2. Arvon ja hyödyn mittaaminen

Transkriptio

1 2. Arvon ja hyödyn mittaaminen 1

2 2 Arvon ja hyödyn mittaaminen 2.1 Miksi tarvitsemme arvofunktiota? Arvofunktio on preferenssien (mieltymysten) matemaattinen kuvaus. Arvofunktio kuvaa päätöskriteeriä vastaavan attribuutin (=mitta-asteikko) numeeriselle arvoasteikolle siten, että sen perusteella voidaan tehdä päätelmiä päätöksentekijän preferensseistä. mitta-asteikko x arvoasteikko x) Usean kriteerin tapauksessa arvofunktioita voidaan yhdistää yhdeksi (kokonais)arvoksi, joita vertailemalla päätösehdotus voidaan esittää (luento 3). HUOM terminologia: arvo hyöty varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo (value) arvo, jonka koemme riskitilanteissa so. silloin, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa (utility) 2

3 2.2 Arvoteoriaa Mitä matemaattisia oletuksia arvofunktion muodostaminen edellyttää? Seuraavat preferenssirelaatiota koskevat matemaattiset aksioomat luonnehtivat rationaalista päätöksentekijää. Merkintöjä: a > b a on parempi kuin b a ~ b a ja b ovat yhtä hyviä a >~ b a on parempi tai yhtä hyvä kuin b (merkit yleensä allekkain) Oletetaan, että päätöksentekijän preferenssit noudattavat seuraavia aksioomia vaihtoehtojoukossa A: 1. Vertailtavuus a, b A a >~ b tai b >~ a tai (a >~ b ja b >~ a) kaikkien vaihtoehtojen välillä on preferenssi 2. Transitiivisuus a, b,c A a >~ b ja b >~ c a >~ c so. sykliset preferenssit eivät ole mahdollisia vrt. rahanpumppaamisargumentti (money pump): jos olisi a > b > c > a ja käsillä olisi vaihtoehto a, niin päätöksentekijä olisi valmis maksamaan a:n vaihtamisesta c:hen, sitten c:n vaihtamisesta b:hen ja lopulta edelleen a:han varma loputon tappiokierre 3

4 3. Indifferenssiehto a, b A: a ~ b a >~ b ja b >~ a määrittelee ~ -relaation >~ - relaation avulla 4. Vahva preferenssiehto a, b A: a > b (b >~ a) määrittelee > -relaation >~ - relaation avulla Aksioomat 1&2 toteuttavaa preferenssirelaatiota kutsutaan heikoksi järjestykseksi (weak order). Lause: Olkoon preferenssirelaatio >~ heikko järjestys äärellisessä vaihtoehtojoukossa A= {a 1,..., a n }. Tällöin on olemassa ordinaalinen arvofunktio.): A R s.e. a i ) a j ) a i >~ a j. Tod. Konstruoidaan ehdot täyttävä arvofunktio määrittelemällä A (a i ) = {a k A a i >~ a k } ja a i ) = A (a i ), missä A (a i ) on joukon A (a i ) alkioiden lukumäärä. : Olkoon a i >~ a j. Jos a k A (a j ), niin määritelmän mukaan a j >~ a k. Transitiivisuuden nojalla a j >~ a k, joten a k A (a i ). Pätee siis A (a j ) A (a i ), joten a i ) a j ). : Olkoon a i ) a j ) ja vastaoletuksena ( a i >~ a j ). Vertailtavuuden takia a j >~a i. Jos a k A (a i ), niin a i >~ a k ja transitiivisuuden nojalla a j >~ a i >~ a k, joten a k A (a j ) ja A (a i ) A (a j ), mistä seuraa a j ) a i ). Yo. epäyhtälöt yhdistämällä saadaan a j ) = a i ), mikä 4

5 yhdessä A (a i ) A (a j ) kanssa implikoi A (a i ) = A (a j ). Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että a j A (a i ), a j A (a j ). m.o.t. Ordinaalinen arvofunktio ei kuitenkaan kerro preferenssien voimakkuudesta eli siitä, miten paljon mieluisampi joku vaihtoehto on kuin joku toinen. af c bf c so. siitä, että a ja b ovat molemmat c:tä mieluisampia ei voida päätellä, kumpi niistä on mieluisampi. Ordinaalinen arvofunktio tukee vain vaihtoehtojen keskinäistä paremmuutta koskevia vertailuja. Sen perusteella ei voida tehdä päätelmiä, jotka perustuvat aritmeettisiin operaatioihin, joissa on käytetty ordinaalisen arvofunktion antamia lukuarvoja. esim. olkoon b ~ e > a > c ~d tällöin funktiot.), v (.) 5 = b) = e) > a) = 3 ½ > c) = d) = 1 ja 29 = v (b) = v (e) > v (a) = 0 > v (c) = v (d) = -1 ovat molemmat ao. relaation ordinaalisia esityksiä v:tä käytettäessä a:n arvo on keskiarvoa suurempi (Ave(.)) = ( ½ )/5 = 3.1), v :a käytettäessä taas keskiarvoa pienempi (Ave(v (.)) = 11.2 > v (a)). a? b 5

6 Ordinaalinen arvofunktio ei siis ole yksikäsitteinen. Lause: Olkoon >~ heikko järjestys. Tällöin ordinaaliset arvofunktiot.) ja w(.) esittävät molemmat relaatiota >~ jos ja vain jos on olemassa aidosti kasvava funktio φ: R R s.e. [ a) ] a. w( a) = φ A Tod. Olkoot.) ja w(.) ordinaalisia arvofunktiota, jotka esittävät relaatiota >~. Määritellään funktio φ(.) s.e. [ ( a) ] w( a). φ v = Määrittelyjoukossa A) = {x a A s.e. x = a)} funktio φ(.) on aidosti kasvava, sillä jos a) > b) a > b w(a) > w(b), niin φ(a)) > φ(b)). Joukon A) ulkopuolella φ(.) voidaan määritellä esimerkiksi lineaarisella interpoloinnilla.. Jos φ(.) on aidosti kasvava ja.) on relaatiota >~ kuvaava ordinaalinen arvofunktio, af ~ b va ( ) vb ( ) φ [ va ( )] φ[ vb ( )] wa ( ) wb ( ), joten w(.) on niin ikään ordinaalinen arvofunktio. m.o.t. 6

7 Vaihtoehtojen välisten preferenssierojen merkittävyyttä kuvaavan kardinaalisen arvo-funktion muodostaminen edellyttää lisäehtoja. nämä ehdot voivat perustua joko (1) kahden tai useamman attribuutin käyttöön (jolloin muita attribuutteja voidaan käyttää mittatikkuna Luento 3) tai (2) preferenssirelaatioon, joka koskee vaihtoehtojen välisiä vaihtoja. Olkoon päätöksentekijällä preferenssirelaatio >~ d, ( difference ) joka koskee vaihtoehtojen välisistä vaihdoista aiheutuvia arvoeroja: so. (a b) >~ d (d c) arvoero vaihtoehdon b vaihtaminen a:han on merkittävämpi muutos kuin c:n vaihtaminen d:hen. 7

8 Lause Päätöksentekijän preferenssejä >~ ja >~ d voidaan kuvata kardinaalisella arvofunktiolla v: A R s.e. a ( a f ~ b b) f ~ a) a) d ( c b) b) d ) c) d ) jos relaatiot >~ ja >~ d toteuttavat seuraavat ehdot: 1. >~ ja >~ d ovat heikkoja järjestyksiä 2. a,b,c A: a >~b (a b) >~ d (c c) 3. a,b,c,d A: (a b) >~ d (c d) (d c) >~ d (b a) 4. a,b,c,d,e,f A: (a b) >~ d (d e) & (b c) >~ d (e f) (a c) >~ d (d f) 5. b,c,d A a A s.e. (a b) >~ d (c d) sekä b,c A a A s.e. (b a) >~ d (a c) 6. Arkimediaanisuusoletus: joukko {a n b > a n missä (a n a n-1 ) >~ d (a 1 a 0 )} on äärellinen. (Yo. aksioomia ei tarvitse osata). 8

9 Kardinaalinen arvofunktio on riippumaton positiivista affiineista muunnoksista. Ts. arvofunktiot.) ja v (.) asettavat vaihtoehdot samaan järjestykseen, kun v'( a) = αva ( ) + β, α > 0 Kardinaalisen arvofunktion antamien arvojen suhdevertailut eivät ole mielekkäitä Esim. olkoon suhde a)/b) tunnettu ja olkoon v () = α ) + β jokin toinen arvofunktio. Tällöin suhde v'( a) αva ( ) = v'( b) αvb ( ) + + β β voi saada mielivaltaisia arvoja riippuen siitä, miten vakiot α ja β valitaan Tilanteesta riippuen arvo skaalataan sopivasti, useimmiten joko välille 0-1 tai Jollei toisin puhuta niin jatkossa sovimme a a 0 * ) = 0 ) = 1 missä a 0 on tarkasteltavista vaihtoehdoista huonoin ja a* paras. 9

10 2.3 Arvofunktion määrittäminen Esimerkki palkkatasoon liittyvä arvo (kesätyö). vaihtoehdot (A) 900 /kk (B) 1200 /kk (C) 1700 /kk. Arvofunktion määrittämisen vaiheet: 1. Vaihteluvälin rajaaminen (a 0 - a*) 2. Arvofunktion määrittäminen vaihteluvälillä (tai mieluummin vähän laajemmalla välillä). 3. Tarkistukset antaako arvofunktio järkevän oloisia tuloksia? Huonoin tilanne 600 ja paras tilanne 2000 eli attribuutin vaihteluväli on Suorat menetelmät Suora vaihtoehtojen arviointi (rating) Pyydetään päätöksentekijää liittämään kuhunkin vaihtoehtoon sitä vastaava arvo. " A:n arvo, B:n ja C:n " 10

11 Luokka-arviointi Jaetaan vaihteluväli luokkiin (intervalleihin tms.) ja pyydetään päätöksentekijää liittämään kuhunkin ao. luokkaa vastaava arvo : arvo, : arvo, : arvo, arvo, > 1600 : arvo." Suhdearviointi Yksi vaihtoehto valitaan vertailukohdaksi ja muiden arvoja verrataan tähän on kertaa mieluisampi kuin 900. kysymys positiivisten arvoerojen 1000) 600) ja 900) 600) vertailusta Suora funktiomuodon valinta Valitaan sopiva funktioluokka ja estimoidaan sen parametrit. Esim. Arvofunktio palkan suhteen on muotoa x) = a log (x+b), missä x on palkkataso. Vakiot a ja b määrätään reuna-ehtojen 600) = 0, 2000) = 1 avulla. 11

12 2.3.2 Indifferenssimenetelmät Samanarvoisten erojen sarja Määritellään tasokorotuksia siten, että kustakin tasokorotuksesta saatava arvon lisäys on yhtä suuri. Miten paljon palkkaa tulisi saada 800 :n päälle, jotta tämä lisäys olisi arvoltaan yhtä suuri kuin palkan korotus 600 :sta 800 :n?" Puolitusmenetelmä Valitaan koko vaihteluväliltä taso siten, että muutos alarajalta tälle tasolle antaa yhtä suuren arvon lisäyksen kuin muutos kyseiseltä tasolta ylärajalle. "Arvioi väliltä sellainen palkkataso, joka on arvoltaan välin puolivälissä: ts. muutos 600 :sta ko. tasolle ja tästä edelleen 2000 :oon ovat yhtä arvokkaita." Tämän jälkeen jatketaan tarkastelemalla näin syntyviä osavälejä puolittamalla ne samaan tapaan edelleen. Arvofunktion määrittämistekniikoita on useita, näistä yksikään ei ole paras tarvitaan tarkistuskysymyksiä. Vaikeasti mitattavissa oleville attribuuteille voi olla mahdoton määritellä arvofunktion muotoa jokaisessa pisteessä (vrt. suurkaupunkien viihtyisyys) vaihtoehtojen arvot voidaan estimoida suoraan. 12