T Johdatus Tietoliikenteeseen ja Multimediaan
|
|
- Mauno Heikkilä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 T Johdatus Tietoliikenteeseen ja Multimediaan Tietokonegrafiikka Timo Tossavainen Mediatekniikan laitos T p. 1
2 Sisältö Rasterigrafiikka Grafiikan matematiikkaa Vektorigrafiikkaa Mallintaminen Sävytys Animaatio Virtuaalimaailmat Tutkimus Grafiikan kurssit T p. 2
3 Rasterigrafiikka Digitaaliset kuvat koostuvat pikseleistä hilalla, rasterilla Pikselillä voi olla väri Tyypillinen esitys muistissa Pikselin värikomponentit peräkkäin muistissa Kuva taulukkona pikseleiden värejä Näytönohjain näyttää taulukon sisällön kuvaruudulla. T p. 3
4 PutPixel, GetPixel Pikselin värin muuttaminen. Kirjoitetaan väri taulukkoon. PUTPIXEL(x,y,c) Image[x][y] c. Pikselin värin lukeminen. Luetaan väri taulukosta. GETPIXEL(x,y) return Image[x][y]. Monimutkaisemmat piirto-operaatiot rakentuvat näiden päälle. T p. 4
5 Bresenhamin jananpiirto Liikutaan sitä koordinaattiakselia pitkin, jolla jana on pidempi, ja väritetään rivin tai sarakkeen pikseli joka on janaa lähimpänä. Algoritmissa nerokas tapa laskea seuraava lähin piste edellisestä ilman kertolaskuja ja pyöristysvirheitä. y x x y (y 0 x x 0 y) = 0 ( y, x) e (x 1,y 1 ) y (x 0,y 0 ) x T p. 5
6 Alueen värittäminen Värjättävä jokin alue uudella värillä Väri tai reunan väri määrittelee alueen x Rekursiivinen algoritmi: Jos alkupikseli ei ole reunaa tai uuden värin värinen, väritä pikseli ja yritä täyttää alue alkupikselin naapureista. T p. 6
7 Monikulmion täyttäminen Etene ylhäältä alas, laske jokaisella vaakarivillä monikulmion ja vaakarivin leikkaukset ja täytä joka toinen leikkausten väli. T p. 7
8 Rasterigrafiikan ongelmia Ohjelman toiminta eri näytöillä Muistin tarve, tehokkuus Kuvan siirtäminen vaatii jokaisen pikselin kopiointia Kuvan skaalaaminen ja kiertäminen laskennallisesti raskaita T p. 8
9 Vektorigrafiikkaa Kuvataan piirrettävä kuva äärettömän tarkkojen matemaattisten primitiivien avulla Piirretään l. renderoidaan kuva halutun resoluution rasterille Kuvan osia voidaan muokata toisistaan riippumatta. Tarvitaan laskennallisesti tehokkaita objekteja. Objektin siirtäminen, skaalaus, kierto Leikkaukset, etäisyydet T p. 9
10 Muunnokset Siirtojen, kiertojen ja skaalausten yhdisteet ovat ns. affiineja muunnoksia, jotka voidaan esittää matriiseilla, kun koordinaattivektoreiden loppuun lisätään 1. Esimerkki: Siirto tasolla eli 2D:ssä: 1 0 x x x + x 0 1 y y = y + y Kuvausten yhdiste = matriisikertolasku. Käänteismatriisi = käänteiskuvauksen matriisi. T p. 10
11 Muunnokset Käyttämällä homogeenisia koordinaatteja, esim. 2D (x,y, 1) on sama piste kuin kaikki (wx,wy,w), w 0, voidaan esittää yleisillä matriiseilla ns. projektiiviset kuvaukset, kuten perspektiiviprojektio. Esimerkiksi (x,y,z) (x/z,y/z) x y z = w x y z x/z y/z 1 T p. 11
12 Geometriset primitiivit Suora, puolisuora, jana Hypertaso Pallo, ellipsoidi Kolmio, monikulmio Muunnokset nopeita laskea Primitiivit säilyvät muunnoksissa suora suora kolmio kolmio hypertaso hypertaso kartioleikkaus kartioleikkaus T p. 12
13 Resoluutioriippumattomuus Mallinnetaan piirros aiemmin käsitellyillä matemaattisilla primitiiveillä Piirretään primitiivit rasterille (rasterointi). Muunnokset: Voidaan tuottaa kuva piirroksesta eri asennoissa, eri mittakaavoissa ja eri resoluutioilla. V 1 V 8 V 2 V 3 V 6 V 7 V 4 V 5 T p. 13
14 Rasterointi Piirretään approksimaatio geometrisesta primitiivistä. P C r Q T p. 14
15 Ikkuna, näyttöalue Piirrosta katsellaan ikkunan (window) läpi Ikkunasta näkyvä osuus piirretään näyttöalueeseen (viewport) T p. 15
16 Leikkaaminen Rasterista ulos jääviä primitiivejä ei voida piirtää Leikataan primitiivit näyttöalueen sisälle, piirretään tulos Leikkausalgoritmeja: Cohen-Sutherland (janat), Sutherland-Hodgman (monikulmiot). T p. 16
17 3D-vektorigrafiikka Suorat, kolmiot ja monikulmiot säilyvät perspektiiviprojektiossa n projektio P katsoja projektion keskus u ikkuna katselutaso projektiotaso projektori T p. 17
18 Mallintaminen Objektien pintageometria mallinnetaan tyypillisesti kolmioilla. Projisoidaan kärkipisteet ja piirretään kolmiot. T p. 18
19 Näkyvyys Myöhemmin piirretyt peittävät aiemmin piirretyt. Kuution piirto sivu kerrallaan voi tuottaa ao. tulokset. T p. 19
20 Näkyvyys - maalarin algoritmi Piirretään monikulmiot takaa eteen. Oh wait. T p. 20
21 Näkyvyys - säteenheitto T p. 21
22 Näkyvyys - syvyyspuskuri Pidetään kirjaa etäisyydestä, jolla viimeksi piirretty pinnan piste on. Piirretään uusi pinnan piste, jos se on lähempänä Kuva yläpuolelta, katsoja alhaalla. T p. 22
23 Sävytys Pinnalta havaitun värin muodostaminen (shading). T p. 23
24 Ohjelmoitava sävytys Liitetään mallin kulmapisteisiin tietoa, joka interpoloidaan kolmioiden yli. Sävytysfunktio laskee pinnan värin vakioista ja interpoloidusta tiedosta. Esimerkiksi Valonlähteiden paikat ja tyypit Materiaalin valaistusominaisuudet Tekstuurit ja tekstuurikoordinaatit Pinnan hienorakenne (kuhmut) Joskus kuva muodostetaan useiden piirtokertojen avulla (esim. varjot). T p. 24
25 Volumetrinen sumu T p. 25
26 Paikallinen valaistus - Phong Taustavalo (ambient) Hajaheijastuva valo (diffuse), mattapinnat Peiliheijastuva valo (specular), kiiltävät pinnat x θ l n r θ θ θ α e x cos θ T p. 26
27 Varjot T p. 27
28 Varjot (2) T p. 28
29 Globaali valaistus - säteenseuranta Lähetetään säde silmästä pinnan pisteeseen, seurataan heijastuvaa sädettä ja kerätään valo pinnan pisteistä. T p. 29
30 Animaatio Muutetaan piirrettävän maailman tilaa suhteessa aikaan. Piirretään kuvia tietyillä ajanhetkillä. Pieni muutos kuvien välillä saa aikaan liikehavainnon. Reaaliaikainen 20+ kuvaa/s. Ongelman monimutkaisuuden takia tarvitaan työkaluja helpottamaan animaation määrittelyä. Liikkeet voivat olla suunniteltuja tai pohjautua fysiikkaan tai interaktioon. T p. 30
31 Käänteiskinematiikka Artikuloidun rakenteen liikkeen laskeminen tavoitteiden perusteella. T p. 31
32 Virtuaalimaailmat Törmäykset, fysiikka, interaktio T p. 32
33 Tutkimus Kuvapohjainen mallinnus ja renderointi T p. 33
34 Tutkimus (2) T p. 34
35 Kurssit Vuorovaikutteisen tietokonegrafiikan perusteet Vuorovaikutteisen tietokonegrafiikan jatkokurssi 3D-tuotanto Tietokoneanimaatio Tietokonegrafiikan seminaari Keinotodellisuus Erikoiskurssit/tutkimusseminaarit T p. 35
36 Kysymyksiä? Seuraava luento: Keino- ja lisätty todellisuus. T p. 36
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka
Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Timo Tossavainen Mediatekniikan laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Timo.Tossavainen@tkk.fi 25.3.2011 Sisältö Historiaa
LisätiedotTietokonegrafiikka. Jyry Suvilehto T Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan kevät 2014
Tietokonegrafiikka Jyry Suvilehto T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan kevät 2014 1. Sovellusalueita 2. Rasterigrafiikkaa 3. Vektorigrafiikkaa 4. 3D-grafiikkaa 1. Säteenheitto
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
LisätiedotOctreen piirtäminen. Huomioita portaalitekniikasta. Octree edestä taakse. Valaistus ja sävytys
Huomioita portaalitekniikasta Octreen piirtäminen Näkyvän maailman piirtäminen portaalitekniikalla on itse asiassa hyvin samanlainen idea kuin aiemmin nähty maalarin algoritmi BSP-puilla maailman sallitun
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotLuku 6: Grafiikka. 2D-grafiikka 3D-liukuhihna Epäsuora valaistus Laskostuminen Mobiililaitteet Sisätilat Ulkotilat
2D-grafiikka 3D-liukuhihna Epäsuora valaistus Laskostuminen Mobiililaitteet Sisätilat Ulkotilat 2D-piirto 2-ulotteisen grafiikan piirto perustuu yleensä valmiiden kuvien kopioimiseen näyttömuistiin (blitting)
LisätiedotLuento 6: Tulostusprimitiivien toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 ntialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Sisältö Primitiivien toteutus
LisätiedotT Tietotekniikan peruskurssi: Tietokonegrafiikka. Tassu Takala TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio
T-106.1041 Tietotekniikan peruskurssi: Tassu Takala TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Luennon aiheita (1) mitä on tietokonegrafiikka? tietokone piirtää kuvia mikä on digitaalinen
Lisätiedot4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti)
4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti) Tutkitaan erilaisia renderöintimenetelmiä, joita käytetään luvuissa 2 ja 3 esitettyjen kuvien esitysmuotojen visualisointiin. Seuraavassa selvitetään: (1)
LisätiedotTilanhallintatekniikat
Tilanhallintatekniikat 3D grafiikkamoottoreissa Moottori on projektin osa joka vastaa tiettyjen toiminnallisuuksien hallinnasta hallitsee kaikki vastuualueen datat suorittaa kaikki tehtäväalueen toiminnot
LisätiedotLuento 2: 2D Katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 2: 2D Katselu Lauri Savioja 11/07 2D katselu / 1 Sisältö Ikkuna ja näyttöalue Viivanleikkaus ikkunaan Monikulmion leikkaus ikkunaan Tekstin leikkaus
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotLuento 7: Lokaalit valaistusmallit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 7: Lokaalit valaistusmallit Lauri Savioja 11/07 Lokaalit valaistusmallit / 1 Sävytys Interpolointi Sisältö Lokaalit valaistusmallit / 2 1 Varjostustekniikat
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotLuento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 2 Stereokuvan laskeminen 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Aiheet Stereokuvan laskeminen stereokuvan piirto synteettisen stereokuvaparin tuottaminen laskemalla stereoelokuva kollineaarisuusyhtälöt
Lisätiedot3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.
KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedot5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot
5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin
LisätiedotLuento 2: Viivan toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Viivan toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 GRAAFISTEN PRIMITIIVIEN TOTEUTUS HUOM! Oletuksena on XY-koordinaatisto Suorien viivojen
LisätiedotLuento 2: Tulostusprimitiivit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Tulostusprimitiivit Lauri Savioja 11/06 D primitiivit / 1 Sisältö Mallintamisen alkeita Perusprimitiivit (GKS) attribuutteineen Näyttömuisti D primitiivit
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotLuento 6: Piilopinnat ja Näkyvyys
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Piilopinnat ja Näkyvyys Janne Kontkanen Geometrinen mallinnus / 1 Johdanto Piilopintojen poisto-ongelma Syntyy kuvattaessa 3-ulotteista maailmaa 2-ulotteisella
LisätiedotT-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan: Tietokonegrafiikka. Tassu Takala. Mediatekniikan laitos 23.3.2012
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan: Tassu Takala Mediatekniikan laitos Luennon aiheita (1) Mitä on tietokonegrafiikka? tietokone piirtää kuvia Mikä on digitaalinen kuva? rasterikuva
LisätiedotVektorimatematiikkaa Pisteet ja vektorit
Geometriaa Vektorimatematiikkaa Pisteet ja vektorit Käytössä vektoriavaruus R 3 Merkitsemme pistettä p = x y z voidaan tilanteen mukaan esittää sekä pysty- että vaakavektorina (1 3 tai 3 1-matriisina)
LisätiedotLuento 10: Näkyvyystarkastelut ja varjot. Sisältö
Tietokonegrafiikka / perusteet T-111.300/301 4 ov / 2 ov Luento 10: Näkyvyystarkastelut ja varjot Marko Myllymaa / Lauri Savioja 10/04 Näkyvyystarkastelut ja varjot / 1 Näkyvyystarkastelu Solurenderöinti
LisätiedotTIES471 Reaaliaikainen renderöinti
TIES471 Reaaliaikainen renderöinti Laskuharjoitus 1 Lataa kirja 3D Math Primer for Graphics and Game development https://tfetimes.com/wp-content/uploads/2015/04/f.dunn-i.parberry-3d-math-primer-for-graphics-and-game-development.pdf
LisätiedotSisältö. Luento 1: Transformaatiot (2D) 1. Koordinaattimuunnokset. Muunnokset (jatkuu) 2. Perustransformaatiot. Perustransformaatiot (jatkuu)
Sisältö ietokonegrafiikka / perusteet Ako/-.3/3 4 ov / 2 ov Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia Luento : ransformaatiot (2D) Marko Mllmaa 6/4 2D
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotT-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Tapio Takala / Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Mediatekniikan laitos T-110.1110 / 1 Oppimistavoitteet Tietokonegrafiikan
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
Lisätiedot11.4. Rakenteellista käsittelyä tilavuusrenderöintialgoritmeissa
11.4. Rakenteellista käsittelyä tilavuusrenderöintialgoritmeissa Tilavuusdatan katseluprosessi on käsitteellisesti yksinkertaista. Se pitää sisällään tilavuuden kierron katselusuuntaan ja sitten säteen
LisätiedotTapio Takala / Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Tapio Takala / Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio T-110.1100
LisätiedotTOMI LAMMINSAARI 3D-MAAILMAN KAMERAN OHJAAMINEN KASVOJEN PAIKANNUKSEN AVULLA. Diplomityö
TOMI LAMMINSAARI 3D-MAAILMAN KAMERAN OHJAAMINEN KASVOJEN PAIKANNUKSEN AVULLA Diplomityö Tarkastaja: Tommi Mikkonen Aihe, tarkastaja ja kieli hyväksytty Tieto- ja sähkötekniikan tiedekunnan tiedekuntaneuvoston
LisätiedotSisällys. T-111.4300 Tietokonegrafiikan perusteet. OpenGL-ohjelmointi 11/2007. Mikä on OpenGL?
T-111.4300 Tietokonegrafiikan perusteet OpenGL-ohjelmointi 11/2007 Sisällys Mikä on OpenGL? historia nykytilanne OpenGL:n toiminta Piirtäminen ja matriisit Muuta hyödyllistä kameran sijoittaminen valaistus
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotLuento 3: 2D Katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 3: 2D Katselu Lauri Savioja 11/06 2D katselu / 1 Sisältö Ikkuna ja näyttöalue Viivanleikkaus ikkunaan Monikulmion leikkaus ikkunaan Tekstin leikkaus
LisätiedotOppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotGrafiikka 205. Tässä luvussa käsitellään geometriaa ja graafisia kohteita. Mukana on pääosin alkeisoperaatioita.
Grafiikka 205 9 Grafiikka Tässä luvussa käsitellään geometriaa ja graafisia kohteita. Mukana on pääosin alkeisoperaatioita. 9.1 Kolmio Seuraavana tutkimme kolmiota: Minkä tahansa kolmion ala saadaan kaavasta:
Lisätiedot2.2. Kohteiden konstruktiivinen avaruusgeometrinen esitys
.. Kohteiden konstruktiivinen avaruusgeometrinen esitys Avaruusgeometrinen esitys on käyttäjäriippuvainen ja vaati erikoismenetelmiä tai lopuksi konversion monikulmiomalliksi. Se on korkean tason esitys
LisätiedotLuento 3: Tulostusprimitiivien toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 3: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 11/05 Primitiivien toteutus / 1 Suora ja ympyrä Antialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Sisältö
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
LisätiedotObjektien deformaatiot
T-111.450 Tietokoneanimaatio ja mallintaminen Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio 03/02 Animaatio / 1 Objektien deformaatiot Perinteisessä animaatiossa
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
LisätiedotVisualisointi informaatioverkostojen Opintoneuvoja Teemu Meronen (päivitys Janne Käen visualisoinnin pohjalta)
Visualisointi informaatioverkostojen opinto-oppaasta 2008-2009 Opintoneuvoja Teemu Meronen 29.10.2008 (päivitys Janne Käen visualisoinnin pohjalta) Diplomi-insinöörin tutkinto (DI, 120 op) Diplomityö (30
LisätiedotEsityksen sisältö. Peruskäsitteitä. 3D Grafiikka tietokonepeleissä. Piirto- ja taustapuskuri
Esityksen sisältö 3D Grafiikka tietokonepeleissä Peruskäsitteitä Korkean tason rakenne Piirron alkeisobjektit Tekstuurit Valotus Laitteistopiirtoliukuhihna Yhteenveto Peruskäsitteitä Piirto- ja taustapuskuri
LisätiedotKolme erikoismuunnosta. Muunnosten yhdistely. 3D-muunnokset. Koordinaatiston siirto
Kolme erikoismuunnosta Muunnosten yhdistely Affiinimuunnos on ns. kiinteän kappaleen muunnos, jos sen muunnosmatriisi on r 11 r 12 t x r 21 r 22 t y 0 0 1 missä vasemman yläkulman 2 2-osamatriisi on ortogonaalinen:
Lisätiedot10. Globaali valaistus
10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedot10. Esitys ja kuvaus
10. Esitys ja kuvaus Kun kuva on ensin segmentoitu alueisiin edellisen luvun menetelmin, segmentoidut pikselit kootaan esittämään ja kuvaamaan kohteita muodossa, joka sopii hyvin jatkokäsittelyä varten.
LisätiedotPeilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla
Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla ALKUHARJOITUS Kynän ja paperin avulla peilaaminen koordinaatistossa a) Peilaa pisteen (0,0) suhteen koordinaatistossa sijaitseva - neliö, jonka
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotLuento 6: Geometrinen mallinnus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja 11/05 Geometrinen mallinnus / 1 Mitä on mallintaminen? Perusmenetelmät Mallihierarkiat Sisältö Geometrinen mallinnus
LisätiedotSisältö. Luento 6: Piilopinnat. Peruskäsitteet (jatkuu) Peruskäsitteitä. Yksinkertaisia tapauksia. Yksinkertaiset tapaukset jatkuu
Tietokonegrafiikka / perusteet T-111.300/301 4 ov / 2 ov Peruskäsitteitä Z-buffer Syvyyslajittelu Juovalajittelu Rekursiivinen aluejako Piiloviivat Sisältö Luento 6: Piilopinnat Marko Myllymaa 09/03 Piilopinnat
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =
3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )
Lisätiedot1. Lineaarialgebraa A := Matriisin osia voidaan muutella päivittämällä riviä, saraketta tai osamatriisia (Matlabmaisesti): B :=
27. elokuuta 202 2 27. elokuuta 202 www.math.hut/~apiola/maple/la.pdf. Lineaarialgebraa Maplen matriisi- ja vektorioperaatiot ovat kirjastopakkauksissa LinearAlgebra ja linalg. Keskitymme pääasiassa edelliseen,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotLuento 6: Geometrinen mallinnus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja, Janne Kontkanen 11/2007 Geometrinen mallinnus / 1 Sisältö Mitä on geometrinen mallinnus tietokonegrafiikassa
LisätiedotT Tietokonegrafiikan perusteet. OpenGL-ohjelmointi
T-111.4300 Tietokonegrafiikan perusteet OpenGL-ohjelmointi Id Softwaren huhtikuussa 2004 julkaisema Doom 3 -peli käyttää OpenGL-kirjastoa. Sisällys Mikä on OpenGL? historia nykytilanne OpenGL:n toiminta
LisätiedotLuento 3: Transformaatiot (2D)
ietokonegrafiikan perusteet -.43 3 op Luento 3: ransformaatiot (2D) Lauri Savioja /5 2D transformaatiot / Sisältö Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia
LisätiedotVisualisointi informaatio- verkostojen opinto-oppaasta Informaatioverkostojen kilta Athene ry Opintovastaava Janne Käki 19.9.
Visualisointi informaatio- verkostojen opinto-oppaasta 2005-2006 Informaatioverkostojen kilta Athene ry Opintovastaava Janne Käki 19.9.2006 Diplomi-insinöörin tutkinto (DI, 120 op) Diplomityö (30 op) Tieteen
LisätiedotT-110.250 Verkkomedian perusteet Tietokonegrafiikka
T-110.250 Verkkomedian perusteet Tietokonegrafiikka Tapio Takala / Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Verkkomedia / 1 Oppimistavoitteet Tietokonegrafiikan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotTasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotVisualisointi informaatio- verkostojen opinto-oppaasta Opintoneuvoja Teemu Meronen (päivitys Janne Käen visualisoinnin pohjalta)
Visualisointi informaatio- verkostojen opinto-oppaasta 2009-2010 Opintoneuvoja Teemu Meronen 10.9.2009 (päivitys Janne Käen visualisoinnin pohjalta) Diplomi-insinöörin tutkinto (DI, 120 op) Diplomityö
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotKokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
LisätiedotMS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3
MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 atkaisut Tehtävä Merkitään matriisin rivejä, 2 ja 3. Gaussin eliminoinnilla saadaan 3 5 4 7 3 5 4 7 3 2 4 2+ 0 3 0 6 6 8 4 3+2 2 0 3 0 6 3 5 4 7 0 3 0 6 3+
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotLuento 4: Näkyvyystarkastelut ja varjot
Tietokonegrafiikan jatkokurssi T-111.5300 4 op Luento 4: Näkyvyystarkastelut ja varjot Lauri Savioja 02/07 Näkyvyystarkastelut ja varjot / 1 Näkyvyystarkastelu Solurenderöinti Portaalirenderöinti Quad-/Octtree
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotLUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2
LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja
LisätiedotGimp 3. Polkutyökalu, vektori / rasteri, teksti, kierto, vääntö, perspektiivi, skaalaus (koon muuttaminen) jne.
Gimp 3. Polkutyökalu, vektori / rasteri, teksti, kierto, vääntö, perspektiivi, skaalaus (koon muuttaminen) jne. Moni ammatikseen tietokoneella piirtävä henkilö käyttää piirtämiseen pisteiden sijasta viivoja.
Lisätiedot3.4.1 Perspektiiviprojektio
40 LUKU 3. KOLMAS ULOTTUVUUS män suorat janat kuvatasolle suoriksi janoiksi tai pisteiksi, eli projektiokuvauksen projektorikäyrät ovat tulevissa sovelluksissa avaruuden R 3 suoria. 3.4. Perspektiiviprojektio
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotGeogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen
Geogebra -koulutus Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelmisto osoitteessa http://www.geogebra.org Geogebra-sovellusversion voi asentaa tietokoneilla ja
LisätiedotVisualisointi informaatioverkostojen Opintoneuvoja Janne Käki
Visualisointi informaatioverkostojen opinto-oppaasta 2007-2008 Opintoneuvoja Janne Käki 7.5.2007 Diplomi-insinöörin tutkinto (DI, 120 op) Diplomityö (30 op) Tieteen metodiikka M (10 op) Vapaasti valittavat
LisätiedotTietokonegrafiikan perusteet
Tietokonegrafiikan perusteet Tuomo Rossi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 7. syyskuuta 2003 1 2 Sisältö 1 Lineaarialgebran kertausta 1 1.1 Vektorit............................... 1 1.1.1 Vektorien
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 3. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:
LisätiedotTekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi
2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään
LisätiedotMalleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön
Malleja ja menetelmiä geometriseen tietokonenäköön Juho Kannala 7.5.2010 Johdanto Tietokonenäkö on ala, joka kehittää menetelmiä automaattiseen kuvien sisällön tulkintaan Tietokonenäkö on ajankohtainen
Lisätiedot235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti
8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.
LisätiedotTietokonegrafiikan kertausta eli mitä jokaisen animaattorin tulisi tietää tekniikasta
Tassu Takala Tietokonegrafiikan kertausta eli mitä jokaisen animaattorin tulisi tietää tekniikasta Mallinnustekniikkaa Animaation perustekniikkaa Harjoitustyöt 12.10.2006 1 Aiheita mallintaminen muodon
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
Lisätiedot