} {{ } kertaa jotain
|
|
- Aurora Härkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, , ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain ei-ilmeisiä. 1 Ei ole ylitsepääsemättömän haastavaa miettiä mitkä luvut ovat ykkösellä jaollisia. 2 Kahdella jaollisia lukujahan kutsutaan parillisiksi luvuiksi! Jos tahtoo ajatella erittäin tarkasti (ja matemaatikon on pakko), niin 10 on jaollinen kahdella, sillä 10 = 2 5, joten kymmenet ovat jaollisia kahdella; ja koska 100 on ja niin edelleen, kymmenet, sadat, tuhannet, ym. ovat aina jaollisia kahdella. Näin ollen kahdella jaollisuus on kiinni vain ykkösistä; ja niille tiedetään että 1, 3, 5, 7 ja 9 eivät ole jaollisia kahdella; muut ovat. Ylläoleva on esimerkki matemaattisesta ajattelusta, mutta ei oikein siitä miten matematiikkaa tulisi selkeästi, kauniisti ja muodollisesti kirjoittaa! Kun alla siirrytään monimutkaisempiin tapauksiin, siirrytään samalla esittämään päättely matemaattisemmalla tavalla. Kahdella jaollisuutta voi ajatella esimerkin avulla näin: 1234 = = } {{ } 2 kertaa jotain } {{ } 2 kertaa jotain } {{ } 2 kertaa jotain + 4 }{{} entä tämä? 3 Tarkastelemalla kolmella jaollisia lukuja 51, 12, 33, 54, 75, 36, 87, 48, 39, 30, ja toisaalta lukuja, jotka eivät ole jaollisia kolmella, 31, 22, 73, 34, 55, 46, 97, 88, 49, 40, huomataan, että viimeinen numero ei vaikuta kolmella jaollisuuteen mitenkään. Kuitenkin 396 = on selvästi kolmella jaollinen, koska se voidaan esittää kolmella jaollisten lukujen summana. Tämä ei kuitenkaan ole koko totuus, koska 252 = 2 (99 + 1) + 5 (9 + 1) + 2 = ( ) + ( ) on kolmella jaollinen, sillä molemmat sulkulausekkeet ovat kolmella jaollisia. Näyttää siltä, että 1
2 2 luku on jaollinen kolmella jos ja vain jos 1 sen numeroiden summa on jaollinen kolmella. Varsinaista todistusta varten tarvitaan seuraava aputulos: Aputulos: Jokaista k N vastaa q k N siten, että 10 k = 9q k + 1. Todistus. Olkoon k N. Tällöin 10 k = 9 10 k k = 9 (10 k k ) + 1. Valitaan q k := 10 k k N. Tämä on luku, jossa on k kpl ykkösiä. Esim. Selvästikin 1000 = Osoitetaan jaollisuussääntö: Olkoon N = a n a n 1... a 1 a 0 mielivaltainen luonnollinen luku. Tällöin N = a n 10 n + a n 1 10 n a a 0 = a n (9q n + 1) + a n 1 (9q n 1 + 1) + + a 1 (9q 1 + 1) + a 0 = 9 ( a n q n + a n 1 q n a 1 q 1 ) + ( an + a n a 1 + a 0 ). Näin ollen 3 N jos ja vain jos 3 (a n + a n a 1 + a 0 ). Ohjattuna harjoituksena laskettiin, että aputuloksen nojalla = = 10 4 ( ) = q ei ole kolmella jaollinen, koska 7991 ei ole kolmella jaollinen. Tämä on selvää, sillä = 26, joka ei ole kolmella jaollinen luku. Lisähuomio. Tätä voi tietenkin toistaa jos luku on iso. Onko jaollinen kolmella palautuu kysymykseksi Onko = 60 jaollinen kolmella palautuu kysymykseksi Onko = 6 jaollinen kolmella. Samaten on syytä huomata että kun tämä tiedetään, tiedetään myös lukujen , , ym., jaollisuus, sillä desimaalien järjestys ei vaikuta jaollisuuteen. 4 Luku on jaollinen neljällä jos ja vain jos sen kahden viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen neljällä. Päätellään taas hieman epämuodollisesti; tarkempi todistustekniikoiden ja matemaattisen logiikan tarkastelu tulee esille vasta myöhemmin, eikä sitä ole vielä syytä stressata liikaa. 1 jos ja vain jos : eli jos toinen, kumpi tahansa, on totta, toinenkin on totta. Tämä on paljon tiukempi ehto kuin pelkkä yhteen suuntaan pätevä jos-tulos. Esimerkki ensimmäisestä olisi Hän asuu Suomen pääkaupungissa jos ja vain jos hän asuu Helsingissä, esimerkki toisesta puolestaan vaikkapa Jos hän on Joensuussa, niin hän on Pohjois-Karjalassa..
3 Ajatellaan taas mielivaltaista lukua muodossa a n a n 1... a 1 a 0 ; siis esimerkiksi luvulle 123 pätisi a 2 = 1, a 1 = 2 ja a 0 = 3. Tiedetään että 10 2 = 100 = 4 25, joten minkä tahansa luvun sadat (a ) ovat jaollisia neljällä. Tuhat on , kymmenentuhatta , ja niin edelleen, joten sadat, tuhannet (a ), kymmenettuhannet (a ), jne., ovat aina neljällä jaollisia, näin esimerkiksi vaikkapa näin: = 123 } {{ 100} +45. = Tällaisen päättelyn nojalla on selvää, että luvun jaollisuus neljällä riippuu vain kahdesta viimeisestä numerosta. Entä jos käyttää samaa lähestymistapaa kuin kolmella jaollisuudelle? Tiedetään että 10 = , joten 2 luvun N := a n a 1 a 0 olennainen osa on 2 n a n a a 1 +a 0, josta vain kaksi viimeistä termiä ovat oikeasti olennaisia sillä muut ovat jaollisia neljällä. Saadaan että luku N on jaollinen neljällä jos ja vain jos 2a 1 + a 0 on jaollinen neljällä. (Se onko tämä kauniimpi sääntö kuin tuo ensimmäinen jätetään lukijan päätettäväksi.) Annetaan esimerkit kummastikin säännöstä; tutkitaan luvun jaollisuutta neljällä. Kumpikaan sääntö ei ole kiinnostunut kuin vain kahdesta viimeisestä desimaalista, eli numeroista 56. Koska 56 = 4 14, on jaollinen neljällä 1. säännön nojalla. Koska = 16 = 4 4, on jaollinen neljällä myös 2. säännön nojalla. (Tietysti näin pitääkin olla, ellei ole tullut tehtyä harmillisia kirjoitusviheitä tai muita päättelyerehdyksiä.) 5 Luku on jaollinen luvulla 5 jos ja vain jos sen viimeinen desimaali on 0 tai 5. Kuten yllä neljälle: 10 = 5 2, joten kymmenet, sadat, tuhannet, ym., ovat aina jaollisia viidellä; jaollisuus riippuu ykkösistä. Esimerkki: = 1234 } {{ 10} +5 = = 4321 } {{ 10} +3 = Huomaa että vaikka esimerkin avulla on helppoa miettiä sitä miten yleinen sääntö toimii, esimerkki yksinään ei ole riittänyt todistukseksi sitten muinaisen Babylonian ja Egyptin aikojen! Matemaattiset väitteet todistetaan varovasti yleisessä tapauksessa olettamatta mitään välttämätöntä juuri sen takia että ne pätisivät niin monelle oliolle kuin 3 2 Voi harjoittaa itseään miettimällä miksi näin on. Vihjeenä sanottakoon että binomikaavan avulla luku 10 k = ( ) k voidaan aina kirjoittaa neljällä jaollisen luvun ja luvun 2 k summana.
4 4 mahdollista. Esimerkki todistaa vain että kyseinen väitetty sääntö toimii kyseisessä yksittäistapauksessa; tämä ei ole matematiikkaa vaan laskentoa. 6 Luku on jaollinen kuudella jos ja vain jos se on jaollinen kahdella ja kolmella. Tätä ei tarvitse sen tarkemmin selitellä tämähän tuli luennoilla, jossa todistettiin että 6 a jos ja vain jos 3 a ja 2 a. (Se että 6 on luvun a tekijä on tietenkin sama asia kuin se, että a on jaollinen luvulla 6.) Entä jos ajatellaan kuten parittomilla luvuilla yllä? Nyt 10 = 6 + 4; kuusi eli 2 3 ei ole tekijä millekään neljän (eli 2 2:n) potenssille koska niiden tekijöissä ei ole lukua kolme. Saadaan vaihtoehtoinen ehto että N = a n a n 1 a 1 a 0 on jaollinen kuudella jos ja vain jos 4 n a n a 2 + 4a 1 + a 0 on jaollinen kuudella. Ei erityisen kaunis tulos, mutta otetaan siitä esimerkki. Olkoon lukuna Tällöin = = Koska ei huvita 3 jakaa tätä kuudella, jatketaan: Äh, jatketaan tällä: = = = = 46. No, lopultakin! Kertotaulusta tiedetään, että 46 ei ole jaollinen kuudella, joten 172 ei ole jaollinen kuudella, joten 1498 ei ole jaollinen kuudella, joten ei ole jaollinen kuudella, mikä oli mitä tahdottiin tietää. 7 Luku a n a n 1 a 1 a 0 on jaollinen seitsemällä jos ja vain jos luku (a n a n 1 a 1 ) 2a 0 on jaollinen seitsemällä. Tarkastellaan ennen todistusta lukua 31759, ja sitä miten tämä sääntö helpottaa jaollisuuden tutkimista. Saadaan = 3157, = 301, = 28, ja 28 = 7 4. Siispä 28 on jaollinen seitsemällä, joten 301 on, joten 3157 on, joten myös on jaollinen seitsemällä. Tod. Olkoon käsiteltävä luku a n a n 1 a 1 a 0. Kutsutaan lukua a n a n 1 a 1 nimellä L; merkitään L := a n a n 1 a 1. Tällöin voidaan merkitä N := 10L + a 0 (alkuperäinen luku) 3 Matematiikan 1. energiansäästölaki: Ei kannata tehdä turhaa työtä.
5 ja M := L 2a 0. (väitetty helpompi luku ) Oletetaan ensin, että N (alkuperäinen luku) on jaollinen seitsemällä. Silloin myös luku 2N on jaollinen seitsemällä. Myös luku 21L + 7a 0 on jaollinen seitsemällä, koska se on 7(3L + a 0 ), ja koska 2N = 20L + 2a 0, niin (21L + 7a 0 ) (20L + 2a 0 ) = L + 5a 0 on myös jaollinen seitsemällä. Ottamalla siitä pois seitsemän moninkertoja tilanne ei muutu, joten myös (L+5a 0 ) 7a 0 = L 2a 0 on jaollinen seitsemällä. Tämä luku on M, joten M on seitsemällä jaollinen jos N on seitsemällä jaollinen. Jos puolestaan M ( helpompi luku ) on jaollinen seitsemällä, niin 10M = 10(L 2a 0 ) = 10L 20a 0 on myös jaollinen seitsemällä. Koska luku 21a 0 = 7 3a 0, on myös se jaollinen seitsemällä, joten (10L 20a 0 ) + 21a 0 = 10L + a 0 = N on jaollinen seitsemällä. 8 Luku on jaollinen kahdeksalla jos ja vain jos sen kolmen viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen kahdeksalla. Tämä sääntö johdetaan kuten yllä vastaava sääntö neljällä jaollisuudelle, sillä 1000 = (Luku 100 ei käy, koska 100/8 = 12.5.) Asiaa valaisevana esimerkkinä sanottakoon, että luku ei ole jaollinen kahdeksalla, sillä = }{{} = ja 567 ei ole jaollinen kahdeksalla. * * * Hm, yllä on siis todistettu että luvulle a n a n 1 a 1 a 0 pätee, että luku on 2:lla jaollinen jos ja vain jos a 0 on 2:lla jaollinen (so. luku on parillinen), luku on 4:llä jaollinen jos ja vain jos a 1 a 0 on 4:llä jaollinen, ja luku on 8:lla jaollinen jos ja vain jos a 2 a 1 a 0 on 8:lla jaollinen. Lisäksi huomataan että 2 = 2 1, 4 = 2 2, ja 8 = 2 3, ja näissä tapauksissa tarkastellaan luvun yhtä, kahta ja kolmea viimeistä numeroa. Herää kysymys siitä, onko totta että luku on kuudellatoista jaollinen (16 = 2 4 ) jos ja vain jos a 3 a 2 a 1 a 0 on kuudellatoista jaollinen ja päteekö yleisemminkin että: Hypoteesi: Luku N on jaollinen 2 k :lla jos ja vain jos sen viimeisten k:n numeron muodostama luku on. Tämä hypoteesi voidaan itse asiassa todistaa; tämä ei edes ole kovin monimutkaista koska edellä on pyöritelty niin montaa vastaavaa päättelyä. 5
6 6 Tod. Olkoon N = a n a n 1 a 2 a 1 a 0, ja olkoon m k. Tällöin 10 m = 10 m k 10 k = 10 m k 5 k 2 k, joten a m 10 m on jaollinen luvulla 2 k jokaiselle m k. Näin ollen luvun N jaollisuus luvulla 2 k riippuu vain sen loppuosasta a k 1 a 2 a 1 a 0, eli sen k:sta viimeisestä desimaalista. 4 Huomio. Tämä antaa siis testin jaollisuudelle luvuilla 2, 4, 8, 16, 32, jne.; kolme ensimmäistä on jo laskettu erikseen, mutta jos tämä päättely olisi tehty ensin, olisi ne voinut jättää erikseen käsittelemättä ja vedota tähän tulokseen. 9 Itse asiassa kolmella jaollisuuden todistus osoittaa, että luku on jaollinen yhdeksällä jos ja vain jos sen numeroiden summa on jaollinen yhdeksällä. Valaiseva esimerkki: 123 = = 1 (9 + 1) (9 + 1) + 2 (9 + 1) + 3 = 9 (jotain tauhkaa) Se, onko luku kymmenellä jaollinen ei ole hirvittävän haastava tehtävä; mutta tähän asti päästyä tarvittava päättelytapa on jo tuttu mikäli asiaa tahtoo perustella muutenkin kuin mielikuvien avulla: kymmenet, sadat, tuhannet ja niin edelleen ovat kymmenellä jaollisia; ja ykköset eivät ole. Näin ollen luku on kymmenellä jaollinen jos ja vain jos ykkösten paikalla on nolla. Sanottakoon vielä lopuksi että, kuten alussa sanottiin, on olemassa monia muita jaollisuussääntöjä, joskin nämä ovat yleisimpiä ja hyödyllisimpiä (ja mahdollisesti myös eleganteimpia?); ja nämä yllä olevat säännöt voi myös osoittaa päteviksi monilla muillakin tavoilla, joskin niistä useat vaativat paljon järeämpää matemaattista kalustoa ja ymmärrystä kuin mitä saadusta tuloksesta voisi odottaa. 4 Näin ollen hypoteesistä on tullut lause. Hypoteesi kun tarkoittaa matemaattisessa kielessä jotain joka voisi hyvinkin olla totta, ja lause sellaista minkä on todistettu olevan totta.
7 lisätehtävät (1) Mikä kaksinumeroinen luku (eli 10 luku 99) on kaksi kertaa numeroidensa tulo? Vastaus: Olkoon ko. luku a a 0, missä 1 a 1 9 ja 0 a 0 9. Koska a a 0 = 2 a 1 a 0, niin välttämättä a 0 on parillinen tai nolla (tämä vaihtoehto ei käy yo. yhtälön nojalla). Siis on olemassa k N siten, että a 0 = 2k. Nyt a k = 2 a 1 2k = 5 a 1 + k = a 1 2k. Tästä nähdään, että joko k on jaollinen luonnollisella luvulla a 1 tai nolla (taaskaan nolla ei käy yo. yhtälön nojalla; erikoisesti tämä johtaisi tilanteeseen a 1 = 0, joka on rajattu pois oletusten perusteella). Siis k = m a 1, missä m N. Sijoittamalla saadaan a a 1 m = a 1 2 m a 1 = 5 = m (2a 1 1). Näin ollen on kaksi vaihtoehtoa: (a) Jos m = 5 ja 2a 1 1 = 1, niin a 1 = 1, k = m a 1 = 5 ja a 0 = 2 k = 10. Tämä ei käy. (b) Jos m = 1 ja 2a 1 1 = 5, niin a 1 = 3, k = m a 1 = 3 ja a 0 = 2 k = 6. Vastaukseksi löydettiin siis luku 36; huomaa 36 = (2) Näytä, että 2 ei ole rationaaliluku. Vastaus: Näytetään näyttämällä, että jos 2 olisi rationaaliluku, seuraisi ristiriita. Jos 2 on rationaaliluku, se tarkoittaa sitä että 2 voidaan kirjoittaa muodossa m/n missä m ja n ovat kokonaislukuja. Oletetaan että nämä m ja n on valittu niin, että niillä ei ole yhteisiä tekijöitä. (Tahtoo sanoa: luvut 8/6 ja 4/3 ovat sama luku, mutta ensimmäisessä on yhteinen tekijä 2. Murtoluku voidaan aina sieventää sellaiseen muotoon että osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä.) Kahden neliöjuuri m/n on se luku, jonka neliö (toinen potenssi) on 2, eli ( 2 ) 2 = 2, 7 eli ( m m ) 2 = 2, eli m 2 n 2 = 2.
8 8 Kerrotaan n 2 :lla; saadaan m 2 = 2n 2. Jos muistetaan luennoista että x 2 on parillinen jos ja vain jos x on parillinen, tarkoittaa tämä sitä että koska m 2 on parillinen niin m on parillinen. Koska m on parillinen (eli muotoa 2l jollekin kokonaisluvulle l) niin m 2 on muotoa (2l) 2 = 4l 2 = 2 2l, ja koska m 2 = 2n 2 niin 2 2l = 2n 2 eli 2l = n 2. Tästä nähdään kuten yllä että koska n 2 on parillinen niin n on parillinen; ja tämä on ristiriita sillä jos m ja n ovat molemmat parillisia niillä on yhteinen tekijä 2; ja kuitenkin lähdettiin siitä että luvuilla m ja n ei ole yhtään yhteistä tekijää. Tämä on ristiriita joten on oletettu jotain mahdotonta; ja koska oletus oli että 2 on rationaaliluku, ei näin voi olla, eli 2 ei ole rationaaliluku. 5 5 Neliötä käytetään sen merkiksi että tulos on todistettu. Matemaattisista merkeistä se on kaikkein mukavin kirjoitettava.
Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotJaollisuus kymmenjärjestelmässä
Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2
MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotLUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN
LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
Lisätiedot1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.
Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele
LisätiedotPython-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
LisätiedotReaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
LisätiedotRatkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.
Lisätiedot1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotMääritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki
Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotSuurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.)
Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Määritelmä, yhteinen tekijä ja suurin yhteinen tekijä: Annettujen lukujen a ja b yhteinen tekijä
LisätiedotALKULUVUISTA (mod 6)
Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
Lisätiedota b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotMohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa
Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA
ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja
LisätiedotLUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016
LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 Lukujonot Tarvikkeet: siniset ja vihreät lukukortit Toteutus: yksin, pareittain,
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotMatemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
LisätiedotValitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotKontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista
J Pahikkala Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista Erilaisia lukujen keskiarvoja on useita tunnetuimmat ovat tavallinen eli aritmeettinen keskiarvo ja keskiverto eli geometrinen keskiarvo
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
Lisätiedotnyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
LisätiedotAlkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Teemu Lehtonen Alkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Maaliskuu 2004 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Alkuluvuista
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotXXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut
XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
LisätiedotEsimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
LisätiedotLUKUJÄRJESTELMÄT. Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä. Binäärilukujärjestelmä
Ammatti-Instituutti Lukujärjestelmistä Sivu 1 (5) LUKUJÄRJESTELMÄT Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä Kymmenjärjestemä on meille se tutuin järjestelmä jonka tunnemme x Siinä on (10) kymmenen numeroa,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
LisätiedotMerkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot