Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää

Todeäköisyyslasketa I Heikki Ruskeepää 2012

Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 4 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 8 1.4 Ehdollie todeäköisyys 13 1.5 Riippumattomuus 19 1.6 Lisää todeäköisyydestä 22 2 Satuaismuuttujat 27 2.1 Diskreetti satuaismuuttuja 27 2.2 Joitaki diskreettejä jakaumia 32 2.3 Jatkuva satuaismuuttuja 41 2.4 Normaalijakauma 49 2.5 Muita jatkuvia jakaumia 55 Todeäköisyyslaskea kaavoja 61

1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 1.1.1 Klassie todeäköisyys Määritelmä 1.1 Kokee erilaisia tuloksia saotaa alkeistapauksiksi. Kaikkie alkeistapauste joukko o otosavaruus W. Mikä hyväsä alkeistapauste joukko o tapaus. Tapaus sattuu, jos kokee tuloksea o alkeistapaus, joka kuuluu tapauksee. Esimerkki 1.1 Noppaa heitetää kerra. Tapaukse A todeäköisyyttä merkitää PHAL. Olkoo A tapaukse A alkeistapauste lukumäärä ja W otosavaruude alkeistapauste lukumäärä. Määritelmä 1.2 Jos kokee kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset, ii tapaukse A todeäköisyys o PHAL = A. W Tämä o todeäköisyyde klassie määritelmä. Tapaukse A alkeistapauksia saotaa myös suotuisiksi alkeistapauksiksi. Määritelmä voidaa siis kirjoittaa myös seuraavasti: PHAL = suotuisie alkeistapauste lukumäärä kaikkie alkeistapauste lukumäärä. Esimerkki 1.2 a) Noppaa heitetää kerra. b) Noppaa heitetää kaksi kertaa. Esimerkki 1.3 O päätetty tutustua korkeitaa kolmee puolisoehdokkaasee. Sovelletaa seuraavaa meettelyä. Tutustutaa 1. ehdokkaasee mutta hylätää se. Valitaa toie ehdokas, jos se o parempi kui 1. ehdokas; muutoi valitaa 3. ehdokas. Ehdokkaisii tutustutaa satuaisessa järjestyksessä. Millä todeäköisyydellä valituksi tule paras ehdokas; etä toiseksi paras ehdokas tai huooi ehdokas? Käytetää seuraavia merkitöjä ja imityksiä: Tyhjää joukkoa merkitää «:llä. Tapaukset A ja B ovat toisesa poissulkevat, jos A B = «. Tapaukset A i, i = 1,,, ovat toisesa poissulkevat, jos A i A j = «kaikilla i ¹ j. Tapausjoukko A i, i = 1,,, o otosavaruude W partitio, jos tapaukset A i ovat toisesa poissulkevat ja A i = W. Tapaukse A komplemettitapaus A c sisältää e alkeistapaukset, jotka eivät kuulu tapauksee A.

Huomautus 1.1 Klassiselle todeäköisyydelle pätee HaL PH«L = 0, PHWL = 1, HbL 0 PHAL 1, HcL P Ê A i = PHA i L, jos tapaukset A i ovat toisesa poissulkevat HsummakaavaL, HdL PHA i L = 1, jos tapaukset A i muodostavat otosavaruude partitio HsummatestiL, HeL PHAL = 1 - PHA c L HkomplemettikaavaL. 4 Kohdat b ja d ovat erittäi tärkeitä tarkistuskeioja: Jos laskettu todeäköisyys ei ole välillä @0, 1D, ii lasku o vääri. Jos tapaukset A i muodostavat W: partitio ja PHA i L ei ole 1, ii aiaki yksi todeäköisyys PHA i L o vääri. Jos PHA i L = 1, ii lasketut todeäköisyydet ovat luultavasti oikei, koska o epätodeäköistä, että virheellisillä todeäköisyyksillä olisi tämä omiaisuus. 1.1.2 Geometrie todeäköisyys Toisiaa koetilae o sellaie, että piste valitaa satuaisesti aetu jaa joiltai osilta. Todeäköisyyde klassista määritelmää ei voida sellaiseaa soveltaa, koska jaalla o pisteitä yliumeroituva määrä. Todeäköisyyksiä voidaa laskea jaoje pituuksie suhteia: PHAL = jaa suotuiste osie yhteispituus. koko jaa pituus Esimerkki 1.4 Piste valitaa satuaisesti jaalta H1, 10L. Toisiaa taas piste valitaa satuaisesti aetu aluee joiltai osilta. Tällöi todeäköisyyksiä voidaa laskea pita-aloje suhteia: PHAL = aluee suotuiste osie yhteispita ala. kokoaluee pita ala Esimerkki 1.5 Oletetaa, että ku tikkaa heitetää tikkatauluu, ii tikka osuu aia tauluu ja taulu kaikki pisteet ovat yhtä todeäköiset. Tällöi osumispiste o satuaie. Esimerkki 1.6 Poika ja tyttö saapuvat kohtaamispaikalle toisistaa riippumatta satuaisea hetkeä aikavälillä 21.00 22.00. Poika odottaa tyttöä korkeitaa 20 mi, ja tyttö odottaa poikaa korkeitaa 5 mi. Kumpiki odottaa korkeitaa klo 22.00 saakka. Millä todeäköisyydellä poika ja tyttö tapaavat toisesa?

5 1.2 Kombiatoriikkaa 1.2.1 Otata Ku käytetää klassista todeäköisyyde kaavaa PHAL = A, joudutaa laskemaa tapauksie W A ja W alkeistapauksie lukumäärät. Toisiaa ämä lukumäärät o helppo saada yksikertaise päättely avulla tai luettelemalla eri mahdollisuudet. Moesti o kuiteki kätevämpää käyttää kombiatoriika tuloksia. Joukosta voidaa ottaa alkioita eli suorittaa otata kahdella tavalla. Otata tehdää palauttamatta, jos joukosta otetaa pois yksi alkio kerrallaa. Otata tehdää palauttae, jos jokaise alkio oto jälkee alkio palautetaa joukkoo. Joukko o järjestetty, jos alkioide järjestykse muuttuessa myös joukko muuttuu. Järjestettyä joukkoa merkitää kaarisuluilla. O siis esimerkiksi Ha, b, cl ¹ Hb, a, cl. Joukko o järjestämätö, jos alkioide järjestyksellä ei ole väliä. Järjestämätötä joukkoa merkitää aaltosuluilla. O siis esimerkiksi 8a, b, c< = 8b, a, c<. Jouko alkioide k-permutaatio muodostetaa ottamalla joukosta k: alkio otos (palauttamatta tai palauttae) ja muodostamalla siitä järjestetty joukko. Jouko alkioide k-kombiaatio muodostetaa ottamalla joukosta k: alkio otos (palauttamatta tai palauttae) ja muodostamalla siitä järjestämätö joukko. 1.2.2 Tuloperiaate Lause 1.1 (Tuloperiaate) a) Jos operaatio A i voidaa tehdä i :llä eri tavalla, i = 1,, k, ii joo Hoperaatio A 1,, operaatio A k L voidaa tehdä 1 ÿ 2 ÿ ÿ k eri tavalla. b) Jos i = kaikilla i, ii eri tapoja o k. Esimerkki 1.7 1.2.3 Järjestetty otata Lause 1.2 (Järjestetty otata palauttamatta) a) Joukosta, jossa o erilaista alkiota, voidaa ottaa k: alkio järjestetty otos palauttamatta H - 1L H - 2L ÿ ÿ ÿ H - k + 1L eli! I-kM! Tästä k-permutaatioide lukumäärästä käytetää myös merkitöjä PH, kl, P k ja HL k. b) Jos joukossa o erilaista alkiota, ii alkiot voidaa järjestää jooo! eri tavalla. Esimerkki 1.8 Jos o suuri, ii kertoma! laskemista voi auttaa Stirligi approksimaatio:! ~ 2 p -. eri tavalla. Tämä kaava tarkoittaa, että lauseke 2 p - ê! lähestyy ykköstä, ku lähestyy ääretötä.

6 Lause 1.3 (Järjestetty otata palauttae) Joukosta, jossa o erilaista alkiota, voidaa ottaa k: alkio järjestetty otos palauttae k eri tavalla. Esimerkki 1.9 a) Paljoko o erilaisia jokeri tuloksia? b) Ku oppaa heitetää kaksi kertaa, ii erilaisia tuloksia o 6 2 = 36 kappaletta: H1, 1L, H1, 2L, H1, 3L, H1, 4L, H1, 5L, H1, 6L, H2, 1L, H2, 2L, H2, 3L, H2, 4L, H2, 5L, H2, 6L, H3, 1L, H3, 2L, H3, 3L, H3, 4L, H3, 5L, H3, 6L, H4, 1L, H4, 2L, H4, 3L, H4, 4L, H4, 5L, H4, 6L, H5, 1L, H5, 2L, H5, 3L, H5, 4L, H5, 5L, H5, 6L, H6, 1L, H6, 2L, H6, 3L, H6, 4L, H6, 5L, H6, 6L. Nämä ovat kaikki yhtä todeäköisiä. Samat tulosmahdollisuudet saadaa, jos kahta erilaista (esim. eri väristä) oppaa heitetää yhtä aikaa. c) Huomaa, että ku kahta samalaista oppaa heitetää, ii erilaisia tuloksia o vai 21 kappaletta: 81, 1<, 81, 2<, 81, 3<, 81, 4<, 81, 5<, 81, 6<, 82, 2<, 82, 3<, 82, 4<, 82, 5<, 82, 6<, 83, 3<, 83, 4<, 83, 5<, 83, 6<, 84, 4<, 84, 5<, 84, 6<, 85, 5<, 85, 6<, 86, 6<. Nämä tulokset eivät kuitekaa ole yhtä todeäköiset. Esimerkiksi tulos 81, 1< voidaa saada vai yhdellä tavalla mutta tulos 81, 2< kahdella tavalla; tulos 81, 2< o siis todeäköisempi kui tulos 81, 1<. Klassista todeäköisyyde kaavaa ei siis voida käyttää, koska alkeistapaukset eivät ole yhtä todeäköiset. Jotta voitaisii käyttää klassista todeäköisyyde kaavaa, ii o syytä olettaa, että opat heitetää eriksee (eikä yhdessä) ja tulokset kirjataa kummalleki opalle eriksee. Tällöi siis saadaa 36 yhtä todeäköistä mahdollisuutta, jote klassista todeäköisyyde kaavaa voidaa käyttää. Esimerkki 1.10 (Sytymäpäivätehtävä) Oletetaa, että vuode kaikki päivät ovat yhtä todeäköisiä sytymäpäiviä (äi ei tarkasti ottae ole). Millä todeäköisyydellä :stä ihmisestä aiaki kahdella o sama vuode päivä sytymäpäivää? Esimerkki 1.11 Millä todeäköisyydellä :stä ihmisestä aiaki yhdellä o sama vuode päivä sytymäpäivää kui siulla?

7 1.2.4 Järjestämätö otata Lause 1.4 (Järjestämätö otata palauttamatta; biomikertoime otatatulkita) Joukosta, jossa o erilaista alkiota, voidaa ottaa k: alkio järjestämätö otos palauttamatta tavalla. Tästä k-kombiaatioide lukumäärästä käytetää myös merkitöjä CH, kl ja C k. k eli! k! I-kM! eri Seuraavaa taulukkoo o koottu erilaiste otoste lukumäärät eri tapauksissa, ku erilaisesta alkiosta otetaa k: alkio otos. Järjestetty otos Järjestämätö otos Otos palauttamatta! I-kM! k Otos palauttae k + k - 1 k Oikealla alhaalla olevaa tulosta ei todisteta, koska tätä tulosta ei todeäköisyyslaskeassa juuri tarvita. Tällä kaavalla saada esimerkiksi erilaiste tuloste lukumäärä, ku kahta samalaista oppaa heitetää: 6 + 2-1 2 = 21; esimerkissä 1.9.c todettii, että ämä 21 tulosta eivät ole yhtä todeäköiset. Esimerkki 1.12 Lause 1.5 Jos uurasta, jossa o N palloa, joista M o mustia ja N - M valkoisia, otetaa palloa palauttamatta, ii todeäköisyys, että saadaa k mustaa ja - k valkoista palloa, o M N-M k -k N, 0 k M, 0 - k N - M. Huomaa, että lauseessa 1.5 o oletettu, että mustat pallot ovat jollai tavalla erilaisia eli että e voidaa idetifioida. Samoi o oletettu, että valkoiset pallot o jollai tavalla idetifioitu. Tulos kuiteki pätee, vaikka palloja ei todellisuudessa olisi idetifioitu; pallot voidaa tällöi ajatella tilapäisesti idetifioidu otataa varte. Lause 1.5 o s. hypergeometrise jakauma mukaie, ks. pykälää 2.2.4. Esimerkki 1.13 Laatikossa o 4 puaista palloa ja 6 siistä palloa. Laatikosta otetaa 5 palloa palauttamatta. Huomautus 1.2 Biomikertoimella o lausee 1.4 otatatulkia lisäksi kaksi muutaki hyödyllistä tulkitaa: a) (Biomikertoime järjestystulkita) o iide tapoje lukumäärä, joilla k tyypi 1 ja - k k tyypi 2 alkiota voidaa järjestää jooo; b) (Biomikertoime lokerotulkita) o iide tapoje lukumäärä, joilla erilaista alkiota k voidaa jakaa kahtee lokeroo ii, että lokeroihi tulee k ja - k alkiota. Esimerkki 1.14

8 1.2.5 Multiomikerroi Lauseketta k 1, k 2,, k r =! k 1! k 2! ÿ ÿ ÿ k r! missä k 1 + + k r =, saotaa multiomikertoimeksi. Se esiityy esimerkiksi seuraavassa kaavassa: Hx 1 + + x r L = k i = 0,, "i k 1 + +k r = k 1, k 2,, k r x 1 k 1 ÿ ÿ ÿ x r k r. Biomikerroi k o multiomikertoime erikoistapaus: k =! = k! I-kM! k, - k. Huomautuksessa 1.2 todettii, että biomikertoimella o järjestys- ja lokerotulkiat. Lauseide 1.6 ja 1.7 mukaa multiomikertoimella o samalaiset tulkiat. Lause 1.6 (Multiomikertoime järjestystulkita) Oletetaa, että joukossa o r alkiotyyppiä ja että tyypi i alkioita o k i kappaletta; yhteesä alkioita o = k 1 + + k r kappaletta. Silloi jouko alkiot voidaa järjestää jooo Esimerkki 1.15 k 1,, k r eri tavalla. Lause 1.7 (Multiomikertoime lokerotulkita) Jos joukossa o erilaista alkiota, ii alkiot voidaa jakaa r lokeroo ii, että i:tee lokeroo meee k i alkiota, i = 1,, r, tavalla. k 1,, k r eri Lause 1.8 (Lokerolause) Oletetaa, että joukossa o erilaista alkiota ja alkiot jaetaa r lokeroo satuaisesti. a) Todeäköisyys, että i:tee lokeroo meee k i palloa, i = 1,, r, o k 1,, k r ì r. b) Todeäköisyys, että m i :hi lokeroo meee k i palloa, i = 1,, l, o k 1,, k 1,, k l,, k l r m 1,, m l ì r. Tässä esimmäisessä multiomikertoimessa o m i kappaletta lukua k i, i = 1,, l, ja r = m 1 + + m l ja = m 1 k 1 + + m l k l. Esimerkki 1.16 a) Millä todeäköisyydellä 10 rahaheitolla saadaa 4 kruuaa? b) Millä todeäköisyydellä 8 opaheitolla saadaa ykkösiä 0 kappaletta, kakkosia ja kolmosia 1 kappaletta ja elosia, viitosia ja kuutosia 2 kappaletta?

9 Esimerkki 1.17 a) Millä todeäköisyydellä 8 opaheitolla saadaa yhtä silmälukua 0 kertaa, kahta silmälukua 1 kerra ja kolmea silmälukua 2 kertaa? b) Noppaa heitetää 7 kertaa. Millä todeäköisyydellä saadaa aiaki 3 samaa silmälukua? Huomaa, että b-kohda esimerkissä käytettii s. summaperiaatetta: jos tapaus voidaa jakaa toisesa poissulkevii osatapauksii, ii tapaus voi sattua ii moella tavalla, kui o osatapauksie sattumistapoje lukumäärie summa. Esimerkki 1.18 Jatsipelissä heitetää viittä oppaa. Millä todeäköisyydellä saadaa a) jatsi eli viisi samaa umeroa (esim. 22222); b) eloset eli eljä samaa umeroa ja yksi muu (esim. 33336); c) mökki eli kaksi ja kolme samaa umeroa (esim. 44422); d) erilaiset umerot (esim. 12345, 12346, 12356, 12456, 13456 tai 23456); e) kolmoset eli kolme samaa umeroa ja kaksi muuta (esim. 11126); f) kaksi paria eli kaksi ja kaksi samaa umeroa ja yksi muu (esim. 33116); g) yksi pari eli kaksi samaa umeroa ja kolme muuta (esim. 55134). Esimerkki 1.19 Pokerikäsi o 52 korti pakasta (4 maata, kussaki 13 arvoa) umpimähkää valittu 5 korti joukko. Millä todeäköisyydellä saadaa a) erilaiset arvot; b) pari eli kaksi samaa arvoa; c) kolmoset eli kolme samaa arvoa; d) eloset eli eljä samaa arvoa; e) kaksi paria; f) täyskäsi eli kolmoset ja pari? Esimerkki 1.20 Ratkaistaa uudestaa esimerki 1.10 sytymäpäivätehtävä: millä todeäköisyydellä :stä ihmisestä aiaki kahdella o sama vuode päivä sytymäpäivää?

1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 10 1.3.1 Joukko-oppia Seuraavassa o joukko-opi perusmerkitöjä ja iide todeäköisyystulkitoja. Koska joukkoje A ja B leikkaus A B sisältää e alkeistapaukset, jotka ovat sekä A:ssa että B:ssä, ii tapaus A B sattuu, jos sekä A että B sattuvat. Leikkausta A B merkitää usei myös lyhyemmi A B. Koska joukkoje A ja B uioi A B sisältää e alkeistapaukset, jotka ovat aiaki toisessa joukoista A ja B, ii tapaus A B sattuu, jos aiaki toie tapauksista A ja B sattuu. Koska jouko A komplemetti A c sisältää e alkeistapaukset, jotka eivät ole A:ssa, ii tapaus A c sattuu, jos A ei satu. Koska joukkoje A ja B erotus A - B = A B c sisältää e A: alkeistapaukset, jotka eivät ole B:ssä, ii tapaus A - B sattuu, jos A sattuu mutta B ei satu. Tyhjää joukkoa merkitää «; saotaa, että «o mahdoto tapaus (se ei koskaa satu). Koko otosavaruus W o varma tapaus (se sattuu aia). Oletetaa, että A Õ B. Jos tällöi A sattuu, ii myös B sattuu. Tapauksia o tapaa havaiollistaa s. Ve-diagrammeia: A B A - B Selvästi HA c L c = A, A A c = W, A A c = «, W c = «, «c = W, A «= A, ««= «, A «= «, ««= «. Uioille ja leikkaukselle pätevät seuraavat distributiivilait: A HB CL = HA BL HA CL, A HB CL = HA BL HA CL, A Ë B i B i A Ê Komplemetille pätevät de Morgai kaavat: HA BL c = A c B c, HA BL c = A c B c, c A i Ê = ËA c i, c A i Ë = ÊA c i. = ËHA B i L, = ÊHA B i L.

Seuraava määritelmä o todeäköisyyslaskeassa erittäi tärkeä. 11 Määritelmä 1.3 Tapaukset A ja B ovat toisesa poissulkevat, jos A B = «. Määritelmä imitys johtuu siitä, että jos A sattuu, ii B ei voi sattua, ja jos B sattuu, ii A ei voi sattua. Yleisemmi saotaa, että tapaukset A i, i = 1, 2,, ovat toisesa poissulkevat, jos A i A j = «kaikilla i ¹ j. 1.3.2 Todeäköisyyde aksioomat Todeäköisyyde laskusäätöje johtamiseksi esitetää esi joukko todeäköisyydeltä vaadittavia omiaisuuksia. Nämä omiaisuudet, joita saotaa myös aksioomiksi, ovat luotevia ja sopusoiussa todeäköisyyde ituitiivise käsitykse kassa. Koko todeäköisyyslasketa voidaa sitte johtaa äistä aksioomista. Aksiomaattise todeäköisyyslaskea o kehittäyt A. N. Kolmogorov kirjassaa Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug (1933). Todeäköisyyde aksioomat A1. PHAL 0 kaikille tapauksille A. A2. PHWL = 1. A3. Jos tapaukset A i, i = 1, 2,, ovat toisesa poissulkevat, ii PH A i L = PHA i L. Aksiooma A1 tapaa o luotevaa olettaa, että todeäköisyys o ei-egatiivie. Aksiooma A2 ormeeraa todeäköisyydet ii, että suuri mahdollie todeäköisyys o 1. Aksioomassa A3 esiityvä tapaus A i sattuu, jos aiaki yksi tapauksista A i sattuu. Koska kuiteki tapaukset A i ovat toisesa poissulkevat, ii tapaus A i sattuu, jos tarkallee yksi tapauksista A i sattuu. O luotevaa, että tällöi tapauksie A i todeäköisyydet lasketaa yhtee: PH A i L = PHA i L. Omiaisuutta A3 saotaa s-additiivisuudeksi. Aksioomie avulla voidaa todistaa seuraava lause. Lause 1.9 Todeäköisyydellä o seuraavat omiaisuudet: a) PH«L = 0. b) Jos A B = «, ii PHA BL = PHAL + PHBL. c) PHAL = 1 - PHA c L (komplemettikaava). d) Jos A Õ B, ii PHAL PHBL. e) 0 PHAL 1. f) PHA - BL = PHAL - PHA BL.

Huomautus 1.3 a) Tapaus «o mahdoto tapaus ja PH«L = 0. Jos jolleki tapaukselle A o PHAL = 0, ii siitä ei kuitekaa välttämättä seuraa, että A = «. O imittäi olemassa ei-tyhjiä tapauksia, joide todeäköisyys o olla. Jos esimerkiksi valitaa satuaie luku väliltä @0, 1D, ii osaväleillä o positiiviset todeäköisyydet; esimerkiksi todeäköisyys, että piste o välillä @0.2, 0.3D, o 0.1. Yksittäiste pisteide todeäköisyys o kuiteki olla, vaikka jokaie väli @0, 1D piste o mahdollie; esimerkiksi todeäköisyys, että piste o 0.2539871458, o olla. Jos PHAL = 0, ii saotaa, että A o melkei mahdoto tapaus eli ollamitallie tapaus. b) Tapaus W o varma tapaus ja PHWL = 1. Jos jolleki tapaukselle A o PHAL = 1, ii siitä ei kuitekaa välttämättä seuraa, että A = W. O imittäi olemassa tapauksia, joide todeäköisyys o yksi, vaikka tapaukset eivät sisälläkää kaikkia mahdollisia tapauksia. Jos esimerkiksi valitaa satuaie luku väliltä @0, 1D, tapaukse, että piste ei ole piste 0.2539871458, todeäköisyys o 1. Jos PHAL = 1, ii saotaa, että A o melkei varma tapaus. 1.3.3 Toisesa poissulkevie tapauste uioi Seuraava lausee a-kohta yleistää lausee 1.9 b-kohda useamma tapaukse uioille. Lause 1.10 Oletetaa, että tapaukset A i, i = 1,,, ovat toisesa poissulkevat. a) P Ai = PHAi L (summakaava). b) Jos lisäksi Ai = W, ii PHAi L = 1. Huomautus 1.4 Lausee 1.9 e-kohta 0 PHAL 1 ja lausee 1.10 b-kohta ovat erittäi tärkeitä todeäköisyyksie tarkistamisessa. Laskuissa o imittäi joki virhe, jos laskuje tuloksea o todeäköisyys, joka o egatiivie tai suurempi kui 1; jos tapausavaruus voidaa jakaa toisesa poissulkevie tapauste uioiksi ja tapauste todeäköisyyksie summa o eri suuri kui 1. Vaikka tarvittaisii vai tiety tapaukse todeäköisyys, ii usei o hyödyllistä laskea kaikkie tapauksie todeäköisyydet, jotta voitaisii käyttää lausee 1.10 b-kohda atamaa tarkistuskeioa. Lausee 1.10 b-kohtaa voidaa käyttää myös toisella tavalla: yhtälöstä PHA i L = 1 voidaa yksi todeäköisyys PHA i L ratkaista muide todeäköisyyksie avulla. Tästä o kuiteki se huomattava varjopuoli, että kaava PHA i L = 1 käyttö tarkistuskeioa meetetää. Esimerkki 1.21 Tiedetää seuraavat tapauksii A, B ja C liittyvät todeäköisyydet: PHAL = 0.35, PHBL = 0.50, PHCL = 0.45, PHA BL = 0.15, PHA CL = 0.15, PHB CL = 0.20, PHA B CL = 0.10. Lasketaa todeäköisyydet, että tarkallee i kappaletta tapauksista A, B ja C sattuu, i = 0, 1, 2, 3. 12

13 1.3.4 Yleie uioi Määritelmä 1.4 Tapaukset A i, i = 1,,, ovat vaihtokelpoiset (exchageable), jos tapaukset A i, i = 1,,, ovat yhtä todeäköiset ja samoi tapaukset A i A j, tapaukset A i A j A k,, kaikilla i, j, k,. Seuraava lausee kohta e osoittaa, että tapauste vaihtokelpoisuus yksikertaistaa uioi laskukaavaa. Lause 1.11 (Mukaalukemis poissulkemis-periaate, priciple of iclusio-exclusio) a) PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL. b) PHA B CL = PHAL + PHBL + PHCL - PHA BL - PHA CL - PHB CL + PHA B CL. c) PHA B C DL = PHAL + PHBL + PHCL + PHDL - -PHA BL - PHA CL - PHA DL - PHB CL - PHB DL - PHC DL + +PHA B CL + PHA B DL + PHA C DL + PHB C DL - -PHA B C DL. -1 d) P Ai = PHAi L - -2 + -1 j=i+1 k=j+1 j=i+1 PIA i A j M + PIA i A j A k M - + + H-1L -1 P Ai. e) Jos tapaukset A i, i = 1,,, ovat vaihtokelpoiset, ii P Ai = H-1L i+1 i i P A j. j=1 Lausee imi tulee siitä, että siiä uioi todeäköisyyde lausekkeesee otetaa leikkauste todeäköisyyksiä mukaa plusmerkkisiä ja iitä suljetaa pois miiusmerkkisiä. Esimerkki 1.22 Ku esimmäisestä kokoaisluvusta muodostetaa permutaatio, ii saotaa, että se o epäjärjestys, jos yksikää luvuista ei ole luoollisella paikallaa. Esimerkiksi H3, 1, 2L o epäjärjestys mutta H3, 2, 1L ei. Lause 1.12 (Epäjärjestyslause) Ku esimmäistä kokoaislukua permutoidaa satuaisesti, ii tulos o epäjärjestys todeäköisyydellä i=0 H-1L i i!. Koska x = i=0 x i ë i!, ii huomataa, että ku lähestyy ääretötä, ii epäjärjestykse todeäköisyys lähestyy arvoa 1 : arvoilla: PHepäjärjestysL 1 - PHepäjärjestysL 2 0.5 0.5 3 0.333 0.667 4 0.375 0.625 5 0.367 0.633 0.368 0.632 = 0.3679. Seuraavassa taulukossa o todeäköisyyde arvoja eri

14 PHepäjärjestysL 1 - PHepäjärjestysL 2 0.5 0.5 3 0.333 0.667 4 0.375 0.625 5 0.367 0.633 0.368 0.632 O yllättävää, kuika vähä ämä todeäköisyydet riippuvat lukuje lukumäärästä ja kuika suurea pysyy suurillaki : arvoilla todeäköisyys, että aiaki yksi luku o luoollisella paikallaa. Esimerkki 1.23 (Kirjetehtävä) O kirjoitettu kirjettä ja vastaavat kirjekuoret :lle hekilölle. Jos kirjeet paaa kuorii satuaisesti, ii millä todeäköisyydellä aiaki yksi kirje osuu oikeaa kuoree? Saotaa, että lokeriko lokero o miehitetty, jos siiä o aiaki yksi objekti. Lause 1.13 (Miehityslause) Ku lokerikkoo, jossa o r lokeroa, paaa satuaisesti palloa ( r), ii kaikki lokerot ovat miehitettyjä todeäköisyydellä r H-1L i i=0 r I1 - i i r M. Esimerkki 1.24 Ku oppaa heitetää kertaa ( 6), ii millä todeäköisyydellä kuki silmäluku esiityy aiaki kerra? Lause 1.14 Oletetaa, että tapaukset A i, i = 1,,, ovat vaihtokelpoiset. a) Todeäköisyys P @md, että tasa m kappaletta tapauksista tapahtuu, m = 1,,, o -m P @md = H-1L i i=0 i + m m i + m P j=1 i+m Aj. b) Todeäköisyys P m, että aiaki m kappaletta tapauksista tapahtuu, m = 1,,, o -m P m = H-1L i i=0 i + m - 1 m - 1 i + m P j=1 i+m Aj. Kohda b kaava todeäköisyydelle P 1 redusoituu lausee 1.11 e-kohda kaavaksi.

15 Esimerkki 1.25 Tarkastellaa esimerki 1.23 kirjetehtävää. m P @md P m 0 0.367879 1 1 0.367879 0.632121 2 0.183941 0.264241 3 0.0613095 0.0803004 4 0.0153356 0.0189909 5 0.00305556 0.0036552 6 0.000520833 0.000599647 7 0.0000661376 0.0000788139 8 0.0000124008 0.0000126764 9 0. 2.75573 µ 10-7 10 2.75573 µ 10-7 2.75573 µ 10-7

1.4 Ehdollie todeäköisyys 16 1.4.1 Ehdollie todeäköisyys Esimerkki 1.26 Millä todeäköisyydellä tapaus A sattuu, ku tiedetää, että tapaus B o sattuut? Tämä todeäköisyys o s. ehdollie todeäköisyys, ja sitä merkitää PHA BL. Tämä merkiä voi lukea esim. seuraavilla tavoilla: P A ehdolla B, A: ehdollie todeäköisyys ehdolla B, todeäköisyys, että A tapahtuu, ku B o tapahtuut. Edellise esimerki mukaisesti voidaa kirjoittaa: Määritelmä 1.5a Jos PHBL > 0, ii ehdollie todeäköisyys PHA BL o tapaukse A todeäköisyys otosavaruudessa B. Koska tässä siis alkuperäie otosavaruus W korvataa suppeammalla otosavaruudella B, ii tätä ehdollise todeäköisyyde lasketameetelmää saotaa supistetu otosavaruude meetelmäksi (määritelmässä 1.5b tullaa esittämää kaava, jossa käytetää alkuperäise otosavaruude W todeäköisyyksiä). Esimerkki 1.27 Määritelmä 1.5b Jos PHBL > 0, ii ehdollie todeäköisyys PHA BL o PHA BL = PHA BL. PHBL Ehdollie todeäköisyys PHA BL voidaa siis määritellä kahdella tavalla: A: todeäköisyyteä supistetussa otosavaruudessa B; alkuperäise otosavaruude W todeäköisyyksie avulla: PHA BL. PHBL Kumpiki määritelmä o tärkeä käytäö laskuissa. Edellie määritelmä o lisäksi tärkeä auttaessaa ymmärtämää, mistä ehdollisessa todeäköisyydessä o kyse. Jälkimmäie määritelmä taas o tärkeä myös siksi, että se avulla voidaa johtaa ehdollisee todeäköisyytee liittyviä tuloksia (mm. kokoaistodeäköisyyskaava ja Bayesi kaava). Esimerkki 1.28 Ku tiettyä ohjelmajoukkoa tutkittii, ii havaittii, että 20 prosetissa ohjelmia oli sytaksivirheitä ja 6 prosetissa sekä sytaksi- että I/O-virheitä. Jos tietyssä ohjelmassa o sytaksivirheitä, ii millä todeäköisyydellä siiä o myös I/O-virheitä? Esimerkki 1.29 Oletetaa, että lapsi o poika todeäköisyydellä 1 ê 2. Tiedetää, että perhee kahdesta lapsesta aiaki yksi o poika. Millä todeäköisyydellä toieki lapsi o poika? Pitapuolisesti ajattelemalla voisi päätellä, että toieki lapsi o poika todeäköisyydellä 1 ê 2. Seuraava lause osoittaa, että ku tapaus B o aettu, ii fuktio PH. BL o pätevä todeäköisyysfuktio otosavaruudessa B. Lause 1.15 PH. BL toteuttaa todeäköisyyde aksioomat otosavaruudessa B.

17 Ehdolliselle todeäköisyydelle pätevät siis kaikki tavalliselle todeäköisyydelle johdetut tulokset. Esimerkiksi PH«BL = 0, 0 PHA BL 1, PHA BL = 1 - PHA c BL, PHA B CL = PHA CL + PHB CL - PHA B CL. 1.4.2 Kokoaistodeäköisyyskaava Ratkaisemalla kaavoista PHA BL = PHA BL ê PHBL ja PHB AL = PHA BL ê PHAL todeäköisyys PHA BL, saadaa seuraava lause. Leikkaukse todeäköisyyttä tarkastellaa lähemmi pykälässä 1.5. Lause 1.16 Tapauste leikkaukse todeäköisyys toteuttaa kaavat PHA BL = PHA BL PHBL, jos PHBL > 0; PHA BL = PHAL PHB AL, jos PHAL > 0. Määritelmä 1.6 Tapaukset A 1,, A muodostavat otosavaruude W partitio, jos tapaukset ovat toisesa poissulkevat, W = A i ja PHA i L > 0 kaikilla i. Lause 1.17 (Kokoaistodeäköisyyslause) Jos tapaukset A 1,, A muodostavat otosavaruude partitio, ii PHBL = PHB Ai L PHA i L. Lausee 1.17 kokoaistodeäköisyyskaava avulla kokoais -todeäköisyys PHBL voidaa koota ehdollisista todeäköisyyksistä PHB A i L paiottamalla kutaki ehdollista todeäköisyyttä ehdo todeäköisyydellä PHA i L. Kokoaistodeäköisyyskaava o hyödyllie moissa tapauksissa, joissa todeäköisyyttä PHBL o vaikea laskea suoraa, mutta lasketa o helppoa ehdolliste todeäköisyyksie PHB A i L avulla.

18 Esimerkki 1.30 Moivalitakokee kussaki tehtävässä o vastausvaihtoehtoa, joista yksi o oikea. Opiskelija tietää kuhuki kysymyksee oikea vastaukse todeäköisyydellä p. Jos opiskelija ei tiedä vastausta, hä arvaa. Millä todeäköisyydellä vastaus yhtee kysymyksee o oikea? PHOL 1.0 0.8 0.6 = 2 0.4 0.2 = 3 = 4 = 5 = 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p Esimerkki 1.31 Tietty virus o kahdella ihmisellä 10 000:sta. Jos ihmisellä o tämä virus, ii tietty testiki ilmoittaa 99.99 proseti varmuudella, että ihmisellä o tämä virus (testi tulos o positiivie). Jos ihmisellä ei ole tätä virusta, ii testiki ilmoittaa 99.9 proseti varmuudella, että ihmisellä ei ole tätä virusta (testi tulos o egatiivie). Millä todeäköisyydellä testi tulos o positiivie; etä egatiivie? 0.0002 V 0.9999 0.0001 P N 0.0002ÿ0.9999 = 0.000 199 98 0.0002ÿ0.0001 = 0.000 000 02 0.9998 E 0.001 0.999 P N 0.9998ÿ0.001 = 0.000 9998 0.9998ÿ0.999 = 0.998 8002

19 1.4.3 Bayesi kaava Bayesi kaava o usei hyödyllie, ku halutaa laskea ehdollisia todeäköisyyksiä. Lause 1.18 (Bayesi lause; Thomas Bayes, 1701 1761) Jos tapaukset A 1,, A muodostavat otosavaruude partitio ja PHBL > 0, ii P HA k BL = PHB A kl PHA k L PHBL = PHB A kl PHA k L PHB Ai L PHA i L, k = 1,,. Esimerkki 1.32 Jatketaa esimerkkiä 1.30. Moivalitakokee kussaki tehtävässä o vastausvaihtoehtoa, joista yksi o oikea. Opiskelija tietää kuhuki kysymyksee oikea vastaukse todeäköisyydellä p. Jos opiskelija ei tiedä vastausta, hä arvaa. Jos vastaus yhtee kysymyksee o oikea, ii millä todeäköisyydellä opiskelija tiesi vastaukse eikä arvaut? PHT»OL 1.0 0.8 0.6 0.4 = 6 = 5 = 4 = 3 = 2 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p Esimerkki 1.33 Jatketaa esimerkkiä 1.31. Tietty virus o kahdella ihmisellä 10 000:sta. Jos ihmisellä o tämä virus, ii tietty testiki ilmoittaa 99.99 proseti varmuudella, että ihmisellä o tämä virus (testi tulos o positiivie). Jos ihmisellä ei ole tätä virusta, ii testiki ilmoittaa 99.9 proseti varmuudella, että ihmisellä ei ole tätä virusta (testi tulos o egatiivie). Jos testi tulos o positiivie, ii millä todeäköisyydellä ihmisellä todella o virus? Mistä testi huoo luotettavuus johtuu? Jos tarkastellaa esimerkiksi 10 000 ihmise joukkoa, ii o odotettavissa, että siiä kahdella ihmisellä o virus. Testi o äide kahde ihmise joukossa positiivie keskimääri 0.9999 ÿ 2 = 1.9998:lle ihmiselle. Testi o positiivie 9998 tervee ihmise joukossa keskimääri 0.001 ÿ 9998 = 9.998:lle ihmiselle. Keskimääri saadaa siis yhteesä 11.9978 positiivista testitulosta. Tästä sairaide osuus 1.9998 o todellaki vai 16.7 prosettia. Huoo tulos johtuu siis virheelliste positiiviste tuloste suuresta määrästä. Se taas johtuu siitä, että vaikka virheellise positiivise tulokse todeäköisyys oki piei (0.001), ii virheellisiä positiivisia tuloksia kuiteki sytyy melko paljo, koska terveide ihmiste osuus oli hyvi suuri (0.9998).

20 Huomautus 1.5 Bayesi kaava voidaa tulkita kahdellaki tavalla. a) Kääteiset ehdolliset todeäköisyydet. Ehdollisille todeäköisyyksille PHB A i L, i = 1,,, voidaa Bayesi kaava avulla laskea kääteiset ehdolliset todeäköisyydet PHA k BL, k = 1,,. Jos A i o tapaukse B mahdollie syy, ii PHB A i L o seuraukse todeäköisyys, ku syy tiedetää, mutta PHA i BL o syy todeäköisyys, ku seuraus tiedetää. b) Posterioriset todeäköisyydet. Alu peri tiedetää todeäköisyydet PHA i L, i = 1,, ; ämä ovat s. prioriset todeäköisyydet. Sitte saadaa se iformaatio, että tapaus B o sattuut. Bayesi kaava avulla voidaa yt laskea s. posterioriset todeäköisyydet PHA k BL, k = 1,,. Tällä tavalla voidaa todeäköisyyksiä päivittää, ku saadaa uutta iformaatiota. Prioriset t:t Posterioriset t:t PHVL = 0.0002 PHV» PL = 0.167, PHV» NL = 0.000 000 02 PHEL = 0.9998 PHE» PL = 0.833, PHE» NL = 0.999 999 98 1.4.4 Lasketaohjeita Ku ratkaistaa todeäköisyyslaskea tehtäviä, ii vaaraa o, että lasku eteee ii kui laskijasta vai tutuu järkevältä ja lasku eri vaiheet jäävät perustelematta tai vai hämärä ituitio varaa. Tästä o kaksi varjopuolta: Lasku meee usei vääri, koska perusteluja ei mietitä. Vaikka lasku lopputulos olisi oikeaki, ii ulkopuolise o vaikeaa saada laskusta selvää: todeäköisyydet jäävät tarkemmi määrittelemättä ja laskea vaiheet perustelematta. Jotta laskusta saataisii varmemmi oikea tulos ja lasku olisi myös muide ymmärrettävissä, ii kaattaa oudattaa seuraavia ohjeita. Moet luetoje esimerkit oudattavat äitä ohjeita. Ohjeita o oudatettava myös tettitehtävissä. Ohjeita todeäköisyyksie laskemisee: 1) Aa tapauksille helposti muistettavat symbolit. 2) Kirjoita aetut todeäköisyydet symbolie avulla. 3) Kirjoita ja laske kysytty todeäköisyys symbolie avulla. 4) Käytä laskemisessa vai todeäköisyyslaskea tuettuja tuloksia. 5) Sijoita saatuu symbolisee lausekkeesee aetut todeäköisyydet ja sieveä. 6) Usei o mielekiitoista tietää todeäköisyydelle sekä tarkka arvo että desimaaliarvo. 1) Symbolie määrittely tapauksille o välttämätötä, jotta lasku voitaisii esi ratkaista symbolisesti. Voidaa esimerkiksi määritellä V = ihmisellä o virus, E = ihmisellä ei ole virusta, P = testi o positiivie. 2) Aettuje todeäköisyyksie kirjoittamie symbolie avulla selkeyttää lähtötilatee ja helpottaa myöhempää laskemista. Voidaa esimerkiksi kirjoittaa PHVL = 0.0002, PHEL = 0.9998, PHP VL = 0.9999, PHP EL = 0.001.

3) Ku kysytty todeäköisyys kirjoitetaa symbolie avulla, tiedetää tarkallee, mitä pitää laskea. Ku tämä todeäköisyys sitte lasketaa symbolie avulla, tulee samalla mietityksi, millä perusteella ja millä kaavalla todeäköisyys lasketaa, ja lukija o helppo seurata laskea eteemistä. Voida esimerkiksi kirjoittaa kokoaistodeäköisyyskaava avulla PHPL = PHP VL PHVL + PHP EL PHEL. 4) Laskeassa o tärkeää, että käytetää vai todeäköisyyslaskea tuettuja tuloksia, koska se varmistaa, että ratkaisu o oikea. Vältä sellaiste ad hoc -päätelyje käyttöä, jotka vai tutuvat järkeviltä. Alla o lueteltu todeäköisyyksiä koskevat tärkeimmät kaavat. 5) Vasta ku todeäköisyyde symbolie lauseke o saatu selville, siihe sijoitetaa aetut lähtötiedot (jotka kirjoitettii kohdassa 2) ja lauseke sieveetää. Ku symbolie lauseke o selvillä, ii sijoitusvaihe o usei yksikertaista umeerista lasketaa. Voidaa esimerkiksi kirjoittaa PHPL = PHP VL PHVL + PHP EL PHEL = 0.9999 ÿ 0.0002 + 0.001 ÿ 0.9998 = 0.001 199 78. 6) Todeäköisyyde tarkka arvo o usei mielekiitoie ja arvokas, varsiki, jos se o verrate yksikertaie murtoluku tai muu tarkka lauseke. Desimaaliarvo o usei myös havaiollie, koska siitä äkyy helposti todeäköisyyde suuruusluokka. Näytä desimaaliluvuissa riittävä mota ollasta eroavaa desimaalia (esim. 4), jotta todeäköisyyksie oikeellisuus tulisi selväksi myös lukijalle ja jotta todeäköisyydet voisi tarkistaa kaava PHA i L = 1 avulla riittävä tarkasti (todeäköisyyksie tarkistusta tarkastellaa hetke kuluttua). Kohdassa 4 kehotetaa käyttämää vai todeäköisyyslaskea tuettuja tuloksia. Seuraavassa o lueteltu tällaisia tuloksia (äistä kaavat 6 9 tulevat esille vasta pykälässä 1.5). 21

22 Todeäköisyyksiä koskevat tärkeimmät kaavat: Peruskaavoja: 1) Klassie todeäköisyys: PHAL = A, jos alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset W 2) Komplemettikaava: PHAL = 1 - PHA c L Uioii liittyviä kaavoja: 3) Kahde tapaukse uioi: PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL -1 4) Yleie uioi: P Ai = PHAi L - j=i+1 5) Vaihtokelpoiste tapauste uioi: P Ai = PIA i A j M + - H-1L i+1 i i A j j=1 P 6) Toisesa poissulkevie tapauste uioi: P Ai = PHAi L (summakaava) 7) Riippumattomie tapauste uioi: P Ai = 1 - P HA c i L Leikkauksee liittyviä kaavoja: 8) Kahde tapaukse leikkaus: PHA BL = PHAL PHB AL = PHA BL PHBL 9) Yleie leikkaus: P Ai = PHA 1 L PHA 2 A 1 L PHA 3 A 1 A 2 L ÿ ÿ ÿ 10) Riippumattomie tapauste leikkaus: P Ai = PHAi L (tulokaava) Ehdollisee todeäköisyytee liittyviä kaavoja: 11) Ehdollie todeäköisyys: PHA BL = PHA BL PHBL 12) Kokoaistodeäköisyyskaava: PHBL = PHB Ai L PHA i L 13) Bayesi kaava: PHA k BL = PHB A kl PHA k L PHBL Ole tarkka todeäköisyyksie yhteelaskussa ja kertomisessa: Todeäköisyyksie yhteelasku ja kertomie: Jos lasket todeäköisyyksiä yhtee, ii tapauste o oltava toisesa poissulkevat (kaava 6). Jos kerrot todeäköisyyksiä, ii joko tapauste o oltava riippumattomat (kaavat 7 ja 10) tai tulo tekijöide o oltava ehdollisia todeäköisyyksiä (kaavat 8, 9, 12 ja 13).

Aikaisemmi maiitut kuusi ohjetta auttavat pääsemää oikeaa lopputuloksee. Ku todeäköisyys o laskettu, o kuiteki syytä vielä kiiittää huomiota tulokse oikeellisuutee. Todeäköisyyksiä voi tarkistaa seuraavilla tavoilla: Todeäköisyyksie tarkistamie: 0 PHAL 1. PHA i L = 1, jos 8A 1,, A < o W: partitio; tämä o s. summatesti. Jos siis tapaukset muodostavat W: partitio ja olet laskeut kaikkie tapauste todeäköisyydet, ii todeäköisyyksie summa täytyy olla tasa 1. Vaikka kysytää vai yhde tai muutama tapaukse todeäköisyyttä, ii laske kaikkie toisesa poissulkevie tapauste todeäköisyydet, jotta voit käyttää summatestiä. Laske yleise todeäköisyyde arvo joissaki erikoistapauksissa, joissa todeäköisyyde pystyy varmasti laskemaa oikei. Mieti, tutuuko tulos järkevältä (mutta muista kuiteki, että todeäköisyyslaskeassa o yllättäviäki tuloksia). Arvioi todeäköisyyttä simuloimalla tehtävä tilaetta tietokoee avulla ja vertaa arviota todeäköisyyde laskettuu arvoo. Tutki kirjallisuutta ja kysy euvoa. 23

1.5 Riippumattomuus 24 1.5.1 Leikkaukse todeäköisyys Lause 1.19 Seuraavat kaavat pätevät, jos iissä esiityvät ehdolliset todeäköisyydet ovat olemassa. a) PHA BL = PHAL PHB AL, PHA BL = PHA BL PHBL; b) PHA B CL = PHAL PHB AL PHC A BL; c) PHA B C DL = PHAL PHB AL PHC A BL PHD A B CL; d) PH A i L = PHA 1 L PHA 2 A 1 L PHA 3 A 1 A 2 L ÿ ÿ ÿ PHA A 1 A -1 L i-1 0 = P Ai Aj [määritellää P A 1 Aj = P HA 1 L] j=1 Esimerkki 1.34 Noppaa heitetää kerra. Olkoo E = silmäluku o parillie ja V = silmäluku o korkeitaa 5. Lasketaa tapaukse E V todeäköisyys kolmella tavalla. j=1 Esimerkki 1.35 Luokassa o 7 tyttöä ja 5 poikaa. Satuaiset 3 oppilasta asettuvat jooo. Millä todeäköisyydellä tytöt ja pojat vuorottelevat joossa? Olkoo V = tytöt ja pojat vuorottelevat joossa, T i = joo i:s oppilas o tyttö ja P i = joo i:s oppilas o poika. Esimerkki 1.36 a) Avaiipussa o avaita. Avaimia kokeillaa peräjälkee, kues oikea avai löytyy; kokeillut avaimet pidetää erillää kokeilemattomista. Millä todeäköisyydellä vasta k:s avai o oikea? Olkoo O k = vasta k:s avai o oikea ja V i i:s avai o väärä. b) Oletetaa sitte, että kokeiltu avai sekoitetaa aia ippuu. 1.5.2 Kahde tapaukse riippumattomuus Ehdollie todeäköisyys PHA BL riippuu yleisesti B:stä, ts. PHA BL o eri kui PHAL. Toisiaa o kuiteki PHA BL = PHAL. Tällöi o luotevaa saoa, että tapaus A o riippumato tapauksesta B, sillä tieto tapaukse B sattumisesta ei vaikuta mitekää tapaukse A todeäköisyytee. Jos o PHA BL = PHAL, ii o myös PHB AL = PHBL. Näi olle myöski tapaus B o riippumato tapauksesta A. Voidaa siis saoa, että jos PHA BL = PHAL, ii tapaukset A ja B ovat riippumattomat. Kaava PHA BL = PHAL voitaisiiki ottaa tapauste riippumattomuude määritelmäksi, mutta yleisesti käytetty määritelmä o kuiteki seuraava: PHA BL = PHAL PHBL. Kaavat PHA BL = PHAL ja PHA BL = PHAL PHBL ovat imittäi ekvivaletit. Määritelmä 1.7 Tapaukset A ja B ovat riippumattomat, jos PHA BL = PHAL PHBL. Jos tapaukset eivät ole riippumattomat, e ovat riippuvat. Tapauste A ja B riippumattomuutta voidaa merkitä A B.

25 Esimerkki 1.37 a) Noppaa heitetää kaksi kertaa. Olkoo E = 1. tulos o eljä ja S = silmälukuje summa o 6. b) Noppaa heitetää edellee kaksi kertaa. Olkoo yt E = 1. tulos o eljä ja S = silmälukuje summa o 7. Lause 1.20 Jos tapaukset A ja B ovat riippumattomat, ii samoi ovat A ja B c, A c ja B sekä A c ja B c. Huomautus 1.6 Tapauste A ja B riippumattomuus eli PHA BL = PHAL PHBL ja toisesa poissulkevuus eli A B = «ovat aiva eri asioita. Kummastakaa omiaisuudesta ei seuraa toie omiaisuus. Jos esimerkiksi tapaukset ovat toisesa poissulkevat, ii silloi tapaukset ovat selvästi riippuvat: jos toie sattuu, ii toie ei voi sattua. Jos taas tapaukset ovat riippumattomat, ii eivät e välttämättä sulje toisiaa pois. 1.5.3 Kolme tapaukse riippumattomuus Saotaa, että tapaukset A, B ja C ovat parittai riippumattomat, jos PHA BL = PHAL PHBL, PHA CL = PHAL PHCL, PHB CL = PHBL PHCL. Esimerkki 1.38 Olkoo W = 81, 2, 3, 4< ja oletetaa, että kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset. Olkoo A = 81, 2<, B = 81, 3< ja C = 83, 4<. Kolme tapaukse varsiaisee riippumattomuutee vaaditaa parittaie riippumattomuus ja myös kolmittaie riippumattomuus: Määritelmä 1.8 Tapaukset A, B ja C ovat riippumattomat, jos seuraavat ehdot toteutuvat: PHA BL = PHAL PHBL, PHA CL = PHAL PHCL, PHB CL = PHBL PHCL, PHA B CL = PHAL PHBL PHCL. Esimerkki 1.39 Olkoo W = 81, 2, 3, 4< ja oletetaa, että kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset. Olkoo A = 81, 2<, B = 81, 3< ja C = 81, 4<. Lause 1.21 Jos tapaukset A, B ja C ovat riippumattomat, ii A o riippumato kaikista tapauksista, jotka o muodostettu tapauksista B ja C.

26 1.5.4 Useamma tapaukse riippumattomuus Määritelmä 1.9 Tapaukset A i, i = 1,,, ovat riippumattomat, jos seuraavat ehdot toteutuvat: PIA i A j M = PHA i L PIA j M kaikilla i < j, PIA i A j A k M = PHA i L PIA j M PHA k L kaikilla i < j < k, ª P HA 1 A 2 A L = PHA 1 L PHA 2 L ÿ ÿ ÿ PHA L. Riippumattomuude määritelmiä 1.7, 1.8 ja 1.9 voidaa käyttää kahdella tavalla: Määritelmie avulla voidaa testata, ovatko aetut tapaukset riippumattomat. Jos aettuje tapauste riippumattomuus o selvää, ii määritelmie kaavoja voidaa käyttää leikkauste todeäköisyyksie laskemisee. Näistä jälkimmäie käyttötapa o paljo yleisempi ja tärkeämpi. Seuraavaa lauseesee o koottu leikkaukse ja uioi todeäköisyyksie kaavat siiä erikoistapauksessa, että tapaukset ovat riippumattomat. Lause 1.22 Jos tapaukset A i, i = 1,,, ovat riippumattomat, ii a) P Ai = PHAi L (tulokaava). b) P Ai = 1 - PHAi L. Riippumattomuutta voidaa erityisesti soveltaa, jos tehdää riippumattomia kokeita. Voitaisii imittäi osoittaa seuraa luoollie tulos: Oletetaa, että tehdää kaksi koetta E 1 ja E 2 riippumattomasti, ts. kummakaa kokee tulos ei vaikuta toise kokee tuloksee. Jos tapaus A 1 määräytyy täysi kokeesta E 1 ja tapaus A 2 kokeesta E 2, ii tapaukset A 1 ja A 2 ovat riippumattomat. Esimerkki 1.40 Tiettyä koetta toistetaa riippumatomasti. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; olkoo q = 1 - p. Merkitää O i = i:s koe oistuu ja E i = i:s koe epäoistuu. Lause 1.23 Oletetaa, että koetta toistetaa riippumattomasti ja kuki koe oistuu todeäköisyydellä p. Olkoo q = 1 - p. a) Jos koe toistetaa kertaa ja X oistueide kokeide lukumäärä, ii PHX = kl = k pk q -k, k = 0, 1,,. b) Jos koe toistetaa, kues koe oistuu esimmäise kerra, ja X = tarvittavie kokeide lukumäärä, ii PHX = kl = q k-1 p, k = 1, 2, c) Jos koe toistetaa, kues koe oistuu :e kerra, ja X = tarvittavie kokeide lukumäärä, ii PHX = kl = k - 1-1 p q k-, k =, + 1,

27 Esimerkki 1.41 Esimerkki 1.42 Kolme metsästäjää ampuu samaa jäistä täsmällee samaaikaisesti. Oletetaa, että osumiset ovat riippumattomat. Metsästäjie osumistodeäköisyydet ovat 0.01, 0.05 ja 0.08. Käytetää sellaista merkitätapaa, että esimerkiksi 1 2 3 c tarkoittaa tapausta, että 1. ja 2. metsästäjä osuvat mutta 3. ei. Esimerkki 1.43 Tarkastellaa systeemiä, joka koostuu kompoetista. Olkoo A i = i:s kompoetti toimii ja A = systeemi toimii. Oletetaa, että kompoetit toimivat toisistaa riippumatta. Todeäköisyys PHA i L, että kompoetti toimii, o kompoeti luotettavuus. Todeäköisyys PHAL, että systeemi toimii, o systeemi luotettavuus. Saotaa, että systeemi o sarjasysteemi, jos systeemi toimii vai silloi, ku kaikki kompoetit toimivat. Jos yksiki kompoetti o rikki, ii systeemi ei toimi. Saotaa, että systeemi o riakkaissysteemi, jos systeemi toimii ii kaua, kui yksiki kompoetti toimii. 1.5.5 Ehdollie riippumattomuus Jos PHA B CL = PHA CL, ii tutuisi luotevalta saoa, että A o ehdollisesti riippumato B:stä ehdolla C. Jos o PHA B CL = PHA CL, ii o myös PHB A CL = PHB CL. Näi olle myöski B o ehdollisesti riippumato A:sta ehdolla C. Voidaa siis saoa, että jos PHA B CL = PHA CL, ii tapaukset A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C. Kaava PHA B CL = PHA CL voitaisiiki ottaa tapauste ehdollise riippumattomuude määritelmäksi, mutta yleisesti käytetty määritelmä o kuiteki seuraava: PHA B CL = PHA CL PHB CL. Kaavat PHA B CL = PHA CL ja PHA B CL = PHA CL PHB CL ovat imittäi ekvivaletit. Määritelmä 1.10 Tapaukset A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C, jos PHA B CL = PHA CL PHB CL. Lause 1.24 Jos tapaukset A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C, ii samoi ovat A ja B c, A c ja B sekä A c ja B c. Huomautus 1.7 a) Jos A ja B ovat riippumattomat, ii siitä ei seuraa, että A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C. Jos A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C, ii siitä ei seuraa, että A ja B ovat riippumattomat. b) Jos A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C, ii siitä ei seuraa, että A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C c. Esimerkki 1.44 Hemofiliatautii eli verevuototautii voivat sairastua vai miehet, mutta aiset voivat olla taudi katajia. Jos äiti o kataja, ii häe jokaisella pojallaa o 50 proseti mahdollisuus saada tauti. Jos äiti ei ole kataja, ii yksikää poika ei voi saada tautia. Tyttärillä o mahdollisuus olla taudi katajia. Esimerkki 1.45 Potilaa oireide perusteella lääkäri arvelee, että potilaalla o tietty maksasairaus todeäköisyydellä 2 ê 3. Asiaa tutkitaa kahdella testillä. Testi A ataa väärä positiivise tulokse todeäköisyydellä 0.1 ja väärä egatiivise tulokse todeäköisyydellä 0.05. Testi B vastaavat todeäköisyydet ovat 0.05 ja 0.08. Oletetaa, että testit ovat riippumattomat. Jos kumpiki testi ataa positiivise tulokse, ii millä todeäköisyydellä potilaalla o sairaus?

1.6 Lisää todeäköisyydestä 28 1.6.1 Todeäköisyyde jatkuvuus Saotaa, että tapausjoo 8A i, i 1< o kasvava, jos A 1 Õ A 2 Õ. Tällaiselle tapausjoolle määritellää, että joukolla lim iø A i tarkoitetaa joukkoa A i. Saotaa, että tapausjoo 8A i, i 1< o väheevä, jos A 1 É A 2 É. Tällaiselle tapausjoolle määritellää, että joukolla lim iø A i tarkoitetaa joukkoa A i. Seuraava lause osoittaa, että P o mootoisesti jatkuva fuktio. Lause 1.25 Jos 8A i, i 1< o joko kasvava tai väheevä tapausjoo, ii PKlim iø A i O = lim PHA i L. iø Esimerkki 1.46 Osoitetaa, että ku rahaa heitetää toistuvasti, ii todeäköisyys saada kruua jossai vaiheessa o 1. Esimerkki 1.47 Osoitetaa, että ku rahaa heitetää toistuvasti ja s o joki aettu k: heito joo, ii todeäköisyys saada s jossai vaiheessa o 1. Tämä tulos osoittaa siis, että mikä tahasa rahaheito tulosjoo, esim. sellaie, jossa o miljooa kruuaa peräkkäi, esiityy loputtomassa heittosarjassa eemmi tai myöhemmi todeäköisyydellä 1. Tällaise tulokse esiitymise jälkee heittämie kuiteki jatkuu loputtomasti, jote voidaa saoa, että mikä tahasa rahaheito tulosjoo esiityy loputtomassa heittosarjassa äärettömä mota kertaa todeäköisyydellä 1. 1.6.2 Todeäköisyysavaruus Aikaisemmi tällä kurssilla o ymmärretty, että tapaus o mikä tahasa alkeistapauste joukko. O kuiteki osoittautuut, että tämä tapaukse määritelmä o hiuka liia väljä. O imittäi olemassa tapausavaruuksia, joissa o sellaisia osajoukkoja, joille aksiooma A3 s-additiivisuus ei ole voimassa. Näi olle o tietyissä tapauksissa rajoitettava iide tapausavaruude osajoukkoje lukumäärää, joille todeäköisyys määritellää. Parhaaksi meettelyksi o osoittautuut se, että todeäköisyys määritellää sellaisille tapauksille, jotka kuuluvat sopivasti valittuu s-algebraa F. Saotaa, että tapauste luokka F o s-algebra, jos sillä o seuraavat kaksi omiaisuutta: 1. Jos A œ F, ii A c œ F. 2. Jos A i œ F, i = 1, 2,, ii A i œ F. Voidaa osoittaa, että s-algebralla o myös seuraavat omiaisuudet: 3. «œ F, W œ F. 4. Jos A i œ F, i = 1, 2,, ii A i œ F.

Mikä o sopiva s-algebra, jolle todeäköisyys määritellää? Jos W koostuu äärellisestä tai umeroituvasti äärettömästä joukosta alkeistapauksia, ii s- algebraksi voidaa valita W: kaikkie osajoukkoje joukko (voidaa osoittaa, että se o s-algebra). Jos esimerkiksi rahaa heitetää kerra, ii W = 8R, L<. s-algebraksi voidaa valita kaikkie osajoukkoje joukko F = 8«, R, L, W<. Jos W koostuu yliumeroituvasti äärettömästä joukosta alkeistapauksia, ii W: kaikkie osajoukkoje joukko o liia suuri s-algebra: kaikille tämä s-algebra joukoille ei voida kuolla määritellä todeäköisyyttä. Tyypillisesti kyse o reaaliakselista tai se jostai osasta. O osoittautuut, että tällöi s-algebraksi kaattaa valita se s-algebra, jossa o mukaa kaikki välit H-, ad sekä tällaiste välie komplemetit ja (äärelliset ja umeroituvasti äärettömät) uioit ja leikkaukset. Tätä s-algebraa saotaa Boreli s-algebraksi. Saotaa myös, että kyseessä o välie H-, ad geeroima s-algebra eli piei s-algebra, joka sisältää välit H-, ad sekä tällaiste välie komplemetit ja (äärelliset ja umeroituvasti äärettömät) uioit ja leikkaukset. Tämä s-algebra joukkoja saotaa Borel-joukoiksi. Ku o määritelty W, F ja P, ii puhutaa todeäköisyysavaruudesta HW, F, PL. Tässä siis W o tapausavaruus; se alkiota saotaa alkeistapauksiksi; F o W: osajoukkoje s-algebra; se alkiota saotaa tapauksiksi; P o todeäköisyys eli fuktio F Ø @0, 1D, joka toteuttaa aksioomat A1 A3 kaikille tapauksille A œ F. 29 1.6.3 Todeäköisyyksie määräämie Todeäköisyyde aksioomat ja iistä johdetut laskusääöt atavat vai kahde tapaukse todeäköisyydelle tiety umeroarvo PH«L = 0 ja PHWL = 1, mutta muute e vai kertovat, mite joki tapaukse todeäköisyys voidaa laskea joideki muide tapauste todeäköisyyksie avulla; esim. PHAL = 1 - PHA c L, PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL. Laskusäätöje avulla voidaa siis todeäköisyyksiä muokata toisii muotoihi, mutta lopulta tullaa vaiheesee, jossa pitää ataa joideki tapauste todeäköisyyksille umeroarvot, jos tarkasteltava tapaukse todeäköisyydelle halutaa umeroarvo. Todeäköisyyksille voidaa määrätä umeroarvoja kolmella tavalla: todeäköisyyksie yhtäsuuruude avulla, suhteelliste frekvessie avulla, subjektiivise arvioii avulla. Todeäköisyyksie yhtäsuuruus Jos tulosmahdollisuudet ovat W = 8w 1,, w < ja kuki tulokse todeäköisyys o yhtä suuri, ii aksiooma A2 ja lausee 1.10 a-kohda mukaa 1 = PHWL = PH w i L = PHw i L = PHw i L, jote PHw i L = 1 kaikilla i. Jos A = 8w i1,, w ik <, ii lausee 1.10 a-kohda mukaa k PHAL = j=1 PIw ij M = k. Näi o päädytty klassise todeäköisyyde mukaisee kaavaa, joka mukaa todeäköisyys o suotuisie alkeistapauksie lukumäärä suhde kaikkie alkeistapauksie lukumäärää.

30 Suhteelliset frekvessit Jos tulosmahdollisuudet eivät ole yhtä todeäköiset, voidaa kokeide tai tilastoje avulla laskea tapauksille suhteellisia frekvessejä; iitä voidaa pitää todeäköisyyksie likiarvoia. Ku o esimerkiksi laskettu tietyllä aikavälillä sytyeide poikie ja kaikkie sytyeide laste lukumäärie suhde, o poja sytymä todeäköisyydelle saatu likiarvo 0.51. Jotta suhteelliste frekvessie avulla saataisii luotettava todeäköisyyde arvio, ii kokeita tai tilastoarvoja tarvitaa paljo. Seuraavassa o Mathematica-ohjelma avulla simuloitu rahaheittoa 10 000 kertaa ja piirretty, mite kruuie suhteellie frekvessi kehittyy, ku heittoje lukumäärä kasvaa: ListLiePlot@Accumulate@RadomChoice@80, 1<, 10 000DD ê Rage@10 000D, AxesOrigi Ø 80, 0.5<D 0.515 0.510 0.505 0.495 2000 4000 6000 8000 10 000 0.490 0.485 Vielä 10 000 heito jälkeeki kruua todeäköisyyde arvio o iiki huoo kui 0.505. Eri simulotikerroilla tulos voi vaihdella paljoki; seuraavassa simulaatiossa satutaa saamaa parempi todeäköisyyde arvio: ListLiePlot@Accumulate@RadomChoice@80, 1<, 10 000DD ê Rage@10 000D, AxesOrigi Ø 80, 0.5<D 0.53 0.52 0.51 0.49 2000 4000 6000 8000 10 000 0.48

31 Mitä eemmä o käytettävissä tilastoarvoja, se luotettavampi o suhteellie frekvessi todeäköisyyde arvioa. Tämä voidaa myös todistaa todeäköisyyslaskea tuloste avulla. Kurssilla Todeäköisyyslasketa II esitetää Beroulli lause, joka mukaa tapaukse suhteellie frekvessi suppeee todeäköisyysmielessä kohti tapaukse todeäköisyyttä, ku kokeita tehdää yhä eemmä ja eemmä. Subjektiivie arvioiti Tiettyje tapauste todeäköisyyksiä voidaa arvioida myös subjektiivisesti. Esimerkiksi lääkäri voi saoa, että tietty potilas selviytyy sairaudesta todeäköisyydellä 0.8. Tämä arvio perustuu osittai lääkäri lukemii tutkimuksii aiheesta, osittai lääkäri omii kokemuksii aikaisemmista vastaavatapaisista tapauksista ja osittai lääkäri subjektiivisee arvioo kyseisestä potilaasta. Tällaie subjektiivie todeäköisyys ilmaisee hekilö uskomukse siitä, että tapaus sattuu. Joku voisi saoa esimerkiksi, että lähde lauataia lekille todeäköisyydellä 0.9. Subjektiivisessaki todeäköisyydessä o usei osittai mukaa frekvessiajattelua. Kokemukse mukaa esimerkiksi tietylaie potilas o useimmite selviytyyt, jote o hyvi todeäköistä, että äi tapahtuu tämäki potilaa kohdalla, tai hekilö o lauataisi useimmite käyyt lekillä, jote o hyvi todeäköistä, että äi tapahtuu seuraavaaki lauataia.

2 Satuaismuuttujat 32 2.1 Diskreetti satuaismuuttuja 2.1.1 Jakauma- ja todeäköisyysfuktio Esimerkki 2.1 Määritelmä 2.1 Satuaismuuttuja X otosavaruudessa W o fuktio X: W Ø R. Satuaismuuttuja siis liittää kuhuki alkeistapauksee joki reaaliluvu. Mikä tämä reaaliluku o, riippuu siitä, mitä satuaismuuttuja halutaa kuvaava. Määritelmä 2.2 Satuaismuuttuja X o diskreetti, jos se voi saada vai äärellise tai umeroituvasti äärettömä määrä arvoja. Merkitää, että diskreeti satuaismuuttuja saamie arvoje joukko o K. Diskreeteillä satuaismuuttujilla muotoa PHX = kl olevat todeäköisyydet ovat tärkeimmät. Näille todeäköisyyksille määritellää fuktio. Määritelmä 2.3 Diskreeti satuaismuuttuja X todeäköisyysfuktio o phkl = PHX = kl, k œ K. Käytetää myös imityksiä pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio (eglaissa käytetää usei termiä probability desity fuctio ja lyheettä pdf). Todeäköisyysfukiolla phkl o seuraavat omiaisuudet: 0 phkl 1, k œ K, kœk phkl = 1. Todeäköisyyslaskeassa halutaa usei laskea myös todeäköisyyksiä, jotka ovat muotoa PHX al, PHX > al ja PHa < X bl. Nämä voidaa kaikki ilmaista muotoa PHX al olevie todeäköisyyksie avulla. Esiäki PHX > al = 1 - PHX al. Toiseksi jos a < b, ii PHX bl = PHx al + PHa < X bl, jote PHa < X bl = PHX bl - PHX al. Koska siis muotoa PHX al olevat todeäköisyydet ovat keskeisiä, o tälle todeäköisyydelle määritelty oma fuktio: Määritelmä 2.4 Satuaismuuttuja X jakaumafuktio o FHxL = PHX xl, x œ R. Käytetää myös imityksiä kumulatiivie jakaumafuktio ja kertymäfuktio (eglaissa käytetää usei termiä cumulative distributio fuctio ja lyheettä cdf). Huomaa, että todeäköisyysfuktio määritellää vai pisteissä k œ K mutta jakaumafuktio kaikilla x œ R.

33 Todeäköisyysfuktiosta saadaa jakaumafuktio ja jakaumafuktiosta todeäköisyysfuktio seuraavasti: FHxL = k x phkl, phkl = FHkL - FHk - 1L. Esimerkki 2.2 a) Noppaa heitetää; olkoo X opaheito tulosta vastaava kokoaisluku. 1 6 1 2 3 4 5 6 5ê6 1 4ê6 3ê6 2ê6 1ê6 1 2 3 4 5 6 b) Kahta oppaa heitetää; olkoo X silmälukuje summa. 6ê36 4ê36 2ê36 1 0.5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Diskreeti satuaismuuttuja jakaumafuktiolla FHxL o seuraavat omiaisuudet: 0 FHxL 1, x œ R ; FHxL o oikealta jatkuva porrasfuktio; FHxL o ei-väheevä; lim xø FHxL = 1; lim xø- FHxL = 0. Huomautus 2.1 Määritelmässä 2.1 saottii mitä tahasa fuktiota X : W Ø R satuaismuuttujaksi. Tarkasti ottae tämä määritelmä o kuiteki hiuka liia väljä. Satuaismuuttujilleha halutaa laskea erilaisia todeäköisyyksiä, esimerkiksi tapaukse 8X x< todeäköisyys. Tarkemmi kirjoitettua tässä o kyse tapauksesta 8w : XHwL x< eli tapauksesta, joka koostuu kaikista sellaisista alkeistapauksista w, joilla XHwL x. Todeäköisyys määriteltii pykälässä 1.4.2 kaikille tapauksille eli sellaisille alkeistapauste joukoille, jotka kuuluvat W: osajoukkoje s-algebraa F. Jotta siis voitaisii määrätä PHX xl, o jouko 8w : XHwL x< oltava tapaus eli o oltava 8w : XHwL x< œ F.

Yleisemmi voidaa tarkastella tapausta 8w : XHwL œ M< eli lyhyemmi kirjoitettua tapausta 8X œ M<. Tätä tapausta voidaa merkitä myös X -1 HML, ts. kyseessä o jouko M kääteiskuva otosavaruudessa. Tällaisia tapauksia halutaa tarkastella kaikilla riittävä sääöllisillä joukoilla M. O osoittautuut, että sopiva joukkoluokka o R : Borel-joukot. Jotta voitaisii määrätä PHX œ ML, o siis vaadittava, että 8w : XHwL œ M< o tapaus kaikilla Borel-joukoilla M. Saotaa, että X o satuaismuuttuja, jos 8w : XHwL œ M< o tapaus [eli 8w : XHwL œ M< œ F ] kaikilla Borel-joukoilla M. Voidaa osoittaa, että X o satuaismuuttuja silloi ja vai silloi, ku 8w : XHwL x< o tapaus kaikilla x œ R. Satuaismuuttujaa saotaa myös mitalliseksi fuktioksi. Nimitys johtuu siitä, että kääteiskuvalle X -1 HML voidaa liittää tietty mitta eli todeäköisyys (todeäköisyyslasketaa voidaa pitää s. mittateoria osaa). 2.1.2 Odotusarvo Esimerkki 2.3 Seuraavassa o Mathematica-ohjelma avulla simuloitu 100 opaheittoa: = RadomIteger@DiscreteUiformDistributio@6D, 100D 82, 2, 2, 5, 1, 3, 4, 1, 6, 3, 3, 6, 4, 5, 2, 4, 1, 5, 3, 5, 1, 4, 2, 2, 5, 4, 3, 1, 6, 4, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 5, 4, 6, 3, 1, 3, 3, 6, 6, 3, 6, 1, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 6, 1, 5, 4, 4, 2, 2, 6, 4, 1, 3, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 2, 4, 3, 4, 5, 2, 2, 5, 1, 6, 1, 2, 3, 1, 4, 5, 2, 1, 4, 2, 5, 6, 1, 5, 3, 5, 1, 6< Tuloste artimeettie keskiarvo o N@Mea@DD 3.29 Jos lasketaa sellaie silmälukuje paiotettu keskiarvo, jossa kuki silmäluvu paioa o 6 vastaava tapaukse todeäköisyys, ii saadaa k=1 k 1 = 7 6 2 = 3.5; tätä arvoa saotaa silmäluvu odotusarvoksi. Simuloidu aieisto keskiarvo o lähellä tätä odotusarvoa. Näi o yleisesti: jos kokeita tehdää paljo, ii koetuloste keskiarvo o lähellä odotusarvoa. Määritelmä 2.5 Diskreeti satuaismuuttuja X odotusarvo o EHXL = k phkl, kœk 34 jos kœk k phkl <. Esimerkki 2.4

35 Jos diskreeti satuaismuuttuja X arvojoukko K o äärellie, ii odotusarvoki o äärellie. Jos kuiteki arvojoukko o umeroituvasti ääretö, ii odotusarvo määritelmä voi ataa äärettömä tulokse. Voi myös olla ii, että summalle kœk k phkl saadaa erilaisia arvoja siitä riippue, missä järjestyksessä termit lasketaa yhtee. Tietty aalyysi tulos saoo, että kaikki lasketajärjestykset johtavat samaa tuloksee silloi ja vai silloi, ku summa suppeee itseisesti eli ku kœk k phkl <. Jotta siis odotusarvo olisi äärellie ja hyvi määritelty, ii vaaditaa määritelmä 2.5 tapaa, että summa suppeee itseisesti. Jos äi ei ole, ii saotaa, että odotusarvoa ei ole olemassa. Esimerkki 2.5 2.1.3 Muuokse odotusarvo Esimerkki 2.6 Oletetaa, että PHX = -1L = 0.2, PHX = 0L = 0.4 ja PHX = 1L = 0.4. Satuaismuuttuja X fuktio Y = ghxl (g o mitallie fuktio) odotusarvo saadaa laskemalla esi Y: todeäköisyysfuktio qhll, l œ L, ja laskemalla sitte EHYL = lœl l qhll. Seuraava lausee mukaa Y: odotusarvo saadaa myös suoraa X: todeäköisyysfuktio avulla. Lause 2.1 a) E@gHXLD = kœk ghkl phkl, jos kœk ghkl phkl <. b) E@g 1 HXL + g 2 HXLD = E@g 1 HXLD + E@g 2 HXLD. c) EHa + b XL = a + b EHXL. Esimerkki 2.7 2.1.4 Variassi Usei merkitää EHXL = m. Määritelmä 2.6 Satuaismuuttuja X variassi o VarHXL = EAHX - ml 2 E. Lause 2.2 Variassi voidaa laskea myös seuraavista kaavoista: a) VarHXL = EIX 2 M - m 2. b) VarHXL = E@XHX - 1LD + m - m 2. Diskreeti satuaismuuttuja variassi voidaa siis määritelmä 2.6 ja lausee 2.2 mukaa laskea kaavoista VarHXL = Hk - ml 2 phkl, kœk k 2 phkl - m 2, kœk khk - 1L phkl + m - m 2. kœk Kaksi jälkimmäistä kaavaa ovat usei mukavimmat.

Esimerkki 2.8 Satuaismuuttuja variassi mittaa sitä, kuika laajalle satuaismuuttuja arvot ovat levieet. Esimerkiksi kahde opa silmälukuje summa mahdolliste arvoje joukko 82, 3,, 12< o laajempi kui yhde opa tulosjoukko 81, 2,, 6<. Niipä silmälukuje summa variassi oki suurempi kui yhde opa tulokse variassi. Seuraava lause o toisiaa mukava laskettaessa odotusarvoa ja variassia. Lause 2.3 Jos X saa arvoja 0, 1, 2,, ii EHXL = @1 - FHkLD, k=0 E@XHX - 1LD = 2 k @1 - FHkLD. k=1 Esimerkki 2.9 Lause 2.4 a) VarHa + b XL = b 2 VarHXL. b) VarHXL 0; VarHXL = 0 silloi ja vai silloi, ku o olemassa sellaie vakio c, että PHX = cl = 1 (tällaie satuaismuuttuja o s. degeeroituut satuaismuuttuja). c) EAHX - cl 2 E o piei, ku c = m; piei arvo o VarHXL. 36 Määritelmä 2.7 Satuaismuuttuja X hajota o variassi eliöjuuri. Usei merkitää VarHXL = s 2. Hajotaa merkitää usei s:lla: s = käytetää eglaissa termiä stadard deviatio. VarHXL. Hajoalle 2.1.5 Todeäköisyydet geeroiva fuktio Määritelmä 2.8 Olkoo X diskreetti satuaismuuttuja, joka arvojoukko sisältyy joukkoo 80, 1, 2, <. Satuaismuuttuja X todeäköisyydet geeroiva fuktio o GHzL = E Iz X M. Todeäköisyydet geeroiva fuktio voidaa siis laskea kaavasta GHzL = z k phkl. kœk Tämä o hyvi määritelty, aiaki ku -1 z 1. Huomaa, että GH1L = 1.

Jos todeäköisyydet geeroiva fuktio tiedetää, ii siitä voidaa laskea todeäköisyydet: Lause 2.5 a) phkl = 1 k! GIkM H0L. b) phkl = c k, jos GHzL = k=0 c k z k. Todeäköisyydet geeroiva fuktio avulla voidaa laskea myös odotusarvoja: Lause 2.6 a) EHXL = G H1L. b) E@XHX - 1LD = G H1L. Esimerkki 2.10 Ku todeäköisyydet geeroivaa fuktiota käytetää odotusarvo ja variassi laskemisee, ii o oleaista, että summalle GHzL = kœk z k phkl saadaa lasketuksi suljetu muodo lauseke; muutoi geeroivasta fuktiosta ei ole hyötyä. Lause 2.7 Kahdella diskreetillä satuaismuuttujalla o sama jakaumafuktio silloi ja vai silloi, ku iillä o sama todeäköisyydet geeroiva fuktio. Lause 2.7 tulee käyttöö kurssilla todeäköisyyslasketa II. Lause osoittaa, että jos tiedetää satuaismuuttuja todeäköisyydet geeroiva fuktio, ii se määrää satuaismuuttuja jakauma. 37

2.2 Joitaki diskreettejä jakaumia 38 2.2.1 Diskreetti tasaie jakauma Lause 2.8 Jos satuaismuuttujalla X o yhtä todeäköistä arvoa 1, 2,,, ii PHX = kl = 1, k = 1, 2,,, EHXL = +1 2, VarHXL = 2-1 12, GHzL = 1 k=1 z k = zh1-z L H1-zL. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o diskreetti tasaie jakauma parametrillä ; merkitää X ~ DUHL. Esimerkki 2.11 Lause 2.9 Jos satuaismuuttujalla X o + 1 yhtä todeäköistä arvoa 0, 1, 2,,, ii PHX = kl = 1, k = 0, 1, 2,,, +1 EHXL = 2 H+2L, VarHXL =, GHzL = 1 12 +1 z k = 1-z+1. H+1L H1-zL k=0 Saotaa, että satuaismuuttujalla X o modifioitu diskreetti tasaie jakauma parametrillä ; merkitää X ~ ModDUHL. 2.2.2 Poisso-jakauma Lause 2.10 Jos PHX = kl = -l lk k!, k = 0, 1, 2,, ii saotaa, että satuaismuuttujalla X o Poisso-jakauma parametrillä l; merkitää X ~ PoHlL. Tällöi EHXL = l, VarHXL = l, GHzL = lhz-1l.

Seuraavassa kuvassa o joideki Poisso-jakaumie todeäköisyysfuktiot. l = 1 l = 1.5 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 39 10 20 10 20 30 40 50 0.4 0.3 0.2 l = 5 0.3 0.2 l = 7.5 0.1 0.1 10 20 10 20 30 40 50 0.4 0.3 0.2 l = 8 0.3 0.2 l = 15 0.1 0.1 10 20 10 20 30 40 50 Esimerkki 2.12 Vuoa 1910 Rutherford ja Geiger tutkivat poloiumi lähettämää a-säteilyä. He laskivat vastaaotettuje a-partikkeleide määrä 1 ê 8 miuuti pituisia aikaväleiä. Aikavälejä oli kaikkiaa 2608 kappaletta. Tulos oli oheise tauluko kahde esimmäise sarakkee mukaie.

Osoittautui, että jos X o 1 ê 8 miuuti aikaa vastaaotettuje a-partikkeleide lukumäärä, ii X:llä o likimai Poisso-jakauma. Arvioidaa jakauma parametri l seuraavalla tavalla. Koska l = EHXL ja odotusarvoa EHXL voidaa approksimoida otoskeskiarvolla m, ii myös l:aa voidaa approksimoida otoskeskiarvolla m. Nyt m eli keskimääri 1 ê 8 miuuti aikavälillä vastaaotettuje a-partikkelie lukumäärä o oi H0 ÿ 57 + 1 ÿ 203 + 2 ÿ 383 + + 11 ÿ 6L ê 2608 = 3.87. Oletetaa siis, että X ~ PoH3.87L. Lasketaa tämä jakauma todeäköisyydet PHX = kl, k = 0, 1, 2,, 10, ja PHX 11L ja kerrotaa todeäköisyydet välie lukumäärällä 2608. Näi saadaa Poisso-jakauma mukaiset teoreettiset frekvessit. Esimerkiksi PHX = 0L = -3.87 3.87 0 ë 0! = 0.02086, jolloi teoreettie frekvessi o 2608 ÿ 0.02086 = 54.4. Näi saadaa tauluko kolmas sarake. Neljätee sarakkeesee o laskettu havaittuje ja teoreettiste frekvessie erotukset. Koska erotukset ovat varsi pieet, ii tämä tukee sitä johtopäätöstä, että vastaaotettuje a-partikkelie lukumäärällä 1 ê 8 miuuti aikaa o likimai PoH3.87L-jakauma. Partikkelie lukumäärä Havaittu frekvessi Teoreettie frekvessi Frekvessie erotus 0 57 54.4 2.6 1 203 210.5-7.5 2 383 407.4-24.4 3 525 525.5-0.5 4 532 508.4 23.6 5 408 393.5 14.5 6 273 253.8 19.2 7 139 140.3-1.3 8 45 67.9-22.9 9 27 29.2-2.2 10 10 11.3-1.3 11+ 6 5.8 0.2 40 2.2.3 Biomijakauma Lause 2.11 Koe toistetaa riippumattomasti kertaa. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; merkitää q = 1 - p. Olkoo X oistueide kokeide lukumäärä. Tällöi PHX = kl = k pk q -k, k = 0, 1, 2,,, EHXL = p, VarHXL = p q, GHzL = Hp z + ql. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o biomijakauma parametreillä ja p; merkitää X ~ BiH, pl.

Seuraavassa kuvassa o joideki biomijakaumie todeäköisyysfuktiot. 41 0.4 = 10, p = 0.1 0.3 = 5, p = 0.3 0.3 0.2 0.1 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 20 30 40 50 0.4 = 10, p = 0.5 0.3 = 25, p = 0.3 0.3 0.2 0.1 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 20 30 40 50 0.4 = 10, p = 0.8 0.3 = 50, p = 0.3 0.3 0.2 0.1 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 20 30 40 50 Kuva vasemmassa sarakkeessa o = 10 ja oikeassa sarakkeessa o p = 0.3. Huomataa, että pieehköillä tai suurehkoilla p: arvoilla ja suurehkoilla : arvoilla moet todeäköisyydet ovat hyvi pieiä ja satuaismuuttuja saa suurella todeäköisyydellä arvoja melko suppealta väliltä. Kuvassa : ja p: arvot ovat sellaiset, että odotusarvo p o sama kui Poisso-jakauma odotusarvo l aikaisemmi Poisso-jakaumalle esitetyissä kuvissa. Ku yllä olevaa kuvaa verrataa Poisso-jakauma kuvaa, ii huomataa, että vasemmassa sarakkeessa, jossa ei ole suuri ( = 10), biomi- ja Poisso-todeäköisyydet eroavat selvästi, mutta oikeassa sarakkeessa, jossa p o melko piei (p = 0.3), todeäköisyydet ovat lähempää toisiaa, varsiki sarakkee kahdessa alimmassa kuvassa, joissa myös o melko suuri ( = 25 ja = 50). Hetke kuluttua osoitetaaki, että biomijakaumaa voidaa tietyi edellytyksi approksimoida Poisso-jakaumalla.

42 Esimerkki 2.13 Noppaa heitetää 6 kertaa. Olkoo X kuutoste lukumäärä. k phkl FHkL 0 0.334898 0.334898 1 0.401878 0.736776 2 0.200939 0.937714 3 0.0535837 0.991298 4 0.00803755 0.999336 5 0.000643004 0.999979 6 0.0000214335 1 0.4 0.3 0.2 0.1 1. 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Esimerkki 2.14 Oletetaa, että tytö sytymä todeäköisyys o 0.49. Merkitää X = kolmilapsisessa perheessä olevie tyttöje lukumäärä. k phkl 0 0.132651 1 0.382347 2 0.367353 3 0.117649 Lause 2.12 Jos X ~ BiH, pl ja o suuri ja p piei, ii X:llä o likimai PoH pl-jakauma; merkitää X º PoH pl. Lausee 2.12 mukaie Poisso-approksimaatio o usei riittävä tarkka, jos p 0.05 ja 20. Esimerkki 2.15 Oletetaa, että kirja yhdellä sivulla o keskimääri 2 paiovirhettä. Olkoo X yhdellä sivulla olevie paiovirheide lukumäärä. Mikä jakauma voisi X:llä olla? k Biomitod. Poisso-tod. 0 0.13520 0.13534 1 0.27067 0.27067 2 0.27081 0.27067 3 0.18054 0.18045 4 0.09022 0.09022 5 0.03605 0.03609

43 Lause 2.13 Olkoo X = 1, jos koe oistuu, ja X = 0, jos koe epäoistuu. Oletetaa, että koe oistuu todeäköisyydellä p; merkitää q = 1 - p. Tällöi PHX = 1L = p, PHX = 0L = q, EHXL = p, VarHXL = p q, GHzL = p z + q. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o Beroulli-jakauma parametrillä p; merkitää X ~ BerHpL. Esimerkki 2.16 Kurssilla Todeäköisyyslasketa II osoitetaa, että jos X i ~ BerHpL, i = 1,,, ja satuaismuuttujat X i ovat riippumattomat, ii X 1 + + X ~ BiH, pl. 2.2.4 Hypergeometrie jakauma Lause 2.14 Uurassa o N palloa, joista M o mustia ja N - M valkoisia. Uurasta otetaa palloa palauttamatta. Olkoo X saatuje mustie palloje lukumäärä. Tällöi PHX = kl = M k N-M N -k, max 80, - HN - ML< k mi 8M, <, EHXL = p, VarHXL = p q N- N-1, missä p = M N, q = 1 - p. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o hypergeometrie jakauma parametreillä N, M ja ; merkitää X ~ HypHN, M, L. Esimerkki 2.17 Laatikossa o 10 arpaa, joista 3 voittaa. Laatikosta otetaa 4 arpaa palauttamatta. Olkoo X saatavie voittoarpoje lukumäärä. Esimerkki 2.18 Lottoarvoassa o 39 palloa, jotka o umeroitu 1, 2,, 39. Voidaa ajatella ii, että palloista 7 o iitä (mustia), jotka ovat omassa ruudukossamme, ja 32 o muita palloja (valkoisia). Lotossa saa siis k oikei, jos lottokoe valitsee 7:stä omassa ruudukossamme olevasta umerosta k kappaletta ja 32:sta muusta umerosta 7 - k umeroa. Olkoo X oikeide umeroide lukumäärä. k phkl 0 0.218833 1 0.412416 2 0.274944 3 0.0818286 4 0.0112867 5 0.000677202 6 0.0000145635 7 0.00000006501 Lause 2.15 Jos X ~ HypHN, M, L ja N o suuri ja N piei, ii X:llä o likimai BiI, M N M- jakauma; merkitää X º BiI, M N M. Biomiapproksimaatio o usei riittävä hyvä, jos N > 50 ja N < 0.1.

Esimerkki 2.19 k phkl 0 0.250379 1 0.383393 2 0.251601 3 0.0917297 4 0.0200659 5 0.00263364 6 0.000192037 7 0.0000060011 44 2.2.5 Geometrie jakauma Lause 2.16 Koetta toistetaa riippumattomasti, kues koe oistuu esimmäise kerra. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; merkitää q = 1 - p. Olkoo X tarvittavie kokeide lukumäärä. Tällöi PHX = kl = q k-1 p, PHX kl = 1 - q k, k = 1, 2,, EHXL = 1 p, VarHXL = q p 2, GHzL = p z 1-q z. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o geometrie jakauma parametrillä p; merkitää X ~ GeomHpL. Lausee todistuksessa tarvitaa seuraavia kaavoja (joissa oletetaa, että r < 1): r k = 1 1 - r, 1 k r k-1 = H1 - rl, khk - 1L r k-2 = 2 k=0 k=1 k=2 2 H1 - rl 3. Esimmäie kaava o geometrise sarja summakaava, toie kaava saadaa derivoimalla esimmäie kaava ja kolmas kaava saadaa derivoimalla toie kaava. Esimerkki 2.20 Noppaa heitetää, kues saadaa kuutoe. Olkoo X tarvittavie heittoje lukumäärä. k phkl 1 0.166667 2 0.138889 3 0.115741 4 0.0964506 5 0.0803755 6 0.0669796 7 0.0558163 8 0.0465136 9 0.0387613 10 0.0323011

45 Esimerkki 2.21 Oletetaa, että ku riippumattomia kokeita suoritettii toistuvasti, ii esimmäistä koetta epäoistuivat. Mikä o tällöi ehdollie todeäköisyys, että tarvitaa vielä k koetta, ee kui saadaa oistuut koe? Helposti tulee ajatelleeksi, että seuraavalla tai muutamalla seuraavalla kerralla kokee oistumise todeäköisyys olisi tavallista suurempi. Olkoo X tarvittavie kokeide lukumäärä, ee kui saadaa esimmäie oistuut koe. Kysytty todeäköisyys o PHX = + k X > L = PHX = + kl PHX > L = qi+km-1 p q = q k-1 p = PHX = kl. Jos siis esimmäistä koetta o epäoistuut, ii todeäköisyys, että tarvitaa vielä k koetta, ee kui saadaa oistuut koe, o sama kui todeäköisyys, että alu peri olisi tarvittu k koetta. Tämä o s. muistittomuusomiaisuus: X: jakauma ei muista :ää aiemmi epäoistuutta koetta. Geometrie jakauma o aioa positiivie, kokoaislukuarvoie jakauma, jolla o muistittomuusomiaisuus. Huomataa, että erityisesti PHX = + 1 X > L = p. Jos esimerkiksi rahaa o heitetty kaua eikä vieläkää ole tullut yhtää kruuaa, ii helposti ajattelee, että todeäköisyys, että seuraavalla kerralla tulee kruua, o tavallista suurempi; tämä o s. peluri harhaluulo. Todeäköisyys o kuiteki edelleeki vai 1 ê 2. Totta se sijaa o, että pitkällä aikavälillä kruuie suhteellie osuus kaikista tuloksista lähestyy arvoa 1 ê 2 (tämä osoitetaa kurssilla Todeäköisyyslasketa II). Suppeemie ei välttämättä ole kovi opeaa, kute pykälä 1.4.3 simuloiista huomattii. Jos rahaa heitetää, kues saadaa kruua, ja X o tarvittavie kokeide lukumäärä, ii X ~ GeomI 1 1 M, jote EHXL = = 2 ja esimerkiksi PHX 10L = 1 - I 1 2 1ê2 2 M10 = 0.999. Yleesä ei siis tarvita kovi mota heittoa kruua saamiseksi. Lause 2.17 Koetta toistetaa riippumattomasti, kues koe oistuu esimmäise kerra. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; merkitää q = 1 - p. Olkoo X epäoistueide kokeide lukumäärä. Tällöi PHX = kl = q k p, PHX kl = 1 - q k+1, k = 0, 1, 2,, EHXL = q p, VarHXL = q p 2, GHzL = p 1-q z. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o modifioitu geometrie jakauma parametrillä p; merkitää X ~ ModGeomHpL.

46 2.2.6 Negatiivibiomijakauma Lause 2.18 Koetta toistetaa riippumattomasti, kues koe oistuu :e kerra. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; merkitää q = 1 - p. Olkoo X tarvittavie kokeide lukumäärä. Tällöi PHX = kl = k - 1-1 p q k-, k =, + 1,, EHXL = p, VarHXL = q p 2, GHzL = J p z 1-q z N. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o egatiivibiomijakauma parametreillä ja p; merkitää X ~ NegbiH, pl. Huomataa, että NegbiH1, pl = GeomHpL. Esimerkki 2.22 Noppaa heitetää, kues saadaa kuutoe toise kerra. Olkoo X tarvittavie heittoje lukumäärä. Lause 2.19 Koetta toistetaa riippumattomasti, kues koe oistuu :e kerra. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; merkitää q = 1 - p. Olkoo X epäoistueide kokeide lukumäärä. Tällöi PHX = kl = k + - 1-1 p q k, k = 0, 1, 2,, EHXL = q, VarHXL = q, GHzL = J p p 2 p 1-q z N. Saotaa, että satuaismuuttujalla X o modifioitu egatiivibiomijakauma parametreillä ja p; merkitää X ~ ModNegbiH, pl. Huomataa, että ModNegbiH1, pl = ModGeomHpL. 2.2.7 Multiomijakauma Lause 2.20 Koe toistetaa riippumattomasti kertaa. Kullaki kokeella o r mahdollista tulosta, joide todeäköisyydet ovat p 1,, p r (p 1 + + p r = 1L. Olkoo X i tulokse i lukumäärä : kokee sarjassa. Tällöi PHX 1 = k 1,, X r = k r L = k 1,, k r p 1 k 1 ÿ ÿ ÿ p r k r, k i = 0, 1, 2,, (i = 1,, r), k 1 + + k r =. Saotaa, että satuaismuuttujilla X 1,, X r o multiomijakauma parametreillä, p 1,, p r ; merkitää HX 1,, X r L ~ MultiomiH, p 1,, p r L. Esimerkki 2.23 Noppaa heitetää 12 kertaa. Olkoo X i tulokse i lukumäärä, i = 1,, 6.

47 2.2.8 Multihypergeometrie jakauma Lause 2.21 Uurassa o N palloa, joista M i o tyyppiä i, i = 1,, r, M 1 + + M r = N. Uurasta otetaa palloa palauttamatta. Olkoo X i saatuje laji i palloje lukumäärä. Tällöi PHX 1 = k 1,, X r = k r L = M 1 k 1 ÿ ÿ ÿ N M r k r, k i = 0,,, k i M i Hi = 0,, rl, k 1 + + k r =. Saotaa, että satuaismuuttujilla X 1,, X r o multihypergeometrie jakauma parametreillä N, M 1,, M r ja ; merkitää HX 1,, X r L ~ MultihypHN, M 1,, M r, L. Esimerkki 2.24 Ku lasketaa se loto tulokse todeäköisyys, että saadaa 6 varsiaista umeroa oikei ja lisäksi 0 tai 1 lisäumeroa oikei, ii kaattaa ajatella ii, että lottokoe o jo arpout varsiaiset ja lisäumerot. Kysytää, millä todeäköisyydellä saamme omaa ruudukkoomme oikeista umeroista 6 ja lisäumeroista i kappaletta. Olkoo X oikeide varsiaiste umeroide lukumäärä omassa ruudukossamme, Y oikeide lisäumeroide lukumäärä omassa ruudukossamme ja Z muide umeroide lukumäärä omassa ruudukossamme.

2.3 Jatkuva satuaismuuttuja 48 2.3.1 Jakauma- ja tiheysfuktio Pykälässä 2.1.1 määriteltii jakaumafuktio. Esitetää sama määritelmä uudestaa: Määritelmä 2.9 Satuaismuuttuja X jakaumafuktio o FHxL = PHX xl, x œ R. Diskreetti satuaismuuttuja saa vai äärellise tai umeroituvasti äärettömä määrä arvoja. Pykälässä 2.1.1 huomattii, että diskreeti satuaismuuttuja jakaumafuktio o porrasfuktio tyyppiä, siis epäjatkuva. Saotaa, että satuaismuuttuja o jatkuva, jos se voi saada yliumeroituva määrä arvoja; tyypillisesti kyse o jostai reaaliakseli välistä. Jatkuva satuaismuuttuja jakaumafuktio o jatkuva. Jatkuva satuaismuuttuja määritellää kuiteki s. tiheysfuktio avulla: Määritelmä 2.10 Satuaismuuttuja X o jatkuva, jos o olemassa sellaie ei-egatiivie fuktio f HxL, että kaikille reaalilukujoukoille A o PHX œ AL = Ÿ A f HxL x. Fuktio f HxL o satuaismuuttuja X tiheysfuktio. Lause 2.22 Jatkuva satuaismuuttuja jakauma- ja tiheysfuktiolla o seuraavat omiaisuudet: a) Ÿ - f HxL x = 1. x b) FHxL = Ÿ - f HtL t. c) f HxL = F HxL pisteissä x, joissa f HxL o jatkuva. Jos siis tiheysfuktio o aettu, ii jakaumafuktio saadaa lausee b-kohda avulla. Jos taas jakaumafuktio o aettu, ii tiheysfuktio saadaa lausee c-kohda avulla; pisteissä, joissa F HxL ei ole olemassa, voidaa määritellä f HxL = 0. Jokaie tiheysfuktio toteuttaa ehdot f HxL 0, x œ R, Ÿ - f HxL x = 1. Voitaisii myös osoittaa, että jos joki fuktio f HxL toteuttaa ämä ehdot, ii o olemassa satuaismuuttuja, joka tiheysfuktio o f HxL. Maiitut kaksi ehtoa ovat siis välttämättömät ja riittävät ehdot sille, että fuktio f HxL o tiheysfuktio. Huomaa, että tiheysfuktio voi hyvi saada ykköstä suurempia arvoja.

49 Lausee 2.22 b-kohdasta ähdää, että jatkuva satuaismuuttuja jakaumafuktiolla o seuraavat omiaisuudet: 0 FHxL 1, x œ R ; FHxL o jatkuva; FHxL o ei-väheevä; lim xø FHxL = 1; lim xø- FHxL = 0. Esimerkki 2.25 Reaaliluku X valitaa satuaisesti väliltä Ha, bl. 0.5 1 0.5-1 1 2 3 4 5-1 1 2 3 4 5 Esimerkki 2.26 Piste valitaa satuaisesti yksikköympyrästä. Olkoo X pistee etäisyys ympyrä keskipisteestä. 2 1 1.5 1 0.5 0.5-1 1 2-1 1 2 Esimerkki 2.27 Oletetaa, että satuaismuuttuja X tiheysfuktio o muotoa f HxL = 0, x -1, ch1 + xl, -1 < x 0, ch1 - xl, 0 < x 1, 0, x > 1. 1 1 0.5 0.5-1 1 2-1 1 2

50 2.3.2 Todeäköisyyksie laskemie Jatkuvaa satuaismuuttujaa liittyviä todeäköisyyksiä voidaa laskea seuraavasti (a b): Todeäköisyys FHxL: avulla f HxL: avulla a PHX al FHaL Ÿ - f HtL t PHX > al 1 - FHaL Ÿ a f HtL t PHa X bl FHbL - FHaL Ÿ a b f HtL t Todeäköisyyksiä voidaa siis laskea sekä jakauma- että tiheysfuktio avulla. Jos jakaumafuktio o käytettävissä, ii sitä kaattaa käyttää, koska silloi vältytää itergoiilta. Jos todeäköisyys lasketaa tiheysfuktio avulla, ii silloi tulee itse asiassa lasketuksi tiheysfuktio ja tarkasteltava x-akseli osa välise aluee pita-ala. Tämä o havaiollistettu seuraavassa kuvassa. f HxL PHa < X bl a b Seuraavassa kuvassa o sama satuaismuuttuja jakaumafuktio ja tiheysfuktio. Kuva ilmoittaa, millä tavalla todeäköisyys PHX al liittyy kumpaaki fuktioo.

Koska f HxL = F HxL, ii f HxL ilmoittaa, kuika voimakkaasti FHxL kasvaa pisteessä x. Mitä voimakkaampi kasvu, sitä opeammi todeäköisyyttä kertyy fuktioo FHxL = PHX xl, ku x kasvaa. Voidaa myös kirjoittaa PHa < X < a + el = a a+e f HxL x > e f HaL, jote f HaL: suuruus määrää, kuika todeäköistä o, että X saa arvo läheltä pistettä a. Näi tiheysfuktio arvo f HaL ilmoittaa, kuika tiheässä todeäköisyyttä o pistee a lähellä tai mikä o se todeäköisyyde itesiteetti, että X saa arvo a. Tiety pituise väli todeäköisyys o suurempi siellä, missä tiheysfuktio saa suurempia arvoja, kui siellä, missä tiheysfuktio saa pieempiä arvoja. Jatkuvalle satuaismuuttujalle pätee myös PHX = al = 0, sillä PHa X al = Ÿ a a f HtL t = 0. Näi olle todeäköisyys, että jatkuva satuaismuuttuja saa tiety arvo, o olla. Huomaa siis erityisesti, että f HaL ei ole sama kui PHX = al. Vai tiheysfuktio määrätyillä itegraaleilla o todeäköisyystulkiat. Kaavasta PHX = al = 0 seuraa, että ku lasketaa välie todeäköisyyksiä jatkuvalle satuaismuuttujalle, ii ei ole merkitystä, ovatko väli päätepisteet mukaa vai eivät. Esimerkiksi PHa X bl = PHa < X bl = PHa X < bl = PHa < X < bl. Esimerkki 2.28 2.3.3 Odotusarvo ja variassi 51 Määritelmä 2.11 Jatkuva satuaismuuttuja X odotusarvo o EHXL = Ÿ - x f HxL x, jos Ÿ - x f HxL x <. Esimerkki 2.29 Diskreettie satuaismuuttujie kohdalla esitetty variassi määritelmä pätee myös jatkuville satuaismuuttujille: Määritelmä 2.12 Satuaismuuttuja X variassi o VarHXL = EAHX - ml 2 E. Lauseide 2.2, 2.3 ja 2.4 tapaa voidaa osoittaa seuraavat tulokset: Lause 2.23 a) E@gHXLD = Ÿ - ghxl f HxL x, jos Ÿ - ghxl f HxL x <. b) VarHXL = EIX 2 M - m 2. c) EHa + b XL = a + b EHXL. d) VarHa + b XL = b 2 VarHXL.

Variassi voidaa siis laskea joko määritelmä 2.12 tai lausee 2.23 b-kohda avulla: 52 VarHXL = Ÿ - Hx - ml 2 f HxL x, Ÿ - x 2 f HxL x - m 2. Jälkimmäie tapa o yleesä mukavampi. Esimerkki 2.30 Myös lausetta 2.3 vastaava tulos o voimassa: Lause 2.24 Jos X saa ei-egatiivisia arvoja, ii EHXL = Ÿ 0 @1 - FHxLD x, EIX 2 M = 2 Ÿ 0 x@1 - FHxLD x. Esimerkki 2.31 Satuaismuuttuja X muuokse ghxl odotusarvo voidaa laskea kaavasta E@gHXLD = Ÿ - ghxl f HxL x. Jos tämä itegraali o hakalasti laskettavissa, ii lauseessa 2.25 tullaa osoittamaa, että s. Jesei epäyhtälöstä saadaa odotusarvolle kuiteki helposti laskettava alaraja, jos ghxl o koveksi fuktio. Jos g o koveksi, ii jokaista pistettä a kohti o olemassa sellaie luku lhal, että ghxl ghal + lhal Hx - al kaikilla x. Jos g:llä o derivaatta, ii voidaa valita lhal = g HaL; tällöi ghal + g HaL Hx - al o g: tagetti pisteessä a ja koveksisuus merkitsee, että fuktio o kaikkie tagettiesa yläpuolella. Lause 2.25 (Jesei epäyhtälö) Jos g o koveksi, ii E@gHXLD g@ehxld. 2.3.4 Mometit geeroiva fuktio Määritelmä 2.13 Satuaismuuttuja X mometit geeroiva fuktio o MHtL = E I t X M, jos tämä odotusarvo o olemassa jossai origo ympäristössä. Mometit geeroiva fuktio voidaa siis laskea kaavasta MHt "L = kœk t k phkl, jos X o diskreetti, Ÿ - t x f HxL x, jos X o jatkuva. Huomaa, että MH0L = 1. Odostusarvoa EIX j M saotaa myös satuaismuuttuja X j:eksi mometiksi. Jos mometit geeroiva fuktio tiedetää, ii siitä voidaa laskea mometit: Lause 2.26 a) E IX j M = M HjL H0L. b) EIX j M = j! c j, jos MHtL = i=0 c i t i.

53 Esimerkki 2.32 Esimerkki 2.33 Jos diskreeti satuaismuuttuja todeäköisyydet geeroiva fuktio GHzL tiedetää, ii mometit geeroiva fuktio saadaa yksikertaisesti kaavasta MHtL = GI t M, sillä GI t M = EAI t M X E = EI t X M. Ku mometit geeroivaa fuktiota käytetää odotusarvo ja variassi laskemisee, ii o oleaista, että geeroivalle fuktiolle saadaa lasketuksi suljetu muodo lauseke (eli että summa tai itegraali saadaa lasketuksi); muutoi geeroivasta fuktiosta ei ole hyötyä. Lause 2.27 Kahdella satuaismuuttujalla o sama jakaumafuktio silloi ja vai silloi, ku iillä o sama mometit geeroiva fuktio (edellyttäe, että mometit geeroiva fuktio o olemassa jossai origo ympäristössä). Lause 2.27 tulee käyttöö kurssilla todeäköisyyslasketa II. Lause osoittaa, että jos tiedetää satuaismuuttuja mometit geeroiva fuktio, ii se määrää satuaismuuttuja jakauma. Todeäköisyyslaskeassa määritellää myös s. karakteristie fuktio fhtl = EI Â t X M; tässä Â = - 1. Voidaa osoittaa, että karakteristie fuktio o aia olemassa (toisi kui mometit geeroiva fuktio). 2.3.5 Moodi, mediaai ja kvatiili Odotusarvo m = EHXL o satuaismuuttuja sijaitia ilmaisevista tuusluvuista käytetyi. Sijaitia voidaa mitata muillaki tuusluvuilla kute moodilla ja mediaailla. Määritelmä 2.14 Diskreeti satuaismuuttuja moodi o se k: arvo (tai e k: arvot), jossa (tai joissa) todeäköisyysfuktio phkl saa maksimiarvo. Jatkuva satuaismuuttuja moodi o se x: arvo (tai e x: arvot), jossa (tai joissa) tiheysfuktio f HxL saa maksimiarvo. Moodia voidaa saoa satuaismuuttuja todeäköisimmäksi arvoksi. Jatkuva satuaismuuttuja kuki arvo todeäköisyys o kylläki olla, mutta moodi ympärillä o eite todeäköisyysmassaa. Esimerkki 2.34 Määritelmä 2.15 Diskreeti satuaismuuttuja mediaai o se k: arvo (tai e k: arvot), jossa (tai joissa) jakaumafuktio FHxL toteuttaa FHk - 1L 1 FHkL. 2 Jatkuva satuaismuuttuja mediaai o se x: arvo (tai e x: arvot), jossa (tai joissa) jakaumafuktio toteuttaa FHxL = 1. 2 Mediaai jakaa populaatio kahtee yhtä suuree osaa: mediaai ala- ja yläpuolella o puolet populaatiosta. Esimerkki 2.35

54 Määritelmä 2.16 Diskreeti satuaismuuttuja p-kvatiili o se k: arvo (tai e k: arvot), jossa (tai joissa) jakaumafuktio FHxL toteuttaa FHk - 1L p FHkL. Jatkuva satuaismuuttuja p-kvatiili o se x: arvo (tai e x: arvot), jossa (tai joissa) jakaumafuktio toteuttaa FHxL = p. Huomataa, että 1 -kvatiili o mediaai. 2 2.3.6 Stieltjes-itegraali Tähä asti o tarkasteltu diskreettejä ja jatkuvia satuaismuuttujia. O olemassa myös sellaisia satuaismuuttujia, joilla o sekä diskreeti että jatkuva satuaismuuttuja piirteitä. Tällaisia satuaismuuttujia saotaa sekamuotoisiksi. Esimerkki 2.36 Risteyksessä palaa tiettyy suutaa vihreä valo 30 s ja puaie valo 60 s. Autoilija saapuu risteyksee satuaisea hetkeä. Olkoo X autoilija odotusaika risteyksessä. Tarkastellaa sekamuotoista satuaismuuttujaa X, joka jakaumafuktio FHxL o jatkuva muualla kui pisteissä x i, i = 1,,, joissa PHX = x i L = p i. Olkoo f HxL = F HxL pisteissä, joissa derivaatta o määritelty. Satuaismuuttuja X ja se fuktio ghxl odotusarvo voidaa laskea edellise esimerki tapaa kaavoista EHXL = x i p i + x f HxL x, E@gHxLD = ghx i L p i + ghxl f HxL x. - - Näille kaavoille voidaa käyttää myös seuraavaa lyhyttä merkitätapaa: EHXL = - x FHxL, E@gHxLD = - ghxl FHxL. Nämä itegraalit ovat s. Stieltjes-itegraaleja. Esimerkiksi jälkimmäie itegraali o fuktio ghxl Stieltjes-itegraali yli kaikkie reaalilukuje fuktio F suhtee. Odotusarvo kirjoittamie Stieltjes-itegraalia o kätevää siksi, että Stieltjes-itegraali kattaa kaikki jakaumat: diskreetit, jatkuvat ja sekamuotoiset. Stieltjes-itegraalia voidaaki pitää lyheysmerkitää, joka tulkitaa seuraavasti: E@gHXLD = - ghxl FHxL = g Hx i L p i, jos X o diskreetti, Ÿ - g HxL f HxL x, jos X o jatkuva, g Hx i L p i + Ÿ - g HxL f HxL x, jos X o sekamuotoie.

55 2.3.7 Yleie jakaumafuktio Jakaumafuktio yleie määritelmä o FHxL = PHX xl. Alla esitettävä lause ataa jakaumafuktio omiaisuuksia. Nämä omiaisuudet pätevät kaikille satuaismuuttujille, siis diskreeteille, jatkuville ja sekamuotoisille satuaismuuttujille. Ee lausee todistusta o hyvä kerrata todeäköisyyde jatkuvuutta koskeva tulos pykälästä 1.4.1. Jos tapausjoo 8A i, i 1< o kasvava [väheevä], ii joukolla lim iø A i tarkoitetaa joukkoa A i [joukkoa A i ]. Jos 8A i, i 1< o joko kasvava tai väheevä tapausjoo, ii lausee 1.11 mukaa PKlim iø A i O = lim PHA i L. iø Merkitää, että FHx + L o FHyL: raja-arvo, ku y lähestyy x:ää oikealta, ja FHx - L o FHyL: raja-arvo, ku y lähestyy x:ää vasemmalta. Lause 2.28 Jakaumafuktiolla FHxL o seuraavat omiaisuudet: a) 0 FHxL 1, x œ R ; b) FHxL o ei-väheevä; c) lim xø FHxL = 1; d) lim xø- FHxL = 0; e) FHxL o oikealta jatkuva: FHx + L = FHxL; f) PHX < xl = FHx - L. g) PHX = xl = FHxL - FHx - L.

56 2.4 Normaalijakauma 2.4.1 Stadardoitu ormaalijakauma Lause 2.29 Jos satuaismuuttuja X tiheysfuktio o fhxl = 1 2 p - 1 2 x2, - < x <, ii saotaa, että X:llä o stadardoitu ormaalijakauma; merkitää X ~ NH0, 1L. Tällöi EHXL = 0, VarHXL = 1, MHtL = 1 2 t2. Jakaumafuktiota merkitää FHxL = 1 Ÿ x 2 p - - 1 2 t2 t, - < x <. O voimassa FH-xL = 1 - FHxL. Seuraavassa kuvassa o stadardoidu ormaalijakauma tiheys-ja jakaumafuktio. 0.3989 1-3 3-3 3 Huomataa, että tiheysfuktio fhxl o symmetrie origo suhtee ja että väli H- 3, 3L ulkopuolella o hyvi vähä todeäköisyyttä. Stadardoidu ormaalijakauma jakaumafuktiota ei voida ilmaista alkeisfuktioide avulla. Tämä johdosta jakaumafuktio arvoja o taulukoitu; yksi taulukko o tämä moistee lopussa. Taulukoista saadaa yleesä todeäköisyyksiä FHxL = PHX xl, ku x o positiivie. Negatiivisilla x: arvoilla voidaa käyttää lausee 2.29 kaavaa FH-xL = 1 - FHxL. Esimerkki 2.37 2.4.2 Yleie ormaalijakauma Lause 2.30 Jos Y ~ NH0, 1L, ii saotaa, että satuaismuuttujalla X = m + s Y, missä s > 0, o ormaalijakauma (eli Gaussi jakauma) NIm, s 2 M. Tällöi FHxL = FI x-m s M, f HxL = 1 s 2 p - 1 J x-m 2 EHXL = m, VarHXL = s 2, MHtL = m t+ 1 2 s2 t 2. s N2, - < x <, Jos X ~ NIm, s 2 M ja Z ~ a + b X, ii Z ~ NIa + b m, b 2 s 2 M. Huomaa, että tällä kurssilla ormaalijakauma NIm, s 2 M toie parametri o variassi s 2 (siis ei hajota s, kute o esim. MAOL-taulukossa). ja 4. Seuraavissa kuvissa o ormaalijakauma NI0, s 2 M tiheys- ja jakaumafuktio, ku s = 1, 1, 1, 2, 4 2

ja 4. Seuraavissa kuvissa o ormaalijakauma NI0, s 2 M tiheys- ja jakaumafuktio, ku s = 1, 1, 1, 2, 4 2 1.5 57 1 s 1 4 0.5 s 1 2 s 1 s 2 s 4-6 -4-2 2 4 6 1 s 1 1 4 2 1 2 4 0.5-6 -4-2 2 4 6 Jos X ~ NIm, s 2 M, ii lausee 2.30 mukaa todeäköisyyksiä voidaa laskea stadardoidu ormaalijakauma jakaumafuktio FHxL avulla kaavasta P HX xl = FI x-m s M. Tähä kaavaa voidaa päätyä myös toteamalla, että yhtälö X = m + s Y mukaa Y = X-m. Näi olle X-m s ~ NH0, 1L, jote PHX xl = P X - m Koska EJ X-m s saotaa stadardoiduksi satuaismuuttujaksi. s x - m s = F x - m s. N = 0 ja VarJ X-m X-m N = 1, ii satuaismuuttujaa s s s

Esimerkki 2.38 58 Lause 2.31 Jos X ~ NIm, s 2 M, ii PHm - 1.96 s < X < m + 1.96 sl = 0.95, PHm - 2.58 s < X < m + 2.58 sl = 0.99, PHm - 3.29 s < X < m + 3.29 sl = 0.999. Lausee 2.31 mukaisia välejä m - a s < X < m + a s saotaa satuaismuuttuja X luottamusväleiksi. Lauseessa o aettu 95:, 99: ja 99.9: proseti luottamusvälit (e o maiittu myös todeäköisyyslaskea kaavakokoelmassa). Huomataa esimerkiksi, että jos X ~ NIm, s 2 M, ii oi 95 % tapauksista o välillä, joka ulottuu kahde hajoa verra odotusarvosta vasemmalle ja kahde hajoa verra odotusarvosta oikealle. Jos odotusarvosta meää oi kolme hajoa verra vasemmalle ja oikealle, ii tällä välillä o jo lähes kaikki tapaukset. Koska odotusarvo m o luottamusvälie keskipisteessä, ii välit ovat s. odotusarvokeskisiä välejä. Esimerkki 2.39 Normaalijakaumaa käytti esi raskalaie matemaatikko Abraham DeMoivre vuoa 1733, ku hä laski rahaheittoo liittyviä todeäköisyyksiä; hä kutsui tiheysfuktiota ekspoetiaaliseksi kellomuotoiseksi fuktioksi. Vuoa 1809 saksalaie matemaatikko Karl Fridrich Gauss käytti ormaalijakaumaa, ku hä eusti havaitoje perusteella astroomiste kohteide paikkoja; pia tämä jälkee jakaumaa ruvettii kutsumaa Gaussi jakaumaksi. Koska huomattii, että moet havaitoaieistot oudattivat Gaussi jakaumaa, alettii ajatella, että tämä jakauma o ikää kui ormaali havaitoje jakauma. Tämä johdosta, varsiki brittiläise tilastotieteilijä Karl Pearsoi vaikutuksesta, jakaumaa alettii kutsua ormaalijakaumaksi. 2.4.3 Summa odotusarvo ja variassi Tämä pykälä ja myös kolme seuraava pykälä asia kuuluu kurssii Todeäköisyyslasketa II, jossa perehdytää satuaisvektoreihi. Näitä asioita tarkastellaa kuiteki myös tällä kurssilla, koska e ovat hyvi tärkeitä ja myös melko helppo omaksua ilma perehtymistä satuaisvektoreide teoriaa. Seuraavassa tullaa tarvitsemaa satuaismuuttujie riippumattomuude käsitettä. Riippumattomuus määritellää matemaattisesti kurssilla Todeäköisyyslasketa II, mutta tällä kurssilla riittäee todeta, satuaismuuttujat ovat riippumattomat, jos iillä ei ole vaikutusta toistesa saamii arvoihi. Jos esimerkiksi X o esimmäise opa tulos ja Y toise opa tulos, ii X ja Y ovat riippumattomat.

Satuaismuuttujie summa ja aritmeettie keskiarvo S = X 1 + + X, 59 X = 1 HX 1 + + X L ovat tärkeitä satuaismuuttujia. Summa odotusarvo ja variassi voidaa laskea seuraava lausee avulla. Lause 2.32 a) EHS L = EHXi L. b) VarHS L = VarHXi L, jos satuaismuuttujat X 1,, X ovat riippumattomat. Huomaa, että odotusarvoa koskeva kaava pätee, vaikka satuaismuuttujat olisivat riippuvia. Seuraus 2.1 Jos satuaismuuttujat X 1,, X ovat riippumattomat ja iillä o sama odotusarvo m ja sama variassi s 2, ii a) EHS L = m, VarHS L = s 2. b) EHX L = m, VarHX L = s2. O yllättävää, että odotusarvo ja variassi lisäksi tiedetää (tietyi edellytyksi) summa likimääräie jakaumaki, vaikka summattavie jakauma olisi tutemato. Voidaa imittäi osoittaa, että riippumattomie ja samoi jakautueide satuaismuuttujie summalla o likimääri ormaalijakauma, jos summattavia o paljo. Tämä o s. keskeie raja-arvolause. 2.4.4 Keskeie raja-arvolause Lause 2.33 (Keskeie raja-arvolause) Oletetaa, että satuaismuuttujat X i, i = 1, 2,, ovat riippumattomat ja samoi jakautueet ja että EHX i L = m ja VarHX i L = s 2. Silloi suurilla : arvoilla a) satuaismuuttujalla S o likimai NI m, s 2 M-jakauma; b) satuaismuuttujalla X o likimai NJm, s2 N-jakauma. Saotaa myös, että S ja X ovat asymptoottisesti ormaalisti jakautueet, ja merkitää S ~ AsNI m, s 2 M, X ~ AsN m, s2. Seuraukse 2.1 perusteella S : ja X : likimääräiste ormaalijakaumie parametrit ovat selvät, mutta lausee uutuus o siis se, että kyseessä o likimääräie ormaalijakauma. Likimääräisiä todeäköisyyksiä voidaa siis laskea seuraavasti: PHS xl > F x - m s, PIX xm > F x - m s ë.

Esimerkki 2.40 Noppaa heitetää 100 kertaa. Olkoo X i i:e heito tulos ja S 100 = X 1 + + X 100 silmälukuje summa. Voidaa osoittaa, että jos satuaismuuttujilla X i o NIm, s 2 M-jakauma, i = 1,,, ii satuaismuuttujilla S ja X o tarkat ormaalijakaumat NI m, s 2 M ja NJm, s2 N. 2.4.5 Jatkuvuuskorjaus Keskeie raja-arvolause ataa summa todeäköisyydelle likiarvo PHS xl > F x - m s, ku o suuri. Jos kuiteki satuaismuuttujat X i ovat diskreettejä, ii tätä todeäköisyyde approksimaatiota voidaa hiuka parataa s. jatkuvuuskorjauksella. Seuraavassa kuvassa o esitetty erää diskreeti satuaismuuttuja X todeäköisyysfuktio pylväskuvioa. Kuki pylvää korkeus o todeäköisyys, että X saa vastaava kokoaislukuarvo. Koska pylväide leveys o yksi, ii myös pylvää pita-ala o todeäköisyys, että X saa vastaava kokoaislukuarvo. Todeäköisyys PHX kl saadaa siis laskemalla vastaavie pylväide pita-aloje summa. 60 Kuvaa o piirretty myös sellaise ormaalijakauma tiheysfuktio, joka approksimoi X: diskreettiä jakaumaa. Jos lasketaa PHX kl tämä ormaalijakauma avulla, ii tulee lasketuksi tiheysfuktio ja x-akseli välise aluee pita-ala pisteestä k vasemmalle. Huomataa, että tällöi tapaukse X = k todeäköisyydestä eli tähä tapauksee liittyvä pylvää pita-alasta tulee otetuksi mukaa vai oi puolet. Tästä syystä ormaalijakaumalla kaattaki laskea tapaukse X k + 0.5 todeäköisyys. Tätä meettelyä kutsutaa jatkuvuuskorjaukseksi. Siiä korjataa se piei virhe, joka sytyy, ku diskreettiä jakaumaa approksimoidaa jatkuvalla ormaalijakaumalla.

61 Jos satuaismuuttujat X i ovat diskreettejä, ii myös S o diskreetti, jote ku lasketaa S :ää liittyviä todeäköisyyksiä, kaattaa käyttää jatkuvuuskorjausta: PHS kl > F k + 0.5 - m. s Samaa tapaa PHk S ll > F l + 0.5 - m - F k - 0.5 - m. s s Esimerkki 2.41 Esimerkki 2.42 Uudelle asuialueelle suuitellaa asutoja tuhaelle perheelle. Kussaki perheessä o 0, 1, 2 tai 3 lasta todeäköisyyksi 0.35, 0.45, 0.15 ja 0.05. Tarkastellaa laste yhteismäärää. Olkoo X i i:e perhee laste lukumäärä. 2.4.6 Jakaumie approksimoiti Keskeise raja-arvolausee avulla voidaa useille jakaumille johtaa ormaalijakauma-approksimaatiot. Seuraavassa lauseessa o tulokset biomi- ja Poisso-jakaumalle. Lause 2.34 a) Jos X ~ BiH, pl, ii X ~ AsNH p, p ql, jos o suuri. b) Jos X ~ PoHlL, ii X ~ AsNHl, ll, jos l o suuri. Normaalijakauma-approksimaatio o yleesä riittävä tarkka biomijakaumalle, jos p q 10, ja Poisso-jakaumalle, jos l > 15. Esimerkki 2.43 Noppaa heitetää 100 kertaa. Olkoo X kuutoste lukumäärä. Esimerkki 2.44 Olkoo X tiety tyyppiste oettomuuksie lukumäärä tietyllä alueella tiettyllä aikavälillä.

2.5 Muita jatkuvia jakaumia 62 2.5.1 Tasaie jakauma Lause 2.35 Jos satuaismuuttuja X tiheysfuktio o f HxL = 0 x a, 1 b-a a < x < b, 0 x b, missä a < b, ii saotaa, että X:llä o tasaie jakauma välillä Ha, bl; merkitää X ~ UHa, bl. Tällöi FHxL = 0 x a, x-a b-a a < x < b, 1 x b, EHXL = a+b 2 Seuraavassa kuvassa o tiheys- ja jakaumafuktio:, VarHXL = Ib-aM 2, MHtL = b t - a t. 12 Ib-aM t 1 b - a 1 a b a b Tasaise jakauma imitys tulee siitä, että tiheysfuktio o vakio eli tasaie välillä Ha, bl. Kute esimerkissä 2.28 todettii, voidaa välie todeäköisyyksiä laskea jaoje pituuksie suhteia: PHc X dl = d-c, jos a < c < d < b. Tästä johtuu, että tasaisella jakaumalla o se aiutlaatuie b-a omiaisuus, että X saa arvo tietyltä väliltä yhtä suurella todeäköisyydellä kui miltä tahasa sama pituiselta väliltä. Saotaa myös, että X saa arvoja satuaisesti väliltä Ha, bl. Esimerkki 2.45 Bussi kulkee tiety pysäki kautta 10 miuuti välei. Oletetaa, että opiskelija saapuu pysäkille satuaisea hetkeä. Olkoo X odotusaika, ee kui bussi saaapuu. 2.5.2 Ekspoettijakauma Lause 2.36 Jos satuaismuuttuja X tiheysfuktio o f HxL = 0 x 0, l -l x x > 0, missä l > 0, ii saotaa, että X:llä o ekspoettijakauma parametrillä l; merkitää X ~ ExpHlL. Tällöi FHxL = 0 x 0, 1 - -l x x > 0, EHXL = 1 l, VarHXL = 1 l 2, MHtL = l l-t.

Seuraavassa kuvassa o tyypillie ekspoettijakauma tiheys- ja jakaumafuktio: 63 l 1 Esimerkki 2.46 Olkoo X tiety kompoeti eliikä. Esimerkki 2.47 Radioaktiivise isotoopi (esim. strotium 90) atomit pysyvät vakaia satuaise aja, joka jälkee e hajoavat (muuttuvat joksiki toiselaiseksi atomiksi) ja lähettävät samalla säteilyä tai partikkeleita. Tällaise atomi eliaikaa T (eli aikaa ee hajoamista) voidaa kuvata Exp(l)-jakaumalla; parametriä l saotaa isotoopi hajoamisopeudeksi. Radioaktiivise isotoopi puoliitumisaika h o se aika, joka kuluessa puolet isotoopeista o hajout, eli se aika, joka atomi korkeitaa elää t:llä 1 ê 2. Esimerkki 2.48 Halutaa päättää, kuika mota kappaletta valmistetaa tiettyä sesokituotetta. Jokaisesta myydystä tuotteesta saadaa voittoa v euroa. Jokaisesta tuotteesta, joka jää myymättä, tulee tappiota t euroa. Oletetaa, että kysyällä K o ExpHlL-jakauma. Valitaa sellaie valmistusmäärä, joka maksimoi voito odotusarvo. Lause 2.37 Ekspoettijakaumalla o s. muistittomuusomiaisuus: PHX > t + h X > tl = PHX > hl. Muistittomuusomiaisuus o havaiollista tulkita laittee eliiä avulla. Oletetaa siis, että laittee eliiällä X o ekspoettijakauma. Jos laite o kestäyt hetkee t saakka (X > tl, ii todeäköisyys, että laite kestää vielä aiaki h aikayksikköä HX > t + h), o sama kui todeäköisyys, että uusi laite kestää aiaki h aikayksikköä (X > h). Tieto ykyisestä eliajasta ei siis aa mitää iformaatiota jäljellä olevasta eliajasta. Tämä merkitsee, että laite ei kulu tai vahee käytö mukaa: käytössä ollut laite o yhtä hyvä kui uusi laite. Laite ei tavallaa muista sitä, että se o jo ollut käytössä. Tällöi laittee jäljellä olevaa eliaikaa eivät vaikuta laittee sisäiset seikat (koska laite ei vahee) eikä se, kuika kaua laite o jo ollut toimiassa, vaa ulkoiset seikat: laite rikkootuu, ku se käyttöympäristössä tapahtuu riittävä suuri (laittee kestokyvy ylittävä) häiriö (esim. jäitepiikki). Ekspoettijakauma o aioa ei-egatiivie, jatkuva jakauma, jolla o muistittomuusomiaisuus. Ekspoettijakaumaa käytetää usei approksimoimaa mm. seuraavie satuaismuuttujie jakaumaa: laittee eliikä, rikkootuee laittee korjausaika, asiakkaide saapumiste välie aika joosysteemissä, asiakkaa palveluaika.

Esimerkki 2.49 Palvelupisteessä o kaksi palvelupaikkaa ja yksi jootuspaikka. Oletetaa, että palveluajalla o ekspoettijakauma. Ku asiakas C tulee liikkeesee, ovat asiakkaat A ja B jo palveltavia. Millä todeäköisyydellä C poistuu liikkeestä myöhemmi kui A ja B? Asiakas C poistuu viimeiseä silloi ja vai silloi, ku C: palvelu kestää kauemmi kui se asiakkaa (A: tai B:) jäljellä oleva palveluaika, joka jäi vielä palveltavaksi, ku C: palvelu alkoi. Tällä jäljellä olevalla palveluajalla o muistittomuusomiaisuude mukaa edellee sama ekspoettijakauma kui uude asiakkaa palveluajalla. Kummallaki asiakkaalla (C:llä ja toisella A:sta ja B:stä) o siis sama ekspoettijakauma, jote kysytty todeäköisyys o 1 ê 2. 2.5.3 Rikkootumisopeus Pykälässä 2.3.2 todettii, että PHt < X < t + el = t t+e f HxL x > e f HtL, jote tiheysfuktio arvo f HtL kertoo, mikä o se todeäköisyyde itesiteetti, että X saa arvo t. Olkoo yt X laittee eliikä. Millä todeäköisyydellä laite rikkootuu välillä Ht, t + el, jos laite o ehjä hetkellä t? Edellise kaava perusteella tämä todeäköisyys o Merkitää PHt < X < t + e X > tl = hhtl = f HtL 1 - FHtL. PHt < X < t + el PHX > tl > e f HtL 1 - FHtL. Arvo hhtl kertoo, mikä o se ehdollise todeäköisyyde itesiteetti, että X saa arvo heti pistee t jälkee, jos X o suurempi kui t, eli mikä o se ehdollise todeäköisyyde itesiteetti, että laite, joka o ehjä hetkellä t, rikkootuu heti se jälkee. Voidaa myös saoa, että hhtl kertoo, mikä o sellaise laittee rikkootumisopeus (hazard rate, failure rate) hetkellä t, joka o ehjä hetkellä t. Esimerkki 2.50 Jos hhtl kasvaa, ii laittee laittee rikkootumisherkkyys kasvaa, ku laite vaheee. Jos taas hhtl väheee, ii laittee rikkootumisherkkyys väheee, ku laite vaheee. Tyypillisesti hhtl usei esi väheee, ku valmistusvirheet saadaa korjattua, mutta myöhemmi hhtl kasvaa kulumise takia. Seuraava lause osoittaa, että rikkootumisopeus määrää satuaismuuttuja jakaumafuktio. Lause 2.38 Jos satuaismuuttuja X rikkootumisopeus o hhtl, ii jakaumafuktio o FHxL = 1 - - Ÿ 0 x hhtl t. 64

65 2.5.4 Gammafuktio Lemma 2.1 Ns. gammafuktiolla GHaL = Ÿ 0 x a-1 -x x, a > 0, o seuraavat omiaisuudet: a) GHaL = Ha - 1L GHa - 1L, a > 0; b) GHL = H - 1L!, = 1, 2, ; c) GI 1 2 M = p ; d) Ÿ 0 x a-1 -l x x = GHaL l a, a > 0, l > 0. Seuraavassa kuvassa o gammafuktio kuvaaja. 6 4 2 1 2 3 4 2.5.5 Gammajakauma Lause 2.39 Jos satuaismuuttuja X tiheysfuktio o f HxL = 0 x 0, l a GHaL xa-1 -l x x > 0, missä a > 0 ja l > 0, ii saotaa, että X:llä o gammajakauma parametreillä a ja l; merkitää X ~ GammaHa, ll. Tällöi EHXL = a l, VarHXL = a l 2, MHtL = I l l-t Ma. Gammajakauma jakaumafuktiota ei voida ilmaista alkeisfuktioide avulla. Jakaumafuktio FHxL = la GHaL Ÿ x 0 t a-1 -l t t voidaa kylläki muuoksella t = u kirjoittaa muotoo l FHxL = la GHaL 0 l x u a-1 u -u a-1 l l = 1 GHaL 0 l x u a-1 -u u. Ns. epätäydellie gammafuktio o QHx; al = 1 GHaL Ÿ x 0 u a-1 -u u. Näi olle FHxL = QHl x; al.

66 Seuraavassa kuvassa o kaksi tyypillistä gammajakauma tiheys- ja jakaumafuktiota. 1 1 GammaHa, ll-jakauma tietyillä erikoistapauksilla o omat imityksesä: GammaH1, ll = ExpHlL, GammaH, ll = ErlagH, ll, GammaI, 1 M = 2 2 c2 HL. 2.5.6 Betajakauma Lemma 2.2 Jos a > 0 ja b > 0, ii Ÿ 0 1 x a-1 H1 - xl b-1 x = GHaL GHbL GHa+bL. Fuktiota GHaL GHbL GHa+bL saotaa myös (Euleri) betafuktioksi. Lause 2.40 Jos satuaismuuttuja X tiheysfuktio o f HxL = 0 x 0, GHa+bL GHaL GHbL xa-1 H1 - xl b-1 0 < x < 1, 0 x 1, missä a > 0 ja b > 0, ii saotaa, että X:llä o betajakauma parametreillä a ja b; merkitää X ~ BetaHa, bl. Tällöi EHXL = a a+b, VarHXL = a b Ha+bL 2 Ha+b+1L. Betajakauma jakaumafuktiota ei voida ilmaista alkeisfuktioide avulla. Jakaumafuktio FHxL = GHa+bL GHaL GHbL Ÿ x 0 x a-1 H1 - xl b-1 t o s. epätäydellie betafuktio IHx; a, bl.

67 Seuraavassa kuvassa o kaksi tyypillistä betajakauma tiheys- ja jakaumafuktiota. 1 1 1 1 BetaH1, 1L-jakauma o sama kui UH0, 1L-jakauma. 1 1 2.5.7 Lisää gamma- ja betajakaumista Osoittautuu, että GammaHa, ll-jakauma jakaumafuktio voidaa laskea suljetussa muodossa tiety Poisso-jakauma avulla, jos parametri a o joki positiivie kokoaisluku. Samoi osoittautuu, että BetaHa, bl-jakauma jakaumafuktio voidaa laskea suljetussa muodossa tiety biomijakauma avulla, jos parametrit a ja b ovat joitaki positiivisia kokoaislukuja. Lause 2.41 Jos X ~ GammaH, ll, missä œ 81, 2, <, ii FHxL = 0 x 0, 1 - -l x -1 Hl xl i i! i=0 x > 0, toisi saoe PHX xl = PHY L, missä Y ~ PoHl xl. Jakaumaa GammaH, ll saotaa myös Erlagi jakaumaksi ErlagH, ll. Lauseessa 2.41 laskettii siis ErlagH, ll-jakauma jakaumafuktio. Esimerkki 2.51 Lause 2.42 Jos X ~ BetaHm, L, missä m, œ 81, 2, <, ii FHxL = 0 x 0, m-1 m + - 1 1 - i=0 i x i H1 - xl m+-1-i 0 < x < 1, 1 x 1 toisi saoe PHX xl = PHY ml, missä Y ~ BiHm + - 1, xl.

Todeäköisyyslaskea kaavoja 68 Uioi todeäköisyys PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL -1 P Ai = PHAi L - P Ai = H-1L i+1 i j=i+1 i PIA i A j M + - + H-1L -1 P Ai P A j, jos leikkaukset keskeää yhtä todeäköiset PH A i L = PHA i L, jos A i : t toisesa poissulkevat PH A i L = 1 - PHA c i L, jos A i : t riippumattomat Leikkaukse todeäköisyys j=1 PHA BL = PHAL PHB AL = PHA BL PHBL PH A i L = PHA 1 L PHA 2 A 1 L PHA 3 A 1 A 2 L ÿ ÿ ÿ PHA A 1 A -1 L PH A i L = PHA i L, jos A i : t riippumattomat Ehdollie todeäköisyys PHA BL = PHA BL ê PHBL PHBL = PHB A i L PHA i L, jos A i : t muodostavat partitio PHA k BL = PHB A k L PHA k L ê PHBL Diskreetit satuaismuuttujat FHxL = PHX xl, phkl = PHX = kl, kœk phkl = 1 EHXL = kœk k phkl, E@gHXLD = kœk ghkl phkl X 0 : EHXL = k=0 @1 - FHkLD, E@XHX - 1LD = 2 k=1 k@1 - FHkLD VarHXL = EAHX - ml 2 E = EIX 2 M - m 2 = E@XHX - 1LD + m - m 2 GHzL = E Iz X M, phkl = 1 k! GIkM H0L, EHXL = G H1L, E@XHX - 1LD = G H1L Jatkuvat satuaismuuttujat FHxL = PHX xl, P HX œ AL = Ÿ A f HxL x x FHxL = Ÿ - f HtL t, f HxL = F HxL, Ÿ - f HxL x = 1 EHXL = Ÿ - x f HxL x, E@gHXLD = Ÿ - ghxl f HxL x X 0 : EHXL = Ÿ 0 @1 - FHxLD x, EIX 2 M = 2 Ÿ 0 x@1 - FHxLD x MHtL = E I t X M, E IX j M = M HjL H0L Yhteisjakaumat F X,Y Hx, yl = PHX x, Y yl, P @HX, YL œ AD = Ÿ Ÿ Hx,yLœA f X,Y Hx, yl x y x y F X,Y Hx, yl = Ÿ - A Ÿ fx,y - Hs, tl te s, f X,Y Hx, yl = 2 F x y X,YHx, yl f X HxL = Ÿ - fx,y Hx, yl y, f Y HyL = Ÿ - fx,y Hx, yl x Yleiset muuokset Y = ghxl : f Y HyL = f X Ag -1 HyLE Z = g HX, YL V = h HX, YL, y g-1 HyL X = r HZ, VL Y = s HZ, VL : f Z,VHz, vl = f X,Y @rhz, vl, shz, vld JHz, vl

Erityiset muuokset f X+Y HzL = Ÿ fx,y - Hz - v, vl v, f X-Y HzL = Ÿ fx,y - Hz + v, vl v f X Y HzL = Ÿ fx,y - I z, vm 1 v, f HzL = v v X Ÿ fx,y - Hz v, vl v v Y 69 Y = mi 8X 1,, X < : F Y HyL = 1 - @1 - F Xi HyLD Z = max 8X 1,, X < : F Z HzL = F Xi HzL Summat CovHX, YL = E @HX - m X L HY - m Y LD = EHX YL - m X m Y -1 E Xi = EHXi L, Var Xi = VarHXi L + 2 j=i+1 CovIX i, X j M X = I Ai : EHXL = PHA i L, VarHXL = PHA i L PHA c i L + H - 1L APIA i A j M - PHA i L PIA j ME PH X - m tl s 2 ë t 2 Ehdolliset jakaumat p X Y=l HkL = p X,Y Hk, ll ê p Y HlL, EHX Y = ll = kœk k p X Y=l HkL p X HkL = lœl p X Y=l HkL p Y HlL, p Y X=k HlL = p X Y=l HkL p Y HlL ê p X HkL f X Y=y HxL = f X,Y Hx, yl ê f Y HyL, E HX Y = yl = Ÿ - x fx Y=y HxL x P Ha X b Y = yl = Ÿ a b fx Y=y HxL x f X HxL = Ÿ - fx Y=y HxL f Y HyL y, f Y X=x HyL = f X Y=y HxL f Y HyL ê f X HxL p X HkL = Ÿ - px Y=y HkL f Y HyL y, f Y X=k HyL = p X Y=y HkL f Y HyL ê p X HkL f X HxL = lœl f X Y=l HxL p Y HlL, p Y X=x HlL = f X Y=l HxL p Y HlL ê f X HxL Kokoaisodotusarvokaava EHXL = E @EHX YLD = VarHXL = E @VarHX YLD + Var @EHX YLD PHAL = E @PHA XLD = f X A HxL = PHA X = xl f X HxL ê PHAL EHX AL = lœl E HX Y = ll p Y HlL, Y diskreetti Ÿ - E HX Y = yl fy HyL y, Y jatkuva kœk P HA X = kl p X HkL, X diskreetti Ÿ - P HA X = xl fx HxL x, X jatkuva k k P HX = k AL, X diskreetti Ÿ x fx A HxL x, X jatkuva EHXL = EHX A i L PHA i L Satuaise pituie summa G SN HzL = G N @G X HzLD, M SN HtL = G N @M X HtLD EHS N L = EHNL EHXL, VarHS N L = EHNL VarHXL + VarHNL @EHXLD 2 Korrelaatio CorHX, YL = CovHX, YL ë lhyl = m X + r s X HY - m s Y L Y Sytymis kuolemis- prosessi VarHXL VarHYL r 0 = 1, r i = l 0ÿ ÿ ÿl -1 i-1 : p m 1 ÿ ÿ ÿ m 0 = ri, p i = r i p 0 i i=0

Diskreettejä jakaumia, äärellie arvojoukko DUHL: 1 +1, k = 1,,, EHXL =, VHXL = 2-1, GHzL = 1 2 12 BerHpL: p k q 1-k, k = 0, 1, EHXL = p, VHXL = p q, GHzL = p z + q BiH, pl: HypHN, M, L: k pk q -k, k = 0,,, M k N - M - k MultiomiH, p 1,, p r L: PHX 1 = k 1,, X r = k r L = MultihypHN, M 1,, M r, L: PHX 1 = k 1,, X r = k r L = M 1 k 1 Diskreettejä jakaumia, ääretö arvojoukko k=1 z k = zh1-z L H1-zL E HXL = p V HXL = p q, GHzL = Hp z + ql, X º PoH pl, X ~ AsNH p, p ql ì N, 0 k M E HXL = p, p = M ê 0 - k N - M, V HXL = p q N-, X º BiI, M M N -l lk PoHlL:, k 0, EHXL = l, VHXL = l, GHzL = k! lhz-1l, X ~ AsNHl, ll GeomHpL: q k-1 p, k 1, FHkL = 1 - q k, EHXL = 1 p, VHXL = q p 2, GHzL =! N-1 p k 1! ÿÿÿ k r! 1 k 1 k ÿ ÿ ÿ p r r, p i = 1, k i = ÿ ÿ ÿ M r r r r ì N k r, M i = N, k i = p z 1-q z ModGeomHpL: q k p, k 0, FHkL = 1 - q k+1, EHXL = q p, VHXL = q p 2, GHzL = NegbiH, pl: k - 1-1 ModNegbiH, pl: Normaalijakauma p 1-q z p q k-, k, EHXL = p, VHXL = q p 2, GHzL = J p z 1-q z N k + - 1-1 p q k, k 0, EHXL = q, VHXL = q, GHzL = J p p 2 p 1-q z N NH0, 1L: fhxl = 1 1 2 p - 2 x2, FHxL = 1 Ÿ x 2 p - - 1 2 t2 t, EHXL = 0, VHXL = 1, MHtL = 1 2 t2 NIm, s 2 M: f HxL = 1 s x-m x-m fi M, FHxL = FI M, EHXL = m, VHXL = s s s2, MHtL = m t+ 1 2 s2 t 2 PHm - @1.96, 2.58, 3.29D s < X < m + @1.96, 2.58, 3.29D sl = @0.95, 0.99, 0.999D S ~ AsNI m, s 2 M, X ~ AsNJm, s2 N Muita yleisimpiä jatkuvia jakaumia UHa, bl: 1 b-a, a < x < b, FHxL = x-a b-a, EHXL = a+b 2, VHXL = Ib-aM 2, MHtL = b t - a t 12 Ib-aM t ExpHlL: l -l x, x > 0, FHxL = 1 - -l x, EHXL = 1 l, VHXL = 1 l 2, MHtL = GammaHa, ll: la GHaL xa-1 -l x, x > 0, EHXL = a l, VHXL = a l 2, MHtL = I l l-t Ma ErlagH, ll: l H-1L! x-1 -l x, x > 0, FHxL = 1 - -l x -1 Hl xl i, EHXL =, VHXL =, MHtL = I l i! l i=0 l 2 l-t M BetaHa, bl: GHa+bL GHaL GHbL xa-1 H1 - xl b-1, 0 < x < 1, EHXL = a a+b, VHXL = l l-t a b Ha+bL 2 Ha+b+1L r 70

Muita jatkuvia jakaumia, x > 0 ellei toisi maiita LogNIm, s 2 M: 1 s x fj lhxl-m s N, FHxL = FJ lhxl-m N, EHXL = m+ 1 2 s2, EIX 2 2 m+2 s2 M = s WeibullHa, ll: a l x a-1 -l xa, FHxL = 1 - -l xa, EHXL = I 1 l M 1 a GI1 + 1 a M, EIX2 M = I 1 l M 2 a GI1 + 2 a M 71 HypoexpHlL: ai l i -l i x, l i ¹ l j, a i = j=i,j¹ i HyperexpIl, am: ai l i -l i x, ai = 1, FHxL = ParetoHa, ll: l a I a x Ml+1, x > a, FHxL = 1 - I a x Ml, EHXL = Muita jatkuvia jakaumia, x œ R LaplaceHm, ll: 1 2 l -l x-m, FHxL = LogisticIm, s 2 M: CauchyHa, bl: 1 p b 1 l j, FHxL = ai I1 - -l i x M, EHXL = l j -l i ai I1 - -l i x M, EHXL = 1 ai, EIX 2 M = 2 l i a l Hl > 1L, VHXL = l a 2 l-1 Hl-1L 2 Hl-2L l i, VHXL = Hl > 2L 2 -lhm-xl x < m, EHXL = m, VHXL = 2, MHtL = l2 m t 1-1 2 -lhx-ml l x m 2 l 2 -t 2 a -a y, y = x-m, a = p, FHxL = 1, EHXL = m, VHXL = s 2 sh1+ -a y L 2 s 3 1+ -a y x-a B1 + I b M2 F -1, FHxL = 1 + 1 2 p x-a arctai M b NIm 1, m 2, s 2 1, s 2 2, rm: EHX Y = yl = m 1 + r s 1 Hy - m s 2 L, VHX Y = yl = s 2 1 I1 - r 2 M 2 Tilastollisia jakaumia thl: GJ +1 2 N x2 J1 + p GJ N N- 2 +1 2, x œ R, EHXL = 0 ( 2), VHXL = c 2 HL: B2 2 GI 2 MF-1 x 2-1 - x 2, x > 0, EHXL =, VHXL = 2, MHtL = I FHm, L: GJ m+ 2 N GJ m 2 N GJ 2 N Luottamusvälit -2 ( 3) 1 M 2 1-2 t mm xm-2, x > 0, EHXL = H 3L, VHXL = 2 2 Hm+-2L H 5L H+m xl m+ -2 mh-2l 2 H-4L PJX - 1.96 S < m < X + 1.96 S N > 0.95 ai l i 2 1 l i 2 PJX - t -1; aê2 S < m < X + t -1; aê2 S N = 1 - a PK H-1L S2 2 < s 2 < c -1; aê2 H-1L S2 2 O = 1 - a c -1; 1-aê2 PKp` - 1.96 p` q` ê < p < p` + 1.96 p` q` ê O > 0.95 Hypoteesie testaus H 0 : m = m 0 : T = IX - m 0 M ë IS ë M ~ th - 1L H 0 : p = p 0 : Z = Ip` - p 0 M í p 0 q 0 ê ~ NH0, 1L k HN H 0 : PHX = x i L = p i : Q = i - p i L 2 p i ~ c 2 Hk - m - 1L

NH0, 1L-jakauma todeäköisyyksiä PHX xl = a Esim. PHX 1.23L = 0.8907. FH-xL = 1 - FHxL. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.0 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.1 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.2 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.3 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.4 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.5 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.6 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.7 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.8 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 0.9 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.0 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.1 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.2 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.3 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.4 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.5 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.6 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.7 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.8 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 1.9 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.0 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.1 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.2 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.3 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.4 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.5 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.6 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.7 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.8 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 2.9 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.0 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.1 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.2 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.3 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.4 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.5 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.6 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 3.9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 72