5. Vääristymä - Suurennus muuttuu akselilta ulospäin siirryttäessä

Transkriptio

1 1. Plloberrtio - kuvn etäisyys riippuu säteen korkeudest h: Kom - kun esinepiste ei ole optisell kselill, eri korkeudet h ntvt kuvn eri korkeuksille: 3. Astigmttisuus - kun esinepiste ei ole optisell kselill, eri tsojen säteet ntvt kuvn eri etäisyydelle: 4. Kentän kreutuminen - kuv muodostuu krevlle "kuvtsolle" 5. Vääristymä - Suurennus muuttuu kselilt ulospäin siirryttäessä

2 151 7 SYSTEEMIANALYYSI MATRIISIMENETELMÄLLÄ Tässä luvuss trkstelln ensin kuvvn optisen systeemin ns. peruspisteitä käyttäen esimerkkinä pksu linssiä. Sen jälkeen esitellään vrsininen mtsiisimenetelmä, jonk vull prksilisen säteen kulku systeemin läpi voidn jäljittää systemttisesti. Edelleen esitellään ns. systeemimtriisi sekä tekniikk, joll systeemimtriisi voidn käyttää peruspisteiden määrittämiseen. Lopuksi trkstelln muutmi esimerkkejä. 7.1 PERUSPISTEET Trkstelln esimerkkinä pksu linssiä. Lsimterili rjoitt kksi tittv pllopint (krevuussäteet R 1 j R 2 ), jotk ovt etäisyydellä t toisistn. Kuvusyhtälö on johdettviss seurvsti: Ensimmäisen pinnn esineestä O muodostm kuv toimii esineenä toiselle pinnlle, jok muodost sitten lopullisen kuvn I. Linssin pksuus t otetn huomioon välikuvn (väliesineen) etäisyyttä lskettess toisest pinnst. Tuloksen on kuvusyhtälö, jonk soveltminen on hyvin hnkl (jos ei tehdä ohuen linssin pproksimtiot t 0).

3 152 Pksu linssiä voidn kuitenkin käsitellä kelposti ohuen linssin tpn, kun linssille ensin määritetään ns. peruspisteet (krdinlipisteet, crdinl points). Peruspisteet eivät ole vin pksujen linssien ominisuuksi, vn selliset ovt olemss yleisemminkin kuvville optisille systeemeille. Kuvn muodostumist hllitn siis peruspisteillä, joit on olemss kuusi (6) kpplett (ks. kuv ll): 1) Polttopisteet (focl points): F 1 j F 2 2) Pääpisteet (principl points): H 1 j H 2 3) Solmupisteet (nodl points): N 1 j N 2 Peruspisteisiin setetut optist kseli vstn kohtisuort pinnt ovt ns. peruspintoj. Prksilisess pproksimtioss peruspinnt ovt tsoj (crdinl plnes): polttotsot, päätsot j solmutsot. Kuvss on esitetty linssisysteemi, jost on piirretty näkyviin vin ensimmäisen linssin ensimmäinen pint j viimeisen linssin viimeinen pint. Kuv esittää systeemin peruspisteiden j perustsojen merkitystä: Linssisysteemin polttoväli on ns. efektiivinen polttoväli. Etupolttopisteen F 1 (front focl point) pikk mittn esinepääpisteestä H 1

4 153 (front principl point) etummisen efektiivisen polttovälin f 1 vull. Tkpolttopisteen F 2 (bck focl point) pikk mittn kuvpääpisteestä H 2 (bck principl point) tkimmisen efektiivisen polttovälin f 2 vull. Etusolmupistettä N 1 (first nodl point) kohti tulev säde jtk systeemin läpi mentyään smn suuntisen näyttäen lähtevän tksolmupisteestä N 2 (second nodl point). Tphtuu vin yhdensuuntissiirtymä. Jos systeemin esine- j kuvpuolell on sm väliinett, solmupisteet N 1 j N 2 yhtyvät pääpisteisiin H 1 j H 2. Kuuden peruspisteen sijinti on esitetty yksityiskohtisesti vielä kuvss ll. On huomttv, että kuvss esitetyt etäisyydet ovt suunnttuj. Etäisyydet vsemmlle ovt negtiivisi j oikelle positiivisi. Knntt vielä huomt, että r j s sekä v j w mittvt etäisyyttä huippupisteist V 1 j V 2, kun ts efektiiviset polttovälit f 1 j f 2 mittvt etäisyyttä pääpisteistä H 1 j H 2.

5 154 Miten optisen systeemin r, s, v, w, f 1 j f 2 lsketn j miten niiden tietäminen yksinkertist kuvutumisen nlyysiä? Vstus löytyy ns. systeemimtriisist, johon tutustumme myöhemmin. Nyt teemme yhteenvedon (kvojen johto kppleess 7.5) pksulle linssille. Käytetään yllä olevss kuvss esitettyjä symbolej: Systeemimtriisinlyysi kertoo, että pksun linssin etupolttoväli f 1 sdn yhtälöstä 1 nl -n' nl -n = - f nr nr j tkpolttoväli f 2 on sitten ( nl -n')( nl -n) t - (7.1.1) nn RR n' f2 =- f1. (7.1.2) n Huom, että polttovälit ovt yhtä pitkät (merkkiä eli suunt ville), jos linssiä ympäröi sm väliine (esim. ilm) molemmilt puolilt, ts. kun n' = n. Pksun linssin pääpisteet voidn pikllist käyttämällä kvoj L 2 L 1 2 nl -n' nl -n r= ft 1 j s=- f2 t, (7.1.3) nr nr j solmupisteet löytyvät pikoist æ n' n -n' ö t f ø L L v = ç n nr j w= ç 1- - t f2 L 2 n' nr L 1 è Esineen j kuvn etäisyydet noudtt kvoj: f s s o j = 1 j o f s i æ è L 1 n n -n ö ø. (7.1.4) s i sekä poikittinen suurennus m ns m =- i, (7.1.5) ns ' kun etäisyydet s o j s i j polttovälit f 1 j f 2 mittn päätsoist. Myös tässä s j s noudttvt normlej linssien merkkisään- o i o

6 155 töjä ( s o > 0 vsemmll j s i > 0 oikell, jos vlo tulee vsemmlt). Ilmss olevlle linssille n' = n= 1, jost seur r =v j s= w, joten solmupisteet yhtyvät pääpisteisiin. Myös polttovälit ovt yhtäpitkiä. Lisäksi kuvusyhtälö j suurennus (7.1.5) plutuvt normleiksi ohuen linssin yhtälöiksi = j s s f 0 missä f = f 2 (siis tkpolttoväli, huom!). i s i m =-, (7.1.6) s Esimerkki: Kksoiskuper linssi, jonk pksuus on 4,00 cm on vedellä (n' = 1,33) täytetyn putken tulppn (kuv). Linssin titekerroin on 1,52 j molemmt krevuussäteet ovt 25,0 cm. Lske linssin polttopisteiden j pääpisteiden pikt. o Rtkisu: Numerorvoj: n = 1,00, n L = 1,52. n ' = 1,33, R 1 =+ 25,0cm, R 2 =- 25,0cm j t = 4,00cm Etupolttoväli yhtälöstä (7.1.1): 1 nl -n' nl -n ( nl -n')( nl -n) t = - - =-0,027984cm -1, f1 nr2 nr1 nnl RR 1 2 Þ f 1 =-35,73cm Siis etupolttopiste F 1 on 35,73 cm vsemmlle ensimmäisestä pääpisteestä H 1. Kuvpuolen polttoväli sdn kvst (7.1.2)

7 f n' =- f = 47,52cm n Tkpolttopiste F 2 on 47,52 cm oikelle toisest pääpisteestä H 2. Pääpisteet kvst (7.1.3) nl -n' r= ft 1 = 0,715cm, nr s L n 2 -n L =- f2 t = 2,60cm nr L 1 -. Siis ensimmäinen pääpiste H 1 sijitsee 0,715 cm oikelle linssin etupinnst j toinen pääpiste H 2 sijitsee 2,60 cm vsemmlle linssin tkpinnst Esimerkki: Esine on 50,0 cm:n päässä edellisen tehtävän linssin edessä (etupinnst mitttun). Mihin kuv muodostuu? Rtkisu: s o = (50,0 + 0,715) cm = 50,715 cm (vsemmll) f 1 = -35,73 cm, f 2 = cm Kuvusyhtälöstä (7.1.5): f s = o f s i 1 Þ s = i sof2 s + f o 1 = (50,715) (47,52) 50,715 + (-35,73) = 160,826 cm. Kuv on 160,8 cm pääpisteestä H 2 oikelle. Viimeisestä pinnst se on (160,826-2,60) cm» 158,2 cm oikelle

8 MATRIISIMENETELMÄ Kun optisess systeemissä on useit komponenttej, trvitn systemttinen menetelmä, jok helpott nlyysiä. Kun trkstelu rjoitetn prksilisiin säteisiin, menetelmäksi sopii mtriisimenetelmä. Säteen kulku systeemin läpi kuvtn korkeuden y (etäisyys optisest kselist) j suunnn (optisen kselin j säteen välinen kulm) vull. Kuvss yllä on esitetty säteen kulku esimerkkisysteemin läpi. Etäisyydellä x 0 ensimmäisestä tittvst pinnst sädettä kuvtn korkeuden y 0 j kulmn 0 vull. Kulm muuttuu jokisess tittumisess (pisteissä 1, 2, 3, 4 j 5) j jokisess heijstumisess (pisteessä 6). Säteen korkeus ei näissä pisteissä muutu, mutt se muuttuu niiden välillä. Prksilisess pproksimtioss suunnn j korkeuden muutokset voidn esittää lineristen yhtälöiden vull, jotk puolestn on helppo puke mtriirimuotoisiksi (tästä nimi). Kun yksittäisiä tittumisi j heijstumisi kuvvt mtriisit yhdistetään, koko optinen systeemi on esitettävissä yhdellä mtriisill. Seurvss esitetään vihe viheelt miten säteen korkeus j suuntkulm voidn määrittää optisen systeemin jokisess pisteessä.

9 158 Siirtomtriisi Viereisessä kuvss trkstelln säteen etenemistä (siirtymistä) homogeenisess väliineess mtkn L. Alkupisteen 0 "koordintit" ovt y 0 j 0 j loppupisteessä 1 ne ovt y 1 j 1. Säde etenee suorviivisesti, joten kulm pysyy muuttumttomn, ts. 1 = 0. Kuvn geometrist voimme helposti lske: y1 = y0 + Ltn0. Prksiliselle säteelle pätee tn0 = 0 j smme linerisen yhtälöprin ìy1 = 1 y0 + L 0 í, (7.2.1) î1 = 0 y jok mtriisimuodoss on éy ù é1 Lùéy ù. (7.2.2) 1 0 ê ú= ê úê ú ë û ë ûë 0 û Näin siirtymisen vikutust säteeseen voidn kuvt 2 2-mtriisill, eli ns. siirtomtriisill. Tittomtriisi Kuvss seurvll sivull trkstelln säteen tittumist pllopinnss. Etsitään reltiot tittumisen jälkeisten koordinttien ( y ', ') j tittumist edeltävien koordinttien ( y, ) välille. Kuvst: ì' = q' - f = q' - y R í î = q - f = q - y R

10 159 j tittumislin mukn (huom pproksimtio) Siten jost edelleen ( ) nq = n' q' Þ q' = nn' q. n ' = q - n' y R n æ y ö = ç + - y, n' è Rø R 1 æ n ö n ' = ç - 1 y+. Rèn' ø n' = y. Mtriisiyh- Tämä on reltio kulmlle. Korkeudelle pätee tälö pllopinnlle on siis y' éy' ù é 1 0 ùéyù ê 1 ' ú = ê R( n/ n' -1) n/ n' úê ú. (7.2.3) ë û ë ûë û Pllopinnn erikoistpus on tsopint, johon päästään, kun setetn R. Siis tsopinnlle: éy' ù é1 0 ùéyù ê ' ú= ê 0 n/ n' úê ú ë û ë ûë û.

11 160 Heijstusmtriisi Kuvss ll trkstelln heijstumist pllopinnst. Esimerkkinä käytämme kover peiliä (R > 0, kosk lähtevät säteet ovt smll puolell kuin krevuuskeskipiste C). Peilien yhteydessä on trpeen sopi merkkisäännöt myös säteen kulmlle. Kulm on positiivinen, jos säde etenee "ylöspäin" (ktso pikkukuv) j negtiivinen, jos säde etenee "lspäin". Kuvst: ì = q + f = q + ï í ï ' = q' - f = q' ïî - Merkkisäännön mukn j ' ovt positiivisi j heijstuslki snoo, että q = q'. Smme: y y 2y ' = q' - = q - = -. R R R Lineriset yhtälöt ovt siis: y R ìy' = 1 y+ 0 ï í 2 ï' =- y+ 1 î R y R. (7.2.4)

12 j mtriisiyhtälöksi tulee siten 161 éy' ù é 1 0ùéyù ê 2 ' ú = ê - R 1 úê ú. (7.2.5) ë û ë ûë û Linssin mtriisi Rkennetn nyt mtriisi, jok esittää pksun linssin vikutust säteeseen. Säteen kulku esittää seurv kuv: Ensimmäinen tittuminen: Siirto: éy1ù éy0ù ê M1 ú= ê 1 ú ë û ë 0û éy2ù éy1ù ê M 2 ú= ê 2 ú ë û ë 1û éy3ù éy2ù Toinen tittuminen: ê M 3 ú= ê 3 ú ë û ë 2û Yhdistämällä yhtälöt sdn éy3ù éy0ù éy0ù ê M3M2M1 M ú = ê = 3 ú ê 0 ú ë û ë û ë 0û. Pksun linssin vikutus säteen kulkuun voidn siis esittää yhdellä mtriisill M= MMM 3 2 1, missä kertolsku lsketn normlej mtriisin kertolskusääntöjä sovelten.

13 162 Yleistys: Jos siirtoj, heijstuksi j tittumisi on yhteensä N kpl, on yf y0 ê é MNMN 1 MM 2 1 ú ù = é ù -L ê f ú (7.2.6) ë û ë 0û j koko systeemiä edust yksi mtriisi M= M M L MM. (7.2.7) N N Merkitään: R = tittomtriisi (refrction mtrix) T= siirtomtriisi (trnsltion mtrix) Pksun linssin mtriisiksi tulee: M = R 2 T R 1 eli é 1 0ùé1 tùé 1 0ù M =ên L-n' nlúê n-nl n n' R2 n' 0 1 úê ú. (7.2.8) ë ûë ûë nlr1 nlû Jos linssin molemmill puolill on sm inett ( n' = n) j jos linssi on ohut ( t = 0), sdn é 1 0ùé1 0ùé 1 0ù =ên n núê ên n nú 0 1 ú. (7.2.9) ë û M - - Mtriisikertolsku nt (lske) missä L L L ë nr2 n û ë nlr1 nlû é 1 0ù é 1 0ù = ên L n ú= 1 1 ê 1 ( ) 1 1 ú, (7.2.10) n R - - f ëê 2 R1 ûú ë û M - on tuttu linssintekijän yhtälö. 1 nl -næ 1 1 ö = ç - f n èr1 R2 ø

14 163 Yhteenveto yksinkertisist säteenseurntmtriiseist:

15 SYSTEEMIMATRIISI Systeemiä kokonisuudessn kuvv mtriisi (7.2.7) snotn systeemimtriisiksi ti ABCD-mtriisiksi. Systeemimtriisin éa Bù M = ê C D ú ë û elementit kuvvt optisen systeemin ominisuuksi. On huomttv, että mtriisielementtien rvot riippuvt säteen sisäänmenotsost (input plne) j ulostulotsost (output plne). Edellä esitetyn pksun linssin tpuksess sisäänmenotsoksi vlittiin linssin vsen pint j ulostulotsoksi oike pint. Jos molemmt tsot siirretään jollekin etäisyydelle linssistä, systeemimtriisi sisältää myös lkutiln j lopputiln väliset siirtomtriisit. Tällöin mtriisielementit muuttuvt j systeemimtriisi esittää "ljennettu" systeemiä. Kikiss tpuksiss systeemimtriisill on ominisuus: Det A B M = C D n AD BC n 0 = - =, (7.3.1) missä n 0 on lkutiln väliineen titekerroin j n f on lopputiln väliineen titekerroin. Tämä tulos voidn todist helposti, kun huomtn, että jokisen yksittäisen mtriisin M i (siirto, titto, heijstus, ks. edellinen sivu) determinntti on Det M i = 1 ti n. n' Tulomtriisin determinntti on Det = (Det )(Det ) L (Det ), M M1 M2 M N jost kikki muut titekertoimet supistuvt pois pitsi ensimmäinen (n 0 ) j viimeinen (n f ) j tulos on n 0 / n f. f

16 165 Trkstelln seurvksi systeemimtriisin elementtien merkitystä. Säteen koordintit olkoot sisäänmenotsoss ( y 0, 0 ) j ulostulotsoss ( y f, f). Koordintit kytkeytyvät toisiins systeemimtriisin välityksellä yhtälöllä: éy f ù éa Bùéy0 ù ê ú= ê f C D úê ú ë û ë ûë 0 û Û ìyf = Ay0 + B0 í. (7.3.2) î f = C y0 + D0 Trkstelln nyt tilnteit, joiss kukin mtriisielementti on vuorolln noll. 1. D = 0 Tällöin f = Cy0 on riippumton 0:st. Kikill korkeudell y0 olevst sisäänmenotson pisteestä lähtevillä säteillä on sm kulm f ulostulotsoss. Tämä trkoitt sitä, että sisäänmenotso on etupolttotso. 2. A = 0 Tällöin yf = B0 on riippumton y 0:st. Kikist sisäänmenotson pisteistä kulmn 0 lähtevät säteet osuvt ulostulotsoss pisteeseen y f. Ulostulotso on siis tkpolttotso.

17 3. B = Tällöin yf = Ay0 on riippumton 0:st. Kikki sisäänmenotson pisteestä y 0 lähtevät säteet kohtvt ulostulotsoss pisteessä y f. Kysymyksessä on siis esinepiste j kuvpiste j tsot ovt systeemin ns. konjugttitsoj. Kosk A= yf y0, elementti A on systeemin suurennus. 4. C = 0 Tällöin f = D0 on riippumton y 0:st. Tilnne on nloginen tpuksen 3 knss, kun korkeudet muutetn kulmiksi. Smnsuuntisin systeemiin tulevt säteet poistuvt systeemistä smnsuuntisin (kuitenkin eri kulmn). Kosk D = f 0, elementti D on systeemin kulmsuurennus.