JUHA SUVANTO TUPSULAN PADAN LÄMMÖNSIIRTO. Kandidaatintyö

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "JUHA SUVANTO TUPSULAN PADAN LÄMMÖNSIIRTO. Kandidaatintyö"

Transkriptio

1 JUHA SUVANTO TUPSULAN PADAN LÄMMÖNSIIRTO Kandidaatintyö

2 ii TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Ympäristö- ja energiatekniikan koulutusohjelma SUVANTO, JUHA: Tupsulan Padan lämmönsiirto Kandidaatintyö, 20 sivua Toukokuu 2013 Pääaine: Energia- ja prosessitekniikka Tarkastaja: Professori Antti Oksanen Avainsanat: lämmönsiirto, savukaasu, tulipesä, vesiallas, kylpyallas, Tupsula Tupsula on opiskelijatalo Tampereella. Pata on sen pihassa oleva lämmitettävä kylpyallas. Tässä kandidaatintyössä tutkitaan Padan lämmönsiirto-ominaisuuksia sekä esitetään parannusehdotuksia Padan rakenteisiin lämmittämisen energiatehokkuuden parantamiseksi. Työ on kirjallisuustutkielma, joka perustuu pääasiassa A.F. Millsin teokseen Basic Heat & Mass Transfer (ks. Lähteet). Suurin osa Padan tiedoista on suullista perimätietoa, mutta osa löytyy myös Tupsulan hiljattain julkaistusta historiikista. Padan mitat on itse mitattu ja kaikki kuvat on myös itse piirretty. Työssä esitetään Padan lämmönsiirtoon liittyvät tasapainotilanteiden yhtälöt. Transienttitilanteita ei käsitellä. Vaikka työn tutkimuskohde on yksittäinen rakennus, ovat työssä johdetut yhtälöt silti päteviä myös muihin vastaaviin lämmitettäviin kylpyaltaisiin. Työssä pohditaan myös rakenteellisia muutoksia Padan energiatehokkuuden parantamiseksi ja muutosten vaikutuksia aiemmin mainittuihin lämmönsiirtoyhtälöihin. Työssä esitetään parannusehdotuksina, että Pataan lisätään eristeet seiniin, käytetään kattoa lämmityksen aikana, asennetaan altaan pohjaan rivat sekä uudistetaan tulipesä.

3 SISÄLTÖ Tiivistelmä... ii Lyhenteet ja symbolit... iv 1 Johdanto Pata Lämmönsiirron teoria Lämmönsiirto pohjan läpi Lämmönsiirto hormin läpi Sekoittuminen ja johtuminen nesteessä Lämmön siirtyminen seinän läpi Höyrystyminen ja säteily veden pinnasta Eristäminen Katto Pohjaripa Tulokset Lähteet iii

4 iv LYHENTEET JA SYMBOLIT CFD Virtauslaskenta, Computational fluid dynamics Symbolit: A Pinta-ala [m 2 ] D Halkaisija f Kitkakerroin F Siirtokerroin; muotokerroin g Putoamiskiihtyvyys, 9,81 m/s 2 g m h c h r k L M N Nu P p p sat Konduktiivinen massansiirtokerroin Konvektiivinen lämmönsiirtokerroin Säteilylämmönsiirtokerroin Lämmönjohtavuus [W/mK] Karakteristinen pituus Moolimassa [kg/kmol] Lukumäärä Nusseltin luku piiri Paine [Pa] Kylläisen höyryn paine [Pa] Prandtlin luku Pr Q Lämpövirta [W] q Lämpövuo [W/m 2 ] R Lämmönsiirtovastus [K/W] R u Yleinen kaasuvakio, 8,3145 J/molK Ra Rayleigh n luku Re Reynoldsin luku Sc Schmidtin luku Sh Sherwoodin luku T Lämpötila [K] U Lämmönsiirtokerroin [W/m 2 K] V x y Virtausnopeus [m/s] Koordinaatti; etäisyys [m] Koordinaatti; etäisyys [m] Kreikkalaiset kirjaimet: α β Terminen diffusiviteetti [m 2 /s]; absorptanssi Lämpölaajenemiskerroin [K -1 ]; ripaparametri

5 v ρ Tiheys [kg/m 3 ] ν Kinemaattinen viskositeetti [m 2 /s] η Hyötysuhde φ Suhteellinen ilmankosteus σ Stefanin Boltzmannin vakio, 5, W/m 2 K 4 Ψ Prandtlin luvun funktio Alaindeksit: a c D f k L pa r rt s sk u y Alapinta Konvektio; poikkileikkaus Halkaisija Ripa Katto Karakteristinen pituus Polttoaine Säteily Ruostumaton teräs Sisäpinta Savukaasu Ulkopinta Yläpinta

6 1 1 JOHDANTO Tupsula on teekkareiden asuttama opiskelijatalo Tampereella, Annalan kaupunginosassa. Pata on Tupsulan pihassa sijaitseva, asukkaiden käytössä oleva haponkestävästä ruostumattomasta teräksestä valmistettu puulämmitteinen kylpyallas. Padan energiatehokkuus on kyseenalainen, sillä se on täysin eristämätön ja lämmitys tapahtuu Padan alla olevan tulipesän avulla. Tupsulassa on erityisesti keskusteltu Padan seinien eristämisestä ja rivan asentamisesta Padan pohjaan. Näillä kahdella toimenpiteellä voitaisiin saavuttaa huomattavia säästöjä polttoaineenkäytössä, kun Padan vesi lämpenisi nopeammin ja toisaalta jäähtyisi hitaammin. Myös katon käytöstä lämmityksen aikana on keskusteltu, sillä se voisi nopeuttaa lämmittämistä. Tämän kandidaatintyön tarkoituksena on esitellä Padan lämmönsiirtoilmiöt ja teoria niiden taustalla sekä selvittää millä toimenpiteillä Padan energiatehokkuutta voisi parantaa. Tavoitteena on löytää Padan lämmönsiirtoa kuvaavat yhtälöt, joiden avulla voidaan myöhemmin tehdä päätöksiä mahdollisista energiatehokkuutta parantavista muutostöistä. Työ rajoittuu tasapainotilannetta kuvaaviin yhtälöihin, eikä sisällä ratkaisuja ajan myötä muuttuville transienttitilanteille. Tässä työssä ei ole tehty lämpötila- tai virtausmittauksia eikä laskettu numeerisia ratkaisuja yhtälöille. Lähteenä on käytetty erinomaista lämmönja massansiirron oppikirjaa Basic Heat & Mass Transfer (Mills, A.F., 1999, Prentice Hall, 2. painos). Luvussa 2 esitellään Pata tarkemmin ja kerrotaan sen ominaisuuksista ja käytöstä. Luvussa 3 esitetään Padan lämmönsiirtoa koskevat yhtälöt. Luvuissa 4 6 käsitellään eristämisen, katon ja rivan tuomia muutoksia lämmönsiirtoa koskeviin yhtälöihin. Luvussa 7 esitetään yhteenveto tuloksista ja esitetään jatkotutkimuskohteita Padan energiatehokkuudesta.

7 2 2 PATA Pata koostuu pääasiassa kolmesta osasta: altaasta, tulipesästä ja muista rakenteista. Tärkein osa on 3 mm paksusta haponkestävästä ruostumattomasta teräksestä valmistetut suorakulmaisen särmiön muotoinen allas ja pohjan lävistävä savupiippu. Padan alla on betoniharkoilla ympäröity tulipesä, jonka pohja on valettua betonia ja joka toimii samalla Padan perustuksina. Padan allas kelluu vapaasti betoniharkkojen päällä ja altaan pohjalevy on suorassa kosketuksessa tulipesän savukaasuihin ja liekkeihin. Lisäksi Padassa on puiset lauteet sekä puisia ulkorakenteita, kuten portaat ja harjakatto. Padan altaan mitat on esitetty kuvassa 2.1. Kuva 2.1. Padan ulkomitat. Puurakenteet on jätetty pois kuvasta selkeyden vuoksi. Pataa käytetään täyttämällä se vedellä noin 1,1 metrin korkeuteen ja polttamalla puuta sen alla olevassa tulipesässä. Padan koko altaan tilavuus on noin 4,5 m 3 ja Padassa on vettä käytön aikana noin 3,3 m 3. Vesi tulee lämmittämättömänä vesijohtoverkosta. Tulevan veden lämpötila on noin 4 7 C ja kylpyveden tavoitelämpötila on noin 35 C. Padan alla on tulipesä, jossa poltetaan puuta. Polttopuun laatu vaihtelee huomattavasti. Polttopuu saadaan usein lahjoituksena esimerkiksi rakennustyömailta, joten se sisältää usein paljon tuhkaa ja muita epäpuhtauksia, minkä seurauksena nokea muodostuu huomattavasti. Savukaasut poistuvat tulipesästä savukanavan ja hormin kautta. Hormi

8 3 kulkee altaan läpi, joten savukaasut luovuttavat hormin seinämän läpi hieman lämpöä kylpyveteen. Osa savukaasuista poistuu myös tulipesän syöttöaukon kautta ja osa vuotaa pois tulipesän ja altaan välisistä raoista. Tulipesän mitat on esitetty kuvassa 2.2. Kuva 2.2. Padan tulipesän mitat. Kuvan etureunassa on tulipesän luukku. Tulipesän takareunassa on savukanava, joka johtaa hormiin (ei kuvassa). Savukanavan kokoa ei ole mitattu. Kokemusten perusteella Padan lämmittämiseen kuluu tyypillisesti aikaa kesällä noin neljä tuntia ja talvella jopa kuusi tuntia. Veden lämpenemisteho voidaan laskea veden ominaislämpökapasiteetin arvolla c p = 4,2 kj, vesimassalla 3300 kg, neljän tunnin lämmitysajalla ja lämmönnousulla ΔT = 30 K: kgk Q = mc pδt t 3300 kg 4,2 kj 30 K kgk = 28,9 kw s (1) Vastaava teho talviaikaan kuuden tunnin lämmityksellä on n. 19,3 kw. Ero johtuu suurista lämpöhäviöistä, jotka ovat pakkasella suuremmat. Lämmittämisen hyötysuhdetta on vaikea arvioida, sillä palotilassa poltettavan puun määrä, laatu ja kosteus vaihtelevat, joten todellisen palamisessa vapautuneen lämmön laskeminen on hankalaa. Joka tapauksessa suurin osa Padan vedestä lämpenee pohjan kautta johtumalla. Savukaasut poistuvat tulipesästä altaan läpi kulkevan hormin kautta, joten osa savukaasujen lämmöstä siirtyy veteen myös hormin seinämän läpi. Padasta lämpö poistuu seinien ja vedenpinnan kautta.

9 4 3 LÄMMÖNSIIRRON TEORIA Lämmön johtumista kuvataan Fourierin yhtälöllä: q = k dt dx, (2) jossa lämpövuo q riippuu aineen lämmönjohtavuudesta k sekä kappaleen lämpötilajakaumasta dt dx. Lämpövirta Q tietyn pinnan läpi saadaan kertomalla lämpövuo pinta-alalla: Q = qa = ka dt dx, (3) jota integroimalla kappaleen läpi saadaan: Q = T L/kA, (4) jossa L on karakteristinen pituus, eli useimmissa tapauksissa kappaleen paksuus. Infrapunasäteilynä pinnasta toiseen siirtyvä lämpövirta voidaan esittää yhtälöllä: Q = A 1 F 12 (σt 1 4 σt 2 4 ), (5) jossa alaindeksit 1 ja 2 viittaavat säteilyä lähettävään ja säteilyä vastaanottavaan pintaan ja jossa F 12 on pintojen välinen siirtokerroin, joka riippuu pintojen geometriasta sekä emissiivisyyksistä. Symboli σ esittää Stefanin Boltzmannin vakiota, jonka suuruus on noin 5, W/m 2 K 4. Lämpösäteilylle voidaan laskea myös säteilylämmönsiirtokerroin h r, joka riippuu säteilevän kappaleen emissiivisyydestä. Jos lämpötilaero on pieni, toisin sanoen T 1 T 2, voidaan käyttää yhtälöä: Q = A 1 h r T, (6) jossa h r = 4ε 1 σt 3, jossa puolestaan T on lämpötilojen T 1 ja T 2 keskiarvo. Konvektio on lämmön siirtymistä pinnasta liikkeessä olevaan kaasuun tai nesteeseen. Konvektio voi olla pakotettua, esimerkiksi jos nesteen liike on tuotettu pumppaamalla, tai luonnollista, jolloin liike syntyy lämpötilaerosta johtuvista tiheyseroista esimerkiksi lämpimän ilman noustessa ylöspäin. Konvektiivinen lämpövirta voidaan esittää yhtälöllä: Q = Ah c T, (7)

10 5 jossa h c merkitsee konvektiivista lämmönsiirtokerrointa, joka yleensä esitetään Nusseltin luvun Nu avulla: Nu = h cl k, (8) jonka suuruus riippuu lämmönsiirtotilanteen geometriasta ja siitä, onko virtaus laminaarinen vai turbulenttinen. Nusseltin luvun määrittämiseen on kehitetty useita korrelaatioyhtälöitä. Usein nämä korrelaatiot riippuvat Reynoldsin luvusta Re L : Re L = VL ν, (9) joka on laminaarille putkivirtaukselle Re L 2300 ja turbulentille Re L Arvoilla Re L = virtauksen sanotaan olevan siirtymäalueella, jossa virtauksella on joko laminaarisia, turbulentteja tai näiden välillä vaihtelevia ominaisuuksia. Kullekin yllä mainitulle lämmönsiirtotavalle voidaan laskea lämmönsiirtovastus R, joka on johtumiselle R = L ka, säteilylle R = 1 h r A ja konvektiolle R = 1 h c A, joiden avulla lämpövirta voidaan esittää yksinkertaisesti muodossa: Q = T R. (10) Lämmönsiirtovastuksen lisäksi voidaan määrittää myös lämmönsiirtokerroin U, joka on johtumiselle U = k/l, säteilylle U = h r ja konvektiolle U = h c. Nähdään, että lämmönsiirtovastuksen ja lämmönsiirtokertoimen välillä on yhteys: R = 1 UA, joten lämpövirta voidaan esittää myös lämmönsiirtokertoimen avulla: Q = UA T. (11) Toisinaan lämmönsiirtokerrointa kannattaa käyttää, sillä joissakin tapauksissa se on helpompi laskea kuin lämmönsiirtovastus. Lämmönsiirtovastuksen R tai lämmönsiirtokertoimen U avulla voidaan laskea useiden erilaisten lämmönsiirtotapahtumien sarjoja laskemalla niiden lämmönsiirtovastukset yhteen. Esimerkiksi kahden eri materiaalin A ja B yhteinen johtumisvastus on: R = R A + R B = L A + L B. k A A A k B A B (12) Rinnakkaisten lämmönsiirtotapahtumien, esimerkiksi säteilyn ja konvektion, yhteinen lämmönsiirtovastus puolestaan lasketaan:

11 6 eli: 1 R = 1 R r + 1 R c = h r A + h c A R = 1 h r A + h c A (13) (14) tai toisaalta, koska R = 1 UA, voidaan suoraan kirjoittaa myös U = h r + h c. Lämmönsiirtovastuksien sarjaan- ja rinnankytkentöjä lasketaan siis samalla tavalla kuin sähköisten resistanssien sarjaan- ja rinnankytkentöjä. Seuraavaksi tarkastellaan edellä esiteltyjen yhtälöiden avulla Padassa tapahtuvia lämmönsiirtoilmiöitä. 3.1 Lämmönsiirto pohjan läpi Lämpö siirtyy tulipesästä veteen kolmessa vaiheessa: 1) rinnakkaiset nuotion säteily ja savukaasujen konvektio pohjalevyyn 2) johtuminen pohjalevyn läpi 3) luonnollinen konvektio pohjalevystä nesteeseen Lämmönsiirto Padan pohjan läpi voidaan esittää lämpöpiirinä, jossa saapuvan säteilyn ja konvektion rinnankytkentä on kytketty sarjaan johtumisen ja poistuvan konvektion kanssa: Kuva 3.1. Padan pohjan esitys lämpöpiirinä. Todellisuudessa palotilan katon pinta-ala A a on noin 40 % altaan koko pohjan pintaalasta (kuvat 2.1 ja 2.2). Pohjan läpi johtuessaan lämpö johtuu siis myös pohjan suuntaisesti. Pohja on kuitenkin hyvin ohut suhteessa pohjalevyn pinta-alaan, joten voidaan olettaa, että pohjan suuntainen johtuminen on mitättömän pientä, ja käyttää yhtälöissä palotilan katon pinta-alaa. Kuvassa 3.1 näkyvä säteilylämmönsiirtokerroin h r,a on yksinkertainen tapa esittää säteilemällä siirtyvä lämpö yhden lämpötilaeron (tässä T nuotio T a ) avulla, jota voi käyttää lämpötilaeron ollessa pieni (T nuotio T a ), mikä ei tässä tapauksessa pidä paikkaansa. Siksi käytetään tarkemman tuloksen antavaa yhtälöä:

12 7 4 Q = A a Fσ(T nuotio T a 4 ) (15) josta täytyy määrittää siirtokerroin F. Yksinkertaisuuden vuoksi esitetään palotila leikkaukseltaan suorakulmiona, jonka alareuna on nuotio ja yläreuna Padan pohja (Kuva 3.2). Samalla oletetaan tulipesän pohja ja seinät adiabaattisiksi. Kuva 3.2. Yksinkertainen esitys nuotion ja pohjan välisestä säteilylämmönsiirrosta. Siirtokertoimen tarkan arvon laskeminen voi olla työlästä, mutta sille voidaan laskea riittävän tarkka likiarvo yhtälöllä: 1 F = 1 εpohja + 1 ε nuotio 1, (16) joka pätee vastakkaisille, yhdensuuntaisille, suurille pinnoille. Yhtälössä käytettävät emissiivisyydet voivat olla kuitenkin hankalasti määritettävissä. Siirtokerroin voidaan määrittää myös myöhemmin kohdassa 3.5 esitettävällä tavalla. Todellisuudessa palotilan säteily-yhtälö on vielä monimutkaisempi, mutta nyt tyydyttäköön hieman epätarkempaan ratkaisuun. Konvektio palotilan savukaasuista pohjaan on arvioitavissa Nusseltin luvun avulla. Nusseltin luku laminaariselle virtaukselle tasaisen levyn pinnalla lasketaan seuraavasti: 1 Nu L = 0,664Re 2 L Pr 1 3 ; 10 3 < Re L , Pr > 0,5 (17) ja turbulenttiselle: Nu L = 0,664Re tr 1 2 Pr ,036Re 0,8 L Pr 0,43 [1 ( Re tr ) 0,8 ] ; Re L Re tr < Re L < ; 0,7 < Pr < 400, (18) jossa Re tr = on Reynoldsin luku siirtymäalueella ja joissa Prandtlin luku Pr on savukaasun aineominaisuus. Näin laskettu Nusseltin luku voidaan ratkaista yhtälöstä (8). Pohjasta veteen konvektiivisesti siirtyvä lämpö voidaan laskea Nusseltin luvun avulla. Tässä tilanteessa Nusseltin luvulle on olemassa seuraavat Rayleigh n luvusta Ra riippuvat korrelaatiot:

13 8 ja 1 Nu L = 0,54Ra 4 L ; 10 5 < Ra L < (19) 1 Nu L = 0,14 Ra 3 L ; < Ra L < (20) Rayleigh n luku lasketaan seuraavasti: Ra = βδtgl3 να, (21) jossa β, ν ja α ovat veden ominaisuuksia keskilämpötilassa T = (T y + T vesi ) 2. Yllä olevilla yhtälöillä saatu Nusseltin luku sijoitetaan yhtälöön 8, josta ratkaistaan konvektiivinen lämmönsiirtokerroin h c, jota käytetään yhtälössä 7. Kuvan 3.1 merkinnöillä ja yhtälöiden 4, 7 ja 15 avulla voidaan muodostaa kokonaisyhtälö pohjan läpi siirtyvälle lämmölle: 4 Q pohja = A a Fσ(T nuotio T 4 a ) + h c,a A a (T sk T a ) = k rta a (T a T y ) L pohja = h c,y A a (T y T vesi ), (22) jossa A a on siis pohjan alapinnan, toisin sanoen tulipesän katon, pinta-ala. 3.2 Lämmönsiirto hormin läpi Savukaasut poistuvat tulipesästä Padan päädyssä olevan hormin kautta. Hormin ulkohalkaisija on noin 16 cm ja sen korkeus pohjasta on noin 247 cm. Hormin seinämä on 3 mm paksu. Hormin poikkileikkaus on esitetty kuvassa 3.3. Lämpö siirtyy hormin savukaasuista veteen kolmessa vaiheessa: 1) pakotettu konvektio savukaasuista hormin sisäseinään 2) johtuminen hormin seinämän läpi 3) luonnollinen konvektio hormin ulkoseinästä veteen Kuva 3.3. Hormin poikkileikkaus. r 1 on nokikerroksen säde, r 2 hormin sisähalkaisija ja r 3 on hormin ulkohalkaisija. d s on nokikerroksen paksuus ja d 0 seinämän paksuus.

14 9 Lämpövirta savukaasuista veteen voidaan esittää lämpöpiirinä, jossa on sarjaan kytkettyinä konvektio seinämään, johtuminen nokikerroksen ja seinämän läpi ja lopulta konvektio seinämästä veteen. Lämpöpiiri on esitetty kuvassa 3.4. Kuva 3.4. Hormi lämpöpiirinä. Savukaasusta hormin seinämään siirtyvän lämpövirran keskimääräisen konvektiivisen lämmönsiirtokertoimen määrittäminen on hankalaa ilman mittalaitteita. Virtausmittarin ja lämpömittarin avulla olisi mahdollista päätellä jotakin virtauksen luonteesta. Pataa käytettäessä on kuitenkin selkeästi havaittavissa, että savukaasun virtaus on turbulenttista, kun puut vielä palavat tulipesässä. Samoin on käytössä havaittu, että virtauksen turbulenttisuus vähenee, kun tulipesässä on jäljellä enää hiillos. Toistaiseksi ei kuitenkaan ole määritetty sitä, onko virtaus missään lämmityksen vaiheessa todellisuudessa laminaarista vai ei. Tämän vuoksi esitetään korrelaatiot sekä turbulentille että laminaariselle savukaasuvirtaukselle, jotka riippuvat Reynoldsin luvusta. Täysin kehittyneellä laminaarilla virtauksella on erikoistapaus Nu D = 3,66, jossa lämmönsiirtokerroin ei riipu virtausnopeudesta. Turbulentille virtaukselle on kehitetty kaksi korrelaatiota Reynoldsin luvusta riippuen: ja Nu D = 0,023Re D 0,8 Pr 0,4 ; Re D > (23) (f 8)(Re D 1000)Pr Nu D = ,7(f 8) 1 2 (Pr 2 3 1), (24) joista jälkimäisellä on ehto 3000 < Re D < 10 6, ja joissa molemmissa Pr on Prandtlin luvuksi kutsuttu lämpötilasta riippuva aineominaisuus ja f = (0,790 ln Re D 1,64) 2 on kitkakerroin. Näin saatua Nusseltin lukua voidaan käyttää yhtälön 8 mukaan: Q = Nu Dk sk D A(T sk T noki ) (25) Yleisesti putken seinämän läpi johtuvaa lämpövirtaa kuvaa yhtälö: (26)

15 10 Q = 2πkL(T 1 T 2 ) ln (r 2 r 1 ), jossa L on putken pituus, r 1 sen sisähalkaisija ja r 2 sen ulkohalkaisija. Hormin sisäpinnassa on kuitenkin usein nokikerros, joka haittaa lämmön siirtymistä. Nokikerroksen lämpövirta voidaan laskea samalla yhtälöllä, joten kuvien 3.3 ja 3.4 merkinnöillä lämpövirta nokikerroksen ja hormin seinämän läpi on: Q = 2πk nokil(t noki T s ) ln (r 2 r 1 ) = 2πk rtl(t s T u ) ln (r 3 r 2 ), (27) jossa k noki on noen ja k rt ruostumattoman teräksen lämmönjohtavuus. Luonnolliselle konvektiolle hormin ulkopinnasta veteen parhaiten sopiva korrelaatio on pystysuoran seinän konvektiota vastaava tilanne. Tällöin Nusseltin luvuksi saadaan laminaarille tapaukselle: Nu L = 0,68 + 0,670(Ra L Ψ) 1 4 ; Ra L 10 9 (28) ja turbulentille tapaukselle: Nu L = 0,68 + 0,679(Ra L Ψ) 1 4 (1 + 1, Ra L Ψ) 1 12 ; 10 9 Ra L < 10 12, (29) joissa L on veden peittämän hormin korkeus, toisin sanoen vedenpinnan korkeus, ja joissa oleva Prandtlin luvun funktio Ψ määritellään: Ψ = [1 + ( 0, Pr ) ] (30) Näin saadun Nusseltin luvun avulla ratkaistaan lämmönsiirtokerroin yhtälöllä 8 ja sijoitetaan se yhtälöön 7. Yhdistämällä se yhtälöiden 25 ja 27 kanssa saadaan lämpövirralle savukaasuista hormin läpi veteen siis yhtälö: Q hormi = Nu Dk sk D A(T sk T ) noki = 2πknokiL(T noki T ) s ln (r 2 r 1 ) = Nu Lk vesi L A(T u T vesi ), = 2πk rtl(t s T u ) ln (r 3 r 2 ) (31) jossa Nu D on Nusseltin luku hormin sisäpuoliselle ja Nu D ulkopuoliselle konvektiolle.

16 Sekoittuminen ja johtuminen nesteessä Lämmön siirtymistä vedessä ja veden sekoittumista kuvaavat yhtälöt ovat transienttitilanteita ja vaativat monimutkaista numeerista verkkopohjaista laskentaa, jossa veden tilavuus jaetaan laskentakoppeihin tai alkioihin, joille kullekin luodaan oma energiatasapainoyhtälö. Tämän kaltaiset transienttitilanteet ovat tämän työn aihepiirin ulkopuolella ja siksi näiden yhtälöiden johtaminen sivuutetaan. Tällöin veteen varastoituvaa lämpöä kuvaavaksi yhtälöksi saadaan varsin yksinkertainen, jo luvussa 2 esitelty yhtälö 1: Q vesi = mc p ΔT t. Tämän varastoitumistermin yhteys muihin yhtälöihin esitetään tulosten yhteydessä luvussa 7. Käytännössä transienttitilanteen jättäminen huomiotta vastaa sitä, että Padan vettä sekoitetaan jatkuvasti lämmityksen ajan. Tämä ei ole kaukana todellisuudesta, sillä vettä usein hämmennetään lämmitettäessä, jotta veden lämpötila saadaan mitattua luotettavammin ja sitä kautta vältytään lämmittämästä Pataa liian kuumaksi. 3.4 Lämmön siirtyminen seinän läpi Lämpö poistuu Padasta seinän läpi ulkoilmaan kolmessa vaiheessa: 1) konvektio vedestä seinän sisäpintaan 2) johtuminen seinän läpi 3) luonnollinen konvektio ulkoilmaan ja säteily ympäristöön Kuva 3.5. Seinän lämpöpiiri. Lämmityksen alkaessa vesi ja seinä ovat tyypillisesti eri lämpötilassa. Kyseessä on transienttitilanne, joka on tämän työn aihepiirin ulkopuolella. Sen sijaan tasapainotilanteessa oletetaan, että vesi on hyvin sekoittunutta ja lämmitys on edennyt pitkälle. Tällöin vesi on kauttaaltaan tasalämpöistä ja seinän sisäpinta on samassa lämpötilassa. Tällöin konvektio vedestä seinään on Q = 0 ja se voidaan jättää yhtälöstä pois. Tässä tapauksessa seinän läpi johtuvaan lämpövirtaan voidaan käyttää yhtälöä: Q = k rta(t vesi T u ) L seinä = h c,u A(T u T ilma ), (32)

17 12 jossa h c,u lasketaan kuten hormin ulkopinnan tapauksessa luvussa 3.2. Kaiken kaikkiaan edellä tehdyillä oletuksilla saadaan seinän lämmönsiirron kokonaisyhtälöksi: Q = h c,s A(T vesi T s ) = k rta(t s T u ) L seinä = h c,u A(T u T ilma ). (33) Lämmönsiirtoa seinän läpi voi pienentää käyttämällä eristettä. Eristeen ja verhoilun vaikutusta lämmönsiirtoon on käsitelty luvussa Höyrystyminen ja säteily veden pinnasta Osa Padan vedestä höyrystyy lämmityksen aikana, mikä sitoo lämpöä ja aiheuttaa konvektiivista lämmönsiirtoa vedestä ilmaan. Höyrystyminen aiheuttaa myös massahäviötä, mutta se on merkityksettömän pieni verrattuna veden kokonaismäärään. Lisäksi osa lämmöstä häviää säteilynä veden pinnasta. Seuraavaksi esitetään yhtälö höyrystymisestä aiheutuvalle lämpöhäviölle. Oletetaan höyrystyneen veden ja ilman seos ideaalikaasuksi. Lasketaan ensin veden ja ilman höyrynpaineiden avulla vesi-ilma-seoksen tiheyksien ero Δρ: p 1,vesi = p sat (T vesi ) (35) p 1, = φp sat (T ) (36) ρ vesi = p 1,vesiM vesi R u T vesi ρ = p 1, M vesi R u T + (p p 1,vesi )M ilma R u T vesi + (p p 1, )M ilma R u T (37) (34) Δρ = ρ vesi ρ (38) Seuraavaksi lasketaan Grashofin luku Gr. Sen laskemiseen tarvitaan edellä saatuja tiheyksien eroa Δρ ja niiden keskiarvoa ρ sekä veden kinemaattista viskositeettia ν, joka saadaan kirjallisuudesta. Viskositeetti riippuu aineesta ja lämpötilasta, jona voidaan käyttää keskiarvoa T = 1 2 (T vesi + T ). Grashofin luku määritellään: Gr L = (Δρ ρ )gl3 ν 2, (39) jossa karakteristisena pituutena voidaan käyttää veden pinnankorkeutta Grashofin luvun avulla voidaan laskea keskimääräiset Nusseltin ja Sherwoodin luvut Nu L ja Sh : L Nu L = 0,14(Gr L Pr) 1 3 (40) Sh L = 0,14(Gr L Sc) 1 3, (41)

18 13 joissa Prandtlin luku Pr ja Schmidtin luku Sc saadaan taulukoista. Nusseltin luvusta saadaan keskimääräinen konvektiivinen lämmönsiirtokerroin: h c = k L Nu L, (42) joten konvektiivinen lämpövirta veden pinnasta on: Q = A(T h c vesi T ). (43) Sherwoodin luvusta saadaan konduktiivinen massansiirtokerroin: g m = ρ ν ScL Sh L, (44) josta voidaan laskea veden faasimuutoksen sitoma lämpöteho: Q = g ma(m 1,vesi m 1, )h fg (T vesi ), (45) jossa m 1,vesi = ρ 1,vesi /ρ vesi, m 1, = ρ 1, /ρ infty ja h fg (T vesi ) on veden höyrystymislämpö pinnan lämpötilassa. Veden pinta säteilee lämpöä Padan seiniin ja ympäristöön. Yleisesti muotokerroin F säteilylle pinnasta AB pintaan CD voidaan laskea Hottelin narusäännön avulla, kuvan 3.6 merkintöjä käyttäen: F AB,CD = 1 (AD + BC AC BD), 2AB (46) Kuva 3.6. Muotokertoimen laskeminen. AB on veden pinta, AC ja BD ovat Padan seiniä, jotka jäävät vedenpinnan yläpuolelle. CD on ympäristöä esittävä kuvitteellinen pinta.

19 14 Merkitään muotokerrointa vedestä ympäristöön F AB,CD F ja vastaavasti vedestä molempiin seiniin F AB,BD + F AB,AC F s. Lasketaan muotokerroin F sijoittamalla yhtälöön 40 AD = (AB) 2 + (BD) 2 = (BC) 2 + (AC) 2 = BC 1552 mm, jolloin saadaan tulos F 0,77. Vastaavasti säteily vedestä AB seiniin BD ja AC on tämän komplementti, eli F s = 1 F 0,23, mikä on helppo todeta narusäännöllä: F AB,BD = 1 2AB (AB + BD (AB)2 + (BD) 2 BB ) 0,116 =0 (47) eli F s = 2 F AB,BD 0,23. Yhtälöstä 46 voidaan säteilylle vedenpinnasta Padan seiniin ja ympäristöön johtaa yhtälö: 4 Q = F Aσ(ε vesi T vesi α T 4 4 ) + F s Aσ(ε vesi T vesi α s T 4 s ). (48) Jos halutaan ottaa huomioon, että myös ympäristö ja Padan seinät säteilevät lämpöä takaisin veteen, yhtälö muuttuu jokseenkin monimutkaiseksi ja lämpövirraksi saadaan: Q = 4 σ(t vesi 1 ε vesi ε 1 A vesi + T 4 ) 1 A vesi F + 1 ε + ε A 4 σ(t vesi T 4 s ) 1 ε vesi ε 1 A + 1 vesi A vesi F + 1 ε. s s ε s A s (49) Mielenterveyden säilyttämiseksi tässä työssä ei käsitellä tilannetta, jossa myös Padan vedenpinnan yläpuolisten seinien ja ympäristön välillä on säteilylämmönsiirtoa. Nyt riittäköön tieto, että tilannetta kuvataan samankaltaisilla yhtälöillä. Yhdistämällä yllä olevat yhtälöt 43, 45 ja 49 saadaan veden pinnan kautta konvektiolla, höyrystymällä ja säteilemällä poistuvaksi lämpövirraksi: Q pinta = h A(T c vesi T ) + g ma(m 1,vesi m 1, )h fg (T vesi ) 4 σ(t vesi T 4 ) + 1 ε vesi 1 ε 1 A + vesi A vesi F + 1 ε + ε A 4 σ(t vesi T 4 s ) 1 ε vesi ε 1 A + 1 vesi A vesi F + 1 ε. s s ε s A s (50)

20 15 4 ERISTÄMINEN Padan jäähtymistä käytön aikana voi hidastaa lisäämällä seiniin eristettä, mikä vähentää lämmön johtumista seinän läpi. Samalla myös veden lämmitys nopeutuu, kun lämmityksen aikana vähemmän lämpöä menee hukkaan. Myös säteily ja konvektio seinän ulkopinnasta vähenevät, kun pinnan lämpötila laskee. Eriste on tarkoituksenmukaista lisätä nykyisten seinien ulkopuolelle. Jos eristeen päälle asennetaan verhoilu, lämmönsiirto pienenee yhä, joskaan ei kovin merkittävästi. Paloturvallisuuden vuoksi eristeen ja verhoilun on syytä olla tulenkestäviä. Kuva 4.1. Eristetyn ja verhoillun seinän poikkileikkaus. Kuvan 4.1 merkinnöillä lämpövirta seinän läpi on: Q = k 1A L 1 T 1 = k 2A T L 2 = k 3A T 2 L 3, 3 (51) sillä oletuksella, että seinän materiaalien välissä oleva kontaktivastus on pieni. Jos oletetaan, että lämpötilajakauma koko seinän matkalla on tasainen tai melkein tasainen, toisin sanoen: ΔT tot L tot T 1 L 1 ΔT 2 L 2 ΔT 3 L 3, (52) jossa ΔT tot = ΔT 1 + ΔT 2 + ΔT 3 ja L tot = L 1 + L 2 + L 3, tai jos ΔT 1 ΔT 3 0, voidaan koko seinälle laskea lämmönsiirtovastus: R seinä = L 1 k 1 A + L 2 k 2 A + L 3 k 3 A, (53) joka voidaan sijoittaa yhtälöön 10. Näin yhtälö 33 muuttuu muotoon: Q = h c,s A(T vesi T s ) = (T s T u ) R seinä = h c,u A(T u T ilma ). (54)

21 16 5 KATTO Katon käyttö lämmityksen aikana voi nopeuttaa veden lämpenemistä, koska lämpösäteily vedestä ympäristöön pienenee, kun välissä on läpinäkymätön kappale. Kohdassa 3.5 esitetty säteily-yhtälö muuttuu, kun vesi enää säteilekään ympäristöön, vaan katon alapintaan. Katon absorboima säteily puolestaan johtuu katon läpi taas konvektoituakseen yläpinnasta ympäristöön. Katto rajoittaa veden höyrystymistä ja konvektiota veden pinnasta. Lämmityksen alussa molempia tapahtuu normaalisti, mutta lämmityksen edetessä päästään tasapainotilanteeseen, jossa sekä höyrystyminen että konvektio lakkaavat. Tämän tasapainotilanteen laskeminen on haastavaa, joten yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan höyrystyminen ja konvektio mitättömiksi, kun käytetään kattoa. Aiemmin todettiin, että säteilylle veden pinnasta pätee yhtälö 49. Katon tapauksessa vesi säteilee vastaavasti: Q = 1 ε vesi ε 1 A vesi + 4 σ(t vesi T 4 a ) 1 A vesi F + 1 ε, k k ε k A k (55) jossa muotokerroin F k = F ja jossa alaindeksi a tarkoittaa katon alapintaa. Lämpö johtuu katon läpi totutusti yhtälön Q = kaδt L mukaan, jossa L on katon paksuus. Sen sijaan konvektiolle katosta ympäristöön pätevät yhtälöt 28 ja 29, joiden laskemiseen tarvittavassa Rayleigh n luvun yhtälössä 21 vaihdetaan putoamiskiihtyvyyden g tilalle g cos θ, jossa θ on pystysuoran ja katon välinen kulma. Koska Padassa on kahdesta osasta koostuva harjakatto, on katon konvektio otettava huomioon tällä tavalla laskettuna kaksinkertaisena. Kaiken kaikkiaan katon lämmönsiirron kokonaisyhtälö, ilman konvektiota vedestä sisäilmaan ja sisäilmasta kattoon, on: Q k = 4 σ(t vesi 1 ε vesi ε 1 A vesi + T 4 a ) 1 A vesi F + 1 ε = k k ε k A k k k A k L k (T a T y ) = 2 h c,k A k (T y T ), (56) jossa h c,k on laskettava muokatun Rayleigh n luvun avulla, kuten ylempänä on mainittu.

22 17 6 POHJARIPA Konvektiota altaan pohjasta veteen voi lisätä asentamalla pohjaan rivan. Rivan tarkoituksena on kasvattaa konvektiivista lämmönsiirtokerrointa. Rivan voi asentaa joko altaan pohjaan tai palotilan kattoon. Palotilan katossa ripa voi kuitenkin kerätä nokea ja siten jopa heikentää lämmönsiirtoa, joten ripa on järkevää asentaa ainoastaan altaan pohjaan. Rivan asennusvaihtoehtoja on lukematon määrä. Yksinkertainen Padan pohjaan sopiva ripa-asennus on esitetty kuvassa 6.1. Siinä materiaaliksi on valittu sama haponkestävä 3 mm paksu haponkestävä ruostumaton teräs kuin muualla altaassa. Ripoja on kymmenen kappaletta ja ne on hitsattu tasaisin välein tulipesän yläpuolelle niin, että tulipesän reunojen kohdalla ei ole ripoja. Ripojen välimatkaksi saadaan noin 8,2 cm, joka on myös äärimmäisten ripojen etäisyys tulipesän reunoista. Ripojen korkeus on esimerkissä 5 cm ja pituus 133 cm, joka on tulipesän pituus ilman syöttöaukkoa. Valitut mitat eivät välttämättä ole optimaaliset, vaan toimivat ainoastaan esimerkkinä. Suorakulmainen poikkileikkaus ja sivun kanssa yhdensuuntainen asennus on valittu, jotta rivat ovat samankokoisia, jolloin lämmönsiirtokertoimen laskeminen ja ripojen valmistaminen on helpompaa. Kuvassa rivat on asennettu Padan pitkän sivun suuntaisesti, mutta samoilla periaatteilla voidaan valita myös lyhyen sivun suuntaiset rivat. Kuva 6.1. Esimerkki rivasta Padan pohjassa. Tulipesän leveydelle on asetettu tasavälein kymmenen tulipesän mittaista ripaa, joiden korkeus on 50 mm. Padan pohjalauteiden korkeus on 5 cm. Kuvan mukainen ripa nostaa pohjalauteita saman verran, mikä saattaa vaikuttaa Padan käyttöön lähinnä siten, että jatkossa vettä

23 18 saatetaan tarvita hieman enemmän. Käytännössä tällä vesimäärän lisäyksellä ei kuitenkaan juuri ole merkitystä. Ripateorian mukaan suorakulmaisen rivan lämmönsiirtokerroin lasketaan: Q ripa = η f h c,f P(T y T vesi ), (57) jossa η f on ripahyötysuhde, jonka määritelmä suorakulmaiselle rivalle on: η f = tanh βl, βl (58) jossa puolestaan ripaparametrille β on voimassa: β 2 = h cp ka c. (59) Yhtälöissä esiintyvä P on rivan piiri, A c on rivan poikkileikkauksen pinta-ala ja L on rivan pituus. Konvektiivinen lämmönsiirtokerroin h c,f on arvioitava jollakin menetelmällä, mikä voi olla hankalaa. Kuvassa 6.2 on esitetty ripa, jossa lämpö siirtyy alhaalta ylöspäin, toisin sanoen pituuden L suuntaisesti. Kuvan merkinnöillä piiri on P = 2x + 2y ja poikkileikkauksen pinta-ala on A c = x y. Kuva 6.2. Rivan mitat. Useamman samanlaisen rivan lämpövirta saadaan kertomalla yksittäisen rivan lämpövirta ripojen määrällä N. Rivan asentamisen jälkeen pohjan lämmönsiirtoyhtälö muuttuu siis muotoon: 4 Q pohja = A a Fσ(T nuotio T 4 a ) + h c,a A a (T sk T a ) = k rta a (T a T y ) L pohja = N η f h c,f P(T y T vesi ). (60)

Liite F: laskuesimerkkejä

Liite F: laskuesimerkkejä Liite F: laskuesimerkkejä 1 Lämpövirta astiasta Astiasta ympäristöön siirtyvää lämpövirtaa ei voida arvioida vain astian seinämien lämmönjohtavuuksilla sillä ilma seinämä ja maali seinämä -rajapinnoilla

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön

Lisätiedot

Kuivauksen fysiikkaa. Hannu Sarkkinen

Kuivauksen fysiikkaa. Hannu Sarkkinen Kuivauksen fysiikkaa Hannu Sarkkinen 28.11.2013 Kuivatusmenetelmiä Auringon säteily Mikroaaltouuni Ilmakuivatus Ilman kosteus Ilman suhteellinen kosteus RH = ρ v /ρ vs missä ρ v = vesihöyryn tiheys (g/m

Lisätiedot

Jos olet käynyt kurssin aikaisemmin, merkitse vuosi jolloin kävit kurssin nimen alle.

Jos olet käynyt kurssin aikaisemmin, merkitse vuosi jolloin kävit kurssin nimen alle. 1(4) Lappeenrannan teknillinen yliopisto School of Energy Systems LUT Energia Nimi, op.nro: BH20A0450 LÄMMÖNSIIRTO Tentti 13.9.2016 Osa 1 (4 tehtävää, maksimi 40 pistettä) Vastaa seuraaviin kysymyksiin

Lisätiedot

Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simulointiesimerkki

Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simulointiesimerkki Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simuloiesimerkki School of Technology and Management, Polytechnic Institute of Leiria Käännös: Tuula Höök - Tampereen Teknillinen Yliopisto Mallinnustyökalut Jäähdytysjärjestelmän

Lisätiedot

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15

Lisätiedot

Kryogeniikka ja lämmönsiirto. DEE-54030 Kryogeniikka Risto Mikkonen

Kryogeniikka ja lämmönsiirto. DEE-54030 Kryogeniikka Risto Mikkonen DEE-54030 Kyogeniikka Kyogeniikka ja lämmönsiito 1 DEE-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen 5.5.015 Lämmönsiion mekanismit '' q x ( ) x q '' h( s ) q '' 4 4 ( s su ) DEE-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen 5.5.015

Lisätiedot

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011 Aalto yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Virtausmekaniikka / Sovelletun mekaniikan laitos MUISTIO No CFD/MECHA-17-2012 pvm 22. kesäkuuta 2011 OTSIKKO Hilatiheyden määrittäminen ennen simulointia

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

Rak Tulipalon dynamiikka

Rak Tulipalon dynamiikka Rak-43.3510 Tulipalon dynamiikka 7. luento 14.10.2014 Simo Hostikka Palopatsaat 1 Luonnollisten palojen liekki 2 Palopatsas 3 Liekin korkeus 4 Palopatsaan lämpötila ja virtausnopeus 5 Ideaalisen palopatsaan

Lisätiedot

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi. Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Aurinkolämpö. Tässä on tarkoitus kertoa aurinkolämmön asentamisesta ja aurinkolämmön talteen ottamiseen tarvittavista osista ja niiden toiminnasta.

Aurinkolämpö. Tässä on tarkoitus kertoa aurinkolämmön asentamisesta ja aurinkolämmön talteen ottamiseen tarvittavista osista ja niiden toiminnasta. Aurinkolämpö Tässä on tarkoitus kertoa aurinkolämmön asentamisesta ja aurinkolämmön talteen ottamiseen tarvittavista osista ja niiden toiminnasta. Keräimien sijoittaminen ja asennus Kaikista aurinkoisin

Lisätiedot

KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma

KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma Sekä A- että B-osiosta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osion pistemäärä on vähemmän kuin 10 pistettä,

Lisätiedot

MIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka. Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU

MIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka. Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU MIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU HARJOITUSTYÖOHJE SISÄLLYS SYMBOLILUETTELO 3 1 JOHDANTO 4 2 TYÖOHJE

Lisätiedot

Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste.

Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. TYÖ 36b. ILMANKOSTEUS Tehtävä Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. Välineet Taustatietoja

Lisätiedot

Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT

Demo 5, maanantaina 5.10.2009 RATKAISUT Demo 5, maanantaina 5.0.2009 RATKAISUT. Lääketieteellisen tiedekunnan pääsykokeissa on usein kaikenlaisia laitteita. Seuraavassa yksi hyvä kandidaatti eli Venturi-mittari, jolla voi määrittää virtauksen

Lisätiedot

SMG-4250 Suprajohtavuus sähköverkossa

SMG-4250 Suprajohtavuus sähköverkossa SMG-450 Suprajohtavuus sähköverkossa Laskuharjoitukset: Suprajohdemagneetin suunnittelu Harjoitus 3(5): Kryostaatti Ehdotukset harjoitustehtävien ratkaisuiksi 1. Yleisesti ottaen lämpö siirtyy kolmella

Lisätiedot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta

Lisätiedot

EINO TALSI RIPAPUTKIPATTERIT TYYLIKÄSTÄ LÄMMÖNTUOTTOA

EINO TALSI RIPAPUTKIPATTERIT TYYLIKÄSTÄ LÄMMÖNTUOTTOA EINO TALSI RIPAPUTKIPATTERIT TYYLIKÄSTÄ LÄMMÖNTUOTTOA JOUSTAVAA SUUNNITTELUA MUKAUTUU ERI TILOIHIN Eino Talsi Oy on osa Ekocoil-konsernia. Se on useiden vuosikymmenien ajan erikoistunut ripaputkituotteiden

Lisätiedot

Sisäisen konvektion vaikutus yläpohjan lämmöneristävyyteen

Sisäisen konvektion vaikutus yläpohjan lämmöneristävyyteen FRAME 08.11.2012 Tomi Pakkanen Tampereen teknillinen yliopisto, Rakennustekniikan laitos Sisäisen konvektion vaikutus yläpohjan lämmöneristävyyteen - Kokeellinen tutkimus - Diplomityö Laboratoriokokeet

Lisätiedot

DEE-54000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto

DEE-54000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto DEE-54 Säköagneettisten järjestelien läönsiirto Ripateoria 1 Säköagneettisten järjestelien läönsiirto Risto Mikkonen Ripateoria q Läönsiirtoa voidaan teostaa: Suurentaalla läpötilaeroa Suurentaalla :ta

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

Virtaukset & Reaktorit

Virtaukset & Reaktorit Virtaukset & Reaktorit Lämmönsiirron perusteet Oppimistavoite tälle kerralle Lämmönsiirron perusmekanismit Lämmönjohtumisongelmien mallitus ja ratkaisu Säteilylämmönsiirto Konvektio ja lämmönsiirtokerroin

Lisätiedot

ASENNUSOHJE LIEKKI PIIPPU

ASENNUSOHJE LIEKKI PIIPPU Käyttötarkoitus: ASENNUSOHJE LIEKKI PIIPPU Hormex T600 liekki piippu on lämpöä kestävä, kaksoisseinäinen savupiippujärjestelmä, joka on valmistettu 1.4828 lämpöä kestävästä teräksestä (ulkokuori - 1.4301)

Lisätiedot

KOSTEUS. Visamäentie 35 B 13100 HML

KOSTEUS. Visamäentie 35 B 13100 HML 3 KOSTEUS Tapio Korkeamäki Visamäentie 35 B 13100 HML tapio.korkeamaki@hamk.fi RAKENNUSFYSIIKAN PERUSTEET KOSTEUS LÄMPÖ KOSTEUS Kostea ilma on kahden kaasun seos -kuivan ilman ja vesihöyryn Kuiva ilma

Lisätiedot

FRAME: Ulkoseinien sisäinen konvektio

FRAME: Ulkoseinien sisäinen konvektio 1 FRAME: Ulkoseinien sisäinen konvektio Sisäisen konvektion vaikutus lämmönläpäisykertoimeen huokoisella lämmöneristeellä eristetyissä ulkoseinissä Petteri Huttunen TTY/RTEK 2 Luonnollisen konvektion muodostuminen

Lisätiedot

Lujitemuoviset altaat - WG 5000 - WG 9000. Käyttöohjeet:

Lujitemuoviset altaat - WG 5000 - WG 9000. Käyttöohjeet: Lujitemuoviset altaat - WG 5000 - WG 9000 Käyttöohjeet: Asennus ja käyttöönotto Jos lujitemuovinen allas toimitetaan osina, puretaan ensin altaasta kaikki mukana olevat tarvikkeet. Tasaiselle alustalle

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien

Lisätiedot

LÄMPÖPUMPUN ANTOTEHO JA COP Täytä tiedot vihreisiin ruutuihin Mittauspäivä ja aika LASKE VIRTAAMA, JOS TIEDÄT TEHON JA LÄMPÖTILAERON

LÄMPÖPUMPUN ANTOTEHO JA COP Täytä tiedot vihreisiin ruutuihin Mittauspäivä ja aika LASKE VIRTAAMA, JOS TIEDÄT TEHON JA LÄMPÖTILAERON LÄMPÖPUMPUN ANTOTEHO JA COP Täytä tiedot vihreisiin ruutuihin Täytä tiedot Mittauspäivä ja aika Lähdön lämpötila Paluun lämpötila 32,6 C 27,3 C Meno paluu erotus Virtaama (Litraa/sek) 0,32 l/s - Litraa

Lisätiedot

Kirami CUBE Ulkopuolinen lämmityskamiina Käyttöohjeet

Kirami CUBE Ulkopuolinen lämmityskamiina Käyttöohjeet Kirami CUBE Ulkopuolinen lämmityskamiina Käyttöohjeet Kamiinan tekniset tiedot: Merialumiininen kamiina (AlMg3) Valurautainen rosti x 2, umpirosti x 1 Tulipesäluukku, jossa teräksinen sisäosa Sisällä vesikiertoputket

Lisätiedot

RATKAISUT: 12. Lämpöenergia ja lämpöopin pääsäännöt

RATKAISUT: 12. Lämpöenergia ja lämpöopin pääsäännöt Physica 9 1. painos 1(7) : 12.1 a) Lämpö on siirtyvää energiaa, joka siirtyy kappaleesta (systeemistä) toiseen lämpötilaeron vuoksi. b) Lämpöenergia on kappaleeseen (systeemiin) sitoutunutta energiaa.

Lisätiedot

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0, 76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Energiatehokkuuden analysointi

Energiatehokkuuden analysointi Liite 2 Ympäristöministeriö - Ravinteiden kierrätyksen edistämistä ja Saaristomeren tilan parantamista koskeva ohjelma Energiatehokkuuden analysointi Liite loppuraporttiin Jani Isokääntä 9.4.2015 Sisällys

Lisätiedot

13 KALORIMETRI. 13.1 Johdanto. 13.2 Kalorimetrin lämmönvaihto

13 KALORIMETRI. 13.1 Johdanto. 13.2 Kalorimetrin lämmönvaihto 13 KALORIMETRI 13.1 Johdanto Kalorimetri on ympäristöstään mahdollisimman täydellisesti lämpöeristetty astia. Lämpöeristyksestä huolimatta kalorimetrin ja ympäristön välinen lämpötilaero aiheuttaa lämmönvaihtoa

Lisätiedot

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka 2006 m@hyl.fi 1 Lämpötila Suure lämpötila kuvaa kappaleen/systeemin lämpimyyttä (huono ilmaisu). Ihmisen aisteilla on hankala tuntea lämpötilaa,

Lisätiedot

Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on

Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on 766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Kirami SUB Merialumiininen uppokamiina. Käyttöohjeet

Kirami SUB Merialumiininen uppokamiina. Käyttöohjeet Kirami SUB Merialumiininen uppokamiina Käyttöohjeet Tiedot & Asennus Tekniset tiedot: Uppokamiina 3mm merialumiinia (AlMg3) Kolme kiinnityskorvaa Ilmanottoa säätelevä kansi Teräksinen ilmanohjauspelti

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

Lämpöistä oppia Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka

Lämpöistä oppia Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Lämpöistä oppia Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Alkudemonstraatio Käsi lämpömittarina Laittakaa kolmeen eri altaaseen kylmää, haaleaa ja lämmintä vettä. 1) Pitäkää

Lisätiedot

b) Laske prosentteina, paljonko sydämen keskimääräinen teho muuttuu suhteessa tilanteeseen ennen saunomista. Käytä laskussa SI-yksiköitä.

b) Laske prosentteina, paljonko sydämen keskimääräinen teho muuttuu suhteessa tilanteeseen ennen saunomista. Käytä laskussa SI-yksiköitä. Lääketieteellisten alojen valintakokeen 009 esimerkkitehtäviä Tehtävä 4 8 pistettä Aineistossa mainitussa tutkimuksessa mukana olleilla suomalaisilla aikuisilla sydämen keskimääräinen minuuttitilavuus

Lisätiedot

TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO

TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Energia- ja Prosessitekniikan laitos MUURATUN TULISIJAN ILMANJAON OPTIMOINTI Heikki Hyytiäinen, Tulisydän Oy Reijo Karvinen, TTY Kai Savolainen, TTY Pertti Taskinen, TTY

Lisätiedot

Ilman suhteellinen kosteus saadaan, kun ilmassa olevan vesihöyryn osapaine jaetaan samaa lämpötilaa vastaavalla kylläisen vesihöyryn paineella:

Ilman suhteellinen kosteus saadaan, kun ilmassa olevan vesihöyryn osapaine jaetaan samaa lämpötilaa vastaavalla kylläisen vesihöyryn paineella: ILMANKOSTEUS Ilmankosteus tarkoittaa ilmassa höyrynä olevaa vettä. Veden määrä voidaan ilmoittaa höyryn tiheyden avulla. Veden osatiheys tarkoittaa ilmassa olevan vesihöyryn massaa tilavuusyksikköä kohti.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Aurinkolämpö. Tässä on tarkoitus kertoa aurinkolämmön asentamisesta ja aurinkolämmön talteen ottamiseen tarvittavista osista ja niiden toiminnasta.

Aurinkolämpö. Tässä on tarkoitus kertoa aurinkolämmön asentamisesta ja aurinkolämmön talteen ottamiseen tarvittavista osista ja niiden toiminnasta. Aurinkolämpö Tässä on tarkoitus kertoa aurinkolämmön asentamisesta ja aurinkolämmön talteen ottamiseen tarvittavista osista ja niiden toiminnasta. Keräimien sijoittaminen ja asennus Keräimet asennetaan

Lisätiedot

Transistori. Vesi sisään. Jäähdytyslevy. Vesi ulos

Transistori. Vesi sisään. Jäähdytyslevy. Vesi ulos Nesteiden lämmönjohtavuus on yleensä huomattavasti suurempi kuin kaasuilla, joten myös niiden lämmönsiirtokertoimet sekä lämmönsiirtotehokkuus ovat kaasujen vastaavia arvoja suurempia Pakotettu konvektio:

Lisätiedot

Energiansäästö viljankuivauksessa

Energiansäästö viljankuivauksessa Energiansäästö viljankuivauksessa Antti-Teollisuus Oy Jukka Ahokas 30.11.2011 Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Maataloustieteiden laitos Agroteknologia Öljyä l/ha tai viljaa kg/ha Kuivaamistarve

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Lämpötilaluokka T450

Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Lämpötilaluokka T450 04.05.2014 Lämmönsiirtolaskelmat Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Lämpötilaluokka T450 Kokkola 04.05.2014 Rauli Koistinen, DI Femcalc Oy Insinööritoimisto Femcalc

Lisätiedot

TUTKIMUS IKI-KIUKAAN ENERGIASÄÄSTÖISTÄ YHTEISKÄYTTÖSAUNOISSA

TUTKIMUS IKI-KIUKAAN ENERGIASÄÄSTÖISTÄ YHTEISKÄYTTÖSAUNOISSA TUTKIMUS IKI-KIUKAAN ENERGIASÄÄSTÖISTÄ YHTEISKÄYTTÖSAUNOISSA IKI-Kiuas Oy teetti tämän tutkimuksen saatuaan taloyhtiöiltä positiivista palautetta kiukaistaan. Asiakkaat havaitsivat sähkölaskujensa pienentyneen,

Lisätiedot

LÄMPÖKESKUKSEN LÄMMITYSJÄRJESTELMÄN ERISTÄMISEN VAIKUTUS POLTTOAINEEN KULUTUKSEEN

LÄMPÖKESKUKSEN LÄMMITYSJÄRJESTELMÄN ERISTÄMISEN VAIKUTUS POLTTOAINEEN KULUTUKSEEN LÄMPÖKESKUKSEN LÄMMITYSJÄRJESTELMÄN ERISTÄMISEN VAIKUTUS POLTTOAINEEN KULUTUKSEEN Antti Kulha Opinnäytetyö Syksy 2010 Talotekniikan koulutusohjelma Oulun seudun ammattikorkeakoulu TIIVISTELMÄ Oulun seudun

Lisätiedot

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö

Lisätiedot

LÄSÄ-lämmönsäästäjillä varustettujen kattotuolirakenteiden lämpöhäviön simulointi

LÄSÄ-lämmönsäästäjillä varustettujen kattotuolirakenteiden lämpöhäviön simulointi LÄSÄ-lämmönsäästäjillä varustettujen kattotuolirakenteiden lämpöhäviön simulointi 13.11.2015 TkT Timo Karvinen Comsol Oy Johdanto Raportissa esitetään lämpösimulointi kattotuolirakenteille, joihin on asennettu

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Pata, kaasu, epäsuora lämmitys

Pata, kaasu, epäsuora lämmitys Edistyksellisen teknologian ja korkean suorituskyvyn ansiosta 900 XP laitesarja soveltuu erinomaisesti ravintoloille sekä isommille laitoskeittiöille, jotka tarvitsevat tehokkuutta ja korkeaa tuottavuutta.

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Työ 3: Veden höyrystymislämmön määritys

Työ 3: Veden höyrystymislämmön määritys Työ 3: Veden höyrystymislämmön määritys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä vettä höyrystetään uppokuumentimella ja mitataan jäljellä olevan veden painoa sekä höyrystymiseen

Lisätiedot

Maanvastaisen alapohjan lämmöneristys

Maanvastaisen alapohjan lämmöneristys TUTKIMUSRAPORTTI VTT-R-04026-11 Maanvastaisen alapohjan lämmöneristys Kirjoittajat: Luottamuksellisuus: Jorma Heikkinen, Miimu Airaksinen Luottamuksellinen TUTKIMUSRAPORTTI VTT-R-04026-11 Sisällysluettelo

Lisätiedot

Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Läpivienti täysin eristetty ja osittain tuuletettu rakenne

Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Läpivienti täysin eristetty ja osittain tuuletettu rakenne 14.04.2014 Lämmönsiirtolaskelmat Päivitys 15.4.-14 Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Läpivienti täysin eristetty ja osittain tuuletettu rakenne Kokkola 14.04.2014

Lisätiedot

= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa

= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 8, ratkaisut syyslukukausi 2014 1. 1 kg nestemäistä vettä muuttuu höyryksi lämpötilassa T 100 373,15 K ja paineessa P 1 atm 101325 Pa. Veden tiheys ρ 958 kg/m 3 ja moolimassa

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi

Lisätiedot

Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA

Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Hydrauliikka: kooste teoriasta ja käsitteistä

Hydrauliikka: kooste teoriasta ja käsitteistä ENY-C003 / S-05 Hydrauliikka: kooste teoriasta ja käsitteistä Sovelletussa hydrodynamiikassa eli hydrauliikassa käsitellään veden virtausta putkissa ja avouomissa sekä maaperässä. Käsitteitä Rataviiva,

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Kryogeniikka ja lämmönsiirto. Dee Kryogeniikka Risto Mikkonen

Kryogeniikka ja lämmönsiirto. Dee Kryogeniikka Risto Mikkonen DEE-54030 Kyogeniikka Kyogeniikka ja lämmönsiito Dee-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen Lämmönsiion mekanismit '' q x ( ) x q '' h( s ) q Dee-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen '' 4 4 ( s su ) Lämmön johtuminen

Lisätiedot

Pyörivän sähkökoneen jäähdytys

Pyörivän sähkökoneen jäähdytys Pyörivän sähkökoneen jäähdytys Sallittu lämpenemä määrää koneen tehon (nimellispiste) ämmön- ja aineensiirto sähkökoneessa on huomattavasti monimutkaisempi ja vaikeammin hallittava tehtävä koneen magneettipiirin

Lisätiedot

Ulkoseinän lämpöhäviöiden määritys Minna Teikari, diplomi-insinööri Tutkija, Tampereen teknillinen korkeakoulu teikari@ce.tut.fi

Ulkoseinän lämpöhäviöiden määritys Minna Teikari, diplomi-insinööri Tutkija, Tampereen teknillinen korkeakoulu teikari@ce.tut.fi Minna Teikari, diplomi-insinööri Tutkija, Tampereen teknillinen korkeakoulu teikari@ce.tut.fi Hannu Keränen, diplomi-insinööri Tutkija, Tampereen teknillinen korkeakoulu hannuk@ce.tut.fi Johdanto Rakennuksen

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohjeet. SAVUPIIPPU Perusosa: 15125R Jatko-osat: 15200R, 15225R, 15325R

Asennus- ja käyttöohjeet. SAVUPIIPPU Perusosa: 15125R Jatko-osat: 15200R, 15225R, 15325R FI Asennus- ja käyttöohjeet SAVUPIIPPU Perusosa: 15125R Jatko-osat: 15200R, 15225R, 15325R 00000000 00000000 0809 Misa-järjestelmäsavupiippu on testattu standardin EN 1856-1:2009 mukaisesti käytettäväksi

Lisätiedot

Aineopintojen laboratoriotyöt 1. Veden ominaislämpökapasiteetti

Aineopintojen laboratoriotyöt 1. Veden ominaislämpökapasiteetti Aineopintojen laboratoriotyöt 1 Veden ominaislämpökapasiteetti Aki Kutvonen Op.nmr 013185860 assistentti: Marko Peura työ tehty 19.9.008 palautettu 6.10.008 Sisällysluettelo Tiivistelmä...3 Johdanto...3

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

1. Kumpi painaa enemmän normaalipaineessa: 1m2 80 C ilmaa vai 1m2 0 C ilmaa?

1. Kumpi painaa enemmän normaalipaineessa: 1m2 80 C ilmaa vai 1m2 0 C ilmaa? Kysymys 1. Kumpi painaa enemmän normaalipaineessa: 1m2 80 C ilmaa vai 1m2 0 C ilmaa? 2. EXTRA-PÄHKINÄ (menee yli aiheen): Heität vettä kiukaalle. Miksi vesihöyry nousee voimakkaasti kiukaasta ylöspäin?

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Ville Rahkola EKONOMAISERIN SUUNNITTELU JA MITOITUS

Ville Rahkola EKONOMAISERIN SUUNNITTELU JA MITOITUS Ville Rahkola EKONOMAISERIN SUUNNITTELU JA MITOITUS Opinnäytetyö CENTRIA AMMATTIKORKEAKOULU Kone- ja tuotantotekniikan koulutusohjelma Huhtikuu 2014 TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ Yksikkö Tekniikka ja liiketalous,

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

EWA Solar aurinkokeräin

EWA Solar aurinkokeräin EWA Solar aurinkokeräin Sisällys: 1. Keräimen periaate 2. Keräimen rakenne 3. Keräimen toiminta 4. Keräimen yhdistäminen EWA:an 5. Ohjeita keräimen rakentamiseksi 6. Varoitus 7. Ominaisuuksia luettelona

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

TONA. Taloudellinen ja ekologinen keraaminen savupiippujärjestelmä CERAMIC GUARANTEE

TONA. Taloudellinen ja ekologinen keraaminen savupiippujärjestelmä CERAMIC GUARANTEE TONA Taloudellinen ja ekologinen keraaminen savupiippujärjestelmä CERAMIC GUARANTEE TONA Johtava eurooppalainen keraamisten savupiippujen toimittaja TONA aloitti keraamisten tuotteiden valmistuksen vuonna

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

Hirsirakenteisten kesämökkien kuivanapitolämmitys

Hirsirakenteisten kesämökkien kuivanapitolämmitys 1 Hirsirakenteisten kesämökkien kuivanapitolämmitys Puupäivä 11.11.2010 Jarkko Piironen Tutkija, dipl.ins. Tampereen teknillinen yliopisto Rakennustekniikan laitos Esityksen sisältö 2 1. Taustaa ja EREL

Lisätiedot

Valmispiippu Kerastar on ainutlaatuinen yhdistelmä: teräksinen kuori, keraaminen hormi

Valmispiippu Kerastar on ainutlaatuinen yhdistelmä: teräksinen kuori, keraaminen hormi Asennusohjeet Valmispiippu Kerastar on ainutlaatuinen yhdistelmä: teräksinen kuori, keraaminen hormi Valmispiippu Kerastar on tarkoitettu lähtemään tulisijan päältä. Siinä on haponkestävä, keraaminen sisähormi.

Lisätiedot