1. Tensoritulon konstruktio

Transkriptio

1 Î ÌÒ ÓÖØÙÐÓØ 1. Tensoritulon konstruktio 1.1. Määritelmä. Olkoot M ja N R-moduleita, missä kerroinrengas(r, +, ) on vaihdannainen. Määritellään modulien M ja N tensoritulo ja tensoritulokuvaus : M N M N. Konstruktio lähtee liikkeelle R-modulista S=M N={z:M N R supt(z)onäärellinen}. Kunx Mjay N,merkitäänx y:lläs:nvektoria,jollejokaisellax Mjay Non voimassa { (x y)(x,y )= 1 jos(x,y)=(x,y ) 0 muuten eli(x y)(x,y )=δ (x,y),(x,y )=δ xx δ yy. S:nvektoriensamastamiseksimerkitäänS 0 = sp(c), missä C={(ax y) a(x y) x M,y N,a R} {(x ay) a(x y) x M,y N,a R} {(x+x ) y (x y+x y) x,x M,y N} {x (y+y ) (x y+x y ) x,x M,y N}. ModulienMjaNtensorituloM Nontekijämoduli M N=S/S 0 =M N/S 0. Vektorienx Mjay Ntensorituloonx y =x y+s 0. Tensoritulokuvauson :M N M N, (x,y)=x y.tensoritulonm Nalkioitakutsutaantensoreiksi Lause. Olkoot M, N ja R kuten tensoritulon määritelmässä. Tällöin tensoritulokuvaus :M N M Nonbilineaarinen. Todistus. Ilmeisen symmetrian vuoksi riittää tarkastella vasemmanpuoliset bilineaarisuusehdot.olkootx,x L,y Mjaa R.Tällöin (ax) y=(ax) y)+s 0 =a(x y)+(ax) y a(x y) +S }{{} 0 C S 0 ja =a(x y)+s 0 =a((x y)+s 0 )=a(x y) (x+x ) y=(x+x ) y+s 0 =x y+x y+((x+x ) y x y x y) +S }{{} 0 C S 0 =(x y+x y)+s 0 =(x y+s 0 )+(x y+s 0 ) =x y+x y. 43

2 Todistus.(vaihtoehtoinen) Merkitään symbolilla määritelmän tekijäoperaatiota vastaavaakongruenssia,ts.kunt,t M N,niint t S 0 t t S 0. Tällöin jokaisellax,x L,y Mjaa Rpätevätkongruenssit (x+x ) y (x y)+(x y), (ax) y a(x y) x (y+y ) (x y)+(x y )jax (ay) a(x y), sillävastaavaterotuksetkuuluvatjoukkoonc S 0.Siis (x+x ) y=(x y)+(x y), (ax) y=a(x y) x (y+y )=(x y)+(x y )jax (ay)=a(x y), mikä todistaa tensoritulokuvauksen bilineaarisuuden. Tensoritulon määritelmästä seuraa suoraviivaisesti, että M N:n alkioille(esitensoreille) ja tensoreille saadaan tietynlaiset esitykset alkuperäisten modulien vektorien avulla Lemma. Edellisen määritelmän oletuksin ja merkinnöin jokaiselle z M N on olemassaäärellinenindeksijoukkojjajokaisellaj Jskalaariλ j sekävektoritx j Mja y j N,joille z= j J λ j (x j y j ). Edelleentensorillet M Nsaadaanesitys t= i I u i v i, missäionäärellinenjajokaisellai Ipäteeu i Mjav i N. Todistus. Määritelmän mukaan J = supt(z) on äärellinen; asetetaan jokaisella j = (x,y) J kertoimeksi λ j = z(x,y)ja vektoreiksi x j = x sekä y j = y. Siten kun (x,y ) M N,niin λ j (x j y j )(x,y )=z(x,y)δ x,x δ y,y = { z(x,y) jos(x,y)=(x,y ) 0 muuten. Tästäseuraa,ettäz= j J λ jx j y j.josnimittäinj 0 =(x,y) J,niin ( ) λ j x j y j (x,y) λ j δ j,j0 =λ j0 =z(x,y). j J jostaas(x,y) M N J,niin(x,y) supt(z),joten j J ( ) λ j x j y j (x,y)=0=z(x,y). j J 44

3 Tensorint M N tapauksessavalitaanensinz M N,jollet =z+s 0 jatälle esitensorillezylläolevankaltainenesitys. MerkitäänsittenI=Jjajokaisellai I=J ensinu i =λ i x i jasittenv i =y i.tensoritulonbilineearisuudenavullasaadaantällöin ( ) t=z+s 0 = λ j x j y j +S 0 = ( ) λ j (xj y j )+S 0 = λ j (x j y j ) j J j J = j J ((λ j x j ) y j )= i I (u i v i ). j J 1.4. Lause. Olkoong:L M NR-bilineaarikuvausjaA:N P R-lineaarikuvaus. Tällöin A g on R-bilineaarinen. Todistus.Olkootx,x L,y,y Mjac R.Tällöin (A g)(x+x,y)=a(g(x+x,y))=a(g(x,y)+g(x,y)) ja =A(g(x,y))+A(g(x,y))=(A g)(x,y)+(a g)(x,y) (A g)(cx,y)=a(g(cx,y))=a(cg(x,y))=ca(g(x,y))=c(a g)(x,y). Symmetristi johdetaan myös oikeanpuoleiseen lineaarisuuteen liittyvät yhtälöt (A g)(x,y+y )=(A g)(x,y)+(a g)(x,y)ja(a g)(x,cy)=c(a g)(x,y). SiisA gonbilineaarinen. 1.5.Seuraus. OlkootL,MjaNvaihdannaisenrenkaan(R,+, modulejajaa:l M Nlineaarikuvaus.Tällöinkuvausf:L M N,f(x,y)=A(x y)onbilineaarinen. Todistus. Sovelletaan edellistä lausetta tilanteessa, jossa g =, jolloin saadaan, että f=a onbilineaarinen,koskaaonlineaarinenja bilineaarinen Lause. (Tensoritulojen universaalisuusominaisuus vektoriavaruuksille.) Olkoot U,V jaw R-moduleita,joidenkerroinrengasonvaihdannainen, jaf:u V W K- bilineaarikuvaus. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen R-lineaarikuvaus A: U V W, jollef=a. U V Alin. U V W f bilin. Todistus.OlkootS 0 jackutentensoritulonmääritelmässä,jap:u V U V =(U V)/S 0 tekijäkuvausp(z)=z+s 0.Muodostetaanlauseenväitteenkaavioapukuvauksen B:U V Wkauttaseuraavasti: U V p U V U V ; f 45 B A W.

4 VektoriavaruudellaU V = U V Konfunktioavaruutenaluonnollinenkanta E={x y x U,y V}. SiksionolemassayksikäsitteinenK-lineaarikuvausB:S W,jolleB(x y)=f(x,y), kunx Ujay V.Selvästif =B. Osoitetaanseuraavaksi,ettäKer(p)=S 0 Ker(B). Kunx,x U,y,y V ja c K, niin B:n lineaarisuuden ja f:n bilineaarisuuden tähden B((x cy) c(x y))=b(x cy) cb(x y)) =f(x,cy) cf(x,y))=cf(x,y) cf(x,y))= 0 ja B(x (y+y ) (x y+x y ))=B(x (y+y )) B(x y+x y ) =B(x (y+y )) B(x y) B(x y ) =f(x,y+y ) f(x,y) f(x,y )= 0. Siis (x cy) c(x y),x (y+y ) (x y+x y ) Ker(B). Aivan vastaavasti osoitetaan, että myös (cx y) a(x y),(x+x ) y (x y+x y) Ker(B). Koskatämäpäteekaikillax,x U,y,y V jac K,niinC Ker(B),mistäseuraa Ker(p)=S 0 =sp(c) Ker(B). AsetetaanA:U V W,A(t)=B(z),missäz U V onmikätahansaesitensori, jollet =z+s 0. KuvausAonhyvinmääritelty, silläjost =z+s 0 =z +S 0, niin z z 0 S 0 Ker(B),mistäseuraaB(z)=B((z z )+z )=B(z z )+B(z )= 0+B(z )=B(z ).SuoraanmääritelmänperusteellamyösA(p(z))=B(z),kunz U V, jotena=b p.selvästiaonmyöslineaarinen.lopuksihavaitaan,että f=b =(A p) =A (p )=A. Edellinen tulos yleistyy moduleille Lause. (Tensoritulojen universaalisuusominaisuus.) Olkoot M, N ja P R-moduleita, joiden kerroinrengas on vaihdannainen, ja f: M N P R-bilineaarikuvaus. Tällöin on olemassayksikäsitteinenr-lineaarikuvausa:m N P,jollef =A. M N A M N P f 46

5 1.8. Lause. OlkootU jav K-vektoriavaruuksia, joillaonkannate jaf. Tällöin {e f e E,f F}ontensoritulonU Fkanta,jotendim(U V)=dim(U)dim(V). Todistus. Merkitään G={e f e E,f F}. Olkoont U V.Lemman1.3nojallatensorilletsaadaanesityst= i I u i v i,missä Ionäärellinenjajokaisellai Ipäteeu i Ujav i V.KoskaEonU:nkantajaFV:n kanta, niin jokaisella i I vektoreilla on esitykset u i = e E λ i,e ejav i = f F µ i,f f, missä summat ovat äärellisluonteisia. Sijoittamalla nämä esitykset tensorin t esitykseen saadaan t= u i v i = ( λ i,e e ) ( µ i,f f ) i I i I e E f F = λ i,e µ i,f (e f) sp(g). i I, Siissp(G)=U V eligonvirittäjistö. TehdäänsittenvapaustestijoukolleG:Olkoon(a e,f ) e E,f F sellainenäärellisluonteinen kerroinjono K:n alkioita, että a e,f (e f)= 0 U F. Jotta kertoimet onnistuttaisiin osoittamaan nolliksi, sovelletaan tensoritulojen universaalisuusominaisuutta.olkoote 0 Ejaf 0 F 0.Valitaanensinlineaarisetmuodotx U ja y V niin,ettäx (e)=δ e,e0 jay (f)=δ f,f0,kune Ejaf F(jälleenosanIIlauseen 2.1sovellus). Kuvaush:U V K,h(u,v)=x (u)y (v)ontällöinbilineaarinenharjoituksissa todistetun perusteella. Tensoritulojen universaalisuusominaisuuden(lause 1.6) nojallaonolemassalineaarikuvausa:u V K,jolleh=A.Erityisesti 0=A( 0 U V )=A( a e,f (e f))= a e,f A(e f) = = a e,f h(e,f)= a e,f δ e,e0 ϕ f,f0 =a e0,f 0. a e,f x (e)y (f) Koskaa e0,f 0 päteekaikillae 0 E jaf 0 F, niingonvapaa. SitenG onkantaja dimensioille pätee dim(u V)= G = E F = E F =dim(u)dim(v). 47

6 2. Tensorin aste 2.1. Määritelmä. Olkoot M ja N R-moduleita, missä(r, +, ) on vaihdannainen. Tensorint M Nasterg(t)onpienink N,jollaonolemassax 0,...,x k 1 jay 0,...,y k 1, joille t= x i y i. Huomautus. Tensorien esitystä koskevan lemman 1.3 nojalla tensorin aste on hyvinmääritelty. Jatkossa osoittautuu, että käsite on myös epätriviaali, ts. yleensä tensorille pätee rg(t) > Lemma. OlkootUjaV K-vektoriavaruuksia,t U V jak=rg(t).tällöinjos x 0,...,x k 1 Mjay 0,...,y n 1 Novatvektoreita,joille t= x i y i, niinjonot(x 0,...,x k 1 )ja(y 0,...,y k 1 )ovatvapaita. Todistus. Symmetrianvuoksiriittääosoittaa,ettäjono(x 0,...,x k 1 )onvapaa. Oletetaanvastoinväitettä,ettätämäjonoonsidottu,ts.ettäonolemassakertoimeta 0,...,a k 1 K,joille k 1 a ix i = 0,missäjokinkerroineiolenolla. Yleisyyttärajoittamattavoidaan olettaa,ettätämäona k.tällöinvektorix k voidaanratkaistayhtälöstä,jasijoittamalla tensorin esitykseen saadaan k 2 k 2 x k =(a k ) 1 ( a i x i )= (( a i /a k )x i ) t= x i y i = (k 2 ) x i y i +xk y k = (k 2 ) ( k 2 x i y i + (( a i /a k )x i ) ) y k k 2 ) k 2 k 2 ( ) = x i y i + x i ( a i /a k )y k = xi y i +x i ( a i /a k )y k k 2 = x i ( ) y i +( a i /a k )y k, mikätarkoittaa,ettärg(t) k 1<kvastoinoletusta. 48

7 2.3. Lemma. OlkootU jav K-vektoriavaruuksiajat,t U V tensoreita,jotka voidaan kirjoittaa muotoon l 1 t= x i y i jat = x j y j. Oletetaan, että jonot (y 0,...,y k 1 ) ja (y 0,...,y l 1 ) ovat vapaita. Tällöin jos sp({x 0,...,x k 1 }) sp({x 0,...,x l 1 }),niint t. Todistus.MerkitäänW=sp({x 0,...,x k 1 })jaw =sp({x 0,...,x l 1 }).KoskaW W, niinw W taiw W.Symmetrianvuoksivoidaanolettaa,ettäW W,jotenx s W jollakins {0,...,l 1}. ValitaanW:llekantaE 0,jolloinE 0 jae 0 {x s}ovatvapaita (osanilauseen4.4.bnojalla).laajennetaane 0 {x s }U:nkannaksiEjamerkitäänx :llä sitäyksikäsitteistälineaaristamuotoax :U K,jollex (x s )=1jax (e)=0,kun e E {x s}. Huomataan,ettäx W = 0 W onnollakuvaus,sillä(x W) E 0 =x E 0 onnollakuvaus. Edelleenonolemassay V, jolley (y s ) = 1jay (y j ) = 0, kun j {0,...,l 1}{s},sillä{y 0,...,y l 1 }onvapaa. Kuvaush:U V K,h(x,y)=x (x)y (y)onbilineaarinen, jotenonolemassa lineaarinena:u V K,jolleA(x y)=h(x,y),kunx Ujay V.Kuntensoritt jat kuvataankuvauksellaa,saadaan A(t)=A (k 1 ) x i y i = A(x i y i ) k 1 k 1 = h(x i,y i )= x (x i )y (y i )= 0 y (y i )=0ja A(t )=A( (l 1 l 1 = l 1 = x ) l 1 j y j = l 1 h(x j,y j )= A(x j y j ) x (x j )y (y j ) x (x j) δ j,s =x (x s)=1, silläx W= 0 w.siisa(t)=0 1=A(t ),jotent t Lause. OlkootUjaV K-vektoriavaruuksiajat U V.Tällöinrg(t)=k,josja vainjosonolemassau:nvapaajono(x 0,...,x k 1 )jav:nvapaajono(y 0,...,y k 1 ),joille t= x i y i. 49

8 Todistus. Ehdon välttämättömyys seuraa suoraan tensorin asteen määritelmästä ja lemmasta2.2. Oletetaankääntäen,ettäonolemassaU:nvapaajono(x 0,...,x k 1 )jav:n vapaajono(y 0,...,y k 1 ),joille t= x i y i. ToisaaltamääritelmänmukaanonolemassaU:njono(x 0,...,x l 1 )jav:njono(y 0,...,y joille myös l 1 t= x i y i, mutta lisäksi l = rg(t). Lemmasta 2.2 seuraa, että tämänkin t:n esityksen jonot ovat vapaita.merkitäänw=sp({x 0,...,x k 1 }).Edellisenlemmanperusteellaonoltavamyös W=sp({x 0,...,x l 1 }),mikämerkitsee,ettäjoukot{x 0,...,x k 1 }ja{x 0,...,x l 1 }ovat molemmataliavaruudenwkantoja.siisk=dim(w)=l. l 1 ), 3. Ulkotulo 3.1. Määritelmä. a) Olkoonk Z + sekäolkootl 0,...L k 1 jamr-moduleita,missäkerroinrengason vaihdannainen. Kuvausf:L 0 L k 1 MonR-multilineaarinen,joskaikilla s {0,...,k 1},x i L i,kuni {0,...,k 1},y s L s jaa Rpätee ja f(x 0,...,x s 1,ax s,x s+1,...,x k 1 )=af(x 0,...,x k 1 ) f(x 0,...,x s 1,x s +y s,x s+1,...,x k 1 )=f(x 0,...,x k 1 ) +f(x 0,...,x s 1,y s,x s+1,...,x k 1 ). b) OlkootLjaMR-moduleita.Multilineaarikuvausg:L k Monalternoiva,josg( x)= 0aina,josjonossa x L k esiintyytoistoa.kuvausgonantisymmetrinen,josg( x)= g( x )aina,josjonon x L k saajonosta x L k vaihtamallakaksikoordinaattia keskenään, ts. jos x = (x 0,...,x k 1 )ja x = (x 0,...,x k 1 ), niin joillakin s,t {0,...,k 1},s tpäteex s =x tjax t =x s,kuntaasx i=x i,kuni {0,...,k 1}{s,t} Lemma. Olkoonf:L 0 L k 1 Mmultilineaarinenkuvaus,missämodulien L 0,ldots,L k 1 jamkerroinrengasonvaihdannainen.tällöin: a) Jos f on alternoiva, niin se on myös antisymmetrinen. b) Joskerroinrengasonkunta(K,+, ),jonkakarakteristikaeiolekaksi,jaf onantisymmetrinen, niin f on alternoiva. 50

9 Todistus.Tarkastellaaneriindeksejäs,t {0,...,k 1}.Kiinnitetääntarkastelunajaksi x i L i,kuni {0,...,k 1}jai s,i t,sekämerkitään f:l s L t, f(x s,x t )=f(x 0,...,x k 1 ). Koska f on multilineaarinen, f on bilineaarinen. a) Josf onalternoiva,niinkaikillax s L s jax t L t pätee 0= f(x s +x t,x s +x t )= f(x s,x s )+ f(x s,x t )+ f(x t,x s )+ f(x t,x t ) = 0+ f(x s,x t )+ f(x t,x s )+ 0= f(x s,x t )+ f(x t,x s ), joten f(x s,x t )= f(x t,x s ). Siis f onalternoiva,jakoskatämäpäteeindekseistäs jatsekäparametreistäx i (i {0,...,k 1}{s,t})riippumatta,myösf on. b) Oletetaan, että f on antisymmetrinen ja modulien kerroinrengas onkin kunta, jonka karakteristikaeiolekaksi.tällöinantisymmetrisyydestäseuraajokaisellex L s f(x,x)= f(x,x) 2 f(x,x)=0 f(x,x)=0. Siis f on antisymmetrisyys, mistä seuraa kuvauksen f antisymmetrisyys. TensorituloL 0 L k 1 määritelläänyleisessätapauksessavastaavastikuintapauksessa k = 2. Myös tensoritulojen universaalisuuslause yleistyy Lause. Olkoonk Z + sekäolkootl 0,...L k 1 jamr-moduleita,missäkerroinrengasonvaihdannainen.olkoonedelleenf:l 0 L k 1 MR-multilineaarikuvaus. TällöinonolemassayksikäsitteinenR-lineaarikuvausA:L 0 L k 1 M,jollef =A. L 0 L k 1 L 0 L k 1 P f multilin Määritelmä. Olkoon(K, +, ) kunta, jonka karakteristika ei ole kaksi. Olkoon V K-vektoriavaruusjak Z +.Asetetaana:V k V V }{{}, kkpl Alin. a(x 0,...,x k 1 )= σ S k ε σ (x σ(0) x σ(k 1) ), missäs k onjoukon{0,,k 1}permutaatioidenjoukkojaε(σ)onpermutaationσetumerkki.Merkitääna(x 0,...,x k 1 )=x 0 x k 1 jakutsutaantätävektorienx 0,...,x k 1 ulkotuloksi. Avaruuden V k:s ulkopotenssi on vastaavasti tensoritulon V V aliavaruus k V =sp({x0 x k 1 x 0,...,x k 1 M}). 51

10 Huomautus. Joissakin lähteissä ulkopotenssi määritellään tekijäavaruutena. Tällöin ulkopotenssiksivalitaanv V/S,missäSonsopivatensoritulonaliavaruus, jonka voi osoittaa olevan tässä esitetyn ulkopotenssin komplementti. Lopputulos olisi siis joka tapauksessa isomorfinen tässä esitetyn kanssa. 3.5.Lause. Edellisessämääritelmässäesiintyväkuvausa:V k V V }{{}, kkpl a(x 0,...,x k 1 )= σ S k ε σ (x σ(0) x σ(k 1) ), on(määritelmän oletuksin) alternoiva Lause. (Ulkotulojen universaalisuusominaisuus) Olkoot U ja V K-vektoriavaruuksia, missäkerroinkunnankarakteristikaeiolekaksi,sekäk Z +. TällöinjokaistaalternoivaaK-multilineaarikuvaustavastaasellainenK-lineaarikuvausA: k U V,ettäkaikille x 0,...,x k 1 Upäteef(x 0,...,x k 1 )=A(x 0 x k 1 ). k U Alin. V U k f alt Lause. OlkoonV K-vektoriavaruus,missächar(K,+, ) 2,k Z + jaev:n kanta.tällöinulkopotenssilla k V onkanta {u I I E, I =k}, missäjokaisellai E, I =ktensoriu I onu I =x 0 x k 1 jollakinjoukoniluettelolla I={x 0,...,x k 1 }. 3.8.Seuraus. Josdim(V)=n,niindim( k V)= ( n k) Määritelmä. OlkoonA:V V,K-lineaarikuvaus,missächar(K,+, ) 2. Oletetaanlisäksi,ettän=dim(V) Z +. KuvauksenAdeterminanttiontällöinvakioa K, jokasaadaanseuraavasti:kuvausb:v n n V, B(x 0,...,x k 1 )=A(x 0 )... A(x k 1 ) on multilineaarinen ja alternoiva, joten ulkotulojen universaalisuusominaisuuden perusteella onolemassakuvausd: n V n V,jolle A(x 0 ) A(x n 1 )=B(x 0,...,x n 1 )=D(x 0 x n 1 ). Koskadim( n V)= ( n n) =1,niinjollakinvakiollaa KpäteeD(u)=au,kunu n V 0.TämävakioaonsiiskuvauksenAdeterminanttidet(A),ts.skalaari,jolle A(x 0 ) A(X n 1 )=det(a)(x 0... x n 1 ) kaikillax 0,...,x n 1 V. 52