DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos)"

Transkriptio

1 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 1 DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos) Määritelmä Olkoon X diskreetti sm, jonka arvot ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, X {0, 1, 2,...}. Merkitään tämän pistetodennäköisyyksiä p i :llä p i = P{X = i} X:n generoiva funktio G(z) (tai G X (z); myös X(z) tai ˆX(z)) G(z) = i=0 p i z i = E[z X ] Kokoaa kätevästi yhteen arvot {p 0, p 1,...}; z on kirjanpitomuuttuja Monissa tapauksissa G(z) kyetään laskemaan (yksinkertainen analyyttinen lauseke) Kun G(z) on annettu, siitä kyetään takaperin päättelemään arvot {p 0, p 1,...} Eräät jakaumille suoritettavat operaatiot vastaavat paljon yksinkertaisempia operaatioita generoiville funktioille Usein yksinkertaistaa rekursiivisten yhtälöiden ratkaisemista

2 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 2 Käänteismuunnos Tehtävänä on päätellä todennäköiyydet p i, kun G(z) on annettu. Kolme eri keinoa 1. Kehittämällä G(z) potenssisarjaksi, josta p i identifioidaan potenssin z i kertoimena. Kerroin voidaan laskea myös mekaanisesti p i = 1 d i G(z) i! dz i z=0 = 1 i! G(i) (0) 2. Tarkastelemalla: hajoitetaan G(z) osiin, joiden käänteismuunnokset tunnetaan; esim. osamurtokehitelmä 3. Kompleksitason (polku)integraalina p i = 1 2πi G(z) polku dz zi+1 origon ympäri (valitaan siten, että G(z):n navat jäävät polun ulkopuolelle)

3 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 3 Esim. 1 G(z) = 1 1 z 2 = 1 + z2 + z 4 + p i = 1 kun i parillinen 0 kun i pariton Esim. 2 G(z) = 2 (1 z)(2 z) = 2 1 z 2 2 z = 2 1 z 1 1 z/2 Koska A 1 az vastaa jonoa A ai päätellään p i = 2 (1) i 1 ( 1 2 )i = 2 ( 1 2 )i

4 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 4 Jakauman momenttien laskeminen G(z):n avulla Koska p i :t edustavat todennäköisyysjakaumaa, niiden summa on 1 ja G(1) = G (0) (1) = i=1 Derivoimalla todetaan G (1) (z) = d dz E[zX ] = E[Xz X 1 ] G (1) (1) = E[X] Jatkamalla samoin saadaan p i 1 i = 1 G (i) (1) = E[X(X 1) (X i + 1)] = F i missä F i on i:s kertomamomentti.

5 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 5 Kertomamomenttien ja tavallisten (origo)momenttien suhde Kertomamomenttien F i = E[X(X 1) (X i + 1)] ja tavallisten (origo)momenttien M i = E[X i ] ja välillä vallitsevat lineaariset relaatiot: F 1 = M 1 M 1 = F 1 F 2 = M 2 M 1 M 2 = F 2 + F 1 F 3 = M 3 3M 2 + 2M 1. M 3 = F 3 + 3F 2 + F 1. Esimerkiksi F 2 = G (2) (1) = E[X(X 1)] = E[X 2 ] E[X] M 2 = E[X 2 ] = F 2 + F 1 = G (2) (1) + G (1) (1) V[X] = M 2 M1 2 = G(2) (1) + G (1) (1) (G (1) (1)) 2 = G (2) (1) + G (1) (1)(1 G (1) (1))

6 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 6 Momenttien laskeminen suoraan Momentit voidaan laskea generoivasta funktiosta myös suoraan (ilman kertomamomentteja) seuraavasti: d dz G(z) z=1 = E[Xz X 1 ] z=1 = E[X] d dz z d dz G(z) z=1 = E[X 2 z X 1 ] z=1 = E[X 2 ] Yleisesti E[X i ] = d dz (z d dz )i 1 G(z) z=1 = (z d dz )i G(z) z=1

7 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 7 Riippumattomien sm:ien summan generoiva funktio Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia. Tällöin G X+Y (z) = E[z X+Y ] = E[z X z Y ] = E[z X ]E[z Y ] riippumattomuus = G X (z)g Y (z) G X+Y (z) = G X (z)g Y (z) Alkuperäisillä diskreeteillä jakaumilla p i = P{X = i} q j = P{Y = j} ilmaistuna summaa vastaa konvoluutio p q P{X + Y = k} = (p q) k = k i=0 p i q k i Kahden jakauman konvoluutiona saadun jakauman generoiva funktio on siten alkuperäisten jakaumien generoivien funktioiden tulo.

8 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 8 Yhdistetty jakauma (compound distribution) ja sen generoiva funktio Olkoon Y riippumattomien, samoin jakautuneiden (i.i.d.) satunnaismuuttujien X i summa Y = X 1 + X 2 + X N missä N itse on ei-negatiivinen kokonaislukuarvoiden satunnaismuuttuja. Merkitään G X (z) G N (z) Halutaan laskea G Y (z) muuttujien X i yhteinen generoiva funktio N:n generoiva funktio G Y (z) = E[z Y ] = E[E [ z Y N ] ] = E[E [ z X 1+ X N N ] ] = E[E [ z X 1 z X N N ] ] = E[G X (z) N ] = G N (G X (z)) G Y (z) = G N (G X (z))

9 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 9 Bernoulli-jakauma X Bernoulli(p) Yksinkertainen koe, jossa on kaksi mahdollista lopputulosta: onnistuminen ja epäonnistuminen. Liitetään näihin sm X seuraavasti 1 kun koe onnistuu; todennäköisyys p X = 0 kun koe epäonnistuu; todennäköisyys q = 1 p Esim. 1. X kuvaa bittivirtaa liikennelähteestä, joka on joko päällä tai pois päältä. Generoiva funktio G(z) = p 0 z 0 + p 1 z 1 = q + pz E[X] = G (1) (1) = p V[X] = G (2) (1) + G (1) (1)(1 G (1) (1)) = p(1 p) = pq Esim. 2. ATM-kytkimen tuloporttiin saapuva soluvirta: aikalovessa (soluväli) on solu todennäköisyydellä p tai se on tyhjä todennäköisyydellä q.

10 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 10 Binomijakauma X Bin(n, p) X on onnistumisten lukumäärä n kertaa toistetussa Bernoulli-kokeessa. X = n i=1 Y i missä Y i Bernoulli(p) ja Y i :t riippumattomia (i = 1,..., n) Generoiva funktio saadaan suoraan Bernoulli-muuttujan generoivasta funktiosta q + pz G(z) = (q + pz) n = n i=1 Identifioimalla z i :n kerroin p i = P{X = i} = n p i (1 p) n i z i i n p i (1 p) n i i E[X] = ne[y i ] = np V[X] = nv[y i ] = np(1 p) Rajamuoto kun λ = E[X] = np on annettu ja n : G(z) = (1 (1 z)p) n = (1 (1 z)λ/n) n e (z 1)λ joka on Poisson-jakautuneen satunnaismuuttujan generoiva funktio.

11 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 11 Binomijakautuneiden sm:ien summan jakauma Olkoot X i :t (i = 1,..., k) binomijakautuneita samalla parametrilla p. Tällöin niiden summan jakauma on X X k Bin(n n k, p) koska summa edustaa onnistumisten lukumäärää toistetussa Bernoulli-kokeessa, jossa toistojen lukumäärä on n n k.

12 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 12 Multinomijakauma Tarkastellaan n-kertaista toistokoetta, mutta nyt kukin koe voi päättyä k:hon (k 2) erilaiseen tulokseen. Näiden todennäköisyydet yksittäisessä kokeessa ovat p 1, p 2,..., p k ( k i=1 p i = 1). Olkoon tuloksen i esiintymien lkm toistokokeessa N i. Halutaan laskea yhteistapahtuman {N 1 = n 1,..., N k = n k } todennäköisyys p(n 1,..., n k ) = P{N 1 = n 1,..., N k = n k }. Määritellään monen muuttujan N 1,..., N k yhteisjakauman generoiva funktio G(z 1,..., z k ) = E[z N 1 1 z N k k ] = n 1 =0... n k =0 p(n 1,..., n k )z n 1 1 z n k k Yhden kokeen jälkeen yksi esiintymälukumääristä N i on 1 ja muut ovat nollia. Yhtä koetta vastaava generoiva funktio on siten p 1 z p k z k. Riippumattomien kokeiden tapauksessa n-kertaisen toistokokeen tuottamien esiintymälukumäärien gf on yksittäisten kokeiden generoivien funktioiden tulo eli (p 1 z p k z k ) n. z i -muuttujien potenssien kertoimista identifioidaan p(n 1,..., n k ) = n! n 1! n k! pn 1 1 p n k k kun n n k = n, 0 muulloin

13 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 13 Geometrinen jakauma X Geom(p) X on toistetussa Bernoulli-kokeessa (onnistumistodennäköisyys p) ensimmäiseen onnistumiseen tarvittavien toistojen lukumäärä p i = P{X = i} = (1 p) i 1 p Generoiva funktio G(z) = p (1 p) i 1 z i = i=1 pz 1 (1 p)z Tämän avulla lasketaan odotusarvo ja varianssi: E[X] = G (1) = E[X 2 ] = G (1) + G (1) = 1 p p(1 (1 p)z) + p(1 p)z (1 (1 p)z) 2 V[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = 1 p p 2 + 2(1 p) p 2 i = 1, 2,... Huom. joskus määritellään X 1 geometriseksi jakaumaksi (nollasta alkava geometrinen jakauma) z=1 = 1 p

14 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 14 Geometrinen jakauma (jatkoa) Todennäköisyys että ensimmäiseen onnistumiseen tarvitaan yli n toistoa P{X > n} = i=n+1 p i = (1 p) n Geometrisen jakauman muistittomuus P{X > i + j X > i} = P{X > i + j X > i} P{X > i} = P{X > i + j} P{X > i} = (1 p)i+j (1 p) i = P{X > j} Jos epäonnistumisia on ollut jo i kpl, todennäköisyys sille, että ensimmäiseen onnistumiseen tarvitaan vielä yli j koetta lisää on sama kuin kokonaan uudessa toistokokeessa todennäköisyys sille, että ensimmäiseen onnistumiseen tarvitaan enemmän kuin j koetta. Näin tulee tietenkin ollakin, koska jo suoritetut kokeet eivät vaikuta jatkokokeisiin, jotka kaikki ovat riippumattomia.

15 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 15 Negatiivinen binomijakauma X NBin(n, p) X on toistetussa Bernoulli-kokeessa tarvittavien toistojen lukumäärä, jotta saadaan n onnistumista. Jos X = i, niin (i 1):n ensimmäisen kokeen joukossa on täytynyt olla n 1 onnistumista ja kokeen i täytyy johtaa onnistumiseen: p i = P{X = i} = i 1 p n 1 (1 p) i n p = n 1 i 1 p n (1 p) i n n 1 kun i n 0 muulloin Ensimmäiseen onnistumiseen tarvittavien toistojen lkm Geom(p). Samoin tästä eteenpäin toiseen onnistumiseen jne, joten X = X X n missä X i Geom(p) (i.i.d.) Siten jakauman generoiva funktio on G(z) = ( pz 1 (1 p)z ) n Ylläolevat pistetodennäköisyydet voidaan päätellä myös tästä Keskiarvo ja varianssi ovat n-kertaiset geometrisen jakauman vastaaviin nähden E[X] = n p V[X] = n 1 p p 2

16 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 16 Poisson-jakauma X Poisson(a) X on ei-negatiivinen kokonaislukuarvoinen sm, jonka pistetodennäköisyydet ovat p i = P{X = i} = ai i! e a i = 0, 1,... Generoiva funktio G(z) = p i z i = e a (za) i i! i=0 i=0 = e a e za G(z) = e (z 1)a Kuten aikaisemmin nähtiin, tämä generoiva funktio saadaan Bin(n, p)-jakautuneen sm:n generoivasta funktiosta rajamuotona, kun keskimääräinen onnistumisten lkm pidetään vakiona, np = a, ja n:n annetaan rajatta kasvaa. Vastaavasti X Poisson(λt) edustaa tapahtumien lukumäärää t:n pituisella välillä Poissonprosessista, jonka intensiteetti on λ: pienessä välissä dt tapahtuman todennäköisyys on λdt ( koe onnistuu ) kahden yhtäaikaisen tapahtuman todennäköisyys on O(λdt) tapahtumien lukumäärät yhteispisteettömissä väleissä ovat riippumattomia

17 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 17 Poisson-jakauma (jatkoa) Poisson-jakaumaa noudattavat esimerkiksi Saapuvien puheluiden lkm tiettynä aikavälinä Käynnissä olevien puheluiden lukumäärä suuressa (estottomassa) johtoryhmässä Keskiarvo ja varianssi E[X] = G (1) = d dz e(z 1)a z=1 = a E[X 2 ] = G (1) + G (1) = a 2 + a V[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = a 2 + a a 2 = a E[X] = a V[X] = a

18 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 18 Poisson-jakauman ominaisuuksia 1. Poisson-jakautuneiden satunnaismuuttujien summa on Poisson-jakautunut. X = X 1 + X 2, missä X 1 Poisson(a 1 ), X 2 Poisson(a 2 ) X Poisson(a 1 + a 2 ) Todistus: G X1 (z) = e (z 1)a 1, G X2 (z) = e (z 1)a 2 G X (z) = G X1 (z)g X2 (z) = e (z 1)a 1e (z 1)a 2 = e (z 1)(a 1+a 2 ) 2. Jos joukon koko N on Poisson-jakautunut, N Poisson(a), ja siitä suoritetaan satunnaispoiminta todennäköisyydellä p (kukin alkio poimitaan tällä tn:llä), niin saadun joukon koko K Poisson(pa). Todistus: K noudattaa yhdistettyä jakaumaa K = X X N, G X (z) = (1 p) + pz, missä N Poisson(a) ja X i Bernoulli(p) G N (z) = e (z 1)a G K (z) = G N (G X (z)) = e (G X(z) 1)a = e [(1 p)+pz 1]a = e (z 1)pa

19 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 19 Poisson-jakauman ominaisuuksia (jatkoa) 3. Jos joukon N Poisson(a) elementit lajitellaan satunnaisesti kahteen joukkoon 1 ja 2 todennäköisyyksillä p 1 ja p 2 = 1 p 1, niin joukkojen 1 ja 2 koot N 1 ja N 2 ovat riippumattomia ja jakautuneet kuten N 1 Poisson(p 1 a), N 2 Poisson(p 2 a) N ~ Poisson(a) p 1 p 2 N 1 N 2 Todistus: Kokonaistodennäköisyyden perusteella P{N 1 = n 1, N 2 = n 2 } = = n=0 P{N 1 = n 1, N 2 = n 2 N = n} P{N = n} }{{}}{{} multinomijakauma Poisson-jak. n! n 1!n 2! pn 1 1 p n 2 2 an = (p 1a) n 1 n 1! n! e a n=n1 = pn 1 1 p n 2 2 +n 2 n 1!n 2! a n 1+n 2 e a 1 {}}{ (p 1 + p 2 ) e p 1a (p 2a) n 2 e p2a = P{N 1 = n 1 } P{N 2 = n 2 } n 2! Yhteisjakauma on tulomuotoinen. N 1 ja N 2 ovat siten riippumattomia. Tulon tekijät ovat Poisson(p 1 a)- ja Poisson(p 2 a)-jakaumien pistetodennäköisyyksiä. Huom. Tulos yleistyy luonnollisella tavalla mille tahansa lukumäärälle lajittelujoukkoja.

20 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 20 Kollektiivisten merkkien menetelmä (Dantzig) Edellä generoivan funktion muuttujaa z on käsitelty vain teknisenä apumuuttujana ( kirjanpitomuuttuja ). Ns. kollektiivisten merkkien menetelmässä muuttujalle z annetaan todennäköisyystulkinta. Tämä mahdollistaa joidenkin tulosten elegantin johtamisen yksinkertaisella päättelyllä. Olkoon N = 0, 1, 2,... ei-negatiivinen kokonaislukuarvoinen sm. ja G N (z) sen generoiva funktio: G N (z) = n=0 p n z n, p n = P{N = n} Tulkinta: Ajatellaan, että N edustaa jonkin joukon kokoa. Merkitään joukon kukin alkio muista riippumatta todennäköisyydellä 1 z ja siis jätetään ilman merkkiä todennäköisyydellä z. Tällöin G N (z) on tn sille, että koko joukossa ei ole merkkiä.

21 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 21 Kollektiivisten merkkien menetelmä (jatkoa) Esimerkki: Yhdistetyn jakauman generoiva funktio Y = X X N, missä X 1 X 2 X N, yhteinen gen. funktio G X (z) N on sm., jonka generoiva funktio on G N (z) X 1 X N G Y (z) = P{joukon Y mikään elementti ei ole merkitty} = G N ( G X (z) ) }{{} tn. että yksittäinen aliryhmä ei ole merkitty }{{} tn. että mikään aliryhmä ei ole merkitty

22 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 22 Todennäköisyyden vinoutus: pistetn:ien likim. laskenta Monia jakaumia voidaan kohtuullisella tarkkuudella approksimoida normaalijakaumalla, kun keskiarvoparametri on suuri. Esim. Poisson(a) N(a, a), kun a 1 Approksimaatio on yleensä tarkka lähellä jakauman keskiarvoa, mutta kaukana tästä suhteellinen virhe voi olla huomattava. m m i i Approksimaatiota voidaan merkittävästi parantaa todennäköisyyden vinoutusmenetelmällä (probability shift/tilt method). Tämä tarjoaa keinon laskea sellaisen jakauman pistetodennäköisyys (jakauman hännässä), jonka generoiva funktio tunnetaan.

23 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 23 Todennäköisyyden vinoutus (jatkoa) Halutaan laskea sm:n X pistetodennäköisyys p i = P{X = i}, kun i E[X] (= m) Suoritetaan jakauman vinoutus ja tarkastellaan satunnaismuuttujaa X, jonka pistetodennäköisyydet ovat p i = p iz i G(z) Tämä on normitettu jakauma, koska G(z) = i p i z i. Vinoutetun jakauman momentit m (z) = E[X ] = 1 G(z) z d dz G(z) E[X 2 ] = 1 G(z) (z d dz )2 G(z) σ 2 (z) = V[X ] = E[X 2 ] E[X ] 2 m m i i

24 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 24 Todennäköisyyden vinoutus (jatkoa) Valitaan erityisesti z = z siten, että m (z ) = i eli että vinoutetun jakauman keskiarvo sijaitsee kiinnostavassa pisteessä i. Soveltamalla nyt normaaliapproksimaatiota vinoutettuun jakaumaan saadaan p i 1 2πσ 2 Ratkaisemalla kääntäen p i aikaisemmasta relaatiosta saadaan haluttu approksimaatio p i G(z ) (z ) i 2πσ 2 (z ) missä z on yhtälön m (z ) = i ratkaisu Lausekkeen laskemiseksi tarvitsee ainoastaan tuntea X:n generoiva funktio. Menetelmä on erityisen käyttökelpoinen silloin, kun X on usean eri tavoin jakautuneen riippumattoman satunnaismuuttujan summa, joiden kunkin jakauma (ja generoiva funktio) tunnetaan. X:n jakauma on tällöin monimutkainen, mutta koska sen generoiva funktio tunnetaan (generoivien funktioiden tulo) ylläolevaa menetelmää voidaan soveltaa.

25 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 25 Todennäköisyyden vinoutus (jatkoa) Esimerkki (sinänsä triviaali/epämielekäs) Poisson-jakauma p i = ai i! e a, G(z) = e (z 1)a p i = p iz i G(z) = (az)i e az Poisson(za)-jakauma, joten momentit saadaan välittömästi i! m (z) = az, σ 2 (z) = az Yhtälön m (z ) = i ratkaisu on z = i a p i e(i/a 1)a (i/a) i 2πi = a i 2πie i i ie a Havaitaan, että approksimaatio antaa miltei oikean Poisson-todennäköisyyden, mutta nimittäjässä i! on korvautunut tunnetulla Stirlingin approksimaatiollaan i! 2πie i i i.

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma 3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z 5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

Liikenneongelmien aikaskaalahierarkia

Liikenneongelmien aikaskaalahierarkia J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / HOL-esto 1 Liikenneongelmien aikaskaalahierarkia AIKASKAALAHIERARKIA Kiinnostavat aikaskaalat kattavat laajan alueen, yli 13 dekadia! Eri aikaskaaloissa esiintyvät

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja 4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

PURSKETASON TARKASTELUT Ylivuototodennäköisyys puskurittomassa systeemissä

PURSKETASON TARKASTELUT Ylivuototodennäköisyys puskurittomassa systeemissä J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Pursketaso 1 PURSKETASON TARKASTELUT Ylivuototodennäköisyys puskurittomassa systeemissä Tarkastellaan ATM-kytkimen lähtöporttia Oletetaan: puskuri riittää vain solutason

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoverkkolaboratorio Sisältö Peruskäsitteitä Poisson-prosessi Luento05.ppt S-38.45 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2005 2 Stokastiset prosessit () Stokastiset prosessit

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu 1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)

Lisätiedot

Estojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä)

Estojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Estojärjestelmä 1 Estojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä) Tarkastellaan perinteistä puhdasta estojärjestelmää, jossa on annettu n = johtojen (varattavien elementtien)

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

5. Stokastiset prosessit (1)

5. Stokastiset prosessit (1) luento05.ppt S-38.45 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 Sisältö Peruskäsitteitä Poisson-prosessi 2 Stokastiset prosessit () Tarkastellaan jotakin (liikenneteorian kannalta tai sitten muuten) kiinnostavaa

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo

Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,

Lisätiedot

Teoria. Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta

Teoria. Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta Teoria Johdanto simulointiin Simuloinnin kulku -- prosessin realisaatioiden tuottaminen Satunnaismuuttujan arvonta annetusta jakaumasta Johdanto ja pseudosatunnaislukujen generointi Eri menetelmiä satunnaismuuttujien

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot