Lisää laskentoa. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005

Transkriptio

1 Lisää laskentoa TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005

2 Kertausta: Laajennettu aritmetiikka Lasketaan rationaaliluvuilla vakiot yhteen, vähennys, kerto ja jakolasku Laajennetaan sitä määrittelyillä: vakio = lauseke funktio parametrit = lauseke esim: square x = x * x Huom! Haskellin alikieli :) Leibnitzin laki: samat voidaan korvata toisillaan ilman, että mikään muuttuu

3 Kertausta: Laaj. aritmetiikan laskusäännöt Normaalin aritmetiikan laskusäännöt, plus: Funktion laventaminen (ns. sievennys) Jos laskentaympäristössä on f x 1... x n = e ja lausekkeessa on osalausekkeena f e 1... e m ja n = m niin silloin osalauseke f e 1... e m voidaan korvata e:llä kunhan siinä ensin kukin x i korvataan e i :llä Vakion laventaminen funktion laventamisen erityistapaus, jossa n = m = 0.

4 Kertausta: Redeksit Alilauseketta, jota voidaan sieventää, sanotaan redeksiksi Funktiolauseke f e 1... e n on redeksi, jos ympäristössä on vastaava f x 1... x n =... Esim on yhteenlaskuredeksi, mutta x + 6 ei muuttujaa ei voi laskea yhteen kokonaisluvun kanssa Lausekkeessa voi olla useita redeksejä, ja redeksi voi olla toisen redeksin sisällä: f (2+2) sisältää kaksi redeksiä, jos laskentaympäristössä on f x =...

5 Kertausta: Normaalimuoto Normaalimuoto on sellainen lauseke, jossa ei ole yhtään redeksiä (ts. siihen ei voi soveltaa mitään sievennyssääntöä) Esimerkkejä: x + 1 f x (kun ympäristössä ei ole f x =...) 4 + x * 6 12 Mutta seuraavat eivät ole normaalimuodossa: 1 + 1, * 5, f z (kun ympäristössä on f x =...)

6 Kertausta: Applikatiivinen järjestys Valitaan sievennettävä redeksi seuraavasti: valitaan vasemmanpuoleisin redeksi mutta jos sen sisällä on redeksi, valitaan sisälläolevista vasemmanpuoleisin mutta jos sen sisällä... jne Sisältä ulos päin strategia Argumentit ensin, sitten vasta sovelletaan funktiota Esimerkki: Kun ympäristössä on f x = 2 ja g x = g (g x): f (g 2) sievennetään g 2 ensin

7 Kertausta: Normaalijärjestys Valitaan uloimmista redekseistä vasemmanpuoleisin Ulkoa sisäänpäin strategia Korvaa funktiokutsut määrittelyillään ennen argumenttien sievennystä Esimerkki Kun ympäristössä on f x = 2 ja g x = g (g x): f (g 2) sievennetään ensin f (g 2) ==> 2 Teoreema (todistus sivuutetaan): Jos lausekkeella on normaalimuoto, normaalijärjestys löytää sen

8 Asian pihvi? Laajennettu aritmetiikka on yksinkertaistettu versio osasta Haskellia Kaikki se, mitä laajennetusta aritmetiikasta on sanottu, pätee soveltuvin osin myös Haskelliin Erityisesti: Haskell on pohjimmiltaan laskentoa kääntäjän tehtävänä on laskea meidän puolestamme silti on erittäin hyödyllistä osata tarvittaessa laskea käsin Haskell noudattaa normaalijärjestystä tai oikeastaan graafinsievennystä

9 DAG esitys ja graafinsievennys DAG esitys Lausekkeen rakennepuu, jossa yhteiset alilausekkeet on samastettu x = 2 * 2 * + Graafinsievennys Sievennetään DAG esitystä tavalliseen tapaan, mutta korvataan louksi DAG:ssa sievennetyn alilausekkeen juurisolmu vastauksen juurisolmulla x * (2 + x) * 2

10 x = 2 * 2 * x * (2 + x) + * 2 Redeksi

11 4 * (2 + 4) * Redeksi

12 4 * 6 * 6 4 Redeksi

13 24 24

14 Algebralliset tyypit laaj. aritmetiikassa Algebrallisen tyypin määrittely on luettavissa kontekstittomana kielioppina, joka sanoo, minkä näköisiä ko. tyypin normaalimuotoiset lausekkeet ovat data RatList = Cons Rational RatList Nil Nil Cons q Nil (jokaisella q :: Rational) Cons q1 (Cons q2 Nil) (jokaisella q1, q2 :: Rational)...

15 Heikko päänormaalimuoto (WHNF) Lauseke on heikossa päänormaalimuodossa, jos: se on vakio, tai se on konstruktorilauseke ei vaadita, että konstruktorin argumentit olisivat WHNF WNHF Ei WNHF 42 x Cons 42 Nil f (Cons 42 Nil) Cons (f x) y g x r Nil

16 Heikosta päänormaalimuodosta vielä Normaalimuotoinen lauseke on aina WHNF WHNF lauseke ei ole aina normaalimuotoinen Normaalijärjestyksessä etenevä laskenta löytää aina WHNF:n ennen normaalimuotoa toki tuo WHNF voi olla normaalimuoto itsekin :) WNHF on avainkäsite, kun mietitään hahmonsovitusta

17 Hahmonsovitus 1 Laajennetaan laajennettua aritmetiikkaa lisäämällä case lausekkeet nyt aluksi ilman vahteja case e of p 1 -> e 1 p 2 -> e 2... p n -> e n Hahmo p i voi olla vakio muuttuja konstruktori, jonka argumentit ovat muuttujia (huomaa poikkeus Haskellista)

18 Case lausekkeen sievennyssääntö case e of p 1 -> e 1 p 2 -> e 2... p n -> e n Esiehto: e on WHNF muodossa case lauseketta ei voi sieventää, jos tämä ei päde käytännössä tarkoittaa sievennä e WHNF muotoon ensin Valitse hahmoista p i ylin, johon WHNFmuotoinen e sopii jos sellaista ei ole, case lauseketta ei voi sieventää Korvaa case lauseke lausekkeella e i korvaa kuitenkin hahmossa p i esiintyvät muuttujat niillä e i :n osalausekkeilla, johon ne osuvat

19 f x = Cons x Nil case f 42 of Nil -> 0 Cons x y -> x+1 ==> case Cons 42 Nil of Nil -> 0 Cons x y -> x+1 ==> (x+1)[x 42,y Nil] eli 42+1 ==> 43

20 Haskellin case lausekkeesta 1 Haskell sieventää case lausekkeen samalla tavalla Ensiksi kuitenkin rekursiivisten hahmojen käytöt puretaan sisäkkäisiksi case lausekkeiksi: case e of Cons x (Cons y Nil) -> e' ==> case e of Cons x tmp -> case tmp of Cons y Nil -> e'

21 Haskellin case lausekkeesta 2 Sama tehdään vahdeille: case e of Cons x Nil x > 0 -> e1 x < 0 -> e2 ==> case e of Cons x Nil -> case x > 0 of True -> e1 False -> case x < 0 of True -> e2