JUHA SUVANTO TUPSULAN PADAN LÄMMÖNSIIRTO. Kandidaatintyö

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "JUHA SUVANTO TUPSULAN PADAN LÄMMÖNSIIRTO. Kandidaatintyö"

Transkriptio

1 JUHA SUVANTO TUPSULAN PADAN LÄMMÖNSIIRTO Kandidaatintyö

2 ii TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Ympäristö- ja energiatekniikan koulutusohjelma SUVANTO, JUHA: Tupsulan Padan lämmönsiirto Kandidaatintyö, 20 sivua Toukokuu 2013 Pääaine: Energia- ja prosessitekniikka Tarkastaja: Professori Antti Oksanen Avainsanat: lämmönsiirto, savukaasu, tulipesä, vesiallas, kylpyallas, Tupsula Tupsula on opiskelijatalo Tampereella. Pata on sen pihassa oleva lämmitettävä kylpyallas. Tässä kandidaatintyössä tutkitaan Padan lämmönsiirto-ominaisuuksia sekä esitetään parannusehdotuksia Padan rakenteisiin lämmittämisen energiatehokkuuden parantamiseksi. Työ on kirjallisuustutkielma, joka perustuu pääasiassa A.F. Millsin teokseen Basic Heat & Mass Transfer (ks. Lähteet). Suurin osa Padan tiedoista on suullista perimätietoa, mutta osa löytyy myös Tupsulan hiljattain julkaistusta historiikista. Padan mitat on itse mitattu ja kaikki kuvat on myös itse piirretty. Työssä esitetään Padan lämmönsiirtoon liittyvät tasapainotilanteiden yhtälöt. Transienttitilanteita ei käsitellä. Vaikka työn tutkimuskohde on yksittäinen rakennus, ovat työssä johdetut yhtälöt silti päteviä myös muihin vastaaviin lämmitettäviin kylpyaltaisiin. Työssä pohditaan myös rakenteellisia muutoksia Padan energiatehokkuuden parantamiseksi ja muutosten vaikutuksia aiemmin mainittuihin lämmönsiirtoyhtälöihin. Työssä esitetään parannusehdotuksina, että Pataan lisätään eristeet seiniin, käytetään kattoa lämmityksen aikana, asennetaan altaan pohjaan rivat sekä uudistetaan tulipesä.

3 SISÄLTÖ Tiivistelmä... ii Lyhenteet ja symbolit... iv 1 Johdanto Pata Lämmönsiirron teoria Lämmönsiirto pohjan läpi Lämmönsiirto hormin läpi Sekoittuminen ja johtuminen nesteessä Lämmön siirtyminen seinän läpi Höyrystyminen ja säteily veden pinnasta Eristäminen Katto Pohjaripa Tulokset Lähteet iii

4 iv LYHENTEET JA SYMBOLIT CFD Virtauslaskenta, Computational fluid dynamics Symbolit: A Pinta-ala [m 2 ] D Halkaisija f Kitkakerroin F Siirtokerroin; muotokerroin g Putoamiskiihtyvyys, 9,81 m/s 2 g m h c h r k L M N Nu P p p sat Konduktiivinen massansiirtokerroin Konvektiivinen lämmönsiirtokerroin Säteilylämmönsiirtokerroin Lämmönjohtavuus [W/mK] Karakteristinen pituus Moolimassa [kg/kmol] Lukumäärä Nusseltin luku piiri Paine [Pa] Kylläisen höyryn paine [Pa] Prandtlin luku Pr Q Lämpövirta [W] q Lämpövuo [W/m 2 ] R Lämmönsiirtovastus [K/W] R u Yleinen kaasuvakio, 8,3145 J/molK Ra Rayleigh n luku Re Reynoldsin luku Sc Schmidtin luku Sh Sherwoodin luku T Lämpötila [K] U Lämmönsiirtokerroin [W/m 2 K] V x y Virtausnopeus [m/s] Koordinaatti; etäisyys [m] Koordinaatti; etäisyys [m] Kreikkalaiset kirjaimet: α β Terminen diffusiviteetti [m 2 /s]; absorptanssi Lämpölaajenemiskerroin [K -1 ]; ripaparametri

5 v ρ Tiheys [kg/m 3 ] ν Kinemaattinen viskositeetti [m 2 /s] η Hyötysuhde φ Suhteellinen ilmankosteus σ Stefanin Boltzmannin vakio, 5, W/m 2 K 4 Ψ Prandtlin luvun funktio Alaindeksit: a c D f k L pa r rt s sk u y Alapinta Konvektio; poikkileikkaus Halkaisija Ripa Katto Karakteristinen pituus Polttoaine Säteily Ruostumaton teräs Sisäpinta Savukaasu Ulkopinta Yläpinta

6 1 1 JOHDANTO Tupsula on teekkareiden asuttama opiskelijatalo Tampereella, Annalan kaupunginosassa. Pata on Tupsulan pihassa sijaitseva, asukkaiden käytössä oleva haponkestävästä ruostumattomasta teräksestä valmistettu puulämmitteinen kylpyallas. Padan energiatehokkuus on kyseenalainen, sillä se on täysin eristämätön ja lämmitys tapahtuu Padan alla olevan tulipesän avulla. Tupsulassa on erityisesti keskusteltu Padan seinien eristämisestä ja rivan asentamisesta Padan pohjaan. Näillä kahdella toimenpiteellä voitaisiin saavuttaa huomattavia säästöjä polttoaineenkäytössä, kun Padan vesi lämpenisi nopeammin ja toisaalta jäähtyisi hitaammin. Myös katon käytöstä lämmityksen aikana on keskusteltu, sillä se voisi nopeuttaa lämmittämistä. Tämän kandidaatintyön tarkoituksena on esitellä Padan lämmönsiirtoilmiöt ja teoria niiden taustalla sekä selvittää millä toimenpiteillä Padan energiatehokkuutta voisi parantaa. Tavoitteena on löytää Padan lämmönsiirtoa kuvaavat yhtälöt, joiden avulla voidaan myöhemmin tehdä päätöksiä mahdollisista energiatehokkuutta parantavista muutostöistä. Työ rajoittuu tasapainotilannetta kuvaaviin yhtälöihin, eikä sisällä ratkaisuja ajan myötä muuttuville transienttitilanteille. Tässä työssä ei ole tehty lämpötila- tai virtausmittauksia eikä laskettu numeerisia ratkaisuja yhtälöille. Lähteenä on käytetty erinomaista lämmönja massansiirron oppikirjaa Basic Heat & Mass Transfer (Mills, A.F., 1999, Prentice Hall, 2. painos). Luvussa 2 esitellään Pata tarkemmin ja kerrotaan sen ominaisuuksista ja käytöstä. Luvussa 3 esitetään Padan lämmönsiirtoa koskevat yhtälöt. Luvuissa 4 6 käsitellään eristämisen, katon ja rivan tuomia muutoksia lämmönsiirtoa koskeviin yhtälöihin. Luvussa 7 esitetään yhteenveto tuloksista ja esitetään jatkotutkimuskohteita Padan energiatehokkuudesta.

7 2 2 PATA Pata koostuu pääasiassa kolmesta osasta: altaasta, tulipesästä ja muista rakenteista. Tärkein osa on 3 mm paksusta haponkestävästä ruostumattomasta teräksestä valmistetut suorakulmaisen särmiön muotoinen allas ja pohjan lävistävä savupiippu. Padan alla on betoniharkoilla ympäröity tulipesä, jonka pohja on valettua betonia ja joka toimii samalla Padan perustuksina. Padan allas kelluu vapaasti betoniharkkojen päällä ja altaan pohjalevy on suorassa kosketuksessa tulipesän savukaasuihin ja liekkeihin. Lisäksi Padassa on puiset lauteet sekä puisia ulkorakenteita, kuten portaat ja harjakatto. Padan altaan mitat on esitetty kuvassa 2.1. Kuva 2.1. Padan ulkomitat. Puurakenteet on jätetty pois kuvasta selkeyden vuoksi. Pataa käytetään täyttämällä se vedellä noin 1,1 metrin korkeuteen ja polttamalla puuta sen alla olevassa tulipesässä. Padan koko altaan tilavuus on noin 4,5 m 3 ja Padassa on vettä käytön aikana noin 3,3 m 3. Vesi tulee lämmittämättömänä vesijohtoverkosta. Tulevan veden lämpötila on noin 4 7 C ja kylpyveden tavoitelämpötila on noin 35 C. Padan alla on tulipesä, jossa poltetaan puuta. Polttopuun laatu vaihtelee huomattavasti. Polttopuu saadaan usein lahjoituksena esimerkiksi rakennustyömailta, joten se sisältää usein paljon tuhkaa ja muita epäpuhtauksia, minkä seurauksena nokea muodostuu huomattavasti. Savukaasut poistuvat tulipesästä savukanavan ja hormin kautta. Hormi

8 3 kulkee altaan läpi, joten savukaasut luovuttavat hormin seinämän läpi hieman lämpöä kylpyveteen. Osa savukaasuista poistuu myös tulipesän syöttöaukon kautta ja osa vuotaa pois tulipesän ja altaan välisistä raoista. Tulipesän mitat on esitetty kuvassa 2.2. Kuva 2.2. Padan tulipesän mitat. Kuvan etureunassa on tulipesän luukku. Tulipesän takareunassa on savukanava, joka johtaa hormiin (ei kuvassa). Savukanavan kokoa ei ole mitattu. Kokemusten perusteella Padan lämmittämiseen kuluu tyypillisesti aikaa kesällä noin neljä tuntia ja talvella jopa kuusi tuntia. Veden lämpenemisteho voidaan laskea veden ominaislämpökapasiteetin arvolla c p = 4,2 kj, vesimassalla 3300 kg, neljän tunnin lämmitysajalla ja lämmönnousulla ΔT = 30 K: kgk Q = mc pδt t 3300 kg 4,2 kj 30 K kgk = 28,9 kw s (1) Vastaava teho talviaikaan kuuden tunnin lämmityksellä on n. 19,3 kw. Ero johtuu suurista lämpöhäviöistä, jotka ovat pakkasella suuremmat. Lämmittämisen hyötysuhdetta on vaikea arvioida, sillä palotilassa poltettavan puun määrä, laatu ja kosteus vaihtelevat, joten todellisen palamisessa vapautuneen lämmön laskeminen on hankalaa. Joka tapauksessa suurin osa Padan vedestä lämpenee pohjan kautta johtumalla. Savukaasut poistuvat tulipesästä altaan läpi kulkevan hormin kautta, joten osa savukaasujen lämmöstä siirtyy veteen myös hormin seinämän läpi. Padasta lämpö poistuu seinien ja vedenpinnan kautta.

9 4 3 LÄMMÖNSIIRRON TEORIA Lämmön johtumista kuvataan Fourierin yhtälöllä: q = k dt dx, (2) jossa lämpövuo q riippuu aineen lämmönjohtavuudesta k sekä kappaleen lämpötilajakaumasta dt dx. Lämpövirta Q tietyn pinnan läpi saadaan kertomalla lämpövuo pinta-alalla: Q = qa = ka dt dx, (3) jota integroimalla kappaleen läpi saadaan: Q = T L/kA, (4) jossa L on karakteristinen pituus, eli useimmissa tapauksissa kappaleen paksuus. Infrapunasäteilynä pinnasta toiseen siirtyvä lämpövirta voidaan esittää yhtälöllä: Q = A 1 F 12 (σt 1 4 σt 2 4 ), (5) jossa alaindeksit 1 ja 2 viittaavat säteilyä lähettävään ja säteilyä vastaanottavaan pintaan ja jossa F 12 on pintojen välinen siirtokerroin, joka riippuu pintojen geometriasta sekä emissiivisyyksistä. Symboli σ esittää Stefanin Boltzmannin vakiota, jonka suuruus on noin 5, W/m 2 K 4. Lämpösäteilylle voidaan laskea myös säteilylämmönsiirtokerroin h r, joka riippuu säteilevän kappaleen emissiivisyydestä. Jos lämpötilaero on pieni, toisin sanoen T 1 T 2, voidaan käyttää yhtälöä: Q = A 1 h r T, (6) jossa h r = 4ε 1 σt 3, jossa puolestaan T on lämpötilojen T 1 ja T 2 keskiarvo. Konvektio on lämmön siirtymistä pinnasta liikkeessä olevaan kaasuun tai nesteeseen. Konvektio voi olla pakotettua, esimerkiksi jos nesteen liike on tuotettu pumppaamalla, tai luonnollista, jolloin liike syntyy lämpötilaerosta johtuvista tiheyseroista esimerkiksi lämpimän ilman noustessa ylöspäin. Konvektiivinen lämpövirta voidaan esittää yhtälöllä: Q = Ah c T, (7)

10 5 jossa h c merkitsee konvektiivista lämmönsiirtokerrointa, joka yleensä esitetään Nusseltin luvun Nu avulla: Nu = h cl k, (8) jonka suuruus riippuu lämmönsiirtotilanteen geometriasta ja siitä, onko virtaus laminaarinen vai turbulenttinen. Nusseltin luvun määrittämiseen on kehitetty useita korrelaatioyhtälöitä. Usein nämä korrelaatiot riippuvat Reynoldsin luvusta Re L : Re L = VL ν, (9) joka on laminaarille putkivirtaukselle Re L 2300 ja turbulentille Re L Arvoilla Re L = virtauksen sanotaan olevan siirtymäalueella, jossa virtauksella on joko laminaarisia, turbulentteja tai näiden välillä vaihtelevia ominaisuuksia. Kullekin yllä mainitulle lämmönsiirtotavalle voidaan laskea lämmönsiirtovastus R, joka on johtumiselle R = L ka, säteilylle R = 1 h r A ja konvektiolle R = 1 h c A, joiden avulla lämpövirta voidaan esittää yksinkertaisesti muodossa: Q = T R. (10) Lämmönsiirtovastuksen lisäksi voidaan määrittää myös lämmönsiirtokerroin U, joka on johtumiselle U = k/l, säteilylle U = h r ja konvektiolle U = h c. Nähdään, että lämmönsiirtovastuksen ja lämmönsiirtokertoimen välillä on yhteys: R = 1 UA, joten lämpövirta voidaan esittää myös lämmönsiirtokertoimen avulla: Q = UA T. (11) Toisinaan lämmönsiirtokerrointa kannattaa käyttää, sillä joissakin tapauksissa se on helpompi laskea kuin lämmönsiirtovastus. Lämmönsiirtovastuksen R tai lämmönsiirtokertoimen U avulla voidaan laskea useiden erilaisten lämmönsiirtotapahtumien sarjoja laskemalla niiden lämmönsiirtovastukset yhteen. Esimerkiksi kahden eri materiaalin A ja B yhteinen johtumisvastus on: R = R A + R B = L A + L B. k A A A k B A B (12) Rinnakkaisten lämmönsiirtotapahtumien, esimerkiksi säteilyn ja konvektion, yhteinen lämmönsiirtovastus puolestaan lasketaan:

11 6 eli: 1 R = 1 R r + 1 R c = h r A + h c A R = 1 h r A + h c A (13) (14) tai toisaalta, koska R = 1 UA, voidaan suoraan kirjoittaa myös U = h r + h c. Lämmönsiirtovastuksien sarjaan- ja rinnankytkentöjä lasketaan siis samalla tavalla kuin sähköisten resistanssien sarjaan- ja rinnankytkentöjä. Seuraavaksi tarkastellaan edellä esiteltyjen yhtälöiden avulla Padassa tapahtuvia lämmönsiirtoilmiöitä. 3.1 Lämmönsiirto pohjan läpi Lämpö siirtyy tulipesästä veteen kolmessa vaiheessa: 1) rinnakkaiset nuotion säteily ja savukaasujen konvektio pohjalevyyn 2) johtuminen pohjalevyn läpi 3) luonnollinen konvektio pohjalevystä nesteeseen Lämmönsiirto Padan pohjan läpi voidaan esittää lämpöpiirinä, jossa saapuvan säteilyn ja konvektion rinnankytkentä on kytketty sarjaan johtumisen ja poistuvan konvektion kanssa: Kuva 3.1. Padan pohjan esitys lämpöpiirinä. Todellisuudessa palotilan katon pinta-ala A a on noin 40 % altaan koko pohjan pintaalasta (kuvat 2.1 ja 2.2). Pohjan läpi johtuessaan lämpö johtuu siis myös pohjan suuntaisesti. Pohja on kuitenkin hyvin ohut suhteessa pohjalevyn pinta-alaan, joten voidaan olettaa, että pohjan suuntainen johtuminen on mitättömän pientä, ja käyttää yhtälöissä palotilan katon pinta-alaa. Kuvassa 3.1 näkyvä säteilylämmönsiirtokerroin h r,a on yksinkertainen tapa esittää säteilemällä siirtyvä lämpö yhden lämpötilaeron (tässä T nuotio T a ) avulla, jota voi käyttää lämpötilaeron ollessa pieni (T nuotio T a ), mikä ei tässä tapauksessa pidä paikkaansa. Siksi käytetään tarkemman tuloksen antavaa yhtälöä:

12 7 4 Q = A a Fσ(T nuotio T a 4 ) (15) josta täytyy määrittää siirtokerroin F. Yksinkertaisuuden vuoksi esitetään palotila leikkaukseltaan suorakulmiona, jonka alareuna on nuotio ja yläreuna Padan pohja (Kuva 3.2). Samalla oletetaan tulipesän pohja ja seinät adiabaattisiksi. Kuva 3.2. Yksinkertainen esitys nuotion ja pohjan välisestä säteilylämmönsiirrosta. Siirtokertoimen tarkan arvon laskeminen voi olla työlästä, mutta sille voidaan laskea riittävän tarkka likiarvo yhtälöllä: 1 F = 1 εpohja + 1 ε nuotio 1, (16) joka pätee vastakkaisille, yhdensuuntaisille, suurille pinnoille. Yhtälössä käytettävät emissiivisyydet voivat olla kuitenkin hankalasti määritettävissä. Siirtokerroin voidaan määrittää myös myöhemmin kohdassa 3.5 esitettävällä tavalla. Todellisuudessa palotilan säteily-yhtälö on vielä monimutkaisempi, mutta nyt tyydyttäköön hieman epätarkempaan ratkaisuun. Konvektio palotilan savukaasuista pohjaan on arvioitavissa Nusseltin luvun avulla. Nusseltin luku laminaariselle virtaukselle tasaisen levyn pinnalla lasketaan seuraavasti: 1 Nu L = 0,664Re 2 L Pr 1 3 ; 10 3 < Re L , Pr > 0,5 (17) ja turbulenttiselle: Nu L = 0,664Re tr 1 2 Pr ,036Re 0,8 L Pr 0,43 [1 ( Re tr ) 0,8 ] ; Re L Re tr < Re L < ; 0,7 < Pr < 400, (18) jossa Re tr = on Reynoldsin luku siirtymäalueella ja joissa Prandtlin luku Pr on savukaasun aineominaisuus. Näin laskettu Nusseltin luku voidaan ratkaista yhtälöstä (8). Pohjasta veteen konvektiivisesti siirtyvä lämpö voidaan laskea Nusseltin luvun avulla. Tässä tilanteessa Nusseltin luvulle on olemassa seuraavat Rayleigh n luvusta Ra riippuvat korrelaatiot:

13 8 ja 1 Nu L = 0,54Ra 4 L ; 10 5 < Ra L < (19) 1 Nu L = 0,14 Ra 3 L ; < Ra L < (20) Rayleigh n luku lasketaan seuraavasti: Ra = βδtgl3 να, (21) jossa β, ν ja α ovat veden ominaisuuksia keskilämpötilassa T = (T y + T vesi ) 2. Yllä olevilla yhtälöillä saatu Nusseltin luku sijoitetaan yhtälöön 8, josta ratkaistaan konvektiivinen lämmönsiirtokerroin h c, jota käytetään yhtälössä 7. Kuvan 3.1 merkinnöillä ja yhtälöiden 4, 7 ja 15 avulla voidaan muodostaa kokonaisyhtälö pohjan läpi siirtyvälle lämmölle: 4 Q pohja = A a Fσ(T nuotio T 4 a ) + h c,a A a (T sk T a ) = k rta a (T a T y ) L pohja = h c,y A a (T y T vesi ), (22) jossa A a on siis pohjan alapinnan, toisin sanoen tulipesän katon, pinta-ala. 3.2 Lämmönsiirto hormin läpi Savukaasut poistuvat tulipesästä Padan päädyssä olevan hormin kautta. Hormin ulkohalkaisija on noin 16 cm ja sen korkeus pohjasta on noin 247 cm. Hormin seinämä on 3 mm paksu. Hormin poikkileikkaus on esitetty kuvassa 3.3. Lämpö siirtyy hormin savukaasuista veteen kolmessa vaiheessa: 1) pakotettu konvektio savukaasuista hormin sisäseinään 2) johtuminen hormin seinämän läpi 3) luonnollinen konvektio hormin ulkoseinästä veteen Kuva 3.3. Hormin poikkileikkaus. r 1 on nokikerroksen säde, r 2 hormin sisähalkaisija ja r 3 on hormin ulkohalkaisija. d s on nokikerroksen paksuus ja d 0 seinämän paksuus.

14 9 Lämpövirta savukaasuista veteen voidaan esittää lämpöpiirinä, jossa on sarjaan kytkettyinä konvektio seinämään, johtuminen nokikerroksen ja seinämän läpi ja lopulta konvektio seinämästä veteen. Lämpöpiiri on esitetty kuvassa 3.4. Kuva 3.4. Hormi lämpöpiirinä. Savukaasusta hormin seinämään siirtyvän lämpövirran keskimääräisen konvektiivisen lämmönsiirtokertoimen määrittäminen on hankalaa ilman mittalaitteita. Virtausmittarin ja lämpömittarin avulla olisi mahdollista päätellä jotakin virtauksen luonteesta. Pataa käytettäessä on kuitenkin selkeästi havaittavissa, että savukaasun virtaus on turbulenttista, kun puut vielä palavat tulipesässä. Samoin on käytössä havaittu, että virtauksen turbulenttisuus vähenee, kun tulipesässä on jäljellä enää hiillos. Toistaiseksi ei kuitenkaan ole määritetty sitä, onko virtaus missään lämmityksen vaiheessa todellisuudessa laminaarista vai ei. Tämän vuoksi esitetään korrelaatiot sekä turbulentille että laminaariselle savukaasuvirtaukselle, jotka riippuvat Reynoldsin luvusta. Täysin kehittyneellä laminaarilla virtauksella on erikoistapaus Nu D = 3,66, jossa lämmönsiirtokerroin ei riipu virtausnopeudesta. Turbulentille virtaukselle on kehitetty kaksi korrelaatiota Reynoldsin luvusta riippuen: ja Nu D = 0,023Re D 0,8 Pr 0,4 ; Re D > (23) (f 8)(Re D 1000)Pr Nu D = ,7(f 8) 1 2 (Pr 2 3 1), (24) joista jälkimäisellä on ehto 3000 < Re D < 10 6, ja joissa molemmissa Pr on Prandtlin luvuksi kutsuttu lämpötilasta riippuva aineominaisuus ja f = (0,790 ln Re D 1,64) 2 on kitkakerroin. Näin saatua Nusseltin lukua voidaan käyttää yhtälön 8 mukaan: Q = Nu Dk sk D A(T sk T noki ) (25) Yleisesti putken seinämän läpi johtuvaa lämpövirtaa kuvaa yhtälö: (26)

15 10 Q = 2πkL(T 1 T 2 ) ln (r 2 r 1 ), jossa L on putken pituus, r 1 sen sisähalkaisija ja r 2 sen ulkohalkaisija. Hormin sisäpinnassa on kuitenkin usein nokikerros, joka haittaa lämmön siirtymistä. Nokikerroksen lämpövirta voidaan laskea samalla yhtälöllä, joten kuvien 3.3 ja 3.4 merkinnöillä lämpövirta nokikerroksen ja hormin seinämän läpi on: Q = 2πk nokil(t noki T s ) ln (r 2 r 1 ) = 2πk rtl(t s T u ) ln (r 3 r 2 ), (27) jossa k noki on noen ja k rt ruostumattoman teräksen lämmönjohtavuus. Luonnolliselle konvektiolle hormin ulkopinnasta veteen parhaiten sopiva korrelaatio on pystysuoran seinän konvektiota vastaava tilanne. Tällöin Nusseltin luvuksi saadaan laminaarille tapaukselle: Nu L = 0,68 + 0,670(Ra L Ψ) 1 4 ; Ra L 10 9 (28) ja turbulentille tapaukselle: Nu L = 0,68 + 0,679(Ra L Ψ) 1 4 (1 + 1, Ra L Ψ) 1 12 ; 10 9 Ra L < 10 12, (29) joissa L on veden peittämän hormin korkeus, toisin sanoen vedenpinnan korkeus, ja joissa oleva Prandtlin luvun funktio Ψ määritellään: Ψ = [1 + ( 0, Pr ) ] (30) Näin saadun Nusseltin luvun avulla ratkaistaan lämmönsiirtokerroin yhtälöllä 8 ja sijoitetaan se yhtälöön 7. Yhdistämällä se yhtälöiden 25 ja 27 kanssa saadaan lämpövirralle savukaasuista hormin läpi veteen siis yhtälö: Q hormi = Nu Dk sk D A(T sk T ) noki = 2πknokiL(T noki T ) s ln (r 2 r 1 ) = Nu Lk vesi L A(T u T vesi ), = 2πk rtl(t s T u ) ln (r 3 r 2 ) (31) jossa Nu D on Nusseltin luku hormin sisäpuoliselle ja Nu D ulkopuoliselle konvektiolle.

16 Sekoittuminen ja johtuminen nesteessä Lämmön siirtymistä vedessä ja veden sekoittumista kuvaavat yhtälöt ovat transienttitilanteita ja vaativat monimutkaista numeerista verkkopohjaista laskentaa, jossa veden tilavuus jaetaan laskentakoppeihin tai alkioihin, joille kullekin luodaan oma energiatasapainoyhtälö. Tämän kaltaiset transienttitilanteet ovat tämän työn aihepiirin ulkopuolella ja siksi näiden yhtälöiden johtaminen sivuutetaan. Tällöin veteen varastoituvaa lämpöä kuvaavaksi yhtälöksi saadaan varsin yksinkertainen, jo luvussa 2 esitelty yhtälö 1: Q vesi = mc p ΔT t. Tämän varastoitumistermin yhteys muihin yhtälöihin esitetään tulosten yhteydessä luvussa 7. Käytännössä transienttitilanteen jättäminen huomiotta vastaa sitä, että Padan vettä sekoitetaan jatkuvasti lämmityksen ajan. Tämä ei ole kaukana todellisuudesta, sillä vettä usein hämmennetään lämmitettäessä, jotta veden lämpötila saadaan mitattua luotettavammin ja sitä kautta vältytään lämmittämästä Pataa liian kuumaksi. 3.4 Lämmön siirtyminen seinän läpi Lämpö poistuu Padasta seinän läpi ulkoilmaan kolmessa vaiheessa: 1) konvektio vedestä seinän sisäpintaan 2) johtuminen seinän läpi 3) luonnollinen konvektio ulkoilmaan ja säteily ympäristöön Kuva 3.5. Seinän lämpöpiiri. Lämmityksen alkaessa vesi ja seinä ovat tyypillisesti eri lämpötilassa. Kyseessä on transienttitilanne, joka on tämän työn aihepiirin ulkopuolella. Sen sijaan tasapainotilanteessa oletetaan, että vesi on hyvin sekoittunutta ja lämmitys on edennyt pitkälle. Tällöin vesi on kauttaaltaan tasalämpöistä ja seinän sisäpinta on samassa lämpötilassa. Tällöin konvektio vedestä seinään on Q = 0 ja se voidaan jättää yhtälöstä pois. Tässä tapauksessa seinän läpi johtuvaan lämpövirtaan voidaan käyttää yhtälöä: Q = k rta(t vesi T u ) L seinä = h c,u A(T u T ilma ), (32)

17 12 jossa h c,u lasketaan kuten hormin ulkopinnan tapauksessa luvussa 3.2. Kaiken kaikkiaan edellä tehdyillä oletuksilla saadaan seinän lämmönsiirron kokonaisyhtälöksi: Q = h c,s A(T vesi T s ) = k rta(t s T u ) L seinä = h c,u A(T u T ilma ). (33) Lämmönsiirtoa seinän läpi voi pienentää käyttämällä eristettä. Eristeen ja verhoilun vaikutusta lämmönsiirtoon on käsitelty luvussa Höyrystyminen ja säteily veden pinnasta Osa Padan vedestä höyrystyy lämmityksen aikana, mikä sitoo lämpöä ja aiheuttaa konvektiivista lämmönsiirtoa vedestä ilmaan. Höyrystyminen aiheuttaa myös massahäviötä, mutta se on merkityksettömän pieni verrattuna veden kokonaismäärään. Lisäksi osa lämmöstä häviää säteilynä veden pinnasta. Seuraavaksi esitetään yhtälö höyrystymisestä aiheutuvalle lämpöhäviölle. Oletetaan höyrystyneen veden ja ilman seos ideaalikaasuksi. Lasketaan ensin veden ja ilman höyrynpaineiden avulla vesi-ilma-seoksen tiheyksien ero Δρ: p 1,vesi = p sat (T vesi ) (35) p 1, = φp sat (T ) (36) ρ vesi = p 1,vesiM vesi R u T vesi ρ = p 1, M vesi R u T + (p p 1,vesi )M ilma R u T vesi + (p p 1, )M ilma R u T (37) (34) Δρ = ρ vesi ρ (38) Seuraavaksi lasketaan Grashofin luku Gr. Sen laskemiseen tarvitaan edellä saatuja tiheyksien eroa Δρ ja niiden keskiarvoa ρ sekä veden kinemaattista viskositeettia ν, joka saadaan kirjallisuudesta. Viskositeetti riippuu aineesta ja lämpötilasta, jona voidaan käyttää keskiarvoa T = 1 2 (T vesi + T ). Grashofin luku määritellään: Gr L = (Δρ ρ )gl3 ν 2, (39) jossa karakteristisena pituutena voidaan käyttää veden pinnankorkeutta Grashofin luvun avulla voidaan laskea keskimääräiset Nusseltin ja Sherwoodin luvut Nu L ja Sh : L Nu L = 0,14(Gr L Pr) 1 3 (40) Sh L = 0,14(Gr L Sc) 1 3, (41)

18 13 joissa Prandtlin luku Pr ja Schmidtin luku Sc saadaan taulukoista. Nusseltin luvusta saadaan keskimääräinen konvektiivinen lämmönsiirtokerroin: h c = k L Nu L, (42) joten konvektiivinen lämpövirta veden pinnasta on: Q = A(T h c vesi T ). (43) Sherwoodin luvusta saadaan konduktiivinen massansiirtokerroin: g m = ρ ν ScL Sh L, (44) josta voidaan laskea veden faasimuutoksen sitoma lämpöteho: Q = g ma(m 1,vesi m 1, )h fg (T vesi ), (45) jossa m 1,vesi = ρ 1,vesi /ρ vesi, m 1, = ρ 1, /ρ infty ja h fg (T vesi ) on veden höyrystymislämpö pinnan lämpötilassa. Veden pinta säteilee lämpöä Padan seiniin ja ympäristöön. Yleisesti muotokerroin F säteilylle pinnasta AB pintaan CD voidaan laskea Hottelin narusäännön avulla, kuvan 3.6 merkintöjä käyttäen: F AB,CD = 1 (AD + BC AC BD), 2AB (46) Kuva 3.6. Muotokertoimen laskeminen. AB on veden pinta, AC ja BD ovat Padan seiniä, jotka jäävät vedenpinnan yläpuolelle. CD on ympäristöä esittävä kuvitteellinen pinta.

19 14 Merkitään muotokerrointa vedestä ympäristöön F AB,CD F ja vastaavasti vedestä molempiin seiniin F AB,BD + F AB,AC F s. Lasketaan muotokerroin F sijoittamalla yhtälöön 40 AD = (AB) 2 + (BD) 2 = (BC) 2 + (AC) 2 = BC 1552 mm, jolloin saadaan tulos F 0,77. Vastaavasti säteily vedestä AB seiniin BD ja AC on tämän komplementti, eli F s = 1 F 0,23, mikä on helppo todeta narusäännöllä: F AB,BD = 1 2AB (AB + BD (AB)2 + (BD) 2 BB ) 0,116 =0 (47) eli F s = 2 F AB,BD 0,23. Yhtälöstä 46 voidaan säteilylle vedenpinnasta Padan seiniin ja ympäristöön johtaa yhtälö: 4 Q = F Aσ(ε vesi T vesi α T 4 4 ) + F s Aσ(ε vesi T vesi α s T 4 s ). (48) Jos halutaan ottaa huomioon, että myös ympäristö ja Padan seinät säteilevät lämpöä takaisin veteen, yhtälö muuttuu jokseenkin monimutkaiseksi ja lämpövirraksi saadaan: Q = 4 σ(t vesi 1 ε vesi ε 1 A vesi + T 4 ) 1 A vesi F + 1 ε + ε A 4 σ(t vesi T 4 s ) 1 ε vesi ε 1 A + 1 vesi A vesi F + 1 ε. s s ε s A s (49) Mielenterveyden säilyttämiseksi tässä työssä ei käsitellä tilannetta, jossa myös Padan vedenpinnan yläpuolisten seinien ja ympäristön välillä on säteilylämmönsiirtoa. Nyt riittäköön tieto, että tilannetta kuvataan samankaltaisilla yhtälöillä. Yhdistämällä yllä olevat yhtälöt 43, 45 ja 49 saadaan veden pinnan kautta konvektiolla, höyrystymällä ja säteilemällä poistuvaksi lämpövirraksi: Q pinta = h A(T c vesi T ) + g ma(m 1,vesi m 1, )h fg (T vesi ) 4 σ(t vesi T 4 ) + 1 ε vesi 1 ε 1 A + vesi A vesi F + 1 ε + ε A 4 σ(t vesi T 4 s ) 1 ε vesi ε 1 A + 1 vesi A vesi F + 1 ε. s s ε s A s (50)

20 15 4 ERISTÄMINEN Padan jäähtymistä käytön aikana voi hidastaa lisäämällä seiniin eristettä, mikä vähentää lämmön johtumista seinän läpi. Samalla myös veden lämmitys nopeutuu, kun lämmityksen aikana vähemmän lämpöä menee hukkaan. Myös säteily ja konvektio seinän ulkopinnasta vähenevät, kun pinnan lämpötila laskee. Eriste on tarkoituksenmukaista lisätä nykyisten seinien ulkopuolelle. Jos eristeen päälle asennetaan verhoilu, lämmönsiirto pienenee yhä, joskaan ei kovin merkittävästi. Paloturvallisuuden vuoksi eristeen ja verhoilun on syytä olla tulenkestäviä. Kuva 4.1. Eristetyn ja verhoillun seinän poikkileikkaus. Kuvan 4.1 merkinnöillä lämpövirta seinän läpi on: Q = k 1A L 1 T 1 = k 2A T L 2 = k 3A T 2 L 3, 3 (51) sillä oletuksella, että seinän materiaalien välissä oleva kontaktivastus on pieni. Jos oletetaan, että lämpötilajakauma koko seinän matkalla on tasainen tai melkein tasainen, toisin sanoen: ΔT tot L tot T 1 L 1 ΔT 2 L 2 ΔT 3 L 3, (52) jossa ΔT tot = ΔT 1 + ΔT 2 + ΔT 3 ja L tot = L 1 + L 2 + L 3, tai jos ΔT 1 ΔT 3 0, voidaan koko seinälle laskea lämmönsiirtovastus: R seinä = L 1 k 1 A + L 2 k 2 A + L 3 k 3 A, (53) joka voidaan sijoittaa yhtälöön 10. Näin yhtälö 33 muuttuu muotoon: Q = h c,s A(T vesi T s ) = (T s T u ) R seinä = h c,u A(T u T ilma ). (54)

21 16 5 KATTO Katon käyttö lämmityksen aikana voi nopeuttaa veden lämpenemistä, koska lämpösäteily vedestä ympäristöön pienenee, kun välissä on läpinäkymätön kappale. Kohdassa 3.5 esitetty säteily-yhtälö muuttuu, kun vesi enää säteilekään ympäristöön, vaan katon alapintaan. Katon absorboima säteily puolestaan johtuu katon läpi taas konvektoituakseen yläpinnasta ympäristöön. Katto rajoittaa veden höyrystymistä ja konvektiota veden pinnasta. Lämmityksen alussa molempia tapahtuu normaalisti, mutta lämmityksen edetessä päästään tasapainotilanteeseen, jossa sekä höyrystyminen että konvektio lakkaavat. Tämän tasapainotilanteen laskeminen on haastavaa, joten yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan höyrystyminen ja konvektio mitättömiksi, kun käytetään kattoa. Aiemmin todettiin, että säteilylle veden pinnasta pätee yhtälö 49. Katon tapauksessa vesi säteilee vastaavasti: Q = 1 ε vesi ε 1 A vesi + 4 σ(t vesi T 4 a ) 1 A vesi F + 1 ε, k k ε k A k (55) jossa muotokerroin F k = F ja jossa alaindeksi a tarkoittaa katon alapintaa. Lämpö johtuu katon läpi totutusti yhtälön Q = kaδt L mukaan, jossa L on katon paksuus. Sen sijaan konvektiolle katosta ympäristöön pätevät yhtälöt 28 ja 29, joiden laskemiseen tarvittavassa Rayleigh n luvun yhtälössä 21 vaihdetaan putoamiskiihtyvyyden g tilalle g cos θ, jossa θ on pystysuoran ja katon välinen kulma. Koska Padassa on kahdesta osasta koostuva harjakatto, on katon konvektio otettava huomioon tällä tavalla laskettuna kaksinkertaisena. Kaiken kaikkiaan katon lämmönsiirron kokonaisyhtälö, ilman konvektiota vedestä sisäilmaan ja sisäilmasta kattoon, on: Q k = 4 σ(t vesi 1 ε vesi ε 1 A vesi + T 4 a ) 1 A vesi F + 1 ε = k k ε k A k k k A k L k (T a T y ) = 2 h c,k A k (T y T ), (56) jossa h c,k on laskettava muokatun Rayleigh n luvun avulla, kuten ylempänä on mainittu.

22 17 6 POHJARIPA Konvektiota altaan pohjasta veteen voi lisätä asentamalla pohjaan rivan. Rivan tarkoituksena on kasvattaa konvektiivista lämmönsiirtokerrointa. Rivan voi asentaa joko altaan pohjaan tai palotilan kattoon. Palotilan katossa ripa voi kuitenkin kerätä nokea ja siten jopa heikentää lämmönsiirtoa, joten ripa on järkevää asentaa ainoastaan altaan pohjaan. Rivan asennusvaihtoehtoja on lukematon määrä. Yksinkertainen Padan pohjaan sopiva ripa-asennus on esitetty kuvassa 6.1. Siinä materiaaliksi on valittu sama haponkestävä 3 mm paksu haponkestävä ruostumaton teräs kuin muualla altaassa. Ripoja on kymmenen kappaletta ja ne on hitsattu tasaisin välein tulipesän yläpuolelle niin, että tulipesän reunojen kohdalla ei ole ripoja. Ripojen välimatkaksi saadaan noin 8,2 cm, joka on myös äärimmäisten ripojen etäisyys tulipesän reunoista. Ripojen korkeus on esimerkissä 5 cm ja pituus 133 cm, joka on tulipesän pituus ilman syöttöaukkoa. Valitut mitat eivät välttämättä ole optimaaliset, vaan toimivat ainoastaan esimerkkinä. Suorakulmainen poikkileikkaus ja sivun kanssa yhdensuuntainen asennus on valittu, jotta rivat ovat samankokoisia, jolloin lämmönsiirtokertoimen laskeminen ja ripojen valmistaminen on helpompaa. Kuvassa rivat on asennettu Padan pitkän sivun suuntaisesti, mutta samoilla periaatteilla voidaan valita myös lyhyen sivun suuntaiset rivat. Kuva 6.1. Esimerkki rivasta Padan pohjassa. Tulipesän leveydelle on asetettu tasavälein kymmenen tulipesän mittaista ripaa, joiden korkeus on 50 mm. Padan pohjalauteiden korkeus on 5 cm. Kuvan mukainen ripa nostaa pohjalauteita saman verran, mikä saattaa vaikuttaa Padan käyttöön lähinnä siten, että jatkossa vettä

23 18 saatetaan tarvita hieman enemmän. Käytännössä tällä vesimäärän lisäyksellä ei kuitenkaan juuri ole merkitystä. Ripateorian mukaan suorakulmaisen rivan lämmönsiirtokerroin lasketaan: Q ripa = η f h c,f P(T y T vesi ), (57) jossa η f on ripahyötysuhde, jonka määritelmä suorakulmaiselle rivalle on: η f = tanh βl, βl (58) jossa puolestaan ripaparametrille β on voimassa: β 2 = h cp ka c. (59) Yhtälöissä esiintyvä P on rivan piiri, A c on rivan poikkileikkauksen pinta-ala ja L on rivan pituus. Konvektiivinen lämmönsiirtokerroin h c,f on arvioitava jollakin menetelmällä, mikä voi olla hankalaa. Kuvassa 6.2 on esitetty ripa, jossa lämpö siirtyy alhaalta ylöspäin, toisin sanoen pituuden L suuntaisesti. Kuvan merkinnöillä piiri on P = 2x + 2y ja poikkileikkauksen pinta-ala on A c = x y. Kuva 6.2. Rivan mitat. Useamman samanlaisen rivan lämpövirta saadaan kertomalla yksittäisen rivan lämpövirta ripojen määrällä N. Rivan asentamisen jälkeen pohjan lämmönsiirtoyhtälö muuttuu siis muotoon: 4 Q pohja = A a Fσ(T nuotio T 4 a ) + h c,a A a (T sk T a ) = k rta a (T a T y ) L pohja = N η f h c,f P(T y T vesi ). (60)

Kuivauksen fysiikkaa. Hannu Sarkkinen

Kuivauksen fysiikkaa. Hannu Sarkkinen Kuivauksen fysiikkaa Hannu Sarkkinen 28.11.2013 Kuivatusmenetelmiä Auringon säteily Mikroaaltouuni Ilmakuivatus Ilman kosteus Ilman suhteellinen kosteus RH = ρ v /ρ vs missä ρ v = vesihöyryn tiheys (g/m

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön

Lisätiedot

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15

Lisätiedot

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011 Aalto yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Virtausmekaniikka / Sovelletun mekaniikan laitos MUISTIO No CFD/MECHA-17-2012 pvm 22. kesäkuuta 2011 OTSIKKO Hilatiheyden määrittäminen ennen simulointia

Lisätiedot

Jos olet käynyt kurssin aikaisemmin, merkitse vuosi jolloin kävit kurssin nimen alle.

Jos olet käynyt kurssin aikaisemmin, merkitse vuosi jolloin kävit kurssin nimen alle. 1(4) Lappeenrannan teknillinen yliopisto School of Energy Systems LUT Energia Nimi, op.nro: BH20A0450 LÄMMÖNSIIRTO Tentti 13.9.2016 Osa 1 (4 tehtävää, maksimi 40 pistettä) Vastaa seuraaviin kysymyksiin

Lisätiedot

Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simulointiesimerkki

Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simulointiesimerkki Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simuloiesimerkki School of Technology and Management, Polytechnic Institute of Leiria Käännös: Tuula Höök - Tampereen Teknillinen Yliopisto Mallinnustyökalut Jäähdytysjärjestelmän

Lisätiedot

Rak Tulipalon dynamiikka

Rak Tulipalon dynamiikka Rak-43.3510 Tulipalon dynamiikka 7. luento 14.10.2014 Simo Hostikka Palopatsaat 1 Luonnollisten palojen liekki 2 Palopatsas 3 Liekin korkeus 4 Palopatsaan lämpötila ja virtausnopeus 5 Ideaalisen palopatsaan

Lisätiedot

KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma

KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma Sekä A- että B-osiosta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osion pistemäärä on vähemmän kuin 10 pistettä,

Lisätiedot

MIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka. Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU

MIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka. Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU MIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU HARJOITUSTYÖOHJE SISÄLLYS SYMBOLILUETTELO 3 1 JOHDANTO 4 2 TYÖOHJE

Lisätiedot

Kirami CUBE Ulkopuolinen lämmityskamiina Käyttöohjeet

Kirami CUBE Ulkopuolinen lämmityskamiina Käyttöohjeet Kirami CUBE Ulkopuolinen lämmityskamiina Käyttöohjeet Kamiinan tekniset tiedot: Merialumiininen kamiina (AlMg3) Valurautainen rosti x 2, umpirosti x 1 Tulipesäluukku, jossa teräksinen sisäosa Sisällä vesikiertoputket

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien

Lisätiedot

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka 2006 m@hyl.fi 1 Lämpötila Suure lämpötila kuvaa kappaleen/systeemin lämpimyyttä (huono ilmaisu). Ihmisen aisteilla on hankala tuntea lämpötilaa,

Lisätiedot

DEE-54000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto

DEE-54000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto DEE-54 Säköagneettisten järjestelien läönsiirto Ripateoria 1 Säköagneettisten järjestelien läönsiirto Risto Mikkonen Ripateoria q Läönsiirtoa voidaan teostaa: Suurentaalla läpötilaeroa Suurentaalla :ta

Lisätiedot

EINO TALSI RIPAPUTKIPATTERIT TYYLIKÄSTÄ LÄMMÖNTUOTTOA

EINO TALSI RIPAPUTKIPATTERIT TYYLIKÄSTÄ LÄMMÖNTUOTTOA EINO TALSI RIPAPUTKIPATTERIT TYYLIKÄSTÄ LÄMMÖNTUOTTOA JOUSTAVAA SUUNNITTELUA MUKAUTUU ERI TILOIHIN Eino Talsi Oy on osa Ekocoil-konsernia. Se on useiden vuosikymmenien ajan erikoistunut ripaputkituotteiden

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

FRAME: Ulkoseinien sisäinen konvektio

FRAME: Ulkoseinien sisäinen konvektio 1 FRAME: Ulkoseinien sisäinen konvektio Sisäisen konvektion vaikutus lämmönläpäisykertoimeen huokoisella lämmöneristeellä eristetyissä ulkoseinissä Petteri Huttunen TTY/RTEK 2 Luonnollisen konvektion muodostuminen

Lisätiedot

Lämpöistä oppia Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka

Lämpöistä oppia Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Lämpöistä oppia Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Alkudemonstraatio Käsi lämpömittarina Laittakaa kolmeen eri altaaseen kylmää, haaleaa ja lämmintä vettä. 1) Pitäkää

Lisätiedot

Energiatehokkuuden analysointi

Energiatehokkuuden analysointi Liite 2 Ympäristöministeriö - Ravinteiden kierrätyksen edistämistä ja Saaristomeren tilan parantamista koskeva ohjelma Energiatehokkuuden analysointi Liite loppuraporttiin Jani Isokääntä 9.4.2015 Sisällys

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Lämpötilaluokka T450

Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Lämpötilaluokka T450 04.05.2014 Lämmönsiirtolaskelmat Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Lämpötilaluokka T450 Kokkola 04.05.2014 Rauli Koistinen, DI Femcalc Oy Insinööritoimisto Femcalc

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Virtaukset & Reaktorit

Virtaukset & Reaktorit Virtaukset & Reaktorit Lämmönsiirron perusteet Oppimistavoite tälle kerralle Lämmönsiirron perusmekanismit Lämmönjohtumisongelmien mallitus ja ratkaisu Säteilylämmönsiirto Konvektio ja lämmönsiirtokerroin

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA

Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

1. Kumpi painaa enemmän normaalipaineessa: 1m2 80 C ilmaa vai 1m2 0 C ilmaa?

1. Kumpi painaa enemmän normaalipaineessa: 1m2 80 C ilmaa vai 1m2 0 C ilmaa? Kysymys 1. Kumpi painaa enemmän normaalipaineessa: 1m2 80 C ilmaa vai 1m2 0 C ilmaa? 2. EXTRA-PÄHKINÄ (menee yli aiheen): Heität vettä kiukaalle. Miksi vesihöyry nousee voimakkaasti kiukaasta ylöspäin?

Lisätiedot

LÄMPÖKESKUKSEN LÄMMITYSJÄRJESTELMÄN ERISTÄMISEN VAIKUTUS POLTTOAINEEN KULUTUKSEEN

LÄMPÖKESKUKSEN LÄMMITYSJÄRJESTELMÄN ERISTÄMISEN VAIKUTUS POLTTOAINEEN KULUTUKSEEN LÄMPÖKESKUKSEN LÄMMITYSJÄRJESTELMÄN ERISTÄMISEN VAIKUTUS POLTTOAINEEN KULUTUKSEEN Antti Kulha Opinnäytetyö Syksy 2010 Talotekniikan koulutusohjelma Oulun seudun ammattikorkeakoulu TIIVISTELMÄ Oulun seudun

Lisätiedot

LÄSÄ-lämmönsäästäjillä varustettujen kattotuolirakenteiden lämpöhäviön simulointi

LÄSÄ-lämmönsäästäjillä varustettujen kattotuolirakenteiden lämpöhäviön simulointi LÄSÄ-lämmönsäästäjillä varustettujen kattotuolirakenteiden lämpöhäviön simulointi 13.11.2015 TkT Timo Karvinen Comsol Oy Johdanto Raportissa esitetään lämpösimulointi kattotuolirakenteille, joihin on asennettu

Lisätiedot

WENDA-30kW KAMIINAN ASENNUS- JA KÄYTTÖOHJEET

WENDA-30kW KAMIINAN ASENNUS- JA KÄYTTÖOHJEET Sivu 1/8 WENDA-30kW KAMIINAN ASENNUS- JA KÄYTTÖOHJEET Puh: 02-4870258, Web: www.wenda.fi, E-Mail: sales@wenda.fi Sivu 2/8 Kamiinan perustiedot: Kamiina on valmistettu merivettä kestävästä alumiinista,

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Läpivienti täysin eristetty ja osittain tuuletettu rakenne

Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Läpivienti täysin eristetty ja osittain tuuletettu rakenne 14.04.2014 Lämmönsiirtolaskelmat Päivitys 15.4.-14 Tiilipiipun palonkestävyysanalyysi Simulointi välipohjan paksuudella 600 mm Läpivienti täysin eristetty ja osittain tuuletettu rakenne Kokkola 14.04.2014

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Kaksi yleismittaria, tehomittari, mittausalusta 5, muistiinpanot ja oppikirjat. P = U x I

Kaksi yleismittaria, tehomittari, mittausalusta 5, muistiinpanot ja oppikirjat. P = U x I Pynnönen 1/3 SÄHKÖTEKNIIKKA Kurssi: Harjoitustyö : Tehon mittaaminen Pvm : Opiskelija: Tark. Arvio: Tavoite: Välineet: Harjoitustyön tehtyäsi osaat mitata ja arvioida vastukseen jäävän tehohäviön sähköisessä

Lisätiedot

ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Lämpö- ja kosteustekniset laskelmat. Hannu Hirsi.

ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Lämpö- ja kosteustekniset laskelmat. Hannu Hirsi. ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Lämpö- ja kosteustekniset laskelmat Hannu Hirsi. SRakMK ja rakennusten energiatehokkuus : Lämmöneristävyys laskelmat, lämmöneristyksen termit, kertausta : Lämmönjohtavuus

Lisätiedot

Vedonrajoitinluukun merkitys savuhormissa

Vedonrajoitinluukun merkitys savuhormissa Vedonrajoitinluukun merkitys savuhormissa Savupiipun tehtävä on saada aikaan vetoa palamista varten ja kuljettaa pois tuotetut savukaasut. Siksi savupiippu ja siihen liittyvät järjestelyt ovat äärimmäisen

Lisätiedot

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Lämpöoppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Läpöoppia Haarto & Karhunen Läpötila Läpötila suuren atoi- tai olekyylijoukon oinaisuus Liittyy kiinteillä aineilla aineen atoeiden läpöliikkeeseen (värähtelyyn) ja nesteillä ja kaasuilla liikkeisiin Atoien

Lisätiedot

Harjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Kryogeniikka ja lämmönsiirto. Dee Kryogeniikka Risto Mikkonen

Kryogeniikka ja lämmönsiirto. Dee Kryogeniikka Risto Mikkonen DEE-54030 Kyogeniikka Kyogeniikka ja lämmönsiito Dee-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen Lämmönsiion mekanismit '' q x ( ) x q '' h( s ) q Dee-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen '' 4 4 ( s su ) Lämmön johtuminen

Lisätiedot

Lämpöopin pääsäännöt

Lämpöopin pääsäännöt Lämpöopin pääsäännöt 0. Eristetyssä systeemissä lämpötilaerot tasoittuvat. Systeemin sisäenergia U kasvaa systeemin tuodun lämmön ja systeemiin tehdyn työn W verran: ΔU = + W 2. Eristetyn systeemin entropia

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä

Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä Jukka Kiijärvi Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä Kaasu- ja polttomoottorin uudet tekniset mahdollisuudet Polttomoottori- ja turbotekniikan seminaari 2014-05-15 Otaniemi Teknillinen tiedekunta, sähkö-

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Lämpöpuiset kylpytynnyrit. Käyttöohjeet Mallit AMH 170TW, AMH 200TW, AMH 170TW+ ja AMH 200TW+

Lämpöpuiset kylpytynnyrit. Käyttöohjeet Mallit AMH 170TW, AMH 200TW, AMH 170TW+ ja AMH 200TW+ Lämpöpuiset kylpytynnyrit Käyttöohjeet Mallit AMH 170TW, AMH 200TW, AMH 170TW+ ja AMH 200TW+ Huomaa veden minimitäyttö tynnyrissä!! AMH-Puu Oy Puh. (03) 513 5569 Niemisvedentie 801 Faksi (03) 513 5561

Lisätiedot

Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus

Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus HÖYRYTEKNIIKKA 1. Vettä (0 C) höyrystetään 2 bar paineessa 120 C kylläiseksi höyryksi. Laske

Lisätiedot

Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa.

Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Valintakoe 2016/FYSIIKKA Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Boltzmannin vakio 1.3805 x 10-23 J/K Yleinen kaasuvakio 8.315 JK/mol

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

14. Putkivirtausten ratkaiseminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

14. Putkivirtausten ratkaiseminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet 14. Putkivirtausten ratkaiseminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten erilaisia putkistovirtausongelmia ratkaistaan? Motivointi: putkijärjestelmien mitoittaminen sekä painehäviöiden

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

MAGIC KAMIINA. Omistajat käsikirja. ASENNUS-, SÄÄTÖ- ja KÄYTTÖOHJEET. Sivu 1

MAGIC KAMIINA. Omistajat käsikirja. ASENNUS-, SÄÄTÖ- ja KÄYTTÖOHJEET. Sivu 1 MAGIC KAMIINA Omistajat käsikirja ASENNUS-, SÄÄTÖ- ja KÄYTTÖOHJEET Sivu 1 JOHDANTO Onnittelut! Olette investoineet energiatehokkaaseen ja laadukkaaseen tuotteeseen - MAGIC kamiinaan. Investointisi antaa

Lisätiedot

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1 *palautettava tehtävä (DL: 3.5. klo. 10:00 mennessä!) TEHTÄVÄ 2

TEHTÄVÄ 1 *palautettava tehtävä (DL: 3.5. klo. 10:00 mennessä!) TEHTÄVÄ 2 Aalto-yliopisto/Insinööritieteiden korkeakoulu/energiatalous ja voimalaitostekniikka 1(5) TEHTÄVÄ 1 *palautettava tehtävä (DL: 3.5. klo. 10:00 mennessä!) Ilmaa komprimoidaan 1 bar (abs.) paineesta 7 bar

Lisätiedot

Pellettikoe. Kosteuden vaikutus savukaasuihin Koetestaukset, Energon Jussi Kuusela

Pellettikoe. Kosteuden vaikutus savukaasuihin Koetestaukset, Energon Jussi Kuusela Pellettikoe Kosteuden vaikutus savukaasuihin Koetestaukset, Energon Jussi Kuusela Johdanto Tässä kokeessa LAMKin ympäristötekniikan opiskelijat havainnollistivat miten puupellettien kosteuden muutos vaikuttaa

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Molaariset ominaislämpökapasiteetit

Molaariset ominaislämpökapasiteetit Molaariset ominaislämpökapasiteetit Yleensä, kun systeemiin tuodaan lämpöä, sen lämpötila nousee. (Ei kuitenkaan aina, kannattaa muistaa, että työllä voi olla osuutta asiaan.) Lämmön ja lämpötilan muutoksen

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

TULISIJOJEN JA KEVYTHORMIEN PALOTURVALLISUUS

TULISIJOJEN JA KEVYTHORMIEN PALOTURVALLISUUS TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO PALOLABORATORIO TUTKIMUSSELOSTUS NRO PALO 2115/212 TULISIJOJEN JA KEVYTHORMIEN PALOTURVALLISUUS Tampere 212 1 (72) 72 sivua Rahoittajat Palosuojelurahasto Sisäasiainministeriö

Lisätiedot

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Integraalilaskenta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Integraalilaskenta (MAA Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Halton Zen Circle ZCI - syrjäyttävä tuloilmalaite

Halton Zen Circle ZCI - syrjäyttävä tuloilmalaite Halton Zen Circle ZCI - syrjäyttävä tuloilmalaite Laaja ilmavirran säätöalue Tasainen ilmavirran virtauskuvio saadaan aikaan pienillä rei'illä, jotka muodostavat optimaaliset virtausolosuhteet hajottimen

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2 Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-5400 Risto Mikkonen 1.1.014 g:n määrittäminen olttokennon toiminta perustuu Gibbsin vapaan energian muutokseen. ( G = TS) Ideaalitapauksessa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen.

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. X.X.2015 Tehtävä 1 Bipolaaritransistoria käytetään alla olevan kuvan mukaisessa kytkennässä, jossa V CC = 40 V ja kuormavastus

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus

Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus Mamk / Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka / Sarvelainen 2015 T8415SJ ENERGIATEKNIIKKA Laskuharjoitus KATTILAN VESIHÖYRYPIIRIN SUUNNITTELU Höyrykattilan on tuotettava höyryä seuraavilla arvoilla.

Lisätiedot

Ville Rahkola EKONOMAISERIN SUUNNITTELU JA MITOITUS

Ville Rahkola EKONOMAISERIN SUUNNITTELU JA MITOITUS Ville Rahkola EKONOMAISERIN SUUNNITTELU JA MITOITUS Opinnäytetyö CENTRIA AMMATTIKORKEAKOULU Kone- ja tuotantotekniikan koulutusohjelma Huhtikuu 2014 TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ Yksikkö Tekniikka ja liiketalous,

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot