Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää

Todeäköisyyslasketa I Heikki Ruskeepää 2012

Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 4 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 8 1.4 Ehdollie todeäköisyys 13 1.5 Riippumattomuus 19 1.6 Lisää todeäköisyydestä 22 2 Satuaismuuttujat 27 2.1 Diskreetti satuaismuuttuja 27 2.2 Joitaki diskreettejä jakaumia 32 2.3 Jatkuva satuaismuuttuja 41 2.4 Normaalijakauma 49 2.5 Muita jatkuvia jakaumia 55 Todeäköisyyslaskea kaavoja 61

1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 1.1.1 Klassie todeäköisyys Määritelmä 1.1 Kokee erilaisia tuloksia saotaa alkeistapauksiksi. Kaikkie alkeistapauste joukko o otosavaruus W. Mikä hyväsä alkeistapauste joukko o tapaus. Tapaus sattuu, jos kokee tuloksea o alkeistapaus, joka kuuluu tapauksee. Esimerkki 1.1 Noppaa heitetää kerra. Tapaukse A todeäköisyyttä merkitää PHAL. Olkoo A tapaukse A alkeistapauste lukumäärä ja W otosavaruude alkeistapauste lukumäärä. Määritelmä 1.2 Jos kokee kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset, ii tapaukse A todeäköisyys o PHAL = A. W Tämä o todeäköisyyde klassie määritelmä. Tapaukse A alkeistapauksia saotaa myös suotuisiksi alkeistapauksiksi. Määritelmä voidaa siis kirjoittaa myös seuraavasti: PHAL = suotuisie alkeistapauste lukumäärä kaikkie alkeistapauste lukumäärä. Esimerkki 1.2 a) Noppaa heitetää kerra. b) Noppaa heitetää kaksi kertaa. Esimerkki 1.3 O päätetty tutustua korkeitaa kolmee puolisoehdokkaasee. Sovelletaa seuraavaa meettelyä. Tutustutaa 1. ehdokkaasee mutta hylätää se. Valitaa toie ehdokas, jos se o parempi kui 1. ehdokas; muutoi valitaa 3. ehdokas. Ehdokkaisii tutustutaa satuaisessa järjestyksessä. Millä todeäköisyydellä valituksi tule paras ehdokas; etä toiseksi paras ehdokas tai huooi ehdokas? Käytetää seuraavia merkitöjä ja imityksiä: Tyhjää joukkoa merkitää «:llä. Tapaukset A ja B ovat toisesa poissulkevat, jos A B = «. Tapaukset A i, i = 1,,, ovat toisesa poissulkevat, jos A i A j = «kaikilla i ¹ j. Tapausjoukko A i, i = 1,,, o otosavaruude W partitio, jos tapaukset A i ovat toisesa poissulkevat ja A i = W. Tapaukse A komplemettitapaus A c sisältää e alkeistapaukset, jotka eivät kuulu tapauksee A.

Huomautus 1.1 Klassiselle todeäköisyydelle pätee HaL PH«L = 0, PHWL = 1, HbL 0 PHAL 1, HcL P Ê A i = PHA i L, jos tapaukset A i ovat toisesa poissulkevat HsummakaavaL, HdL PHA i L = 1, jos tapaukset A i muodostavat otosavaruude partitio HsummatestiL, HeL PHAL = 1 - PHA c L HkomplemettikaavaL. 4 Kohdat b ja d ovat erittäi tärkeitä tarkistuskeioja: Jos laskettu todeäköisyys ei ole välillä @0, 1D, ii lasku o vääri. Jos tapaukset A i muodostavat W: partitio ja PHA i L ei ole 1, ii aiaki yksi todeäköisyys PHA i L o vääri. Jos PHA i L = 1, ii lasketut todeäköisyydet ovat luultavasti oikei, koska o epätodeäköistä, että virheellisillä todeäköisyyksillä olisi tämä omiaisuus. 1.1.2 Geometrie todeäköisyys Toisiaa koetilae o sellaie, että piste valitaa satuaisesti aetu jaa joiltai osilta. Todeäköisyyde klassista määritelmää ei voida sellaiseaa soveltaa, koska jaalla o pisteitä yliumeroituva määrä. Todeäköisyyksiä voidaa laskea jaoje pituuksie suhteia: PHAL = jaa suotuiste osie yhteispituus. koko jaa pituus Esimerkki 1.4 Piste valitaa satuaisesti jaalta H1, 10L. Toisiaa taas piste valitaa satuaisesti aetu aluee joiltai osilta. Tällöi todeäköisyyksiä voidaa laskea pita-aloje suhteia: PHAL = aluee suotuiste osie yhteispita ala. kokoaluee pita ala Esimerkki 1.5 Oletetaa, että ku tikkaa heitetää tikkatauluu, ii tikka osuu aia tauluu ja taulu kaikki pisteet ovat yhtä todeäköiset. Tällöi osumispiste o satuaie. Esimerkki 1.6 Poika ja tyttö saapuvat kohtaamispaikalle toisistaa riippumatta satuaisea hetkeä aikavälillä 21.00 22.00. Poika odottaa tyttöä korkeitaa 20 mi, ja tyttö odottaa poikaa korkeitaa 5 mi. Kumpiki odottaa korkeitaa klo 22.00 saakka. Millä todeäköisyydellä poika ja tyttö tapaavat toisesa?

5 1.2 Kombiatoriikkaa 1.2.1 Otata Ku käytetää klassista todeäköisyyde kaavaa PHAL = A, joudutaa laskemaa tapauksie W A ja W alkeistapauksie lukumäärät. Toisiaa ämä lukumäärät o helppo saada yksikertaise päättely avulla tai luettelemalla eri mahdollisuudet. Moesti o kuiteki kätevämpää käyttää kombiatoriika tuloksia. Joukosta voidaa ottaa alkioita eli suorittaa otata kahdella tavalla. Otata tehdää palauttamatta, jos joukosta otetaa pois yksi alkio kerrallaa. Otata tehdää palauttae, jos jokaise alkio oto jälkee alkio palautetaa joukkoo. Joukko o järjestetty, jos alkioide järjestykse muuttuessa myös joukko muuttuu. Järjestettyä joukkoa merkitää kaarisuluilla. O siis esimerkiksi Ha, b, cl ¹ Hb, a, cl. Joukko o järjestämätö, jos alkioide järjestyksellä ei ole väliä. Järjestämätötä joukkoa merkitää aaltosuluilla. O siis esimerkiksi 8a, b, c< = 8b, a, c<. Jouko alkioide k-permutaatio muodostetaa ottamalla joukosta k: alkio otos (palauttamatta tai palauttae) ja muodostamalla siitä järjestetty joukko. Jouko alkioide k-kombiaatio muodostetaa ottamalla joukosta k: alkio otos (palauttamatta tai palauttae) ja muodostamalla siitä järjestämätö joukko. 1.2.2 Tuloperiaate Lause 1.1 (Tuloperiaate) a) Jos operaatio A i voidaa tehdä i :llä eri tavalla, i = 1,, k, ii joo Hoperaatio A 1,, operaatio A k L voidaa tehdä 1 ÿ 2 ÿ ÿ k eri tavalla. b) Jos i = kaikilla i, ii eri tapoja o k. Esimerkki 1.7 1.2.3 Järjestetty otata Lause 1.2 (Järjestetty otata palauttamatta) a) Joukosta, jossa o erilaista alkiota, voidaa ottaa k: alkio järjestetty otos palauttamatta H - 1L H - 2L ÿ ÿ ÿ H - k + 1L eli! I-kM! Tästä k-permutaatioide lukumäärästä käytetää myös merkitöjä PH, kl, P k ja HL k. b) Jos joukossa o erilaista alkiota, ii alkiot voidaa järjestää jooo! eri tavalla. Esimerkki 1.8 Jos o suuri, ii kertoma! laskemista voi auttaa Stirligi approksimaatio:! ~ 2 p -. eri tavalla. Tämä kaava tarkoittaa, että lauseke 2 p - ê! lähestyy ykköstä, ku lähestyy ääretötä.

6 Lause 1.3 (Järjestetty otata palauttae) Joukosta, jossa o erilaista alkiota, voidaa ottaa k: alkio järjestetty otos palauttae k eri tavalla. Esimerkki 1.9 a) Paljoko o erilaisia jokeri tuloksia? b) Ku oppaa heitetää kaksi kertaa, ii erilaisia tuloksia o 6 2 = 36 kappaletta: H1, 1L, H1, 2L, H1, 3L, H1, 4L, H1, 5L, H1, 6L, H2, 1L, H2, 2L, H2, 3L, H2, 4L, H2, 5L, H2, 6L, H3, 1L, H3, 2L, H3, 3L, H3, 4L, H3, 5L, H3, 6L, H4, 1L, H4, 2L, H4, 3L, H4, 4L, H4, 5L, H4, 6L, H5, 1L, H5, 2L, H5, 3L, H5, 4L, H5, 5L, H5, 6L, H6, 1L, H6, 2L, H6, 3L, H6, 4L, H6, 5L, H6, 6L. Nämä ovat kaikki yhtä todeäköisiä. Samat tulosmahdollisuudet saadaa, jos kahta erilaista (esim. eri väristä) oppaa heitetää yhtä aikaa. c) Huomaa, että ku kahta samalaista oppaa heitetää, ii erilaisia tuloksia o vai 21 kappaletta: 81, 1<, 81, 2<, 81, 3<, 81, 4<, 81, 5<, 81, 6<, 82, 2<, 82, 3<, 82, 4<, 82, 5<, 82, 6<, 83, 3<, 83, 4<, 83, 5<, 83, 6<, 84, 4<, 84, 5<, 84, 6<, 85, 5<, 85, 6<, 86, 6<. Nämä tulokset eivät kuitekaa ole yhtä todeäköiset. Esimerkiksi tulos 81, 1< voidaa saada vai yhdellä tavalla mutta tulos 81, 2< kahdella tavalla; tulos 81, 2< o siis todeäköisempi kui tulos 81, 1<. Klassista todeäköisyyde kaavaa ei siis voida käyttää, koska alkeistapaukset eivät ole yhtä todeäköiset. Jotta voitaisii käyttää klassista todeäköisyyde kaavaa, ii o syytä olettaa, että opat heitetää eriksee (eikä yhdessä) ja tulokset kirjataa kummalleki opalle eriksee. Tällöi siis saadaa 36 yhtä todeäköistä mahdollisuutta, jote klassista todeäköisyyde kaavaa voidaa käyttää. Esimerkki 1.10 (Sytymäpäivätehtävä) Oletetaa, että vuode kaikki päivät ovat yhtä todeäköisiä sytymäpäiviä (äi ei tarkasti ottae ole). Millä todeäköisyydellä :stä ihmisestä aiaki kahdella o sama vuode päivä sytymäpäivää? Esimerkki 1.11 Millä todeäköisyydellä :stä ihmisestä aiaki yhdellä o sama vuode päivä sytymäpäivää kui siulla?

7 1.2.4 Järjestämätö otata Lause 1.4 (Järjestämätö otata palauttamatta; biomikertoime otatatulkita) Joukosta, jossa o erilaista alkiota, voidaa ottaa k: alkio järjestämätö otos palauttamatta tavalla. Tästä k-kombiaatioide lukumäärästä käytetää myös merkitöjä CH, kl ja C k. k eli! k! I-kM! eri Seuraavaa taulukkoo o koottu erilaiste otoste lukumäärät eri tapauksissa, ku erilaisesta alkiosta otetaa k: alkio otos. Järjestetty otos Järjestämätö otos Otos palauttamatta! I-kM! k Otos palauttae k + k - 1 k Oikealla alhaalla olevaa tulosta ei todisteta, koska tätä tulosta ei todeäköisyyslaskeassa juuri tarvita. Tällä kaavalla saada esimerkiksi erilaiste tuloste lukumäärä, ku kahta samalaista oppaa heitetää: 6 + 2-1 2 = 21; esimerkissä 1.9.c todettii, että ämä 21 tulosta eivät ole yhtä todeäköiset. Esimerkki 1.12 Lause 1.5 Jos uurasta, jossa o N palloa, joista M o mustia ja N - M valkoisia, otetaa palloa palauttamatta, ii todeäköisyys, että saadaa k mustaa ja - k valkoista palloa, o M N-M k -k N, 0 k M, 0 - k N - M. Huomaa, että lauseessa 1.5 o oletettu, että mustat pallot ovat jollai tavalla erilaisia eli että e voidaa idetifioida. Samoi o oletettu, että valkoiset pallot o jollai tavalla idetifioitu. Tulos kuiteki pätee, vaikka palloja ei todellisuudessa olisi idetifioitu; pallot voidaa tällöi ajatella tilapäisesti idetifioidu otataa varte. Lause 1.5 o s. hypergeometrise jakauma mukaie, ks. pykälää 2.2.4. Esimerkki 1.13 Laatikossa o 4 puaista palloa ja 6 siistä palloa. Laatikosta otetaa 5 palloa palauttamatta. Huomautus 1.2 Biomikertoimella o lausee 1.4 otatatulkia lisäksi kaksi muutaki hyödyllistä tulkitaa: a) (Biomikertoime järjestystulkita) o iide tapoje lukumäärä, joilla k tyypi 1 ja - k k tyypi 2 alkiota voidaa järjestää jooo; b) (Biomikertoime lokerotulkita) o iide tapoje lukumäärä, joilla erilaista alkiota k voidaa jakaa kahtee lokeroo ii, että lokeroihi tulee k ja - k alkiota. Esimerkki 1.14

8 1.2.5 Multiomikerroi Lauseketta k 1, k 2,, k r =! k 1! k 2! ÿ ÿ ÿ k r! missä k 1 + + k r =, saotaa multiomikertoimeksi. Se esiityy esimerkiksi seuraavassa kaavassa: Hx 1 + + x r L = k i = 0,, "i k 1 + +k r = k 1, k 2,, k r x 1 k 1 ÿ ÿ ÿ x r k r. Biomikerroi k o multiomikertoime erikoistapaus: k =! = k! I-kM! k, - k. Huomautuksessa 1.2 todettii, että biomikertoimella o järjestys- ja lokerotulkiat. Lauseide 1.6 ja 1.7 mukaa multiomikertoimella o samalaiset tulkiat. Lause 1.6 (Multiomikertoime järjestystulkita) Oletetaa, että joukossa o r alkiotyyppiä ja että tyypi i alkioita o k i kappaletta; yhteesä alkioita o = k 1 + + k r kappaletta. Silloi jouko alkiot voidaa järjestää jooo Esimerkki 1.15 k 1,, k r eri tavalla. Lause 1.7 (Multiomikertoime lokerotulkita) Jos joukossa o erilaista alkiota, ii alkiot voidaa jakaa r lokeroo ii, että i:tee lokeroo meee k i alkiota, i = 1,, r, tavalla. k 1,, k r eri Lause 1.8 (Lokerolause) Oletetaa, että joukossa o erilaista alkiota ja alkiot jaetaa r lokeroo satuaisesti. a) Todeäköisyys, että i:tee lokeroo meee k i palloa, i = 1,, r, o k 1,, k r ì r. b) Todeäköisyys, että m i :hi lokeroo meee k i palloa, i = 1,, l, o k 1,, k 1,, k l,, k l r m 1,, m l ì r. Tässä esimmäisessä multiomikertoimessa o m i kappaletta lukua k i, i = 1,, l, ja r = m 1 + + m l ja = m 1 k 1 + + m l k l. Esimerkki 1.16 a) Millä todeäköisyydellä 10 rahaheitolla saadaa 4 kruuaa? b) Millä todeäköisyydellä 8 opaheitolla saadaa ykkösiä 0 kappaletta, kakkosia ja kolmosia 1 kappaletta ja elosia, viitosia ja kuutosia 2 kappaletta?

9 Esimerkki 1.17 a) Millä todeäköisyydellä 8 opaheitolla saadaa yhtä silmälukua 0 kertaa, kahta silmälukua 1 kerra ja kolmea silmälukua 2 kertaa? b) Noppaa heitetää 7 kertaa. Millä todeäköisyydellä saadaa aiaki 3 samaa silmälukua? Huomaa, että b-kohda esimerkissä käytettii s. summaperiaatetta: jos tapaus voidaa jakaa toisesa poissulkevii osatapauksii, ii tapaus voi sattua ii moella tavalla, kui o osatapauksie sattumistapoje lukumäärie summa. Esimerkki 1.18 Jatsipelissä heitetää viittä oppaa. Millä todeäköisyydellä saadaa a) jatsi eli viisi samaa umeroa (esim. 22222); b) eloset eli eljä samaa umeroa ja yksi muu (esim. 33336); c) mökki eli kaksi ja kolme samaa umeroa (esim. 44422); d) erilaiset umerot (esim. 12345, 12346, 12356, 12456, 13456 tai 23456); e) kolmoset eli kolme samaa umeroa ja kaksi muuta (esim. 11126); f) kaksi paria eli kaksi ja kaksi samaa umeroa ja yksi muu (esim. 33116); g) yksi pari eli kaksi samaa umeroa ja kolme muuta (esim. 55134). Esimerkki 1.19 Pokerikäsi o 52 korti pakasta (4 maata, kussaki 13 arvoa) umpimähkää valittu 5 korti joukko. Millä todeäköisyydellä saadaa a) erilaiset arvot; b) pari eli kaksi samaa arvoa; c) kolmoset eli kolme samaa arvoa; d) eloset eli eljä samaa arvoa; e) kaksi paria; f) täyskäsi eli kolmoset ja pari? Esimerkki 1.20 Ratkaistaa uudestaa esimerki 1.10 sytymäpäivätehtävä: millä todeäköisyydellä :stä ihmisestä aiaki kahdella o sama vuode päivä sytymäpäivää?

1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 10 1.3.1 Joukko-oppia Seuraavassa o joukko-opi perusmerkitöjä ja iide todeäköisyystulkitoja. Koska joukkoje A ja B leikkaus A B sisältää e alkeistapaukset, jotka ovat sekä A:ssa että B:ssä, ii tapaus A B sattuu, jos sekä A että B sattuvat. Leikkausta A B merkitää usei myös lyhyemmi A B. Koska joukkoje A ja B uioi A B sisältää e alkeistapaukset, jotka ovat aiaki toisessa joukoista A ja B, ii tapaus A B sattuu, jos aiaki toie tapauksista A ja B sattuu. Koska jouko A komplemetti A c sisältää e alkeistapaukset, jotka eivät ole A:ssa, ii tapaus A c sattuu, jos A ei satu. Koska joukkoje A ja B erotus A - B = A B c sisältää e A: alkeistapaukset, jotka eivät ole B:ssä, ii tapaus A - B sattuu, jos A sattuu mutta B ei satu. Tyhjää joukkoa merkitää «; saotaa, että «o mahdoto tapaus (se ei koskaa satu). Koko otosavaruus W o varma tapaus (se sattuu aia). Oletetaa, että A Õ B. Jos tällöi A sattuu, ii myös B sattuu. Tapauksia o tapaa havaiollistaa s. Ve-diagrammeia: A B A - B Selvästi HA c L c = A, A A c = W, A A c = «, W c = «, «c = W, A «= A, ««= «, A «= «, ««= «. Uioille ja leikkaukselle pätevät seuraavat distributiivilait: A HB CL = HA BL HA CL, A HB CL = HA BL HA CL, A Ë B i B i A Ê Komplemetille pätevät de Morgai kaavat: HA BL c = A c B c, HA BL c = A c B c, c A i Ê = ËA c i, c A i Ë = ÊA c i. = ËHA B i L, = ÊHA B i L.

Seuraava määritelmä o todeäköisyyslaskeassa erittäi tärkeä. 11 Määritelmä 1.3 Tapaukset A ja B ovat toisesa poissulkevat, jos A B = «. Määritelmä imitys johtuu siitä, että jos A sattuu, ii B ei voi sattua, ja jos B sattuu, ii A ei voi sattua. Yleisemmi saotaa, että tapaukset A i, i = 1, 2,, ovat toisesa poissulkevat, jos A i A j = «kaikilla i ¹ j. 1.3.2 Todeäköisyyde aksioomat Todeäköisyyde laskusäätöje johtamiseksi esitetää esi joukko todeäköisyydeltä vaadittavia omiaisuuksia. Nämä omiaisuudet, joita saotaa myös aksioomiksi, ovat luotevia ja sopusoiussa todeäköisyyde ituitiivise käsitykse kassa. Koko todeäköisyyslasketa voidaa sitte johtaa äistä aksioomista. Aksiomaattise todeäköisyyslaskea o kehittäyt A. N. Kolmogorov kirjassaa Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug (1933). Todeäköisyyde aksioomat A1. PHAL 0 kaikille tapauksille A. A2. PHWL = 1. A3. Jos tapaukset A i, i = 1, 2,, ovat toisesa poissulkevat, ii PH A i L = PHA i L. Aksiooma A1 tapaa o luotevaa olettaa, että todeäköisyys o ei-egatiivie. Aksiooma A2 ormeeraa todeäköisyydet ii, että suuri mahdollie todeäköisyys o 1. Aksioomassa A3 esiityvä tapaus A i sattuu, jos aiaki yksi tapauksista A i sattuu. Koska kuiteki tapaukset A i ovat toisesa poissulkevat, ii tapaus A i sattuu, jos tarkallee yksi tapauksista A i sattuu. O luotevaa, että tällöi tapauksie A i todeäköisyydet lasketaa yhtee: PH A i L = PHA i L. Omiaisuutta A3 saotaa s-additiivisuudeksi. Aksioomie avulla voidaa todistaa seuraava lause. Lause 1.9 Todeäköisyydellä o seuraavat omiaisuudet: a) PH«L = 0. b) Jos A B = «, ii PHA BL = PHAL + PHBL. c) PHAL = 1 - PHA c L (komplemettikaava). d) Jos A Õ B, ii PHAL PHBL. e) 0 PHAL 1. f) PHA - BL = PHAL - PHA BL.

Huomautus 1.3 a) Tapaus «o mahdoto tapaus ja PH«L = 0. Jos jolleki tapaukselle A o PHAL = 0, ii siitä ei kuitekaa välttämättä seuraa, että A = «. O imittäi olemassa ei-tyhjiä tapauksia, joide todeäköisyys o olla. Jos esimerkiksi valitaa satuaie luku väliltä @0, 1D, ii osaväleillä o positiiviset todeäköisyydet; esimerkiksi todeäköisyys, että piste o välillä @0.2, 0.3D, o 0.1. Yksittäiste pisteide todeäköisyys o kuiteki olla, vaikka jokaie väli @0, 1D piste o mahdollie; esimerkiksi todeäköisyys, että piste o 0.2539871458, o olla. Jos PHAL = 0, ii saotaa, että A o melkei mahdoto tapaus eli ollamitallie tapaus. b) Tapaus W o varma tapaus ja PHWL = 1. Jos jolleki tapaukselle A o PHAL = 1, ii siitä ei kuitekaa välttämättä seuraa, että A = W. O imittäi olemassa tapauksia, joide todeäköisyys o yksi, vaikka tapaukset eivät sisälläkää kaikkia mahdollisia tapauksia. Jos esimerkiksi valitaa satuaie luku väliltä @0, 1D, tapaukse, että piste ei ole piste 0.2539871458, todeäköisyys o 1. Jos PHAL = 1, ii saotaa, että A o melkei varma tapaus. 1.3.3 Toisesa poissulkevie tapauste uioi Seuraava lausee a-kohta yleistää lausee 1.9 b-kohda useamma tapaukse uioille. Lause 1.10 Oletetaa, että tapaukset A i, i = 1,,, ovat toisesa poissulkevat. a) P Ai = PHAi L (summakaava). b) Jos lisäksi Ai = W, ii PHAi L = 1. Huomautus 1.4 Lausee 1.9 e-kohta 0 PHAL 1 ja lausee 1.10 b-kohta ovat erittäi tärkeitä todeäköisyyksie tarkistamisessa. Laskuissa o imittäi joki virhe, jos laskuje tuloksea o todeäköisyys, joka o egatiivie tai suurempi kui 1; jos tapausavaruus voidaa jakaa toisesa poissulkevie tapauste uioiksi ja tapauste todeäköisyyksie summa o eri suuri kui 1. Vaikka tarvittaisii vai tiety tapaukse todeäköisyys, ii usei o hyödyllistä laskea kaikkie tapauksie todeäköisyydet, jotta voitaisii käyttää lausee 1.10 b-kohda atamaa tarkistuskeioa. Lausee 1.10 b-kohtaa voidaa käyttää myös toisella tavalla: yhtälöstä PHA i L = 1 voidaa yksi todeäköisyys PHA i L ratkaista muide todeäköisyyksie avulla. Tästä o kuiteki se huomattava varjopuoli, että kaava PHA i L = 1 käyttö tarkistuskeioa meetetää. Esimerkki 1.21 Tiedetää seuraavat tapauksii A, B ja C liittyvät todeäköisyydet: PHAL = 0.35, PHBL = 0.50, PHCL = 0.45, PHA BL = 0.15, PHA CL = 0.15, PHB CL = 0.20, PHA B CL = 0.10. Lasketaa todeäköisyydet, että tarkallee i kappaletta tapauksista A, B ja C sattuu, i = 0, 1, 2, 3. 12

13 1.3.4 Yleie uioi Määritelmä 1.4 Tapaukset A i, i = 1,,, ovat vaihtokelpoiset (exchageable), jos tapaukset A i, i = 1,,, ovat yhtä todeäköiset ja samoi tapaukset A i A j, tapaukset A i A j A k,, kaikilla i, j, k,. Seuraava lausee kohta e osoittaa, että tapauste vaihtokelpoisuus yksikertaistaa uioi laskukaavaa. Lause 1.11 (Mukaalukemis poissulkemis-periaate, priciple of iclusio-exclusio) a) PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL. b) PHA B CL = PHAL + PHBL + PHCL - PHA BL - PHA CL - PHB CL + PHA B CL. c) PHA B C DL = PHAL + PHBL + PHCL + PHDL - -PHA BL - PHA CL - PHA DL - PHB CL - PHB DL - PHC DL + +PHA B CL + PHA B DL + PHA C DL + PHB C DL - -PHA B C DL. -1 d) P Ai = PHAi L - -2 + -1 j=i+1 k=j+1 j=i+1 PIA i A j M + PIA i A j A k M - + + H-1L -1 P Ai. e) Jos tapaukset A i, i = 1,,, ovat vaihtokelpoiset, ii P Ai = H-1L i+1 i i P A j. j=1 Lausee imi tulee siitä, että siiä uioi todeäköisyyde lausekkeesee otetaa leikkauste todeäköisyyksiä mukaa plusmerkkisiä ja iitä suljetaa pois miiusmerkkisiä. Esimerkki 1.22 Ku esimmäisestä kokoaisluvusta muodostetaa permutaatio, ii saotaa, että se o epäjärjestys, jos yksikää luvuista ei ole luoollisella paikallaa. Esimerkiksi H3, 1, 2L o epäjärjestys mutta H3, 2, 1L ei. Lause 1.12 (Epäjärjestyslause) Ku esimmäistä kokoaislukua permutoidaa satuaisesti, ii tulos o epäjärjestys todeäköisyydellä i=0 H-1L i i!. Koska x = i=0 x i ë i!, ii huomataa, että ku lähestyy ääretötä, ii epäjärjestykse todeäköisyys lähestyy arvoa 1 : arvoilla: PHepäjärjestysL 1 - PHepäjärjestysL 2 0.5 0.5 3 0.333 0.667 4 0.375 0.625 5 0.367 0.633 0.368 0.632 = 0.3679. Seuraavassa taulukossa o todeäköisyyde arvoja eri

14 PHepäjärjestysL 1 - PHepäjärjestysL 2 0.5 0.5 3 0.333 0.667 4 0.375 0.625 5 0.367 0.633 0.368 0.632 O yllättävää, kuika vähä ämä todeäköisyydet riippuvat lukuje lukumäärästä ja kuika suurea pysyy suurillaki : arvoilla todeäköisyys, että aiaki yksi luku o luoollisella paikallaa. Esimerkki 1.23 (Kirjetehtävä) O kirjoitettu kirjettä ja vastaavat kirjekuoret :lle hekilölle. Jos kirjeet paaa kuorii satuaisesti, ii millä todeäköisyydellä aiaki yksi kirje osuu oikeaa kuoree? Saotaa, että lokeriko lokero o miehitetty, jos siiä o aiaki yksi objekti. Lause 1.13 (Miehityslause) Ku lokerikkoo, jossa o r lokeroa, paaa satuaisesti palloa ( r), ii kaikki lokerot ovat miehitettyjä todeäköisyydellä r H-1L i i=0 r I1 - i i r M. Esimerkki 1.24 Ku oppaa heitetää kertaa ( 6), ii millä todeäköisyydellä kuki silmäluku esiityy aiaki kerra? Lause 1.14 Oletetaa, että tapaukset A i, i = 1,,, ovat vaihtokelpoiset. a) Todeäköisyys P @md, että tasa m kappaletta tapauksista tapahtuu, m = 1,,, o -m P @md = H-1L i i=0 i + m m i + m P j=1 i+m Aj. b) Todeäköisyys P m, että aiaki m kappaletta tapauksista tapahtuu, m = 1,,, o -m P m = H-1L i i=0 i + m - 1 m - 1 i + m P j=1 i+m Aj. Kohda b kaava todeäköisyydelle P 1 redusoituu lausee 1.11 e-kohda kaavaksi.

15 Esimerkki 1.25 Tarkastellaa esimerki 1.23 kirjetehtävää. m P @md P m 0 0.367879 1 1 0.367879 0.632121 2 0.183941 0.264241 3 0.0613095 0.0803004 4 0.0153356 0.0189909 5 0.00305556 0.0036552 6 0.000520833 0.000599647 7 0.0000661376 0.0000788139 8 0.0000124008 0.0000126764 9 0. 2.75573 µ 10-7 10 2.75573 µ 10-7 2.75573 µ 10-7

1.4 Ehdollie todeäköisyys 16 1.4.1 Ehdollie todeäköisyys Esimerkki 1.26 Millä todeäköisyydellä tapaus A sattuu, ku tiedetää, että tapaus B o sattuut? Tämä todeäköisyys o s. ehdollie todeäköisyys, ja sitä merkitää PHA BL. Tämä merkiä voi lukea esim. seuraavilla tavoilla: P A ehdolla B, A: ehdollie todeäköisyys ehdolla B, todeäköisyys, että A tapahtuu, ku B o tapahtuut. Edellise esimerki mukaisesti voidaa kirjoittaa: Määritelmä 1.5a Jos PHBL > 0, ii ehdollie todeäköisyys PHA BL o tapaukse A todeäköisyys otosavaruudessa B. Koska tässä siis alkuperäie otosavaruus W korvataa suppeammalla otosavaruudella B, ii tätä ehdollise todeäköisyyde lasketameetelmää saotaa supistetu otosavaruude meetelmäksi (määritelmässä 1.5b tullaa esittämää kaava, jossa käytetää alkuperäise otosavaruude W todeäköisyyksiä). Esimerkki 1.27 Määritelmä 1.5b Jos PHBL > 0, ii ehdollie todeäköisyys PHA BL o PHA BL = PHA BL. PHBL Ehdollie todeäköisyys PHA BL voidaa siis määritellä kahdella tavalla: A: todeäköisyyteä supistetussa otosavaruudessa B; alkuperäise otosavaruude W todeäköisyyksie avulla: PHA BL. PHBL Kumpiki määritelmä o tärkeä käytäö laskuissa. Edellie määritelmä o lisäksi tärkeä auttaessaa ymmärtämää, mistä ehdollisessa todeäköisyydessä o kyse. Jälkimmäie määritelmä taas o tärkeä myös siksi, että se avulla voidaa johtaa ehdollisee todeäköisyytee liittyviä tuloksia (mm. kokoaistodeäköisyyskaava ja Bayesi kaava). Esimerkki 1.28 Ku tiettyä ohjelmajoukkoa tutkittii, ii havaittii, että 20 prosetissa ohjelmia oli sytaksivirheitä ja 6 prosetissa sekä sytaksi- että I/O-virheitä. Jos tietyssä ohjelmassa o sytaksivirheitä, ii millä todeäköisyydellä siiä o myös I/O-virheitä? Esimerkki 1.29 Oletetaa, että lapsi o poika todeäköisyydellä 1 ê 2. Tiedetää, että perhee kahdesta lapsesta aiaki yksi o poika. Millä todeäköisyydellä toieki lapsi o poika? Pitapuolisesti ajattelemalla voisi päätellä, että toieki lapsi o poika todeäköisyydellä 1 ê 2. Seuraava lause osoittaa, että ku tapaus B o aettu, ii fuktio PH. BL o pätevä todeäköisyysfuktio otosavaruudessa B. Lause 1.15 PH. BL toteuttaa todeäköisyyde aksioomat otosavaruudessa B.

17 Ehdolliselle todeäköisyydelle pätevät siis kaikki tavalliselle todeäköisyydelle johdetut tulokset. Esimerkiksi PH«BL = 0, 0 PHA BL 1, PHA BL = 1 - PHA c BL, PHA B CL = PHA CL + PHB CL - PHA B CL. 1.4.2 Kokoaistodeäköisyyskaava Ratkaisemalla kaavoista PHA BL = PHA BL ê PHBL ja PHB AL = PHA BL ê PHAL todeäköisyys PHA BL, saadaa seuraava lause. Leikkaukse todeäköisyyttä tarkastellaa lähemmi pykälässä 1.5. Lause 1.16 Tapauste leikkaukse todeäköisyys toteuttaa kaavat PHA BL = PHA BL PHBL, jos PHBL > 0; PHA BL = PHAL PHB AL, jos PHAL > 0. Määritelmä 1.6 Tapaukset A 1,, A muodostavat otosavaruude W partitio, jos tapaukset ovat toisesa poissulkevat, W = A i ja PHA i L > 0 kaikilla i. Lause 1.17 (Kokoaistodeäköisyyslause) Jos tapaukset A 1,, A muodostavat otosavaruude partitio, ii PHBL = PHB Ai L PHA i L. Lausee 1.17 kokoaistodeäköisyyskaava avulla kokoais -todeäköisyys PHBL voidaa koota ehdollisista todeäköisyyksistä PHB A i L paiottamalla kutaki ehdollista todeäköisyyttä ehdo todeäköisyydellä PHA i L. Kokoaistodeäköisyyskaava o hyödyllie moissa tapauksissa, joissa todeäköisyyttä PHBL o vaikea laskea suoraa, mutta lasketa o helppoa ehdolliste todeäköisyyksie PHB A i L avulla.

18 Esimerkki 1.30 Moivalitakokee kussaki tehtävässä o vastausvaihtoehtoa, joista yksi o oikea. Opiskelija tietää kuhuki kysymyksee oikea vastaukse todeäköisyydellä p. Jos opiskelija ei tiedä vastausta, hä arvaa. Millä todeäköisyydellä vastaus yhtee kysymyksee o oikea? PHOL 1.0 0.8 0.6 = 2 0.4 0.2 = 3 = 4 = 5 = 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p Esimerkki 1.31 Tietty virus o kahdella ihmisellä 10 000:sta. Jos ihmisellä o tämä virus, ii tietty testiki ilmoittaa 99.99 proseti varmuudella, että ihmisellä o tämä virus (testi tulos o positiivie). Jos ihmisellä ei ole tätä virusta, ii testiki ilmoittaa 99.9 proseti varmuudella, että ihmisellä ei ole tätä virusta (testi tulos o egatiivie). Millä todeäköisyydellä testi tulos o positiivie; etä egatiivie? 0.0002 V 0.9999 0.0001 P N 0.0002ÿ0.9999 = 0.000 199 98 0.0002ÿ0.0001 = 0.000 000 02 0.9998 E 0.001 0.999 P N 0.9998ÿ0.001 = 0.000 9998 0.9998ÿ0.999 = 0.998 8002

19 1.4.3 Bayesi kaava Bayesi kaava o usei hyödyllie, ku halutaa laskea ehdollisia todeäköisyyksiä. Lause 1.18 (Bayesi lause; Thomas Bayes, 1701 1761) Jos tapaukset A 1,, A muodostavat otosavaruude partitio ja PHBL > 0, ii P HA k BL = PHB A kl PHA k L PHBL = PHB A kl PHA k L PHB Ai L PHA i L, k = 1,,. Esimerkki 1.32 Jatketaa esimerkkiä 1.30. Moivalitakokee kussaki tehtävässä o vastausvaihtoehtoa, joista yksi o oikea. Opiskelija tietää kuhuki kysymyksee oikea vastaukse todeäköisyydellä p. Jos opiskelija ei tiedä vastausta, hä arvaa. Jos vastaus yhtee kysymyksee o oikea, ii millä todeäköisyydellä opiskelija tiesi vastaukse eikä arvaut? PHT»OL 1.0 0.8 0.6 0.4 = 6 = 5 = 4 = 3 = 2 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p Esimerkki 1.33 Jatketaa esimerkkiä 1.31. Tietty virus o kahdella ihmisellä 10 000:sta. Jos ihmisellä o tämä virus, ii tietty testiki ilmoittaa 99.99 proseti varmuudella, että ihmisellä o tämä virus (testi tulos o positiivie). Jos ihmisellä ei ole tätä virusta, ii testiki ilmoittaa 99.9 proseti varmuudella, että ihmisellä ei ole tätä virusta (testi tulos o egatiivie). Jos testi tulos o positiivie, ii millä todeäköisyydellä ihmisellä todella o virus? Mistä testi huoo luotettavuus johtuu? Jos tarkastellaa esimerkiksi 10 000 ihmise joukkoa, ii o odotettavissa, että siiä kahdella ihmisellä o virus. Testi o äide kahde ihmise joukossa positiivie keskimääri 0.9999 ÿ 2 = 1.9998:lle ihmiselle. Testi o positiivie 9998 tervee ihmise joukossa keskimääri 0.001 ÿ 9998 = 9.998:lle ihmiselle. Keskimääri saadaa siis yhteesä 11.9978 positiivista testitulosta. Tästä sairaide osuus 1.9998 o todellaki vai 16.7 prosettia. Huoo tulos johtuu siis virheelliste positiiviste tuloste suuresta määrästä. Se taas johtuu siitä, että vaikka virheellise positiivise tulokse todeäköisyys oki piei (0.001), ii virheellisiä positiivisia tuloksia kuiteki sytyy melko paljo, koska terveide ihmiste osuus oli hyvi suuri (0.9998).

20 Huomautus 1.5 Bayesi kaava voidaa tulkita kahdellaki tavalla. a) Kääteiset ehdolliset todeäköisyydet. Ehdollisille todeäköisyyksille PHB A i L, i = 1,,, voidaa Bayesi kaava avulla laskea kääteiset ehdolliset todeäköisyydet PHA k BL, k = 1,,. Jos A i o tapaukse B mahdollie syy, ii PHB A i L o seuraukse todeäköisyys, ku syy tiedetää, mutta PHA i BL o syy todeäköisyys, ku seuraus tiedetää. b) Posterioriset todeäköisyydet. Alu peri tiedetää todeäköisyydet PHA i L, i = 1,, ; ämä ovat s. prioriset todeäköisyydet. Sitte saadaa se iformaatio, että tapaus B o sattuut. Bayesi kaava avulla voidaa yt laskea s. posterioriset todeäköisyydet PHA k BL, k = 1,,. Tällä tavalla voidaa todeäköisyyksiä päivittää, ku saadaa uutta iformaatiota. Prioriset t:t Posterioriset t:t PHVL = 0.0002 PHV» PL = 0.167, PHV» NL = 0.000 000 02 PHEL = 0.9998 PHE» PL = 0.833, PHE» NL = 0.999 999 98 1.4.4 Lasketaohjeita Ku ratkaistaa todeäköisyyslaskea tehtäviä, ii vaaraa o, että lasku eteee ii kui laskijasta vai tutuu järkevältä ja lasku eri vaiheet jäävät perustelematta tai vai hämärä ituitio varaa. Tästä o kaksi varjopuolta: Lasku meee usei vääri, koska perusteluja ei mietitä. Vaikka lasku lopputulos olisi oikeaki, ii ulkopuolise o vaikeaa saada laskusta selvää: todeäköisyydet jäävät tarkemmi määrittelemättä ja laskea vaiheet perustelematta. Jotta laskusta saataisii varmemmi oikea tulos ja lasku olisi myös muide ymmärrettävissä, ii kaattaa oudattaa seuraavia ohjeita. Moet luetoje esimerkit oudattavat äitä ohjeita. Ohjeita o oudatettava myös tettitehtävissä. Ohjeita todeäköisyyksie laskemisee: 1) Aa tapauksille helposti muistettavat symbolit. 2) Kirjoita aetut todeäköisyydet symbolie avulla. 3) Kirjoita ja laske kysytty todeäköisyys symbolie avulla. 4) Käytä laskemisessa vai todeäköisyyslaskea tuettuja tuloksia. 5) Sijoita saatuu symbolisee lausekkeesee aetut todeäköisyydet ja sieveä. 6) Usei o mielekiitoista tietää todeäköisyydelle sekä tarkka arvo että desimaaliarvo. 1) Symbolie määrittely tapauksille o välttämätötä, jotta lasku voitaisii esi ratkaista symbolisesti. Voidaa esimerkiksi määritellä V = ihmisellä o virus, E = ihmisellä ei ole virusta, P = testi o positiivie. 2) Aettuje todeäköisyyksie kirjoittamie symbolie avulla selkeyttää lähtötilatee ja helpottaa myöhempää laskemista. Voidaa esimerkiksi kirjoittaa PHVL = 0.0002, PHEL = 0.9998, PHP VL = 0.9999, PHP EL = 0.001.

3) Ku kysytty todeäköisyys kirjoitetaa symbolie avulla, tiedetää tarkallee, mitä pitää laskea. Ku tämä todeäköisyys sitte lasketaa symbolie avulla, tulee samalla mietityksi, millä perusteella ja millä kaavalla todeäköisyys lasketaa, ja lukija o helppo seurata laskea eteemistä. Voida esimerkiksi kirjoittaa kokoaistodeäköisyyskaava avulla PHPL = PHP VL PHVL + PHP EL PHEL. 4) Laskeassa o tärkeää, että käytetää vai todeäköisyyslaskea tuettuja tuloksia, koska se varmistaa, että ratkaisu o oikea. Vältä sellaiste ad hoc -päätelyje käyttöä, jotka vai tutuvat järkeviltä. Alla o lueteltu todeäköisyyksiä koskevat tärkeimmät kaavat. 5) Vasta ku todeäköisyyde symbolie lauseke o saatu selville, siihe sijoitetaa aetut lähtötiedot (jotka kirjoitettii kohdassa 2) ja lauseke sieveetää. Ku symbolie lauseke o selvillä, ii sijoitusvaihe o usei yksikertaista umeerista lasketaa. Voidaa esimerkiksi kirjoittaa PHPL = PHP VL PHVL + PHP EL PHEL = 0.9999 ÿ 0.0002 + 0.001 ÿ 0.9998 = 0.001 199 78. 6) Todeäköisyyde tarkka arvo o usei mielekiitoie ja arvokas, varsiki, jos se o verrate yksikertaie murtoluku tai muu tarkka lauseke. Desimaaliarvo o usei myös havaiollie, koska siitä äkyy helposti todeäköisyyde suuruusluokka. Näytä desimaaliluvuissa riittävä mota ollasta eroavaa desimaalia (esim. 4), jotta todeäköisyyksie oikeellisuus tulisi selväksi myös lukijalle ja jotta todeäköisyydet voisi tarkistaa kaava PHA i L = 1 avulla riittävä tarkasti (todeäköisyyksie tarkistusta tarkastellaa hetke kuluttua). Kohdassa 4 kehotetaa käyttämää vai todeäköisyyslaskea tuettuja tuloksia. Seuraavassa o lueteltu tällaisia tuloksia (äistä kaavat 6 9 tulevat esille vasta pykälässä 1.5). 21

22 Todeäköisyyksiä koskevat tärkeimmät kaavat: Peruskaavoja: 1) Klassie todeäköisyys: PHAL = A, jos alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset W 2) Komplemettikaava: PHAL = 1 - PHA c L Uioii liittyviä kaavoja: 3) Kahde tapaukse uioi: PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL -1 4) Yleie uioi: P Ai = PHAi L - j=i+1 5) Vaihtokelpoiste tapauste uioi: P Ai = PIA i A j M + - H-1L i+1 i i A j j=1 P 6) Toisesa poissulkevie tapauste uioi: P Ai = PHAi L (summakaava) 7) Riippumattomie tapauste uioi: P Ai = 1 - P HA c i L Leikkauksee liittyviä kaavoja: 8) Kahde tapaukse leikkaus: PHA BL = PHAL PHB AL = PHA BL PHBL 9) Yleie leikkaus: P Ai = PHA 1 L PHA 2 A 1 L PHA 3 A 1 A 2 L ÿ ÿ ÿ 10) Riippumattomie tapauste leikkaus: P Ai = PHAi L (tulokaava) Ehdollisee todeäköisyytee liittyviä kaavoja: 11) Ehdollie todeäköisyys: PHA BL = PHA BL PHBL 12) Kokoaistodeäköisyyskaava: PHBL = PHB Ai L PHA i L 13) Bayesi kaava: PHA k BL = PHB A kl PHA k L PHBL Ole tarkka todeäköisyyksie yhteelaskussa ja kertomisessa: Todeäköisyyksie yhteelasku ja kertomie: Jos lasket todeäköisyyksiä yhtee, ii tapauste o oltava toisesa poissulkevat (kaava 6). Jos kerrot todeäköisyyksiä, ii joko tapauste o oltava riippumattomat (kaavat 7 ja 10) tai tulo tekijöide o oltava ehdollisia todeäköisyyksiä (kaavat 8, 9, 12 ja 13).

Aikaisemmi maiitut kuusi ohjetta auttavat pääsemää oikeaa lopputuloksee. Ku todeäköisyys o laskettu, o kuiteki syytä vielä kiiittää huomiota tulokse oikeellisuutee. Todeäköisyyksiä voi tarkistaa seuraavilla tavoilla: Todeäköisyyksie tarkistamie: 0 PHAL 1. PHA i L = 1, jos 8A 1,, A < o W: partitio; tämä o s. summatesti. Jos siis tapaukset muodostavat W: partitio ja olet laskeut kaikkie tapauste todeäköisyydet, ii todeäköisyyksie summa täytyy olla tasa 1. Vaikka kysytää vai yhde tai muutama tapaukse todeäköisyyttä, ii laske kaikkie toisesa poissulkevie tapauste todeäköisyydet, jotta voit käyttää summatestiä. Laske yleise todeäköisyyde arvo joissaki erikoistapauksissa, joissa todeäköisyyde pystyy varmasti laskemaa oikei. Mieti, tutuuko tulos järkevältä (mutta muista kuiteki, että todeäköisyyslaskeassa o yllättäviäki tuloksia). Arvioi todeäköisyyttä simuloimalla tehtävä tilaetta tietokoee avulla ja vertaa arviota todeäköisyyde laskettuu arvoo. Tutki kirjallisuutta ja kysy euvoa. 23

1.5 Riippumattomuus 24 1.5.1 Leikkaukse todeäköisyys Lause 1.19 Seuraavat kaavat pätevät, jos iissä esiityvät ehdolliset todeäköisyydet ovat olemassa. a) PHA BL = PHAL PHB AL, PHA BL = PHA BL PHBL; b) PHA B CL = PHAL PHB AL PHC A BL; c) PHA B C DL = PHAL PHB AL PHC A BL PHD A B CL; d) PH A i L = PHA 1 L PHA 2 A 1 L PHA 3 A 1 A 2 L ÿ ÿ ÿ PHA A 1 A -1 L i-1 0 = P Ai Aj [määritellää P A 1 Aj = P HA 1 L] j=1 Esimerkki 1.34 Noppaa heitetää kerra. Olkoo E = silmäluku o parillie ja V = silmäluku o korkeitaa 5. Lasketaa tapaukse E V todeäköisyys kolmella tavalla. j=1 Esimerkki 1.35 Luokassa o 7 tyttöä ja 5 poikaa. Satuaiset 3 oppilasta asettuvat jooo. Millä todeäköisyydellä tytöt ja pojat vuorottelevat joossa? Olkoo V = tytöt ja pojat vuorottelevat joossa, T i = joo i:s oppilas o tyttö ja P i = joo i:s oppilas o poika. Esimerkki 1.36 a) Avaiipussa o avaita. Avaimia kokeillaa peräjälkee, kues oikea avai löytyy; kokeillut avaimet pidetää erillää kokeilemattomista. Millä todeäköisyydellä vasta k:s avai o oikea? Olkoo O k = vasta k:s avai o oikea ja V i i:s avai o väärä. b) Oletetaa sitte, että kokeiltu avai sekoitetaa aia ippuu. 1.5.2 Kahde tapaukse riippumattomuus Ehdollie todeäköisyys PHA BL riippuu yleisesti B:stä, ts. PHA BL o eri kui PHAL. Toisiaa o kuiteki PHA BL = PHAL. Tällöi o luotevaa saoa, että tapaus A o riippumato tapauksesta B, sillä tieto tapaukse B sattumisesta ei vaikuta mitekää tapaukse A todeäköisyytee. Jos o PHA BL = PHAL, ii o myös PHB AL = PHBL. Näi olle myöski tapaus B o riippumato tapauksesta A. Voidaa siis saoa, että jos PHA BL = PHAL, ii tapaukset A ja B ovat riippumattomat. Kaava PHA BL = PHAL voitaisiiki ottaa tapauste riippumattomuude määritelmäksi, mutta yleisesti käytetty määritelmä o kuiteki seuraava: PHA BL = PHAL PHBL. Kaavat PHA BL = PHAL ja PHA BL = PHAL PHBL ovat imittäi ekvivaletit. Määritelmä 1.7 Tapaukset A ja B ovat riippumattomat, jos PHA BL = PHAL PHBL. Jos tapaukset eivät ole riippumattomat, e ovat riippuvat. Tapauste A ja B riippumattomuutta voidaa merkitä A B.

25 Esimerkki 1.37 a) Noppaa heitetää kaksi kertaa. Olkoo E = 1. tulos o eljä ja S = silmälukuje summa o 6. b) Noppaa heitetää edellee kaksi kertaa. Olkoo yt E = 1. tulos o eljä ja S = silmälukuje summa o 7. Lause 1.20 Jos tapaukset A ja B ovat riippumattomat, ii samoi ovat A ja B c, A c ja B sekä A c ja B c. Huomautus 1.6 Tapauste A ja B riippumattomuus eli PHA BL = PHAL PHBL ja toisesa poissulkevuus eli A B = «ovat aiva eri asioita. Kummastakaa omiaisuudesta ei seuraa toie omiaisuus. Jos esimerkiksi tapaukset ovat toisesa poissulkevat, ii silloi tapaukset ovat selvästi riippuvat: jos toie sattuu, ii toie ei voi sattua. Jos taas tapaukset ovat riippumattomat, ii eivät e välttämättä sulje toisiaa pois. 1.5.3 Kolme tapaukse riippumattomuus Saotaa, että tapaukset A, B ja C ovat parittai riippumattomat, jos PHA BL = PHAL PHBL, PHA CL = PHAL PHCL, PHB CL = PHBL PHCL. Esimerkki 1.38 Olkoo W = 81, 2, 3, 4< ja oletetaa, että kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset. Olkoo A = 81, 2<, B = 81, 3< ja C = 83, 4<. Kolme tapaukse varsiaisee riippumattomuutee vaaditaa parittaie riippumattomuus ja myös kolmittaie riippumattomuus: Määritelmä 1.8 Tapaukset A, B ja C ovat riippumattomat, jos seuraavat ehdot toteutuvat: PHA BL = PHAL PHBL, PHA CL = PHAL PHCL, PHB CL = PHBL PHCL, PHA B CL = PHAL PHBL PHCL. Esimerkki 1.39 Olkoo W = 81, 2, 3, 4< ja oletetaa, että kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todeäköiset. Olkoo A = 81, 2<, B = 81, 3< ja C = 81, 4<. Lause 1.21 Jos tapaukset A, B ja C ovat riippumattomat, ii A o riippumato kaikista tapauksista, jotka o muodostettu tapauksista B ja C.

26 1.5.4 Useamma tapaukse riippumattomuus Määritelmä 1.9 Tapaukset A i, i = 1,,, ovat riippumattomat, jos seuraavat ehdot toteutuvat: PIA i A j M = PHA i L PIA j M kaikilla i < j, PIA i A j A k M = PHA i L PIA j M PHA k L kaikilla i < j < k, ª P HA 1 A 2 A L = PHA 1 L PHA 2 L ÿ ÿ ÿ PHA L. Riippumattomuude määritelmiä 1.7, 1.8 ja 1.9 voidaa käyttää kahdella tavalla: Määritelmie avulla voidaa testata, ovatko aetut tapaukset riippumattomat. Jos aettuje tapauste riippumattomuus o selvää, ii määritelmie kaavoja voidaa käyttää leikkauste todeäköisyyksie laskemisee. Näistä jälkimmäie käyttötapa o paljo yleisempi ja tärkeämpi. Seuraavaa lauseesee o koottu leikkaukse ja uioi todeäköisyyksie kaavat siiä erikoistapauksessa, että tapaukset ovat riippumattomat. Lause 1.22 Jos tapaukset A i, i = 1,,, ovat riippumattomat, ii a) P Ai = PHAi L (tulokaava). b) P Ai = 1 - PHAi L. Riippumattomuutta voidaa erityisesti soveltaa, jos tehdää riippumattomia kokeita. Voitaisii imittäi osoittaa seuraa luoollie tulos: Oletetaa, että tehdää kaksi koetta E 1 ja E 2 riippumattomasti, ts. kummakaa kokee tulos ei vaikuta toise kokee tuloksee. Jos tapaus A 1 määräytyy täysi kokeesta E 1 ja tapaus A 2 kokeesta E 2, ii tapaukset A 1 ja A 2 ovat riippumattomat. Esimerkki 1.40 Tiettyä koetta toistetaa riippumatomasti. Kuki koe oistuu todeäköisyydellä p; olkoo q = 1 - p. Merkitää O i = i:s koe oistuu ja E i = i:s koe epäoistuu. Lause 1.23 Oletetaa, että koetta toistetaa riippumattomasti ja kuki koe oistuu todeäköisyydellä p. Olkoo q = 1 - p. a) Jos koe toistetaa kertaa ja X oistueide kokeide lukumäärä, ii PHX = kl = k pk q -k, k = 0, 1,,. b) Jos koe toistetaa, kues koe oistuu esimmäise kerra, ja X = tarvittavie kokeide lukumäärä, ii PHX = kl = q k-1 p, k = 1, 2, c) Jos koe toistetaa, kues koe oistuu :e kerra, ja X = tarvittavie kokeide lukumäärä, ii PHX = kl = k - 1-1 p q k-, k =, + 1,

27 Esimerkki 1.41 Esimerkki 1.42 Kolme metsästäjää ampuu samaa jäistä täsmällee samaaikaisesti. Oletetaa, että osumiset ovat riippumattomat. Metsästäjie osumistodeäköisyydet ovat 0.01, 0.05 ja 0.08. Käytetää sellaista merkitätapaa, että esimerkiksi 1 2 3 c tarkoittaa tapausta, että 1. ja 2. metsästäjä osuvat mutta 3. ei. Esimerkki 1.43 Tarkastellaa systeemiä, joka koostuu kompoetista. Olkoo A i = i:s kompoetti toimii ja A = systeemi toimii. Oletetaa, että kompoetit toimivat toisistaa riippumatta. Todeäköisyys PHA i L, että kompoetti toimii, o kompoeti luotettavuus. Todeäköisyys PHAL, että systeemi toimii, o systeemi luotettavuus. Saotaa, että systeemi o sarjasysteemi, jos systeemi toimii vai silloi, ku kaikki kompoetit toimivat. Jos yksiki kompoetti o rikki, ii systeemi ei toimi. Saotaa, että systeemi o riakkaissysteemi, jos systeemi toimii ii kaua, kui yksiki kompoetti toimii. 1.5.5 Ehdollie riippumattomuus Jos PHA B CL = PHA CL, ii tutuisi luotevalta saoa, että A o ehdollisesti riippumato B:stä ehdolla C. Jos o PHA B CL = PHA CL, ii o myös PHB A CL = PHB CL. Näi olle myöski B o ehdollisesti riippumato A:sta ehdolla C. Voidaa siis saoa, että jos PHA B CL = PHA CL, ii tapaukset A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C. Kaava PHA B CL = PHA CL voitaisiiki ottaa tapauste ehdollise riippumattomuude määritelmäksi, mutta yleisesti käytetty määritelmä o kuiteki seuraava: PHA B CL = PHA CL PHB CL. Kaavat PHA B CL = PHA CL ja PHA B CL = PHA CL PHB CL ovat imittäi ekvivaletit. Määritelmä 1.10 Tapaukset A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C, jos PHA B CL = PHA CL PHB CL. Lause 1.24 Jos tapaukset A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C, ii samoi ovat A ja B c, A c ja B sekä A c ja B c. Huomautus 1.7 a) Jos A ja B ovat riippumattomat, ii siitä ei seuraa, että A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C. Jos A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C, ii siitä ei seuraa, että A ja B ovat riippumattomat. b) Jos A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C, ii siitä ei seuraa, että A ja B ovat ehdollisesti riippumattomat ehdolla C c. Esimerkki 1.44 Hemofiliatautii eli verevuototautii voivat sairastua vai miehet, mutta aiset voivat olla taudi katajia. Jos äiti o kataja, ii häe jokaisella pojallaa o 50 proseti mahdollisuus saada tauti. Jos äiti ei ole kataja, ii yksikää poika ei voi saada tautia. Tyttärillä o mahdollisuus olla taudi katajia. Esimerkki 1.45 Potilaa oireide perusteella lääkäri arvelee, että potilaalla o tietty maksasairaus todeäköisyydellä 2 ê 3. Asiaa tutkitaa kahdella testillä. Testi A ataa väärä positiivise tulokse todeäköisyydellä 0.1 ja väärä egatiivise tulokse todeäköisyydellä 0.05. Testi B vastaavat todeäköisyydet ovat 0.05 ja 0.08. Oletetaa, että testit ovat riippumattomat. Jos kumpiki testi ataa positiivise tulokse, ii millä todeäköisyydellä potilaalla o sairaus?

1.6 Lisää todeäköisyydestä 28 1.6.1 Todeäköisyyde jatkuvuus Saotaa, että tapausjoo 8A i, i 1< o kasvava, jos A 1 Õ A 2 Õ. Tällaiselle tapausjoolle määritellää, että joukolla lim iø A i tarkoitetaa joukkoa A i. Saotaa, että tapausjoo 8A i, i 1< o väheevä, jos A 1 É A 2 É. Tällaiselle tapausjoolle määritellää, että joukolla lim iø A i tarkoitetaa joukkoa A i. Seuraava lause osoittaa, että P o mootoisesti jatkuva fuktio. Lause 1.25 Jos 8A i, i 1< o joko kasvava tai väheevä tapausjoo, ii PKlim iø A i O = lim PHA i L. iø Esimerkki 1.46 Osoitetaa, että ku rahaa heitetää toistuvasti, ii todeäköisyys saada kruua jossai vaiheessa o 1. Esimerkki 1.47 Osoitetaa, että ku rahaa heitetää toistuvasti ja s o joki aettu k: heito joo, ii todeäköisyys saada s jossai vaiheessa o 1. Tämä tulos osoittaa siis, että mikä tahasa rahaheito tulosjoo, esim. sellaie, jossa o miljooa kruuaa peräkkäi, esiityy loputtomassa heittosarjassa eemmi tai myöhemmi todeäköisyydellä 1. Tällaise tulokse esiitymise jälkee heittämie kuiteki jatkuu loputtomasti, jote voidaa saoa, että mikä tahasa rahaheito tulosjoo esiityy loputtomassa heittosarjassa äärettömä mota kertaa todeäköisyydellä 1. 1.6.2 Todeäköisyysavaruus Aikaisemmi tällä kurssilla o ymmärretty, että tapaus o mikä tahasa alkeistapauste joukko. O kuiteki osoittautuut, että tämä tapaukse määritelmä o hiuka liia väljä. O imittäi olemassa tapausavaruuksia, joissa o sellaisia osajoukkoja, joille aksiooma A3 s-additiivisuus ei ole voimassa. Näi olle o tietyissä tapauksissa rajoitettava iide tapausavaruude osajoukkoje lukumäärää, joille todeäköisyys määritellää. Parhaaksi meettelyksi o osoittautuut se, että todeäköisyys määritellää sellaisille tapauksille, jotka kuuluvat sopivasti valittuu s-algebraa F. Saotaa, että tapauste luokka F o s-algebra, jos sillä o seuraavat kaksi omiaisuutta: 1. Jos A œ F, ii A c œ F. 2. Jos A i œ F, i = 1, 2,, ii A i œ F. Voidaa osoittaa, että s-algebralla o myös seuraavat omiaisuudet: 3. «œ F, W œ F. 4. Jos A i œ F, i = 1, 2,, ii A i œ F.

Mikä o sopiva s-algebra, jolle todeäköisyys määritellää? Jos W koostuu äärellisestä tai umeroituvasti äärettömästä joukosta alkeistapauksia, ii s- algebraksi voidaa valita W: kaikkie osajoukkoje joukko (voidaa osoittaa, että se o s-algebra). Jos esimerkiksi rahaa heitetää kerra, ii W = 8R, L<. s-algebraksi voidaa valita kaikkie osajoukkoje joukko F = 8«, R, L, W<. Jos W koostuu yliumeroituvasti äärettömästä joukosta alkeistapauksia, ii W: kaikkie osajoukkoje joukko o liia suuri s-algebra: kaikille tämä s-algebra joukoille ei voida kuolla määritellä todeäköisyyttä. Tyypillisesti kyse o reaaliakselista tai se jostai osasta. O osoittautuut, että tällöi s-algebraksi kaattaa valita se s-algebra, jossa o mukaa kaikki välit H-, ad sekä tällaiste välie komplemetit ja (äärelliset ja umeroituvasti äärettömät) uioit ja leikkaukset. Tätä s-algebraa saotaa Boreli s-algebraksi. Saotaa myös, että kyseessä o välie H-, ad geeroima s-algebra eli piei s-algebra, joka sisältää välit H-, ad sekä tällaiste välie komplemetit ja (äärelliset ja umeroituvasti äärettömät) uioit ja leikkaukset. Tämä s-algebra joukkoja saotaa Borel-joukoiksi. Ku o määritelty W, F ja P, ii puhutaa todeäköisyysavaruudesta HW, F, PL. Tässä siis W o tapausavaruus; se alkiota saotaa alkeistapauksiksi; F o W: osajoukkoje s-algebra; se alkiota saotaa tapauksiksi; P o todeäköisyys eli fuktio F Ø @0, 1D, joka toteuttaa aksioomat A1 A3 kaikille tapauksille A œ F. 29 1.6.3 Todeäköisyyksie määräämie Todeäköisyyde aksioomat ja iistä johdetut laskusääöt atavat vai kahde tapaukse todeäköisyydelle tiety umeroarvo PH«L = 0 ja PHWL = 1, mutta muute e vai kertovat, mite joki tapaukse todeäköisyys voidaa laskea joideki muide tapauste todeäköisyyksie avulla; esim. PHAL = 1 - PHA c L, PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL. Laskusäätöje avulla voidaa siis todeäköisyyksiä muokata toisii muotoihi, mutta lopulta tullaa vaiheesee, jossa pitää ataa joideki tapauste todeäköisyyksille umeroarvot, jos tarkasteltava tapaukse todeäköisyydelle halutaa umeroarvo. Todeäköisyyksille voidaa määrätä umeroarvoja kolmella tavalla: todeäköisyyksie yhtäsuuruude avulla, suhteelliste frekvessie avulla, subjektiivise arvioii avulla. Todeäköisyyksie yhtäsuuruus Jos tulosmahdollisuudet ovat W = 8w 1,, w < ja kuki tulokse todeäköisyys o yhtä suuri, ii aksiooma A2 ja lausee 1.10 a-kohda mukaa 1 = PHWL = PH w i L = PHw i L = PHw i L, jote PHw i L = 1 kaikilla i. Jos A = 8w i1,, w ik <, ii lausee 1.10 a-kohda mukaa k PHAL = j=1 PIw ij M = k. Näi o päädytty klassise todeäköisyyde mukaisee kaavaa, joka mukaa todeäköisyys o suotuisie alkeistapauksie lukumäärä suhde kaikkie alkeistapauksie lukumäärää.

30 Suhteelliset frekvessit Jos tulosmahdollisuudet eivät ole yhtä todeäköiset, voidaa kokeide tai tilastoje avulla laskea tapauksille suhteellisia frekvessejä; iitä voidaa pitää todeäköisyyksie likiarvoia. Ku o esimerkiksi laskettu tietyllä aikavälillä sytyeide poikie ja kaikkie sytyeide laste lukumäärie suhde, o poja sytymä todeäköisyydelle saatu likiarvo 0.51. Jotta suhteelliste frekvessie avulla saataisii luotettava todeäköisyyde arvio, ii kokeita tai tilastoarvoja tarvitaa paljo. Seuraavassa o Mathematica-ohjelma avulla simuloitu rahaheittoa 10 000 kertaa ja piirretty, mite kruuie suhteellie frekvessi kehittyy, ku heittoje lukumäärä kasvaa: ListLiePlot@Accumulate@RadomChoice@80, 1<, 10 000DD ê Rage@10 000D, AxesOrigi Ø 80, 0.5<D 0.515 0.510 0.505 0.495 2000 4000 6000 8000 10 000 0.490 0.485 Vielä 10 000 heito jälkeeki kruua todeäköisyyde arvio o iiki huoo kui 0.505. Eri simulotikerroilla tulos voi vaihdella paljoki; seuraavassa simulaatiossa satutaa saamaa parempi todeäköisyyde arvio: ListLiePlot@Accumulate@RadomChoice@80, 1<, 10 000DD ê Rage@10 000D, AxesOrigi Ø 80, 0.5<D 0.53 0.52 0.51 0.49 2000 4000 6000 8000 10 000 0.48

31 Mitä eemmä o käytettävissä tilastoarvoja, se luotettavampi o suhteellie frekvessi todeäköisyyde arvioa. Tämä voidaa myös todistaa todeäköisyyslaskea tuloste avulla. Kurssilla Todeäköisyyslasketa II esitetää Beroulli lause, joka mukaa tapaukse suhteellie frekvessi suppeee todeäköisyysmielessä kohti tapaukse todeäköisyyttä, ku kokeita tehdää yhä eemmä ja eemmä. Subjektiivie arvioiti Tiettyje tapauste todeäköisyyksiä voidaa arvioida myös subjektiivisesti. Esimerkiksi lääkäri voi saoa, että tietty potilas selviytyy sairaudesta todeäköisyydellä 0.8. Tämä arvio perustuu osittai lääkäri lukemii tutkimuksii aiheesta, osittai lääkäri omii kokemuksii aikaisemmista vastaavatapaisista tapauksista ja osittai lääkäri subjektiivisee arvioo kyseisestä potilaasta. Tällaie subjektiivie todeäköisyys ilmaisee hekilö uskomukse siitä, että tapaus sattuu. Joku voisi saoa esimerkiksi, että lähde lauataia lekille todeäköisyydellä 0.9. Subjektiivisessaki todeäköisyydessä o usei osittai mukaa frekvessiajattelua. Kokemukse mukaa esimerkiksi tietylaie potilas o useimmite selviytyyt, jote o hyvi todeäköistä, että äi tapahtuu tämäki potilaa kohdalla, tai hekilö o lauataisi useimmite käyyt lekillä, jote o hyvi todeäköistä, että äi tapahtuu seuraavaaki lauataia.

2 Satuaismuuttujat 32 2.1 Diskreetti satuaismuuttuja 2.1.1 Jakauma- ja todeäköisyysfuktio Esimerkki 2.1 Määritelmä 2.1 Satuaismuuttuja X otosavaruudessa W o fuktio X: W Ø R. Satuaismuuttuja siis liittää kuhuki alkeistapauksee joki reaaliluvu. Mikä tämä reaaliluku o, riippuu siitä, mitä satuaismuuttuja halutaa kuvaava. Määritelmä 2.2 Satuaismuuttuja X o diskreetti, jos se voi saada vai äärellise tai umeroituvasti äärettömä määrä arvoja. Merkitää, että diskreeti satuaismuuttuja saamie arvoje joukko o K. Diskreeteillä satuaismuuttujilla muotoa PHX = kl olevat todeäköisyydet ovat tärkeimmät. Näille todeäköisyyksille määritellää fuktio. Määritelmä 2.3 Diskreeti satuaismuuttuja X todeäköisyysfuktio o phkl = PHX = kl, k œ K. Käytetää myös imityksiä pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio (eglaissa käytetää usei termiä probability desity fuctio ja lyheettä pdf). Todeäköisyysfukiolla phkl o seuraavat omiaisuudet: 0 phkl 1, k œ K, kœk phkl = 1. Todeäköisyyslaskeassa halutaa usei laskea myös todeäköisyyksiä, jotka ovat muotoa PHX al, PHX > al ja PHa < X bl. Nämä voidaa kaikki ilmaista muotoa PHX al olevie todeäköisyyksie avulla. Esiäki PHX > al = 1 - PHX al. Toiseksi jos a < b, ii PHX bl = PHx al + PHa < X bl, jote PHa < X bl = PHX bl - PHX al. Koska siis muotoa PHX al olevat todeäköisyydet ovat keskeisiä, o tälle todeäköisyydelle määritelty oma fuktio: Määritelmä 2.4 Satuaismuuttuja X jakaumafuktio o FHxL = PHX xl, x œ R. Käytetää myös imityksiä kumulatiivie jakaumafuktio ja kertymäfuktio (eglaissa käytetää usei termiä cumulative distributio fuctio ja lyheettä cdf). Huomaa, että todeäköisyysfuktio määritellää vai pisteissä k œ K mutta jakaumafuktio kaikilla x œ R.