PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA"

Toivo Salonen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke

2 KURSSIN LOPPUOSAN AIKATAULU Viikko 11 Ma Ti Ke To Pe luento, 7. luento 4. laskari, r1 Viikko laskari, r2 kertausluento Pitkäperjantai luento, 5. laskari, r1 Viikko pääsiäisp. 9. luento Viikko Arviointiviikko - ei opetusta luento, 6. laskari, r Viikko laskari, r2 11. luento Viikko laskari, r2 kertausluento Tentti ma 9.5. klo , sali U4 (U142). 2

3 AIHEET 1. Ekvipartitioteoreema 2. Partitiofunktio 3. Ideaalikaasun statistinen fysiikka 3

4 OSAAMISTAVOITTEET 1. Osaat selittää mikä on ekvipartitioteoreema, ja millä rajoituksilla se on voimassa. 2. Ymmärrät statistisen fysiikan perusperiaatteen: systeemin termodynaamisia ominaisuuksia voidaan laskea sen partitiofunktiosta liikkeelle lähtien. 3. Osaat laskea ideaalikaasun partitiofunktion, ja johtaa siitä ideaalikaasun termodynaamisia ominaisuuksia (esim. kaasun tilanyhtälön). 4

5 EKVIPARTITIOTEOREEMA B&B luku 19 5

6 KERTAUS: BOLTZMANNIN TEKIJÄ Mikrotilan (systeemi 2, kanoninen ensemble) todennäköisyys: P (E i ) / e E i k B T 1 lämpövaranto/kylpy Normitus kaikkien mikrotilojen avulla: 2 P (E i )= e Ei k B T Pj e E j k B T T Partitiofunktio Z 6

7 EKVIPARTITIOTEOREEMA Tarkastellan systeemiä, jonka energia riippuu kvadraattisesti jatkuvasta muuttujasta, : x E = x 2 P (x) = e x 2 R 1 1 e x 2 dx, hei = Z 1 1 EP(x)dx = R 1 1 x2 e R 1 1 e x 2 dx x 2 dx = 1 2 = 1 2 k BT Kuva: Blundell & Blundell Jos energia on summa :stä riippumattomasta kvadraattisesta termistä, E = P n i=1 ix 2 i, nx nx hei = i hx 2 1 i i = 2 k BT = n 2 k BT Ei riipu :sta! i=1 i=1 n 7

8 EKVIPARTITIOTEOREEMA Jos klassisen systeemin energia on summa :stä kvadraattisesta (neliöllisestä) vapausasteesta, ja systeemi on kontaktissa lämpövarannon/kylvyn kanssa lämpötilassa T, systeemin keskimääräinen energia on n 1 2 k BT. n Esimerkkejä: yksiatominen kaasu: E = E trans = 1 2 mv2 x mv2 y mv2 z atomilla on 3 kvadraattista vapausastetta. Siispä hei =3 1 2 k BT = 3 2 k BT, eli diatominen kaasu: edellisten lisäksi kaksi rotaatioenergiaan liittyvää vapausastetta: E = E trans + E rot = E trans + L2 1 2I 1 + L2 2 2I 2 )hei =5 1 2 k BT = 5 2 k BT Kuva: Blundell & Blundell 8

9 EKVIPARTITIOTEOREEMA Jos klassisen systeemin energia on summa :stä kvadraattisesta (neliöllisestä) vapausasteesta, ja systeemi on kontaktissa lämpövarannon/kylvyn kanssa lämpötilassa T, systeemin keskimääräinen energia on n 1 2 k BT. Esimerkkejä: Diatomisen kaasun värähtelyt: edellisten lisäksi kaksi vapausastetta liittyen atomien välisen sidoksen (mallinnetaan jousella) värähtelyihin: Kahden atomin suhteellisen liikkeen kineettinen energia Sidoksen potentiaalienergia n Kuva: Blundell & Blundell 9

10 EKVIPARTITIOTEOREEMA Jos klassisen systeemin energia on summa :stä kvadraattisesta (neliöllisestä) vapausasteesta, ja systeemi on kontaktissa lämpövarannon/kylvyn kanssa lämpötilassa T, systeemin keskimääräinen energia on n 1 2 k BT. Esimerkkejä: Kiinteän aineen lämpökapasiteetti: N atomia kuutiohilassa, kullakin 6 lähinaapuria, 3N jousta, kullakin kaksi vapausastetta (potentiaalienergia ja atomien suhteellisen liikkeen kineettinen energia) ) 6N vapausastetta )hei =3Nk B T n =3Nk B. Kuva: Blundell & Blundell 10

11 EKVIPARTITIOTEOREEMA Tehtävä: pohdi ekvipartitioteoreeman taustalla olevia oletuksia. Lämpötila vs kvantittuneet energiatasot? Miksi tässä ollaan kiinnostuneita neliöllisistä vapausasteista? Eiväthän kaikki potentiaalit ole kvadraattisia? 11

12 EKVIPARTITIOTEOREEMA Tehtävä: pohdi ekvipartitioteoreeman taustalla olevia oletuksia. Lämpötila vs kvantittuneet energiatasot? Miksi tässä ollaan kiinnostuneita neliöllisistä vapausasteista? Eiväthän kaikki potentiaalit ole kvadraattisia? Edellä oletettiin että on jatkuva. Tämä on hyvä approksimaatio jos on paljon suurempi kuin kvantittuneiden energiatasojen energiaero. Kun, systeemi on minimissä. Tämän ympäristössä potentiaali voidaan kehittää Taylorin sarjaksi: Kuva: Blundell & Blundell Laskareissa esimerkki jossa em. ei voimassa. 12

13 PARTITIOFUNKTIO B&B luku 20 13

14 PARTITIOFUNKTIO Kanoninen partitiofunktio (engl. partition function), tilasumma (saksaksi Zustandssumme) : Z = X e E 1 lämpövaranto/ -kylpy Jos systeemillä on tilaa joiden energia on, voidaan myös kirjoittaa X Z = g e g E. 2 T Statistisen fysiikan ongelmien ratkaisu pähkinänkuoressa: 1. Kirjoita systeemin partitiofunktio Z. 2. Käytä tiettyjä standardimenetelmiä (= ota Z:sta logaritmeja ja derivaattoja) saadaksesi tarvitsemasi tilafunktiot. 14

15 PARTITIOFUNKTION KIRJOITTAMINEN Systeemin energiatasot E Z = X e E Esimerkkejä: kaksitilasysteemi: energia joko /2 tai + /2. Siten Z = X E e =e /2 +e /2 = 2 cosh 2 harmoninen oskillaattori: energiatasot X ~! i=0 (n + 1 )~!,n=0, 1, 2,... 2 Z = X E e =e e n ~! = e 1 2 ~! 1 e ~! n=0 spin-degeneraatio (fermionit, esim. elektronit, spin s = ± 1 ): 2 Z = X 1X E g e E =2 e i. Lisää esimerkkejä: B&B sivu

16 TILAFUNKTIOT PARTITIOFUNKTIOSTA Lähtökohta: P i = e E i P j e E j = e Ei Z Sisäenergia U : U = X i E i P i = P i E ie Z E Z ln Kuva: Blundell & Blundell Entropia : X X S = k B P i ln P i = k B P i ( E i +lnz) = U T + k B ln Z i i Helmholtzin vapaaenergia F : F = U TS = k B T ln Z Z =e 16 F

17 TILAFUNKTIOT PARTITIOFUNKTIOSTA U ja F Z:n avulla (edellinen kalvo) S = @V T = U F T Kuva: Blundell & Blundell H = U + pv G = F + pv = H C V TS 17 systeemin tilafunktiot B&B taulukko 20.1, s. 213.

18 ESIMERKKI: KAKSITILASYSTEEMI Z = 2 cosh 2 Kuvat: Blundell & Blundell U ln = 2 tanh 2 F = k B T ln Z S = U T kirjassa painovirhe! F = tanh 2T 2 apple +k B ln 2 cosh 2 18

19 ESIMERKKI: KAKSITILASYSTEEMI Kuva: Blundell & Blundell Schottky-anomalia" Tehtävä: selitä kvalitatiivisesti mistä käyrän muoto johtuu. Lisää esimerkkejä: B&B sivut

20 PARTITIOFUNKTIOIDEN YHDISTÄMINEN Jos systeemin energia koostuu erillisistä riippumattomista kontribuutioista (jotka voidaan erottaa toisistaan), on systeemin partitiofunktio osasysteemien partitiofunktioiden tulo: 1 lämpövaranto/kylpy 2 a b T Esim. diatomisella molekyylillä on translaatioon, rotaatioon ja värähtelyihin liittyviä vapausasteita:. Tähän palataan myöhemmin. 20

21 IDEAALIKAASU B&B luku 21 21

22 HIUKKANEN LAATIKOSSA Schrödingerin yhtälön ratkaisu 3-ulotteiselle hiukkanen laatikossa -ongelmalle: Aaltovektori Normitus laatikon reunoilla Tässä lähdetään liikkeelle kvanttimekaniikasta. Laskareissa yritetään tehdä vastaava lasku klassisesti. 22

23 TILATIHEYS sallitut tilat ovat pisteitä -avaruudessa, yhtä tilaa vastaava tilavuus on. Tarkastellaan aaltovektoreita joiden magnitudi on välillä. Näitä vastaa tilavuus. Tilojen lukumäärä välillä saadaan näiden tilavuuksien suhteena: Funktio on tilatiheys, jota voidaan käyttää muuttamaan summa integraaliksi: Kuva: Blundell & Blundell 23

24 YHDEN HIUKKASEN PARTITIOFUNKTIO Lasketaan yhden hiukkasen partitiofunktio integraalilla: korvaamalla summa Tämä voidaan kirjoittaa kompaktimmin muodossa missä on ns. terminen de Broglie -aallonpituus, Kuvaa kuinka laajalle hiukkasen aaltopaketti on levinnyt tyypillisessä termisessä liikkeessä. Esim. happimolekyylille NTP-olosuhteissa. 24

25 IDENTTISET HIUKKASET Miten yhden hiukkasen partitiofunktiosta saadaan :n hiukkasen partitiofunktio? Edellä: jos systeemin energia koostuu :stä riippumattomasta kontribuutiosta,. Tämä kuitenkin pätee vain jos osasysteemit (hiukkaset) voidaan erottaa toisistaan (esim. kukin niistä on lokalisoitunut tiettyyn paikkaan, tms.). Jos hiukkaset ovat identtisiä, on lisäksi jaettava pois niiden permutaatiodegeneraatio. Jos saavutettavissa olevien tilojen lkm on paljon suurempi kuin ( n = N/V 3 th, kaikki hiukkaset eri tiloissa), saadaan 25

26 IDEAALIKAASUN TERMODYNAMIIKKA Stirling 3 vapausastetta/hiukkanen (vrt. ekvipartitioteoreema) V e F = k B T ln Z N = Nk B T ln = Nk B T [ln(n 3 th) 1] N 3 th ideaalikaasun tilanyhtälö! 26

27 IDEAALIKAASUN ENTROPIA Ideaalikaasun entropia identtisille hiukkasille (Sackur-Tetroden yhtälö): S = U F = 3 apple V e 5 T 2 Nk B + Nk B ln = Nk B ln(n 3 2 th). N 3 th Gibbsin paradoksi : ekstensiivinen! Kahden eri kaasun sekoittuminen on irreversiibeli prosessi, S>0. Identtisten kaasujen sekoittuminen on reversiibeli prosessi, S =0. Kuva: Blundell & Blundell Tarkemmin laskareissa. 27

28 DIATOMINEN IDEAALIKAASU Yhden diatomisen molekyylin partitiofunktio: :n molekyylin kaasulle: termodynamiikka. Tehtävä: vertaa tulosta ekvipartitioteoreemaan. huoneenlämmössä translaatio+rotaatio. Kuva: Blundell & Blundell 28

Samankaltaiset tiedostot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen