LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

Transkriptio

1 LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE

2 SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44

3 . Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:. Joukossa V on määritelty laskutoimitus + (toisin sanoen kaikilla alkioilla v, w V on olemassa yksikäsitteinen joukon V alkio v + w, jota sanotaan alkioiden v ja w summaksi), joka toteuttaa seuraavat laskulait: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). (b) v + w = w + v kaikilla v, w V (vaihdannaisuus). (c) On olemassa neutraalialkio V, jolle + v = v kaikilla v V. (d) Kaikilla v V on olemassa vasta-alkio v V, jolle v + ( v) =.. Joukossa V on määritelty reaaliluvulla (skalaarilla) kertominen (vasemmalta) (toisin sanoen kaikilla v V ja λ R on olemassa jokin yksikäsitteinen alkio λ v V ), jolla on seuraavat ominaisuudet: (a) (λμ) v = λ (μ v) kaikilla v V ja λ, μ R. (b) v = v kaikilla v V. 3. Yhteenlasku + ja reaaliluvulla kertominen toteuttavat seuraavat osittelulait: (a) λ (v + w) = λ v + λ w kaikilla v, w V ja λ R. (b) (λ + μ) v = λ v + μ v kaikilla v V ja λ, μ R. Edellisessä määritelmässä annettuja ehtoja sanotaan lineaariavaruuden aksioomeiksi ja joukon V alkioita voidaan kutsua vektoreiksi. Huomautus.. : (a) Yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja reaaliluvulla kertominen on kuvaus : R V V. (b) Määritelmän. vektoriavaruus on reaalinen vektoriavaruus. Olkoon K kunta. Jos skalaarilla kertominen on kuvaus : K V V, niin puhutaan K-kertoimisesta vektoriavaruudesta. Erikoistapauksena saadaan reaalinen vektoriavaruus, kun K = R, ja kompleksinen vektoriavaruus, kun K = C. (c) Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä, ts. λ v = λv. (d) MERKINTÄ: Asetetaan Esimerkki.3. : u v := u + ( v). ()

4 . Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus (a) Joukko R n, n Z + on vektoriavaruus, kun vektoreiden x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen määritellään komponenteittain: x = y x i = y i i =,..., n; () x + y = (x + y,..., x n + y n ); (3) λ x = (λx,..., λx n ). (4) Erityisesti R on vektoriavaruus. (b) Joukko M(k, n) = {A A on k n matriisi} on vektoriavaruus, kun se varustetaan tavallisella matriisien yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella. (c) Olkoon F(R, R) = {f f : R R on kuvaus}. Määritellään kaikilla f, g F(R, R) ja λ R identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen seuraavasti: f = g, jos f(x) = g(x) (5) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (6) (λ f)(x) = λf(x) (7) kaikilla x R. Tällöin F(R, R) on vektoriavaruus. Osoitetaan kohta c): Määritellään nollafunktio O asettamalla Tällöin O(x) = x R. (8) (O + f)(x) = O(x) + f(x) = + f(x) = f(x) x R, (9) joten funktioiden identtisyyden nojalla O + f = f. () Siten nollafunktio on neutraalialkio funktioavaruudessa. Osoitetaan kohta d): Määritellään f asettamalla ( f)(x) = f(x) x R. () 3

5 . Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Tällöin (f + ( f))(x) = f(x) + ( f)(x) = joten funktioiden identtisyyden nojalla f(x) f(x) = = O(x) x R, () f + ( f) = O. (3) Siten f on alkion f vasta-alkio funktioavaruudessa. (d) Olkoot X epätyhjä joukko, V vektoriavaruus ja F(X, V ) = {f f : X V on kuvaus}. Määritellään yhteenlasku + ja kertolasku kuten (c)-kohdassa. Tällöin F(X, V ) on vektoriavaruus (todistus harjoitustehtävä). (e) Joukossa C(R, [, ]) = {f f : R [, ] on jatkuva funktio} (c)-kohdan operaatio + ei ole laskutoimitus. Nyt sin C(R, [, ]), mutta koska sin( π) + sin( π ) = / [, ], niin sin + sin / C(R, [, ]). (f) Olkoot V = {x R x }, + : V V V tavallinen reaalilukujen yhteenlasku ja määritellään : R V V asettamalla λ x = λ x. Tällöin aksioomat (a), (b), (c), a), (b) ja 3(a) ovat voimassa. Sen sijaan aksioomat (d) ja 3(b) eivät ole voimassa. Jos x V, x >, niin x + y > kaikilla y V, joten tällaisella alkiolla x ei ole vasta-alkiota joukossa V. Lisäksi ( + ( )) x = x = = x + x = x + ( ) x, kun x >, joten aksiooma 3(b) ei ole voimassa. Lause.4. Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin (a) yhteenlaskun neutraalialkio on yksikäsitteinen; (b) vektorin vasta-alkio on yksikäsitteinen; (c) kaikilla v, w V on olemassa täsmälleen yksi x V, jolle v + x = w (toisin sanoen yhtälöllä v + x = w on yksikäsitteinen ratkaisu). 4

6 . Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Lause.5. Olkoon V vektoriavaruus ja V sen nolla-alkio. Kaikilla v, w V ja, λ, μ R pätee (a) v = λ = ; (b) ( ) v = v; (c) ( v) = v; (d) (v + w) = v + ( w); (e) (λ v) = ( λ) v = λ ( v); (f) ( λ) ( v) = λ v; (g) λ (v + ( w)) = λ v + ( (λ w)); (h) (λ μ) v = λ v + ( (μ v)); (i) λ v = jos ja vain jos λ = tai v = ; (j) Jos λ v = λ w ja λ =, niin v = w; (k) Jos λ v = μ v ja v =, niin λ = μ. Todistetaan kohdan (a) tapaus: v =. Aluksi v = ( + ) v = v + v. (4) Lisätään vasta-alkio v yhtälön molemmille puolille, jolloin = v + ( v) = ( v + v) + ( v) = v + ( v v) = v. (5) Huomautus.6. Jätetään jatkossa kertomerkki pois, toisin sanoen merkitään lyhyesti λ v = λv. Induktiolla ja aksiooman (a) avulla voidaan osoittaa, että jos v,..., v n V, niin summa v v n on riippumaton siitä, missä järjestyksessä yhteenlaskut suoritetaan. Esimerkiksi ((v + v ) + v 3 ) + v 4 = v + ((v + v 3 ) + v 4 ) = (v + v ) + (v 3 + v 4 ) =... Jätetään siis jatkossa summista sulut pois. Määritelmä.7. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos se on suljettu yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen, toisin sanoen. W = ;. jos w, w W, niin w + w W ; 3. jos w W ja λ R, niin λw W. 5

7 . Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Seuraava lause antaa hyvän tavan todeta joukko vektoriavaruudeksi: Osoitetaan se jonkin tunnetun vektoriavaruuden aliavaruudeksi. Lause.8. Joukko W V on vektoriavaruuden V aliavaruus jos ja vain jos W varustettuna avaruuden V yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella on vektoriavaruus. Esimerkki.9. : (a) Joukot V ja {} ovat vektoriavaruuden V triviaalit aliavaruudet. (b) Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. Perustelu: Koska nollakuvaus : R R on jatkuva, niin C(R, R) ja siten C(R, R) =. Jos f ja g ovat jatkuvia, niin f + g on jatkuva ja λf on jatkuva kaikilla λ R. (c) Olkoon Pol(R, R) = {f F(R, R) f(x) = a + a x a n x n kaikilla x R joillekin n N ja a,..., a n R} eli Pol(R, R) on kaikkien polynomien joukko. Tällöin Pol(R, R) on vektoriavaruuksien C(R, R) ja F(R, R) aliavaruus. Olkoot k N ja Pol k (R, R) = {f Pol(R, R) polynomin f aste k}. Tällöin Pol k (R, R) on avaruuden Pol(R, R) aliavaruus. Saadaan siis aliavaruusketju Pol (R, R) Pol (R, R)... Pol k (R, R) Pol k+ (R, R) Pol(R, R) C(R, R) F(R, R). HUOM: Olkoon K kunta. Yleensä K-kertoimisten polynomien joukolle käytetään merkintää K[x] = {f(x) f(x) = a + a x a n x n joillekin n N ja a,..., a n K}. Kun polynomien yhteen- ja kertolasku määritellään tavanomaisesti, niin saadaan polynomirengas (K[x], +, ), 6

8 . Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus missä nolla- ja ykköspolynomit ovat (x) = + x + x +..., (x) = + x + x +... Edelleen vakiopolynomille a(x) = a + x + x +... voidaan käyttää lyhennysmerkintää a. Määritelmä.. Olkoon V vektoriavaruus. Vektori v V on vektoreiden v,..., v n V lineaarikombinaatio, jos on olemassa luvut λ,..., λ n R siten, että n v = λ i v i. i= Avaruuden V epätyhjän osajoukon S lineaarinen verho S koostuu kaikista joukon S lineaarisista kombinaatioista, toisin sanoen S R = S = {u V u = n λ i v i i= joillekin n N, v,..., v n S ja λ,..., λ n R}. Esimerkki.. Koska f Pol (R, R) täsmälleen silloin, kun on olemassa sellaiset a, a R, että f(x) = a + a x kaikilla x R, niin Pol (R, R) =, x. Yleisemmin Pol k (R, R) =, x,..., x k. Lause.. Olkoot V vektoriavaruus ja S V epätyhjä. Tällöin (a) S on avaruuden V aliavaruus. (b) Jos S W ja W on avaruuden V aliavaruus, niin S W. Määritelmä.3. Olkoot V vektoriavaruus ja S V epätyhjä. Joukko S on lineaarisesti riippuva, jos on olemassa äärellisen monta alkiota s,..., s n S ja sellaiset luvut λ,..., λ n R, että λ i = jollain i n ja n λ i s i =. Muulloin S on lineaarisesti vapaa eli lineaarisesti riippumaton. ESIM: on lineaarisesti riippuva, koska i= {} =. 7

9 . Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Huomautus.4. Joukko S on lineaarisesti vapaa jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti riippumaton, toisin sanoen ehdosta n λ i s i = seuraa, että i= λ = λ =... = λ n = kaikilla joukon S äärellisillä osajoukoilla {s,..., s n }. Esimerkki.5. : (a) Joukko {(x), x, x } Pol (R, R) on lineaarisesti riippumaton. Perustelu: Olkoot λ, λ, λ R sellaiset, että λ (x) + λ x + λ x = (x) kaikilla x R. Valitaan x =, jolloin saadaan λ + + =, eli λ =. Valitaan x = ja x =, jolloin saadaan λ + λ = λ = λ + λ = λ =. Siis λ = λ = λ =. (b) Joukko {, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton. (c) Joukko {, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton. Perustelu: Olkoot p,..., p n {, x,..., x k,...}. Olkoon l = max{polynomin p i aste i =,..., n}. Tällöin {p,..., p n } {, x,..., x l }, joten {p,..., p n } on lineaarisesti riippumaton (b)-kohdan ja Huomautuksen.4 nojalla. (d) Joukko {, sin, cos } C(R, R) on lineaarisesti riippuva, sillä kaikilla x R. sin x + cos x = = (x) Määritelmä.6. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta, jos (a) S on lineaarisesti riippumaton, ja 8

10 . Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus (b) S = V. Vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta. Myös {} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota, missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. Tätä merkitään dim V = n. Jos V = {}, niin dim V =. Muulloin dim V =. Lause.7 (Hamelin kantalause). Jokaisella vektoriavaruudella V = {} on olemassa kanta. Jos V on äärellisulotteinen, niin jokaisessa kannassa on yhtä monta alkiota. Huomautus.8. Olkoon V vektoriavaruus. (a) Lauseen.7 nojalla vektoriavaruuden V dimensio on hyvin määritelty. (b) Jos dim V = n jollain n N, niin jokainen sellainen avaruuden V osajoukko, jossa on vähintään n + alkiota, on lineaarisesti riippuva (todistus harjoitustehtävä). (c) Jos dim V = n jollain n N, niin jokainen lineaarisesti riippumaton avaruuden V osajoukko S, jossa on n alkiota, on avaruuden V kanta (todistus harjoitustehtävä). (d) Jos V on vektoriavaruus, W on avaruuden V aliavaruus ja S on avaruuden W kanta, niin on olemassa sellainen avaruuden V kanta T, että S T. (Tapauksen dim V = n jollain n N todistus harjoitustehtävä. Yleisesti tämän todistaminen vaatii Zornin Lemmaa.) Erityisesti dim W dim V. Esimerkki.9. : (a) Koska {, x,..., x n } on avaruuden Pol n (R, R) eräs kanta (ks. Esimerkit. ja.5 (b)), niin dim Pol n (R, R) = n+. Koska {, x, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton (ks. Esimerkki.5 (c)), niin dim Pol(R, R) =. Huomautuksen.8 (d) nojalla saadaan dim C(R, R) = = dim F(R, R). (b) Laske dim S, kun S = { + x, + x, + x 3x } Pol (R, R). Ratkaisu: Tutkitaan, onko joukko S lineaarisesti riippumaton. Nyt a( + x) + b( + x ) + c( + x 3x ) = (a + b c) + (a + c)x + (b 3c)x = 9

11 . Sisätuloavaruus Esimerkin.5 (b)-kohdan nojalla saadaan a + b c = a + c = a + c = a + c = b 3c = b 3c = a = c b = 3c c R. (Ensimmäisessä kohdassa viimeinen yhtälö on vähennetty ensimmäisestä.) Koska yllä olevalla yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu, esim. a =, b = 3, c =, niin S on lineaarisesti riippuva. Tästä nähdään, että polynomi + x 3x on lineaarikombinaatio polynomeista + x ja + x, joten S = + x, + x. Joukko { + x, + x } on lineaarisesti riippumaton, sillä a( + x) + b( + x ) = (a + b) + ax + bx = a = ja b =. Näin ollen dim S =. Lause.. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja S = {v,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaisella v V on yksikäsitteinen esitys kannan S suhteen, toisin sanoen on olemassa yksikäsitteiset luvut λ,..., λ n R, joille v = n λ i v i. i= Todistus. Luennolla. Huomautus.. Lauseen. antamia lukuja λ i sanotaan vektorin v koordinaateiksi kannassa S. Sisätuloavaruus Määritelmä.. Olkoon V vektoriavaruus. Kuvaus ( ) : V V R on sisätulo, jos kaikilla v, w, u V ja λ R pätee (a) (v w) = (w v) (symmetrisyys); (b) (v + w u) = (v u) + (w u); (c) (λv w) = λ (v w);

12 . Sisätuloavaruus (d) (v v) >, kun v = (positiividefiniittisyys). Sisätuloavaruus on pari (V, ( )), missä V on vektoriavaruus ja ( ) on sisätulo avaruudessa V. Vektoreiden v ja w sisätulolle (v w) käytetään yleisesti merkintää v w ja puhutaan pistetulosta. Huomautus.. : (a) Sisätulo ( ) jätetään yleensä merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti sisätuloavaruudesta V. (b) Sisätulon ehdot (b) ja (c) sanovat, että sisätulo on lineaarinen ensimmäisen argumentin suhteen. (c) Jos V on kompleksinen vektoriavaruus, niin sisätulo määritellään kuten yllä, paitsi ehto (a) korvataan seuraavalla ehdolla: (v w) = (w v) kaikilla v, w V, missä z on luvun z C kompleksikonjugaatti (z = x + iy, z = x iy). (d) Olkoon v V. Tällöin ( v) = ( v) (b) = ( v) =. Erityisesti (v v) kaikilla v V. Lisäksi (v v) = jos ja vain jos v =. Esimerkki.3. : (a) Pistetulo x y = n i= x iy i on sisätulo avaruudessa R n (harjoitustehtävä). (b) Kuvaus : R 4 R 4 R, missä x y = x y + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4 kaikilla vektoreilla x, y R 4, ei ole sisätulo. Kun v = (,,, ), niin v v = <, joten ehto (d) ei ole voimassa. (c) Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan sisätulo asettamalla kaikilla f, g C([a, b], R). Todistus. Luennolla. (f g) = b a f(t)g(t)dt

13 . Sisätuloavaruus (d) Esimerkin (c) kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle, kun x = a f(x) =, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f =, mutta (f f) = b a f (t)dt =. Määritelmä.4. Olkoon V vektoriavaruus. Kuvaus : V R on normi, jos. v kaikilla v V ;. v = jos ja vain jos v = ; 3. λv = λ v kaikilla v V ja λ R; 4. v + w v + w kaikilla v, w V (kolmioepäyhtälö). Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Kuten sisätuloavaruuksien yhteydessä, jätetään normi yleensä merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti normiavaruudesta V. Lause.5. Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = (v v) kaikilla v V. Tällöin on normi, jolle pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö kaikilla v, w V. v w v w (6) Todistus. Kirjoitetaan z := w v (v w)w. Tällöin z w = w v w (v w)w w = (v w)( w w ) =.

14 . Sisätuloavaruus Siten w 4 v = w v w v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + (v w)z w + (v w) w w = z + v w w v w w. Tästä saadaan w v v w ja edelleen 6. Huomautus.6. : (a) Tasossa R vektorin (x, y) R normi (Lause.5) on (x, y) = (x, y) (x, y) = x + y, joten se on tavallinen vektorin pituus (vrt. Pythagoraan lause). (b) Jos v, w =, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla (v w). v w Voidaan siis määritellä vektorien v ja w välinen kulma α kaavasta Olkoot v, w R. Tällöin cos α = (v w) v w. v w = (v w v w) = v + w (v w) = v + w cos α v w. Tämä on kosinilause. (Tässä v w on vektorien v ja w välinen etäisyys, vrt. Euklidinen Topologia, d(v, w) = v w.) (c) Sisätuloavaruudessa käytetään sisätulon antamaa normia ellei erityisesti toisin mainita. Määritelmä.7. Sisätuloavaruuden V vektorit v, w V ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos (v w) = Tällöin merkitään v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos v w kaikilla v, w T, joilla v = w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja v = kaikilla v T. 3

15 . Sisätuloavaruus Esimerkki.8. : (a) Tason R joukko {(, ), (, 5)} on ortogonaalinen, sillä ((, ) (, 5)) = ( ) + 5 =. (b) Joukko {e,..., e n } R n on ortonormaali, sillä kaikilla i = j pätee (e i e j ) = = ja (e i e i ) = =. Siis e i e j, kun i = j, ja e i = kaikilla i =,..., n. (c) Avaruuden R 3 osajoukko ei ole ortogonaalinen, sillä S = {(,, ), (,, ), (,, )} ((,, ) (,, )) = + + = =. Erityisesti S ei ole ortonormaali. (d) Olkoot f, g C([, ], R), missä C([, ], R) on varustettu Esimerkin.3 sisätulolla, f(x) = x ja g(x) = kaikilla x [, ]. Lasketaan funktioiden f ja g välinen kulma α. Koska (f g) = f = g = f(x)g(x)dx = f(x) dx = g(x) dx = niin cos α = = 3, eli α = π (= 6 3 ). 3 xdx =, x dx = 3, ja dx =, Lause.9. Olkoot V sisätuloavaruus, S V ortogonaalinen ja oletetaan, että / S. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton. Todistus. Tutkitaan joukon S äärellistä osajoukkoa J := {s,..., s n }. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a s a n s n =. 4

16 . Sisätuloavaruus Ottamalla sisätulo vektorin s kanssa saadaan a s s a n s s n = s a s s = mutta s s > sisätulon aksiomin d nojalla, joten a =. Edetään induktiolla tulokseen a =... = a n =, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. Edelleen huomautuksen.4 nojalla S on lineaarisesti vapaa. Määritelmä.. Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki.. : (a) Avaruuden R n luonnollinen kanta {e,..., e n } on ortonormaali kanta. (b) Joukko {(, ), (, )} R on ortogonaalinen, sillä ((, ) (, )) = + ( ) =. Lauseen.9 nojalla se on lineaarisesti riippumaton. Koska joukossa S on kaksi vektoria, niin S on avaruuden R ortogonaalinen kanta (Huomautus.8 (c)). Koska (, ) = = (, ), niin S ei ole avaruuden R ortonormaali kanta. Joukosta S kuitenkin saadaan ortonormaali kanta normittamalla sen vektorit sopivasti. Siis S = { (, ), (, )} on avaruuden R ortonormaali kanta. (c) Polynomit 3, x ja 45 8 (x ) muodostavat avaruuden Pol 3 (R, R) ortonormaalin kannan, kun sisätulona (osoitus harjoitustehtävä) on (p q) = kaikilla p, q Pol (R, R). Perustelu: Nyt ( ) 3 x = p(x)q(x)dx 3 xdx = 3 / x = ja vastaavasti ( ) ( 45 8 (x ) ) = x 8 (x 3 ) =. 5

17 . Sisätuloavaruus Siis polynomit ovat ortogonaaliset. Lisäksi ( ) ( ) = = dx = = ja vastaavasti 3 45 x = 8 (x 3 ) =. Näin ollen annetut polynomit ovat ortonormaaleja. Lauseen.9 nojalla joukko S = { 3 45, x, 8 (x 3 )} on lineaarisesti riippumaton. Koska dim Pol (R, R) = 3, niin S on avaruuden Pol (R, R) kanta. Lause.. Oletetaan, että S = {v,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = v i v v i v i (7) kaikilla i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = v i v. Todistus. Vektorilla v on kannassa {v,..., v n } esitys Ottamalla sisätulo v i v = josta saadaan väite (7). Esimerkki.3. : v = λ v λ n v n. λ v i v λ i v i v i λ n v i v n = λ i v i v i. (a) Edellisen lauseen perusteella vektorin (, ) koordinaatit kannassa { (, ), (, )} (Esimerkki. (b)) ovat ( λ = (, ) ( ), ) = ja λ = ( (, ) (, ) ) Siis (, ) = (, ) (, ). = 6

18 . Sisätuloavaruus (b) Polynomin x koordinaatit Esimerkin. (c) kannassa ovat ( ) x = x dx = 3, ( ) 3 3 x x = x3 dx =, ja ( ) 45 x 8 (x 45 3 ) = x x dx = ( ) 8 = Siten x = (x 3 ). Lause.4. Oletetaan, että S = {v,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö (v w) = n (v v i ) (v i w). i= Erityisesti v = n (v v i ) = n i= missä luvut λ i ovat vektorin v koordinaatit. Lause.5. Olkoot V sisätuloavaruus ja {v,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w,..., w k } V, että i= w,..., w k = v,..., v k. (8) λ i 7

19 . Sisätuloavaruus Todistus. Asetetaan w = v, w = v v w w w w w 3 = v 3 v 3 w w w w v 3 w w w w... w k = v k v k w k w k w k w k... v k w w w w. Tällöin esimerkiksi w w = v w v w w w w w =, w 3 w = v 3 w v 3 w w w w w v 3 w w w w w = v 3 w v 3 w =. Yleisemmin induktiolla. Olkoon l. Induktio-oletus: Olkoot w i w j = aina, kun l > i > j. Induktioaskel: Lasketaan sisätulo w l w i = v l w i... v l w i w i w i w i w i... =. Huomautus.6. : Menetelmää, jolla Lause.5 todistettiin, kutsutaan Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmäksi. Seuraus.7. Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V = {} on ortonormaali kanta. Seuraus.8. Olkoot V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja S V ortonormaali. Tällöin on olemassa sellainen avaruuden V ortonormaali kanta T, että S T. 8

20 . Sisätuloavaruus Huomautus.9. : Seuraus.7 ei päde ääretönulotteisissa sisätuloavaruuksissa. Esimerkki.. : (a) Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v = (,,, ), v = (5,,, ) ja v 3 = ( 3, 3,, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v, v, v 3 ortonormaali kanta. Valitaan w = v = (,,, ), w = v (v w ) (w w ) w = (5,,, ) 5 + (,,, ) = (4,,, ), ja w 3 = v 3 (v 3 w ) (w w ) w (v 3 w ) (w w ) w = v w = (,,, ). Koska w 3 =, niin {v, v, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v ja v, joten H = v, v. Nyt {v, v } on lineaarisesti riippumaton, joten {w, w } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kanta {u, u }, missä u = w w = (,,, ) ja u = w w = 4 (4,,, ) = ( 6, 6,, w ). 6 (b) Etsi ortonormaali kanta aliavaruudelle V =, sin C([, π], R) kun sisätulona on (f g) = π f(x)g(x)dx. 9

21 3. Lineaarikuvaus Ratkaisu: Gram-Schmidtin menetelmällä w = ja (sin x ) w = sin x = sin x ( ) π/ cos x = sin x + π = sin x π. π sin x dx π dx Siis {, sin x } on avaruuden V ortogonaalinen kanta. Normitetaan π sen alkiot: joten u = π, ja sillä Siis π sin xdx = (w w ) = π joten joukko {, π π 4 π (w w ) = π π π dx = π, ( sin x ) dx = π (sin x 4π sin x + 4π ) dx = π 8 π + 4 π = π 4 π, sin xdx = u = π 4 π π sin 4 } x {{ + cos x } dx = π. = ( sin x ), π ( sin x π) } on avaruuden V ortonormaali kanta. 3 Lineaarikuvaus Määritelmä 3.. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia. Kuvaus L : V W on lineaarinen eli L on lineaarikuvaus, jos

22 3. Lineaarikuvaus (a) L(v + w) = L(v) + L(w) kaikilla v, w V, ja (b) L(λv) = λl(v) kaikilla v V ja λ R. Huomautus 3.. Lineaarikuvauksen argumentin ympäriltä jätetään usein sulut pois, toisin sanoen merkitään Lv = L(v). Esimerkki 3.3. : (a) Olkoon A M(k, n). Kuvaus f A : R n R k, f A (x) = Ax kaikilla x R n, missä x tulkitaan n -matriisiksi (vrt. Lin.Alg.) on lineaarinen, sillä f A (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = f A (x) + f A (y), ja f A (λx) = A(λx) = λax = λf A (x) kaikilla x, y R n ja λ R matriisitulon ominaisuuksien nojalla (ks. Lin.Alg.). (b) Kuvaus L : R R on lineaarinen jos ja vain jos on olemassa α R siten, että L(x) = αx kaikilla x R. Todistus. Luennolla. (c) Kuvaus f : R R, f(x) = 3x 3 x x kaikilla x = (x, x ) R, ei ole lineaarinen, sillä f((, )) = = 6 = = f(, ). (d) Identtinen kuvaus Id : V V, Id(v) = v kaikilla v V, on lineaarinen. Samoin nollakuvaus : V W, (v) = kaikilla v V, on lineaarinen kaikilla vektoriavaruuksilla V ja W. (e) Olkoon C (R, R) = {f C(R, R) : f C(R, R)}. Tällöin C (R, R) on avaruuden C(R, R) aliavaruus ja derivaattakuvaus D : C (R, R) C(R, R), D(f) = f kaikillaf C(R, R), on lineaarinen, koska D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f) + D(g) ja D(λf) = (λf) = λf = λf = λd(f) kaikilla f, g C (R, R) ja λ R. Lause 3.4. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Tällöin L() = (9)

23 3. Lineaarikuvaus ja ( k ) L λ i v i = i= kaikilla k N, λ,..., λ k R ja v..., v k V. Todistus. Luennolla. k λ i L(v i ) () Lause 3.5. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia T, L : V W lineaarikuvauksia ja S avaruuden V kanta. Tällöin T = L jos ja vain jos T s = Ls kaikilla s S. Todistus. Luennolla. Määritelmä 3.6. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L ydin eli kernel on i= Ker L = N (L) = L ({}) = {v V : Lv = } ja kuvajoukko eli image eli arvojoukko on Im L = R(L) = L(V ) = {w W : w = Lv jollakin v V }. Lause 3.7. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia, V V ja W W aliavaruuksia ja L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L(V ) W ja L (W ) V ovat aliavaruuksia. Erityisesti Ker L V ja Im L W ovat aliavaruuksia ja Esimerkki 3.8. : dim Ker L dim V, dim Im L dim W. (a) Kuvaus L : R 3 R, L(x, y, z) = (x, y + z) on lineaarinen (harjoitustehtävä). Määrätään sen ydin ja arvojoukko. Nyt (x, y, z) N (L) (, ) = L(x, y, z) = (x, y + z) x = z = y. () Siis N (L) = {(, t, t) R 3 : t R} = {t(,, ) : t R} = (,, ). Arvojoukko R(L) = R, sillä kaikilla b = (b, b ) R on x = b L(x, y, z) = (x, y + z) = (b, b ) y + z = b.

24 3. Lineaarikuvaus Valitsemalla x = b, y = b ja z = saadaan L(b, b, ) = (b, b ). Joukko H = {(, t) : t R} on avaruuden R aliavaruus. Nyt L (H) = {(x, y, z) R 3 : L(x, y, z) = (, t) jollekin t R} = {(x, y, z) R 3 : (x, y + z) = (, t) jollekin t R} = {(x, y, z) R 3 : x = ja y + z = t jollekin t R} = {(, s, t s) R 3 : t, s R} = {(, s, s ) R 3 : s, s R} = {s(,, ) + s (,, ) : s, s R} = (,, ), (,, ) = yz-taso. (b) Olkoon D : Pol (R, R) Pol (R, R) derivaattakuvaus. Tällöin Arvojoukko on N (D) = {p Pol (R, R) : p = } = {c Pol (R, R) : c R} = Pol (R, R) = vakiopolynomit. R(D) = {Dp : p Pol (R, R)} = {D(a + a x + a x ) : a, a, a R} = {a + a x : a, a R} = {a + bx : a, b R} = Pol (R, R). Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f(a ) = f(a ) a = a ; SURJEKTIO: f(a) = B; BIJEKTIO=INJEKTIO+SURJEKTIO. Lause 3.9. Olkoot V, W ja U vektoriavaruuksia sekä L : V W ja S : W U lineaarikuvauksia. Tällöin (a) yhdistetty kuvaus S L : V U on lineaarinen; (b) jos L on bijektio, niin L : W V on lineaarinen. 3

25 3. Lineaarikuvaus Todistus. Kohta b. Koska L : V W on bijektio, niin L : W V ja LL = L L = Id. Olkoot w, w W, tällöin sellaiset v, v V, että w = Lv, w = Lv. Siispä L (w + w ) = L (Lv + Lv ) = L L(v + v ) = v + v = L w + L w ; L (λw) = L (λlv) = L L(λv) = λv = λl w. Lause 3.. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L on injektio jos ja vain jos Ker L = {}. Todistus. : Olkoon L injektio. Valitaan x Ker L, tällöin Lx = = L. Siten x = ja edelleen Ker L = {}. : Olkoon Ker L = {}. Asetetaan Lx = Ly. Tällöin L(x y) =, joten x y Ker L = {} x y = x = y. Lause 3. (Dimensiolause). Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, W vektoriavaruus ja L : V W lineaarinen. Tällöin Todistus. Olkoot dim V = dim Ker L + dim Im L. () dim V = n, dim Ker L = k, Ker L = v,..., v k. 4

26 3. Lineaarikuvaus Täydennetään joukko v,..., v k avaruuden V :n kannaksi, jolloin V = v,..., v k, v k+,..., v n, v k+,..., v n / Ker L. Määrätään kuva-avaruus Im L = L( v,..., v n ) = {L(a v a n v n a,..., a n R} = {a Lv a n Lv n a,..., a n R} = {a k+ Lv k a n Lv n a,..., a n R}. Osoitetaan vielä, että {Lv k+,..., Lv n } on lineaarisesti vapaa. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi a k+ Lv k a n Lv n = L(a k+ v k a n v n ) = a k+ v k a n v n Ker L a k+ v k a n v n = b v b k v k b v b k v k + ( a k+ )v k ( a n )v n =. Kantana joukko {v,..., v k, v k+,..., v n } on lineaarisesti vapaa, joten b =... = b k = a k+ =... = a n =. Siten {Lv k+,..., Lv n } on lineaarisesti vapaa ja kuva-avaruuden dimensioksi saadaan dim Im L = n k. Seuraus 3.. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia siten, että V on äärellisulotteinen, ja L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat tosia: (a) Jos L on injektio, niin dim V dim W. (b) Jos L on surjektio, niin dim V dim W. (c) Jos L on bijektio, niin dim V = dim W. 5

27 3. Lineaarikuvaus Todistus. Aluksi k := dim Ker L n := dim V, n k = dim Im L dim W. a) kohta. Nyt Ker L = {}, joten b) kohta. Nyt Im L = W, joten k = n k = n dim W. c) kohta seuraa kohdista a+b. n k = m := dim W n = m + k m. dim W n dim W. Seuraus 3.3. Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia siten, että niiden dimensiot ovat samat, ja olkoon L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) L on bijektio. (b) L on injektio. (c) L on surjektio. Esimerkki 3.4. : (a) Kuvaus L : R 3 R, L(x, y, z) = (y z, x z), on lineaarinen (harjoitustehtävä). Määrätään kuvauksen L ydin: y = z L(x, y, z) = (y z, x z) = (, ) x = z z R. Siis N (L) = {(x, y, z) R 3 : x = y = z, z R} = {s(,, ) : s R} = (,, ), 6

28 3. Lineaarikuvaus joten dim N (L) =. Erityisesti N (L) = {}, joten L ei ole injektio. Dimensiolauseen nojalla 3 = + dim R(L), joten dim R(L) = = dim R. Siten R(L) = R eli L on surjektio. (b) Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol n (R, R) Pol n (R, R). Koska Dp = p = jos ja vain jos p(x) = c kaikilla x R jollekin c R (eli p on vakiopolynomi), niin N (D) =. Näin ollen dim N (D) =. Dimensiolauseen nojalla dim P ol n (R, R) = n + = + dim R(D), joten dim R(D) = n < dim P ol n (R, R). Näin ollen D ei ole surjektio. Esimerkki 3.5. : Olkoon {e, e } avaruuden R luonnollinen kanta. Onko olemassa lineaarikuvausta L : R R, jolle Le = e + e ja Le = e e? Olkoon (x, y) R. Jos tällainen L on olemassa, niin L(x, y) = L(xe + ye ) = xle + yle = x(e + e ) + y(e e ) = = (x + y)e + (x y)e = (x + y, x y). Siis L(x, y) = (x + y, x y) kaikilla (x, y) R ja tämä kuvaus on lineaarinen (harjoitustehtävä). Lause 3.6. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä S = {v,... v n }, n N, avaruuden V kanta. Valitaan jokaiselle i =,..., n jokin w i W. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus L : V W, jolle Lv i = w i kaikilla i =,..., n. Esimerkki 3.7. : Olkoon L : R R, L(x, x ) = (x + x, x x ) kaikilla (x, x ) R. Kun ajatellaan avaruuden R alkiot pystyvektoreiksi, saadaan matriisiyhtälö [ ] [ ] [ ] x + x x Lx = =. x x x Pisteen x = (x [, x ]) kuva lineaarikuvauksessa [ L voidaan ] siis laskea kertomalla x -matriisi -matriisilla A =. Huomaa, että matriisin A x [ ] [ ] ensimmäinen sarake = Le ja toinen sarake = Le. 7

29 3. Lineaarikuvaus MERKINTÄ: Olkoon v = {v,..., v n } avaruuden V kanta. Koordinaattikuvaus [.] v kuvaa vektorin v kantaesityksen pystyvektoriksi eli matriisin sarakkeeksi seuraavasti [v] v = [ n λ i v i ] v = i= Koordinaattikuvaus on lineaarinen bijektio ja siten vektori ja sen koordinaateista muodostettu pystyvektori/sarake voidaan samaistaa. Lause 3.8. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, W m-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V W lineaarikuvaus. Olkoot v = {v,..., v n } jokin avaruuden V kanta ja w = {w,..., w m } jokin avaruuden W kanta. Olkoot kantavektoreitten kuvat annettu λ. λ n v. Lv = a w a m w m,... Lv n = a n w a mn w m kannassa w = {w,..., w m }. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen m n-matriisi A = [a ij ], jonka avulla kuvauksen L arvot voidaan laskea kertolaskuna A [v] v = [Lv] w = eli a... a n λ.. = μ. a m... a mn missä v = n i= λ iv i ja Lv = m j= μ jw j. λ n v μ m w 8

30 μ = a λ a n λ n Lineaarikuvaus Todistus. Lasketaan n Lv = L( λ i v i ) = i= n λ i Lv i = i= λ (a w a m w m )+... λ n (a n w a mn w m ) = (a λ a n λ n )w +... (a m λ a mn λ n )w m. Täten μ m = a m λ a mn λ n. Määritelmä 3.9. Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja L : V W lineaarikuvaus. Lauseen 3.8 antama matriisi A on kuvausta L vastaava matriisi kannoissa K ja S. Tällöin käytetään merkintää Mat(L; K, S). Huomautus 3.. : (a) Matriisin Mat(L; K, S) j:s sarake muodostuu kantavektorin v j kuvan Lv j koordinaateista kannassa S. (b) Lineaarikuvausta vastaa yksikäsitteinen matriisi ja matriisin avulla voidaan määritellä lineaarikuvaus. On siis olemassa bijektio kaikkien lineaaristen kuvauksien L : V W ja kaikkien n k-matriisien välillä; tämä bijektio on F (L) = Mat(L; K, S). Kuvaus F riippuu valituista kannoista K ja S. Esimerkki 3.. : (a) Olkoon L : R R, L(x, y) = (x+y, x+y) kaikilla (x, y) R. Valitaan avaruuteen R kannat K = {(, ), (, )} ja S = {(, ), (, )}. Lasketaan matriisit Mat(L; K, K), Mat(L; K, S), Mat(L; S, K) ja Mat(L; S, S). 9

31 3. Lineaarikuvaus Mat(L;K,K): Etsitään kantavektorien (, ) ja (, ) kuvien koordinaatit kannassa K. Ensin L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] joten ensimmäinen sarake on. Sitten L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] joten toinen sarake on myös. Siis Mat(L;K,S): Mat(L; K, K) = [ L(, ) = ((, )) = (, ) + (, ), [ ] joten ensimmäinen sarake on. L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] joten toinen sarake on myös. Siis Mat(L;S,K): Mat(L; K, S) = [ L(, ) = (, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] joten ensimmäinen sarake on. L(, ) = (, ) = (, ) = (, ) + (, ), ] ].. 3

32 3. Lineaarikuvaus [ ] joten toinen sarake on. Siis [ ] Mat(L; S, K) =. Mat(L;S,S): L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] joten ensimmäinen sarake on. L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] joten toinen sarake on. Siis (b) Etsitään matriisia [ ] Mat(L; S, S) =. 3 Mat(L; K, S) = 4 vastaava lineaarikuvaus, kun kannat K ja S ovat K = {(, ), (, )} ja S = {(,, ), (,, ), (,, )}. Koska kyseessä on 3 -matriisi, niin on L : R R 3. Etsitään vektorin (x, y) R koordinaatit kannassa K: a(, ) + b(, ) = (x, y) a b = x, b = y a = x y b = y. Siis (x, y) = (x y, y) K. Nyt vektorin L(x, y) koordinaatit kannassa S saadaan kertolaskusta 3 [ ] 3x 4y x y [L(x, y)] S = = x y. y 4 x y 3

33 3. Lineaarikuvaus Siten L(x, y) = (3x 4y)(,, ) + (x y)(,, ) + ( x y)(,, ) = (x 6y, x 3y, 4x 5y). (c) Lasketaan matriisi Mat(Id, K, S), missä Id : R R on tason R identiteettikuvaus, K = {(, ), (, )} ja S = {(, ), (, )}. Nyt Id(, ) = (, ) = (, ) (, ), [ ] joten ensimmäinen sarake on. Lisäksi joten toinen sarake on Siis Id(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] Mat(Id; K, S) =. [ ] [ ] =. Erityisesti identtisen kuvauksen matriisi ei aina ole identtinen matriisi. (d) Olkoon L : R R, L(x, y) = (x y, x+y). Tällöin L on lineaarinen. Lasketaan Mat(L; K, S), missä K ja S ovat kuten kohdassa (c). Nyt joten L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] Mat(L; K, S) =. Siis identtinen matriisi ei aina vastaa identtistä kuvausta. (e) Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol 3 (R, R) Pol (R, R). Valitaan avaruuden Pol 3 (R, R) kannaksi K = {, x, x, x 3 } ja avaruuden Pol (R, R) kannaksi S = {, x, x }. Lasketaan Mat(D; K, S). 3

34 3. Lineaarikuvaus Koska D = = + x + x, niin. sarake on, Dx = = + x + x, niin. sarake on, Dx = x = + x + x, niin 3. sarake on, ja Dx 3 = 3x = + x + 3 x, niin 4. sarake on. 3 Siten Nyt esimerkiksi Mat(D; K, S) =. 3 D( + x + x + x 3 ) = Mat(D; K, S) = = + x + 3 x. 3 Lause 3.. Olkoot V, W ja U äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, L, M : V W ja T : W U lineaarikuvauksia sekä K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja R avaruuden U kanta. Tällöin (a) Mat(L + M; K, S) = Mat(L; K, S) + Mat(M; K, S) (b) Mat(λL; K, S) = λmat(l; K, S) kaikilla λ R. (c) Mat(T L; K, R) = Mat(T ; S, R)Mat(L; K, S). (d) Kuvaus L on bijektio jos ja vain jos matriisi Mat(L; K, S) on kääntyvä. Jos L on bijektio, niin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S). 33

35 4. Ominaisarvo Seuraus 3.3. Olkoot L : V W lineaarikuvaus, dim V = dim W < sekä K, K avaruuden V kantoja ja S, S avaruuden W kantoja. Tällöin det Mat(L; K, S ) = det Mat(L; K, S ) = Esimerkki 3.4. Valitaan avaruuden Pol 3 (R, R) kannaksi K = {, x, x, x 3 }. Olkoot D : Pol 3 (R, R) Pol 3 (R, R) derivaattakuvaus ja L = D + D, missä D = D D. Lasketaan Mat(L, K, K). Esimerkin 3. nojalla Siten Mat(D; K, K) = 3. Mat(L; K, K) = Mat(D ; K, K) + Mat(D, K, K) = Mat(D; K, K)Mat(D; K, K) + Mat(D; K, K) 6 = = 3. 4 Ominaisarvo Olkoot K kunta, V vektoriavaruus K:n yli ja L : V V lineaarinen kuvaus. Kysymys: Milloin lineaarikuvauksen L : V V matriisi Mat(L; v, v) on diagonaalinen, toisin sanoen λ... λ Mat(L; v, v) =....?... λ n 34

36 4. Ominaisarvo Vastaus: Jos löytyy avaruuden V kanta v = {v,..., v n } ja λ,..., λ n K, joille Lv i = λ i v i kaikilla i =,..., n. Määritelmä 4.. Olkoot K kunta, V vektoriavaruus K:n yli ja L : V V lineaarinen kuvaus. Luku λ K on kuvauksen L ominaisarvo, jos löytyy sellainen v V {}, että Lv = λv. (3) Tällöin v on ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. Ominaisarvoon λ liittyvä ominaisavaruus on V λ (L) = {v V : Lv = λv} (toisin sanoen kaikkien ominaisvektorien sekä vektorin muodostama joukko). Huomautus 4.. : (a) Useimmiten K = C tai K = R kuten seuraavissa esimerkeissä. (b) Jos v on ominaisvektori, niin kv on ominaisvektori kaikilla k K {}. Käytetään jatkossa identiteettikuvaukselle Id : V merkintää I. Siis I(x) = x kaikilla x V. V yksinkertaisempaa Lause 4.3. Olkoon λ lineaarikuvauksen L : V V ominaisarvo. Tällöin ja siten avaruuden V aliavaruus. Todistus: v V λ (L) Lv = λv Esimerkki 4.4. : (a) Tarkastellaan kuvausta V λ (L) = Ker (L λi) (4) (L λi)v = v Ker (L λi). (5) L : R R L(x, y) = (x + y, y) kaikilla (x, y) R. Nyt L(, ) = (, ) = (, ), joten on kuvauksen L ominaisarvo ja (, ) on ominaisarvoa vastaava ominaisvektori. Lisäksi L(, ) = (, ) = (, ), joten myös on ominaisarvo 35

37 4. Ominaisarvo ominaisvektorinaan (, ). Muita ominaisarvoja ei ole: L(x, y) = λ(x, y) (x + y, y) = (λx, λy) x + y = λx y = λy (6) Jos λ = ja λ =, niin toisesta yhtälöstä saadaan (ehdosta λ = ) y = ja sitten ensimmäisestä yhtälöstä saadaan (ehdosta λ = ) x =. Näin ollen λ ei ole kuvauksen L ominaisarvo. (b) Olkoon L : R R, L(x, y) = ( y, x) kaikilla (x, y) R. Tällöin λx + y =, (x, y) = λ(x, y) ( y, x) = (λx, λy) λy x =. Jos λ =, niin saadaan x = y =, joten ei ole kuvauksen L ominaisarvo. Olkoon λ =. Kerrotaan toinen yhtälö luvulla λ ja lisätään tähän ensimmäinen yhtälö. Tällöin saadaan ( + λ )y =. Siis y = ja sitten x =, joten λ ei ole kuvauksen L ominaisarvo. Kuvauksella L ei siis ole reaalisia ominaisarvoja. Kuvauksella on kompleksiset ominaisarvot i = e iπ/ ja i = e iπ/, jotka vastaavat kiertoja ±9 vastapäivään/myötäpäivään. (c) Olkoon C (R, R) = C k (R, R), k= missä C k (R, R) = {f C(R, R) : f (k) C(R, R)} ja f (k) on funktion f k:s derivaatta. Olkoon D : C (R, R) C (R, R) derivaattakuvaus. Etsitään kuvauksen D ominaisarvot: Df = λf f (x) = λf(x) kaikilla x R f(x) = Ce λx kaikilla x R, missä C R. Siten jokainen λ R on kuvauksen D ominaisarvo ja funktio f(x) = Ce λx, missä C =, on sitä vastaava ominaisvektori. Lause 4.5. Olkoon V vektoriavaruus. Lineaarikuvauksen L : V V erisuuriin ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. 36

38 4. Ominaisarvo Todistus. Olkoot λ = μ ominaisarvoja ja x, y = vastaavat ominaisvektorit, jolloin Lx = λx, (7) Ly = μy. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi eli ax + by =, a, b K, L(ax + by) = L alx + bly = aλx + bμy = aλx + μ( ax) = (λ μ)ax = ax = a = by = b =. (8) Seuraus 4.6. Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksella L on korkeintaan n erisuurta ominaisarvoa. Jos kuvauksella L on n erisuurta ominaisarvoa λ,..., λ n, niin vastaavat ominaisvektorit muodostavat avaruuden V kannan K ja λ... λ Mat(L; K, K) = λ n Todistus. Matriisin Mat(L; K, K) j:s sarake muodostuu kantavektorin v j kuvan Lv j = λ j v j = v λ j v j v n (9) koordinaateista,..., λ j,,..., kannassa K = {v,..., v n }. Määritelmä 4.7. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarikuvaus. Kuvaus L on diagonalisoituva, jos on olemassa sellainen avaruuden V kanta K, että Mat(L; K, K) on diagonalisoituva. Huomautus 4.8. Seuraus 4.6 antaa riittävän ehdon diagonalisoituvuudelle. Tämä ehto ei ole kuitenkaan välttämätön, sillä esimerkiksi I : V V on diagonalisoituva (Mat(I; K, K) = I jokaiselle avaruuden V kannalle K), mutta kuvauksella I on vain yksi ominaisarvo, nimittäin. 37

39 4. Ominaisarvo Määritelmä 4.9. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, K avaruuden V kanta ja L : V V lineaarinen. Olkoon A = Mat(L; K, K). Lineaarikuvauksen L (ja matriisin A) karakteristinen polynomi on Huomautus 4.. : p L (λ) = det (A λi). (3) (a) Jos λ on kuvauksen L ominaisarvo, niin löytyy vektori v V {}, jolle Lv = λv eli (L λi)v =. Tällöin L λi ei ole kääntyvä, joten = det Mat(L λi) = det (A λi). (3) Siten λ on karakteristisen polynomin p L (λ) nollakohta. Tämä päättely voidaan myös kääntää, joten λ on lineaarikuvauksen L ominaisarvo jos ja vain jos p L (λ) =. (3) (b) Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, K ja S avaruuden V kantoja ja L : V V lineaarinen. On olemassa kannanvaihtomatriisi C = C(S, K), jolle Mat(L; S, S) = C Mat(L; K, K)C (33) Lause 4.. Lineaarikuvauksen L : V V karakteristinen polynomi on riippumaton avaruuden V kannan valinnasta. Esimerkki 4.. : (a) Olkoon L : R R, L(x, y) = ( x + y, x + y) kaikilla (x, y) R. Määrätään tämän kuvauksen ominaisarvot ja ominaisavaruudet. [ ] Kuvauksen L matriisi luonnollisessa kannassa on A =, joten karakteristinen polynomi on [ ] λ p A (λ) = det = ( λ)( λ) = λ. λ Ominaisarvot ovat yhtälön λ = ratkaisut: λ = ±. Vastaavat 38

40 4. Ominaisarvo ominaisavaruudet saadaan yhtälöistä L(x, y) = x + y = x (x, y) x + y = y Siis y = ( + )x; L(x, y) = x + y = x (x, y) x + y = y y = ( )x. (34) V = {(x, y) R y = ( + )x} = (, + ) ja V = {(x, y) R y = ( )x} = (, ) Nyt K = {(, + ), (, )} on avaruuden R kanta ja [ ] Mat(L; K, K) =. (b) Olkoon lineaarikuvauksen L : R 3 R 3 matriisi luonnollisen kannan suhteen A = 3. 3 Määrätään kuvauksen L ominaisarvot ja ominaisavaruudet. Nyt λ p A (λ) = det 3 λ 3 λ = ( λ)((3 λ) + ) + ( (3 λ)) = ( λ)((3 λ) ). Nyt p A (λ) = jos ja vain jos λ =, λ = 4 tai λ =, joten ominaisarvot ovat ja 4. 39

41 4. Ominaisarvo Ominaisavaruudet: x y + z = x L(x, y, z) = (x, y, z) 3y z = y x + y + 3z = z Siis x = y = z ja x y + z = 4x L(x, y, z) = 4(x, y, z) 3y z = 4y x + y + 3z = 4z V (L) = {(x, y, z) R 3 x = y = z} = (,, ), x = y = z. (35) V 4 (L) = {(x, y, z) R 3 x = y = z} = (,, ). (36) Määritelmä 4.3. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen. Olkoot λ kuvauksen L ominaisarvo ja A kuvauksen L matriisi. Jos λ on polynomin p A (λ) m-kertainen juuri eli p A (λ) = (λ λ ) m q(λ), missä q(λ) on polynomi ja q(λ ) =, niin ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku on m. Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku on Ker (L λ I). Alue Lauseesta 4.4 alkaen Huomautukseen 4.3 asti ei kuulu koealueeseen. Lause 4.4. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen. Tällöin kuvauksen L ominaisarvolle λ pätee λ :n geometrinen kertaluku λ :n algebrallinen kertaluku. Huomautus 4.5. Esimerkissä 4. (b) nähtiin, että ominaisarvot geometrinen kertaluku voi olla aidosti pienempi kuin algebrallinen kertaluku. Lause 4.6. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja L : V V diagonalisoituva lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksen L jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on sama kuin sen algebrallinen kertaluku. Edellisen lauseen väite pätee myös kääntäen, jos V on kompleksikertoiminen vektoriavaruus (jolloin myös ominaisarvot voivat olla kompleksilukuja). 4

42 4. Ominaisarvo Määritelmä 4.7. Olkoot (V, ( )) ja (W, ) äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L adjungaatti on lineaarikuvaus L : W V, jolle pätee kaikilla v V ja w W. (L w v) = w Lv Lause 4.8. Olkoot V ja W äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia kuten Määritelmässä 4.7. Lineaarikuvauksella L : V W on olemassa yksikäsitteinen adjungaatti. Lisäksi L = L. Lause 4.9. Olkoot (V, ( )) ja (W, ) äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia, K avaruuden V ortonormaali kanta, S avaruuden W ortonormaali kanta ja L : V W lineaarinen. Tällöin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S) T. Jos V ja W ovat kompleksikertoimisia avaruuksia, niin tällöin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S) T. Määritelmä 4.. Olkoot V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja L : V V lineaarinen. Kuvaus L on itseadjungoituva eli symmetrinen, jos L = L. Lause 4.. Olkoon L : V V äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V itseadjungoituva lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksen L eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lause 4. (Spektraalilause). Olkoon L : V V äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V itseadjungoituva lineaarikuvaus. Tällöin avaruudella V on ortonormaali kanta, joka muodostuu kuvauksen L ominaisvektoreista. Huomautus 4.3. Lineaarikuvauksen L : V V, missä dim V <, ominaisarvojen joukkoa kutsutaan kuvauksen L spektriksi, ja sitä merkitään δ(l). 4

43 4. Ominaisarvo Kohtisuorat Projektiot Geometrinen lähestymistapa Tässä osiossa tarkastelemme Euklidista avaruutta R n ja sen aliavaruuksia. Määritelmä 4.4. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus ja K = {v,..., v k } avaruuden V ortonormaali kanta. Vektorin u R n kohtisuora projektio aliavaruudelle V on k P V (u) = (u v j ) v j. Esimerkki 4.5. a) Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta j= V = {(x, y, ) : x, y R}. Tällöin P V (x, y, z) = (x, y, ) kaikilla (x, y, z) R 3. (Luennolla) b) Tarkastellaan avaruuden R aliavaruuksia V = {(x, x) : x R} ja W = {(x, x) : x R}. Tällöin P V (u) = ((x+y)/, (x+y)/) ja P W (u) = ((x y)/, ( x+y)/) kaikilla u = (x, y) R. (Luennolla) Lause 4.6. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus ja u R n. (i) u V jos ja vain jos P V (u) = u. (ii) Vektori u P V (u) on kohtisuorassa aliavaruutta V vastaan. (iii) Epäyhtälö u P V (u) u v on tosi kaikilla v V. Lisäksi tässä epäyhtälössä on yhtäsuuruus jos ja vain jos v = P V (u). (iv) Epäyhtälö P V (u) u on tosi kaikilla u R n. Lisäksi tässä epäyhtälössä on yhtäsuuruus jos ja vain jos u V. Todistus. Luennolla. Määritelmä 4.7. Avaruuden R n epätyhjän osajoukon S kohtisuora komplementti on joukko S = {u R n : (u v) = kaikilla v S}. Lause 4.8. Jos S on avaruuden R n epätyhjä osajoukko, niin S on avaruuden R n aliavaruus. 4

44 4. Ominaisarvo Todistus. Luennolla. Lause 4.9. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus. Tällöin jokaiselle vektorille u R n on olemassa yksikäsitteiset vektorit v V ja w V siten, että u = v + w. Todistus. Luennolla. Esimerkki 4.3. Olkoon L : R R, L(x, y) = (y, x) kaikilla (x, y) R. Tällöin L = P V P W, missä V ja W ovat ominaisarvoja ja vastaavia ominaisavaruuksia. (Luennolla) Lause 4.3 (Spektraalilause II). Olkoon L : R n R n itseadjungoitu kuvaus ja olkoon {v,..., v n } kuvauksen L ominaisarvoista koostuva avaruuden R n ortonormaali kanta. Olkoot λ j ominaisvektoria v j vastaava ominaisarvo ja P j kohtisuora projektio avaruudelta R n avaruudelle v j. Tällöin L = n λ j P j. j= Todistus. Luennolla. Hitunen algebraa Määritelmä 4.3. Lineaarinen kuvaus L : R n R n on idempotentti jos ja vain jos L = L. Tässä siis L = L L. Lause (i) Jos V on avaruuden R n aliavaruus, niin kuvaus P V on itseadjungoitu idempotentti. (ii) Jos L : R n R n on itseadjungoitu idempotentti, niin R(L) = {u R n : Lu = u} ja N (L) = R(L). Lisäksi L = P R(L). Todistus. Luennolla. Lause Olkoot P ja Q avaruuden R n projektioita. Seuraavat väitteet ovat tosia: (i) P Q on projektio jos ja vain jos P Q = QP. (ii) P + Q on projektio jos ja vain jos R(P ) R(Q). (iii) P Q on projektio P Q = Q QP = Q. 43

45 5. Esimerkkejä 5 Esimerkkejä Esimerkki 5.. (Harjoitustehtävä 5.) Olkoon W = {x = (x, y, z) R 3 : x y + z = }. Osoita, että W on vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. Ratkaisu: Osoitetaan, että aliavaruusaksiomit. W = ;. jos w, w W, niin w + w W ; 3. jos w W ja λ R, niin λw W ; ovat voimassa:. Koska = (,, ) W, niin W = ;. Olkoot w = (x, y, z ), w = (x, y, z ) W. Tällöin x y + z = x y + z = w + w = (x + x, y + y, z + z ), ja (x + x ) (y + y ) + (z + z ) = x y + z + x y + z =, (37) joten w + w W ; 3. Olkoot w = (x, y, z) W ja λ R, tällöin x y + z = joten λw W. ja λw = (λx, λy, λz), (λx) (λy) + (λz) = λ(x y + z) =, (38) Esimerkki 5.. (Harjoitustehtävä 5.) Osoita, että tavallinen pistetulo, toisin sanoen n x y = x i y i (39) kaikilla x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) R n, määrittelee sisätulon avaruuteen R n. Ratkaisu: Osoitetaan, että sisätulon aksiomit i= 44

46 5. Esimerkkejä. x y = y x (symmetrisyys);. (x + v) y = x y + v y; 3. (λx) y = λx y; 4. x x >, kun x = (positiividefiniittisyys). ovat voimassa (laskemalla):. x y = n i= x iy i = n i= y ix i = y x ;. (x+v) y = (x +v,..., x n +v n ) (y,..., y n ) = n i= (x i +v i )y i = n i= x iy i + n i= v iy i = x y + v y ; 3. (λx) y = n i= (λx i)y i = λ n i= x iy i = λx y ; 4. Koska, x =, niin x k =, joten x x = n i= x i x k >. Esimerkki 5.3. (Harjoitustehtävä 36.) Lineaarikuvaus L : R 3 R kuvaa avaruuden R 3 luonnolliset kantavektorit e, e ja e 3 vektoreiksi (, ), (, ) ja (, 3).. Laske Lx, kun x = (x, y, z) = xe + ye + ze 3 R 3. Ratkaisu: Lx = L(xe + ye + ze 3 ) = xle + yle + zle 3 =. Määrää Ker L. Ratkaisu: Asetetaan x(, ) + y(, ) + z(, 3) = (x + y + z, x + 3z). (4) Lx = (x + y + z, x + 3z) = (, ) x = 3z, y = z, z R x = ( 3z, z, z) = z( 3,, ) Ker L = {x R 3 Lx = } = {x R 3 x = z( 3,, ), z R} = ( 3,, ). (4) 3. Onko L injektio? Ratkaisu: 45

47 5. Esimerkkejä Koska Ker L = ( 3,, ) = {}, (4) niin L ei ole injektio. 4. Määrää dim Ker L ja dim Im L (käytä dimensiokaavaa ()). Ratkaisu: Tuloksen (4) nojalla dim Ker L = ja dimensiokaavan () nojalla dim V = dim R 3 = dim Ker L + dim Im L 3 = + dim Im L dim Im L =. (43) 5. Onko L surjektio? Koska dim Im L = ja Im L on maaliavaruuden R aliavaruus, niin Im L = R. Siten L on surjektio. 6. Onko L bijektio? Vastaus: EI. 7. Määrää L:n matriisi M(L, E 3, E ) luonnollisten kantojen E 3 = {e, e, e 3 } R 3 ja E = {e, e } R suhteen. Ratkaisu: Esitetään kantavektoreitten e, e, e 3 kuvat, maaliavaruuden kannassa E = {e, e }: Le = L(,, ) = (, ) = e + e, Le = L(,, ) = (, ) = e + e, Le 3 = L(,, ) = (, 3) = e + 3 e. (44) Tällöin Lauseen 3.8 mukaan kuvauksen L matriisi saadaan kääntämällä kuvavektoreitten (44) koordinaattiesitykset pystyvektoreiksi ja asettamalla ne matriisin sarakkeiksi: M(L, E 3, E ) = Esimerkki 5.4. (Harjoitustehtävä 39.) ( 3 ) = ( a a a 3 a a a 3 ) (45) Määritellään L : R 3 R 3, asettamalla L(x) = L(x, x, x 3 ) = (x + x + x 3, x + x, x ) kaikilla x R 3. 46

48 5. Esimerkkejä. Osoita, että L on lineaarinen. Ratkaisu: L(x) = L(x, x, x 3 ) = (x + x + x 3, x + x, x ) = joten x (,, ) + x (,, ) + x 3 (,, ) := x f + x f + x 3 f 3, (46) L(x + y) = L((x, x, x 3 ) + (y, y, y 3 )) =. Määrää Ker L. Ratkaisu: Asetetaan L(x + y, x + y, x 3 + y 3 ) = (x + y )f + (x + y )f + (x 3 + y 3 )f 3 = x f + x f + x 3 f 3 + y f + y f + y 3 f 3 = Lx + Ly; Lx = (x + x + x 3, x + x, x ) = (,, ) x = x = x 3 = x = (,, ) L(λx) =... = λlx. (47) Ker L = {x R 3 Lx = } = {} =. (48) 3. Onko L injektio? Ratkaisu: Koska Ker L = {}, (49) niin L on injektio. 4. Määrää dim Ker L ja dim Im L (käytä dimensiokaavaa ()). Ratkaisu: Tuloksen (49) nojalla dim Ker L = ja dimensiokaavan () nojalla dim V = dim R 3 = dim Ker L + dim Im L 3 = + dim Im L dim Im L = 3. (5) 47

49 5. Esimerkkejä 5. Onko L surjektio? Koska dim Im L = 3 ja Im L on maaliavaruuden R 3 aliavaruus, niin Im L = R 3. Siten L on surjektio. 6. Onko L bijektio? Vastaus: On. 7. Määrää L:n matriisi M(L, E 3, E 3 ) luonnollisen kannan E 3 = {e, e, e 3 } R 3 suhteen. Ratkaisu: Esitetään kantavektoreitten e, e, e 3 kuvat, maaliavaruuden kannassa E 3 = {e, e, e 3 }: Le = L(,, ) = e + e + e 3, Le = L(,, ) = e + e + e 3, Le 3 = L(,, ) = e + e + e 3. (5) Tällöin Lauseen 3.8 mukaan kuvauksen L matriisi saadaan kääntämällä kuvavektoreitten (44) koordinaattiesitykset pystyvektoreiksi ja asettamalla ne matriisin sarakkeiksi: a a a 3 M(L, E 3, E 3 ) = = a a a 3 (5) a 3 a 3 a Laske matriisin M(L, E 3, E 3 ) determinantti. Ratkaisu det M(L, E 3, E 3 ) = =. (53) 48