KIMMOKERROIN. 1 Johdanto. Perustietoa työstä

Transkriptio

1 Ouun yopo Fykan opeuaboraoro Fykan aboraoroyö ja 1 KIMMOKERROIN Perueoa yöä Mhn fykan oa-aueeeen yö yy? Kneden aneden mekankkaan. Mä öyyy yöä arvava eora? Kakk mauuoen käeyä arvava eora on eey yöohjeea. Läeoa öyyy emerkk krjaa Young H. D. ja Freedman R. A.: Unvery Phyc. Mä eeoja yöä arvaan? Sekä abouuen eä uheeen vrheen arvon kokonadfferenaameneemän avua ja 15 ykkön äänö oeeaan unneuk. Tuoen käeyä käyeään penmmän neöumman uoran ovua. Mä maaea yöä käyeään? Mekankan perumauväneä e mermaa, yönömaa, mkromerruuva ja ekunkeoa, joden käyön oeeaan oevan nue uua. Manen eou yöä ehdään? Työä ehdään avanomanen eou, johon öyyy ohjea emerkk kurn noppavua. Seou ehdään eokoneea ja jo LaTex ohjema on nue uu, on uoeavaa käyää ä. 1 Johdano Mona fykan öä ajaeaan kappaeden oevan jäykkä, joon ne äyävä muoona emerkk kkueaan koko ajan. Todee kappaee vova kuenkn apua, venyä, purua kokoon a väänyä nhn vakuaven vomen vakuukea. Jo kappaee ova äyn eaa, ne paauuva akuperäeen muooona vomen akaua vakuamaa. Kun muodonmuuoka aheuava voma ova rävän penä, odee kappaee vodaan ajaea eak. Kappaeden eauuden mana käyeään eaa keroma. Nää keroma on kuekn kappaeee oemaa kome: Kmmokerron, joka kuvaa kappaeen kykyä vauaa venymä a kokoon puruma, ukukerron, joka maee kappaeen kyvyn vauaa ä keräven ekkauvomen aheuama muodonmuuoka ja purukerron, joka kuvaa kappaeen kykyä vauaa hen aae kaka uunna vakuaven vomen ynnyämä muuoka. Eae kerome määreään kappaeeeen kohduvan jännyken ja kappaeen uheeeen muodonmuuoken uheena,. =. (1) Yhäö (1) on nmeään Hooken ak ja nä enyvä jänny arkoaa kappaeeeen vakuavan voman uuruua pna-aaykkköä koh. Jännyken ykkkö on en N/m e Pa.

2 KIMMOKERROIN Suheenen muodonmuuo aa aadaan eve emerkk akemaa kappaeen uheenen venymä e puuden muuoken uhde akuperäeen puueen. Suheeea muodonmuuokea e en oe ykkköä, joen eaen keromen ykkök aadaan myö Pa. Tää yöä määrä eräken kmmokeromen venyämää ohua eräankaa eruurua voma ja määrämää angan uheee venymä veojännyken funkona. Määrä myö eräken ukukeromen käyämää hyväk keroheura, jonka anka on erää. Maamaa heurn jakonajan, angan puuden ja hakajan ekä heurkappaeen maan ja hakajan aa akeuk angan ukukeromen. Kmmokeromen ja ukukeromen avua vo akea myö eräangan ohenemen ja venymen uhdea kuvaavan Poonn uvun. Läk määrä unemaoman mean kmmokeromen avuamaa moemma päään ueua, meaa vameua ohua auvaa. Maamaa auvan apumaa kuormavan voman uuruuden funkona pyy akemaan auvamaeraan kmmokeromen, kun äk maa auvan hakajan ja ukpeden vämakan.

3 Ouun yopo Fykan opeuaboraoro Fykan aboraoroyö ja Teora.1 Eae kerome Tarkaeaan ähemmn kappaeden eran muodonmuuokn yvä eaa keroma. Kuva 1 a) ja b) kappaeeeen vakuaa akenuunanen, pokkpna-aaa vaaan kohuora voma, joka pyrk venyämään (a) a puramaan kokoon (b) kappaea /1/. Jo kappae e ku ämän voman vakuukea, äyyy vaakkaeen pnaan vakuaa kuvan 1 mukae yhä uur, mua vaakkauunanen voma. Kmmokerron Y, joa kuuaan myö nmä kmmomoduu a Youngn moduu, kuvaa kappaeen kykyä vauaa venymä a kokoon puruma kuvan 1 apaea aneea. Hooken aka oveamaa kmmokerron Y aadaan veojännyken ja uheeen puuden muuoken avua euraava joa Y = = F A, () F on kappaeeeen kohduvan, pnaa vaaan kohuoran voman uuruu, A on kappaeen pokkpna-aa, on kappaeen akuperänen puu ja on puuden muuo. a) b) Kuva 1. Kappaeen pnaa vaaan kohuora voma pyrk a) venyämään ja b) puramaan kokoon kappaea.

4 KIMMOKERROIN Kuvaa kappaeen yäpnaan vakuaa pnnan uunanen voma, jonka uuruu on F ja aapnaan vakuaa yhä uur, mua vaakkauunanen voma. Lukukerron a ekkaukerron S kuvaa kappaeen kykyä vauaa kuvan apaen ekkauvomen aheuama muodonmuuoka. Kappaeen yäpnnan pokkeama uheea aapnaan on ny x, joon Hooken ak anaa ukukeromek S kero- e ekkaujännyken ja kerovenyyken avua auuuna F S = = x A, () h joa F on kappaeen pnnan uunaen voman uuruu, A on kappaeen vaakauoran pnnan aa ja h on kappaeen korkeu kuvan mukae. Kuva. Kappaeen pnnan uunanen ekkauvoma pyrk kerämään kappaea. /1/ Kuvaa arkaeaan annea, joa kappae on upoeu neeeeen. Täön kappaeeeen kohduu kaka uunna yhä uur puruvoma, joka pyrk muuamaan kappaeen avuua. Purukerron kuvaa kappaeen kykyä vauaa puruvomen aheuama muuoka. Hooken an avua purukeromek B aadaan p B =, () V V joa p on kappaeeeen kohduvan paneen muuo, V on kappaeen avuuden muuo ja V on kappaeen akuperänen avuu. Kuva. Kappaeeeen kohduu kaka uunna yhä uur puruvoma. /1/. Poonn uku Kun kappaea pureaan kokoon yhdeä uunnaa, nn e yeenä pyrk aajenemaan puruuunaa vaaan kohuora uunna. Vaaava, jo kappaea venyeään, e pyrk upumaan venyyuunaa vaaan kohuora uunna. Tää möä kuuaan Poonn mök ja en mana käyeään Poonn ukua. Poonn uku määreään

5 Ouun yopo Fykan opeuaboraoro Fykan aboraoroyö ja 5 yee kokoonpurumen aheuaman uheeen uppeuman ja venyyken akaanaaman uheeen venymän uheena. Emerkk ää yöä venyeävä eräanka ohenee venyeään. Jo angan akuperänen puu on ja puuden muuo, nn angan uheenen venymä on =. Jo aa angan akuperänen hakaja on d ja hakajan muuo on d, nn uheenen uppeuma on d = d d. Poonn uvuk aaan ää apaukea d =. Yeenä anne on eanen, eä odee kappaee Poonn uku vodaan määrää van kokeee. Jo ukavan kappaeen ajaeaan koouvan orooppea ja äyn eaa maeraaa, nn Poonn uvun ja eaen kerronen Y, S ja B vää rppuvuuka vodaan arkaea myö eoreee. Emerkk ää yöä käyöä oevaa ohua venyeävää ja kerreävää eräankaa vodaan pää pokan orooppena. Täön vodaan ajaea, eä anka on ekä orooppnen eä äyn eanen aoa, joa venyy ja kero apahuva. Täaen maeraan Poonn uvue on vomaa yhäö joa Y ja S ova maeraan kmmokerron ja ukukerron. // = Y S 1, (5). Sauvan avuu N/ N/ Kuvaa vaakaaoon aeeua, moemma pää ueua ohua ja aapakua meaauvaa kuormeaan kekeä pyyuoraa vomaa, jonka uuruu on F. Täön auva apuu, koka en er kerroke evä veny yhä pajon. Vodaan ooaa (kao yöohjeen opua oeva Le 1), eä kuvan aneea auvan apuma y kuormavan voman kohdaa, ukpeden puoea vää on // F y =, (6) Y joa on ukpeden vämaka, Y m on auvamaeraan kmmokerron ja d on auvan hakaja. y F Kuva. Sauvan avuu. md

6 6 KIMMOKERROIN Mauaeo ja mauke.1 Langan venyy Teräken kmmokerron määreään rpuamaa eräankaan erpanoa punnuka ja maamaa kunkn punnuken aheuama angan puuden muuo. Venyymauken peraae on en amanapanen kun kuvaa 1 a). Homogeenen, aapakun angan pokkpna-aa on A ja puu on. Langan pähn vakuava aken uunae pokkpna-aaa vaaan kohuora yhä uure mua vaakkauunae voma. Teräken kmmokerron Y aadaan en eve edeä anneua yhäöä (). Kuva 5. Langan venyyaeo. a) Lanka, punnuene ja perupunnu. b) Pekevy, vaupa ja mkromerruuv. Akuaneea ankaan on rpueu perupunnu, joka pää angan uorana. Säädä evy vaakauorak pyörämää mkromerruuva en, eä vaupan puken makupa on kekeä pukea ja ue vaaava mkromerruuvn ukema 1. Rpua en ankaan,5 kg:n punnuke yk kerraaan ja äädä jokaen kohdaa makupa kekee vaupan pukea ja ue kuakn maaa vaaava mkromern ukema 1. Tämän jäkeen poa punnuke yk kerraaan ja havae amaa a- mermaa ja hakaja vaa mkromerruuvn ukema. Maa opuk angan puu D mkromerruuva. Teräangan venyymauka käyeävää aeo on kuvaa 5. Tukava anka on knney pekevyyn, jonka päää on vevaaka e vaupa. Levyn oen pään aapuoea on mkromerruuv, joa ääämää evy aadaan vaupaa apuna käyäen vaakauorak.. Keroheur Teräangan ukukeromen määrykeä käyeään kuvaa 6 eeyä keroheura, joa ohuen angan varaan rpueu mk maanen kekko, jonka äde on r k, pääee kerymään

7 Ouun yopo Fykan opeuaboraoro Fykan aboraoroyö ja 7 angan ympär. Kekon keryeä kuman verran angan kaua kukevan aken uheen, anka kohdaa kekkoon väänömomenn = c, mä c on angan omnauuka rppuva vako e angan drekomomen //. Soveamaa pyörmen peruaka = I, joa Ik on kekon haumomen en maakekpeen kaua kukevan aken uheen ja on kumakhyvyy, keroheurn keyhäök aadaan k d d c = c = Ik = Ik + =. mk d d Ik Kuva 6. Keroheur. Tämä vodaan rakaa emerkk kokeemaa yreä ( ) = co( + ), joa on heurn ampud e uurn pokkeama aapanoaemaa, on kumaaajuu ja on vahekuma. Kun anneu yre joeaan heurn keyhäöön, aadaan uo c I + = =. k c I k rk Keroheurn jakonajak T aadaan T I = = k, c 1 joa Ik on kekon haumomen aken uheen e I k = mkrk. Jo joamme heahduajan auekkeeeen veä yöohjeen opua oevaa eeä johdeun angan drekomomenn auekkeen SR c =, joa S on angan ukukerron, R on angan äde ja L L on angan puu, aamme keroheurn heahduajae yhäön T I =. (7) k L SR Krjaa yö kekon maa mk vrherajoneen ja maa kekon hakaja d k yönömaa. L mermaa ja Mua määrää myö yönöman ukemaarkkuu. Maa angan puu määrä puuden mauarkkuu. Keroheurn eräanka on amanaa kun venymämauen anka, joen vo käyää angan hakajana venymämauka määreyä hakajaa vrherajoneen. Pane en heur heaheemaan kerämää ankaa kekon avua nn, eä ampud e uurn kerokuma on pen. Maa 1 peräkkäen heahduken heahduaka 1 keraa. (Huom.! Jo oe ehny Heur -yön aemmn, vo hauea käyää eä maama keroheurn heahduakoja myö ää yöä.)

8 8 KIMMOKERROIN. Tavuumauke Sauvan avuumauka käyeään kuvaa 7 näkyvää aeoa. Vae ohjaajan anama vahoehdoa ukava auva ja yrä pääeä, mä maeraaa e on. Aea auva eneeä oeven vaakauoren eren varaan, joon e on ueu moemma päään. Pane auvan varaan rpun ja kao, eä rpun on oken mkromerruuvn kohdaa. Kerrä en mkromerruuva en, eä mapää kkuu aapän, kunne e oaa knn rpumeen. Täön mkromerruuvn kykey vrapr ukeuuu ja merkkvao yyy. Havae enmmänen mkromerruuvn ukema 1. Kuva 7. Tavuumauen aeo. Lää auvaa kuormavaa panoa aeamaa rpumeen 1 g:n punnuka yk kerraaan. Kerrä mkromerruuva nn, eä merkkvao yyy ja havae vaaava mkromerruuvn ukema 1. Toa en mauke pänvaaea järjeykeä poamaa yk punnu kerraaan ja havaemaa ukema. Tää vaheea mkromerruuvn mapäää on yyä kerää yöpän ennen punnuken poama, joa auvaa e avuea mkromerruuvn avua. Maa opuk auvan ukpeden e vaakauoren eren vämaka mermaa ja auvan hakaja d mkromerruva ja määrä myö näden uureden mauarkkuude.

9 Ouun yopo Fykan opeuaboraoro Fykan aboraoroyö ja 9 Mauuoen käey.1 Teräken kmmokerron Määrä enn kuakn maukea käyeyä maaa F m g = =, A D m vaaava veojänny yhäöä joa g on maan veovoman aheuama puoamkhyvyy 9,8 m/. Lake en maoja vaaava mkromerruuvn ukema havaujen ukemen 1 ja kekarvona. Muua ukema angan puuden muuokk vähenämää kekarvoa perupunnukea 1 havaujen ukemen kekarvo. Kuakn maaa vaaava uheee puuden muuoke e uheee venymä aa ny jakamaa puuden muuoke angan puudea,. =. Eä aadu, ) pepar koordnaaoa, ova nhn penmmän neöumman uora ja ( määrä en kumakerron vrherajoneen. Krjoamaa yhäö () muooon 1 = Y huomaaan, eä aadun uoran u kukea orgon kaua ja en kumakerron on kmmokeromen kääneuku. Määrä eräken kmmokerron Y ja en abouuen ja uheeen vrheen yäraja uoran kumakeromen ja en vrherajan avua. Lä eoukee myö prämä kuvaaja, edo ovukea ekä käyämä akenaauuko.. Teräken ukukerron ja Poonn uku Määrä keroheurn jakonaka akemaa 1 havaun heahduajan kekarvo ja muuamaa e yhden heahduken ajak. Heahduajan vrheen aa eve emää uurmman pokkeaman kekarvoa. Lake eräken ukukerron ja en uheeen vrheen yäraja ennakkoehävä 1 ja johama yhäöä. Määrä myö ukukeromen abouuen vrheen yäraja. Lake en eräken Poonn uku yhäöä (5).. Tunemaoman mean kmmokerron Mean kmmokeromen määrämek ake enn kuakn maaa M vaaava mkromern ukema kahden havaun ukeman kekarvona. Sauvan apuma y aa eve vähenämää ukemen kekarvoa pekän rpumen kana havaujen ukemen kekarvon. Kun oeaan huomoon, eä avuumauka kuormava voma on F M g, vomme krjoaa yhäön (6) muooon g =. y M Y md =

10 1 KIMMOKERROIN Eä auvan apuma y maan M funkona ( M, y) koordnaaoa, ova pen penmmän neöumman uora ja määrä uoran kumakerron vrherajoneen. Lake auvamaeraan kmmokerron Y m uoran kumakeromen ( kk = y / M ) avua ja muden yä anneua yhäöä enyven vakoden ja maujen auvan omnauuken avua. Määrä myö kmmokeromen uheeen ja abouuen vrheen yäraja käyämää hyväk ennakkoehävää johamaa yhäöä. Lä kuvaaja, edo ovukea ekä akenaauuko eoukeen. 5 Loppuuoke Imoa oppuuokna eräken kmmokerron ja ukukerron vrherajoneen ekä eräken Poonn uku. Veraa uoka krjauuarvohn. Anna avuumauken oppuuokena mean kmmokerron vrherajoneen ja yrä pääeä en ja käyämä auvan ukonäön ja mahdoen muden omnauuken avua, mä maeraaa auva o. Krjauu /1/ Young H. D. ja Freedman R. A.: Unvery Phyc, Pearon Educaon Inc., San Francco CA, 8. // Sephenon, R. J.: Mechanc and propere of maer, Wey & Son, New Jerey, // Vaar, J.: Fykan aboraoroyö, Gummeru, Jyväkyä, 199. // Aono M. ja Fnn E. J.: Fundamena Unvery Phyc, Voume 1, Addon-Weey, Readng, Maachue, 198.

11 Ouun yopo Fykan opeuaboraoro Fykan aboraoroyö ja 11 LIITE 1: SAUVAN TAIVUTUS Aa oeva kuva L1.1 a) eää annea, joa aapakua, moemma pää ueua auvaa kuormeaan kekeä. Täön auva apuu, koka auvan er kerroke evä veny yhä pajon. Sauvan kekeä on n. neuraakerro, joka e veny ekä puru kokoon. Neuraakerroken aapuoea oeva kerroke venyvä, kun aa en yäpuoea oeva kerroke puruva kokoon. Jo apuma oeeaan penk, vodaan maeran dovoma pää harmonna ja oeaa, eä neuraakerro kukee auvan pokkekkauken panopeen kaua. Kuvaa L 1.1 b) auvan apumaa on oeu, joa arkaeava kohee uva evemmn en. Oeeaan, eä auva on apunu kaaree, jonka kaarevuuäde on R. Tarkaeaan kerroa DD, joka on eäyydeä e neuraakerrokea CC. Kerroken DD peneen pnaakoon da vakuaa pnnan uunanen jännyvoma, jonka uuruu on df. Kerroken DD uheenen venymä aadaan jakamaa kerroken uuden puuden ( R + e) ja akuperäen puuden uo R erou akuperäeä puudea. Soveamaa Hooken aka (1) aadaan Y m = df da = ( R + e) R R RdF Yme df = da, eda R joa Y m on auvamaeraan kmmokerron. a) N/ y N/ x F dy dx b) R C A C D D e Kuva L1.1 a) Moemma päään ueun auvan avuu b) Neuraakerro CC ekä venyny kerro DD. da Jo momenpeek vaaan kerroken CC pe ( x, y), pna-akoon da vakuavan jännyvoman df momen d F on yä johdeun yhäön perueea Yme = edf = da. R d F

12 1 KIMMOKERROIN Sauvan pokkekkaukeen vakuaven jännyvomen momenk F aadaan nän oen joa I A = e Yme Ym Ym F = d F da e da I = = A R R =, R da on auvan pokkekkaupnnan pnahaumomen pnnan panopeen kaua kukevan aken uheen. Yä oevaa momenn F yhäöä huomaaan, eä kmmokeromen Ym eve aamek o unneava myö kaarevuuäde R. Vodaan ooaa, eä jo kuvan L1.1 mukaea aneea apuma ova penä, kaarevuuäeen kääneuvue on vomaa 1 R d y dx. Nän oen jännyvomen momenk aadaan d y F = Y I A. m dx Kun auva on aaea aapanoa, jännyvomen momen ja ukoen vomen momen kumoava oena. Kuvaa L1.1 a) nähdään, eä ukoen vomen momen F peen ( x, y) uheen on N N F F = ( + x) Fx + ( x) = Fx = F( x), koka ukoen vomen aapanoehdon mukaan N = F. Taapanoaneea aadaan d y F + Ym I F( x) F = A =. dx Inegromaa ämä kak keraa aadaan yhäö y = ( Fx Nx C1x C), I Y 6 A m joa C1 ja C ova vakoa. Näden vakoden arvo aadaan eve, koka auvan apuma pää on noa. Jo arkaeaan auvan okeaa päää, joa x =, aamme ehdoa dy = ja y = dx funkona on vakok C1 = F ja C = F. Nän oen auvan apuma y pakan x y = ( Fx Fx + F x F ). I Y A m Työä maamme apumaa auvan kekkohdaa, joa x =. Tää kohdaa aamme auvan apumak

13 Ouun yopo Fykan opeuaboraoro Fykan aboraoroyö ja 1 F y = -. 8I Y A m Lakeaan veä auvan pnahaumomen I A = e da auvan panopeen kaua kukevan aken uheen. Sjoeaan auva koordnaaoon aa oevan kuvan L1. mukae. Vaaan pna-akok da kuvan mukanen ukae, joon da= rdrd. Kuvaa nähdään myö, eä e = r n. Pnahaumomenk aadaan e da r x I A = = r r r n rdrd = 1 1 r ( ) rdr = r = r r 1 6 ( d 1 1 ( co ) d) rdr. Kuva L1. Sauvan pnahaumomenn määry. Kun joamme apuman yhäöön pnahaumomenn apumae yhäön (6) mukaen uoken I A = 1 d, aamme maavae 6 6F F y = - =. 8d d Ym Ym

14 1 KIMMOKERROIN LIITE : LANGAN DIREKTIOMOMENTTI Tarkaeaan aa oevan kuvan L.1 mukaa aapakua ja homogeena ankaa, jonka puu on L ja jonka pokkekkaupna on R äenen ympyrä. Kuvaa L.1 a) angan päähän vakuaa pokkekkaupnnan uunanen ekkauvoma, jonka uuruu on F. Voman vakuukea ankaa keryy kuman verran en, eä kuvaa näkyvä pe B ryy kohaan C. Vaaan angan pokkekkaupnnaa pna-akok kuvan L.1 b) mukae r-äenen ympyrärenga, jonka pakuu on dr. Tähän pna-akoon vakuava ekkaujänny d on en d = df A = df (rdr). F a) b) Langan apaukea kerovenyyä vodaan eää kuvaa L.1 a) näkyvän kuman = r L avua. Työohjeen yhäön () perueea ukukeromek S aadaan df (rdr) LdF = = =. r L r dr S Voma F kohdaa arkaeavaan pna-akoon väänömomenn d = rdf. Sjoamaa ähän yä oevaa ukukeromen auekkeea rakau voma df väänömomenk aadaan B C F R L Kuva L.1. a) Langan kerymnen. b) Vau pna-ako. r dr R d d Sr dr =, L joa okean puoen eumerkk johuu ä, eä väänömomen vauaa kuman kavua. Koko ankaan vakuava väänömomen on = R Sr L SR dr = L = c. Yä oevaa yhäöä nähdään, eä angan drekomomen c on SR c =. L