Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut"

Transkriptio

1 Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 3 pistettä 1. Sannalla oli neliön muotoisia paperiarkkeja, joille hän piirsi kuvioita. Kuinka monella näistä kuvioista on yhtä suuri piiri kuin paperiarkilla? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Ratkaisu: Siirtämällä janoja nähdään, että kaikilla paitsi toisella ja kolmannella kuviolla on sama piiri kuin paperiarkilla. 2. Rouva Loikkanen osti kullekin nelihenkisen perheensä jäsenelle neljä maissintähkää. Kaupassa hän sai kyltin mukaisen alennuksen. Kuinka paljon maissit maksoivat? (A) 0,80 (B) 1,20 (C) 2,80 (D) 3,20 (E) 3,40 Ratkaisu: Rouva Loikkanen osti 4 4 = 16 maissintähkää. 16 : 6 = 2, jää 4, joten kaksi maissintähkistä oli ilmaisia. Hänen oli siis maksettava 14 0,20 = 2,80.

2 Kenguru 2013 Junior sivu 2 / Kengu matkustaa mielellään junalla tunnelin läpi. Eilen hänen mennessään tunneliin kello näytti 12:30 ja hänen tullessaan ulos 12:34. Mikä seuraavista on varmasti totta? Kengu oli tunnelissa (A) tasan neljä minuuttia (B) korkeintaan neljä minuuttia (C) vähintään neljä minuuttia (D) vähintään kolme minuuttia (E) yli neljä minuuttia Ratkaisu: Kengu on mennyt tunneliin aikaisintaan kello 12:30:00 ja poistunut ennen kello 12:35:00 (esimerkiksi klo 12:34:99), joten hän oli tunnelissa alle 5 minuuttia. Toisaalta Kengu on mennyt tunneliin ennen kuin kello on ollut 12:31:00 (esimerkiksi kello 12:30:99) ja poistunut aikaisintaan kello 12:34:00, joten hän on ollut tunnelissa yli 3 minuuttia. Kengun tunnelissa oleva aika on siis voinut olla mikä tahansa aika avoimelta väliltä ] [ (yksikkönä minuutti). 4. Piirtämällä kaksi ympyrää Juhana teki kuvion, joka koostuu kolmesta alueesta (ks. kuva): yksi alue on vain vasemmanpuoleisen ympyrän sisällä, toinen vain oikeanpuoleisen ympyrän sisällä ja kolmas molempien ympyröiden sisällä. Jos hän piirtäisi kaksi neliötä, kuinka monesta alueesta kuvio voisi korkeintaan koostua? (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 9 Ratkaisu: Kuvasta nähdään, että alue voi koostua yhdeksästä kuviosta. Todistetaan vielä, että yhdeksän on suurin mahdollinen määrä. Jokaisen alueen reunalla on keskimmäistä aluetta lukuun ottamatta yksi kärki, joka ei ole minkään muun alueen reunalla. Siten keskimmäistä aluetta lukuun ottamatta jokaista aluetta kohti tarvitaan yksi kärki. Koska kärkiä on käytössä = 8, on suurin mahdollinen alueiden määrä 9.

3 Kenguru 2013 Junior sivu 3 / Luvuista 2, 4, 16, 25, 50 ja 125 valitaan ne kolme, joiden tulo on Mikä on noiden kolmen luvun summa? (A) 131 (B) 91 (C) 77 (D) 70 (E) 45 Ratkaisu: ( ). Siten luku ei ole luvun tekijä, joten ainakaan luku 16 ei ole kyseisten kolmen luvun joukossa. Jos on yksi noista kolmesta luvusta, niin luku 5 tarvitaan vielä täsmälleen yhden kerran tekijäksi. Tämä ei ole kuitenkaan mahdollista, koska ainoat viidellä jaolliset luvuista 2, 4, 50 ja 125 ovat ja. Jos näistä jompikumpi valittaisiin, niin luku 5 tulisi tekijäksi liian monta kertaa. Siten luku 25 ei ole yksi noista kolmesta luvusta. Vastaava päättely koskee myös lukua luvusta., joten myöskään 50 ei ole yksi noista kolmesta Luvuista ovat jäljellä enää 2, 4 ja 125, joten ne ovat ainoa mahdollisuus. Lisäksi niiden tulo on 1 000, joten ne ovat oikeat luvut. Lukujen 2, 4 ja 125 summa on Kuusi pistettä on piirretty kuvan mukaisesti ruudukkoon, jossa ruudut ovat neliöitä ja yhden ruudun pinta-ala on 1. Piirretään kolmio, jonka kärjet valitaan noiden kuuden pisteen joukosta. Mikä on kolmion pienin mahdollinen pinta-ala? (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 (E) 2 Ratkaisu: Koska ruudun sivun pituus on 1, ja pisteet ovat ruutujen kärjissä, niin pisteet kärkinä ei ole mahdollista piirtää kolmiota, jonka kanta tai korkeus olisi alle 1. Kuitenkin kolmio, jossa sekä kanta että korkeus ovat 1, on mahdollista piirtää (kolmen vasemmanpuoleisimman pisteen muodostama tylppäkulmainen kolmio), joten se on pienin kolmio, joka kyseisten pisteiden avulla voidaan piirtää. Tämän kolmion ala on.

4 Kenguru 2013 Junior sivu 4 / Satu laski luvut ja yhteen virheettömästi ja sai tulokseksi luvun, joka on luvun 2 potenssi. Mikä tuo luku oli? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: ( ) ( ). 8. Kuution pintaan on maalattu mustia ja valkoisia neliöitä ikään kuin kuutio olisi rakennettu neljästä valkoisesta ja neljästä mustasta pienemmästä kuutiosta. Miltä kuutio näyttää tasoon levitettynä? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Yhdenvärisiä (sekä mustia että valkoisia) pieniä neliöitä on aina kolme vierekkäin siten, että kullakin niistä on yksi yhteinen sivu kahden muun kanssa. Siten E on oikea vastaus. 9. Luku on suurin positiivinen kokonaisluku, jolle on kolminumeroinen luku, ja on pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on kolminumeroinen luku. Laske. (A) 900 (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Pienin neljällä jaollinen kolminumeroinen luku on, joten. Koska on neljällä jaollinen, niin suurin neljällä jaollinen kolminumeroinen luku on, joten. Nyt.

5 10. Mikä seuraavista luvuista on suurin? Kenguru 2013 Junior sivu 5 / 19 (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Positiivisista luvuista se on suurin, jonka neliö on suurin. Luvun A neliö on Muutkin luvut ovat pienempiä kuin A: 4 pistettä 11. Kolmio RZT syntyy, kun tasasivuinen kolmio AZC kiertyy pisteen Z ympäri. Tiedetään, että. Kuinka suuri on kulma? (A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 35 (E) 40 Ratkaisu: Kolmion AZC tasasivuisuudesta johtuen Siten. Koska, joten kolmio AZR on tasakylkinen. on ( ) Nyt

6 Kenguru 2013 Junior sivu 6 / Kuviossa on kuudesta 1 cm x 1 cm neliöstä tehty siksakki, jonka piiri on 14 cm. Jos 2013 neliöstä tehdään siksakki samalla tavalla, mikä on sen piiri? (A) 2022 cm (B) 4028 cm (C) 4032 cm (D) 6038 cm (E) 8050 cm Ratkaisu: Kun lisätään yksi neliö, niin piiri kasvaa 2 cm. Siten 2013 neliöstä tehdyn kuvion piiri on ( ) (cm). 13. Jana yhdistää säännöllisen kuusikulmion kaksi vastakkaista kärkeä. Jana, joka on kohtisuorassa janaa vastaan, yhdistää vastakkaisten sivujen keskipisteet. Kuusikulmion ala on 60. Laske. (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 80 (E) 100 Ratkaisu: Säännöllinen kuusikulmio voidaan jakaa kuuteen yhtenevään tasasivuiseen kolmioon.

7 Kenguru 2013 Junior sivu 7 / 19 Kuvan perusteella verrattuna, joten. Kuusikulmion ala on kuusinkertainen kolmion EFO alaan josta saadaan. 14. Luokan oppilaat tekivät matematiikan kokeen. Jos jokainen poika olisi saanut kokeesta 3 pistettä enemmän, olisi luokan keskiarvo ollut 1,2 pistettä nykyistä korkeampi. Kuinka monta prosenttia luokan oppilaista on tyttöjä? (A) 20 % (B) 30 % (C) 40 % (D) 60 % (E) mahdotonta tietää Ratkaisu: Olkoon luokassa t tyttöä ja p poikaa. 3 pistettä jokaista poikaa kohti nosti keskiarvoa 1,2 pisteellä, joten. Jakamalla kolmella saadaan poikien osuudeksi, joten tyttöjen osuus on 60 %. 15. Suorakulmion ABCD sivut AB ja CD ovat x-akselin suuntaiset, eikä mikään suorakulmion kärjistä ole y-akselilla. Pisteen A x-koordinaatti on pienempi kuin pisteen B x-koordinaatti, ja pisteen A y-koordinaatti on pienempi kuin pisteen D y-koordinaatti. Millä suorakulmion kärjistä suhde (y-koordinaatti) : (x-koordinaatti) on pienin? (A) A (B) B (C) C (D) D (E) riippuu tilanteesta Ratkaisu: Jos molemmat koordinaatit ovat positiivisia, on koordinaattien suhde sitä pienempi, mitä pienempi y-koordinaatti on ja mitä suurempi x-koordinaatti on. Pienin suhde on tällöin kärjellä B. Jos taas koordinaatit ovat erimerkkiset, on koordinaattien suhde negatiivinen. Tällöin suhde on sitä pienempi, mitä suurempi sen itseisarvo on. Itseisarvo taas on suurimmillaan, kun jaettavan eli y-koordinaatin itseisarvo on suurin ja jakajan eli x-koordinaatin itseisarvo pienin. Esimerkiksi koordinaatiston toisessa neljänneksessä suhde on siis pienin kärjellä C (kuvassa pilkulliset pisteet).

8 Kenguru 2013 Junior sivu 8 / Eilen Karilla ja hänen pojallaan oli molemmilla syntymäpäivä. Tänään Kari kertoo ikänsä poikansa iällä virheettömästi ja saa tulokseksi Minä vuonna Kari on syntynyt? (A) 1952 (B) 1953 (C) 1981 (D) 1982 (E) mahdotonta tietää Ratkaisu: iät ovat. Luvun 2013 alkulukuhajoitelman perusteella mahdolliset 1 ja ja ja ja 3 11 Näistä kolmessa ensimmäisessä toinen ikä on epärealistisen suuri. Viimeinen vaihtoehto on realistinen: isä 61 ja poika 33 vuotta. Kari-isän syntymävuodeksi tulee. 17. Teemu yritti piirtää kaksi tasasivuista kolmiota kiinni toisiinsa, jolloin syntyisi suunnikas, mutta hän ei mitannut kaikkia pituuksia ja kulmia tarkasti. Jälkeenpäin Mari mittasi neljä kulmista oikein (ks. kuva). Mikä kuvion viidestä janasta on pisin? (A) AD (B) AC (C) AB (D) BC (E) BD Ratkaisu:, joten ylempi ja alempi kolmio ovat yhdenmuotoiset. Kolmion pisin sivu on suurimman kulman vastainen ja lyhin sivu pienimmän kulman vastainen. Sivu AB on molemmille kolmiolle yhteinen, ja se on ylemmän kolmion toiseksi pisin sivu ja alemman kolmion lyhin sivu. Siten alempi kolmio on suurempi kuin ylempi. Alemman kolmion pisin sivu on AD, joten se on pisin viidestä janasta.

9 Kenguru 2013 Junior sivu 9 / Kuinka monta sellaista viiden peräkkäisen positiivisen kokonaisluvun joukkoa on olemassa, jolla on ominaisuus kolmella luvuista on yhtä suuri summa kuin lopuilla kahdella? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) yli 3 Ratkaisu: Luvut ovat ja, missä. Vaihtoehdot ovat: 1) (ei mahdollinen, koska ) 2) (ei mahdollinen, koska ) 3) (ei mahdollinen, koska ) 4) (ei mahdollinen, koska ) 5) (ei mahdollinen, koska ) 6) (ei mahdollinen, koska ) 7) ei kelpaa 8) ei kelpaa 9) kelpaa 10) kelpaa Joukkoja on siis kaksi.

10 Kenguru 2013 Junior sivu 10 / Kuinka montaa eri reittiä kuvassa pääsee pisteestä A pisteeseen B? Vain kuvaan merkittyihin suuntiin saa kulkea. (A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 12 (E) 15 Ratkaisu: Kuvan merkinnöillä reitit ovat seuraavat. ACFJB ACFIB ACDIB AEHLB AEHIB AEDIB AGFJB AGFIB AGKJB AGHLB AGHIB AGKLB 20. Kuusinumeroisen luvun numeroiden summa on parillinen ja numeroinen tulo pariton. Mikä seuraavista on totta? (A) Luvun numeroista kaksi tai neljä on parillisia. (B) Kyseistä lukua ei ole olemassa. (C) Parittomia numeroita on luvussa pariton määrä. (D) Luvussa voi olla kuusi eri numeroa. (E) Mikään edellisistä ei pidä paikkaansa.

11 Kenguru 2013 Junior sivu 11 / 19 Ratkaisu: Koska numeroiden tulo on pariton, on jokaisen numeron oltava pariton. Siten vaihtoehdot A ja C ovat vääriä. Koska kaikki luvun numerot ovat parittomia ja parittomia numeroita on olemassa vain viisi (1, 3, 5, 7 ja 9), ei luvussa voi olla kuutta eri numeroa. Siten vaihtoehto D on väärä. Kyseiseksi luvuksi kelpaa esimerkiksi (summa 6, tulo 1), joten vaihtoehto B on väärä. Koska vaihtoehdot A D ovat vääriä, on E oikein. 5 pistettä 21. Kuinka monta desimaalia on luvussa? (A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) Ratkaisu:. Huomataan, että jne., siis viimeinen numero on ensimmäisissä muotoa olevissa luvuissa 5., joten viimeinen numero on kaikissa muotoa olevissa luvuissa 5, ja jokainen nimittäjässä oleva kakkonen aiheuttaa desimaalilukuun yhden desimaalin lisää. Toisaalta jokainen kymmenellä jakaminen siirtää pilkkua yhdellä vasemmalle, ja koska muotoa olevissa luvuissa kokonaisosa on nolla, aiheuttaa jokainen nimittäjässä oleva luku 10 desimaalilukuun yhden desimaalin lisää. Desimaaleja on siis. 22. Kuinka monta jännettä ympyrään pitää vähintään piirtää, jotta niillä olisi ympyrän sisällä täsmälleen 50 leikkauspistettä? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 Ratkaisu: Leikkauspisteitä saadaan eniten, jos jokainen jänne leikkaa jokaisen muun jänteen (tällöin yhdensuuntaisia jänteitä ei ole) eikä yhdessä pisteessä leikkaa enempää kuin kaksi jännettä. Erisuuntaistenkaan jänteiden ei tarvitse leikata jänteet voidaan piirtää lyhyemmiksi, jos halutaan etteivät ne leikkaa. Siis kun kaikki jänteet piirretään erisuuntaisiksi, niin leikkauspisteiden määrälle saadaan toteutettavissa oleva yläraja, mutta alaraja on nolla riippumatta jänteiden määrästä.

12 Kenguru 2013 Junior sivu 12 / 19 Jos erisuuntaisia suoria on kpl, niin jokainen suora leikkaa suoraa ja leikkauspisteitä on ( ) kpl. (On jaettava kahdella, jotta ei laskettaisi jokaista leikkauspistettä kahdesti). Yhtälön ( ) positiivinen ratkaisu on alaspäin: ja.. Arvioidaan tätä lukua ylös- ja Siis on piirrettävä vähintään 11 jännettä, jotta leikkauspisteitä saadaan riittävästi; toisaalta aivan jokaisen jänteen ei tarvitse leikata aivan jokaista jännettä opiskelijaa osallistui matematiikkaolympialaisiin, 50 fysiikkaolympialaisiin ja 48 tietotekniikkaolympialaisiin. Kukin opiskelija täytti kyselylomakkeen, jossa kysyttiin kolme kyllä-ei-kysymystä: osallistuitko 1) ainakin yhteen kilpailuun 2) ainakin kahteen kilpailuun 3) kolmeen kilpailuun. Kyllävastauksia kysymykseen 2 oli 50 % vähemmän kuin kysymykseen 1 ja kysymykseen 3 2/3 vähemmän kuin kysymykseen 1. Kuinka monta opiskelijaa osallistui ainakin yhteen näistä kilpailuista? (A) 100 (B) 108 (C) 124 (D) 150 (E) 198 Ratkaisu: ainakin yhteen osallistui kpl ainakin kahteen osallistui kpl kolmeen osallistui kpl täsmälleen kahteen osallistui täsmälleen yhteen kilpailuun kpl kpl Osallistumisia oli siis yhteensä ja toisaalta. Saadaan yhtälö, josta. 24. Määritellään, että kolmen luvun muutossumma on uusi kolmen luvun joukko, jossa kukin kolmesta luvusta on korvattu kahden muun luvun summalla. Esimerkiksi joukon { } muutossumma on { }, jonka muutossumma puolestaan on { }. Jos aloitetaan joukosta { }, kuinka monta peräkkäistä muutossummaa tarvitaan, jotta saadaan luku 2013 joukon jäseneksi? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) Luku 2013 tulee enemmän kuin yhden kerran. (E) Lukua 2013 ei tule koskaan.

13 Kenguru 2013 Junior sivu 13 / 19 Ratkaisu: Lasketaan muutamia ensimmäisiä muutossummia : { } { } { } { } { } Näyttäisi siltä, että muutossummaan tulee aina kolme peräkkäistä lukua, joista keskimmäinen on luvun 2 potenssi. Todistetaan, että näin todella on. Joukosta { } saadaan muutossummaksi { } ja siitä edelleen { } eli kolmesta peräkkäisestä luvusta tulee aina kolme peräkkäistä lukua, ja joka toisella kerralla luvut ovat pienimmästä suurimpaan ja joka toisella kerralla suurimmasta pienimpään. Siis jos aloitetaan kolmesta peräkkäisestä luvusta, niin kaikissa seuraavissa muutossummissa on aina kolme peräkkäistä lukua. Koska ensimmäisen joukon keskimmäinen luku on luvun 2 potenssi ja seuraavan muutossumman keskimmäinen luku on edelliseen verrattuna kaksinkertainen, on seuraavassa muutossummassa keskimmäinen luku luvun 2 potenssi, samoin sitä seuraavassa äärettömyyksiin asti. Siis keskimmäinen luku on aina luvun 2 potenssi. Lukua 2013 lähimmät luvun 2 potenssit ovat 1024 ja ei ole yhtä suurempi tai yhtä pienempi kuin kumpikaan niistä, joten 2013 ei esiinny missään muutossummassa. 25. Kokonaisluvuilla 1-22 tehdään 11 jakolaskua siten, että jokainen kokonaisluku käytetään yhden kerran. Enintään kuinka monessa näistä jakolaskuista tulos on kokonaisluku? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11 Ratkaisu: Kokonaislukujen 1-22 joukossa ovat luvut 13, 17 ja 19, jotka ovat alkulukuja, joten ne eivät kaikki voi esiintyä jaettavina sellaisissa jakolaskuissa, joissa tulos on kokonaisluku (yksi niistä voi, koska luvulla yksi voidaan jakaa kerran). Lisäksi nuo kolme lukua ovat liian suuria esiintyäkseen jakajina sellaisissa jakolaskuissa, joissa tulos on kokonaisluku (jaettavahan on korkeintaan 22 eli pienempi kuin 2 13, 2 17 ja 2 19). Siten ainakin kaksi luvuista 13, 17 ja 19 tulee jakajaksi tai jaettavaksi jakolaskuun, jonka tulos ei ole kokonaisluku, eli ainakin yksi tällainen jakolasku lasketaan. Siten vastaus on korkeintaan 10. Toisaalta vastaus on vähintään 10, sillä 10 voidaan saada esimerkiksi seuraavilla laskuilla: Viimeiseksi laskuksi jäisi tällöin tai. Koska vastaus on vähintään 10 ja korkeintaan 10, niin vaihtoehto D on oikein.

14 Kenguru 2013 Junior sivu 14 / Kuinka monta sellaista kolmiota on olemassa, jonka kärjet on valittu säännöllisen 13-kulmion kärkien joukosta ja joissa säännöllisen 13-kulmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on kolmion sisäpuolella? (A) 72 (B) 85 (C) 91 (D) 100 (E) muu määrä Ratkaisu: Tutkitaan säännöllistä 13-kulmiota ABCDEFGHIJKLM. Olkoot pisteet N ja O janojen GH ja HI keskipisteet kuvan mukaisesti. Tällöin janojen BO ja AN leikkauspiste on säännöllisen 13- kulmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste P. Jos halutaan piirtää kolmio, jonka kärkien joukossa ovat A ja B ja piste P on kolmion sisällä, niin kolmannen kärjen on oltava pisteestä A katsottuna halkaisijan vasemmalla puolella ja pisteestä B katsottuna halkaisijan oikealla puolella. Ainoa tällainen kolmio on ABH.

15 Kenguru 2013 Junior sivu 15 / 19 Vastaavasti, jos halutaan piirtää kolmio, jonka kärkien joukossa ovat A ja C ja piste P on kolmion sisällä, niin kolmannen kärjen on oltava pisteestä A katsottuna halkaisijan vasemmalla puolella ja pisteestä C katsottuna halkaisijan oikealla puolella. Tällaisia kolmioita on kaksi, ACH ja ACI. Käyttämällä kahtena kärkenä pisteitä A ja D voidaan vastaavasti piirtää kolmiot ADH, ADI ja ADJ (3 kpl). Käyttämällä kahtena kärkenä pisteitä A ja E voidaan taas piirtää yksi kolmio enemmän kuin edellisessä tapauksessa. Näin saadaan kolmiot AEK, AEJ, AEI ja AEH (4 kpl). Jos kaksi kärkeä on A ja F, saadaan kolmiot AFL, AFK, AFJ, AFI ja AFH (5 kpl).

16 Kenguru 2013 Junior sivu 16 / 19 Jos kaksi kärkeä on A ja G, saadaan kolmiot AGM, AGL, AGK, AGJ, AGI ja AGH (6 kpl). Jos yksi kärki on A ja toinen kärki valitaan pisteestä A katsottuna halkaisijan vasemmalta puolelta, joudutaan kolmas kärki valitsemaan halkaisijan oikealta puolelta. Tällöin saadaan kolmio, joka on jo laskettu kertaalleen. Siten kaikki kolmiot, joissa A on kärkenä, on jo laskettu. Niitä on kpl. Symmetrian vuoksi jokainen muukin piste kärkenä voidaan piirtää 21 kolmiota. Koska kolmiossa on kolme kärkeä, on kolmioiden kokonaismäärää laskettaessa jaettava kolmella, jottei laskettaisi jokaista kolmiota kolmeen kertaan. Kolmioita on siis yhteensä kpl. 27. Avaruusalus lähti pisteestä A ja lensi suoraan vakionopeudella 50 km/h. Tämän jälkeen joka tunti pisteestä A lähti avaruusalus lentämään suoraan vakionopeudella, ja seuraava avaruusalus oli aina 1 km/h edellistä nopeampi. Viimeinen avaruusalus lähti 50 tuntia ensimmäisen jälkeen nopeudella 100 km/h. Mikä on sen avaruusaluksen nopeus, joka oli kauimpana pisteestä A 100 tuntia ensimmäisen avaruusaluksen lähdön jälkeen? (Kaikki avaruusalukset lensivät hieman eri suuntiin, joten ne eivät voineet törmätä toisiinsa.) (A) 50 km/h (B) 66 km/h (C) 75 km/h (D) 84 km/h (E) 100 km/h Ratkaisu: Numeroidaan avaruusalukset lähtöjärjestyksen mukaan niin, että ensimmäinen avaruusalus on alus numero 0. Nyt n:nnen avaruusaluksen nopeus on 50 (km/h). Aika, jonka :s avaruusalus on lentänyt 100 tuntia ensimmäisen avaruusaluksen lähdön jälkeen on (h). Tällöin n:nnen avaruusaluksen kulkema matka 100 tuntia avaruusaluksen lähdön jälkeen on ( )( ). Matkan lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli (toisen asteen termi ), jonka huipun n-koordinaatti on nollakohtien ja keskiarvo. Siis 26. avaruusalus on nopein (aloitettiin numerosta 0), ja sen nopeus on (km/h). 28. Luvut 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ja 10 kirjoitetaan ympyrään mielivaltaiseen järjestykseen. Jos kukin luku lasketaan yhteen naapureidensa (viereisten lukujen) kanssa, saadaan 10 summaa. Mikä on näistä pienimmän summan suurin mahdollinen arvo? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) 18

17 Kenguru 2013 Junior sivu 17 / 19 Ratkaisu: Pienimmäksi summaksi on mahdollista saada 15 ainakin seuraavasti: Pienimmän summan suurin mahdollinen arvo on siis vähintään 15. Todistetaan, että 15 on myös maksimimäärä. Jos pienin summa olisi 16 tai suurempi, niin kolmen vierekkäisen summa olisi aina vähintään 16. Tällöin lukujen summa olisi kuvan mukaisesti vähintään. Kuitenkin kokonaislukujen 1-10 summa on vain 55, joten pienin summa voi olla korkeintaan 15. Koska pienimmän summan suurin mahdollinen arvo on vähintään 15 ja korkeintaan 15, niin vaihtoehto B on oikein.

18 Kenguru 2013 Junior sivu 18 / puuta (koivuja ja mäntyjä) kasvaa tien varressa samalla puolella tietä. Minkään kahden koivun välissä kasvavien puiden määrä ei ole viisi. Kuinka moni näistä 100 puusta voi korkeintaan olla koivu? (A) 52 (B) 51 (C) 50 (D) 49 (E) 48 Ratkaisu: Kuuden ensimmäisen ja kuuden viimeisen puun joukossa olevat koivut poistavat yhden koivun kuuden puun päästä, kun taas indekseillä varustetut koivut poistavat yhden koivun kuuden puun päästä molemmista suunnista. Koivuja saadaan siis eniten, jos täytetään ensin puurivin molemmat päät koivuilla ja edetään sen jälkeen kaksi puuta kerrallaan molemmista päistä yhtä aikaa laittamalla kyseiset puut koivuiksi, jos mahdollista. Näin saadaan seuraava kuvio (rivin lopussa suluissa indeksin arvo rivin viimeisen puun kohdalla): KKKKKKMMMM (10) 6 koivua MMKKKKKKMM (20) 6 koivua MMMMKKKKKK (30) 6 koivua MMMMMMKKKK (40) 4 koivua KKMMMMMMKK (50) koivua KKMMMMMMKK (60) koivua KKKKMMMMMM (70) 4 koivua KKKKKKMMMM (80) 6 koivua MMKKKKKKMM (90) 6 koivua MMMMKKKKKK (100) 6 koivua Koivuja voi siis olla korkeintaan = 52.

19 Kenguru 2013 Junior sivu 19 / Olipa kerran kylä, jossa oli vain kahdenlaisia asukkaita: ritareita, jotka puhuvat aina totta, ja kelmejä, jotka valehtelevat aina. Eräänä päivänä kylään tuli tarkastaja. Hän kysyi jokaiselta kylän asukkaalta yhden kysymyksen koskien jotakuta toista kylän asukasta; oliko tuo toinen asukas kelmi vai ritari. Hän ei koskaan kysynyt samasta asukkaasta kahdesti. Sitten hän pidätti jokaisen kelmiksi väitetyn ja lähti kylästä pidätettyjen kanssa. Ne jäljelle jääneet ritarit, joiden vastaukset olivat johtaneet pidätyksiin, hermostuivat ja lähtivät kylästä. Vapaaehtoisesti kylän jättäneiden ritarien määrä oli 1/3 pidätettyjen ritareiden määrästä. Kuinka suuri osa kaikista kylästä tavalla tai toisella lähteneistä asukkaista oli ritareita? (A) 4/7 (B) 2/3 (C) 3/5 (D) 4/9 (E) 5/11 Ratkaisu: Merkitään seuraavasti: Ritarit, jolta kysyttiin ritareista kpl Ritarit, jolta kysyttiin kelmeistä kpl Kelmit, jolta kysyttiin ritareista kpl Kelmit, jolta kysyttiin kelmeistä kpl Ritarit sanoivat kelmien olevan kelmejä ja ritarien ritareita, kun taas kelmit sanoivat ritarien olevan kelmejä ja kelmien ritareita, joten kelmejä pidätettiin kpl ja ritareita kpl. Ritareita poistui vapaaehtoisesti kpl. Kelmien kokonaismäärä on toisaalta (näin monelta kelmiltä kysyttiin) ja toisaalta (näin monesta kelmistä kysyttiin). Siten, josta saadaan. Yhteensä kylästä katosi asukkaita Poistuneiden ritarien osuus oli

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Cadet, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2017 Student lukio

Kenguru 2017 Student lukio sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka) sivu / 2 IKET VSTUSVIHTEHDT N LLEVIIVTTU. 3 pistettä. Minkä laskun tulos on suurin? () 20 (B) 20 (C) 20 (D) + 20 (E) : 20 20 20, 20, 20 20 20 202 ( suurin ) ja : 20 0,0005 2. Hamsteri Fridolin suuntaa

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Kenguru 2010 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 5

Kenguru 2010 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 5 Kenguru 2010 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 5 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Mikä luvuista on parillinen? (A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 9 (D) 200 9 (E) 200 + 9 Ainoa parillinen on 200 9 = 1800. 2. Kuvan tähti koostuu 12

Lisätiedot

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 6 (4. ja 5. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 6 (4. ja 5. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Kenguru 2017 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2017 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 16 3 pistettä 1. Kello on 17.00. Kuinka paljon kello on 17 tunnin kuluttua? (A) 8.00 (B) 10.00 (C) 11.00 (D) 12.00 (E) 13.00 17 tuntia on 7 tuntia vaille täysi vuorokausi. 17 7 = 10, joten 17

Lisätiedot

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 (4. ja 5. luokka) Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 3 pistettä 1. Missä kuviossa mustia kenguruita on enemmän kuin valkoisia kenguruita? Kuvassa D on 5 mustaa kengurua ja 4 valkoista. 2. Nelli haluaa rakentaa samanlaisen

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 (lukion 1. vuosikurssi) RATKAISUT

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 (lukion 1. vuosikurssi) RATKAISUT Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 3 pistettä 1. Kenguru-kilpailu on joka vuosi maaliskuun kolmantena torstaina. Mikä on ensimmäinen mahdollinen päivä kilpailulle? (A) 14.3. (B) 15.3. (C) 20.3. (D) 21.3.

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Cadets Sivu 1

Cadets Sivu 1 Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta sitä on kierrettävä kunnes

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Kenguru 2017 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2017 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita 1. Laske 3 21 12 3. a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 Ratkaisu. 3 21 12 3 = 63 36 = 27. 2. Peräkylän matematiikkakerholla on kaksi tapaa

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

Kenguru 2014 Ecolier (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2014 Ecolier (4. ja 5. luokka) sivu 1 / 11 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka

Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka 3 pisteen tehtävät Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 1. Missä kenguru on? (A) Ympyrässä ja kolmiossa, mutta ei neliössä. (B) Ympyrässä ja neliössä, mutta ei kolmiossa. (C) Kolmiossa ja neliössä, mutta

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Kenguru 2006 sivu 1 Cadet-ratkaisut

Kenguru 2006 sivu 1 Cadet-ratkaisut Kenguru 2006 sivu 1 3 pistettä 1. Kenguru astuu sisään sokkeloon. Se saa käydä vain kolmion muotoisissa huoneissa. Mistä se pääsee ulos? A) a B) b C) c D) d E) e 2. Kengurukilpailu on pidetty Euroopassa

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) Ratkaisut.

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) Ratkaisut. sivu 1 / 16 3 pistettä 1. Kello laitetaan pöydälle viisaripuoli ylöspäin juuri silloin, kun minuuttiviisari osoittaa etelään. Kuinka monen minuutin kuluttua minuuttiviisari seuraavan kerran osoittaa itään?

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Kuinka monta kokonaislukua on lukujen 19,03 ja,009 välissä? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) enemmän kuin 17 Luvut 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

Lisätiedot

Kenguru 2013 Benjamin sivu 1 / 7 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2013 Benjamin sivu 1 / 7 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2013 Benjamin sivu 1 / 7 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin. Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 1.2.2013 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö olisi

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

Kenguru 2016 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2016 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Toisessa kyselyssä alueella on 1 ruudussa A ja 3 ruudussa B, joten suosituin ehdokas on B.

Toisessa kyselyssä alueella on 1 ruudussa A ja 3 ruudussa B, joten suosituin ehdokas on B. A Alueet Bittimaassa järjestetään vaalit, joissa on 26 ehdokasta. Jokaisella ehdokkaalla on kirjaintunnus välillä A...Z. Bittimaa on suorakulmion muotoinen ja jaettu neliöruutuihin. Tehtäväsi on selvittää

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot