollisten signaaleiden tapauksessa spektriin päästään myös Fouriersarjaa käyttäen. Käytännön digitaalisessa siirrossa voi olla mukana kaikkia näitä sekä muutamia muita koodausmuotoja. HUOM! Digitaalisen siirtotekniikan perusteet käsitellään kattavasti kurssin loppupuolella.

12 Sinimuotoiset signaalit TLT-500 / 11 Sinimuotoisen signaalin spektri TLT-500 / 1 Sinimuotoinen signaali voidaan aina esittää muodossa vt () = Acos( w t+ f) = Acos( pft+ f) 0 0 A on amplitudi, w0 = pf0 on kulmataajuus ( f 0 on taajuus) ja f on vaihekulma. Sinimuotoisen signaalin yksipuoleinen spektri on seuraavan kuvan mukainen: Amplitudispektri Vaihespektri Kyseessä on jaksollinen signaali, jonka jakso on T = p/ w = 1/ f Amplitudispektri ja vaihespektri sisältävät piikin taajudella f 0. Spektristä nähdään sinisignaalin olennaiset parametrit: taajuus, amplitudi ja vaihe. Yksi signaalin huippukohdista on t =- f/ w 0

13 Sinisignaaleiden lineaarinen kombinaatio TLT-500 / 13 Sinimuotoisen signaalin kompleksinen esitysmuoto TLT-500 / 14 wt ( ) = 7-10 cos(40pt -60 ) + 4 sin10pt Tarkasteltavat signaalit ovat useimmiten reaaliarvoisia. Kompleksisten signaaleiden käsite on kuitenkin hyödyllinen ja tarpeellinen työkalu tietoliikennetekniikassa. Vaikka osassa tarkasteltavia tapauksia tultaisiinkin toimeen reaalisia signaaleita käyttäen, on spektrianalyysissä tapana aina käyttää kompleksiset signaalit mahdollistavaa formalismia. Kompleksiset signaalit liittyvät pohjimmiltaan läheisesti kaistanpäästösignaaleihin. Näitä tarkastellaan lähemmin hieman tuonnempana. Tässä vaiheessa, ilman tarkempaa fysikaalista taustaa, kompleksinen signaali on signaali/aaltomuoto jonka arvo (millä tahansa ajanhetkellä) on kompleksiluku käytännössä: kaksi rinnakkaista reaalista signaalia (Re ja Im osat) Tämä voidaan muokata muotoon: wt ( ) = 7 cos p0t + 10 cos(p0t + 10 ) + 4 cos(p60t -90 ) jonka perusteella voidaan piirtää yksipuoleinen juovaspektri: Amplitudispektri Tässä yhteydessä tarvitaan toistuvasti Eulerin kaavoja: jq e = cos q jsin q Toiseen suuntaan päästään kaavoilla jq -jq e + e cos q = jq = Re ée ù ë û jq -jq e - e sin q = j jq = Im ée ù ë û Merkintätavat jatkossa: Vaihespektri 1) Spektriesityksissä vapaana muuttujana on taajuus f (yksikkönä Hz). Käytetään merkintää w = pf. Tiettyjä kiinnitettyjä taajuuksia merkitään f 0, f 1, f i, jne. ) Vaihekulma mitataan kosiniaaltoon nähden. 3) Amplitudi on aina positiivinen: - Acos wt = Acos( wt 180 ) 4) Vaihekulmalle käytetään yksikkönä asteita ( ) vaikka muuten kulman yksikkönä on yleensä radiaani.

14 Kaksipuoleinen spektri TLT-500 / 15 Osoitinesitys TLT-500 / 16 Reaalisille jaksollisille signaaleille voitaisiin käyttää yksipuoleista juovaspektriä. Jatkossa käytetään kaksipuoleista spektriä, joka mahdollistaa myös kompleksisten signaaleiden käsittelyn. Kompleksinen eksponentiaalifunktio voidaan esitää osoittimena, joka pyörii origon ympäri: Kaksipuoleisessa spektriesityksessä kantafunktioina ovat kompleksiset eksponentiaalifunktiot (reaalisten värähtelijöiden sijasta). Reaalisen signaalin tapauksessa kaksipuoleiseen spektriin päästään sijoituksella (Euler) A A - - Acos( w0t + f) = e e + e e j f j w t j f j w t 0 0 Aiemmassa esimerkkitapauksessa kaksipuoleiseksi juovaspektriksi tulee: wt ( ) = 7 cos p0t + 10 cos(p0t + 10 ) + 4 cos(p60t -90 ) =... Reaalinen sinisignaali vastaa osoittimen reaaliosaa: A A Acos( 0t + ) = Re éae ù ë û = e + e j 0t+ j 0t+ - j 0t+ w f ( w f) ( w f) ( w f) Osoitinesitystä käytetään jatkossa havainnollistamaan sinisignaaleita ja sinisignaaleista koostuvia tietoliikennesignaaleita. Erityisen hyödyllistä tämä on kaistanpäästösignaaleiden (kantoaaltomodulaatio) yhteydessä. Sinisignaalin kaksipuoleista spektriä vastaava osoitinesitys koostuu kahdesta vektorista, joiden vaihekulma ja pyörimissuunta ovat vastakkaiset. Resultanttivektori vastaa nyt suoraan reaalista sinisignaalia.

15 Jaksolliset signaalit yleisemmin TLT-500 / 17 Jaksollisen signaalin keskiarvo ja teho TLT-500 / 18 Signaali vt () on jaksollinen jos se toteuttaa ehdon Signaalin keskiarvo määritellään: vt ( mt) = vt ( ) - < t< (?) 0 mielivaltaisilla kokonaisluvuilla m. Tällöin signaali voidaan muodostaa laittamalla peräkkäin T 0:n pituisia jaksoja: 0 T / 1 vt ( ) = lim vt ( ) dt (mielivaltainen signaali) T ò T -T / 1 = T ò 0 T vt ( ) dt (jaksollinen signaali) tässä merkintä ò tarkoittaa 1 0 T 0 t + T ò. t 1 Jaksollisen signaalin keskimääräinen teho määritellään: Jaksolliset signaalit ovat kestoltaan äärettömiä, joten niitä ei käytännössä voi esiintyä puhtaassa muodossa. Monet äärelliskestoiset käytännön signaalit vastaavat kuitenkin ominaisuuksiltaan hyvin tarkasti puhtaita jaksollisia signaaleita. Hieman tarkemmin sanottuna: jos signaalin kesto on pitkä suhteessa omaan jakson aikaansa Perustelut: No intuitiollakin menee tarkemmin hieman jäljempänä 1 P = v() t = v() t dt T ò 0 T 0 Jos kyseessä on jännite-/virtasignaali, tämä on teho joka saataisiin 1 :n kuormaan. Esimerkkejä: vt ( ) = Acos( w t+ f) vt ( ) = 0 ja P= A / 0 j( w t+ f) 0 vt ( ) = Ae vt ( ) = 0 ja P= A Jaksollisista signaaleista puhuttaessa oletetaan yleensä, että niillä on äärellinen teho, 0 < P <.

16 Fourier-sarja TLT-500 / 19 Juovaspektrin ominaisuuksia TLT-500 / 0 Tavoite: Mielivaltaisen jaksollisen signaalin taajuussisällön (spektrin) selvittäminen. Jaksollinen signaali voidaan esittää eksponentiaalisena Fourier-sarjakehitelmänä: j nf0t () vt = å ce n p n=- missä T 0 on signaalin jaksonaika, f0 1 -jpnf0t c c( nf ) v( t) e dt n = 0 = T ò 0 T 0 1 = on perustaajuus ja T Kertoimet c n ovat kompleksisia suureita, jotka yleensä esitetään polaarisesssa muodossa: 0 1) Kaikki spektrissä esiintyvät taajuudet ovat perustaajuuden f 0 monikertoja eli harmoonisia taajuuksia. ) DC-komponentti c 0 on signaalin keskiarvo: c0 = v() t 3) Jos vt () on reaalinen signaali, niin c-n = cn argc =-argc -n n eli c- n = c n * (Miten niin? No osoita itse.!) tulkinta: reaalisen jaksollisen signaalin amplitudispektri symmetrinen ja vaihe-spektri antisymmetrinen (hahmottele) yleiselle kompleksi-arvoiselle signaalille ei vastaavia symmetria-ominaisuuksia löydy c = c e n n jargc n Eksponentiaalinen Fourier-sarja määrittelee jaksolliselle signaalille kaksipuoleisen spektrin. Se koostuu taajuuden f 0 monikerroista (miksi?). Luku c n on amplitudispektrin arvo taajuudella nf 0 ja arg( c n ) on vastaava vaihespektrin arvo. Synonyymejä: juovaspekri, viivaspektri

17 Sinc-funktio TLT-500 / 1 Esimerkki: Suorakaideaalto tai pulssijono TLT-500 / Jatkossa käytetään toistuvasti nk. sinc-funktioita jotka määritellään: sinc l ìï sin pl kun l ¹ 0 = ï í pl ï 1 kun l = 0 ïî Fourier-sarjan kertoimet voidaan nyt lausua seuraavasti: T / t / j nf t j nf t p p 0 ò cn = v() t e dt = Ae dt T T 0 -T / 0 -t / 0 A -jpnf sin 0t jpnf0t A pnf0t At = ( e - e ) = = sincnf0t -jpnft T pnf T Seuraavassa nähdään amplitudi- ja vaihespektri esimerkkitapauksessa, jossa pulssisuhde t / T0 = 1/4. Amplitudispektrin verhokäyrässä näkyy funktio sinc f t. DC-komponentin amplitudi on c 0 = At / T 0, mikä on helppo laskea/todentaa myös aikafunktiosta. ò Mistä juontaa? Spektrianalyysissä törmätään usein seuraavanlaisiin integraaleihin 1 T T / ò -T / e jpft dt =... jonka tulos voidaan kätevästi lausua sinc-funktion avulla (ks. seuraava esimerkki).

18 Gibbsin ilmiö TLT-500 / 3 Gibbsin ilmiö esimerkkinä suorakaideaalto TLT-500 / 4 Jos jaksollisessa signaalissa on askelmainen epäjatkuvuuskohta (kuten suorakaideaallossa), Fourier-sarja ei suppene epäjatkuvuuskohdassa. Tämä ilmenee siten, että jos otetaan mukaan termit -N N, niin epäjatkuvuuskohdan kummallakin puolella on noin 18% ylitys. Kun N :ää kasvatetaan, ylitykset sisältävä alue kutistuu aika-akselilla, mutta ylitys pysyy yhtä suurena. Käytännön signaalit ovat aina kaistarajoitettuja eikä niissä ole epäjatkuvuuskohtia. Gibbsin ilmiö ei näinollen sinänsä ole ongelma spektrianalyysissä.

19 Parsevalin teoreema TLT-500 / 5 Fourier-muunnos ja jatkuva spektri TLT-500 / 6 Parsevalin teoreeman avulla jaksollisen signaalin teho voidaan laskea sen Fourier-sarjan kertoimista: 0 T 0 1 P = v() t dt = cn T ò å (osoita) n=- Tämä tarkoittaa sitä, että signaalin teho on sen spektrikomponenttien tehojen summa. Huom! Yo. lauseke antaa ensimmäisen viitteen tehotiheys käsitteeseen (myöhemmin lisää). Tulkintaa: signaalin kokonaistehon lisäksi yo. lausekkeesta voidaan juontaa myös signaalin sisältämä teho jollakin äärellisellä taajuuskaistalla ko. kaistalla sijaitsevien spektrikomponenttien tehojen summa! Tavoite: Mielivaltaisen ei-jaksollisen signaalin taajuussisällön eli spektrin määrittäminen. Tarkastellaan signaaleita, joiden energia (vrt. teho) E = ò v() t dt - on äärellinen. Tämä tarkoittaa käytännössä myös sitä, että signaali on mm. keskittynyt suhteellisen lyhyelle aikajaksolle. Tällaiselle signaalille määritellään Fourier-muunnos: -jpft V( f) = F [ v( t) ] = ò v( t) e dt - missä V( f ) on signaalin vt () spektri. Ei-jaksollisilla signaaleilla spektri on jatkuva (eli?). Sillä on seuraavat ominaisuudet: 1) V( f ) on kompleksinen funktio. V( f ) on amplitudispektri ja arg V( f ) on vaihespektri. ) V(0) = ò v( t) dt - * 3) Jos v() t on reaalinen, niin V( - f) = V ( f) eli V( - f) = V( f) ja arg V( - f) = - arg V( f) (tulkinta?) Aikafunktio vt () saadaan tarvittaessa V( f ):stä käänteisellä Fouriermuunnoksella: -1 v( t) [ V( f) ] V( f) e j p = F = ò ft df (vrt. Fourier-sarja) -

20 Esimerkki: Suorakaidepulssi TLT-500 / 7 TLT-500 / 8 Erikoistapaus 1: Symmetristen signaaleiden muunnokset Suorakaidepulssille käytetään jatkossa merkintää P (/ t t). Se määritellään ì 1 t < t / P (/ t t) = ï í ï 0 t > t / ïî (piirrä) Tarkastellaan nyt signaalia vt () = AP ( t/ t). Sen Fourier-muunnos on t / -jpft At V( f) = ò Ae dt = sinpft = Atsincft pf t -t / Signaalin vt () Fourier-muunnos voidaan yleisesti esittää muodossa missä V( f) = V ( f) + jv ( f) e V () f = v()cos t wtdt e V () f =- v()sin t wtdt o ò - Tästä seuraa että: ò - o (miksi?) jos vt () on reaalinen niin Ve( f) = Re [ V() f ] ja Vo( f) = Im [ V( f) ] jos signaali on symmetrinen ( v( - t) = v( t) ), niin V() f = V () f e jos signaali on antisymmetrinen ( v( - t) = - v( t) ), niin Vf () = jv() f o Havaitaan, että suorakaidepulssin spektri vastaa aiemmassa esimerkissä nähdyn suorakaideaallon juovaspektrin verhokäyrää. Havaitaan myös että valtaosa spektristä on taajuusvälillä f < 1/ t. Tämä merkitsee sitä, että lyhyiden pulssien spektri on leveä pätee yleisesti, reciprocal spreading -ilmiö Käytännössä symmetrisyys riippuu signaalin sijainnista aika-akselin origon (kohdan t = 0 ) suhteen. Pienikin siirros aika-akselin suhteen yleensä tuhoaa symmetrian. Monissa tarkasteluissa tällainen signaali voidaan kuitenkin sijoittaa symmetrisesti aika-akselille (miksi?).

21 TLT-500 / 9 Erikoistapaus : Kausaalisten signaaleiden Fourier-muunnos Rayleigh'n energiateoreema (vrt. Parseval) TLT-500 / 30 Signaali on kausaalinen jos se toteuttaa ehdon vt ( ) = 0 t< 0 Kausaaliselle signaalille voidaan Fourier-muunnoksen määrittelevä integraali suorittaa ò 0. Tässä tapauksessa Fourier-muunnos on Laplace-muunnoksen erikoistapaus. Kausaalisuus on tarpeettoman rajoittava oletus tietoliikennesignaaleille, joten jatkossa sillä ei ole suurta merkitystä Miksi? No koska (ainakin äärellisen pituiset signaalit) voidaan aina saattaa kausaalisiksi viivästämällä Tämä ei toki tarkoita sitä että viive olisi merkityksetön käsite oikeastaan päinvastoin Tästäkin tarkemmin matkan varrella Kyseessä on Parsevalin teoreeman kanssa analoginen tulos (* tarkoittaa kompleksikonjugaattia): ò ò E = v() t dt = V( f) df - - Signaalin energia voidaan siis laskea integroimalla amplitudispektrin neliö jälleen spektrintiheys tulkinta myös kokonaisenergia vs. energia äärellisellä kaistalla Esimerkki: Suorakaidepulssin AP (/ t t) kokonaisenergia on E = A t (todenna no helppo, käytä aikafunktiota). Toisaalta esim. taajuuskaistalla f < 1/ t) oleva energia on 1/ t 1/ t ò ò V() f df = ( At)sincf tdf = 0.9A t -1/ t -1/ t Tämä on tässä esimerkissä siis noin 9% kokonaisenergiasta mitä tämä puolestaan kertoo?

22 Duaalisuus TLT-500 / 31 Fourier-muunnosten laskenta käytännössä TLT-500 / 3 Jos vt () ja V() f ovat Fourier-muunnospari niin duaalinen muunnos on [ Vt ()] = v( -f) F. Tulokseen päästään helposti Fourier-muunnoksen ja sen käänteismuunnoksen määrittelevistä integraaleista muuttujanvaihdoksilla. Entistäkin kauniimpi tulos saadaan, jos funktio vt () symmetrinen tällöin symm. F [ Vt ()] = v( - f) = vf ( ) Duaalisuus-ominaisuuden avulla voidaan kaikista tunnetuista muunnospareista johtaa uudet (duaaliset) muunnosparit. Esimerkki: Suorakaidepulssi Sinc-pulssi t vt () = AP( ) t V( f) = Atsincft zt () = AsincWt A f Zf ( ) = P( ) W W Aikatason sinc-pulssin spektri on siis kaistarajoitettu suorakaidefunktio. Suora integrointi on oikeastaan vain harvoin mahdollista (lähinnä oppikirjaesimerkit :^/). Muita tapoja: 1) Taulukot & muunnosteoreemat (duaalisuus, taajuus- ja aikasiirros, jne.) yleisimmät alkeisoperaatiot ja niiden kuvautuminen muunnostasoon ) Approksimointi. Jos zt () on approksimoiva funktio zt ():lle niin ò Zf ( )- Zf ( ) df= zt ( )-zt ( ) dt ò - - Tästä seuraa, että taajuustason approksimaatio saadan (tietyssä mielessä) mielivaltaisen tarkaksi parantamalla aikatason approksimaatiota. Todistus: kokeile Rayleigh n energiateoreemaa 3) Numeeriset menetelmät: Diskreetti Fourier muunnos (DFT) Voidaan toteuttaa esim. Matlab-ohjelmistolla (Matlabharkat!). Jatkuvan Fourier-muunnoksen ja DFT:n erot tunnettava.

23 DFT:stä TLT-500 / 33 DFT:stä (jatkoa) TLT-500 / 34 Taustaa: Samalla tavalla kuin jatkuvien signaalien/aaltomuotojen tapauksessa, myös diskreetille signaalille eli lukujonolle xk () voidaan määritellä Fourier muunnos ja spektri. N -pisteisen lukujonon xk () Fourier-muunnos määritellään: N -1 jpft -jpfkt S S Xe ( ) = å xke ( ) (vrt. jatkuvan signaalin muunnos) k= 0 Tässä T S viittaa kahden peräkkäisen luvun väliseen etäisyyteen aikaakselilla ja merkintä Xe ( p S j ft ) puolestaan pyrkii korostamaan (i) eroa jatkuvien signaalien muunnokseen ja toisaalta (ii) lukujonojen muunnoksen jaksollisuutta j ft Yo. funktio Xe ( p S ) toistaa itseään 1/ T s kokonaislukumonikerroilla (Miksi? No todenna ) Tästä seuraa mm. se (tästäkin paljon tarkemmin myöhempänä), että jos lukujono xk () on jatkuva-aikaisesta signaalista xt () otettu näytejono Nyt N -pisteisen lukujonon xk () varsinainen diskreetti Fourier-muunnos (DFT) määritellään: N -1 å -j pkn/ N Xn ( ) = DFT [ xk ( )] = xke ( ) ; n= 0,1,, N-1 k= 0 Verrattaessa aiempaan, havaitaan että DFT koostuu aiemmin määritellyn lukujonon Fourier muunnoksen näytteistä taajuuspisteissä nf 0 missä f 0 = 1/( NT s ) (DFT:n resoluutio), eli: jpfkt S Xn ( ) = Xe ( ) ; n= 0,1,, N-1 f= nf0 f = 1/( NT ) 0 S FFT (Fast Fourier transform) on puolestaan vain joukko laskennallisesti tehokkaita menetelmiä DFT:n laskemiseksi (ks. vaikka Matlab: help fft). xk ( ) = xkt ( ), k= 0,, N-1 s ja jos Xf ( ) ei sisällä taajuutta 1/T s suurempia taajuuskomponentteja (jolloin ei tapahdu laskostumista, myöhemmin tarkemmin), niin jp ft Xe ( S ) = TX( f) ; - 1/( T) f 1/( T) S S S (Tästä paljon juttua lisää näytteenoton yhteydessä )

24 Spektrin laskenta DFT:n avulla TLT-500 / 35 Muunnosteoreemat TLT-500 / 36 DFT:n avulla voidaan signaalista otetusta näytejonosta siis laskea sen spektri. Edellisen perusteella spektrin taajuusresoluutio on f0 = 1/( NT s ) ja se sisältää taajuusalueen - 1/( Ts) < f < 1/( Ts). Negatiiviset taajuudet saadaan mukaan koska Xn ˆ( ) voidaan ymmärtää jaksolliseksi siten että XN ( - n) = X( - n) = TX s (- nf0). Taajuusaluetta voidaan kasvattaa pienentämällä näytteenottoväliä. Taajuusresoluutiota voidaan parantaa kasvattamalla näytteenottoväliä ja/tai kasvattamalla näytteiden lukumäärää (esim. lisäämällä 0-näytteitä jonon loppuun). Jos xt () ¹ 0kun t < 0 tai t ³ NTs signaalia joudutaan katkaisemaan näytteenotossa. Tästä aiheutuu spektriin vääristymää, jota voidaan pienentää sopivia ikkunafunktioita käyttämällä. Muunnosteoreemat ovat tärkeitä Fourier-muunnoksia laskettaessa (esim. taulukoiden avulla). Niitä tarvitaan jatkossa usein johdettaessa spektrejä koskevia yleisiä tuloksia. 1) Superpositio / lineaarisuus av() t + av() t «av( f) + av( f) ) Aikaviive jpft vt- td «V fe ( ) ( ) d Viive vaikuttaa siis ainoastaan vaihespektriin (miksi?), amplitudispektri pysyy muuttumattomana. 3) Aikaskaalan muunnos f ( ) 1 v( at) «V a 0 a a ¹ Esimerkiksi signaalin kutistaminen aika-akselilla levittää spektriä. 4) Derivointi d vt () «j p fv ( f ) dt Derivointi korostaa suuria taajuuksia (miten niin?). 5) Integrointi t ò - 1 v( l) dl «V( f) jpf Integrointi korostaa matalia taajuuksia (miten niin?).

25 Muunnosteoreemat (jatkoa) TLT-500 / 37 Konvoluutio(sta) TLT-500 / 38 6) Taajuussiirto/modulaatio (!!) jpf t c vte () «V( f- f c ) (vrt. aikaviive teoreema) Kompleksinen modulointi, kertominen aikafunktiolla e aiheuttaa spektrin siirtymisen + fc :n verran. Tämä on lineaaristen modulaatiomenetelmien perusta. j p f t Siirroksessa spektrin negatiiviset taajuuskomponentit siirtyvät positiivisille taajuuksille, jolloin kaistanleveys kaksinkertaistuu: c Kahden funktion vt () ja wt () konvoluutiota merkitään vt ()* wt () ja se määritellään (konvoluutiointegraali): ò vt ()* wt () = v( l) wt ( -l) dl - Konvoluutiolla on ominaisuudet: v * w = w * v v *( w * z) = ( v * w) * z v *( w + z) = ( v * w) + ( v * z) Konvoluutio on keskeinen käsite jatkuva-aikaisia lineaarisia järjestelmiä analysoitaessa lineaarisen järjestelmän / suotimen input-output (vaste) käyttäytyminen yms. Kaistanleveys W Kaistanleveys W Tässä muodossa taajuussiirto tuottaa kompleksisen signaalin, vaikka alkuperäinen signaali olisi reaalinen. Reaalisille signaaleille voidaan vastaavasti johtaa tulos (käytä Euleria): jf -jf e e vt ()cos( pft c + f) «V( f- fc) + V( f + fc) 7) Konvoluutio (!!) vt ( )* wt ( ) «V( fw ) ( f) vtwt ( ) ( ) «V( f) * W( f)

26 Konvoluutio (jatkoa) TLT-500 / 39 Esimerkki.3-1 (muunnosteoreemat) TLT-500 / 40 Seuraava kuva havainnollistaa konvoluution laskennan vaiheita. Kullakin t :n arvolla integroidaan funktioiden v( l ) ja wt ( - l) tulo. Muunnettava funktio z () t = v( t -t )-v( t -t - T) a d d t < 0 : 0 < t < T : missä vt () = AP ( t/ t) Superpositiota ja aika-siirtoa käyttäen voidaan nyt kirjoittaa (kynä+paperi): -jpft - j pf( t + T) -jpft jpft -jpft d d 0 Z ( f) V( f) e V( f) e V( f) e e e a = - = é ë - = -jpft0 ( Atsinc ft)( j sin( pft) e ) ù û missä t t T /. 0 d Tapauksessa t 0 = 0 ja T = t on kyseessä kuvan (b)-kohta, jolloin t > T : æ t + t/ ö æt -t/ö zb( t) = AP A ç - P è t ø èç t ø ja spektriksi tulee Konvoluution tuloksena saatava funktio: ( )( ) Zb( f) = Atsinc ft j sin pft = ( j pft) Atsinc ft (b)-kohdassa aikafunktio on antisymmetrinen ja spektri on puhtaasti imaginäärinen.

27 Esimerkki.3- (muunnosteoreemat) TLT-500 / 41 Impulssit TLT-500 / 4 RF-pulssi (vrt. puhdas värähtelijä!), leveys t, taajuus f c : Impulssi eli Diracin delta-funktio d () t määritellään seuraavasti: t t ò 1 vt ()() d t dt ì v(0) t < 0 < t = ï í ïï 0 muulloin î 1 Tässä vt () on mikä tahansa tavallinen funktio, joka on jatkuva pisteessä t = 0. Impulssi on siis matemaattisesti määritelty vain silloin kun se esiintyy integraalin sisällä. Yo. kaavasta voidaan johtaa: e ò ò d() tdt= d() tdt= 1 - -e d( t) = 0 kun t ¹ 0 Ad( t - t d ) Ytimekkäästi: t ( ) zt () = AP coswct t At At Zf ( ) = sinc( f- fc) t + sinc( f+ fc) t Tulkintaa: Jaksollisella puhtaalla kosini-/sinisignaalilla olisi spektrissä vain impulssit taajuuksilla f c ja - fc. Katkaisusta johtuen spektri leviää näiden taajuuksien ympäristöön. Olennainen kaistanleveys on tässä likimain /t ( pääkeilan leveys). => tulkinnat? Kuvissa impulssi esitetään nuolena : Vaikka impulssia ei voi esiintyä käytännössä, se on monissa tarkasteluissa kaunis matemaattinen malli erittäin kapeille pulsseille. Impulssiin päädytään myös joissakin raja-arvotarkasteluissa. Jos esimerkiksi tarkastellaan suorakaidepulssia, jonka korkeus on 1/e ja leveys e, niin e:n lähestyessä 0:aa pulssi lähestyy impulssia. Impulssilla on ominaisuudet: ò - vt ()* d( t- t ) = vt ( -t ) vt ()( d t- t ) dt= vt ( ) d d d d => tulkinnat?

28 TLT-500 / 43 TLT-500 / 44 Impulssit taajuustasossa Impulssit aikatasossa Taajustason impulssit edustavat vakiosignaaleiden ja sinimuotoisten signaaleiden spektrejä. Voidaan kirjoittaa muunnosparit (osoita) A «Ad( f) jw t c Ae «Ad( f - f ) jf Ae Ae Acos( wct + f) «d( f - fc) + d( f + fc) c -jf Sinimuotoisen signaalin spektri koostuu siis kahdesta impulssista: Voidaan johtaa seuraavat muunnosparit (osoita huom! duaalisuus): Ad() t -j td Ad( t - t ) «Ae w d «A Aikatason impulssin spektrissä on kaikkia taajuuksia yhtä paljon tarkemmin: aikatason impulssin amplitudispektri on vakio Tämä on tietysti fysikaalinen mahdottomuus. On kuitenkin ilmiöitä, jossa tämä malli pätee erittäin suuriin taajuuksiin saakka. vt () V() f Huom! Myös Fourier-sarjalle vt = å ce n p j nf0t () n=- voidaan käyttää juovaspektrin sijasta impulsseista koostuvaa spektriä: 0 vt () t 0 V() f f å V( f) = c d( f -nf ) n=- n 0 Tällä tavalla jaksollisten signaaleiden juovaspektri voidaan yhdistää Fourier-muunnoksen avulla määriteltyyn spektrikäsitteeseen. Jatkossa Fourier-sarjoista ja juovaspektreistä ei enää puhuta erikseen. 0 t 0 f

29 Askelfunktio ja sign-funktio TLT-500 / 45 SIGNAALEIDEN SIIRTO JA SUODATUS TLT-500 / 46 Askelfunktio ut () määritellään: 1 t > 0 ut () = ìï í ï0 t < 0 ïî Sign-funktio ("etumerkkifunktio") määritellään sgnt 1 t > 0 = ìï í ï- 1 t < 0 ïî Seuraavassa tarkastellaan sähköisinä aaltomuotoina esitettyjen signaaleiden siirtoa paikasta toiseen (transmissio). Ideaalitapauksessa siirrossa ei tapahdu mitään vääristymistä. Käytännössä tehtävänä on siirtokanavassa syntyvien vääristymien hallitseminen ja korjaaminen mahdollisuuksien mukaan. Useissa tapauksissa siirtokanavaa mallinnetaan lineaarisena aikainvarianttina järjestelmänä. Toisaalta lineaarisia aikainvariantteja suodattimia käytetään yleisesti siirtojärjestelmien eri lohkoissa signaalinmuokkaukseen (lähettimen ja vastaanottimen eri signaalinkäsittelyasteet). Näille funktioille voidaan johtaa muunnosparit ut () sgnt 1 d( f ) «+ jpf 1 «jpf

30 Lineaarisen aikainvariantin järjestelmän impulssivaste TLT-500 / 47 Siirtofunktio TLT-500 / 48 xt () yt () = L[ xt ()] Konvoluutiointegraali, joka määrittelee lineaarisen järjestelmän vasteen aikatasossa on laskennallisesti hankala ja intuitiivisestikin vähän vaikea käsite. Taajuustasossa järjestelmän määrittelee siirtofunktio, joka on sekä laskennallisesti että intuitiivisesti helpompi käsitellä. Käytännössä tulo- ja lähtösignaalit voivat olla esim. virta- tai jännitesignaaleita, tässä tarkastellaan vastekäyttäytymistä yleisellä tasolla. Tarkastellaan järjestelmiä, jotka ovat lineaarisia eli toteuttavat ehdon å å å jos xt () = a x() t niin yt () = L[ a x()] t = a L[ x() t ] k k k k k k k k k sekä aikainvariantteja eli toteuttavat ehdon Lxt [ ( - t) ] = yt ( - t) d d Tällaisista järjestelmistä käytetään yleensä termiä suodatin. Analogiset suodattimet voivat koostua esim. keloista, kondensaattoreista ja vastuksista ja niitä voidaan kuvata mm. differentiaaliyhtälöillä. Tässä kurssissa ei käsitellä suodattimien suunnittelua tai niiden sisäistä rakennetta vaan ne käsitetään "mustina laatikkoina" joilla on tietyt ulkoisen toiminnan määrittelevät vastefunktiot. Impulssivaste ht () on järjestelmän vaste impulssisignaalille, ht () = L[ d() t ] Tästä seuraa, että järjestelmän vaste mielivaltaiselle tulosignaalille voidaan laskea konvoluutiointegraalilla (superpositiointegraali) Lineaarisen aikainvariantin järjestelmän siirtofunktio määritellään impulssivasteen Fourier-muunnoksena -jpft H( f) = F [ h( t) ] = ò h( t) e dt - Käytännössä edellytetään, että järjestelmät ovat stabiileja jolloin niiden impulssivaste vaimenee ajan kasvaessa. (Stabiilisuusehto voidaan ilmaista mm. Laplace-siirtofunktion napojen avulla). Yleisesti tiedonsiirtotekniikassa käytettyjen suodattimien impulssivaste voi olla joko reaaliarvoinen (perinteiset suodattimet) tai kompleksiarvoinen. Reaalisen impulssivasteen tapauksessa siirtofunktiolla (kuten minkä tahansa reaalisen funktion Fourier muunnoksella) on seuraavat symmetria-ominaisuudet: H( - f) = H ( f) H( - f) = H( f) arg H( - f) = -arg H( f) * (tulkinta?) Huom! Konvoluutioteoreeman perusteella lineaarista aikainvarianttia järjestelmää kuvaa taajuustasossa yhtälö Y() f = H() f X() f (aikataso: yt () = ht ()* xt ()) yt () = L[ xt ()] = ht ()* xt () = h( l)( xt-l) dl ò -

31 Suodattimen 'steady-state' -vaste TLT-500 / 49 Järjestelmän taajuusvaste TLT-500 / 50 Tarkastellaan suodattimen vastetta kompleksisille eksponentiaaleille jf jpf t x 0 xt ( ) Ae e t = - < < x Järjestelmän 'steady-state' -vaste (siis vaste vakiintuneessa tilassa kun transientit ovat vaimenneet) tällaiselle signaalille on yt () = ht ()* xt () =... = ò - jf j pf ( t-l) x 0 h( l) Ae e d é ù = h( l) e d ò Ae e êë- úû jfx jpf0t = H( f ) Ae e 0 x = H( f ) x( t) = Ae x 0 jfy jpf0t y e l -jpf0l jfx jpf0t l x H( f 0) kertoo siis järjestelmän vasteen sinisignaalille/kompleksiselle exponentiaalille, jonka taajuus on f 0. Funktiota H() f kutsutaan myös järjestelmän taajuusvasteeksi. Tällöin yleensä ajatellaan taajuuden funktiona piirrettyä käyräparia johon kuuluu amplitudivaste H() f vaihevaste arg H( f ) ( Sivumennen sanoen: impulssi- ja taajuusvasteiden lisäksi, vielä yksi usein käytetty vastefunktio on ns. askelvaste gt (). Tämä on määritelmän mukaan järjestelmän ulostulosignaali kun sisään laitetaan askelmainen heräte ut (), eli gt () = Lut [ ()] Yksinkertaisella päättelyllä on myös helppo näyttää (kokeile), että impulssivaste on askelvasteen derivaatta, siis ht () = gt ()/ t. ) Lähdössä on siis kompleksinen eksponentiaali, jonka taajuus on sama kuin tulosignaalin taajuus mutta amplitudi ja vaihekulma riippuvat suodattimen siirtofunktiosta: A = H( f ) A f = arg H( f ) + f y 0 x y 0 x Reaalisille sinimuotoisille signaaleille tämä asia voidaan esittää muodossa jos xt ( ) = A cos( pft+ f ) niin yt ( ) = Acos( pft+ f ) missä A y ja f y ovat kuten edellä. x 0 x y 0 y Edellä olevan perusteella ja superpositioperiaatteen nojalla LTI järjestelmän lähdössä näkyy vain sellaisia taajuuksia, joita on tulosignaalissa.

32 Esimerkki: 1. asteen RC-suodatin TLT-500 / 51 Esimerkki: 1. asteen RC-suodatin (jatkoa) TLT-500 / 5 Suodatinta kuvaa differentiaaliyhtälö: dy() t RC + y() t = x() t dt Askelvasteeksi saadaan: gt () = L[ ut ()] -t/ RC = (1 -e ) u( t) ja impulssivasteeksi dg() t ht () = dt 1 = e RC -t/ RC u() t Tällaisen suodattimen vaste suorakaidepulssille on ìï 0 t < 0 -t/ RC yt ( ) = ï ía(1 - e ) 0 < t< t -t/ RC -( t-t)/ RC ïa(1 - e ) e t > t ïî Suodattimen piirikaavio voidaan piirtää taajuustasossa käyttäen impedansseja ZR = R ja ZC = 1/ jwc. Tällöin suoraan jännitteen jakautumisesta seuraa, että siirtofunktioksi tulee 1 H() f = = R jwrc 1 jwc 1 jwc 1 1 = missä B = 1 + j prc f B Samaan tulokseen päästäisiin toki ottamalla Fourier-muunnos aiemmin esitetystä impulssivasteesta. Tai kääntäen: aiempi impulssivaste löytyy ottamalla käänteinen Fourier-muunnos ym. siirtofunktiosta. Amplitudi- ja vaihevasteet on hahmoteltu yllä. Huom! Tässä B on ns. 3dB kaistanleveys (seuraavassa tarkemmin).

33 Esimerkki: 1. asteen RC-suodatin (jatkoa) TLT-500 / 53 Esimerkki: 1. asteen RC-suodatin (jatkoa) TLT-500 / 54 Tämän suodattimen amplitudivaste ja vaihevaste ovat (todenna!): 1 f H( f) = arg H( f)=-arctan 1 + ( f / B ) B Kun tarkastellaan yhdessä tulosignaalin spektriä ja suodattimen taajuusvastetta, saadaan käsitys siitä miten suodatin vaikuttaa ko. signaaliin (ainakin karkeasti, toki vaihevastekin vaikuttaa tästä tarkemmin hieman myöhemmin!): Kyseessä on alipäästösuodatin, joka säilyttää matalat taajuudet mutta vaimentaa korkeita. Parametri B on eräs suodattimen kaistanleveyden mitta (3 db:n rajataajuus). Sille pätee: 1 HB ( ) (3dB pisteessä siis ) 1. asteen suodattimen amplitudivasteen usein käytetty approksimaatio on: dekadi Suodattimen vaihevaste käyttäytyy seuraavasti: ìï» 0 kun f << B arg Hf ( )= ï í -45 kun f= B ï ï» -90 kun f >> B ïî (a)-kohdassa suodattimen kaistanleveys B on huomattavasti suurempi kuin signaalin kaistanleveys W, ja mainittavaa vääristymistä ei tapahdu. (b)-kohdassa signaalin korkeimmat taajuudet vaimenevat jonkin verran. (c)- kohdassa suodattimen kaistanleveys on olennaisesti pienempi kuin signaalin kaistanleveys. Lähtösignaalin spektri lähestyy suodattimen taajuusvastetta ja lähtösignaali impulssivastetta.

34 Perusoperaatioiden siirtofunktioita TLT-500 / 55 Lohkokaavioanalyysi TLT-500 / 56 Aiempiin muunnosteoreemoihin perustuen, voidaan suoraan kirjoittaa: Tietoliikennejärjestelmät rakentuvat käytännössä useista yhteenkytketyistä lohkoista. Lineaarisen aikainvariantin järjestelmän tapauksessa kokonaissiirtofunktio voidaan muodostaa osajärjestelmien siirtofunktioista. Seuraavassa tärkeimpien lohkokytkentöjen (rinnankytkentä, kaskadikytkentä sekä takaisinkytketty silmukka) siirtofunktiot:

35 Esimerkki: Pitopiiri (zero-order hold, ZOH) TLT-500 / 57 SIGNAALIN VÄÄRISTYMINEN SIIRROSSA TLT-500 / 58 Seuraavassa käsiteltävällä pitopiirillä on useita sovellutuksia tietoliikennetekniikassa. Pitopiirille voidaan piirtää seuraavat aika- ja taajuustason lohkokaaviot: Vääristämätön siirtokanava Vääristymättömässä siirrossa signaalin muoto säilyy mutta siinä voi esiintyä vaimennusta ja viivettä. Vastaanotettu signaali on tällöin muotoa yt () = Kxt ( - t d ) missä K (vaimennus/vahvistus) ja t d (viive) ovat vakioita ja xt () on lähetetty signaali. Tämän signaalin spektri on -jwt d Y() f = F [ y() t ] = Ke X() f joten siirtojärjestelmän siirtofunktio on ( Y() f = H() f X() f =>) Järjestelmän siirtofunktioksi tulee: -j H() f = [ H1() f + H() f ] H3() f = é ë1-e jpft -jpft e - e jpft sin pft = e = e jpf pf j ft - = Tsinc( ft) e p pft - -jpft Järjestelmän amplitudivaste on siis sinc-funktio! Impulssivasteeksi voidaan laskea (hahmottele/piirrä!): 1 ù û jpf j td H() f = Ke - w Amplitudi- ja vaihevasteet ovat H( f) = K arg H( f) = -pt f m180 Vaihevasteen jälkimmäinen termi ottaa huomioon mahdollisen negatiivisen K :n arvon. Vääristämättömän siirtojärjestelmän amplitudivaste on siis vakio ja vaihevaste on taajuuden lineaarinen funktio. Luonnollisesti nämä vaatimukset on tarpeen täyttää vain niillä taajuuskaistoilla, joilla signaalilla on merkittäviä taajuuskomponentteja. d t ò ht () = [ dl ( )-dl ( - T) ] dl= ut ()-ut ( -T) - Impulssivaste on siis suorakaidepulssi, jonka Fourier-muunnoksen kautta päästäisiin aiemmin laskettuun siirtofunktioon.

36 Esimerkki: Puhesignaalin taajuuskaista TLT-500 / 59 Vääristymät TLT-500 / 60 Tyypillisen puhesignaalin energiatiheysspektri: Signaalin siirrossa voi syntyä seuraavantyyppisiä vääristymiä: 1) Ampitudivääristymä H() f ¹ K ) Vaihevääristymä arg H( f) ¹-pt f m180 d 3) Epälineaarinen vääristymä Johtuu järjestelmän epälineaarisuuksista. Esimerkiksi puhelintekniikassa merkittäväksi taajuuskaistaksi oletetaan yleisesti Hz. Tämän kaistan ulkopuolisilla taajuuksilla ei ole kovin suurta merkitystä puhesignaalin laatuun ja hyvin vähän merkitystä puheen ymmärrettävyyteen. Näistä kaksi ensimmäistä ovat lineaarisia vääristymiä ja niitä voidaan analysoida järjestelmän siirtofunktion avulla. Epälineaarisuuksia sisältävällä järjestelmällä ei ole siirtofunktiota, joten tällaisten järjestelmien analysointi on tehtävä muilla menetelmillä. Tällaisia ovat mm. särö-analyysit perustuen ulostulosignaalin spektrianalyysiin ja sen suhteutumiseen sisääntulosignaalin spektriin (kohta tarkemmin).

37 Esimerkki TLT-500 / 61 Amplitudivääristymä TLT-500 / 6 Järjestelmän taajuusvaste: Amplitudivääristymässä jotkin signaalin taajuuskaistat vaimenevat tai korostuvat. Tyypillisiä ovat mm. korkeiden tai matalien taajuuksien vaimeneminen/korostuminen. Aikatasossa esim. korkeiden taajuksien vaimeneminen havaitaan signaalin nopeiden muutoskohtien 'pyöristymisenä'. Seuraavassa esimerkkejä amplitudivääristymän vaikutuksesta suorakaideaaltoon. Tässä on mukana perustaajuus ja sen kaksi harmoonista: Tämä järjestelmä on vääristämätön vain kaistalla 0 f 30 khz. Mitä vääristymiä muilla kaistoilla syntyy? Matalat taajuudet Korkeat taajuudet vaimentuneet: vaimentuneet:

38 Vaihevääristymä TLT-500 / 63 Ekvalisointi eli kanavakorjaus TLT-500 / 64 Vaihevääristymä aiheuttaa esim. jaksollisen signaalin harmoonisille komponenteille erisuuria viiveitä ja näin rikkoo aaltomuodon. Vääristymättömällä järjestelmällä vaiheviive on vakio. arg H( f) td ( f) =- pf Idea: Jos lineaarista vääristymää sisältävän kanavan siirtofunktio tunnetaan, se voidaan periaatteessa kompensoida käänteisellä siirtofunktiolla. Jos kanavan siirtofunktio on HC ( f ) ja ekvalisaattorin (eli korjaimen) siirtofunktio on H ( f ) niin koko siirtojärjestelmän siirtofunktio on eq H( f) = H ( f) H ( f) C eq On syytä korostaa, että tämä on eri asia kuin vakiovaihesiirto joka yleisessä tapauksessa aiheuttaa signaalin vääristymistä. Edellisen kalvon esimerkkitapauksessa 90 vakiovaihesiirto johtaa seuraavaan tulokseen: Kun pyritään ideaaliseen kanavaan kokonaisuutena, ekvalisaattorin j td siirtofunktio valitaan s.e. H( f) = H ( f) H ( f) = Ke - w eli: C eq H eq ( f) = -jwt d Ke H ( f) C Rajoituksena on tietysti se, että niillä taajuuksilla, joilla kanavan vaimennus on suuri, ekvalisointi ei toimi. Jos signaali on näillä taajuuksilla hukkunut kohinaan, sitä ei voida enää millään korjata. Seuraavassa esimerkki puhelintekniikassa aiemmin käytetyn ekvalisointitekniikan vaikutuksesta siirtojärjestelmän vasteeseen: Tämä näyttää enemmän kolmioaallolta kuin suorakaideaallolta. On myös syytä huomata, että vaihevääristymän vaikutuksesta signaalin vaihteluväli (huippuarvot) voi kasvaa olennaisesti.

39 Transversaalisuodatin ekvalisaattorina TLT-500 / 65 Monitie-eteneminen TLT-500 / 66 Transversaalisuodatin rakentuu 'tapitetusta' viivelinjasta. Siinä muodostetaan viivästettyjen signaalikopioiden painotettu keskiarvo: Radiojärjestelmissä tapahtuu usein monitie-etenemistä, jossa kaksi tai useampia eri reitin kulkeneita ja erilailla vaimentuneita signaaleita summautuu vastaanottimen tulossa. Samantapainen ilmiö voi syntyä kaapelijärjestelmissä impedanssien huonosta sovituksesta johtuen. Jos viiveet ovat pitkiä, ilmiö havaitaan kaikuna. Kahden osasignaalin tapauksessa vastaanotettu signaali on y() t = K x( t - t ) + K x( t - t ) 1 1 Lähtösignaali on tässä yksinkertaisessa tapauksessa: yt ()= c xt () + cxt ( -D) + cxt ( - D ) joten ekvalisaattorin siirtofunktio on -jpfd -jpfd H ( f)=c c e ce eq Yleisessä tapauksessa transversaalisuodattimen siirtofunktio voidaan kirjoittaa muodossa (M+1 tappikerrointa) æ M ö Heq()= f cme e ç å çè ø m=-m -jpfmd -jpfmd Useimmissa tapauksissa kertoimien arvoja säädetään jatkuvasti, mm. siksi että mobiilijärjestelmissä kanavan vaste muuttuu ajan mukana (käytetyt säätöalgoritmit ovat oma laaja ongelmakenttänsä). Tällöin puhutaan adaptiivisesta ekvalisoinnista. Käytännössä transversaalisuodattimet toteutetaan yleensä digitaalisina suodattimina, mutta myös analogisia toteutusteknologioita on olemassa (CCD, SAW). Kanavan siirtofunktio on tällöin C -j 1 w t -j t j t j t w - 1 w - w H f Ke Ke Ke ke () = + = (1 + ) missä t > t 1, k = K/ K1 ja t 0 = t - t 1. Monitie-eteneminen aiheuttaa signaaliin siis tietynlaisen suodattumis-efektin, mm. osa taajuuskomponenteista vaimenee muita enemmän. Tästä ilmiöstä käytetään termiä taajuus-selektiivinen häipyminen. Toinen merkittävä seikka mobiilijärjestelmissä on radiokanavan ominaisuuksien aikariippuvuus. Näitä on luonnehdittu seuraavalla sivulla hieman tarkemminkin. Yo. esimerkissä tarvittava ekvalisaattorin siirtofunktio on (miksi?) 1 Heq( f) 1 ke k e 1 + ke -jwt -jwt 0 0 = -jwt = Käytännössä sarja voidaan katkaista sopivaan pituuteen joka riippuu kertoimesta k. Ekvalisaattori voidaan siten toteuttaa transversaalisuodattimena. Toinen toteutusvaihtoehto on rekursiivinen diskreettiaikainen suodatin ensimmäisen muodon mukaisesti.

40 Monitie-eteneminen (jatkoa) TLT-500 / 67 Epälineaarinen vääristymä TLT-500 / 68 Edellisen perusteella monitiekanava on lineaarinen suodatin, jolla on tietty taajuusvaste. Kanavamallista ja käytetystä signaalin kaistanleveydestä riippuen järjestelmä voi olla Ei-taajuusselektiivinen (flat): taajuusvaste ei olennaisesti vaihtele käytetyllä kaistalla. Taajuus-selektiivinen (frequency-selective): taajuusvaste vaihtelee merkittävästi käytetyllä taajuuskaistalla. Tässä tapauksessa kanavan vaikutuksia voidaan/tulee kompensoida kanavakorjainta (equalizer, ekvalisaattori) käyttäen. Fysikaalisesti taajuusselektiivisyys määräytyy etenemisympäristön viivehajeesta suhteessa käytetyn aaltomuodon kaistanleveyteen Taajuusselektiivisyyden ohella toinen olennainen aspekti on kanavan mahdollinen muuttuminen ajan mukana (aika-selektiivisyys) mobiilijärjestelmissä. Tämä tarkoittaa, että monitiekomponenttien voimakkuudet ja/tai viiveet muuttuvat ajan mukana. Tämän seurauksena: Ei-taajuusselektiivisessä tapauksessa kanavan vaimennus vaihtelee ajan mukana (välillä signaali kuuluu hyvin, välillä häipyy kuulumattomiin; ilmiö on hyvin havaittavissa mm. kaukaisia AMradiolähetyksiä kuunneltaessa). Radiovastaanottimessa mm. AGC (automatic gain control, automaattinen voimakkuuden säätö, AVS) pyrkii kompensoimaan tätä. Taajuuselektiivisessä tapauksessa kanavan taajuusvaste muuttuu ajan mukana, eli eri taajuudet signaalin kaistalla häipyvät eri tavoin (taajuusselektiivinen häipyminen). Kanavakorjaimen on pystyttävä adaptoitumaan riittävän nopeasti, jotta se pystyy seuraaman kanavan vaihteluita. Fysikaalisesti suhteelliseen aika-selektiivisyyteen vaikuttaa ns. Doppler-hajeen suhde käytetyn aaltomuodon kaistanleveyteen. Doppler-haje puolestaan määräytyy oletetusta mobiliteetista ja käytetystä kantoaaltotaajuudesta. Tässä tarkastellaan epälineaarisia funktioita yt () = T[ xt ()] jotka ovat muistittomia, siis vaste hetkellä t ei riipu aiemmista (eikä tulevista) signaalin arvoista. Epälineaarinen funktio voidaan esittää käyränä. Tässä tyypillinen tapaus (vrt. lineaarinen tapaus): Sille voidaan käyttää mm. polynomiapproksimaatiota yt () = axt () + ax () t + ax () t + Tästä päästään lähtösignaalin spektriin: Y( f) = a X( f) + a X * X( f) + a X * X * X( f) Jos tulosignaalin kaistanleveys on W niin minkä hyvänsä lineaarisen järjestelmän lähtösignaalin kaistanleveys on korkeintaan W. Epälineaarisessa järjestelmässä voi syntyä uusia taajuuksia. Yo. kaavassa termin X * X() f kaistanleveys on W ja yleisesti n:nnen termin kaistanleveys nw. Tulosignaalin taajuuskaistan ulkopuolella olevat epälineaarisuudesta johtuvat taajuuskomponentit voidaan tarvittaessa suodattaa pois. Epälineaarisuus muuttaa kuitenkin myös tulosignaalissa olevien taajuuksien amplitudisuhteita. Tällaisen vääristymän korjaaminen ei enää onnistu, ainakaan lineaarisilla suodattimilla.

41 Särö TLT-500 / 69 Esimerkki: Harmooninen särö TLT-500 / 70 Jos tulosignaali on puhdas sinimuotoinen signaali, epälineaarisuus tuottaa sen harmoonisia monikertoja. Edellisen kalvon kaavojen perusteella voidaan kirjoittaa (todenna): ( a 3 a ) ( a ) w ( a a ) yt () = a1 + + cos 0t+ + + cosw0t Tarkastellaan esimerkkinä alla olevaa järjestelmää: x(t) = cos( 0 t) y(t) = x(t) + x (t) + x 3 (t) y(t) Tällöin puhutaan harmoonisesta säröstä. Kvantitatiivisesti harmooninen särö määritellään harmoonisten komponenttien amplitudin ja perusaallon amplitudin suhteena. Jos tulosignaali koostuu kahdesta siniaallosta joiden taajuudet ovat f 1 ja f, niin lähdössä näkyy kummankin taajuuden harmoonisten lisäksi näiden taajuuksien lineaarisia kombinaatioita f - f, f + f, f - f, f - f,...jne Näistä särökomponenteista käytetään nimitystä intermodulaatiosärö. Yleisemmässä tapauksessa (heräte x1() t + x() t ) ulostulosignaalin Fourier-muunnoksessa näkyy termejä X1 * X(), f X1 * X1 * X(), f jne, joiden kaistanleveys on konvoluutiossa esiintyvien spektrien kaistanleveyksien summa (todenna). Ulostulosignaali on siis yt ( ) = cos( w t) + cos ( w t) + cos ( w t) 1 1 = cos( w0t) + ( 1 + cos( w0t) ) + ( cos(3 w0t) + 3 cos( w0t) ) = + ( 1+ 3 ) cos( w0t) + cos( w0t) + cos(3 w0t) = + cos( w0t) + cos( w0t) + cos(3 w0t) 4 4 Havaitaan että ulostulosignaalissa on sisäänmenosignaalin taajuuden 0 lisäksi myös tämän harmonisia (tässä vain. ja 3. harmoninen läsnä, riippuu yleisesti epälineaarisuuden asteluvusta) juuri tätä tarkoitetaan harmonisella säröllä Havainnollistettu graafisesti seuraavalla sivulla (aika- ja taajuustaso).

42 Esimerkki: Harmooninen särö (jatkoa) TLT-500 / 71 Kompandointi TLT-500 / Input Signal in Time Domain Tietoliikennejärjestelmiin sisältyy toisinaan tarkoituksella epälineaarisia lohkoja. Kompressoinnin tavoitteena on pienentää signaalin (positiivisia ja negatiivisia) huippuarvoja esim. seuraavan kuvan tyyppistä epälineaarista funktiota käyttäen: Output Signal in Time Domain Time in Samples Input Signal in Frequency Domain Tällöin siirtokanavassa esiintyvien epälineaarisuuksien vaikutus pienenee (esim. tehovahvistimet). Vastaanottopäässä toteutetaan käänteinen epälineaarinen funktio, ekspandointi, jolloin signaali ei periaatteessa vääristy kokonaisjärjestelmässä Output Signal in Frequency Domain Normalized Frequency

43 Tehovahvistus, desibeli TLT-500 / 73 Siirtohäviöt TLT-500 / 74 Edellä esiteltyjen vääristymien lisäksi siirtojärjestelmissä tapahtuu *aina* signaalin voimakkuuden heikkenemistä, vaimenemista. Vaimennus ei sinänsä ole ongelma, se voidaan korjata vahvistamalla vastaanotettua signaalia. Ongelmana on se, että samalla vahvistetaan siirtokanavassa syntynyttä kohinaa (eli signaali ja kohina vahvistuvat samalla tavalla). Jos vaimennusta on liikaa, signaali hukkuu kohinaan. Tehovahvistus g määritellään lähtösignaalin ja tulosignaalin tehosuhteena: P g = P out in Tehovahvistuksen käänteisarvo on vaimennus L: P L = g = P 1 in out Siirtojohdoissa vaimennus riippuu eksponentiaalisesti etäisyydestä : a /10 L = 10 L = a db Seuraavasssa joitakin tyypillisiä arvoja: Yleisesti käytetään desibeliyksiköitä: g = 10 log g = 10 log db P P out in Seuraavassa joitakin esimerkkiarvoja: g => g db 1000 => 30 1 => => => => -0 Vaimennuksen kompensoimiseksi siirtojohdoissa käytetään toistimia (repeater) tietyin, kaapelityypistä riippuvin välimatkoin: Myös amplitudivasteille käytetään yleisesti desibeliasteikkoa, tai oikeastaan tämähän on tehovaste (miksi? enemmän myöhemmin): db H( f) = 10log H( f) = 0log H( f) Desibeli on siis tehosuhteen mitta. Seuraavaa tehon mittaa käytetään yleisesti: P P dbm = 10 log10 => 0 dbm tarkoittaa 1mW tehoa 1 mw Tällaisen järjestelmän lähtöteho voidaan laskea kaavoilla: gg P g g g g P P 4 out = ( 1 3 4) in = in LL 1 3 P = ( g + g )-( L + L ) + P out, db in, db

44 Signaalin siirto radioteitse TLT-500 / 75 Esimerkki: Satelliittijärjestelmän linkkibudjetti TLT-500 / 76 Tarkastellaan tilannetta, jossa lähettimen ja vastaanottimen välillä on suora näköyhteys (line-of-sight, LOS, propagation): Satelliitti on km:n päässä kummastakin maa-asemasta. Taajuudeksi oletetaan 6 GHz. Uplink- ja downlink-vaimennuksiksi saadaan aiemman kaavan mukaan: L up = L = log log 4 10 = 00dB down Antennivahvistukset eri väleille nähdään kuvassa. Esim. g Ru on uplinkvastaanottimen (satelliitissa) antennivahvistus. Satelliitin toistimessa on vahvistusta 80 db ja maa-aseman lähetysteho on 100 W=50 dbm. Tällaisen yhteyden vaimennus (ns. vapaan tilan vaimennus) on 4p 4pf ( ) ( ) L = = l c L = log f + 0 log db 10 GHz 10 km missä l on aallonpituus, f on taajuus, c on valon nopeus ja on lähettimen ja vastaanottimen välinen etäisyys. Vastaanotettu teho riippuu lisäksi antennien ominaisuuksista: P out gtg = L R P in missä g T ja g R ovat lähettimen ja vastaanottimen antennivahvistukset. Antennivahvistus riippuu antennin efektiivisestä pinta-alasta (ns. sieppauspinta-ala) A e : Vastaanottoteho voidaan laskea seuraavasti: P g L g g g L g in Tu u Ru amp Td d Rd out + 50 dbm + 70 db - 00 db + 30 db + 80 db + 30 db - 00 db + 50 db P - 90 dbm -1 = 10 W g 4pAe 4pAef = = l c Esimerkiksi lautasantennille A e on lähes sama kuin antennin fyysinen pinta-ala. Suurilla lautasantenneilla päästään luokkaa 60dB oleviin antennivahvistuksiin.

45 SUODATUS TLT-500 / 77 Termejä TLT-500 / 78 Suodatus on keskeisimpiä tietoliikennejärjestelmien osatoimintoja. Käytännössä lähes kaikissa tietoliikennejärjestelmissä käytetään suodatusta. Sitä käytetään mm. erottamaan informaatiota kantava signaali häiriöistä, kohinasta ja muista samassa kanavassa (mutta viereisillä taajuuksilla) esiintyvistä tietoliikennesignaleista. Ideaalinen suodatin Ideaalisella suodattimella on vääristämättömän siirtokanavan ominaisuudet tietyllä taajuuskaistalla (tai tietyillä kaistoilla) sekä nollavaste kaikilla muilla taajuuksilla. Siirtofunktio on siis muotoa ì -jwt Ke d f f f u H( f) ï = í ïï 0 muulloin î Suodatintyyppejä (luokittelu amplitudivasteen perusteella, hahmottele): alipäästösuodatin (LPF, lowpass filter) f = 0, B = fu ylipäästösuodatin (HPF, highpass filter) f > 0, fu = kaistanpäästösuodatin (BPF, bandpass filter) f > 0, fu < kaistanestosuodatin (bandstop filter, notch filter) ìï 0 f f fu H() f = ï í ïï j td Ke - w muulloin î Mitään suodatintyyppiä ei käytännössä voida realisoida (toteuttaa) ideaalisena. Tämä nähdään esimerkiksi siitä, että ideaalisen suodattimen impulssivaste olisi sinc-funktio, joka jatkuisi kumpaankin suuntaan äärettömän pitkälle. Ideaalisen suodattimen kaistanleveys on B = fu - f. Käytännön suodattimilta edellytetään kausaalisuutta eli sitä että ht ( ) = 0 kun t< 0 (miksi?)

46 Realisoitavissa olevat suodattimet TLT-500 / 79 Realisoitavissa olevat suodattimet (jatkoa) TLT-500 / 80 Olennaisimmat erot käytännön suodattimien ja ideaalisten suodattimien välillä ovat (vastekäyttäytymisen näkökulmasta) päästö- ja estokaistojen lisäksi löytyy ns. transitiokaista estokaistalla vaimennus on äärellinen (eli taajuusvaste ei ole identtisesti nolla) päästökaistalla vaste ei ole tarkalleen vääristämättömän siirtokanavan vasteen mukainen (syntyy lineaarista vääristymää) Ym. ilmiöitä on havainnollistettu ao. kuvassa alipäästösuodattimelle tässä vain amplitudivaste, toki vaihevasteenkin käyttäytyminenkin olennaista (päästökaistalla, vääristymänäkökulma) vastaavasti myös muille suodatintyypeille (ylipäästö, kaistanpäästö, jne) Tiedonsiirtojärjestelmien eri suodatusasteita lähettimissä ja vastaanottimissa toteutetaan sekä analogisesti että digitaalisesti lähinnä taajuusalue ratkaisee; A/D ja D/A muuntien taajuusalueiden ja suorituskyvyn kasvaessa digitaalisten suodattimien merkitys kasvaa, tällä hetkellä karkeasti max MHz taajuusalue Digitaaliset suodattimet FIR ja IIR suodattimet eri toteutusalustoja (FPGA piirit, signaaliprosessorit, jne) monen näytetaajuuden tekniikat (multirate DSP) tärkeitä Analogiset suodattimet merkittävässä roolissa etenkin RF asteissa (100 MHz 5 GHz) monia eri toteutustekniikoita: passiiviset RLC piirit, aktiivisuotimet (operaatiovahv. kytkennät), SAW suodattimet, integroidut RF-ASIC suodattimet, jne Yleisesti voidaan sanoa, että mitä parempaa approximaatiota ideaaliselle suodattimelle halutaan, sen monimutkaisempi toteutus (piiripinta-ala, laskentaoperaatioiden määrä, tms). Amplitudivasteen ja/tai vaihevasteen suhteellinen merkitys (tärkeys) riippuu pitkälti sovelluksesta, esim. korva ei kuule erityisen hyvin pientä vaihevääristymää jne. Radio-arkkitehtuuri -näkökulma keskitaajuudeltaan säädettävän ja erittäin selektiivisen kaistanpäästösuodattimen toteutus yleisesti erit. hankalaa => radiovastaanotinten selektiivisyys ja säädettävyys arkkitehtuurisin ratkaisuin; tästä myöhemmin paljon lisää

47 Kaistanleveydestä TLT-500 / 81 Butterworth-suodattimet TLT-500 / 8 Kaistanleveyden käsite on jossain määrin moniselitteinen ja ainakin ylimääritelty. Yksiselitteinen se on oikeastaan vain ideaaliselle tiiliskivi suodattimelle eli mitä? Monesti kirjallisuudessa (ja myös käytännössä) kaistanleveydellä tarkoitetaan 3 db:n kaistanleveyttä tämä määritellään sellaisena taajuuspisteenä jossa amplitudivaste on laskenut 1/» kertaiseksi päästökaistan maksimiarvosta (alipäästösuodattimen tapauksessa) toisin sanoen: jos ko. suodattimeen syötetään tämän taajuinen sini-/kosiniaalto, laskee sen amplitudi suodattimessa kertaiseksi ja siten teho 0.5 kertaiseksi (tästä siis käsite 3dB) Suodatinsuunnittelu ja optimointinäkokulmasta kaistanleveys voitaisiin toisaalta määritellä esim. taajuusalueena jolla ko. optimointikriteerit täytetään. Tämä on ehkä yksinkertaisin ja helpoimmin analysoitava suodatinluokka. Butterworth suodattimen amplitudivaste on H() f = ( f B) n Detalji: Butterworth suotimen amplitudivaste on 'maksimaalisen laaka', sillä sen n ensimmäistä derivaattaa ovat nollia taajuudella f = 0. 3.asteen alipäästösuodatin missä n on suodattimen asteluku ja B on 3dB kaistanleveys. Toisaalta esim. kohinalaskuissa jäljempänä käytetään paljon ns. ekvivalenttia kohinakaistanleveyttä tässä vaiheessa pitkälti vain esimerkki toisenlaisesta kaistanleveys käsitteestä, tarkemmin myöhemmin Amplitudivasteita eri asteluvuilla

48 Muita suodatintyyppejä (good-to-know) TLT-500 / 83 Suodattimien toteutusteknologiat TLT-500 / 84 Tasa-aaltoisuus tarkoittaa sitä, että amplitudivaste vaihtelee päästö- tai estokaistalla tiettyjen maksimi- ja minimiarvojen välillä. Amplitudivasteen suhteen tehokkain suodatinluokka ovat elliptiset suodattimet (Cauer-suodattimet), jotka ovat tasa-aaltoisia sekä päästöettä estokaistoilla. Näillä suodattimilla on paras mahdollinen selektiivisyys siinä mielessä, että jos asteluku ja esim. amplitudivasteen vaihtelurajat on kiinnitetty päästö- ja estokaistoilla, niin transitiokaista(t) saadaan mahdollisimman kapeiksi. Elliptisen suodattimen amplitudivaste: Analogisten suodattimien toteutustekniikoita ovat mm. passiiviset RLC-piirit aktiivisuodattimet SAW (surface acoustic wave) kidesuodattimet SC (switched capacitor) mikroaaltosuodattimille on omat toteutustekniikkansa Myös digitaalisten suodattimien käyttö on voimakkaasti lisääntynyt pienehköillä ja keskisuurilla taajuuksilla, muutamasta kymmenestä MHz:stä MHz saakka. (Muita suodatintyypejä ovat mm. Chebyshev-suodattimet, jotka ovat tasa-aaltoisia päästökaistalla ja laakoja estokaistalla tai päinvastoin.) Edellä mainitut suodatintyypit perustuvat ideaalisen amplitudivasteen approksimointiin. Pyrittäessä selektiiviseen suodattimeen, vaihevaste tulee huonoksi. Vaihevasteen suhteen em. suodattimia parempia ovat Besselsuodattimet. Kriittisissä tapauksissa suodatin pyritään optimoimaan juuri kyseiseen sovellutukseen sekä amplitudi- että vaihevasteen suhteen.

49 TLT-500 / 85 Esimerkki: Selektiivisen kidesuodattimen amplitudivaste Askelvaste ja nousuaika TLT-500 / 86 Suorakaidepulssin spektrissä on merkittäviä korkeataajuisia komponentteja. Sama pätee askeleeseen ja kaikkiin muihin signaaleihin, joissa on nopeita muutoksia. Suodatuksessa tällaisissa signaalin kohdissa tapahtuu pehmenemistä tai pyöristymistä, jota on tutkittava aikatasossa. Esimerkiksi 1. asteen RC-suodattimen askelvaste on -pbt gt () = (1- e ) ut () Toisena esimerkkinä on ideaalinen alipäästösuodatin, jolle ht () = BsincBt Näin selektiivisiin amplitudivasteisiin päästään vain kiinteillä suodattimilla käyttäen esim. kide-suodattimia tai SAW-suodattimia. Passiivisia RLC-suodattimia, aktiivisuodattimia tai SC-suodattimia olisi erittäin vaikea toteuttaa näin jyrkkinä. Tässä suhteessa ratkaisevaa on suhteellinen transitiokaistan leveys. t 0 Bt ò ò ò gt ( ) = B sinc Bldl = sinc mdm + sinc mdm = + Si( pbt) p q/ p tässä m = Bl ja Si() q = pò sincmdm 0 Tämän integraalifunktion arvoja löytyy taulukoista. Seuraavassa funktion kuvaaja: 0 Varsinkin (esim. keskitaajuudeltaan) säädettävien suodattimien toteuttaminen jyrkkinä on hankalaa.

50 Askelvaste ja nousuaika (jatkoa) TLT-500 / 87 Pulssivaste TLT-500 / 88 Seuraavassa 1. asteen suodattimen sekä ideaalisen alipäästösuodattimen askelvasteet: Suorakaidepulssin voidaan ajatella koostuvan kahdesta askeleesta: xt () = ut ()-ut ( - t) yt () = gt ()- gt ( - t) Ideaalisen alipäästösuodattimen pulssivasteeksi tulee 1 yt () = { Si( pbt) -Si( pbt ( - t) } p 1. asteen suodatin ei vaimenna korkeita taajuuksia tehokkaasti, joten sen askelvaste nousee nopeasti. Esim. korkeampiasteisen Butterworthsuodattimen askelvaste on paljon lähempänä ideaalisen alipäästösuodattimen askelvastetta. Askelvasteen nousunopeuden mittana käytetään nousuaikaa. Nousuaika mitataan yleensä aikaväliltä jossa lähtösignaali nousee 10%:sta 90%:iin loppuarvosta. 1. asteen alipäästösuodattimen nousuajaksi voidaan laskea 0.35/ B ja ideaalisen alipäästösuodattimen 0.44 / B. r r Kun B pulssivaste muistuttaa kohtalaisessa määrin suorakaidepulssia. Pienemmillä arvoilla pulssi pyöristyy suuresti. Arvoa t r» 1 B voidaan yleisesti pitää kohtalaisen hyvänä arviona alipäästösuodattimen nousuajalle.

51 Pulssisignaalin vaatima kaistanleveys TLT-500 / 89 KORRELAATIO- JA SPEKTRINTIHEYSFUNKTIOT TLT-500 / 90 Seuraavassa joitakin peukalosääntöjä pulssiin vaatimasta kaistanleveydestä: Jos pulssin muoto halutaan säilyttä kohtalaisen hyvin, vaaditaan suurta kaistanleveyttä: B >> 1 t min Jos pulssi halutaan vain ilmaista (onko lähetetty vai ei) tai mitata sen amplitudi, riittää että 1 B ³ t min Tämä pätee myös silloin kun halutaan erottaa toisistaan kaksi pulssia joiden etäisyys on t min. Seuraavassa tarkastellaan signaaleita aikakeskiarvojen ja signaalin tehon/energian avulla. Tätä kautta päädytään myös jo aiemmin sivuttuun spektrintiheys -käsitteeseen. Kaikenkaikkiaan tavoitteena on luoda (tavallaan) vaihtoehtoinen menetelmä tai lähestymistapa spektrianalyysiin perinteiseen Fourier-muunnokseen nähden yleisempi siinä mielessä että itse signaalin ei välttämättä tarvitse olla Fouriermuuntuva käsitteellisesti siten sovellettavissa jatkossa myös esim. satunnaissignaaleihin (tarkemmin myöhemmin) Aikakeskiarvo (kertaus) Mielivaltaisen aikafunktion aikakeskiarvo määritellään: T / 1 zt () = lim ztdt () T ò T - T / Sillä on ominaisuudet * = z () t z() t zt ( - t) = zt ( ) mille tahansa t d a z () t + a z () t = a z () t + a z () t Tehosignaalin keskimääräinen teho on * d Edelläolevan edellytyksenä on se, että suodattimen vaihevaste on kohtalaisen lähellä ideaalisen suodattimen vaihevastetta. Jos näin ei ole, pulssi vääristyy pahemmin. * ³ Pv= v( t) = v( t) v ( t) 0

52 Tehosignaalit ja skalaaritulo (taustaa) TLT-500 / 91 Tehosignaaleiden korrelaatiofunktiot TLT-500 / 9 Tehosignaaleiden vt () ja wt () skalaaritulo on vtw () () t. Se on reaalinen tai kompleksinen luku, joka mittaa signaaleiden samankaltaisuutta. Sille on voimassa Schwarz:in epäyhtälö: * vtw () () t PP v w Tämä pätee yhtäsuuruudella kun vt () = awt (). Intuitio: Jos kaksi signaalia samankaltaisia, niiden erotus tulisi olla pieni. Q: pieni missä mielessä tai miten mitattuna? A: pieni siinä mielessä, että erotuksen teho on pieni Lasketaan siis seuraavaksi erotussignaalin teho: zt () = vt ()- wt () P = z( t) z ( t) = [ v( t) -w( t) ][ v ( t) -w ( t) ] z = P + P -Re v( t) w ( t) v * * * w * Ym. perusteella: Kun skalaaritulon arvo on suuri, signaaleiden vt () ja wt () erotuksen teho on pieni, joten nämä signaalit ovat samankaltaisia (tässä mielessä). * Ristikorrelaatio määritellään: * * Rvw( t) = v( t) w ( t - t) = v( t + t) w ( t) Tämä on viiveparametrin t funktio ja sillä on ominaisuudet R vw( t) PP v w * Rwv t Rvw ( ) = (-t) Ristikorrelaatio mittaa funktioiden/signaalien vt () ja wt ( - t) samankaltaisuutta ottaen huomioon mahdollisen aikasiirtymän. korreloimattomat signaalit: R ( t) = 0 " t Erikoistapauksena saadaan autokorrelaatiofunktio: R ( t) = R ( t) = v( t) v ( t - t) = v( t + t) v ( t) v vv wv * * Autokorrelaatio kertoo jotain signaalin aikakäyttäytymisestä: jos jollakin :n arvolla autokorrelaatio on suuri, t :n verran viivästetty signaali muistuttaa suuresti alkuperäistä. Autokorrelaatiolla on mm. seuraavat ominaisuudet (vrt. intuitio): R (0) = P v R ( t) R (0) v R (- t) = R ( t) v v v * v Erikois tapauksia: reaalisen funktion autokorrelaatio on reaalinen ja parillinen jaksollisen funktion autokorrelaatio on jaksollinen

53 Summa- ja erotussignaaleiden autokorrelaatiot TLT-500 / 93 Kompleksisten eksponentiaalien autokorrelaatiot TLT-500 / 94 zt () = vt () wt () R ( t) = R ( t) + R ( t) [ R ( t) + R ( t) ] z v w vw wv Jos vt () ja wt () ovat korreloimattomia, eli R vw ( t) = R ( t) = 0 wv kaikilla t :n arvoilla, niin tällöin (todenna!) Rz( t) = Rv( t) + Rw( t) P = P + P z v w Siis korreloimattomien signaaleiden tehot voidaan superponoida. 1 Lasketaan ensin kahden kompleksisen eksponentiaalin e w ja skalaaritulo: T / jw t -jw t 1 j( w -w ) t lim T T ò - T / 1 1 e e = e dt Tarkastellaan sitten signaaleita ( w w) T ìï = limsinc = ï í T p ï 1 ïî j t j wt v w w w v vt ( ) = Ce wt ( ) = C e w w j t ¹ w = w 1 1 j t e w missä C v ja C w ovat kompleksisia vakioita, jotka määrittelevät signaaleiden amplitudit ja vaihekulmat. Ristikorrelaatioksi saadaan nyt jwvt jww( t-t) [ ] é Rvw( t) = Cve Cwe ù ë û ìï 0 wv ¹ w * jwwt jwvt -jwwt = CC v we e e = ï í ï * jwwt CC e w = w ïî * w v w v w Signaalit ovat siis korreloimattomia paitsi siinä tapauksessa että niiden taajuudet ovat samat jännittävää? Autokorrelatiofunktio on (suoralla sijoituksella yo. tuloksesta, miten?) v R ( t ) = C e wt v v j huomataan mm. että autokorrelaatio on riippumaton signaalin vaihekulmasta

54 Sinimuotoisten signaaleiden autokorrelaatio TLT-500 / 95 Energiasignaaleiden korrelaatiofunktiot TLT-500 / 96 Sinimuotoisen signaalin zt () = Acos( w t+ f) 0 autokorrelaatioksi saadaan (todenna taas itse) A Rz ( t) = cos( w0t) Sen maksimiarvo on A æn p ö Rz(0) = Pz = = Rz ç è w ø 0 Autokorrelaatiofunktio on riippumaton signaalin vaihekulmasta. Tämä on yksi osoitus siitä, että autokorrelaatiofunktio ei sisällä kaikkea tietoa signaalista. Jos signaalin energia (mitä tarkoitti / miten määriteltiin?) on rajoitettu, aikakeskiarvot menevät nollaan. Tässä tapauksessa ristikorrelaatio ja autokorrelaatio määritellään: R ( t) = v( t) w ( t -t) dt vw R ( t) = R ( t) = v( t) v ( t -t) dt v ò - vv * ò - * ja niillä on vastaavat ominaisuudet kuin tehosignaaleiden korrelaatiofunktioilla. Nyt vain kaavoissa esiintyy tehojen ( P v ) paikalla energiasuureita ( E ). Esimerkiksi R vw( t ) EvEw v Huom! Samankaltaisuuden mitta nyt erotuksen energian suuruus. Tässä tapauksessa ristikorrelaatio voidaan laskea myös konvoluutiona (myöhemmin varsin hyödyllinen tulos): * Rvw( t) = v( t) * w (- t) ja Rv ( t) = v( t) * v (- t) Fourier-muunnoksen ominaisuuksien perusteella voidaan nyt kirjoittaa: Rv(0) = Ev = ò V( f ) df = ò v( t) dt - - Rvw(0) = ò * v( t) w ( t) dt = * ò V( f) W ( f) df - - * ò ò ò V( f ) W ( f ) df V( f ) df W( f ) df *

55 Excursio: Fourier-muunnoksen korrelaatiotulkinta TLT-500 / 97 TLT-500 / 98 Lineaarisen järjestelmän tulon ja lähdön välinen korrelaatio Kertaus: Fourier muunnos -jpft X( f) = F [ xt ( )] = ò xte ( ) dt - Edellisten korrelaatiotulkintojen ja aiempien suodatintarkastelujen perusteella saadaan mm. seuraavaa: Koska ò - jpft jpft * X( f) = F [ xt ()] = xte () dt= xt ()( e ) dt ò - - voidaan muunnoksen arvo taajuudella f tulkita muunnettavan signaalin xt () ja ko. tarkastelutaajuudella värähtelevän j ft exponenttivärähtelijän e p korrelaationa (viiveellä nolla, eikö?)! o mielenkiintoista ja intuitioon sopivaa! Toisaalta koska ò -jpft jpft [ ] { } Xf ( ) = F xt () = xte () dt= xt ()* e - t= 0 voidaan muunnoksen arvo taajuudella f tulkita myös suodattimen, j ft jonka impulssivaste on e p (millainen on silloin taajuusvaste?) ulostulona (suhteellisella hetkella t = 0 ), kun sisään syötetään muunnettava signaali xt () o aina vain paranee intuitio mielessä o tästä seuraa mm. suodatinpankit yms. Lineaariselle siirtoinvariantille järjestelmälle tulon ja lähdön välinen ristikorrelaatio ja lähdön autokorrelaatio voidaan laskea kaavoilla: R ( t) = h( t) * R ( t) = h( l) R ( t -l) dl yx x x - * * y yx x R ( t) = h (- t) * R ( t) = h( t) * h (- t) * R ( t) ò Tässä annettu vain olennaiset tulokset, todenna määritelmistä lähtien itse No lähes triviaalia, esim Ryx( t) = y( t) * x (- t) ja y( t) = h( t) * x( t) yhdistämällä seuraa suoraan R ( t) = y( t) * x (- t) = h( t) * x( t) * x (- t) = h( t) * R ( t) q.e.d. yx * * ja vastaavasti alempi tulos ulostulon autokorrelaatiolle. Huom! Autokorrelaation muuntuminen lineaarisessa järjestelmässä (eli * Ry( t) = h( t) * h (- t) * Rx( t) ) on jatkossa varsin tärkeä ja yleinen tulos! * x

56 Spektrintiheysfunktiot TLT-500 / 99 Tehospektri ja energiaspektri TLT-500 / 100 Spektrintiheysfunktio Gx() f kuvaa signaalin tehon tai energian jakautumista eri taajuuksille (siis teho tai energia per Hz). Taajuuden f c lähellä D f :n suuruisella kaistalla oleva teho/energia on G ( f ) D f. Voidaan osoittaa, että autokorrelaatiofunktio ja sen spektrintiheysfunktio muodostavat Fourier-muunnosparin: R ( t ) «G ( f) x Q: Miksi näin? x A: Siksi koska autokorrelaation Fourier-muunnos ò - x c -jpft x( t) R e dt integroituna koko taajuusakselin yli antaa signaalin tehon/energian, eli: òò x( ) -jpft = ò x( ) ò -jpft R t e dtdf R t e dfdt P = Rx( tdt ) ( ) dt Rx(0) ìï ò = = í ïïî E - x x Jos energiasignaalin vt () Fourier-muunnos on V() f, niin sen energiatiheys-spektri on Gv( f) = V( f) (miksi?) Jos jaksollisen tehosignaalin vt () Fourier-sarjan kertoimet ovat c = c( nf ) niin signaalin tehotiheys-spektri on n 0 å 0 d 0 (miksi?) n=- Gv( f) = c( nf ) ( f -nf ) Tämä spektri koostuu impulsseista, joiden korkeudet harmoonisten komponenttien tehoja. Esimerkiksi siniaallon tapauksessa vt ( ) = Acos( w t+ f) 0 A A Gv( f) = d( f - f0) + d( f + f0) cnf ( ) edustavat missä toiseksi viimeinen yhtäsuuruus seuraa impulssi-funktion yleisistä ominaisuuksista. Aiemman perusteella lineaarisen siirtoinvariantin järjestelmän lähdön spektrintiheydeksi saadaan R ( t) = h( t) * h (- t) * R ( t) ; tästä Fourier-muunnos puolittain y * => G ( f) = H( f) H ( f) G ( f) ; mistä seuraa suoraan y * x x => G ( f) = H( f) G ( f) y x Tämä siis kertoo miten spektrintiheys muuntuu LTI järjestelmässä!! Huomaa myös, että amplitudivasteen neliö H( f ) on ns. teho- tai energiavaste!! (intuitio)

57 Esimerkki: Kampasuodatin TLT-500 / 101 TODENNÄKÖISYYS JA SATUNNAISMUUTTUJAT TLT-500 / 10 Tähän asti olemme puhuneet deterministisistä signaaleista, joiden aikakäyttäytyminen tunnetaan periaatteessa alusta loppuun. Tietoliikenteessä esiintyy satunnaissignaaleita sekä häiritsevänä kohinana että informaatiota kantavina viestisignaaleina. Seuraavassa kerrataan lyhyesti aluksi todennäköisyyslaskennan ja satunnaismuuttujien perusasioita. Tämän suodattimen impulssivaste ja siirtofunktio ovat (todenna) ht () = d() t -d( t-t) -j ft ( ) = 1- H f e p Tavoitteena sitten ymmärtää satunnaissignaalien ominaisuuksia ja sovelluksia, lähtökohtana ensin yksittäiset satunnaismuuttujat. Amplitudivasteen neliöksi saadaan -jpft jpft H( f) = -e -e = 4 sin ( pf / f ) missä f = / T ja se nähdään yo. kuvassa. Lähtösignaalin tehotiheysspektri on y = p c x G ( f) 4sin ( f / f ) G ( f) Ja lähtösignaalin autokorrelaatiofunktioksi saadaan -1 R ( t) = F [ G ( f) ] y t y c -1 = F é H( f) ù t ë û * Rx ( t) = { () dt -dt ( -T)- dt ( + T) }* R () t = R ( t) -R ( t -T)- R ( t + T) x x x c x

58 Todennäköisyys TLT-500 / 103 Satunnaismuuttujat TLT-500 / 104 Tapahtuman A todennäköisyys voidaan ajatella ko. tapahtuman suhteellisena esiintymistiheytenä tehtäessä pitkä sarja kokeita (esim. kolikon heitto, tapahtuma A voisi olla kruuna): PA ( ) = N / N N A missä N on kokeiden määrä ja N A on tapahtumien A lukumäärä. Tapahtumien A ja B yhteistodennäköisyys PAB ( ) on todennäköisyys sille, että molemmat tapahtuvat. Tapahtumat A ja B ovat tilastollisesti riippumattomia, jos PAB ( ) = PAPB ( ) ( ) Ehdollinen todennäköisyys PAB ( ) on todennäköisyys sille, että A tapahtuu jos B tapahtuu. Sille pätee kaava PAB ( ) PAB ( ) = PB ( ) Seuraavassa tarkastellaan lähinnä jatkuvia satunnaismuuttujia (satunnaismuuttuja voi olla myös diskreetti, jolloin sen arvot ovat tietystä äärellisestä joukosta). Satunnaismuuttujan käsitteen havainnollistamiseksi tarkastellaan esimerkkiä, jossa viisari laitetaan pyörimään kuvan mukaisesti ja katsotaan kulmaa q johon se asettuu lopuksi. Esimerkkejä satunnaismuuttujista ovat: X = q 0 x < p X = tan q 0 x < X = cos q - 1 x 1 Satunnaismuuttujan määrittelee kertymäfunktio F ( x) = P( X x) X x = ò - p X ( l) dl tai tiheysfunktio p X dfx () x () x = dx Esimerkiksi muotoa Pa ( < x b) olevat todennäköisyydet vastaavat tiettyjä tiheysfuntion kuvaajan alle jääviä pinta-aloja. Diskreettejä satunnaismuuttujia (tai diskreettien ja jatkuvien yhdistelmiä) voidaan käsitellä ottamalla tiheysfunktioon mukaan impulsseja. Jos esim. x 0 on tällainen diskreetti piste jonka todennäköisyys on PX ( x 0), tiheysfunktioon tulee termi PX ( x0) d( x - x0).

59 Tasainen jakauma TLT-500 / 105 Satunnaismuuttujien muunnokset (hyvä tietää -kori) TLT-500 / 106 Edellisen kalvon esimerkissä, kun satunnaismuuttujana on X = q, kaikki kulmat välillä 0 q < p ovat yhtä todennäköisiä. Tällöin on luonnollista, että todennäköisyystiheysfunktio on vakio välillä 0 q < p. Tiheysfunktiolta vaaditaan aina että ò - px ( x) = 1 mikä toteutuu tässä tapauksessa jos p X ìï 1 0 x p ( x) = ï íp < ïïî 0 muulloin Kertymäfunktio saadaan tämän integraalifunktiona. Tästä satunnaismuuttujasta voidaan johtaa toinen satunnaismuuttuja, esimerkiksi (hatusta): Z p = ìï í ïïî X X < p muulloin Tämä on esimerkki diskreetin ja jatkuvan satunnaismuuttujan yhdistelmästä. Sen tiheysfunktio on 1 1 pz ( z) = d( z - p) + [ u( z -p)-u( z - p) ] p Olkoon X tunnettu satunnaismuuttuja ja siitä johdetaan toinen satunnaismuuttuja Z = g( X) Seuraavassa edellytetään, että gx ( ) on monotoninen funktio, - jolloin käänteisfunktio g 1 ( Z) on olemassa. Käyttäen tietoa p () z dz = p () x dx (ks. kuva) saadaan Z dx pz() z = px() x dz -1-1 dg () z = px ( g ( z)) dz Esimerkiksi lineaarisen muunnoksen Z 1 pz() z = p a X z - b ( ) a X = ax + b tapauksessa Jos g X ( ) ei ole monotoninen funktio, se voidaan jakaa monotonisiin osiin, joissa ylläoleva pätee. Kokonaistiheysfunktio saadaan monotonisista osista aiheutuvien funktioiden summana. missä u(.) kuvaa askelfuntiota.

60 Yhteistiheysfunktio ja ehdollinen tiheysfunktio TLT-500 / 107 Odotusarvot ja muut tunnusluvut TLT-500 / 108 Kahden jatkuvan satunnaismuuttujan X ja Y yhteistiheysfunktiota merkitään p (, x y ). Sille pätee esim. XY d b Pa ( < X bc, < Y d) = òò pxy ( xydxdy, ) Jos X ja Y ovat tilastollisesti riippumattomia p (, x y) = p () x p () y (tulkinta?) XY X Y Ehdollinen tiheysfunktio on yhteisjakauman lisäksi toinen hyvin kätevä tapa mitata/kuvata tilastollista riippuvuutta. Ehdollista tiheysfunktiota merkitään pxy( x y ) ja se voidaan tulkita X :n jakaumaksi kun Y :lle kiinnitetään arvo Y = y. Ehdolliselle tiheysfunktiolle pätee ns. Bayesin kaava p XY pxy (, x y) ( x y) = p () y (tulkinta?) Y Tiheysfunktioille pätee yleisesti myös (ns. marginaalijakaumat) ò ò p ( x) = p ( x, y) dy = p ( x y) p ( y) dy X XY X Y Y - - ò ò p () y = p (, x y) dx = p ( y x) p () x dx Y XY Y X X - - c a Seuraavaksi tarkastellaan eräitä satunnaismuuttujia karakterisoivia tunnuslukuja. Satunnaismuuttujan X keskiarvoa eli odotusarvoa merkitään m = E[ X ] = x X ja se lasketaan kaavalla. mx = ò xpx( x) dx (tulkinta?) - Huomaa, että odotusarvo E[] on lineaarinen operaattori (miksi?). Kiinnostavaa on myös havaita, että muunnoksella saatavan satunnaismuuttujan Y = g( X) odotusarvo voidaan laskea suoraan X :n jakauman avulla, eli: EY [ ] = E[ gx ( )] = ò gxp ( ) X ( xdx ) - Tämä on varsin tärkeä tulos jatkossa. Satunnaismuuttujan X n :s momentti on E[ X ]. Näistä erityisen tärkeä ensimmäisen momentin (n=1 eli odotusarvo) lisäksi on toinen momentti (n=) eli neliöllinen keskiarvo (mean square) [ ] E X = ò x p ( x) dx (tulkinta?) - X n (On syytä huomata, että tämä on toki eri asia kuin odotusarvon neliö m = E [ X ] = x ) X

61 Keskihajonta ja varianssi TLT-500 / 109 Usean muuttujan satunnaisfunktiot TLT-500 / 110 Keskihajonta (standardideviaatio) s X mittaa sitä kuinka paljon havaitut satunnaismuuttujan arvot hajoavat keskiarvon m X ympärille. Keskihajonnan neliötä kutsutaan varianssiksi. Se määritellään kaavalla [( ) ] X E X mx s = - Varianssi voidaan laskea myös keskiarvon ja neliöllisen keskiarvon avulla (todenna): X EX [ ] ( EX [ ]) EX [ ] mx s = - = - Keskihajonnan merkitystä havainnollistaa mm. Tshebyshevin epäyhtälö, jonka mukaan todennäköisyystiheysfunktiosta riippumatta 1 P( X - mx ³ ksx ) k Tämän perusteella (vastaten tapausta k = ) vähintään 75 %:ssa tapauksista satunnaismuuttujan arvo on rajoissa m s. Siis mitä pienempi on hajonta, sitä vähemmän satunnaismuuttujasta tehdyt havainnot poikkeavat keskiarvosta. Tai hieman tarkemmin: mitä pienempi hajonta, sen pienempi todennäköisyys, että sat.muuttujan arvo poikkeaa odotusarvostaan enemmän kuin D x (mille tahansa D x ) X X Tarkastellaan kahden satunnaismuuttujan funktiota gxy (, ). Sen odotusarvo on yleisesti E [ g( X, Y )] g( x, y) p ( x, y) dx dy = òò - - XY Nyt jos X ja Y ovat riippumattomia, niin pxy (, x y) = px () x py () y josta seuraa mm. että muuttujien tulon odotusarvo on òò rtomuus E[ XY ] = xyp (, x y) dxdy =... = E[ X] EY [ ] - - Yleisemmin, jos X ja Y ovat riippumattomia ja jos gxy (, ) = g( Xg ) ( Y), niin 1 XY E[ g( X, Y) ] = E[ g ( X) ] E[ g ( Y) ] 1 Kahden satunnaismuuttujan summalle Z = X + Y pätee yleisesti m = E[ Z] = E[ X + Y] = E[ X] + EY [ ] z s = E[( Z - m ) ] =... = s + s + ( E[ XY] -m m ) z z x y x y Nyt jos X ja Y ovat riippumattomia, summan varianssille pätee z = x + y s s s Huomaa että ym. tulos varianssien summautumisesta ei päde yleisesti tilastollisesti riippuville muuttujille. Tästä tarkemmin seuraavassa

62 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TLT-500 / 111 Normaalijakautunut satunnaismuuttuja TLT-500 / 11 Kertaus: kaksi satunnaismuuttujaa X ja Y ovat tilastollisesti riippumattomia joss pxy (, x y) = px () x py () y tätä on hyvin hankala todentaa eksaktisti esim. käytännön koejärjestelyissä Täten tilastollista riippuvuutta mitataankin usein korrelaation avulla intuitiivisesti ja laskennallisesti miellyttävämpi käsite toisaalta mittaa tilastollista riippuvuutta vain toisen asteen statistiikan näkökulmasta (heikompi kuin puhdas rtomuus) Normaalijakauman eli Gauss-jakauman tiheysfunktio on 1 -( x-m) /s px ( x) = e - < x < ps missä m ja s ovat keskiarvo ja varianssi. Tämä tiheysfunktio on symmetrinen keskiarvon suhteen. Idea: Jos muuttujat X ja Y riippuvat toisistaan, niiden erotuksen neliö keskimäärin (eli E[( X - Y) ]) pieni. Toisaalta koska E[( X - Y) ] = E[ X ] + EY [ ] - E[ XY] joten korrelaatio on verrannollinen suureeseen RXY, = E[ XY]. Jotta korrelaatiota voidaan mitata absoluuttisella asteikolla, se useimmiten lopulta määritellään nolla-keskiarvoistetuille muuttujille, eli: C, = E[( X -m )( Y - m )] XY X Y Tätä kutsutaan usein myös termillä kovarianssi. Korreloimattomuus tarkoittaa C XY, = 0 josta toisaalta seuraa C, = E[( X -m )( Y - m )] = 0 E[ XY] = E[ X] EY [ ] XY X Y eli C XY, = 0 vastaa RXY, = mxmy yo. tulos osoittaa myös (kuten jo aiemmin todettiin), että riippumattomuus implikoi aina korreloimattomuuden (mutta ei kääntäen) poikkeus: ainoastaan Gauss-jakauman tapauksessa korreloimattomuus implikoi tilastollisen riippumattomuuden (kohta tarkemmin) Huomaa että 1. ja. asteen statistiikka (momentit) kuvaavat normaalijakautuneen satunnaismuuttujan täysin. Myös siten miellyttävä jakauma, että lineaarimuunnokset (muotoa ax + by yms) normaalijakautuneista sat.muuttujista ovat edelleen normaalijakautuneita momentit kyllä muuttuvat mutta jakauman tyyppi säilyy Toisaalta keskeisen raja-arvoteoreeman perusteella monen sat. muuttujan summan jakauma lähenee normaalijakaumaa yksittäisten muuttujien jakaumasta riippumatta käytännön merkitys, esim. fysikaaliset luonnonilmiöt

63 Normaalijakautunut satunnaismuuttuja (jatkoa) TLT-500 / 113 SATUNNAISSIGNAALIT JA KOHINA TLT-500 / 114 Normaalijakaumalle ei pystytä analyyttisesti laskemaan todennäköisyyksiä jotka ovat muotoa P( X > a) = ò px ( x) dx a Näitä voidaan laskea käyttäen normalisoitua funktiota 1 -l / Qk () = e dl p ò k Mitkään järkevät tietoliikennesignaalit eivät ole täydellisesti ennustettavissa (jos ne olisivat, niitä ei olisi tarpeen siirtää). Ne ovat siis jossain mielessä satunnaisia. Toisaalta kaikki tietoliikennejärjestelmät kärsivät aina jossain määrin kohinasta ja muusta satunnaisluonteisesta häiriöstä kohinaa syntyy itse siirtokanavassa mutta myös lähettimen ja vastaanottimen elektroniikkakomponenteissa Satunnaissignaaleiden ja kohinan ominaisuuksien tunteminen ja matemaattinen mallintaminen on siis tärkeätä jatkon kannalta. jonka arvoja on taulukoitu. Tällöin on tehtävä muuttujanvaihdos l = ( x - m)/ s eli k = ( a - m)/ s Suurilla k :n arvoilla ( k > 3) voidaan käyttää approksimaatiota Qk ()@ 1 pk e -k /

64 Satunnaisprosessit TLT-500 / 115 Odotusarvot ja korrelaatiofunktiot TLT-500 / 116 Satunnaisprosessi (eli stokastinen prosessi) muodostaa signaaleita, joiden käyttäytyminen on tietyllä tavalla satunnaista. Esimerkkinä voidaan ajatella vaikkapa joukkoa identtisiä vastuksia, joista mitataan lämpökohinaa sisältävät jännitesignaalit. Tässä kukin fyysinen vastus vastaa tiettyä jännitesignaalia: Jatkossa pv (;) v t tarkoittaa satunnaisprosessin todennäköisyystiheysfunktiota ajan funktiona. Esim. pv( v1; t1) = pv ( v 1 1). Satunnaisprosessin odotusarvo (ensamble average) on vt () = E[ vt ()] = ò vp (;) vt dv (tulkinta?) - V Tässä t pidetään vakiona odotusarvoa laskettaessa. Kyseessä on yleisessä tapauksessa ajasta riippuva funktio. Satunnaisprosessin autokorrelaatiofunktio (tässä oletetaan, että kyseessä on reaaliarvoinen signaali) on RV( t, t ) = E[ v( t ) v( t )] = òò v v pvv ( v, v ) dvdv Tämä eroaa deterministisen signaalin autokorrelaatiosta siinä, että kyseessä on tilastollinen odotusarvo aikakeskiarvon sijasta. tämä autokorrelaatiofunktio riippuu yleisesti t 1 :stä ja t :sta, pelkän aikaeron t sijasta Yleensä satunnaissignaalit eivät kuitenkaan ole tällä tavalla tunnettuja. Jos halutaan tietää signaalin arvo hetkellä t 1, se on jonkin ko. prosessin tuottaman aikafunktion arvo hetkellä t 1. Sitä mikä funktio on kyseessä ei voida tietää. Signaalin arvo hetkellä t 1 on siis satunnaismuuttuja, V 1. Hetkellä t signaalin arvo on satunnaismuuttuja V, jne. Jatkossa satunnaisprosesseja merkitään kuten deterministisiä signaaleita, esim. vt (). Signaalin satunnaisluonne käy ilmi asiayhteydestä. Symbolilla V 1 tarkoitetaan satunnaismuuttujaa V1 = v( t1) ja esimerkiksi tämän tiheysfunktiota merkitään pv ( v 1 1). Näitä eri ajanhetkiä vastaavia satunnaismuuttujia voidaan käsitellä samaan tapaan kuin satunnaismuutujia yleensä. Kahden satunnaisprosessin, vt () ja wt (), ristikorrelaatiofunktio määritellään vastaavasti RVW ( t1, t) = E[ v( t1) w( t) ] Huom. 1! Yleisessä kompleksiarvoisessa tapauksessa * RV ( t1, t) = E[ v( t1) v ( t) ] ja RVW ( t1, t) = E[ v( t1) w ( t) ] Huom.! Korrelaation merkitys ja tulkinnat: aiemman satunnaismuuttujatarkastelun mukaisesti! *

65 Stationäärinen satunnaisprosessi TLT-500 / 117 Ergodinen satunnaisprosessi TLT-500 / 118 Stationäärisen prosessin tilastolliset ominaisuudet ovat ajasta riippumattomia. Jos tämä pätee kaikissa suhteissa, kyseessä on stationäärisyys in strict sense (tiukasti/puhtaasti stationäärinen). Tästä seuraa mm: 1) Odotusarvo on ajasta riippumaton vakio: E[ v() t ] = v = mv ) Autokorrelaatiofunktio riippuu vain aikaerosta E[ v( t ) v( t )] = R ( t - t ) 1 V 1 Tällöin autokorrelaatiofunktio onkin luontevaa kirjoittaa muodossa RV ( t) = E[ v( t) v( t - t) ] (Ja vastaavasti kompleksi-arvoisessa tapauksessa RV ( t) = E[ v( t) v ( t - t) ]) * Jos nämä kaksi yo. ehtoa ovat voimassa mutta stationäärisyys ei ole muuten täydellistä, kyseessä on 'wide sense' stationäärisyys (laajasti/löyhästi stationäärinen). Jos täydellisesti stationäärisen prosessin tilastolliset odotusarvot ovat yhtäsuuria kuin vastaavat aikakeskiarvot mille tahansa prosessin tuottamalle aikarealisaatiolle, kyseessä on ergodinen prosessi. Tällöin mm. E[ v() t ] = v () t [ ] = i E v () t v () t E[ v( t) v( t - t) ] = v ( t) v ( t -t) i i missä vi() t on mielivaltainen satunnaisprosessin tuottama signaalirealisaatio. i Ergodinen prosessi on välttämättä puhtaasti stationäärinen (miksi?) mutta ei päinvastoin. Ergodisuuden käytännön merkitus on se, että ergodiselle prosessille yksikin aikarealisaatio kertoo kaiken oleellisen koko satunnaisprosessista esim. tilastollisten parametrien estimointi yhdestä aikarealisaatiosta Jatkossa, jos muuta ei mainita, satunnaisprosessit yleensä oletataan ergodisiksi. Ehdosta seuraa myös, että [ ] E v () t = R (0) V joten neliöllinen keskiarvo ja myös varianssi ovat ajasta riippumattomia vakioita.

66 Gaussin prosessi TLT-500 / 119 Satunnaisvektoreista hieman TLT-500 / 10 Gaussin prosessi on satunnaisprosessi, jolle p (;) v t on normaalijakautunut kaikilla ajanhetkillä t V p ( v v ; t t ) on kahden muuttujan normaalijakautunut tiheysfunktio (seuraavassa hieman tarkemmin) VV korkeammanasteisilla yhteistiheysfunktioilla on vastaavat ominaisuudet Gaussin prosessilla on mm. seuraavat ominaisuudet: Odotusarvo ja autokorrelaatio määräävät prosessin täysin. Jos prosessi täyttää 'wide sense' stationäärisyysehdot, se on puhtaasti stationäärinen ja ergodinen. Mikä tahansa lineaarinen muunnos tuottaa toisen Gaussin prosessin. Viimeinen bulletti siis implikoi, että jos lineaariseen (LTI) järjestelmään syötetään Gauss-jakautunut satunnaisprosessi, niin myös ulostulo on Gauss-jakautunut odotusarvo ja autokorrelaatiofunktio kyllä muuttuvat yleisesti mutta jakauman tyyppi siis säilyy samana Satunnaisvektori X = [ X1, X,..., X ] T M on vektori, jonka komponentit X1, X,..., X M ovat satunnaismuuttujia. Kuten mikä tahansa satunnaissuure, satunnaisvektorikin karakterisoidaan tiheysfunktionsa f X ( x ) avulla. Gauss jakautunut satunnaisvektori on mielenkiintoinen eri-koistapaus, jonka tiheysfunktio on yleisesti muotoa 1 1 T -1 fx( x) = exp( - ( x-m) K ( x-m)) M ( p) K missä m = E( X ) ja K = E(( X-m)( X-m ) ) ovat satunnaisvektorin odotusarvovektori ja kovarianssimatriisi. Jos X:n komponentit ovat korreloimattomia ja kunkin varianssi on s, niin K = diag( s, s,..., s ) = s I. Tällöin K:n determinantti i= 1 ( s ) M T K = ja tiheysfunktio voidaan kirjoittaa fx( x) = = 1 1 T -1 exp( - ( x-m) K ( x-m)) M ( p) K 1 1 T exp( - ( x-m) ( x-m)) M ( ps ) s = 1 1 exp( - M ( ps ) s x-m ) M 1 1 = exp( - ( xi -mi) ) ps s Gauss-jakaumalle korreloimattomuudesta seuraa tilastollinen riippumattomuus monelle (lähes millekään) muulle jakaumalle tämä ei päde (toisin päin implikoituu tietysti aina)

67 TLT-500 / 11 TLT-500 / 1 Satunnaisvektoreista hieman (jatkoa) Satunnaisvektoreista hieman (jatkoa) Esimerkki: Stationäärisen Gauss-jakautuneen satunnais-signaalin vt () tilastollisten ominaisuuksien kuvaus f (;) V vt yksiulotteinen (tavallinen) Gauss-jakauma kaikilla ajanhetkillä t, eli -D esimerkki, korreloimattomat komponentit; PDF ja esim.realisaatio: 1 1 fv(;) v t = exp( - ( v - mv)) ps sv v f ( v, v ; t, t ) kaksiulotteinen Gauss-jakauma kaikilla t t, eli VV 1, 1 1 ajanhetkillä 1, f ( v, v ; t, t ) = f ( v) VV, V 1 1 T -1 = exp( - ( v -m ) ( )) M V KV v-mv ( p) K missä 1 V V = [ V, V ] T, m = E( V ) = [ m, m ] T ja V v v 4 0 X 4 4 X T V V V K = E(( V -m )( V -m ) ) 4 é E(( V1 -mv) ) E(( V1 -mv)( V -mv)) ù = êe(( V -mv)( V1 -mv)) E(( V -mv) ) ë úû é sv r1 ù = êr1 s ë v úû X 0 Vastaavaan tapaan korkeamman asteen tiheysfunktioille f ( v, v, v,...; t, t, t,...) VVV,,, X 1

68 Satunnaisvektoreista hieman (jatkoa) TLT-500 / 13 TLT-500 / 14 Stationäärisen satunnaissignaalin teho ja aikakeskiarvot -D esimerkki, melko voimakkaasti korreloivat komponentit; PDF ja esim.realisaatio: Tarkastellaan stationäärisiä satunnaissignaaleita. Tälläinen signaali ei voi olla ajallisesti rajoitettu, joten sen energia ei voi olla rajallinen. Kyseessä onkin tehosignaali. Yleisesti satunnaissignaalin keskimääräinen teho määritellään tilastollisena odotusarvona prosessin tuottamien aikafunktioiden tehoista: [ () ] [ ()] P = E v t = E v t. Stationäärisessä tapauksessa 4 0 X 4 4 X [ ] sv V v P = E v () t = + m = R (0). Jos prosessi on stationäärinen mutta ei ergodinen, prosessin tuottamien aikafunktioiden tehot voivat poiketa edellä määritellystä keskimääräisestä tehosta. X 4 0 Jos prosessi on myös ergodinen, sillä on seuraavat ominaisuudet koskien kaikkia prosessin tuottamia aikafunktioita: 1) Odotusarvo on yhtäsuuri kuin DC-komponentti mv = vi() t ) Keskiarvon neliö on yhtäsuuri kuin DC-teho m = v () t V i X 1 3) Neliöllinen keskiarvo on yhtäsuuri kuin keskimääräinen kokonaisteho = i Ev [ ( t)] v ( t) 4) Varianssi s V on AC-teho

69 Tehospektri, tehotiheys TLT-500 / 15 Esimerkki: Siniaalto, jonka vaihe on satunnainen TLT-500 / 16 Samaan tapaan kuin deterministisillä signaaleilla, stationäärisen satunnaissignaalin autokorrelaatio ja tehospektri muodostavat Fouriermuunnosparin: R () f «G () t (miten niin?) V V Tehospektrillä on ominaisuudet (todistus identtinen aiemman kanssa): ò - G V G ( f) df = R (0) = v = P V () f ³ 0 V Lisäksi jos prosessi on reaaliarvoinen, niin GV( - f) = GV( f) (miksi?). Tehospektri voi yleisesti sisältää impulsseja ja/tai jatkuvan osuuden. Sivumennen sanoen - Tehospektri voidaan määritellä myös satunnaissignaalin Fourier-muunnoksen kautta seuraavasti: 1 Gv( f) = lim E évt( f, s) ù T T ë û é T / ù 1 -jwt = lim E v() t e dt T T ò ê -T / ë úû Stationäärisen satunnaissignaalin tehospektriä voidaan estimoida mitatun signaalin Fourier-muunnoksen itseisarvon neliön avulla. Parempaan tulokseen päästään keskiarvottamalla useista mittauksista laskettuja tehospektrejä. (Tämä on itse asiassa laaja alue; spektrin estimointiin on kehitetty paljon erilaisia menetelmiä.) Tarkastellaan esimerkkinä satunnaissignaalia vt () = Acos( w t+f ) 0 missä on satunnaismuuttuja, joka on tasanjakautunut välille [0, p ) voidaan esimerkiksi ajatella koetta, jossa on suuri määrä samantaajuisia oskillaattoreita, joiden vaihetta ei ole synkronoitu jokin tietty oskillaattori, jonka vaihekulma on F= fi, tuottaa signaalin v () t = Acos( w t + f ) i 0 Tässä on oikeastaan kyseessä satunnaissignaalin muunnos, jossa g( F, t) = Acos( w t +F) p ( ) 1 F f = p 0 f < p Lasketaan aluksi seuraavat odotusarvot: E cos a [ ] = cos a 0 p 1 sin( a + pn )-sin a ( n¹ 0) E[ cos( a + nf )] = cos( a nf) df 0 pò + = = pn 0 Käyttäen tätä tulosta ( a = w0 t, n = 1) saadaan: vt () = E[ g( F, t) ] = AE[ cos( w t+f )] = 0 Odotusarvo on siis nolla kaikilla ajanhetkillä ensimmäinen implikaatio mahdollisesta stationäärisyydestä toisaalta myös ensimmäinen viittaus mahdolliseen ergodisuuteen, sillä minkä tahansa prosessin tuottaman aikafunktion aikakeskiarvo myös nolla i 0

70 TLT-500 / 17 Esimerkki: Siniaalto, jonka vaihe on satunnainen (jatkoa) Esimerkki: Random Telegraph Wave TLT-500 / 18 Autokorrelaatioksi voidaan laskea ( a1 = w0t1, a = w0t) R ( t, t ) = E[ v( t ) v( t )] = A E[ cos( a +F ) cos( a +F) ] v 1 = AE[ cos( a1 - a) + cos( a1 + a + F) ] 1 = A { E[ cos( a1 - a) ] + E[ cos( a1 + a + F) ]} 1 = A cos( a1 -a) A = cos ( w0( t1 -t)) Koska yo. autokorrelaatio riippuu vain viive-erosta, kirjoitetaan A Rv ( t) = cos( pf0t) Täten prosessi on laajasti stationäärinen. Koska minkä tahansa realisaation autokorrelaatio on myös samaa muotoa (ks. aiemmat esimerkit), on prosessi tässä mielessä myös ergodinen. Tehotiheysspektriksi tulee (ym. autokorrelaation Fourier muunnos) A A Gv( f) = d( f - f0) + d( f + f0) 4 4 Signaalilla on kaksi arvoa, 0 ja A, jotka ovat yhtä todennäköisiä. Signaali vaihtelee satunnaisesti näiden tasojen välillä Poissonjakauman mukaisesti keskimääräisellä taajuudella m. Autokorrelaatiofunktio on A - t ( ) mt Rv ( ) = e Keskimääräinen teho ja DC-komponentin teho ovat A P = RV (0) = A mv = Rv( ) = 4 Ottamalla Fourier-muunnos autokorrelaatiofunktiosta saadaan tehospektriksi A A GV ( f) = + d( f) 4m( 1 + ( pf / m) ) 4

71 Satunnaissignaaleiden summa TLT-500 / 19 Stationääristen satunnaissignaaleiden suodatus TLT-500 / 130 Tarkastellaan signaalia zt () = vt () wt () missä kumpikin osasignaali oletetaan stationääriseksi ja lisäksi myös yhteisstationääriseksi, jolloin Rvw( t1, t) = Rvw( t1 - t). Tällöin (todenna) R ( t) =... = R ( t) + R ( t) + ( R ( t) + R ( t)) z v w vw wv G ( f) =... = G ( f) + G ( f) + ( G ( f) + G ( f)) z v w vw wv Tässä näkyvät ristispektrit ( Gvw( f), Gwv( f )) ovat vastaavien ristikorrelaatiofunktioiden Fourier-muunnoksia. Ristitermit häviävät jos osasignaalit ovat korreloimattomia ja mm x y = 0 (eli R ( t) = R ( t) = 0 " t). Tällöin vw wv R ( t) = R ( t) + R ( t) z v w G ( f ) = G ( f ) + G ( f ) z v w z = v + w s s s (vertaa jälleen deterministisien signaaleiden vastaavat suureet) Suodattimen sisääntulossa siis stationäärinen satunnaissignaali xt (). Nyt jos suodatin on stabiili, osoittautuu että myös ulostulosignaali yt () = ht ()* xt () on stationäärinen. Tällöin todetaan tiukan asiallisesti, että (tässä vain tulokset, osoita): æ ö my = E[ y( t)] =... = h( l) dl ç ò E[ x( t)] = H(0) m çè ø - R ( t) = E[ y( t) x ( t - t)] =... = h( t) * R ( t) yx * R ( t) = E[ y( t) y ( t - t)] =... = h (- t) * R ( t) y * * * = h (- t) * h( t) * R ( t) * Lausekkeesta Ry( t) = h (- t) * h( t) * Rx( t) seuraa Fourier muuntamalla puolittain suoraan (todenna) että x x yx x G ( f) = H( f) G ( f) y x Eli amplitudivasteen neliö H( f ) kertoo suoraan sen miten stationäärisen satunnaissignaalin spetrintiheys muokkaantuu LTI suodattimessa! -jpft (Kertaus: siirtofunktio H( f) = ò h( t) e dt) -

72 KOHINA TLT-500 / 131 Lämpökohina (jatkoa) TLT-500 / 13 Kaikissa siirtojärjestelmissä esiintyy kohinaa mm. ilmakehän häiröistä, avaruussäteilystä sekä muista fysikaalisista ilmiöistä johtuen. Perustavaa laatua oleva asia on kaikissa johtavissa materiaaleissa esiintyvä lämpökohina, joka johtuu elektronien länpöliikkeen satunnaisuudesta. Lämpökohina ja mallinnus Kiitos jo pitkälti fyysikoiden, johtimessa jonka resistanssi on R syntyy avoimen piirin kohinajännite vt () joka on normaalijakautunutta, keskiarvo on 0 ja spektrintiheys muotoa Tässä Rh f Gv( f) = (yksikkönä V / Hz) exp( h f / kt) - 1 k = Boltzmanin vakio = (J/deg) h = Plankin vakio = (Js) T = Lämpötila Kelvineissä Lämpökohinan varianssi (teho) laskettuna yo. tehospektrin integraalista ( pkt ) s v = R 3h (yksikkönä V ) Osoittautuu (todenna) että yo. tiheyspektri on käytännössä vakio kaikilla järkevillä taajuuksilla (esim. huoneenlämpötilassa spektri alkaa laskea 1 taajuuden 10 Hz yläpuolella). Yksinkertainen approksimaatio on Gv( f)» RkT (V /Hz) (laskuharkat) Kyseessä on ns. valkoinen kohina (tarkka määrittely myöhemmin). (Tässä approksimaatiossa on tietysti se vika että siitä laskettuna kohinan varianssi menisi äärettömäksi. Käytännössä varianssia lasketaan jollakin tavoin suodatetuille signaaleille ja tätä ongelmaa ei synny.)

73 Lämpökohina (jatkoa) TLT-500 / 133 Valkoinen kohina (yleisemmin) TLT-500 / 134 Kohisevalle vastukselle voidaan muodostaa seuraavat mallit, jotka huomioivat lämpökohinan: Lämpökohinan (samoin kuin monien muidenkin kohinatyyppien) tehotiheysspektri on vakio laajalla taajuuskaistalla. Tällaista kohinaa kutsutaan valkoiseksi kohinaksi (huomaa analogia valkoiseen valoon). Valkoisen kohinan tiheysspektri määritellään yleensä muodossa Gf ( ) = h Thévenin ekvivalenttipiiri Nortonin ekvivalenttipiiri Kohinajännitteen tai virran sijasta puhutaan usein maksimaalisesta kohinatehosta, jonka lähde pystyy syöttämään kuormaan (eli mitä esim. mittalaitteella voidaan teoriassa havaita). Yleisesti maksimaalinen tehonsiirto syntyy silloin, kun kuorman impedanssi Z L on lähteen impedanssin ZS = RS + jxs kompleksikonjugaatti (miksi?), siis ZL = RS - jxs. Kuormaan syntyvä maksimaalinen teho ( available power ) on tällöin P a = vs () t 4R S Kohisevan vastuksen tapauksessa voidaan puhua maksimaalisesta spektrintiheydestä (eli suurin mahdollinen kuormaan siirtyvä tehotiheys) Gv( f) G ( ) 1 a f = = kt (W/Hz) 4R Tämä on riippumaton resistanssin suuruudesta. missä kerroin 1/ huomioi spektrin kaksipuoleisuuden. Autokorrelaatio on tällöin R v h ( t) = d( t) Tulkinta: Valkoinen kohina on toisen asteen statistiikan näkökulmasta mahdollisimman satunnainen signaali: eri ajanhetkillä otetut näytteet eivät korreloi keskenään. Riippuen siitä, mistä signaalista puhutaan, parametri h on lämpökohinan tapauksessa jotakin seuraavista: 4kT hv = 4 RkT hi = ha = kt R Joissakin muuntyyppisissä kohinalähteissä kohinateho ja -spektri eivät riipu fysikaalisesta lämpötilasta. Tällöin voidaan puhua ekvivalentista kohinalämpötilasta, joka määritellään T N Ga( f) = = k ha k Esimerkiksi joillakin elektronisilla kohinageneraattoreilla kohinalämpötila voi olla 3000 K, mutta laitteet eivät ole fyysisesti kuumia :o).

74 Suodatettu kohina TLT-500 / 135 Kohinakaistanleveys TLT-500 / 136 Kun lineaariseen aikainvarianttiin suodattimeen kytketään valkoista kohinaa, lähtösignaalille pätee (yleisesti G ( f) = H( f) G ( f) ): h h Gy( f) = H( f) E[ y ( t)] = H( f) df ò Lähdön tiheysspektrin muoto on siis suodattimen amplitudivasteen neliö. Tällaista kohinaa kutsutaan usein värilliseksi. Esimerkki 1: Ideaalinen alipäästösuodatin y - x Suodatetun kohinan teholle käytetään jatkossa symbolia N. Edellisen perusteella se lasketaan kaavalla reaalinen suodin h N = H() f df = h H() f df ò ò - Suodattimelle voidaan nyt määritellä ekvivalentti kohinakaistanleveys 1 BN = H() f df g ò 0 0 missä g max = H() f on maksimitehovahvistus päästökaistalla. f ( ) h Gy( f) = P, Ry( t) = hbsinc Bt, E[ y ( t)] = Ry(0) = hb B Kohinateho on siis suoraan verrannolinen kaistanleveyteen. Esimerkki : 1. asteen RC-suodin RkT Gy( f) = RkT H( f) ) = ; B = k Ey [ ( t)] =... = T C ( ) f prc B Tällöin kohinateho voidaan jatkossa laskea helposti muodossa N = ghb N Esimerkiksi 1. asteen RC-suodattimelle kohina-ekvivalentti kaistanleveys on 1 p 1 BN = ò ( ) df =... = B = 4RC f B Tässä tapauksessa kohinakaistanleveys on noin 57 % suurempi kuin 3 db:n kaistanleveys. Selektiivisemmillä suodattimilla kohinakaistanleveys on usein melko lähellä 3 db:n kaistanleveyttä.

75 TLT-500 / 137 Excursio: Järjestelmän mittaaminen (identifiointi) valkoista kohinaa käyttäen Suodattimen amplitudivaste voidaan mitata valkoista kohinaa käyttäen. Aiemman perusteella, jos lähtösignaalin spektrin estimaatti on G y() f, niin amplitudivasteen estimaatti on H () f = G ()/ f h y Jos kohina ei ole valkoista mutta sisältää kohtalaisessa määrin kaikkia merkittäviä taajuuksia, amplitudivaste saadaan esimerkiksi estimoimalla tulosignaalin ja lähtösignaalin tehospektrit, G ( f) ja G () f jolloin H ( f) = G ( f)/ G ( f) y x x y Käsitteistä Gaussin kohina ja valkoinen kohina vielä TLT-500 / 138 On syytä korostaa sitä, että kohinasta ja yleensä satunnaissignaaleista puhuttaessa prosessin tilastollinen todennäköisyysjakauma ja sen spektraalinen sisältö (tehotiheysspektri) ovat käsitteellisesti toisistaan eriäviä asioita. Kohinasta oletetaan usein, että se on valkoista (tehospektri vakio) ja normaalijakautunutta, mutta tämä ei tietysti tarkoita sitä että nämä ominaisuudet esiintyisivät aina yhdessä. Eli kertauksena kohinan valkoisuus tarkoittaa vain sitä että spektrintiheys on vakio <=> autokorrelaatiofunktio on impulssi Ylipäätään valkoisuus/värillisyys ja siis tehospektri kaiken kaikkiaan liittyvät vain. asteen statistiikkaan (korrelaatiokäyttäytymiseen) itse jakauman tyyppi voi kuitenkin olla mitä tahansa (Gaussinen, tasainen, Laplace, Rayleigh, tms) Huomaa myös että satunnaisprosessia suodatettaessa spektrin ohella sen todennäköisyysjakauma yleensä muuttuu. Lähdön jakauma ei yleensä ole sama kuin tulon, ei edes jakauman tyyppi. Gaussin kohina on tässä suhteessa poikkeus: lineaarisella LTI suodattimella käsitelty Gaussin prosessi on edelleen normaalijakautunut (varianssi ja odotusarvo kyllä yleensä muuttuvat, niin kuin aiemmin on analysoitu).

76 SIGNAALIN SIIRTO KOHINAISESSA KANAVASSA TLT-500 / 139 Signaali/kohina suhde (SNR) TLT-500 / 140 Seuraavassa tarkastellaan lyhyesti kantataajuista (baseband) tiedonsiirtoa ja summautuvan kohinan vaikutusta siinä. Kantataajuiseen järjestelmään ei sisälly minkäänlaista modulaatiota, vaan siirrossa käytetään samaa taajuuskaistaa kuin mitä lähteestä saadaan. Tällaista kantataajuista siirtoa käytetään joissakin järjestelmissä. Se toimii myös vertailukohtana modulaatiomenetelmiä käsiteltäessä myöhemmin. Siirtojärjestelmä oletetaan lineaariseksi ja kohina additiiviseksi (summautuvaksi). Käytännössä kohinaa voi summautua eri kohdissa siirtotietä useista eri lähteistä lähettimen komponentit fysikaalinen siirtokanava (radiotie, kaapeli, tms) vastaanottimen komponentit Lineaarisen siirtojärjestelmän mallissa nämä erilliset kohinalähteet voidaan kuitenkin korvata yhdellä lähteellä, joka yleensä sijoitetaan vastaanottimen tuloon (miksi?): Vastaanottettuun signaaliin sisältyy hyötysignaali ja kohinaa: y () t = x () t + n () t D D D Kokonaishavaintoteho on yleisesti: [ () () () ()] D = D + D D + D y E x t x t n t n t Seuraavat kohinaa koskevat oletukset ovat yleensä voimassa: Kohina on ergodista, sen keskiarvo on 0 ja tehotiheysspektri Gn( f ). Kohina on fyysikaalisesti riippumaton hyötysignaalista joten signaali ja kohina ovat tilastollisesti korreloimattomia. Näillä edellytyksillä D = D + D = D + D y x n S N Signaali/kohina suhde (signal-to-noise ratio, SNR) on tällöin ( ) S SD xd = = N D D N nd Valkoisen kohinan ( G () f = h /) tapauksessa kohinateho on N = g hb D R N n missä g R on vastaanottimen tehovahvistus ja B N sen ekvivalentti kohinakaistanleveys (ks. edellinen luento).

77 Kohinalämpötila TLT-500 / 141 Analoginen kantataajuinen tiedonsiirtojärjestelmä TLT-500 / 14 Niin kuin jo aiemmin on todettu, järjestelmän kohinatasoa voidaan myös kuvata kohinalämpötilalla T N. Se määrittelee kohinan tiheysspektriksi h 1 GN() f = = ktn T N = GN()/ f k. Tyypillisiä arvoja ovat esimerkiksi T = 0.T = 60K hyvinsuunnitellulle pienikohinaiselle vastaanottimelle N 0 T = 10T = 900K huonommanpuoleiselle vastaanottimelle N 0 Lähteestä lähtevä viestisignaali on xt (). Se halutaan toistaa vastaanottopäässä mahdollisimman tarkasti. Lähdettä mallinnetaan ergodisena prosessina jolla on tietty kaistanleveys W siten, että G ( f)» 0 kun f > W. x Siirtoketju oletetaan vääristämättömäksi, joten x () t = Kx( t - t ). Signaalin keskimääräinen teho eri kohdissa järjestelmää on: D d S x = x lähde T = T T x S g x = g S lähetetty teho R = R T S x = S / L vastaanotettu teho D = D R R S x = g S teho kohteessa Olettaen, että vastaanottimen suodatin (LPF) on ideaalinen ( B S/N suhde kohteessa on N = W ), S SD grsr grsr SR ( ) = = = = N N g hb g hw hw D D R N R millaisia tavoitearvoja tälle suureelle asetetaan, riippuu pitkälti sovelluksesta, esim. ymmärrettävä puhe 5-10dB vs. high-quality audio 40-50dB

78 TLT-500 / 143 Analoginen kantataajuinen tiedonsiirtojärjestelmä (jatkoa) Toistimien käyttö, lyhyesti TLT-500 / 144 Vastaanottimessa tärkeä komponentti on alipäästösuodatin, jonka tehtävänä on vaimentaa kohinaa hyötysignaalin kaistan ulkopuolelta. Huomaa myös että S/N suhde kohteessa ei riipu vastaanottimen tehovahvistuksesta sellainen kuitenkin aina tarvitaan, miksi? S/N-suhde ilmoitetaan yleensä desibeleissä. Kohinalämpötilan avulla S/N-suhde voidaan laskea kaavalla: ( S ) = 10 log SR 10 ( ) = S log N R + - T dbm 10 ( W ) N kt W D db N 0 missä T 0 on normaali huoneenlämpötila 90 K. Seuraavassa joitakin tyypillisiä esimerkkejä analogisen tiedonsiirtojärjestelmän perusparametreista: Signaalin tyyppi Taajuusalue S/N-suhde, db Juuri-ja-juuri tunnistettava puhe 500 Hz - khz 5-10 Puhelinlaatuinen puhe 00 Hz - 3. khz 5-35 AM-yleisradiolähetys 100 Hz - 5 khz HIFI-audio 0 Hz - 0 khz TV-video 60 Hz - 5 MHz Huomattakoon, että missään näistä esimerkeista ei tarvitse siirtää signaalin DC-komponenttia. Tämä tuottaisikin yleensä hankaluuksia käytännössä esim. mahdollisten muuntajien/erotuskondensaattoreiden johdosta. T Edellisen kalvon tapauksessa S/N-suhde voidaan esittää myös muodossa S ST ( ) = N D LhW missä L on siirtotien vaimennus. Siirtotien efektiivinen vaimennus on siis pidettävä riittävän pienenä koska lähetysteho on käytännössä rajoitettu. Yksi keino tähän on käyttää toistimia. Oletetaan, että toistimien vahvistus kompensoi sitä edeltävän siirtotien vaimennuksen. Toisaalta on huomioitava, että toistin itse generoi myös kohinaa, jota myöhemmät vahvistusasteet vahvistavat. Kun järjestelmässä on peräkkäin m kpl samanlaisia siirtoteitä joiden kunkin vaimennus on L 1, ja toistimien vahvistus 1/L 1, S/N-suhteeksi saadaan ( ) ( )» ç = 1h 1 S 1 æ ST ö L æ ST ö N mèl W ø ml çèlhw ø D On syytä huomata, että edellä esitetty analogisen siirtojärjestelmän analyysi sisälsi useita ideaalisuusoletuksia. Johdetut tulokset vastaavat parasta mahdollista tilannetta, johon ei käytännössä aina voida päästä.

79 Esimerkki toistimien käytöstä TLT-500 / 145 KAISTANPÄÄSTÖJÄRJESTELMÄT JA SIGNAALIT TLT-500 / 146 Keskeiset parametrit ovat L = 140 db, TN = 5 T 0, W = 0 khz Vaatimus (hatusta): ( S N ) ³ 60 db D S log ³ 60 db R dbm 10 S T S R ³- 64 dbm» 4 10 mw 7 = LS ³ 4 10 mw = W R -7 3 Seuraavassa tarkastellaan yleisesti kaistanpäästöjärjestelmiä (lähinnä suodattimia) ja kaistanpäästösignaaleita. Tämä luo pohjaa modulaatiomenetelmien analysoinnille jatkossa. Kaistanpäästösuodattimet Yksinkertaisin analoginen kaistanpäästösuodatin on kelan ja kondensaattorin muodostama resonanssipiiri (RLC suodatin): Tämä on tietysti täysin epärealistista. Yhtä toistinta käytettäessä voidaan laskea: L 1 L ml S 1 T = 70 db = = 7 = = 8 mw 7 6 Tämä on täysin järkevä arvo. Lähetystehoksi valittaisiin käytännössä mw kohtuullisen turvamarginaalin saavuttamiseksi. Tämän suodattimen siirtofunktio on (käytä jännitteenjakoa): 1 1 C H( f) = f Q R f f = LC = L æ 0 ö jq p ç è f 0 f ø Tässä f 0 on keskitaajuus ja Q on hyvyysluku.

80 Kaistanpäästöjärjestelmät (jatkoa) TLT-500 / 147 Yleinen kaistanpäästösignaali TLT-500 / 148 Yksinkertaisen resonanssipiirin 3 db:n kaistanleveys on f0 B = fu - fl = Q Tarkastellaan yleistä kaistanpäästösignaalia vbp() t jonka spektri Vbp( f ) rajoittuu tietyn keskitaajuuden f c ympärille: V ( f) = 0 kun f < f - W ja f > f + W bp c c Tämä riippuu siis Q -arvosta (eli hyvyysluvusta) joka on tyypillisesti 10 < Q < 100. Jyrkempiä suodattimia voidaan tietysti toteuttaa korkeampiasteisilla suodattimilla, esim. yhdistämällä useita resonanssipiirejä. Kaistanpäästöjärjestelmien suhteellinen kaistanleveys on tyypillisesti B 0.01 < < 0.1 f c Tässä B on kaistanleveys ja f c on keskitaajuus. Tämä johtuu osittain siitä, että kapeakaistaisempien suodattimien toteuttaminen on hankalaa varsinkin perinteisellä tekniikalla. Toisaalta leveäkaistaisemmilla järjestelmillä tulisi vaikeuksia toteuttaa särötöntä vahvistinta ja radiojärjestelmissä myös antenninen suunnittelu vaikeutuisi. (Periaatteessa keskitaajuudeksi voidaan valita mikä hyvänsä taajuus tällä taajuuskaistalla. Käytännön tapauksissa valinta on ilmeinen.) Aaltomuodossa näkyy siniaalto, jonka taajuus on f c. Mitä kapeampi kaista, sitä enemmän signaali muistuttaa puhdasta siniaaltoa. Signaalissa näkyy hidasta vaihtelua verhokäyrässä At () ja/tai vaiheessa f () t. Se voidaan matemaattisesti esittää muodossa (intuitio) v () t = At ()cos( w t + f() t ) bp c Huomattakoon, että verhokäyrä on lähtökohtaisesti ei-negatiivinen, At () ³ 0. Verhokäyrän merkin vaihtuminen vastaa 180 :een vaiheen kääntymistä.

81 Kaistanpäästösignaalin esitysmuodot TLT-500 / 149 Kaistanpäästösignaalin esitysmuodot (jatkoa) TLT-500 / 150 Koska vbp( t) = At ( ) cos ( wct + f( t) ) = Re[ At ( ) exp ( j( wct + f( t)) )], kaistanpäästösignaali voidaan esittää osoittimena (aikariippuvana kompleksilukuna) jonka reaaliosa eli projektio Re-akselille kuvaa itse kaistanpäästösignaalia (vasen kuva alla). Varsinaisen aaltomuotokäyttäytymisen kannalta olennaisia asioita ovat amplitudi- ja vaihefunktiot, joten osoittimen pyöriminen vakionopeudella voidaan jättää pois osoitinesityksestä. Tämä vastaa kuvitteellista kompleksista signaalia At ()exp( jf ()) t (oikea kuva alla) jonka etäisyys origosta ajan funktiona (osoittimen pituus) kuvaa fysikaalisen signaalin verhokäyrää At () vaihekulma ajan funktiona (osoittimen kulma Re-akseliin nähden) kuvaa fysikaalisen signaalin hetkellistä vaihetta f () t Kaistanpäästösignaalille on siis kaksi esitysmuotoa, jotka kumpikin määräytyvät kahdesta aikafunktiosta: 1) At (), f () t verhokäyrä ja vaihe ) v (), t v () t vaihe- ja kvadratuuri (I/Q) komponentit i q Kumpaakin esitysmuotoa käytetään hyvin paljon jatkossa, ja molemmilla esitysmuodoilla on omat vahvuutensa (esim. aaltomuotokäyttäytyminen vs. spektrianalyysi). Näiden esitysmuotojen välillä on yhteydet: v () t = At ()cos f() t i v () t = At ()sin f() t q ja toisinpäin: i q At () = v () t + v () t vq () t f() t = arctan v () t i Tämä johtaakin vaihtoehtoiseen matemaattiseen esitysmuotoon yleiselle kaistanpäästösignaalille: Termien vaihe- ja kvadratuurikomponentti sijasta puhutaan usein I- ja Q-komponenteista. v () t = At ()cos( w t + f()) t =... bp c = v ()cos( t w t) -v ()sin( t w t) i c q c missä signaalin vaihekomponentti vi() t ja kvadratuurikomponentti vq() t ovat (todenna, suoraan lausekkeesta ja/tai kuvasta) v () t = At ()cos( f()) t i v () t = At ()sin( f()) t q

82 Ekvivalentti alipäästösignaali TLT-500 / 151 Ekvivalentin alipäästösignaalin spektri TLT-500 / 15 Kaistanpäästösignaalin spektri voidaan esittää vaihe- ja kvadratuurikomponenttien spektrien avulla: v ( t) = v ( t) cos( w t) - v ( t) sin( w t) bp i c q c => 1 Vbp( f) = ( Vi ( f - fc ) + Vi ( f + fc )) + j ( Vq ( f - fc )- Vq ( f + fc )) Jotta kyseessä olisi kaistanpäästösignaali jonka spektri (positiivinen akseli) on rajoittunut taajuuksille f c - W f f c + W, vaihe- ja kvadratuurikomponenttien täytyy olla alipäästösignaaleita (miksi?): V ( f) = V( f) = 0 kun f > W q i Voidaan muodostaa ekvivalentti alipäästösignaali v () t = 1 ( v () t + jv () t ) lp i q = 1 j () t Ate () f Yleisessä tapauksessa tämä on kompleksinen signaali, jonka tulkinta vastaa suoraan aiempaa osoitintulkintaa. Sen spektri on V 1 lp( f) = ( Vi ( f) + jvq ( f) ) = V ( f + f ) u( f + f ) bp c c Tämä on siis kaistanpäästösignaalin spektrin positiivisia taajuuksia vastaava osuus siirrettynä 0-taajuuden ympärille.

83 Alipäästö-kaistanpäästö (LP-BP) muunnos TLT-500 / 153 LP-BP ja BP-LP muunnokset TLT-500 / 154 Kompleksinen alipäästösignaali voidaan muuntaa reaaliseksi kaistanpäästösignaaliksi seuraavasti: Aikatasossa: v () t = v ()cos( t w t) -v ()sin( t w t) bp i c q c = At ()cos( w t+ f()) t = Re é ë Ate ( ) é j( w t+ f() t ) 1 jwct jf( t) = Re ë Ate ( ) e û jwct [ v t e ] = Re ( ) c = v () t e + v () t e lp c c ù û lp jw t * lp -jwct ù Taajuustasossa (suoraan yo. viimeisen muodon perusteella): * bp lp c lp c V ( f) = V ( f - f ) + V (-f - f ) Tämä alipäästö-kaistanpäästö -muunnos on myöhemmin mm. lineaaristen modulaatiomenetelmien perusta.

84 Kompleksisista signaaleista TLT-500 / 155 Kaistanpäästötransmissio TLT-500 / 156 Fysikaalista reaaliarvoista kaistanpäästösignaalia v () t = v ()cos( t w t) -v ()sin( t w t) bp i c q c = At ()cos( w t+ f()) t j t [ v t e w ] c = Re ( ) lp c voidaan siis kuvata kompleksiarvoisen alipäästöekvivalentin signaalin v () t = v () t + jv () t lp i q j () t = Ate () f avulla. Tämä on siis kompleksiarvoinen signaali jonka Re ja Im osat millä tahansa ajan hetkellä kuvaavat fysikaalisen kaistanpäästösignaalin I ja Q komponentteja Amplitudi ja vaihe millä tahansa ajan hetkellä kuvaavat fysikaalisen kaistanpäästösignaalin verhokäyrää ja vaihetta Yleisesti ottaen kompleksisista signaaleissa ei ole sen kummempaa mystiikkaa yksinkertaisesti kaksi rinnakkaista reaalista signaalia jotka kuljettavat/edustavat kompleksisen signaalin Re ja Im osia prosessointi ja manipulointi kompleksi-aritmetiikkaa käyttäen Tarkastellaan kaistanpäästöjärjestelmää, jonka siirtofunktio on Hbp( f ), tulosignaalin spektri Xbp( f ) ja lähtösignaalin spektri Ybp( f ). Järjestelmälle pätee tietysti Y ( f) = H ( f) X ( f) bp bp bp Monesti järjestelmän analysointi on kuitenkin helpompaa ekvivalentteja alipäästösignaaleja ja alipäästösiirtofunktiota Hlp ( f ) käyttäen muodossa Y ( f) = H ( f) X ( f) lp lp lp missä H ( f) = H ( f + f ) u( f + f ). lp bp c c Tätä on havainnollistettu seuraavassa. Huom! Tämä on oletettavasti yksi aihepiiri jota käsitellään syvällisemmin 7op extensiossa.

85 Kaistanpäästöjärjestelmän analysointi ekvivalenttista alipäästöjärjestelmää käyttäen TLT-500 / 157 Vaihe- ja ryhmäviiveistä TLT-500 / 158 Tarkastellaan kaistanpäästöjärjestelmää jonka amplitudivaste on vakio ja vaihevaste lineaarinen (siis päästökaistalla), ks. kuva alla: x BP (t) H BP ( f ) y BP (t) H BP ( f ) = K 0 f C f Esimerkiksi: kaistanpäästöjärjestelmien tietokonesimulointi. arg(h BP ( f )) = t 1 f + f C (t 1 t 0 ) Herätetään kysymys: Millainen on ulostulosignaali? Hahmotellaan vastaus: Käytetään alipäästöekvivalentteja, ytimekkäästi mutta kauniisti: jolloin 1 j () t xlp() t At () e f - p 0 C + 1 = ja HLP( f) = K0e j ( t f t f) -jpt f -jpft LP LP LP 0 LP Y f H f X f K e e X f 0 C 1 ( ) = ( ) ( ) = ( )

86 Vaihe- ja ryhmäviiveistä (jatkoa) TLT-500 / 159 Vaihe- ja ryhmäviiveistä (jatkoa) TLT-500 / 160 Tästä puolestaa seuraa suoraan että -jpt f -jw t LP 0 LP 1 0 LP 1 y t K e x t t K e x t t 0 C C 0 ( ) = ( - ) = ( - ) Edellisten perusteella: Järjestelmän vaiheviive ja ryhmäviive määritellään jolloin C y () t = Re{ y () t e } BP LP -jw t jw t 0 LP 1 C 0 C Re{ Ke x ( t t) e } jw ( t-t ) C 0 Re{ Kx ( t t) e } 0 LP 1 = 1 K0 At -t1 e e = K At -t e jf( t-t ) jw ( t-t ) 1 C 0 Re{ ( ) } j( w ( t- t ) + f( t-t )) C 0 1 Re{ ( ) } 0 1 j( w ( t- t ) + f( t-t )) C 0 1 ( )Re{ } 0 1 = KAt ( -t)cos( w ( t - t0) + f( t -t1)) 0 1 jw t = - = - = KAt-t e C 1 arg [ H( f) ] t0( f) =- p f 1 darg [ H( f) ] t1( f) =- p df Useissa käytännön tapauksissa vaatimukset järjestelmän vaihevasteelle esitetään ryhmäviivespesifikaatioiden muodossa. Johtopäätökset (viimeisimmän muodon perusteella): t 0 on kantoaallon viive ja sitä kutsutaan vaiheviiveeksi (phase delay); määräytyy vaihevasteen arvosta keskitaajuudella t 1 on taas puolestaan verhokäyrän/vaihetermin (tai toisin tulkittuna alipäästöekvivalentin viive ja sitä kutsutaan ryhmäviiveeksi (group delay; määräytyy vaihevasteen derivaatasta keskitaajuuden ympärillä eli yleisesti kantoaalto ja alipäästöekvivalentti voivat kokea erilaisen viiveen kaistanpäästöjärjestelmässä Huom! Jos (ja vain jos) t 1 = t 0, kysymyksessä on perinteinen viiveelementti ja skaalaus K 0 :lla: tällöin tietysti ybp() t = K0xBP( t - t0) (tämä näkyy järjestelmän vaihevasteessa siis siten että se kulkee origon kautta)

87 ANALOGISET MODULAATIOMENETELMÄT TLT-500 / 161 Esimerkkejä analogisista modulaatiomenetelmistä TLT-500 / 16 Kantoaaltomodulaatiossa on kyse kantoaallon muokkaamisesta siirrettävän aaltomuodon eli viestin mukaisesti. Tavoitteena on muodostaa informaatiota kantava aaltomuoto, joka sopii parhaimmalla mahdollisella tavalla tiedonsiirtotehtävään ja käytettävissä olevan siirtomedian ominaisuuksiin (kaistanleveys, yms). Tarkastelemme analogisia modulaatiomenetelmiä, jotka voidaan edelleen jaotella seuraavasti: Moduloimaton kantoaalto: Pientaajuus (hyötysignaali): CW-modulaatio (continuous-wave) o Lineaarinen CW-modulaatio AM amplitudimodulaatio DSB kaksisivukaistamodulaatio VSB -"- vaimennetulla sivukaistalla SSB yksisivukaistamodulaatio Amplitudimoduloitu kantoaalto (informaatio amplitudin muutoksissa): o eksponentiaalinen CW-modulaatio eli kulmamodulaatio FM taajuusmodulaatio PM vaihemodulaatio Pulssimodulaatio (diskreettiaikaiselle signaalille) PAM PDM PPM pulssiamplitudimodulaatio pulssinkestomodulaatio pulssinpaikkamodulaatio Taajuusmoduloitu kantoaalto (informaatio taajuuden muutoksissa): CW-modulaatioissa kantoaaltona on korkeataajuinen sinimuotoinen signaali, pulssimodulaatioissa taas sakara-aalto. Käytännön analogisissa järjestelmissä pääpaino on CW-modulaatiossa. Digitaalisissa siirtojärjestelmissä taas on käytössä digitaaliset modulaatiotekniikat, joita kuvataan jäljempänä.

88 Oletuksia TLT-500 / 163 AM-signaali aikatasossa TLT-500 / 164 Jatkossa moduloivasta signaalista eli viestisignaalista xt () oletetaan että: se on kaistarajoitettu Xf ( )» 0 kun f > W se on normalisoitu s.e. xt () 1 => S = x () t 1 x Viestisignaalit ovat tapauksesta riippuen rajoitettuja joko teholtaan tai energialtaan. Yleensä pyritään tuloksiin, jotka pätevät mielivaltaisille viestisignaaleille. Tämä ei kuitenkaan ole aina mahdollista. Tärkeä erikoistapaus on siniaaltomodulointi (tone modulation): xt ( ) = A cos w t A 1, f W m m m m ( m ) x () t = A 1 + x() t cos( w t) c c c Tässä f c on kantoaaltotaajuus, A c on moduloimattoman kantoaallon amplitudi ja m > 0 on modulaatio-indeksi AM-signaalilla on viestistä riippuva verhokäyrä ( m ) At () = A 1 + x() t Verhokäyrä vastaa täysin viestiä jos m 1 fc c >> W Tällöin viesti on helppo ilmaista. Usein tarkastellan myös 'multitone-modulaatiota': xt () = Acoswt+ Acos w t+ 1 1 Kaiken kaikkiaan lähtökohtana seuraavissa kehitelmissä on yleisen kaistanpäästösignaalin x () t = At ()cos( w t + f()) t bp c = x ()cos( t w t) -x ()sin( t w t) i c q c 100 % modulaatio: m = 1 min [ At ( )] = 0 max [ At ( )] = A c Ylimodulaatio: m > 1 vaiheen kääntymisiä, verhokäyrä vääristyy (miten?) ominaisuuksien hyödyntäminen tiedonsiirtotehtävään.

89 AM-signaali taajuustasossa TLT-500 / 165 AM-signaalin teho TLT-500 / 166 Aikatasossa: ( ) x ( t) = A 1 + mx( t) cos( w t) = A cos( w t) + max( t)cos( w t) c c c c c c c Taajuustasossa: 1 m Xc( f) = Acd ( f - fc) + AX c ( f - fc) f > 0 (Tässä, kuten usein jatkossa, näkyy vain oikea puoli taajuustasosta. negatiivisilla taajuksilla spektri on symmetrinen kuten reaalisilla signaaleilla aina.) Huom! Moduloidun signaalin kaistanleveys B T on kaksinkertainen moduloivaan signaaliin verrattuna: B = W T Moduloidun signaalin keskimääräinen teho on c S = x () t =... T ( ) 1 1 c 1 m ( ) m ( ) c 1 m ( ) cos wc = A + x t + x t + A + x t t Kun f c >> W, jälkimmäinen termi lähestyy 0:aa. Jos lisäksi xt () = 0ja x () t = Sx niin ( m ) 1 T = c 1 + x S A S Tämä voidaan esittää moduloimattoman kantoaallon tehoa P c ja sivukaistatehoa P sb käyttäen myös muodossa: æ 1 m ö T = c + sb = c + ç x c S P P A ç S P çè ø Ehdosta m xt () 1toisaalta seuraa että m S 1 x 1 1 P S, P ³ S 4 sb T c T Johtopäätös: vähintään puolet AM-signaalin kokonaislähetystehosta on aina kantoaallossa, joka ei kanna informaatiota lähetystehon hyödyntämisen suhteen siis hyvin tehotonta! Myöhemmin nähdään, että AM sopii myös huonosti DC-komponentin ja matalien taajuuksien siirtoon.

90 DSB-modulaatio TLT-500 / 167 DSB-moduloidun signaalin teho TLT-500 / 168 DSB: double-sideband suppressed-carrier modulation kaksi sivukaistaa (kuten AM:ssä) mutta vaimennettu kantoaalto Taajuustasossa: x () t = Ax()cos( t w t) c c c 1 Xc( f) = AX c ( f - fc) f > 0 muistuttaa AM-spektriä, kantoaalto vain puuttuu kaistanleveys B = W Aikatasossa: verhokäyrä: At () = A x() t vaihe: c ìï 0 xt ( )>0 f() t = ï í ï 180 xt ( )<0 ïî T Ilmaisua ei voida tehdä pelkästään verhokäyrän perusteella. Vaiheenkääntymiset on pystyttävä myös ilmaisemaan => ilmaisu hankalampaa kuin AM:llä. Käytetään ns. synkronista ilmaisinta (tarkemmin myöhemmin). DSB:n tapauksessa koko lähetysteho käytetään informaation siirtoon (vertaa AM): 1 T sb c x S = P = A S (eli P 1 sb 4 Ac Sx = ) (Tämä pätee myös silloin kun viestissä on DC-komponentti.) Lähettimissä rajoittavana tekijänä keskimääräisen tehon lisäksi on usein huipputeho (peak envelope power) A ( A = max [ At ( )] ). A DSB: max c max max = A Psb = Sx /4 A max AM ( m = 1): Amax = A Psb c = Sx /16 A max Jos A max on kiinnitetty, DSB-lähetin tuottaa vähintään 4-kertaisen sivukaistatehon AM:ään verrattuna. Koska siirtoetäisyys (tietyllä S/Nsuhteella) on verrannollinen sivukaistatehoon, DSB:llä päästään näin tulkittuna 4-kertaiseen siirtoetäisyyteen. Tästä lisää mm. laskuharjoituksissa. Vertailua AM:llä vastaanottimen toteuttaminen yksinkertaista. DSB:llä noin 4-kertainen yhteyspituus kun lähetin on tehorajoitettu. Kummatkin tehottomia kaistanleveyden suhteen.

91 Siniaaltomodulointi ja osoitinesitys TLT-500 / 169 SSB-modulaatio TLT-500 / 170 Siniaaltomodulaatio: xt () = A cosw t DSB: x () t = AA cosw t cosw t m c c m m c AA c m AA c m = cos( wc - wm) t + cos( wc + wm) t AM: m Yksisivukaistamodulaatio (single-sideband; suppressed-sideband) Lähtökohta: AM on tuhlailevainen sekä tehon että taajuuskaistan suhteen, DSB taajuuskaistan suhteen. Toisaalta reaalisen kantataajuisen signaalin tapauksessa spektrin positiivinen puolisko määrittelee täysin signaalin DSB:llä ylempi ja alempi sivukaista ovat symmetriset ja jompikumpi niistä riittää informaation siirtämiseen kaistanleveys voidaan siis pienentää puoleen Saadaan USSB: ylempi sivukaista pidetään, alempi vaimennetaan LSSB: alempi sivukaista pidetään, ylempi vaimennetaan Kummassakin tapauksessa: kaistanleveys on W x () t = A cosw t c c c éaa c m AA c m ù + m cos( wc - wm) t + cos( wc + wm) t êë úû Osoitinesitys AM:lle: ja lähetysteho (puolet DSB:n vastaavasti) 1 T = SB = 4 c x S P A S Esimerkki: Siniaalto-modulaatio xt () = A cosw t m m AA USSB ( wc + wm) c m xc( t) = cos ( wc wm) t ìï í ï LSSB ( wc - wm) ïî puhdas siniaalto, jonka taajuus on f c f m => verhokäyrä on vakio joten verhokäyräilmaisu ei toimi

92 SSB:n toteutusperiaate (ainakin käsitteellisesti) TLT-500 / 171 Hilbert-muunnos TLT-500 / 17 Tarkastellaan kvadratuurisuodatinta, jonka siirtofunktio on ìï- j, " f > 0 HQ( f) =- jsgn f =í ï ï+ j, " f < 0 ïî Synonyymejä kvadratuurisuodatin Hilbert-suodatin Hilbert-muunnin Kuten kohta nähdään, Hilbert-muunnos liittyy läheisesti mm. SSB modulaation tulkintaa ja toteutukseen. j p / Koska j = e, on Hilbert muunnin siis seuraavanlainen suodatin positiivisilla taajuuksilla -90 (-p /) vaihesiirto negatiivisilla taajuuksilla + 90 ( +p /) vaihesiirto amplitudivaste HQ( f ) = 1 kaikilla taajuuksilla Hilbert muunnin on siis puhdas 90 vaiheensiirtoelementti (all-pass suodatin).

93 Hilbert-muunnos (jatkoa) TLT-500 / 173 Hilbert-muunnos (jatkoa) TLT-500 / 174 Aiemmasta siirtofunktiosta voidaan käänteis Fourier-muunnoksella laskea Hilbert-muuntimen impulssivasteeksi ( ) 1.5 Hilbert Transformer (HT) hq( t) 1 = pt Kvadratuurisuodatin muodostaa signaalille xt () sen Hilbertmuunnoksen xt ˆ( ): 1 x( l) xt ˆ( ) = xt ()* hq () t = d l p ò t - l F [ xt ˆ( )] = (-jsgn f) Xf ( ) Kvadratuurisuodatin ei ole kausaalinen, joten sitä ei voida toteuttaa täydellisesti. Sitä voidaan kuitenkin approksimoida halutulla taajuuskaistalla mielivaltaisen tarkasti. Matlab-esimerkki: diskreetti-aikainen Hilbert-muunnin, asteluku 50 - >> h = remez(50,[ ],[1 1],'Hilbert'); Amplitude Phase wrt. π/ Frequency ω / π Frequency ω / π 1 Hilbert Transformer (HT) n

94 Esimerkkejä Hilbert-muunnoksesta TLT-500 / 175 Hilbert-muunnin ja analyyttiset signaalit TLT-500 / 176 1) Hilbert-muunnos yksittäiselle värähtelijälle vastaa 90 vaihesiirtoa: xt () = Acos( w t+ f) xt ˆ( ) = Asin( w t+ f) ) Suorakaidepulssin Hilbert-muunnos xt () = A( ut ()-ut ( -t)) A xt ˆ( ) = p t ò dl t - l Seuraava kuva havainnollistaa konvoluution laskentaa hetkellä t sekä lopputulosta: Määritelmä: Analyyttisellä signaalilla tarkoitetaan yleisesti signaalia, jossa esiintyy vain positiivisia taajuuskomponentteja. Spektri on siis nolla, kun f < 0. Tällainen analyyttinen signaali on tietysti aikatasossa aina kompleksiarvoinen (miksi?). Nyt on kiehtovaa havaita, että mielivaltaisesta reaaliarvoisesta signaalista xt () voidaan Hilbert-muuntimen avulla muodostaa aina analyyttinen signaali: 1 [ xt () + jxt ˆ()] Perustelu: Lasketaan signaalin xt () + jxt ˆ() spektri F [ xt ( ) + jxt ˆ( )] = Xf ( ) + jh ( f) Xf ( ) Q = [1 + jh ( f )] X( f ) Q ì [1 + j (- j)] X( f), " f > 0 = ï í ï [1 + j ( + j)] X( f), " f < 0 ïî ì Xf ( )," f> 0 = ï í ï 0, " f < 0 ïî q.e.d. Nähdään, että signaalin epäjatkuvuudet aiheuttavat piikkejä Hilbertmuunnokseen. (Hilbert-muunnokseksi voidaan laskea : Huom! Millainen onkaan signaalin xt ()- jxt ˆ() spektri? Analyyttisen signaalin käsite on olennainen jatkossa, esim. SSB modulaation analysoinnissa. A xt ˆ( ) = ln p t t - t )

95 Hilbert-muunnin ja analyyttiset signaalit TLT-500 / 177 SSB-modulaation analysointi mielivaltaisella viestillä TLT-500 / 178 Jatketaan aiempaa Matlab-esimerkkiä: Recap: yleinen alipäästö-kaistanpäästö muunnos Amplitude Complex (1+j H HT ) Response x () t = x ()cos( t w t) -x ()sin( t w t) bp i c q c = At ()cos( w t+ f()) t j t [ x t e w ] c = Re ( ) lp c X LP (f) Frequency ω / π f Amplitude [db] Frequency ω / π Tässä esimerkissä negatiiviset taajuudet vaimenevat siis noin 80-90dB suhteessa positiivisiin taajuuksiin. kaistanpäästö-alipäästö muunnos f C X BP (f) alipäästö-kaistanpäästö muunnos Nyt aiemman perusteella SSB-moduloidun signaalin alipäästöekvivalentti on (vasen: LSSB, oikea: USSB). f C f W 0 0 W

96 SSB-modulaation analysointi (jatkoa) TLT-500 / 179 SSB modulaattori TLT-500 / 180 Edelleen aiemman Hilbert-muunnin tarkastelun perusteella, ko. alipäästöekvivalentit USSB ja LSSB signaaleille voidaan suoraan kirjoittaa muodossa (miksi?) 1 lp() = c[ () ˆ()] ; USSB(+), LSSB( -) 4 x t A x t jx t Täten itse SSB moduloitu (kaistanpäästö) signaali voidaan kirjoittaa muodossa (alipäästö-kaistanpäästömuunnos): Äskeisen perusteella, SSB-modulaatio voidaan siis toteuttaa muodostamalla Hilbert-muunninta käyttäen ensin analyyttinen alipäästösignaali, ja suorittamalla tämän jälkeen taajuussiirto, eli DSBmoduloimalla alkuperäinen signaali cos-kantoaaltoon ja Hilbertmuunnettu signaali sin-kantoaaltoon. A xc() t = Re xlp() t e = x()cos t ct x()sin t ct jwct c [ ] ( w ˆ w ) A xc() t = Re xlp() t e = x()cos t ct x()sin t ct jwct c [ ] ( w ˆ w ) SSB-moduloitu signaali voidaan siis esittää vaihe- ja kvadratuuri- (I/Q) komponenttien avulla: Ac Ac xci( t) = x( t) xcq( t) = xˆ ( t) Vastaavasti SSB-signaalin verhokäyrä on: A c At () = x ()+ t xˆ () t Lausekkeen monimutkaisuudesta johtuen on vaikeaa piirtää SSBaaltomuotoa tai laskea huipputehoa yleisessä tapauksessa. Esimerkki: SSB-modulaatio kun viesti xt () on kanttipulssi xt () = ut ()-ut ( - t) Jos signaalissa on epäjatkuvuuskohtia, verhokäyrässä on piikkejä. Käytännössä viestisignaalia on tarpeen alipäästösuodattaa ennen SSB-modulointia.

97 Excursio: Vaihtoehtoinen SSB modulaattori TLT-500 / 181 Vaihtoehtoinen SSB modulaattori (jatkoa) TLT-500 / 18 Idea: sivukaistasuodatus matalalla keskitaajuudella (alipäästö/ylipäästö/ kaistanpäästösuodattimen avulla) jonka jälkeen alipäästökaistanpäästömuunnos. Kulkee nimellä Weaverin menetelmä. Idea hahmoteltu alla spektrien avulla (tässä USSB generointi). Tästä seuraava varsinainen modulaattorirakenne seuraavalla sivulla. W / 0 W / 0 W / 0

98 VSB TLT-500 / 183 VSB (jatkoa) TLT-500 / 184 VSB (Vestigial sideband, tynkäsivukaista) Kompromissi DSB:n ja SSB:n väliltä VSB-moduloidun signaalin kaistanleveys on B = W + b» W T kaistanleveys lähempänä SSB:tä toteutus helpompi kuin SSB:llä moduloiva signaali voi sisältää myös pieniä taajuuksia Sivukaistasuodattimen siirtofunktio H( f ) toteuttaa ehdot (nämä ehdot liittyvät tarkemmin demodulointiin, tarkemmin myöhemmin): H( f) = u( f - f )-H ( f - f ) f > 0 H (- f) = -H ( f) b b H ( f) = 0 f > b b c b Käytännössä suodattimen transitiokaista on symmetrinen taajuuden f c suhteen siten, että H( f -D f) + H( f +D f) = 1 D f < b c c c missä b on ns. tynkäsivukaistan leveys. Usein halutaan, että koko ketjun siirtofunktio HT ( f ) on symmetrinen siten, että H ( f -D f) + H ( f +D f) = 1 D f < b T c T c Tynkäkaistan muokkaus voi tapahtua joko lähettimessä tai vastaanottimessa, jolloin toisessa päässä vaaditaan hieman leveämpää tynkäkaistaa. Muokkaus voidaan myös jakaa tasan lähettimen ja vastaanottimen kesken. VSB-signaali aikatasossa (tässä oikeastaan vain tulos ilman tarkempia perusteluja, menee hyvä tietää -koriin): Ac xc() t = ( x()cos t wct -xq()sin t wct) jwt xq( t) = xˆ ( t) + xb( t) xb( t) = j ò Hb( f) X( f) e df b -b b b << W x ( t)» 0» SSB b» W xˆ( t)+ x ( t)» 0» DSB b Lähetystehoa on vaikea laskea tarkasti, mutta sille pätee 1 1 4AS c x ST AS c x (SSB) (DSB)

99 VSB+C TLT-500 / 185 QAM TLT-500 / 186 VSB & kantoaalto (carrier) QAM, Quadrature amplitude modulation x () t = A (( 1 + mx() t ) cos w t - mx ()sin t w t) c c c q c Vaihe- ja kvadratuurikomponentit: x ( t) = A ( 1 + mx( t) ) x ( t) = Amx ( t) Verhokäyrä: ci c cq c q æ æ mxq () t ö ö At () = xci() t + xcq() t = Ac ( 1 + mx() t ) 1 +ç ç ç1 + mxt ( ) è è ø ø "Jos ei ole liian suuri ja liian pieni". mx () t << 1 q At ()» Ac ( 1 + mx() t ) verhokäyräilmaisu toimii Käytännössä on löydettävä kompromissi kolmen asian välillä: verhokäyrän virheettömyys hyötyteho/kokonaisteho kaistanleveys Ratkaisu löydetään yleensä kokeellista tietä. VSB+C on/oli laajasti käytössä mm. perinteisissä analogia-tvlähetysjärjestelmissä (mm. NTSC, PAL ja SECAM). 1 Kaistanpäästösignaalin yleinen esitysmuoto pitää sisällään kaksi toisistaan riippumatonta komponenttia (vaihe- ja kvadratuurikomponentti). Tämä mahdollistaa kahden toisistaan riippumattoman viestisignaalin, x1( t ) ja x( t ), moduloimisen samaan kantoaaltoon: x () t = A ( x ()cos t w t -x ()sin t w t) c c 1 c c c = A Re[( x ( t) + jx ( t)) e w ] c 1 Olettaen, että viestisignaaleiden kaistanleveydet ovat samat, QAM:n kaistanleveys on sama kuin DSB:n kaistanleveys. Jos siis on tarpeen siirtää kaksi erillistä signaalia, QAM:n on yhtä tehokas kaistanleveyden suhteen kuin SSB. j Tätä periaatetta käytetään yleisesti: PAL ja NTSC väritelevisiojärjestelmät perustuvat osittain QAM:ään QAM on erittäin yleisesti käytetty digitaalisten signaaleiden modulaatiomenetelmä; tätä tarkastellaan kurssin loppupuolella huomattavankin tarkasti vaihtoehtoinen termi: I/Q modulaatio x1( t) A cos w t c c t Ax c 1( t)cosw ct - x( t ) Ax c ( t)sinw ct

100 MODULAATTORIT JA LÄHETTIMET AM- JA DSB- JA SSB-SIGNAALEILLE TLT-500 / 187 AM-kertojamodulaattori TLT-500 / 188 Modulointi on epälineaarinen tai aikavariantti operaatio, jossa syntyy uusia taajuuskomponentteja. Toteutus kaavan mukaan : x () t = A cos w t + mx() t A cosw t c c c c c AM- ja DSB-modulointi voidaan toteuttaa helposti pienillä signaalitasoilla joko analogisesti tai digitaalisesti. Käytännön lähettimissä on tärkeätä pystyä suorittamaan modulointi hyvällä hyötysuhteella suurilla tehotasoilla (jopa MW?! no ainakin satoja mw useita W suuruusluokkaa). Jos modulointi tehtäisiin pienellä signaalitasolla, tarvittaisiin lineaarisia tehovahvistimia, joita on vaikea toteuttaa hyvällä hyötysuhteella. Tarvitaan siis analoginen kertojapiiri, tarkempaa analogiaelektroniikkaa löytyy esim. kurssikirjasta (mm. differentiaalivahvistin ja jännitevirtamuunnin yms). Rajoitukset: pienet tehot, rajoitettu taajuusalue

101 Neliölaki-modulaattori TLT-500 / 189 Balansoitu modulaattori TLT-500 / 190 DSB-modulaatio saataisiin aikaiseksi puhdasta neliölakia ( a 1 = 0) käyttäen. Koska tällaisen toteuttaminen olisi hankalaa, käytetään usein balansoitua rakennetta: out = 1 in + in v a v a v v () t = x() t + cosw t in c ( w ) ( w w ) v () t = a x() t + cos t + a x () t + cos t + x()cos t t out 1 c c c æ a ö a = a1 1 x() t ç + cos wct a1x() t ax () t ( 1 coswct) a è 1 ø haluttu taajuudella f ja 0-taajuuden AM-moduloitu ympärillä, voidaan suodattaa signaali pois jos fc >3 W Tässä myös xt ():n DC-termi säilyy. Balansoitu rakenne kompensoi myös joitakin AM-modulaattoreiden epäideaalisuuksia (esim. 3:nnen asteen epälineaarisuudet) kunhan nämä ovat identtisiä tästä esimerkki laskuharjoituksissa Käytännössä hyvin paljon käytetty rakenne DSB-modulaation tuottamiseen.

102 Kytkinmodulaattori TLT-500 / 191 Kytkinmodulaattori (jatkoa) TLT-500 / 19 Neliölaki- ja kertojamodulaattoreita käytetään lähinnä pienillä signaalitasoilla. Kytkinmodulaattori voidaan toteuttaa suoraan suurilla tehotasoilla hyvällä hyötysuhteella. Mallinnusta: Ajatellen kytkimen periaattellista toimintaa, ulostulosignaali voidaan kirjoittaa muodossa xs( t) = x() t g() t missä gt () on jaksollinen, nollakeskiarvoinen kanttipulssijono kuvaten kytkimen toimintaa. Toisaalta xs() t :n spektri on Xs( f) = X( f) * G( f) Koska gt () on jaksollinen (perustaajuutena kytkentätaajuus f s ), sen spektri Gf () koostuu impulsseista kytkentätaajuuden monikerroilla tässä vain parittomat monikerrat f s, 3f s, 5f s, läsnä (miksi?) (millainen tarkemmin olikaan kanttipulssijonon spektri?) Täten xs() t :n spektrissä näkyy alkuperäisen viestisignaalin xt () spektri monistuneena kytkentätaajuuden parittomien monikertojen ympärillä kytkin siis moduloi viestisignaalin ko. taajuuksien ympärille ks. edellisen sivun spektrikuva tästä haluttu moduloitu komponentti voidaan erottaa suodattamalla Haluttu DSB/AM-komponentti voidaan erottaa suodattamalla. Tämä voidaan helposti myös yleistää ei-symmetrisesti toimivaan kytkimeen vaikuttaa ainoastaan siihen mitä kytkentätaajuuden monikertoja kytkimen ulostulossa näkyy Matlab-esimerkki: (numeriikka hatusta) viestin kaistanleveys 700Hz kytkentätaajuus 4kHz, 5% duty cycle (kytkin kiinni 5% jaksosta, auki 75% jaksosta)

103 TLT-500 / 193 TLT-500 / 194 Kytkinmodulaattori (jatkoa) Kytkinmodulaattori (jatkoa) Original Signal 150 Signal after Swithing Signal after Swithing Time [s] Signal after Swithing and BPF x Frequency [Hz] x Original Signal 1 Filtered Signal in Time Domain Signal after Swithing x Frequency [Hz] x Time [s]

104 Käytännön kytkinmodulaattori TLT-500 / 195 Rengasmodulaattori TLT-500 / 196 Kaksoisbalansoitu rakenne vm( t ) > 0 Kytkin ja suodattimena toimiva LC-resonanssipiiri (tankkipiiri) muodostavat kokonaisuuden. Viestisignaali tuodaan sisään muuntajalla. AM-lähetin, jossa modulointi korkealla tehotasolla: vm( t ) < 0

105 Excursio: Sekoitus (mixing) TLT-500 / 197 Käytännön SSB-modulaattorit (1) TLT-500 / 198 Vastaanotintekniikassa on usein tarpeen siirtää moduloidun signaalin spektri sopivammalle taajuusalueelle (välitaajuudelle) suodatusta ja vahvistusta varten (ns. superheterodyne-periaate jota käsitellään radioarkkitehtuurien yhteydessä tarkemmin). Lähetimissä taas voidaan tehdä signaalinkäsittelyä pienemmällä välitaajuudella ennen siirtymistä lopulliselle kantoaaltotaajuudelle. Lähtökohtana: Käytetään kiinteitä, kohtalaisen pieniä välitaajuuksia, jolloin selektiivisten suodattimien toteuttaminen on helpompaa. Tarvittava taajuuden siirtäminen tapahtuu sekoittamalla eli kertomalla hyötysignaali paikallisoskillaattorista saatavalla värähtelijällä: SSB:ssä edellytetään, että 0-taajuuden ympärillä ei ole siirrettäviä taajuuksia Miksi? Koska epäideaalinen sivukaistasuodatus (toteutetaanpa se käytännössä miten tahansa) poistaisi ne joka tapauksessa Esim. puheella kaista voi olla Hz. Esimerkkinä DSB-signaalin sekoitus (oletus: wc > w ) LO Vaadittavan sivukaistasuodattimen transitiokaista on joka tapauksessa jyrkkä ja suodatin on vaikea toteuttaa, etenkin korkeilla keskitaajuuksilla. wt ( ) = x( t)cos w t= xt ( )cos w tcos w t c LO c LO 1 1 = xt ()cos( wc + wlo) t+ xt ()cos( wc -wlo) t Viestisignaalin spektri siirtyy summa- ja erotustaajuksien ( f c + f LO ja f - f ) ympärille. Suodattimella poistetaan näistä toinen osuus. c LO

106 Käytännön SSB-modulaattorit () TLT-500 / 199 Käytännön SSB-modulaattorit (3) TLT-500 / 00 Kaksivaiheinen SSB:n generointi sekoitus-periaatetta hyödyntäen: Hilbert-muuntimeen perustuva rakenne: BPF-1 toteuttaa sivukaistasuodatuksen voidaan toteuttaa pienemmällä kiinteällä välitaajuudella f 1 (esim. kidesuodattimia tai SAW-suodattimia käyttäen) BPF- poistaa sekoituksessa syntyvät ylimääräiset taajuuskomponentit vaatimukset vähemmän kriittisiä HQ( f ) voidaan toteuttaa vain approksimatiivisesti. Käytännössä approksimointi johtaa samantyyppiseen kokonaisvasteeseen kuin aiemmat toteutukset, siis viestisignaalin matalat taajuudet vaimenevat. Kaikenkaikkiaan saadaan kokonaisuutena paremmin realisoitavissa oleva toteutus.

107 Käytännön SSB-modulaattorit (4) TLT-500 / 01 LINEAARISTEN MODULAATIOIDEN ILMAISU TLT-500 / 0 Weaverin menetelmä (ks. yksityiskohdat aiempaa): Tähän mennessä siis mietiskelty lähinnä miten lineaariset modulaatiomenetelmät (AM/DSB/SSB/VSB) käyttävät hyväkseen yleistä kaistanpäästösignaalirakennetta x () t = x ()cos( t w t) -x ()sin( t w t) bp i c q c = At ()cos( w t+ f()) t c Vastaanottimen tehtävänä on tietysti palauttaa eli ilmaista (tai demoduloida) viesti xt () moduloidusta (ja käytännössä kanavan läpi kulkeneesta) signaalista xc() t. Koska kaikilla lineaarisesti moduloiduilla signaaleilla I-komponentti (tai yleisemmin I ja Q komponentit jos otetaan mukaan myös QAM pariaate) on verrannollinen viestisignaaliin xt (), tulisi ilmaisimen onkia ko. komponentti esiin moduloidusta signaalista. Toisaalta tämä vastaa käsitteellisesti kaistanpäästöalipäästömuunnosta ilmaisun yhteydessä käytetään nimitystä synkroninen ilmaisin (syy selviää hetken päästä) engl: synchronous detection, synchronous demodulation, I/Q demodulation, AM-modulaation tapauksessa myös moduloidun signaalin verhokäyrä on verrannollinen viestiin, joten myös verhokäyräilmaisin toimii.

108 Verhokäyräilmaisu TLT-500 / 03 Synkroninen ilmaisu TLT-500 / 04 1 W << f RC c 1 1 Recap: Kaistanpäästö-alipäästö muunnos Kompleksisten signaalien avulla: I/Q signaalien avulla: Myös DSB:n ilmaisu verhokäyräilmaisimella on periaatteessa mahdollista (mutta käytännössä vaikeaa):

109 Synkroninen ilmaisu (jatkoa) TLT-500 / 05 VSB:n synkronisesta ilmaisusta TLT-500 / 06 Yleinen AM-/DSB-/SSB-/VSB-signaali (sopivilla arvoilla vakioille K c, K m, K ja Q-haaran signaalille x () t ): q q Havainnollistettu alla spektrien avulla, lähinnä tynkäkaistan symmetrian näkökulmasta: { } x () t = K + Kmx() t cos w t - K x ()sin t w t c c c q q c => I-komponentti verrannollinen viestiin xt (), palautetaan se: Voidaan kirjoittaa suoraan yt () = x() ta cos w t=... c LO c ALO = {( Kc + Kmx() t ) ( K K x() t ) cos w t K x ()sin t w t} c m c q q c ( ) y () t = K K + K x() t D D c m Tynkäkaistat siis todella täydentävät toisensa, kunhan ne on muokattu aiemmin esitettyjen symmetriaehtojen mukaisesti. Tässä K D on ilmaisintyypistä riippuva vakio. Myös DC-termi voidaan tarvittaessa poistaa. Huomaa että paikallisoskillaattorin tulee olla samassa vaiheessa ja taajuudessa kantoaallon kanssa tästä nimitys synkroninen ilmaisu käytännössä paikallisoskillaattorin vaihe ja/tai taajuus voivat poiketa vastaanotetun signaalin ko. suureista o tästä seuraa vääristymää ilmaistuun signaaliin, kuten kohta tarkemmin todetaan

110 QAM:n synkroninen ilmaisu TLT-500 / 07 Synkronoinnista TLT-500 / 08 QAM signaali yleisesti x () t = A ( x ()cos t w t -x ()sin t w t) c c 1 c c j ct = A Re[( x ( t) + jx ( t)) e w ] c 1 => palautetaan siis sekä I että Q komponentit: Hyvälaatuisessa synkronisessa ilmaisussa paikallisoskillaattorin taajuus ja vaihe on lukittava kantoaaltoon. Synkronointi voi käytänössä perustua 1) Kantoaaltoon (jos tämä on mukana käytetään kuitenkin yleensä verhokäyräilmaisua). ) Osittain vaimennettuun kantoaaltoon. x1( t) 3) Kantoaaltoon synkronoituun pilot-signaaliin (esim. kantoaaltotaajuuden puolikas). 4) Lyhyeen, ajoittain toistuvaan kantoaaltopurskeeseen. x( t) Toteutuksessa käytetään yleisesti vaihelukittua silmukkaa, jolla paikallisoskillaattorin taajuus ja vaihe lukitaan lähetteeseen sisältyvään pilot-signaaliin. (Esim. vastaanotetun, vahvistetun ja suodatetun kantoaallon käyttäminen paikallisoskillaatorin sijasta johtaa käytännössä huonompaan tulokseen.)

111 Vaihe- ja taajuusvirhe synkronisessa ilmaisussa TLT-500 / 09 TLT-500 / 10 Vaihe- ja taajuusvirhe synkronisessa ilmaisussa (jatkoa) Paikallisoskillaattorin signaali (I-haara): cos( wct + w ' t + f ' ) taajuusvirhe vaihevirhe Voidaan tarkastella myös yleisemmässä muodossa, vastaanotettu signaali x () t = A ( x ()cos t w t - x ()sin t w t) c c I c Q c DSB, esimerkkinä siniaaltomodulointi ( xt () = cos( w t) ): y () t = K cosw t cos( w' t + f') D D m ìï KD { cos( wm + w') t + cos( wm - w') t} f' = 0 = ï í ï KD cos wmt cos f' w' = 0 ïî SSB, esimerkkinä myös siniaaltomodulointi ( xt () = cos( w t) ): y () t = K cos ( w t ( w' t + f) ) D D m Jos vaihe ryömii: ì KD cos( wm w') t f' = 0 = ï í ï KD cos( wmt f') w' = 0 ïî SSB:llä ei mainittavaa vaikutusta puheella DSB:llä amplitudi vaihtelee 0 Jos taajuus ryömii: KD. SSB:llä taajuus muuttuu => Aku Ankka -efekti: puheen harmooninen rakenne menee pilalle, siedettävä virhe 10 Hz DSB:llä taajuus hajoaa kahdeksi eri taajuudeksi => huonompi kuin SSB m m Paikallisoskillaattori xlo() t = ALO cos( wct + w ' t + f ' ) taajuusvirhe vaihevirhe Tällöin xc() t xlo() t =...(laske itse auki) joka alipäästösuodatuksen jälkeen antaa olennaisesti y () t = K [ x ()cos( t w' t + f') + x ()sin( t w' t + f')] D D I Q Nyt esimerkiksi tapauksissa DSB: x () t = x(), t x () t = 0 I SSB: x() t = xt (), x () t = xt ˆ() saadaan DSB: y D I Q Q ìï KDx( t)cos( f ') jos vain vaihevirhettä () t = ï í ïï KDx( t)cos( w ' t) jos vain taajuusvirhettä î SSB: ì KD[ x( t)cos( f') + xˆ ( t)sin( f')] jos vain vaihevirhettä yd() t = ï í ï KD[ x( t)cos( w' t) + xˆ ( t)sin( w' t)] jos vain taajuusvirhettä ïî Tulkinnat?!

112 Synkronointivirheet QAM:n tapauksessa TLT-500 / 11 LINEAARISET JA EKSPONENTIAALISET MODULAATIOMENETELMÄT - VERTAILUA TLT-500 / 1 QAM:n tapauksessa vaihe- ja kvadratuurikomponentteihin moduloidut signaalit voidaan erottaa toisistaan vain jos paikallisoskillaattori synkronoidaan kantoaaltoon erittäin hyvin. Paikallisoskillaattorin vaihevirheet aiheuttavat ylikuulumista. Ääriesimerkkinä 90 asteen vaihevirhe aiheuttaa näiden kahden moduloidun signaalin vaihtumisen keskenään. Tästä esimerkki laskuharjoituksissa ks. myös edellisen kalvon analyysi No oikeastaan jos I ja Q haaran paikallisoskillaattorit muotoa (taajuusvirhe w ' ja vaihevirhe f ' ) xlo, I () t = ALO cos( wct + w' t + f') x () t =- A sin( w t + w' t + f') LO, Q LO c = -, niin xc t xlo, I t = ja xc t xloq, t = alipäästösuodatus huomioiden tuottaa ja vastaanotettu signaali xc() t Ac( xi()cos t wct xq()sin t wct) () ()... () ()... ydi, () t = KD[ xi()cos( t w' t + f') + xq()sin( t w' t + f')] y () t = K [ x ()cos( t w' t + f') - x ()sin( t w' t + f')] DQ, D Q I tulkinta 1: vaihe- ja taajuusvirhe aiheuttavat siis I ja Q komponenttien sekoittumisen (ylikuulumisen) ilmaisimessa! Toisaalta vastaava kompleksinen signaali voidaan kirjoittaa muodossa Lineaarinen modulaatio Eksponentiaalinen/kulma modulaatio Menetelmät AM, DSB, SSB, VSB Vaihemodulaatio (PM) Taajuusmodulaatio (FM) Verhokäyrä Riippuu viestistä Vakio Spektri Viestisignaalin spektri Monimutkainen suhde taajuusakselilla viestisignaalin spektriin siirrettynä Kaistanleveys < W > W S/N-suhde < (S/N)B > (S/N)B Voidaan parantaa vain Voidaan parantaa lähetyslähetystehoa lisäämällä tehoa lisäämättä kasvattamalla kaistanleveyttä Voidaan etsiä sopiva kompromissi kaistanleveyden ja S/N-suhteen välille. y () t + jy () t =... = K [ x () t + jx ()]exp( t - j( w' t + f')) DI, DQ, D I Q tulkinta : vaihe- ja taajuusvirhe aiheuttavat kompleksiseen ilmaistuun signaaliin ylimääräisen aikariippuvan vaiherotaation!

113 (EKSPONENTIAALINEN) KULMAMODULAATIO TLT-500 / 13 VAIHEMODULAATIO (PM) TLT-500 / 14 Lähtökohtana (jälleen) yleinen kaistanpäästösignaalirakenne x () t = At ()cos( w t + f() t ) bp c = x ()cos t ( w t) -x ()sin t ( w t) I c Q c Nyt kulmamodulaation tapauksessa verhokäyrä At () on vakio ja informaatio (viesti) kulkee siten (tavalla tai toisella) vaiheessa f () t. Tarkastellaan siis moduloitua kantoaaltosignaalia, jolla on vakioamplitudi mutta ajan mukana muuttuva vaihe. Yleinen esitysmuoto: x () t = A cos ( w t + f() t ) c c c = Ac cos Q c( t) = Ac Re é ë e jf() t jwc () t = Re[ Ae e ] c jq () t missä Q () t = w t + f() t on ns. hetkellinen kokonaisvaihe. c c c ù û Idea: Hetkellinen vaihe f () t riippuu lineaarisesti moduloivasta signaalista f( t) = f x( t) 0< f 180 D ( w fd ) x () t = A cos t + x() t c c c missä f D on ns. vaihedeviaatio. D Hetkellinen vaihe f () t riippuu siis suoraan moduloivasta signaalista xt (). Aiemmalla oletuksella moduloivasta viestistä ( xt () 1) hetkellinen vaihe välillä - fd... + fd maksimaalinen vaihesiirto on siis f D toisaalta kulman yksikäsitteisyydestä seuraa rajoitus f D 180 Jatkossa olennainen käsite hetkellisen vaiheen lisäksi on myös ns. hetkellinen taajuus [Hz]: Qc () t f() t ft () = = fc + p p df() t (Huom. merkintä: f () t = ) dt Vaihemodulaation tapauksessa f() t = f D x() t jolloin hetkellinen taajuus fd f () t = fc + x () t p Huomaa, että hetkellinen taajuus on selvästi eri käsite kuin spektraalinen taajuus! miksi? (tästä lisää myöhemmin)

114 TAAJUUSMODULAATIO (FM) TLT-500 / 15 Vaihemodulaatio ja taajuusmodulaatio rinnakkain TLT-500 / 16 Idea: Hetkellinen taajuus lineaarisesti verrannollinen viestiin: f ( t) = f + f x( t) f << f c D missä f D on taajuusdeviaatio. Olettaen edelleen että xt () 1, niin hetkellinen taajuus vaihtelee siis välillä f - f... f + f. Vaiheeksi tulee tässä tapauksessa (yleisesti t f() t = pf x( l) dl + f( t ) t > t ò D t 0 D c c D 0 0 c D f() t ft () = fc + ): p Yleensä oletetaan että f ( t0) = 0, jolloin FM-aaltomuoto voidaan kirjoittaa muodossa æ t ö xc() t = Ac cos wct + pfd x( l) dl ç ò çè ø Tällöin on oletettava, että viestissä ei ole DC-komponenttia, jotta integraali suppenee kun t. t 0 ( xt ():n DC-komponentti aiheuttaisi kantoaallolle taajuussiirtymän, jonka suuruus on fd xt ().) Hetkellinen vaihe Hetkellinen taajuus PM FM fd fdxt () fc + xt () p t ò pf x( l) dl f + f x( t) D t 0 FM- ja PM-signaaleita on yleensä vaikea erottaa toisistaan aaltomuotojen perusteella. Kummassakin tapauksessa aaltomuodon verhokäyrä on vakio. Voidaan ajatella, että kaikki informaatio on nollanylityskohdissa. Moduloitujen FM- ja PM-signaaleiden teho on aina c S = A T Yhtäläisyyksistä huolimatta FM-modulaatio toimii paremmin kohinaisissa olosuhteissa (tämä seuraa mm. erosta ilmaisutekniikoissa). FM:n hetkellisen taajuuden lausekkeesta nähdään, että vastaanottimen demodulaattorin lähtösignaali on verrannollinen deviaatioon. Sitä voidaan kasvattaa lähetystehoa muuttamatta. Tämä merkitsee sitä, että FM-järjestelmän S/N-suhdetta voidaan kasvattaa lähetystehosta riippumatta. Tällöin kuitenkin myös kaistanleveys kasvaa (kohta lisää). c D olipa deviaatioiden arvo mita tahansa! FM:llä voitaisiin toisaalta ajatella pienennettävän signaalin taajuuskaistaa käyttämällä hyvin pientä deviaatiota. Tämä ei kuitenkaan toimi käytännössä, koska kaikissa järjestelmissä on kohinaa, joka korostuisi voimakkaasti.

115 AM-, FM- ja PM-aaltomuotoja TLT-500 / 17 KAPEAKAISTAINEN PM JA FM TLT-500 / 18 Spektrianalyysiä silmällä pitäen esitetään ensin kulmamoduloitu signaali vaihe- ja kvadratuuri-komponenttien (I/Q komponenttien) avulla: x () t = A cos ( w t + f() t ) = x ()cos t w t - x ()sin t w t c c c ci c cq c missä x () t = A cos f() t ja x () t = A sin f() t. ci c Oletetaan nyt että f () t << 1 radjolloin cq ì f () t ü f() t << 1 xci() t = Ac cos f() t = A ï c í1- + ï ý» Ac ïî! ïþ ì 3 f () t ü f() t << 1 xcq() t = Ac sin f() t = A ï c íf() t - + ï ý» Ac f() t ïî 3! ïþ Tällöin siis xc() t» Ac cos wct - Acf()sin t wct ja vastaava alipäästöekvivalentti on x ( t) = 1 ( x ( t) + jx ( t))» 1 ( A + jaf( t)). lp ci cq c c c Seuraavassa lähdetään hahmottelemaan kulmamoduloitujen signaaleiden spektrianalyysiä. Kulmamodulaation taajuustasoanalyysiä ei kuitenkaan pystytä suorittamaan yleisessä tapauksessa analyyttisesti seuraavassa tarkastellaankin aluksi ns. kapeakaistaisia tapauksia (tarkoittaa olennaisesti pieniä deviaatioiden arvoja) ja toisaalta siniaalto-modulointia (viestinä yksittäinen siniaalto) sekä kapeakaistaisena (pieni deviaatio) että leveäkaistaisena (mielivaltainen deviaatio) Näiden avulla saadaan käytännössä hyvin toimivia tuloksia mm. kulmamoduloitujen signaaleiden olennaiselle kaistanleveydelle (esim. FM radioiden mitoitus). Alipäästöekvivalentin spektri on tällöin suoraan 1 Xlp( f) = ( Ac d( f) + jac F ( f)) missä F () f = F [ f() t ]. Täten moduloidun signaalin spektri on muotoa: 1 Xc( f) = ( Acd ( f - fc) + jacf( f - fc) ) f > 0 ìï fdxf ( ) PM missä F ( f) = F [ f( t) ] = ï í ï - jfdx( f)/ f FM î Tästä mm. nähdään, että kapeakaisesti FM- ja PM-moduloitujen signaaleiden kaistanleveys on» W (kun W on viestin kaistanleveys). Tällaisille modulaatioille käytetään lyhenteitä NBFM ja NBPM.

116 Esimerkki kapeakaistaisesta FM- ja PM-modulaatiosta TLT-500 / 19 SINIAALTOMODULOINTI TLT-500 / 0 xt () = sincwt Xf ( ) =P( f/ W)/W Moduloitujen signaaleiden spektrit: NBPM: NBFM: Tarkastellaan FM- ja PM-modulaatioita, kun moduloiva signaali on yksittäinen siniaalto: Tällöin ìï A xt () = ï í ïï A î m m sin w cos w m m t t PM FM f() t = bsinw m t ìï fda b = ï í ïïï Am f î fm m D PM FM Tässä parametria b kutsutaan usein modulaatio-indeksiksi. Spektrit muistuttavat AM-signaaleiden spektrejä (etenkin NBPM tapaus), olennaiset erot ovat vaihekäyrissä. Erityisesti NBPM-signaalin amplitudispektri on sama kuin AM-signaalin amplitudispektri samalla viestisignaalilla (ja sopivalla modulaatioindeksillä). Kapeakaistaisessa siniaaltomoduloinnissa b 1 jolloin x () A cosw t -Absinw t sinw t c c c c m c Acb Acb = Ac cos wct - cos( wc - wm) t + cos( wc + wm) t (recap: 1 Xlp( f) = ( Ac d( f) + jac F ( f)) ìï fdxf ( ) PM F ( f) = F [ f( t) ] = ï í ) ï - jfdx( f)/ f FM î Osoitinesityksessä sivukaistavektori on kohtisuorassa kantoaaltoon nähden. Kun kulma on pieni, resultanttivektorin pituus on likimain vakio. vaihe-/taajuusmodulaatio (amplitudimodulaation sijaan)

117 Siniaaltomodulointi - yleinen tapaus TLT-500 / 1 Siniaaltomodulointi - yleinen tapaus (jatkoa) TLT-500 / xc() t = Ac cos( wct + f()) t = A cos f( t)cos w t -A sin f( t) sin w t c c c c ì ü = A ï c cos( bsin wmt)cos wct sin( bsin wmt) sin wct í - ï ý ïî ïþ Jaksollisia funktioita, perustaajuus f m Moduloitu signaali voidaan nyt saattaa muotoon: x () t = AJ ( b)cosw t c c 0 c å + AJ ( b) { cos( w + nw ) t -cos( w -nw ) t} n=1,3, å + AJ ( b) { cos( w + nw ) t + cos( w -nw ) t} n=,4, c n c m c m c n c m c m Käyttäen vielä hyväksi tietoa J- n( b) = (- 1) Jn( b) päästään lopulta muotoon: c å c n c m. n= - x () t = AJ ( b)cos( ( w + nw ) t) Moduloidun signaalin spektrin periaatteellinen muoto on siis: n Kehitetään yo. jaksollisten funktioiden trigonometriset Fourier-sarjat: cos( bsin w t) = J ( b) + J ( b)cos( nw t) m 0 n m n=,4,... å sin( bsin w t) = J ( b)sin( nw t) å m n m n= 1,3,... Tässä J ( b ):t ovat ensimmäisen lajin Besselin funktioita n p 1 j( bsin( l) nl) Jn( b) = - e dl p ò -p Periaatteessa spektri jatkuu kumpaankin suuntaan rajatta. Käytännössä tietyn kaistan ulkopuolella olevat komponentit ovat kuitenkin merkityksettömiä olennaisen kaistanleveyden käsite (mm. tästä seuraavassa )?

118 Numeerinen esimerkki TLT-500 / 3 Osoitinesitys TLT-500 / 4 Besselin funktioiden arvoja löytyy mm. taulukkokirjoista tai toisaalta niitä voi helposti laskea myös esim. Matlabin avulla (help besselj). Havainnollistetaan lyhyesti modulaatioindeksin suuruuden vaikutusta olennaisesti nollasta poikkeavien spektrikomponenttien lukumäärään ja toisaalta yhteyttä aiempaan kapeakaistaiseen approksimaatioon >> beta = 0.01; >> besselj(-5:5,beta).' ans = ( = J -5 (0.01) ) ( = J -4 (0.01) ) ( = J -3 (0.01) ) ( = J - (0.01) ) ( = J -1 (0.01) ) ( = J 0 (0.01) ) ( = J 1 (0.01) ) ( = J (0.01) ) ( = J 3 (0.01) ) ( = J 4 (0.01) ) ( = J 5 (0.01) ) >> beta = 0.1; >> besselj((0:10).',beta) ans = >> beta = 5; >> besselj((0:10).',beta) ans =

119 Jaksolliset viestisignaalit yleisemmin TLT-500 / 5 Esimerkki: Sakara-aalto moduloivana signaalina TLT-500 / 6 Multitone-modulaatio missä b xt () = Acoswt+ Acosw t 1 1 å å x () t = A J ( b ) J ( b )cos( w + nw + mw ) t i c c n 1 m c 1 n= - m=- Af i D =. f i Esimerkiksi tapaus f 1 << f, b 1 >> b : t d = T xt () = d Kuvissa tapaus b = 4 A c 0 = 1 f = 4f D 0

120 Besselin funktioista vielä TLT-500 / 7 FM-SIGNAALIN KAISTANLEVEYS - Siniaaltomodulointi TLT-500 / 8 Aiemman analyysin perusteella FM-signaali vaatii teoriassa äärettömän kaistanleveyden. Käytännössä kaistanleveys on tietysti rajoitettava äärelliseksi. Tämä aiheuttaa ilmaistussa signaalissa vääristymää, jonka suuruus riippuu mm. käytetystä kaistanleveydestä. Seuraavassa pyritään etsimään kriteeriä tarvittavalle kaistanleveydelle, jotta vääristymä ei olisi merkittävää. Koska analyysiä ei pystytä tekemään tarkasti yleiselle signaalilla, tarkastelu perustuu siniaallolla FM-moduloidun signaalin analysointiin. Moduloiva signaali on siis (kuten edellä): xt () = A cosw t m m Tällöin keskeinen kysymys on: Mitkä kantoaallon ympärillä olevista spektriviivoista? f + nf n =, -, -1, 0,1,, c m ovat merkittäviä? Aiemman perusteella, Jn( b ):n arvot pienenevät nopeasti kun n > b (ks. edelliset kelmu), erityisesti kun b 1. Tärkeimmät spektriviivat määräytyvät siis ehdosta Huomaa yleisesti että: Myös kantoaaltotermi J0( b ) kantaa informaatiota. Joillakin b :n arvoilla se voi mennä myös nollaksi. Merkittävien spektriviivojen määrä riippuu yleisesti b :sta. Suuri kaistanleveys suurilla b :n arvoilla (tarkemmin seuraavassa). Spektri vaimenee monotonisesti kun n / b > 1, erityisesti kun b 1. n Am f b = f m D jolloin tarvittava taajuusalue on f c bf m = f c A m fd. Yleensä tarvitaan vielä muutama piikki tämän alueen ulkopuolelta. Kaikissa tapauksissa on tietysti tarpeen ottaa ainakin kantoaaltoa lähinnä olevat spektripiikit, siis tapaus n = 1 (miksi?).

121 FM-signaalin spektri siniaaltomoduloinnissa TLT-500 / 9 TLT-500 / 30 FM-signaalin kaistanleveys - Siniaaltomodulointi (jatkoa) bf havainnollistus eri modulaatio- Alla olennaisen taajuusalueen f c indeksin b arvoilla: f m vakio: fm m b vakio: Määritellään, että spektriviivat, joille Jn( b) > e ovat merkittäviä. Käytännön sovellutuksissa esim < e < 0.1 (kokeellista tietä). Merkitään jatkossa olennaisten spektrikomponenttien lukumäärää (kantoaallon molemmilla puolilla) M( b ):lla. Kaistanleveys on tällöin B = M( b) f m Yo. perusteella M( b ):lla pätee JM ( b) ³ e ja J M + 1( b) < e. Tätä on havainnollistettu eri b :n arvoilla ao. kuvassa tapauksissa e = 0.1 ja e = 0.01: (Kertaus: b Am = f D) f m Kokeellisten tutkimusten perusteella on havaittu että e = 0.1 useimmiten liian löysä vaatimus e = 0.01 riittävä kaikissa tapauksissa, välillä ehkä turhan vaativa Kun b ³, valinta M( b) = b + menee näihin rajoihin, ja on osoittautunut käytännössä hyväksi kriteeriksi.

122 FM-signaalin kaistanleveys - Esimerkki TLT-500 / 31 FM-signaalin kaistanleveys Esimerkki (jatkoa) TLT-500 / 3 Havainnollistetaan FM-aaltomuodon käyttäytymistä tapauksessa b = 5 ottamalla M = 1, 3, 5, 7, 100 sivukaistaa mukaan signaaliin: Message Signal Approximate FM Signal with M = 5 (β = 5) Time Approximate FM Signal with M = 1 (β = 5) Time Approximate FM Signal with M = 3 (β = 5) Time Time Approximate FM Signal with M = 7 (β = 5) Time Approximate FM Signal with M = 100 (β = 5) Time

123 Maksimikaistanleveys siniaaltomoduloinnissa TLT-500 / 33 Yleisen FM-signaalin maksimikaistanleveys TLT-500 / 34 Lähtien yleisistä oletuksista viestisignaalille ( xt () 1ja kaistanleveys W ), mielenkiintoinen kysymys on mikä siniaalto em. rajoitteiden sisällä tuottaa suurimman kaistanleveyden moduloivalle signaalille f W A 1 m m Edellisen analyysin perusteella siniaaltomoduloinnissa pahin tapaus kaistanleveyden suhteen on silloin kun taajuus ja amplitudi ovat maksimaaliset (miksi?), eli: f = W A = 1 m m Tällöin kaistanleveydeksi tulee (äskeisellä M( b) = b + kriteerillä) Huom: Am fd BT = ( b + ) fm = ( + ) fm = ( AmfD + fm) fm = ( f + W ) D Tämä tilanne ei selvästikään vastaa maksimaalista modulaatioindeksiä b (miksi?). Mutta kaikilla muilla siniaalloilla ( f m < W ja/tai A m < 1) kaistanleveys on kuitenkin pienempi vaikka b olisikin suurempi. Yleisessä tapauksessa, mielivaltaisilla moduloivilla signaaleilla xt () ( xt () 1, kaistanleveys W ) ei löydy olennaisesti pahempia tapauksia kaistanleveyden suhteen kuin edellä käsitelty pahin siniaaltomodulaatio. Tätä voidaan siis pitää kriteerinä FM-signaalin kaistanleveyttä määritettäessä yleisessäkin tapauksessa. Tällöin puhutaan modulaatioindeksin b sijasta deviaatiosuhteesta D, joka määritellään: D = f W D Ja kaistanleveys on vastaavasti BT = M( DW ) Funktiolle MD ( ) (sama kuin M( b ) edellä) käytetään samantyyppisiä approksimaatioita kuin edellä: Usein toimitaan alueella < D < 10, jolloin edellä käytetty approksimaatio MD ( ) = D+ antaa parhaat tulokset. Tällöin ( D + ) W = ( f + W) T D Usein mainitaan myös Carsonin säätö ( MD ( ) = D+ 1): ( D + 1) W = ( f + W) T D Huomaa myös lopuksi että jos taajuusdeviaatio fd >> W, niin tällöin BT» f D mikä on sama kuin hetkellisen taajuuden vaihteluvälin leveys. (Tätä kautta monesti virheellisesti samaistetaan hetkellisen taajuuden ja spektraalisen taajuuden käsitteet.)

124 Esimerkki: Yleisradiolähetyksissä käytettävä FM TLT-500 / 35 Kaistanleveys vaihemodulaatiossa TLT-500 / 36 f D = 75 khz W» 15 khz (30 Hz¼15 khz "audiokaista") D = 75/15 = 5 Kaistanleveysestimaatit : - B = (5 + ) 15kHz = 10kHz T - B = (5 + 1) 15kHz = 180kHz T (Low distortion kriteeri) (Carsonin sääntö) B = M( f ) W M( f ) ³ 1 T» ( f + 1) W D D Tämä eroaa taajuusmodulaatiosta siinä, että f D on riippumaton kaistanleveydestä W. Rajoituksesta fd p rad johtuen ei oikein voida puhua leveäkaistaisesta vaihemodulaatiosta. D Siniaaltomoduloinnissa: f = 15kHz, A = 1 b = 5, M( b) = 7, B = 10kHz m m f = 3kHz, A = 1 b = 5, M( b) = 7, B = 16kHz m m

125 FM-LÄHETIN- JA VASTAANOTINTEKNIIKKAA Seuraavassa tarkastellaan lineaarisen suodatuksen vaikutuksia FM-signaaliin epälineaaristen elementtien vaikutuksia FM-signaaliin TLT-500 / 37 Lineaarisen suodatuksen aiheuttama vääristyminen FM-signaalille TLT-500 / 38 FM modulaatiomenetelmiä (toteutusnäkökulmat) FM-ilmaisinperiaatteita Tässä osassa puhutaan lähinnä taajuusmodulaatiosta, mutta useimmissa tapauksissa tulokset pätevät myös vaihemodulaatiolle. Vaihe- ja taajuusmodulaation vakioverhokäyräisyydestä on monessa mielessä merkittävää etua piiri-/laitteistototeutusten kannalta kun niitä verrataan lineaarisiin modulaatiomenetelmiin: seuraavassa mm. nähdään, että epälineaarisista elementeistä ei ole mainittavaa haittaa kulmamodulaatioiden yhteydessä siten lähettimissä voidaan käyttää epälineaarisia vahvistimia näillä puolestaan saavutetaan tyypillisesti paljon parempi hyötysuhde kuin lineaarisilla vahvistimilla lisäksi FM-lähettimissä huipputeho on aina sama kuin keskimääräinen teho peak-to-average power ratio (PAPR) näkökulma liittyy myös läheisesti mm. tehovahvistimiin Tehtävää on erittäin vaikea ratkaista suljetussa muodossa yleisessä tapauksessa. Tarkastellaankin täten tapausta, jossa amplitudi- ja vaihevaste ovat lineaarisesti taajuudesta riippuvia. Voidaan osoittaa että tällöin (. you do the math ) yc() t = At ()cos[ wc( t - t0) + f( t -t1)] é Kf 1 D ù At () = Ac K0 + x( t-t1) êë fc úû Nähdään, että verhokäyrään tulee viestisignaalista riippuva AM-komponentti modulaatioindeksillä m = Kf 1 D fc. Tässä t 0 on kantoaaltoviive ja t on verhokäyräviive (ks. aiempi materiaali vaihe- ja ryhmäviiveistä). 1 Kuten kohta nähdään, AM-komponentti voidaan vaimentaa ennen ilmaisua, joten siitä ei ole haittaa. Tällöin tietysti edellytetään, että millään FM-signaalin kaistan taajuudella vaimennus ei ole niin suuri, että se huonontaisi oleellisesti S/N-suhdetta. Myöskään viivetermeistä t 0 ja t 1 ei ole varsinaista haittaa. Epälineaarinen vaihekäyrä olisi kuitenkin haitallinen ja aiheuttaisi vääristymää ilmaistuun signaaliin.

126 Kvasistaattinen approksimaatio TLT-500 / 39 Kulmamoduloidut signaalit ja muistittomat epälineaarisuudet TLT-500 / 40 Jos FM-signaalin hetkellinen vaihe muuttuu hitaasti (suhteessa suodattimen tai muun lineaarisen järjetelmän muistiin), voidaan lineaarisen järjestelmän lähtösignaalia approksimoida seuraavasti: Tarkastellaan ääriesimerkkinä muistittomasta epälineaarisuudesta seuraavaa ns. rajointinta (engl. limiter): y () t» A H( f() t ) cos [ w t + f() t + arg H( f() t )] c c c Tätä periaatetta voidaan käyttää mm. epälineaarisen vaihevasteen vaikutusten analysoimiseen. Tämä jätetään tässä yhteydessä oman harrastuneisuuden varaan (hyvä tietää kori). Tähän analyysitekniikkaan ja sen sovelluksiin voi tutustua esim. kurssikirjan avulla. Käytännössä tällaista rajoitinta käytetään poistamaan vastaanotetusta signaalista mahdolliset AM-komponentit (verhokäyrä) ennen ilmaisua: Intuitio: Koska kulmamoduloidussa signaalissa kaikki informaatio on olennaisesti nollanylityskohdissa (joita rajoitin ei muuta), ym. operaatiossa ei menetetä mitään informaatiota! Tarkempaa perustelua: käännä sivua :^/.

127 Epälineaarisuuksien vaikutus, rajoitin ja taajuuskertoja TLT-500 / 41 FM-MODULAATTORIT TLT-500 / 4 Rajoitin, samoin kuin muut muistittomat epälineaarisuudet, tuottavat spektriin harmoonisia monikertoja taajuuksien nf ympärille miksi? Kulmamoduloidun signaalin tapauksessa epälineaarisen elementin lähtösignaali on yleisesti muotoa: v () t = a cos ( w t + f() t + arga ) + a cos( w t + f() t + arga ) + out 1 c 1 c Ylimääräiset harmooniset monikerrat voidaan poistaa suodattamalla. c Yleisesti kulmamodulaatiossa tarvitaan piiriratkaisuja, joissa moduloidun signaalin vaihe tai taajuus riippuu lineaarisesti moduloivasta signaalista. Suora FM-modulaattori Tarvitaan jänniteohjattu oskillaattori, VCO, jossa taajuus riippuu lineaarisesti tulojännitteestä. Toteutuksessa voidaan käyttää esim. klystron-putkea ( f ³ 1GHz) puolijohdekomponentteja (varaktori) c Rajoittimen tapauksessa säilytetään perusaalto: Taajuuskertojan tapauksessa säilytetään taas jokin monikerroista: Etuja: Tällöin taajuus- tai vaihedeviaatio kasvavat n -kertaisiksi. Tätä käytetään hyväksi joissakin FM-modulaattorityypeissä. huomaa että tämä on siis monessa mielessä eri asia kuin aiempi sekoitusperiaate (mixaus) joka siirtää signaalia taajuustasossa (keskitaajuudelta toiselle) tässä hetkellisen taajuuden kertomisessa todella hetkellinen taajuus kasvaa n -kertaiseksi (jolloin siis sekä deviaatio että keskitaajuus kasvavat n -kertaisiksi) esimerkki laskuharjoituksissa ja myös seuraavassa osiossa suuri deviaatio voidaan toteuttaa suoraan yksinkertainen toteutus Ongelmia: mm. kantoaaltotaajuuden vakavointi voi olla ongelmallista

128 Epäsuora FM-modulaattori TLT-500 / 43 Kapeakaistainen vaihemodulaatio TLT-500 / 44 Idea: Toteutetaan ensin kulmamoduloitu signaali pienellä deviaatiolla ja pienellä keskitaajuudella (esim. digitaalisesti). Tämän jälkeen kasvatetaan taajuuskertojalla taajuusdeviaatiota ja keskitaajuutta. Jos/kun tästä seuraava keskitaajuus ei ole vielä lopullinen haluttu keskitaajuus, siirretään signaali mixerilla (+suotimella, miksi?) lopulliselle keskitaajuudelle. NBPM on helppo toteuttaa (käytännössä nykyään esim. digitaalisesti). Sitä voidaan käyttää esim. epäsuoran FM-modulaattorin osana. 1) Approksimaatioon xc() Ac cos wct - AcfD x()sin t wct perustuva toteutus: fd f1() t = fc + x() t 1 pt fd f () t nf () t nf n x() t = = c + 1 pt 1 f D + BPF Tässä oletuksena (aiemmat tarkastelut): f() t << 1 rad (esim. < 10 ) f D ) Switching-circuit NBPM modulator: Kantoaaltotaajuus nf c on yleensä paljon suurempi kuin haluttu. 1 Lopullinen kantoaaltotaajuus saadaan sekoittamalla: f = nf - f 1 c c LO Taajuuskertoja toteutetaan käytännössä kaskadina, jossa kussakin asteessa suhde on tai 3. Esimerkki: FM-ääniradio, tavoiteena f D = 75 khz ja f» 100 MHz c f D = 15 Hz n = 75kHz/15Hz = 5000 pt f = 00kHz nf = 1000MHz f = 900MHz c c LO 1 1 Käytännössä esim. n= = 5184

129 FM-ILMAISU TLT-500 / 45 FM-AM -konversio TLT-500 / 46 Taajuusilmaisin (eli diskriminaattori) pyrkii tuottamaan lähtöjännitteen, joka riippuu lineaarisesti hetkellisestä taajuudesta. Taajuusilmaisinperiaatteita ovat: 1) FM-AM-konversio ) Vaihediskriminaattori (kvadratuuri-ilmaisin) 3) Nollanylityksiin perustuva ilmaisu 4) Vaihelukittu silmukka (käsitellään myöhemmin) Idea: synnytetään FM-moduloituun signaaliin derivoimalla hetkellisestä taajuudesta riippuva verhokäyrä. Eli (tässä kokonaiskulma Q c() t = wct + pf D ò x() tdt): x = Q Q c( t) Ac cos c( t), c( t) = p( fc + fdx( t) ) x ()=- Q c t Ac c()sin t Q c() t = pac( fc + fdx() t ) sin ( Qc() t 180 ) At () Viestisignaali xt () voidaan siis ilmaista x () t :n verhokäyrästä. c 5) synkronisen ilmaisimen käyttö kulmamodulaatiolle Kertaus: kulmamoduloitu signaali x () t = A cos( w t + f()) t missä PM: f() t = x() t f D FM: f() t = pf D ò x() tdt c c c (eli FM:lle f () t = f x() t ja hetkellinen taajuus määriteltiin p D 1 d f () t = ( wct + f()) t p dt 1 = f + f c () t ) p = f + f x() t c D

130 FM-AM -konversio (jatkoa) TLT-500 / 47 Vaihediskriminaattori (kvadratuuri-ilmaisin) TLT-500 / 48 Käytännössä derivointi voidaan esimerkiksi suorittaa resonanssipiirillä (ainakin likimääräisesti). Balansoidussa diskriminaattorissa on kaksi resonanssipiiriä, kummallakin puolen kantoaaltotaajuuden. Näin saadaan laajempi lineaarinen alue amplitudivastekäyrään. Perustuu lineaarisen vaihevasteen eli viiveen käyttöön derivaatan approksimoinnissa: vt ()@ [ ()-vt ( -t)/ ] t ( t pieni) x ( t) = A cos ( w t + f( t) ), f ( t) = pf x( t) c c c f( t) -f( t - t )» t f ( t) = pf t x( t) = K x( t) D 1 1 D 1 D Käytännössä tarvittava vaihe-erotus f() t -f( t -t 1 ) voidaan muodostaa mm. seuraavanlaisella rakenteella (kvadratuuri-ilmaisin): Tässä vaihesiirto-elementin (phase-shift network) vaiheviive t 0 ja ryhmäviive t 1 toteuttavat ehdot: wct0 = 90 t on pieni s.e., f() t -f( t -t ) p 1 1 Tällöin yo. rakenteessa tulo cos ( wct + f( t) ) sin ( wct + f( t - t 1) ) =... alipäästösuotimen jälkeen antaa sin ( f( t) -f( t -t )) f( t) -f( t - t ) t f ( t) = K x( t ) D q.e.d. Muita rakenteita (täydentävää tietämystä, oikeastaan vain mainintana): Foster-Seeley diskriminaattori, suhdeilmaisin (jne, zekkaa kirja).

131 Nollanylityskohtiin perustuva FM-ilmaisu TLT-500 / 49 TLT-500 / 50 Kulmamodulaatioiden ilmaisu synkronisella ilmaisimella Ominaisuuksia: hyvä lineaarisuus helppo integroida (ei keloja tms.) Lähtökohta: kulmamoduloitu signaali x ( t) = A cos( w t + f( t)) = x ( t)cos( w t) -x ( t)sin( w t ) c c c I c Q c missä x () t = A cos( f()) t ja x () t = A sin( f()) t. I c Q Tällöin toisaalta (edelleen entuudestaan tuttua) määritelmän mukaan æx ö f = Q() t () t arctan ç çèx () t ø I joten kulmamoduloitujen signaalien ilmaisu voidaan siis suorittaa s.e. 1) palautetaan synkronisella ilmaisimella I ja Q komponentit ) lasketaan niistä yo. lausekkeen mukaisesti vaihefunktio 3) FM tapauksessa vielä derivoidaan saatu tulos Eli päädytään seuraavaan: (derivaattaa merkitty tässä DIFF) käytännössä I ja Q komponentit näytteistetään ja arctan(.) sekä derivaattori toteutetaan digitaalisesti c cos( c t) x c (t) LPF LPF I Q ARCTAN(Q/I) (t) PM DIFF d (t)/dt FM sin( c t)

132 jatkoa TLT-500 / 51 INTERFERENSSI-TARKASTELUJA TLT-500 / 5 Tässä yhteydessä on mielenkiintoista vielä huomata että vaikka synkroninen ilmaisin itsessään onkin herkkä vaihe- ja taajuusvirheille (aiheuttaa mm. I ja Q komponenttien sekottumisen kuten aiemmin on katsottu), niin etenkin FM tapauksessa em. ilmaisin on kuitenkin kokonaisuutena robusti kantoaalto-synkronointivirheille. Kokeile innokkaana itse, tyyliin cos( w t) cos( w t +D wt + q) ja sin( w t) sin( w t +D wt + q) C C ja katso mitä em. ilmaisimesta tulee ulos Lopputuotokset: vakio vaihevirhe ei näy mitenkään FM ulostulossa taajuusvirhekin aiheuttaa vain DC tason muunnoksen FM ulostulossa C C Interferenssiä eli häiriötä aiheutuu esim. toisen aseman signaalista tai ylikuulumisesta kaapeleiden välillä. Kyseessä on siis kaksi (tai useampia) ihmisen luomaa signaalia. Interferenssit voidaan jaotella seuraavasti: co-channel interference (saman kanavan häiriö) adjacent channel interference (naapurikanavan häiriö) Seuraavassa hahmotellaan perusteita ym. tyyppisten häiriöiden vaikutuksesta eri modulaatioihin ja niille käytettäviin ilmaisimiin. Yksinkertaisuuden vuoksi tarkastellaan hyvin pelkistettyä tapausta, jossa sekä haluttu signaali että häiriö ovat moduloimattomia kantoaaltoja. Vastaanottimelle tuleva signaali on siis muotoa: vt () = Acos( ) c wct + A i cos (( wc + wi) t+ fi) haluttu interferenssi signaali Tässä w i on häiriösignaalin keskitaajuuden poikkeama suhteessa haluttuun signaaliin ja f i vastaavasti häiriön suhteellinen vaihe (vrt. hyötysignaalin vaihe). Nyt kysymys kuuluu: miten verhokäyräilmaisin, synkroninen ilmaisin ja vaihe-/taajuusilmaisin reagoi häiriöön? Kirjoitetaan ensin vastaanotettu signaali seuraavasti: vt () = Ac cos( wct) + Ai cos (( wc + wi) t+ fi) = A cos( w t) + ra cos ( w t + q( t) ) c c c c i missä r = A / A ja q( t) = wt + f. i c i i i

133 INTERFERENSSI-TARKASTELUJA (jatkoa) TLT-500 / 53 INTERFERENSSI-TARKASTELUJA (jatkoa) TLT-500 / 54 Pienellä sorminäppäryydellä em. vastaanotettu signaali voidaan edelleen lausua muodossa v() t = A cos( w t) + ra cos ( w t + q() t ) c c c c i = [ A + ra cos( q( t))]cos( w t) -ra sin( q( t))sin( w t) c c i c c i c Täten siis vastaanotetun signaalin I ja Q komponentit ovat v () t = A + ra cos( q()) t ja v () t = ra sin( q()) t I c c i ja toisaalta edelleen verhokäyrä ja vaihe Q c i v I Q c i A () t = v () t + v () t =... = A 1+ r + rcos( q()) t Em. tarkastelun perusteella interferenssi siis synnyttää ylimääräistä amplitudi- ja vaihemodulaatiota. Häiriön tarkempaa rakennetta ja toisaalta mahdollista eroa eri ilmaisimien välillä on kuitenkin edelleen melko vaikea luonnehtia suoraan yo. lausekkeiden perusteella. Siksi oletetaankin vielä että r << 1 (eli Ai << A c). Tällöin häiriöisen signaalin verhokäyrää ja vaihetta voidaan approksimoida muodoissa A ( t)» A[1 + rcos( q( t))] = A[1 + rcos( wt + f )] v c i c i i f () t» rsin( q()) t = rsin( wt + f ) v i i i (Todenna toki, ks. myös aiempi/allaoleva osoitin-diagrammi.) vq () t rsin( qi ( t)) fv ( t) = arctan = arctan v () t 1+ rcos( q()) t I Nähdään siis yleisesti että interferenssi on synnyttänyt ylimääräistä amplitudi- ja vaihemodulaatiota! Ym. tuloksen voi muuten päätellä melko helposti jälleen myös käyttämällä osoitin-diagrammia (kokeile): i

134 INTERFERENSSI-TARKASTELUJA (jatkoa) TLT-500 / 55 FM sieppausilmiö (Capture Effect) TLT-500 / 56 Eri modulaatiomenetelmille ilmaistuiksi signaaleiksi saadaan (tässä siis r << 1, K on ilmaisinvakio ja f W ) tällöin: D ìï KD(1 + rcos( pft i + fi)) AM y» ï D( t) íkdrsin( pft i + fi) PM ï K r cos( p + f ) FM ïî D fi ft i i Verrattuna tapaukseen r = 0 (ei häiriötä), ilmaisimien ulostulossa näkyvän häiriön voimakkuus ei riipu häiriön taajuudesta AM ja PM tapauksissa i riippuu suoraan lineaarisesti häiriön taajuudesta FM tapauksessa Tarkastellaan tilannetta, jossa samalla kanavalla on kaksi suunnilleen yhtä voimakasta FM-moduloitua signaalia. Näistä voimakkaampi hallitsee. (ks. edellinen analyysi) Pienet satunnaiset vaihtelut suhteellisessa voimakkudessa aiheuttavat aseman äkillisen vaihtumisen. (ks. edellinen analyysi) Vrt. esim. kahden yleisradiokanavan ylikuuluminen. Nähdään siis, että FM on parempi kuin AM tai PM kun häiritsevä taajuus on lähellä halutun signaalin kantoaaltotaajuutta ( f i pieni). Eli yhteenvetona (FM vs. AM/PM) FM parempi kun häiriö selkeästi co-channel signaali ( fi << W ) FM huonompi kun häiriö adjacent-channel signaali ( f i» W )

135 TLT-500 / 57 TLT-500 / 58 Esikorostus - jälkikorjaus Esikorostus - jälkikorjaus (jatkoa) FM-vastaanotossa on suhteellisesti korkeilla taajuuksilla helposti enemmän häiriöitä kuin matalilla (tämä koskee sekä interferenssiä että kohinaa, jota käsitellään myöhemmin). Tätä käyttäytymistä voidaan parantaa käyttämällä jälkikorjausta ilmaisun jälkeen. Tämän vaikutus hyötysignaaliin kompensoidaan tekemällä esikorostus ennen FMmodulointia: Hpe( f ) Esikorostus vahvistaa viestisignaalin korkeita taajuuskomponentteja. tämän voisi ajatella kasvattavan deviaatiota ja moduloidun signaalin kaistanleveyttä. Näin ei kuitenkaan käytännössä yleensä tapahdu, koska tavanomaisissa signaaleissa (puhe, musiikki, jne) korkeiden taajuuskomponenttien amplitudi on alun perin huomattavasti pienempi kuin matalien. Esikorostus pyrkii siis tavallaan tasoittamaan viestisignaalin spektriä. Esimerkki: FM-radio Jälkivaimennus: Hde( f ) Pyritään siihen, että Hpe( f) = 1/ Hde( f) kun f W. Yleensä käytetään simppeleitä 1. asteen siirtofunktioita, tyyliin: H de 1 ìï 1 f << B ( f) =» ï f í 1 + j ï Bde/ jf f >> B î B de f ìï 1 f << B ( ) = 1+» ï í ï >> ïî Hpe f j B de jf / B de f B de de de de Esikorostus: Kyseesä on tavallaan FM- ja PM- järjestelmien kompromissi f f < B > B de de FM PM RC-aikavakio: 75 m s khz B de 50 m s Eurooppa B 3. khz

136 KOHINA CW-MODULAATIOJÄRJESTELMISSÄ TLT-500 / 59 Analogisen siirtojärjestelmän malli TLT-500 / 60 Tässä osassa kurssia käsitellään kanavassa esiintyvän kohinan vaikutusta lineaarisissa ja eksponentiaalisissa modulaatiomenetelmissä. Kohinatarkastelut ovat keskeinen osa erilaisten tiedonsiirtojärjestelmien kehitystyötä, sillä kohinaa esiintyy aina kaikissa siirtojärjestelmissä. Tavoitteena on kehittää järjestelmiä, joissa kohinan vaikutukset minimoituvat. Jos kanavakohinan vaikutusta vastaanotossa pystytään pienentämään, voidaan käyttää pienempää lähetystehoa. Tämä on erityisen tärkeää esim. matkapuhelimissa ja satellittitietoliikenteessä, joissa lähettimen teho pyritään minimoimaan. Oletuksia ja merkintöjä: Viestisignaali xt () on stationäärinen ja ergodinen, kaistanleveys W, ja normeerattu s.e. i xt () 1 S = Ex [ ()] t = x () t 1 Lähetetty aaltomuoto Lxc() t, kaistanleveys B T x Kanava aiheuttaa vaimennuksen L mutta on muuten vääristämätön (tai ekvalisoitu), lisäksi summaa kohinaa Olennaisia asioita seuraavassa mm: aaltomuodon tyyppi (modulaatio) ja sitä kautta käytettävän ilmaisimen luonne kohinamalli (spektri & jakauma) vastaanottimen suodatin-asteet viestisignaalin kaistanleveyden W ja moduloidun signaalin kaistanleveyden B T suhde f C f Vastaanotettu hyötyteho S = S / L = E[ x ( t) ] R T c Ilmaisinta edeltävä osa vastaanottimesta on mallinnettu kaistanpäästösuodattimella, jolla on yksikkövahvistus ja kaistanleveys B T. (Esim. superheterodynevastaanottimessa (käsitellään myöhemmin) tämä on välitaajuusosan kaistanleveys.) o Käytännössä vastaanottimessa on myös erilaisia vahvistusasteita, joilla signaalitasoa asetetaan sopivaksi (mm. elektroniikan toimivuuden kannalta) o nämä vaikuttavat kuitenkin kanavassa summautuvan kohinan kannalta samalla tavalla itse hyötysignaaliin ja kohinaan, ja ovat täten normeerattu ykköseksi näissä tarkasteluissa

137 Vastaanottimen perusmalli ja -modulit TLT-500 / 61 Ilmaisimelle tuleva kohina TLT-500 / 6 Valkoista kohinaa, G( f ) = / (S/N) R? Moduloitu signaali v(t) y(t) x C (t) + BPF Ilmaisin LPF Ilmaisimelle tuleva aaltomuoto voidaan esittää muodoissa: vt () = x() t + nt () c = A ()cos t [ w t + f () t ] v c v = v ()cos t w t -v ()sin t w t i c q c missä nt () on kaistanpäästökohinaa (miksi?). Ideaalitapauksessa erityyppiset ilmaisimet voidaan esittää seuraavasti: ìï vi(), t vq() t ïav () t yt () = ï í ïïïï fv () t 1 ï f v() t ïî p Kaistanleveys B T synkroninen ilmaisin verhokäyräilmaisin vaiheilmaisin taajuusilmaisin Kaistanleveys W (S/N) D? y D (t) Ennen kuin lähdetään analysoimaan ilmaisimen ulostuloa, mietitään hetki ilmaisimelle tulevaa signaalia. Tämän signaalin kokonaisteho on missä PR = SR + N R ( vt () = x() t + nt ()) c N R ja S R ovat ilmaisimelle tulevat kohinateho ja hyötyteho. Käytännössä kohinatehoon N R sisältyy sekä kanavasta tuleva kohina sekä vastaanottimen etupään kohina. Kuten edellä esitettiin, näistä yhdistetyn kohinan oletetaan olevan valkoista kohinaa jonka tehospektri on Gf ( ) = h /. Täten ilmaisimelle tulevan, kaistainpäästösuodattimen siirtofunktiolla H ( f ) suodatetun kohinan spektri on muotoa R h Gn( f) = HR( f) Olettaen (analyysin vuoksi), että vastaanottimessa on lähes ideaalinen kaistanpäästösuodatin, jonka kaistanleveys on B T, ilmaisimelle tulevaksi kohinatehoksi saadaan tällöin ò N = G ( f) df = hb R n T - (Tämä edellyttää mm. täydellistä kantoaaltosynkronointia synkronisessa ilmaisussa.) Nyt olennainen kysymys on siis: Miten kanavassa summautuva kohina vaikuttaa eri modulaatioihin ja eri ilmaisimien ulostuloon? eli toisin sanoen miten summautuva kaistanpäästökohina nt () näkyy ilmaisimelle tulevan signaalin vt () yo. suureissa? Huomaa, että kaistanleveys T B riippuu viestisignaalin kaistanleveydestä W ja modulaatiotyypistä. Myöskään kantoaaltotaajuus ei välttämättä ole keskellä tätä kaistaa.

138 S/N-suhde ennen ilmaisua TLT-500 / 63 Kaistanpäästökohinasta hieman TLT-500 / 64 S/N-suhde ennen ilmaisua määritellään S SR SR ( ) = = N N hb R R T Jatkoa ajatellen tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa S S ( ) = R W SR W = = g N hb B hw B R T T T missä g S R = ja B T :n suhde W :hen riippuu modulaatiosta hw B = W (AM & DSB) T BT = W (SSB) B = ( D + ) W (FM) T Huomaa että tämä suure g vastaa maksimaalista S/N-suhdetta kantataajuisessa tiedonsiirrossa samoilla lähetystehon ja kanavan kohinatiheyden arvoilla (todenna) antaa siis järkevän vertailusuureen jatkossa mm. mietittäessä saadaanko kantoaaltomodulaation käytöstä hyötyä suhteessa kantataajuiseen tiedonsiirtoon Huomaa myös että jatkossa vertailtaessa esim. eri modulaatioiden kohinansietokykyä keskenään, on tietysti oleellista kiinnittää vastaanotettu hyötyteho vakioksi (muutenhan vertailulla ei ole mitään pohjaa) kiinnitetyllä viestisignaalin kaistanleveydellä W ja kanavakohinan tiheydellä h /, tämä vastaa kiinteää arvoa yo. suureelle g Olkoon nt () stationääristä Gauss-jakautunutta kaistanpäästökohinaa. On myös hyvin luontevaa olettaa että kohinalla ei ole DC-komponenttia, joten voidaan kirjoittaa Ent [ ( )] = 0 En [ ( t)] = sn = NR = hbt Kuten mikä tahansa kaistanpäästösignaali, se voidaan esittää vaihe- ja kvadratuurikomponenttien (I/Q komponenttien) avulla nt () = n()cos t w () t - n()sin t w () t i c q c Nyt osoittautuu (päättele) että myös ni() t ja nq() t ovat stationääristä Gaussin kohinaa, ne ovat riippumattomia ja niille pätee En [ ( t)] = En [ ( t)] = 0 i En [ ( tn ) ( t)] = 0 i q q i = q = = R = h T E[ n ()] t E[ n ()] t E[ n()] t N B

139 Kaistanpäästökohinasta hieman (jatkoa) TLT-500 / 65 Kaistanpäästökohinasta hieman (jatkoa) TLT-500 / 66 Eksaktisti todennäköisyysjakauma (yhteisjakauma) I ja Q komponenteille voidaan kirjoittaa: 1 pnn ( n, ) ( ) ( ) i q i nq = pn n i i pn n q q = e pn R i q R -( n + n )/N Tehotiheysspektrit puolestaan ovat muotoa (ajattele alipäästöekvivalentin kautta) G ( f) = G ( f) = G ( f + f ) u( f + f ) + G ( f - f )[ 1 -u( f - f )] n n n c c n c c i q Tehospektri koostuu siis kahdesta komponentista, jotka muodollisen keskitaajuuden sijainnista (modulaatiotavasta) riippuen menevät päällekkäin joko kokonaan, osittain tai ei ollenkaan: Kaistanpäästökohina voidaan tietysti esittää I ja Q komponenttien lisäksi myös verhokäyrän ja vaiheen avulla muodossa nt () = A()cos t [ w t+ f () t ] n c n As usual, tämän esityksen sekä vaihe-kvadratuuriesityksen (I/Q) välillä on yhteydet (millä tahansa ajanhetkellä t) n An = ni + nq fn = arctan n n = A cos f n = A sin f i n n q n n q i Yleinen tapaus Kyseessä on koordinaatiston muutos suorakulmaisesta napakoordinaatistoon. Tähän perustuen verhokäyrälle on voimassa ns. Rayleigh-jakauma: AM/DSB A p A e u A n -An /NR A ( ) ( ) n n = n NR [ n] = p R/ [ n ] = R EA N EA N Todennäköisyys, että A n ylittää arvon a on siten muotoa SSB/VSB Huomaa kuitenkin (kuten jo edellä todettiin) että spektrintiheyden tarkemmasta muodosta riippumatta itse tehoille pätee i = q = = R = h T E[ n ()] t E[ n ()] t E[ n()] t N B a /N R PA ( > a) = e - n Vaihe on tasaisesti jakautunut välille [ 0, p ], ja voidaan edelleen todentaa mm: = 1 n wc + fn = n = R Ent [ ( ) ] EA [ ( t) cos ( t ( t))] EA [ ] N

140 Kaistanpäästökohinasta hieman (jatkoa) TLT-500 / 67 KOHINA LINEAARISEN MODULAATION YHTEYDESSÄ TLT-500 / 68 D Gaussian, uncorrelated components Vastaanottimen malli (recap): Kaistanleveys B T Kaistanleveys W S/N-suhde ilmaisimen tulossa (recap): D Gaussian, correlated components ( ) R R S S S W = = = N N hb B g R R T T Ilmaisimelle tuleva signaali ja kohina: vt () = x() t + nt () c nt () = n()cos( t w t) -n()sin( t w t) Vastaavat tehosuureet: Ex [ ( t) ] = S c i c q c R = i = q = R = h T En [ ( t)] En [ ( t)] En [ ( t)] N B Rayleigh distribution Tavoitteena on nyt määrätä lähtösignaali yd() t ja tätä kautta S/N-suhde lähdössä ( S/ N eri modulaatio- ja ilmaisintyypeille. ) D

141 DSB:n synkroninen ilmaisu TLT-500 / 69 AM:n synkroninen ilmaisu TLT-500 / 70 Ideaalinen synkroninen ilmaisu erottaa ilmaisimelle tulevasta signaalista vt () I-komponentin. DSB:llä x () t = Ax()cos t w t joten vt () = x() t + nt () c c c c = [ Ax() t + n()cos t ] w t-n ()sin t w t c i c q c y () t = y() t = Ax() t + n () t D c i (Tässä on oletettu, että ilmaisimen jälkeinen suodatin on ideaalinen alipäästösuodatin, jonka kaistanleveys on W. Tässä tapauksessa kohina on siis additiivista myös ilmaisimen jälkeen.) Edellyttäen että ilmaisinta edeltävän suodattimen taajusvaste on kutakuinkin suorakaiteen muotoinen ja sen kaistanleveys on BT = W ja keskitaajuus f c, kohinan tehospektri on muotoa G ( f)» hp ( f / W) n i Tämä on siis alipäästösuodatettua valkoista kohinaa. Koska 1 1 ND = E[ ni( t)] = hbt = NR, SD= Ac Sx, SR = Ac Sx= SD, ilmaisunjälkeiseksi S/N-suhteeksi saadaan S SD AcSx SR S ( ) ( ) N = N = hb = hb = N. D D T T DSB:llä B = W, joten saadaan myös ( ) T D c x c x R T S A S A S S = = = = N hb h W hw g. R Olettaen että m = 1, AM -signaali on x () t = A [ 1 + x()cos t ] w t. Tällöin vt () = x() t + nt () c c c c = { A [ 1 + x() t ] + n ()}cos t w t -n ()sin t w t c i c q c Jos synkroninen ilmaisin poistaa myös DC-komponentin, yd() t on olennaisesti samaa muotoa kuin DSB:llä: y () t = y() t = Ax() t + n () t Nyt toisaalta D c i 1 SD = Ac Sx, ND = E[ ni( t)] = hbt = NR, SR = Ac (1 + Sx) ja ilmaisunjälkeiseksi S/N-suhteeksi saadaan A S ( )... ( ) S c x S x S S = = = = x N hb 1+ S N 1+ S g D S Lisäksi koska Sx ( ) T x R x 1 g / eli suhteessa N D kantataajuiseen siirtoon (ja myös DSB:hen edellisen perusteella), AM on vähintään 3dB huonompi. Esimerkiksi siniaaltomodulaatio täydellä modulaatioindeksillä antaa S x = 1/ ja täten ( S/ N) D = g /3. Tämä on 5 db huonompi kuin DSB:llä samoilla parametreilla. Edelleen jos S x» 0.1 on AM jo noin 10 db huonompi kuin DSB. AM-lähetyksissä on siksi tarpeen rajoittaa moduloidun signaalin dynamiikka mahdollisimman pieneksi, jotta modulaatioaste pysyisi edes kohtalaisena suurimman osan aikaa. DSB-modulaatio on siis ideaalista synkronista ilmaisua käytettäessä yhtä hyvä kuin kantataajuinen siirto jos tehotiheyspektri on vakio.

142 SSB:n (ja VSB:n) synkroninen ilmaisu TLT-500 / 71 Yhteenveto: synkronisen ilmaisun kohinaominaisuudet TLT-500 / 7 SSB:n tapauksessa (samoin kuin VSB:llä kun tynkäkaista on pieni) 1 xc() t = A é c x()cos t wct xˆ ()sin t wctù ê ë úû vt () = x() t + nt () c 1 1 = [ Ax c ( t) + ni( t)]cos wct -[ Ax cˆ( t) + nq( t)]sinwct 1 yd() t = Ax c () t + ni() t Kvadratuurikomponentti suodattuu siis pois sekä kohinasta että signaalista. SSB:n tapauksessa BT = W ja 1 1 SR = Ac Sx, SD = Ac Sx = SR ja ND = hbt = NR = hw 4 4 h Gn i () f» P ( f / W) Ilmaisunjälkeiseksi S/N-suhteeksi tulee nyt 1 N = g hb = hw = N = SSB S A 4 ( ) c S x SR S ( ) D T SSB:llä saavutetaan siis sama S/N-suhde kuin DSB:llä. Tapauksessa VSB+kantoaalto, ilmaisunjälkeinen S/N-suhde on approksimatiivisesti sama kuin AM:llä: x ( ) ( ) S S S Sx N» 1+ S N» 1+ S g D x R x R VSB+C Kun oletetaan, että vastaanotettu hyötyteho on kiinnitetty, edellä johdetut tulokset osoittavat että: 1) Viesti ja kohina ovat additiivisia ilmaisun jälkeen jos ne ovat sitä ennen ilmaisua. ) Jos kohinaspektri ennen ilmaisua on kohtalaisen tasainen moduloidun signaalin kaistalla, kohinaspektri on tasainen myös ilmaisun jälkeen viestisignaalin kaistalla. 3) Jos tarkastellaan ilmaisunjälkeistä S/N-suhdetta, yksisivukaistaisilla modulaatiotavoilla (SSB) ei ole etua kaksisivukaistaisiin modulaatiotapoihin (DSB) nähden. (S/N) R - suhteessa näkyvä ero kompensoituu sillä, että sivukaistojen hyötysignaalit summautuvat koherentisti mutta kohinasignaalit epäkoherentisti. 4) Lineaarisilla modulaatiomenetelmillä voidaan saavuttaa olennaisesti sama S/N-suhde kuin vastaavassa kantataajuisessa siirrossa (olettaen tasainen kohinaspektri). 5) Modulaatiomenetelmillä, joissa kantoaaltoa ei ole vaimennettu (AM, VSB+C) ei saavuteta yhtä hyvää S/N-suhdetta kuin vaimennettua kantoaaltoa käyttävillä (DSB, SSB). Näissä vertailuperusteena ovat keskimääräiset tehosuureet. Jos vertailuperusteena käytetäänkin lähettimen huippuverhokäyrätehoa ja moduloiva signaali on kohtalaisen jatkuva, SSB:llä saavutetaan noin 3 db parempi S/N-suhde kuin DSB:llä ja 9 db parempi kuin AM:llä. Tosiaalta jos moduloivassa signaalissa on epäjatkuvuuskohtia, SSB on huonompi kuin DSB.

143 Verhokäyräilmaisusta (AM) TLT-500 / 73 Verhokäyräilmaisusta (jatkoa) TLT-500 / 74 Seuraavassa tarkastellaan verhokäyräilmaisua, jollaista normaalisti käytetään AM-ilmaisuun (synkronisen ilmaisun sijasta). Ilmaisimelle tuleva signaali voidaan esittää muodossa vt () = A[ 1 + xt ()cos ] w t+ n()cos t w () t -n()sin t w () t c c i c q c = { A [ 1 + x() t ] + n ()}cos t w t -n ()sin t w t c i c q c = A ()cos( t w t + f ()) t v c v c q R Case 1) A >> E[ n ( t)] ( S/ N ) >> 1 Tässä tapauksessa voidaan tehdään approksimointi A () t» A [ 1 + x() t ] + n () t v c i Ideaalinen verhokäyräilmaisin tuottaa nyt y () t = A () t - A = Ax() t + n () t D v v c i mikä on olennaisesti sama tulos kun synkronisessa ilmaisussa. c q R Case ) A << E[ n ( t)] ( S/ N) << 1 Tässä tapauksessa kohina kirjoitetaan muotoon nt () = A()cos t [ w t+ f () t ] n c n Täten kohinaisen signaalin verhokäyrä ja vaihe ovat muotoa Av() t = { Ac[ 1 + x() t ] + ni() t } + { nq() t } nq() t fv () t = arctan A [ 1 + x( t) ] + n ( t) c i Tästä on selvinpäin hankala sanoa oikeastaan mitään järkevää, muuta kuin että kohina selvästi vääristää verhokäyrää. Huomaa myös että kohina ei näy verhokäyrässä puhtaasti additiivisessa muodossa. Yo. verhokäyrälauseketta kehitetäänkin seuraavassa eteenpäin kahdessa erikoistapauksessa: 1) hyötysignaalin voimakkuus on suuri kohinaan nähden ) hyötysignaalin voimakkuus on pieni kohinaan nähden Osoitinesityksen perusteella A () t» A () t + A [ 1 + x()cos t ] f () t v n c n y () t = A () t + Ax()cos t f () t -A D n c n n Lähdössä näkyy lähinnä kohinan verhokäyrä. Viestisignaali ei ole enää mukana puhtaasti additiivisessa muodossa. Toisin sanoen viesti hukkuu täysin kohinaan.

144 Verhokäyräilmaisusta (jatkoa) TLT-500 / 75 KULMAMODULAATIODEN KOHINA-ANALYYSI TLT-500 / 76 Edellisen perusteella verhokäyräilmaisimen toiminnassa havaitaan ns. kynnysefekti: kohtalaisilla (S/N) R -suhteilla verhokäyräilmaisin toimii yhtä hyvin kuin synkroninen ilmaisin (ja kohina on olennaisesti summautuvassa muodossa ilmaisimen ulostulossa). Tietyn kynnystason alapuolella signaali puolestaan hukkuu nopeasti kohinaan. Kynnystasoa on vaikea määritellä tarkasti. Yhtenä kriteerinä voidaan ajatella vaikkapa tasoa jolla Ac ³ An() t todennäköisyydellä Tällöin ( S/ N ) R = 4 ln10» 10 (=10dB). Audiolähetyksissä pienin käyttökelpoinen S/N-suhde (ilmaisimen ulostulolle) on luokkaa 30 db, ja koska joka tapauksessa lineaarisilla modulaatioilla (S/N) R ja (S/N) D ovat samaa suuruusluokkaa, niin voidaan todeta että kynnysefekti ei ole erityisen merkityksellinen käytännössä. Samantyyppinen efekti tulee kuitenkin jäljempänä merkittävänä vastaan mm. (i) taajuusmodulaation tapauksessa sekä (ii) monissa digitaalisissa modulaatio-menetelmissä, joissa toimitaan huomattavasti pienemmillä S/N-suhteilla! Valkoista kohinaa, G( f ) = / (S/N) R? Moduloitu signaali v(t) y(t) x C (t) + BPF Ilmaisin LPF Kulmamodulaatioperiaatteen epälineaarisuudesta johtuen vaihe- ja taajuusmodulaation kohina-analyysiä on hyvin vaikea suorittaa ilman approksimaatioita yleisessä tapauksessa (mielivalt. deviaatio, mielivalt. vastaanotettu SNR, jne). Seuraavassa tarkastelemmekin aluksi tilannetta, jossa hyötysignaali on selvästi voimakkaampi kuin ilmaisimelle tuleva kohina. Kertaus: Kulmamoduloitu hyötysignaali (FM/PM): x ( t) = A cos [ w t + f( t) ] c c c Kaistanleveys B T f( t) = fdx( t) vaihemodulaatio f ( t) = pf x( t) taajuusmodulaatio D Kaistanleveys W (S/N) D? y D (t) Kulmamodulaatiossa moduloidun signaalin amplitudi on vakio, joten vastaanotettu hyötyteho ja ilmaisimen sisääntulon signaali-kohinasuhde (S/N) R voidaan kirjoittaa suoraan ( NR = hbt) S R S ( ) 1 1 A = Ac = = N hb hb R c Ac Tälle suhteelle käytetään usein myös nimitystä kantoaalto-kohina-suhde (C/N-suhde). Ilmaisua edeltävän kaistanpäästösuodattimen oletetaan jälleen olevan ideaalinen, kaistanleveys B T. T T

145 TLT-500 / 77 TLT-500 / 78 Kohinamalli vaihefunktion kannalta Kohinamalli vaihefunktion kannalta (jatkoa) LPF Kirjoitetaan seuraavaksi ilmaisimelle tuleva signaali uudestaan käyttäen kaistanpäästökohinalle verhokäyrä/vaihe esitystä: vt () = x() t + nt () c S ( ) N R = A hb c / T = A cos [ w t + f( t) ] + A ( t)cos [ w t + f ( t) ] c c n c n = A ()cos t [ w t + f () t ] v c v (Ennen ilmaisua poistetaan mahdollinen kantoaallon amplitudin vaihtelu rajoittimella.) Ilmaisimelle tuleva kohinainen signaali, kaistanpäästökohina kirjoitettu ensin oman I/Q esitysmuotonsa avulla: Tästä esim. osoitintarkastelujen avulla (ks. kuva alla) voidaan kohinaisen signaalin vaihe kirjoittaa muodossa: An()sin t [ fn() t - f() t ] fv () t = f() t + arctan A + A ()cos t [ f () t -f() t ] c n n vt () = x() t + nt () c = A cos [ w t + f( t) ] + n ( t)cos [ w t] -n ( t)sin[ w t] c c i c q c = { A cos [ f( t) ] + n ( t)}cos [ w t] -{ A sin [ f( t) ] + n ( t)}sin[ w t] c i c c q c = A ()cos t [ w t + f () t ] v c v Täten kohinaisen signaalin vaihe on: Ac sin[ f( t)] + nq( t) fv () t = arctan A cos[ f( t)] + n ( t) c Tämä lauseke ei kuitenkaan ole oikein missään määrin havainnollinen eikä selvästikään oikein palvele SNR-analyysiä ainoa järkevä johtopäätös tässä vaiheessa on että selvästikään kohina ei näy puhtaasti summautuvassa muodossa vaiheilmaisimen ulostulossa i Vaikka yo. lausekkeessa hyötysignaalin vaihe onkin jo osin eristetty omaksi termikseen, ei signaali-kohina-suhteen määrittäminen suoraan kuitenkaan edelleenkään onnistu hyötysignaali ja kohina eivät (edelleenkään) puhtaasti summautuvassa muodossa siksi seuraavassa oletetaan vielä että ( S/ N ) R >> 1, jolloin yo. lauseketta voidaan olennaisesti yksinkertaistaa, ja analyysiä on mahdollista viedä eteenpäin

146 Yksinkertaistettu kohinamalli TLT-500 / 79 Yksinkertaistettu kohinamalli taajuusilmaisimelle TLT-500 / 80 Tarkastellaan seuraavassa tilannetta ( S/ N ) R >> 1 jolloin (ainakin hyvin suurella todennäköisyydellä, miksi?) A >> A () t. Tällöin An()sin t [ fn() t - f() t ] fv ( t) = f( t) + arctan A + A ()cos t [ f () t -f() t ]» f() t + y() t An()sin t [ fn() t - f() t ] y() t = A c c n n c n Taajuusilmaisimen lähdössä "kohisee hetkellinen taajuus": 1 1 x() t = y () t = n q() t p p S R Ilmaisunjälkeiseksi kohinaspektriksi saadaan täten (todenna) 1 hf æ f ö Gx() f = ( pf) G () n 8 q f = P p S S ç èb ø R R T Yo. approximaatio perustuu osin faktaan arctan( x)» x kun x pieni. Jos edelleen tarkastellaan vaihediskriminaattorin lähtöä tilanteessa f () t = 0, voidaan vaihekohina y () t kirjoittaa muodossa An()sin t [ fn() t ] nq() t 1 y () t = = = nq() t A A S c c R missä nq() t = An()sin t [ fn() t ] on kohinan Q-komponentti. Tässä yksinkertaistetussa mallissa vaihe-ilmaisimen ulostussa näkyy siis hyötysignaalin vaiheesta riippumaton vaihekohinatermi. Ilmaisun jälkeinen kohinaspektri on nyt muotoa: h Gy() f» P S f ( ) B R T Hyötykaistan é-ww, ù êë ú ulkopuolinen û energia oletetaan poistettavan ideaalisella alipäästösuodattimella, jolloin kohinatehoksi tulee Olettaen jälleen ideaalinen alipäästösuodatus ilmaisun jälkeen, kohinatehoksi hyötykaistalla saadaan 3 W hw ND = ò Gx( f) df» taajuusmodulaatio -W 3S R Huomaa että sekä vaihe- että taajuusmodulaatiolla ilmaisimen ulostulossa on hyötykaistan é-ww, ù êë ú ulkopuolista û kohinaa joka tulee poistaa alipäästösuotimella ilmaisunjälkeinen kohinateho N D riippuu kanavakohinan tehotiheyden h lisäksi myös vastaanotetusta hyötytehosta S R W hw ND = ò Gy( f) df = vaihemodulaatio -W S R

147 Yksinkertaistettu kohinamalli taajuusilmaisimelle & jälkivaimentimelle TLT-500 / 81 Vaihemodulaation ja taajuusmodulaation kohinaominaisuuksia TLT-500 / 8 Samaan tapaan kuin aiemmissa häiriötarkasteluissa, voidaan hyötykaistan sisällä vaikuttavaa kohinaa ilmaisimen ulostulossa vaimentaa jälkivaimentimella. (Tällöin tietysti myös lähettimessä käytetään vastaavaa esivääristintä kuten aiemmin on opittu.) Ilmaisimen lähdössä on hyötykaistan é-ww, ù êë ú ulkopuolella û suuritaajuista kohinaa, joka on tarpeen poistaa alipäästösuodattamalla. Vaihemodulaatiossa kohinan spektri on tasainen, taajuusmodulaatiossa kohina on voimakkaampaa suuremmilla taajuuksilla. Esikorostus/jälkivaimennus kompensoi tätä osittain. Kohina pienenee kun vastaanotettu signaaliteho R S kasvaa (noise quieting) Jos järjestelmässä on nyt mukana myös jälkivaimennus siten, että H () f = H () f P D de f ( W ) ( ) 1 = P 1 + ( f / B ) de f W saadaan ilmaisimen ulostulon kohinatehoksi (tästä esimerkki mm. laskuharkassa 7) W 3 hbde W W de() x() arctan -W SR êçb ç ë de Bde Bde W éæ ö æ öù ND = ò H f G f df = - è ø è øúû h» taajuusmodulaatio jälkivaimennuksella S R jälkimmäinen muoto pätee tavallisessa tapauksessa kun W / B de >> 1 jolloin arctan( W / B )» p / << W / B. de de

148 ILMAISIMEN JÄLKEINEN S/N-SUHDE TLT-500 / 83 Ilmaisimen jälkeinen S/N-suhde (jatkoa) TLT-500 / 84 Aiempiin kohinatehoihin perustuen seuraavassa on määritetty varsinaiset signaali-kohina-suhteet ilmaisimien ulostulossa. Referenssi-suureena on jälleen (kuten aiemmin lineaaristen modulaatioidenkin yhteydessä) käytetty efektiivistä kantataajuisen siirtojärjestelmän SNR:ää g = SR /( hw) joka toisaalta edustaa aiemman analyysin perusteella myös suurinta mahdollista SNR:ää lineaarisia modulaatioita käytettäessä. Vaihemodulaatio: yt () = f () t = f xt () + y() t fd x ( ) ( ) v S S SR = = fd Sx = fd Sxg N hw / S hw D R D Rajoituksesta fd p johtuen parannus lineaarisiin modulaatioihin verrattuna (kerroin f D S x ) on korkeintaan p, siis noin 10 db. Jos f D < 1, vaihemodulaatio on itse asiassa huonompi. S x Taajuusmodulaatio: 1 yt () = f v() t = fdxt () + x() t p S f S f S = = = N hw W W D x D ( ) ( ) ( ) 3 D R 3 Sx 3 /3SR h D S Tässä D = fd / W on deviaatiosuhde. Tätä parametria kasvattamalla S/N-suhdetta voidaan parantaa - suuremman kaistanleveyden kustannuksella. Näyttäisi siltä, että S/N-suhde voitaisiin tehdä jopa mielivaltaisen suureksi deviaatiosuhdetta kasvattamalla. Tässä on kuitenkin olennaisia rajoituksia, kuten jäljempänä nähdään liittyy aiempiin olettamuksiin millä yo. tulos on johdettu, kohta tarkemmin x g Leveäkaistaiselle FM:lle pätee D >> 1, B» f << W joten S 3 BT ( ) ( )» N D 4 W Taajuusmodulaatio jälkivaimennuksella S ( ) N D de S x æ fd ö» ç Sxg èb ø g T (ks. laskuharkka 7) 1 æw ö Jälkivaimennuksesta johtuva parannuskerroin on» ç èb ø. D 3 de Tämä edellyttää, että lähetyspäässä on tehty esikorostus. On syytä huomata, että jos viestisignaalin spektri ei laskisi korkeilla taajuuksilla, vähintään 1/f:ään verrannollisena (kuten esim. audiosignaaleilla), voimakas esikorostus voi lisätä efektiivistä deviaatiosuhdetta ja täten kaistanleveyttä. Esimerkki: FM yleisradiolähetykset ( W = 15 khz, f D = 75 khz => D = 5, oletetaan lisäksi esimerkkinä että S x = 0.5 ) S ( ) N D ìï 38 g ilman esikorostusta» ï í ïï 640 g esikorostuksella ( Bde=.1 khz) î => esikorostuksesta saatava hyöty tässä esimerkissä ~1-13dB!

149 FM-KYNNYSEFEKTI TLT-500 / 85 FM-kynnysefekti (jatkoa) TLT-500 / 86 Aiempi analyysi perustui oletukseen ( S/ N ) R >> 1. Kun toisaalta ( S/ N ) << 1, signaali menetetään tietysti täysin. R Kun kohina ja signaali ovat suunnilleen yhtä voimakkaita, ( S/ N ) R» 1, tilanne näyttää tältä: Aiempaan perustuen: kun ( S/ N ) R >> 1 => ( S/ N ) D = 3D Sxg jos taas ( S/ N ) R >> 1, yo lauseke voimakkaasti yliarvioi signaalin laatua eli todellinen ( S/ N ) << 3D Sxg Tätä on havainnollistettu graafisesti alla: D Pienetkin kohinan muutokset voivat aiheuttaa piikkejä ilmaistuun signaaliin. Tällöin myös spektrin matalille taajuuksille syntyy kohinaa. Siniaaltomodulaatiossa kokonaiskohinatehoksi voidaan arvioida N D 3 hw é 1D = ê1 + ge 3S ë p R -( W / B T ) g Tässä jälkimmäinen termi johtuu piikeistä. ù ú û S Käytännössä: koska R SR ( S / N ) R = =, tämä tarkoittaa hbt h( D + ) W sitä että jos/kun ilmaisimen ulostulo signaali-kohina-suhdetta halutaan kasvattaa kasvattamalla deviaatiota (( S/ N ) = 3D Sxg ), täytyy samalla hallitusti kasvattaa myös lähetystehoa, jotta edelleen ( S/ N ) >> 1 => juuri tätä tarkoittaa FM-kynnysefekti R D

150 FM-kynnysefekti (jatkoa) TLT-500 / 87 FM-kynnysefekti (Jatkoa) TLT-500 / 88 Alla havainnollistettu kynnysilmiötä graafisesti (S R kiinteä, deviaatiosuhde D muuttuu); (S/N) D vs. D ja (S/N) D vs. (S/N) R. Kun toimitaan lähellä kynnystasoa, pienikin muutos vastaanotetussa signaalitehossa voi aiheuttaa suuren muutoksen ilmaisimen lähdössä. Kynnystasona pidetään yleisesti arvoa ( S/ N ) R» 10 (ks. myös edellinen esimerkki). Koska ( ) R R R S S WS W S W = = = = N hb B hw B hw B g R saadaan kynnysarvoksi S W ( ) gth N R,th g th T T T T = ³ 10 BT BT ( D + ) W ³ 10» 10 ( D > ) W W» 0( D + ) ( D > ) Tästäkin on ilmeistä, että jos ilmaisimelle tuleva hyötyteho on vakio ja deviaatiosuhdetta kasvatetaan, niin kynnysilmiö tulee ennenpitkää vastaan. Yleisesti yo. kynnystasoa vastaava ilmaisunjälkeinen S/N-suhde on S ( ) g N D,th ³ 3DS» 60 D( D+ ) S ( D> ) x th x Tämä antaa siis pienimmän mahdollisen ilmaisunjälkeisen S/N-suhteen kullakin D:n arvolla. Käytännössä FM-järjestelmät suunnitellaan siten, että normaalitoiminnasta on kynnystasoon riittävän suuri marginaali.

151 Threshold Extension TLT-500 / 89 CW-MODULAATIOMENETELMIEN VERTAILUA TLT-500 / 90 FM-kynnysefekti tulee helposti ongelmaksi kun lähetystehoa pyritään minimoimaan. Siksi on kehitetty tekniikoita, joilla kynnystä pyritään alentamaan. Tällainen tekniikka on takaisinkytketty FM-vastaanotin (FMFB): Käytännön kokeissa on kynnystä pystytty alentamaan 5-7 db. Myös vaihelukittuun silmukkaan (PLL) perustuvilla FM-ilmaisimilla on samantapaisia ominaisuuksia. Yleispätevää ratkaisua ei ole; kyseessä aina kompromissi spektraalisen tehokkuuden, toteutuksen kompleksisuuden, ja energiatehokkuuden välillä!

152 CW-modulaatiomenetelmien vertailua (jatkoa) TLT-500 / 91 RADIOARKKITEHTUUREISTA TLT-500 / 9 Seuraavassa tarkastellaan radiosignaaleiden vastaanotossa käytettäviä vastaanotinrakenteita aiempaa hieman laajemmasta näkökulmasta. Yleisesti radiovastaanottimelta vaaditaan seuraavia asioita: Mahdollisuus virittyä halutulle kantoaaltotaajuudelle Selektiivisyyttä erottaa haluttu signaali muista (naapurikanavat ja muu taajuusakselilla etäänpänä oleva energia) Vahvistusta siirtohäviöiden kompensoimiseksi Käsitteellisesti yksinkertaisin vaihtoehto on suora vastaanotin : Ongelmia: Tarvittavan säädettävän selektiivisen kaistanpäästösuodattimen toteuttaminen on erittäin vaikeaa (lue: mahdotonta)

153 Superheterodynevastaanotin TLT-500 / 93 Superheterodynevastaanottimen lohkot TLT-500 / 94 Idea: Selektiiviset suodattimet toteutetaan kiinteällä välitaajuudella Säädettävien kaistanpäästösuodattimien ei tarvitse olla kovin jyrkkiä, etenkin suurtaajuusosissa 1) Suurtaajuusosan selektiiviset piirit viritetään halutulle kantoaaltotaajuudelle vaimentaa muita signaaleja, erityisesti peilitaajuutta fc + fif (tai fc - fif) selektiivisyys kohtalainen BT < BRF < fif toteutetaan useimmiten LC-resonanssipiireillä ) Suurtaajuusvahvistin vahvistus melko pieni pieni kohinakerroin, ratkaiseva herkkyydelle 3) Paikallisoskillaattori säädettävä taajuus f LO = f c + f IF (tai f LO = f c - f IF ) pieni särö Ao. esimerkissä f LO = f c - f IF Huom! voitaisiin myös valita f LO = f c + f IF, miksi? 4) Sekoittaja (mixeri) siirtää signaalin spektrin välitaajuudelle muodostaa moduloidun RF-signaalin ja paikallisoskillaattorisignaalin tulon sekoittaja on yhtä herkkä taajuuksille f LO + f IF ja f LO - f IF => suurtaajuusasteen tulee vaimentaa ei-toivottua komponenttia (peilitaajuutta) riittävästi! HUOM! Halutun signaalin ja peilitaajuuskaistan keskitaajuuksien ero on f => välitaajuuden suunnittelu/valinta; mitä korkeampi välitaajuus, sen helpompaa on periaatteessa peilitaajuussuodattimen rakentaminen => toisaalta mitä matalampi välitaajuus, sen yksinkertaisempaa on lopullinen selektiivisyyden toteuttaminen (kohta 5) seuraavassa) => välitaajuuden valinta onkin aina kompromissi näiden näkökulmien väliltä! IF

154 Superheterodynevastaanottimen lohkot (jatkoa) TLT-500 / 95 Superheterodynevastaanottimen lohkot (jatkoa) TLT-500 / 96 5) Välitaajuussuodatin kiinteä suuri selektiivisyys käytetään erikoisteknologioita (SAW, sähkömekaaninen, kidesuodatin, yms) 6) Välitaajuusvahvistin suuri vahvistus AM-vastaanotossa: lineaarinen vahvistin, vahvistuksen on oltava säädettävissä, jotta voitaisiin vastaanottaa sekä heikkoja että vahvoja signaaleja FM-vastaanotossa lineaarisuus ei ole tarpeen välitaajuusvahvistin voi toteuttaa myös rajoituksen, joka poistaa mahdollisen AM-komponentin signaalista 8) Kantataajuusvahvistin äänen voimakkuus, äänen sävy, yms. säädöt mahdollisia korjaussäätöjä esim. kovaäänisen taajuusvasteen kompensoimiseksi 9) Automaattinen voimakkuuden säätö AM-vastaanotossa (myös DSB, SSB ja VSB) ilmaisin tuottaa AVC-signaalin joka on verrannolinen tulevan signaalin voimakkuuteen sitä käytetään ohjaamaan suurtaajuusasteiden ja välitaajuusasteiden vahvistusta 10) Automaattinen taajuuden säätö FM vastaanotossa ilmaisin tuotaa signaalin, joka ilmaisee välitaajuussignaalin kantoaaltotaajuuden poikkeaman nimellistaajuudesta (esim MHz) (esim. ilmaisimelta saatava DC-taso) sitä käytetään ohjaamaan paikallisoskillaattorin taajuutta ja mahdollisesti myös suurtaajuuasteiden suodattimien keskitaajuutta siten, että asema 'pysyy kohdallaan' 7) Ilmaisin (demodulaattori) suorittaa esim. AM-, DSB-, SSB-, VSB- tai FM-ilmaisun

155 TLT-500 / 97 TLT-500 / 98 Esimerkki: AM ja FM yleisradiovastaanottimet Kaksoissuperhet -vastaanotin Keskeiset parametrit (karkeasti): Kantoaaltotaajuus AM khz FM MHz Ensimmäinen välitaajuus valitaan siten, että saadaan riittävä peilitaajuusvaimennus. Toinen välitaajuus siten, että kaistanpäästösuodattimet pystytään toteuttamaan riittävän selektiivisinä. Kanavaväli (~aaltomuotokaista) 9 khz 00 khz Välitaajuus 455 khz 10.7 MHz IF-kaistanleveys 6-10 khz khz Audiokaistanleveys 3-5 khz 15 khz

156 Suoramuunnos (Direct-Conversion) Radioarkkitehtuuri TLT-500 / 99 Suoramuunnos (Direct-Conversion) Radio (jatkoa) TLT-500 / 300 AGC Periaatetta havainnollistettu spektrikuvalla alla: LPF A/D I RF LNA BPF I/Q LO AGC f LPF A/D Q Idea: I/Q alassekoitetaan haluttu radiokanava suoraan RF taajuuksilta kantataajuudelle selektiivisyys (muiden kanavien vaimentaminen) kantataajuudella halutun kanavan valinta LO taajuutta säätämällä tavallaan siis yleisen synkronisen ilmaisin-periaatteen soveltamista, säädettävällä LO:lla; modulaatio-spesifinen prosessointi I ja Q signaalien avulla eli yleinen alipäästö-kaistanpäästö muunnos s.e. halutun signaalin keskitaajuus vastaa muunnoksen keskitaajuutta f Pros: RF osien yksinkertaisuus, periaatteessa RF suodatusta ei (juurikaan) tarvita yksinkertainen toteutus, siis RF osien suhteen => suurin osa nykyisistä radiovastaanottimista (kännyköiden radioosat, jne) perustuvat tähän arkkitehtuuriin Cons: superhet periaatetta herkempi esim. toisen asteen epälineaarisuuksille (miksi?) toisaalta myös herkkyys DC-offseteille ja I/Q epäbalanssille (miksi?)

157 Excursio: Pyyhkäisevä spektrianalysaattori TLT-500 / 301 FM-STEREO MULTIPLEKSOINTI (lyhyesti) TLT-500 / 30 Periaate hyödyntää superheterodyne-vastaanottimen ideaa. Tässä paikallisoskillaatoritaajuutta pyyhkäistään jaksollisesti siten, että kantoaaltotaajuus liikkuu analysoitavan kaistan yli. Kullakin hetkellä verhokäyräilmaisin ilmaisee kullakin taajuudella olevan spektrin tason (yleensä hetkellisen tehon, hyvin kapea IF filtteri). Näin saadaan analysoitua käsiteltävän signaalin spektraalista sisältöä. Stereojärjestelmän kahden kanavan (kaiuttimen) signaalit, xl() t ja xr( t ), siirretään summa- ja erotussignaaleina x () t + x () t L x () t - x () t L R R (L: left, R: right) FM-modulaatorille tulevaan viestisignaaliin sisältyy 1) summasignaali ) erotussignaali DSB-moduloituna 38 khz:n apukantoaaltoon 3) 19 khz:n pilot-taajuus ilmaisimen synkronointia varten 4) mahdollisesti myös mm. ohjelman-/asemantunnistustietoja Euroopassa on käytössä RDS-järjestelmä (USA:ssa SCA) Idea: Koska summasignaali näkyy lähetteessä tavalliseen tapaan FMmoduloituna, lähete on kompatiibeli (yhteensopiva) aikaisempien monovastaanottimien kanssa. Muut komponentit suodattuvat pois korkeataajuisina monovastaanotossa. Analysoitava kaista f 1 f 0 () t f Paikallisoskillaatoritaajuus f 1 + f f () t f + f Peilitaajuudet f 1 + f f ( t) f + f IF LO IF IF M IF Pyyhkäisyyn käytetään kolmioaallolla ohjattua jänniteohjattua oskillaattoria. Taajuusresoluutio sama kuin välitaajuusasteen kaistanleveys B ( f - f1) Eroteltavien spektriviivojen määrä on B ( f - f1) Pyyhkäisynopeus riippuu taajuusresoluutiosta T ³ B Suuritaajuiset komponentit FM-lähetteen moduloivassa signaalissa eivät merkittävästi lisää kaistanleveyttä (miksi?).

158 FM-stereo multipleksointi (jatkoa) TLT-500 / 303 VAIHELUKITTU SILMUKKA, PLL TLT-500 / 304 Vaihelukittua silmukkaa (phase-lock loop, PLL) käytetään lukitsemaan ja synkronoimaan paikallisoskillaattorin taajuus ja vaihe esim. vastaanotettuun kantoaaltoon. Tarkastelemme aluksi erästä vaihelukitun silmukan keskeistä osaa. Vaihekomparaattori Vaihekomparaattori vertailee kahden sinimuotoisen signaalin vaihetta. Tarvitaan laite, jonka lähtö on verrannollinen tulosignaaleiden vaiheeroon. Seuraavassa käytetään erästä analogista rakennetta. Monia muita toteutuksia on olemassa, myös digitaalisia. Ilmaisu ja dekoodaus Jos alipäästösuodatin säilyttää sekoitetusta signaalista xc()() t v t vain erotustermin, niin AA c v AA c v yt () = cos ( Qc() t -Q v() t ) = sin ( e() t ) e() t =Q() t -Q() t + 90 c v tässä e () t edustaa kulmavirhettä. (SCA:n sijaan Euroopassa tyyppillisesti käytetty RDS-informaatiota kuljettava aaltomuoto löytyy 57 khz keskitaajuudelta, kaistanleveys muutaman khz luokkaa.) Kun e () t = 0, tulosignaali ja paikallisoskillaattorisignaali ovat 90 vaihesiirrossa. Kun e () t ¹ 0, vaihekomparaattorin lähtö riippuu tulosignaalin amplitudista. Tämä ei yleensä ole toivottavaa, joten AMmodulaatio poistetaan esim. rajoittimella ennen vaihekomparaattoria.

159 Vaihelukittu silmukka (jatkoa) TLT-500 / 305 Vaihelukitun silmukan analysointia TLT-500 / 306 Edellä johdettiin järjestelmää kuvaava differentiaaliyhtälö. Se on epälineaarinen ja vaikea ratkaista yleisessä tapauksessa. Tarkastellaan aluksi tapausta, jossa tulosignaalin vaihe on vakio, f() t = f. Differentiaaliyhtälö on nyt 0 qc() t = pfct+ f() t tässä qv() t = p( fc -D f) t + fv() t + 90 Tässä D f = fc - fv on mahdollinen taajuusvirhe. VCO:n vapaakäyntitaajuus f v (kun yt () = 0) ei välttämättä ole fc. Takaisinkytkentä vaikuttaa VCO:n vaiheeseen: f () t v t = pkv ò y( l) dl Kulmavirheeksi tulee nyt e() t = qc() t - qv() t + 90 = pd ft + f() t - fv() t Derivoimalla saadaan 1 Df e ( t) + sin e( t) = t ³ 0 pk K Lukkiutuneelle silmukalle (steady state) pätee: Df e ( t) = 0 e( t) = ess = arcsin K Df y = K sin e = v ( t) = cos( w t + f - e + 90 ) ss a ss ss c 0 ss Kv Nähdään, että lukkiutuneen silmukan taajuusvirhe on 0. Koska D f / K esiintyy arcsin-funktion argumenttinä, seuraa ehto D f K. Tästä nähdään että silmukka lukkiutuu taajuuksiin f - K f f + K v v.. e () t = pd f + f () t - pkvy () t.. e () t + pk sin e () t = pd f + f () t missä K = KvKa on silmukkavahvistus.

160 Vaihelukitun silmukan analysointia (jatkoa) TLT-500 / 307 Vaihelukitun silmukan lineaarinen malli TLT-500 / 308 Tapauksessa, jossa e ss» 0 voidaan jonkin ajan kuluttua (lukkiutumistilaa lähestyttäessä) käyttää approksimaatiota sin e ss» e ss. Tällöin differentiaaliyhtälö on muotoa 1 ( 0 K t ) () t t t 0 ja sillä on ratkaisu Oletuksia: 1) PLL seuraa tulosignaalin taajuutta f c, f 0 ) suuri silmukkavahvistus sin e( t)» e( t) = f( t) - f ( t) => Lineaarinen malli v e() ( ) - pkt ( -t) t = e t e t ³ t Järjestelmä lähestyy siis eksponentiaalisesti steady-state tilaa. Jos tulosignaalin vaihe f () t muuttuu ajan mukana, silmukka pystyy seuraamaan muutoksia, jotka ovat hitaita aikavakioon 1/p K nähden. Edellytyksenä on, että hetkellinen taajuus pysyy rajoissa f v K. Huom. Tässä kohdassa on aikojen kuluessa sekoiltu käsitteiden taajuusvirhe ja taajuuspoikkeama välillä. Taajuusvirheellä voidaan käsittee VCO:n taajuuden ja tulevan taajuuden erotusta, joka normaalitoiminnassa on nolla. Taajuuspoikkeamalla voidaan käsittää tulevan signaalin ja taajuuden ja VCO:n (0-ohjausta vastaavan) vapaakäyntitaajuuden erotusta. Lukkitumistilanteessa VCO:n ohjaus säätää sen taajuutta taajuuspoikkeaman verran sivuun, jolloin taajuusvirhe menee nollaksi. Vaihelukitun silmukan mallit Tässä analyysissa alipäästösuodattimen tehtävänä on vain poistaa sekoitustuloksesta suurtaajuiset komponentit, mutta sen ei oleteta vaikuttavan signaalikaistalla. Seuraavien kalvojen jutussa sen sijaan tarkastellaan nimenomaan signaalikaistalla olevan suodatuksen vaikutusta silmukan toimintaan. Järjestelmässä on negatiivista takaisinkytkentää Siirtofunktio: Y( f ) ( f ) jfk H( f ) jf KH( f )

161 Vaihelukittu silmukka FM-ilmaisijana TLT-500 / 309 Vaihelukitun silmukan käyttö synkroniseen ilmaisuun TLT-500 / 310 FM-moduloidulle signaalille (1) Pilot-signaaliin perustuva f ( t) = pf x( t) j pf F ( f) = pf X( f) D Y( f) fd H( f) = Xf ( ) Kv H( f) + Tulokseen päästään käyttämällä lineaarista mallia. jf K D Kun lähetteessä on pilot-signaali synkronista ilmaisua varten, voitaisiin se 'kaivaa esille' vahvistamalla ja suodattamalla. Parempi ratkaisu on kuitenkin käyttää vaihelukittua silmukkaa synkronoimaan paikallisoskillaattori pilot-signaaliin: Jos moduloivan signaalin kaistanleveys on W ja H( f) = 1 kun f W Y( f ) f X( f) K 1 1 v jf K f W Kyseessä on ensimmäisen asteen alipäästösiirtofunktio, jonka 3 db:n kaistanleveys on K. Kun K W, vaihelukittu silmukka toimii FMilmaisijana. Tällaisen 1. asteen silmukan ongelmana on se, että K määrää sekä alipäästösuodattimen kaistanleveyden että silmukan lukkiutumisalueen. Vaatimuksesta K > f D johtuen suodattimen kaistanleveys voi tulla turhan suureksi. Käytännössä silmukka suunnitellaan siten, että syntyy vähintään toisen asteen alipäästösiirtofunktio. Tässä vaihediskriminaattori (PD) sisältää vaihekomparaattorin, alipäästösuodattimen ja vahvistimen. Vaihelukittu silmukka lukkiutuu pilot-taajuuteen 90 asteen vaihesiirrossa, ja seuraa hidasta taajuuden ja vaiheen ryömintää.

162 Vaihelukitun silmukan käyttö synkroniseen ilmaisuun TLT-500 / 311 Taajuuden siirto TLT-500 / 31 () Ei pilot-signaalia DSB-moduloidun signaalin ilmaisuun voidaan käyttää ns. Costassilmukkaa silloin kun lähetteessä ei ole pilot-signaalia: Käyttämällä erillistä paikallisoskillaattoria ja sekoittajaa, vaihelukittu silmukka saadaan lukkiutumaan tulosignaaliin tietyllä (paikallisoskillaattoritaajuudesta riippuvalla) taajuuserolla. Tälle silmukalle pätee: T y ss T x ( t) sin ss cos ss Sx sin ss Silmukka lukkiutuu siten, että e ss» 0 ja kvadratuuridiskriminaattorin lähtö on verrannollinen demoduloituun viestisignaaliin xt (). Jos kuitenkin xt () = 0pidempään, lukkiutuminen menetetään.

163 Taajuuden kertominen TLT-500 / 313 Taajuussynteesi TLT-500 / 314 VCO:n taajuus on tulosignaalin taajuuden monikerta. Tämä saadaan aikaiseksi käyttämällä taajuusjakajaa silmukan sisällä. Taajuuden jako voidaan suorittaa helposti digitaalisilla laskuri-piireillä. Käyttämällä edellä kuvattuja operaatioita voidaan kiinteästä paikallisoskillaattori-taajuudesta muodostaa lähes mikä hyvänsä taajuus. Tämä voidaan tehdä myös säädettävästi. Kun perusoskillaattorina käytetään kideoskillaattoria, pystytään generoimaan tarkasti ja stabiilisti mielivaltaisia taajuuksia. Esimerkki: Kaksoissupervastaanotinta varten tarvitaan kiinteä taajuus 100 khz (synkronista ilmaisua varten) kiinteä taajuus 1.6 MHz (toiselle sekottajalle) sädettävä taajuus MHz 0.01 MHz:n välein Nämä kaikki voidaan muodostaa 10 MHz:n kideoskillaattorista seuraavan lohkokaavion mukaisesti. Huomattakoon, että kaikki taajuudet ovat pienempiä kuin perusoskillaattorin taajuus, joten myös niiden stabiilisuus on vähintään yhtä hyvä.

164 Taajuussynteesiesimerkistä TLT-500 / 315 NÄYTTEENOTTO TLT-500 / 316 Esimerkki havainollistaa kyllä periaatetta, mutta parametrit on valittu siten, ettei systeemi ole tässä muodossa toteutettavissa. Jääköön harjoitustehtäväksi etsiä missä on vika (jos ei jäänyt ko. luennolla mieleen), mutta se liittyy lähdössä olevan alipäästösuodattimen vaatimuksiin. Matemaattiset funktiot ja sähköiset signaalit esitetään yleensä jatkuvina käyrinä. Siististi käyttäytyvän funktion kuvaamiseen riittävät kuitenkin tietyillä edellytyksillä (tarkemmin seuraavassa) siitä tasavälisesti otetut hetkelliset näytteet. Kun näytteet esitetään esim. jännitepulssina, saadaan diskreettiaikainen signaali. Huomaa että tällaisen signaalin näytteiden lukualue on vielä jatkuva. Varsinainen digitaalinen signaali saadaan, kun ym. diskreettiaikaisen signaalin näytteet esitetään lukuarvoina, yleensä binääristä lukujärjestelmää käyttäen. Käytetystä bittimäärästä riippuen tämä edellyttää näytearvojen kvantisointia tiettyihin diskreetteihin arvoihin. Yleisesti ottaen digitaalisten signaaleiden ja digitaalisen signaalinkäsittelyn rooli on yleistynyt viimeisen vuoden aikana huimasti. Tämä pätee niin tietoliikennetekniikkaan kuin esim. puhe-, audio ja videokoodaukseen (yms.). Digitaalisessa tiedonsiirrossa käytetään digitaalisia modulaatiomenetelmiä, joka on kurssin loppuosan keskeisin sisältö. Aiheesta on myös oma syventävä kurssinsa TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka, jossa aihetta käsitellään varsin syvällisesti Johdantona ja taustana digitaaliseen siirtotekniikkaan seuraavassa käsitellään näytteenottoa ja diskreettiaikaisten signaaleiden ominaisuuksia.

165 Käsitteitä TLT-500 / 317 Ideaalinen näytteenotto TLT-500 / 318 Jatkuva-aikainen signaali: Yleisesti jatkuva niin aika- kuin arvoakselinkin suunnassa Näytteenoton tuottama pulssijono koostuu ideaalisesti impulsseista (voidaan ajatella rajatapaukseksi esim. kanttipulssijonosta kun t 0) t - kts ( ) 1 sd() t = lim å P = d( t -kts ) t t å t 0 k =- k =- Diskreettiaikainen signaali on muotoa xd() t = x() t sd() t = x() t d( t - kts) = x( kts)( d t -kts) å å k=- k=- Sen spektriksi saadaan suoraan Fourier muuntamalla (kokeile) Diskreettiaikainen signaali: Saadaan ottamalla näytteitä tasavälisesti X ( f) = f X( f) + f [ X( f - f ) + X( f + f )] + d s s s s å = f X( f -nf ) s n=- s näyteväli T s näytetaajuus f = 1/ T s s Digitaalinen signaali: Diskreettiaikaiset näytteet esitetään lukuarvoina jollain äärellisellä tarkkuudella (tässä kokonaislukuina) Näytteistetyn signaalin spektri on siis jaksollinen s.e. alkuperäisen näytteistettävän signaalin spektri monistuu näytetaajuuden kokonaislukumonikertojen f, f, ympärille! s s

166 Näytteistetyn signaalin ja näytejonon spektristä, vielä TLT-500 / 319 Näytteistetyn signaalin ja näytejonon spektristä (jatkoa) TLT-500 / 30 Lähtökohtana siis jatkuva-aikainen aaltomuoto xt (), näytteistystaajuus f = 1/ T ja näytteenotto tuottaa näytejonon x = x( kt ). s s Em. matemaattinen malli ideaaliselle näytteenotolle mallintaa näytejonoa impulssijonolla jossa näyte xk = x( kts) on kuvattu näytehetkellä esiintyvänä näytearvolla painotettuna impulssina xkt ( ) d( t- kt). Täten siis koko näytejono vastaa diskreettiä signaalia xd() t = x( kts)( d t - kts) = x() t d( t -kts) å å k=- k=- Tästä näytteistetyn signaalin spektri on helppo laskea suoraan Fourier muuntamalla: F{ x ( t)} = F{ x( t)} * F{ d( t -kt )} d k=- X ( f) = X( f) * f d( f - nf ) = f X( f -nf ) d å å s s s s n=- n=- Täten siis spektri monistuu näytteenotossa näytetaajuuden f s kokonaislukumonikerroille: ORIGINAL s k å s s s Toisaalta alkuperäisen näytearvoilla painotetun impulssijonon xd() t = å x( kts)( d t -kts) Fourier muunnos eli spektri voidaan k=- kirjoittaa myös muodossa - d d ò d -jpft - ò å ( s) d( s) jpft - k=- å ( s) ò d( k=- - -jpft s) = -jpfkts å xkte ( s) k=- X ( f) = F{ x ( t)} = x ( t) e dt = xkt t-kte dt = xkt t-kte dt (tässä viimeinen välivaihe seuraa impulssifunktioiden yleisestä ominaisuudesta ò yt ()( d t- t) dt= y( t) ) - Merkitsemällä nyt xk = x( kts) ja w = pfts = pf / fs (ns. suhteellinen kulmataajuus), näytejonon (lukujonon) x k spektri samaistetaan tyypillisesti yo. lausekkeen kanssa. Digitaalisen signaalinkäsittelyn kirjallisuudessa ko. spektrille käytetään j tyypillisesti merkintää Xe ( w ), eli -f S -f S -W W SAMPLED -W W f S f S f f jw Xe ( ) = å k=- -jwk k xe Tähän liittyen kurssin alkuosassa puhuttiin myös mm. DFT/FFT:stä, jne., tsekkaa tarina sivuilla 3-34.

167 TLT-500 / 31 TLT-500 / 3 Näytteenottoteoreema Rekonstruointi ja tulkinta taajuustasossa Kaistarajoitettu jatkuva-aikainen signaali, jonka kaistanleveys on W, voidaan täydellisesti rekonstruoida diskreetti-aikaisista näytteistä jos näytetaajuus toteuttaa ehdon f s - W ³ W eli fs ³ W. Kriittinen näytetaajuus f = W on Nyquist-taajuus (Nyquist rate). s Jos fs < W, jaksollisen spektrin monikerrat menevät ainakin osittain päällekkäin ja tapahtuu haitallista laskostumista. Tästä esimerkki alla jossa siis f < W : s ORIGINAL f -W W Rekonstruointi tarkoittaa näytteenotolle käänteistä prosessia eli tarkoituksena palauttaa jatkuva-aikainen aaltomuoto diskreeteistä näytteistä. Edellisten tarkastelujen perusteella rekonstruointi on itse asiassa (ainakin käsitteellisesti) hyvin yksinkertaista: Syötetään näytearvoilla painotettu impulssijono rekonstruointi-suotimeen joka poistaa näytteenotossa syntyneet spektrimonikerrat. Yo. periaatteen havainnollistamiseksi rekonstruointiin voidaan käyttää ideaalista alipäästösuodatinta, jonka taajuusvaste on f ( ) H( f) = K P e B -jwt d Tässä suotimen kaistanleveyden B tulee täyttää ehto W B fs - W ja K ja t d kuvaavat mahdollista amplitudiskaalausta ja käytännössä pakollista viivettä. Rekonstruoidun signaalin spektriksi saadaan nyt -j td Y( f) = H( f) X ( f) = Kf X( f) e w d s SAMPLED joka puolestaan vastaa aikatasossa rekonstruoitua signaalia -f S -f S -W W f S f S f yt () = Kfxt ( - t ) s d Huomaa että mikä tahansa suodin jolla on ideaalisen siirtokanavan vaste taajuuksilla - W... W ja nollavaste spektrimonikertojen taajuuksilla suorittaa rekonstruoinnin täydellisesti!

168 Ideaalinen rekonstruointi tulkittuna aikatasossa TLT-500 / 33 Ideaalinen rekonstruointi tulkittuna aikatasossa (jatkoa) TLT-500 / 34 Suoraan em. suodatintulkintaan perustuen rekonstruoitu signaali voidaan esittää aikatasossa myös muodossa Rekonstruoinnin interpolaatio-tulkintaa on havainnollistettu alla: yt () = ht ()* x() t = ht ()* xkt ( )( d t-kt) å = xkt ( ) ht ( -kt) k d s s å Tämä vastaa näytearvoilla painotettua impulssivastejonoa. Eli näytteiden välissä oleva aaltomuotokäyttäytyminen interpoloidaan rekonstruktiosuotimen impulssivasteen avulla! k Edellä esitetyn ideaalisen rekonstruointisuodattimen impulssivaste on ht () = BKsinc( Btt ( - d )) joten voidaan kirjoittaa edelleen å yt () = xkt ( )( ht-kt) k s = BK x( kt )sinc( B( t -t -kt ) å k = xkt ( )sinc( ft-k) k å s s s d s s Viimeiseen muotoon päästään jos B = f /, K = 1/ f ja t = 0. s s s s d Voidaan siis ajatella, että ideaalisessa rekonstruoinnissa näytteiden väliset arvot jatkuva-aikaiselle signaalille saadaan interpoloimalla sincfunktioita käyttäen. Huomaa että kussakin näytepisteessä muiden näytepisteiden vaikutus on nolla.

169 Näytteenotto käytännössä TLT-500 / 35 Näytteenotto käytännössä (jatkoa) TLT-500 / 36 Käytännön näytteenotto ja rekonstruktio eroavat edelläkuvatusta ideaalisesta mallista mm. seuraavilla tavoilla: 1) Näytteenotossa syntyvä ja/tai rekonstruktiossa käytettävä diskreettiaikainen signaali koostuu impulssien sijaan pulsseista, joilla on tietty (>0) kesto ja täten tietty pulssimuoto. Jäljempänä käsitellään kaksi erityyppistä tapausta: 3) Käytännön signaalit eivät ole täydellisesti kaistarajoitettuja (Teoreettisesti tämä seuraa esim. siitä, että signaalit ovat aikarajoitettuja.) Käytännössä näytteistettävän signaalin spektri voisi näyttää vaikkapa tältä (ei siis tarkalleen kaistarajoitettu): x ( t) = x( kt ) p( t -kt ) p( t) on pulssimuoto s s s k x ( t) = x( t) s( t) s( t) on jaksollinen signaali s å Kummassakaan tapauksessa pulssimuoto ei ole erityisen kriittinen, ja tämä ei ole erityisen vakava ongelma. ) Rekonstruointisuodattimet eivät ole ideaalisia o päästökaista voidaan yleensä suunnitella riittävän hyväksi o puutteellinen estokaistavaimennus aiheuttaa sen sijaan suuritaajuisia häiriöitä o suodattimen kompleksisuus riippuu suojakaistan éw, f s -W ù êë úû leveydestä o yleisestiottaen näytetaajuuden kasvattaminen helpottaa elämää (intuitio?) Tulos näytteenoton jälkeen: Esiintyy laskostumista: taajuudet f > f s / näkyvät pienempinä taajuuksina. o Laskostuminen on häiritsevämpi ilmiö kuin rekonstruoinnin yhteydessä mahdollisesti syntyvät korkeataajuiset häiriöt. o Laskostumisen kontrolloimiseksi/välttämiseksi tarvitaan laskostumisenestosuodatin ennen näytteenottoa. o Näytetaajuus on yleensä valittava jonkin verran suuremmaksi kuin kriittinen Nyquist-raja.

170 Näytteenotto käytännössä: Esimerkki TLT-500 / 37 Pulssimuodon vaikutus, Tapaus 1 TLT-500 / 38 Puhesignaali: spektri ylettyy reilusti yli 10 khz:n. suurin osa energiasta välillä Hz 3 khz:n kaistanleveys riittävä ymmärrettävälle puheelle Puhelintekniikassa nimellinen kaistanleveys 3.4 khz ja näytetaajuus 8 khz. Tällöin vaaditaan db vaimennus korkeammille taajuuksille, jotta laskostuminen ei häiritsisi. korkealaatuisessa audiotekniikassa (esim. CD-soitin) näytetaajuudet ovat luokkaa khz (44.1 khz), ja edelleen DVD-audio 19 khz. Tyypillisen puhesignaalin energiatiheysspektri: Yleisesti, kun pulssimuoto on pt ()(impulssin d () t sijaan), diskreettiaikainen signaali on muotoa å x ( t) = x( kt ) p( t - kt ) = x( kt ) p( t) * d( t -kt ) p s s s s k k å = pt ( ) * xkt ( ) d( t-kt) k = pt ()* x () t d s å s X ( f) = P( f) X ( f) p d Pulssin Fourier-muunnos toimii siis suodattimen tapaan (yleensä alipäästötyyppinen muokkautuminen). Sen vaikutus voidaan tarvittaessa kompensoida (ekvalisoida käänteisellä suodattimella 1/ Pf ( )). Tästä puhutaan hetken päästä lisää tulkittuna etenkin rekonstruoinnin yhteydessä.

171 TLT-500 / 39 TLT-500 / 330 Esimerkki: näytteenotto - ja pitopiiri Esimerkki: zero-order hold (ZOH) rekonstruktio Näytteenotto- ja pitopiiri (sample & hold, flat-top sampling) tuottaa edellisen kalvon tyyppisen signaalin, jossa pulssimuotona on t - t / suorakaidepulssi P ( t ). suoraan jatkaen edellistä esimerkkiä T s Tässä tapauksessa pulssimuodosta aiheutuvan suodattumis-efektin amplitudivaste on (miksi?) Pf ( ) = tsinc ft T s Tämän suodattumisefektin voimakkuus riippuu vahvasti pulssin leveyden t ja näytevälin T s suhteesta (kokeile), yo. sinc-funktion nollakohdat taajuuksilla 1/t, /t, alla esimerkki jossa t << Ts eli 1/ t >> fs : tsinc f t Jos nyt pulssin leveys onkin (tarkoituksellisesti) sama kuin näyteväli t = T ), saadaan ( s Pf ( ) = tsinc ft = Tsinc ft s Tässä amplitudivasteessa on nollakohdat näytetaajuuden fs = 1/ T kokonaislukumonikerroilla s yksinkertaisin mahdollinen rekonstruktio; toimii itse asiassa melko hyvin jos f >> W (intuitio?) s jos taas näytetaajuus ei ole suuri verrattuna kaistanleveyteen, tarvitaan ylimääräinen suodatin o lisää vaimennusta spektrimonikerroille o korjaa pääkomponentin amplitudivääristymää s T sinc ft s s f -f S -f S -W W f S f S -f S -f S -W W f S f S f

172 TLT-500 / 331 TLT-500 / 33 Rekonstruktiosta, vielä Pulssimuodon vaikutus, Tapaus Perinteisesti rekonstruktiossa ajatellaan alkuperäisen aaltomuodon palauttamista diskreeteistä näytteistä näytearvoilla painotetun impulssijonon syöttäminen rekonstruktiosuodattimeen rekonstruktiosuodatin syö pois aika-akselin diskretoinnissa syntyneet spektri-monikerrat Huomaa että tämä ei kuitenkaan ole ainoa vaihtoehto jos rekonstruktio-suodattimena käytetäänkin alipäästösuodattimen sijasta kaistanpäästösuodatinta, saadaan samalla suoritettua taajuussiirto säilytetään esim. 1. spektrimonikerta ja vaimennetaan muut (myös kantataajuinen osuus, periaatetta hahmoteltu alla) eli yleisesti alkuperäinen kantataajuinen signaali onkin muuttunut moduloiduksi signaaliksi Käytännössä (ks. edelliset kalvot) tämä on kuitenkin perinteistä alipäästörekonstruktiota haastavampaa käytännön pulssin (vs. ideaalinen impulssi) tuoma suodattumisefekti on voimakkaampaa suuremmilla taajuuksilla (ts. tarvitaan suhteessa kapeampia käytännön pulsseja) Toinen käytännön näkökulma diskreettiaikaiseen signaaliin perustuu kytkin-ajatteluun ("chopper sampling"): Tällöin diskreettiaikainen signaali on oleellisesti muotoa xs( t) = x()() t s t missä st () on kytkimen toimintaa kuvaava jaksollinen pulssijono (vrt. aiemmat tarkastelut kytkin-pohjaisen DSB-modulaattorin yhteydessä). Kuten mikä tahansa jaksollinen signaali, pulssijono st () voidaan esittää Fourier-sarjana. Huomaa että tässä ko. perustaajuus on kytkimen kytkentätaajuus eli toisaalta näytetaajuus f = 1/ T. Jos kytkentä tapahtuu symmetrisesti ajan t = 0 suhteen, myös st () on symmetrinen pisteen t = 0 suhteen ja Fourier-sarja on muotoa s s jpnfst å n 0 å n p s n=- n= 1 st ( ) = ce =... = c + c cos( nft) -f S -f S -W W f S f S f Näytteenotossa saatava signaali voidaan nyt esittää muodossa x () t = c x() t + c x()cos( t w t) + c x()cos( t w t) + s 0 1 s s

173 Pulssimuodon vaikutus, Tapaus (jatkoa) TLT-500 / 333 KAISTANPÄÄSTÖNÄYTTEISTYS TLT-500 / 334 Tässä tapauksessa diskreetin signaalin spektri on muotoa: X ( f) = c X( f) s 0 + c [ X( f - f ) + X( f + f )] 1 + c [ X( f - f ) + X( f + f )] + Esimerkkispektri kun f > W : s s s s s Aiemmat näytteenottotarkastelut mm. spektritulkintojen ja sitä kautta laskostumisen osalta juontavat pitkälti perinteisten alipäästötyyppisten signaalien maailmasta. Toisaalta, kuten nyt ollaan opittu, tiedonsiirrossa käytetään tyypillisesti (moduloituja) kaistanpäästösignaaleja. Täten on kiinnostavaa tarkastella näytteenottoa myös kaistanpäästösignaalien kannalta tässä oikeastaan vain herätelty ajatuksia ko. aiheesta, eli mitä erityispiirteitä kaistanpäästönäytteistykseen karkeasti liittyy tarkemmat tarkastelut sitten 7op extensiossa Lähtökohtana edelleen näytteenoton ideaalinen malli Spektrimonikertojen voimakkuudet riippuvat kytkentäfunktion st () spektrikertoimista c n. Tässä ideaalisen kytkimen esimerkissä ne tulevat, yllätys yllätys, sinc-funktiosta (miksi?). Huomaa läheinen yhteys aiempaan kytkin-pohjaiseen DSB-modulaattoriin ero edelliseen tapaukseen (tapaus 1), tässä kantataajuinen osa spektristä (pääkomponentti) on säilyy vääristymättömänä pulssimuodosta riippumatta xd() t = x( kts)( d t - kts) = x() t d( t -kts) å å k=- k=- ja tästä seuraava diskreettiaikaisen sigaalin spektri X ( f) = X( f) * f ( f - nf ) = f X( f -nf ) d s å d s s å s n=- n=- Nyt kysymys siis kuuluu: mitä erityispiirteitä esim. laskostumisen käsitteeseen ja näytetaajuuden valintaan liittyy jos näytteistettävän signaalin xt () teho/energia on jonkin keskitaajuuden ympärillä?

174 Kaistanpäästönäytteistys (jatkoa) TLT-500 / 335 Kaistanpäästönäytteistys (jatkoa) TLT-500 / 336 Hahmotellaan tässä ideaa hyvin simppelin esimerkin avulla: näytteistetään kaistanpäästösignaali, jonka kaistanleveys on 10 khz ja keskitaajuus 0 khz (tämä vain esimerkki, tyypillisesti kaistanleveys on hyvin pieni suhteessa keskitaajuuteen) X(f) 10 Em. esimerkin perusteella kaistanpäästönäytteistyksessä voidaan sallia hallittua laskostumista laskostumista siis siinä mielessä että syntyy uusia taajuuksia alueelle - f /... f / s s näytetaajuus on kuitenkin valittava huolella s.e. syntyvät uudet komponentit eivät mene toistensa päälle eli ei synny haitallista laskostumista f [khz] Huomaa että tässä käytetään ei-haitallista laskostumista siis hallitusti hyväksi tuomaan signaalia pienemmälle keskitaajuudelle radiovastaanotin-näkökulma! käytetään myös termiä alinäytteistys (subsampling) Nyt perinteisen näytteenottoteoreeman valossa, jotta laskostuminen vältetään, tulisi signaali näytteistää vähintään taajuudella f s ³ 50 khz tämä on totta siinä mielessä, että jos f s ³ 50 khz niin varmasti laskostuminen vältetään Tämä on kuitenkin myös epätarkka väite siinä mielessä, että laskostumista voidaan sallia yo. esimerkissä taajuusalueelle 0 15 khz (sillä siellä ei ole energiaa) kunhan edelleen syntyvät spektrimonikerrat eivät mene alkuperäisen spektrisisällön päälle Yleisesti mahdolliset näytetaajuudet alinäytteistyksessä riippuvat keskitaajuuden ja kaistanleveyden suhteesta mitä pienempi B/ f c on, sen enemmän vapausasteita tästä, kuten muutenkin koko aihepiiristä tarkemmin 7op laajennusosiossa lisää esimerkkejä myös laskuharkoissa Alla esimerkkispektri kun f s = 7 khz, ei haitallista laskostumista: X (f) f [khz]

175 ANALOGISET PULSSIMODULAATIOMENETELMÄT TLT-500 / 337 JOHDANTO DIGITAALISEEN SIIRTOTEKNIIKKAAN TLT-500 / 338 PAM: PDM: PPM: PULSSIAMPLITUDIMODULAATIO (Pulse amplitude) PULSSINKESTOMODULAATIO (Pulse duration) PULSSINPAIKKAMODULAATIO (Pulse position) Digitaalinen siirtotekniikka on yleistynyt kaikilla tietoliikennetekniikan osa-alueilla viimeisen 10 vuoden aikana. Kaikki uudet ja kehityksen alla olevat tietoliikennejärjestelmät perustuvat digitaaliseen siirtotekniikkaan. Sisältöä: 1) digitaalisen siirtojärjestelmän elementit ) digitaalisen siirron edut 3) kantataajuisen digitaalisen siirron perusteet digitaalinen PAM-järjestelmä 4) digitaalisen kantoaaltomodulaation perusteet I/Q moduloitu PAM/PSK/QAM; digitaalinen taajuusmodulaatio 5) informaatioteorian perusteet Yo. analogiset pulssimodulaatiot tässä pitkälti vain mainintana, ei juurikaan käyttöä modernissa tiedonsiirrossa no näillä analogisilla menetelmillä on ehkä kuitenkin jonkin verran käyttöä tietyillä erikoisalueilla, mm. instrumentointitekniikassa Digitaalisia pulssimodulaatiota käytetään sitten sitäkin enemmän, tästä tarkemmin seuraavassa (johdanto digitaaliseen siirtotekniikkaan -osuus). Aiheesta on myös oma syventävä kurssinsa TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka, jossa aihetta käsitellään varsin syvällisesti luennoidaan keväällä periodeilla 4 ja 5 Lisäksi pidemmälle meneviä erikoistekniikoita (CDMA, OFDM(A), jne) käsitellään kursseilla TLT-5606 Hajaspektritekniikka TLT-5706 Monikantoaaltotekniikka

176 Esimerkkejä digitaalisista tiedonsiirtojärjestelmistä TLT-500 / 339 Digitaalisen siirtojärjestelmän elementit TLT-500 / 340 Puhelinverkko äänitaajuusmodeemit puhelinverkon liittymien välillä PCM-tekniikka runkoverkoissa ISDN-liittymä (144 kbit/s) nopeat Digital Subscriber Line eli xdsl-tekniikat (HDSL, ADSL, VDSL, ) tarjoavat joitakin megabittejä/s siirtonopeudeksi tilaajajohdoissa, ja jopa 3 Mbit/s and beyond nopeutta lyhyillä (satoja metrejä) etäisyyksillä Ääniradio & TV: digitaaliset järjestelmät tulossa/tulleet kaikkiin siirtomedioihin; voidaan käyttää myös datasiirtoon DAB (Digital Audio Broadcasting) DVB-T/T: maanpäälliset (terrestrial) lähetysjärjestelmät DVB-C: kaapeli-tv-verkot DVB-S: satelliittilähetysjärjestelmät DVB-H: kannettavat mobiililaitteet kaapelimodeemit Matkapuhelimet ja muut solukkoverkot GSM900, GSM1800, GSM1900 GSM:n parannukset nopeaan datasiirtoon: GPRS, EDGE 3rd generation (3G): WCDMA, UMTS, IMT-000 beyond 3G, 3.9G, LTE, IMT-Advanced/4G, WIMAX, Wireless LAN: keveiden kannettavien työasemien liittäminen langattomasti tietoverkkoon 10/0/50/100 Mbit/s tekniikat käytössä/koekäytössä Low-power RF Bluetooth, home RF: lyhyiden etäisyyksien (metrejä) datasiirtoon Ultrawideband (UWB) tekniikat kehitteillä Järjestelmään liittyy mahdollisesti analogisen viestisignaalin (esim. puhe) muuttaminen digitaaliseen muotoon (näytteenotto ja kvantisointi tai digitalisointi muulla tavoin) ja päinvastoin. Varsinaisen siirtojärjestelmän lähetyspää muuttaa digitaalisen signaalin analogiseksi aaltomuodoksi joka lähetetään kanavaan. Vastaanottopää muuttaa analogisen aaltomuodon jälleen digitaaliseksi signaaliksi. Lähetysketjuun sisältyy: Lähdekoodaus/dekoodaus: Digitaalisen viestisignaalin bittinopeuden pienentäminen (kompressointi) poistamalla siinä esiintyvää redundanssia. Informaatioteorian eräs keskeisimpiä tuloksia on, että lähdekoodaus ja kanavakoodaus voidaan suorittaa toisistaan riippumatta. Kanavakoodaus/dekoodaus: Lähetyskanavassa väistämättä syntyvien virheiden vaikutusten pienentäminen, virheenkorjauskoodaus. Lähes missä tahansa järkevässä kanavassa voidaan saavuttaa mielivaltaisen pieni bittivirhetodennäköisyys lisäämällä redundanssia lähetettävässä signaalissa. Modulointi/demodulonti: Digitaalisen signaalin muunnos analogiseksi aaltomuodoksi ja takaisin. Kanava jossa syntyy lähetystä häiritsevää kohinaa, häiriöitä ja vääristymää. Järjestelmää suunniteltaessa voidaan pyrkiä minimoimaan tarvittavaa kaistanleveyttä tai lähetystehoa/-energiaa.

177 Digitaalisen siirtojärjestelmän lohkokaavio TLT-500 / 341 Digitaalisen siirtojärjestelmän ydinparametrit TLT-500 / 34 Em. määritelmän mukaisen digitaalisen siirtojärjestelmän ulkoista toimintaa kuvaavat seuraavat parametrit Siirtonopeus (bittiä/s) Virhetodennäköisyys Etenemisviive & signaalinkäsittelystä ja muusta prosessoinnista aiheutuva viive Vain näillä parametreilla on ulkoisen toiminnan kannalta merkitystä Se miten esim. tietty siirtonopeus saadaan aikaan ei järjestelmän ulkoista käyttäjää kiinnosta => Enemmän vapausasteita / joustavuutta suhteessa puhtaasti analogiseen siirtoon Täten järjestelmän sisäinen toiminta (koodaus, käytettävät transmissioaaltomuodot, jne) voidaan/tulee optimoida käytetyn siirtomedian ominaisuuksiin (käytetty kaistanleveys, käytetty lähetysteho / -energia) nähden s.e. vaatimukset ulkoisen toiminnan parametreille toteutuvat! Seuraavassa digitaalisella siirtojärjestelmällä tarkoitetaan (yleensä) sitä osaa em. ketjusta, jossa rajapintoina ovat kanavakoodauksen tulo ja kanava-dekoodauksen lähtö. Huomaa myös että ulkoista toimintaa kuvaavien parametrien tavoitearvot ovat voimakkaasti sovelluskohtaisia esim. ymmärrettävä puhe vs. tiedostonsiirto Lähdekoodaus & dekoodaus ei siis tässä määritelmässä kuulu mukaan (tiedonpakkaus, puhe/audio/video-koodaus, jne). Tämän määritelmän mukainen siirtojärjestelmä voidaan suunnitella ja sitä voidaan analysoida siirrettävän informaation luonteesta riippumattomasti.

178 Analogisen ja digitaalisen siirtotekniikan vertailua TLT-500 / 343 TLT-500 / 344 Analogisen ja digitaalisen siirtotekniikan vertailua (jatkoa) Kuten edellä todettiiin, digitaalisessa siirrossa lähetettävä aaltomuoto voidaan optimoida käytettävän kanavan ominaisuuksiin => päästään lopulta parempiin tuloksiin kaistanleveyden ja lähetystehon suhteen kuin analogisilla menetelmillä Digitaalinen siirto on tavallaan myös tunteettomampaa siirtotien häiriöille (ainakin tiettyyn rajaan asti) normaalitoiminnassa signaalin laatu ei huonone kanavan kohinan tai häiriöiden johdosta, ainakaan samassa suhteessa kuin vastaavan analogisen siirron toistimissa ei normaalisti (virhetodennäköisyydet pieniä) tapahdu signaalin laadun huononemista (regenerative repeaters) tallennuksessa esim. uudelleenkopiointi ei huononna laatua Myös siirrettävän tiedon lähde ja luonne ovat epäolennaisia digitaalisen siirtotekniikan kannalta voidaan yhdistellä joustavasti erilaisia lähteitä siirtoketjun toteutuksen yksityiskohdat eivät vaikuta tiedonsiirtosovellukseen erityyppiset siirtokanavan epäideaalisuudet eivät vaikuta sellaisenaan, vain em. parametreilla (siirtonopeus, virhetodennäköisyys, viive) on ulkoisen toiminnan kannalta merkitystä Digitaalitekniikalla muunnokset eri siirtojärjestelmien välillä ovat mahdollisia ilman huononnusta signaalin laadussa. Digitaalinen siirto on tietysti myös ainoa luonnollinen vaihtoehto tietokoneiden välisessä tietoliikenteessä. Perinteisesti esim. puhelinrunkoverkkojen PCM-tekniikka on vaatinut suuremman kaistanleveyden kuin vastaava analoginen siirto (ongelma erityisesti radiojärjestelmissä). Modernimmissa digitaalisissa järjestelmissä, käyttäen tehokasta lähdekoodausta ja tehokkaista siirtotekniikoita, voidaan tarvittavaa taajuuskaistaa supistaa merkittävästi (esim. neljä digitaalista TVkanavaa yhden vastaavanlaatuisen analogisen sijasta). Taloudellisuusnäkökulma Digitaalisten järjestelmien hyviä puolia: Multipleksointi ja kytkentätekniikka olennaisesti helpompaa ja halvempaa digitaalisilla kuin analogisilla signaaleilla Eräät edulliset mediat (optinen kuitu, CD/DVD-levyt) sopivat paremmin digitaalitekniikkaan. Digitaalisten laitteiden integrointi helpompaa => pieni koko ja vähäinen tehontarve. Digitaalisen signaalinkäsittelyn rooli päätelaitetoteutuksissa kasvaa jatkuvasti. Huonoja puolia: Digitaaliset järjestelmät ovat teknisesti paljon monimutkaisempia kuin analogiset. Toteutusteknologioiden nopea kehitys on kuitenkin pienentänyt tätä ongelmaa. Perinteisesti A/D-muuntimet ovat olleet kalliita ja niiden suorituskyky laahaa perässä verrattuna itse digitaaliseen prosessointikykyyn. Synkronointiongelmat voivat olla hankalampia kuin analogisissa järjestelmissä. Keskeinen ongelma digitaalisissa järjestelmissä on se että S/N-suhteen huonontuessa (esim. kentän heiketessä) laatu putoaa muutaman db:n mariginaalilla moitteettomasta kelvottomaksi. Nykyisin aktiivisena tutkimusaiheena on kehittää järjestelmiä, joissa muutos ei olisi näin askelmainen (graceful degradation).

179 KANTATAAJUINEN DIGITAALINEN SIIRTO TLT-500 / 345 Pulssimuodot TLT-500 / 346 Bitit, symbolit ja aaltomuodot Lähtökohtana kantataajuisessa digitaalisessa siirrossa on pulssiamplitudimodulaation eli PAM-tekniikan käyttö binääristen bittisekvenssien tai yleisemmin monitasoisten symbolisekvenssien siirtoon. Monitasoinen symboli syntyy, kun esim. 4 bittiä yhdistetään yhteen symboliin, jolloin kaikkien eri bittikombinaatioiden esittämiseen tarvitaan 4 = 16 tasoa. Yleisesti B bittiä voidaan esittää B tason avulla. Tasojen eli yhteen symboliin koodattavien bittien lukumäärä valitaan sovelluksen ja käytetyn kanavan vaatimuksista lähtien siten että eri tasot pystytään kohinaisen ja häiriöisen kanavan jälkeen vielä luotettavasti erottamaan. Kun useampia bittejä yhdistetään yhteen symboliin, voidaan käytettyä symbolinopeutta (eli baudinopeutta) pienentää. Tämä vaikuttaa suoraan (kuten myöhemmin nähdään) lähetteen vaatimaan kaistanleveyteen. Hyvin pelkistävä esimerkki: bittijono : symbolijono : binäärinen signaali: 16-tasoinen signaali: bits/s -3A 9A symb/s Huom! Bittinopeus, symbolinopeus ja aakkoston koko (M) suhteutuvat: Digitaalinen PAM-signaali muodostuu lähetettävillä symboliarvoilla skaalatuista pulsseista (tästä nimitys PAM). Kanavaan lähetettävä jatkuva-aikainen aaltomuoto on siis muotoa å xt () = apt ( -kt) k k =... + apt ( ) + apt ( - T) Tässä T on symbolijakso (symbolinopeus fsym = 1/ T ) ja pt () on peruspulssimuoto, jonka amplitudia siis skaalataan siirrettävän symboliarvon a k mukaisesti. On tärkeää, että peräkkäisiä symboleita edustavat pulssit eivät häiritse toisiaan vastaanotossa. Ideaalitilanteessa toteutuu seuraava ehto: 1 kun t = 0 pt () = ìï í ï 0 kun t = T, T,... ïî Ns. Nyquistin kriteeri pulssien/ symbolienvälisen keskinäisvaikutuksen välttämiseksi Tämä on käytännössä mahdollista toteuttaa kahdella eri tavalla: 1) käytetään lyhyitä pulsseja, jotka eivät mene ajallisesti päällekkäin o yksinkertainen toteutus, toisaalta taajuuskaista ei kuitenkaan ole pienin mahdollinen o esimerkkinä symbolijakson pituinen kanttipulssi ) käytetään pulsseja jotka menevät ajallisesti päällekkäin, mutta huolehditaan siitä, että em. ehto toteutuu o käytetty taajuuskaista pystytään minimoimaan, toteutus monimutkaisempi (esim. symboliajastus vastaanottimessa) o kutsutaan termillä Nyquist pulssinmuokkaus, olennainen elementti monien modernien järjestelmien kehitystyössä f = log ( M) f bit sym

180 Pulssimuodot (jatkoa) TLT-500 / 347 Pulssimuodot (jatkoa) TLT-500 / 348 Esimerkki: PAM-signaalin muodostuminen yksittäisistä pulsseista käyttäen kanttipulssia tai toisaalta sulavammin käyttäytyvää pidempää pulssia. 3 Symbol Stream: Amplitude lyhyellä kanttipulssilla: Symbol Stream: Relative Time in Symbol Periods Amplitude Symbol Stream: Relative Time in Symbol Periods Amplitude Relative Time in Symbol Periods Amplitude pidemmällä pulssilla: Symbol Stream: Relative Time in Symbol Periods Amplitude Symbol Stream: Relative Time in Symbol Periods Amplitude Symbol Stream: Relative Time in Symbol Periods

181 Digitaalisen PAM-signaalin spektraalinen sisältö TLT-500 / 349 Johtokoodaus vs. Nyquist-pulssinmuokkaus TLT-500 / 350 Kantataajuisen digitaalisen lähetteen spektraalinen sisältö riippuu symbolijonon ominaisuuksista ja toisaalta käytetystä pulssimuodosta (melko ilmeistä). Oletetaan nyt, että symbolijono a k on diskreetti-aikainen satunnaissignaali, j ft spektrintiheys Ga( e p ) käytetyn pulssimuodon Fourier-muunnos Pf ( ) Tällöin digitaalisen PAM-signaalin spektrintiheys on muotoa 1 jpft Gx( f) = P( f) Ga( e ) T Tässä yhdistyy jatkuva-aikaisia ja diskreettiaikaisia signaaleita, joten em. tuloksen matemaattinen johto ei ole tavallaan aivan triviaali. Toisaalta ym. tulos on hyvin luonteva hieman jäljempänä muodostettujen suodatintulkintojen näkökulmasta PAM-signaalin generointi lähetyssuodatinta käyttäen Yleisesti lähtökohtana tietysti on että lähetteen spektri on sovitettava käytetyn siirtokanavan ominaisuuksiin Esim. kaapeleissa vaimennus ei ole vakio käytettävällä taajuuskaistalla vaan se kasvaa suurilla taajuuksilla. Siksi signaaliteho halutaan keskittää matalille taajuuksille, jossa kaapelin vaimennus on pienin.tämä vähentää myös kaapelijärjestelmien ylikuulumisongelmia (crosstalk) ja radiotaajuisia häiriöitä. Toisaalta ac-kytketyissä järjestelmissä halutaan spektri nollaan nollataajuudella. Yo. tulos antaakin nyt työkalut PAM-signaalin spektrin j ft muokkaukseen (eli funktiot G ( e p ) ja Pf ()). a Edellisten perusteella PAM-signaalin rakentamiseen ja sen spektrin muokkaukseen on käytössä kaksi erityyppistä lähestymistapaa: (1) Johtokoodaus aaltomuodon rakentamiseen käytetään suorakaidepulsseja => muodostuu sinc-tyyppinen leveä spektri DC-taso voidaan poistaa rakentamalla signaali sopivasti yleisesti symbolijonoon luodaan korrelaatioita, joilla voidaan muokata lähetteen tehospektriä käytetään useimmiten binäärisen siirron yhteydessä puhtaassa johtokoodauksessa tavoitteena ei olekaan kaistanleveyden suhteen optimaalinen järjestelmä () Nyquist-pulssinmuokkaus oletetaan, että peräkkäiset symboli ovat korreloimattomia => lähetteen tehospektri määräytyy pulssimuodon Fouriermuunnoksesta optimoidaan pulssimuoto siten, että tarvittava taajuuskaista tulee pieneksi => peräkkäiset pulssit menevät ajallisesti päällekkäin (pulssien pituus tyypillisesti luokkaa 3-10 symbolijaksoa) => Nyquistin kriteerin huomiointi optimoinnissa! Nämä menetelmät voidaan myös yhdistää. Käytännön järjestelmissä jompi kumpi näistä lähestymistavoista on keskeisesti esillä. Moderneissa järjestelmissä pääpaino on Nyquist-pulssinmuokkauksessa, johtokoodaus kuuluukin nykypäivänä lähinnä tietoliikenneinsinöörin yleissivistykseen.

182 JOHTOKOODAUKSESTA (lyhyesti) TLT-500 / 351 Johtokoodien luokitteluja TLT-500 / 35 Johtokoodauksen tavoitteet Spektrin hallinta ja muokkaus, ja toisaalta päätelaitteiden yksinkertainen toteutus Signaalin DC-tason vaihtelun (baseline wander) poistaminen ackytketyissä järjestelmissä Johtokoodeja on esitetty monia (ehkä kymmeniä) erilaisia. Käytetty terminologia vaihtelee jossain määrin. Seuraavassa käsitellään lähinnä binäärisen datan tapausta. Koodeja voidaan luokitella esim. käytettyjen signaalitasojen mukaisesti seuraavasti: mahdolliset symboliarvot unipolaarinen: +a, 0 polaarinen (antipodaalinen): +a, -a Synkronointiongelmien välttäminen silloin kun lähteen datassa on pitkiä sekvenssejä vakioarvoa 0 tai 1. bipolaarinen (pseudoternary): +a, 0, -a Myös järjestelmän monitorointi normaalin toiminnan aikana on mahdollista sopivia johtokoodeja käytettäessä (johtokoodirikkeiden avulla).

183 Esimerkkejä johtokoodeista TLT-500 / 353 Binääriset antipodaaliset koodit TLT-500 / 354 Kullakin symbolijaksolla lähetetään jokin seuraavista pulssimuodoista sellaisenaan (lähetettävä bitti on 1) tai negatiivisena (lähetettävä bitti 0). (Huom. koodaus voidaan tehdä myös vastakkaismerkkisesti). Jos ac-kytketyssä kanavassa halutaan käyttää RZ- tai NRZpulssimuotoja, on jollain tavoin huolehdittava siitä, että positiivisia ja negatiivisia pulsseja esiintyy keskimäärin yhtä paljon. Biphase-koodilla (=Manchester-koodilla) pulssin dc-taso on nolla joten myös lähtetyn pulssijonon dc-taso on nolla. Jokaisen symbolijakson keskellä on nollanylitys, joka helpottaa synkronointia. Tarvittava kaistanleveys on kuitenkin suurempi, noin kaksinkertainen NRZ-johtokoodiin verrattuna. o Tämän voi nähdä mm. siten että biphase-signalointiin päästään lähtemällä NRZ-pulssimuodosta ja (a) käyttämällä kaksinkertaista symbolitaajuutta ja lähettämällä kunkin bitin jälkeen sen komplementti tai (b) kantoaaltomoduloimalla suorakaideaallolla, jolla on kaksinkertainen taajuus Tämä koodi on yksinkertainen, ja monissa tapauksissa riittävän hyvä kun järjestelmää ei ole tarpeen virittää kovin pitkälle.

184 AMI-johtokoodi TLT-500 / 355 Lohkokoodit TLT-500 / 356 Alternate Mark Inversion- eli AMI-johtokoodi on esimerkki bipolaarisesta johtokoodista. Sen koodaussääntö on: 0 => 0 1 => +/- vuorotellen Esimerkki: tulo AMI-koodattu Pitkä 1-sekvenssi näkyy nyt vaihtelevana suorakaideaaltona. AMI-koodi poistaa signaalista pitkien 1-sekvenssien tuomat synkronointi-ongelmat, mutta sillä on edelleen tietysti seuraava ongelma: kooderi voi tuottaa pitkiä 0-sekvenssejä, jotka vaikeuttavat synkronointia. Kehittyneemmissä johtokoodeissa tämäkin ongelma voidaan välttää. Tästä esimerkkinä seuraavassa mainitut lohkokoodit (esim. HDB3). Tässä koodityypissä käsitellään k:n bitin pituisia tulosignaalilohkoja ja kuvataan ne n-symbolin pituisiksi lohkoiksi, jotka lähetetään kanavaan. Aakkoston koko on L. Jotta jokaiselle tulolohkolle on oma symbolilohkonsa vaaditaan että: k L n Yhtenä lähtökohtana on AMI, johon tehdään sellaisia modifikaatioita, jotka lisäävät pitkien 0-sekvenssien tapauksessa lähetteeseen "ajastusenergiaa", ja helpottavat synkronointia. Perusajatus: Jos AMI-koodattu lohko sisältää pelkkiä nollia, lähetäänkin tämän sijasta jokin kolmitasoinen yhtä pitkä sekvenssi, joka sisältää yhden tai useampia + ja/tai - symboleja, siis tietoa synkronointia varten on AMI-koodissa kielletty sekvenssi, ja voidaan siten tunnistaa dekooderissa ja muuttaa takaisin 0-sekvenssiksi. Tähän periaatteeseen perustuu mm. HDB3, joka PCM-järjestelmissä yleisesti käytetty johtokoodi neljän nollan lohko (0000) korvataan lohkolla B00V tai 000V jossa o B on AMI kriteerin toteuttava + tai symboli o V on AMI kriteerin rikkova + tai symboli Toinen hyvä esimerkki on mm. B6ZS koodi kuuden nollan lohko (000000) korvataan lohkolla B0VB0V

185 TLT-500 / 357 KANTATAAJUINEN NYQUIST-PULSSINMUOKKAUKSEEN PERUSTUVA DIGITAALINEN SIIRTOJÄRJESTELMÄ Lähettimen lohkoista Lähetyssuodatin TLT-500 / 358 Muodostaa jatkuva-aikaisen signaalin diskreetistä symbolijonosta. Tämän suodattimen impulssivaste gt () on lähetetty pulssimuoto. Kanavaan lähetettävä aaltomuoto on siis å St () = Agt ( -mt) m=- m missä A m on lähetettävä symboli hetkellä mt ja 1/T on symbolinopeus. Aaltomuoto muodostuu siis symboliarvoilla skaalatuista pulsseista, jotka pulssimuodosta riippuen saattavat mennä ajallisesti päällekkäin. Kanava Mallinnetaan tyypillisesti lineaarisella suodattimella (joka kuvaa lineaarista vääristymää ja summautuvalla (yleensä normaalijakautuneella) kohinalla Alla yksinkertainen esimerkki jossa lähetetty pulssimuoto () gt on yksinkertainen symbolijakson T mittainen kanttipulssi: mobiilijärjestelmissä kanava muuttuu ajan myötä ja siten myös ko. suodatinmallin parametrit aikariippuvia Kooderi Muuntaa tulevan bittivirran symbolijonoksi. Käytetyt symbolit muodostavat aakkoston. Esimerkkejä: 1) binäärinen aakkosto, symbolijono on olennaisesti sama kuin bittijono ) kaksi peräkkäistä bittiä kuvataan aakkostoon {-3,- 1, + 1, + 3} (tai yleisemmässä mallissa myös esim. kompleksiseen aakkostoon {-1,- j, + 1, + j} )

186 Kanava TLT-500 / 359 Vastaanottimen lohkot TLT-500 / 360 Vastaanotettu aaltomuoto on Rt () = bt ()* St () + Nt () ò = b( t) S( t - t) dt + N( t) - ò = b( t) A g( t -mt - t) dt + N( t) - å m=- = Aht ( - mt) + Nt ( ) m=- m å Tässä ht () on vastaanotettu pulssimuoto ò ht () = b( t)( gt- t) dt = bt ()* gt () Esimerkki: - Jos kyseessä on jyrkästi kaistarajoitettu kanava m 1 f < B Bf ( ) = ìï í ï 0 f ³ B ïî W W niin esim. edellisellä kalvolla nähty suorakaidepulssimuoto ei ole käyttökelpoinen koska se vääristyisi pahasti kanavassa no miten pahasti, riippuu tietysti kaistanleveyden B W ja symbolijakson T suhteesta (miksi?) Jatkossa pulssimuodon optimointi annetulla kaistarajoitteella on joka tapauksessa yksi keskeinen tehtävä. Vastaanottimen suunnittelu/toiminta on yleisesti lähetintä kriittisempää lähetettyjen bittien mahdollisimman luotettava ilmaisu kohinaisesta ja vääristyneestä vastaanotetusta signaalista Alla on hahmoteltu vastaanottimen perustoiminnallisuutta. Synkronointi (timing recovery) Määrittelee vastaanottimen lohkoille vastaanotettujen pulssien ajoituksen ja oikean näytteenottohetken. Usein lähetteessä on komponentteja, jotka helpottavat vastaanottimen synkronointia, mutta aina tämä ei ole välttämätöntä. (Kantoaaltomoduloidussa tapauksessa myös kantoaaltosynkronointi on toinen tärkeä synkronointitoiminto.) Vastaanottosuodatin 1) Suodattaa pois lähetyskaistan ulkopuoleiset kohinat ja häiriöt ) Vaikuttaa pulssimuotoon 3) Jos kanava tunnettu, voi myös kompensoida kanavan lineaarista vääristymää (esim. käänteisellä siirtofunktiolla) kanavan siirtofunktiota ei yleensä lähtökohtaisesti tunneta, joten adaptiiviset (mukautuvat) tekniikat ovat tärkeitä käytännössä osa vastaanottosuodatuksesta (kuten ym. kanavaekvalisointi) tehdään diskreettiaikaisilla suodattimilla (siis näytteenoton jälkeen) Huom! Signaali vastaanottosuodattimen f () t jälkeen muotoa Qt () = ft ()* Rt () =... = A pt ( - mt) + N () t å m=- missä kokonaispulssimuoto pt () = gt ()* bt ()* f() t ja N () t = f() t * N() t kuvaa suodattunutta kohinaa. m

187 Vastaanottimen lohkot (jatkoa) TLT-500 / 361 PULSSIMUODOISTA TLT-500 / 36 Näytteenotto Näytteenotossa otetaan jatkuva-aikaisesta signaalista näytteitä, ideaalitapauksessa sillä hetkellä, joka parhaiten vastaa lähettettyä symbolia ja jolloin muiden symbolien vaikutus on minimissään. Päätöksenteko (ilmaisu, detection) Päätöksenteossa muodostetaan vastaanotetusta näytejonosta Q k estimaatti A k lähetetylle symbolijonolle A k. Tämä perustuu yleensä päätöskynnyksiin. Esimerkki: Tarkastellaan esimerkkinä ternääristä aakkostoa {- 1, 0, + 1}. Tällöin päätös voitaisiin tehdä seuraavan kuvan mukaisesti: Useimmiten lähetteen tehospektri halutaan rajoittaa tiettyyn kaistaan. Tätä voidaan mallintaa olettamalla seuraavanlainen täydellisesti kaistarajoitettu kanava: 1 f < W Bf ( ) = ìï í ï 0 f ³ W ïî Tällöin voitaisiin käyttää pulssia, jonka spektri on myös suorakaide: ì 1 ( ) W f < W Gf = ï í ï 0 f ³ W ïî Tätä vastaava pulssimuoto on sin( pwt) gt () = = sinc( Wt) pwt Tässä on siis sovellettu ns. minimietäisyysperiaatetta joka tietyillä edellytyksillä (esim. kohinan jakauman tyyppi) myös maksimoi oikean päätöksen todennäköisyyden tilastollinen päätöksenteko (ilmaisuteoria) on oikeastaan laaja sovelletun matematiikan osa-alue, jota käsitellään mm. TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka kurssilla Dekoodaus Kuvaa ilmaistun symbolijonon takaisin bittivirraksi käytetyn aakkoston mukaisesti. Tämä pulssi on siis sinc-funktio jolla on nollanylityskohdat 1/( W ):n monikerroissa jos nyt symbolijakso T = 1/( W) niin pulssienvälinen vuorovaikutus vältetään, vaikka pulssit menevät voimakkasti päällekkäin Ehdosta T = 1/( W) seuraa toisaalta kääntäen 1 W = T annetulle symbolinopeudelle 1/T tämä on myös minimikaistanleveys jolla pulssien vuorovaikutus voidaan välttää (todennetaan myöh.) Huom! Tässä löydetty sinc-pulssi ei ole vielä käytännöllinen ratkaisu (syy selviää hetken päästä) mutta se havainnollistaa hyvin periaatetta.

188 Pulssien / symbolien keskinäisvaikutus TLT-500 / 363 Pulssien suunnittelusta TLT-500 / 364 Tarkastellaan kahta peräkkäistä symbolia joilla on arvot A0 = 1, A1 =. Näitä symboleja vastaavat pulssit (esimerkkinä edellinen sinc-pulssi) ja niiden yhteisvaikutus nähdään kuvassa: Aikataso Vaatimus: symbolien keskinäisvaikutus on nolla p(0) = 1 pmt ( ) = 0, m= 1,, muuten pulssimuoto on vapaa. pt () Taajuustaso Jos kyseessä on aiemmin esitetty ideaalinen kaistarajoitettu kanava, tämä on myös vastaanotettu pulssimuoto. Vastaanottimessa näytteenotto tehdään hetkillä t = mt. Tällöin vierekkäiset pulssit eivät vaikuta toisiinsa, ja jos mukana ei ole kohinaa, saadaan alkuperäiset symboliarvot. Tässä tilanteessa sanotaan, että symbolienvälinen keskinäisvaikutus (intersymbol interference, ISI) on nolla, johon yleensä pyritään. On syytä huomata, että tähän päästään vain jos näytteenoton synkronointi onnistuu tarkasti. Ideaalinen kaistarajoitettu sinc-pulssi ei ole käytännöllinen ratkaisu. Käytännön pulsseilla on tyypillisesti % lisäkaista (excess bandwidth) sinc-pulssiin nähden, jolloin kokonaiskaistanleveys on 1 W = (1 + a) T Tässä a = 0.1,..., 1 on ns. lisäkaistakerroin (roll-off factor). Käytännössä pulssinmuokkaussuodattimella Pf ( ) on myös symmetrinen transitiokaista minimikaistanleveyden 1/( T ) suhteen. Edellä esitetty tiukasti kaistarajoitettu sinc-pulssimuoto ei ole kuitenkaan käytännöllinen ratkaisu koska sitä ei voida tarkasti-ottaen toteuttaa pulssin ajallinen kesto on pitkä (värähtely vaimenee hitaasti) jyrkästi rajoitettu spektri on yleensäkin huono esim. synkronoinnin (symboliajastuksen) kannalta

189 Nyquistin kriteeri TLT-500 / 365 TLT-500 / 366 Pulssinmuokkaus kantataajuisessa PAM-järjestelmässä Edellä esitetystä aikatason kriteeristä seuraa suoraan (huomaa läheinen yhteys näytteenottoteoreemaan): å k=- pkt ( ) d( t- kt) = d( t) eli å pt () d( t- kt) = d() t k=- Tästä suoraan Fourier-muuntamalla saadaan 1 1 Pf ( ) * d( f m ) 1 eli T å - = T m=- 1 1 Pf ( m ) 1 T å - = T m=- Näistä jälkimmäisin muoto on kuuluisa Nyquistin kriteeri. Tämä on taajuustason kriteeri symbolien keskinäisvaikutuksen puuttumiselle. Tästä seuraa mm. Pienin kaistanleveys jolla voidaan saavuttaa 0-ISI on W = 1/T. Tähän päästään aiemmin esitetyllä ideaalisesti kaistarajoitetulla pulssilla. Aikatason pulssimuoto on tällöin sinc-funktio. Kaistarajoittavilla pulssinmuokkaussuodattimilla on symmetrinen transitiokaista edellisen kalvon mukaisesti. Pulsseja/suodattimia, jotka täyttävät tämän kriteerin kutsutaan Nyquistpulsseiksi/suodattimiksi. Alla muutama esimerkki (hatusta) Symbolien keskinäisvaikutus on oleellista vastaanottimen näytteenotossa. Siinä esiintyvä pulssimuoto pt () = gt ()* bt ()* f() t riippuu lähetyssuodattimesta gt (), vastaanottosuodattimesta f() t ja kanavasta bt (). Siirtofunktioina vastaavasti Pf () = GfBfFf () () (). Pyritään siihen, että näiden kolmen siirtofunktion kaskadi Pf () = GfBfFf () () () täyttää em. Nyquistin kriteerin. Tämä on ns. zero-forcing kriteeri, se pakottaa keskinäisvaikutuksen nollaksi. Kun kanavan kohina otetaan mukaan tarkasteluun, tämä ei välttämättä ole kuitenkaan optimaalinen ratkaisu (kuten myöhemmin nähdään). Kanavan siirtofunktio on yleensä kiinnitetty tai siihen ei voida vaikuttaa. Lähetys ja vastaanottosuodattimet suunnitellaan yhdessä. Tässä tulevat kyseeseen seuraavat ratkaisut: 1) Pulssinmuokkaus lähettimessä, vastaanottosuodatin approksimoi ideaalista alipäästösuodatinta jonka kaistanleveys on (1 + a)/ T. Toteutuksen kannalta yksinkertainen ratkaisu. ) Sovitettu suodatinpari on teoreettisesti optimaalinen ratkaisu. Tällöinimpulssivasteet ovat toistensa peilikuvia, amplitudivasteet samoja. Jos kanava ei vaikuta olennaisesti pulssimuotoon, tämä on tietyillä edellytyksillä optimaalinen ratkaisu. 3) Lähetyssuodatin suunnitellaan kohdan (1) mukaan. Vastaanottosuodatin pyrkii adaptiivisesti minimoimaan ISIä tietyllä kriteerillä. Käyttökelpoinen siinä mielessä, että kanavan siirtofunktiota harvoin tunnetaan (ainakaan suodattimien suunnitteluvaiheessa). Toisaalta adaptiivisen suodattimen toteuttaminen on komplisoidumpaa kuin kiinteän.

190 TLT-500 / 367 Pulssinmuokkaussuodattimien käytännön suunnittelusta Nostetut kosinipulssit (raised cosine pulses) TLT-500 / 368 Pulssinmuokkaussuodattimien suunnittelussa kriteereinä ovat: 1) Lähetetyn signaalin spektrin tulee olla annettujen vaatimusten mukaisesti kaistarajoitettu (oheisessa kuvassa esimerkki maskista, johon spektrin tulee mahtua). ) ISI:n minimointi vastaanottimessa. 3) Kanavakohinan vaikutuksien minimointi vastaanottimessa. Toteutuksessa käytetään usein diskreettiaikaisia transversaalisuodattimia tai digitaalisia FIR suodattimia. (Läheiset yhteydet näytetaajuuden muunteluun digitaalisessa signaalinkäsittelyssä.) Kirjallisuudessa yleensä esitetään ratkaisuna nostetut kosinipulssit (raised-cosine pulses). Nämä pulssit ovat kuitenkin äärettömiä kestoltaan, joten ne täytyy käytännössä lyhentää sopivaan pituuteen (yo. vaatimukset 1 ja 3 huomioiden). Idea: Ideaalisen sinc-pulssin olennaisen keston hallinta ikkunafunktiolla. Pulssin olennainen kesto siis lyhenee lisäkaistanleveyttä ( :aa) kasvatettaessa. Tällöin pulssin värähtely vaimenee nopeasti mutta kaistanleveys toisaalta kasvaa. ésin( / ) cos( / ) cos( / ) pt () pt T ùé apt T ù é sinc( t/ T) apt T ù = úêê = pt/ T ê ë ú ûë1 - ( at/ T) ú û ê ë1 - ( at/ T) ú û Vastaava Fourier-muunnos on: ì 1 - a T ; f T T épt 1+ a ù 1- a 1+ a Pf ( ) = ï í { 1-cos ê ( f - ) ú} ; f ë a T û T T ï 1 + a 0 ; f ³ ïî T Parempaan tulokseen (pienempi asteluku) päästään suunnittelemalla pulssinmuokkaussuodattimet täyttämään Nyquistin kriteeri ja samalla asetetut taajuustason vaatimukset. pt () Pf ( ) 1 - T 1 T f

191 TLT-500 / 369 TLT-500 / 370 Nostetut kosinipulssit (jatkoa) Silmäkuvio Nostetuista kosinipulsseista, kuten monista muistakin Nyquistsuodattimista, on myös olemassa ns. neliöjuuri-nyquist versiot Tässä ideana on että yksittäinen pulssi ei toteuta Nyquist-kriteeriä mutta kun niitä laitetaan kaksi peräkkäin, niin näiden kaskadi toteuttaa. Siis yksi neliöjuuri-suodatin lähettimessä ja yksi vastaanottimessa. Lausekkeet: Silmäkuvio koostuu useista päällekkäin piirretyistä symbolitasolla synkronoiduista aaltomuoto-osista. Oletetaan myös, että symbolit ovat satunnaisia ja toisistaan riippumattomia, jolloin kaikki symbolikombinaatiot esiintyvät. Voidaan mitata oskilloskoopilla tai muodostaa tietokonesimuloinneilla. Käytetään laitteiden toiminnan tarkistamiseen sekä myös suunnitteluvaiheessa ja tutkimustyössä. p () t = t t t 4a cos([1 + a] p ) + sin([1 -a] p ) T T T t t p [1 - (4 a ) ] T T Mm. symbolien keskinäisvaikutukset näkyvät silmäkuviossa. Silmäkuvio määräyttyy vastaanotetusta pulssimuodosta ja kanavaaakkostosta. ìï 1 - a T ; f T T épt 1+ a ù 1- a 1+ a P ( f) = ï í { 1-cos ê ( f - ) ú} ; f ë a T û T T ï 1 + a 0 ; f ³ ïî T Suunnittelu ja analyysi Matlabissa esim. rcosine funktiolla. Ominaisuuksia: ISI pienentää vertikaalista aukeamaa mitä suurempi vertikaalinen aukeama, sitä immuunimpi kohinalle (kohina näkyy satunnaisena vaihteluna käyrien ympärillä) ideaalinen näytteenottohetki on silloin kun vertikaalinen aukeama on suurimmillaan mitä pienempi horisontaalinen aukeama, sitä herkempi näytteenoton ajoitusvirheille

192 Silmäkuvio (jatkoa) TLT-500 / 371 Silmäkuvioita TLT-500 / 37 Lisäkaistan vaikutus (nostetut kosinipulssit, -tasoinen PAM) Nähdään, että lisäkaistan kasvattaminen parantaa silmäkuviota kasvattamalla horisontaalista aukeamaa. Ääritapauksessa (0% lisäkaista eli sinc-pulssi) horisontaalinen aukeama menee teoriassa nollaksi täten sinc-pulssi äärettömän herkkä ajoitusvirheelle Alla toinen esimerkki - Nelitasoinen PAM, 5% lisäkaista, nostettu kosinipulssi:

193 Sivuaskel: yksinkertainen ja halpa PAM-lähetin TLT-500 / 373 Yksinkertaiset PAM-vastaanottimet TLT-500 / 374 Tarvittava siirtonopeus on paljon pienempi kuin kanavan kapasiteetti. Binäärinen aakkosto {-a, a}, a valitaan siten, että tehorajoitukset täytetään. (Kun symbolit ovat yhtä todennäköisiä, tämä valinta myös maksimoi symbolien etäisyyden annetulla lähetysteholla.) Jos edellisen kalvon yksinkertaisen PAM-lähettimen tuottama signaali suodatetaan toisen asteen alipäästösuodattimella jonka 3dB:n kaistanleveys on symbolitaajuus, niin tulokset ovat kuvan mukaisia. Nähdään, että silmä menee lähes kiinni, ja järjestelmä on herkkä kohinalle ja ajoitusvirheille. Lähetyssuodatin on tässä mahdollisimman yksinkertainen 1. asteen RC-suodatin. Yksinkertainen PAM-vastaanottimen toteutusperiaate on integrate and dump: Jos lähetetty pulssimuoto on suorakaidepulssi, sovitetun vastaanottosuodattimen impulssivaste on myös suorakaide. Tällöin suodattimien kaskadin impulssivaste on kolmiopulssi. Toteutuksessa suodattimeen tulevaa aaltomuotoa integroidaan symbolijakson yli. Näytteenotto tehdään symbolijakson loppuhetkellä, ja samalla integraattori nollataan seuraavaa jaksoa varten.

194 TLT-500 / 375 KANTOAALTOMODULAATIO DIGITAALISESSA SIIRROSSA Kompleksinen (I/Q) modulointi TLT-500 / 376 Kantoaaltomodulaatiossa kantataajuinen signaali siirretään taajuustasossa tietyn kantoaaltotaajuuden ympärille kaistanpäästösignaaliksi. Tai ehkä laajemmin ajateltuna, nimenomaan digitaalisen siirron näkökulmasta: kantoaaltomoduloidussa digitaalisessa siirrossa tuotetaan lähetettäviä bittejä efektiivisesti mukanaan kuljettavia aaltomuotoja, joiden teho/energia on halutussa osassa radiospektriä Aiheet: Kompleksinen kvadratuuri (I/Q) modulaatio ja kompleksiset konstellaatiot; QAM, PSK FSK-tyyppiset modulaatiomenetelmät (digitaalinen taajuusmodulaatio) Reaalisilla lineaarisilla modulaatiomenetelmillä on seuraavat ongelmat: DSB ja AM tuhlaavat kaistaa, AM lisäksi lähetystehoa SSB on hankala toteuttaa, etenkin jos moduloivassa viestissä on energiaa pienillä taajuuksilla Monet tärkeimmistä digitaalisessa tiedonsiirrossa käytettävistä kantoaaltomodulaatiomenetelmistä perustuvat kompleksisen aakkoston käyttöön kompleksiseen kvadratuurimodulaatioon (I/Q-modulaatio) Käytössä on monia vaihtoehtoisia kompleksisia aakkostoja (esim. QAMja PSK-tyyppiset). Tässä tarkastellaan aluksi asiaa yleisellä tasolla, jolloin aakkoston tarkempi rakenne ei ole vielä oleellinen. Kvadratuurimodulaatio perustuu siihen, että kantoaaltotaajuiset sini- ja kosiniaallot voidaan DSB-moduloida toisistaan riippumatta erillisillä viestisignaaleilla. Modulaattorille tulee jatkuva-aikainen kompleksinen kantataajuinen signaali, jossa on käytetty sopivaa pulssimuotoa aikaisempien tarkastelujen mukaisesti. Tämän kompleksisen signaalin reaali- ja imaginääriosilla kantoaaltomoduloidaan kosini- ja siniaaltoja. (Kertaus: x () t = At ()cos( w t + f()) t bp = x ()cos( t w t) -x ()sin( t w t) j Re[ ( ) ct = x t e w ] c i c q c missä x () t = x () t + jx () t.) lp lp i q

195 Kompleksinen (I/Q) modulointi TLT-500 / 377 I/Q-modulaatio TLT-500 / 378 Käytännössä lähes aina g() t on reaalinen pulssi, ja tällöin Tässä å st () = a gt ( -mt) m=- m é ù jwct xt () = Re e amgt ( -mt) ê å ë ú m=- û xt () = cos( w t) Re[ a ]( gt-mt) - sin( w t) Im[ a ] g( t -mt) c c å m=- å m=- m m Tässä kantataajuisen signaalin reaali- ja imaginääriosilla moduloidaan kantoaallon kosini- ja sinikomponentteja. Vaikka tämä on käytännöllinen toteutustapa, kompleksista merkintätapaa käytetään jatkossa paljon sen yksinkertaisuuden vuoksi. ja wc = pfc missä f c on kantoaaltotaajuus. (Teennäinen kerroin mukana lähinnä siksi tällä tavoin lähetteen xt () energia on sama kuin kantataajuisen signaalin st () energia.) Periaatteellinen spektrikäyttäytyminen hahmoteltu alla: Moduloivan signaalin spektri Moduloidun signaalin spektri Xf ( ) Huom. I/Q modulaatiosta käytetään tässä yhteydessä melko yleisesti myös termiä kaistanpäästö PAM (bandpass PAM). W LP 1 = (1 +a) T Huom! Moduloidun signaalin kaistanleveys W BP 1 = (1 +a) T W BP 1 = (1 + a) T

196 Kaistanpäästö-PAM-vastaanotin TLT-500 / 379 Kaistanpäästö-PAM-vastaanotin (jatkoa) TLT-500 / 380 Kaksi (no oikeastaan kolme) ekvivalenttia rakennetta 1) Kompleksisiin signaaleihin perustuva: ) Reaalisiin signaaleihin perustuva: Koko siirtoketjun toimintaperiaatteen havainnollistamiseksi, oletetaan vielä että: ideaalinen kanava; ei kohinaa, ei häiriöitä => yt () = xt () vastaanottimen oskillaattori synkronoitu vaiheen ja taajuuden suhteen vastaanotetun signaalin kanssa vastaanotinsuodatin f () t on alipäästösuodatin, joka poistaa spektrikomponentit taajuuden f c ympäristöstä; antaa lisäksi oman kontribuuttinsa pulssimuotoon (ja käytännössä tietysti mös vaimentaa kohinaa ja häiriöitä hyötykaistan ulkopuolelta) näytteenotto symbolitaajuudella, ideaalisesti synkronoitu lähettimen ja vastaanottimen suodattimien yhdessä tuottama pulssimuoto Nyquist-kriteerin mukainen, ei siis symbolien keskinäisvaikutusta => saadaan alkuperäiset symbolit, q k = a k Spektritulkinta kompleksisten signaalien avulla: Kertoimet on otettu mukaan, jotta signaalitasot eri pisteissä siirtoketjua ovat samoja. Tämä ei ole käytännössä mitenkään kriittistä kunhan koko siirtoketjun efektiivinen vahvistus on 1. Huomattakoon, että tasoilmaisimen (slicer) tulo on kompleksinen, ja sitä ei läheskään aina voida korvata kahdella reaalisella taso-ilmaisimella (verrattuna siis aiempaan kantataajuiseen siirtoketjuun). Suodatin f () t poistaa spektrikomponentit taajuuden f c ympäristöstä ja myös kohinan ja häiriöt hyötykaistan ulkopuolelta. Huomaa myös että (kuten aiemmin on opeteltu) radiovastaanottimen toteutukseen liittyvät myös sellaiset asiat kuten selektiivisyys, virittyminen (ja koko radio-arkkitehtuuri). Kantoaaltomoduloidun PAM siirtoketjun toiminnan havainnollistamisessa ja ymmärtämisessä nämä eivät ole kuitenkaan olennaisia, ja käytetään (tässä mielessä) yksinkertaistettua mallia.

197 Konstellaatiot TLT-500 / 381 Esimerkkejä konstellaatioista TLT-500 / 38 I/Q-moduloidussa PAM:ssa symboliarvot ovat kompleksilukuja. Jos oletetaan että lähettimen pulssimuoto gt () on reaalinen (kuten lähes aina käytännössä) ja merkitään kompleksinen symboli amplitudinsa ja j m vaiheensa avulla muodossa am = rme f, voidaan moduloitu signaali lausua myös muodossa é ù jwct xt () = Re e amgt ( -mt) ê å ë ú m=- û é ù jwct jfm = Re e rme g( t -mt) ê å ë ú m=- û å = r cos( w t + f ) g( t -mt) m=- m c m Täten moduloidun aaltomuodon voi ajatella muodostuvan s.e. 4-PSK (QPSK) Aakkoston koko B = 4, kukin symboli edustaa B =. j m Symbolit: A ; {0,,, 3 m = be f fm Î p p p } Informaatio on olennaisesti moduloidun kantoaallon vaiheessa 16-QAM Aakkoston koko B = 16, kukin symboli edustaa B = 4 bittiä. Symbolit: A = a, + ja, ; a,, a, Î { c, 3 c} m m I mq m I mq Informaatio on moduloidun kantoaallon amplitudissa ja vaiheessa kunkin symbolijakson sisällä lähetettävän symbolin amplitudi ja vaihe määräävät moduloidun kantoaallon amplitudin ja vaiheen muutokset peräkkäisten symbolien välillä riippuvat käytetystä pulssinmuokkauksesta Käytössä olevat kompleksiset symboliarvot (eli symboliaakkosto) voidaan havainnollisesti esittää konstellaatiokuvan avulla. Yleisesti käytettyjä konstellatioita ovat QAM: pisteet sijaitsevat säännöllisessä tasavälisessä hilassa PSK: pisteet sijaitsevat tasavälisesti ympyrän kehällä. Myös monia muita konstellaatioita on esitetty. Yleisemmin: M-PSK: B konstellaatiopistettä ympyrän kehällä tasavälisesti B/ B/ M-QAM: B säännöllinen neliönmuotoinen ( ) kuvio (tasavälinen hila )

198 Kohinainen konstellaatio TLT-500 / 383 FSK-TYYPPISET MODULAATIOMENETELMÄT TLT-500 / 384 Kohinan vaikutuksesta vastaanotetut näytteet eivät satu tarkasti konstellaatiopisteisiin. Jos vastaanotetut kohinaiset näytteet piirretään kompleksitasoon, muodostuu seuraavanlaisia periaatteellisia kuvioita: Im{ Q k } Im{ Q k } Tässä osassa puhutaan eräistä digitaalisista modulaatiotyypeistä, jotka ovat vaihtoehtoja kantoaaltomoduloituun PAM/PSK/QAM:iin perustuville menetelmille. Olennaisesti kyse on digitaalisesta taajuusmodulaatiosta (vrt. analoginen FM). Re{ Q k } Re{ Q k } Aiheita Jos fysikaalinen kanavakohina on Gauss-jakautunutta, on myös poikkeama ideaalisten konstellaatiopisteiden ympärille jakautunut samalla tavalla (miksi?) ja muodostuu Gauss-jakautuneita pilviä. FSK CPFSK MSK GMSK Frequency Shift Keying Continuous-Phase FSK Minimum Shift Keying Gaussian Minimum Shift Keying Yleisesti päätöksenteossa tavoitteena on valita se symboli (käytetystä symboliaakkostosta) jota vastaanotettu kompleksinen lukuarvo Q k todennäköisimmin edustaa. Nämä eroavat ominaisuuksiltaan suuresti aiemmista digitaalisista menetelmistä, mm. pulssimuokkausta ei käytetä siinä mielessä kuin edellä on esitetty (pois lukien GMSK, tavallaan). Intuitiivisesti järkevin valinta on se symboli A k, joka minimoi etäisyyden Q k - Ak. Osoittautuu, että tämä on tietyillä edellytyksillä myös optimivalinta (maksimoi oikean päätöksen todennäköisyyden). Tällä tavoin kunkin konstellaatiopisteen ympärille muodostuu päätösalue, niiden pisteiden joukko jotka ovat lähinnä ko. konstellaatiopistettä. Tässä minimietäisyysperiaatteen päätösalueet 4-PSK:lle ja 16-QAM:lle: Im{ Q k } Im{ Q k } Re{ Q k } Re{ Q k }

199 FSK:n periaate TLT-500 / 385 FSK:n ominaisuuksia TLT-500 / 386 Lähtökohta sama kuin aiemmin: kuvataan useampia peräkkäisiä bittejä korkeampitasoisiksi symboleiksi olkoon aakkoston koko M eli log (M) bittiä per symboli Aaltomuotoperiaatteena on nyt että M erilaisen symbolin esittämiseen käytetään M:ää eri taajuutta (kantoaaltomoduloidussa PAM/PSK/QAM:ssä käytettiin eri kombinaatioita kantoaallon vaiheesta ja amplitudista). Yksinkertaisin tapaus on binäärinen FSK, jossa 0 ja 1 vastaavat eri taajuuksia: FSK:n etuja: epäkoherentti ilmaisu mahdollista => ei tarvita kantoaaltosynkronointia (vrt. analoginen FM) => helppo toteuttaa o joissakin tapauksissa epäkoherentti ilmaisu on ainoa järkevä ratkaisu koska kantoaaltosynkronointi olisi hyvin vaikea saavuttaa (esim. silloin kun kantoaallon vaihe vaihtelee kanavassa nopeasti) immuuni joillekin epälineaarisuuksille: ei informaatiota verhokäyrässä, voidaan tehdä rajoitus (hard-limiting), informaatio nollanylityskohdissa (vrt. jälleen analoginen FM) => voidaan käyttää epälineaarisia tehovahvistimia => parempi hyötysuhde FSK on analogisen FM:n tyyppinen epälineaarinen digitaalinen modulaatiomenetelmä. merkittävä seikka mm. matkapuhelin- ja satelliittijärjestelmissä FSK:n ongelmia: tarvitaan tyypililsesti noin 3 db suurempi S/N-suhde tietyllä virhetodennäköisyydellä. perus-fsk:lla spektraalinen tehokkuus on huono PAM:iin verrattuna, CPFSK:lla lähempänä PAMia kanavan ekvalisointi vaikeaa modulaation epälineaarisuudesta johtuen FSK:ta on ylipäätään vaikea analysoida modulaation epälineaarisuudesta johtuen

200 Jatkuvavaiheisuus ja ortogonaalisuus TLT-500 / 387 Jatkuvavaiheisuus ja ortogonaalisuus (jatkoa) TLT-500 / 388 FSK-signaalin hetkellinen vaihe voi olla joko jatkuva tai epäjatkuva: Toinen näkökulma FSK pulssien (taajuuksien) suunnitteluun on ortogonaalisuus valitaan taajuudet s.e. käytettävien pulssien joukko on ortogonaalisten funktioiden joukko Jatkuva vaihe on luonnollisesti parempi, sillä olennainen kaistanleveys on tällöin pienempi (epäjatkuvuus sinällään tuottaa aina korkeita taajuuksia) toimii paremmin silloin kun siirtoketjussa on epälineaarisuutta continuous-phase FSK (CPFSK) periaate FSK:ssa saavutetaan varmasti jatkuva vaihe kun jokaiseen pulssiin sisältyy tasamäärä omia jaksojaan: ft i = Ki, i = 1,,, M missä K i :t ovat kokonaislukuja. Tässä siis signalointitaajuudet ovat f1, f,..., f M ja T on symbolijakson (signalointipulssin) pituus. Tuntuu järkevältä minimoida pulssien taajuuserot kaistanleveyden minimoimiseksi. Samalla tietysti halutaan säilyttää vaiheen jatkuvuus. siis suomeksi: eri pulssien välinen korrelaatio on nolla Tämä helpottaa (tavallaan) vastaanottimen tehtävää mikä pulssi (eli mikä symboli) kullakin ajanhetkellä on lähetetty saadaan selville korrelaatioperiaatteella (korreloidaan vastaanotettua signaalia kaikkia mahdollisia pulsseja vastaan) Aiemmin esitetty pulssitaajuuksien suunnitteluperiaate f - f 1 = 1/ T i =,, M i i- tuottaa myös ortogonaalisia pulsseja pienellä lisätarkennuksella taajuudelle f 1 (tai vaihtoehtoisesti kahden vierekkäisen pulssitaajuuden keskipisteelle) tarkemmat tarkastelut jätetään Siirtotekniikan kurssille Esimerkiksi binäärisen FSK:n tapauksessa taajuudet toteuttavat ehdot: f1t = K1 ft = K Taajuusero on pienin kun K1 - K = 1 eli f - f1 = 1/ T Yleisemmin voidaan valita: f - f 1 = 1/ T i =,, M i i-