1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

Transkriptio

1 MAT Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon E vektoriavaruus, esimerkiksi R n :n aliavaruus, ja olkoot E 1,E 2,...,E r aliavaruuksia E:ssä. Sanomme, että E on aliavaruuksien E i suora summa, mikäli jokainen x E on kirjoitettavissa yksikäsitteisellä tavalla muotoon x x 1 + x x r, x i E i kaikilla i 1,...,r. Tällöin merkitsemme E E 1 E 2... E r r E i. Olkoot T : E E ja T i : E i E i lineaarikuvauksia kaikilla i 1, 2,...,r. Sanomme, että T on lineaarikuvausten T i suora summa, mikäli 1. pätee E E 1 E 2... E r, 2. kukin avaruus E i on invariantti kuvaukselle T (eli T (E i ) E i ), 3. Tx T i x mikäli x E i. Tällöin merkitsemme T T 1 T 2... T r. Valitaan kuhunkin aliavaruuteen E i kanta ja merkitään lineaarikuvauksen T i matriisia valitussa kannassa A i :llä. Silloin saamme kannan E:lle ottamalla mukaan kaikki aliavaruuksien E i kanta-alkiot. Tässä kannassa T :n matriisi on diagonaalinen lohkomatriisi: A 1 A diag{a 1,A 2,...,A r } Matriisit A i sijaitsevat isossa matriisissa A kulmittain, ja kaikki merkitsemättömät matriisialkiot A:ssa ovat nollia. Näin lineaarikuvaus T voidaan esittää toisistaan täysin riippumattomien osakuvausten T i avulla. Suorille summille pätee: det(t 1 T 2... T r )(dett 1 )(dett 2 )...(dett r ), A r 1

2 mikä matriisien avulla ilmaistuna saa muodon Myös: ja vastaavasti matriiseille. det(a 1 A 2... A r )(deta 1 )(deta 2 )...(deta r ). Tr(T 1 T 2... T r )Tr(T 1 )+Tr(T 2 )+...+Tr(T r ), 2 Kompleksiset vektoriavaruudet Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 4, pykälä 1. Määrittelemme kompleksifioidut vektoriavaruudet ymmärtääksemme paremmin matriiseja, joilla on kompleksisia ominaisarvoja. Ensinnäkin, tutun avaruuden R n kompleksifioitu versio on nimeltään C n ja se määritellään yksinkertaisesti näin: C n {[z 1,z 2,...,z n ] T z i C,, 2,...,n}. Avaruuden C n alkiot ovat siis vektoreita, joiden alkiot voivat olla kompleksisia. Vektorien yhteenlasku on aivan samanlaista kuin R n :ssä, ja skalaarilla λ C kertominen määritellään ilmeisellä tavalla: λ[z 1,z 2,...,z n ] T [λz 1,λz 2,...,λz n ] T. Huomaa, että R n voidaan nähdä luonnollisella tavalla C n :n osajoukkona: R n koostuu niistä C n :n vektoreista, joiden kaikki koordinaatit ovat reaalisia. Aiemmin R n :n tapauksessa määritellyt käsitteet aliavaruus, lineaarikuvaus, determinantti, kanta, koordinaatit, ydin ja kuva yleistyvät C n :n tapaukseen yksinkertaisesti vaihtamalla reaalisten skalaarien tilalle kompleksiset skalaarit. Määritelmä: kompleksinen vektoriavaruus on C n :n aliavaruus. Olkoon nyt T : F F lineaarikuvaus kompleksisessa vektoriavaruudessa F C n. Skalaari λ C on T :n ominaisarvo mikäli Tv λv jollekin nollasta poikkeavalle v F. Tällöin v on (ominaisarvolle λ kuuluva) T :n ominaisvektori. Kuten aiemmin reaalisessa tapauksessa, määrittelemme T :n karakteristisen polynomin kaavalla p(λ) det(t λi). Huomaa, että polynomin p kertoimet ovat kompleksisia. Lisäksi p:n aste on sama kuin F :n dimensio, ja p:n juuret ovat T :n ominaisarvot. 2

3 Sama todistus kuin reaalisessa tapauksessa antaa nyt seuraavan tuloksen: Lause. Olkoon T : F F lineaarikuvaus n-ulotteisessa kompleksisessa vektoriavaruudessa F. Oletetaan, että T :n ominaisarvot ovat erisuuret. Tällöin T on diagonalisoituva. Edelleen, avaruudella F on kanta {e 1,...,e n }, missä vektorit e i ovat T :n ominaisvektoreita. Siten voimme kirjoittaa alkiolle z F : Tz T ( n z i e i ) n λ i z i e i, missä ominaisvektori e i kuuluu ominaisarvolle λ i. Kuten näimme edellä, R n C n. Tarkastellaan nyt lähemmin reaalisten R n :n aliavaruuksien ja kompleksisten C n :n aliavaruuksien yhteyksiä. Olkoon F C n kompleksinen vektoriavaruus, ja määritellään joukko F R R n kaavalla F R F R n {[z 1,...,z n ] T F z i R kaikilla i 1,...,n}. Selvästi F R on suljettu vektorien yhteenlaskun suhteen ja reaalisella skalaarilla kertomisen suhteen. Siten F R on reaalinen vektoriavaruus. Kääntäen, olkoon E R n reaalinen vektoriavaruus, ja määritellään C n :n aliavaruus E C kaavalla E C {z C n z k λ i z (i), z (i) E,λ i C}. Joukko E C siis koostuu E:n (reaalisten) vektorien kompleksisista lineaarikombinaatioista. Huomaa, että (E C ) R E. Sanomme, että F R on kompleksisen vektoriavaruuden F reaalinen osa ja että E C on reaalisen vektoriavaruuden E kompleksifiointi. Katsotaan seuraavaksi kompleksikonjugoinnin merkitystä kompleksisille vektoriavaruuksille. Skalaarin z x + iy kompleksikonjugaattihan on z x iy, jota merkitsemme tässä myös funktiolla σ(z) z. Siten σ : C C on funktio, jolle pätee σ 2 σ σ identiteetti. Funktion σ kiintopisteet C:ssä (eli ne pisteet z C, joille σ(z) z) ovat täsmälleen reaaliluvut R C. Laajennamme konjugoinnin funktioksi σ : C n C n yksinkertaisesti konjugoimalla alkioittain: σ([z 1,...,z n ] T )[ z 1,..., z n ] T. Laajennetun kuvauksen kiintopisteiden joukko on R n C n. Edelleen, jos F C n on σ:n suhteen invariantti aliavaruus, niin σ:n kiintopisteiden joukko F :ssä onf R. Olkoon F C n aliavaruus, joka on σ:n suhteen invariantti (eli σ(f ) F ). Silloin pätee kaikille v, w F ja λ C, että σ(v + w) σ(v)+σ(w), (1) σ(λv) λσ(v). (2) Huomataan siis, että σ ei ole (kompleksi)lineaarinen kuvaus, koska kaavassa (2) esiintyy λ eikä λ, kuten lineaarisuuden määritelmä vaatisi. 3

4 Olkoon nyt F C n aliavaruus. Näytetään, että F R on kuvauksen σ : F C n kiintopisteiden joukko: F R {z F σ(z) z}. (3) Ensinnäkin, jos z F R, niin kaikki z:n komponentit ovat reaalisia ja siten σ(z) z. Näin ollen F R {z F σ(z) z}. (4) Toisaalta, jos z F toteuttaa σ(z) z, niin jokaiselle z:n komponentille pätee z i z i eli z i R. Määritelmän mukaan tällöin z F R, eli saamme F R {z F σ(z) z}. (5) Kaava (3) seuraa nyt kaavoista (4) ja (5). Määrittelimme yllä reaalisen aliavaruuden E R n kompleksifioinnin. Voimme myös puhua käänteisestä operaatiosta eli aliavaruuden F C n dekompleksifioinnista, jossa käytetään apuna kuvausta σ. Dekompleksifioinnissa on annettu F C n, ja kysytään, voidaanko F kirjoittaa muodossa F E C jollakin reaalisella aliavaruudella E R n? Väite. Dekompleksifiointi on mahdollista jos ja vain jos σ(f ) F. Todistus. Ehdon riittävyys. Jos σ(f ) F, niin x iy F aina kun x + iy F, missä x, y R n.sitenx F : x 1 [(x + iy)+(x iy)] F. 2 Vastaavalla päättelyllä nähdään, että y F.Tästänäemme, että F E C valinnalla E F R. Ehdon välttämättömyys on selvää, ja todistus on valmis. Olemme nähneet, kuinka reaalinen vektoriavaruus E R n kompleksifioidaan ja saadaan E C C n.myös lineaarikuvauksella T : E E on kompleksifiointi T C : E C E C, joka määritellään seuraavasti. Kirjoitetaan piste z E C muodossa z r λ ix (i), missä x (i) E kaikilla i 1, 2,...,r. Asetetaan T C z λ i Tx (i). Jos B {e 1,e 2,...,e N } on avaruuden E kanta, niin B on myös kompleksisen vektoriavaruuden E C kanta. Edelleen, jos A on lineaarikuvauksen T : E E matriisi kannassa B, niin A on myös lineaarikuvauksen T C : E C E C matriisi kannassa B. Erityisesti, jos n n-matriisi A esittää lineaarikuvausta T : R n R n standardikoordinaateissa, niin A esittää myös lineaarikuvausta T C : C n C n standardikoordinaateissa. Nyt kysymme: Millä ehdoilla lineaarikuvaus Q : E C E C on jonkin reaalisen lineaarikuvauksen T : E E kompleksifiointi? 4

5 Väite. Olkoon E R n reaalinen vektoriavaruus ja E C C n sen kompleksifiointi. Olkoon Q : E C E C kompleksinen lineaarikuvaus. Tällöin Q T C jollakin reaalisella lineaarikuvauksella T : E E jos ja vain jos Qσ σq. Todistus. Ehdon riittävyys. Oletetaan, että Q ja σ kommutoivat: Qσ σq. Silloin Q(E) E, koskajosx E, niin σ(x) x ja σqx Qσx Qx, eli Qx {y E C σy y} (E C ) R E. Määritellään nyt reaalinen lineaarikuvaus T : E E kaavalla Tx Qx kaikille x E. Onselvää, että T C Q. Ehdon välttämättömyys. Oletetaan, että Q T C jollakin reaalisella lineaarikuvauksella T : E E. On todistettava, että Qσ σq. Otetaan mielivaltainen piste z E C ja kirjoitetaan se muodossa z r λ ix (i), missä x (i) E kaikilla i 1, 2,...,r. Koska vektorit x (i) E ovat reaalisia, pätee Lisäksi ehdosta Q T C seuraa, että σ(x (i) )x (i) kaikilla i 1,...,r. (6) σ(qx (i) )σ(tx (i) )Tx (i) Qx (i) kaikilla i 1,...,r. (7) Lasketaan käyttämällä kaavoja (1), (2), (6) ja (7) Qσz Qσ Q λ i x (i) λ i x (i) λ i Qx (i) σ(λ i σ(qx (i) )) σ(λ i Qx (i) ) σq σqz. λ i x (i) 5