Valmennustehtävien ratkaisuja, lokakuu 2013 Helpompi sarja. 1. Etsi kaikki reaalikertoimiset polynomit f, joille.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Valmennustehtävien ratkaisuja, lokakuu 2013 Helpompi sarja. 1. Etsi kaikki reaalikertoimiset polynomit f, joille."

Transkriptio

1 Valmennustehtävien ratkaisuja, lokakuu 03 Helpompi sarja. Etsi kaikki reaalikertoimiset polynomit f, joille f(g(x)) = g(f(x)) kaikilla reaalikertoimisilla polynomeilla g ja kaikilla reaaliluvuilla x. Ratkaisu. Valitaan g:ksi vakiopolynomi g(x) = a, missä a on mikä tahansa reaaliluku.. Saadaan f(a) = a kaikilla a R, joten funktion f on pakko olla identiteettifunktio f(x) = x. Se on selvästi polynomi.. Todista positiivisille reaaliluvuille x ja y epäyhtälö x 03 y xy 03 x 04 y 04. Ratkaisu. Symmetrian nojalla voidaan olettaa, että x y. Silloin x 03 y 03, ja suuruusjärjestysepäyhtälöstä saadaan tulos x 03 y y 03 x x 03 x y 03 y. 3. Saarella oli viisi merirosvoa ja apina. Merirosvot olivat saaneet päivän aikana saaliikseen paljon kolikoita. Yöllä yksi merirosvoista heräsi ja päätti kätkeä osansa saaliista. Hän jakoi kolikot viiteen kasaan ja huomasi, että yksi jäi yli; sen hän heitti apinalle ja vei oman osansa piiloon. Sitten heräsi toinen merirosvo ja ensimmäisestä tietämättä jakoi kolikot viiteen kasaan, ja taas jäi yli yksi kolikko, jonka hän heitti apinalle ja vei yhden kasan omaan piiloonsa. Lopuille merirosvoille kävi samoin: kukin heräsi, piilotti viidesosan jäljellä olevasta saaliista ja heitti jakojäännökseksi jääneen yhden kolikon apinalle. Seuraavana päivänä merirosvot jakoivat lopun saaliin viiteen osaan, ja taas jäi yksi kolikko yli. Mikä on pienin mahdollinen määrä kolikoita alkuperäisessä saaliissa? Ratkaisu. Olkoon kysytty lukumäärä N. Ensimmäisen ehdon mukaan N (mod 5) eli N = 5k, missä k on jokin kokonaisluku. Toisen ehdon mukaan 4k = (4/5)(N ) (mod 5), mistä saadaan helposti k 4 (mod 5) ja edelleen N = 5k (mod 5). Vastaavasti kolmannesta ehdosta voidaan laskea N:n jakojäännös modulo 5, neljännestä modulo 65, viidennestä modulo 35 ja viimeisestä (lopullisesta saaliinjaosta) modulo 565. Nämä välivaiheet voitaisiin haluttaessa laskea, mutta ovelampaa on todeta, että ratkaisu N = 4 täyttää kaikki luetellut ehdot. (Jos kolikoita on 4, heittämällä yksi apinalle jää 5, ja kun yksi merirosvo on vienyt :n kolikon, kasaan jää 4, joten jokainen vaihe jättää kasan ennalleen.) Ratkaisun on tietysti oltava positiivinen, ja pienin positiivinen ratkaisu on N = = Šakkilaudalta on valittu 6 ruutua, jokaiselta riviltä ja jokaisesta sarakkeesta kaksi. Todista, että valittuihin ruutuihin voidaan asettaa kahdeksan valkeaa ja kahdeksan mustaa sotilasta siten, että jokaisella rivillä ja jokaisessa sarakkeessa on yksi kumpaakin väriä. Ratkaisu. Asetetaan johonkin valituista ruuduista valkea sotilas. Samalla rivillä sen kanssa on täsmälleen yksi muu valittu ruutu, joten kuljetaan siihen riviä pitkin ja asetetaan siihen musta sotilas. Samassa sarakkeessa sen kanssa on täsmälleen yksi muu valittu ruutu, joten kuljetaan siihen saraketta pitkin ja asetetaan siihen valkea sotilas. Jatketaan näin, kunnes törmätään ruutuun, johon on jo asetettu sotilas. Koska jokaiseen ruutuun pääsee vain kahta reittiä, tämän ruudun on pakko olla aloitusruutu, ja siihen on pakko kulkea saraketta pitkin (riviä pitkin kuljettiin alussa), jolloin viimeisenä asetettiin musta sotilas. Jos kaikki sotilaat on asetettu, ollaan valmiita. Muussa tapauksessa on käytetty kaikki valitut ruudut joiltakin riveiltä ja sarakkeilta, joten voidaan aloittaa asettelu uudestaan jostain käyttämättömästä ruudusta.

2 5. Tarkastellaan m n ruudukkoja, joiden jokaiseen ruutuun on kirjoitettu numero 0 tai. Montako sellaista ruudukkoa on, joissa jokaisen rivin ja jokaisen sarakkeen summa on parillinen? Ratkaisu. Kutsutaan ehdon täyttäviä ruudukkoja kelvollisiksi. Kelvollisia ruudukkoja on (m )((n ), mikä voidaan nähdä siitä, että jokainen nollista ja ykkösistä muodostettu (m ) (n )-ruudukko vastaa yksikäsitteisesti yhtä kelvollista m n-ruudukkoa. Merkitään tämän osoittamiseksi mielivaltaista 0 -ruudukkoa a, a,... a,n a, a,... a,n A =.... a m, a m,... a m,n Täydennetään se m n-kokoiseksi ruudukoksi a,n A a,n A =.. a m,n a m, a m,... a m,n a m,n Viimeisen sarakkeen n ensimmäisen luvun on oltava 0, jos A:n vastaavan rivin summa on parillinen, ja, jos rivisumma on pariton. Samoin viimeisen rivin n ensimmäistä lukua määräytyvät A:n sarakesummien parillisuudesta. Vastaava pätee lukuun a m,n : sen on oltava, jos ja vain jos parittomia rivisummia on pariton määrä, ja toisaalta myös, jos ja vain jos parittomia sarakesummia on pariton määrä. Nämä ehdot eivät voi olla keskenään ristiriidassa, koska parittomia rivisummia on pariton määrä täsmälleen silloin, kun A:n alkioiden summa on pariton, ja vastaava pätee myös sarakesummiin. 6. Ratkaise kokonaislukuyhtälö x 3 y 3 = 4z 3. Ratkaisu. Ainoa ratkaisu on (x, y, z) = (0, 0, 0). Jos (x, y, z) on ratkaisu, x = (z 3 y 3 ) on parillinen. Merkitään x = w, jolloin 4w 3 y 3 = z 3. Vähennetään puolittain y 3, jolloin saadaan ( y) 3 z 3 = 4w 3. Siis jos (x, y, z) on ratkaisu, myös ( y, z, x/) on ratkaisu. Soveltamalla samaa päättelyä vielä kahdesti saadaan ratkaisu ( x/, y/, z/). Koska tätä päättelyä voidaan toistaa mielivaltaisen monta kertaa, mielivaltaisen suuren kahden potenssin on jaettava luvut x, y ja z. Siten on oltava x = y = z = Onko olemassa positiivista kokonaislukua, jonka kaikki alkutekijät kuuluvat joukkoon {, 3, 5, 7 } ja jonka viimeiset numerot ovat? Jos on, etsi pienin tällainen luku. Jos ei, todista, ettei sellaista ole. Ratkaisu. Jos luvulla on tekijänä tai 5, sen viimeinen numero on 0, tai 5. Riittää siis rajoittua alkutekijöihin 3 ja 7. Jos 3 m 7 n = 00k jollakin k, on erityisesti 3 m 7 n (mod 0). Koska 3 4 = 8 (mod 0), 7 4 = 40 (mod 0) ja 3 7 (mod 0), saadaan kongruenssit 3 m 7 n 3 m 4 7 n 3 m 7 n 3 m 7 n 4 (mod 0), joista kukin on voimassa, jos sen eksponentit ovat ei-negatiivisia. Näitä toistuvasti soveltamalla saadaan tulos, että 3 m 7 n on kongruentti modulo 0 jonkin luvuista, 3, 3, 3 3, 7, 7 ja 7 3 kanssa. Mikään näistä ei ole (mod 0), joten niin ei ole myöskään 3 m 7 n.

3 8. Onko olemassa äärettömän monta kokonaislukua, joiden neliö päättyy numeroihin 444? Ratkaisu. Koska 38 = 444, on ainakin yksi tällainen kokonaisluku. Samoin lukujen 038, 038,... neliöt päättyvät samoihin numeroihin, koska (000k 38) = k k (mod 000). Tällaisia lukuja on siis äärettömän monta. 9. Todista, että missä tahansa kolmiossa enintään yksi sivu voi olla lyhyempi kuin sen vastaisesta kärjestä piirretty korkeusjana. Ratkaisu. Olkoot kolmion ABC korkeusjanat AD ja BE niiden vastaisia sivuja BC ja AC pidemmät. Kolmio ADC on suorakulmainen ja sen hypotenuusa AC on kateettia AD pitempi. Vastaavasti kolmiosta BCE saadaan BC > BE. Siis AD > BC > BE > AC > AD, mikä on ristiriita. 0. Pisteiden A ja B etäisyys toisistaan on. Etsi ne suoran AB pisteet P, joille AP BP on maksimaalinen. Ratkaisu. Jos piste P ei ole janalla AB, voidaan olettaa, että P A < P B. Silloin P B > AB ja AP BP <, minkä oikea puoli on lausekkeen arvo, kun P = A. Siten maksimin on oltava janalla AB. Olkoon AP = x, AB 0 x. Silloin AP BP = x x = 3 x x. Siis maksimi saavutetaan, kun x x = x( x) saavuttaa minimin, mikä tapahtuu, kun x = 0 tai x = (sillä x( x) > 0). Maksimi siis saavutetaan, kun P = A tai P = B. Valmennustehtävien ratkaisuja, lokakuu 03 Vaikeampi sarja. Olkoon k positiivinen kokonaisluku. Etsi suurin 3:n potenssi, joka jakaa luvun 0 k. Ratkaisu. Kirjoitetaan k = 3 m n, missä 3 n. Todistetaan, että 3 m 0 k mutta 3 m3 0 k. Käytetään induktiota luvun m suhteen ja tietoa, että luku on jaollinen kolmella (yhdeksällä), kun sen numeroiden summa on jaollinen kolmella (yhdeksällä). Kun m = 0, k ei ole kolmella jaollinen, ja 0 k = 9 }{{... }. k numeroa Luvun... numeroiden summa on k, joten 0 k on jaollinen 3 :lla mutta ei 3 3 :lla. Oletetaan, että väite pätee m:lle, ja olkoon k = 3 m n, missä 3 n. Silloin 0 k = (0 3mn ) 3 = (0 3mn )(0 3mn 0 3mn ). Induktio-oletuksen mukaan 3 jakaa ensimmäisen tekijän 3 m kertaa. Toisen tekijän numeroiden summa on 3, joten se on jaollinen 3:lla mutta ei 3 :lla.. Olkoon a positiivinen kokonaisluku. Todista, että on olemassa yksikäsitteinen pari (x, y) positiivisia kokonaislukuja, joille x (x y )(x y ) = a.

4 Ratkaisu. Järjestetään lukuparit (x, y) ensisijaisesti summan x y mukaan ja toissijaisesti luvun x mukaan: y Lukua n pienempien positiivisten kokonaislukujen summa on 5. (, ) (summa ) (n )(n ).. (, ) (summa 3) 4 Parin (x, y) järjestysluku saadaan laskemalla yhteen pienempisummaisten pa- 3. (, ) 3 rien lukumäärä 4. (, 3) (summa 4) (x y )(x y ) ja parin (x, y) järjestysluku samansummaisten joukossa, joka on x. Jokaisen po- 5. (, ) 6. (3, ) sitiivisen kokonaisluvun a on oltava täsmälleen yhden parin järjestysluku, mistä 7. (, 4) (summa 5) väite seuraa. 8. (, 3) x. 3. Etsi kaikki kolmioluvut, jotka ovat myös neliölukuja. (Kolmiolukuja ovat, = 3, 3 = 6,..., ja neliölukuja =, = 4, 3 = 9,....) Ratkaisu. Olkoon n = m(m ). Saadaan 8n = 4m 4m = (m ) eli (m ) 8n =. Tämä on Pellin yhtälö luvuille A = m ja B = n: A B =. Kokeilemalla löydetään ratkaisu A = 3, B =, ja yleinen ratkaisu on jolle saadaan binomilausetta soveltamalla suljettu muoto a k = (3 ) k (3 ) k a k b k = (3 ) k, Tehtävässä kysyttyjä lukuja on äärettömän monta, ja ne ovat muotoa, b k = (3 ) k (3 ) k. ( bk ) ( (3 ) k (3 ) k) = Tarkastellaan kolmiota ABC, jonka kulmille α, β, γ (kärjissä A, B, C) pätee α β γ. Mikä ehto pitää asettaa kulmille, jotta on mahdollista suunnata valonsäde pisteestä C sivua AB kohti, se voi heijastua siitä sivulle BC ja siitä pisteeseen A? Ratkaisu. Välttämätön ja riittävä ehto on 45 α < β < 60. Kun valo kulkee pisteestä X pisteeseen Y heijastuen suorasta, se saapuu samasta suunnasta kuin pisteen X kuva peilauksessa saman suoran suhteen. X C Y E C A D B X C

5 Jos säde kulkee reittiä C D E A, se näyttää tulevan pisteeseen E pisteen C suunnasta, missä C on piste C heijastettuna suoran AB suhteen, ja pisteeseen A pisteen C suunnasta, missä piste C on piste C heijastettuna suoran BC suhteen. Pisteen C on oltava kulman BAC sisällä ja pisteen C on oltava kulman ACB sisällä. Jälkimmäinen ehto toteutuu aina, koska kulmat α ja β ovat teräviä. Edellisen ehdon toteutumiseksi on oltava sekä C BA < 80 että ACC < 80. Symmetrian nojalla C BC = CBC = β, joten C BA = 3β, mistä saadaan ehto β < 60. Heijastuksista seuraa, että BC = BC = BC, joten CBC on tasakylkinen. Siten BCC = (80 C BC) = 90 β, ja ehto ACC < 80 saadaan muotoon γ 90 β < 80 eli 70 α β < 80 eli 45 α < β. 5. Kuusikulmion ABCDEF kärkipisteet ovat ympyrällä, jonka säde on r. Sivuista AB, CD ja EF jokaisen pituus on r. Todista, että muiden kolmen sivun keskipisteet muodostavat tasasivuisen kolmion. Ratkaisu. Olkoon ympyrän keskipiste O, ja olkoot sivujen BC, DE ja F A keskipisteet P, Q ja R. Valitaan O koordinaatiston origoksi, jolloin P = (B C), Q = (D E) ja R = (F A). A B P C R O D F E Q Saadaan P Q = Q P = ( D E B C ). Merkitään ρ:lla 60 :een vastapäiväistä kiertoa O:n ympäri. Oletusten nojalla ρ(b) = A ja ρ(d) = C. Nelikulmion OF Eρ(E) jokaisen sivun pituus on r, joten se on suunnikas ja ρ(e) = Oρ(E) = F E = E F. Vastaavasti ρ(c) = C D. Vektorin P Q kuva tässä kierrossa on ρ(p )ρ(q) = ρ(q) ρ(p ) = ( ρ(d) ρ(e) ρ(b) ρ(c) ) = ( C E F A C D ) = ( D E F A ) = Q R = RQ. Tästä seuraa, että P Q = QR ja P QR = 60, joten P QR on tasasivuinen kolmio. 6. Kahden pelaajan pelissä yhdistetään m n hilan hilapisteitä. Vuorollaan kumpikin pelaaja piirtää janan, joka yhdistää kaksi hilapistettä kulkematta minkään muun hilapisteen kautta ja leikkaamatta aiemmin piirrettyjä janoja. Viimeisen janan piirtäjä voittaa. Kummalla pelaajalla on voittostrategia ja millainen se on?

6 Ratkaisu. Toisella pelaajalla on voittostrategia, jos mn on pariton, muuten ensimmäisellä. Olkoon hilan keskipiste Z. Voittostrategia perustuu kummassakin tapauksessa janojen peilaamiseen Z:n suhteen. Merkitään pisteen X peilikuvaa pisteen Z suhteen X :lla. Oletetaan, että yksi pelaajista tekee sallitun siirron janalla P Q, kun jo piirrettyjen janojen joukko on symmetrinen Z:n suhteen. Milloin on mahdotonta vastata tähän janalla P Q? Jana P Q ei voi kulkea hilapisteiden kautta, koska muuten jana P Q olisi kulkenut hilapisteen kautta. Jana P Q ei voi leikata sellaista janaa RS, joka on piirretty ennen janaa P Q, koska muuten myös jana R S olisi piirretty sitä ennen, ja janat P Q ja R S olisivat leikanneet toisensa. Ainoa mahdollisuus on, että janat P Q ja P Q leikkaavat. Mutta jos niillä on yhteinen piste W, myös piste W on yhteinen, samoin kaikki niiden väliset pisteet, myös Z. Tämä on mahdollista vain, jos Z ei ole hilapiste. Jos Z ei ole hilapiste, mikä on yhtäpitävää sen kanssa että vähintään toinen luvuista m ja n on parillinen, ensimmäisen pelaajan voittostrategia on piirtää ensin jokin jana XX ja sen jälkeen vastata janaan P Q janalla P Q. Edellä esitetyn päättelyn nojalla P Q on aina mahdollinen siirto. Jos Z on hilapiste, mikään sellainen jana ei ole sallittu, joka sisältää Z:n sisäpisteenä. Toisen pelaajan voittostrategia on vastata janaan P Q janalla P Q, mikä on jälleen edellä esitetyn päättelyn nojalla mahdollista ruudukon ruuduista osa on aluksi valkeita ja osa mustia. Jokaisella aikayksiköllä maalataan mustiksi sellaiset valkeat ruudut, joilla oli edellisellä aikayksiköllä vähintään kaksi mustaa naapuria (ruutua, jolla on yhteinen sivu). Onko sellaista väritystä, jossa mustia ruutuja on (a) (b) yhdeksän kymmenen ja josta aloitettaessa koko ruudukko muuttuu lopulta mustaksi? Ratkaisu. Ratkaistaan ensin helpompi b-kohta: jos lävistäjän ruudut ovat aluksi mustia, musta väri leviää aikayksiköllä t ruutuihin, joiden etäisyys lävistäjästä on t, ja siten lopulta koko ruudukkoon. A-kohdassa kysyttyä väritystä ei ole olemassa. Tarkastellaan tämän todistamiseksi mustan alueen piiriä, ts. sellaisia ruutujen sivuja, joiden toisella puolella on musta ruutu ja toisella ei. Yhdeksän ruudun värityksessä piiri on enintään 36, ja koko ruudukon värityksessä 40, joten jos voidaan todistaa, että piiri ei voi kasvaa, väite on todistettu. Ruutujen maalaamista voidaan tarkastella erikseen, sillä ylimääräisten ruutujen maalaaminen voi enintään muuttaa muiden maalaamista aiemmaksi, millä ei ole vaikutusta lopulliseen tulokseen. Tilanteita, joissa ruutu maalataan, ovat oleellisesti seuraavat: Kaavioiden värityksessä harmaa tarkoittaa ruutua, jolla ei ole väliä, ja valkoinen tai harmaa ruutu voivat olla myös ruudukon ulkopuolista aluetta. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa mustan alueen piiri pysyy ennallaan, kolmannessa pienenee kahdella ja neljännessä pienenee neljällä. 8. Onko olemassa funktioita f : R R ja g : R R, joille f(g(x)) = x ja g(f(x)) = x 4? Ratkaisu. Rajoitutaan ensin joukossa [, ) määriteltyihin funktioihin. Oletuksista seuraa f(x 4 ) = f(g(f(x))) = f(x). Tehdään sijoitus f(x) = a F (log b x), a > 0, b > 0,

7 jolloin aiempi yhtälö muuttuu muotoon F (4y) = F (y), kun x 0 ja y = log b x. Tälle löytyy helposti ratkaisu, esim. F (x) = x. Päädytään ratkaisuehdokkaaseen Toisaalta f(x) = a logb x, x. g(x ) = g(f(g(x))) = g(x) 4, ja jälleen sijoituksella g(x) = c G(log d x) saadaan funktionaaliyhtälö G(y) = 4G(y), jolla on esim. ratkaisu G(x) = x. Saadaan ratkaisuehdokas g(x) = c (log d x), x. Vakiot a, b, c ja d pitää valita sopivasti. Sijoittamalla alkuperäisiin yhtälöihin keksitään melko helposti ratkaisut f(x) = log x ja g(x) = 6 (log x), x. Välillä x (0, ) voidaan määritellä f(x) = /f(/x) ja g(x) = /g(/x). Edelleen voidaan asettaa f(0) = 0 ja g(0) = 0. Negatiivisilla x voidaan määritellä f(x) = f( x). Halutunlaiset funktiot ovat siis olemassa. 9. Todista, että jos a, b ja c ovat positiivisia reaalilukuja, joille abc 9, pätee epäyhtälö ( ). a c (abc) /3 3 b Ratkaisu. Jos voitaisiin olettaa a, b, c, voitaisiin asettaa a = e a0 jne. ja soveltaa Jensenin epäyhtälöä. Funktio x / exp(x) on kuitenkin konveksi vain, kun x ln. Väite seuraa epäyhtälöistä x y xy, x, y > 0, xy 6, () ja x y 3 3 x y, x, y > 0, x y 9. () Voidaan nimittäin olettaa, että a b c, jolloin ab 6 (koska muuten abc < 9 ). Saadaan joka on tehtävän väite. a b c ab c 3 3 abc, Todistetaan epäyhtälö (). Tarkastellaan funktiota f(x) = / x / p/x, kun x > 0 ja p 6. Funktion derivaatta on f (x) = ( x) p 3/ ( p/x) 3/ x ja f (x) 0 p ( p/x) 3/ x ( x) 3/ p ( x) 3 x 4 ( p/x) 3 = x(x p) 3 Tavoite on todistaa, että f(x):n minimi on x = p, joten erotetaan vasemman ja oikean puolen erotuksesta tekijäksi p x : p ( x) 3 x(x p) 3 = p ( 3x 3x x 3 ) x(x 3 3x p 3xp p 3 ) = x 4 (p 3p)x 3 (3p p 3 )x p = (p x )(x (3p p )x p).

8 Ensimmäisellä toisen asteen polynomilla on yksinkertainen juuri p:ssä. Jälkimmäisellä toisen asteen polynomilla on kaksi reaalijuurta, jos (3p p ) > 4p eli p 4 6p 3 9p 4p > 0. Tämä toteutuu, jos esim. p > 6, koska silloin p 4 6p 3 9p 4p > (p 6)p 3 9p(p ) > 0. Juurien summa on p 3p > 0 ja tulo on p. Tästä seuraa, että juuret ovat positiivisia ja p:n eri puolilla. Olkoot juuret α (0, p) ja toinen β ( p, ), jolloin polynomien tulon (ja siten derivaatan f (x)) etumerkki on seuraava: x 0 α p β p x x (3p p )x p tulo Siis f:llä on paikallinen minimi p:ssä. Rajoilla lim x f(x) = ja lim x 0 f(x) =, joten f( p) = / p on globaali minimi, kunhan p > 9. Todistetaan epäyhtälö (). Tällä kertaa tarkastellaan funktiota g(x) = / x / q/x, kun q 9 ja x > 0. Derivaatta on g (x) = ( x) q 3/ ( q/x ) 3/ x = (x q) 3/ q(x ) 3/ 3 x x q (x 3 x qx q) ja sillä on sama etumerkki kuin lausekkeella q /3 (x ) (x q). Tämän polynomin yksi juuri on 3 q ja toinen on q /3 q /3. Siten g(x):llä on paikallinen minimi kohdassa x = 3 q, ja koska lim x g(x) = g( 3 q), kun x 9, tämä on myös globaali minimi. 0. Etsi kaikki reaaliluvut x, y, z, joille min( x xyz, y xyz, z xyz) = x y z. Ratkaisu. Olkoot a, b, c 0 luvut, joille x = a, y = b ja z = c. Voidaan olettaa, että c on luvuista pienin, jolloin tehtävän ehto on ( c )[ ( a )( b )] = (a b c). Cauchyn Schwartzin epäyhtälö jonoille (, a b) ja (c, ) on joten (a b c) [ (a b) ]( c ) ( a )( b ) (a b), mistä saadaan ( ab) 0 eli ab =. Tällöin jälkimmäisessä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus, samoin Cauchyn Schwartzin epäyhtälössä, joten c(ab) =. Toisaalta oletuksista ab = ja c(ab) = seuraa c = /(ab) < /b = a ja vastaavasti c < b, jolloin tehtävän ehto on voimassa. Siis ratkaisut ovat kaikilla a > 0. { { x, y, z } = a, ( a, a ) } a

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Baltian Tie 2005 ratkaisuja

Baltian Tie 2005 ratkaisuja Baltian Tie 2005 ratkaisuja. Osoitetaan, että jonossa on aina kaksi samaa lukua. Olkoon k pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on voimassa (k +) 9 2005 < 0 k. (Tällainen luku on olemassa, koska epäyhtälön

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

IMO 2004 tehtävät ja ratkaisut

IMO 2004 tehtävät ja ratkaisut IMO 2004 tehtävät ja ratkaisut 1. Olkoon ABC teräväkulmainen kolmio ja AB AC. Ympyrä, jonka halkaisija on BC, leikkaa sivun AB pisteessä M ja sivun AC pisteessä N. Olkoon O sivun BC keskipiste. Kulmien

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät

Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät Ratkaisuja 1. Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan sisäpuolisesti pisteessä T. Ulomman ympyrän sekantti AB on sisemmän ympyrän tangentti pisteessä P. Osoita,

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset Hongkongissa

57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset Hongkongissa 57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset Hongkongissa Esa V. Vesalainen Basque Center for Applied Mathematis 57. kansainväliset matematiikkaolympialaiset järjestettiin Hongkongissa 9 16.7.2016. Suomea

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 toukokuun tehtävät

Matematiikan olympiavalmennus 2015 toukokuun tehtävät Matematiikan olympiavalmennus 05 toukokuun tehtävät Ratkaisuja Kuperan viisikulmion jokainen lävistäjä on jonkin viisikulmion sivun suuntainen Osoita, että jokaisessa tällaisessa parissa lävistäjän ja

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

a b c d

a b c d 31. 10. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 016 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Kauppias ostakoon p kg paahtamatonta kahvia, jonka ostohinta olkoon b

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Kenguru 2017 Student lukio

Kenguru 2017 Student lukio sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut. 77 cm Ratkaisu. Toisen kierron jälkeen syntyvä neliö on

Tehtävien ratkaisut. 77 cm Ratkaisu. Toisen kierron jälkeen syntyvä neliö on Solmu /00 Tehtävien ratkaisut Ratkaisu Toisen kierron jälkeen syntyvä neliö on peilikuva alkuperäisestä neliöstä pisteen P suhteen Jos P ei ole alkuperäisen neliön sisällä, niin peilikuvalla alkuperäisellä

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot