6 Solmu /08 Moiulotteisuude ihmeitä: Shpiro syklie epäyhtälö Es V Veslie Mtemtik oh sttistik Åo Akdemi Edellisessä Solmu umeross rtikkeliss [7] kerrottii Nesitti epäyhtälöstä: Nesitti epäyhtälö Jos j ovt positiivisi relilukuj ii + + + 3 Tämä o eräs klssisimmist esimerkeistä loistvist mtemttisist ogelmist Ogelm o tyylikäs helppo muotoill j ymmärtää j se voi rtkist lukuisill eri tvoill j kuiteki mikää iv yksikertie ide ei toimi v joti hiem epätrivili rtkisu etee o pkko tehdä rtkisutvst riippumtt Tässä rtikkeliss trkstelemme Nesitti epäyhtälö yleistämistä usemmille muuttujille Korkemmiss ulottuvuuksiss tämä joht vrsi mielekiitoisee j yllättävää hvitoo j trjo toislt loistv tekosyy esitellä moi kuiit epäyhtälöihi liittyviä ideoit j tuloksi Cuhy Shwrzi epäyhtälö Aloitmme esi lkuperäisestä kolme muuttuj tpuksest jtke sitte eljä muuttuj tpuksee j siitä ylöspäi Eräs tehoks tp käsitellä ämä esimmäiset tpukset perustuu Cuhy Shwrzi epäyhtälöö mikä oki miiot sillä se o muuteki vrsi tärkeä epäyhtälö Se o myös esiityyt pitkä mtemtiik ylioppilskokeiss syksyllä 04 Cuhy Shwrzi epäyhtälö Jos o positiivie kokoisluku j jos j ovt relilukuj ii + + + + + + + + + Todistus Relilukuje eliöt ovt i epäegtiivisi Voimme site todist Cuhy Shwrzi epäyhtälö vikkp kirjoittmll vsemm j oike puole erotukse eliöide summ O hiem äppärämpää tehdä tämä erotukselle khdell kerrottu: k k l k k l k l l k k l + k l l k k k k k l k k l + l k k k l l k l k l l k 0 l l l
Solmu /08 7 Nesitti epäyhtälö Atkmme luksi Nesitti epäyhtälölle erilie todistus kui rtikkeliss [7] Tällä kert käytämme Cuhy Shwrzi epäyhtälöä Nesitti epäyhtälö todistus Todistukse jtukse o lisätä epäyhtälö vsemmlle puolelle sopiv ylimääräie tekijä j loitt käyttämällä Cuhy Shwrzi epäyhtälöä ii että ikävältä tutuvt imittäjät häviävät: Cuhy Shwrzi epäyhtälö muk + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Kosk lisäksi + + + + + + + tiedämme yt siis että + + j riittää eää todist että + + + + + + + + + + Mutt tämä viimeie seur suor Cuhy Shwrzi epäyhtälöstä sillä oh oltv + + + + + + Neljä muuttuj + + O luoollist kysyä voisiko Nesitti epäyhtälöä yleistää usemmille muuttujille jollki tvll? Osoittutuu että tämä o mhdollist Esimerkiksi eljälle muuttujlle pätee seurv epäyhtälö Luse Jos j d ovt positiivisi relilukuj ii pätee + d + d + + d + Todistus Aloitmme jällee käyttämällä Cuhy Shwrzi epäyhtälöä jok ojll voimme rvioid + d + d + + d + + + + d + d + + d + + d Kosk khdelle reliluvulle x j y i pätee o oltv x y 0 x + y xy Tällä khde muuttuj ritmeettis-geometrisell epäyhtälöllä voimme rvioid termeittäi että + d + d + + d + d + + + d + + + d + d + + d + d Yhdistämällä tämä iemp rvioo j sievetämällä sd hluttu epäyhtälö Viisi muuttuj + d + d + + d + Nyt o luoollist jtk kysymällä mitä viide muuttuj tilteess käy Osoittutuu että se toimii odotetulisesti: Luse Jos d j e ovt positiivisi relilukuj ii + d + d + e + d e + + e + 5 Todistus Aloitmme smoi kui iemmiki rvioimll esi Cuhy Shwrzi epäyhtälöllä + d + d + e + d e + + e + + d + e + d + d + e + de + d + e + e Kertomll eliö + d + e uki voimme jtk + + + + d + e + e Riittää siis todist että + + + d + e + d + d + e + de + d + e + e
8 Solmu /08 Mutt tämä voi tehdä helposti vikkp Cuhy Shwrzi epäyhtälöä käyttäe kosk sehä muk + + + d + e + + + + + + d + d + e + e + + + d + d + e + e + + + + d + d + e + de + d + e + e Kuusi muuttuj Miittkoo vielä että smlisi työklui pystyy todistm myös kuude muuttuj versio: Luse Jos d e j f ovt positiivisi relilukuj ii + d + d + e + d e + f + e f + + f 3 + Jätämme tämä todistmise lukij pohdittvksi Shpiro ogelm Vuo 954 Shpiro esitti kysymykse: päteekö kikille kokoisluvuille 3 j positiivisille reliluvuille epäyhtälö + 3 + 3 + 4 + + + + +? Tämä kysymys o tieteki vrsi luoollie yllä lueteltuje erikoistpuste vloss Lighthill osoitti että epäyhtälö ei päde 0 muuttuj tpuksess mikä vsi uude kysymykse siitä mille kikille muuttujie lukumäärille epäyhtälö pätee? Moie moituiste kääteide j useide mtemtikoide hkeroii jälkee lopulliseksi vstukseksi osoittutui että se pätee prillisille muuttujie lukumäärille j prittomille 3 Rkii j Drifeldi tulokset Tieteki yt voi kysyä kuik phsti epäyhtälö oikest epäoistuu isoill muuttujie lukumäärillä? O vrsi kiitois että Shpiro ogelm kltie ilmio kuiteki toteutuu kikill Rki imittäi todisti että jokisell kokoisluvull 3 löytyy vkio γ site että kikille positiivisille reliluvuille pätee + + + γ + 3 3 + 4 + j lisäksi että peräti γ γ missä γ 06094 Myöhemmi luvu γ rvoj prettii moee kert j o luoollist kysyä mikä o se prs mhdollie rvo Sokeri pohjll hluisimme kerto Fieldsi mitlisti Drifeldi vrsi uore löytämästä tuloksest jok kertoo luvu γ prh mhdollise rvo Nimittäi: Drifeldi luse Kikille Z + j positiivisille reliluvuille pätee + + + γ + 3 3 + 4 + missä γ o eräs tietty positiivie relivkio jolle γ 09893 Lisäksi tässä luku γ ei voi korvt millää isommll reliluvull Epäyhtälö oike puoli o siis vi reilu proseti pieempi kui Shpiro ehdottm! Aiomme lopuksi esittää todistukse tälle Drifeldi söpölle epäyhtälölle Sivuutmme kuiteki se osoittmise että tämä vkio γ rvo o tosi prs mhdollie Optimlisuude todistus o hiem työläs mutt jtus o vrsi yksikertie: Ku o ettu mielivltise piei positiivie reliluku ε vlit esi riittävä isoksi j sitte muuttujt site että epäyhtälö todistuksess jokie rvio o hyvi trkk Tällä tvll voi vlit luvut site että epäyhtälö vsemm puole lusekkee rvo o pieempi kui γ + ε/ Koveksit fuktiot Olkoot j relilukuj joille < Kutsumme relilukuje joukkoj ] [ ] [ j ] [ voimiksi väleiksi joukkoj ] ] [ ] j [ [ suljetuiksi väleiksi j joukkoj puolivoimiksi väleiksi [ [ j ] ] Määritelmä Olkoo I R joki väli Somme että fuktio f : I R o koveksi jos kikill λ [0 ] j kikill x y I pätee λfx + λ fy f λx + λ y Tässä määritelmässä esiityvä epäyhtälö soo että fuktio f kuvj pisteet x fx j y fy yhdistävä j ei käy kuvj lpuolell Käytäössä o usei helppo käyttää seurv kriteeriä
Solmu /08 9 Luse Olkoo I R voi väli j olkoo f : I R derivoituv fuktio Tällöi f o koveksi jos j vi jos derivtt f o ksvv fuktio Jos f o khdesti derivoituv ii se o koveksi jos j vi jos se toie derivtt ei s egtiivisi rvoj Kriteeri jälkimmäie os seur välittömästi edellisestä j edellie os o välirvolusee sovellus mutt sivuutmme yksityiskohdt Tässä o ehkä selvetävää huomt että derivt f ksvvuus trkoitt sitä että siirrettäessä pistettä x fx fuktio f kuvj pitki oikelle siihe piirretty kuvj tgetti voi kiertää vi vstpäivää mutt ei kosk myötäpäivää Esimerkkejä Fuktiot j x x : R R x e x : R R x x : R + R ovt koveksej Tämä voi hvit esimerkiksi siitä että iide derivtt j ovt ksvvi fuktioit Se sij fuktiot x x: R R x e x : R R x x : R + R 8 6 4-3 - - 0 3 8 6 4-3 - - 0 3 6 5 4 3 00 05 0 5 0 5 30 Lusekkeide x e x j /x määräämie fuktioide kuvjt Nämä kolme fuktiot ovt koveksej 0 05 j x si x: R R x x 3 + x : R R -6-4 - 4 6-05 eivät ole koveksej Tämä äkee vikkp siitä että -0 j si 0 + si π 0 + 0 0 < si π si 0 + π 0 05 3 + + 0 3 + 0 0 < 8 8 + 3 + 0 + 0 4 + jolloi koveksisuude määritelmä ei päde erikoistpuksess λ / -5-0 -05 05 Lusekkeide si x j x 3 + x määräämie fuktioide kuvjt Nämä kksi fuktiot eivät ole koveksej -05-0
30 Solmu /08 Jesei epäyhtälö Toie tärkeistä työkluist joit trvitsemme Drifeldi epäyhtälö todistmisee o Jesei epäyhtälö jot käytämme todistukse viimeisessä skeleess Se o kuiteki vrsi vhv j tehoks työklu jote sille ktt omist joki verr ik Jesei epäyhtälö Olkoot I väli j f : I R koveksi fuktio Olkoo lisäksi Z + olkoot x x x relilukuj väliltä I j olkoot p p p relilukuj väliltä [0 ] site että p + p + + p Tällöi p fx + p fx + + p fx Erityisesti pätee fx + + fx fp x + p x + + p x x + + x f Todistus Jälkimmäie epäyhtälö tieteki seur edellisestä vlitsemll yksikertisesti p p p / jote riittää todist vi edellie Todistmme se iduktioll Tpus o itse siss trivili sillä silloi epäyhtälö molemmt puolet ovt yhtä suuret Tpus puolest o täsmällee sm kui koveksisuude määritelmä Oletet siis että olemme todisteet se jollki kokoisluvull eitää muuttuj tpuksess j olkoot x x x + lukuj väliltä I j olkoot p p p + lukuj väliltä [0 ] site että p + p + + p + Merkitää yksikertisuude vuoksi P p + + p jolloi p + P Todistmme Jesei epäyhtälö + muuttujlle soveltmll iduktio-oletukse muuttuj versiot j koveksisuude määritelmä khde muuttuj versiot: p fx + + p fx + p + fx + p P P fx + + p P fx + P fx + p x + + p x P f + P fx + P f P px + + p x + P x + P fp x + + p x + p + x + Esimerkkejä Jesei epäyhtälö käytöstä Ktsokmme pikisesti läpi pri yksikertist esimerkkiä Jesei epäyhtälö käytöstä: Kvdrttis-ritmeettie epäyhtälö Olkoo Z + j olkoot x x x positiivisi relilukuj Tällöi x + x + + x x + x + + x Todistus Olemme jo iemmi todeeet että fuktio x x : R R o koveksi Site Jesei epäyhtälö ojll x + + x x + + x mistä väite seurki ottmll eliöjuuret puolitti Aritmeettis-geometrie epäyhtälö Olkoo Z + j olkoot x x x positiivisi relilukuj Tällöi x + x + + x Todistus Merkitää esi x x x y log x y log x Ekspoettifuktio exp: R R o koveksi kute iemmi todettii Site Jesei epäyhtälö ojll eli e y + + e y x + + x kute pitiki Vkio γ rvo e y++y/ e y e y x x Vkio γ täsmällie määrittely Drifeldi epäyhtälössä o hiem hieosyie Määrittelemme pufuktio g : R R jost vdimme että gx e x j gx e x + e x/ kikill x R j lisäksi vdimme että g o koveksi Tällisell fuktioll o sellie omiisuus että Drifeldi epäyhtälö pätee vkioll γ g0 Ei ole hkl vkuuttu siitä että prs tp vlit g o ott miimi lusekkeide e x j /e x + e x/ määräämistä fuktioist j pikt origo ympäristöö ilmestyvä epäkoveksi os kuvjie yhteisellä tgetill
Solmu /08 3 Trkemmi o geometrisesti selvää että o olemss yksikäsitteie suor l jok sivu molempie fuktioide e x j /e x + e x/ kuvji lhlt Tämä suor sivu kuvj y e x josski pisteessä x y missä x > 0 j kuvj y /e x + e x/ josski pisteessä x y missä x < 0 Määrittelemme fuktio g kokreettisesti settmll /e x + e x/ ku x < x y y gx x x + y ku x x x j x x e x ku x > x 5 0 5 0 05-0 -05 05 0 5 0 Lusekkeide e x j /e x + e x/ kuvjt luvut josski järjestyksessä Tällöi + + + + + + + + + Todistus Jälkimmäie epäyhtälö seur helposti edellisestä vihtmll lukuje merkit jote riittää todist vi edellie Todistmme se iduktioll muuttujie lukumäärä suhtee Todistettv epäyhtälö pätee trivilisti ku muuttujie lukumäärä o Oletet sitte että kokoisluku o sellie että epäyhtälö pätee muuttujie lukumäärällä j olkoot relilukuj kute suuruusjärjestysepäyhtälö muotoiluss Oletet esi että ei ole suuri luvuist jolloi siis löytyy ideksi i { } jolle i j kikille j { } j i > Tällöi eli i i 0 i i + i + i eli lusekkee + + rvo ei pieee ku vihdmme luvut i j keskeää Site voimme olett että l kikille l { } Mutt tässä tpuksess todistettvss epäyhtälössä oike j vsemm puole viimeiset termit ovt yhtä suuret j se seur suor iduktiooletukse muuttuj suuruusjärjestysepäyhtälöstä Suuruusjärjestysepäyhtälö sovelluksi 08-05 05 Lusekkeide e x j /e x + e x/ kuvjie yhteie tgetti Ylempi leikkuspiste sijitsee pystykseli pisteessä Yhteie tgetti leikk pystykseli hiem lemmss pisteessä γ Vkio γ rvo epäyhtälössä o lähellä rvo siksi että kuvioo sytyvä kolmio o ii litteä Suuruusjärjestysepäyhtälö Toie trvittv työklu Drifeldi epäyhtälö todistmisee o suuruusjärjestysepäyhtälö: Suuruusjärjestysepäyhtälö Olkoo Z + j olkoot j relilukuj joille j Olkoot lisäksi Ee jtkmist äytämme pri esimerkkiä siitä mite suuruusjärjestysepäyhtälöä voi käyttää Luse Olkoot j positiivisi relilukuj Tällöi 3 + 3 + 3 + + Todistus Olkoot luvut j missä ths suuruusjärjestyksessä Tällöi luvut j ovt myös smss suuruusjärjestyksessä Esimerkiksi jos o isoi luvuist j ii silloi o isoi luvuist j Ti jos esimerkiksi o toiseksi piei luvuist j ii silloi o toiseksi piei luvuist Kosk lukuje j lukuje suuruusjärjestykset ovt smt o siis suuruusjärjestysepäyhtälö muk oltv + + + + 3 + 3 + 3
3 Solmu /08 Luse Olkoot j positiivisi relilukuj Tällöi + + 3 + 3 + 3 Todistus Symmetri vuoksi voimme olett että Tällöi myös 3 3 3 j toislt myös j j jolloi voimme sovelt suuruusjärjestysepäyhtälöä khdesti rvioidksemme 3 + 3 + 3 3 + 3 + 3 + + + + + + Drifeldi epäyhtälö todistus Todistkmme lopuksi Drifeldi epäyhtälö häe om rgumetti [] seurte Eli olkoo Z + j olkoot positiivisi relilukuj Määritellää yksikertisuude vuoksi S + + + + 3 3 + 4 + Tvoitteemme o osoitt että S γ g0 missä g o iemmi määrittelemämme koveksi fuktio Aloitmme muuttujvihdoll 3 jolloi j S 3 + + 3 + + 3 3 + + + 4 + 3 + + + 3 4 3 + + + 3 + + + + Olkoot seurvksi luvut luvut järjestettyä uudellee ii että Tällöi luvut j luvut + + + ovt smss suuruusjärjestyksessä jolloi suuruusjärjestysepäyhtälö ojll S + + + + + + l + l+ l Lisäämme lusekkee symmetri hiem kirjoittmll vielä S l + l+ l l + l+ + l + l+ l l l + l+ + l+ + l l l l + l+ + l+ + l l Otmme käyttöö jällee uudet muuttujt settmll d l l l+ jokiselle l { } jolloi siis Lisäksi d d d d d d Lisäksi setmme e l l + l+ + l+ + l jokiselle l { } jolloi siis S e l l Kiiitetää seurvksi l { } j trkstell yhtä termiä e l Esiäki e l l+ + l+ l + l + l l+ l l+ + l+ + l + l + l+ + d l d l + l + l+ d l + d l + l + l+
Solmu /08 33 Tästä seur että jos d l ii silloi sulkeide sisällä toie termi o selvästi epäegtiivie jolloi e l d l Jos ts d l < ii silloi sulkeide sisällä toie termi o egtiivie j kosk Cuhy Shwrzi epäyhtälöllä voimme rvioid + l + l+ + l l+ + d l smme termille e l rvio e l + d l d dl + l + dl d l dl + d l d l dl + d l + d l Nyt voimme siis rvioid S e l l l d l d l + l d l < d l + d l Tehkäämme vielä viimeie muuttujvihto settmll jolloi x log d x log d x log d x + x + + x log d d d log 0 Näide uusie muuttujie vull voimme kirjoitt viimeise rviomme muodoss S l x l 0 e x l + l x l <0 e x l + e x l / Kosk e x gx j /e x + e x/ gx kikill x R voimme edellee rvioid S gx l l Lopuksi kosk g oli koveksi fuktio voimme Jesei epäyhtälöllä rvioid S l j olemme vlmiit gx l g x + x + + x g0 Ogelmi pohdittvksi Ogelm Olkoot j positiivisi relilukuj Osoit että + + + + Ogelm Olkoot j positiivisi relilukuj Osoit että 4 + 4 + 4 + + Ogelm 3 Olkoot j positiivisi relilukuj Osoit että + + + + + Ogelm 4 Olkoot α β j γ kolmio kulmt rdieiss Osoit että t α + t β + t γ 3 Ogelm 5 Olkoot α β j γ kolmio kulmt Osoit että si α + si β + si γ 3 3 Ogelm 6 Todist että jos p [ [ jos Z + j jos x x x ovt positiivisi relilukuj ii p x p + xp + + xp x + x + + x Ogelm 7 Osoit potessikeskirvoje epäyhtälö: Jos r j s ovt positiivisi relilukuj joille r s jos Z + j jos x x x ovt positiivisi relilukuj ii r x r + x r + + xr x s s + x s + + xs Ogelm 8 Olkoot d e j f positiivisi relilukuj Osoit että Lähteet + d + d + e + d e + f + e f + + f 3 + Alkuperäie lähde Nesitti epäyhtälölle o [] j Shpiro ogelmlle [] Shpiro ogelm vrhisemp histori o lyhyesti esitelty kirj [0] kppleess j myöhempää histori eriomisess rtikkeliss [] Drifeldi todistust voi ihmetellä vikkp häe lkuperäise rtikkelis kääöksestä [] egliksi Klssisi epäyhtälöitä o käsitelty moie muide teoste ohell kirjoiss [8 0 3] Solmu sivuill rtikkeleiss [3 4 5 6] j Iteretissä vikkp mtemtiik olympivlmeukse mterilisivuill [9 4]
34 Solmu /08 Viitteet [] Clusig A: A review of Shpiro s yli iequlity kokoomteoksess [5] 7 3 [] Drifel d V G: A yli iequlity Mthemtil Notes 9 97 68 7 [3] Ervll-Hytöe A-M: Aritmeettie j geometrie keskirvo Solmu /06 7 30 [4] Hlmetoj M: Epäyhtälöistä os Solmu /00 4 [5] Hlmetoj M: Epäyhtälöistä os Solmu 3/00 8 [6] Hlmetoj M: Krmt epäyhtälö Solmu 3/03 4 8 [7] Lehtori K: Lumov yhtälö j hieo epäyhtälö Solmu /07 4 5 [8] Hug P K: Serets i Iequlities: volume si iequlities GIL Pulishig House 007 [9] Lpplie J j A-M Ervll-Hytöe: Epäyhtälöoppi mtemtiikkolympiliste tehtävii http://mtemtiikkkilpilutfi/ kirjllisuus/eykirjpdf [0] Mitriović D S: Alyti Iequlities Die Grudlehre der mthemtishe Wisseshfte 65 Spriger-Verlg 970 [] Nesitt A M: Prolem 54 Edutiol Times 3 903 37 38 [] Shpiro H S: Prolem 403 Ameri Mthemtil Mothly 6 954 57 [3] Steele J M: The Cuhy Shwrz Mster Clss A itrodutio to the rt of mthemtil iequlities MAA Prolem Books Cmridge Uiversity Press 004 [4] Vderlid P: Epäyhtälöide kieltämätö viehätys http://mtemtiikkkilpilutfi/ kirjllisuus/vderlidpdf [5] Wlter W toim: Geerl Iequlities 6 6th Itertiol Coferee o Geerl Iequlities Oerwolfh De 9 5 990 Itertiol Series i Numeril Mthemtis 03 Spriger 99 Solmu mtemtiikkdiplomit Solmu mtemtiikkdiplomit I X tehtäviee ovt tulostettviss osoitteess mtemtiikklehtisolmufi/diplomihtml Alimmt tsot ovt koulu lkuu ylimmissä riittää pohtimist lukiolisilleki Opettjille lähetetää pyyöstä vstukset koulu sähköpostii Pyyö voi lähettää osoitteesee juh piste ruokolie t yhoo piste om