PLS-REGRESSIO KEMOMETRIAN KALIBROINTIONGELMASSA

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "PLS-REGRESSIO KEMOMETRIAN KALIBROINTIONGELMASSA"

Transkriptio

1 AB Mat-.08 Sovelletun matematiikan erikoistyöt PLS-REGRESSIO KEMOMETRIAN KALIBROINTIONGELMASSA Teppo-Heikki Saari, 58096R 9. helmikuuta 008 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto Systeemianalyysin laboratorio

2 Sisältö Johdanto. Yhden muuttujan kalibrointi Usean muuttujan kalibrointi Klassinen suora ja epäsuora kalibrointi Käänteinen kalibrointi Kalibrointimenetelmistä 7. Pääkomponenttianalyysi ja -regressio Yleistä Datan esikäsittely Pääkomponenttien määrääminen Pääkomponenttiregressio (PCR) Pääkomponenttimenetelmän edut kalibroinnissa Pääkomponenttimenetelmän haittoja Osittainen pienimmän neliösumman menetelmä (PLS) Yleistä Datan esikäsittely PLS-regressiomalli Osittaisen pienimmän neliösumman regressiomallin tulkinta Geometrinen tulkinta PLS-regressioalgoritmi Mallin validointi Puuttuvat havainnot Osittaisen pienimmän neliösumman menetelmän haittoja ja etuja PLS:n yhteydet muihin monimuuttujamenetelmiin... Sovellus bensiinin oktaaniluvun määritykseen 4. Data Tulokset

3 4 Pohdinnat 4 Kirjallisuutta 5

4 Luku Johdanto Kemometria on tieteenala, jonka tutkimuskohteena on tilastollisten ja matemaattisten metodien, sekä myös metodien, joiden pohjana on matemaattinen logiikka, soveltaminen kemiaan. [4] On myös väitetty, että oikeanlaisen analyyttisen kemian täytyisi sisältää myös kemometrinen lähestymistapa, ja että näin tekemällä saavutetaan huomattavia etuja. [] Kemometria on tieteenalana ollut vahvassa kasvussa kolmisenkymmentä vuotta, ja eräs sen tärkeimpiä ongelmia on kalibrointi. Kalibrointi viittaa prosessiin, jossa määritetään suhteet mittausinstrumentin ulostulojen/vasteiden ja konsentraatioiden välille. Kalibraatio yleisesti viittaa myös usein mittainstrumentin ulostulon tai indikaattorin säätämiseen siten, että indikaattori vastaa tiettyä mittastandardia tietyllä tarkkuudella. [0] Kalibrointia tarvitaan silloin kun työläs tai kallis mutta tarkka mittaus halutaan korvata halvalla ja nopealla mutta epäsuoralla tai vähemmän tarkalla mittauksella. [9] Kemometrisestä kalibroinnista voidaan erotella monenlaisia osa-alueita: kohinan vähentäminen mittauksissa, häiriötekijöiden käsittely, eksploratorinen datan käsittely sekä mahdollisten poikkeavien havaintojen minimointi. Lisäksi myös koesuunnittelulla on erittäin suuri painoarvo. [0, ] Tämän työn tarkoituksena on tarkastella kemometrian kalibrointiongelmaa sekä sen erilaisia ratkaisuja sovellettujen regressiomallien avulla. Ensimmäisessä kappaleessa tarkastellaan yksi- ja moniulotteista kemometrian kalibrointiongelmaa, toisessa kappaleessa tutustutaan tarkemmin yleisimpiin kalibrointimenetelmiin, kolmannessa kappaleessa sovelletaan pääkomponenttiregressiota sekä PLS-regressiota bensiinin oktaaniluvun määritykseen. Viimeisessä kappaleessa on hieman pohdintaa aiheeseen liittyen.

5 . Yhden muuttujan kalibrointi Kalibrointi voidaan suorittaa sekä yhdelle että monelle muuttujalle. Yhden muuttujan kalibroinnissa datasta valikoituu kaikkein käyttökelpoisin muuttuja, joka kuvaa datan vaihtelua parhaiten. Monissa kemiallisissa tutkimuksissa halutaan selvittää yhden tai useamman ainesosan konsentraatiot mittaamalla systeemin ominaisuuksia. Tässä voidaan käyttää hyväksi Beer-Lambertin lakia elektromagneettiselle säteilylle, joka antaa yhteyden absorboituneen säteilyn aallonpituuden ja konsentraation välille: I(λ) I 0 (λ) = e ɛ λcl (.) jossa I(λ) on valon intensiteetti aallonpituudella λ, joka läpäisee näytteen, jonka paksuus on l. I 0 (λ) on tulevan valon intensiteetti aallonpituudella λ, ɛ λ on moolinen häviämiskerroin (molar extinction coefficient), eli absoptiivisuus moolia kohden, ja c on aineen konsentraatio. Systeemin kalibrointi tapahtuu mittaamalla sarja näytteitä valon absorptiosta kun aineen konsentraatio on tunnettu: [ ] I0 (λ) log = α λ = ɛcl (.) I(λ) missä α on absorption määrä tietyllä aallonpituudella. [] Jos oletetaan, että mittausvirheet ovat odotusarvoltaan nolla ja korreloimattomia, voidaan mitattuihin arvoihin sovittaa lineaarinen funktio tavallisen pienimmän neliösumman menetelmän (OLS) avulla. Mallin osat ovat tällöin [6] ˆ Malli: y i = B + Ax i + e yi = E(y i ) + e yi (.) ˆ Estimaatti: ˆ Residuaali: ŷ i = ˆB + Âx i (.4) d yi = y i ŷ i = y i ˆB Âx i (.5) jossa E(y i ) on y i :n odotusarvo. Yleinen neliösummakriteeri ilmaistaan neliövirhesummana m m SSD = [(y i ŷ i )/σ i ] = (d yi /σ i ) (.6) i= jossa σ i on keskihajonta havaintopisteelle i ja m on kalibrointimittausten määrä. Tehtävänä on siis minimoida neliövirhesummaa.6. Kriteeri muuttuu mikäli jokin seuraavista ehdoista täyttyy: [6] i=

6 . Virheet esiintyvät vain mitatuissa arvoissa y: Aσ x σ y (.7) ja lisäksi jos virheet σ y ovat vakioita useissa kalibrointipisteissä (homoskedastisuus): σ y = σ y =... = σ yh = σ y (.8) tai ilmaistuna näiden estimaateilla, jolloin täytyy ottaa huomioon virheen tilastollinen riski α s y = s y =... = s yn = s y (.9) Mikäli virheet ovat homoskedastisia ja x:n virheet voidaan jättää huomiotta, saadaan pienimmän neliösumman minimoitavaksi kriteeriksi m SSD = d yi (.0) i=. Mikäli mittausvirheet σ y vaihtelevat (σ x edelleen pieni verrattuna mittausvirheisiin), täytyy olettaa heteroskedastisuus, ja minimoitava kriteeri on muotoa.6.. Yleisessä tapauksessa molemmat muuttujat sisältävät virhettä, ja tällöin yhtälö.7 ei päde, virhe on muotoa σ i = σ yi + A σ xi (.) jolloin summa d x+y täytyy minimoida ortogonaalisesti regressiosuoran suhteen, eikä koordinaattiakselin suuntaisesti. Yhtälön.7 mukaan virheet mittauksissa ovat häviävän pieniä ja konsentraatiot ovat täten todellisia. Tämän ehdon täyttyessä kalibrointifunktioksi tulee y = B x + A x x + e y (.) jonka parametrit A x ja B x saadaan estimoitua normaalisella pienimmän neliösumman algoritmilla homoskedastisessa tapauksessa:  x = Q xy /Q xx (.) ˆB x = ( y  x x ) /m (.4) Q xx = j Q yy = j Q xy = j (x j x) (.5) (y j ȳ) (.6) (x j x) (y j ȳ) (.7)

7 Korrelaatiokertoimella yllämainitussa regressiossa ei ole merkitystä, sillä arvot x eivät ole satunnaismuuttujia kalibroinnissa (x:n virhe on merkityksetön). Koska yhden muuttujan kalibrointi suoritetaan yhden muuttujan lineaarisella regressiolla, datan tarvitsee täyttää joitakin oletuksia, jotka ovat [] ˆ Selektiivisyys: yhden muuttujan kalibraatiomalli voi tarjota tarkkoja tuloksia vain silloin, kun mitattuun signaaliin ei vaikuta mikään muu lähde. Toisin sanoen vain tutkimuksen kohteena olevan analyytin tulisi vaikuttaa mittaustuloksiin. Yhden muuttujan signaalista on vaikea tarkistaa ovatko tulokset oikeita, ja tulosten oikeellisuus jää uskonvaraiseksi. ˆ Lineaarisuus: analyytin konsentraation ja signaalin välillä täytyy olla lineaarinen riippuvuus. Tämä on selvää kun käytetään lineaarisia menetelmiä.. Usean muuttujan kalibrointi.. Klassinen suora ja epäsuora kalibrointi Kun näytteessä on enemmän kuin yhtä ainetta, ongelma tulee vaikeammaksi sillä systeemissä useat eri aineet saattavat absorboida samalla aallonpituudella. Tietyllä aallonpituudella useiden eri aineiden seoksen absorptio kiinnitetyn matkan l yli voidaan tulkita yksittäisten ainesosien absorptioiden painotettuna summana, kun useaa absorboivaa ainesosaa mitataan m eri taajuudella: p y j (λ i ) = ɛ (λ i )c j l + ɛ(λ i )c j l ɛ p (λ i )c pj l = ɛ k (λ i )c kj l (.8) k= jossa i on indeksi aallonpituuksille,..., m, j on indeksi näytteille,.., j ja komponenttien määrä, joka siis tulee määrittää ongelmassa, on p. Yhtälö.8 saadaan kirjoitettua matriisimuotoon: Y = XA (.9) jossa Y on n m-matriisi, joka sisältää riippuvat muuttujat absorptiot m eri aallonpituudella tai vasteet m eri sensorille; X on n p-matriisi, joka sisältää riippumattomat muuttujat konsentraatiot n eri ainesosalle; ja A on p m-matriisi, joka sisältää kalibrointikertoimet (nk. herkkyysmatriisi). 4

8 n on kalibrointistandardien lukumäärä (seokset), joka on sama kuin mittausten lukumäärä. [7] Klassista kalibrointia voidaan käyttää vain kun kaikki ainesosat, jotka vaikuttavat spekrin muotoon ovat tunnettuja. Lisäksi voimassa on rajoite, joka kieltää ainesosien reaktiot toisten ainesosien tai analyyttien välillä, sekä näiden vaikutukset (esim. lämpötilanmuutokset). Konsentraatioiden estimaatit saadaan pienimmän neliösumman menetelmällä: ˆX = YA +, missä A + on yleistetty Moore-Penrosen m p- pseudoinverssimatriisi A + = (A T A) A T (.0) Mikäli puhtaan ainesosan spektriä ei voida mitata suoraan, kalibraatiodata voidaan keskittää (ts. poistaa keskiarvot: y i ȳ, x i x). Vaikka puhtaan ainesosan spektriä ei voisikaan suoraa mitata, voidaan A-matriisi estimoida epäsuorasti spektristä olettaen että kaikki ainesosat analyytistä tunnetaan: Â = (X T X) X T Y (.) Tämän jälkeen analyyttisten arvojen estimointi toimii samalla tavalla pienimmän neliösumman estimaatteina: [7] ˆX = YÂ T (.) Kalibrointiongelman ratkaisemiseen on yhden komponentin tapauksessa käytetty tavallista lineaarista regressiota, joka toimiikin erittäin hyvin. Usean komponentin tapauksessa ongelmaksi muodostuvat kollineaarisuus, vierekkäisten aallonpituuksien korrelaatio ja mittausvirheet. [] Näiden tekijöiden välttämiseksi käytetään yleensä biasoituja regressiometodeja, joita yleisesti kutsutaan usean muuttujan kalibrointimenetelmiksi. Suoraa kalibrointia voidaan käyttää kun kalibrointikertoimet ovat tunnettuja, muutoin käytetään hyväksi epäsuoraa kalibrointia. Epäsuorassa kalibroinnissa kalibrointikertoimet lasketaan kokeellisesti määritettyjen spektrikonsentraatio-relaatioiden avulla... Käänteinen kalibrointi Kuten jo aiemmin on todettu, klassinen suora tai epäsuora kalibrointi tapahtuu pienimmän neliösumman menetelmällä. Analyyttiset arvot x oletetaan (mittaus)virheettömiksi, tai ainakin erittäin pieniksi verrattuna y:n virheisiin. Lisäksi systeemin kaikkien ainesosien täytyy olla tunnettuja ja mukana kalibroinnissa. Mikäli näitä ehtoja ei ole täytetty, joudutaan käyttämään käänteistä kalibrointia. [7] 5

9 Käänteisessä kalibroinnissa analyyttiset arvot x (konsentraatiot) regressoidaan mitatuille (spektrin) arvoille y. Vaikka pienimmän neliösumman virheettömysvaatimusta rikotaankin, sillä mittaukset y eivät ole virheettömiä, voidaan silti osoittaa Monte Carlo -simuloinneilla, että käänteisen kalibroinnin konsentraatio = f(mittaus) tuottamat ennusteet ovat tarkempia kuin klassisen kalibroinnin mittaus = f(konsentraatio) tuottamat ennusteet. [5] Tämä pätee erityisesti monen muuttujan kalibroinnissa. [7] Käänteistä kalibraatiomallia kutsutaan usein myös m n P-matriisimalliksi: X = YP. Matriisin P alkiot ovat kalibraatiokertoimia, jotka voidaan estimoida: ˆP = Y + X = (Y T Y) Y T X (.) Tuntematon näyte voidaan analysoida (ts. selvittää konsentraatiot) sen mitatusta spektristä y: ˆx = yˆp (.4) On epäedullista, että kalibraatiokertoimet, eli matriisin P alkiot, eivät omaa minkäänlaista fysikaalista merkitystä sillä ne eivät heijasta yksittäisen ainesosan spektriä. Lisäksi voi esiintyä multikollineaarisuuksia jotka tekevät matriisin Y kääntämisestä vaikeaa. Toisaalta käytettäessä latenttimuuttujia alkuperäisten muuttujien tilalla, voidaan käyttää pehmeitä mallinnusmetodeja, jotka perustuvat käänteiseen kalibrointiin jossa analyyttiset arvot regressoidaan spektraalidatalle: X = YB (.5) jossa B on kalibrointikertoimien m n-matriisi. Toisin kuten P-matriisin kanssa, kaikkia spektrin Y dimensioita ei käytetä, vaan ainoastaan ne, jotka on havaittu tärkeiksi tiettyjen pääkomponenttien suhteen. Tällöin B- matriisin kertoimien estimointi voidaan suorittaa pääkomponenttiregression (PCR) tai osittaisen pienimmän neliösumman regression (PLS) avulla. 6

10 Luku Kalibrointimenetelmistä. Pääkomponenttianalyysi ja -regressio Pääkomponenttiregressio (PCR) on kaksiosainen menetelmä spektroskooppidatan kalibrointiongelman ratkaisemiseksi. Ensimmäisessä osassa datalle suoritetaan pääkomponenttianalyysi (PCA). Mitatut muuttujat, esim. spektrin absorptiot eri aallonpituuksilla, muunnetaan uusiksi muuttujiksi, esim. latenttimuuttujien pääkomponenttipisteiksi. Tätä vaihetta seuraa monen muuttujan lineaarinen regressiovaihe (MLR), jossa PCA:n tuottamat pääkomponenttipisteet liitetään yhteen analyyttisten arvojen (konsentraatioiden) kanssa lineaarisella mallilla... Yleistä Pääkomponenttianalyysi kuuluu dimensionvähennystekniikoihin, ja menetelmän tarkoituksena on löytää havaitusta datasta pienempi määrä ilmiön takana piileviä oikeita satunnaismuuttujia, jotka selittävät havaitut tulokset (niiden varianssin) mahdollisimman hyvin perustuen datan kovarianssitai korrelaatiomatriisiin. Pääkomponenttianalyysi suorittaa koordinaattiakselien ortogonaalisen kierron siten, että havaintopisteiden varianssi on mahdollisimman suuri ensimmäisen akselin suhteen, ja jäännösvarianssi on aina suurin mahdollinen seuraavan seuraavan koordinaattiakselin suhteen. Uudet muuttujat ovat täysin korreloimattomia, ja kukin uusi koordinaattiakseli on lineaarikombinaatio alkuperäisistä muuttujista. 7

11 .. Datan esikäsittely Ennen pääkomponenttien etsimistä dataa yleensä esikäsitellään. Tämä tarkoittaa datan nollakeskiarvoistamista poistamalla siitä keskiarvo. Eräs yleisimmistä metodeista on tehdä datasta sarakekeskeistä, eli vähentää jokaisesta alkiosta kyseisen sarakkeen keskiarvo, joka vastaa siis kyseistä spektrin aallonpituutta. Tämä on yleinen menettely kun kalibrointitehtävä liittyy spektroskoopilla saatuihin arvoihin, ja se on kyseisessä tapauksessa yleensä myöskin ainoa tarvittava. [5] Toinen tapa esikäsitellä dataa on suorittaa autoskaalaus, jossa sarakekeskistyksen lisäksi jokainen alkio jaetaan vastaavan sarakkeen keskihajonnalla, jolloin sarakkeiden varianssiksi tulee. Tämäntyyppistä skaalausta voidaan käyttää kun tutkitaan muuttujien suhteellista tärkeyttä, mutta sitä ei suositella yleisesti käytettäväksi, sillä se lisää kohinan määrää tietyillä alueilla... Pääkomponenttien määrääminen Pääkomponentit voidaan ratkaista singulaariarvohajotelmalla (SVD), ominaisarvohajotelmalla (EVD) tai tähän tarkoitukseen käytettävillä sekventiaalisilla algoritmeilla kuten NIPALS tai POWER. Tarkastelkaamme tässä ominaisarvohajotelmaa. Olkoon x = (x, x,..., x p ) satunnaisvektori, jolle pätee E(x) = 0 ja Cov(x) = Σ. Kovarianssimatriisi Σ on ei-negatiivisesti definiitti: Σ 0. Nollaodotusarvo ei ole rajoittava, sillä aina voidaan määritellä satunnaisvektori, jonka odotusarvo on nolla ts. datasta vähennetään keskiarvo. Tehtävänä on etsiä edellä määritellyn satunnaisvektorin x alkioiden lineaarikombinaatio β T x = p i= β i x i, jonka varianssi on suurin mahdollinen. Varianssi D (β T x) toteuttaa tällöin normeerausehdon β T x = β T β =. Voidaan osoittaa, että max D (β T x) = β β T T Σβ = λ (.) β= jossa λ on kovarianssimatriisin Σ suurin ominaisarvo ja β kovarianssimatriisin Σ suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori. Yhtälö. pätee myös seuraaville pääkomponenteille, mutta tällöin yhtälölle täytyy asettaa lisärajoitusehto, jossa jokainen seuraava ominaisvektori on kohtisuorassa edellisiä vektoreita vastaan. Itse pääkomponenttivektoria merkitään y = β T x. Pääkomponenttianalyysin tulokset esitetään yleensä p r pääkomponenttimatriisissa: F r = [ λ β λ β... ] λ r β r = B r Λ / r, jota kutsutaan yleisesti myös latausmatriisiksi. Pääkomponenttipisteet 8

12 saadaan kertomalla havaintovektoreita x pääkomponentteja vastaavilla ominaisvektoreilla: y j = ˆB T r x j, jossa ˆB r on kovarianssimatriisin ˆΣ r suurinta ominaisarvoa vastaavien ominaisvektoreiden muodostama p r-matriisi...4 Pääkomponenttiregressio (PCR) Pääkomponenttiregressio on käänteinen kalibrointimenetelmä, ja kalibrointi suoritetaankin luvussa.. kerrotulla tavalla. Pääkomponenttianalyysi antaa uudet latenttimuuttujat X:n singulaariarvohajotelmalla: X = UΛP T = TP T (.) jossa X on riippumattomien muuttujien eli konsentraatioiden n p- matriisi, jonka sarakkeet ovat konsentraatioita eri aallonpituuksilla. U on painottamattomien (normalisoitujen) pääkomponenttipisteiden n p- matriisi ja T (kokoa n p) sisältää painotetut (normalisoimattomat) pääkomponenttipisteet. Nämä matriisit edustavat mittauksia uudessa latenttimuuttujien muodostamassa koordinaatistossa. Pääkomponenttipistematriisilla on seuraavat ominaisuudet: []. Rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin alkuperäisessä datamatriisissa, joka on yleensä näytteiden lukumäärä.. Sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin merkitsevien tekijöiden lukumäärä datassa, ja se voi olla mikä tahansa ykköstä suurempi kokonaisluku. Ideaalitapauksessa sarakkeiden lukumäärä on alkuperäisen datajoukon ainesosien lukumäärä, mutta kohina ja spektrin samankaltaisuus yhdessä vääristävät lukumäärää. Jokainen sarake vastaa pääkomponenttia.. Jokaisen sarakkeen alkion neliöiden summa liittyy matriisin ominaisarvoon. Mitä suurempi ominaisarvo, sitä suurempi merkitys on pääkomponentilla. Pääkomponentit ratkaistaan tärkeysjärjestyksessä. P on p p-latausmatriisi, jonka sarakkeet sisältävät pääkomponentit. Matriisin P alkiot ovat alkuperäisten muuttujien ja ominaisvektorien välisiä latauksia (painokertoimia). Λ on p p-diagonaalimatriisi, joka sisältää singulaariarvot λ i, jotka ovat kovarianssimatriisin (X T 0 X 0 ) ominaisarvojen neliöjuuria. Edellä matriisi X 0 on esikäsitelty keskistämällä alkuperäisestä datamatriisista X. [5] Latausmatriisilla on seuraavat ominaisuudet: 9

13 . Sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin alkuperäisen datamatriisin sarakkeiden lukumäärä, joka on yleensä aallonpituuksien tai havaitsijoiden lukumäärä.. Rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin merkitsevien tekijöiden lukumäärä datassa. Jokainen rivi vastaa pääkomponenttia.. Jokaisen sarakkeen alkioiden neliösumma on. HUOM! Matemaattisesti menetelmän johtamisessa tehdään useasti oletus, että n p. Koska spektroskopiassa yleensä mittauksia on vähemmän kuin aallonpituuksia eli n < p, joudutaan yhtälön. dimensioita muuttamaan siten, että size(x) = n p, size(u) = (n ) (n ), size(λ) = (n ) (n ), size(p) = p (n ) ja size(t) = n (n ). Edellä operaattori size() kuvaa matriisin/vektorin kokoa. Tämä johtuu datasta, sillä siitä on mahdollista saada vain n pääkomponenttia kun n < p. [5] Kun PCA on suoritettu, muodostetaan lineaarinen malli Y = Tb + e (.) jolla on ratkaisu ˆb = ( T T T ) T T Y (.4) Uudelle näytteelle saadaan ennusteteina pääkomponenttipisteet (konsentraatiot) käyttämällä kalibrointidatasta saatuja kertoimia ˆx = yˆb (.5) jossa size(x) = (n ), size(y) = p ja size(ˆb) = p (n ). [5]..5 Pääkomponenttimenetelmän edut kalibroinnissa Eräs usean muuttujan kalibroinnissa saavutettava etu on kohinan vähentyminen. Tällöin käytetään yleensä pääkomponenttianalyysia tai vastaavaa korrelaatio-/kovarianssimatriisia hyväksikäyttävää menetelmää, mikä paljastaa datasta suurimman pääkomponentin, eli latenttimuuttujan, joka selittää suurimman osan datan vaihtelusta. Lisäksi data on ortogonaalista, jolloin matriisien kääntäminen ei enää tuota vaikeuksia. Pääkomponenttianalyysia käytettäessä kalibraatiomalli jakautuu tällöin kolmeen osaan: [] ˆ lataukset kertovat yleisesti kaikkien mittausten muodon 0

14 ˆ pääkomponenttipisteet ovat näytekohtaista informaatiota ˆ residuaalit ovat se osa mittauksista joka eroaa yleisestä muodosta Ideaalitapauksessa residuaalit ovat mittauskohinaa. Mallia kutsutaan myös yksikomponenttiseksi, sillä pääkomponenttipistevektoria kohti on vain yksi latausvektori. Malli, eli lataukset ja pääkomponenttipisteet, määritellään painotettuna keskiarvona kaikkien alkuperäisten muuttujien yli. Painot on annettu latausvektorissa, joka kuvaa minkälaista informaatiota näytteet sisältävät. Pääkomponenttipisteitä hyväksikäyttäviä kalibraatiomalleja kutsutaan pääkomponenttiregressiomalleiksi. [] Ennustettaessa uuden näytteen haluttujen analyyttien konsentraatioita näytteestä mitataan sekoiteprofiili (spektri). Kalibrointivaiheessa saaduista latausvektoreista voidaan laskea uuden näytteen lataukset ja pääkomponenttipisteet. Nämä syötetään sen jälkeen regressioyhtälöön ja näin ollaan saatu konsentraatioiden estimaatit. Pääkomponenttiregression tuottama data on hyväksikäytettävissä myös muilla tavoin kuin pelkästään konsentraatioiden estimoinnissa. [] Esimerkiksi latauksia tutkimalla voidaan selvittää mikäli jotkin mitatut muuttujat eivät käyttäydy osotetulla tavalla, esimerkiksi tilanteessa, jossa sensori on vioittunut. Äärimmäinen pääkomponenttipisteen arvo viittaa äärimmäiseen näytteeseen, mahdollisesti poikkeavaan havaintoon. Pääkomponenttipisteistä saadaan selville myös mallin toimivuus, ja tiedolla voidaan myös yrittää parantaa mallia. Lisäksi voidaan tutkia eri mittausten eroavaisuuksia, esimerkiksi pistediagrammien avulla. Kaikki nämä ja muut visualisointikeinot auttavat ymmärtämään miksi malli toimii tai miksi se ei toimi...6 Pääkomponenttimenetelmän haittoja PCR on metodi, jotka perustuu pienimmän neliösumman menetelmään ja tästä syystä se on herkkä poikkeaville havainnoille. Poikkeavia havaintoja on monenlaisia, mallin poikkeavia havaintoja, X:n ja y:n poikkeavia havaintoja sekä näiden kombinaatioita. Ennen mallin luontia ei voida tietää mitkä havainnot ovat mallin suhteen poikkeavia, mutta X:n ja y:n suhteen näitä voidaan tarkastella. X:n suhteen poikkeavien havaintojen etsimiseen voidaan käyttää esimerkiksi Grubbsin tai Dixonin testejä. [5]

15 . Osittainen pienimmän neliösumman menetelmä (PLS).. Yleistä PLS-regressio on usean muuttujan lineaarisen regression (MLR) yleistys, joka kykenee, toisin kuten MLR, analysoimaan voimakkaasti kollineaarista ja kohinaista dataa sekä useita X- ja Y-muuttujia sisältäviä malleja. [] PLS on painotettu regressiometodi, jota käytetään tiivistämään prediktorien (n kpl) datamatriisi X = [x, x,..., x p ] A kappaleen latenttimuuttujajoukoksi tai faktoripisteiksi, jossa A p. Kalibrointiongelmassa PLS pyrkii siis ennustamaan vastemuuttujat Y prediktorien X avulla. Painotettujen regressiomenetelmien etuja on että ne eivät edellytä aallonpituuksien valintaa ennen kalibrointiregressiovektorin määritystä. Tällöin menetelmät sallivat käyttää enemmän aallonpituuksia kuin näytteitä on, ja ne tarjoavat edun signaalin keskiarvoistuksen muodossa, joka vähentää virheitä mitatuissa vasteissa. [0] Monesti puhutaan PLS:stä sekä PLS:sta. Tämä tarkoittaa vain vastemuuttujan Y kokoa. PLS:n tapauksessa Y on vektori, PLS taas tarkoittaa, että kalibroitavana on useampia vastemuuttujia, ja Y on matriisi. Algoritmi toimii edelleen kuitenkin samalla tavalla molemmissa tapauksissa. Seuraavissa PLS:ää käsittelevissä kappaleissa käytän seuraavanlaista notaatiota:

16 a A i N k m X Y b m B c a C E F p a P R r a R Q t a T u a U w a W komponenttien indeksi (mallin dimensiot), a =,,..., A mallin komponenttien kokonaislukumäärä havaintojen/tapausten indeksi, i =,,..., N havaintojen lukumäärä X-muuttujien indeksi, k =,,..., K Y-muuttujien indeksi, m =,,..., M prediktorimuuttujien N K-matriisi vastemuuttujien N M-matriisi Y:n m:s K -regressiokerroinvektrori kaikkien Y:den K M-regressiokerroinmatriisi komponentin a PLSR Y-painot Y-painojen M A-matriisi, c a ovat tämän sarakkeet X-residuaalien N K-matriisi Y-residuaalien N M-matriiisi komponentin a PLSR X-lataukset K A-latausmatriisi, p a ovat tämän sarakkeet korrelaatiokerroin eli selitysaste, kuinka paljon Y -muuttujien vaihtelua on selitetty PLSR-painot jotka on muunnettu komponenteista riippumattomiksi muunnettujen painojen K A-matriisi, jonka sarakkeet ovat r a ristivalidoitu R, kuinka hyvin Y-muuttujia on ennustettu komponentin a X-komponenttipisteet N A-komponenttipistematriisi, jonka sarakkeet ovat t a komponentin a Y-komponenttipisteet N A-komponenttipistematriisi, jonka sarakkeet ovat u a komponentin a PLSR X-painot X-painojen K A-matriisi, jonka sarakkeet ovat w a.. Datan esikäsittely Ennen analyysiä X- ja Y-muuttujat usein ajetaan muunnoksen läpi, jotta niiden jakaumista tulisi symmetrisempiä. Muuttujat, joiden vaihtelu on useita dekadeja muunnetaan usein logaritmisesti. Projektiometodien, kuten PLSR, tulokset riippuvat datan skaalauksesta. Standardi menettelytapa on ollut (i) skaalata jokaisen muuttujan varianssi ykkösen suuruiseksi jakamalla jokainen muuttuja keskihajonnallaan, sekä (ii) keskittää muuttujat vähentämällä niistä keskiarvonsa. Tämä vastaa jokaiselle muuttujalle saman painon antamista (prioritärkeys). []

17 .. PLS-regressiomalli PLS etsii annetusta datasta pienemmän määrän uusia muuttujia t a, a =,,...,A. Sekä X että Y oletetaan ainakin osittain olevan mallinnettu samoilla latenttimuuttujilla. Muuttujien t a oletetaan olevan ortogonaalisia. Ne estimoidaan alkuperäisten muuttujien x k lineaarikombinaatioina, joiden painokertoimet ovat r ka, a =,,...,A t ia = k r ka X ik (.6) joka voidaan esittää matriisimuodossa T = XR (.7) PLS-regression kaksi pääyhtälöä ovat matriisien X ja Y latenttimuuttujien avulla ilmaistut hajotelmat: X ik = a t ia p ak + e ik, (.8) ja y im = a c ma t ia + f im, (.9) jotka ovat matriisimuodossa ilmaistuna sekä X = TP T + E (.0) Y = TC T + F (.) Oheisissa yhtälöissä matriisit P ja C ovat latausmatriiseja. Vastemuuttujamatriisille Y on olemassa vielä oma relaationsa, jonka avulla se voidaan hajoittaa Y-latausmatriisin C avulla: y im = a u ia c am + g im, (.) joka on matriisimuodossa Y = UC T + G (.) Ottamalla huomioon yhtälö.6, saadaan yhtälö.9 näyttämään regressiomallilta: y im c ma r ka x ik + f im = b mk x ik + f im (.4) a k k 4

18 joka voidaan esittää matriisimuodossa Y = XRC T + F = XB + F (.5) PLS-regression regressiokertoimet b mk voidaan kirjoittaa b mk = a c ma r ka (.6) matriisimuodossa B = RC T (.7) Yhtälössä. u ia on Y-matriisin PLS-komponenttipisteet ja c am (monesti merkitään myös q:lla) Y-matriisin lataukset. Vastaavasti yhtälössä.8 p ak on X-matriisin lataukset ja t ia X-matriisin PLS-komponenttipisteet. Lataukset tässäkin pyrkivät selittämään selittävän muuttujan variaatioita. X- komponentit pyrkivät selittämään variaatioita eri aallonpituuksien välillä. Yhtälössä.7 esiintyy muunnettujen X-painojen matriisi R. Alempana määritelty PLS-algoritmi laskee ainoastaan painot W. Muunnetut painot saadaan alkuperäisistä seuraavasti: R = W(P T W) (.8) Kun kertoimet B on määritetty, on mahdollista estimoida uuden näytteen konsentraatiot, kun näytteelle on mitattu spektri x (vaakavektori): ŷ = xb (.9) Regressiokertoimet B tulkitaan usein virheellisesti Y:ssä ilmaistujen ainesosien spektriprofiiliksi. Kertoimet B ovat kuitenkin Y-matriisiin liittyvät regressiokertoimet, eivätkä ne liity matriisiin X. Suora PLS PLS-malli on mahdollista järjestää uudelleen niin, että malli ennustaakin Y:tä X:n sijaan. [8] Yhtälö.5 voidaan uudelleenjärjestää: Y F = XB (.0) ja kertomalla molemmat puolet (B T B) B T :llä, saadaan (Y F)(B T B) B T = XB(B T B) B T (.) Korvaamalla XB(B T B) B T = X E, saadaan (Y F)(B T B) B T = X E (.) 5

19 ja kun määritellään K T = (B T B) B T sekä Ŷ = (Y F), saadaan josta lopulta siirtelemällä termejä saadaan ŶK T = X E (.) X = ŶKT + E (.4) Tästä nähdään, että epäsuorat kalibrointimenetelmät, kuten PLS, kykenevät ennustamaan myös puhtaiden ainesosien spektriprofiileja suoran kalibroinnin tavoin...4 Osittaisen pienimmän neliösumman regressiomallin tulkinta Eräs PLS-regression tulkinta on, että se muodostaa uudet x-muuttujat t a vanhojen x:ien lineaarikombinaationa, ja tämän jälkeen malli käyttää näitä uusia muuttujia ennustamaan Y:tä. Uusia muuttujia muodostetaan vain sellainen määrä, joka on ennustamisessa merkitsevä. Kaikki mallin osat, t, u, w (ja r), p ja c määrittyvät allakuvatun algoritmin perusteella. PLS-regressiomallin tulkinnan kannalta tärkeät muuttujat ovat PLS-komponenttipisteet t ja u, jotka sisältävät informaatiota annetun ongelman ja mallin suhteen. Painot w a (tai r a ) sekä c a kuvaavat kuinka muuttujat muodostavat kvantitatiivisen relaation X:n ja Y:n välille. Suuret painokertoimien arvot kertovat mitkä X-muuttujat ovat tärkeitä, sekä mitkä X-muuttujat sisältävät samaa informaatiota (samanlaiset kertoimet). [] Residuaalit ovat datan se osa, jota malli ei selitä, ja siksi ne ovatkin tärkeitä tutkimuskohteita. Suuret Y-residuaalit viittaavat siihen, että malli on huono, ja normaalipaperikuvat ovat hyvä keino selvittää poikkeavien havaintojen olemassaolo T:n ja Y:n välillä. X:n residuaaleja ei käytetä hyväksi Y:n mallintamisessa, vaikka X-residuaaleista saakin selville poikkeavat havainnot X-avaruudessa, eli molekyylit joiden rakenne ei sovi malliin sekä prosessin osat jotka eroavat normaaleista prosessioperaatioista. PLS-regressiomallin tulkintaan on olemassa muutamia ohjeita: [] ˆ Hanki hyvä tuntemus käsiteltävästä ongelmasta etenkin mitkä vastemuuttujat Y ovat tarkasteltavana mittauksissa ja mallissa, sekä mitä prediktoreja X tulisi mitata ja varioida. Mikäli X-muuttujien koeolosuhteita voidaan muuttaa, on hyvä käyttää hyväksi koesuunnittelua X-matriisin konstruoinnissa. ˆ Hanki hyvää dataa niin prediktoreista kuin vasteista. Monen muuttujat Y:t tarjoavat huomattavasti enemmän informaatiota, sillä ne voidaan 6

20 kaikki analysoida erikseen pääkomponenttianalyysillä. Tämä antaa kuvan systemaattisesta variaatiosta Y:n sisällä, mitkä Y-muuttujat tulisi analysoida yhdessä jne. ˆ Ensimmäinen tieto mallista on sen asteluku A, ts. kuinka monta merkitsevää komponenttia mallissa on. Komponenttien lukumäärä antaa alarajan sille lukumäärälle vaikutuksia, jotka aiheuttavat muutoksia tarkasteltavassa systeemissä. Latenttimuuttujien käsitteen voidaan nähdä olevan yhtäläinen em. vaikutusten kanssa. ˆ Mallin sovitteen hyvyys saadaan selitysasteesta R sekä Q (ristivalidoitu R ). Usean Y-muuttujan tapauksessa on mahdollista määrittää R m ja Q m jokaiselle y m. Selitysasteet R antavat ylärajan sille kuinka hyvin malli selittää dataa ja ennustaa uusia havaintoja, Q antaa vastaavan alarajan. ˆ (u, t)-kuvaajat mallin ensimmäisen kahden tai kolmen dimension suhteen paljastavat datan kaarevuuden, ryhmät sekä poikkeavat havainnot. ˆ (t, t)-kuvaajista on mahdollista nähdä datan homogeenisuudet, ryhmät ja muut ilmiöt. (r, c)-kuvaajat antavat näistä löytyville ilmiöille tulkinnan. ˆ Etenkin spektroskopiassa käytetty datan visualisointitapa on piirtää lataukset p a aallonpituuden funktiona, jolloin saadaan jokaisen komponentin spektri esiin. Latauksia käytetään alkuperäisten muuttujien ja PLS-komponenttipisteiden välisen suhteen tulkinnassa. ˆ Latauksia erikseen tarkasteltaessa positiiviset piikit kuvaajassa aiheutuvat yleensä tarkasteltavan komponentin spektripiikeistä, kun taas negatiiviset piikit vastaavat häiriökomponentteja. [] ˆ Jos esiintyy ongelmia, ts. pieniä R :n tai Q :n arvoja, poikkeavia havaintoja, ryhmiä tai kaarevuuksia PLS-komponenttipisteiden kuvaajissa, ongelma kannattaa yrittää korjata. Residuaalien kuvaajista (normaalipaperikuvat, DModX, DModY) saattaa löytyä lisäinformaatiota ongelman aiheuttajasta. Yksittäiset poikkeavat havainnot tulee tarkastaa datan paikkansapitävyyden varmistamiseksi, ja jos tämä ei auta, poistaa analyysistä (kuitenkin vain jos ne eivät ole kiinnostavia). (u, t)-kuvaajan kaarevuutta voidaan korjata muuntamalla data esim. logaritmisesti tai lisäämällä malliin neliöllisiä tai kuutiollisia termejä. 7

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä

Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

MAIDON PROTEIININ MÄÄRÄN SELVITTÄMINEN (OSA 1)

MAIDON PROTEIININ MÄÄRÄN SELVITTÄMINEN (OSA 1) MAIDON PROTEIININ MÄÄRÄN SELVITTÄMINEN (OSA 1) Johdanto Maito on tärkeä eläinproteiinin lähde monille ihmisille. Maidon laatu ja sen sisältämät proteiinit riippuvat useista tekijöistä ja esimerkiksi meijereiden

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Laskuharjoitus 9, tehtävä 6

Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen

Lisätiedot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot Logistinen regressio, separoivat hypertasot Topi Sikanen Logistinen regressio Aineisto jakautunut K luokkaan K=2 tärkeä erikoistapaus Halutaan mallintaa luokkien vedonlyöntikertoimia (odds) havaintojen

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Männyn laaturajojen integrointi runkokäyrän ennustamisessa. Laura Koskela Tampereen yliopisto 9.6.2003

Männyn laaturajojen integrointi runkokäyrän ennustamisessa. Laura Koskela Tampereen yliopisto 9.6.2003 Männyn laaturajojen integrointi runkokäyrän ennustamisessa Laura Koskela Tampereen yliopisto 9.6.2003 Johdantoa Pohjoismaisen käytännön mukaan rungot katkaistaan tukeiksi jo metsässä. Katkonnan ohjauksessa

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen

Lisätiedot

Kemiallisten menetelmien validointi ja mittausepävarmuus Leena Saari Kemian ja toksikologian tutkimusyksikkö

Kemiallisten menetelmien validointi ja mittausepävarmuus Leena Saari Kemian ja toksikologian tutkimusyksikkö Kemiallisten menetelmien validointi ja mittausepävarmuus Leena Saari Kemian ja toksikologian tutkimusyksikkö Validointi Validoinnilla varmistetaan että menetelmä sopii käyttötarkoitukseen ja täyttää sille

Lisätiedot

Jos havaitaan päivän ylin lämpötila, mittaustuloksissa voi esiintyä seuraavantyyppisiä virheitä:

Jos havaitaan päivän ylin lämpötila, mittaustuloksissa voi esiintyä seuraavantyyppisiä virheitä: Mittausten virheet Jos havaitaan päivän ylin lämpötila, mittaustuloksissa voi esiintyä seuraavantyyppisiä virheitä: 1. Luemme lämpömittarin vain asteen tarkkuudella. Ehkä kyseessä on digitaalimittari,

Lisätiedot

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Rahastosalkun faktorimallin rakentaminen

Rahastosalkun faktorimallin rakentaminen Teknillinen korkeakoulu Mat 2.177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Kevät 2007 Evli Pankki Oyj Väliraportti 28.3.2007 Kristian Nikinmaa Markus Ehrnrooth Matti Ollila Richard Nordström Ville Niskanen

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot

Lisätiedot

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi

Lisätiedot

Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN

Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 1 AIKASARJA ILMAN SYSTEMAATTISTA VAIHTELUA... 2 1.1 Liukuvan keskiarvon menetelmä... 2 1.2 Eksponentiaalinen tasoitus... 3 2 AIKASARJASSA

Lisätiedot

YLEISKUVA - Kysymykset

YLEISKUVA - Kysymykset INSIGHT Käyttöopas YLEISKUVA - Kysymykset 1. Insight - analysointityökalun käytön mahdollistamiseksi täytyy kyselyn raportti avata Beta - raportointityökalulla 1. Klikkaa Insight välilehteä raportilla

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1

Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1 Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1 Risto Taipale 20.9.2013 1 Tehtävä 1 Erään lämpömittarin vertailu kalibrointistandardiin antoi keskimääräiseksi eroksi standardista 0,98 C ja eron keskihajonnaksi

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Tilastotoiminnot. Seuraavien kahden esimerkin näppäinohjeet on annettu kunkin laskinmallin kohdalla:

Tilastotoiminnot. Seuraavien kahden esimerkin näppäinohjeet on annettu kunkin laskinmallin kohdalla: Tilastotoiminnot Seuraavien kahden esimerkin näppäinohjeet on annettu kunkin laskinmallin kohdalla: Muuttuja Frekvenssi 7 12 8 16 9 11 10 8 Tilastomoodin valinta. Tilastomuistin tyhjennys. Keskiarvon ja

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Exactum C222, 5.-7.11.2008. 1 Tällä viikolla Sisältösuunnitelma: Ennustamisstrategioista Koneoppimismenetelmiä: k-nn (luokittelu

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Vinkkejä opettajille ja odotetut tulokset SIVU 1

Vinkkejä opettajille ja odotetut tulokset SIVU 1 Vinkkejä opettajille ja odotetut tulokset SIVU 1 Konteksti palautetaan oppilaiden mieliin käymällä Osan 1 johdanto uudelleen läpi. Kysymysten 1 ja 2 tarkoituksena on arvioida ovatko oppilaat ymmärtäneet

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Mikroskooppisten kohteiden

Mikroskooppisten kohteiden Mikroskooppisten kohteiden lämpötilamittaukset itt t Maksim Shpak Planckin laki I BB ( λ T ) = 2hc λ, 5 2 1 hc λ e λkt 11 I ( λ, T ) = ε ( λ, T ) I ( λ T ) m BB, 0 < ε

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Aikasarja-analyysiä taloudellisilla aineistoilla

Aikasarja-analyysiä taloudellisilla aineistoilla Aikasarja-analyysiä taloudellisilla aineistoilla Leena Kalliovirta, Luonnonvarakeskus Leena.kalliovirta@luke.fi Kurssi Tilastotiede tutuksi HY matematiikan ja tilastotieteen laitos 1 Leena Kalliovirta

Lisätiedot

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte

Lisätiedot

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä: Matriisi ja vektori laskennan ohjelmisto edellyttää

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

naaraat < read.table('http://cs.joensuu.fi/pages/whamalai/dm13/naaraatvalikoitu.csv', head=t, sep=',')

naaraat < read.table('http://cs.joensuu.fi/pages/whamalai/dm13/naaraatvalikoitu.csv', head=t, sep=',') naaraat < read.table('http://cs.joensuu.fi/pages/whamalai/dm13/naaraatvalikoitu.csv', head=t, sep=',') printf < function(...) { print(sprintf(...)) c_by_method < NULL # Listataan ne muuttujaparit, joilla

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1

Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1 Marko Vauhkonen Kuopion yliopisto Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1 Sisältö Mallintamisesta mallien käyttötarkoituksia

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

IMPLISIITTISEN KALIBROINNIN SOVELTAMISMAHDOLLISUUDET KEMIANTEKNIIKASSA

IMPLISIITTISEN KALIBROINNIN SOVELTAMISMAHDOLLISUUDET KEMIANTEKNIIKASSA LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Kemiantekniikan osasto IMPLISIITTISEN KALIBROINNIN SOVELTAMISMAHDOLLISUUDET KEMIANTEKNIIKASSA Diplomityön aihe on hyväksytty Kemiantekniikan osaston osastoneuvostossa

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Spektroskooppiset menetelmät kiviaineksen laadun tutkimisessa. Lasse Kangas Aalto-yliopisto Yhdyskunta- ja ympäristötekniikka

Spektroskooppiset menetelmät kiviaineksen laadun tutkimisessa. Lasse Kangas Aalto-yliopisto Yhdyskunta- ja ympäristötekniikka Spektroskooppiset menetelmät kiviaineksen laadun tutkimisessa Lasse Kangas Aalto-yliopisto Yhdyskunta- ja ympäristötekniikka Kalliokiviaineksen tunnistaminen ja luokittelu Nykymenetelmät Hitaita (päiviä,

Lisätiedot

Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen

Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Tekijä: Mikko Nordlund 49857B mikko.nordlund@hut.fi Ohjaaja: Ilkka Mellin Jätetty: 11.12.2003 Sisällysluettelo 1. JOHDANTO... 3 2. MALLIEN TUTKIMINEN...

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP

Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP Kameran kalibrointi Kameran kalibroinnilla tarkoitetaan sen kameravakion, pääpisteen paikan sekä optiikan aiheuttamien virheiden määrittämistä. Virheillä tarkoitetaan poikkeamaa ideaalisesta keskusprojektiokuvasta.

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 16.2.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 16.2.2010 1 / 41 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3 OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 3 Tutkimussuunnitelman rakenne-ehdotus Otsikko 1. Motivaatio/tausta 2. Tutkimusaihe/ -tavoitteet ja kysymykset

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy

Lisätiedot

1 Johdanto 2. 2 Työkansion asettaminen 3. 3 Aineistojen lukeminen 3 3.1 DAT-tiedosto... 3 3.2 SPSS-tiedosto... 3 3.3 Excel... 3

1 Johdanto 2. 2 Työkansion asettaminen 3. 3 Aineistojen lukeminen 3 3.1 DAT-tiedosto... 3 3.2 SPSS-tiedosto... 3 3.3 Excel... 3 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Työkansion asettaminen 3 3 Aineistojen lukeminen 3 3.1 DAT-tiedosto........................... 3 3.2 SPSS-tiedosto........................... 3 3.3 Excel................................

Lisätiedot

Tilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen. Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla

Tilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen. Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla \esitelm\hki0506.ppt 18.5.2006 Tilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla FORS-iltapäiväseminaari 24.5.2006: Operaatiotutkimus

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot