pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68"

Transkriptio

1 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo Esimerkkejä 0-88

2 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Määritelmä 1.1. Epätyhjä joukko V on lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. Joukossa V on määritelty laskutoimitus + (toisin sanoen kaikilla alkioilla v, w V on olemassa yksikäsitteinen joukon V alkio v + w, jota sanotaan alkioiden v ja w summaksi), joka toteuttaa seuraavat laskulait: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). (b) v + w = w + v kaikilla v, w V (vaihdannaisuus). (c) On olemassa neutraalialkio 0 V, jolle 0 + v = v kaikilla v V. (d) Kaikilla v V on olemassa vasta-alkio v V,

3 1. Lineaariavaruus eli V jolle v + ( v) = Joukossa V on määritelty reaaliluvulla (skalaarilla) kertominen (vasemmalta) (toisin sanoen kaikilla v V ja λ R on olemassa jokin yksikäsitteinen alkio λ v V ), jolla on seuraavat ominaisuudet: (a) (λμ) v = λ (μ v) kaikilla v V ja λ, μ R. (b) 1 v = v kaikilla v V. 3. Yhteenlasku + ja reaaliluvulla kertominen toteuttavat seuraavat osittelulait: (a) λ (v + w) = λ v + λ w kaikilla v, w V ja λ R. (b) (λ+μ) v = λ v +μ v kaikilla v V ja λ, μ R. Edellisessä määritelmässä annettuja ehtoja sanotaan lineaariavaruuden aksioomeiksi ja joukon V alkioita voidaan kutsua vektoreiksi. Huomautus 1.2. :

4 1. Lineaariavaruus eli V (a) Yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja reaaliluvulla kertominen on kuvaus : R V V. (b) Määritelmän 1.1 vektoriavaruus on reaalinen vektoriavaruus. Olkoon K kunta. Jos skalaarilla kertominen on kuvaus : K V V, niin puhutaan K-kertoimisesta vektoriavaruudesta. Erikoistapauksena saadaan reaalinen vektoriavaruus, kun K = R, ja kompleksinen vektoriavaruus, kun K = C. (c) Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä, ts. λ v = λv. (d) MERKINTÄ: Asetetaan Esimerkki 1.3. : u v := u + ( v). (1) (a) Joukko R n, n Z + on vektoriavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen mää-

5 1. Lineaariavaruus eli V ritellään komponenteittain: x = y x i = y i i = 1,..., n; (2) x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ); (3) λ x = (λx 1,..., λx n ). (4) Erityisesti R on vektoriavaruus. (b) Joukko M(k, n) = {A A on k n matriisi} on vektoriavaruus, kun se varustetaan tavallisella matriisien yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella. (c) Olkoon F(R, R) = {f f : R R on kuvaus}. Määritellään kaikilla f, g F(R, R) ja λ R identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen seuraavasti: f = g, jos f(x) = g(x) (5) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (6) (λ f)(x) = λf(x) (7)

6 1. Lineaariavaruus eli V kaikilla x R. Tällöin F(R, R) on vektoriavaruus. Osoitetaan kohta 1c): Määritellään nollafunktio O asettamalla Tällöin O(x) = 0 x R. (8) (O+f)(x) = O(x)+f(x) = 0+f(x) = f(x) x R, (9) joten funktioiden identtisyyden nojalla O + f = f. (10) Siten nollafunktio on neutraalialkio funktioavaruudessa. Osoitetaan kohta 1d): Määritellään f asettamalla ( f)(x) = f(x) x R. (11) Tällöin (f + ( f))(x) = f(x) + ( f)(x) = f(x) f(x) = 0 = O(x) x R, (12)

7 1. Lineaariavaruus eli V joten funktioiden identtisyyden nojalla f + ( f) = O. (13) Siten f on alkion f vasta-alkio funktioavaruudessa. (d) Olkoot X epätyhjä joukko, V vektoriavaruus ja F(X, V ) = {f f : X V on kuvaus}. Määritellään yhteenlasku + ja kertolasku kuten (c)- kohdassa. Tällöin F(X, V ) on vektoriavaruus (todistus harjoitustehtävä). (e) Joukossa C(R, [ 1, 1]) = {f f : R [ 1, 1] on jatkuva funktio} (c)-kohdan operaatio + ei ole laskutoimitus. Nyt sin C(R, [ 1, 1]), mutta koska sin( π 2 ) + sin( π 2 ) = 2 / [ 1, 1], niin sin + sin / C(R, [ 1, 1]). (f) Olkoot V = {x R x 0}, + : V V V tavallinen reaalilukujen yhteenlasku ja määritellään

8 1. Lineaariavaruus eli V : R V V asettamalla λ x = λ x. Tällöin aksioomat 1(a), 1(b), 1(c), 2a), 2(b) ja 3(a) ovat voimassa. Sen sijaan aksioomat 1(d) ja 3(b) eivät ole voimassa. Jos x V, x > 0, niin x + y > 0 kaikilla y V, joten tällaisella alkiolla x ei ole vasta-alkiota joukossa V. Lisäksi (1 + ( 1)) x = 0 x = 0 = x + x = 1 x + ( 1) x, kun x > 0, joten aksiooma 3(b) ei ole voimassa. Lause 1.4. Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin (a) yhteenlaskun neutraalialkio on yksikäsitteinen; (b) vektorin vasta-alkio on yksikäsitteinen; (c) kaikilla v, w V on olemassa täsmälleen yksi x V, jolle v + x = w (toisin sanoen yhtälöllä v + x = w on yksikäsitteinen ratkaisu). Lause 1.5. Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nollaalkio. Kaikilla v, w V ja 0, λ, μ R pätee

9 1. Lineaariavaruus eli V (a) 0 v = λ 0 = 0; (b) ( 1) v = v; (c) ( v) = v; (d) (v + w) = v + ( w); (e) (λ v) = ( λ) v = λ ( v); (f) ( λ) ( v) = λ v; (g) λ (v + ( w)) = λ v + ( (λ w)); (h) (λ μ) v = λ v + ( (μ v)); (i) λ v = 0 jos ja vain jos λ = 0 tai v = 0; (j) Jos λ v = λ w ja λ = 0, niin v = w; (k) Jos λ v = μ v ja v = 0, niin λ = μ. Todistetaan kohdan (a) tapaus: 0 v = 0.

10 1. Lineaariavaruus eli V Aluksi 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v. (14) Lisätään vasta-alkio 0 v yhtälön molemmille puolille, jolloin 0 = 0 v + ( 0 v) = (0 v + 0 v) + ( 0 v) = 0 v + (0 v 0 v) = 0 v. (15) Huomautus 1.6. Jätetään jatkossa kertomerkki pois, toisin sanoen merkitään lyhyesti λ v = λv. Induktiolla ja aksiooman 1(a) avulla voidaan osoittaa, että jos v 1,..., v n V, niin summa v v n on riippumaton siitä, missä järjestyksessä yhteenlaskut suoritetaan. Esimerkiksi ((v 1 +v 2 )+v 3 )+v 4 = v 1 +((v 2 +v 3 )+v 4 ) = (v 1 +v 2 )+(v 3 +v 4 ) Jätetään siis jatkossa summista sulut pois. Määritelmä 1.7. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos se on suljettu yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen, toisin sanoen

11 1. Lineaariavaruus eli V 1. W = ; 2. jos w 1, w 2 W, niin w 1 + w 2 W ; 3. jos w W ja λ R, niin λw W. Seuraava lause antaa hyvän tavan todeta joukko vektoriavaruudeksi: Osoitetaan se jonkin tunnetun vektoriavaruuden aliavaruudeksi. Lause 1.8. Joukko W V on vektoriavaruuden V aliavaruus jos ja vain jos W varustettuna avaruuden V yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella on vektoriavaruus. Esimerkki 1.9. : (a) Joukot V ja {0} ovat vektoriavaruuden V triviaalit aliavaruudet. (b) Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. Perustelu: Koska nollakuvaus 0 : R R on jatkuva, niin

12 1. Lineaariavaruus eli V 0 C(R, R) ja siten C(R, R) =. Jos f ja g ovat jatkuvia, niin f +g on jatkuva ja λf on jatkuva kaikilla λ R. (c) Olkoon Pol(R, R) = {f F(R, R) f(x) = a 0 +a 1 x+...+a n x n kaikilla x R joillekin n N ja a 0,..., a n R} eli Pol(R, R) on kaikkien polynomien joukko. Tällöin Pol(R, R) on vektoriavaruuksien C(R, R) ja F(R, R) aliavaruus. Olkoot k N ja Pol k (R, R) = {f Pol(R, R) polynomin f aste k}. Tällöin Pol k (R, R) on avaruuden Pol(R, R) aliavaruus. Saadaan siis aliavaruusketju Pol 0 (R, R) Pol 1 (R, R)... Pol k (R, R) Pol k+1 (R, R) Pol(R, R) C(R, R) F(R, R).

13 1. Lineaariavaruus eli V HUOM: Olkoon K kunta. Yleensä K-kertoimisten polynomien joukolle käytetään merkintää K[x] = {f(x) f(x) = a 0 + a 1 x a n x n joillekin n N ja a 0,..., a n K}. Kun polynomien yhteen- ja kertolasku määritellään tavanomaisesti, niin saadaan polynomirengas (K[x], +, ), missä nolla- ja ykköspolynomit ovat 0(x) = 0+0 x+0 x , 1(x) = 1+0 x+0 x Edelleen vakiopolynomille a(x) = a+0 x+0 x voidaan käyttää lyhennysmerkintää a. Määritelmä Olkoon V vektoriavaruus. Vektori v V on vektoreiden v 1,..., v n V lineaarikombinaatio, jos on olemassa luvut λ 1,..., λ n R siten, että n v = λ i v i. i=1

14 1. Lineaariavaruus eli V Avaruuden V epätyhjän osajoukon S lineaarinen verho S koostuu kaikista joukon S lineaarisista kombinaatioista, toisin sanoen S R = S = {u V u = n λ i v i i=1 joillekin n N, v 1,..., v n S ja λ 1,..., λ n R}. Esimerkki Koska f Pol 1 (R, R) täsmälleen silloin, kun on olemassa sellaiset a 0, a 1 R, että f(x) = a 0 + a 1 x kaikilla x R, niin Pol 1 (R, R) = 1, x. Yleisemmin Pol k (R, R) = 1, x,..., x k. Lause Olkoot V vektoriavaruus ja S V epätyhjä. Tällöin (a) S on avaruuden V aliavaruus. (b) Jos S W ja W on avaruuden V aliavaruus, niin S W. Määritelmä Olkoot V vektoriavaruus ja S V epätyhjä. Joukko S on lineaarisesti riippuva, jos on

15 1. Lineaariavaruus eli V olemassa äärellisen monta alkiota s 1,..., s n S ja sellaiset luvut λ 1,..., λ n R, että λ i = 0 jollain 1 i n ja n λ i s i = 0. i=1 Muulloin S on lineaarisesti vapaa eli lineaarisesti riippumaton. ESIM: {0} on lineaarisesti riippuva, koska 1 0 = 0. Huomautus Joukko S on lineaarisesti vapaa jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti riippumaton, toisin sanoen ehdosta n λ i s i = 0 seuraa, että i=1 λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0

16 1. Lineaariavaruus eli V kaikilla joukon S äärellisillä osajoukoilla {s 1,..., s n }. Esimerkki : (a) Joukko {1(x), x, x 2 } Pol 2 (R, R) on lineaarisesti riippumaton. Perustelu: Olkoot λ 0, λ 1, λ 2 R sellaiset, että λ 0 1(x) + λ 1 x + λ 2 x 2 = 0(x) kaikilla x R. Valitaan x = 0, jolloin saadaan λ = 0, eli λ 0 = 0. Valitaan x = 1 ja x = 1, jolloin saadaan { λ1 + λ 2 = 0 λ 1 + λ 2 = 0 Siis λ 0 = λ 1 = λ 2 = 0. { λ1 = 0 λ 2 = 0. (b) Joukko {1, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton. (c) Joukko {1, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton. Perustelu: Olkoot Olkoon p 1,..., p n {1, x,..., x k,...}. l = max{polynomin p i aste i = 1,..., n}.

17 1. Lineaariavaruus eli V Tällöin {p 1,..., p n } {1, x,..., x l }, joten {p 1,..., p n } on lineaarisesti riippumaton (b)-kohdan ja Huomautuksen 1.14 nojalla. (d) Joukko {1, sin 2, cos 2 } C(R, R) on lineaarisesti riippuva, sillä 1 sin 2 x + 1 cos 2 x 1 1 = 0 = 0(x) kaikilla x R. Määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta, jos (a) S on lineaarisesti riippumaton, ja (b) S = V. Vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta. Myös {0} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota, missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. Tätä merkitään dim V =

18 1. Lineaariavaruus eli V n. Jos V = {0}, niin dim V = 0. Muulloin dim V =. Lause 1.17 (Hamelin kantalause). Jokaisella vektoriavaruudella V = {0} on olemassa kanta. Jos V on äärellisulotteinen, niin jokaisessa kannassa on yhtä monta alkiota. Huomautus Olkoon V vektoriavaruus. (a) Lauseen 1.17 nojalla vektoriavaruuden V dimensio on hyvin määritelty. (b) Jos dim V = n jollain n N, niin jokainen sellainen avaruuden V osajoukko, jossa on vähintään n + 1 alkiota, on lineaarisesti riippuva (todistus harjoitustehtävä). (c) Jos dim V = n jollain n N, niin jokainen lineaarisesti riippumaton avaruuden V osajoukko S, jossa on n alkiota, on avaruuden V kanta (todistus harjoitustehtävä).

19 1. Lineaariavaruus eli V (d) Jos V on vektoriavaruus, W on avaruuden V aliavaruus ja S on avaruuden W kanta, niin on olemassa sellainen avaruuden V kanta T, että S T. (Tapauksen dim V = n jollain n N todistus harjoitustehtävä. Yleisesti tämän todistaminen vaatii Zornin Lemmaa.) Erityisesti dim W dim V. Esimerkki : (a) Koska {1, x,..., x n } on avaruuden Pol n (R, R) eräs kanta (ks. Esimerkit 1.11 ja 1.15 (b)), niin dim Pol n (R, R) = n + 1. Koska {1, x, x 2,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton (ks. Esimerkki 1.15 (c)), niin dim Pol(R, R) =. Huomautuksen 1.18 (d) nojalla saadaan dim C(R, R) = = dim F(R, R). (b) Laske dim S, kun S = {1 + x, 1 + x 2, 1 + 2x 3x 2 } Pol 2 (R, R). Ratkaisu: Tutkitaan, onko joukko S lineaarisesti riippumaton. Nyt a(1 + x) + b(1 + x 2 ) + c( 1 + 2x 3x 2 ) = 0 (a + b c)1 + (a + 2c)x + (b 3c)x 2 = 0

20 1. Lineaariavaruus eli V Esimerkin 1.15 (b)-kohdan nojalla saadaan a + b c = 0 a + 2c = 0 a + 2c = 0 a + 2c = 0 b 3c = 0 b 3c = 0 a = 2c b = 3c c R. (Ensimmäisessä kohdassa viimeinen yhtälö on vähennetty ensimmäisestä.) Koska yllä olevalla yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu, esim. a = 2, b = 3, c = 1, niin S on lineaarisesti riippuva. Tästä nähdään, että polynomi 1 + 2x 3x 2 on lineaarikombinaatio polynomeista 1 + x ja 1 + x 2, joten S = 1 + x, 1+x 2. Joukko {1+x, 1 + x 2 } on lineaarisesti riippumaton, sillä a(1 + x) + b(1 + x 2 ) = 0 (a + b)1 + ax + bx 2 = 0 Näin ollen dim S = 2. a = 0 ja b = 0. Lause Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja S = {v 1,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaisella v V on yksikäsitteinen esitys kannan S suhteen,

21 2. Sisätuloava toisin sanoen on olemassa yksikäsitteiset luvut λ 1,..., λ n R, joille n v = λ i v i. Todistus. Luennolla. i=1 Huomautus Lauseen 1.20 antamia lukuja λ i sanotaan vektorin v koordinaateiksi kannassa S. 2 Sisätuloavaruus Määritelmä 2.1. Olkoon V vektoriavaruus. Kuvaus ( ) : V V R on sisätulo, jos kaikilla v, w, u V ja λ R pätee (a) (v w) = (w v) (symmetrisyys); (b) (v + w u) = (v u) + (w u); (c) (λv w) = λ (v w);

22 2. Sisätuloava (d) (v v) > 0, kun v = 0 (positiividefiniittisyys). Sisätuloavaruus on pari (V, ( )), missä V on vektoriavaruus ja ( ) on sisätulo avaruudessa V. Vektoreiden v ja w sisätulolle (v w) käytetään yleisesti merkintää v w ja puhutaan pistetulosta. Huomautus 2.2. : (a) Sisätulo ( ) jätetään yleensä merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti sisätuloavaruudesta V. (b) Sisätulon ehdot (b) ja (c) sanovat, että sisätulo on lineaarinen ensimmäisen argumentin suhteen. (c) Jos V on kompleksinen vektoriavaruus, niin sisätulo määritellään kuten yllä, paitsi ehto (a) korvataan seuraavalla ehdolla: (v w) = (w v) kaikilla v, w V, missä z on luvun z C kompleksikonjugaatti (z = x + iy, z = x iy).

23 2. Sisätuloava (d) Olkoon v V. Tällöin (0 v) = (0 0 v) 2(b) = 0 (0 v) = 0. Erityisesti (v v) 0 kaikilla v V. Lisäksi (v v) = 0 jos ja vain jos v = 0. Esimerkki 2.3. : (a) Pistetulo x y = n i=1 x iy i on sisätulo avaruudessa R n (harjoitustehtävä). (b) Kuvaus : R 4 R 4 R, missä x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 +x 4 y 4 kaikilla vektoreilla x, y R 4, ei ole sisätulo. Kun v = (1, 0, 0, 0), niin v v = 1 < 0, joten ehto (d) ei ole voimassa. (c) Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan sisätulo asettamalla (f g) = kaikilla f, g C([a, b], R). b a f(t)g(t)dt

24 2. Sisätuloava Todistus. Luennolla. (d) Esimerkin (c) kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle f(x) = { 1, kun x = a 0, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f = 0, mutta (f f) = b a f 2 (t)dt = 0. Määritelmä 2.4. Olkoon V vektoriavaruus. Kuvaus : V R on normi, jos 1. v 0 kaikilla v V ; 2. v = 0 jos ja vain jos v = 0; 3. λv = λ v kaikilla v V ja λ R; 4. v+w v + w kaikilla v, w V (kolmioepäyhtälö).

25 2. Sisätuloava Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Kuten sisätuloavaruuksien yhteydessä, jätetään normi yleensä merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti normiavaruudesta V. Lause 2.5. Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = (v v) kaikilla v V. Tällöin on normi, jolle pätee Cauchy- Schwarzin epäyhtälö kaikilla v, w V. v w v w (16) Todistus. Kirjoitetaan z := w 2 v (v w)w.

26 2. Sisätuloava Tällöin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0. Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + 2(v w)z w + (v w) 2 w w = z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. Tästä saadaan w 2 v 2 v w 2 ja edelleen 16. Huomautus 2.6. : (a) Tasossa R 2 vektorin (x, y) R 2 normi (Lause 2.5) on (x, y) = (x, y) (x, y) = x 2 + y 2,

27 2. Sisätuloava joten se on tavallinen vektorin pituus (vrt. Pythagoraan lause). (b) Jos v, w = 0, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 (v w) v w 1. Voidaan siis määritellä vektorien v ja w välinen kulma α kaavasta cos α = (v w) v w. Olkoot v, w R 2. Tällöin v w 2 = (v w v w) = v 2 + w 2 2 (v w) = v 2 + w 2 2 cos α v w. Tämä on kosinilause. (Tässä v w on vektorien v ja w välinen etäisyys, vrt. Euklidinen Topologia, d(v, w) = v w.) (c) Sisätuloavaruudessa käytetään sisätulon antamaa normia ellei erityisesti toisin mainita. Määritelmä 2.7. Sisätuloavaruuden V vektorit v, w V ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vas-

28 2. Sisätuloava taan, jos (v w) = 0 Tällöin merkitään v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos v w kaikilla v, w T, joilla v = w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja v = 1 kaikilla v T. Esimerkki 2.8. : (a) Tason R 2 joukko {(1, 2), ( 10, 5)} on ortogonaalinen, sillä ((1, 2) ( 10, 5)) = 1 ( 10) = 0. (b) Joukko {e 1,..., e n } R n on ortonormaali, sillä kaikilla i = j pätee (e i e j ) = (e i e i ) = = 1. Siis e i e j, kun i = j, ja e i = 1 kaikilla i = 1,..., n. (c) Avaruuden R 3 osajoukko S = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), ( 1, 1, 1)}

29 2. Sisätuloava ei ole ortogonaalinen, sillä ((1, 1, 0) (0, 1, 1)) = = 1 = 0. Erityisesti S ei ole ortonormaali. (d) Olkoot f, g C([0, 1], R), missä C([0, 1], R) on varustettu Esimerkin 2.3 sisätulolla, f(x) = x ja g(x) = 1 kaikilla x [0, 1]. Lasketaan funktioiden f ja g välinen kulma α. Koska (f g) = f 2 = g 2 = f(x)g(x)dx = f(x) 2 dx = g(x) 2 dx = xdx = 1 2, x 2 dx = 1 3, ja 1dx = 1, niin cos α = = 3 2, eli α = π 6 (= 30 ). Lause 2.9. Olkoot V sisätuloavaruus, S V ortogonaalinen ja oletetaan, että 0 / S. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton.

30 2. Sisätuloava Todistus. Tutkitaan joukon S äärellistä osajoukkoa J := {s 1,..., s n }. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s a n s 1 s n = s 1 0 a 1 s 1 s 1 = 0 mutta s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. Edelleen huomautuksen 1.14 nojalla S on lineaarisesti vapaa. Määritelmä Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki :

31 2. Sisätuloava (a) Avaruuden R n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. (b) Joukko {(1, 1), (1, 1)} R 2 on ortogonaalinen, sillä ((1, 1) (1, 1)) = ( 1) = 0. Lauseen 2.9 nojalla se on lineaarisesti riippumaton. Koska joukossa S on kaksi vektoria, niin S on avaruuden R 2 ortogonaalinen kanta (Huomautus 1.18 (c)). Koska (1, 1) = 2 = (1, 1), niin S ei ole avaruuden R 2 ortonormaali kanta. Joukosta S kuitenkin saadaan ortonormaali kanta normittamalla sen vektorit sopivasti. Siis S = { (1, 1), 2 (1, 1)} on avaruuden R 2 ortonormaali kanta. 1 (c) Polynomit 2 3, 2 x ja 45 8 (x2 1 3 ) muodostavat avaruuden Pol 2 (R, R) ortonormaalin kannan, kun sisätulona (osoitus harjoitustehtävä) on (p q) = 1 1 p(x)q(x)dx

32 2. Sisätuloava kaikilla p, q Pol 2 (R, R). Perustelu: Nyt ( ) x = 2 2 xdx = 2 1 ja vastaavasti ( ) (x2 1 3 ) = ( 3 2 x 1/ x2 = 0 ) 45 8 (x2 1 3 ) Siis polynomit ovat ortogonaaliset. Lisäksi = = ( 1 2 ja vastaavasti 1 2 ) = 1 1 ( 1 2 ) 2 dx = = x = 8 (x2 1 3 ) = 1. Näin ollen annetut polynomit ovat ortonormaaleja. Lauseen 2.9 nojalla joukko S = { , 2 2 x, 8 (x2 1 3 )} on lineaarisesti riippumaton. Koska dim Pol 2 (R, R) = 3, niin S on avaruuden Pol 2 (R, R) kanta.

33 2. Sisätuloava Lause Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = v i v v i v i (17) kaikilla 1 i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = v i v. Todistus. Vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys v = λ 1 v λ n v n. Ottamalla sisätulo v i v = λ 1 v i v λ i v i v i λ n v i v n = josta saadaan väite (17). Esimerkki : λ i v i v i.

34 2. Sisätuloava (a) Edellisen lauseen perusteella vektorin (0, 1) koordinaatit kannassa { (1, 1), 2 (1, 1)} (Esimerkki 2.11 (b)) ovat λ 1 = λ 2 = ( (0, 1) ( 1 ) 1, ) 2 2 ( (0, 1) ( 1, 1 ) 2 2 = 1 2 ja ) = 1 2 Siis (0, 1) = 1 2 ( 1 2, 1 2 ) 1 2 ( 1 2, 1 2 ). (b) Polynomin x 2 koordinaatit Esimerkin 2.11 (c) kan-

35 2. Sisätuloava nassa ovat ( ) x 2 1 = 2 ( ) 3 x 2 2 x = ( x (x2 1 3 ) ( ) = 9 2 x 2 dx = 3, 3 2 x3 dx = 0, ja ) 45 1 = x x2 dx = Siten x 2 = (x2 1 3 ). Lause Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö (v w) = n (v v i ) (v i w). i=1

36 2. Sisätuloava Erityisesti v = n (v v i ) 2 = i=1 n i=1 λ 2 i missä luvut λ i ovat vektorin v koordinaatit. Lause Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w 1,..., w k } V, että w 1,..., w k = v 1,..., v k. (18) Todistus. Asetetaan w 1 = v 1, w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1... w k = v k v k w k 1 w k 1 w k 1 w k 1... v k w 1 w 1 w 1 w 1.

37 2. Sisätuloava Tällöin esimerkiksi w 2 w 1 = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = 0, w 3 w 1 = v 3 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 w 1 0 v 3 w 1 = 0. Yleisemmin induktiolla. Olkoon l 2. Induktio-oletus: Olkoot w i w j = 0 aina, kun l > i > j. Induktioaskel: Lasketaan sisätulo w l w i = v l w i v l w i w i w i w i w i = 0. Huomautus : Menetelmää, jolla Lause 2.15 todistettiin, kutsutaan Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmäksi.

38 2. Sisätuloava Seuraus Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V = {0} on ortonormaali kanta. Seuraus Olkoot V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja S V ortonormaali. Tällöin on olemassa sellainen avaruuden V ortonormaali kanta T, että S T. Huomautus : Seuraus 2.17 ei päde ääretönulotteisissa sisätuloavaruuksissa. Esimerkki : (a) Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 1, 1, 1) ja v 3 = ( 3, 3, 1, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v 1, v 2, v 3 ortonormaa-

39 2. Sisätuloava li kanta. Valitaan w 1 = v 1 = (1, 1, 1, 1), w 2 = v 2 (v 2 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = (5, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) = (4, 2, 0, 2), ja w 3 = v 3 (v 3 w 2 ) (w 2 w 2 ) w 2 (v 3 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = v w = (0, 0, 0, 0). Koska w 3 = 0, niin {v 1, v 2, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v 1 ja v 2, joten H = v 1, v 2. Nyt {v 1, v 2 } on lineaarisesti riippumaton, joten {w 1, w 2 } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kan- w 1

40 2. Sisätuloava ta {u 1, u 2 }, missä u 1 = w 1 w 1 = 1 (1, 1, 1, 1) ja 2 u 2 = w 2 w 2 = 1 24 (4, 2, 0, 2) = ( 2 6, 1 6, 0, ) 1. 6 (b) Etsi ortonormaali kanta aliavaruudelle V = 1, sin C([0, π], R) kun sisätulona on (f g) = π 0 f(x)g(x)dx. Ratkaisu: Gram-Schmidtin menetelmällä w 1 = 1 ja w 2 = sin x = sin x + (sin x 1) 1 = sin x (1 1) π/ cos x 0 π 1 = sin x 2 π. π 0 sin x 1dx π dx Siis {1, sin x 2 π } on avaruuden V ortogonaalinen kanta. Normitetaan sen alkiot: (w 1 w 1 ) = π dx = π,

41 2. Sisätuloava joten u 1 = 1 π, ja (w 2 w 2 ) = π 0 ( sin x 2 ) 2 dx = 0 π (sin 2 x 4π sin x + 4π ) 2 dx π = π 2 8 π + 4 π = π 2 4 π, sillä π 0 sin 2 xdx = 1 2 2π 0 2π sin 2 xdx = sin 2 x + cos 2 x dx = π }{{} 2. =1 Siis u 2 = 1 π 2 4 π ( sin x 2 ), π joten joukko { 1 π, 1 π 2 4 π V ortonormaali kanta. ( sin x 2 π ) } on avaruuden

42 3. Lineaariku 3 Lineaarikuvaus Määritelmä 3.1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia. Kuvaus L : V W on lineaarinen eli L on lineaarikuvaus, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w) kaikilla v, w V, ja (b) L(λv) = λl(v) kaikilla v V ja λ R. Huomautus 3.2. Lineaarikuvauksen argumentin ympäriltä jätetään usein sulut pois, toisin sanoen merkitään Lv = L(v). Esimerkki 3.3. : (a) Olkoon A M(k, n). Kuvaus f A : R n R k, f A (x) = Ax kaikilla x R n, missä x tulkitaan n 1-matriisiksi (vrt. Lin.Alg.1) on lineaarinen, sillä f A (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = f A (x) + f A (y), ja f A (λx) = A(λx) = λax = λf A (x)

43 3. Lineaariku kaikilla x, y R n ja λ R matriisitulon ominaisuuksien nojalla (ks. Lin.Alg.1). (b) Kuvaus L : R R on lineaarinen jos ja vain jos on olemassa α R siten, että L(x) = αx kaikilla x R. Todistus. Luennolla. (c) Kuvaus f : R 2 R, f(x) = 3x 3 1 2x 1 x 2 kaikilla x = (x 1, x 2 ) R 2, ei ole lineaarinen, sillä f(2(1, 1)) = = 16 = 2 = 2f(1, 1). (d) Identtinen kuvaus Id : V V, Id(v) = v kaikilla v V, on lineaarinen. Samoin nollakuvaus 0 : V W, 0(v) = 0 kaikilla v V, on lineaarinen kaikilla vektoriavaruuksilla V ja W. (e) Olkoon C 1 (R, R) = {f C(R, R) : f C(R, R)}. Tällöin C 1 (R, R) on avaruuden C(R, R) aliavaruus ja derivaattakuvaus D : C 1 (R, R) C(R, R), D(f) =

44 3. Lineaariku f kaikillaf C(R, R), on lineaarinen, koska D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f) + D(g) ja D(λf) = (λf) = λf = λf = λd(f) kaikilla f, g C 1 (R, R) ja λ R. Lause 3.4. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Tällöin ja ( k ) L λ i v i = i=1 L(0) = 0 (19) k λ i L(v i ) (20) i=1 kaikilla k N, λ 1,..., λ k R ja v 1..., v k V. Todistus. Luennolla. Lause 3.5. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia T, L : V W lineaarikuvauksia ja S avaruuden V kanta. Tällöin T = L jos ja vain jos T s = Ls kaikilla s S.

45 3. Lineaariku Todistus. Luennolla. Määritelmä 3.6. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L ydin eli kernel on Ker L = N (L) = L 1 ({0}) = {v V : Lv = 0} ja kuvajoukko eli image eli arvojoukko on Im L = R(L) = L(V ) = {w W : w = Lv jollakin v V }. Lause 3.7. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia, V V ja W W aliavaruuksia ja L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L(V ) W ja L 1 (W ) V ovat aliavaruuksia. Erityisesti Ker L V ja Im L W ovat aliavaruuksia ja dim Ker L dim V, dim Im L dim W. Esimerkki 3.8. : (a) Kuvaus L : R 3 R 2, L(x, y, z) = (x, y + z) on lineaarinen (harjoitustehtävä). Määrätään sen ydin ja

46 3. Lineaariku arvojoukko. Nyt (x, y, z) N (L) (0, 0) = L(x, y, z) = (x, y + z) { x = 0 z = y. (21) Siis N (L) = {(0, t, t) R 3 : t R} = {t(0, 1, 1) : t R} = (0, 1, 1). Arvojoukko R(L) = R 2, sillä kaikilla b = (b 1, b 2 ) R 2 on L(x, y, z) = (x, y + z) = (b 1, b 2 ) { x = b1 y + z = b 2. Valitsemalla x = b 1, y = b 2 ja z = 0 saadaan L(b 1, b 2, 0) = (b 1, b 2 ). Joukko H = {(0, t) : t R} on avaruuden R 2 ali-

47 3. Lineaariku avaruus. Nyt L 1 (H) = {(x, y, z) R 3 : L(x, y, z) = (0, t) jollekin t R} = {(x, y, z) R 3 : (x, y + z) = (0, t) jollekin t R = {(x, y, z) R 3 : x = 0 ja y + z = t jollekin t R = {(0, s, t s) R 3 : t, s R} = {(0, s, s ) R 3 : s, s R} = {s(0, 1, 0) + s (0, 0, 1) : s, s R} = (0, 1, 0), (0, 0, 1) = yz-taso. (b) Olkoon D : Pol 2 (R, R) Pol 2 (R, R) derivaattakuvaus. Tällöin N (D) = {p Pol 2 (R, R) : p = 0} = {c Pol 2 (R, R) : c R} = Pol 0 (R, R) = vakiopolynomit.

48 3. Lineaariku Arvojoukko on R(D) = {Dp : p Pol 2 (R, R)} = {D(a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) : a 0, a 1, a 2 R} = {a 1 + 2a 2 x : a 1, a 2 R} = {a + bx : a, b R} = Pol 1 (R, R). Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2 ; SURJEKTIO: f(a) = B; BIJEKTIO=INJEKTIO+SURJEKTIO. Lause 3.9. Olkoot V, W ja U vektoriavaruuksia sekä L : V W ja S : W U lineaarikuvauksia. Tällöin (a) yhdistetty kuvaus S L : V U on lineaarinen; (b) jos L on bijektio, niin L 1 : W V on lineaarinen. Todistus. Kohta b. Koska L : V W on bijektio, niin L 1 : W V

49 3. Lineaariku ja LL 1 = L 1 L = Id. Olkoot w 1, w 2 W, tällöin sellaiset v 1, v 2 V, että w 1 = Lv 1, w 2 = Lv 1. Siispä L 1 (w 1 +w 2 ) = L 1 (Lv 1 +Lv 2 ) = L 1 L(v 1 +v 2 ) = v 1 + v 2 = L 1 w 1 + L 1 w 2 ; L 1 (λw) = L 1 (λlv) = L 1 L(λv) = λv = λl 1 w. Lause Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L on injektio jos ja vain jos Ker L = {0}. Todistus. : Olkoon L injektio. Valitaan x Ker L, tällöin Lx = 0 = L0. Siten x = 0 ja edelleen Ker L = {0}. : Olkoon Ker L = {0}. Asetetaan Lx = Ly. Tällöin L(x y) = 0, joten x y Ker L = {0} x y = 0 x = y.

50 3. Lineaariku Lause 3.11 (Dimensiolause). Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, W vektoriavaruus ja L : V W lineaarinen. Tällöin dim V = dim Ker L + dim Im L. (22) Todistus. Olkoot dim V = n, dim Ker L = k, Ker L = v 1,..., v k. Täydennetään joukko v 1,..., v k avaruuden V :n kannaksi, jolloin V = v 1,..., v k, v k+1,..., v n, v k+1,..., v n / Ker L.

51 3. Lineaariku Määrätään kuva-avaruus Im L = L( v 1,..., v n ) = {L(a 1 v a n v n a 1,..., a n R} = {a 1 Lv a n Lv n a 1,..., a n R} = {a k+1 Lv k a n Lv n a 1,..., a n R}. Osoitetaan vielä, että {Lv k+1,..., Lv n } on lineaarisesti vapaa. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi a k+1 Lv k a n Lv n = 0 L(a k+1 v k a n v n ) = 0 a k+1 v k a n v n Ker L a k+1 v k a n v n = b 1 v b k v k b 1 v b k v k +( a k+1 )v k ( a n )v n = 0. Kantana joukko {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } on lineaarisesti vapaa, joten b 1 =... = b k = a k+1 =... = a n = 0.

52 3. Lineaariku Siten {Lv k+1,..., Lv n } on lineaarisesti vapaa ja kuvaavaruuden dimensioksi saadaan dim Im L = n k. Seuraus Olkoot V ja W vektoriavaruuksia siten, että V on äärellisulotteinen, ja L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat tosia: (a) Jos L on injektio, niin dim V dim W. (b) Jos L on surjektio, niin dim V dim W. (c) Jos L on bijektio, niin dim V = dim W. Todistus. Aluksi k := dim Ker L n := dim V, n k = dim Im L dim W.

53 3. Lineaariku a) kohta. Nyt Ker L = {0}, joten k = 0 n k = n dim W. b) kohta. Nyt Im L = W, joten n k = m := dim W n = m + k m. c) kohta seuraa kohdista a+b. dim W n dim W. Seuraus Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia siten, että niiden dimensiot ovat samat, ja olkoon L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) L on bijektio. (b) L on injektio. (c) L on surjektio.

54 3. Lineaariku Esimerkki : (a) Kuvaus L : R 3 R 2, L(x, y, z) = (y z, x z), on lineaarinen (harjoitustehtävä). Määrätään kuvauksen L ydin: y = z L(x, y, z) = 0 (y z, x z) = (0, 0) x = z z R. Siis N (L) = {(x, y, z) R 3 : x = y = z, z R} = {s(1, 1, 1) : s R} = (1, 1, 1), joten dim N (L) = 1. Erityisesti N (L) = {0}, joten L ei ole injektio. Dimensiolauseen nojalla 3 = 1 + dim R(L), joten dim R(L) = 2 = dim R 2. Siten R(L) = R 2 eli L on surjektio. (b) Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol n (R, R) Pol n (R, R). Koska Dp = p = 0 jos ja vain jos p(x) =

55 3. Lineaariku c kaikilla x R jollekin c R (eli p on vakiopolynomi), niin N (D) = 1. Näin ollen dim N (D) = 1. Dimensiolauseen nojalla dim P ol n (R, R) = n+1 = 1+ dim R(D), joten dim R(D) = n < dim P ol n (R, R). Näin ollen D ei ole surjektio. Esimerkki : Olkoon {e 1, e 2 } avaruuden R 2 luonnollinen kanta. Onko olemassa lineaarikuvausta L : R 2 R 2, jolle Le 1 = e 1 + 2e 2 ja Le 2 = e 1 e 2? Olkoon (x, y) R 2. Jos tällainen L on olemassa, niin L(x, y) = L(xe 1 + ye 2 ) = xle 1 + yle 2 = x(e 1 + 2e 2 ) + y(e 1 e 2 ) = = (x + y)e 1 + (2x y)e 2 = (x + y, 2x y). Siis L(x, y) = (x + y, 2x y) kaikilla (x, y) R 2 ja tämä kuvaus on lineaarinen (harjoitustehtävä). Lause Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä S = {v 1,... v n }, n N, avaruuden V kanta. Valitaan jokaiselle i = 1,..., n jokin w i W. Tällöin on olemassa yk-

56 3. Lineaariku sikäsitteinen lineaarikuvaus L : V W, jolle Lv i = w i kaikilla i = 1,..., n. Esimerkki : Olkoon L : R 2 R 2, L(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, 2x 1 x 2 ) kaikilla (x 1, x 2 ) R 2. Kun ajatellaan avaruuden R 2 alkiot pystyvektoreiksi, saadaan matriisiyhtälö [ ] x 1 + x 2 Lx = = 2x 1 x 2 [ ] [ x 1 x 2 Pisteen x = (x 1, x 2 ) kuva lineaarikuvauksessa [ L] x 1 voidaan siis laskea kertomalla 2 1-matriisi x 2 [ ] matriisilla A =. Huomaa, että matriisin A ensimmäinen sarake = Le 1 ja toinen 2 1 [ ] 1 2 sarake [ 1 1 ] = Le 2. MERKINTÄ: Olkoon v = {v 1,..., v n } avaruuden ].

57 3. Lineaariku V kanta. Koordinaattikuvaus [.] v kuvaa vektorin v kantaesityksen pystyvektoriksi eli matriisin sarakkeeksi seuraavasti λ 1 n [v] v = [ λ i v i ] v =.. i=1 Koordinaattikuvaus on lineaarinen bijektio ja siten vektori ja sen koordinaateista muodostettu pystyvektori/sarake voidaan samaistaa. Lause Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, W m-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V W lineaarikuvaus. Olkoot v = {v 1,..., v n } jokin avaruuden V kanta ja w = {w 1,..., w m } jokin avaruuden W kanta. Olkoot kantavektoreitten kuvat annettu Lv 1 = a 11 w a m1 w m,... λ n Lv n = a 1n w a mn w m kannassa w = {w 1,..., w m }. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen m n-matriisi A = [a ij ], jonka avulla ku- v

58 3. Lineaariku vauksen L arvot voidaan laskea kertolaskuna eli A [v] v = [Lv] w = a a 1n. a m1... a mn λ 1. λ n v = μ 1. μ m missä v = n i=1 λ iv i ja Lv = m j=1 μ jw j. Todistus. Lasketaan Lv = L( n λ i v i ) = i=1 n λ i Lv i = i=1 λ 1 (a 11 w a m1 w m )+... λ n (a 1n w a mn w m ) = (a 11 λ a 1n λ n )w (a m1 λ a mn λ n )w m. w

59 3. Lineaariku Täten μ 1 = a 11 λ a 1n λ n... μ m = a m1 λ a mn λ n. Määritelmä Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja L : V W lineaarikuvaus. Lauseen 3.18 antama matriisi A on kuvausta L vastaava matriisi kannoissa K ja S. Tällöin käytetään merkintää Mat(L; K, S). Huomautus : (a) Matriisin Mat(L; K, S) j:s sarake muodostuu kantavektorin v j kuvan Lv j koordinaateista kannassa S. (b) Lineaarikuvausta vastaa yksikäsitteinen matriisi ja matriisin avulla voidaan määritellä lineaarikuvaus.

60 3. Lineaariku On siis olemassa bijektio kaikkien lineaaristen kuvauksien L : V W ja kaikkien n k-matriisien välillä; tämä bijektio on F (L) = Mat(L; K, S). Kuvaus F riippuu valituista kannoista K ja S. Esimerkki : (a) Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = 1 2 (x + y, x + y) kaikilla (x, y) R 2. Valitaan avaruuteen R 2 kannat K = {(1, 0), (0, 1)} ja S = {(1, 1), (1, 1)}. Lasketaan matriisit Mat(L; K, K), Mat(L; K, S), Mat(L; S, K) ja Mat(L; S, S). Mat(L;K,K): Etsitään kantavektorien (1, 0) ja (0, 1) kuvien koordinaatit kannassa K. Ensin L(1, 0) = 1 2 (1, 1) = 1 2 (1, 0) + 1 (0, 1), 2 ] joten ensimmäinen sarake on [ Sitten L(0, 1) = 1 2 (1, 1) = 1 2 (1, 0) + 1 (0, 1), 2

61 3. Lineaariku [ 1 joten toinen sarake on myös 2 1. Siis 2 [ ] Mat(L; K, K) = ] Mat(L;K,S): L(1, 0) = 1 2 ((1, 1)) = 1 (1, 1) + 0(1, 1), 2 ] joten ensimmäinen sarake on [ L(0, 1) = 1 2 (1, 1) = 1 (1, 1) + 0(1, 1), 2 ] joten toinen sarake on myös [ Mat(L;S,K): 1 2 [ 1 Mat(L; K, S) = Siis L(1, 1) = 1 (2, 2) = (1, 1) = 1(1, 0) + 1(0, 1), 2 ].

62 3. Lineaariku joten ensimmäinen sarake on [ ] 1. 1 L(1, 1) = 1 (0, 0) = (0, 0) = 0(1, 0) + 0(0, 1), 2 [ ] 0 joten toinen sarake on. Siis 0 Mat(L;S,S): Mat(L; S, K) = [ L(1, 1) = (1, 1) = 1(1, 1) + 0(1, 1), [ ] 1 joten ensimmäinen sarake on. 0 L(1, 1) = (0, 0) = 0(1, 1) + 0(1, 1), [ ] 0 joten toinen sarake on. Siis 0 [ ] 1 0 Mat(L; S, S) =. 0 0 ].

63 3. Lineaariku (b) Etsitään matriisia Mat(L; K, S) = vastaava lineaarikuvaus, kun kannat K ja S ovat K = {(1, 0), ( 1, 1)} ja S = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}. Koska kyseessä on 3 2-matriisi, niin on L : R 2 R 3. Etsitään vektorin (x, y) R 2 koordinaatit kannassa K: a(1, 0)+b( 1, 1) = (x, y) a b = x, b = y a = x y b = y. Siis (x, y) = (x y, y) K. Nyt vektorin L(x, y) koordinaatit kannassa S saadaan kertolaskusta 3 1 [ ] 3x 4y x y [L(x, y)] S = 1 0 = x y. y 2 4 2x 2y

64 3. Lineaariku Siten L(x, y) = (3x 4y)(1, 0, 1) + (x y)(0, 1, 1) + ( 2x 2y)(1, 1, 0) = (x 6y, x 3y, 4x 5y). (c) Lasketaan matriisi Mat(Id, K, S), missä Id : R 2 R 2 on tason R 2 identiteettikuvaus, K = {(1, 0), (0, 1)} ja S = {(1, 10), ( 1, 10)}. Nyt Id(1, 0) = (1, 0) = 1 2 (1, 10) 1 ( 1, 10), 2 ] joten ensimmäinen sarake on [ Lisäksi Id(0, 1) = (0, 1) = 1 20 (1, 10) + 1 ( 1, 10), 20 ] [ 1 joten toinen sarake on Siis Mat(Id; K, S) = [ ] = 1 20 [ ]

65 3. Lineaariku Erityisesti identtisen kuvauksen matriisi ei aina ole identtinen matriisi. (d) Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = (x y, 10x + 10y). Tällöin L on lineaarinen. Lasketaan Mat(L; K, S), missä K ja S ovat kuten kohdassa (c). Nyt L(1, 0) = (1, 10) = 1(1, 10) + 0( 1, 10), L(0, 1) = ( 1, 10) = 0(1, 10) + 1( 1, 10), joten Mat(L; K, S) = [ ] Siis identtinen matriisi ei aina vastaa identtistä kuvausta. (e) Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol 3 (R, R) Pol 2 (R, R). Valitaan avaruuden Pol 3 (R, R) kannaksi K = {1, x, x 2, x 3 } ja avaruuden Pol 2 (R, R) kannaksi S = {1, x, x 2 }. Lasketaan Mat(D; K, S).

66 3. Lineaariku Koska 0 D1 = 0 = x + 0 x 2, niin 1. sarake on 0, 0 1 Dx = 1 = x + 0 x 2, niin 2. sarake on 0, 0 0 Dx 2 = 2x = x + 0 x 2, niin 3. sarake on 2, ja 0 0 Dx 3 = 3x 2 = x + 3 x 2, niin 4. sarake on 0. 3 Siten Mat(D; K, S) =

67 3. Lineaariku Nyt esimerkiksi 1 D(1 + x + x 2 + x 3 1 ) = Mat(D; K, S) 1 = = x + 3 x 2. 3 Lause Olkoot V, W ja U äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, L, M : V W ja T : W U lineaarikuvauksia sekä K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja R avaruuden U kanta. Tällöin (a) Mat(L + M; K, S) = Mat(L; K, S) + Mat(M; K, S) (b) Mat(λL; K, S) = λmat(l; K, S) kaikilla λ R. (c) Mat(T L; K, R) = Mat(T ; S, R)Mat(L; K, S). (d) Kuvaus L on bijektio jos ja vain jos matriisi Mat(L; K, S)

68 3. Lineaariku on kääntyvä. Jos L on bijektio, niin Mat(L 1 ; S, K) = Mat(L; K, S) 1. Seuraus Olkoot L : V W lineaarikuvaus, dim V = dim W < sekä K 1, K 2 avaruuden V kantoja ja S 1, S 2 avaruuden W kantoja. Tällöin det Mat(L; K 1, S 1 ) = 0 det Mat(L; K 2, S 2 ) = 0 Esimerkki Valitaan avaruuden Pol 3 (R, R) kannaksi K = {1, x, x 2, x 3 }. Olkoot D : Pol 3 (R, R) Pol 3 (R, R) derivaattakuvaus ja L = D 2 + D, missä D 2 = D D. Lasketaan Mat(L, K, K). Esimerkin 3.21 nojalla Mat(D; K, K) =

69 4. Ominaisa Siten Mat(L; K, K) = Mat(D 2 ; K, K) + Mat(D, K, K) = Mat(D; K, K)Mat(D; K, K) + Mat(D; K, = = Ominaisarvo Olkoot K kunta, V vektoriavaruus K:n yli ja L : V V lineaarinen kuvaus. Kysymys: Milloin lineaarikuvauksen L : V V matriisi

70 4. Ominaisa Mat(L; v, v) on diagonaalinen, toisin sanoen λ λ Mat(L; v, v) =.? λ n Vastaus: Jos löytyy avaruuden V kanta v = {v 1,..., v n } ja λ 1,..., λ n K, joille Lv i = λ i v i kaikilla i = 1,..., n. Määritelmä 4.1. Olkoot K kunta, V vektoriavaruus K:n yli ja L : V V lineaarinen kuvaus. Luku λ K on kuvauksen L ominaisarvo, jos löytyy sellainen v V {0}, että Lv = λv. (23) Tällöin v on ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. Ominaisarvoon λ liittyvä ominaisavaruus on V λ (L) = {v V : Lv = λv} (toisin sanoen kaikkien ominaisvektorien sekä vektorin 0 muodostama joukko). Huomautus 4.2. :

71 4. Ominaisa (a) Useimmiten K = C tai K = R kuten seuraavissa esimerkeissä. (b) Jos v on ominaisvektori, niin kv on ominaisvektori kaikilla k K {0}. Käytetään jatkossa identiteettikuvaukselle Id : V V yksinkertaisempaa merkintää I. Siis I(x) = x kaikilla x V. Lause 4.3. Olkoon λ lineaarikuvauksen L : V V ominaisarvo. Tällöin V λ (L) = Ker (L λi) (24) ja siten avaruuden V aliavaruus. Todistus: v V λ (L) Lv = λv (L λi)v = 0 v Ker (L λi). (25) Esimerkki 4.4. :

72 4. Ominaisa (a) Tarkastellaan kuvausta L : R 2 R 2 L(x, y) = (2x + y, y) kaikilla (x, y) R 2. Nyt L(1, 0) = (2, 0) = 2 (1, 0), joten 2 on kuvauksen L ominaisarvo ja (1, 0) on ominaisarvoa 2 vastaava ominaisvektori. Lisäksi L(1, 1) = (1, 1) = 1 (1, 1), joten myös 1 on ominaisarvo ominaisvektorinaan (1, 1). Muita ominaisarvoja ei ole: L(x, y) = λ(x, y) (2x + y, y) = (λx, λy) { 2x + y = λx y = λy (26) Jos λ = 1 ja λ = 2, niin toisesta yhtälöstä saadaan (ehdosta λ = 1) y = 0 ja sitten ensimmäisestä yhtälöstä saadaan (ehdosta λ = 2) x = 0. Näin ollen λ ei ole kuvauksen L ominaisarvo. (b) Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = ( y, x) kaikilla

73 4. Ominaisa (x, y) R 2. Tällöin (x, y) = λ(x, y) ( y, x) = (λx, λy) { λx + y = 0, λy x = 0. Jos λ = 0, niin saadaan x = y = 0, joten 0 ei ole kuvauksen L ominaisarvo. Olkoon λ = 0. Kerrotaan toinen yhtälö luvulla λ ja lisätään tähän ensimmäinen yhtälö. Tällöin saadaan (1 + λ 2 )y = 0. Siis y = 0 ja sitten x = 0, joten λ ei ole kuvauksen L ominaisarvo. Kuvauksella L ei siis ole reaalisia ominaisarvoja. Kuvauksella on kompleksiset ominaisarvot i = e iπ/2 ja i = e iπ/2, jotka vastaavat kiertoja ±90 vastapäivään/myötäpäivään. (c) Olkoon C (R, R) = k=0 C k (R, R), missä C k (R, R) = {f C(R, R) : f (k) C(R, R)} ja f (k) on funktion f k:s derivaatta. Olkoon D : C (R, R) C (R, R) derivaattakuvaus. Etsitään kuvauksen D

74 4. Ominaisa ominaisarvot: Df = λf f (x) = λf(x) kaikilla x R f(x) = Ce λx k missä C R. Siten jokainen λ R on kuvauksen D ominaisarvo ja funktio f(x) = Ce λx, missä C = 0, on sitä vastaava ominaisvektori. Lause 4.5. Olkoon V vektoriavaruus. Lineaarikuvauksen L : V V erisuuriin ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Todistus. Olkoot λ = μ ominaisarvoja ja x, y = 0 vastaavat ominaisvektorit, jolloin { Lx = λx, Ly = μy. (27)

75 4. Ominaisa Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi eli ax + by = 0, a, b K, L(ax + by) = L0 alx + bly = 0 aλx + bμy = 0 aλx + μ( ax) = 0 (λ μ)ax = 0 ax = 0 a = 0 by = 0 b = 0. (28) Seuraus 4.6. Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksella L on korkeintaan n erisuurta ominaisarvoa. Jos kuvauksella L on n erisuurta ominaisarvoa λ 1,..., λ n, niin vastaavat ominaisvektorit muodostavat avaruuden V kannan K ja Mat(L; K, K) = λ λ λ n

76 4. Ominaisa Todistus. Matriisin Mat(L; K, K) j:s sarake muodostuu kantavektorin v j kuvan Lv j = λ j v j = 0 v λ j v j v n (29) koordinaateista 0,...0, λ j, 0,..., 0 kannassa K = {v 1,..., v n }. Määritelmä 4.7. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarikuvaus. Kuvaus L on diagonalisoituva, jos on olemassa sellainen avaruuden V kanta K, että Mat(L; K, K) on diagonalisoituva. Huomautus 4.8. Seuraus 4.6 antaa riittävän ehdon diagonalisoituvuudelle. Tämä ehto ei ole kuitenkaan välttämätön, sillä esimerkiksi I : V V on diagonalisoituva (Mat(I; K, K) = I jokaiselle avaruuden V kannalle K), mutta kuvauksella I on vain yksi ominaisarvo, nimittäin 1. Määritelmä 4.9. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, K avaruuden V kanta ja L : V V lineaarinen. Olkoon A = Mat(L; K, K). Lineaarikuvauksen

77 4. Ominaisa L (ja matriisin A) karakteristinen polynomi on Huomautus : p L (λ) = det (A λi). (30) (a) Jos λ on kuvauksen L ominaisarvo, niin löytyy vektori v V {0}, jolle Lv = λv eli (L λi)v = 0. Tällöin L λi ei ole kääntyvä, joten 0 = det Mat(L λi) = det (A λi). (31) Siten λ on karakteristisen polynomin p L (λ) nollakohta. Tämä päättely voidaan myös kääntää, joten λ on lineaarikuvauksen L ominaisarvo jos ja vain jos p L (λ) = 0. (32) (b) Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, K ja S avaruuden V kantoja ja L : V V lineaarinen. On olemassa kannanvaihtomatriisi C = C(S, K), jolle Mat(L; S, S) = C 1 Mat(L; K, K)C (33)

78 4. Ominaisa Lause Lineaarikuvauksen L : V V karakteristinen polynomi on riippumaton avaruuden V kannan valinnasta. Esimerkki : (a) Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = ( x + y, x + y) kaikilla (x, y) R 2. Määrätään tämän kuvauksen ominaisarvot ja ominaisavaruudet. Kuvauksen [ ] L matriisi luonnollisessa kannassa on A =, joten karakteristinen polynomi on [ ] 1 λ 1 p A (λ) = det = ( 1 λ)(1 λ) 1 = λ λ Ominaisarvot ovat yhtälön λ 2 2 = 0 ratkaisut: λ = ± 2. Vastaavat ominaisavaruudet saadaan yh-

79 4. Ominaisa tälöistä L(x, y) = 2(x, y) { x + y = 2x x + y = 2y y = ( 2 + 1)x; L(x, y) = 2(x, y) { x + y = 2x x + y = 2y y = (1 2)x. (34) Siis V 2 = {(x, y) R2 y = ( 2 + 1)x} = (1, 2 + 1) ja V 2 = {(x, y) R 2 y = (1 2)x} = (1, 1 2) Nyt K = {(1, 2 + 1), (1, 1 2)} on avaruuden R 2 kanta ja [ ] 2 0 Mat(L; K, K) = 0. 2 (b) Olkoon lineaarikuvauksen L : R 3 R 3 matriisi

80 4. Ominaisa luonnollisen kannan suhteen A = Määrätään kuvauksen L ominaisarvot ja ominaisavaruudet. Nyt p A (λ) = det 2 λ λ λ = (2 λ)((3 λ) 2 + 1) + 2(1 (3 λ)) = (2 λ)((3 λ) 2 1). Nyt p A (λ) = 0 jos ja vain jos λ = 2, λ = 4 tai λ = 2, joten ominaisarvot ovat 2 ja 4.

81 4. Ominaisa Ominaisavaruudet: L(x, y, z) = 2(x, y, z) 2x y + z = 2x 3y z = 2y 2x + y + 3z = 2z Siis x = y = z ja 2x y + z = 4x L(x, y, z) = 4(x, y, z) 3y z = 4y 2x + y + 3z = 4z x = y = z. (35) V 2 (L) = {(x, y, z) R 3 x = y = z} = ( 1, 1, 1), V 4 (L) = {(x, y, z) R 3 x = y = z} = (1, 1, 1). (36) Määritelmä Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen. Olkoot λ 0 kuvauksen L ominaisarvo ja A kuvauksen L matriisi. Jos λ 0 on polynomin p A (λ) m-kertainen juuri

82 4. Ominaisa eli p A (λ) = (λ λ 0 ) m q(λ), missä q(λ) on polynomi ja q(λ 0 ) = 0, niin ominaisarvon λ 0 algebrallinen kertaluku on m. Ominaisarvon λ 0 geometrinen kertaluku on Ker (L λ 0 I). Alue Lauseesta 4.14 alkaen Huomautukseen 4.23 asti ei kuulu koealueeseen. Lause Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen. Tällöin kuvauksen L ominaisarvolle λ 0 pätee 1 λ 0 :n geometrinen kertaluku λ 0 :n algebrallinen kertaluku Huomautus Esimerkissä 4.12 (b) nähtiin, että ominaisarvot geometrinen kertaluku voi olla aidosti pienempi kuin algebrallinen kertaluku. Lause Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja L : V V diagonalisoituva lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksen L jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on sama kuin sen algebrallinen kertaluku. Edellisen lauseen väite pätee myös kääntäen, jos V

83 4. Ominaisa on kompleksikertoiminen vektoriavaruus (jolloin myös ominaisarvot voivat olla kompleksilukuja). Määritelmä Olkoot (V, ( )) ja (W, ) äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L adjungaatti on lineaarikuvaus L : W V, jolle pätee kaikilla v V ja w W. (L w v) = w Lv Lause Olkoot V ja W äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia kuten Määritelmässä Lineaarikuvauksella L : V W on olemassa yksikäsitteinen adjungaatti. Lisäksi L = L. Lause Olkoot (V, ( )) ja (W, ) äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia, K avaruuden V ortonormaali kanta, S avaruuden W ortonormaali kanta ja L : V W lineaarinen. Tällöin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S) T.

84 4. Ominaisa Jos V ja W ovat kompleksikertoimisia avaruuksia, niin tällöin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S) T. Määritelmä Olkoot V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja L : V V lineaarinen. Kuvaus L on itseadjungoituva eli symmetrinen, jos L = L. Lause Olkoon L : V V äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V itseadjungoituva lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksen L eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lause 4.22 (Spektraalilause). Olkoon L : V V äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V itseadjungoituva lineaarikuvaus. Tällöin avaruudella V on ortonormaali kanta, joka muodostuu kuvauksen L ominaisvektoreista. Huomautus Lineaarikuvauksen L : V V, missä dim V <, ominaisarvojen joukkoa kutsutaan kuvauksen L spektriksi, ja sitä merkitään δ(l).

85 4. Ominaisa Kohtisuorat Projektiot Geometrinen lähestymistapa Tässä osiossa tarkastelemme Euklidista avaruutta R n ja sen aliavaruuksia. Määritelmä Olkoon V avaruuden R n aliavaruus ja K = {v 1,..., v k } avaruuden V ortonormaali kanta. Vektorin u R n kohtisuora projektio aliavaruudelle V on P V (u) = k (u v j ) v j. j=1 Esimerkki a) Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta V = {(x, y, 0) : x, y R}. Tällöin P V (x, y, z) = (x, y, 0) kaikilla (x, y, z) R 3. (Luennolla) b) Tarkastellaan avaruuden R 2 aliavaruuksia V = {(x, x) : x R} ja W = {(x, x) : x R}.

86 4. Ominaisa Tällöin P V (u) = ((x + y)/2, (x + y)/2) ja P W (u) = ((x y)/2, ( x + y)/2) kaikilla u = (x, y) R 2. (Luennolla) Lause Olkoon V avaruuden R n aliavaruus ja u R n. (i) u V jos ja vain jos P V (u) = u. (ii) Vektori u P V (u) on kohtisuorassa aliavaruutta V vastaan. (iii) Epäyhtälö u P V (u) u v on tosi kaikilla v V. Lisäksi tässä epäyhtälössä on yhtäsuuruus jos ja vain jos v = P V (u). (iv) Epäyhtälö P V (u) u on tosi kaikilla u R n. Lisäksi tässä epäyhtälössä on yhtäsuuruus jos ja vain jos u V. Todistus. Luennolla.

87 4. Ominaisa Määritelmä Avaruuden R n epätyhjän osajoukon S kohtisuora komplementti on joukko S = {u R n : (u v) = 0 kaikilla v S}. Lause Jos S on avaruuden R n epätyhjä osajoukko, niin S on avaruuden R n aliavaruus. Todistus. Luennolla. Lause Olkoon V avaruuden R n aliavaruus. Tällöin jokaiselle vektorille u R n on olemassa yksikäsitteiset vektorit v V ja w V siten, että u = v + w. Todistus. Luennolla. Esimerkki Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = (y, x) kaikilla (x, y) R 2. Tällöin L = 1 P V 1 P W, missä V ja W ovat ominaisarvoja 1 ja 1 vastaavia ominaisavaruuksia. (Luennolla) Lause 4.31 (Spektraalilause II). Olkoon L : R n R n itseadjungoitu kuvaus ja olkoon {v 1,..., v n } kuvauksen

88 4. Ominaisa L ominaisarvoista koostuva avaruuden R n ortonormaali kanta. Olkoot λ j ominaisvektoria v j vastaava ominaisarvo ja P j kohtisuora projektio avaruudelta R n avaruudelle v j. Tällöin n L = λ j P j. Todistus. Luennolla. j=1 Hitunen algebraa Määritelmä Lineaarinen kuvaus L : R n R n on idempotentti jos ja vain jos L 2 = L. Tässä siis L 2 = L L. Lause (i) Jos V on avaruuden R n aliavaruus, niin kuvaus P V on itseadjungoitu idempotentti. (ii) Jos L : R n R n on itseadjungoitu idempotentti, niin R(L) = {u R n : Lu = u} ja N (L) = R(L). Lisäksi L = P R(L).

89 5. Esimerkk Todistus. Luennolla. Lause Olkoot P ja Q avaruuden R n projektioita. Seuraavat väitteet ovat tosia: (i) P Q on projektio jos ja vain jos P Q = QP. (ii) P + Q on projektio jos ja vain jos R(P ) R(Q). (iii) P Q on projektio P Q = Q QP = Q. 5 Esimerkkejä Esimerkki 5.1. (Harjoitustehtävä 5.) Olkoon W = {x = (x, y, z) R 3 : x y + z = 0}. Osoita, että W on vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. Ratkaisu: Osoitetaan, että aliavaruusaksiomit

90 5. Esimerkk 1. W = ; 2. jos w 1, w 2 W, niin w 1 + w 2 W ; 3. jos w W ja λ R, niin λw W ; ovat voimassa: 1. Koska 0 = (0, 0, 0) W, niin W = ; 2. Olkoot w 1 = (x 1, y 1, z 1 ), w 2 = (x 2, y 2, z 2 ) W. Tällöin x 1 y 1 + z 1 = x 2 y 2 + z 2 = 0 w 1 + w 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ), (x 1 + x 2 ) (y 1 + y 2 ) + (z 1 + z 2 ) = ja x 1 y 1 + z 1 + x 2 y 2 + z 2 = 0, (37) joten w 1 + w 2 W ;

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 3 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 2 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 67 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Kanta ja dimensio 1 / 23

Kanta ja dimensio 1 / 23 1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 1 Contents 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 3 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä....................

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6 Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 3 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä....................

Lisätiedot

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio 6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Lauri Horttanainen Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö Johdanto 2 1. Sisätuloavaruuden

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset

Lisätiedot

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot