Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Transkriptio

1 jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. (1) A = B, (2) A B ja B A.

2 jen Jokaista joukossa X määriteltyä predikaattia p(x) vastaa X :n osajoukko { x X p(x) }, mutta yhtä joukkoa voi vastata useampi predikaatti. Jos joukko muodostetaan predikaatin avulla, niin predikaatin määrittelyjoukko on tiedettävä.

3 jen -opilliset tarkastelut rajoitetaan tavallisesti koskemaan vain tietyn perusjoukon eli avaruuden X alkioita ja osajoukkoja. Tällöin sovitaan yleensä, että joukkomerkinnöissä esiintyvien predikaattien määrittelyjoukkona on perusjoukko X. Jos kuitenkaan predikaatin määrittelyjoukoksi ei voida ottaa koko perusjoukkoa, niin tämä määrittelyjoukko on syytä mainita.

4 jen Perusjoukon X käyttöönotolla on muutakin merkitystä kuin epäselvyyksien välttäminen.. Tarkastelemme kaikkien sellaisten joukkojen joukkoa M, jotka eivät kuulu itseensä; siis M = { x x / x }. Joukon M määritelmän mukaan jokaiselle joukolle A pätee A M A / A. Sijoittamalla tähän joukon A paikalle joukon M saamme paradoksin M M M / M.

5 jen a voidaan popularisoida monella tavalla, esimerkiksi seuraavasti: Eräässä syrjäisessä kylässä on määrätty, että kyläpäällikkö ajaa (varsin hyvää korvausta vastaan) kylän kaikkien niiden miesten parran, jotka eivät itse aja partaansa, ja vain niiden. Kapinaa lietsova poppamies nostaa esiin kyläneuvoston kokouksessa kysymyksen siitä, kuka on ajanut kyläpäällikön oman parran.

6 jen Lause 6. (s. 52). Tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko. Siis aina A. Todistus. Taululla.

7 jen Joukon A potenssijoukko P(A) on A:n kaikkien osajoukkojen joukko. Kun perusjoukko on X, niin kaikki tarkasteltavat joukot ovat X :n osajoukkoja ja siis P(X ):n alkioita. Potenssijoukon määritelmän perusteella Aina P(A) ja A P(A). A B A P(B). Lause 7. (s. 53) Jos joukossa on n alkiota, niin sillä on 2 n osajoukkoa.

8 jen Olkoon X perusjoukko ja A X. Joukon A A on X :n niiden alkioiden joukko, jotka eivät kuulu A:han. Siis A = { x X (x A) } = { x X x / A }. Komplementti riippuu täten perusjoukosta.

9 jen Lause 8. (s. 53) Olkoon perusjoukko X ja A X. Tällöin = X, X =, A = A.

10 jen Olkoon X perusjoukko ja A, B X eli A, B P(X ). Määrittelemme unionin, ja joukko-opillisen erotuksen \ seuraavasti: A B = { x X x A x B }, A B = { x X x A x B }, A \ B = { x X x A x / B }. Joukon A A on täten A = X \ A. Toisaalta A \ B = A B.

11 jen Yksi tapa todistaa joukko-opin on palauttaa ne vastaaviksi loogisia konnektiiveja koskeviksi väitteiksi. Pelkkä lauselogiikka ei kuitenkaan yleensä riitä, vaan on käytettävä myös predikaattilogiikkaa. Toinen tapa on käyttää luonnollista päättelyä. Kolmas tapa on käyttää aiemmin todistettuja joukko-opin. Täsmällisissä todistuksissa Venn-diagrammia voidaan käyttää apuvälineenä, joka helpottaa varsinaisen todistuksen kirjoittamista ja lukemista, mutta valmiissa todistuksessa siihen ei saa enää nojautua.

12 jen Esimerkki 43. (s. 57.) Unionin vaihdantalaki A B = B A. Taululla. Esimerkki 44. (s. 57.) Osittelulaki Taululla. A (B C) = (A B) (A C)

13 Lause 9. (s. 59.) Peruskäsitteitä jen A = A A A = A A = X A A = A A A = A A = A = A A X = A A X = X Identiteetin laki Leikkaus ja yhdiste komplementin kanssa Idempotenssilait Leikkaus ja yhdiste tyhjän joukon kanssa Leikkaus ja yhdiste perusjoukon kanssa

14 jen A B = A B A B = A B A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) de Morganin säännöt Vaihdantalait Liitäntälait Osittelulait

15 jen Leikkaus ja yhdiste komplementin kanssa sekä de Morganin säännöt voidaan esittää myös muodossa A (X \ A) =, A (X \ A) = X, X \ (A B) = (X \ A) (X \ B), X \ (A B) = (X \ A) (X \ B).

16 jen Lause 10. (s. 59.) Olkoot A ja B perusjoukon X osajoukkoja. Tällöin A B A A B. Todistus triviaali. Lause 11. (s. 59.) Olkoot A ja B perusjoukon X osajoukkoja. Tällöin A B B A. Taululla.

17 Lause 12. (s. 60.) Olkoot A ja B perusjoukon X osajoukkoja. Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. jen (1) A B, (2) A B = A, (3) A B = B, (4) A \ B =. Riittää todistaa jokin sopiva implikaatioketju, esimerkiksi (1) (2) (3) (4) (1). Taululla.

18 n A k = A 1 A 2 A n = k=1 { x X k {1, 2,..., n}: x Ak } jen n A k = A 1 A 2 A n = k=1 Rekursiivisesti: { x X k {1, 2,..., n}: x Ak } A 1 A 2 A n A n+1 = (A 1 A 2 A n ) A n+1. Vastaavasti leikkaukselle.

19 jen A k = { x X k Z + : x A k } k=1 A k = { x X k Z + : x A k } k=1

20 jen Esimerkki 46. (s. 62.) Olkoon X = R, A k = [k 1, k], kun k Z +. Tällöin 3 A k = [0, 1] [1, 2] [2, 3] =, k=1 n A k = [0, 1] [1, 2] [n 1, n] = [0, n], k=1 A k =, k=1 A k = [0, [. k=1

21 jen Esimerkki 47. (s. 62.) Olkoon X = R, A k = [0, 1/k], kun k Z +. Osoitettava, että Taululla. A k = [0, 1], k=1 A k = {0}. k=1

22 jen a, jonka alkiot ovat joukkoja, kutsutaan usein joukkoperheeksi (engl. family of sets). Edellä tutkimiemme indeksoitujen joukkoperheiden indeksijoukko on äärellinen tai Z +.

23 jen Voimme tarkastella yleisempiäkin joukkoperheitä. Olkoon {A k } k I tällainen joukkoperhe, siis indeksijoukon I jokaiseen alkioon k liittyy tietty joukko A k. Määritellään A k = { x X k I : x A k } k I A k = { x X k I : x A k }. k I

24 jen Esimerkki 48. (s. 62.) Jokainen joukko A ( ) voidaan esittää alkioidensa muodostamien yksiöiden eli yksialkioisten joukkojen yhdisteenä (jolloin indeksijoukko I = A) A = x A{x}.

25 jen Olkoon X perusjoukko. Joukot A ja B ovat erillisiä, jos niillä ei ole yhteisiä alkioita eli A B =. Olkoon I sellainen indeksijoukko, että A i P(X ) kaikilla i I. Joukot A i (i I ) ovat pareittain erillisiä, jos A i ja A j ovat erillisiä aina, kun i, j I ja i j.

26 perhe {A k } k I on joukon X ositus eli luokkajako, jos sen joukot ovat (1) epätyhjiä ja (2) pareittain erillisiä sekä (3) jen X = k I A k. Esimerkki 49. (s. 63.) Joukon X = {a, b, c, d, e, f } eräs luokkajako on joukkoperhe { {a, b, c}, {d, e}, {f } }. Tällöin I = {1, 2, 3}, A 1 = {a, b, c}, A 2 = {d, e}, A 3 = {f }.

27 jen Esimerkki 50. (s. 63.) Olkoon tietyssä koulussa n luokkaa. Olkoon A 1 1. luokan, A 2 2. luokan,..., A n n. luokan oppilaiden joukko. Tällöin koulun kaikkien oppilaiden joukon X eräs luokkajako on {A 1, A 2,..., A n }. Nimittäin nämä joukot ovat pareittain erillisiä (kukaan oppilas ei ole kahdella luokalla) ja X = A 1 A 2 A n (jokainen oppilas on jollakin luokalla).

28 jen Esimerkki 51. (s. 63.) perhe {[0, 1], [1, 2],...} ei ole joukon R +0 = [0, [ luokkajako. Nimittäin esimerkiksi [0, 1] [1, 2] = {1}, joten joukot eivät ole pareittain erillisiä. Sen sijaan joukkoperhe {[0, 1[, [1, 2[,...} on joukon R +0 luokkajako. Miksi?

29 jen Esimerkki 52. (s. 63.) perheet {X } ja { {x} x X } ovat aina joukon X luokkajakoja. Miksi?