Kandidaatintyö LUT School of Energy Systems Sähkötekniikka

Transkriptio

1 KAHDEN VAPAUSASTEEN RADIAALILAAKERIJÄRJESTELMÄN MALLINNUS JA SÄÄTÖ Modeling and Control of a Two Degrees-of-Freedom Radial Bearing System Krister Gräsbeck Kandidaatintyö LUT School of Energy Systems Sähkötekniikka

2 Tiivistelmä Lappeenrannan teknillinen yliopisto LUT School of Energy Systems Sähkötekniikka Krister Gräsbeck Kahden vapausasteen radiaalilaakerijärjestelmän mallinnus ja säätö 2018 Kandidaatintyö. 21 s. Tarkastaja: TkT Niko Nevaranta Tässä kandidaatin työssä mallinnetaan kahden vapausasteen magneettilaakeri ja suunnitellaan sille säätö. Magneettilaakereilla tuetaan roottoreita leijuttamalla niitä magneettikentässä. Niitä käytetään pääasiassa suurnopeusturbokoneissa. Leijuttamisen mahdollistamiseksi tarvitaan säätöjärjestelmä, joka mittaa roottorin paikan ja sen perusteella säätää laakerin roottoriin kohdistamaa voimaa. Voiman säätö mahdollistetaan käyttämällä sähkömagneetteja ja säätämällä magneettien käämeissä kulkevaa virtaa. Tässä työssä mallinnus aloitetaan johtamalla yhtälö voimalle, jonka sähkömagneetti kohdistaa ferromagneettiseen kappaleeseen. Voiman havaitaan olevan neliöllisesti verrannollinen virran suuruuteen ja käänteisesti verrannollinen ilmavälin pituuden neliöön. Säätösuunnittelua varten yhtälö linearisoidaan. Virran vaikutus linearisoidaan käyttämällä differentiaalista voiman tuottoa ja virtabiasoinnilla. Ilmavälin vaikutusta approksimoidaan lineaarisesti leijutuspisteessä. Johdettujen yhtälöiden avulla luodaan simulointimalli Simulink -ympäristöön. Liikkeen havainnollistamiseksi hyödynnetään 3D animointia. Järjestelmän fyysisenä perustana on pienen mittakoon magneettilaakerimalli, missä roottori on kiinnitetty toisesta päästä perinteisellä laakerilla. Tällöin toisessa päässä magneettilaakerilla hallitaan kahta vapausastetta. Tavoitteena on luoda simulointimalli, joka soveltuu säätötekniikan opetuskäyttöön virtuaalisena testiympäristönä, missä opiskelijat voivat testata omia säätösuunnittelujaan, ennen siirtymistä oikean systeemin pariin. Säätö toteutetaan kaskadirakenteena, missä paikkasäädin laskee virtaohjeen virtasäätimelle, joka taas säätää käämin virtaa kytkemällä siihen sopivan jännitteen. Molemmat säätimet suunnitellaan. Kaksi erilaista virtasäädinrakennetta esitellään ja kohdistetaan vertailulle; P-säädin resistiivisen jännitehäviön kompensoinnilla ja PI-säädin. Molempien havaitaan toimivan identtisesti, jos käämin ominaisuudet tiedetään tarkasti. Paikkasäätöön käytetään PID-tyypin säädintä. Paikkasäädin viritetään, siten että säädetylle systeemille saadaan haluttu vaimennusvakio ja luonnollinen kulmataajuus. Suunniteltu säätö testataan luodulla simulaatiomallilla. Tämän lisäksi robustisuutta testataan olettamalla mallinnusepävarmuutta. Simulointitulosten perusteella suunniteltua säätöä voidaan pitää robustina. 1

3 Abstract Lappeenranta University of Technology LUT School of Energy Systems Electrical Engineering Krister Gräsbeck Modeling and Control of a Two Degrees-of-Freedom Radial Bearing System 2018 Bachelor s Thesis. 21 p. Examiner: D.Sc. Niko Nevaranta In this Bachelor s Thesis a magnetic bearing with two degrees-of-freedom is modeled and control is designed. Magnetic bearings are used to provide contactless rotor suspension by levitation in a magnetic field. They are mainly used in high-speed turbo machinery applications. For the levitation to be possible, a control system is needed measure the position and according to that control the magnetic force applied to the rotor. This is achieved by using electromagnets and by controlling the current flowing in the coils of the magnets. In this thesis the modeling process is started by deriving the equation for the force which an electromagnet exerts on a ferromagnetic object. The force is found to be proportional to the square of the current and inversely proportional to the square of the length of the air gap. For control design purposes the equation is linearized. The effect of the current is linearized by using differential driving method and current biasing. The effect of the air gap length is approximated linearly at the levitation point. A simulation model is created using the derived equations in Simulink environment. 3D animation is used to visualize the motion. The reference for the system is a small scale magnetic bearing model where the rotor is fixed by a regular bearing at one end, thus having two degrees-of-freedom that are controlled by the magnetic bearing at the other end. The goal is to create a simulation model suitable for teaching of control engineering as a virtual testbed where students can test their control designs before trying them on the real plant. A cascaded control structure is used where a position controller calculates a current reference which a current controller uses to apply a suitable voltage to the coil. Both controllers are designed. Two types of current controller designs are proposed and compared; a P-controller with a feed-forward gain compensating for resistive voltage drop and a PIcontroller. Both are found to perform identically if it is assumed that the properties of the coil are known with certainty. For the position control a PID-type controller is used. The position controller is tuned to achieve desirable damping and natural angular frequency. The designed control is tested using the derived simulation model. In addition, robustness is tested by assuming some modeling uncertainty. Based on the simulations, the proposed control design is found to be robust. 2

4 Sisältö Käytetyt merkinnät ja lyhenteet 4 1 Johdanto 6 2 Teoria ja mallinnus 6 3 Säädön suunnittelu Virtasäätö P-säätö myötäkytkennällä PI-säätö Paikkasäätö Simulointimalli ja säädön toiminta Koelaitteisto Simulointimalli Säätimien toiminnan analyysi Virtasäädön toiminta Paikkasäädön toiminta Yhteenveto ja kehitysehdotukset Yhteenveto Kehitysehdotukset Viitteet 21 3

5 Käytetyt merkinnät ja lyhenteet Lyhenteet CAD DOF FEM IR Mmv PID PWM VRML Computer-Aided Design, tietokoneavusteinen suunnittelu Degree-of-Freedom, vapausaste Finite Element Method Resistanssista johtuva jännitehäviö Magnetomotorinen voima Proportional-Integral-Derivative Pulse Width Modulation, pulssinleveysmodulaatio Virtual Reality Modeling Language Merkinnät α i t voiman vaikuttamiskulma virran muutos ajan muutos µ 0 tyhjiön permeabiliteetti µ r suhteellinen permeabiliteetti ω n ω bw ξ A B C P D C P ID C pl F G cc H i i c luonnollinen kulmataajuus kaistanleveys vaimennusvakio pinta-ala magneettivuon tiheys PD-säätimen siirtofunktio PID-säätimen siirtofunktio vaiheenjohtopiirin siirtofunktio voima virtasäädetyn käämin siirtofunktio magneettikentän voimakkuus magnetointivirta kontrollivirta 4

6 i bias i max k K d K i k i K p k s k u K b K cff K cp, K a L l fe m n R s s 0 T f t rise u u dc V W x biasointivirta suurin sallittu virta voimavakio vaiheenjohtopiirin vahvistusparametri PID-säätimen integraattorin vahvistus virtajäykkyys paikkasäätimen P-osan vahvistus paikkajäykkyys nopeuden indusoima jännitevakio virtasäätimen integraattorin vahvistus virtasäätimen myötäkytkennän vahvistus virtasäätimen vahvistus induktanssi magneettipiirin rauta-osan pituus massa käämin kierrosluku resistanssi ilmavälin pituus, Laplace-tason muuttuja ilmavälin normaalipituus vaiheenjohtopiirin parametri nousuaika käämin jännite modulaattorin jännite tilavuus energia paikka x-akselilla 5

7 1 Johdanto Aktiivimagneettilaakereilla tuetaan pyöriviä akseleita, eli roottoreita, leijuttamalla niitä magneettikentässä. Jotta leijuttaminen on mahdollista, pitää magneettikenttää jatkuvasti säätää. Laakeri ei ole fyysisessä kontaktissa roottorin kanssa, jolloin laakeriin ei kohdistu mekaanista kulumista. Magneettilaakerointi mahdollistaa hyvin suuret pyörimisnopeudet verrattuna perinteisiin mekaanisiin laakereihin. Toinen erittäin suuri aktiivimagneettilaakereiden etu on roottorin dynamiikan hallinta. Jos roottori ei ole täydellisesti tasapainotettu (massa ei ole täysin symmetrinen pyörimisakselin suhteen), aiheuttaa se systeemiin värähteleviä voimia. Aktiivimagneettilaakeroinnilla nämä voimat voidaan tunnistaa ja kompensoida. Yleisin käyttökohde magneettilaakereille on erilaiset turbokoneet [1]. Käytännön aktiivimagneettilaakerisovelluksissa roottori on tuettu vähintään kahdella radiaalilaakerilla. Laakerit on sijoitettu roottorin kumpaakin päähän. Radiaalilaakeri tuottaa voiman, joka on kohtisuorassa roottorin pituusakselia vastaan. Lisäksi tarvitaan magneettiaksiaalilaakeri, joka pitää roottorin paikallaan sen pituussuunnassa. Tällöin magneettilaakereilla hallitaan roottorin viittä vapausastetta. Tässä kandidaatintyössä keskitytään pienen mittakoon opetusmalliin, joka koostuu yhdestä radiaalimagneettilaakerista ja roottorista. Laakerilla hallitaan roottorin kahta vapausastetta, loput kolme on lukittu normaalilla kuulalaakerilla roottorin toisessa päässä. Tällöin ongelma redusoituu pistemäisen massan leijuttamiseksi kahdessa ulottuvuudessa. Systeemi mallinnetaan kirjallisuuslähteiden avulla ja mallin avulla luodaan virtuaaliesimerkki Simulink-simulointiympäristöön. Tavoitteena on tuottaa opetuskäyttöön soveltuva malli, jonka avulla voidaan testata erilaisia säätöratkaisuja. Virtuaaliesimerkissä hyödynnetään 3D-mallinnusta, jotta simulaatiosta saadaan mahdollisimman visuaalinen ja ymmärrettävä, jolloin se soveltuu hyvin säätötekniikan opetuskäyttöön. Systeemin malli linearisoidaan ja sille tehdään säätösuunnittelu. Säädinrakenteena toimii PID-säädin (proportional-integral-derivative), jonka viritys perustuu lähteessä [2] esitettyihin periaatteisiin, joissa systeemille saadaan haluttu luonnollinen kulmataajuus ja vaimennusvakio. Säätimen toimintaa testataan ja analysoidaan simulaatiomallin avulla. 2 Teoria ja mallinnus Magneettikentässä leijuva ferromagneettinen kappale on luonnostaan labiili. Pieninkin häiriö aiheuttaa kappaleen putoamisen tai magneettiin osumisen. Kappaletta on Ernshawn teoreeman mukaan mahdotonta leijuttaa staattisessa magneettikentässä [3]. Leijuttaminen mahdollistetaan käyttämällä säätötekniikka systeemin stabiloimiseksi. Kappaleen poikkeama halutusta paikasta mitataan ja säädin säätää sähkömagneetin käämissä kulkevaa virtaa sen mukaan. Kuvassa 2.1 on esitetty periaate kappaleen leijuttamiseksi magneettikentässä. Painovoima vetää roottoria alaspäin ja sähkömagneetilla tuotetaan ylöspäin suuntautuva voima. Tehovahvistin muuttaa säätimeltä tulevan jännitesignaalin käämin magnetointivirraksi. Sähkömagneetin tuottaman voiman määrittämiseksi vaaditaan magneettipiirin tarkastelemista. Magneettipiiri on esitetty kuvassa 2.2, missä i on virta, n käämin kierrosluku, A a ilmavälin pinta-ala, A fe rautasydämen poikkipinta-ala, l fe piirin rautaosan keskimääräinen pituus ja s ilmavälin pituus. Käämissä kulkeva virta synnyttää magnetomotorisen voiman (mmv), joka on käämin kierrosluku kerrottuna virralla. Mmv synnyttää piiriin magneettivuon [4]. Amperen laista 6

8 Kuva 2.1: Magneettisen leijuttamisen periaate [1]. Kuva 2.2: Magneettipiiri [1]. saadaan [1][5] l fe H fe + 2sH a = ni, (2.1) missä H fe ja H a on magneettikentän voimakkuus raudassa ja ilmassa. Oletetaan, että hajavoita ei esiinny ja ilmavälin ja raudan poikkileikkauspinta-alat ovat yhtä suuret A a = A fe = A. Tällöin magneettivuon tiheys B on sama raudassa sekä ilmassa. Magneettikentän voimakkuus yhtälössä (2.1) voidaan korvata magneettikentän voimakkuuden ja magneettivuon tiheyden yhteydellä B = µ 0 µ r H, (2.2) missä µ 0 on tyhjiön permeabiliteetti ja µ r väliaineen suhteellinen permeabiliteetti, jolloin saadaan B l fe + 2s B = ni. (2.3) µ 0 µ r µ 0 Ratkaistaan yhtälöstä (2.3) B, jolloin saadaan ni B = µ 0 l fe µ r + 2s. (2.4) Raudan suhteellinen permeabiliteetti on suuri, joten yhtälö (2.4) voidaan yksinkertaistaa muotoon B = µ 0 ni 2s. (2.5) 7

9 Ilmaväliin varastoituu energiaa W a yhtälön W a = 1 2 BH av a = 1 2 BH aa(2s) (2.6) mukaan, missä V a on ilmavälin tilavuus. Voima on energian osittaisderivaatta ilmavälin pituuden suhteen F = W a s = BH aa. (2.7) Sijoittamalla yhtälöt (2.2) ja (2.5) yhtälöön (2.7) saadaan F = µ 0 A ( ) 2 ni = 1 2s 4 µ 0n 2 A i2 s = k i2 2 s, (2.8) 2 missä k = 1 4 µ 0n 2 A. (2.9) U-muotoisessa magneetissa voima vaikuttaa jossain kulmassa α (kuva 2.3), jolloin voima on F = k i2 cos α. (2.10) s2 Kuva 2.3: U-muotoisen magneetin geometria [1]. Kokonaisessa radiaalilaakerissa käytetään usein kahdeksannapaista staattoria (kuva 2.4), jolloin se sisältää neljä sähkömagneettia. Kahdella magneettiparilla roottorin paikkaa säädetään kahdella akselilla (ulottuvuudessa). Kaikissa magneeteissa kulkee oletuksena biasointivirta i bias. Tällöin akselin molemmat magneetit vaikuttavat roottoriin samalla voimalla, joten magneettinen nettovoima on nolla. Roottorin paikka mitataan kummallakin akselilla. Säädin laskee kontrollivirrat i c,x ja i c,y. Kontrollivirta summataan ylemmän magneetin biasointivirtaan ja vähennetään alemman magneetin biasointivirrasta. Tällöin positiivinen kontrollivirta lisää ylemmän magneetin vetovoimaa ja vähentää alemman, jolloin kokonaisvoima on ylöspäin. Tällä tavalla voima saadaan kontrollivirran lineaariseksi funktioksi epälineaarisen magnetointivirran funktion sijaan. Roottorin akselit on kierretty 45 suhteessa painovoiman suuntaan (kuvassa 2.4 alaspäin), jolloin roottorin paino 8

10 Tehovahvistin ibias ibias i c, y Säädin i c, x Kuva 2.4: Kahdeksannapainen radiaalilaakeri paikanmittauksen ja paikkasäätimen kanssa. jakautuu symmetrisesti molemmille akseleille, siten että molemmat akselit kannattelevat painosta 1/ 2 -osan. Tarkastellaan magneettilaakerin x-akselilla tuottamaa kokonaisvoimaa F x. Olkoon s 0 ilmaväli silloin, kun roottori on keskellä laakeria ja x roottorin poikkeama keskikohdasta. Kokonaisvoima on vastakkaisten magneettien tuottamien voimien summa. Sijoitetaan (i bias ± i c,x ) yhtälöön (2.10) i:n paikalle ja (s 0 ± x) s:n paikalle. Tällöin kokonaisvoima on F x (i c,x, x) = k ( (ibias + i c,x ) 2 (i bias i c,x ) 2 (s 0 x) 2 (s 0 + x) 2 ) cos α. (2.11) Yhtälö (2.11) on lineaarinen kontrollivirran suhteen mutta epälineaarinen poikkeaman suhteen. Yhtälö voidaan linearisoida poikkeaman suhteen toimintapisteen alueella, kun oletetaan, että x s 0. Tällöin saadaan voiman lauseke, joka on lineaarinen kontrollivirran ja poikkeaman funktio missä ja F x = 4ki bias s 2 0 cos α i c,x + 4ki2 bias s 3 0 k i = 4ki bias s 2 0 k s = 4ki2 bias s 3 0 cos α = An2 µ 0 i bias s 2 0 cos α = An2 µ 0 i 2 bias s 3 0 cos α x = k i i c,x + k s x, (2.12) cos α (2.13) cos α. (2.14) Yhtälöiden (2.13) ja (2.14) muuttujat k i ja k s ovat virtajäykkyys ja paikkajäykkyys. Virtajäykkyys kuvaa laakerin roottoriin kohdistamaa nettovoimaa suhteessa kontrollivirran arvoon ja vastaavasti paikkajäykkyys suhteessa roottorin siirtymään keskipisteestä. Virtaja paikkajäykkyyden yksiköt ovat tällöin [N/A] ja [N/m]. Säätösuunnittelu pohjautuu usein lineaariseen malliin. Jos systeemin on tarkoitus toimia pienellä alueella, approksimoidaan epälineaarista mallia lineaarisesti toimintapisteen alueella. Tällöin voidaan soveltaa lineaarista säätöteoriaa, vaikka säädettävä systeemi onkin oikeasti epälineaarinen. Lineaarinen voiman lauseke on esitetty graafisesti kuvassa

11 F=k i i c 60 F(x) F = k s x F [N] 0 F [N] i c [A] x [m] 10-4 Kuva 2.5: Vasemmalla voima kontrollivirran funktiona, oikealla voima poikkeaman funktiona, joka on linearisoitu toimintapisteeseen. Analyyttisen yhtälön sijasta virta- ja paikkajäykkyyttä voidaan paremmin analysoida FEM (finite element method) -mallinnuksella. Tällöin laakerista tehdään malli johonkin FEM-ohjelmistoon. Paras arvio jäykkyyksistä saadaan kuitenkin identifioimalla systeemi kokeellisilla mittauksilla. Yksi tällainen identifiointikeino on askelvastekoe [6], missä roottori nostetaan ala-asennosta yläasentoon kontrollivirran askeleella. Paikka mitataan noston aikana ja paikan funktioon luodaan sovite, josta saadaan arvio systeemin navoille, joista taas saadaan systeemin siirtofunktio ja jäykkyydet. Virtajäykkyyden selvittämiseksi voidaan roottoria kannatella mitattavalla voimalla. Voiman muutos eri kontrollivirroilla kertoo virtajäykkyyden arvon. 3 Säädön suunnittelu Magneettilaakerin säätö toteutetaan kaskadisäädöllä, johon kuuluu paikka- ja virtasäädin. Paikkasäätimenä voidaan käyttää perinteistä PID-säädintä. Paikkasäädin antaa virtaohjeen virtasäätimelle, joka taas säätää sähkömagneetin käämin jännitettä ja siten myös virtaa. Kaskadisäädön lohkokaavio yhdelle liikeulottuvuudelle on esitetty kuvassa 3.1. Käytännössä käämin jännitteen säätö toteutetaan pulssinleveysmodulaatiolla (PWM). Modulaattori kytkee käämiin tietyn tasajännitteen positiivisena u dc tai negatiivisena u dc. Kytkettyä jännitettä voidaan muuttaa suurella taajuudella, jolloin käämissä näkyvä jännite voi olla mikä tahansa u dc ja u dc väliltä. 3.1 Virtasäätö Virtasäätimeksi soveltuu esimerkiksi P-säätö myötäkytkennällä tai PI-säätö. Molemmilla saavutetaan tyypillinen ensimmäisen kertaluokan systeemin vaste P-säätö myötäkytkennällä Yleisesti käytetty virtasäädin on P-säädin, jossa on myötäkytkentä. Virtatakaisinkytkennällä kompensoidaan induktiivista jännitehäviötä. Myötäkytkentä kompensoi käämin re- 10

12 sistanssista johtuvaa jännitehäviötä, jolloin säädettyyn virtaan ei tule jatkuvuustilan virhettä. Tätä säätöratkaisua kutsutaan IR-kompensoinniksi. Käämin jännite u on u = L di dt + Ri + k dx u dt, (3.1) missä L on käämin induktanssi, R resistanssi, ja k u nopeuden indusoima jännitevakio. Roottorin nopeuden aiheuttama jännite voidaan yleensä olettaa pieneksi. Resistanssi on myös pieni, joten se voidaan jättää huomioimatta virtasäätimen vahvistuksen (P-osan) suunnittelussa. Käämin induktanssi riippuu roottorin paikasta, mutta koska systeemi on linearisoitu toimintapisteessä, voidaan se olettaa vakioksi säädön suunnittelussa. Virtasäädin -K- K cff 1 Paikkaohje i ref PID(s) Paikkasäädin 0... i max -K- K cp -u dc... u dc u - s 1/L 1 i i x s 1 Paikka R Roottori Kuva 3.1: Kaskadisäädön lohkokaavioesitys. Kuvasta 3.1 saadaan takaisinkytketyn virtasäädön siirtofunktioksi G cc (s), kun resistanssi jätetään huomiotta G cc (s) = i K cp, (3.2) i ref sl + K cp missä K cp on virtasäätimen vahvistus. Sama siirtofunktio voidaan esittää muodossa [5] G cc (s) ω bw s + ω bw, (3.3) missä ω bw on kaistanleveys. Nähdään, että vahvistuksella ja kaistanleveydellä on yhteys Ensimmäisen kertaluvun systeemille pätee [7] K cp = Lω bw. (3.4) ω bw = ln 9 t rise, (3.5) missä t rise on käämin virran nousuaika. Nousuaika määritellään kuluvaksi ajaksi siitä, kun askelvaste on saavuttanut 10% lopullisesta arvostaan siihen, kun saavutetaan 90% lopullisesta arvosta. Nousuaikaa ja siten myös kaistanleveyttä rajoittaa käämin induktanssi ja kytketty jännite. Suurin mahdollinen virta-askel systeemissä on käämin virran muutos i biasointivirrasta maksimivirtaan i max. Käämin jänniteyhtälöstä (3.1) saadaan virran maksimimuutosajaksi t, kun otetaan vain induktanssi huomioon t = L i u dc. (3.6) 11

13 Koelaitteiston induktanssi on noin 20 mh. Biasointivirran ja maksimivirran erotus on 7 A ja käytetty jännite on 250 V. Tällöin virran maksimimuutosajaksi saadaan noin 0.6 ms. Tämä arvo on kuitenkin teoreettinen maksimi, joka on vastaa todellisuutta korkeintaan siinä vaiheessa, kun roottori nostetaan ala-asennosta toimintapisteeseen. Täten valitaan nousuajaksi pienempi arvo 0.4 ms, jolloin saadaan virtasäätimelle hyvä kaistanleveys normaaliin toimintaan. Säätimen vahvistukselle saadaan nyt arvo K cp = Lω = ln (9)L t rise. (3.7) Myötäkytkennän vahvistukseksi K cff valitaan yksinkertaisesti käämin resistanssi R PI-säätö Toinen käytännöllinen virtasäädinrakenne on PI-säädin, joka on esitetty sarjamuodossa kuvassa 3.2. Parametri K a määrittää säädetyn systeemin kaistanleveyden ja vastaa täysin P-säädön vahvistusparametria (yhtälö (3.7)). Parametri K b asettaa säätimen nollan sijainnin. Valitsemalla nollan sijainnin sopivasti, voidaan sillä kumota toinen navoista, jolloin säädetyn systeemin vaste vastaa ensimmäisen kertaluvun järjestelmää [8]. Nolla kumoaa navan, kun valitaan K b = R L. (3.8) 1 In1 Virtaohje Ka Kb 1 s Jännite Virta Mitattu virta Käämi Kuva 3.2: PI-virtasäädetty käämi. Molempien virtasäätöratkaisujen viritys voidaan tehdä järjestelmän parametrien mukaan. Huomataan, että IR-kompensoidun P-säädön ja PI-säädön dynamiikat ovat identtisiä, jos oletetaan että resistanssi ja induktanssi tiedetään tarkasti. Jos käämin resistanssi poikkeaa myötäkytkennän vahvistuksesta, jää systeemiin jatkuvuustilan virhettä. PIsäädöllä jatkuvuustilan virhettä ei esiinny mutta jos yhtä napaa ei saada kompensoitua, esiintyy systeemissä toisen kertaluokan ominaisuuksia (ylitystä, värähtelyä). 3.2 Paikkasäätö Magneettilaakerisysteemi saadaan vakaaksi PD-säätimellä. Säätimen parametreinä on P- ja D-osan vahvistukset K p ja K d. Ideaalisen PD-säätimen siirtofunktio C P D on muotoa C P D (s) = K p + K d s, (3.9) missä s on nyt Laplace-tason muuttuja. Parametrien valinnoilla vaikutetaan systeemin luonnolliseen kulmataajuuteen ja vaimennusvakioon seuraavasti: [2] K p = mω2 n + k s k i (3.10) 12

14 ja K d = 2mω n k i ξ, (3.11) missä ω n on luonnollinen kulmataajuus, ξ vaimennusvakio ja m laakerikohtaan kohdistuvaa painoa vastaava massa. Ideaalinen derivaattori vahvistaa voimakkaasti suuritaajuista kohinaa. Ongelma voidaan korjata käyttämällä vaiheenjohtopiiriä, jolloin derivaattori toimii tietyllä taajuusalueella. Vaiheenjohtopiirin siirtofunktio G pl on muotoa G pl (s) = K ds + 1 T f s + 1, (3.12) missä T f on vakio. Nyt piiri toimii derivaattorina taajuusalueella [1/K d, 1/T f ] ja vahvistus on rajoitettu arvoon K d /T f. Kolme erilaista vaiheenjohtopiirin Bode-diagrammia on esitetty kuvassa Bode Diagram Magnitude (db) K d / T f 10 / / / Phase (deg) Frequency (rad/s) Kuva 3.3: Vaiheenjohtopiirin Bode-diagrammi kolmella eri konfiguraatiolla. Käytännössä PD-säädettyyn systeemiin jää jatkuvuustilan virhettä, eli roottori ei saavuta täysin ohjepaikkaa. Tällöin ulkoisen voiman aiheuttamaa siirtymää ei myöskään korjata. Virhe saadaan poistettua lisäämällä säätimeen integroiva osa, jolloin säädin ottaa huomioon ajan mukaan kertyvän virheen. Kun ideaalisen PD-säätimen D-osa korvataan vaiheenjohtopiirillä ja lisätään I-osa, niin saadaan käytännöllinen PID-säädin, jonka siirtofunktio C P ID on C P ID = K p + K i s + K ds + 1 T f s + 1, (3.13) jossa K i on integraattorin vahvistus. Integraattorin vahvistukselle ei saada mallipohjaista viritystä [2]. Vahvistus valitaan kokeilemalla ja simuloimalla siten, että haluttu dynamiikka saavutetaan (esim. nousuaika, asettumisaika, ylitys). Jos integraattorin vahvistus on liian suuri, kumoaa se vaiheenjohtopiirin vaikutusta ja aiheuttaa epästabiiliuuden [1]. 13

15 4 Simulointimalli ja säädön toiminta Tässä kappaleessa esitellään työssä käytetty kahden vapausasteen laakerijärjestelmä ja siihen perustuva simulaatiomalli ja analysoidaan PID-säätimen toimintaa simuloinnein. Simuloinneissa käydään läpi roottorin nostotilanne sekä analysoidaan säädön toimintaa olettamalla mallinnusepävarmuutta. Tarkastellaan myös virtasäädön toimintaa askelvastein. Mallinnusepävarmuudeksi oletetaan R ± 10%, L ± 10%, k i ± 20% ja k s ± 20%. 4.1 Koelaitteisto Simulointimalli ja säädön suunnittelu tehdään yhden radiaalilaakerin ja roottorin pienoismallille, joka on esitetty kuvassa 4.1. Roottori on laakeroitu kiinteästi toisesta päästä normaalilla kuulalaakerilla. Tällöin roottorilla on magneettilaakerointikohdassa kaksi vapausastetta, joita siis hallitaan magneettilaakerilla. Roottorin pituus on 30 cm ja massa 2.64 kg. Roottorin laakerointikohtaan kohdistuvaa painoa vastaava massa on laskettu roottorin massan ja painopisteen avulla. Painopiste on laskettu roottorin CAD-mallista. Laakerin käämien induktanssit ja resistanssit mitattiin Keysight U1733C LRC-mittarilla, kun roottori oli levossa ala-asennossaan. Mittaustuloksista otetaan keskiarvot. Koelaitteiston fyysiset parametrit on esitetty taulukossa 1. Kuva 4.1: Kahden vapausasteen radiaalilaakerijärjestelmä. 4.2 Simulointimalli Magneettilaakerista muodostetaan simulointimalli, sisältäen visuaalisen 3D-esityksen, Simulink-ympäristöön. 3D-malli on alun perin tehty SolidWorks CAD-ohjelmistolla, josta se on tuotu VRML (Virtual Reality Modeling Language) -muodossa Simulinkiin hyödyntäen Simulink 3D Animation -lisäosaa [9]. Renderöity magneettilaakeri ja roottori on esitetty kuvassa 4.2. Roottorin laminoitu osa on esitetty punaisella. On syytä huomauttaa, että oikeassa systeemissä roottorin liike on niin pientä, että sitä on vaikea silmällä havainnoida. Tämän takia roottorin kokoa on pienennetty suhteessa staattoriin, jotta roottorin liikettä voidaan liioitella ja saada se paremmin näkyviin ja havainnollistaa sen liikettä paremmin. 14

16 Taulukko 1: Simulaatiossa käytetyt fyysiset parametrit Parametri Arvo Selitys A [m 2 ] Sähkömagneetin muodostaman magneettipiirin poikkipinta-ala n 100 Sähkömagneettien käämien kierrosluku R 2.13 [Ω] Sähkömagneettien käämien keskimääräinen resistanssi L 20 [mh] Sähkömagneettien käämien keskimääräinen induktanssi i bias 3.0 [A] Biasointivirta i max 10.0 [A] Käämin suurin magnetointivirta s [mm] Ilmaväli, kun roottori on keskellä laakeria m 1.52 [kg] Roottorin laakerikohtaan kohdistuvaa painoa vastaava massa k i 61.4 [N/A] Virtajäykkyys (yhtälö (2.13) ja kuva 2.5) k s [N/m] Paikkajäykkyys (yhtälö (2.14) ja kuva 2.5) u dc 250 [V] PW-modulaattorin jännite Kuva 4.2: Magneettilaakeroidun akselin 3D-renderöinti. Roottorin liike mallinnetaan käyttämällä Newtonin II lakia ja epälineaarista voimayhtälöä (2.11). Roottorin osuminen laakeriin on mallinnettu siten, että seinämät toimivat jäykkinä ja hyvin vaimennettuina jousina. Kun roottori uppoaa hiemankin seinämään, siihen kohdistuu voima, jonka suunta on keskelle laakeria. Simulointimalli on esitetty kuvassa 4.3. Alisysteemi 2-DOF Magnetic Bearing sisältää liikemallin kummallekin akselille sekä sähkömagneettimallit ja virtaohjaimet, joita on siis neljä kappaletta. Alisysteemin ulkopuolella on paikkatakaisinkytkennät ja -säätimet kummallekin akselille. Malliin on myös sisälletty häiriön tuotto ulkoisen voiman muodossa. Liukurista valitaan voiman suuruus ja suuntanapista voima kohdistuu roottorin laakerointikohtaan niin 15

17 kauan kuin nappia pidetään pohjassa. Käämien virtoja voidaan seurata graafeista, ja roottorin paikka nähdään graafista ja 3D-animaatiosta. Control Currents X Force Perturbation X Position 0 PID(s) Y Position X Position Reference X Position Controller X Control Current X Current + Position 0 PID(s) Y Control Current X Current - Y Current + X Current Y Position Reference Y Position Controller Y Force Perturbation Y Current - 2-DOF Magnetic Bearing Y Current X Force -1 Gain1 -K- Y Force 0 Scale Perturbation Click and hold on the buttons to apply an external force on the rotor in the direction specified. Use the slider to select the amount of force to be applied. Constant 3D Visualization (motion exaggerated) Force [N] Kuva 4.3: Magneettilaakerisysteemin simulointimalli. Vasemmalla on paikkaohjeet, joista vähennetään mitattu paikka. Paikkavirheet menevät paikkasäätimille, joista saadaan kontrollivirtaohje, joka syötetään laakerisysteemiin. Systeemin ulostulot syötetään graafeihin ja 3D-malliin. 4.3 Säätimien toiminnan analyysi Paikkasäädin viritetään etsimällä simulaation avulla säätimen parametreille ω n, ξ, T f ja K i arvot, joilla systeemi on stabiili. Luonnollisen kulmataajuuden arvolla vaikutetaan systeemin kaistanleveyteen. Jos kulmataajuus on liian pieni, ei säädin jaksa nostaa roottoria ala-asennosta keskikohtaan. Toisaalta, jos kulmataajuus on liian suuri, jää roottori oskilloimaan ala- ja yläasennon välille hakaten laakerin reunoja. Löydetään kulmataajuuden arvolle melko kapea alue, josta valita. Vaimennusvakio vaikuttaa suoraan vaiheenjohtopiirin vahvistukseen. Arvon pitää olla riittävän suuri, ettei roottori osu laakerin yläkohtaan nostossa. T f vaikuttaa siihen mille taajuudelle vaiheenjohto osuu ja se valitaan siten, että saadaan riittävästi vaihevaraa. Integraattorin vahvistus valitaan riittävän pieneksi, että se ei kumoa vaiheenjohtoa. Valitut säädinparametrit on esitetty taulukossa 2 ja avoimen järjestelmän Bode-diagrammi kuvassa Virtasäädön toiminta Verrataan kohdassa 3.1 esiteltyjä säätimiä ja tutkitaan mallinnusepävarmuuden aiheuttamia vaikutuksia. Kuvassa 4.5 on esitetty säätimien askelvasteet (0 A - 1 A). Vasemmalla on PI-säätimen askelvasteet, kun säätimen virityksessä käytettävät resistanssi ja induktanssi vastaavat käämiä, ja kun induktanssi on arvioitu 10% liian pieneksi. Huomataan, että mallinnusepävarmuus aiheuttaa tässä tilanteessa noin kahden promillen ylityksen, jonka jälkeen virta asettuu tavoitearvoon. Ylitys on mallinnusepävarmuuteen suhteessa niin pieni, että sillä ei ole käytännön merkitystä. Oikealla on IR-kompensoidun, P-säädetyn käämin askelvaste. Nyt oletetaan, että resistanssi on arvioitu 10% liian pieneksi. Tästä johtuen virta jää hieman tavoitearvostaan. 16

18 Taulukko 2: Simulaatiossa käytetyt säädinparametrit. Parametri Arvo Selitys K cp 110 Virtasäätimen vahvistus (yhtälö (3.7)) K cff 2.13 Virtasäätimen myötäkytkennän vahvistus ω n 800 [rad/s] Säädetyn magneettilaakerisysteemin luonnollinen kulmataajuus ξ 1.0 Säädetyn magneettilaakerisysteemin vaimennusvakio K p Paikkasäätimen P-osan vahvistus (yhtälö (3.10)) K d 39.5 Vaiheenjohtopiirin vahvistusparametri (yhtälö (3.11)) T f Vaiheenjohtopiirin parametri (yhtälö (3.12)) K i PID-säätimen integraattorin vahvistus 50 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Kuva 4.4: Säädetyn magneettilaakerisysteemin avoimen piirin Bode-diagrammi. Vaihevaraa on 54.7 ja vahvistusvaraa db. 17

19 PI PI, L -10% IR IR, R -10% i [A] 1 i [A] t [s] t [s] Kuva 4.5: Vasemmalla PI-virtasäädetyn käämin askelvaste ilman mallinnusepävarmuutta ja -10% induktanssivirheen kanssa. Oikealla vastaava IR-kompensoidulle, P-säädetylle käämille, missä virhe koskee resistanssia. Jatkuvuustilan virhe on noin kaksi promillea, joka on 10% virheeseen verrattuna hyvin pieni. Molemmilla säätimillä saavutetaan samanlainen vaste, kun suunnittelussa käytetyt parametrit vastaavat käämin parametrejä. Nousuaika vastaa myös kohdassa määriteltyä arvoa Paikkasäädön toiminta Kun magneettilaakeri kytketään päälle, pitää laakerin nostaa ala-asennossa oleva roottori ylös laakerin keskelle. Tarkastellaan roottorin paikkaa yhdellä akselilla (liike toisella akselilla on identtistä) noston aikana. Tarkastellaan paikkaa myös, kun oletetaan, että säädinsuunnittelussa käytettävät virta- ja paikkajäykkyyden arvot eroavat todellisista ±20%. Kuvassa 4.6 on esitetty roottorin x-akselin paikka ajan funktiona noston aikana, kun virta- ja paikkajäykkyys tiedetään tarkasti ja eri virhemarginaalien kombinaatioilla. Kuvasta nähdään, että systeemi on stabiili kaikilla kombinaatioilla. Eroa on ylityksen suuruudessa, nousuajassa ja värähtelyn vaimenemisessa. Asettumisaika keskikohtaan on kaikilla kutakuinkin sama, noin 80 ms. Ylityksen suuruus on maksimissaan alle kolmasosa keskikohdan ja yläkohdan välisestä etäisyydestä, eli roottori ei osu laakerin yläosaan nostossa. Mallinnusepävarmuuden aiheuttamat erot säätimen toimintaan ovat pienet, joten paikkasäätösuunnittelua voidaan pitää onnistuneena. Nyt jos säätö implementoitaisiin oikeaan systeemiin, niin tiedettäisiin sopivat alkuarvot säädinparametreille. Lopullinen hienosäätö tehtäisiin kokeellisesti. 18

20 x [m] k i, k s k i +20%, k s +20% k i +20%, k s -20% k i -20%, k s +20% k i -20%, k s -20% t [s] Kuva 4.6: Roottorin x-akselin paikka ajan funktiona nostossa, erilaisilla jäykkyysparametreillä. 5 Yhteenveto ja kehitysehdotukset Tässä kappaleessa esitetään yhteenveto työstä ja pohditaan miten tehtyä työtä pystyisi jatkossa kehittämään. 5.1 Yhteenveto Tässä kandidaatintyössä mallinnettiin pienen mittakoon magneettilaakerisysteemi, joka koostuu yhdestä radiaalilaakerista ja roottorista. Roottorin toinen pää on kiinnitetty perinteisellä kuulalaakerilla, jolloin magneettilaakerilla hallitaan roottorin kahta vapausastetta. Mallin perusteella suunniteltiin leijutuksen magneettikentässä mahdollistava säädin. Mallinnus aloitettiin muodostamalla yhtälö voimalle, jonka sähkömagneetti kohdistaa ferromagneettiseen roottoriin. Voiman tuotto toteutettiin differentiaalisesti, eli sähkömagneettipari vetää kappaletta puoleensa molemmilta puolilta. Nettovoiman suuruutta hallitaan kontrollivirralla. Oletuksena molemmissa käämeissä kulkee biasointivirta. Kontrollivirta lisätään toisen käämin oletusvirtaan ja vähennetään toisen oletusvirrasta. Tällä tavalla nettovoiman suuruus on suoraan verrannollinen kontrollivirtaan. Kokonaisvoiman yhtälö on kuitenkin epälineaarinen, koska sähkömagneetin tuottama voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden, eli ilmavälin etäisyyteen. Jotta voitiin soveltaa lineaarista säätöteoriaa, ilmavälin vaikutusta approksimoitiin lineaarisesti leijutuspisteen alueella. Simulointia varten koko systeemi mallinnettiin lohkokaaviopohjaisella Simulink -ohjelmistolla. Voimayhtälöiden avulla luotiin roottorin liikemalli kummallekin vapausasteelle. Roottorin liikkeen havainnollistamiseksi luotiin animoitu 3D-malli magneettilaakerista ja roottorista. Liikemallien lisäksi kokonaismalliin kuuluu sähkömagneettimallit ja virtasekä paikkasäätimet. 19

21 Säätösuunnittelu tehtiin mallipohjaisesti. Säätö toteutettiin kaskadirakenteena, jossa paikkasäädin laskee virtaohjeen, jonka perusteella virtasäädin kytkee käämiin jännitteen. Virtasäätimelle esitettiin kaksi erilaista rakennetta: IR-kompensoitu P-säätö ja PI-säätö. Huomattiin, että molemmilla saadaan identtinen vaste, kun oletetaan, että käämin ominaisuudet tiedetään tarkasti. Vasteet eroavat todellisuudessa hieman toisistaan mallinnusepävarmuudesta johtuen, mikä todettiin askelvasteesta, kun epävarmuudeksi oletettiin 10%. Virtasäätimien kaistanleveys suunniteltiin mahdollisimman nopeaksi, ottaen huomioon virran kasvunopeuden fyysiset rajoitteet. Paikkasäädinrakenteeksi valittiin PID-säädin sen yksinkertaisuudesta johtuen. Ideaalisen derivaattorin sijaan käytettiin vaiheenjohtopiiriä. Paikkasäädön viritykseen käytettiin säädinparametrien yhteyttä säädetyn systeemiin luonnolliseen kulmataajuuteen ja vaimennusvakioon, joille etsittiin sopivat arvot simulaatiomallin avulla. Paikkasäädön toimintaa tutkittiin simuloimalla magneettilaakerin käynnistystilanne, jolloin laakeri nostaa roottorin ala-asennosta leijumaan roottorin keskelle. 20% mallinnusepävarmuus otettiin huomioon ja todettiin, että tällä on vähän vaikutusta paikkavasteeseen, joten suunniteltua säädintä voidaan pitää simulointien perusteella robustina. 5.2 Kehitysehdotukset Magneettilaakerisysteemin Simulink-mallin luomisessa oli tavoitteena, että malli voisi toimia säätötekniikan opetuksessa virtuaaliympäristönä. Tällöin opiskelija voisi tehdä systeemille säätösuunnittelun ja testata sitä virtuaalisesti, jonka jälkeen säädintä testattaisiin oikealla systeemillä. Ideaalisessa tilanteessa virtuaali- ja todellinen systeemi toimisivat identtisesti. Tämän työn puitteissa suunniteltua säätöä ei kokeiltu oikeassa järjestelmässä. Myöhemmin on tarkoitus ottaa järjestelmä käyttöön ja kokeilla tehtyä säätösuunnittelua käytännössä. Tällöin saadaan tietoa siitä, kuinka hyvin simulointimalli vastaa oikeaa systeemiä. Mallin parantamiseksi tarvittavaa lisätietoa saadaan kokeellisella identifioinnilla ja numeerisilla laskentatyökaluilla, kuten FEM-mallinnuksella. FEM-mallinnuksella saataisiin malli esimerkiksi dynaamiselle induktanssille. Oikeassa systeemissä esiintyy kohinaa mittauksissa ja eri komponentit aiheuttavat järjestelmään viivettä. Kohina ja viiveet on mahdollista identifioida ja lisätä malliin. Tehovahvistin on mahdollista tehdä realistisemmaksi simuloimalla pulssinleveysmodulaatio. Simulointitarkkuudessa rajoittavaksi tekijäksi tulee laskentateho ja käytetyn ohjelmiston suorituskyky. Simulointimallia tarkennettaessa simuloinnin ajo käy yhä raskaammaksi. Erilaisten säätimien testaaminen tarkemmalla mallilla, jossa esimerkiksi roottorin noston simulointi kestää useita minuutteja, muuttuu paljon aikaa vieväksi. Loppuun on syytä huomauttaa, että säätösuunnittelu tehdään usein lineaariselle mallille ja on tärkeää testata suunnitellun säätimen toimintaa tarkempaa simulointimallia vasten, joka sisältää epälineaarisuuksia, viiveitä sekä muita oikean systeemin säätöjärjestelmän rajoittavia tekijöitä. 20

22 Viitteet [1] G. Schweitzer ja E. H. Maslen. Magnetic Bearings, Theory, Design, and Application to Rotating Machinery. Springer, [2] A. Chiba et al. Magnetic Bearings and Bearingless Drives. Newnes, [3] S. Ernshaw. On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether. Trans. Camb. Phil. Soc. 7 (1840), s [4] J. Pyrhönen ja J. Nerg. Sähkömagnetismi. Opetusmoniste. LUT, [5] K. Hynynen. Broadband Excitation in the System Identification of Active Magnetic Bearing Rotor Systems. Väitöskirja. LUT, [6] F. Lösch. Identification and Automated Controller Design for Active Magnetic Bearing Systems. Väitöskirja. ETH Zürich, [7] R. P. Jastrzebski. Design and Implementation of FPGA-Based LQ Control of Active Magnetic Bearings. Väitöskirja. LUT, [8] D. Wilson. Teaching Your PI Controller to Behave (Part II) url: https: //e2e.ti.com/blogs_/b/motordrivecontrol/archive/2015/07/20/teachingyour-pi-controller-to-behave-part-ii#pi318947=2 (viitattu ). [9] MathWorks. Simulink 3D Animation url: / products/3d-animation.html. 21