Lauselogiikka Tautologia
|
|
- Hanna Järvenpää
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto
2 Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden totuusarvoista. Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 2/6
3 Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden totuusarvoista. Tautologiaa voidaan tutkia totuustauluilla. Onko esimerkiksi lause a b a tautologia eli pätevä? Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 2/6
4 Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden totuusarvoista. Tautologiaa voidaan tutkia totuustauluilla. Onko esimerkiksi lause a b a tautologia eli pätevä? a b a b a b a Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 2/6
5 Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden totuusarvoista. Tautologiaa voidaan tutkia totuustauluilla. Onko esimerkiksi lause a b a tautologia eli pätevä? a b a b a b a Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 2/6
6 Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden totuusarvoista. Tautologiaa voidaan tutkia totuustauluilla. Onko esimerkiksi lause a b a tautologia eli pätevä? a b a b a b a Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 2/6
7 Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden totuusarvoista. Tautologiaa voidaan tutkia totuustauluilla. Onko esimerkiksi lause a b a tautologia eli pätevä? a b a b a b a Lause ei ole tautologia. Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 2/6
8 Esimerkki 1 Kirjoita lauselogiikan kielellä seuraavat väitteet: 1. Jos on aamu, niin olen väsynyt. 2. Ei ole totta, että on aamu ja en ole väsynyt. Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 3/6
9 Esimerkki 1 Kirjoita lauselogiikan kielellä seuraavat väitteet: 1. Jos on aamu, niin olen väsynyt. 2. Ei ole totta, että on aamu ja en ole väsynyt. Olkoon p = on aamu ja q = olen väsynyt. Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 3/6
10 Esimerkki 1 Kirjoita lauselogiikan kielellä seuraavat väitteet: 1. Jos on aamu, niin olen väsynyt. 2. Ei ole totta, että on aamu ja en ole väsynyt. Olkoon p = on aamu ja q = olen väsynyt. 1. p q Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 3/6
11 Esimerkki 1 Kirjoita lauselogiikan kielellä seuraavat väitteet: 1. Jos on aamu, niin olen väsynyt. 2. Ei ole totta, että on aamu ja en ole väsynyt. Olkoon p = on aamu ja q = olen väsynyt. 1. p q 2. (p q) Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 3/6
12 Esimerkki 1 Kirjoita lauselogiikan kielellä seuraavat väitteet: 1. Jos on aamu, niin olen väsynyt. 2. Ei ole totta, että on aamu ja en ole väsynyt. Olkoon p = on aamu ja q = olen väsynyt. 1. p q 2. (p q) Ovatko väitteet 1. ja 2. yhtäpitäviä, ts. onko lause (p q) (p q) tautologia? Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 3/6
13 Esimerkki 1 Kirjoita lauselogiikan kielellä seuraavat väitteet: 1. Jos on aamu, niin olen väsynyt. 2. Ei ole totta, että on aamu ja en ole väsynyt. Olkoon p = on aamu ja q = olen väsynyt. 1. p q 2. (p q) Ovatko väitteet 1. ja 2. yhtäpitäviä, ts. onko lause (p q) (p q) tautologia? p q p q q p q (p q) Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 3/6
14 Esimerkki 1 Kirjoita lauselogiikan kielellä seuraavat väitteet: 1. Jos on aamu, niin olen väsynyt. 2. Ei ole totta, että on aamu ja en ole väsynyt. Olkoon p = on aamu ja q = olen väsynyt. 1. p q 2. (p q) Ovatko väitteet 1. ja 2. yhtäpitäviä, ts. onko lause (p q) (p q) tautologia? p q p q q p q (p q) Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 3/6
15 Esimerkki 1 Kirjoita lauselogiikan kielellä seuraavat väitteet: 1. Jos on aamu, niin olen väsynyt. 2. Ei ole totta, että on aamu ja en ole väsynyt. Olkoon p = on aamu ja q = olen väsynyt. 1. p q 2. (p q) Ovatko väitteet 1. ja 2. yhtäpitäviä, ts. onko lause (p q) (p q) tautologia? p q p q q p q (p q) samat ovat yhtäpitäviä Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 3/6
16 Esimerkki 2 Osoita, että lause (p q) ( q p) on tautologia. Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 4/6
17 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
18 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki 2. p p poissuljetun kolmannen laki Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
19 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki 2. p p poissuljetun kolmannen laki 3. p p kaksoisnegaation laki Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
20 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki 2. p p poissuljetun kolmannen laki 3. p p kaksoisnegaation laki 4. p p p Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
21 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki 2. p p poissuljetun kolmannen laki 3. p p kaksoisnegaation laki 4. p p p 5. p p p Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
22 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki 2. p p poissuljetun kolmannen laki 3. p p kaksoisnegaation laki 4. p p p 5. p p p 6. (p q) p q de Morgan Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
23 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki 2. p p poissuljetun kolmannen laki 3. p p kaksoisnegaation laki 4. p p p 5. p p p 6. (p q) p q de Morgan 7. (p q) p q de Morgan Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
24 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki 2. p p poissuljetun kolmannen laki 3. p p kaksoisnegaation laki 4. p p p 5. p p p 6. (p q) p q de Morgan 7. (p q) p q de Morgan 8. (p q) p q implikaation ominaisuus Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
25 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki 2. p p poissuljetun kolmannen laki 3. p p kaksoisnegaation laki 4. p p p 5. p p p 6. (p q) p q de Morgan 7. (p q) p q de Morgan 8. (p q) p q implikaation ominaisuus 9. vaihdantalait Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
26 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki 2. p p poissuljetun kolmannen laki 3. p p kaksoisnegaation laki 4. p p p 5. p p p 6. (p q) p q de Morgan 7. (p q) p q de Morgan 8. (p q) p q implikaation ominaisuus 9. vaihdantalait 10. liitäntälait Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
27 Joitakin tautologioita 1. (p p) poissuljetun ristiriidan laki 2. p p poissuljetun kolmannen laki 3. p p kaksoisnegaation laki 4. p p p 5. p p p 6. (p q) p q de Morgan 7. (p q) p q de Morgan 8. (p q) p q implikaation ominaisuus 9. vaihdantalait 10. liitäntälait 11. osittelulait Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 5/6
28 Esimerkkejä Esimerkki 1. Osoita käyttämättä totuustauluja, että lauseet a (b c) ja (a ( b c)) ovat yhtäpitäviä eli ekvivalentteja, ts. että lause a (b c) (a ( b c)) on tautologia eli pätevä. Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 6/6
29 Esimerkkejä Esimerkki 1. Osoita käyttämättä totuustauluja, että lauseet a (b c) ja (a ( b c)) ovat yhtäpitäviä eli ekvivalentteja, ts. että lause a (b c) (a ( b c)) on tautologia eli pätevä. Esimerkki 2. Sievennä lause (p q p q). Hannu Lehto, 12. joulukuuta 2007 Lahden Lyseon lukio - p. 6/6
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
LisätiedotKesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset
Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa
LisätiedotTotuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.
Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}
Lisätiedot1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
LisätiedotToinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13
2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin
LisätiedotPropositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.
Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden
LisätiedotModus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.
JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
LisätiedotDiskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1
811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotRatkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
LisätiedotKirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:
1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotJohdatus logiikkaan 1
Johdatus logiikkaan 1 28. elokuuta 2014 Tämän tekstin lähtökohtana on ollut moniste Veikko Rantala - Ari Virtanen: Logiikan peruskurssi, joka on saatavilla netistä http://www.sis.uta.fi/matematiikka/ modaalilogiikka/logpk2003.pdf.
LisätiedotMatematiikan peruskäsitteitä
2 Matematiikan peruskäsitteitä Kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin peruskäsitteitä
Lisätiedot3. Predikaattilogiikka
3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole
LisätiedotInduktio kaavan pituuden suhteen
Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan objektikieli määritellään kurssilla Logiikka 1B seuraavasti: 1. Lausemuuttujat p 1, p 2, p 3,... ovat kaavoja. 2. Jos A on kaava, niin A on kaava. 3. Jos
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotMatematiikan peruskäsitteitä
2 Matematiikan peruskäsitteitä Nimensä mukaisesti kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin
LisätiedotLogiikka. Kurt Gödel ( )
Logiikka Tutustumme seuraavaksi propositio- eli lauselogiikkaan, jossa tarkastellaan formaalien lauseiden ominaisuuksia, ennenkaikkea niiden totuusarvoja. Formalisoimalla luonnollisen kielen lauseet propositiologiikan
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotPikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
LisätiedotLogiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotSuora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio
Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Lisätiedot1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat 16. 6 Predikaattilogiikkaa 31. 8 Relaatiot 42.
Diskreetit rakenteet, syksy 2015 Itä-Suomen yliopisto, Tietojenkäsittelytieteen laitos Ville Heikkinen 14.12.2015 15:18 Sisältö 1 Johdanto, Tavoitteet 2 2 Lähteitä 2 3 Propositiologiikkaa 2 4 Karnaugh'n
LisätiedotJOHDATUS MATEMATIIKKAAN
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Toitteko minulle ihmisen, joka ei osaa laskea sormiaan? Kuolleiden kirja JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Alkusanat Tämä tiivistelmä on allekirjoittaneen
LisätiedotFI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:
LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
LisätiedotALGORITMI- MATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen
ALGORITMI- MATEMATIIKKA Keijo Ruohonen 1993 Kirjallisuutta ANDERSON, I.: A First Course in Combinatorial Mathematics. Oxford University Press (1979) GRAHAM, R.L. & KNUTH, D.E. & PATASHNIK, O.: Concrete
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 1
Tekijä Pitkä matematiikka 11 16.2.2017 1 a) Yhdistetään ja-sanalla lauseet A ja B. A B: Järvi on tyyni ja lähden vesihiihtämään. b) Muodostetaan lauseiden A ja B negaatiot. A : järvi ei ole tyyni B : en
LisätiedotOpintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Lammi Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2018 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
LisätiedotLogiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a ( )
Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a (23.1.2010) 1. Merkitään P := Elokuva on kiinnostava., Q := Käyn katsomassa elokuvan., R := Elokuvassa on avaruusolioita.. Kirjoita seuraavat
LisätiedotJohdatus logiikkaan (Fte170)
Johdatus logiikkaan (Fte170) Teoreettinen filosofia, 5 op, periodit I ja II, 2010 Markus Pantsar 1. Johdanto 1.1 Filosofinen logiikka Logiikkaa tutkitaan pääasiallisesti kolmen tieteen piirissä: filosofian,
LisätiedotMonisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät.
Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Tehtäviä on osittain muokattu, jotta ne vastaisivat paremmin kokeilumonistetta Rantala & Virtanen, Logiikan peruskurssi.
LisätiedotTietotekniikka ja diskreetti matematiikka
Tietotekniikka ja diskreetti matematiikka Tietotekniikassa Epäjatkuvan matematiikan (diskreetin matematiikan) välineitä. Ongelmien ja ratkaisujen kuvaus. Tavoite: Perehdytään tavanomaisimpiin käytetyistä
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
LisätiedotJohdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet
Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a
LisätiedotLOGIIKAN PERUSKURSSI. Veikko Rantala Ari Virtanen
LOGIIKAN PERUSKURSSI Veikko Rantala Ari Virtanen Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Kokeilumoniste, elokuu 2003 ESIPUHE Tämä kokeilumoniste perustuu Tampereen yliopistossa
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotJorma Merikoski Ari Virtanen Pertti Koivisto. Johdatus diskreettiin matematiikkaan
Jorma Merikoski Ari Virtanen Pertti Koivisto Johdatus diskreettiin matematiikkaan 2 c Jorma Merikoski, Ari Virtanen, Pertti Koivisto Esipuhe Monisteemme Diskreetti matematiikka I (kirjallisuusluettelossa
LisätiedotAaro rakastaa Inkaa tai Ullaa
VIHJELAPPUSET C.2 I O U I O U A I O B U O O U (U O) (O U) C D I: Aaro rakastaa Inkaa. O: Aaro rakastaa Outia. U: Aaro rakastaa Ullaa. A: I U B: ( I O) U C: ((U O) (O U)) D: O Aaro rakastaa Inkaa tai Ullaa
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
LisätiedotTietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137
Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...
LisätiedotIlpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2
uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia
LisätiedotValitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?
LisätiedotMatematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010
Ensimmäisen viikon luennot Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Perustuu osittain kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix A ja Appendix B ja Trench in verkkokirjaan,
LisätiedotPredikaattilogiikkaa
Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat
LisätiedotTaso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio
Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso
LisätiedotVapaa matikka. Lukuteoria ja logiikka (MAA11) How often have I said to you that when you have eliminated the impossible,
Vapaa matikka Lukuteoria ja logiikka (MAA11) How often have I said to you that when you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth? Sherlock Holmes The Sign
LisätiedotRatkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):
Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotLogiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3
Φ Logiikka I Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mitä logiikka on?.............................. 3 2 ropositiologiikka 4 2.1 Lauseet...................................
LisätiedotModaalilogiikan täydellisyyslauseesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Teemu Pitkänen Modaalilogiikan täydellisyyslauseesta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Peruskäsitteistö ja semantiikka
Lisätiedot2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan II, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Mitkä muuttujat esiintyvät vapaina kaavassa x 2 ( x 0 R 0 (x 1, x 2 ) ( x 3 R 0 (x 3, x 0
Lisätiedot13. Loogiset operaatiot 13.1
13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotDISKREETTI MATEMATIIKKA
DISKREETTI MATEMATIIKKA Martti E. Pesonen Versio 24. syyskuuta 2010 LUKIJALLE Nimitys Diskreetti matematiikka on merkitykseltään hyvin epämääräinen. Sillä ei ole mitään standardia, yleisesti sovittua sisältöä
LisätiedotKonnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.
Johdanto Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tarkastelemme aluksi klassisen
LisätiedotPredikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotVapaa matikka. MAA11 Lukuteoria ja logiikka. Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 4.0 -lisenssillä.
Vapaa matikka MAA11 Lukuteoria ja logiikka Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 4.0 -lisenssillä. Avoimet oppimateriaalit ry Yhdistys tuottaa ja julkaisee oppimateriaaleja ja kirjoja, jotka ovat kaikille
LisätiedotMatematiikan mestariluokka 2010
Matematiikan mestariluokka 00 Martti E. Pesonen 3. huhtikuuta 00 Mitä matematiikka on? Matematiikan määritteleminen lienee turhaa, kenties myös mahdotonta. Matemaatikot sanovatkin usein leikillisesti,
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotMerkitys, totuus ja kielto
Ilmestynyt teoksessa Heta Gylling, S. Albert Kivinen & Risto Vilkko (eds.) Kielto (Yliopistopaino) Merkitys, totuus ja kielto Panu Raatikainen Filosofisessa merkitysteoriassa asetetaan usein vastatusten
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi
Matematiikan johdantokurssi Martti Pesonen, Pekka Smolander,... 7. joulukuuta 05 Mitä matematiikka on? Matematiikan määritteleminen lienee turhaa, kenties myös mahdotonta. Matemaatikot sanovatkin usein
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotLaskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. joulukuuta 2015 Sisällys TM vs yleiset kieliopit Lause Jokaiselle kielelle A seuraavat ovat yhtäpitävät: 1.
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan
Johdatus yliopistomatematiikkaan Lotta Oinonen 1. maaliskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Perusasioita joukoista................................ 1 1.1 Merkintöjä..................................
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
LisätiedotVapaa matikka. MAA11 Lukuteoria ja logiikka. How often have I said to you that when you have eliminated the
Vapaa matikka MAA11 Lukuteoria ja logiikka How often have I said to you that when you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth? Sherlock Holmes The Sign of
LisätiedotJohdatus logiikkaan 1
Johdatus logiikkaan 1 Åsa Hirvonen Kevät 2016 Sisältö 1 ropositiolauseet 3 2 Rekursiiviset määritelmät ja induktio rakenteen suhteen 7 3 Totuusjakaumat ja totuustaulut 12 3.0.1 Negaatio..........................
LisätiedotHARJOITUS 1. 1. Formalisoi seuraavat lauseet lauselogiikassa.
HARJOITUS 1. 1. Formalisoi seuraavat lauseet lauselogiikassa. (a) Aurinko laskee länteen. (b) Jos otat, et aja. (c) Jos Heli ei tule tänään käymään, katson televisiosta jalkapalloa, mutta en visailua.
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
LisätiedotT Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.
T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotInsidenssifunktioiden teoriaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Rauno Soppi Insidenssifunktioiden teoriaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2011 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SOPPI, RAUNO:
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJohdatus modaalilogiikkaan. Veikko Rantala Ari Virtanen
Johdatus modaalilogiikkaan Veikko Rantala Ari Virtanen 1 Sisältö 1 Johdanto 4 1.1 Modaalioperaattoreita............................. 4 1.2 Mahdollisen maailman käsitteestä....................... 6 1.3
Lisätiedot