B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

Transkriptio

1 B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a), jos f on jatkuva kohdassa a. III Raja-arvo on aina f(a). IV Raja-arvoa ei ole olemassa, jos f(a) ei ole määritelty. 1.2 Funktio saa määrittelyjoukossaan negatiivisia arvoja. Tämän tiedon perusteella funktion I derivaatta on koko ajan positiivinen II derivaatta on koko ajan negatiivinen III derivaatta on koko ajan nolla IV derivaatasta ei voi sanoa mitään. 1.3 Funktio on toisen asteen polynomifunktio. Funktion derivaatta I on koko ajan positiivinen II on koko ajan negatiivinen III saa yhdessä kohdassa arvon nolla IV on koko ajan nolla. 1.4 Funktion derivaatta on tietyllä välillä positiivinen. I Funktio voi saada tällä välillä sekä negatiivisia että positiivisia arvoja. II Funktio voi saada tällä välillä vain positiivisia arvoja. III Funktio voi saada tällä välillä vain negatiivisia arvoja. IV Funktion arvot vähenevät tällä välillä. 1.5 Funktion derivaatta saa yhdessä kohdassa arvon nolla. Funktio saa tässä kohdassa I positiivisen arvon II negatiivisen arvon III arvon nolla IV arvon, jota ei derivaatasta voi päätellä. 1.6 Toisen asteen polynomifunktiolla on kaksi nollakohtaa. I Funktiolla on nollakohtien välissä derivaatan nollakohta. II Funktion derivaatta on nollakohtien välissä koko ajan positiivinen. III Funktion derivaatta on nollakohtien välissä koko ajan nolla. IV Funktion derivaatasta nollakohtien välissä ei voi sanoa mitään.

2 2. a) Millä vakion a arvolla funktion f (x) = ax 2 4 x + 8 pienin arvo on 0? b) Millä vakion b arvolla funktio g(x) = bx 2 4 x + 8 saa positiivisia arvoja täsmälleen silloin, kun 2 < x < 1? (YO k2014/10) (Lyhyen matematiikan yo, kevät 2014) a) f (x)=ax 2 4 x+8 on paraabeli. Jos funktio f (x) saa pienimmän arvonsa, niin se on ylöspäinaukeava eli a>0 ja huippu on derivaatan nollakohdassa. f (x)=a 2 x 4 = 2ax 4 Derivaatan nollakohta 2ax 4=0 2ax=4 :(2a) x= 4 2a =2 a Pienini arvo on 0, joten f ( 2 a )=0. a ( 2 2 a ) 4 ( 2 a ) +8=0 a 4 a 2 8 a +8=0 4 a 8 a = 8 4 a = 8 a 4= 8a :8 a= 1 2 b)g(x)=bx 2 4 x+8 saa positiivissia arvoja, kun 2< x<1, jos g(x) on alaspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat ovat 2 ja 1. Mallikuva g( 2)=0 g(1)=0 b ( 2) 2 4 ( 2) b =0 4 b+8+8=0 b 4+8=0 4 b= 16 : 4 b= 4 b= 4

3 3. Määritä funktion f (x)= 1 4 x4 x x2 +3 x paikalliset ääriarvot. f (x)= x3 3 x x+3=x3 3 x 2 x+3 Derivaatan nollakohdat ( voi myös ratkaista laskimella): x 3 3 x 2 x+3=0 x 2 (x 3) (x 3)=0 (x 2 1)(x 3)=0 x 2 1=0 tai x 3=0 x=±1 x=3 f ( 2)=( 2) 3 3 ( 2) 2 ( 2)+3= 15 < 0 f (0)=3 > 0 f (2)= 3 < 0 f (5)=48 > 0 (Kulkukaavio ei ole välttämätön, voi myös laskea suoraan funktion arvot derivaatan nollakohdissa.) Kulkukaavion perusteella paikalliset minimiarvot saadaan, kun x = 1 ja x=3 f ( 1)= 1 4 ( 1)4 ( 1) ( 1)2 +3 ( 1)= 9 4 f (3)= = 9 4 Paikallinen maksimiarvo saadaan, kun x =1 f (1)= = 7 4

4 4. Erään pistoksena annettavan puudutusaineen määrää mikrogrammoina potilaan veressä voidaan arvioida funktion f (x)= 8 x avulla. Muuttuja x on aika minuutteina lääkkeen x 2 +2 x+4 antoajankohdasta ja x 0. Milloin veressä on eniten lääkettä ja kuinka paljon sitä on enimmillään? Veressä on lääkettä eniten, kun funktio f saa suurimman arvonsa. Tutkitaan funktion kulkua derivaattafunktion avulla. f (x)= 8(x2 +2 x+4) 8 x (2 x+2) = 8 x2 +32 (x 2 +2 x+4) 2 (x 2 +2 x+4) = 0, kun 2 8 x 2 +32=0 8 x 2 = 32 :( 8) x 2 = 4 x=±2 Koska x 0, käy ratkaisuksi vain x = 2. Tehdään kulkukaavio. (Nimittäjää ei ole pakko tutkia, sillä luku potenssiin 2 on aina positiivinen.) Funktio f saa suurimman arvonsa, kun x = 2. Funktion suurin arvo on f (2)= = 4 3 =1, ,3 V: Lääkettä on eniten, kun on kulunut kaksi minuuttia lääkkeen antamisesta ja lääkettä on tällöin elimistössä noin 1,3 mg.

5 5. Suoran ympyrälieriön muotoisen lampunvarjostimen kehikoksi väännetään 150 cm pitkästä rautalangasta kehikko, joka muodostuu kahdesta ympyrästä ja kahdesta sivutuesta, jotka ovat kohtisuorassa ympyröitä vastaan. Minkä pituinen ympyrän säde voi olla? Miten kehikon mitat (korkeus ja ympyrän halkaisija) tulee valita, jotta lampun tilavuus olisi mahdollisimman suuri? Kehikko muodostuu kahdesta ympyrästä, joiden kehän pituus on 2 π r, ja kahdesta janasta, joiden pituus on h. 2 2π r + 2h = πr + 2h = 150 2h = π r : πr h = = 75 2π r 2 h r Jotta lampunvarjostimella on tilavuus, niin r > 0 ja 2π r < 150:2 eli r < 75 ( = 11,93...), joten 2 π 0 < r < 75 2 π. Lampun tilavuus saadaan laskemalla V (r) = πr 2 h = π r 2 (75 2π r) = 75 π r 2 2π 2 r 3 Suurin arvo voi tulla derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä: V (r) = 75π 2r 2 π 2 3r 2 = 150 π r 6 π 2 r 2 = 6π 2 r π r Derivaatan nollakohdat: 6π 2 r π r=0 r( 6π r + 150)=0 r=0 tai 6π r + 150=0 6π r = 150 :( 6 π) r = π = 25 π ( = 7,95...) Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. V (r) + V (r) 0 11, ,95... Suurin arvo, kun r = 25 π eli halkaisija on d = 2r = 2 25 π = 50 π = 15, (cm) ja korkeus on h = 75 2 πr = 75 2π 25 π = 25 (cm)