Luento 7: Kokonaislukuoptimointi
|
|
- Tommi Mikkola
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus (x i Z, i). Sekalukutehtävässä kokonaislukurajoitus on osalla muuttujista. Binääritehtävässä (BILP) kaikki muuttujat saavat arvon joko nolla tai yksi. Yleisimmin käytetty ja luotettavin menetelmä ILP-tehtävän ratkaisuun on branch-and-bound algoritmi. Leikkaavien tasojen menetelmät (cutting-plane methods) ovat myös käytettyjä, mutta vaikeampia ja epävarmempia. Niiden käytössä esiintyy myös ongelmallisia pyöristysvirheitä. Valintamuuttuja Binäärimuuttujan yleinen käyttökohde on binäärinen valinta, jossa tehdään valinta kahden päätösvaihtoehdon välillä. Tämä valinta voidaan mallintaa binäärimuuttujalla x x = { 1, päätös 1 0, päätös 2, eli asetetaan x joko nollaksi tai ykköseksi riippuen päätösvaihtoehdosta. Päätösmuuttujien riippuvuuksia Binääriset päätösvaihtoehdot voivat olla riippuvaisia toisistaan. Rajoitteella (1) voidaan rajata, että päätösmuuttujista x i enintään a kappaletta saa arvon 1. Jos halutaan, että muutttujista x i täsmälleen a kappaletta saa arvon 1, muutetaan epäyhtälö yhtälörajoitteeksi. x i a, a {0, 1,..., n} (1) i=1 1
2 Olkoon riippuvuussuhde sellainen, että joko molemmat tai ei kumpikaan vaihtoehdoista x ja y voivat tapahtua. Riippuvuussuhde voidaan mallintaa rajoitusehdolla (2) x y = 0 (2) Toisin sanoen tämä on päätösmuuttujien välinen ekvivalenssirelaatio, x y: jos x = 0, niin y = 0 ja jos x = 1, niin y = 1. Vastaavasti implikaatio (x y) voidaan mallintaa rajoitusehdolla (3) x y (3) Jos x = 0, niin y = 0 tai y = 1, ja jos x = 1, niin y = 1. Olkoon z riippuvainen binäärimuuttujasta x:stä siten, että jos x = 0 z = 0, muutoin 0 z u, u R. Tämä suhde voidaan esittää seuraavan epäyhtälöryhmän avulla z ux 0 z 0 (4) Esitellään nyt muutamia kokonaislukuoptimoinnin sovelluksia. Selkärepun täyttöongelma Selkärepun täyttöongelma (Knapsack Problem) kuvaa erämaavaeltajan vaikeutta valita tarpeellisimmat esineet reppuunsa vaellusta varten. Vaeltaja voi kantaa vain K kilogramman kuorman. Hänen on valittava mukaansa osa esineistä kaikkiaan n esineen joukosta, joista jokaisella esineellä j on massa m j ja hyöty c j matkan aikana. Vaeltajan tarkoitus on maksimoida esineistä saatava kokonaishyöty. Binäärimuuttuja x i saa arvon yksi, jos esine i otetaan mukaan, muuten nolla. Vaeltajan ongelma voidaan esittää binääritehtävänä muodossa 2
3 max x s.e. c j x j (a) m j x j K (b) j=1 j=1 x j {0, 1} j (c) (5) Työnjako-ongelma Työnjako-ongelmassa (AP = Assignment Problem) yhtiöllä on n työtehtävää ja m työntekijää tai konetta, missä n m. Jokainen työ tehdään yhden työntekijän voimin ja jokainen työntekijä voi suorittaa korkeintaan yhden työtehtävän. Kaikki työtehtävät on suoritettava. Jos työntekijä i tekee työtehtävän j, siitä aiheutuu kustannus c ij. Tarkoituksena on minimoida kokonaiskustannus. Binäärimuuttuja x ij saa arvon yksi, mikäli työtehtävän j suorittaa työntekijä i, muuten nolla. Tehtävä on kokonaisuudessaan muotoa min x s.e. m c ij x ij (a) m x ij = 1 j = 1,..., n (b) i=1 x ij 1 i = 1,..., m (c) i=1 j=1 j=1 x ij {0, 1} i, j (d) (6) Rajoiteella (b) saadaan varmistettua, että jokainen työtehtävä j tulee suoritetuksi ja rajoitteella (c) saadaan huomioitua, että jokainen työntekijä i voi suorittaa korkeintaa yhden työtehtävän. Täydellinen sovitusongelma Sovitusongelmassa (Perfect Matching Problem) yrityksellä on työntekijöitä parillinen määrä 2n ja tehtävänä on muodostaa työntekijöistä työpareja kokonaistehokkuus maksimoiden. Olkoon c ij työntekijöiden i ja j välinen yhteistyötehokkuus. ja binäärimuuttuja x ij saa arvon yksi, kun työntekijät i ja j muodostavat työparin, muuten nolla. Tehtävä on muotoa 3
4 max x s.e. 2n 1 2 i=1 j=i+1 i 1 2n k=1 x ki + c ij x ij k=i+1 (a) x ik = 1 i = 1,..., 2n (b) x ij {0, 1} i, j (c) (7) Rajoitteella (b) saadaan varmistettua, että jokaisella työntekijällä on vain yksi pari. Tehtaan sijoitusongelma Tehtaan sijoitusongelmassa (Facility Location Problem) on joukko asiakkaita I = {1,..., m} ja joukko mahdollisia tehtaan sijoituspaikkoja J = {1,..., n}. Tehtaan sijoittaminen paikkaan j tuottaa kustannuksen c j, j J, ja asiakkaan i kysynnän tyydyttäminen paikasta j tuottaa kustannuksen d ij. Tarkoituksena on valita sopivat tehtaiden sijoituspaikat s.e. kokonaiskustannus minimoituu. Binäärimuuttuja x j saa arvon yksi, jos tehdas sijoitetaan paikkaan j, muuten nolla. Olkoon paikkaan j sijoitetun tehtaan kapasiteetti u j ja asiakkaan i kysyntä b i. Määritellään lisäksi jatkuva muuttuja y ij, joka osoittaa toimitusten määrää paikasta j asiakkaalle i. Tehtävä on muotoa min x,y s.e. c j x j + m j=1 i=1 j=1 d ij y ij (a) y ij = b i, i I (b) j=1 m y ij u j x j, j J (c) i=1 y ij 0, i, j (d) x j {0, 1} j (e) (8) Rajoitteella (b) varmistetaan että asiakkaiden kysynnät tulee tyyydytettyä. Tehtaan kapasiteetin ylittyminen saadaan estettyä rajoitteella (c). Se myös kertoo sen, että jos paikkaan j ei tule tehdasta (x j = 0), tavaravirtaus paikasta j on nolla. 4
5 Kauppamatkustajan ongelma Kauppamatkustajan ongelma (TSP = Traveling Salesman Problem) on ehkä tunnetuin kombinatorinen optimointitehtävä. Kauppamatkustaja aloittaa matkustamisen kotipaikkakunnalta, vierailee etukäteen määritellyissä kaupungeissa ja palaa takaisin lähtöpaikkaan. TSP:ssä on tarkoitus löytää kokonaiskustannuksen minimoiva reitti siten, että jokaisessa kaupungissa on vierailtu täsmälleen kerran. Olkoon kaupunkien joukko N = {1,..., n} ja c ij kaupunkien i ja j välisen kaaren, esimerkiksi tien tai lentoreitin kustannus. Kustannuksena voi olla etäisyys, raha, aika tai näiden kombinaatio. Jos c ij = c ji, tehtävä on symmetrinen, muuten ei-symmetrinen. Olkoon binäärimuuttuja x ij yksi, jos kauppamatkustaja jatkaa kaupungista i kaupungiin j, muuten nolla. Olkoon kauppamatkustajan kotipaikkakunta kaupunki 1. Tehtävän formulointi on min x s.e. c ij x ij (a) x ij = 1, j = 1,..., n (b) i=1 x ij = 1, i = 1,..., n (c) j=1 x ij S 1, S N, S N, (d) i=1 j=1 i,j σ(s) x ij {0, 1} (e) (9) Rajoitteilla (b) ja (c) huolehditaan siitä, että jokaiseen kaupunkiin saavutaan ja sieltä poistutaan. Alireittien muodostuminen estetään rajoitteella (d), missä joukko S on kaupungeista N valittu ei-tyhjä osajoukko ja itseisarvolla tarkoitetaan tässä yhteydessä S:n alkioiden lukumäärää. σ(s) määritellään seuraavasti: σ(s) = {(i, j) i S, j S } (10) Jos kaupunkien joukossa S pätee (i,j) σ(s) x ij > S 1, on joukossa S kehä, jolloin on siis muodostunut alireitti. Ilman rajoitetta (d) ratkaisu voisi olla kuvan 1 mukainen. 5
6 Kuva 1: Esimerkki kahdesta alireitistä 9-kaupungin TSP:ssä. Joukon peitto-, pakkaus- ja ositustehtävät. Huutokauppatehtävä Olkoon M = {1,..., m} ja N = {1,..., n}. Olkoon M 1, M 2,..., M n kokoelma joukon M osajoukkoja. Jokaiselle osajoukolle M j on liitetty kustannus, tai arvo, c j. Joukon N osajoukko F on peite (cover) M:lle, jos j F M j = M. F on pakkaus (packing), jos M j M k =, j, k F, j k. F on M:n ositus (partition), jos se on sekä peite että pakkaus M:lle. Osajoukon F kokonaiskustannus on j F c j. Kuvassa 2 on havainnollistus peitteestä, osituksesta ja pakkauksesta. Joukon peittotehtävässä (set-covering problem, SCP) etsitään kokonaiskustannuksen minimoiva peite F, pakkaustehtävässä (set-packing problem, SPP) kokonaiskustannuksen maksimoiva pakkaus F ja ositustehtävässä (set-partitioning problem, SPP) kokonaiskustannuksen minimoiva (maksimoiva) ositus F. Olkoon a ij = 1, jos i M j, ja muuten nolla; ja x j = 1, jos j F. Määritellään vektorit x = (x 1,..., x n ), ja e = (1,..., 1), jonka dimensio on m, sekä matriisi A, (A) ij = a ij. F on peite, pakkaus tai ositus jos ja vain jos Ax e, Ax e, Ax = e. 6
7 Kuva 2: Peite, ositus ja pakkaus. Huutokauppatehtävä Olkoon internetissä toimivalla huutokauppiaalla M tuotetta (esim. jonkin asuinkiinteistön huonekalut). Huutokaupan periaate on seuraava: jokainen asiakas tekee M:n osajoukosta (osajoukoista) M j tarjouksen tietämättä toisten tekemistä tarjouksista. Olkoon b(m j ) korkein osajoukolle M j tehdyistä tarjouksista ja N osajoukkojen M j indeksijoukko. Keille asiakkaille huutokauppiaan kannattaa myydä tuotteet tarjouksien jälkeen, jotta voitto maksimoituisi? Tämä tehtävä on joukon pakkaustehtävä. Olkoon a ij = 1, jos i M j, muuten nolla; ja x j = 1, jos osajoukko M j myydään. Huutokauppiaan tehtävä on siten: max s.e. jen b(m j )x j (a) a ij x j 1 i M (b) j N x j {0, 1} j N (c) (11) Esimerkkejä Esimerkki 1 Budjetointi. Kyllä - ei -rajoitus. Pääoma budjetoidaan viiteen projektiin, joista kunkin kesto on 3 vuotta. Projektien odotetut tuotot ja kustannukset sekä käytössä oleva pääoma ovat ao. taulukossa. Yritys maksimoi kokonaistuottoaan. 7
8 kustannukset (ME)/vuosi projekti tuotto (ME) käytettävä pääoma (ME) seuraa- Mitkä projektit tulisi toteuttaa? Määritellään binäärimuuttujat x j vasti: x j = { 1, jos projekti j toteutetaan 0, jos projektia j ei toteuteta Kyllä - ei -rajoitus toteutetaan siis 0 tai 1 arvoisilla muuttujilla. Nyt ILP-tehtävä saa muodon max z = 20x x x x x 5 s.t. 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 7x 4 + 8x 5 25 x 1 + 7x 2 + 9x 3 + 4x 4 + 6x x x 2 + 2x 3 + x x 5 25 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 {0, 1} Tämä tehtävä voidaan ratkaista esim. Excelin solverilla. Ratkaisuksi saadaan x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 1, x 5 = 0 ja kohdefunktiolle arvo z = 95 (milj. E). Eli projektit 1-4 toteutetaan. ILP-tehtävän ratkaisua on mielenkiintoista verrata vastaavaan jatkuvien muuttujien, 0 x j 1, j, LP-tehtävään. Ratkaisu on tässä tapauksessa x 1 = , x 2 = x 3 = x 4 = 1, x 5 = , ja z = Tulos on merkityksetön, koska x 1 ja x 5 ovat desimaalilukuja eivätkä näin ollen vastaa kyllä - ei kysymykseen. Jos taas koitetaan pyöristystä, saadaan x j = 1, j, joka ei vastaa optimiratkaisua. Esimerkki 2 Joko - tai -rajoitus. Yritys käyttää yhtä konetta kolmen eri 8
9 työtehtävän suorittamiseen. Tehtävien suoritusajat, eräpäivät ja myöhästymissakot on annettu taulukossa. työ suoritusaika (päivä) eräpäivä (päivä) myöhästymissakko (E/päivä) Tehtävänä on määrittää töiden suorituksen aloituspäivät s.e. maksettava myöhästymissakko minimoituu. Käytetään seuraavia merkintöjä: p j = d j = tehtävän j suoritusaika tehtävän j eräpäivä Määritellään päätösmuuttujat: x j = tehtävän j aloituspäivä Tehtävässä tarvitaan kahdenlaisia rajoitusehtoja: 1. On estettävä töiden yhtäaikainen suorittaminen. 2. Eräpäivärajoitus. Töitä i ja j ei suoriteta yhtäaikaa, jos pätee: joko x i x j + p j, tai x j x i + p i Matemaattisiin algoritmeihin ei tällaista joko - tai -ehtoa voi tällaisenaan syöttää. Se on muunnettava kahdeksi aina voimassa olevaksi rajoitukseksi. Tähän tarvitaan seuraavia apumuuttujia: { 1, jos i suoritetaan ennen j:tä y ij = 0, jos j suoritetaan ennen i:tä Nyt voidaan muodostaa rajoitukset My ij + (x i x j ) p j, ja M(1 y ij ) + (x j x i ) p i, 9
10 missä M on riittävän suuri luku. Nyt pätee: Jos j on ennen i:tä y ij = 0, joten x i x j p j ; mutta myös M + x j x i p i, kunhan M on riittävän suuri luku. Eräpäivää vastaava rajoitus on x j + p j + s j = d j. Jos s j 0, saadaan työ valmiiksi ennen eräpäivää. Jos taas s j 0, joudutaan sakkoa maksamaan s j :na päivänä. Muuttujanvaihdolla s j = s + j s j ; s+ j, s j 0 rajoitusehto saadaan muotoon: x j + s + j s j = d j p j. Koska tavoiteena on minimoida myöhästymissakoista muodostuvat kustannukset, voidaan muodostaa seuraava ILP-tehtävä. min z = 19s s s 3 s.e. x 1 x 2 +My x 1 x 2 My 12 5 M x 1 x 3 +My x 1 +x 3 My 13 5 M x 2 x 3 +My x 2 +x 3 My M x 1 +s + 1 s 1 = 25 5 x 2 +s + 2 s 2 = x 3 +s + 3 s 3 = x 1, x 2, x 3, s + 1, s 1, s + 2, s 2, s + 3, s 3 0 y 12, y 13, y 23 {0, 1} Valitsemalla M:n arvoksi esimerkiksi M = 1000, voidaan tehtävä ratkaista jollain kokonaislukuohjelmoinnin algoritmilla. Optimiratkaisu on x 1 = 20, x 2 = 0, x 3 = 25, eli työ 2 aloitetaan heti, työ 1 päivänä 20 ja työ 3 päivänä 25. Myöhästymissakkoja joudutaan tällöin maksamaan 5 34e = 170e. 10
11 Branch-and-bound menetelmä (B & B - menetelmä) Branch and bound menetelmä on luotettava menetelmä ILP-tehtävien ratkaisemiseen. Siinä alkuperäisen kokonaislukutehtävän käypä joukko, joka siis muodostuu kokonaislukuvektoreista, muutetaan jatkumoksi, jolloin saadaan ILP:n sisältävä LP-tehtävä, ns. ILP:n LP-relaksaatio. Ko. LP-tehtävä ratkaistaan. Jos ratkaisu ei ole kokonaislukuvektori, tehtävään lisätään erityisrajoitukset, jolloin LP-tehtävä muutetaan kahdeksi uudeksi LP-tehtäväksi, jotka kuitenkin sisältävät alkuperäisen ILP-tehtävän käyvät kokonaislukupisteet. Ko. LP-tehtävät ratkaistaan ja menetelmää toistetaan kunnes ILPtehtävän ratkaisu löytyy. Menetelmän toiminta kuvataan seuraavan esimerkin avulla. Esimerkki Olkoon ratkaistava ILP-tehtävä max z = 5x 1 +4x 2 s.t. x 1 +x x 1 +6x 2 45 x 1, x 2 Z + Kuva 3: Alkuperäisen ILP-tehtävän käypä joukko, sekä LP-relaksaation LP0 optimiratkaisu. 11
12 Kuvaan 3 merkityt pisteet muodostavat ILP-tehtävän käyvän joukon. ILPtehtävästä muodostetaan LP-relaksaatio poistamalla kokonaislukurajoitukset. Olkoon LP0 alkuperäisen tehtävän LP-relaksaatio. LP0:n ratkaisu on x 1 = 3.75, x 2 = 1.25, z = Tämä ratkaisu ei ole kokonaislukuarvoinen. Valitaan jompikumpi luvuista x j, joka ei ole kokonaisluku, esimerkiksi x 1. Alueella 3 < x 1 < 4, LP0:n käyvässä joukossa ei ole yhtään kokonaislukuratkaisua, joten ko. aluetta ei tarvitse huomioida ILP-tehtävän ratkaisua haettaessa. Seuraavaksi muodostetaan LP0:sta kaksi alitehtävää LP1 ja LP2 seuraavasti: LP1:n rajoituehdot = LP0:n rajoituehdot + (x 1 3) LP2:n rajoituehdot = LP0:n rajoituehdot + (x 1 4) LP1:n ja LP2:n käyvät joukot on esitetty kuvassa 4. LP1:tä ja LP2:ta tutkitaan erillisinä tehtävinä. Kuva 4: LP0:sta muodostetaan relaksaatiot LP1 ja LP2 lisäämällä rajoitukset x 1 3 ja x 1 4. Valitaan sattumanvaraisesti ensin tutkittavaksi LP1. Tehtävä on 12
13 max z = 5x 1 + 4x 2 s.t. x 1 + x x 1 + 6x 2 45 x 1 3 x 1, x 2 0 Tehtävän ratkaisuksi saadaan x 1 = 3, x 2 = 2, z = 23, mikä täyttää myös kokonaislukurajoitukset. Nyt LP1:n käypää joukkoa ei enää tarvitse tutkia, sillä sieltä ei voi löytyä tätä parempaa kokonaislukuratkaisua. Emme kuitenkaan voi vielä pitää löydettyä ratkaisua alkuperäisen ILP-tehtävän ratkaisuna, sillä LP2:n käyvästä joukosta saattaa löytyä vielä parempi kokonaislukuratkaisu. Saatu ratkaisu on kuitenkin eräs alaraja (lower bound) ILP-tehtävän kohdefunktion optimiarvolle. Alarajaa päivitetään algoritmin edetessä sitä mukaa, kun parempia kokonaislukuratkaisuja löytyy. Nyt on tutkittava, löytyykö LP2:n käyvästä joukosta parempaa kokonaislukuratkaisua. Havaitaan, että tehtävän LP0 optimiratkaisussa z=23.75, kohdefunktion kertoimet ovat kokonaislukuja. Näin ollen z=23 on suurin kohdefunktion arvo, mitä kokonaislukuratkaisulla voidaan saavuttaa. Voimme siis todeta, tutkimatta tehtävää LP2, että piste x 1 = 3, x 2 = 2, z = 23 on alkuperäisen ILP-tahtävän ratkaisu. Jos olisimme alkaneet tutkia LP2:ta ennen LP1:tä, ja jakaneet LP2:ta aliongelmiin kunnes löytyy kokonaislukuratkaisu ja vastaava alaraja, olisi algoritmi edennyt kuvassa 5 esitetyn puun mukaan. B & B-algoritmin vaiheet: Maksimointitehtävä, alaraja alussa (minimoinnissa alaraja korvataan ylärajalla, yläraja alussa ). 1. Muodostetaan ILP-tehtävästä LP-tehtävä poistamalla kokonaislukurajoitukset. Siirrytään vaiheeseen Ratkaistaan tutkittava LP-tehtävä. Mikäli ratkaisu on kokonaislukuvektori, on kaksi vaihtoehtoa 1. Jos ratkaisu on parempi kuin voimassa oleva alaraja, korvataan alaraja tällä kohdefunktion arvolla. 2. Jos ratkaisu on huonompi kuin voimassa oleva alaraja, säilytetään van- 13
14 Kuva 5: Algoritmin muodostama puu, kun tarkastellaan ensin aliongelmaa LP2. Numerot laatikoiden yllä kertovat tehtävien ratkaisujärjestyksen. ha alaraja. Jos kaikki alitehtävät on tutkittu, on voimassa olevaa alarajaa vastaava piste ILP-tehtävän optimi ja algoritmi päättyy. Jos alitehtäviä on vielä tutkimatta, valitaan niistä yksi tutkittavaksi ja siirrytään vaiheen 2 alkuun. Mikäli löydetty ratkaisu ei toteuta kokonaislukurajoituksia, on myös kaksi vaihtoehtoa 1. Jos ratkaisu on parempi kuin voimassa oleva alaraja, siirrytään vaiheeseen Jos ratkaisu on huonompi kuin voimassa oleva alaraja, valitaan uusi tutkimaton alitehtävä ja siirrytään vaiheen 2 alkuun. Jos kaikki alitehtävät on tutkittu, on voimassa olevaa alarajaa vastaava piste ILPtehtävän optimi ja algoritmi päättyy. 3. Valitaan yksi muuttuja x i, jonka arvo tutkittavan LP-tehtävän optimissa ei 14
15 ole kokonaisluku. Muodostetaan LP-tehtävästä kaksi alitehtävää lisäämällä tätä muuttujaa koskevat rajoitukset x i a ja x i a + 1, missä a Z ja muuttujan x i arvolle LP-tehtävän optimissa x i pätee a < x i < a + 1. Valitaan alitehtävistä toinen tutkittavaksi ja siirrytään vaiheeseen 2. 15
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:
LisätiedotLineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen
Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista
LisätiedotEsimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista
Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista (eli mitä kaikkea kokonaisluvuilla voi mallintaa) 27. marraskuuta 2013 Pääoman budjetointiongelma Kulut Projekti Vuosi 1 Vuosi 2 Vuosi 3 Tuotto 1 5 1 8 20 2
LisätiedotLuetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotDemo 1: Branch & Bound
MS-C05 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 7 Ehtamo Demo : Branch & Bound Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x + 4x 9 5x + x 9 x Z
LisätiedotKokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
Lisätiedot8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku
38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
LisätiedotHarjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut
Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi
Lisätiedot4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä
8 4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä Minkowskin esityslauseen avulla voidaan osoittaa, että jos P on rationaalinen monitahokas ja S sen sisällä olevien kokonaislukupisteiden joukko, niin co(s) on
Lisätiedot4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen
4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
LisätiedotOvatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.
5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan
LisätiedotKombinatorinen optimointi
Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotHarjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotTrimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä
Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä Vesa Husgafvel 19.11.2012 Ohjaaja: DI Mirko Ruokokoski Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotOptimoinnin sovellukset
Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen
LisätiedotKuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij
Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0
LisätiedotLuento 3: Simplex-menetelmä
Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotHarjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
Lisätiedot1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta
Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista
Lisätiedot30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset
30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
Lisätiedot4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotTentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.
Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).
LisätiedotSimplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala
Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =
LisätiedotValitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku
LisätiedotKimppu-suodatus-menetelmä
Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.
LisätiedotImplementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely)
Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Jari Hast xx.12.2013 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Hari Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotDemo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 2 Ehtamo Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla.
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
LisätiedotKon Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö
Kon-15.4199 Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö 22.1.2016 Harjoituksessa 1. Varmistetaan että kaikilla on pari! Ilmoittautukaa oodissa etukäteen! 2. Tutustutaan ensimmäiseen tehtävään
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotProjektiportfolion valinta
Projektiportfolion valinta Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011 Portfolion valinta Käytettävissä on rajallinen määrä resursseja, joten ne on allokoitava mahdollisimman hyvin eri projekteille
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1
LisätiedotKokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa
Kokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa Systeemianalyysin laboratorio Teknillinen Korkeakoulu, TKK 3 Maaliskuuta 2008 Sisällys 1 Johdanto Taustaa Ongelman kuvaus 2 PACE-graafi Graafin muodostaminen
LisätiedotOperatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 H3t1, Exercise 3.1. H3t2, Exercise 3.2. H3t3, Exercise 3.3. H3t4, Exercise 3.4. H3t5 (Exercise 3.1.) 1 3.1. Find the (a) standard form, (b) slack form of the
LisätiedotSearch space traversal using metaheuristics
Search space traversal using metaheuristics Mika Juuti 11.06.2012 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotGraafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 10 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 10 Ke 14.2.2018 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelmanratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Lisäyslajittelu Valintalajittelu Permutaatiot
LisätiedotLuento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotTotaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista
8. Verkkomallit Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista (P. D. Seymour, Journal of Combinatorial Theory (B),
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotLineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotJälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun
Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko
LisätiedotLuento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b
Lisätiedot