Geneeriset tyypit. TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos

Transkriptio

1 Geneeriset tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 6. maaliskuuta 2007

2 Kysymys Mitä yhteistä on seuraavilla funktioilla? isnilint = λx : µt. nil : (), cons : (int, t).case x of nil true, cons false isnilfloat = λx : µt. nil : (), cons : (float, t).case x of nil true, cons false Vastaus Ne ovat sama funktio, vain tyypit ovat tiellä! Kysymys Hylätäänkö tyypit? Vastaus Voisi niinkin tehdä, mutta katsotaan ensin, saadaanko tämä korjattua!

3 Idea! Otetaan tyyppi parametriksi! isnil = Λt 1.λx : µt 2. nil : (), cons : (t 1, t 2).case x of nil true, cons false isnilint = isnil[int] isnilfloat = isnil[float] Onnistuuko? No totta kai!

4 Systeemi F: (Abstrakti) syntaksi E ::= I (lauseke)muuttuja E 1 E 2 applikaatio λi : T.E abstraktio E[T ] tyyppiapplikaatio ΛI.E tyyppiabstraktio T ::= I tyyppimuuttuja T 1 T 2 funktiotyyppi I.T universaali tyyppi Γ := Γ, I : T Γ, I

5 Systeemi F: Tyypityssäännöt Γ, I : T I : T Γ E 1 : T 1 T 2 Γ E 2 : T 1 Γ E 1 E 2 : T 2 I Γ Γ, I : T 1 E : T 2 Γ λi : T 1.E : T 1 T 2 (I, T ) Γ Γ, I E : T (I, T ) Γ : I ei esiinny vapaana T :ssa Γ ΛI.E : I.T Γ E : ΛI.T 1 Γ E[T 2] : T 1[I := T 2]

6 Systeemi F: Laskentasäännöt Samat säännöt kuin yksinkertaisesti tyypitetyssä λ-laskennossa. Lisäksi seuraavat: E E E[T ] E [T ] (ΛI.E)[T ] E [I := T ]

7 Esimerkkejä 1. (ΛX.λx : X.x) : X.X X 2. (ΛX.λx : X.x)[Int] (λx : Int.x) 3. (λx : ( X : X X ).x[ X.X X ] x) : ( X.X X ) ( X.X X )

8 Määritelmä (Kumitus) Määritellään funktio erase Systeemi F:n lausekkeista tyypittömän λ-laskennon lausekkeille seuraavasti: erase(i ) = I erase(λi : T.E) = λi.e erase(e 1 E 2 ) = erase(e 1 ) erase(e 2 ) erase(λi.e) = λi. erase(e) erase(e[t ]) = erase(e) (λx.x) I uusi Tätä funktiota sanotaan tyyppien kumitukseksi (engl. type erasure, turkulaisittain tyyppitypistys).

9 Lause Olkoon ( F ) Systeemi F:n laskentarelaatio ja olkoon ( λ ) tyypittömän λ-laskennon laskentarelaatio. 1 Olkoot lisäksi E ja E Systeemi F:n lausekkeita. Tällöin, jos E F E niin erase(e) λ erase(e ). Todistus. Jääköön jokaisen itse mietittäväksi. Huomautus Kumitus voidaan muotoilla yksinkertaisillekin tyypeille siten, että vastaava lause pätee. Huomautus Kumitus osoittaa, että Systeemi F:n (ja yksinkertaisten tyyppien) laskenta on tyypeistä riippumatonta. 1 Näitä on toki molemmissa useita, mutta valitaan toisiaan vastaavat, esim. molemmissa normaalijärjestys tai molemmissa β-muunnos.)

10 Esimerkki Olkoon meillä tyyppi List t kaikilla tyypeillä t. Joitakin sen käsittelyssä hyödyllisiä funktioita ovat: empty : t.list t prepend : t.t List t List t isempty : t.list t Bool first : t.list t t rest : t.list t List t Näiden avulla voidaan kirjoittaa funktio map : t. u.(t u) List t List u seuraavasti: map = Λt.Λu.λf : (t u).λs : List t.fix(λm : (List t List u). if isempty[t] s then empty[u] else prepend[u](f (first[t] s))(m (rest[t] s)))

11 Kysymys List t ei ole Systeemi F:n tyyppi! Voiko tämän korjata? Vastaus List on tyyppitoimitus (engl. type operator), tyyppitasolla toimiva funktio (eli siis funktio tyypeiltä tyypeille. Lisäämällä Systeemi F:ään tyyppitoimitukset, saadaan Systeemi F ω.

12 Systeemi F ω lisätään tyyppeihin tuki abstraktiolle ja applikaatiolle List = λt.µs. nil : (), cons : (t, s) jotta tyyppijärjestelmä olisi ratkeava (engl. decidable), tulee tyypeillä olla tyypit engl. kinds, suomennetaan vaikka luonteet luonne : tavalliset tyypit luonne : yksinkertaiset tyyppitoimitukset tyyppilausekkeella T on luonne K merkitään T :: K List :: ns. korkean kertaluokan tyyppitoimitukset ovat varsin esoteerisia luonteiltaan esim. ( ) esim. Haskellin monadit nyt viimeistään on pakko tehdä tyyppiyhtäläisyydestä eksplisiittistä

13 Systeemi F ω : (Abstrakti) syntaksi E ::= I (lauseke)muuttuja E 1 E 2 applikaatio λi : T.E abstraktio E[T ] tyyppiapplikaatio ΛI :: K.E tyyppiabstraktio T ::= I tyyppimuuttuja T 1 T 2 funktiotyyppi I :: K.T universaali tyyppi T 1 T 2 tyyppitason applikaatio λi :: K.T tyyppitason abstraktio K ::= tavallisen tyypin luonne K 1 K 2 tyyppitoimitusluonne Γ := Γ, I : T Γ, I :: T

14 Systeemi F ω : Luonnehdintasäännöt Γ, I :: K I :: K Γ, I :: K 1 T :: K 2 Γ (λi :: K 1.T ) :: K 1 K 2 Γ T 1 :: K 1 K 2 Γ T 2 :: K 1 Γ T 1 T 2 :: K 2 Γ T 1 :: Γ T 2 :: Γ T 1 T 2 :: Γ, I :: K T :: Γ ( I :: K.T ) ::

15 Systeemi F ω : Tyyppiyhtäläisyys T T T 2 T 1 T 1 T 2 T 1 T 2 T 2 T 3 T 1 T 3 T 1 T 1 T 2 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 I : K.T 1 I : K.T 2 T 1 T 1 T 2 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 (λi :: K.T 1) T 2 T 1[I := T 2]

16 Systeemi F ω : Tyypityssäännöt Γ, I : T I : T Γ E 1 : T 1 T 2 Γ E 2 : T 1 Γ E 1 E 2 : T 2 (I, K) Γ Γ T 1 :: Γ, I : T 1 E : T 2 Γ λi : T 1.E : T 1 T 2 (I, T ) Γ Γ, I :: K E : T (I, T ) Γ : I ei esiinny vapaana T :ssa Γ ΛI :: K.E : I :: K.T Γ E : ΛI :: K.T 1 Γ T 2 :: K Γ E[T 2] : T 1[I := T 2] Γ E : T Γ T :: T T Γ E : T

17 Systeemi F ω : Laskentasäännöt Samat säännöt kuin yksinkertaisesti tyypitetyssä λ-laskennossa. Lisäksi seuraavat: E E E[T ] E [T ] (ΛI :: K.E)[T ] E [I := T ]

18 Once more unto the breach lisätään Systeemi F ω :aan alityypitys idea: tyyppikvantifiointi on rajoittunutta voidaan sanoa vaikkapa, että jokin funktio toimii geneerisesti vain tietyn tyypin alityypeillä periaatteessa voidaan rajoittaa myös tyyppitoimituksia, mutta jätetään se nyt väliin

19 Systeemi F ω <: (Abstrakti) syntaksi E ::= I (lauseke)muuttuja E 1 E 2 applikaatio λi : T.E abstraktio E[T ] tyyppiapplikaatio ΛI <: T.E tyyppiabstraktio T ::= I tyyppimuuttuja T 1 T 2 funktiotyyppi I <: K.T universaali tyyppi T 1 T 2 tyyppitason applikaatio λi :: K.T tyyppitason abstraktio Top kansityyppi K ::= tavallisen tyypin luonne K 1 K 2 tyyppitoimitusluonne Γ ::= Γ, I : T Γ, I <: T

20 Systeemi F ω <: Yleistetty Top Määritelmä Määritellään lyhennysmerkintä rekursiivisesti: Top[ ] = Top Top[K 1 K 2] = ΛI :: K 1.Top[K 2] I uusi Väite Γ T <: Top[K] jos ja vain jos Γ T :: K. Todistus. Induktiolla, sivuutetaan.

21 Systeemi F ω <: Luonnehdintasäännöt Γ T :: K Γ, I <: T I :: K Γ Top :: Γ, I <: Top[K 1] T :: K 2 Γ (λi :: K 1.T ) :: K 1 K 2 Γ T 1 :: K 1 K 2 Γ T 2 :: K 1 Γ T 1 T 2 :: K 2 Γ T 1 :: Γ T 2 :: Γ T 1 T 2 :: Γ, I <: T 1 T 2 :: Γ ( I <: T 1.T 2) ::

22 Systeemi F ω <: Tyyppiyhtäläisyys T T T 2 T 1 T 1 T 2 T 1 T 2 T 2 T 3 T 1 T 3 T 1 T 1 T 2 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 U 1 U 2 T 1 T 2 I <: U 1.T 1 I <: U 2.T 2 T 1 T 1 T 2 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 (λi :: K.T 1) T 2 T 1[I := T 2]

23 Systeemi F ω <: Alityypitys Γ T 1 <: T 2 Γ T 2 <: T 3 Γ T 1 <: T 3 Γ T :: Γ T 1 <: Top Γ T 1 <: T 1 Γ T 2 <: T 2 Γ T 1 T 2 <: T 1 T 2 Γ, I <: T I <: T Γ T 1 :: K Γ, I <: T 1 T 2 <: T 2 Γ ( I <: T 1.T 2) <: ( I <: T 1.T 2) Γ, I <: Top[K] T 1 <: T 2 Γ (λi :: K.T 1) <: (λi :: K.T 2) Γ T 1 <: T 2 Γ T 1 T 2 <: T 1 T 2 Γ T 1 :: K Γ T 2 :: K T 1 T 2 Γ T 1 <: T 2

24 Systeemi F ω <: Tyypityssäännöt Γ, I : T I : T Γ E 1 : T 1 T 2 Γ E 2 : T 1 Γ E 1 E 2 : T 2 (I, K) Γ Γ T 1 :: Γ, I : T 1 E : T 2 Γ λi : T 1.E : T 1 T 2 (I, T ) Γ Γ, I <: U E : T (I, T ) Γ : I ei esiinny vapaana T :ssa Γ ΛI <: U.E : I <: U.T Γ E : ΛI <: U.T 1 Γ T 2 <: U Γ E[T 2] : T 1[I := T 2] Γ E : T Γ T :: T <: T Γ E : T

25 Systeemi F ω <: Laskentasäännöt Samat säännöt kuin yksinkertaisesti tyypitetyssä λ-laskennossa. Lisäksi seuraavat: E E E[T ] E [T ] (ΛI <: U.E)[T ] E [I := T ]