Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi. Dynaamiset regressiomallit. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1

Transkriptio

1 Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Dynaamiset regressiomallit TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1

2 Dynaamiset regressiomallit >> Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Stokastinen differenssiyhtälö Virheenkorjausmalli Yhteisintegroituvuus Dynaamisten regressiomallien rakentaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 2

3 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Tavanomainen lineaarinen regressiomalli Tarkastellaan tavanomaista yhden selittäjän lineaarista regressiomallia y = β x + ε, t= 1,2, K, n t t t jossa sekä selitettävä muuttuja y t ja selittävä muuttuja x t ovat aikasarjoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 3

4 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Lineaarinen regressiomalli: Standardioletukset Oletetaan, että mallin jäännöstermi ε t toteuttaa ns. modifioidut standardioletukset regressiomalleille: (i) (ii) y = β x + ε, t= 1,2, K, n t t t E( ε x ) = 0, t= 1,2, K, n t t Jäännöstermit ovat homoskedastisia: 2 Var( ε x ) = σ, t= 1,2, K, n t t (iii) Jäännöstermit ovat korreloimattomia: Cor( ε, ε x, x ) = 0, t s t s t s TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 4

5 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Lineaarisen regressiomallin määrittelemä systeemi ja sen tasapaino 1/2 Oletetaan, että tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomallin y = β x + ε, t= 1,2, K, n t t t jäännöstermi ε t toteuttaa modifioidut standardioletukset. Tällöin selitettävän muuttujan y t ehdollinen odotusarvo on E( y x ) = β x, t= 1,2, K, n t t t Oletetaan, että selittäjällä x t on vakioarvo x kaikille t : x = x, t= 1,2, K, n t Tällöin selitettävän muuttujan y t (ehdollinen) odotusarvo on kaikille t vakio: E( y x = x) = β x= y t t TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 5

6 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Lineaarisen regressiomallin määrittelemä systeemi ja sen tasapaino 2/2 Sanomme, että lineaarisen regressiomallin määrittelemä (lineaarinen) systeemi on tasapainossa ja systeemin tasapainotilana on jossa y = β x + ε, t= 1,2, K, n t t t (x, y) y=β x TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 6

7 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Lineaarisen regressiomallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 1/3 Oletetaan, että lineaarisen regressiomallin y = β x + ε, t= 1,2, K, n t t t selittäjän x t vakioarvo x saa yhden yksikön kokoisen lisäyksen ajanhetkellä t 0 : x x+ 1 Tällöin selitettävän muuttujan y t ehdollinen odotusarvo E( y x = x) = β x= y t t saa välittömästi, samalla ajanhetkellä t 0 lisäyksen, jonka suuruus on β : y= β x β ( x+ 1) = β x+ β = y+ β TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 7

8 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Lineaarisen regressiomallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 2/3 Oletetaan, että selittäjän x t uusi arvo x + 1 ei enää muutu ajanhetken t 0 jälkeen. Tällöin ei myöskään selitettävän muuttujan y t uusi ehdollinen odotusarvo E( y x = x+ 1) = y+ β t muutu ajanhetken t 0 jälkeen. Siten lineaarisen regressiomallin määrittelemä (lineaarinen) systeemi on päässyt välittömästi ajanhetkellä t 0 uuteen tasapainoon ja uutena tasapainotilana on (x + 1, y + β) t TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 8

9 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Lineaarisen regressiomallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 3/3 Siten tavanomaisen yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin määrittelemä (lineaarinen) systeemi siirtyy tasapainotilasta (x, y) uuteen tasapainotilaan (x + 1, y + β) välittömästi, samalla ajanhetkellä t 0, kun selittävän muuttujan arvo saa yhden yksikön kokoisen lisäyksen. Sanomme, että tavanomaisen lineaarisen regressiomallin määrittelemä (lineaarinen) systeemi sopeutuu välittömästi eli ilman viivettä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 9

10 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Lineaarinen regressiomalli: Regressiokertoimen tulkinta Edellä esitetyn nojalla tavanomaisen yhden selittäjän lineaarisen regressio-mallin y = β x + ε, t= 1,2, K, n t t t selittäjän x t regressiokertoimelle β voidaan antaa seuraava tulkinta: Regressiokerroin β kuvaa selittäjän x t arvossa tapahtuvan yhden yksikön kokoisen lisäyksen välitöntä vaikutusta selitettävän muuttujan y t ehdolliseen odotusarvoon E( y x ) =β x t t t TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 10

11 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Tavanomaisen lineaarisen regressiomallin staattisuus Edellä esitetyn nojalla tavanomainen lineaarinen regressiomalli on staattinen seuraavassa mielessä: (i) (ii) Selitettävän muuttujan (ehdollinen) odotusarvo ei muutu, elleivät selittäjien saamat arvot muutu. Selitettävän muuttujan (ehdollinen) odotusarvo reagoi selittäjien arvojen muutoksiin välittömästi, ilman viivettä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 11

12 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Dynaamiset regressiomallit: Idea Kysymys: Onko mahdollista muodostaa sellaisia regressiomalleja, joissa selitettävän muuttujan (ehdollinen) odotusarvo reagoisi selittäjien arvojen muutoksiin vähitellen tai asteittain? Vastaus: Kyllä! Malleja, joissa selitettävän muuttujan ehdollinen odotusarvo reagoi vähitellen tai asteittain selittäjien arvojen muutoksiin kutsutaan dynaamisiksi regressiomalleiksi. Seuraavassa dynaamisten regressiomallien idea esitellään käsittelemällä yksinkertaisinta dynaamista regressiomallia, yhden selittäjän jakautuneen viipymän mallia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 12

13 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän malli 1/2 Tarkastellaan lineaarista regressiomallia yt = β0xt + β1xt 1+ β2xt 2+ L+ β pxt p+ εt t= p+ 1, p+ 2, K, n Selitettävän muuttujan arvo ajanhetkellä t riippuu seuraavista tekijöistä: Selittäjän arvot ajanhetkellä t ja ajanhetkeä t välittömästi edeltävillä ajanhetkillä t 1, t 2,, t p Jäännöstermin arvo ajanhetkellä t Siten selitettävän muuttujan arvo ajanhetkellä t riippuu paitsi selittäjän ajanhetkellä t saamasta arvosta selittäjän saamien arvojen historiasta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 13

14 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän malli 2/2 Malli yt = β0xt + β1xt 1+ β2xt 2+ L+ β pxt p+ εt t= p+ 1, p+ 2, K, n on yksinkertainen dynaaminen regressiomalli, jota kutsutaan yhden selittäjän jakautuneen viipymän malliksi. Huomautus: Mallissa on p + 1 selittäjää, mutta selittäjinä on sama muuttuja x viipeillä 0, 1, 2,, p TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 14

15 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän malli: Standardioletukset Oletetaan, että jakautuneen viipymän mallin yt = β0xt + β1xt 1+ β2xt 2+ L+ β pxt p+ εt t= p+ 1, p+ 2, K, n jäännöstermi ε t toteuttaa ns. modifioidut standardioletukset tavalliselle lineaariselle mallille: (i) (ii) E( ε x, x, K, x ) = 0, t= p+ 1, p+ 2, K, n t t t 1 t p Jäännöstermit ovat homoskedastisia: 2 Var( εt xt, xt 1, K, xt p) = σ, t= p+ 1, p+ 2, K, n (iii) Jäännöstermit ovat korreloimattomia: Cor( ε, ε x, x, K, x, x, x, K, x ) = 0, t s t s t t 1 t p s s 1 s p TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 15

16 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän mallin määrittelemä systeemi ja sen tasapaino 1/3 Olkoon yt = β0xt + β1xt 1+ β2xt 2+ L+ β pxt p+ εt t= p+ 1, p+ 2, K, n yhden selittäjän jakautuneen viipymän malli, joka toteuttaa modifioidut standardioletukset. Tällöin selitettävän muuttujan y t ehdollinen odotusarvo on E( y x, x, K, x ) t t t 1 t p = β x + β x + β x + L+ β x 0 t 1 t 1 2 t 2 p t p TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 16

17 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän mallin määrittelemä systeemi ja sen tasapaino 2/3 Oletetaan, että selittäjällä x t on vakioarvo x kaikille t: x = x, t= 1,2, K, n Tällöin selitettävän muuttujan y t ehdollinen odotusarvo on kaikille t vakio jossa t E( y x, x, K, x ) t t t 1 t p = β x+ β x+ β x+ L+ β x = ( β + β + β + L+ β ) x = = β x y β = β + β + β + L+ β p TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 17 p p

18 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän mallin määrittelemä systeemi ja sen tasapaino 3/3 Sanomme, että jakautuneen viipymän mallin yt = β0xt + β1xt 1+ β2xt 2+ L+ β pxt p+ εt t= p+ 1, p+ 2, K, n määrittelemä (lineaarinen) systeemi on tasapainossa ja systeemin tasapainotilana on jossa (x, y) y= β x+ β x+ β x+ L+ β x = ( β + β + β + L+ β ) x = β x p p TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 18

19 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän mallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 1/5 Oletetaan, että selittäjän x t vakioarvo x saa yhden yksikön kokoisen lisäyksen ajanhetkellä t 0 : x x+ 1 Kun tavanomaisen lineaarisen regressiomallin määrittelemä systeemi sopeutuu uuteen tasapainoon välittömästi selittäjän x arvossa ajanhetkellä t 0 tapahtuneen muutoksen jälkeen, jakautuneen viipymän mallin määrittelemän systeemin sopeutuminen uuteen tasapainoon kestää p ajanhetkeä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 19

20 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän mallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 2/5 Jakautuneen viipymän mallin määrittelemän systeemin sopeutuminen uuteen tasapainoon tapahtuu seuraavaa reittiä: t< t0 : E( yt xt, xt 1, xt 2, K, xt p ) = β0x+ β1x+ β2x+ L+ β px = y t= t0 : E( yt xt, xt 1, xt 2, K, xt p ) = β0( x+ 1) + β1x+ β2x+ L+ β px = y+ β 0 jatkuu TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 20

21 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän mallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 3/5 jatkuu t= t0+ 1: E( yt xt, xt 1, xt 2, K, xt p ) = β0( x+ 1) + β1( x+ 1) + β2x+ L+ β px = y+ β0+ β1 t= t0+ 2 : E( yt xt, xt 1, xt 2, K, xt p ) = β0( x+ 1) + β1( x+ 1) + β2( x+ 1) + L+ β px = y+ β + β + β ja lopulta: t= t0+ p : E( yt xt, xt 1, xt 2, K, xt p ) = β0( x+ 1) + β1( x+ 1) + β2( x+ 1) + L+ β p ( x+ 1) = y+ β0+ β1+ β2+ L+ β p = y+ β TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 21

22 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän mallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 4/5 Oletetaan, että selittäjän x t uusi arvo x + 1 ei muutu ajanhetken t 0 jälkeen. Tällöin selitettävän muuttujan y t uusi ehdollinen odotusarvo E( yt xt, xt 1, K, xt p) = y+ β0+ β1+ L+ β p = y+ β ei muutu ajanhetken t 0 + p jälkeen. Siten jakautuneen viipymän mallin määrittelemä (lineaarinen) systeemi on päässyt uuteen tasapainoon ajanhetken t 0 + p jälkeen ja uutena tasapainotilana on (x + 1, y + β) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 22

23 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän mallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 5/5 Jono β0+ β0+ β1+ β2 L β0+ β1+ β2+ L+ β p = β kuvaa reittiä, jota pitkin yhden selittäjän jakautuneen viipymän mallin määrittelemä lineaarinen systeemi siirtyy selittävän muuttujan saaman yhden yksikön kokoisen lisäyksen jälkeen tasapainotilasta (x, y) uuteen tasapainotilaan ( x+ 1, y+ β ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 23

24 Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Jakautuneen viipymän malli: Regressiokertoimien tulkinta Edellä esitetyn nojalla jakautuneen viipymän mallin yt = β0xt + β1xt 1+ β2xt 2+ L+ β pxt p+ εt t= p+ 1, p+ 2, K, n regressiokertoimille voidaan antaa seuraava tulkinta: (i) (ii) Regressiokerroin β 0 kuvaa muuttujan x saaman yhden yksikön kokoisen lisäyksen välitöntä vaikutusta. Regressiokertoimien summa β = β + β + β + L+ β p kuvaa muuttujan x saaman yhden yksikön kokoisen lisäyksen pitkän ajan vaikutusta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 24

25 Dynaamiset regressiomallit Staattiset vs dynaamiset regressiomallit >> Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Stokastinen differenssiyhtälö Virheenkorjausmalli Yhteisintegroituvuus Dynaamisten regressiomallien rakentaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 25

26 Siirtofunktio-kohina-malli Mallin määritelmä Olkoon B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) malli, jossa ja y t x t = selitettävä muuttuja eli vaste (output) = selittävä muuttuja eli syöte (input) ε i i d t 2...(0, σ ) A(L), B(L), φ(l), θ(l) ovat viivepolynomeja. Mallia kutsutaan siirtofunktio-kohina-malliksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 26

27 Siirtofunktio-kohina-malli Mallin viivepolynomit Määritellään siirtofunktio-kohina-mallin B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) viivepolynomit seuraavalla tavalla: α α 2 r A( L) = 1 1L 2L L rl 2 s B( L) = 0+ 1L+ 2L + L+ sl φ( ) 1 φ φ φ 2 p L = 1L 2L L pl θ ( ) 1 θ θ θ α β β β β 2 q L = + 1L+ 2L + L+ ql TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 27

28 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio Siirtofunktio-kohina-mallin B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) selitettävän muuttujan y t odotusarvoa B( L) E( yt xt ) = xt A( L) kutsutaan mallin siirtofunktio-osaksi. Siirtofunktio-osa muodostaa mallin rakenneosan. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 28

29 Siirtofunktio-kohina-malli Jäännöstermi Siirtofunktio-kohina-mallin B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) selitettävän muuttujan y t ja mallin siirtofunktio-osan erotusta ( ) ( ) t t E( t t ) B L θ L η = y y x = yt xt = εt A( L) φ( L) kutsutaan mallin jäännöstermiksi. Jäännöstermi η t muodostaa mallin satunnaisen osan, jossa satunnaismuuttuja ε t on puhtaasti satunnainen stokastinen prosessi eli valkoista kohinaa. Jäännöstermi η t on ARMA(p,q)-prosessi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 29

30 Siirtofunktio-kohina-malli Viivepolynomeja koskevat oletukset Tehdään siirtofunktio-kohina-mallista B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) seuraavat oletukset: (i) (ii) Viivepolynomi 2 r A( L) = 1 α1l α2l L αrl toteuttaa stabiilisuusehdon: Polynomin A(L) juuret ovat yksikköympyrän ulkopuolella. Viivepolynomi 2 p φ( L) = 1 φ1l φ2l L φ pl toteuttaa stationaarisuusehdon: Polynomin φ(l) juuret ovat yksikköympyrän ulkopuolella. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 30

31 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin stabiilisuus 1/3 Jos siirtofunktio-kohina-malli B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) on stabiili eli viivepolynomin A(L) juuret ovat yksikköympyrän ulkopuolella, on olemassa (ääretönasteinen) viivepolynomi i 2 i D( L) δ i 0 il δ 0 δ1l δ 2L δ il = siten, että = = L+ + L A( L) D( L) = B( L) ja sarja D(L) suppenee yksikköympyrän sisällä ja reunalla sekä itseisesti että kvadraattisesti. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 31

32 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin stabiilisuus 2/3 Jos siirtofunktio-kohina-malli on stabiili, se voidaan esittää muodossa θ ( L) yt = D( L) xt + εt, t= 1,2,, n φ( L) jossa viivepolynomi D(L) toteuttaa ehdon A( L) D( L) = B( L) ja sarja i D( L) δ L = i = 0 i suppenee yksikköympyrän sisällä ja reunalla sekä itseisesti että kvadraattisesti. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 32

33 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin stabiilisuus 3/3 Erityisesti viivepolynomin i D( L) δ L kertoimien δ 0, δ1, δ 2, K, δ i, K summa on äärellinen: Lisäksi δ δ = δ <+ i= 0 i = i = 0 i = δ = (1) i 0 i D = A(1) = = 1 α 1 α 2 L δ = β 0 0 B(1) β + β + β + L+ βs α r TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 33

34 Siirtofunktio-kohina-malli Stationaarisuusoletus Tavallisesti oletetaan, että siirtofunktio-kohina-mallin B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) syötteen x t ja vasteen y t ja muodostama pari (x t, y t ) on stationaarinen. Jos pari (x t, y t ) on epästationaarinen, tehdään tavallisesti oletus, että muuttujat x t ja y t ovat integroituvia niin, että niiden differenssien muodostama pari on stationaarinen. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 34

35 Siirtofunktio-kohina-malli Eksogeenisuus ja endogeenisuus Varsinkin taloustieteessä siirtofunktio-kohina-mallin muuttujista on tapana tehdä seuraavat tulkinnat: (i) (ii) Syöte eli selittävä muuttuja x t on eksogeeninen eli mallin ulkopuolelta määrätty muuttuja. Vaste eli selitettävä muuttuja y t on endogeeninen eli mallin määräämä muuttuja. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 35

36 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin määrittelemä systeemi ja sen tasapaino 1/2 Oletetaan, että stabiilin siirtofunktio-kohina-mallin B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) selittäjällä x t on vakioarvo x kaikille t: x t = x Tällöin mallin siirtofunktio-osa eli selitettävän muuttujan y t ehdollinen odotusarvo on kaikille t B(1) E( yt xt = x) = x= D(1) x= δ x= y A(1) jossa viivepolynomi D(L) toteuttaa ehdon A( L) D( L) = B( L) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 36

37 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin määrittelemä systeemi ja sen tasapaino 2/2 Tällöin sanomme, että siirtofunktio-kohina-mallin B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) määrittelemä (lineaarinen) systeemi on tasapainossa ja systeemin tasapainotilana on (x, y) jossa B(1) y= δ x= D(1) x= x= E( yt xt = x) A(1) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 37

38 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 1/3 Oletetaan, että syöte x t saa yhden yksikön kokoisen lisäyksen ajanhetkellä t 0 : x x+ 1 Siirtofunktio-kohina-mallin määrittelemän systeemin sopeutuminen uuteen tasapainoon kestää äärettömän monta ajanhetkeä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 38

39 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 2/3 Stabiilin siirtofunktio-kohina-mallin määrittelemän systeemin sopeutuminen uuteen tasapainoon tapahtuu seuraavaa reittiä: t< t : E( y x = x) = y 0 t= t : E( y x = x) = y+ δ ja lopulta: t 0 t t 0 t t= t0+ 1: E( yt xt = x) = y+ δ0+ δ1 L t= t + i : E( y x = x) = y+ δ + δ + L+ δ 0 t t 0 1 i t= t0+ : E( yt xt = x) = y+ δ0+ δ1+ L+ δi+ L = y+ δ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 39

40 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 3/3 Jono δ0+ δ1 L δ0+ δ1+ L+ δi L δ0+ δ1+ L+ δi+ L= δ kuvaa reittiä, jota pitkin siirtofunktio-kohina-mallin määrittelemä lineaarinen systeemi siirtyy syötteen saaman yhden yksikön kokoisen lisäyksen jälkeen tasapainotilasta (x, y) uuteen tasapainotilaan ( x+ 1, y+ δ ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 40

41 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-malli: Kertoimien tulkinta 1/3 Tarkastellaan stabiilin siirtofunktio-kohina-mallin B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) esitysmuotoa θ ( L) yt = D( L) xt + εt, t= 1,2,, n φ( L) jossa viivepolynomi i D( L) δ L = i = 0 toteuttaa ehdon A( L) D( L) = B( L) i TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 41

42 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-malli: Kertoimien tulkinta 2/3 Edellä esitetyn nojalla siirtofunktiomallin esitysmuodon θ ( L) yt = D( L) xt + εt, t= 1,2,, n φ( L) viivepolynomin D(L) kertoimille δ 0, δ1, δ 2, K, δ i, K voidaan antaa seuraavat tulkinnat: (i) (ii) Kerroin δ 0 kuvaa muuttujan x saaman yhden yksikön kokoisen lisäyksen välitöntä vaikutusta. Kertoimien δ i, i = 0, 1, 2, summa B(1) β0+ β1+ β2+ L+ βs δ = δ (1) i 0 i = D = = = A(1) 1 α1 α2 L αr kuvaa muuttujan x saaman yksikön kokoisen lisäyksen pitkän ajan vaikutusta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 42

43 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-malli: Kertoimien tulkinta 3/3 Viivepolynomin D(L) kertoimien δ 0, δ1, δ 2, K, δ i, K jakaumaa on tapana kuvata ilmoittamalla seuraavat suureet: (i) (ii) Välitöntä vaikutusta kuvaava kerroin δ 0 Pitkän ajan vaikutusta kuvaava kerroin δ δ i 0 i (iii) Ajanhetki, jolloin systeemin sopeutumisesta on tapahtunut p % = = jossa tavallisesti p = 50 % tai 90 % TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 43

44 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin estimointi Siirtofunktio-kohina-mallin parametrit on tapana estimoida yleisessä tapauksessa suurimman uskottavuuden menetelmällä. Lisätietoja: ks. lukua Suurimman uskottavuuden menetelmä. Koska yleinen siirtofunktio-kohina-malli on erittäin epälineaarinen parametriensa suhteen, joudutaan estimoinnissa yleisessä tapauksessa turvautumaan tähän tarkoitukseen laadittuun erikoisohjelmaan, joka perustuu johonkin epälineaariseen optimointialgoritmiin. Lisätietoja: ks. lukua Suurimman uskottavuuden menetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 44

45 Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin parametreja koskevat testit Siirtofunktio-kohina-mallin parametreja koskevina testeinä käytetään suurimman uskottavuuden menetelmään perustuvia yleisiä testejä: osamäärätesti Waldin testi Lagrangen kertojatesti Lisätietoja: ks. lukua Suurimman uskottavuuden menetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 45

46 Dynaamiset regressiomallit Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Siirtofunktio-kohina-malli >> Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Stokastinen differenssiyhtälö Virheenkorjausmalli Yhteisintegroituvuus Dynaamisten regressiomallien rakentaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 46

47 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Siirtofunktio-kohina-malli Olkoon B( L) θ ( L) yt = xt + εt, t= 1,2,, n A( L) φ( L) siirtofunktio-kohina-malli, jossa 2 r A( L) = 1 α1l α2l L αrl 2 s B( L) = β0+ β1l+ β2l + L+ βsl 2 p L = 1L 2L L pl φ( ) 1 φ φ φ 2 q L = + 1L+ 2L + L+ ql θ ( ) 1 θ θ θ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 47

48 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Siirtofunktio-kohina-malli ja dynaamiset mallit Siirtofunktio-kohina-malli sisältää erikoistapauksinaan useita tavanomaisia regressioanalyysissa, aikasarjaanalyysissa ja ekonometriassa sovellettuja malleja: Tavanomainen lineaarinen regressiomalli ARMA-malli ARMAX-malli Jakautuneen viipymän malli Stokastinen differenssiyhtälö TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 48

49 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Tavanomainen lineaarinen regressiomalli Tavanomainen lineaarinen regressiomalli y = β x + ε t 0 t t saadaan siirtofunktiomallista B( L) θ ( L) yt = xt + εt A( L) φ( L) erikoistapauksena, kun asetetaan A( L) = 1 B( L) = β φ( L) = 1 θ ( L) = 1 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 49

50 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Lineaarinen regressiomalli autokorreloitunein jäännöksin Lineaarinen regressiomalli autokorreloitunein jäännöksin θ ( L) yt = β0xt + ηt, ηt = εt φ( L) saadaan siirtofunktiomallista B( L) θ ( L) yt = xt + εt A( L) φ( L) erikoistapauksena, kun asetetaan A( L) = 1 B( L) = β 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 50

51 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia ARMA(p,q)-malli ARMA(p,q)-malli φ( L) y = θ ( L) ε t saadaan siirtofunktiomallista B( L) θ ( L) yt = xt + εt A( L) φ( L) erikoistapauksena, kun asetetaan A( L) = 1 B( L) = β0 = 0 ARMA(p,q)-mallissa ei siis ole syötettä. t TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 51

52 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia ARMAX-malli ARMAX-malli A( L) y = B( L) x +θ ( L) ε t t t saadaan siirtofunktiomallista B( L) θ ( L) yt = xt + εt A( L) φ( L) erikoistapauksena, kun asetetaan A( L) =φ( L) ARMAX-malli on siis ARMA-malli, jossa on mukana selittäjä X. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 52

53 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Jakautuneen viipymän malli Jakautuneen viipymän malli θ ( L) yt = B( L) xt + εt φ( L) saadaan siirtofunktiomallista B( L) θ ( L) yt = xt + εt A( L) φ( L) erikoistapauksena, kun asetetaan A( L ) = 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 53

54 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Stokastinen differenssiyhtälö 1/2 Stokastinen differenssiyhtälö A( L) y = B( L) x + u, φ ( L) u = θ ( L) ε t t t t t saadaan siirtofunktiomallista B( L) θ ( L) yt = xt + εt A( L) φ( L) erikoistapauksena, kun asetetaan A( L) φ ( L) = φ( L) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 54

55 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Stokastinen differenssiyhtälö 2/2 Stokastinen differenssiyhtälöstä sisältää erikoistapauksinaan useita tavanomaisia ekonometrian malleja; lisätietoja: ks. kappaletta Stokastinen differenssiyhtälö. Stokastisen differenssiyhtälö soveltuu erinomaisesti mallinrakennuksen työvälineeksi aikasarja-analyysissa seuraavista syistä: (i) (ii) Stokastisella differenssiyhtälöllä voidaan tavallisesti approksimoida yleistä siirtofunktio-kohina-mallia riittävällä tarkkuudella. Stokastisen differenssiyhtälön estimointi ja testaus on yksinkertaisempaa kuin yleisen siirtofunktio-kohinamallin estimointi ja testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 55

56 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapausten erottaminen toisistaan 1/2 Edellä on todettu, että siirtofunktio-kohina-mallista saadaan erikoistapauksina useita erilaisia dynaamisia malleja. Kaikki erikoistapaukset saadaan siirtofunktio-kohinamallista esittämällä mallin viivepolynomeille (parametreille) rajoituksia tai side-ehtoja. On syytä huomata, että asetettavia rajoituksia tai sideehtoja voidaan testata tilastollisesti. Testeinä voidaan käyttää (tilanteesta riippuen) osamäärätestiä, Waldin testiä tai Lagrangen kertojatestiä; lisätietoja: ks. lukua Suurimman uskottavuuden menetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 56

57 Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapausten erottaminen toisistaan 2/2 Tämä merkitsee seuraava: Käyttämällä testausta mallinrakennuksen osana, havainnoille voidaan pyrkiä löytämään mahdollisimman parsimoninen malli eli malli, joka mahdollisimman hyvin selittää havaintojen käyttäytymisen, mutta on kuitenkin mahdollisimman yksinkertainen tai vähäparametrinen. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 57

58 Dynaamiset regressiomallit Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia >> Stokastinen differenssiyhtälö Virheenkorjausmalli Yhteisintegroituvuus Dynaamisten regressiomallien rakentaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 58

59 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastinen differenssiyhtälö Stokastiset differenssiyhtälöt ovat yksinkertaisimmassa tapauksessa muotoa y = γ + α y + β x + β x + u t t 1 0 t 1 t 1 t Selitettävän muuttujan arvoa ajanhetkellä t selitetään seuraavilla tekijöillä: selitettävän arvo ajanhetkellä t 1 eli viipeellä 1 selittäjän (eksogeeninen muuttuja) arvo ajanhetkellä t eli viipeellä 0 selittäjän arvo ajanhetkellä t 1 eli viipeellä 1 Jäännöstermit u t saavat yleisessä tapauksessa olla korreloituneita. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 59

60 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön erikoistapauksia 1/5 Stokastisesta differenssiyhtälöstä y = γ + α y + β x + β x + u t t 1 0 t 1 t 1 t saadaan erikoistapauksina useita erilaisia ekonometrian malleja. Erikoistapaukset saadaan stokastisesta differenssiyhtälöstä mallin parametreja koskevilla rajoituksilla. Rajoituksia voidaan testata tilastollisesti. Rajoituksien hyväksyminen testeissä johtaa yksinkertaisempaan mallityyppiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 60

61 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön erikoistapauksia 2/5 (1) Staattinen regressiomalli y = γ + β x + u t 0 t t Rajoitukset: α = β1= 0 (2) AR-prosessi y = γ + α y + u t t 1 t Rajoitukset: β0 = β1= 0 (3) Johtavan indikaattorin malli y = γ + β x + u t 1 t 1 t Rajoitukset: α = β = 0 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 61

62 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön erikoistapauksia 3/5 (4) Kasvuvauhtimalli Dy = γ + β Dx + u t 0 t t Rajoitukset: α = 1, β0 = β1 (5) Jakautuneen viipymän malli y = γ + β x + β x + u t 0 t 1 t 1 t Rajoitukset: α = 0 (6) AR-jäännösten malli y = γ + β x + u, u = αu + ε t 0 t t t t 1 t Rajoitukset: β = αβ 1 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 62

63 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön erikoistapauksia 4/5 (7) Adaptiivisten odotusten malli ja osittaisen sopeutumisen malli y = γ + α y + β x + u t t 1 0 t t Rajoitukset: β1= 0 (8) Virheenkorjausmalli Dy = γ + β Dx + ( α 1) y ν x + u [ ] t 0 t t 1 t 1 t β0+ β1 Rajoitukset: ν = 1 α TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 63

64 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön erikoistapauksia 5/5 (9) Kuolleen alun malli y = γ + α y + β x + u t t 1 1 t 1 t Rajoitukset: β = 0 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 64

65 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastinen differenssiyhtälö ja adaptiiviset odotukset 1/3 Oletukset: (i) (ii) Selitettävän muuttujan y arvo ajanhetkellä t riippuu tilastollisesti selittäjän x odotetusta arvosta x * ajanhetkellä t + 1: y = ϕ + ϕ x + ε t 0 1 t+ 1 t Selittäjän odotettu arvo x * on ei-havaittava. (iii) Odotusta sopeutetaan sen mukaan, miten odotukset ovat toteutuneet aikaisemmin: x t 1 x = t κ ( x t xt ), 0 < κ < + 1 Tätä sopeutumismekanismia kutsutaan adaptiivisten odotusten hypoteesiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 65

66 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastinen differenssiyhtälö ja adaptiiviset odotukset 2/3 Yhdistämällä yhtälöt y = ϕ + ϕ x + ε t 0 1 t+ 1 t xt+ 1 xt = κ ( xt xt ), 0< κ < 1 saadaan selittäjän ei-havaittava odotettu arvo x * eliminoiduksi. Tuloksena saadaan regressioyhtälö y = γ + α y + β x + u t t 1 0 t t joka on stabiili, koska α < 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 66

67 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastinen differenssiyhtälö ja adaptiiviset odotukset 3/3 Tuloksena saatu regressioyhtälö y = γ + α y + β x + u t t 1 0 t t on stokastinen differenssiyhtälö, jonka parametrit toteuttavat yhtälöt γ = κϕ0 α = 1 κ β0 = κϕ1 u t = ε t αε t 1 Saatua regressioyhtälöä kutsutaan adaptiivisten odotusten malliksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 67

68 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastinen differenssiyhtälö ja osittainen sopeutuminen 1/3 Oletukset: (i) (ii) Selitettävän y toivottu tai odotettu arvo y * riippuu tilastollisesti selittäjän x arvosta: y = ϕ + ϕ x t 0 1 t Sopeutuminen uudelle tasolle selittäjän arvossa tapahtuvan muutoksen jälkeen ei kuitenkaan tapahdu suoraan, välittömästi, vaan ainoastaan osittainen sopeutuminen on mahdollista: y y = κ( y y ) + ε, 0< κ < 1 t t 1 t t 1 t Tätä sopeutumismekanismia kutsutaan osittaisen sopeutumisen hypoteesiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 68

69 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastinen differenssiyhtälö ja osittainen sopeutuminen 2/3 Yhdistämällä yhtälöt y = ϕ + ϕ x t 0 1 t t t 1 t t 1 t y y = κ ( y y ) + ε, 0< κ < 1 saadaan selitettävän muuttujan ei-havaittava toivottu tai odotettu arvo y * eliminoiduksi. Tuloksena saadaan regressioyhtälö y = γ + α y + β x + ε t t 1 0 t t joka on stabiili, koska α < 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 69

70 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastinen differenssiyhtälö ja osittainen sopeutus 3/3 Tuloksena saatu regressioyhtälö y = γ + α y + β x + ε t t 1 0 t t on stokastinen differenssiyhtälö, jonka parametrit toteuttavat yhtälöt γ = κϕ0 α = 1 κ β = κϕ 0 1 Saatua regressioyhtälöä kutsutaan osittaisen sopeutumisen malliksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 70

71 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön siirtofunktio-kohina-esitysmuoto 1/3 Olkoon yt = γ + α yt 1+ β0xt + β1xt 1 + εt, α < 1 Tätä stokastista differenssiyhtälöä vastaava siirtofunktiokohina-esitysmuoto on γ β0+ β1l 1 yt = + xt + εt 1 α 1 αl 1 αl Koska α < 1 yhtälö on stabiili. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 71

72 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön siirtofunktio-kohina-esitysmuoto 2/3 Koska stokastinen differenssiyhtälö yt = γ + α yt 1+ β0xt + β1xt 1 + εt, α < 1 on oletettu stabiiliksi ( α < 1) mallin siirtofunktio-osan määräävällä rationaalipolynomilla on esitysmuoto β0+ β1l j = δ jl 1 αl j= 0 jossa δ 0 = β0 δ1= αβ0+ β1 δ 2 = α( αβ0+ β1) L j 1 δ = α ( αβ + β ) j 0 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 72

73 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön siirtofunktio-kohina-esitysmuoto 3/3 Jos yhtälöön β0+ β1l 1 αl sijoitetaan L =1 = j= 0 δ L saadaan yhtälö β0+ β 1 δ j = = δ α j= 0 1 j j TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 73

74 Stokastinen differenssiyhtälö Viiveoperaattorin murtolausekkeet: Huomautus Viiveoperaattorilla 1 1 αl tarkoitetaan ääretönasteista polynomia 1 j j 2 2 = α L = 1+ αl+ α L + L 1 αl j= 0 joka muodostaa yksikköympyrän sisäpuolella ja reunalla suppenevan geometrisen sarjan, jos α < 1. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 74

75 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön määrittelemä systeemi ja sen tasapaino 1/2 Oletetaan, että stabiilin stokastisen differenssiyhtälön yt = γ + α yt 1+ β0xt + β1xt 1 + εt, α < 1 selittäjällä x t on vakioarvo x kaikille t: x t = x Tällöin mallin siirtofunktio-osa eli selitettävän muuttujan y t odotusarvo on kaikille t β0+ β1 E( yt xt = x) = x= δ x= y 1 α TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 75

76 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön määrittelemä systeemi ja sen tasapaino 2/2 Tällöin sanomme, että stokastisen differenssiyhtälön yt = γ + α yt 1+ β0xt + β1xt 1 + εt, α < 1 määrittelemä (lineaarinen) systeemi on tasapainossa ja systeemin tasapainotilana on (x, y) jossa β0+ β1 y= δ x= x= E( yt xt = x) 1 α TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 76

77 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 1/4 Oletetaan, että syöte x t saa yhden yksikön kokoisen lisäyksen ajanhetkellä t 0 : x x+ 1 Stokastisen differenssiyhtälön määrittelemän systeemin sopeutuminen uuteen tasapainoon kestää äärettömän monta ajanhetkeä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 77

78 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 2/4 Stabiilin stokastisen differenssiyhtälön määrittelemän systeemin sopeutuminen uuteen tasapainoon tapahtuu seuraavaa reittiä: t< t : E( y x = x) = y 0 t t= t : E( y x = x) = y+ δ 0 t t 0 t t= t0+ 1: E( yt xt = x) = y+ δ0+ δ1 L t= t + i : E( y x = x) = y+ δ + δ + L+ δ 0 t t 0 1 i jatkuu TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 78

79 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 3/4 ja lopulta: t= t + : E( y x = x) = y+ δ + δ + L+ δ + L 0 t t 0 1 i = y+ δ = y+ β0+ β1 1 α TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 79

80 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön määrittelemä systeemi ja sen sopeutuminen 4/4 Jono δ0+ δ1 L δ0+ δ1+ L+ δi L β0+ β1 δ0+ δ1+ L+ δi+ L= δ = 1 α kuvaa reittiä, jota pitkin siirtofunktio-kohina-mallin määrittelemä lineaarinen systeemi siirtyy selittäjän x t saaman yhden yksikön kokoisen lisäyksen jälkeen tasapainotilasta (x, y) uuteen tasapainotilaan ( x+ 1, y+ δ ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 80

81 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastinen differenssiyhtälö: Lyhyen ja pitkän ajan kertoimet Stokastisen differenssiyhtälön yt = γ + α yt 1+ β0xt + β1xt 1 + εt, α < 1 kertoimilla on seuraavat tulkinnat: (i) (ii) Kerroin δ 0 = β 0 on lyhyen ajan kerroin, joka kuvaa selittäjän x t arvon yhden yksikön lisäyksen välitöntä vaikutusta. Kerroin β0+ β1 δ = 1 α on pitkän ajan kerroin, joka kuvaa selittäjän x t arvon yhden yksikön lisäyksen pitkän ajan vaikutusta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 81

82 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön virheenkorjausesitys Olkoon yt = γ + α yt 1+ β0xt + β1xt 1 + εt, α < 1 Tätä stokastista differenssiyhtälöä vastaava virheenkorjausesitys on β0+ β1 Dyt = γ + β0dxt + ( α 1) yt 1 x t 1 + εt 1 α TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 82

83 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön estimointi 1/4 Stokastisen differenssiyhtälön y = γ + α y + β x + β x + u t t 1 0 t 1 t 1 t parametrit voidaan estimoida PNS-menetelmällä, jos 2 u = ε n. i. d.(0, σ ) t Tällöin parametrien PNS-estimaattorit eivät ole harhattomia, mutta ovat tarkentuvia t asymptoottisesti tehokkaita asymptoottisesti normaalisia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 83

84 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön estimointi 2/4 Edellä esitetty merkitsee sitä, että kaikkia tavanomaisia lineaarisen mallin yhteydessä käytettäviä estimointi- ja testausmenetelmiä voidaan käyttää myös stokastisen differenssiyhtälön tapauksessa, jos jäännöstermit ovat korreloimattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 84

85 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön estimointi 3/4 Stokastisen differenssiyhtälön y = γ + α y + β x + β x + u t t 1 0 t 1 t 1 t parametreja ei saa estimoida PNS-menetelmällä, jos jäännöstermit u t ovat ole korreloituneita. Tällöin parametrien PNS-estimaattorit eivät ole harhattomia tarkentuvia asymptoottisesti tehokkaita asymptoottisesti normaalisia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 85

86 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön estimointi 4/4 Oletetaan, että stokastisen differenssiyhtälön yt = γ + α yt 1+ β0xt + β1xt 1+ ut jäännöstermit u t ovat korreloituneita. Tällöin parametrien estimointiin voidaan käyttää suurimman uskottavuuden (SU-) menetelmää. Parametrien SU-etimaattorit ovat tarkentuvia asymptoottisesti tehokkaita asymptoottisesti normaalisia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 86

87 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön estimointi: Hatanakan menetelmä 1/4 Tarkastellaan stokastisen differenssiyhtälön y = α y + β x + u t t 1 t t parametrien estimointia ns. Hatanakan menetelmällä, kun jäännöstermit u t ovat korreloituneita. Hatanakan menetelmällä saadut estimaattorit ovat asymptoottisesti ekvivalentteja SU-estimaattoreiden kanssa, mutta eivät ole pienten otosten ominaisuuksiltaan välttämättä yhtä hyviä kuin SU-estimaattorit. Hatanakan menetelmä etuna on kuitenkin se, että siinä estimaattorit saadaan estimoimalla kolme lineaarista regressiota tavallisella PNS-menetelmällä (so. tarvitsematta turvautua erikoisohjelmiin). TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 87

88 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön estimointi: Hatanakan menetelmä 2/4 Olkoon y = α y + β x + u t t 1 t t stokastinen differenssiyhtälö, jonka jäännöstermi u t on AR(1)-prosessi: u = u + i i d 2 t φ t 1 εt, εt...(0, σ ) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 88

89 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön estimointi: Hatanakan menetelmä 3/4 Hatanakan menetelmä koostuu seuraavista työvaiheista: (1) Määrätään sovitteet y% t mallista yt = β xt + η t (2) Määrätään residuaalit η % t mallista yt = α y% t 1+ β xt + η t (3) Määrätään kertoimen φ estimaattoriφ % AR(1)-mallista % η t = φ % η t 1+ ε t (4) Estimoidaan kertoimet α, β, γ mallista yt % φ yt 1= α ( yt 1 % φ yt 2) + β ( x % φ x ) + γ % η + ς t t 1 t 1 t TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 89

90 Stokastinen differenssiyhtälö Stokastisen differenssiyhtälön estimointi: Hatanakan menetelmä 4/4 Alkuperäisen mallin y = α y + β x + u t t 1 t t 2 ut = φut 1 + εt, εt i. i. d.(0, σ ) parametrien tarkentuvat ja asymptoottisesti tehokkaat estimaattorit ˆ α, ˆ β, ˆ γ saadaan vaiheiden (3) ja (4) apuregressioiden estimaattoreista % α, % β, % γ, % φ : ˆ α = % α ˆ β = % β ˆ φ = % φ + % γ TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 90

91 Dynaamiset regressiomallit Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Stokastinen differenssiyhtälö >> Virheenkorjausmalli Yhteisintegroituvuus Dynaamisten regressiomallien rakentaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 91

92 Virheenkorjausmalli Stokastisen differenssiyhtälön virheenkorjausesitys Olkoon stokastista differenssiyhtälöä yt = γ + α yt 1+ β0xt + β1xt 1 + εt, α < 1 vastaava virheenkorjausesitys β0+ β1 Dyt = γ + β0dxt + ( α 1) yt 1 x t 1 + εt 1 α TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 92

93 Virheenkorjausmalli Dynaaminen tasapaino Oletetaan, että muuttujien y ja x välinen riippuvuus on pitkällä aikavälillä muotoa y= K+ν x Jos muuttuja x kasvaa vakionopeudella g x, niin välttämättä myös y kasvaa vakionopeudella g =ν g y x Tällöin sanotaan, että systeemi on dynaamisessa tasapainossa, jonka määrittelee dynaaminen tasapainotila ( g, g ) x y TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 93

94 Virheenkorjausmalli Pitkän aikavälin riippuvuudet Muuttujien y ja x välistä pitkän aikavälin riippuvuutta kuvaava yhtälö y = K+ν x on suoran yhtälö, jossa K = suoran vakiotermi ν = suoran kulmakerroin TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 94

95 Virheenkorjausmalli Virheenkorjausmallin tulkinta 1/7 Samastetaan virheenkorjausesityksen β0+ β1 Dyt = γ + β0dxt + ( α 1) yt 1 x t 1 + εt 1 α differenssitermit muuttujien x ja y kasvuvauhtien kanssa: Dy g =ν g Dx t y x t g x TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 95

96 Virheenkorjausmalli Virheenkorjausmallin tulkinta 2/7 Samastetaan virheenkorjausesityksen β0+ β1 Dyt = γ + β0dxt + ( α 1) yt 1 x t 1 + εt 1 α hakasulkulauseke β0+ β1 [] = y t 1 t 1 x t 1 1 α pitkän aikavälin riippuvuuden y K ν x kanssa, jolloin ν = β0+ β1 1 α TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 96

97 Virheenkorjausmalli Virheenkorjausmallin tulkinta 3/7 Virheenkorjausesitys voidaan siten kirjoittaa muotoon g y = ν g x = γ + β0 gx+ ( α 1) K josta suoran y= K+ν x vakiotermi K saadaan ratkaistuksi: + ( ) 1 0 K γ β g = x αv TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 97

98 Virheenkorjausmalli Virheenkorjausmallin tulkinta 4/7 Siten pitkän aikavälin riippuvuutta kuvaavassa yhtälössä y= K+ν x vakiotermi K γ + ( β 0 ν ) = 1 α g x riippuu kasvuvauhdista g x ja pitkän aikavälin kerroin on β0+ β1 ν = 1 α Jos kasvuvauhti g x = 0, pitkän aikavälin riippuvuutta kuvaava yhtälö supistuu staattisen tasapainon mukaiseksi tasapainotilaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 98

99 Virheenkorjausmalli Virheenkorjausmallin tulkinta 5/7 Oletetaan, että havainnot ovat lähellä dynaamisen tasapainon mukaista kasvu-uraa. Tällöin β0+ β1 [] = y t 1 t 1 xt 1 K 1 α ja virheenkorjausesitys saa approksimatiivisesti muodon Dy γ + β Dx + ε t 0 t t γ γ + ( α 1) K = ( ν β0) gx mikä on vähäparametrinen esitys selitettävän muuttujan y lyhyen aikavälin riippuvuudelle selittäjästä x. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 99

100 Virheenkorjausmalli Virheenkorjausmallin tulkinta 6/7 Siten differenssimalli Dy γ + β Dx + ε t 0 t t on mielekäs kuvaus selitettävän muuttujan y ja selittäjän x lyhyen ajan riippuvuudelle, jos muuttujat ovat lähellä dynaamisen tasapainon mukaista kasvu-uraa. Vastaavasti tavanomainen lineaarinen (taso-) malli y = K+ ν x + η t t t on tällöin mielekäs kuvaus selitettävän muuttujan y ja selittäjän x pitkän ajan riippuvuudelle. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 100

101 Virheenkorjausmalli Virheenkorjausmallin tulkinta 7/7 Jos muuttujien y ja x arvot erkanevat dynaamisen tasapainon mukaiselta kasvu-uralta, vain virheenkorjausesitys pystyy antamaan riittävän kuvauksen muuttujien y ja x lyhyen ja pitkän aikavälin riippuvuuksille. Siten virheenkorjausesitys mallintaa samanaikaisesti muuttujien y ja x väliset lyhyen ja pitkän aikavälin riippuvuudet, jos muuttujien y ja x muodostama systeemi on dynaamisessa tasapainossa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 101

102 Virheenkorjausmalli Virheenkorjausmallin nimi 1/2 Oletetaan, että muuttuja y alkaa kasvaa dynaamisen tasapainon mukaista kasvu-uraa nopeammin. Tällöin virheenkorjausesityksen lausekkeessa β + β 1 α 0 1 [] = y 1 t 1 xt 1 0 t > Koska olemme olettaneet, että α 1 < 0, β0+ β1 ( α 1) yt 1 xt 1 < 0 1 α TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 102

103 Virheenkorjausmalli Virheenkorjausmallin nimi 2/2 Siten muuttujan y kasvuvauhti β0+ β1 g y Dyt = δ + β0dxt + ( α 1) yt 1 xt 1 + εt 1 α pyrkii seuraavalla askeleella pienenemään. Virheenkorjausmallin virheenkorjausmekanismi pakottaa siis muuttujan y kasvuvauhdin takaisin kohti dynaamisen tasapainon mukaista kasvu-uraa. Virheenkorjausmallin virheenkorjausmekanismi estää siis muuttujien y ja x arvojen erkanemisen kauas pitkän aikavälin riippuvuutta kuvaavalta kasvu-uralta. y= K+ν x TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 103

104 Dynaamiset regressiomallit Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin erikoistapauksia Stokastinen differenssiyhtälö Virheenkorjausmalli >> Yhteisintegroituvuus Dynaamisten regressiomallien rakentaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 104

105 Yhteisintegroituvuus Integroituvuus Olkoon z t, t Tstokastinen prosessi. Jos on, kun d epästationaarinen d< d0 D zt on stationaarinen, kun d = d0 z t on integroituva eli differenssistationaarinen astetta d 0. Merkintä: I( d ) zt 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 105

106 Yhteisintegroituvuus Integroituvuus: Esimerkkejä Satunnaiskulku (engl. random walk) 2 zt = zt 1 + εt, εt n. i. d.(0, σ ) Dzt = εt on I(1)-prosessi. Satunnaiskulku vakioin (engl. random walk with drift) 2 zt = γ + zt 1 + εt, εt n. i. d.(0, σ ) Dzt = γ + εt on I(1)-prosessi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 106

107 Yhteisintegroituvuus I(0)-prosessin ominaisuuksia Olkoon stokastinen prosessi z t I(0)-prosessi ja E(z t ) = 0. Tällöin z t on stationaarinen stokastinen prosessi, jolla on seuraavat ominaisuudet: (i) (ii) Var(z t ) on äärellinen. Satunnaissykäyksillä eli innovaatioilla on vain tilapäinen vaikutus muuttujan z t arvoon. (iii) Tason z = 0 peräkkäisten ohitusten väliaikojen odotusarvo on äärellinen. (iv) Autokorrelaatiot pienenevät eksponentiaalista vauhtia niin, että niiden summa on äärellinen. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 107

108 Yhteisintegroituvuus I(1)-prosessin ominaisuuksia Olkoon stokastinen prosessi z t I(1)-prosessi ja z 0 = 0. Tällöin z t on epästationaarinen stokastinen prosessi, jolla on seuraavat ominaisuudet: (i) Var(z t ) +, kun t +. (ii) Satunnaissykäyksillä eli innovaatioilla on pysyvä vaikutus muuttujan z t arvoon. (iii) Tason z = 0 peräkkäisten ohitusten väliaikojen odotusarvo on ääretön. (iv) Korrelaatiot Cor( z, z + ) + 1 t t k kaikille k, kun t +. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 108

109 Yhteisintegroituvuus Yhteisintegroituvuus 1/2 Oletetaan, että x t ~ I(d) ja y t ~ I(d). Tällöin yleensä pätee (ν on vakio): Jos on olemassa vakio ν siten, että sanotaan, että x t ja y t ovat yhteisintegroituvia astein d ja f ja merkitään Hyvin usein z = y ν x I( d) t t t z = y ν x I( d f ), f > 0 t t t ( x, y ) YI( d, f ) t d = f = 1 t TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 109

110 Yhteisintegroituvuus Yhteisintegroituvuus 2/2 Olkoon ( x, y ) YI( d, f ) Tällöin on olemassa vakio ν siten, että z = y ν x I( d f ) Vektoria t t t t t (1, v) kutsutaan yhteisintegroituvuusvektoriksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 110

111 Yhteisintegroituvuus Yhteisintegroituvuuden tulkinta, kun ν = 1 Olkoon ( x, y ) YI(1,1) t ja lisäksi ν = 1. Tällöin x t ja y t ovat epästationaarisia, mutta zt = yt xt on stationaarinen. t Siten x t ja y t eivät voi etääntyä mielivaltaisen kauas toisistaan, kun t kasvaa rajatta. Siten yhteisintegroituvuus on dynaamisen tasapainon ilmentymä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 111

112 Yhteisintegroituvuus Yhteisintegroituvuuden yleinen tulkinta Olkoot x t ~ I(1), y t ~ I(1) ja zt = yt ν xt Muuttuja z t kuvaa muuttujien x t ja y t muodostaman systeemin tasapainovirhettä. Jos z t I(0), niin z t on stationaarinen ja siten muuttujien x t ja y t muodostama systeemi on melko usein tasapainossa. Jos z t I(1), niin z t on epästationaarinen ja tasapainon käsite ei ole relevantti muuttujien x t ja y t muodostamassa systeemissä. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 112

113 Yhteisintegroituvuus Lineaariset regressiomallit ja stationaarisuus 1/4 Tarkastellaan yksinkertaisen lineaarisen regressiomallin y = β x + u estimointia t t t Tarkastellaan seuraavia tapauksia: (i) y t ~ I(1) ja x t ~ I(1) (ii) y t ~ I(0) ja x t ~ I(1) (iii) y t ~ I(1) ja x t ~ I(0) (iv) y t ~ I(0) ja x t ~ I(0) TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 113

114 Yhteisintegroituvuus Lineaariset regressiomallit ja stationaarisuus 2/4 (i) (ii) y t ~ I(1) ja x t ~ I(1) Malli voidaan estimoida PNS-menetelmällä, mutta tilastollisessa päättelyssä on otettava huomioon, että estimaattoreiden jakaumat ovat epätavanomaisia. y t ~ I(0) ja x t ~ I(1) Malli ei ole mielekäs, koska välttämättäβ= 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 114

115 Yhteisintegroituvuus Lineaariset regressiomallit ja stationaarisuus 3/4 (iii) y t ~ I(1) ja x t ~ I(0) Välttämättä u t ~ I(1) ja tavanomaisen PNSmenetelmään perustuvan estimointitekniikan soveltaminen ei ole mahdollista. (iv) y t ~ I(0) ja x t ~ I(0) Malli voidaan estimoida PNS-menetelmällä ja tavanomaisen tekniikan käyttäminen tilastollisessa päättelyssä on mahdollista. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 115

116 Yhteisintegroituvuus Lineaariset regressiomallit ja stationaarisuus 4/4 Yhteenveto: Regressioyhtälöiden estimointia helpottaa, jos mallin muuttujat ovat samaa integroituvuuden astetta. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 116

117 Yhteisintegroituvuus Tasot vs differenssit 1/2 Edellä on todettu, että tasomalli y = K+ ν x + η t t t kuvaa muuttujien y t ja x t pitkän aikavälin riippuvuutta. Samoin edellä on todettu, että differenssimalli Dy γ + β Dx + ε t 0 t t kuvaa muuttujien y t ja x t lyhyen aikavälin riippuvuutta, jos muuttujat y t ja x t ovat lähellä dynaamisen tasapainon mukaista kasvu-uraa. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 117

118 Yhteisintegroituvuus Tasot vs differenssit 2/2 Oletetaan, että y t ~ I(1) ja x t ~ I(1). Tasomallissa y t ja x t ovat I(1)-muuttujina epästationaarisia. Differenssimallissa Dy t ja Dx t ovat I(0)-muuttujina stationaarisia. Virheenkorjausmalli yhdistää samaan regressiomalliin selitettävän ja selittävän muuttujan pitkän ja lyhyen ajan riippuvuudet, mutta virheenkorjausmalli on mielekäs kuvaus näistä riippuvuuksista vain siinä tapauksessa, että muuttujat y t ja x t ovat yhteisintegroituneita. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 118

119 Yhteisintegroituvuus Virheenkorjausmalli ja yhteisintegroituvuus 1/3 Olkoon stokastista differenssiyhtälöä yt = γ + α yt 1+ β0xt + β1xt 1 + εt, α < 1 vastaava virheenkorjausesitys [ ] Dy = γ + β Dx + λ y ν x + ε t 0 t t 1 t 1 t λ= α 1 β0+ β1 ν = 1 α jossa ν on pitkän ajan kerroin. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 119

120 Yhteisintegroituvuus Virheenkorjausmalli ja yhteisintegroituvuus 2/3 Oletetaan, että y t ~ I(1) ja x t ~ I(1). Oletetaan, että y t vx Tällöin muuttujat Dy t ja Dx t ovat stationaarisia ja muuttuja [y t νx t ] t I(1) on kiinteälle ν epästationaarinen ja siten integroituvuuden asteet virheenkorjausmallissa eivät sovi toisiinsa. Tällöin mallia koskeva tavanomaiseen tekniikkaan perustuva tilastollinen päättely ei ole mahdollista. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 120

121 Yhteisintegroituvuus Virheenkorjausmalli ja yhteisintegroituvuus 3/3 Oletetaan, että y t ~ I(1) ja x t ~ I(1). Oletetaan, että on olemassa ν siten, että y t vx t I(0) Tällöin muuttujat Dy t ja Dx t ovat stationaarisia ja myös muuttuja [y t νx t ] stationaarinen ja siten integroituvuuden asteet sopivat virheenkorjausmallissa toisiinsa. Tällöin mallia koskeva tavanomaiseen tekniikkaan perustuva tilastollinen päättely on mahdollista. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 121

122 Yhteisintegroituvuus Grangerin esityslause 1/2 Oletetaan, että y t ~ I(1), x t ~ I(1) ja (y t, x t ) ~ YI(1,1). Tällöin on olemassa virheenkorjausesitys δ ( L) Dyt = ω( L) Dxt + λzt 1+ θ ( L) εt jossa ja zt = yt vxt I(0) (1, ν) on yhteisintegroituvuusvektori. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 122

123 Yhteisintegroituvuus Grangerin esityslause 2/2 Oletetaan, että y t ~ I(1), x t ~ I(1) ja olkoon muuttujien y t ja x t välillä virheenkorjausesitys δ ( L) Dyt = ω( L) Dxt + λzt 1+ θ ( L) εt jossa zt = yt vxt Tällöin y t ja x t ovat yhteisintegroituvia. Grangerin esityslauseen mukaan muuttujien y t ja x t yhteisintegroituvuus ja virheenkorjausesityksen olemassaolo muuttujille y t ja x t ovat yhtäpitäviä ominaisuuksia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 123

124 Yhteisintegroituvuus Grangerin esityslause: Kommentteja Grangerin esityslauseesta seuraa, että seuraavat seikat voidaan samastaa: (i) (ii) Muuttujien y t ja x t dynaamisen pitkän aikavälin tasapainon olemassaolo. Yhteisintegroituvuus. (iii) Tasapainovirheen stationaarisuus. Jos muuttujien y t ja x t välillä ei ole dynaamista pitkän aikavälin tasapainoa, muuttujat y t ja x t eivät ole yhteisintegroituvia ja tasapainovirhe on epästationaarinen. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 124

125 Yhteisintegroituvuus Virheenkorjausmallin estimointi 1/2 Oletetaan, että y t ~ I(1), x t ~ I(1) ja (y t, x t ) ~ YI(1,1) ja olkoon yhteisintegroituvuusvektori (1, ν). Jos ν on tunnettu, tasapainovirhe zt = yt vxt on havaittu ja stationaarinen. Tällöin mallin Dy = γ + β Dx + λz + ε t 0 t t 1 t kaikki muuttujat ovat stationaarisia, jolloin sekä PNSmenetelmän käyttö estimoinnissa että tavanomainen tilastollinen päättely ovat mahdollisia. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 125