TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008

Transkriptio

1 TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 10 Todistamisesta Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 21. tammikuuta 2008

2 Samuuden todistaminen usein onnistuu ihan laskemalla (kuten kurssin alussa tehtiin) ei kuitenkaan aina esim. miten todistaa, että kaikille äärellisille listoille xs pätee foldr (:) [] xs = xs?

3 Rakenneinduktio listojen tapauksessa Tarkasteltavana väite P, joka on parametrisoitu listan suhteen: 1. Jos P([]) on tosi, ja jos P(x : xs) on tosi kaikilla x aina kun P(xs) on tosi, niin P(xs) on tosi kaikilla äärellisillä listoilla xs. Todistus tällä tekniikalla on todistus listan xs rakenteen suhteen. Askel 1 on perustapaus. Askel 2 on induktioaskel, ja siinä P(xs) on induktio-oletus.

4 Väite: foldr (:) [] xs = xs kaikilla äärellisillä xs Muista: f o l d r f z [ ] = z (D1) f o l d r f z ( x : x s ) = f x ( f o l d r f z x s ) (D2) Todistus induktiolla xs:n rakenteen suhteen: Perustapaus Induktiotapaus foldr (:) [] [] = [] (D1) foldr (:) [] (x : xs) = (:) x (foldr (:) [] xs) (D2) = (:) x xs induktio-oletus = x : xs syntaksi

5 Väite: length (xs ++ ys) = length xs + length ys kaikilla äärellisillä xs ja ys l e n g t h [ ] = 0 ( L1 ) l e n g t h (_: l ) = 1 + l e n g t h l ( L2 ) [ ] ++ y s = y s ( C1 ) ( x : x s ) ++ y s = x : ( x s ++ y s ) ( C2 ) Todistus induktiolla xs:n rakenteen suhteen, kun ys on mielivaltainen äärellinen lista: Perustapaus Induktioaskel... length ([] ++ ys) = length ys (C1) = 0 + length ys aritm. = length [] + length ys (L1)

6 Väite: length (xs ++ ys) = length xs + length ys kaikilla äärellisillä xs ja ys l e n g t h [ ] = 0 ( L1 ) l e n g t h (_: l ) = 1 + l e n g t h l ( L2 ) [ ] ++ y s = y s ( C1 ) ( x : x s ) ++ y s = x : ( x s ++ y s ) ( C2 ) Todistus induktiolla xs:n rakenteen suhteen, kun ys on mielivaltainen äärellinen lista: Perustapaus... Induktioaskel length ((x : xs) ++ ys) = length (x : (xs ++ ys)) (C2) = 1 + length (xs ++ ys) (L2) = 1 + (length xs + length ys) induktio-oletus = (1 + length xs) + length ys aritm. = length (x : xs) + length ys (L2)

7 Väite: reverse xs = foldl (flip (:)) [] xs kaikilla äärellisillä listoilla xs r e v e r s e [ ] = [ ] ( R1 ) r e v e r s e ( x : x s ) = r e v e r s e x s ++ [ x ] ( R2 ) f o l d l f z [ ] = z ( F1 ) f o l d l f z ( x : x s ) = f o l d l f ( f z x ) x s ( F2 ) f l i p f x y = f y x ( FL ) [ ] ++ y s = y s ( C1 ) ( x : x s ) ++ y s = x : ( x s ++ y s ) ( C2 ) Todistus induktiolla xs:n rakenteen suhteen: Perustapaus: Induktioaskel:... reverse [] = [] (R1) = foldl (flip (:)) [] [] (F 1)

8 Väite: reverse xs = foldl (flip (:)) [] xs kaikilla äärellisillä listoilla xs r e v e r s e [ ] = [ ] ( R1 ) r e v e r s e ( x : x s ) = r e v e r s e x s ++ [ x ] ( R2 ) f o l d l f z [ ] = z ( F1 ) f o l d l f z ( x : x s ) = f o l d l f ( f z x ) x s ( F2 ) f l i p f x y = f y x ( FL ) [ ] ++ y s = y s ( C1 ) ( x : x s ) ++ y s = x : ( x s ++ y s ) ( C2 ) Todistus induktiolla xs:n rakenteen suhteen: Perustapaus:... Induktioaskel:... tarvitaan lemma reverse (x : xs) = reversexs ++[x] (R2) = foldl (flip (:)) [] xs ++[x] induktio-oletus = foldl (flip (:)) [] (x : xs)??? foldl (flip (:)) [] xs ++[x] = foldl (flip (:)) [] (x : xs)

9 Lemma: foldl (flip (:)) [] xs ++[x] = foldl (flip (:)) [] (x : xs) f o l d l f z [ ] = z ( F1 ) f o l d l f z ( x : x s ) = f o l d l f ( f z x ) x s ( F2 ) f l i p f x y = f y x ( FL ) [ ] ++ y s = y s ( C1 ) ( x : x s ) ++ y s = x : ( x s ++ y s ) ( C2 ) Todistus laskemalla: foldl (flip (:)) [] xs ++[x] = foldl (flip (:)) ([] ++[x]) xs??? = foldl (flip (:)) [x] xs (C1) = foldl (flip (:)) (flip (:) [] x) xs (FL) = foldl (flip (:)) [] (x : xs) (F 2) Ensimmäisessä askeleessa tarvitaan uutta lemmaa: foldl (flip (:)) ys xs ++[y] = foldl (flip (:)) (ys ++[y]) xs kaikilla äärellisillä listoilla xs ja ys sekä kaikilla y.

10 Lemma: foldl (flip (:)) ys xs ++[y] = foldl (flip (:)) (ys ++[y]) xs f o l d l f z [ ] = z ( F1 ) f o l d l f z ( x : x s ) = f o l d l f ( f z x ) x s ( F2 ) f l i p f x y = f y x ( FL ) [ ] ++ y s = y s ( C1 ) ( x : x s ) ++ y s = x : ( x s ++ y s ) ( C2 ) Induktio xs:n rakenteen suhteen: Perustapaus: Induktioaskel:... foldl (flip (:)) ys [] ++[y] = ys ++[y] (F 1) = foldl (flip (:) (ys ++[y]) [] (F 1)

11 Lemma: foldl (flip (:)) ys xs ++[y] = foldl (flip (:)) (ys ++[y]) xs f o l d l f z [ ] = z ( F1 ) f o l d l f z ( x : x s ) = f o l d l f ( f z x ) x s ( F2 ) f l i p f x y = f y x ( FL ) [ ] ++ y s = y s ( C1 ) ( x : x s ) ++ y s = x : ( x s ++ y s ) ( C2 ) Induktio xs:n rakenteen suhteen: Perustapaus:... Induktioaskel: foldl (flip (:)) ys (x : xs) ++[y] = foldl (flip (:)) (flip (:) ys x) xs ++[y] (F 2) = foldl (flip (:)) (x : ys) xs ++[y] (FL) = foldl (flip (:)) ((x : ys) ++[y]) xs induktio-oletus = foldl (flip (:)) (x : (ys ++[y])) xs (C2) = foldl (flip (:)) (flip (:) (ys ++[y]) x) xs (FL) = foldl (flip (:)) (ys ++[y]) (x : xs) (F 2)

12 map n ominaisuuksia Seuraavat pätevät kaikilla funktioilla f ja g sekä kaikilla äärellisillä listoilla xs ja ys, kunhan tyypit menevät oikein: map (\x x) = \x x map (f. g) = map f. map g map f. tail = tail. map f map f. reverse = reverse. map f map f. concat = concat. map f map f (xs ++ ys) = map f xs ++ map f ys f. head = head. map f jos f on strikti 1 1 Määritellään myöhemmin.

13 foldien ominaisuuksia Seuraavat pätevät kaikilla operaattoreilla ja ja kaikilla e, kunhan tyypit menevät oikein: 1. Jos (x y) z = x (y z) ja e x = x ja x e = x pätevät kaikilla x, y ja z, niin kaikilla äärellisillä listoilla xs pätee foldr ( ) e xs = foldl ( ) e xs 2. Jos (x y) z = x (y z) ja x e = e x pätevät kaikilla x, y ja z, niin kaikilla äärellisillä listoilla xs pätee foldr ( ) e xs = foldl ( ) e xs 3. Kaikilla äärellisillä listoilla xs pätee foldr ( ) e xs = foldl (flip ( )) e (reverse xs)

14 Muita ominaisuuksia Kaikilla äärellisillä xs ja ys sekä kaikilla ei-negatiivisilla n ja m pätee: (xs ++ ys) ++ zs = xs ++(ys ++ zs) xs ++[] = [] take n xs ++ drop n xs = xs take m. take n = take (min m n) drop m. drop n = drop (m + n) take m. drop n = drop n. take (m + n) drop m. take n = take (n m). drop m reverse (reverse xs) = xs head (reverse xs) = last xs last (reverse xs) = head xs jos n m

15 Striktiys Otetaan käyttöön merkintätapa: jos lausekken laskenta ei koskaan pääty tai se päättyy virheeseen, lausekkeen arvoksi merkitään (pohja). Vastaavasti :ia voidaan käyttää merkitsemään lauseketta, jonka laskenta ei pääty tai jonka laskenta päättyy virheeseen. Määritellään, että funktio f on strikti, jos f = pätee ja nonstrikti, jos f pätee.

16 Esimerkkejä (+1) on strikti funktio. (+) on strikti funktio molempien parametriensa suhteen. id on nonstrikti funktio.

17 Striktiys Haskellissa Haskell-funktiot ovat aina lähtökohtaisesti nonstriktejä. Haskell-funktio on strikti jonkin parametrinsa suhteen, jos: 1. kyseistä parametria sovitetaan koettelevaan (engl. refutable) hahmoon, tai 2. kyseinen parametri annetaan jollekin striktille funktiolle argumenttina. Kaikki muut hahmot ovat koettelevia paitsi muuttujat, jokerit (_) ja ~-hahmot.

18 Esimerkki True && x = x False && _ = False (&&) on ensimmäisen parametrinsa suhteen strikti, koska ko. parametria sovitetaan koettelevaan hahmoon True. (&&) on toisen parametrinsa suhteen nonstrikti, koska sitä ei soviteta koettelevaan hahmoon eikä sitä myöskään anneta millekään striktille funktiolle argumentiksi.

19 Ekstensioperiaate Kaksi funktiota f ja g ovat samat, jos f x = g x pätee kaikilla x.

20 Väite: f. head = head. map f jos f on strikti head ( x :_) = x (HE) f. g = \ x > f ( g x ) (CO) map f [ ] = [ ] (M1) map f ( x : x s ) = f x : map f x s (M2) Ekstensioperiaatteen perusteella induktio parametrilistan rakenteen suhteen: Perustapaus: (f. head) [] Induktioaskel:... = (\x f (head x)) [] (CO) = f (head []) funktion soveltaminen = f (HE) ja epäonninen sovitus = oletus: f on strikti = head [] (HE) ja epäonninen sovitus = head (map f []) (M1) = (\x head (map f x)) [] funktion abstrahoiminen = (head. map f ) [] (CO)

21 Väite: f. head = head. map f jos f on strikti head ( x :_) = x (HE) f. g = \ x > f ( g x ) (CO) map f [ ] = [ ] (M1) map f ( x : x s ) = f x : map f x s (M2) Ekstensioperiaatteen perusteella induktio parametrilistan rakenteen suhteen: Perustapaus:... Induktioaskel: (f. head) (x : xs) = (\y f (head y)) (x : xs) (CO) = f (head (x : xs)) funktion soveltaminen = f x (HE) = head (f x : map f xs) (HE) = head (map f (x : xs)) (M2) = (\y head (map f y)) (x : xs) funktion abstrahoiminen = (head. map f ) (x : xs) (CO) Entä äärettömät parametrilistat?

22 Rakenneinduktio äärettömillä listoilla Tarkasteltavana yhtälö E 1 (xs) = E 2 (xs), joka on parametrisoitu listan xs suhteen: 1. Jos E 1 ( ) = E 2 ( ) on tosi, ja jos E 1 (x : xs) = E 2 (x : xs) on tosi kaikilla x aina kun E 1 (xs) = E 2 (xs) on tosi, niin E 1 (xs) = E 2 (xs) on tosi kaikilla äärettömillä listoilla xs. Todistus tällä tekniikalla on todistus äärettömän listan xs rakenteen suhteen. Askel 1 on pohjatapaus. Askel 2 on induktioaskel, ja siinä E 1 (xs) = E 2 on induktio-oletus. Jos lisäksi todistetaan perustapaus E 1 ([]) = E 2 ([]), niin yhtälö on tosi kaikilla listoilla (niin äärellisillä kuin äärettömillä).

23 Väite: f. head = head. map f jos f on strikti head ( x :_) = x (HE) f. g = \ x > f ( g x ) (CO) map f [ ] = [ ] (M1) map f ( x : x s ) = f x : map f x s (M2) Ekstensioperiaatteen perusteella induktio parametrilistan rakenteen suhteen: Pohjatapaus: (f. head) = (\x f (head x)) (CO) = f (head ) funktion soveltaminen = f (HE), koetteleva hahmonsovitus = Oletus: f on strikti = head (HE), koetteleva hahmonsovitus = head (map f ) (M1), koetteleva hahmonsovitus = (\x head (map f x)) funktion abstrahoiminen = (head. map f ) (CO) Perustapaus:... Induktioaskel:...

24 Rakenneinduktio muilla Haskellin rekursiivisilla tyypeillä käydään läpi kaikki tyypin koostimet yksi kerrallaan rekursiivisten koostimien kohdalla saadaan käyttää induktio-oletusta jos halutaan, voidaan käydä läpi pohjatapauskin, jolloin todistus toimii äärettömilläkin