Paikkatiedon hallinta ja analyysi 2. Diskreettiä geometriaa
|
|
- Tuulikki Hämäläinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi 2. Diskreettiä geometriaa Antti Leino 17. maaliskuuta 2005 Tietojenkäsittelytieteen laitos
2 Sisältö Simpleksiset kompleksit Maailmat Egenhofer Frank Jackson 1989: A Topological Data Model for Spatial Databases Güting Schneider 1993: Realms: A Foundation for Spatial Data Types in Database Systems
3 Diskreettiä geometriaa Perusongelma: avaruus on jatkuva-arvoinen, mutta tietokone-esityksen laskentatarkkuus äärellinen Tästä seuraa mielenkiintoisia ilmiöitä Skaalaus voi muuttaa topologiaa Viivojen leikkauspiste ei välttämättä ole viivalla Muunnos ja sen käänteismuunnos peräkkäin voivat tuottaa eri olion kuin mistä lähdettiin Päällekkäisoperaatio (overlay) tuottaa usein häiriöitä (gap, sliver) Kaksi lähestymistapaa: simpleksiset kompleksit ja maailmat
4 Kuvaustavan vaatimuksia Yleispätevyys Sulkeumaominaisuudet unionin, leikkauksen ja erotuksen suhteen Edellytyksenä tietokantaoperaatioille Formaali määriteltävyys Äärellinen resoluutio Ristiriidattomuus Vierekkäisillä alueilla on yhteinen raja Toteuttamiskelpoisuus Voitava käyttää tietokannan rakentamisessa
5 Simpleksit N-simpleksi (simplex): minimaalinen n-ulotteinen olio 0-simpleksi 1-simpleksi 2-simpleksi (piste) (jana) (kolmio) Kukin n-simpleksi koostuu n+1 riippumattomasta (n-1)-simpleksistä Jana kahdesta pisteestä, kolmio kolmesta janasta jne. Kolmion muodostavat janat ovat riippumattomia, jos mitkään niistä eivät ole samansuuntaisia eikä mikään niistä 0-pituinen
6 Simpleksiset kompleksit simpleksinen kompleksi (simplicial complex): äärellinen joukko simpleksejä Kahden kompleksiin kuuluvan simpleksin leikkaus on joko tyhjä tai kummankin osana oleva simpleksi 1-kompleksi 2-kompleksi Ei 1-kompleksi Ei 2-kompleksi
7 Reunat Simpleksin s n reuna (boundary) s n : ne (n-1)-simpleksit, jotka muodostavat s n :n Simpleksin s n piiri (co-boundary) 1 γs n : ne (n+1)-simpleksit, joiden osana s n on Simpleksisille komplekseille vastaavasti c n = s n c n s n γc n = s n c n γs n 1 Tälle varmaan on parempikin suomennos, mutten löytänyt mitään vakiintunutta.
8 Täydellisyysaksioomat Simpleksinen rakenne esittää koko kuvattavaa avaruutta. Niinpä kahden n-simpleksin leikkaus on joko tyhjä tai kumpaankin kuuluva (n-1)-simpleksi päällekkäisyyttä ei ole, vaan kukin avaruuden kohta on kuvattu vain kerran Jokainen n-simpleksi on (n+1)-simpleksin osa 2-ulotteisessa tapauksessa siis jokainen piste on janan päätepiste ja jokainen jana kolmion sivu
9 Pisteen lisäys Olemassaolevalle viivalle Muualle
10 Viivan lisäys Rekursiivinen operaatio Lisätään viivan päätepisteet (jos eivät ole jo) Etsitään pienin 2-kompleksi, jonka sisällä lähtöpiste on Lisätään piste tämän kompleksin ja lisättävän viivan leikkauspisteeseen Lisätään viiva tämän pisteen ja päätepisteen välille 2-ulotteisen kohteen lisäys samoin rekursiivisesti
11 Maailmat Vaihtoehtoinen tapa geometrian esittämiseen: maailma (realm) Pohjana hila, jonka resoluutio on äärellinen Koko tarkasteltavan geometrian tyhjentävä kuvaus
12 Maailman määritelmä Äärellinen joukko hilaan sijoitettuja pisteitä ja janoja, jossa Kukin piste ja janan päätepiste on hilapiste Kukin janan päätepiste on myös maailman piste Maailman piste voi olla janalla vain päätepisteenä Kaksi janaa ei voi leikata toisiaan tai mennä päällekäin, paitsi päätepisteissään
13 Diskreetti hila Laskennallisesti näppärä Esitettävissä kokonaislukuina Resoluutio käyttötarkoituksen mukaan Hyödyllinen Takaa geometrisen ristiriidattomuuden Hyvät sulkeumaominaisuudet Suojaa geometrista tarkastelua laskentatarkkuuden rajallisuudelta Bonus: maailma-tietorakennetta voi käyttää tietokannan indeksinä
14 Olioiden muuntaminen maailmaan Perusongelma: viivojen leikkauspisteet eivät osu hilapisteisiin Esitetään leikkauspiste hilapisteenä? Mutta: Leikkauspiste ei ole kummallakaan janalla Leikkauspiste on janojen alhaalta rajoittamalla alueella Leikkauspiste on sinisen janan väärällä puolella
15 Janasta murtoviivaksi Muutetaankin janat murtoviivoiksi, jotka kulkevat leikkauspisteen kautta Mutta: jana saattaa vaeltaa mielivaltaisen kauas oikealta paikaltaan
16 Janan kuori Määritellään janalle s kuori (envelope) E(s): ne hilapisteet, jotka ovat lähinnä janaa sen ylä- tai alapuolella tai itse janalla Jana voidaan piirtää uudelleen, mutta vain kuorensa sisällä Jana ei voi siirtyä (hila)pisteen toiselle puolelle Sen sijaan se voi siirtyä kulkemana läheisen pisteen kautta
17 Paikkatietotyyppien toteuttaminen Paikkatietotyypit voidaan toteuttaa maailma-approksimaation avulla Neljä kerrosta 1. Hila ja sen geometriset primitiivit 2. Hilaan määritelty maailma 3. Maailmaperustaiset rakenteet 4. Näiden avulla määritellyt paikkatietotyypit
18 Geometriset primitiivit Äärellinen diskreetti avaruus, sen pisteet ja janat sekä niitä koskevat yksinkertaiset suhteet ja operaatiot N-avaruus: N N, missä N = {0,1,..., n 1} N N-piste: pari (x, y) N N N-jana: kaksi N-pistettä (p, q) (ja niiden välinen viiva) Kaikkien N-pisteiden joukko P N Kaikkien N-janojen joukko S N
19 N-janojen väliset suhteet Samat Leikkaavat Yhdensuuntaiset Päällekkäin (equal) (intersect) (parallel) (overlap) Linjassa Kohtaavat Koskettavat Erilliset (aligned) (meet) (touch) (disjoint)
20 N-avaruuden primitiivejä Kaksi pistettä voivat olla samat Piste voi olla janalla (on), janan sisällä (in) tai janan ulkopuolella (out): ensimmäisessä tapauksessa piste on joko sisä- tai päätepiste, toisessa tapauksessa nimenomaan sisäpiste Kahden janan leikkaus tuottaa tuloksenaan janojen leikkauskohtaa lähinnä olevan N-pisteen
21 Maailma N-avaruudessa N-avaruuden muodostamaan hilaan voi määritellä N-maailma (N-realm, realm over N): R-pisteiden (R-point) ja R-janojen (R-segment) muodostama joukko R = P S, missä Käytössä on vain hilapisteitä ja niiden välisiä janoja, P P N,S S N Janojen päätepisteet ovat maailman pisteitä, (p, q) S : p P q P Maailman pisteinä ei ole janojen sisäpisteitä, p P s S : (p in s) Janat koskevat toisiaan korkeintaan päätepisteissään, s, t S : (s = t) (s intersect t) (s overlap t) (s touch t)
22 Maailman operaatiot Määriteltävä paikkatieto-olioiden käsittelyyn tarvittavat operaatiot N-pisteen ja N-janan lisäys R-pisteen ja R-janan poisto Muistettava paikkatieto-olioiden ja maailman kohteiden välinen riippuvuus Kullakin maailman oliolla tunniste (realm object identier, ROID) Kullakin paikkatietokanta-alkion sijaintitiedolla samoin tunniste (spatial component identier, SCID)
23 Topologian säilyttäminen Topologian säilyvyydestä huolehditaan kuori-käsitteen avulla Lisäksi hyvin lähekkäisiä kohteita koskeva eheysrajoite Janan s aito kuori (proper envelope): Ē(s) = {p E(s) p ei ole s:n päätepiste} Minkään R-janan aidossa kuoressa ei saa olla R-pisteitä Jana voidaan piirtää uudelleen kulkemaan kuoripisteidensä kautta aidossa kuoressa olevan pisteen on tarkoitus olla janalla Pisteen lisäys aitoon kuoreen aiheuttaa janan uudelleenpiirtämisen
24 Janan uudelleenpiirtäminen Määritellään kuoren pisteet, joiden kautta murtoviiva kulkisi Kiinnitetään ne janaan lyhyillä suunnatuilla janoilla, koukuilla (hook) Koukku p, p liittyy janojen s ja t leikkaukseen ja vaikuttaa kummankin uudelleenpiirtämiseen Koukku q, q puolestaan liittyy pisteen q lisäämiseen Koukku q, q leikkaa myös janan u ja synnyttää uuden koukun tästä leikkauspisteestä pisteeseen q
25 Pisteen lisäys maailmaan if q R : p = q then S env {s S p Ē(s)}; if S env = then R R {p}; sci ds(p) ; else foreach s S env do Kiinnitä s:ään koukku p s, p (missä p s on p:tä lähin s:n piste); foreach koukutettu jana s do Piirrä s p:n kautta kulkevaksi murtoviivaksi; Poista s;
26 Janan lisäys maailmaan Tarkista, että s:n päätepisteet kuuluvat R:ään; if s R then P env P Ē(s); S i nt {t S (t s) (t ja s leikkaavat)}; if (P env = ) S i nt = then S S {s}; sci ds(s) ; else foreach p P env do Kiinnitä koukku s:stä p:hen; foreach t S i nt do Kiinnitä koukku s:n ja t:n leikkauspisteestä lähimpään kuoren pisteeseen; foreach koukutettu jana t do Piirrä t koukun päätepisteen kautta kulkevaksi murtoviivaksi; Poista t;
27 Maailmaperustaiset rakenteet Nyt siis voidaan esittää 0- ja 1-ulotteisia olioita. Vielä on määriteltävä 2-ulotteiset. R-sykli (R-cycle) on R-janojen joukko S(c) = {s 1,..., s n }, jossa i {1,..., n} : s i meet s (i+1) mod n Muut janat eivät kohtaa N-piste on syklillä, jos se on jollakin sen janalla: p on c s S(c) : p on s Loput kaksi suhdetta (sisällä / ulkona) eivät johdettavissa vastaavista janan ja pisteen suhteista
28 Onko piste syklin sisällä? Ensiksi tarkistetaan, ettei p ole syklillä c Vedetään apujana pisteestä p = (x, y) suoraan ylös niin pitkälle kuin hilaa riittää: s p = ((x, y),(x, n 1)) Lasketaan ne c:n osajanat, joiden oikeanpuoleinen mutta ei vasemmanpuoleinen päätepiste on janalla s p tai jotka leikkaavat janan Jos tällaisia osajanoja on pariton määrä, p in c Jos taas näitä on parillinen määrä, p out c
29 R-syklin osat R-sykli jakaa hilapisteet kolmeen osajoukkoon Syklin sisäpuolella olevat pisteet P i n (c) Syklillä olevat pisteet P on (c) Syklin ulkopuolella olevat pisteet P out (c) Lisäksi voidaan ajatella syklin pisteet P(c) = P i n (c) P on (c) Syklien väliset suhteet voidaan määritellä näiden joukkojen sekä syklin janojen muodostaman joukon S(c) avulla
30 R-syklien sisäkkäisyys Syklien c 1 (musta) ja c 2 (sininen) välinen suhteet c 2 on sisustaltaan c 1 :n sisällä (area-inside, 13): P(c 2 ) P(C 1 ) c 2 on reunaa myöten c 1 :n sisällä (edge-inside, 23): (c 2 area-inside c 1 ) (S(c 1 ) S(c 2 ) = ) c 2 on kärkipisteitä myöten c 1 :n sisällä (vertex-inside, 3): (c 2 edge-inside c 1 ) (P on (c 1 ) P on (c 2 ) = )
31 R-syklien erillisyys Syklit c 1 (musta) ja c 2 (punainen) voivat olla c 1 ja c 2 ovat sisustoiltaan erillisiä (area-disjoint, 46): (P i n (c 1 ) P(c 2 ) = ) (P(c 1 ) P i n (c 2 ) = ) c 1 ja c 2 ovat reunoja myöten erillisiä (edge-disjoint, 56): (c 1 area-disjoint c 2 ) (S(c 1 ) S(c 2 ) = ) c 1 ja c 2 ovat kärkipisteitä myöten erillisiä (vertex-disjoint, 56): (c 1 edge-disjoint c 2 ) (P on (c 1 ) P on (c 2 ) = ) eli yksinkertaisemmin P(c 1 ) P(c 2 ) =
32 Muita sisäkkäisyyssuhteita R-jana voi olla R-syklin sisällä sisustaltaann (13) reunaa myöten (23) kärkipisteitä myöten (3) R-piste voi olla R-syklin sisällä sisustaltaan (12) kärkipisteitä myöten (2)
33 Reiälliset alueet R-sykli ei vielä riitä aluekoheiden esittämiseen: siinä ei ole reikiä R-tahko (R-face): pari f = (c,h), missä c on R-sykli, H = {h 1,..., h n } joukko R-syklejä ja 1. i {1,..., n} : h i edge-inside c 2. i, j {1,..., n}, i j : h i edge-disjoint h j 3. d C(S(f )) : (s = c) (s H)
34 R-tahkon yksikäsitteisyys R-tahkon vaatimusten kohta?? tarkoittaa, että tahkoon kuuluvista janoista ei voi muodostaa muita syklejä kuin tahkon tai sen reikien reunaviivat Tämä takaa esityksen yksikäsitteisyyden Niinpä kuva on tulkittava kahdeksi reunojaan myöten erilliseksi tahkoksi
35 R-tahkojen topologiset suhteet R-syklejä koskevat topologiset suhteet ovat yleistettävissä R-tahkoille Perusajatus: kohde on R-tahkon sisällä, jos se on tahkon ulkoreunaa kuvaavan syklin sisällä muttei reiässä Eri sisäkkäisyys- ja erillisyysasteiden avulla määriteltävissä myös sivuaminen (adjacent): kohteet ovat sisustoiltaan erillisiä, mutta niillä on vähintään yksi yhteinen jana kohtaaminen (meet): kohteet ovat reunoja myöten erillisiä, mutta niillä on vähintään yksi yhteinen kärkipiste
36 R-yksiköt R-yksikkö (R-unit) on minimaalisen kokoinen R-tahko (sen sisällä ei ole muita R-tahkoja) g F(R) : g area-inside f g = f Tahkoon kuuluvien yksiköiden joukko uni t s(f) = {u U(R) f F : u area-inside f } ja yksiköiden muodostama tahko(joukko) f aces(u) = u u U
37 Yksikkö- ja tahkoesityksen yhtäpitävyys Voidaan osoittaa, että F F(R) : f aces(uni t s(f)) = F Maailmaan kuvattu alue voidaan siis osoittaa joukkona R-yksiköitä joukkona R-tahkoja, jotka ovat parittain sisustoiltaan erillisiä
38 Paikkatietokohteiden esittäminen R-lohko (R-block): R-janoista muodostuva yhtenäinen aliverkko Kohteiden esittämiseen kaksi vaihtoehtoa 1. Rakenteeton esitystapa Pistekohde R-pisteiden joukkona Viivakohde R-janojen joukkona Aluekohde R-yksiköiden joukkona 2. Rakenteinen esitystapa Pistekohde R-pisteden joukkona Viivakohde parittain erillisten R-lohkojen joukkona Aluekohde parittain reunoja myöten erillisten R-tahkojen joukkona
Paikkatiedon käsittely 4. Diskreettiä geometriaa
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 4. Diskreettiä geometriaa Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 25.1.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Laskentatarkkuuden
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 12. Yhteenveto
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 12. Yhteenveto Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 22.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Kurssin sisältö
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi Antti Leino Marko Salmenkivi 15.3.29.4.2005
LisätiedotPaikkatiedon käsittely
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 15.1. 22.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Yleiskuvaus Kurssilla käsitellään
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 2. Relaatiomallin paikkatietolaajennokset
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 2. Relaatiomallin paikkatietolaajennokset Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 18.1.2007 Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi 4. Paikkatiedon indeksointi
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi 4. Paikkatiedon indeksointi Antti Leino 29. maaliskuuta 2005 Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 6. Kyselyn käsittely
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 6. Kyselyn käsittely Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 1.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Kysely indeksin
Lisätiedot6.4. Järjestyssuhteet
6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen
LisätiedotLuento 2: 2D Katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 2: 2D Katselu Lauri Savioja 11/07 2D katselu / 1 Sisältö Ikkuna ja näyttöalue Viivanleikkaus ikkunaan Monikulmion leikkaus ikkunaan Tekstin leikkaus
LisätiedotMonikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
LisätiedotLuento 6: Tulostusprimitiivien toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 ntialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Sisältö Primitiivien toteutus
LisätiedotGEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotDatatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
LisätiedotPro gradu -tutkielma JORDANIN KÄYRÄLAUSE JA SCHÖNFLIESIN LAUSE. Lotta Oinonen
Pro gradu -tutkielma JORDANIN KÄYRÄLAUSE JA SCHÖNFLIESIN LAUSE Lotta Oinonen 2006 Ohjaaja ja tarkastaja: FT Erik Elfving Toinen tarkastaja: prof. Sören Illman HELSINGIN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN
Lisätiedot= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
LisätiedotEpäeuklidista geometriaa
Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset
Lisätiedot4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
LisätiedotLuento 3: 2D Katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 3: 2D Katselu Lauri Savioja 11/06 2D katselu / 1 Sisältö Ikkuna ja näyttöalue Viivanleikkaus ikkunaan Monikulmion leikkaus ikkunaan Tekstin leikkaus
LisätiedotTasokuvioita. Monikulmio: Umpinainen eli suljettu, itseään leikkaamaton murtoviivan rajaama tason osa on monikulmio. B
Tasokuvioita GOMTRI M3 Murtoviiva: Sanotaan, että kaksi janaa on liitetty toisiinsa, jos niiden toinen päätypiste on sama. Peräkkäin toisiinsa liitettyjen janojen muodostamaa viivaa kutsutaan murtoviivaksi,
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
LisätiedotI Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien
I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi 5. Kyselyn käsittely
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi 5. Kyselyn käsittely Antti Leino 7. huhtikuuta 2005 Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotFraktaalit. Fractals. Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. 1 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit
Fraktaalit Fractals Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.-7.10.2012 1 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotLuento 2: Tulostusprimitiivit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Tulostusprimitiivit Lauri Savioja 11/06 D primitiivit / 1 Sisältö Mallintamisen alkeita Perusprimitiivit (GKS) attribuutteineen Näyttömuisti D primitiivit
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
Lisätiedotkeskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a
Lisätiedot0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.
Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotKönigsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
LisätiedotMATEMATIIKKA JA TAIDE II
1 MATEMATIIKKA JA TAIDE II Aihepiirejä: Hienomotoriikkaa harjoittavia kaksi- ja kolmiulotteisia väritys-, piirtämis- ja askartelutehtäviä, myös sellaisia, joissa kuvio jatkuu loputtomasti, ja sellaisia,
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotPaikkatiedot metsäkeskussanomissa soveltamisohjeet
Muutospäivä Kuvaus 30.11.2015 Metsätietostandardien metsäkeskussanomien paikkatietojen soveltamisohjeiden versio 1.0. Janne Loikkanen, Bitcomp Oy. 31.11.2015 Viivojen ja pisteiden osalta lisätty informaatio
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
LisätiedotKenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 11. Suuren mittakaavan
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 11. Suuren mittakaavan ilmiöt Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 19.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotLuento 2: Viivan toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Viivan toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 GRAAFISTEN PRIMITIIVIEN TOTEUTUS HUOM! Oletuksena on XY-koordinaatisto Suorien viivojen
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa
Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain
LisätiedotSimpleksiset kompleksit. Marjo-Riitta Kuha
Simpleksiset kompleksit Marjo-Riitta Kuha 17. toukokuuta 2013 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä/Författare Author Laitos/Institution Department Matematiikan
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotKysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
LisätiedotLuento 3: Tulostusprimitiivien toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 3: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 11/05 Primitiivien toteutus / 1 Suora ja ympyrä Antialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Sisältö
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 2. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Geometria 2 Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 8. Keskinormaali (kulmaviivaimella tai geometrisesti)... 4 9. Kulman puolittaminen ja siirtäminen geometrisesti...
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
LisätiedotOppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA34 Funktio-ohjelmointi, kevät 2008 Luento 3 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 2. tammikuuta 2008 Ydin-Haskell: Syntaksi Lausekkeita (e) ovat: nimettömät funktiot: \x
Lisätiedot8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).
LisätiedotMatematiikkakilpailut Suomessa
Matematiikkakilpailut Suomessa Anne-Maria Ernvall-Hytönen Turun yliopisto Kerkko Luosto Helsingin yliopisto Anne-Maria.Ernvall@utu.fi Kerkko.Luosto@Helsinki.FI Matematiikkakilpailut Suomessa p.1/13 Kilpailutoiminnan
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotENY-C2005 Geoinformation in Environmental Modelling Suomenkielistä terminologiaa liittyen luentoihin 3 ja 6-8
ENY-C2005 Geoinformation in Environmental Modelling 2016 Suomenkielistä terminologiaa liittyen luentoihin 3 ja 6-8 L-3 Mallinnus: käsitteistä tietomalleihin Geoinformaatio, paikkatieto: Sijainti + ominaisuudet
Lisätiedotb) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
Lisätiedot2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.
Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lisätiedot67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 0 Harjoitus, ratkaisuista. Esitä seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot: a) := { y y = ( ) n n+ n+, n N } b) := { n Z n = k, k Z } c) := { sin( nπ ) n N } Ratkaisut.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotBraggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on
763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla
LisätiedotM100 karttatietokannan laatutarkastus
Maanmittauslaitos / Kehittämiskeskus 21.12.2009 1 (11) M100 karttatietokannan laatutarkastus 1. Tarkastusotanta... 2 2. Tarkastuksessa käytetyt ohjelmistot... 2 3. Tarkastetut asiat... 2 3.1 Ominaisuuksien
LisätiedotEsimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)
10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedot8. Morfologinen kuvanprosessointi 8.1. Perusteita
8. Morfologinen kuvanprosessointi 8.1. Perusteita Sana morfologia viittaa muotoon ja rakenteeseen eri tieteenaloilla. Kuvanprosessoinnissa se tarkoittaa matemaattista keinoa, jolla irrotetaan kuvasta kiinnostavia
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotMitä murteita Suomessa onkaan?
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Mitä murteita Suomessa onkaan? Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 9. syyskuuta 2006 Tietojenkäsittelytieteen laitos Kotimaisten kielten
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotHilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua
TMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Teemu Lempiäinen Hilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja
Lisätiedot7.4 Sormenjälkitekniikka
7.4 Sormenjälkitekniikka Tarkastellaan ensimmäisenä esimerkkinä pitkien merkkijonojen vertailua. Ongelma: Ajatellaan, että kaksi n-bittistä (n 1) tiedostoa x ja y sijaitsee eri tietokoneilla. Halutaan
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotGeometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
Lisätiedot