Satunnaismuuttujat ja jakaumat
|
|
- Paavo Niemi
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista, vaan ainostaan tietyn ilmiöön liittyvän suureen arvosta. Esimerkiksi kaupan varastonhallinnassa riittää yksittäisten myyntitapahtumien sijaan yleensä tietää päiväkohtaiset myyntimäärät. Satunnaismuuttuja X on suure, jonka arvo määräytyy satunnaisilmiön toteumasta. Sattuma siis määrää satunnaisilmiön toteuman s S ja toteuma satunnaismuuttujan arvon X(s). Tapahtuma X saa arvon a sisältää ne toteumat s, joille X(s) = a merkitään. Sitä merkitään X = a} = s S : X(s) = a}. Esimerkki 2. (Kaksi noppaa). Kahta nopanheittoa mallintavan satunnaisilmiön toteumia ovat lukuparit s = (s, s 2 ), jossa s i on heiton i tulos. Satunnaisilmiöön liittyviä satunnaismuuttujia ovat esimerkiksi heittotulosten summa N(s) = s + s 2, heittotulosten maksimi M(s) = maxs, s 2 }. Matemaattisesti satunnaismuuttuja on mitallinen funktio X : S S perusjoukosta S arvojoukkoon S. Tässä monisteessa käsitellään pääasiassa lukuarvoisia satunnaismuuttujia. Yleisemmistä satunnaismuuttujista saatetaan arvojoukon tyypin mukaan käyttää allaolevia nimityksiä: Mitallisuus, ks. kohta todo 9
2 Nimitys Arvojoukko Satunnaisluku S R Satunnaisvektori S R n Satunnaismatriisi S R m n Stokastinen prosessi S R T (aikavälin T funktiot) Satunnaiskenttä S R U (alueen U funktiot) Satunnaisverkko S 0, } V V (solmujoukon V verkot) 2.2 Jakauma ja kertymäfunktio Satunnaismuuttujan X jakauma on taulukko tai funktio, josta voidaan määrittää X:n mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet. Esimerkki 2.2 (Kaksi nopanheittoa). Kahta nopanheittoa mallinnetaan perusjoukolla S =,..., } 2, jonka alkioita ovat tulosparit s = (s, s 2 ). Satunnaismuuttujan N(s) = s +s 2 arvojoukko on 2,..., 2}. Tapahtuma N saa arvon on joukko N = } = (, 2), (2, )}. Koska jokainen tulospari on yhtä todennäköinen, on P(N = ) = 2. Samalla tapaa voidaan määrittää muidenkin arvojen todennäköisyydet ja satunnaismuuttujan N jakauma voidaan esittää alla olevana taulukkona. 0.5 x P(N = x) Heittotulosten maksimi on satunnaismuuttuja M(s) = maxs, s 2 }, jonka arvojoukko on,..., }. Tapahtuma M saa arvon on joukko M = } = (, ), (2, ), (, ), (, 2), (, )}. Koska jokainen tulospari on yhtä todennäköinen, on P(M = ) = 5. Vastaavaan tapaan voidaan määrittää muidenkin arvojen todennäköisyydet ja satunnaismuuttujan M jakauma voidaan esittää alla olevana taulukkona. 0. x P(M = x)
3 Kaikkien satunnaismuuttujien jakaumia ei voi esittää taulukon avulla. Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä. Esimerkki 2. (Metron odotusaika). Asemalle saapuu metroja 0 minuutin väliajoin. Asemalle saapuu matkustaja tasaisen satunnaisella ajanhetkellä. Millä todennäköisyydellä seuraavan metron odotusaika on minuuttia? Satunnaismuuttujan X mahdollisia arvoja ovat kaikki reaaliluvut jatkuvalta väliltä [0, 0], kun aikayksikkönä on minuutti. Jakauman määrittämiseksi pilkotaan väli [0,0] sataan osaväliin [0.0, 0.], [0., 0.2],..., [9.9, 0.0]. Symmetrian perusteella ovat tapahtumien X [0.0, 0.],..., X [9.9, 0.0] todennäköisyydet yhtäsuuret, joten P(2.9 X ) = 00. Vastaava päättely voidaan toistaa pilkkomalla väli [0,0] tuhanteen, kymmeneentuhanteen, sataantuhanteen jne. osaväliin. Näin ollen P(2.99 X ) = 0.00, P(2.999 X ) = 0.000, P( X ) = Koska tapahtuma X = sisältyy jokaiseen ylläolevaa muotoa olevaan tapahtumaan, seuraa todennäköisyyden monotonisuuden (.5) perusteella P(X = ) = 0. Tehty havainto yleistyy muotoon P(X = t) = 0 kaikilla reaaliluvuilla t. Tämä silminnähden paradoksaalinen tulos selittyy sillä, että jatkuvan arvojoukon satunnaismuuttujalle X = t tarkoittaa, että X:n arvo on yhtäsuuri kuin t äärettömän monen desimaalin tarkkuudella. Odotusajan jakaumaa ei selvästikään voi esittää yksittäisten arvojen todennäköisyyksiä taulukoimalla, vaan tarvitaan jokin muu tapa. Lukuarvoisen satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään kaavalla F X (t) = P(X t). Esimerkin 2. odotusajan kertymäfunktiolle voidaan johtaa kaava F X (t) =.0 0, t < 0, t 0, 0 t 0, 0.5, t > Kertymäfunktion avulla voi laskea tapahtumien todennäköisyyksiä hyödyntämällä todennäköisyyden yleisiä laskusääntöjä. Esimerkiksi erotuksen laskusäännön (.) mukaan P(s < X t) = P(X t) P(X s) = F X (t) F X (s). 2
4 Vastakohdan (.4) laskusäännöstä seuraa puolestaan P(X > t) = P(X t) = F X (t). Itse asiassa on mahdollista todistaa, että kertymäfunktio määrää lukuarvoisen satunnaismuuttujan jakauman yksikäsitteisesti (ks. liite). Useimmat käytännön laskut on kuitenkin hankala toteuttaa kertymäfunktion avulla. Paremman tavan tarjoavat tiheysfunktiot, joita käsitellään seuraavaksi. 2. Jakauman tiheysfunktio Satunnaismuuttuja X on diskreetti, jos sen todennäköisyydet voidaan esittää funktion f X (x) 0 avulla muodossa P(X A) = f X (x), (2.) x A S X missä joukko S X on numeroituva 2, ja jatkuva, jos sen todennäköisyydet voidaan esittää funktion f X (x) 0 avulla muodossa P(X A) = f X (x) dx. (2.2) Kaavassa (2.) joukko S X sisältää ne arvot, joita X voi saada positiivisella todennäköisyydellä. Funktio f X (x) on X:n jakauman tiheysfunktio. Kuvassa 2. on esitetty todennäköisyyden laskeminen diskreetin ja jatkuvan jakauman tiheysfunktion avulla. A Kuva 2.: Tapahtuman X 5 todennäköisyys lasketaan diskreetille jakaumalle punaisten pylväiden korkeuksien summana (vasen) ja jatkuvalle jakaumalle punaisen alueen pinta-alana (oikea). 2 Joukko on numeroituva, jos sen alkiot voidaan numeroida äärellisenä tai äärettömänä listana. Numeroituvia joukkoja: äärelliset joukot, kokonaisluvut, rationaaliluvut. 22
5 Diskreetin satunnaismuuttujan tiheysfunktio tunnetaan myös termeillä pistemassafunktio, pistetodennäköisyysfunktio ja todennäköisyysfunktio. Jatkuvan jakauman tiheysfunktio ei välttämättä ole jatkuva; tässä yhteydessä jatkuva tarkoittaa, että satunnaismuuttujan arvojoukko on jatkumo. Diskreetin satunnaismuuttujan tiheysfunktio voidaan kirjoittaa muodossa ja se toteuttaa ehdot f X (x) 0 f X (x) = P(X = x) (2.) ja x S X f X (x) =. (2.4) Vastaavasti mikä tahansa ehdot toteuttava (2.4) toteuttava funktio on jonkin diskreetin jakauman tiheysfunktio. Esimerkki 2.4 (Noppa). Yksittäisen nopanheiton tulos X on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) =, x, 2,..., }. Kyseinen jakauma on lukujoukon,..., } diskreetti tasajakauma Esimerkki 2.5 (Poisson-jakauma). Lukujoukossa Z + = x 0,, 2,... } on määritelty funktio f(x) = e. Eksponenttifunktion sarjaesityksen perusteella f(x) toteuttaa eh x! dot (2.4), joten se on erään diskreetin jakauman tiheysfunktio. Kyseinen jakauma on Poisson-jakauma parametrina Jatkuvan jakauman tiheysfunktiota ei voi kirjoittaa muodossa (2.), sillä P(X = x) = x x f X (t) dt = 0. Tämä tarkoittaa sitä, että jatkuvalle satunnaismuuttujalle todennäköisyys saada arvo x äärettömän monen desimaalin tarkkuudella on nolla (vrt. esimerkki 2.). Oikea tapa tulkita jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on todennäköisyys suhteessa reaalilukujen esitystarkkuuteen, nimittäin tiheysfunktion jatkuvuuspisteissä pätee pienillä h > 0 arvoilla f X (x) P(X = x ± h/2), (2.5) h missä merkintä X = x ± h/2 tarkoittaa tapahtumaa x h/2 X x + h/2. Jatkuvan jakauman tiheysfunktio toteuttaa ehdot f X (x) 0 ja ao. lausekkeen vasen puoli = lim h 0 oikea puoli f X (x) dx =, (2.) 2
6 ja vastaavasti mikä tahansa ehdot (2.) toteuttava funktio on jonkin jatkuvan jakauman tiheysfunktio. Jatkuvan jakauman kertymäfunktio määrittyy tiheysfunktiosta kaavalla F X (t) = t f X (s) ds. Vastaavasti F X (t) = f X(t) niissä pisteissä, joissa F X (t) on derivoituva. Esimerkki 2.. Valitaan vakiot a < b ja tarkastellaan funktiota b a f(t) =, a < t < b, /(b a) 0, muuten. Tämä funktio toteuttaa ehdot (2.), joten se on erään jatkuvan jakauman tiheysfunktio. Kyseinen jakauma on lukuvälin [a, b] jatkuva tasajakauma. Sitä vastaava kertymäfunktio saadaan integraalina t 0, t < a, t F (t) = f(s) ds = b a, a t b, 0 a b, t > b. Sijoittamalla tähän a = 0 ja b = 0 havaitaan, että esimerkissä 2. tarkasteltu jakauma on välin [0, 0] jatkuva tasajakauma. Esimerkki 2.7 (Eksponenttijakauma). Valitaan vakio λ > 0 ja tarkastellaan funktiota 0, t < 0, f(t) = λe λt, t 0. 0 Tämä funktio toteuttaa ehdot (2.), joten se on erään jatkuvan jakauman tiheysfunktio. Kyseinen jakauma on eksponenttijakauma parametrina λ. 0 a b F (t) = t f(s) ds = 0, t < 0, e λt, t Monen satunnaismuuttujan yhteisjakauma Samaan satunnaisilmiöön liittyvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauma on taulukko tai funktio, josta voidaan määrittää parin (X, Y ) mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet. Esimerkki 2.8 (Kaksi noppaa). Mallinnetaan kahta nopanheittoa kuten esimerkissä 2.2. Merkitään X = ensimmäisen heiton tulos, Y = toisen heiton tulos 24
7 ja M = heittotulosten maksimi. Määritä satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauma. Määritä myös satunnaismuuttujien X ja M yhteisjakauma. Parin (X, Y ) mahdolliset arvot ovat tulojoukon,..., } 2 lukuparit (x, y), jossa x, y,..., }. Koska jokainen tulospari on yhtä todennäköinen, pätee kaikille tulojoukon lukupareille P(X = x, Y = y) =. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauma voidaan esittää myös ao. taulukkona. X Myös parin (X, M) mahdolliset arvot sisältyvät tulojoukkoon,..., } 2, mutta kaikki tulojoukon lukuparit eivät ole yhtä todennäköisiä. Esimerkiksi tapahtumaa X =, M = } vastaa perusjoukon alkiot (, ), (, 2), (, )}, joten P(X =, M = ) =. Samalla tapaa kohta kohdalta päätellen voidaan todeta, että kaikille tulojoukon lukupareille (x, m) pätee, x < m, x P(X = x, M = m) =, x = m, 0, x > m. Satunnaismuuttujien X ja M yhteisjakauma voidaan myös esittää ao. taulukkona. Y M X
8 Usean muuttujan tiheysfunktiot on helpointa kirjoittaa indikaattorifunktioiden avulla. Joukon A indikaattorifunktio määritellään kaavalla, x A, A (x) = 0, muuten, ja sen avulla voidaan yhden muuttujan jakaumien esityskaavat (2.) ja (2.2) kirjoittaa muodossa P(X A) = A (x)f X (x) x S X ja P(X A) = A (x)f X (x) dx. Yhteisjakaumien tiheysfunktiot määritellään ylläolevien kaavojen yleistyksinä. Satunnaismuuttujilla X ja Y on diskreetti yhteisjakauma, niiden todennäköisyydet voidaan esittää funktion f X,Y (x, y) 0 avulla muodossa P((X, Y ) A) = A (x, y)f X,Y (x, y), (2.7) y S Y x S X missä joukot S X ja S Y ovat numeroituvia, ja jatkuva yhteisjakauma, jos niiden todennäköisyydet voidaan esittää funktion f X,Y (x, y) 0 avulla muodossa P((X, Y ) A) = A (x, y)f X,Y (x, y) dx dy. (2.8) Ylläolevissa yhtälöissä A tarkoittaa mielivaltaista 4 lukuparien joukkoa. Kaavassa (2.7) joukot S X ja S Y sisältävät ne arvot, joita X ja Y voivat saada positiivisella todennäköisyydellä. Kaavoissa esiintyvä funktio f X,Y (x, y) on yhteisjakauman tiheysfunktio. Samanlaiset määritelmät ovat voimassa myös kolmelle ja useammalle satunnaismuuttujalle. Diskreetin yhteisjakauman tiheysfunktio voidaan kirjoittaa muodossa ja se toteuttaa ehdot f X,Y (x, y) 0 f X,Y (x, y) = P(X = x, Y = y) (2.9) ja x S X y S Y f X,Y (x, y) =. (2.0) Vastaavasti mikä tahansa ehdot toteuttava (2.0) toteuttava funktio on jonkin diskreetin yhteisjakauman tiheysfunktio. Satunnaismuuttujien X ja Y tiheysfunktiot saadaan yhteisjakauman tiheysfunktiosta kaavoilla f X (x) = f X,Y (x, y) (2.) y S Y 4 mitallista 2
9 Y X Yht Yht Taulukko 2.: Kahden nopanheiton tuloksen X ja Y yhteisjakauma. M X Yht Yht Taulukko 2.2: Ensimmäisen nopanheiton X ja nopanheittojen maksimin M yhteisjakauma. ja f Y (y) = x S X f X,Y (x, y). (2.2) Kun diskreetti yhteisjakauma esitetään taulukkona, jonka rivejä ovat X:n arvot ja sarakkeita Y :n arvot, vastaavat f X (x):n arvot taulukon rivisummia ja f Y (y):n arvot taulukon sarakesummina. Esimerkissä 2.8 tarkasteltuja yhteisjakaumia f X,Y (x, y) =, x < m,, f x X,M(x, m) =, x = m, 0, x > m, kuvaavien taulukoiden rivi- ja sarakesummat on esitetty taulukoissa 2. ja 2.2. Taulukon rivisummat vastaavat joukon,..., } tasajakaumaa eli yksittäisen nopanheiton tuloksia. Sarakesummat puolestaan vastaavat esimerkissä 2.2 johdettua kahden nopanheiton maksimin jakaumaa. Tästä syystä X:n ja Y :n jakaumia kutsutaan satunnaisvektorin (X, Y ) reunajakaumiksi ja kaavojen (2.) ja (2.2) määrittämiä funktioita funktion f X,Y (x, y) reunatiheysfunktioiksi. Jatkuvaa yhteisjakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien X ja Y jakaumat ovat jatkuvia, mutta käänteinen tulos ei yleisesti pidä paikkaansa. Jatkuvan yhteisjakauman tiheysfunktiota ei voi kirjoittaa muodossa (2.9). Oikea tapa on 27
10 tulkita f X,Y (x, y) todennäköisyytenä suhteessa reaalilukujen esitystarkkuuteen. Jatkuvan yhteisjakauman tiheysfunktion jatkuvuuspisteissä pätee lausekkeen (2.5) merkinnöin pienillä h > 0 arvoilla f X,Y (x, y) P(X = x ± h/2, Y = y ± h/2) h 2. (2.) Jatkuvan yhteisjakauman tiheysfunktio toteuttaa ehdot f X,Y (x, y) 0 ja f X,Y (x, y) dx dy =, (2.4) ja vastaavasti jokainen ehdot toteuttava (2.) toteuttava funktio on jonkin jatkuvan yhteisjakauman tiheysfunktio. Satunnaismuuttujien X ja Y tiheysfunktiot saadaan yhteisjakauman tiheysfunktiosta kaavoilla f X (x) = f X,Y (x, y) dy (2.5) ja f Y (y) = f X,Y (x, y) dx. (2.) Myös jatkuvassa tapauksessa X:n ja Y :n jakaumia kutsutaan satunnaisvektorin (X, Y ) reunajakaumiksi ja kaavojen (2.5) ja (2.) määrittämiä funktioita funktion f X,Y (x, y) reunatiheysfunktioiksi. Esimerkki 2.9 (Yksikköneliön tasajakauma). Valitaan vakiot a < b ja määritellään kahden muuttujan funktio f X,Y (x, y) =, (b a) 2 0, muuten. kun x (a, b) ja y (a, b), Tämä funktio toteuttaa ehdot (2.), joten se on joidenkin satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio. Integroimalla muuttujan y:n suhteen havaitaan, että f X (x) = f X,Y (x, y) dy =, b a kun x (a, b), 0, muuten. Vastaavasti integroimalla muuttujan x suhteen, f Y (y) = f X,Y (x, y) dx =, b a kun x (a, b), 0, muuten. Tiheysfunktiot f X (x) ja f Y (y) ovat molemmat samoja kuin esimerkissä 2., joten sekä X että Y noudattavat välin [a, b] jatkuvaa tasajakaumaa. 28
11 2.5 Ehdolliset jakaumat Satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma tietyn tapahtuman suhteen on funktio tai taulukko, josta voidaan määrittää tapahtumien X A todennäköisyydet kyseisen tapahtuman toteutuessa. Yleensä ehdollistava tapahtuma määrittyy jonkin toisen satunnaismuuttujan Y kautta ja ehdollisia jakaumia voi käsitellä ehdollisten tiheysfunktioiden avulla. Jos satunnaismuuttujien X ja Y diskreetillä tai jatkuvalla yhteisjakaumalla on tiheysfunktio f X,Y (x, y), niin satunnaismuuttujan Y ehdollinen tiheysfunktio satunnaismuuttujan X suhteen määritellään kaavalla f Y X (y x) = f X,Y (x, y). f X (x) Kun f X (x) = 0, ei ylläolevan kaavan oikea puoli ole määritelty; tällöin myös f Y X (y x) jätetään määrittelemättä. Kun f X (x) > 0, havaitaan diskreetissä tapauksessa kaavan (2.) avulla, että f Y X (y x) 0 ja f Y X (y x) =, y S Y ja jatkuvassa tapauksessa kaavan (2.5) avulla, että f Y X (y x) 0 ja f Y X (y x) dy =. Yhden muuttujan funktio y f Y X (y x) on näin ollen jonkin jakauman tiheysfunktio. Kyseinen jakauma on satunnaismuuttujan Y ehdollinen jakauma tapahtuman X = x suhteen. Ehdollisen jakauman tiheysfunktiolla voi laskea samaan tapaan kuin tavallisillakin tiheysfunktioilla, joissa muuttujaksi valitaan y. Diskreetissä tapauksessa havaitaan ehdollisen todennäköisyyden määritelmää sekä kaavoja (2.) ja (2.9) käyttämällä, että f Y X (y x) = P(Y = y X = x). Jatkuville jakaumille ei ylläoleva tulkinta ole mahdollinen, sillä tapahtumien X = x ja Y = y todennäköisyydet ovat nollia. Yhdistämällä kaavat (2.5) ja (2.) havaitaan, että yhteisjakauman jatkuvuuspisteissä pienillä h > 0 arvoilla pätee P(Y = y ± h/2 X = x ± h/2) f Y X (y x). h 2. Stokastinen riippuvuus ja riippumattomuus Kaksi satunnaismuuttujaa ovat riippumattomat, jos informaatio toisen muuttujan arvosta ei vaikuta toisen muuttujan todennäköisyyksiin. Matemaattisesti 29
12 ilmaistuna satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomat, jos kaikilla A ja B pätee P(X A, Y B) = P(X A)P(Y B). (2.7) Silloin kun tapahtumien X A ja Y B todennäköisyydet poikkeavat nollasta, voidaan ylläoleva yhtälö ilmaista myös muodossa tai P(Y B X A) = P(Y B) P(X A Y B) = P(X A). Useamman satunnaismuuttujan kokoelma puolestaan on riippumaton, jos mille tahansa siitä valituille satunnaismuuttujille X,..., X k ja kaikille A,..., A k pätee P(X A,..., X k A k ) = P(X A ) P(X k A k ). (2.8) Fakta 2.0. Diskreettiä tai jatkuvaa yhteisjakaumaa noudattavat satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomat jos ja vain niiden yhteisjakauman tiheysfunktio voidaan esittää muodossa f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) (2.9) Todistus. Todistetaan ensiksi diskreetti tapaus. (i) Ehdon (2.9) riittävyyden perustelemiseksi palautetaan mieleen tulojoukon määritelmä: joukko A B sisältää ne lukuparit (x, y), joille x A ja y B. Tästä syystä tulojoukon indikaattorifunktio voidaan kirjoittaa muodossa A B (x, y) = A (x) B (y) ja tapahtuma X A ja Y B toteutuu täsmälleen silloin kun, satunnaismuuttujien pari (X, Y ) kuuluu tulojoukkoon A B. Mikäli X:n ja Y :n yhteisjakauman tiheysfunktio voidaan esittää muodossa (2.9), voidaan näin ollen päätellä, että P(X A, Y B) = P((X, Y ) A B) = A B (x, y)f X,Y (x, y) x S X y S Y = A (x) B (y)f X (x)f Y (y) x S X y S ( Y ) ( ) = A (x)f X (x) B (y)f Y (y) x S X y S Y = P(X A)P(Y B). Koska ylläoleva yhtälö pätee kaikille A ja B, ovat X ja Y riippumattomat. 0
13 (ii) Käänteisen seuraussuhteen todistamiseksi tehdään oletus, että X ja Y ovat riippumattomat. Tällöin soveltamalla kaavaa (2.7) yhden alkion joukkoihin A = x} ja B = y} havaitaan, että f X,Y (x, y) = P(X = x, Y = y) = P(X A, Y B) = P(X A)P(Y B) = P(X = x)p(y = y) = f X (x)f Y (y). Jatkuvan yhteisjakauman tapauksessa ehdon (2.9) riittävyys voidaan perustella vaihtamalla summat integraaleiksi kohdassa (i). Käänteisen seuraussuhteen perustelemiseksi voidaan todeta, että jos X ja Y ovat riippumattomat, niin lausekkeen (2.) merkinnöin kaikilla h > 0 pätee P(X = x ± h/2, Y = y ± h/2) = P(X = x ± h/2)p(y = y ± h/2). Jakamalla ylläolevan yhtälön molemmat puolet luvulla h 2 ja ottamalla rajaarvot kun h 0, voidaan tästä päätellä että (2.9) on voimassa funktion f X,Y (x, y) jatkuvuuspisteissä. Esityksen (2.9) perustelu funktion f X,Y (x, y) epäjatkuvuuspisteille vaatii syvällisempiä mittateorian menetelmiä ja se sivuutetaan. Esimerkki 2. (Kaksi noppaa). Merkitään kahden nopanheiton tuloksia satunnaismuuttujilla X ja Y sekä tulosten maksimia satunnaismuuttujalla M = maxx, Y }. Ovatko satunnaismuuttujat X ja Y toisistaan riippuvat vai riippumattomat? Entä X ja M? Intuitiivisesti on selvää, että X ja Y ovat toisistaan riippumattomat. Matemaattisesti tämän voi vahvistaa toteamalla, että yhtälö f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) pitää paikkansa, sillä yhteisjakauman taulukon 2. alkiot vastaavat rivi- ja sarakesummien alkioiden tuloja. Satunnaismuuttujat X ja M puolestaan ovat riippuvat, sillä esimerkiksi P(X = 2 M = ) = 0 poikkeaa arvosta P(X = 2) =, joten f X,M (2, ) f X (2)f M (). Tämän voi havaita myös tarkastelemalla yhteisjakauman taulukosta 2.2 rivin 2 ja sarakkeen alkioita. Esimerkki 2.2 (Satunnaisotanta). Korissa on punaista ja 7 valkoista palloa. Korista poimitaan umpimähkään yksi pallo ja selvitetään sen väri. Sama toimenpide suoritetaan kaksi kertaa peräkkäin ja poimintojen tuloksia merkitään, jos. pallo on punainen, X = 0, muuten,
14 ja X 2 =, jos 2. pallo on punainen 0, muuten. Määritä satunnaismuuttujien X ja X 2 yhteisjakauma. Ylläoleva kysymys on huonosti asetettu, sillä vastaus riippuu siitä, palautetaanko poimittu pallo koriin ennen seuraavan poiminnan suorittamista. Satunnaismuuttujan X todennäköisyydet ovat kuitenkin poimintatavasta huolimatta f X (0) = 7 ja f 0 X () =. Jos poiminnat suoritetaan palauttaen, niin eri poimintakierrosten tulokset ovat toisistaan riippumattomat ja samoin jakautuneet, 0 joten yhteisjakauma voidaan kirjoittaa muodossa f X,X 2 (x, y) = f X (x)f X (y). Jos taas poiminnat suoritetaan palauttamatta, niin tulokset X ja X 2 riippuvat stokastisesti toisistaan eikä ylläolevaa kaavaa voi käyttää. Yleisen tulosäännön mukaan yhteisjakauma voidaan kuitenkin aina kirjoittaa muodossa f X,X 2 (x, y) = f X (x)f X2 X (y x). Riittää siis laskea ehdollisen jakauman f X2 X (y x) arvot. Tapahtuman X = 0 toteutuessa korissa on toisen poimintakierroksen alussa valkoista ja punaista palloa, jolloin todennäköisyys saada valkoinen pallo on P(X 2 = 0 X = 0) = 9. Muut ehdolliset todennäköisyydet päätellään vastaavasti, ja ne on merkitty kuvan 2.2 puukaaviossa lehtisolmuihin johtavien linkkien yhteyteen. Satunnais- Kuva 2.2: Satunnaisotanta ilman palautusta. Tapahtuman X = 0, X 2 = 0} todennäköisyydeksi voidaan kaaviosta lukea f X,X 2 (0, 0) = 7/0 /9 = 42/90. muuttujien yhteisjakaumat voidaan esittää ao. taulukkoina. Palauttaen Palauttamatta X 2 X 0 Yht Yht X 2 X 0 Yht Yht
15 Kummankin taulukon reunajakaumat ovat samat, mikä tarkoittaa että molemmat satunnaismuuttujat X ja X 2 noudattavat jakaumaa f Xi (0) = 7/0 ja f Xi () = /0 poimintatavasta huolimatta. Muuttujien yhteisjakauma sen sijaan riippuu siitä, suoritetaanko poiminnat palauttaen vai palauttamatta. Tämä esimerkki osoittaa, että satunnaismuuttujien jakaumista f X ja f X2 ei voi päätellä niiden yhteisjakaumaa. 2.7 Yhteenveto Allaolevassa taulukossa on tiivistelmä tämän luvun tärkeimmistä käsitteistä. Diskreetti jakauma X:n arvot sisältyvät äärelliseen tai numeroituvasti äärettömään arvojoukkoon S X P(X = x) = f X (x) kaikilla x S X Jakauma määräytyy tiheysfunktiosta kaavalla P(X A) = A (x)f X (x) x S X Jatkuva jakauma X:n arvot sisältyvät ylinumeroituvasti äärettömään reaalilukujen joukkoon P(X = x) = 0 kaikilla reaaliluvuilla x Jakauma määräytyy tiheysfunktiosta kaavalla P(X A) = A (x)f X (x) dx Tiheysfunktion arvot ovat tarkkoja todennäköisyyksiä f X (x) = P(X = x) Tiheysfunktion arvot ovat suhteellisia likiarvoisia todennäköisyyksiä f X (x) h P(X = x ± h/2) Esim. joukon,..., } tasajakauma Esim. välin [0, 0] tasajakauma 2.8 Kommentteja Tämän luvun lopuksi vielä yksi esimerkkitapaus kahden satunnaismuuttujan yhteisjakaumasta, joka ei ole diskreetti eikä jatkuva, vaan niiden sekoite. Esimerkki 2.. Merkitään X = satunnaisesti saapuvan matkustajan odotusaika (min) asemalla, jonne metroja saapuu tasaisin 0 min välein, ja jossa metrot pysähtyvät min ajan. Määritä X:n jakauma. Todennäköisyys että matkustaja asemalle saapuessaan näkee häntä odottavan metron on symmetrian perusteella /0, ja tämän tapahtuman toteutuessa odotusaika on 0. Muussa tapauksessa odotusaika noudattaa jatkuvan välin [0, 9] tasajakaumaa. Satunnaismuuttujan X jakauma ei ole diskreetti, sillä välin [0, 9] lukuja ei voi numeroida listaan, eikä se ole jatkuva, sillä P(X =
16 0) = poikkeaa nollasta. Jakauman kertymäfunktiolle voidaan kuitenkin johtaa lauseke 0 F X (t) = 0 F X 0 (t) F X (t), missä F X0 (t) = 0, t < 0,, t 0, F X (t) = 0, t 0, t 9, 0 < t < 9,, t 9, Tästä nähdään, että X:n jakauma on diskreetin ja jatkuvan jakauman sekoitus: X 0 on diskreetti satunnaismuuttuja, joka varmuudella saa arvon 0 (X:n jakauma ehdolla, että metro on odottamassa asemalla). X on jatkuva satunnaismuuttuja, joka noudattaa välin [0, 9] tasajakaumaa (X:n jakauma ehdolla, että metroa joudutaan odottamaan). Näin ollen X:llä ei ole olemassa tiheysfunktiota tavanomaisessa mielessä. Yleistetyssä mielessä tiheysfunktion voi kuitenkin kirjoittaa viitemitan λ(dx) = δ 0 (dx) + dx suhteen muodossa, x = 0, 0 f(x) = 9, 0 < x < 9, 0, muuten, missä δ 0 on pisteen 0 Diracin mitta. Tällaisia yleisempiä mittoja ei tässä monisteessa käsitellä. Niistä voi lukea lisää esim. kirjoista [Kal02] tai [Wil9]. 4
17 Hakemisto eksponenttijakauma, indikaattorifunktio, 8 jakauma, 2 diskreetti, 4 jatkuva, 4 kertymäfunktio, pistetodennäköisyysfunktio, 5 Poisson-jakauma, 5 reunajakauma diskreetti, 9 jatkuva, 0 reunatiheysfunktio diskreetti, 9 jatkuva, 0 riippumattomat satunnaismuuttujat, 2 satunnaismuuttuja, diskreetti, 4 tasajakauma diskreetti, 5 jatkuva, tiheysfunktio, 4 todennäköisyysfunktio, 5 yhteisjakauma, diskreetti, 8 jatkuva, 8 tiheysfunktio, 8 45
18 Kirjallisuutta [Kal02] Olav Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Springer, second edition, [Wil9] David Williams. Probability with Martingales. Cambridge University Press, 99. 4
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.9 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.93 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 7. helmikuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.96 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 7. syyskuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.990 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. maaliskuuta 209 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotLuku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotOpiskelijanumero Yleisarvio Työläys Hyödyllisyys 12345A K K B U 3 3 3
Luku 6 Datajoukkojen jakaumat, tunnusluvut ja kuvaajat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto. lokakuuta 207 6. Datajoukko ja datakehikko Tässä monisteessa datajoukko tarkoittaa järjestettyä listaa keskenään samantyyppisiä
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotKeskihajonta ja korrelaatio
Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotSatunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotTodennäköisyyden käsite ja laskusäännöt
Luku 1 Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 12. syyskuuta 2017 1.1 Todennäköisyyden käsite Todennäköisyys on tapa kuvailla kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman uskottavuutta,
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012
Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotSatunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat
1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä.
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotSatunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Kahden satunnaismuuttujan summa X + Y on satunnaismuuttuja, jonka jakauma
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotTodennäköisyyden käsite ja laskusäännöt
Luku 1 Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 1.1 Todennäköisyyden käsite Todennäköisyys on tapa kuvailla kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman uskottavuutta,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotBayesläiset tilastolliset mallit
Luku 9 Bayesläiset tilastolliset mallit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. lokakuuta 07 9. Priorijakauma ja posteriorijakauma Bayesläisen tilastollisen päättelyn lähtökohtana on päivittää satunnaisilmiöön
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
Lisätiedot1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMatemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
LisätiedotSatunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat
1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä.
LisätiedotSuotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä
Todennäköisyys 1 Klassinen todennäköisyys: p = Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä Esimerkkejä: Nopan heitto, kolikon heitto Satunnaismuuttuja Tilastollisesti vaihtelevaa
Lisätiedot(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotVarma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
5B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 5B1 Teemu Selänne on
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
LisätiedotGeneroivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat
4A Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat Tämän harjoituksen tavoitteena on edelleen tutustua generoivien funktioiden sovelluksiin ja lisäksi harjoitella ratkaisemaan Poisson- ja eksponenttijakaumiin
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
LisätiedotValintahetket ja pysäytetyt martingaalit
4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotJ. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7
0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti
Lisätiedot3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma
3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot