Optiohinnoittelu- ja volatiliteettimallit optiohintojen ennustajina

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Johtamiskorkeakoulu Optiohinnoittelu- ja volatiliteettimallit optiohintojen ennustajina Taloustiede Pro Gradu tutkielma Lokakuu 2014 Ohjaaja: Jari Vainiomäki Jussi Niemelä

2 TIIVISTELMÄ Tampereen yliopisto Johtamiskorkeakoulu NIEMELÄ, JUSSI: Optiohinnoittelu- ja volatiliteettimallit optiohintojen ennustajina Pro Gradu tutkielma: 69 sivua, 9 liitesivua Taloustiede Lokakuu 2014 Avainsanat: volatiliteetti, optio, kohde-etuus, Black & Scholes malli, GARCH-malli, Heston & Nandi malli, CEV-malli, ennusteperiodi, estimointiperiodi Työssäni tutkin erilaisia tapoja mallintaa osakkeiden volatiliteettia sekä eri volatiliteetti- ja optiohinnoittelumallien kykyä ennustaa osto-optiohintoja. Esiteltyäni alkuperäisen Black & Scholes mallin, GARCH-volatiliteettimallin sekä Heston-Nandi- ja CEV-optiohinnoittelumallit estimoin estimointiperiodista kullekin mallille tarvittavat parametrit, jonka jälkeen ennustan malleilla ennusteperiodin optiohintoja. Tämän jälkeen vertaan ennustettuja optiohintoja toteutuneisiin hintoihin. Empiirinen osio toteutetaan vuosien Nokian osto-optioilla. Mallien parametrien estimoinnissa apuna käytetään pienimmän neliösumman sekä maximum loglikelihood menetelmää. Selvitän myös estimaattien tilastollisen merkitsevyyden ja tarpeen tullen kyseenalaistan sen. Ennustettuani optiohinnat tutkin maturiteetin vaikutusta ennustetarkkuuteen. Tämän lisäksi selvitän kohde-etuuden markkinahinnan ja option toteutushinnan suhteen vaikutuksen ennustetarkkuuteen. Saamiani tuloksia vertaan aiempien tutkimusten tuloksiin. Tutkielman empiirisen osion tulosten perusteella voin todeta eri mallien ennustekyvyn vaihtelevan suuresti. Pienimmän neliösumman menetelmällä estimoitu CEV-malli suoriutuu optiohintojen ennustamisesta selkeästi muita malleja paremmin. Seuraavaksi parhaiten menestyy Heston-Nandimalli ja heikoiten perinteinen sekä GARCH(1,1)-modifikoitu Black & Scholes malli.

3 Sisällysluettelo Sisällysluettelo Johdanto Optio käsitteenä Volatiliteetti ja volatiliteettihymyefekti Volatiliteetti Volatiliteettihymyefekti Volatiliteettihymy Paikallinen volatiliteetti malli Black & Scholes malli Markovin prosessi ja Brownin liike Black & Scholes malli yleisesti GARCH-malli ARCH-malli GARCH-malli EWMA-malli Heston-Nandi -malli Heston-volatiliteettimalli Heston-Nandi-optiohinnoittelumalli CEV-malli Aikaisemmat tutkimukset Aineisto Katsaus aineistoon Ohjelmisto Mallien estimointi ja hintojen ennustaminen Black & Scholes mallin estimointi ja tulokset GARCH(1,1) volatiliteettinmallin estimointi ja tulokset Hesto-Nandi-optiohinnoittelumallin estimointi ja tulokset CEV-mallin estimointi ja tulokset Ennustetuloksien vertailu Lopuksi Lähdeluettelo... 65

4 Liitteet Liite 1.1 Historiallinen volatiliteetti Liite 1.2 Black & Scholes mallin ennustehinnat Liite 2.1 GARCH(1,1)-estimoinnin tulokset ja ennustevolatiliteetti Liite 2.2 GARCH(1,1)-volatiliteettiin perustuvan Black & Scholes mallin ennustehinnat.. 73 Liite 3.1 Heston-Nandi-estimoinnin tulokset Liite 3.2 Heston-Nandi-mallin ennustehinnat Liite 4.1 CEV-estimoinnin tulokset Liite 4.2 CEV-mallin ennustehinnat Liite 5.1 Suhteelliset hintapoikkeamat mallien välillä... 78

5 1. Johdanto Tutkin työssäni erilaisia tapoja mallintaa osakkeiden volatiliteettia sekä edelleen eri volatiliteetti- ja optiohinnoittelumallien kykyä ennustaa osto-optiohintoja. Viimeisten vuosikymmenien aikana optioiden suosio on kasvanut räjähdysmäisesti ja niistä on tullut tärkeä osa rahoitusmaailmaa. Chicagon johdannaispörssi CME:n puheenjohtaja Leo Melamed julisti vuonna 1994 uuden aikakauden taloudessa johdannaisten ajaksi; 1970-luvulta alkaneen murroksen ansiosta johdannaisista oli tullut oleellinen ja pysyvä talouden osa. Melamed ei ollut mielipiteensä kanssa yksin. Melamedin kollega, nobelisti Merton Miller nosti vuonna 1986 johdannaisten kehityksen viimeisen kahden vuosikymmenen tärkeimmäksi taloudelliseksi innovaatioksi. John C. Hull kuvaa optiohinnoittelun klassikkoteoksessaan Options, Futures and Other Derivatives optioiden olevan niin tärkeä osa nykyaikaistan talousjärjestelmää, että jokaisen rahoitussektorilla työskentelevän tulisi ymmärtää miten optiot toimivat, mihin niitä käytetään ja miten niiden arvo määräytyy. (Melamed 1994, 1; Miller 1986, 463). Vaikka optioiden suosio on kasvanut räjähdysmäisesti vasta viimeisten vuosikymmenien aikana, ovat optioiden juuret kaukana historiassa. Tiettävästi vanhin tunnettu johdannaispörssi on vuonna 1848 perustettu The Chicago Board of Trade (CBOT). Kuvio 1 kuvaa optioiden suosion räjähdysmäistä kasvua viimeisten vuosikymmenien aikana. Tässä tutkielmassa keskitytään eurooppalaistyylisiin osto-optioihin, mutta esiteltävät lausekkeet, oletukset ja rajoitukset ovat sovellettavissa myös muiden tyyppisille optioille. (Hull 2009, 1-3) 1

6 Kuvio 1: johdannaispörssi ja OTC-markkinat (miljardeina Yhdysvaltain dollareina), (Capelle- Blancard 2010, 11) Johdannaispörssissä kaupattavat sopimukset ovat luonteeltaan standardisoituja, mutta sijoittaja voi solmia optiosopimuksen myös suoraan vastapuolen kanssa niin sanottuna OTC-sopimuksena (over-the-counter). OTC-sopimusten luonteeseen kuuluu, että osapuolet voivat muokata sopimusten ehdot juuri haluamikseen. Tässä tutkielmassa keskitytään ainoastaan johdannaispörssissä kaupattaviin optioihin. Optiot ovat erittäin haastava aihealue. Aiheesta löytyy käytännössä rajaton määrä erilaista dataa ja tutkimuksia. Optioilla on myös useita eri käyttötarkoituksia; rahoitusalan toimijat ovat kiinnostuneita optioista niin suojaus-, arbitraasi- kuin myös spekulaatiotarkoituksessa. Tutkielman päämääränä on selvittää miten ja kuinka hyvin eri optiohinnoittelumallit ennustavat optiohintoja. Tutkielmassa esitellään neljä eri tapaa ennustaa optiohintoja. Näistä tavoista tunnetuin on 1970-luvun alussa Fisher Blackin ja Myron Scholesin kehittämä Black & Scholes malli. Mallin vaikutusta nykykäsitykseen optioiden hinnoittelusta ei voi liikaa korostaa, ja sitä pidetään vielä nykyisinkin suosituimpana optiohinnoittelumallina, johon uusia ja päivitettyjä malleja jatkuvasti verrataan. Mallin vaikutusta kuvaa hyvin siitä vastaanotettu talouden Nobel 2

7 palkinto vuonna Black & Scholes malli keskittyy eurooppalaisten optioiden hinnan määritykseen, joskin siitä on myöhemmin tehty sovelluksia amerikkalaisille optioille. (Blake 2000, 312) Toinen tutkielmassa esiteltävä malli ei itse asiassa ole varsinainen optiohinnoittelumalli, vaan volatiliteettimalli. Se on Tim Bollerslevin vuonna 1986 esittelemän heteroskedastisen ARCH-mallin yleistetty laajennus, GARCH-malli (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity). GARCH-malli perustuu aikaisempien residuaalien painotettuun keskiarvoon. Malliin sisältyy aina residuaalitermi, eli niin sanottu viivetermi, sekä autoregressiivinen termi. Yleisin GARCH-malli on GARCH(1,1)-malli, jossa on ainoastaan yksi viivästetty jäännöstermi ja yksi autoregressiotermi. Tutkielmassa estimoidaan GARCH(1,1)-volatiliteetti, joka sijoitetaan perinteiseen Black & Scholes malliin, josta edelleen ennustetaan optiohintoja. (Bollerslev 1986, 308) Steve Heston julkaisi vuonna 1993 heteroskedastisen Heston-volatiliteettimallin. Seitsemän vuotta myöhemmin Heston ja Saikat Nandi julkaisivat Heston-malliin pohjautuvan optiohinnoittelumallin. Heston-Nandi-malli pyrkii antamaan niin sanotun suljetun maalijoukon ratkaisun (closed form solution) niiden optioiden hinnoille, joiden kohde-etuuden volatiliteetti noudattaa GARCHprosessia. Malli muistuttaa osittain Black & Scholes mallia, mutta se sisältää ajan yli jatkuvan Heston-volatiliteettiprosessin. (Heston & Nandi 2000, 585) Neljäs ja viimeinen malli on John C. Coxin ja Stephen Rossin vuonna 1976 kehittämä varianssin vakiojouston malli (Constant Elasticy of Variance, CEV). CEV-mallin voidaan myös katsoa olevan jatkoa Black & Scholes mallille. Malli on GARCH-volatiliteettimalleihin perustuvien optiohinnoittelumallien tapaan heteroskedastisen. Matemaattisesti myös CEV-malli muistuttaa perinteistä Black & Scholes mallia, mutta CEV-malliin on lisätty beta-parametri, joka kuvaa vakioisen varianssin jouston voimakkuutta. (Beckers 1980, ) 3

8 Erilaisia malleja vertailtaessa on tärkeää kiinnittää huomiota mitä ja ennen kaikkea miten mallit pyrkivät volatiliteettia ja optiohintoja ennustamaan. Esimerkiksi GARCH-volatiliteettimalliin perustuvia optiohinnoittelumalleja on lukuisia, joista kaksi tunnetuinta lienevät J.C. Duanin vuonna 1995 kehittämä ensimmäinen todellinen GARCH-optiohinnoittelumalli, sekä jo aiemmin mainittu Heston-Nandi-optiohinnoittelumalli. Näin ollen GARCH-volatiliteettimalliin perustuvien optiohinnoittelumallien ennustamat hinnat saattavat poiketa radikaalisti toisistaan, vaikka aineisto ja tutkimustapa olisikin identtinen. Näin ollen eri tutkimusten vertailemisessa sekä toisiinsa että tähän tutkielmaan tulee olla erityisen huolellinen virhepäätelmien välttämiseksi. Tutkielman lähteet koostuvat pääasiassa yksittäisistä tutkimuksista. On kuitenkin mainittava, että myös alaan liittyvästä kirjallisuudesta on ollut erittäin suuri apu ennen kaikkea kokonaiskuvan hahmottamisessa. Alan kirjallisuudesta ennen kaikkea jo aiemmin mainittu John C. Hullin teos sekä Sheldon Natenbergin kulttiteos Option Volatility & Pricing ovat olleet suuri apu tutkielmaa työstettäessä. Näitä kahta teosta voinkin varauksetta suositella aiheesta kiinnostuneille. Tutkielman aikaisemmat tutkimukset kappaleessa paneudutaan nimenmukaisesti aiempiin tutkimuksiin tarkemmin. Vaikka tutkielman pääpainona ovat volatiliteetti- ja optiohinnoittelumallit, tarkoituksenani on myös esitellä itse osto-optiot ja eritoten optioihin kiinteästi liittyvä kohde-etuuden volatiliteetti kattavasti. Tutkielma voidaan jakaa karkeasti kahteen osioon; käsitteiden ja mallien esittelemiseen sekä mallien varsinaiseen testaamiseen ja hintojen ennustamiseen. Jälkimmäisen osion työstäminen oli eittämättä tutkielman mielenkiintoisin, mutta samalla ehdottomasti haastavin osa. Tutkielman jälkimmäisessä osiossa ennustetaan eri optiohinnoittelumalleilla historialliseen dataan perustuvat uudet Nokian osto-optioiden hinnat ja verrataan ennustettuja hintoja todellisiin Nokian ostooptioiden hintoihin. Tämän jälkeen pyritään tekemään johtopäätöksiä eri mallien sopivuudesta ja hyvyydestä optiohintojen ennustamiseen. 4

9 2. Optio käsitteenä Optio on johdannaissopimus, jossa kaksi osapuolta tekee kohde-etuuden hintaan liittyvän sopimuksen. Sopimuksessa määritellään tietty päivämäärä (expiration date), jolloin option ostajalla on mahdollisuus ostaa tai myydä kohde-etuutta tiettyyn, sopimuksessa määriteltyyn, hintaan. Tällä hinnalla option myyjä eli asettaja on velvollinen myymään tai ostamaan ennalta määrätyn määrän kohde-etuutta. Nykyisin optiokaupoissa eivät kuitenkaan itse kohde-etuudet siirry osapuolelta toiselle, vaan option toteutuessa asettaja maksaa option ostajalle summan, joka on option nykyisen hinnan (spot price) ja sopimuksessa määrätyn toteutushinnan (strike price) erotus kerrottuna sovitulla osakkeiden määrällä. Optiot voidaan jakaa kahteen eri tyyppiin riippuen siitä, onko niissä määritelty oikeus ostaa (osto-optio, call) vai myydä (myynti-optio, put). Tässä tutkielmassa keskitytään ensin mainittuihin, sillä tutkielman empiirisessä osiossa tarkastellaan ainoastaan osto-optioita Optioita käytetään useisiin eri tarkoituksiin. Joillakin sijoittajilla voi olla henkilökohtainen näkemys siitä mihin suuntaan tietyn kohde-etuuden markkinahinta liikkuu seuraavan vuoden aikana. Tällöin sijoittaja voi hankkia itselleen kyseisen kohde-etuuden option ja pyrkiä tekemään voittoa toteuttamalla option sen erääntymispäivänä. Osa sijoittajista saattaa pyrkiä tekemään voittoa riskittömästi optioilla arbitraasin avulla. Suuri osa sijoittajista käyttää optioita turvaamaan muita sijoituksiaan. Tällöin sijoittaja hankkii optioita, jotka tuottavat voittoa silloin kun muu osakesalkku tuottaa tappiota. Näin ollen optiot toimivat vakuutuksena muulle osakesalkulle. Voidaan siis todeta, että optioita käytetään useaan eri tarkoitukseen. On kuitenkin huomattava, että vaikka sijoittajien päämäärät eroavat merkittävästi toisistaan, toimintaympäristö ja säännöt ovat kaikille samat. Näin ollen jokaisen sijoittajan tulee omaksua optiohinnoittelun säännöt ja käsitteet päämäärästä riippumatta. Usein kuulee käytettävän optioista nimitystä futuuri tai warrantti. Nämä kaikki kolme eroavat kuitenkin hieman toisistaan. Siinä missä option omistajalla on oikeus toteuttaa optio sovittuna hetkenä, on futuurin omistajalla toteuttamisvelvollisuus. Futuurisopimus sitoo siis kumpaakin osapuolta, optiosopimus ainoastaan myyjää. Optio ja warrantti muistuttavat hyvin paljon toisiaan, 5

10 sillä niiden ero on lähinnä näennäinen. Tärkeimmät erot ovat siinä, että warrantit noteerataan arvopapereina pörssissä ja niiden liikkeellelaskijoina toimivat vain pankit ja arvopaperinvälittäjät. Tämän tutkielman kannalta voidaan kuitenkin sanoa option ja warrantin tarkoittavan samaa. On myös tärkeää huomata, että englanninkielisessä kirjallisuudessa sana option käsittää myös warrantti-sopimuksen. Kuvio 2: osto-option tuottokäyrä Kuvio 2 kuvaa kuvitteellisen osto-option tuottomahdollisuuksien käyrää. Sijoittaja on ostanut option viiden euron hinnalla. Kuviosta huomataan selvästi, että option toteutushinta on 40 euroa. Mikäli kohde-etuuden hinta option erääntymispäivänä on alle toteutushinnan, optiota ei toteuteta. Näin ollen sijoittajan tappio on rajattu viiteen euroon. Mikäli kohde-etuuden hinta erääntymispäivänä on yli 40 euroa, optio toteutetaan. Mikäli esimerkiksi kohde-etuuden hinta on erääntymispäivänä 45 euroa, optio toteutetaan. Tällaisessa tapauksessa sijoittaja ei kuitenkaan voittaisi lainkaan, sillä kohde-etuuden korkeasta hinnasta saatava niin kutsuttu voitto, hupenisi kokonaisuudessaan optioista alun perin maksettuun kustannukseen. Mikäli kohde-etuuden hinta olisi 50 euroa, tuottaisi optio 5 euroa per merkattu osake. Tällöin, mikäli optiolla olisi merkattu esimerkiksi sata osaketta, olisi koko prosessi tuottanut 500 euroa. Optioiden kohdalla on tärkeää eritellä eurooppalais- ja amerikkalaistyyppiset optiot toisistaan. Näistä harvinaisempi, eurooppalainen option voi lunastaa ainoastaan sulkemispäivämääränä, kun 6

11 taas amerikkalainen optio on mahdollista viimeistään sulkemispäivänä. Kuten johdantokappaleessa todettiin, tässä tutkielmassa käsitellään eurooppalaisia optioita. Kilpailullisilla markkinoilla option hinnan määrittää luonnollisesti sen kysyntä ja tarjonta. Ostaja- ja myyjäehdokkaat tekevät myynti- ja ostotarjouksia optiosta, ja kun tarjoukset kohtaavat, syntyy tuloksena optiokauppa. Mikäli optio ostetaan suoraan pankilta tai vastaavalta liikkeellelaskijalta, kohde-etuuden määrä, merkintähinta sekä option sulkeutumispäivämäärä voidaan räätälöidä option ostajan mieltymysten mukaan. Mikäli option myyjä ei ole sen liikkeellelaskija, on edellä mainitut muuttujat jo ennalta määrättyjä. (Natenberg 1994, 2) Kaupassa käytettyä hintaa voidaan option ostajan näkökulmasta kutsua myös preemioksi. Preemio voidaan jakaa kahteen eri osaan; sisäiseen eli option perusarvoon (intrinsic value) ja aika-arvoon (time value). Option perusarvo tarkoittaa erotusta, joka saadaan, kun kohde-etuuden sen hetkisestä markkinahinnasta vähennetään option ehdoissa määritellyllä toteutushinta. Esimerkiksi, mikäli Nokian osakkeeseen sidotun osto-option toteutushinta on 8 euroa ja Nokian osakkeen sen hetkinen markkinahinta on 10 euroa, on option perusarvo 10 8 = 2 euroa. Edellä mainittu optio on niin sanottu plusoptio (in-the-money), sillä sen markkinahinta on option toteutushintaa korkeampi. Mikäli osakkeen markkinahinta olisi ollut toteutushintaa matalampi, olisi kyseessä ollut niin sanottu miinusoptio (out-of-the-money). Jos toteutushinta ja markkinahinta olisivat olleet yhtä suuria, kyseessä olisi ollut tasaoptio (at-the-money). Myyntioptiossa sen sijaan nämä käsitteet ovat päinvastaiset. 7

12 Kuvio 3: plus- ja miinusoptio (Natenberg 1994, 8) Usein option arvo on kuitenkin korkeampi kuin sen perusarvo. Tämä johtuu siitä, että optiolla on sisäisen arvon lisäksi myös aika-arvoa. Aika-arvo on option markkinahinnan ja sen sisäisen arvon erotus, joka perustuu option haltijan mahdollisuuteen hyötyä hinnanmuutoksista option voimassaoloaikana. Sen määräävät option markkinahinnan ja toteutushinnan välinen suhde, option jäljellä oleva elinikä, riskitön korko ja kohde-etuuden hinnan vaihtelu eli volatiliteetti. (Natenberg 1994, 9; Niskanen & Niskanen 2003, 252) On kuitenkin tärkeää huomata, että option perusarvo ja aika-arvo voivat molemmat olla nollia, jopa samanaikaisesti. Osto-optiolla on ainoastaan perusarvoa, mikäli sen toteutushinta on vähemmän kuin kohde-etuuden sen hetkinen markkinahinta. Vastaavasti myyntioption kohdalla, optiolla on silloin pelkästään perusarvoa, mikäli toteutushinta on kohde-etuuden markkinahintaa korkeampi. (Natenberg 1994, 7) 8

13 3. Volatiliteetti ja volatiliteettihymyefekti 3.1 Volatiliteetti Volatiliteetin mallintaminen ja ennustus ovat olleet kahden viimeisen vuosikymmenen aikana erittäin tärkeä osa empiiristä ja teoreettista markkinoiden tutkimuskenttää niin akateemikoiden kuin käytännön sijoittajien näkökulmasta. Optioiden arvon määrittämiseen liittyvistä muuttujista, volatiliteettia pidetään perinteisestä käsitteellisesti kaikkein vaikeimpana. (Brooks 2008, 441; Natenberg 1994, 49) Volatiliteetiksi kutsutaan sijoitusinstrumentin hinnan keskihajontaa annetulla aikavälillä. Koska volatiliteetti mittaa tuoton vaihtelua, on se riskiä kuvaava tunnusluku. Yleensä volatiliteetti mitataan vuositasolla. Suhteellinen volatiliteetti voidaan laskea esimerkiksi kaavalla, (1) jossa ( ) = osakkeen hinta hetkellä t N = aikaperiodien lukumäärä (Blake 2000, 313) Volatiliteetin voidaan katsoa olevan optiosijoittajalle vielä merkityksellisempi kuin tavalliselle osakesijoittajalle. Osakesijoittaja pyrkii selvittämään mihin suuntaan osake on liikkumassa. Tämä ei kuitenkaan riitä optiosijoittajalle. Kuten edellä mainittiin, optioissa on erääntymispäivä, johon mennessä kohde-etuuden on saavutettava määrätty hinta. Näin ollen kohde-etuuden suunta sekä nopeus ovat ensiarvoisen tärkeitä optiosijoittajalle. 9

14 Volatiliteetilla voidaan yleisesti tarkoittaa monia eri asioita. Tulevaisuuden niin sanottu implisiittinen volatiliteetti on se volatiliteetti, jota sijoittajat pyrkivät ennustamaan ja mallintamaan. John C. Hullin mukaan yleisesti voidaan olettaa julkisesti vaihdettavien osakkeiden volatiliteetin olevan välillä 15 % - 60 %. Sijoittajat usein pyrkivät korvaamaan implisiittisen volatiliteetin historiallisella volatiliteetilla, mutta tapa on erittäin kyseenalainen, sillä sijoituspäätöksiä tehdessä historiallisella volatiliteetilla ei tulisi olla mitään merkitystä. Sijoittajat ovat ennen kaikkea kiinnostuneet tulevaisuuden implisiittisestä volatiliteetista, jota voi olla hyvinkin vaikea estimoida historiallista dataa apuna käyttäen. (Hull 2009, ) Kun tutkielmassa jatkossa puhutaan teoreettiseen malliin liitettävästä volatiliteetista, sillä tarkoitetaan juurikin tulevaisuuden volatiliteettia. Samalla tavalla kuin vedonlyöntiammattilainen pyrkii selvittämään todelliset ja realistiset rajakertoimet vetokohteilleen, osake- ja optiosijoittaja pyrkii selvittämään todellisen tulevaisuuden volatiliteetin. Kohde-etuuden implisiittinen volatiliteetti voidaan laskea ottamalla mistä tahansa option hinnoittelumallista käänteisfunktio volatiliteetin suhteen. (Blake 200, 315) On tärkeää huomata, että myöskään volatiliteetin käsite ei välttämättä ole aivan niin yksikäsitteinen käsite kuin etukäteen saattaisi olettaa. Esimerkiksi, onko yksinkertaiseen hyppydiffuusioon perustuva malli aidosti heteroskedastinen? Ei ole, sillä volatiliteetti pysyy vakiona hyppyjen välissä. Tällöin volatiliteetti ei todellisuudessa vaihtele heteroskedastisesti, vaikka volatiliteettihyppyjä tapahtuisikin. Rakenteeltaan lineaariset tai aikasarjaan perustuvat volatiliteettimallit eivät kykene selittämään kaikkia empiirisesti havaittuja volatiliteetin ominaisuuksia. Tällaisia ominaisuuksia ovat muun muassa volatiliteettijakauman paksuhäntäisyys ja kohtuuton huipukkuus, volatiliteetin klusterointi sekä niin sanottu volatiliteetin vipuvarsivaikutus. Vipuvarsivaikutuksella tarkoitetaan sitä, että volatiliteetilla on tapana kasvaa suhteellisesti enemmän osakkeen hinnan laskun kuin nousun seurauksena. Kuviossa 4 havainnoitu volatiliteetin klusteroitumisilmiö puolestaan tarkoittaa sitä, että varianssi on autokorreloituvaa. Tämä on seurausta taas siitä, että volatiliteetin voidaan katsoa olevan keskiarvoon palautuvaa (mean reversion). Oletusta keskiarvoon palautuvasta 10

15 volatiliteetista voidaan perustella seuraavalla esimerkillä: vuonna 1935 noteerattu Fiskars on Suomen vanhin pörssiyhtiö. Mikäli volatiliteetti ei olisi keskiarvoonsa palautuvaa, todennäköisyys sille, että Fiskarsin todellinen volatiliteetti olisi jotakin yhden prosentin ja sadan prosentin välillä olisi suhteellisen pieni. Yleinen olettamus kuitenkin on, että volatiliteetti kuitenkin todella on tuolla välillä poikkeuksetta. Tällöin näyttää todellakin siltä, että volatiliteetti olisi keskiarvoonsa palautuvaa. (Gatheral 2006, 4; Brooks 2008, 437) Kuvio 4: volatiliteetin klusteroitusmisilmiö (Internet-lähde 1) 3.2 Volatiliteettihymyefekti Volatiliteettihymy Perinteinen Black & Scholes malli perustuu random walk ilmiöön ja vakioarvoiseen volatiliteettiin. Malliin liittyy kiinteästi oletus siitä, että kohde-etuuden tuotto olisi log-normaalisti jakautunut. Vuoden 1987 pörssiromahduksen jälkeisissä empiirisissä tutkimuksissa on kuitenkin havaittu, että at-the-money optioiden implisiittinen volatilitetti on pienempi kuin in- ja out-of- 11

16 the-money optioilla. Tätä ilmiöitä kutsutaan volatiliteetin hymyksi. Sen katsotaan olevan yksi oleellisimmista osatekijöistä siihen, että myöhemmin yksityiskohtaisemmin esiteltävä Black & Scholes malli epäonnistuu ainakin teoreettisella tasolla optioiden arvon määrityksessä. Näin ollen volatiliteettihymyn voidaan katsoa olevan keskeisessä roolissa optiohinnoittelumallien kehityksessä, sillä se on motivoinut tutkijoita kehittämään vaihtoehtoisia malleja perinteisellä Black & Scholes mallille. (Hull 2009, 335; Andersen & Andreasen 1999, 2) Hymyefekti on identtinen osto- ja myyntioptioille. Efektin identtisyys ei vaadi esimerkiksi tietynlaisia olettamuksia tulevaisuuden tuottojen todennäköisyysjakaumista, vaan se selittyy sillä, että tehokkailla markkinoilla osto- ja myyntioptioiden välillä ei ole mahdollista harjoittaa puhdasta arbitraasia. (Hull 2009, 381) Volatiliteetin hymyn varsinainen muoto riippuu option kohde-etuuden tyypistä. Option, jonka kohde-etuutena on valuutta, volatiliteetihymy on horisontaalisesti symmetrinen. Kuviossa 5 on kuvattuna valuuttaoption volatiliteetin hymy. Implisiittinen volatiliteetti Option toteutushinta Kuvio 5: volatiliteetin hymy valuuttaoptiolle 12

17 Kuvio 6 kuvaa option arvon ja toteutushinnan välistä suhdetta sekä log-normaalilla että implisiittisella jakaumalla. Kuviosta huomataan selvästi, että implisiittinen jakauma olettaa option arvon olevan at-the-money optioilla huomattavasti log-normaalia jakaumaa korkeampi. Option arvo Toteutushinta (valuuttakurssi) Kuvio 6: implisiittinen ja log-normaali jakauma valuuttaoptiolle Tutkielman kannalta valuuttaoptiota mielenkiintoisempi kohde on osakeoptio. Osakeoption volatiliteettihymy ei ole horisontaalisesti symmetrinen, vaan laskeva. Osakeoptioiden volatiliteettihymystä käytetään myös termiä volatiliteetti vinouma (volatility skew). 13

18 Volatiliteetti Option toteutushinta Kuvio 7: volatiliteetin hymy osakeoptioille Kuviossa 7 huomataan selkeästi, että volatiliteetti laskee option toteutushinnan kasvaessa. Matalan toteutushinnan omaavien optioiden volatiliteetti on huomattavasti korkeampi kuin korkean toteutushinnan omaavien. Kuvio 8: implisiittinen ja log-normaali volatiliteetti optioille, joiden kohde-etuutena on osake 14

19 Kuviosta 8 voidaan selkeästi nähdä, että implisiittisella jakaumalla on huomattavasti paksumpi vasen häntä, mutta ohuempi oikea häntä. Toteutushinnan K2 omaava (out-of-the-money) ostooptio arvioidaan huomattavasti halvemmaksi käytettäessä implisiittista jakaumaa kuin lognormaalia jakaumaa. Tämä johtuu siitä, että optio toteutetaan ainoastaan, mikäli kohde-etuuden hinta on suurempi kuin K2, minkä todennäköisyys on pienempi implisiittisella jakaumalla. Näin ollen voidaan olettaa, että K2-tason toteutushintaisten optioiden hinnat ovat matalampia käytettäessä implisiiittista volatiliteettijakaumaa kuin log-normaalia jakaumaa. Volatiliteettihymyefektiin ei ole yleistä tai absoluuttista selitystä. John C. Hullin mukaan yksi tärkeä selittäjä osakeoptioiden volatiliteettihymylle on kohde-etuutena toimivan yrityksen vipuvaikutus. Kun yrityksen arvo laskee, niin yrityksen vipuvaikutus kasvaa. Tästä johtuen kohde-etuus tulee entistä riskisemmäksi ja volatiliteetti kasvaa. Tästä johtuen voidaan olettaa, että volatiliteetti on kohde-etuuden arvon laskeva funktio. Toinen syy osakeoptioiden volatiliteettihymylle on niin sanottu crashophobia. Tämä juontaa juurensa vuoden 1987 pörssiromahdukseen. Ennen romahdusta implisiittinen volatiliteetti korreloi huomattavasti vähemmän option toteutushinnan kanssa. Tutkijat ovat spekuloineet, että yksi syy korrelaatioon on sijoittajien pelko uudesta romahduksesta, ja tämä pelko heijastuu option hintoihin. (Hull 2009, 381) Paikallinen volatiliteetti malli Volatiliteettihymyefektiä ja volatiliteetin ennustamiseen liittyvää dilemmaa on pyritty ratkaisemaan useilla eri malleilla. Yksi suosituimmista volatiliteettimalleista käytännön sijoittajien keskuudessa on mallien yksinkertaisesta rakenteesta johtuen - paikallinen volatiliteetti funktio. Bruno Dupire esitteli vuonna 1994 sekä Emanuel Derman Iraj Kani ja Neil Chriss vuonna 1996 omissa tutkimuksissaan paikallisen volatiliteetin käsitteenä ja funktiona. Dupiren työ perustuu trinomipuumalliin, ja Derman sekä Kani hyödyntävät tutkimuksessaan Cox:n, Ross:n ja 15

20 Rubinsteinin vuonna 1979 kehittämää binomipuumallia optiohinnoitteluun. Molemmat puuteoriat ikään kuin laajentavat perinteistä Black & Scholes mallia siten, että volatiliteetin vakioisuus periaate voidaan hylätä ja mallia voidaan pitää käyttökelpoisena. Teoriat perustuvat oletukseen, jonka mukaan osakekurssi seuraa prosessia, jossa välitön volatiliteetti on ainoastaan sen hetkisen hinnan ja ajan funktio. Tällöin kaikki paikalliseen volatiliteettiin liittyvä epävarmuus on suoraan johdettu osakekurssiin liittyvästä epävarmuudesta. (Derman, Kani &Chriss 1996, 1-3; Dupire 1994, 1-2) On kuitenkin tärkeätä huomioida, että todellisuudessa paikallisten volatiliteetti -mallien idea eroaa merkittävästä muista malleista, sillä niiden tarkoitus on ennen kaikkea yksinkertaistettujen oletuksien nojalla toimia hyödyllisenä apuvälineenä sijoittajille, ei niinkään toimia akateemisesti merkittävinä teoreettisina malleina. Paikalliset volatiliteettimallit eivät siis pyri mallintamaan täydellisesti volatiliteetin todellista käyttäytymistä, vaan pikemminkin pyrkimyksenä on esittää tietynlainen keskiarvo kaikista mahdollisista stokastisista volatiliteeteista. Näin ollen paikallisen volatiliteetin malleja ei esitellä tarkemmin tutkielman empiirisessä osiossa. Paikallisten volatiliteettimallien epäpätevyys käy ilmi muun muassa Bernard Dumasin, Jeff Flemingin, ja Robert E. Whaleyn vuonna 1998 julkaisemassa tutkimuksessa. (Gatheral, 2006 ; 8) 4. Black & Scholes malli 4.1 Markovin prosessi ja Brownin liike Sattumanvaraisesti ajassa etenevää prosessia kuvaavaa matemaattista prosessia kutsutaan stokastiseksi. Esimerkiksi, mikäli Tampereen keskustorilta mitattaisiin päivittäin ympärivuotisesti lämpötilalukema, voitaisiin lukemien sarjaa kuvata stokastisella prosessilla. Stokastista prosessia, jossa vain nykyhetki vaikuttaa tulevaisuuteen kutsutaan Markovin prosessiksi. Markovin 16

21 prosessissa historiallisella datalla ei ole lainkaan merkitystä. Mikäli markkinatehokkuuden heikot ehdot täyttyvät, Markovin prosessia voidaan soveltaa rahoitusmarkkinoille. (Hull 2009, ) Markov-prosessin sovellusta, joka noudattaa normaalijakaumaa kutsutaan Brownin liikkeeksi tai matemaattisissa malleissa useimmiten Wiener-prosessiksi. Tätä Wiener-prosessia sovelletaan Black & Scholes mallissa kohde-etuuden hinnan volatiliteetin kuvaamiseen. (Blake 2000, 312) Wiener-prosessin muutos ilman trendiä, (2) jossa z = noudattaa Wiener-prosessia = muutos ajassa ε = satunnaisotos standardoidusta normaalijakaumasta Mikäli yllä olevaan halutaan liittää trendi, lisätään siihen vakiot a ja b. Tällöin saadaan kuviossa 9 kuvattu yleistetyn Wiener-prosessin muutos, (3) jossa = trendi = Wiener-prosessi kertoimella b 17

22 Kuvio 9: yleistetty Wiener-prosessi (Hull 2009, 264) 4.2 Black & Scholes malli yleisesti 1970-luvun alussa Fischer Black ja Myron Scholes tekivät Robert Mertonin avustuksella todellisen läpimurron teoreettisessa optiohinnoittelussa. Tämän läpimurron seurauksena syntyi kuuluisa Black & Scholes malli, joka julkaistiin ensi kertaa vuonna 1973 "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" -tutkimuspaperissa. Black & Scholes malli keskittyy eurooppalaisten optioiden hinnan määritykseen, joskin siitä on myöhemmin tehty sovelluksia amerikkalaisille optioille. Mallin tärkein oletus lienee, että osakkeen hinnan suhteelliset muutokset ovat lyhyellä aikavälillä normaalijakautuneita. (Black & Scholes 1973, 638) 18

23 Näiden lisäksi Black & Scholes malliin liittyy seitsemän olettamusta. 1) Osakkeen tuotot ovat lognormaalisti jakautuneita sekä varianssi on vakio. 2) Niin sanottu shorttaus eli lyhyeksi myynti on mahdollista, eikä siitä koidu kustannuksia. 3) Markkinoilla ei ole transaktiokustannuksia. 4) Osakkeesta ei irtoa osinkoa option juoksuaikana. 5) Markkinoilla ei ole riskivapaita arbitraasimahdollisuuksia. 6) Osakekauppa on jatkuvaa ja markkinat toimivat jotakuinkin täydellisesti. 7) Korkokanta on vakio. On kuitenkin hyvä huomioida, että joidenkin olettamuksien kohdalla voidaan joustaa. (Hull 2009, 291) Matemaattisesti malli noudattaa edellä esiteltyä Brownin liikettä, siten että osakkeen hinnan suhteellinen muutos aikavälillä noudattaa normaalijakaumaa keskiarvolla ja keskihajonnalla ( ) (4) Soveltamalla Kiyosi Itôn kehittämää Itô-prosessia voidaan kaavasta 4 muokata uusi yhtälö, jossa osakkeen tulevaisuuden arvo on osakkeen tämänhetkisen arvon, odotusarvon, keskihajonnan ja ajan funktio. Kaavan 5 mukaan osakkeen tulevaisuuden arvon luonnollinen logaritmi noudattaa normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on sulkulausekkeen ensimmäinen ja keskihajonta jälkimmäinen osa. ( ) (5) = osakkeen arvo tulevaisuudessa T = osakkeen arvo hetkellä 19

24 (Hull 2009, 270 & 278) On tärkeää huomata, että osakkeen tulevaisuuden arvon luonnollinen logaritmi on normaalijakautunut, jolloin itse osakkeen tulevaisuuden arvo on jakautunut log-normaalisti. Kuviossa 10 esitetyn log-normaalinjakauman yksi parhaimmista ominaisuuksista osakkeen arvon kannalta on se, että se saa ainoastaan positiivisia arvoja. Tämä on yksi tärkeimpiä olettamuksia Black & Scholes mallin kannalta. (Hull 2009, 282) Kuvio 10: log-normaalijakauma Osakkeen suhteellisen muutoksen lauseketta (kaava 4) voidaan soveltaa myös osakkeen hinnan varsinaiselle muutokselle. Hinnan muutos (6) Option hinta on riippuvainen kohde-etuuden hinnasta S sekä Brownin liikkeestä dz. Itôn-prosessin avulla osto-option hinnan muutos df kyetään esittämään muodossa ( ( ) ) (7) 20

25 Osakkeen sekä siihen vaikuttavan option Wiener-prosessit ovat yhteneviä. Toisin sanoen option ja osakkeen hinnanmuutoslausekkeiden komponentti dz on yhtenevä samalla ajan hetkellä. Näin ollen kohde-etuutena toimivasta osakkeesta sekä tämän optiosta kyetään muodostamaan portfolio, jossa Wiener-prosessin vaikutus eliminoituu. Niin sanotussa riskittömässä portfoliossa option paino on -1 ja osakkeen Tällöin portfolio kyetään esittämään lausekkeena (8) Portfolion muutos ajan suhteen kyetään esittämään edelleen (9) Yhdistämällä kaavat 6 ja 7 kaavaan 9 kyetään portfolion muutos esittämään uudelleen ( ) (10) Koska Wiener-prosessin poistuttua kyseessä on riskitön portfolio, on portfolion muutos ajan suhteen myös riskivapaan koron ja portfolion tulo. Tämä voidaan esittää matemaattisesti muodossa (11) Yhdistämällä kaavat 8 ja 10 yhtälöön 11, saadaan lopputulemaksi Black & Scholes differentiaaliyhtälö, joka on muotoa ( ), (12) jossa S = osakkeen arvo f = osto-option arvon funktio f(s,t) r = riskitön korkokanta 21

26 Eurooppalaisen osto-option kohdalla S:n ja t:n arvoja määrittävän rajaehdon on oltava tosi. (13) Differentiaaliyhtälö kyetään saattamaan edelleen muotoon, josta nähdään sekä osto-option arvo että siihen vaikuttavat komponentit. Option arvo, (14) jossa ( ) ( ) ( ) ( ) = kohde-etuuden hinta T = option maturiteetti vuosissa K = toteutushinta r = riskitön korkokanta = standardoidun normaalijakauman kertymäfunktion arvo kohdassa. (Hull 2009, 292) 22

27 5. GARCH-malli 5.1 ARCH-malli Keskihajonnan estimaatit voivat olla harhaisia, mikäli virhetermien varianssi virheellisesti oletetaan vakioksi, vaikka todellisuudessa virhetermit ovat heteroskedastisia. Näin ollen oletukset virhetermien ja varianssin homo- tai heteroskedastisuudesta ovat avainasemassa volatiliteetin ennustamisessa. Rahoitusmaailmassa voidaan yleisesti olettaa virhetermien heteroskedastisuus, joten heteroskedastisuuden huomioonottavan mallin käyttö on järkevää. Muun muassa Beckers (1980) ja Schroder (1989) ovat havainneet volatiliteetin vaihtelun empiirisissä tutkimuksissaan. (Lu & Hsu 2005, 159) Yksi tunnetuimmista tämän kaltaisista malleista on ARCH-malli (Autoregressive Conditionally Heteroscedastic). Robert F. Englen vuonna 1982 esittelemässä ARCH-mallissa heteroskedastisuutta ei lähtökohtaisesti koeta ongelmana, vaan heteroskedastisuus koetaan varianssina, jota tulisi pyrkiä mallintamaan. Näin ollen ARCH-malli itse asiassa estimoi jokaisen virhetermin varianssin ja korjaa pienimmän neliösumman puutteet. (Brooks 2008, 445; Engle 2001, 157) ARCH-mallin lähtökohtana on diskreetti stokastinen prosessi funktiomuodossa, joka on voidaan esittää (15), jossa 23

28 ARCH-mallin perustuu ideologisesti siihen, että tämän hetkinen virhetermien varianssi riippuu aiemmista virhetermeistä. Tämän ansiosta ARCH-malli kykenee selittämään myös volatiliteetin klusteroitumisilmiön olemassaolon. Kaavaan sisältyvä komponentti toimii funktion historiallisten arvojen painottajana. Nämä painotukset ovat avainasemassa niin ARCH-mallissa, kuin myös myöhemmin esiteltävässä GARCH-mallissa. (Engle 1982, 988, 997) ARCH-malli on yksi tunnetuimmista volatiliteettimalleista, mutta sen käyttö on ollut kahden viimeisen vuosikymmenen aikana suhteellisen vähäistä. Vaikka ARCH-malli tarjoaakin hyvän lähtökohdan volatiliteetin mallintamiseen, piilee mallissa useita rajoituksia. Mitä q:n arvoa tulisi optimaalisessa ARCH(q)-mallissa käyttää? Tulisiko q:ta arvioidessa suorittaa esimerkiksi suurimpaan uskottavuuteen perustuvia testejä? Nämä kysymykset ovat avainasemassa ARCHmallissa. Toinen ARCH-mallin ongelma on se, että malli olettaa positiivisilla ja negatiivisilla shokeilla olevan samankaltaiset vaikutukset volatiliteettiin. Todellisuudessa on havaittu erilaisilla shokeilla olevan huomattavan erilaisia vaikutuksia volatiliteettiin. (Paul 2007, 13) Empiirisissä tutkimuksissa havaittiin, että jotta ARCH(q)-malli kykenisi mallintamaan markkinoita tehokkaasti, olisi q-arvon oltava suuri. Arvon suuruus korreloi suoraan mallin parametrien lukumäärällä. Yleisesti mallinnuksessa funktion parametrien määrää pyritään rajoittamaan Box-Jenkinsmetodologian mukaisesti. George Boxin ja Gwilym Jenkinsin huomasivat vuonna 1976, että käytännössä tutkijat joutuvat korvaamaan usein parametrit näiden estimaateilla. Näin ollen parametrien lukumäärän kasvu lisää myös mahdollisuutta siihen, että itse malli on harhainen. On myös tärkeätä huomata, että monimutkaisilla malleilla on tapana suoriutua hyvin historiallisen 24

29 datan mallinnuksesta, mikäli kyseiseltä ajanjaksolta mallin omat parametrit ovat estimoituja. Tämä ei kuitenkaan ole vielä mikään tae siitä, että malli suoriutuu myös sellaisen datan mallintamisesta, josta mallin omia parametreja ei ole estimoitu. (Hamilton 1994, 109) 5.2 GARCH-malli Tim Bollerslevin esitteli vuonna 1986 ARCH-mallin yleistetyn laajennuksen, GARCH-mallin (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity). Kuten ARCH-malli, myös GARCHmalli perustuu aikaisempien residuaalien painotettuun keskiarvoon. Merkittävin ero on kuitenkin siinä, että GARCH-malli sisältää lineaarisen ARCH-prosessin ehdollisen varianssin viiveet. GARCHmallissa täten vanhempien residuaalien painotukset lähestyvät arvoa nolla, mutta ne eivät kuitenkaan missään vaiheessa häviä kokonaan. Bollerslev kuvaa ARCH-mallista laajentamista GARCH:iin hyvin samankaltaiseksi toimenpiteeksi kuin perinteisen autoregressiivisen prosessin laajentamista ARMA-prosessiksi (Autoregressive Moving Average). (Bollerslev 1986, 308) GARCH(p,q)-mallissa arvo p viittaa varianssitermien lukumäärään. GARCH(p,q)-Mallissa hetken t varianssi on lukumäärään ja arvo q ARCH-termien (16) Kuten funktiosta selkeästi huomataan, GARCH(p,q)-mallin pohja on ARCH(q)-malli. Yleisin GARCHmalli on GARCH(1,1)-malli, jossa on ainoastaan yksi viivästetty jäännöstermi ja yksi autoregressiotermi. Kuviossa 11 on kuvattuna simuloitu GARCH(1,1)prosessi. Matemaattisesti malli voidaan esittää yksinkertaisessa muodossa 25

30 (17) GARCH-mallissa pitkän tähtäimen varianssi voidaan laskea kaavalla (18) Kuvio 11: Simuloitu GARCH(1,1)-prosessi ARCH- ja GARCH-mallien menestys pohjautuu suurilta osin siihen, että ne tukevat volatiliteetin klusteroitumisilmiötä. On kuitenkin tärkeää huomata, että vaikka mallit tukevat klusteroitumisilmiötä, ne eivät kuitenkaan kykene selittämään sitä. Tästä johtuen mallien suoriutumiskyky volatiliteetin ennustamisessa vaihtelee suuresti eri otoksien välillä. 26

31 5.3 EWMA-malli EWMA-malli (Exponentially Weighted Moving Average) on yksi perinteisimmistä volatiliteettimalleista. EWMA-mallin käytön vahvuus on se, että se vaatii suhteellisen vähän dataa onnistuakseen. EWMA vaatii ainoastaan estimaatin tämän hetken vaihtelutasosta ja viimeisimmän havainnon varianssiin vaikuttavasta markkinamuuttujasta. Näin ollen EWMA-malli sopii käytettäväksi, mikäli monimutkaisempia GARCH-malleja ei kyetä estimoimaan. Mallin ideana on se, että viimeisimmät hintavaihtelut ovat aikaisempia vaihteluja tärkeämpiä tulevaisuuden estimoinnissa, ja näin ollen viimeisimpiä vaihteluita tulisi painottaa estimoinnissa. Malli muistuttaa selkeästi rakenteeltaan aiemmin esiteltyä GARCH-mallia. Itse asiassa tutkielman ekonometrisessa osiossa EWMA-mallia tullaankin käyttämään GARCH(1,1)-mallin korvikkeena kahdessa estimoinnissa johtuen GARCH-mallin kyvyttömyydestä estimoida parametreja tietyistä aineistoista. Matemaattisesti EWMA-mallia voidaan pitää suhteellisen yksinkertaisena. Mallissa päivän n volatiliteetin estimaatti saadaan lausekkeella, jossa (19) 27

32 John C. Hull esittää kirjassaan Options, Futures and Other Derivatives, että GARCH(1,1)-mallista voidaan muokata EWMA-malli asettamalla GARCH-mallin parametrit (Hull 2009, 477) ja (20) Vakio kuvaa sitä kuinka herkkä estimoitu päivittäinen varianssi on päivittäiselle suhteelliselle tuotolle u. Näin ollen matala -arvo tarkoittaa sitä, että edellisen päivän suhteelliselle tuotolle annetaan huomattava arvo estimoinnissa, ja vastaavasti korkea -arvo tarkoittaa edellisen päivän tuoton vähäisempää painotusta volatiliteetin estimoinnissa. -arvo kuvastaa täten myös sitä kuinka nopeasti uusi informaatio vaikuttaa osakkeen volatiliteettiin. (Hull 2009, 472) J.P. Morganin tunnetussa varianssimalli RiskMetrics:n teknisessä dokumentissa estimoitiin optimaalista -arvoa. Päivittäisellä aineistolla -parametrin arvoksi ennustettiin 0,94. Useimmat myöhemmät tutkimukset ovatkin ottaneet kyseisen arvon eksogeenisesti annettuna. (J.P. Morgan 1996, 100) Vaikka EWMA-malli ottaa takautuvasti huomioon aiemmat, hetken t-n, havainnot, se on tutkittu painottavan edellisiä, hetken t-1, havaintoja muita volatiliteettimalleja enemmän. Näin ollen EWMA-malli ei hyödynnä suurta otoskokoa kovinkaan tehokkaasti ja mahdollistaa huomattavat mittausvirheet estimoinnissa. Vastaavasti EWMA-mallin vahvuus on juurikin siinä, että se kykenee huomioimaan lyhyen aikavälin muutokset muita malleja paremmin. (Roh 2007, 917) 28

33 6. Heston-Nandi -malli 6.1 Heston-volatiliteettimalli Yksi tunnetuimmista ja suosituimmista stokastisista volatiliteettimalleista on Steven Hestonin vuonna 1993 kehittämä stokastisen volatiliteetin Heston-malli. Alkuperäisessä tutkimuksessaan Heston käytti aineistonaan valuuttaoptioita, mutta Heston-malli soveltuu myös osakeoptioille. Heston kritisoi perinteistä Black & Scholes optiohinnoittelumallia siitä, että sen estimaatit ovat lähtökohtaisesti jo harhaisia johtuen Black & Scholes mallin vahvoista oletuksista tuoton normaalijakautuneisuudesta ja varianssin vakioisuudesta. Nämä virheelliset oletukset aiheuttivat Hestonin mukaan sen, että perinteinen Black & Scholes -malli ylihinnoittelee osto-optiot. Tämän lisäksi hinnoitteluvirhe vahvistuu option voimassaoloajan pidentyessä. (Heston 1993, 328) Aiemmista volatiliteettimalleista poiketen Heston-malli ottaa huomioon tuoton ja volatiliteetin välisen korrelaation, ja täten kykenee selittämään tuottovääristymät ja volatiliteettihymyefektin. Mallissa kohde-etuuden volatiliteetti käyttäytyy stokastisesti ja on luonteeltaan keskiarvoon palautuvaa. Matemaattisesti Heston-mallin lähtökohta on se, että osakkeen hinnan muutos hetkellä t voidaan esittää diffuusiomuodossa (21) 29

34 , jossa (22),jossa = osaketuoton ja varianssin välinen korrelaatio R = kohde-etuuden välitön tuotto-odotus = kohde-etuuden välitön varianssi = varianssin Wiener-prosessi = kohde-etuuden Wiener-prosessi = kohde-etuuden pitkän aikavälin keskiarvoinen varianssi k = palautumisaste pitkän aikavälin varianssiin = varianssi, volatiliteetin volatiliteetti Heston-mallissa osakkeen hinnan muutos voidaan jakaa kahteen eri komponenttiin; stokastiseen prosessiin sekä hyppydiffuusioon. On myös tärkeää huomata, että Wienerprosessit ja korreloivat keskenään. Yläindeksi v viittaa volatiliteettikomponenttiin ja s osakekomponenttiin. Wiener-prosessien korrelointi aiheuttaa jakaumaan negatiivisen vinouman sekä paksuhäntäisyyden, jotka ovat molemmat tunnettuja ilmiöitä sijoitusmaailmassa. (Gatheral 2006, 15) 30

35 6.2 Heston-Nandi-optiohinnoittelumalli Heston ja Nandi julkaisivat GARCH-malliin pohjautuvan optiohinnoittelumallin, joka hyväksikäyttää optioiden affiinia rakennetta, ja jonka avulla kyettiin saavuttamaan aiempia malleja analyyttisempia ratkaisuja eurooppalaisten optioiden hinnoittelussa. Heston & Nandi -malli sisältää Hestonin stokastisen volatiliteettimallin diffuusiorajoitteena. Näin ollen malli sovittaa ajan suhteen diskreetin GARCH-prosessin sekä ajan yli jatkuvan stokastisen volatiliteetin yhteen optiohinnoittelumalliin. Heston-Nandi-malli pyrkii antamaan niin sanotun suljetun maalijoukon ratkaisun (closed form solution) niiden optioiden hinnoille, joiden kohde-etuuden volatiliteetti noudattaa GARCHprosessia. Heston-Nandi-mallin huomattavin ominaisuus lienee se, että malli ottaa Hestonvolatiliteettimallin mukaisesti huomioon tuoton ja volatiliteetin välisen korrelaation, sekä sen millä tavoin valintamahdollisuuksien joukko riippuu aiemmista päätöksistä. (Heston & Nandi 2000, abstract) Heston-Nandi-mallissa kohde-etuuden logaritmihinnan varianssi noudattaa GARCH-prosessia, siten että logaritmihinta ( ) (23), jossa ( ) (24) 31

36 = aikaintervalli Koska volatiliteetilla tarkoitetaan varianssin ollen volatiliteetista eli toisin sanoen tuotto on riskiriippuvaista. neliöjuurta, kohde-etuuden tuotto riippuu näin Vakiot α, β, ja ovat varianssiprosessia määrittäviä parametrejä. Vakio α määrittää logaritmijakauman huipukkuuden ja samalla määrittää niin sanotusti volatiliteetin volatiliteettia sekä vakio jakauman vinouman. Kun α ja β lähestyvät nollaa, mallista tulee yhtenevä perinteisen Black & Scholes mallin kanssa. (Heston & Nandi 2000, 7) Virhetermin keskiarvon oletetaan olevan nolla, joten voidaan täten helposti nähdä, että alkuperäisen lausekkeen ehdollinen keskiarvo (25) Ehdollisen keskiarvon kaavasta nähdään selvästi, että se koostuu kahdesta komponentista: riskittömästä korkokannasta ja riskipreemiosta. 32

37 Käytettäessä GARCH(1,1)-prosessia Heston & Nandi mallin volatiliteetin pohjana, supistuu kaava 24 muotoon (26) Ratkaisemalla yhtälöstä 23 saadaan ( ) (27) Sisällyttämällä yllä oleva yhtälö 27 ajanhetkellä t+1 yllä olevaan yhtälöön 26 saadaan uudeksi kaavaksi ( ( ) ) (28) Mallissa kohde-etuuden hinnan ja varianssin kovarianssi voidaan kuvata. (29) Koska ja > 0, määrittää gamma-parametri kohde-etuuden hinnan ja varianssin välisen korrelaation. Mikäli, kohde-etuuden tämän hetkisen hinnan ja varianssin välillä on negatiivinen korrelaatio. Näin ollen voimakkaat negatiiviset shokit option kasvattavat varianssia enemmän kuin yhtä suuret positiiviset hintashokit. Tämä on Heston-Nandi-mallin uskottavuuden kannalta tärkeä ominaisuus, sillä se tukee Fischer Blackin vuonna 1976 tunnetuksi tekemää vipuvoimavaikutusta. (Heston & Nandi 2000, 7-8) 33

38 Heston ja Nandi johtivat hinnoittelumallistaan myös pitkän aikavälin keskiarvoisen volatiliteetin funktion GARCH(1,1)-prosessiin perustuvalle mallille. Pitkän aikavälin volatiliteettifunktio on muotoa (30) Heston-Nandi-mallin optiohintalauseke on muotoa, jossa (31) [( )] [( )] = option toteutushinta Funktiot ja ovat riskineutraaleja todennäköisyyslausekkeita. Re[ ] osio kuvaa kompleksilukujen reaaliosaa ja i imaginaariosaa. Muuttuja on spot-hinnan logaritmin karakteristinen funktio, joka määrittää kohde-etuuden logaritmihinnan todennäköisyysjakauman. 34

39 Heston ja Nandi esittävät myös vaihtoehtoisen optiohinnoittelufunktion, joka on edellä kuvattua hintafunktiota hieman kompaktimpi, sillä integraalit yhdistettiin. Uusi hinnoittelufunktio on muotoa (32), jossa [( )] [( )]. 7. CEV-malli John C. Coxin ja Stephen Rossin vuonna 1975 kehittämä varianssin vakiojouston mallin (Constant Elasticy of Variance, CEV) voidaan myös katsoa olevan jatkoa Black & Scholes mallille. CEV-malli on GARCH-volatiliteettimalleihin perustuvien optiohinnoittelumallien tapaan heteroskedastisen. CEV-malli olettaa kohde-etuuden volatiliteetin ja hinnan muutoksen välillä olevan käänteistä korrelaatiota. Korrelaatiota voidaan selittää kahdella eri tavalla. Mikäli yrityksen pörssikurssi alenee, yrityksen oman pääoman markkina-arvo alenee useimmiten huomattavasti nopeammin kuin sen vieraan pääoman markkina-arvo. Tästä johtuen yrityksen osakkeen riskisyys kasvaa. Riskin kasvu tarkoittaa tässä asiayhteydessä samaa kuin volatiliteetin kasvu. Toista syytä riskisyyden kasvuun voidaan etsiä yrityksen operatiivisesta toiminnasta. Yrityksellä on kiinteitä kustannuksia riippumatta sen tuloista. Näin ollen tulojen väheneminen ei vähennä yrityksen kiinteitä kustannuksia. Mikäli oletetaan kustannusten ja tulojen vaikuttavan tuloksen 35

40 kautta yrityksen osakekurssiin, alentaa tulojen väheneminen yrityksen arvoa. Näin ollen yritykseen liittyvä riski kasvaa. (Beckers 1980, ) Matemaattisesti CEV-mallissa osakkeen arvon muutos (33) µ = kasvuaste = vakio, β = jousto Positiivinen vakio β on jousto, joka kuvaa volatiliteetin herkkyyttä osakkeen hinnan muutokseen. Kaavasta huomataan selvästi, että kun β < 2volatiliteetti laskee hinnan noustessa. Kun β >2, volatiliteetti kasvaa hinnan noustessa. On myös hyvä huomata, että kun β = 2, osakkeen hinta on log-normaalisti jakautunut samalla tavoin kuin Black & Scholes mallissa. CEV-mallissa kohde-etuuden tuoton varianssi voidaan kuvata osakkeen ja ajan funktiona Soveltamalla kaavaan 34 Itô-prosessia, voidaan varianssifunktion muutos saattaa muotoon (34) [ ] (35) CEV-optiohinnoittelumallin pohjana toimi ajatus, jonka mukaan eurooppalaisen osto-option tuottovirtaan vaikuttavat kohde-etuutena toimiva osake sekä riskitön korkokanta. Tällöin ostooptiota määrittävään differentiaaliyhtälöön ei vaikuta sijoittajien preferenssit. Riskineutraalius huomioiden, option arvo on ainoastaan option odotettu tulevaisuuden arvo 36

41 erääntymispäivämääränä diskontattuna riskivapaalla korolla. Optiohinnoittelumallinnuksessa on näin ollen Coxin ja Rossin mukaan kohde-etuuden erääntymispäivän todellisen hintajakauman löytämisestä. Cox havaitsi, että option hintakehityksen seuratessa CEV-diffuusiota, kohde-etuuden hinnan tiheysfunktio St voidaan kirjoittaa ( ) (36),jossa k = ( ) K = option toteutushinta Cox onnistui soveltamaan kaavaa 36 edelleen varsinaiseksi optiohintafunktioksi. Kun β < 2, CEVmallissa osto-option arvo [ ( )] [ ( ) ] (37) S = kohde-etuuden hinta T-t = option maturiteetti r = korkotaso S = K = 37

42 g(x m) = G(x m) = Schroder onnistui näyttämään vuonna 1987, että CEV-mallin optiosovelluksen voi sieventää käyttämällä -jakaumaa, ( ) [ ( )] (38) Q(z;v,k) = epäkeskeinen -funktio. (Lu & Hsu 2005, 159) 8. Aikaisemmat tutkimukset Vertailtaessa aikaisempia tutkimuksia eri optiohinnoittelumallien suorituskyvystä ja ennustetarkkuudesta, on tärkeää huomata, että vaikka eri tutkimukset saattaisivat ensisilmäyksellä tutkia samoja asioita, melkein kaikki eroavat hieman toisistaan. Tutkielmat saattavat erota toisistaan usealla eri tavalla: Onko tutkittavien optioiden kohde-etuutena osake vai esimerkiksi valuuttakurssi? Tutkitaanko optioita, joiden kohde-etuuden volatiliteetti on tavanomaisesti korkea vai matala? Käytettäessä GARCH-mallia volatiliteetin estimointiin, tehdäänkö perinteiseen Black & Scholes mallin muita muutoksia? Tehdessäni taustatyötä, olen huomannut, että ennen kaikkea viimeisin kohta miten Black & Scholes mallia on muunneltu vaihtelee usein eri tutkimusten välillä. Useat eri tutkijat ovat käyttäneet esimerkiksi kokonaan erillisiä GARCH:iin pohjautuvia optiohinnoittelumalleja. 38

43 Myös eri tutkimusten lopputulemat poikkeavat toisistaan. Esimerkiksi FTSE 100 sopimuksia tutkineet Lehar, Scheicher ja Schittenkopf päätyivät vuonna 2001 tulokseen, jonka mukaan GARCH-malli selvästi dominoi perinteistä Black & Scholes mallia. Sen sijaan Harikumar, De Boyrie ja Pak tutkivat vuonna 2004 valuuttapohjaisia osto-optioita, ja he huomasivat, että Black & Scholes malli suoriutuu optiohinnoittelusta itse asiassa jopa paremmin kuin GARCH(1,1)-malli. (Lehar, Scheicher & Schittenkopf 2001, 18; Harikumar, De Boyrie & Pak 2004, 310) Black & Scholes mallin asemasta johtuen uusia ja päivitettyjä malleja verrataan jatkuvasti siihen. Näin ollen on myös luonnollista, että Black & Scholes malli on saanut runsaasti kritiikkiä osakseen. Muun muassa Emanuel Derman ja Nassim Nicholas Taleb kritisoivat vuonna 2005 tutkimuksessaan Black & Scholes mallin epärealistisia oletuksia markkinoista ja mallin muuttujista. Kritiikki kohdistui ennen kaikkea neljään Black & Scholes mallin oletukseen: 1) varianssi on jokin tunnettu vakio, 2) varastointikustannukset (carry rate) ovat tunnettu vakio, 3) markkinoilla ei ole lainkaan transaktiokustannuksia, 4) markkinat on kitkaton (frictionless) ja jatkuva. (Derman & Taleb 2005, 324) Dermanin ja Talebin mukaan jokainen näistä väittämistä on epärealistinen. Ensimmäinen olettamus varianssin vakioisuudesta ei päde, mikäli markkinoilla ilmenee volatiliteetin hymyä. Myöskään tulevaisuuden suositustasot eivät ole tunnettuja eivätkä vakioita. Realistisilla markkinoilla esiintyy transaktiokustannuksia, minkä johdosta kustannuksia huomioimaton malli saattaa yliarvostaa optioita. On myös ilmeistä, että kaupankäynti ei ole jatkuvaa vaan diskreettiä. Nämä toteutumattomat olettamukset saavat aikaan Dermanin ja Talebin mukaan sen, että Black & Scholes malli epäonnistuu jatkuvasti optioiden hinnoittelussa mallin liian yksinkertaisen luonteen takia. (Derman & Nassim 2005, 325) Jaesun Noh, Robert Engle ja Alex Kane tutkivat vuonna 1994 GARCH(1,1)-volatiliteettimallin ennustaman volatiliteetin käytön vaikutusta Black & Scholes optiohinnoittelumallin ennustamiin S&P 500 -indeksihintoihin. Heidän mukaansa GARCH(1,1)-volatiliteettimallilla modifikoitu Black & Scholes malli suoriutui paremmin kuin perinteinen Black & Scholes malli. Tämän tutkielman 39

44 kannalta heidän tutkimustuloksensa on erityisen mielenkiintoinen, sillä samaa ennustetapaa käytetään myöhemmin tässä tutkielmassa. (Noh, Engle & Kane 1994, 17,18,28) Useat tutkimukset ovat kyseenalaistaneet myös GARCH-mallin kyvyn estimoida tulevaisuuden volatiliteettia. Muun muassa West ja Cho (1995) sekä Franses ja Van Dijk (2000) julkaisivat tutkimuksensa, joissa GARCH-malli ei suoriutunut lainkaan perinteisiä malleja paremmin volatiliteetin estimoimisesta. Sen sijaan Bollerslev ja Andersen kritisoivat vuonna 1998 Westin ja Chon tutkimusta vääristävistä tutkimusmenetelmistä. Westin ja Chon empiirisissä kokeissa käytettiin keskineliöpoikkeamaa mallien suorituskyvyn mittarina. Bollerslevin ja Andersenin mukaan hintashokkien residuaalien toimiessa volatiliteetin määrittäjinä, keskineliöpoikkeama saa luonnostaan liian korkeita arvoja. Keskineliöpoikkeaman inflaatio taas johtaa vääristyneisiin koetuloksiin. (West & Cho 1995, 368; Franses & van Dijk 2000, 168; Andersen & Bollerslev 1998, ) Theologos Pantelidis ja Nikitas Pittis julkaisivat tutkimuksensa vuonna 2003, jossa he todistivat, että vaikka keskineliöpoikkeaman inflaatiota tapahtuisikin empiirisissä kokeissa, inflaatio on identtinen sekä GARCH-mallille että perinteisille homoskedastisille malleille. (Pantelidis & Pittis 2003, 2) Hestonin ja Nandin alkuperäinen tutkimuspaperi sisälsi myös empiirisen osion. He tarkastelivat S&P 500 kohde-etuuden optiohintoja. Tutkimuksen mallin taustalla käytettiin GARCH(1,1)- komponenttia ja estimointimetodina suurimman uskottavuuden menetelmää. Hestonin ja Nandin mukaan mallien ennustekyky riippuu ennen kaikkea niiden kyvystä huomioida volatiliteetin kulku (path dependance) sekä volatiliteetin ja kohde-etuuden suhteellisen vaihtelun korrelaatio. Heidän tutkimuksessaan Heston-Nandi-malli suoriutuu optiohintojen ennustamisesta paremmin kuin perinteinen Black & Scholes malli tai vuonna 1998 julkaistu Dumas n, Flemingin ja Whaleyn ad hoc Black & Scholes malli. (Heston & Nandi 2000, 617) 40

45 K. C. Hsieh ja P. Ritchken vertailivat vuonna 2006 Heston-Nandi-mallin ennustekykyä perinteiseen Black & Scholes malliin sekä epälineaarisen GARCH-malliin (NGARCH). Myös he käyttävät aineistona S&P 500 indeksiin pohjautuvia optioita. Myös Hsiein ja Ritchkenin tutkimuksessa havaittiin Heston-Nandi-mallin suoriutuvan optiohintojen ennustamisesta Black & Scholes mallia paremmin. Huomioitavaa on kuitenkin myös se, että epälineaarisella GARCHoptiohinnoittelumallilla kyettiin ennustamaan optiohintoja vielä Heston-Nandi-malliakin paremmin. Mallien välinen paremmuus korostui ennen kaikkea optioissa, joiden toteutushinta oli sen hetkistä kohde-etuuden hintaa huomattavasti korkeampi. (Hsien & Ritchken 2006, 133 & 149) Stan Beckers tutki 47 osakkeen CEV-mallin beta-arvoja vuonna Näistä 38 osakkeen beta sai arvon, joka oli huomattavasti pienempi kuin kaksi. Näin ollen Beckers päätteli, että CEV-malli kuvannee osakkeen kurssimuutoksia perinteisiä log-normaaleja malleja paremmin. (Beckers 1980, 663) Choi ja Longstaff tutkivat vuonna 1984 soijapapuoptioiden vuosittaista volatiliteettia. Myös heidän mukaansa CEV-prosessi kykenee ennustaman osake- ja optiohintoja Black & Scholes -mallia paremmin. (Schroder 1989, 212) James D. MacBeth ja Larry J. Merville vertailivat vuonna 1980 ilmestyneessä tutkimuksessaan Black & Scholes mallin ja CEV-mallin antamia tuloksia empiiriseen dataan peilaten. Tutkimuksen perusteella voidaan sanoa, että CEV-malli mallittaa reaalimaailmaa vanhaa Black & Scholes mallia paremmin. 41

46 Kuvio 12: Black & Scholes mallin estimoimien hintojen suhteellinen ero todellisiin markkinahintoihin MacBethin ja Mervillen mukaan Black & Scholes -malli epäonnistuu optiohinnoittelussa niin, että se alihinnoittelee plus-optioita ja ylihinnoittelee miinus-optioita. Kuvio 12 kuvaa tätä havaintoa. Kuvion vaaka-akseli kuvaa option markkinahinnan ja BS-mallin antaman hinnan suhteellista eroa, ja pystyakseli option toteutushinnan ja markkinahinnan suhteellista eroa. Plusoptioita ovat siis kaikki ne optiot, joiden arvo pystyakselilla on negatiivinen. Miinusoptioita taas ne, joiden arvo on positiivinen. Kuviosta voidaan selkeästi havaita ennen kaikkea miinusoptioiden yliarvostus, joka ilmenee kuvion koilliskulmassa. 42

47 Kuvio 13: Cox:n CEV-mallin ennustamien hintojen suhteellinen ero todellisiin markkinahintoihin Kuvio 13 kuvaa Cox:n CEV-mallilla ennustettujen hintojen suhteellista eroa todellisiin optiohintoihin. Kuviosta havaitaan, että pisteet ovat huomattavasti tasaisemmin jakautuneita, eikä miinusoptioiden yliarvostusta tapahdu läheskään yhtä runsaasti. (MacBeth & Merville 1980, ) MacBethin ja Mervillen tutkimustulosta on kuitenkin arvosteltu. Jo artikkelin julkaisun yhteydessä se kohtasi kritiikkiä muun muassa Steven Manasterilta vuonna Manasterin mukaan on välttämätöntä, että CEV-malli sopii paremmin historialliseen dataan kuin Black & Scholes malli, sillä BS-malli itsessään sisältyy CEV-malliin. Manaster epäilee kuitenkin CEV-malliin sisältyvien parametrien täsmällisen estimoinnin mahdollisuutta, sekä ennen kaikkea estimoinnin mielekkyyttä suhteutettuna CEV-mallin hienoiseen paremmuuteen. (Manaster 1980, ) 43

48 9. Aineisto 9.1 Katsaus aineistoon Tutkielman empiirisessä osiossa on tarkoitus selvittää kuinka tarkasti aiemmin esitellyt teoreettiset optiohinnoittelu- ja volatiliteettimallit kykenevät ennustamaan optiohintoja. Lähtökohtana on oletus siitä, että toteutuneet optiohinnat ovat oikeita ja todellisia optiohintoja. Toisin sanoen tutkielmassa verrataan ennustettuja optiohintoja jo toteutuneisiin hintoihin. Optiohinnat on poimittu jokaisen tarkastelukuukauden puolesta välistä, ja optioiden valintakriteerinä on pyritty käyttämään kaupankäyntivolyymia. Aineistona käytetään Nokia Oyj:n osakekurssin päivätuottoja, sekä osto-optioita, joiden kohdeetuutena toimii Nokia Oyj:n osake NOK1V. Tarkastelujakso ajoittuu kokonaisuudessaan vuosille Ajanjakso toimii estimointiperiodina, josta estimoidaan halutut tunnusluvut ennusteperiodiin. Osakkeiden hintatiedot on saatu Nasdaq OMX Nordic verkkopalvelusta ( ja optioiden hintatiedot Kauppalehden Internet-sivuilta ( Empiirisen osion estimointiprosessi voidaan jakaa kolmeen eri työvaiheeseen: 1. Parametrien estimointi estimointiperiodista. 2. Optiohintojen ennustaminen estimoitunen parametrien avulla. 3. Saatujen optiohintojen vertaaminen toteutuneisiin optiohintoihin ennusteperiodissa. Näin ollen estimointiprosessi on kullakin optiohinnoittelumallilla samankaltainen. On kuitenkin tärkeää huomioida, että itse parametrien estimointimenetelmät sekä optiohintojen ennustusmenetelmät poikkeavat eri mallien välillä huomattavasti. 44

49 Tutkielman ennustusmenetelmiä voidaan lähtökohtaisesti pitää samankaltaisina kuin aiemmin esitellyissä alan aiemmissa tutkimuksissa. Sekä Heston-Nandi- että CEV-ennusteissa on käytetty erillisten ohjelmien omia Heston-Nandi- ja CEV-skriptejä. Kuten aiemmin todettu tämän tutkielman GARCH(1,1)-mallin ennusteet ovat taas parhaiten verrannollisia Noh n, Englen ja Kanen tutkimukseen, jossa käytettiin samankaltaista modifikoitua Black-Scholes-mallia. Muiden tutkimusten GARCH-tuloksiin tutkielman omia tuloksia ei voi verrata, sillä optiohinnoittelumallit eivät ole samankaltaisia. Estimoinnissa käytetään rolling window menetelmää, jossa suoritetaan useita estimointeja limittäisistä aikasarjoista. Esimerkiksi ensimmäisessä estimoinnissa estimointiperiodi on Tästä periodista estimoidaan optiohinnat tammikuulle Seuraavassa estimoinnissa estimointi periodina on ja niin sanottuna maaliperiodina helmikuu Näin jatketaan kuukausi kerrallaan kunnes saavutetaan maaliperiodi marraskuu Kuviossa 14 on yksinkertaisesti esitettynä rolling window menetelmän idea graafisesti. Kuviossa on suoritettu viisi identtistä estimointi eri aikaperiodeille, niin että aikasarja siirtyy aina yhden jakson, esimerkiksi yhden kuukauden, eteenpäin. Tällöin esimerkiksi ensimmäisen estimoinnin maaliperiodi sisältyy toisen estimoinnin estimointiperiodiin, josta estimoidaan halutut parametrit toisen estimoinnin maaliperiodille. Kuviossa sininen väri ilmentää estimointiperiodia, josta estimointi tapahtuu. Maaliperiodi on vastaavasti punainen. Kuvio 14: rolling window -menetelmä 45