Octreen piirtäminen. Huomioita portaalitekniikasta. Octree edestä taakse. Valaistus ja sävytys
|
|
- Hannele Laaksonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Huomioita portaalitekniikasta Octreen piirtäminen Näkyvän maailman piirtäminen portaalitekniikalla on itse asiassa hyvin samanlainen idea kuin aiemmin nähty maalarin algoritmi BSP-puilla maailman sallitun rakenteen rajoittaminen sallii tehokkaan piirtämisen Portaalista näkyvän alueen kuvan päälle voidaan tehdä osittain läpinäkyviä pintakuviointeja yms. efektejä Portaaliin voidaan liittää transformaatio, jolla kameran asemaa muutetaan piirrettäessä portaalin läpi näkyvää maailmaa sopivasti valittu peilaustransformaatio tekee portaalista peilin alkuperäiseen alueeseen Aiemmin nähty octree on kolmiulotteinen region quadtree, jolla voidaan esittää tehokkaasti kiinteitä 3D-kappaleita Avaruudessa sijaitsevan octreen piirtäminen valitusta katselupisteestä käsin hoituu tehokkaalla rekursiivisella prosessilla, jossa octreen solmujen välille ei tarvitse tehdä peittävyysvertailuja Jos octreen solmu on lehtisolmu, piirretään sitä vastaava kuutio normaaliin tapaan Jos solmulla on kahdeksan lasta, piirretään rekursiivisesti ensin se lapsisolmu, joka on kauimpana katsojasta Tämän jälkeen piirretään tämän solmun kolme suoraa naapuria, sitten lähimmän solmun kolme suoraa naapuria, ja viimeisenä kaikkein lähin solmu Octree edestä taakse Valaistus ja sävytys Vaihtoehtoinen algoritmi octreen piirtämiseen on piirtää sen laatikot lähimmästä kauimpaan, ja pitää region quadtreellä kirjaa ruudulle projisoiduista octreen osista Aluksi ruudun quadtree on tyhjä, ja piirrettäessä ruutuun octreen laatikoiden projektioita siihen syntyy mustia alueita Octreen laatikkoa piirrettäessä riittää piirtää ainoastaan ne osat, jotka projisoituvat ruudun quadtreen valkoiselle alueelle tässä piirtämisessä ei tarvitse tehdä syvyysvertailuja itse octreen muiden osien kanssa, koska ne eivät mitenkään voi peittää piirrettävää laatikkoa jos laatikon projektio on kokonaan quadtreen mustalla alueella, rekursio katkeaa Tehtävä: on annettu avaruuden monikulmio ja sen pinnalta piste. Määritä, minkä värinen kyseinen piste on katselupaikasta nähtynä. On kehitetty useita eri valaistusmalleja, joilla pisteen väri voidaan laskea Periaatteessa valaistus pitäisi laskea jokaiselle pisteelle erikseen Sävytys on prosessi, jossa valaistusmallia käytetään yleensä vain muutamille pisteille ja loppujen värit interpoloidaan näistä ei välttämättä kovin realistista, mutta nopeampi laskea ja lopputulos yleensä hyvä Sävytyksen kannalta käytettävä valaistusmalli on musta laatikko, jolla saadaan laskettua valaistus joillekin pisteille Tekniikat ovat hyviksi havaittuja temppuja, joiden yhteydet fysiikkaan häilyviä
2 Ambientti valo Diffuusi heijastuminen Kaikkein yksinkertaisin valaistusmalli on ambientti valo, jossa pintojen ajatellaan hohkavan valoa ympäristöönsä, eivätkä ne heijasta muualta tulevaa valoa Valaistusyhtälö on I = k i, missä I on tulosintensiteetti ja k i hohkamisvoima Seuraava vaihtoehto on ajatella, että maailmassa on joka suunnasta tuleva yhtä voimakas taustavalo, jonka intensiteetti on I a Valaistusyhtälö on nyt I = I a k a, missä materiaalista riippuva kerroin k a määrittää, miten voimakkaasti kappale heijastaa taustavaloa Ambientin taustavalon ongelmana on tasalaatuisuus, esim. varjoon jäävien kappaleiden saama tarkalleen yhtä suuri valaistus korjauskeinona ambientin valon poistaminen ja pienen valonlähteen sijoittaminen silmään Seuraavaksi monimutkaisemmassa mallissa valonlähteet ovat pistemäisiä, ja kappaleet heijastavat niiden lähettämää valoa Jos valonlähde on riittävän kaukana, siitä saapuvilla säteillä voidaan käytännössä olettaa olevan sama suunta L Lambertin heijastusmalli: pinta heijastaa siihen tulevan valon tasaisesti joka suuntaan intensiteetillä, joka riippuu valonsäteen ja pinnan normaalin välisestä kulmasta Valaistusyhtälö on I = I p k d cos θ, missä I p on valonlähteen voimakkuus, k d kappaleen mattaheijastuskerroin ja θ valonsäteen ja pinnan normaalin kulma (0 θ 90) Jos N ja L normalisoituja, yhtälö on I = I p k d ( N L ) mikään katsojalle näkyvä osa maailmasta ei ole täysin varjossa Vaimeneva valo Depth cueing Edellä oletettiin, että valonlähteen kirkkaus on riippumaton sen etäisyydestä Näin ei todellisuudessa tietenkään ole, vaan valonlähteen valovoima heikkenee suhteessa etäisyyden neliöön valaistusyhtälöön lisäkerroin f att = c/d 2 Käytännössä tämä ei kuitenkaan toimi hyvin, sillä etäisyyden d ollessa suuri f att ei juurikaan muutu, ja etäisyyden d ollessa pieni f att muuttuu liian nopeasti Malli on fysikaalisesti oikea pistemäiselle valonlähteelle, mutta oikeat valonlähteet eivät ole pistemäisiä Esteettinen kompromissi yhtälöstä 1 f att = min( c 1 + c 2 d + c 3 d 2,1) Idea: ilmakehän väliaine himmeyttää ja siirtää näkyviä värejä sitä enemmän, mitä kauempana kappaleet ovat katsojasta pisteen näkyvä väri saadaan sekoittamalla sen alkuperäistä väriä ja ilmakehän väriä sopivassa suhteessa Määritellään etu- ja takataso, joihin liitetään kertoimet s f,s b [0, 1], loput kertoimet interpoloidaan näistä Kun pisteelle on laskettu väri I λ, lopullinen väri lasketaan yhtälöllä I λ = s 0 I λ +(1 s 0 )I dcλ missä kerroin s 0 määrää, paljonko lopulliseen väriin otetaan kappaleen omaa väriä I λ ja paljonko ilmakehän väriä I dcλ
3 Muita väliainemalleja Phong-heijastus Lineaarisen väliaineen sijasta voidaan käyttää eksponentiaalista vaimenemista, missä kerroin s 0 saadaan yhtälöstä s 0 = e (d fz p), missä d f on vaimenemiskerroin ja z p pisteen etäisyys silmästä kertoimet kannattaa laskea valmiiksi taulukkoon etäisyyden funktiona Pisteen etäisyytenä z p käytetään usein sen z-koordinaattia silmän ollessa origossa, mutta tämä toimii väärin, kun silmää pyöritetään paikallaan parempi tulos saadaan käyttämällä pisteen euklidista etäisyyttä silmästä Kehittynyt väliainemalli sallii sumulle eri tiheyden riippuen sen etäisyydestä maasta Spekulaari heijastus: epätäydellinen peilipinta heijastaa valoa eri suuntiin eri voimakkuudella Heijastuksen voimakkuus suurin säteen kimpoamissuuntaan R, ja heikkenee tästä poiketessa sitä voimakkaammin, mitä täydellisempi peilipinta kappaleella on täydellinen peilipinta heijastaisi valoa ainoastaan kimpoamissuuntaan R Epätäydellisen peilin spekulaaria heijastusta approksimoidaan Phongin valaistusmallilla Mallilla on yksi parametri n, ns. spekulaarin heijastuksen eksponentti n vaihtelee välillä ykkösestä useisiin satoihin mallinnettavan pinnan mukaan Täydelliselle peilille olisi n =+ 280 Olkoon α kulma, joka jää säteen kimpoamissuunnan R ja suuntavektorin V väliin, kun V vedetään valaistavasta pisteestä kohti katsojaa 281 Phongin mallissa heijastuksen heikkenemistä kuvataan kertoimella (cos α) n kun α = 0, kerroin on 1 Warnin valaistusmalli Todelliset valonlähteet eivät ole joka suuntaan yhtä voimakkaasti loistavia pisteitä Spekulaarisesti heijastuvan valon valaistusyhtälö on I = I p W(θ)(cos α) n missä θ on valonsäteen ja pinnan normaalin välinen kulma, ja W(θ) spekulaarisesti heijastuvan valon osuus kulmalla θ Yleensä esitetään W(θ) =k s, missä k s on sopivasti valittu vakio Warnin valaistusmallissa valonlähdettä mallinnetaan pistemäisellä valonlähteellä, jonka valo heijastuu ensin spekulaarisesti peilimäisen takaseinän kautta Olkoon L takaseinän normaalin suuntainen vektori valonlähteestä takaseinään, L vektori vedettynä valaistavasta pisteestä takaseinän heijastumispisteeseen, ja α näiden välinen kulma Pistemäisen valonlähteen intensiteetti I p korvataan kaavalla I p (cos α) p, missä p on takaseinän spekulaari eksponentti mitä pienempi p, sitä laajemmalle valo leviää takaseinästä (Lambertin diffuusi heijastus erikoistapauksena p = 0)
4 Sävytys Interpoloitu sävytys Kun käytössä on joukko valaistusmalleja, on päätettävä, mitä valaistusmallia missäkin pisteessä käytetään Kuten edellä todettiin, monikulmion jokaisen pisteen valaiseminen erikseen on turhan raskasta hyötyihin nähden Yksinkertaisin sävytysmalli on tasavalaistus Monikulmion jonkin yksittäisen pisteen valaistus lasketaan, ja tulosta käytetään monikulmion kaikille pisteille Haitta: tuottaa tarkat rajat vierekkäisten monikulmioiden välille huono asia silloin, jos monikulmioilla on tarkoitus mallintaa käyrää pintaa, jolloin valaistuksen pitäisi liukua pehmeämmin pinnalta toiselle Jos monikulmiot ovat kolmioita, yksi mahdollisuus on käyttää valaistusmallia monikulmion kärkiin, ja laskea sisäpisteiden valaistus interpolaatiolla kärkipisteistä Tekniikka on tehokas, mutta tuottaa silti selkeät rajat vierekkäisten monikulmioiden välille Edellisen parannettu versio Gouraud-sävytys: Toimii mielivaltaisille monikulmioille, ei pelkästään kolmioille Pehmentää rajan vierekkäisten monikulmioiden väliltä tilanteessa, jossa käyrää pintaa mallinnetaan monikulmioilla Gouraud-sävytys vaatii, että monikulmioiden kärkipisteille voidaan laskea pistenormaalit esimerkiksi kärjen jakavien monikulmioiden normaalien (painotettuna) keskiarvona Gouraud-sävytys Ensimmäinen askel on käyttää valaistusmallia monikulmioiden kärkipisteisiin käyttäen niille laskettuja pistenormaaleja Kun kärkipisteiden värit on laskettu, voidaan niitä yhdistävien reunaviivojen pisteiden värit helposti interpoloida kärkipisteistä Tämän jälkeen monikulmion sisäosa väritetään vaakarivi kerrallaan interpoloimalla pisteen väri vaakarivin leikkaamien reunaviivojen leikkauspisteiden väreistä Esimerkki: pisteen 4 väri interpoloidaan pisteiden 1 ja 2 väreistä, pisteen 5 pisteiden 1 ja 3 väreistä ja pisteen 6 pisteiden 4 ja 5 väreistä: Gouraud-sävytys on kätevä yhdistää monikulmion vaakarivitäyttöön Tekniikka sopii parhaiten mattapinnoille, sillä spekulaarit heijastukset katoavat käytännössä kokonaan
5 Phong-sävytys Toinen variaatio interpoloidusta sävytyksestä on Phong-sävytys, jossa interpoloidaan pisteen normaalia sen värin sijasta Esimerkki: värien sijasta interpoloidaan pisteiden normaalivektoreita: Normaalivektori Kuten Gouraud-sävytyksessä, normaali interpoloidaan ensin reunaviivoille, ja sitten sisäpisteille Kunkin sisäpisteen väri lasketaan käyttämällä pisteille valaistusmallia niiden interpoloiduilla normaaleilla Normaalivektori kallista, kun ainoa säästö tulee sisäpisteiden normaalien laskemisessa Tekniikan etu on, että spekulaarit heijastukset toistuvat tarkkoina käytettäessä spekulaaria valaistusmallia, ja pisteiden värit tulevat oikeampina kuin Gouraud-sävytyksessä Normaalivektori Eri asia kuin Phong-heijastus, tekniikoita käytetään toisistaan riippumatta Yhdistetty Gouraud ja Phong Interpoloidun sävytyksen heikkoudet Koska monikulmioista koostuvassa kappaleessa on yleensä vain pari kirkasta spekulaaria heijastusta, maailman kaikkien monikulmioiden Phong-sävytys on tarpeetonta ja tehotonta Parempi ratkaisu on tehdä kaikille monikulmioille Gouraud-sävytys, ja yhdistää tähän Phong-sävytys niille monikulmioille, joilla on näkyvä spekulaari heijastuma Gouraud tehdään pohjaksi, jotta vierekkäisten monikulmioiden reunaviiva olisi pehmeä Viisivaiheinen ns. H-testi (highlight test) tutkii, onko monikulmiossa spekulaari heijastuma testin on tutkittava paitsi kulmapisteet, myös heijastumat monikulmion reunojen matkalla Interpoloitu sävytys ei vaikuta mitenkään monikulmioilla mallinnettavan käyrän kappaleen kulmikkaaseen siluettiin Tulos riippuu monikulmion suunnasta, jos monikulmiot eivät ole kolmioita Interpolaatio ei ota huomioon perspektiiviä: samanmittaiset matkat piirretyssä segmentissä eivät ole todellisuudessa yhtä pitkät, mutta tämä ei vaikuta interpolaatioon Jos kärkipisteiden pistenormaalit lasketaan ottamalla keskiarvo kärkipisteen jakavien monikulmioiden normaaleista, on mahdollista, että jokainen pistenormaali on yhdensuuntainen, vaikka monikulmioiden normaalit eivät ole, ja kaikista monikulmioista tulee yksivärisiä Demo
6 Sävytyksen nopeutustekniikoita Tekstuurikuvaus Vektori kappaleiden pisteistä silmään voidaan kuvitella vakioksi [0, 0, 1], jolloin sitä ei tarvitse laskea jatkuvasti uudelleen spekulaarit heijastukset siirtyvät vähän, joskin syntyy häiritsevä koko monikulmion kattava välähdys monikulmion heijastusvektorin osoittaessa suoraan silmää kohti Monikulmioiden normaalivektorit kannattaa esittää valmiiksi normalisoituina Jos valonlähteet eivät liiku kappaleisiin nähden, kannattaa kappaleiden kulmapisteiden värit laskea valmiiksi Phong-sävytyksestä on olemassa likimääräinen versio, joka tuottaa lähes yhtä hyvän lopputuloksen huomattavasti nopeammin kuin tarkka Phong-sävytys Monikulmioiden ei yleensä haluta olevan yksiväristä muovia Tekstuurikuvauksessa monikulmiolle kuvataan pintakuviointia esittävä tekselikartta, jonka avulla määritellään yksittäisen pisteen perusväri itse asiassa kuvaus tapahtuu monikulmion pisteistä takaisin tekstuurikartalle Tekstuurikuvaus on suhteellisen helppo tehdä tasopinnoille, mutta hankalampi pallo-, kartio- tms. käyrille pinnoille Tekstuurikartasta luetaan yleensä pisteen väri, mutta mahdollisesti myös läpinäkyvyys, heijastavuus... Samaan pikseliin saattaa osua osia useasta tekselistä, jopa äärettömän monesta Lineaarinen interpolointi Tekstuurikuvaus perspektiivissä Yksinkertaisin tapa suorittaa monikulmion tekstuurikuvaus Monikulmion kulmapisteisiin p i liitetään tekstuurikartan koordinaatit (u i,v i ), joista kulmapisteiden värit otetaan suoraan Monikulmion reuna- ja sisäpisteitä vastaavat tekstuurikoordinaatit interpoloidaan kulmapisteistä kuten Gouraud-sävytyksessä Menetelmä ei tuota oikeaa tulosta perspektiiviprojektiossa, paitsi jos monikulmio on sattumalta juuri projektiotason suuntainen tekstuurikuvauksen vääristynyt perspektiivi erottuu erityisesti shakkilauta-, raita- ja muissa säännöllisissä tekstuureissa Olkoon p i p j segmentti, jossa piste p i on syvyydellä z i ja p j syvyydellä z j Lineaarisen interpoloinnin ongelmana on, että segmentin perspektiiviprojektion sisäpisteen syvyys ei ole päätepisteiden syvyyksien z i ja z j lineaarinen interpolaatio projektiossa Sen sijaan projektion sisäpisteen syvyyden z käänteisluku on syvyyksien z i ja z j käänteislukujen lineaarinen interpolaatio Projektion sisäpisteen tekstuurikoordinaatin u laskemiseksi interpoloidaan päätepisteiden syvyyksillä jaetut tekstuurikoordinaatit u i /z i ja u j /z j, ja lopputulos kerrotaan sisäpisteen äsken lasketulla syvyydellä z Koordinaatti v lasketaan analogisesti interpoloimalla koordinaatteja v i /z i ja v j /z j
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotT-111.1100 Johdatus Tietoliikenteeseen ja Multimediaan
T-111.1100 Johdatus Tietoliikenteeseen ja Multimediaan Tietokonegrafiikka Timo Tossavainen Mediatekniikan laitos Timo.Tossavainen@tkk.fi T-111.1100 p. 1 Sisältö Rasterigrafiikka Grafiikan matematiikkaa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,
LisätiedotLuento 7: Lokaalit valaistusmallit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 7: Lokaalit valaistusmallit Lauri Savioja 11/07 Lokaalit valaistusmallit / 1 Sävytys Interpolointi Sisältö Lokaalit valaistusmallit / 2 1 Varjostustekniikat
LisätiedotMAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Lisätiedot2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö
2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
LisätiedotMS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3
MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 atkaisut Tehtävä Merkitään matriisin rivejä, 2 ja 3. Gaussin eliminoinnilla saadaan 3 5 4 7 3 5 4 7 3 2 4 2+ 0 3 0 6 6 8 4 3+2 2 0 3 0 6 3 5 4 7 0 3 0 6 3+
Lisätiedotmonissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.
.. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 1. Onko olemassa yhtenäistä verkkoa, jossa (a) jokaisen kärjen aste on 6, (b) jokaisen kärjen aste on 5, ja paperille piirrettynä sivut eivät
LisätiedotEsimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä
Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä (5.9.008 versio 1.0) Esimerkki 1 Määritä funktion f(x) = (x 5) derivaattafunktio. Funktio voidaan tulkita yhdistettynä funktiona, jonka ulko- ja sisäfunktiot ovat
LisätiedotSIS. Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä:
Magneettikentät 2 SISÄLTÖ: Ampèren laki Menetelmän valinta Vektoripotentiaali Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin
LisätiedotLuku 6: Grafiikka. 2D-grafiikka 3D-liukuhihna Epäsuora valaistus Laskostuminen Mobiililaitteet Sisätilat Ulkotilat
2D-grafiikka 3D-liukuhihna Epäsuora valaistus Laskostuminen Mobiililaitteet Sisätilat Ulkotilat 2D-piirto 2-ulotteisen grafiikan piirto perustuu yleensä valmiiden kuvien kopioimiseen näyttömuistiin (blitting)
Lisätiedot4A 4h. KIMMOKERROIN E
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 A h. KIMMOKERROIN E 1. TYÖN TAVOITE 2. TEORIAA Tässä työssä muista töistä poiketen tärkein tavoite on ymmärtää fysikaalisten suureiden keskinäistä riippuvuutta toisistaan
Lisätiedot10. Globaali valaistus
10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 8 Ke 13.4.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 8 Ke 13.4.2016 Timo Männikkö Luento 8 Rekursioyhtälöt Master-lause Lähin pistepari Ahne menetelmä Lyhin virittävä puu Kruskalin menetelmä Primin menetelmä Merkkitiedon tiivistäminen
Lisätiedot3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.
KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden
LisätiedotLuonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta
Simo K. Kivelä, 15.4.2003 Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Aksioomat Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla. Tarkastelun kohteena on
LisätiedotTietokonegrafiikka. Jyry Suvilehto T Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan kevät 2014
Tietokonegrafiikka Jyry Suvilehto T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan kevät 2014 1. Sovellusalueita 2. Rasterigrafiikkaa 3. Vektorigrafiikkaa 4. 3D-grafiikkaa 1. Säteenheitto
LisätiedotTILASTOLLINEN LAADUNVALVONTA
1 Aki Taanila TILASTOLLINEN LAADUNVALVONTA 31.10.2008 2 TILASTOLLINEN LAADUNVALVONTA Tasalaatuisuus on hyvä tavoite, jota ei yleensä voida täydellisesti saavuttaa: asiakaspalvelun laatu vaihtelee, vaikka
LisätiedotTekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi
2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään
LisätiedotEsimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68
Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8
LisätiedotAluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö
Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty
LisätiedotT-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka
Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Timo Tossavainen Mediatekniikan laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Timo.Tossavainen@tkk.fi 25.3.2011 Sisältö Historiaa
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että
Lisätiedot4 Vektorin komponenttiesitys
4 Vektorin komponenttiesits Edellä on laskettu vektoreita hteen, vähennett toisistaan ja kerrottu niitä reaaliluvuilla. Yhteenlaskulle käänteistä toimitusta sanotaan vektorin jakamiseksi komponentteihin.
LisätiedotKuntosaliharjoittelun kesto tunteina Kokonaishyöty Rajahyöty 0 0 5 1 5 10 2 15 8 3 23 6 4 29 4 5 33 -
Harjoitukset 1 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. Oheisessa taulukossa on esitettynä kuluttajan saama hyöty kuntosaliharjoittelun kestosta riippuen. a) Laske taulukon tyhjään
LisätiedotMatematiikan tukikurssi 3.4.
Matematiikan tukikurssi 3.4. Neliömuodot, Hessen matriisi, deiniittisyys, konveksisuus siinä tämän dokumentin aiheet. Neliömuodot ovat unktioita, jotka ovat muotoa T ( x) = x Ax, missä x = (x 1,, x n )
LisätiedotSähköstaattisen potentiaalin laskeminen
Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Potentiaalienegia on tuttu mekaniikan kussilta eikä se ole vieas akielämässäkään. Sen sijaan potentiaalin käsite koetaan usein vaikeaksi. On hyvä muistaa, että staattisissa
LisätiedotDynaamisen järjestelmän siirtofunktio
Dynaamisen järjestelmän siirtofunktio Nyt päästään soveltamaan matriisilaskentaa ja Laplace muunnosta. Tutkikaamme, miten lineaarista mallia voidaan käsitellä. Kuten edellä on jo nähty säätötekniikassa
LisätiedotLuento 6. June 1, 2015. Luento 6
June 1, 2015 Normaalimuodon pelissä on luontevaa ajatella, että pelaajat tekevät valintansa samanaikaisesti. Ekstensiivisen muodon peleissä pelin jonottaisella rakenteella on keskeinen merkitys. Aluksi
Lisätiedot2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava
. Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava Tulon nollasäännöstä näkee silloin tällöin omituisia sovellutuksia. Jotkut näet ajattelevat, että on olemassa myöskin tulon -sääntö tai tulon "mikä-tahansa"- sääntö.
Lisätiedot10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys
10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen
LisätiedotMerkintöjen tekeminen pohjakuvaan Libre Officella v.1.2
v.1.2 Tämän ohjeen avulla voit piirtää omia merkintöjäsi olemassa olevan pohjakuvan päälle. Ohje on tehty käyttäen LibreOfficen versiota 5.0, mutta se toimii melko hyvin myös vanhempien versioiden kanssa.
Lisätiedot(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.
Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva
Lisätiedot11.4. Rakenteellista käsittelyä tilavuusrenderöintialgoritmeissa
11.4. Rakenteellista käsittelyä tilavuusrenderöintialgoritmeissa Tilavuusdatan katseluprosessi on käsitteellisesti yksinkertaista. Se pitää sisällään tilavuuden kierron katselusuuntaan ja sitten säteen
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotLisää segmenttipuusta
Luku 24 Lisää segmenttipuusta Segmenttipuu on monipuolinen tietorakenne, joka mahdollistaa monenlaisten kyselyiden toteuttamisen tehokkaasti. Tähän mennessä olemme käyttäneet kuitenkin segmenttipuuta melko
LisätiedotSähköpostiohjeet. Tehokas ja huoleton sähköposti
Sähköpostiohjeet 1 Uuden PST tiedoston luominen sähköposteille... 3 Tärkeää!... 3 Tiedoston luominen... 3 Kansioiden luominen datatiedostoon... 5 Pikatoimintojen luominen... 8 Odottaa vastausta allekirjoitus...
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
LisätiedotMarjan makuisia koruja rautalangasta ja helmistä -Portfolio
Marjan makuisia koruja rautalangasta ja helmistä -Portfolio Saara Lohi 2007 Suunnittelu ja tavoitteet Suunnittelun lähtökohtana oli kuva pihlajanmarjoista pajumatolla. Tavoitteena on suunnitella ja toteuttaa
Lisätiedot4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4
4 Kertausosa. a) (, ) ja (, 7) d 7 5 ( 4) 4 6,40... 6,4 b) ( 5, 8) ja (, 0) d 0 ( 8) ( 5) 8 4 40 8,49... 8,4. Koulun koordinaatit ovat (0, 0). Kodin koordinaatit ovat (,0;,0). Kodin ja koulun etäisyys
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotTaso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio
Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso
LisätiedotKenguru 2006 sivu 1 Benjamin 6. ja 7. luokka ratkaisut
Kenguru 2006 sivu 1 3:n pisteen tehtävät 1. 3 2006 = 2005 + 2007 +?. Valitse sopiva luku?-merkin paikalle. A) 2005 B) 2006 C) 2007 D) 2008 E) 2009 2. Viereisiin kortteihin on kirjoitettu kuusi lukua. Mikä
LisätiedotValtteri Lindholm (Helsingin Yliopisto) Horisonttiongelma 21.11.2013 1 / 9
: Valtteri Lindholm (Helsingin Yliopisto) Horisonttiongelma 21.11.2013 1 / 9 Horisonttiongelma Valtteri Lindholm Helsingin Yliopisto Teoreettisen fysiikan syventävien opintojen seminaari Valtteri Lindholm
Lisätiedot30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.
RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20
Lisätiedot5. www-kierroksen mallit
5. www-kierroksen mallit Tehtävä 1 Ratkaistaan tasapainopiste merkitsemällä kysyntä- ja tarjontakäyrät yhtäsuuriksi: 3 4 q+20=q+6 q=8 ja sijoittamalla p=14. Kuluttajan ja tuottajan ylijäämä voidaan ratkaista
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotHuomaa, että 0 kitkakerroin 1. Aika harvoin kitka on tasan 0. Koska kitkakerroin 1, niin
Kun alat vetää jotain esinettä pitkin alustaa, huomaat, että tarvitaan tietty nollaa suurempi voima ennen kuin mainittu esine lähtee edes liikkeelle. Yleensä on vielä niin, että liikkeelle lähteminen vaatii
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotRiemannin pintojen visualisoinnista
Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)
LisätiedotARVIOINTIPERIAATTEET
PSYKOLOGIAN YHTEISVALINNAN VALINTAKOE 2012 ARVIOINTIPERIAATTEET Copyright Helsingin yliopisto, käyttäytymistieteiden laitos, Materiaalin luvaton kopiointi kielletty. TEHTÄVÄ 1. (max. 34.5 pistettä) 1 a.i)
LisätiedotLukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
Calculus Lukion MAA Polynomifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotAlgebra 2, Harjoitustyö 1
Algebra 2, Harjoitustyö 1 Lasse Rautiainen, 131996 Joensuun yliopisto, Matematiikka 3. joulukuuta 23 Tehtävä Tarkastellaan käyrää. Valonsäteet tulevat positiivisen y-akselin suunnasta ja heijastuvat käyrästä.
LisätiedotS-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö
S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2
LisätiedotRatkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014. 1. Kuvassa on esitetty erään ravintolan lounasbuffetin kysyntäfunktio.
Harjoitukset 2 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. Kuvassa on esitetty erään ravintolan lounasbuffetin kysyntäfunktio. a) Mikä on kysynnän hintajousto 12 :n ja 6 :n välillä?
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
Lisätiedotdx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.
BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 1 Ti 6.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 1/28 p. 1/28 Numeriikan termejä Simulointi: Reaalimaailman ilmiöiden jäljitteleminen (yleensä)
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I
Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8..5 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotLauri Tarkkonen: Kappa kerroin ja rinnakkaisten arvioitsijoiden yhdenmukaisuus
Lauri Tarkkonen: Kappa kerroin ja rinnakkaisten arvioitsijoiden yhdenmukaisuus Tässä rajoitutaan tarkastelemaan kahden arvioitsijan tapausta, Olettakaamme, että n havaintoa on arvioitu kahden arvioitsijan
LisätiedotWindows Live SkyDrive - esittely
Windows Live SkyDrive - esittely Microsoftin SkyDrive on pilvipohjainen tiedostojen säilytys- ja jakopalvelu. SkyDrive tarjoaa 25 Gb ilmaista säilytystilaa tiedostoille ja valokuville. Voit käyttää SkyDriven
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotYksinkertaistaminen normaalitekstuureiksi
TEKNILLINEN KORKEAKOULU 30.4.2003 Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Tik-111.500 Tietokonegrafiikan seminaari Kevät 2003: Reaaliaikainen 3D grafiikka Yksinkertaistaminen normaalitekstuureiksi
LisätiedotPerusopetuksen aamu- ja iltapäivätoiminnan laadun arviointi 2016 Västankvarns skola/ Tukiyhdistys Almus ry.
Perusopetuksen aamu- ja iltapäivätoiminnan laadun arviointi 06 Västankvarns skola/ toteutti perusopetuksen aamu- ja iltapäivätoiminnan seurantakyselyn lapsille ja huoltajille huhtikuussa 06. Vuoden 06
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
Lisätiedotkenelle: viite: Hei! Ohessa materiaalia aurinkoon, aikaan ja varjolaskentaan liittyen. 19. maaliskuuta 2007 prof. tuotantoautomaatio Tiedoksi:
Jarmo T. Alander Vaasan yliopisto. maaliskuuta 0 ähkötekniikan ja tuotantotalouden laitos PL 00 puh. 3--32 Vaasa telefax 3--32 www URL: http://www.uwasa.fi/ jal http://www.uwasa.fi/ TAU e-mail Jarmo.Alander@uwasa.
LisätiedotKäyttöjärjestelmät: Virtuaalimuisti
Käyttöjärjestelmät: Virtuaalimuisti Teemu Saarelainen Tietotekniikka teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet Stallings, W. Operating Systems Haikala, Järvinen, Käyttöjärjestelmät Eri Web-lähteet Muistinhallinta
LisätiedotAlgoritmit ja tietorakenteet Copyright Hannu Laine. 1, kun n= 0. n*(n-1)!, kun n>0;
1 Rekursio Rekursion periaate ja rekursio määrittelyvälineenä Rekursiota käytetään tietotekniikassa ja matematiikassa erilaisiin tarkoituksiin. Eräänä käyttöalueena on asioiden määrittely. Esimerkkinä
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf
LisätiedotSyvyyshavainto. Avaruudellinen hahmottaminen. Markku Kilpeläinen. 1. Monokulaariset vihjeet
Syvyyshavainto Avaruudellinen hahmottaminen 1. Monokulaariset vihjeet Suhteellinen koko Lineaariperspektiivi Textuurin tihentyminen (gradientti) Markku Kilpeläinen Käyttäytymistieteiden laitos, Helsingin
LisätiedotLuento 6: Geometrinen mallinnus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja, Janne Kontkanen 11/2007 Geometrinen mallinnus / 1 Sisältö Mitä on geometrinen mallinnus tietokonegrafiikassa
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
Lisätiedot11. Tilavuusrenderöinti
11. Tilavuusrenderöinti Tilavuusrenderöinti tarkoittaa vokseliperusteisen datan käsittelyä tai visualisointia. Luvussa 2 esitettiin vokselien merkintään perustuvia tiedonesitysmenetelmiä. Suuret homogeeniset
LisätiedotSuorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
LisätiedotKEMA221 2009 KEMIALLINEN TASAPAINO ATKINS LUKU 7
KEMIALLINEN TASAPAINO Määritelmiä Kemiallinen reaktio A B pyrkii kohti tasapainoa. Yleisessä tapauksessa saavutetaan tasapainoa vastaava reaktioseos, jossa on läsnä sekä lähtöaineita että tuotteita: A
LisätiedotKenguru Cadet (8. ja 9. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6
Kenguru Cadet (8. ja 9. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 3 pisteen tehtävät 1) Kuinka monta erillistä nauhaa kuvassa on? 3 avonaista ja yksi umpinainen A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2) Luokassa on 9 poikaa ja 13
LisätiedotFysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet Työ, energia ja energian säilyminen Antti Haarto 0.09.0 Voiman tekemä työ Voiman F tekemä työ W määritellään kuljetun matkan s ja matkan suuntaisen voiman komponentin tulona. Yksikkö:
LisätiedotDerivaatta, interpolointi, L6
, interpolointi, L6 1 Wikipeia: (http://fi.wikipeia.org/wiki/ ) Etälukio: (http://193.166.43.18/etalukio/ pitka_matematiikka/kurssi7/maa7_teoria10.html ) Maths online: (http://www.univie.ac.at/future.meia/
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotTekninen työ. Aihepiirityöskentely: PUUSALKKU. Helsingin Yliopisto Opettajankoulutuslaitos kevät 1991 Jukka-Pekka Kajander
Tekninen työ Aihepiirityöskentely: PUUSALKKU Helsingin Yliopisto Opettajankoulutuslaitos kevät 1991 Jukka-Pekka Kajander 1. Motivointi Välineet: Kuvia erilaisista salkuista (myös muista kuin puusalkuista)
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)
Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b
Lisätiedot1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011
1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan
LisätiedotString-vertailusta ja Scannerin käytöstä (1/2) String-vertailusta ja Scannerin käytöstä (2/2) Luentoesimerkki 4.1
String-vertailusta ja Scannerin käytöstä (1/2) Vertailuja tehdessä törmätään usein tilanteeseen, jossa merkkijonoa (esimerkiksi merkkijonomuuttujaa) pitää vertailla toiseen merkkijonoon. Tällöin tavanomainen
LisätiedotLABYRINTTI VOHVELI- KANKAALLE. Idapankki opettajalle Tekijät: Juha-Joel, Reeta ja Tuulia Itä-Suomen yliopisto, Joensuun kampus
LABYRINTTI VOHVELI- KANKAALLE Idapankki opettajalle Tekijät: Juha-Joel, Reeta ja Tuulia Itä-Suomen yliopisto, Joensuun kampus Labyrintti vohvelikankaalle -idea Ideana on tuottaa vohvelikankaasta leipäkoriliina
LisätiedotEpäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c.
Epäyhtälö Kahden lausekkeen A ja B välisiä järjestysrelaatioita A < B, A B, A > B ja A B nimitetään epäyhtälöiksi. Esimerkiksi 2 < 6, 9 10, 5 > a + + 2 ja ( + 1) 2 2 + 2 ovat epäyhtälöitä. Epäyhtälössä
LisätiedotHyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Tekniikan kieli on matematiikka. Matematiikka tarjoaa perustan tekniikan opiskelulle ja soveltamiselle
Lisätiedot