Trigonometriset funk4ot

Transkriptio

1 Trigonometriset funk4ot Suorakulmainen kolmio sin() = a c cos() = b c hypotenuusa c tan() = sin() cos() = a b kulma b katee= a katee= a = c sin() b = c cos() cot() = cos() sin() = b a Trigonometriset funk4ot Suorakulmainen kolmio hypotenuusa c kulma b katee= Pythagoraan lause: a + b = c (c sin()) + (c cos()) = c c sin () + c cos () = c sin () + cos () = a katee= Huomaa merkintä: sin () = (sin())

2 Miten sin, cos, tan määritellään muilla kulmilla? Yksikköympyrä (ympyrä jonka säde on ) (0,) (cos, sin ) (-,0) cos sin (,0) (0,- ) Radiaanit ja asteet Kehän pituus on πr Yksikköympyrä, R = Kehän pituus π Kulman suuruus radiaaneina vastaa kulman sisään jäävän yksikköympyrän kaaren pituuua Koko ympyrä = 360 = π radiaania

3 Nega4iviset kulmat cos(- ) = cos() sin(- ) = - sin() (0,) (cos, sin ) (-,0) - sin (,0) (0,- ) (cos, - sin ) Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot 3

4 0 Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = sin(0) = 0 4

5 π/ Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 sin(0) = 0 sin(π/) = 5

6 π Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 cos(π)=- sin(0) = 0 sin(π/) = sin(π)=0 6

7 3π/ Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 cos(π)=- sin(0) = 0 sin(π/) = sin(π)=0 cos(3π/) = 0 sin(3π/) = - 7

8 π Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 cos(π)=- sin(0) = 0 sin(π/) = sin(π)=0 cos(3π/) = 0 sin(3π/) = - cos(π) = sin(π) = 0 8

9 Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 cos(π)=- sin(0) = 0 sin(π/) = sin(π)=0 cos(3π/) = 0 cos(π) = sin(3π/) = - sin(π) = 0. Trigonometristen funk4oiden jaksollisuus π 9

10 Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville?. Erikoiskulmien arvot cos(0) = cos(π/) = 0 cos(π)=- sin(0) = 0 sin(π/) = sin(π)=0 cos(3π/) = 0 cos(π) = sin(3π/) = - sin(π) = 0. Trigonometristen funk4oiden jaksollisuus Sinin ja kosinin arvot toistuvat π välein. Sanotaan euä sinin ja kosinin jakso on π. sin(x+π) = sin(x) cos(x+π) = cos(x) yleisemmin: sin(x ± N π) = sin(x) cos(x ± N π) = cos(x) Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 3. π radiaanin (80 asteen) siirron vaikutus 0

11 + π

12 + π Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 3. π radiaanin (80 asteen) siirron vaikutus cos(x + π) = - cos x sin(x + π) = - sin x 4. Tangen4n jaksollisuus Tangen4n arvot toistuu π:n välein eli tangen4n jakso on π. tan(x+π) = sin(x + π)/cos(x + π) = - sin x /- cos x = sin x/cos x = tan x huom! tan(x) määri0elemätön kun cos(x) = 0, eli x = π/ + nπ 5. Trigonometristen funk4oiden etumerkit Välillä [0, π/]? Välillä [π/, π]? Välillä [π, 3π/]? Välillä [3π/, π]?

13 Mitkä funk4ot (sin, cos, tan) ovat posi4ivisia? [0, π/] kaikki Mitkä funk4ot (sin, cos, tan) ovat posi4ivisia? [π/, π] sin 3

14 Mitkä funk4ot (sin, cos, tan) ovat posi4ivisia? tan [π, 3π/] Mitkä funk4ot (sin, cos, tan) ovat posi4ivisia? cos [3π/, π] 4

15 Trigonometriset käänteisfunk4ot Sinin käänteisfunk4o on arkus- sini, merkitään arcsin, laskimissa usein sin - (x) Määritelmä: jos sin(x) = a, x = arcsin(a) Vastaavas4 arkus- kosini, arkus- tange= Jos cos(x) = a, x =arccos(a) Jos tan(x) = a, x = arctan(a) Geometrinen tulkinta suorakulmaisesta kolmiosta tai yksikköympyrästä: sin, cos, tan - funk4ot ouavat kulman ja antavat kolmion tahkojen suhteita tai yksikköympyrän koordinaaueja, arkus- funk4ot taas ouavat tahkojen suhteita tai yks. ympyrän koordinaaueja ja antavat kulman. Trigonometriset käänteisfunk4ot Arkusfunk4ot voi a) päätellä (ainakin helpoille kulmille kuten π/, π jne) b) löytää taulukkokirjasta c) laskea laskimella (opetelkaa tämä, ja opetelkaa myös vaihtamaan asteiden & radiaanien välillä!) Arkusfunk4ot yhdessä yksikköympyrän kansssa hyödyllisiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Esim: sin x = 0.5, mikä on x? Vastaus: x = arcsin (0.5) = rad = π/6 rad = 30 asteua. Mu5a: myös π - arcsin (0.5) =.68 rad eli 50 asteua toteuuaa yhtälön! (tarkemmin o0aen x = π/6 + N π rad tai 5π/6 + N π rad, eli 30 + N 360 tai 50 + N 360 aste0a, missä N on mikä tahansa kokonaisluku) 5

16 Sin(x) = 0.5 Sin(x) = 0.5 Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Sini ja kosini on määritelty kaikilla kulman x arvoilla π sin(x) 6

17 Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Sini ja kosini on määritelty kaikilla kulman x arvoilla π cos(x) Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Tangen= määritelty kun cos(x) 0 π tan(x) 7

18 Vielä trigonometrisistä yhtälöistä Yleisen ratkaisun etsiminen trigonometrisissä yhtälöissä edellyuää sekä jaksollisuuden euä ylimääräisten ratkaisujen huomioimista. Jos sin(x)=y, niin myös sin(π- x) = y Jos cos(x) = y, niin myös cos(- x) = cos (π- x) = y Tämä jäi toissavuonna sin(x) = 0.5 esimerkistä luennoitsijaltakin huomaama0a, kiitos Joonas Mäkiselle virheen löytämisestä! Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Usein fysikaalisia reunaehtoja voidaan käyuää rajoiuamaan kulma jollekin välille, esim [0,π], tai ollaan kiinnostuneita pienimmästä yhtälön toteuuavasta kulmasta. Jollei näin ole, arkusfunk4ot tuouavat ääreuömän määrän mahdollisia ratkaisuja: sin (x) = a x = arcsin(a) ± N π (N Z) tai x = π arcsin(a) ± N π cos (x) = a x = arccos(a) ± N π tai x = arccos(a) ± N π tan (x) = a x = arctan(a) ± N π (N Z) (N Z) (N Z) (N Z) 8

19 Trigonometrisia kaavoja Näitä löytyy taulukkokirjoista kymmeniä ellei satoja... Joidenkin johto varsin helppo läh4en Pythagoraan lauseesta tai yksikköympyrästä, usein myös Eulerin kaava: e i = cos() + isin() EriUäin hyödyllinen ja "voimakas" kaava joka kytkee yhteen eksponen=funk4ot ja trigonometrian. Eulerin kaavalla voi helpos4 johtaa esim. tupla- ja puolikulmien lausekkeet. Tästä lisää kompleksilukujen yhteydessä. Kaavoja tarvitaan trigonometristen yhtälöjen ratkaisemisessa ja etenkin trigonometristen funk4oiden differen4aalilaskennan yhteydessä. Ei tarvitse opetella kaavojen johtoja tai muistaa niitä ulkoa, muua kaavojen käyuö on osauava! Etenkin trigonometriassa (ja myös fysiikassa) esiintyy paljon kreikkalaisia kirjaimia. Näitä ei toki tarvitse osata tai opetella, muua ohessa lista joua pysyue kärryillä mistä koukerosta milloinkin puhutaan! 9

20 The six trigonometric functions: opp y hyp r sin = = csc = = = hyp r opp y sin IGONOMETRIC IDENTITIES hyp r = = opp y sin hyp r = = adj x cos adj opp x = = y tan tan = tan = cos = cos sin + cos = + = csc = ( cos ) + = ± + cos adj cos = = hyp x r hyp r sec = = = adj x cos opp y sin adj x Sum Trigonometrisia tan and = product = = kaavoja: formulas: summa cot = & erotus = = adj x cos opp y tan sin acos b = [sin( a + b ) + sin ( a b )] Sum or difference cos a sin b = [sin of ( two a + bangles: ) sin ( a b )] sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b cos( aa± cos b) b= = cos[cos a cos ( ab+ bsin ) + acos sin( ab b )] sin a sin b = tan[cos a ± ( tana b ) cos ( a + b )] tan( a ± b) = tan a tana + b a b sin a + sin b = sin( ) cos( ) tan Double angle formulas: a+ b a tan b sin a sin b = cos( = ) sin( ) tan sin The cos six a= trigonometric a b a b + sin cos bcos = functions: + cos cos cos = cos opp y sin = = TRIGONOMETRIC IDENTITIES ( ) ( ) hyp r csc ( ) ( ) = = = hyp r cos = sin a+ b cos a b cosa hyp cosbr = sin sin opp y sin = cos sin adj x Sum and sin aco 9/5/3 cos a s Sum and product formulas: sin acos b = [sin( a + b ) + sin ( cos a sin b = [sin ( a + b ) sin ( Pythagorean Identities: sin cos cos = = sec + = Law of cosines: a = = b = c cos a cos b [cos ( a b ) co hyp r = adj x+ cos bc cos A tan + = sec cot + = csc sin a sin b = [cos ( a b ) cos where opp A is ythe sinangle of a adj scalene x tan = = = cot = = = triangle opposite a+ b adj x cos opp y tan sin a + sin b = Reductio sin( ) cos( Half angle side a. formulas: sin( Radian sin = measure: ( cos ) 8. p40 = π a+ b Sum or difference of two angles: sin a sin b = cos( cos radians = ) ( sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b ( cos ) + a+ b cos a + cosb = cos( sin( ) cos ) cos( a ± b) = cos a cosb sin a sin b 80 a+ b cosa cosb = sin Trigonometrisia kaavoja: tupla- ja puolikulmat 80 tan( ( ) sin tan a ± tan b tan( a ± b) = cos tan atan b radian = + cos sin = ± cos = ± π Law of cosines: sin a = x tan Double angle formulas: tan = where A is the angle of a Reduction formulas: tan side a. = sin cos sin cos cos tan = ± = = = cos Complex sin( ) = sin cos( ) = cos Radian measure: 8. p40 = cos = sin + cos + cos = cos sin cos sin cos sin( ) = sin( π) cos( ) cos( π) Pythagorean Identities: sin + cos = r tan( + ) = sectan cot tan( + = csc ) = tan( π) TRIGONOMETRIC Reduction VALUES formulas: FOR COMM Half π π sin angle x = formulas: cos( x ± ) ± cos x = sin( x ± ) sin( ) = sin co Degrees Radians sin cos tan cos sin a c a s sin a sin a cos a cosa Law of c where side a Radian m sin os Complex = ( cos ) Numbers: cos = ( cos ) ± e + = cos sin( ) = sin( π) co j ± j sin tan( ) = tan ta 30 cosπ/6 / + cos 3 / 3 / 3 cos j ( j 45 e + e ) sin ( π sin = ± cos = ± j j sin x = cos( x ± ) ± = π/4 / j e e ) / cos sin cos tan 60 = ± π/3 = = Complex Numbers: 3 / / 3 GONOMETRIC VALUES FOR COMMON + 90 ANGLES cos + cos sin cos j ( j = e + e ) π/ 0 Undefined cos 0 π/3 3 / -/ - tan cot TRIGONOMETRIC sec VALUES csc FOR COMMON ANGLES Degrees Undefined Radians 3π/4 sin / cos Undefined - tan / cot - se Undefined 3 / 3 / π/6 3 / 3 / 3-3 / - 3 / 3 30 π/6 / 3 / 3 / 3 3 / π/4 π / 0 / π/6 -/ - 3 / 0 3 / π/3 / 3 3 / / 3 3 / 3 3 / 90 π/ 0 Undefined 5 05π/4 Undefined - 0 Undefined 0 Und / - / 0 π/3 3 / -/ / 3 -/ π/43 4π/3 / 3 / - 3 -/ - / -/ 3 / π/6 / - - / π/ / / 3 - Undefined 3-80 π 0-0 Undefined = + +

21 sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b cos( a ± b) = cos a cosb sin a sin b tan a ± tan b tan( a ± b) = tan a tan b tan Double angle formulas: tan = tan sin = sincos cos = cos cos = sin cos = cos sin Pythagorean Identities: sin + cos = tan + = sec cot + = csc Half angle formulas: sin = ( cos ) cos = ( cos ) + cos + cos sin = ± cos = ± tan = ± Trigonometristen funk4oiden Complex Numbers: arvoja e ± j = cos sin cos = = + cos + cos sin a+ b ( ) a b ( ) a+ b ( ) a b ( ) cos a + cosb = cos cos cosa cosb = sin sin Law of cosines: a = b + c bc cos A where A is the angle of a scalene triangle opposite side a. Radian measure: 8. p40 = π radians radian = π Reduction formulas: sin( ) = sin cos( ) = cos sin( ) = sin( π) cos( ) = cos( π) tan( ) = tan tan( ) = tan( π) π π sin x = cos( x ± ) ± cos x = sin( x ± ) cos ± j sin cos j ( j = + j e e ) sin ( j = j e e ) 9/5/3 TRIGONOMETRIC VALUES FOR COMMON ANGLES Degrees Radians sin cos tan cot sec csc Undefined Undefined 30 π/6 / 3 / 3 / / 3 45 π/4 / / 60 π/3 3 / / 3 3 / 3 3 / 3 90 π/ 0 Undefined 0 Undefined 0 π/3 3 / -/ / 3-3 / π/4 / - / π/6 / - 3 / - 3 / / 3 80 π 0-0 Undefined - Undefined 0 7π/6 -/ - 3 / 3 / / 3-5 5π/4 - / - / π/3-3 / -/ 3 3 / / π/ - 0 Undefined 0 Undefined π/3-3 / / / π/4 - / / π/6 -/ 3 / - 3 / / π 0 0 Undefined Undefined Tom Penick tomzap@eden.com /0/000 Trigonometriset funk4ot kemiassa Ehkä vähän harvinaisempia kuin logaritmi- ja eksponen=funk4ot, muua kuitenkin hyödyllisiä Tarvitaan minkä tahansa jaksollisen (säännöllises4 toistuvan) ilmiön kuvaamiseen Oskilloivat reak4ot Kaikenlaiset värähtelyt ja aaltoliikkeet Tarvitaan kuvaamaan sähkömagnee=sen säteilyn kulkua ja vuorovaikutusta Lähes kaikki eri spektroskopian muodot... Kvan=kemiassa he4 alusta alkaen, esim. vetyatomin aaltofunk4ossa on myös trigonometrisia funk4oita

22 Esimerkki: klassinen harmoninen värähtelijä toteuuaa liikeyhtälön F = ma kx = m d x dt jonka ratkaisu on x(t) = Acos(ωt) missä A = maksimipoikkeama tasapainoasemasta ω = (k/m) = kulmataajuus x(t) on jaksollinen funk4o ja sen jakso on τ = π/ω, sillä x(t +τ) = x(t + π ω ) = Acos(ω(t + π )) = Acos(ωt + π) ω = Acos(ωt) = x(t) Esimerkki: sähkömagnee=nen säteily on sähkö- ja magnee=kentän poikiuaista aaltoliikeuä, jota voidaan kuvata sini- tai kosinifunk4oilla. Esim. sähkökentän suuruuua paikan funk4ona kuvaa aalto ψ (x) = E cos( πx λ ) Tehtävä: tämän aallon edellä kulkee toinen aalto ψ (x) = E cos( πx λ + ϕ) Tutki vahvistavatko vai kumoavatko aallot toisensa, kun a)φ = 0 b)φ = π

23 Ratkaisu a)φ = 0 ψ (x) +ψ (x) = E cos( πx λ ) + E cos(πx λ + 0) = E cos( πx λ ) b) φ = π aallot vahvistavat toisiaan ψ (x) +ψ (x) = E cos( πx λ ) + E cos(πx λ + π) = E cos( πx λ ) E cos(πx λ ) = 0 aallot kumoavat toisensa Esimerkki: Vetyatomin (protoni + elektroni) aaltofunk4o: ψ n,l,m (r,,ϕ) = N n,l,m e r na 0 ( r )L l+ n l ( r )Y m l (,ϕ) na 0 na 0 missä n, m, l ovat kvan=lukuja, N on normitusvakio, a 0 on Bohrin säde, L on Laguerren polynomi ja Y on palloharmoninen funk4o: 3

24 palloharmonisia funk4oita 4