Luento 3: 2D Katselu. Sisältö
|
|
- Jyrki Haavisto
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tietokonegrafiikan perusteet T op Luento 3: 2D Katselu Lauri Savioja 11/06 2D katselu / 1 Sisältö Ikkuna ja näyttöalue Viivanleikkaus ikkunaan Monikulmion leikkaus ikkunaan Tekstin leikkaus Erikoistapauksia 2D katselu / 2 1
2 Ikkunointi ja leikkaus Ongelma Halutaan käyttää ohjelmassa sovelluskohteeseen sopivia koordinaatteja, mutta piirtää sama kuva eri laitteilla, joilla on aivan erilainen koordinaatisto. Esim. karttasovelluksen perusyksikkönä metri kohteena 100 x 100 km maa-alue näyttölaitteen resoluutio 480 x 640 pikseliä, piirturin resoluutio x 7000 askelta. Ajatus: Irrotetaan kuvien määrittely niiden piirtämisestä. Luovutaan ohjelmassa laitekoordinaatistosta (DC) ja käytetään maailmankoordinaatistoa (WC). Y y X x World Coordinates (WC) Device Coordinates (DC) 2D katselu / 3 Katseluoperaatio Graafiset tulostusprimitiivit "piirtävät" kuviteltua maailmaa. Laitteelle kuva syntyy "katselemalla" maailmaa ikkunan läpi. Ikkunan ulkopuolelle jäävät osat leikataan pois. Jäljelle jääneet osat muunnetaan laitekoordinaatistoon. 2D katselu / 4 2
3 Ikkunan ja näyttöalueen suhteet Ikkunan () avulla olemme saaneet määritellyksi sen alueen "maailmasta", jonka pitäisi näkyä. Miten määrittelemme laitteen kuva-alueelta sen osa-alueen, jolle "näkymä" halutaan piirtää? Kuva-alue jaetaan osa-alueisiin, joita kutsutaan näyttöalueiksi (viewport), vrt. frame:t www-sivuilla Erityisesti vuorovaikutteisessa grafiikassa useat yhtäaikaiset näyttöalueet (viewport) ovat tärkeitä. 2D katselu / 5 Ikkuna-näyttöalue (jatkuu) Ikkuna-näyttöalue-muunnos yw yd WT VT WB WC WL WR Kuvaus maailmankoordinaatistosta (ikkunasta) kuva-alueen koordinaatistoon (näyttöalueelle): VR! VL x D = (x w! W L) + V WR! WL eli x D = a x W + b y D = c y W + d VT! VB yd = (yw! W B) + V missä a = (V R - V L ) / (W R - W L ) WT! WB b = V L - a W L (vast. c ja d) Ts. kukin piste vaatii 2 kertolaskua ja 2 yhteenlaskua. xw 2D katselu / 6 VB DC VL VR xd L B 3
4 Viivakuvion leikkaus ikkunaan Esim. viiden viivan ketjusta (1 polyline) jää jäljelle neljä viivaa (2 ketjua): polyline polyline1 polyline Viivakuvion kukin jana leikataan erikseen: Rasterilaitteilla leikkaus voi tapahtua juovakonversion yhteydessä (vain ikkunassa olevat pikselit piirretään). Mieluummin lasketaan ensin näkyvälle janan osalle uudet päätepisteet. 2D katselu / 7 Viivakuvion leikkaus (jatkuu) Vertaamalla janan päätepisteitä ikkunarajoihin saadaan nopeasti selville kolme vaihtoehtoa: 1) Viivan molemmat päätepisteet ikkunan sisällä => viiva kokonaan näkyvissä: PIIRRÄ 2) Viivan toinen päätepiste ikkunan sisällä, toinen ulkona => osa näkyvissä: LEIKKAA 3) Viivan molemmat päätepisteet ulkona a) => osa näkyvissä: LEIKKAA b) => viiva ulkona : UNOHDA Kuinka päästään nopeasti helppoihin tapauksiin? 2D katselu / 8 4
5 Viivanleikkaus (jatkuu) Cohen-Sutherland-algoritmi Pyritään välttämään viiva-reuna leikkausten laskeminen mahd. pitkälle Testataan voidaanko jokin viiva piirtää kokonaan Testataan voidaanko jokin viiva jättää kokonaan piirtämättä Leikataan viiva reunan kohdalta, siten, että osa siitä voidaan hyväksyä Jatketaan jokaiselle viivalle ed. askelta, kunnes jäljelle jäävät osat voidaan joko hyväksyä tai hylätä 2D katselu / 9 Viivakuvion leikkaus (jatkuu) Cohen-Sutherland-algoritmi: koodataan viivan P1, P2 molemmat päätepisteet neljällä bitillä, jotka kertovat, minkä ikkunarajojen (tai niiden jatkeitten) suhteen ollaan ulkopuolella: b b3 b2 b Huomio #1 : ( Code (P1) = 0 ) and ( Code (P2) = 0 ) => viiva kokonaan sisällä : PIIRRÄ Huomio #2 : ( Code (P1) and Code (P2) ) <> 0 => viiva kokonaan saman rajan ulkopuolella : UNOHDA 2D katselu / 10 5
6 var Leikkaus-koodi (Cohen-Sutherland) : record xl, xr, yb, rt : real end; procedure Clip_line (x1, y1, x2, y2 : real); type edge = (left, right, bottom, top); outcode = set of edge; var c, c1, c2 : outcode; x, y : real; procedure code (x, y : real; var c : outcode); c := [ ]; if x <.xl then c := [left] else if x >.xr then c := [right]; if y <.yb then c := c + [bottom] else if y >.yt then c := c + [top]; end; code(x1, y1, c1); code(x2, y2, c2); while (((c1 <> [ ]) or (c2 <> [ ])) and (c1 * c2 = [ ])) do if c1 <> [ ] then c := c1 else c := c2; if left in c then { left edge crossed } x :=.xl; y := y1 + (.xl - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1); end else if right in c then { right edge crossed } x :=.xr; y := y1 + (.xr - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1); end else if bottom in c then { bottom edge crossed } y :=.yb; x := x1 + (.yb - y1) * (x2 - x1) / (y2 - y1); end else if top in c then { top edge crossed } y :=.yt; x := x1 + (.yt - y1) * (x2 - x1) / (y2 - y1); end; if c = c1 then x1 := x; y1 := y; code(x1, y1, c1) end else x2 := x; y2 := y; code(x2, y2, c2) end end; if (c1 = [ ]) and (c2 = [ ]) then showline(x1, y1, x2, y2); end; 2D katselu / 11 Viivanleikkaus (jatkuu) Kuinka monta kertaa ohjelman while-osa enintään suoritetaan? kukin suoritus sisältää yhden kerto- ja jakolaskun liukuluvuilla maksimi: 4 * ja 4 / operaatiota 2D katselu / 12 6
7 Viivanleikkausalgoritmit (jatkuu) Liang-Barsky-algoritmi: tarkastellaan janaa parametrimuodossa: p(u) = p 1 + u p = p 1 + u (p 2 - p 1 ) ; u [0..1] eli x(u) = x 1 + X * u = x 1 + (x 2 - x 1 ) * u y(u) = y 1 + Y * u = y 1 + (y 2 - y 1 ) * u ikkunan sisällä olo voidaan ilmaista epäyhtälöillä W left <= x(u) <= W right W bottom <= y(u) <= W top joista jokainen on muotoa p k u q k 2D katselu / 13 Viivanleikkaus (jatkuu) janan ja ikkunareunan leikkauspisteitä voidaan tutkia parametrin u suhteen, laskematta leikkauksen (x,y)-koordinaatteja: jos leikattava, niin lasketaan r = q k / p k, jota verrataan aikaisempiin janan päätepisteiden parametriarvoihin u 1 ja u 2 (aluksi 0 ja 1) p:n etumerkistä ja vertailuista r:n ja u 1,2 :n välillä saadaan selville hylättävät viivat leikkauspisteet lasketaan vasta lopuksi u:n perusteella, jos ikkunan sisälle jäi mitään vertailu Cohen-Sutherland-algoritmiin: kaikki neljä leikkausta lasketaan aina, jollei janaa hylätä ikkunan ulkopuolisena leikkauksen laskeminen vaatii vain jakolaskun; toisaalta neljä kertolaskua tarvitaan lopullisten koordinaattien laskennassa summa summarum: (a) algoritmit voittavat toisensa eri tilanteissa (b) neljää leikkauslaskentaa ei voi välttää 2D katselu / 14 7
8 Taas uusi viivanleikkausalgoritmi Geometrinen puolitushaku (midpoint subdivision algorithm): tutkitaan janan päätepisteitä kuten edellä: jos kokonaan sisällä tai ulkona => PIIRRÄ tai UNOHDA muuten jaa viiva puoliksi ja toista sama rekursiivisesti kummallekin puolikkaalle tehokasta, koska: puolituspisteen haku kokonaislukukoordinaatistossa vaatii vain yhteenlaskun ja shift:in: x m = ( x 1 + x 2 ) / 2 y m = ( y 1 + y 2 ) / 2 rekursio voidaan toteuttaa iteraationa laitetasolla toistojen maksimimäärä = log 2 (ikkunan resoluutio) näkyvien osien piirtäminen voidaan suorittaa lopuksi yhdellä kertaa, kun leikkauspisteet on haettu. 2D katselu / 15 Esim. Geometrinen puolitus (jatkuu) 1 1/ /4 1/ D katselu / 16 8
9 Lisää viivanleikkausta Parametrinen leikkaus esim. ympyräikkunaan: Parametrinen leikkausperiaate on hyvin yleistettävissä (kaltevat tai kaarevat ikkunareunat, yleensä konveksi ikkuna n-d-avaruudessa). Yleisperiaatteena on seuraava (esimerkkinä käytetään ympyräikkunaa): ilmaistaan ikkunan sisällä oleva alue epäyhtälön avulla: F(x,y) = (x - c x ) 2 + (y - c y ) 2 + r 2 0 (c x,c y ) = ympyrän keskipiste, r = säde epäyhtälöön sijoitetaan janan parametrinen lauseke : x(u) = (1 - u) x 1 + u x 2 y(u) = (1 - u) y 1 + u y 2 => F( x(u), y(u) ) = ((1-u)x 1 + u x 2 - c x ) 2 + ((1 - u) y 1 + u y 2 - c y ) 2 + r 2 0 eli sievennettynä Au 2 + Bu + C 0, missä A,B,C ovat riippuvia tekijöistä p 1, p 2, c x,c y ja r. 2D katselu / 17 Viivanleikkaus (jatkuu) toisen asteen yhtälöllä on juuret! b ± u, u = b! 4ac 2a epäyhtälölle saadaan kolme tapausta: a) juuret ovat reaalisia, b 2 4ac > 0 => ratkaisuna intervalli [u 1, u 2 ], josta lasketaan ikkunan sisään jäävä osa b) yksi kaksoisjuuri, b 2 4ac = 0 => u 1 =u 2, jana sivuaa ikkunaa c) juuret imaginaarisia, b 2 4ac < 0 => jana ei leikkaa ikkunaa u 2 u1,2 u=? u 1 a) b) c) 2D katselu / 18 9
10 Monikulmioalueen leikkaus Alueen täyttöalgoritmit edellyttävät, että rajat muodostavat yhtenäisen sulkeutuvan monikulmion => pelkkä erillisten viivojen leikkaus ei riitä, vaan kuvio on suljettava lisäviivoilla ikkunarajoja pitkin Esim. fill-area lisäviiva 2D katselu / 19 Monikulmion leikkaus (jatkuu) Sutherland-Hodgman-algoritmi Idea: on helppo suorittaa leikkaus yhden (äärettömän) suoran suhteen kerrallaan. Esim. clip left Huom! clip top clip right clip bottom Huom! 2D katselu / 20 10
11 Monikulmion leikkaus (jatkuu) Sutherland-Hodgman-algoritmin idea: monikulmion esitys on nurkkapisteiden jono (stream) kutakin pistettä jonossa verrataan ikkunareunaan: sisällä => säilytä jonossa ulkona => unohda aina, kun ikkunan reuna ylitetään (perättäiset pisteet eri puolilla), lisätään leikkauspiste jonoon myös viimeisen ja ensimmäisen pisteen väli tutkitaan, jotta kuvio sulkeutuisi 2D katselu / 21 Sutherland-Hodgman (jatkuu) esim. p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 ( p1) => p1' p2 p3 p3' p4' p5 p5' ( p1') p1 p2 p1' p2 p7 p4 p3 p3' p3 p4' p5 p5 p6 p5' uusi pistejono siirretään seuraavan ikkunarajan suhteen leikkaavalle proseduurille tuloksena aina yhtenäinen sulkeutuva reunaviiva, vaikka alue pilkkoutuisikin => voi tulla ylimääräisiä reunoja, kuten p3' p4' Kuinka toimitaan, jos näitä halutaan välttää? 2D katselu / 22 11
12 Tekstin leikkaus "Kaikki tai ei mitään" -periaate kolmella eri tasolla toteutettuna: a) koko merkkijono tai sana b) yksi kirjain kerrallaan c) kirjaimen jokainen viiva tai pikseli 2D katselu / 23 Erikoistapaukset (jatkuu) Reiälliset monikulmiot moniosaisia tietorakenteita, esim. listarakenteita ((p1 p2 p3 p4 p5 p6) (q1 q2 q3 q4)) tai yhdistetään erilliset reunat apuviivoilla yhdeksi p1 p2 p3 q2 q1 q4 q3 q2 p3 p4 p5 p6 Huom! kiertosuunta, jana p3 q2 kahdesti Mielivaltaisen muotoiset ikkunan reunaviivat (stencil) esim. PostScript-kielessä 2D katselu / 24 12
Luento 2: 2D Katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 2: 2D Katselu Lauri Savioja 11/07 2D katselu / 1 Sisältö Ikkuna ja näyttöalue Viivanleikkaus ikkunaan Monikulmion leikkaus ikkunaan Tekstin leikkaus
LisätiedotLuento 2: Tulostusprimitiivit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Tulostusprimitiivit Lauri Savioja 11/06 D primitiivit / 1 Sisältö Mallintamisen alkeita Perusprimitiivit (GKS) attribuutteineen Näyttömuisti D primitiivit
LisätiedotLuento 6: Tulostusprimitiivien toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 ntialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Sisältö Primitiivien toteutus
LisätiedotLuento 2: Viivan toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Viivan toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 GRAAFISTEN PRIMITIIVIEN TOTEUTUS HUOM! Oletuksena on XY-koordinaatisto Suorien viivojen
LisätiedotLuento 3: Tulostusprimitiivien toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 3: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 11/05 Primitiivien toteutus / 1 Suora ja ympyrä Antialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Sisältö
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
LisätiedotNopea kertolasku, Karatsuban algoritmi
Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi Mikko Männikkö 16.8.2004 Lähde: ((Gathen and Gerhard 1999) luku II.8) Esityksen kulku Algoritmien analysointia (1), (2), (3), (4) Klassinen kertolasku Parempi tapa
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
LisätiedotKäy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
LisätiedotSisältö. Luento 6: Piilopinnat. Peruskäsitteet (jatkuu) Peruskäsitteitä. Yksinkertaisia tapauksia. Yksinkertaiset tapaukset jatkuu
Tietokonegrafiikka / perusteet T-111.300/301 4 ov / 2 ov Peruskäsitteitä Z-buffer Syvyyslajittelu Juovalajittelu Rekursiivinen aluejako Piiloviivat Sisältö Luento 6: Piilopinnat Marko Myllymaa 09/03 Piilopinnat
LisätiedotLuento 6: Geometrinen mallinnus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja, Janne Kontkanen 11/2007 Geometrinen mallinnus / 1 Sisältö Mitä on geometrinen mallinnus tietokonegrafiikassa
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotSisältö. Luento 2: Tulostusprimitiivien toteutus GRAAFISTEN PRIMITIIVIEN TOTEUTUS. Piirtäminen rasteriruudulle. Suoran viivan vaatimukset
Sisältö Tietokonegrafiikka / perusteet Tik-111.300/301 4 ov / 2 ov Suora ja ympyrä Antialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Luento 2: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 09/03 Primitiivien
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotGrafiikka 205. Tässä luvussa käsitellään geometriaa ja graafisia kohteita. Mukana on pääosin alkeisoperaatioita.
Grafiikka 205 9 Grafiikka Tässä luvussa käsitellään geometriaa ja graafisia kohteita. Mukana on pääosin alkeisoperaatioita. 9.1 Kolmio Seuraavana tutkimme kolmiota: Minkä tahansa kolmion ala saadaan kaavasta:
LisätiedotTehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003
Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003 Matti Nykänen 5. joulukuuta 2003 1 Satelliitit Muunnetaan luennoilla luonnosteltua toteutusta seuraavaksi: Korvataan puusolmun p kentät p. key ja
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotOppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
LisätiedotYleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lisätiedot4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti)
4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti) Tutkitaan erilaisia renderöintimenetelmiä, joita käytetään luvuissa 2 ja 3 esitettyjen kuvien esitysmuotojen visualisointiin. Seuraavassa selvitetään: (1)
LisätiedotLuento 6: Geometrinen mallinnus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja 11/05 Geometrinen mallinnus / 1 Mitä on mallintaminen? Perusmenetelmät Mallihierarkiat Sisältö Geometrinen mallinnus
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava
LisätiedotMuuttujatyypit ovat Boolean, Byte, Integer, Long, Double, Currency, Date, Object, String, Variant (oletus)
VISUAL BASIC OHJEITA Kutsuttava ohjelma alkaa kometoparilla Sub... End Sub Sub ohjelmanimi()...koodia... End Sub Muuttujat Muuttujan esittely Muuttujatyypit ovat Boolean, Byte, Integer, Long, Double, Currency,
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotMonikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 11 Ti 14.2.2017 Timo Männikkö Luento 11 Algoritminen ongelmanratkaisu Osittaminen Lomituslajittelu Lomituslajittelun vaativuus Rekursioyhtälöt Pikalajittelu Algoritmit 1 Kevät 2017
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedot4 Tehokkuus ja algoritmien suunnittelu
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 52 4 Tehokkuus ja algoritmien suunnittelu Tässä luvussa pohditaan tehokkuuden käsitettä ja esitellään kurssilla käytetty kertaluokkanotaatio, jolla kuvataan algoritmin
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotTasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 4. Diskreettiä geometriaa
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 4. Diskreettiä geometriaa Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 25.1.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Laskentatarkkuuden
LisätiedotJohdatus matematiikkaan - tarinaosasto Tero Kilpeläinen
Tero Kilpeläinen Syksy 2011 Mitä todistettavaa? Seuraavassa esimerkkejä lauseista, joiden todistukset eivät ole ilmeisiä. Aritmetiikan peruslause Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää yksikäsitteisellä
LisätiedotTällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.
39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja
LisätiedotGeogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen
Geogebra -koulutus Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelmisto osoitteessa http://www.geogebra.org Geogebra-sovellusversion voi asentaa tietokoneilla ja
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
Lisätiedot4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
LisätiedotKenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotPeruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään
LisätiedotRacket ohjelmointia osa 1. Tiina Partanen Lielahden koulu 2014
Racket ohjelmointia osa 1 Tiina Partanen Lielahden koulu 2014 Sisältö 1) Peruslaskutoimitukset 2) Peruskuvioiden piirtäminen 3) Määrittelyt (define) 4) Yhdistettyjen kuvien piirtäminen 5) Muuttujat ja
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
LisätiedotOngelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten,
Ongelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten, että se pystyy suorittamaan kaikki mahdolliset algoritmit?
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi 2. Diskreettiä geometriaa
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi 2. Diskreettiä geometriaa Antti Leino 17. maaliskuuta 2005 Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
Lisätiedot10. Esitys ja kuvaus
10. Esitys ja kuvaus Kun kuva on ensin segmentoitu alueisiin edellisen luvun menetelmin, segmentoidut pikselit kootaan esittämään ja kuvaamaan kohteita muodossa, joka sopii hyvin jatkokäsittelyä varten.
Lisätiedot4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
Lisätiedot= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
LisätiedotLuento 6: Piilopinnat ja Näkyvyys
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Piilopinnat ja Näkyvyys Janne Kontkanen Geometrinen mallinnus / 1 Johdanto Piilopintojen poisto-ongelma Syntyy kuvattaessa 3-ulotteista maailmaa 2-ulotteisella
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
LisätiedotAlkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5)
Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Aiemmin olemme jo antaneet muuttujille alkuarvoja, esimerkiksi: int luku = 123; Alkuarvon on oltava muuttujan tietotyypin mukainen, esimerkiksi int-muuttujilla kokonaisluku,
LisätiedotEpäeuklidista geometriaa
Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset
LisätiedotLOAD R1, =2 Sijoitetaan rekisteriin R1 arvo 2. LOAD R1, 100
Tiedonsiirtokäskyt LOAD LOAD-käsky toimii jälkimmäisestä operandista ensimmäiseen. Ensimmäisen operandin pitää olla rekisteri, toinen voi olla rekisteri, vakio tai muistiosoite (myös muuttujat ovat muistiosoitteita).
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 9 Ti 17.4.2018 Timo Männikkö Luento 9 Merkkitiedon tiivistäminen Huffmanin koodi LZW-menetelmä Taulukointi Editointietäisyys Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 9 Ti 17.4.2018 2/29 Merkkitiedon
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotMAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotTYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)
LisätiedotGEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
LisätiedotHarjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö
LisätiedotHarjoitus 7 -- Ratkaisut
Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedot