Transversaalit ja hajoamisaliryhmät

Transkriptio

1 Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

2 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä, jonka kertaluku on 15, niin G on syklinen. Sylow-analysiin perusteella ryhmällä G on aliryhmät P = x, P = 5 ja Q = y, Q = 3. Lisäksi osoitettiin, että G = P Q = { pq p P ja q Q } ja P Q = {1}. Esitelmässäni tulen esittelemään tilanteita, joissa ryhmä voidaan esittää kahden aliryhmänsä H ja K kompleksina HK ja näiden aliryhmien ainoa yhteinen alkio on neutraalialkio. Määritelmä 1. Olkoon G ryhmä ja K G. Jos on olemassa sellainen H G, että G = HK ja H K = {1}, niin sanotaan, että H on aliryhmän K komplementti ryhmässä G. Komplementti H on normaali, jos H G. Jos K G ja aliryhmällä K on komplementti H, niin aliryhmää K sanotaan ryhmän G hajoamisaliryhmäksi. Täten jos G = mn, syt(m, n) = 1 ja ryhmällä G on kertalukua m ja n olevia aliryhmiä, niin ne ovat toistensa komplementteja. Esimerkki 1 (jatkoa...). Täten esimerkiksi aliryhmä P on aliryhmän Q normaali komplementti ryhmässä G ja aliryhmä Q on aliryhmän P normaali komplementti ryhmässä G. Siis aliryhmät P ja Q ovat ryhmän G hajoamisaliryhmiä. Triviaalit aliryhmät G ja {1} ovat aina ryhmän G hajoamisaliryhmiä. Toisaalta jos K G on ryhmän G hajoamisaliryhmä ja aliryhmä H on ryhmän K komplementti ryhmässä G, niin isomoralauseen nojalla G/K = HK/K = H/(H K) = H Täten ryhmän G voidaan ajatella rakentuvan ryhmistä K ja G/K. 1

3 Transversaalit Määritelmä 2. Olkoon G ryhmä ja K G. Joukko T G on aliryhmän K oikeanpuoleinen transversaali ryhmässä G, mikäli T sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta aliryhmän K oikeanpuoleisesta sivuluokasta Kg. Vastaavasti määritellään vasemmanpuoleinen transversaali. Merkitään, että T on aliryhmän K oikeanpuoleisten transversaalien joukkoa ryhmässä G. Joukko T G on aliryhmän K oikeanpuoleinen transversaali ryhmässä G jos ja vain jos T Kg = 1 kaikilla g G. Jos K G, niin T Kg = T gk = 1 eli jokainen vasemmanpuoleinen transversaali on myös oikeanpuoleinen transversaali ja päinvastoin. Tällöin voidaan puhua vain aliryhmän K transversaaleista ryhmässä G. Helposti voidaan myös nähdä, että jos T T, niin T g T kaikilla g G ja kt T kaikilla k K. Lemma 1. Olkoon G ryhmä ja K G. Tällöin T G on aliryhmän K oikeanpuoleinen transversaali ryhmässä G jos ja vain jos jokainen g G on yksikäsitteisesti esitettävissä muodossa kt, missä k K ja t T. Todistus. Olkoon T G aliryhmän K oikeanpuoleinen transversaali ryhmässä G ja g G. Tällöin on olemassa sellainen t T, että t k 1 g eräällä k K. Siis g = kt. Jos g = kt = k t, missä k K ja t T, niin t = k 1 k t T Kt. Siis transversaalin määritelmän nojalla t = t ja siten h = h. Täten esitys g = kt on yksikäsitteinen, kun k K ja t T. Oletetaan nyt, että jokainen g G voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa kt, missä k K ja t T. Olkoon Kg mielivaltainen aliryhmän K määrämä sivuluokka ryhmässä G. Oletuksen perusteella on olemassa sellaiset t T ja 2

4 k K, että g = kt. Täten t = k 1 g Kg. Jos t T Kg, niin t = k g eräällä k K eli g = k 1 t = kt. Oletuksen perusteella esitys on yksikäsitteinen eli t = t. Täten T Kg = 1 kaikilla g G eli joukko T G on aliryhmän K oikeanpuolinen transversaali ryhmässä G. Tämän lemman avulla saadan ensimmäinen ryhmän hajoamista koskeva tulos. Se myös osoittaa kuinka transversaalit liittyvät hajoamisaliryhmiin. Lause 1. Olkoon K G. Tällöin on olemassa sellainen aliryhmän K transversaali T ryhmässä G, että T G jos ja vain jos K on ryhmän G hajoamisaliryhmä. Tällöin hajoamisaliryhmän komplementti H on myös aliryhmän K transversaali ryhmässä K. Todistus. Olkoon H G sellainen, että G = HK ja H K = {1}. Osoitetaan, että H on aliryhmän K transversaali ryhmässä G. Jos g = hk = h k, missä h, h H ja k, k K, niin h 1 h = k k 1 K H = {1}. Siis h = h ja k = k. Täten edellisen lemman nojalla H on aliryhmän K transversaali ryhmässä G. Toiseen suuntaan väite seuraa suoraan edellisestä lemmasta. Esimerkki 1 (jatkoa...). Täten esimerkiksi aliryhmä Q on aliryhmän P transversaali ryhmässä G. Siis aliryhmä Q sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta sivuluokasta P g, missä g G. Aikaisemmin lemman nojalla jos T G on aliryhmän K oikeanpuoleinen transversaali ryhmässä G, niin jokaista g G kohti on olemassa sellainen yksikäsitteinen t T, että gt 1 oikeanpuoleista transversaalia K. Jos [G : K] = n, niin täten kaksi aliryhmän K T = {t 1, t 2,..., t n } ja U = {u 1, u 2,..., u n } voidaan indeksoida yksikäsitteisesti niin, että t i u 1 i K kaikilla i = 1, 2,..., n. Tällöin olettaen, että J K ja tekijäryhmä K/J on Abelin ryhmä, niin voidaan määritellä tekijäryhmän K/J alkio T/U = n i=1 Jt i u 1 i 3

5 Tämä alkio on olemassa ja yksikäsitteinen indeksoinnin ja ryhmän K/J kommutatiivisuuden nojalla. Todistamatta esitetään seuraava lemma, joka esittelee muutamia edellisestä merkinnästä seuraavia ominaisuuksia. Lemma 2. Olkoon J K G, [G : K] = n ja K/J Abelin ryhmä. Jos T, U, V T, niin 1. T/U = J, 2. (T/U)(U/V ) = T/V, 3. (T/U) 1 = U/T, 4. T g/t = Ug/U kaikilla g G ja 5. T (gg )/T = (T g/t )(T g /T ) kaikilla g, g G. Tämän lemman nojalla joukolle T voidaan määritellä ekvivalenssirelaatio T U jos ja vain jos T/U = J Jos Ω on joukon T ekvivalenssiluokkien joukko ω Ω, niin voidaan määritellä funktio f : Ω G Ω, f(ω, g) = ωg. Tässä jos T ω, niin ωg on se ekvivalenssiluokka, johon transversaali T g kuuluu. Vastaavalla tavalla voidaan määritellä funktio g : K Ω Ω, g(k, ω) = kω, missä kω on se ekvivalenssiluokka johon kt kuuluu, kun T ω. Toisaalta voidaan määritellä funktio τ : G K/J, τ(g) = T g/t. Tätä kutsutaan ryhmän G siirroksi tekijäryhmään K/J. Edellisen lemman nojalla funktion τ määritelmä on riippumaton transversaalin T valinnasta ja τ on homomorsmi. Näiden työkalujen avulla voidaan koko joukko ryhmän hajoamiseen liittyviä tuloksia. 4

6 Hajoamislauseita Määritelmä 3. Olkoon G äärellinen ryhmä ja A G. Jos [G : A] = n, A = m ja syt(n, m) = 1, niin ryhmää A sanotaan ryhmän G Hall-aliryhmäksi. Kyseessä on siis yleistys Sylowin p-aliryhmän käsitteestä, sillä kaikki Sylowin p- aliryhmät ovat Hall-aliryhmiä. Seuraavan lauseen todistus sivutetaan, mutta se voidaan tehdä edellisessä osiossa määriteltyjen työkalujen näppärällä soveltamisella. Lause 2. Olkoon A äärellisen ryhmän G kommutatiivinen Hall-aliryhmä. Tällöin ryhmällä A on normaali komplementti ryhmässä G eli on olemassa sellainen H G, että G = AH ja A H = {1} jos ja vain jos a 1 = a 2 aina, kun a 1, a 2 A ja alkiot a 1 ja a 2 konjugoivat ryhmässä G. Tällöin siis tämä kommutatiivisen Hall-aliryhmän normaali komplementti tulee olemaan ryhmän G hajoamisaliryhmä. Jos A on kommutatiivinen normaali Hall-aliryhmä, niin A tulee olemaan ryhmän G hajoamisaliryhmä jos ja vain jos A Z(G). Seuraava lause saadaan edellisen soveltamalla. Siinä Hall-aliryhmä ehtoa kiristetään, jotta päästäisiin käytämään Sylowin lauseita, ja vaaditaan kommutatiivisuutta tiukempi ehto. Lause 3 (Burnside). Olkoon G äärellinen ryhmä P sen Sylowin p-aliryhmä. Jos P Z(N G (P )), niin ryhmällä P on normaali komplementti ryhmässä G. Täten äärellisen ryhmän Sylowin p-aliryhmällä on normaali komplementti, kun aliryhmän P alkiot kommutoivat aliryhmän P normalisoijan alkioiden kanssa. Burnsiden lauseen avulla voidaan kohtuullisella vaivalla kaivella äärellisen ryhmän rakennetta, kun sen kaikki Sylowin p-aliryhmät ovat syklisiä. Lause 4. Olkoon G äärellinen ryhmä, jonka kaikki Sylowin p-aliryhmät ovat syklisiä. Tällöin 1. ryhmä G on ratkeava, 2. ryhmät G ja G/G ovat syklisiä, 3. ryhmä G on ryhmän G Hall-aliryhmä ja 4. ryhmä G on ryhmän G hajoamisaliryhmä. 5

7 Lause 5 (Schur-Zassenhaus). Olkoon G äärellinen ryhmä ja A ryhmän G normaali Hall-aliryhmä. Tällöin A on ryhmän G hajoamisaliryhmä. Lisäksi jos joko A tai G/A on ratkeava ryhmä, niin aliryhmän A komplementit ryhmässä G muodostavat konjugointiluokan. Koska A on Hall-aliryhmä, niin joko ryhmän A tai G/A kertaluku on pariton. Feit-Thompsonin lauseen seurauksena toinen ryhmistä on ratkeva. Lisäoletus on siis turha. Esimerkiksi jos G = mn, syt(m, n) = 1 ja ryhmällä G on kertalukua m oleva normaali aliryhmä, niin tällöin ryhmällä G tulee olemaan kertalukua n olevia aliryhmiä, jotka muodostavat konjugointiluokan. 6