DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän kappaleen kinetiikka: Liikemäärän ja liikemäärän momentin tase. Hyrräyhtälöt. Yleisten liikeyhtälöiden osat.

KERTAUS

KERTAUS: MEKANIIKAN PERUSLAIT Kinetiikka = liikkeen ja sen syyn (voimien ja niiden momenttien) tarkastelu. Liikemäärän taseen periaate: Kappaleen liikemäärän muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien voimien summa f = d (mv) = ṁv + m v = m v = ma dt Liikemäärän momentin taseen periaate: Kappaleen liikemäärän momentin muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien ulkoisten voimien aiheuttaminen momenttien summa m = l Lisäksi: massan säilymisen, energian taseen ja entropian kasvun periaatteet.

KERTAUS: LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE Peruskäsitteet ja määritelmät kirjoitettuna partikkelisysteemille: Ulkoisten voimien momentti*: m = Liikemäärän momentti: l = Liikemäärän momentin tase: r i F i r i m i v i m = dl dt (= l) *Tässä hieman sopimuksen vastaisesti merkintä: F i ulkoinen voimavektori Liikemäärän momentin tase pätee kaikille partikkelisysteemeille ja kappaleille (ääretön määrä partikkeleita), mutta on erityisen hyödyllinen jäykän kappaleen rotaatioiden tapauksessa, koska jäykän kappaleen pisteiden väliset etäisyydet ovat vakioita (massaominaisuudet saadaan temppuiltua vakioiksi).

KERTAUS: MASSAN VAIKUTUSMITAT Massa: m = m i Massakeskp.: ρ AC = 1 ρ m Ai m i J xx J xy J xz Hitausmatriisi: J = J yx J yy J yz J zx J zy J zz Edellä ominaisuudet esitetty mv. pisteen A suhteen: eli paikkavektori ρ Ai on vektori A:sta partikkeliin i. Nämä suureet kuvaavat jäykän kappaleen massan ja sen jakautumisen täydellisesti mekaniikan ongelmien tapauksessa (yhteensä kymmenen toisistaan riippumatonta parametria).

KERTAUS: MASSAN VAIKUTUSMITAT Esitys kappaleelle saadaan korvaamalla edelliset summat integraaleilla ja partikkelien massat massa-alkioilla (J:n ominaisuudet säilyvät samoina): J xx = y 2 + z 2 ρdv J xy = xyρdv J xz = xzρdv V V V J yx = yxρdv J yy = x 2 + z 2 ρdv J yz = yzρdv V V V J zx = zxρdv J zy = zyρdv J zz = x 2 + y 2 ρdv V Huomaa, että tässä siis koordinaatit x, y ja z ovat ihan oikeasti kappaleen jonkin pisteen paikkavektorin (mv. pisteen suhteen) komponentteja (ρ = xi + yj + zk)! Tärkeää: kannan valintaa ei ole tässä vielä rajoitettu - voidaan siis käyttää esim. kappalekoordinaatistoa tai välikoordinaatistoa (ja usein näin tehdäänkin)! V V

DYNAMIIKKA II: L6: JÄYKÄN KAPPALEEN KINETIIKKAA II Arttu Polojärvi

OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Ymmärtää missä eri tapauksissa erilaisia liikemäärän taseen ja kulmaliikemäärän taseen yhtälön muotoja voi soveltaa. Osaa soveltaa oikein hyrräyhtälöitä yksinkertaisten pyörivien jäykkien kappaleiden liikeyhtälöiden muodstamisessa. Tuntee kaikki tarpeelliset yksinkertaiset rakennuspalikat jäykän kappaleen liikeyhtälöiden muodostamiseseksi.

LIIKEMÄÄRÄ JA LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI

LIIKEMÄÄRÄN JA LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI: MÄÄRITELMIÄ Jäykän kappaleen liikkeen tarkasteluun tarvitsemme: Liikemäärä: p = m(v A + ω ρ AC ) Liikemäärän momentti 1: Liikemäärän momentti 2: = mv C l = J A ω l = ρ AC m v A + J A ω Liikemäärän momentti 1: kun piste A on massakeskipiste C tai kiinteä piste Liikemäärän momentti 2: kun piste A on mielivaltainen kappaleen piste Huomaa, että tässä massan vaikutusmitat mahdollistavat kompaktit yhtälöt! Ja jatkossa liikeyhtälöiden näppärän muodostamisen!

LIIKEMÄÄRÄ: JOHTO Tutumpi tapaus lienee kappaleen translaatioon liittyvä liikemäärä: p = m iv i = (v A + ω ρ Ai )m i = v Am i + ω ρ Ai m i = v A m + ω ρ AC m = (v A + ω ρ AC )m = mv C, jossa on käytetty sekä jäykän kappaleen partikkelin liikkeen yhtälöä v P = v A + ω ρ AP että massakeskipisteen määritelmää ρ AC = 1 ρ m Ai m i ρ AC m = ρ Ai m i Tuttu newtonin liikelaki saadaan tästä muistamalla ṁ = 0 (massatase): F = ṗ, jossa ṗ = d dt (mv C) F = ma C.

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI: JOHTO Luennolta 5 (ennen massan vaikutusmittoja) toivottavasti jossain määrin muistetaan liikemäärän momentin tase m = dl dt = d dt r i m iv i, josta avataan nyt oikea puoli jäykille kappaleille ja päädytään tarvitsemaan massan vaikutusmittoja! Aloitetaan taas partikkelisysteemillä, joka on jäykkä siten, että sen partikkeleiden massa säilyy koko ajan vakiona.

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI: JOHTO Rotaatiossa olevan jäykän partikkelisysteemin partikkelin i nopeus (luennolta 4) v i = ρ A + ω ρ Ai = v A + ω ρ Ai jossa v A = ρ A on mielivaltaisen partikkelisysteemin mukana liikkuvan siirtopisteen A nopeus ja ω partikkelisysteemin kulmanopeus. Sijoitetaan tämä edelle liikemäärän momentin määritelmään, jolloin saadaan l = = ρ Ai (m i v i ) = ρ Ai (v A + ω ρ Ai )m i ρ Ai m i v A + ρ Ai (ω ρ Ai )m i

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI: JOHTO Saatiin edellä kulmaliikemäärä muotoon l = ρ Ai m i v A + ρ Ai (ω ρ Ai )m i. Sijoitetaan tämän ensimmäiseen termiin massakeskipisteen määritelmä ρ AC = 1 m ρ Ai m i ρ Ai m i = ρ AC m jolloin yhtälö sievenee hiukan muotoon l = ρ AC m v A + ρ Ai (ω ρ Ai )m i Katsotaan sitten toista termiä (tästä tulee esiin hitausmatriisi).

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI: JOHTO Käytetään vektorikolmitulon määritelmää a (b c) = (a c)b (a b)c ja aukaistaan edellä vastaantullut vektorikolmitulo ρ Ai (ω ρ Ai ) = (ρ Ai ρ Ai )ω (ω ρ Ai )ρ Ai = (ρ Ai ρ Ai )ω (ρ Ai ω)ρ Ai Sijoitetaan tähän yhtälöön paikka- (pisteen A suhteen) ja kulmanopeusvektori ρ Ai = x i i + y i j + z i k ja ω = ω x i + ω y j + ω z k jolloin yhtälön termit saadan muotoon (tässä vaan sievennetään) (ρ Ai ρ Ai )ω (ρ Ai ω)ρ Ai = (x 2 i + yi 2 + zi 2 )(ω xi + ω yj + ω zk) (x i ω x + y i ω y + z i ω z )(x i i + y i j + z i k) = [(yi 2 + zi 2 )ω x x i y i ω y xz i ω z ]i + [ y ix iω x + (x 2 i + zi 2 )ω y y iz iω z]j + [ z ix iω x z iy iω y + (x 2 i + yi 2 )ω z]k

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI: JOHTO Ollaan melkein perillä - jatketaan kirjoittamalla yhtälöt matriisimuotoon (yi 2 + z 2 ) x iy i x iz i (ρ Ai ρ Ai )ω (ρ Ai ω)ρ Ai = y i x i (x 2 i + zi 2 ) y i z i z i x i z i y i (yi 2 + yi 2 ) Kerrotaan tulos m i sekä käyttämällä hitausmatriisin määritelmää (luento 5) (yi 2 + z 2 ) x i y i x i z i ω x m i y ix i (x 2 i + zi 2 ) y iz i ω y z i x i z i y i (yi 2 + yi 2 = J Aiω. ) ω z ω x ω y ω z. Muista, että J A pisteen A suhteen partikkelisysteemille saadaan summana J A = J Ai, koska yhdistetylle kappaleelle hitausmatriisi on kappaleiden (tässä: systeemin partikkeleiden) hitauksien summa.

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI: JOHTO Sijoittamalla edeltä saadaan siis liikemäärän momentin l termille ρ Ai (ω ρ Ai )m i = J Aiω = J Aω ja liikemäärän momentiksi mv. siirtopisteen A suhteen lopulta lauseke l = ρ AC m v A + J A ω. Huomautetaan taas, että jäykälle kappaleelle partikkelien määrä on ääretön, ja aiemmissa johdoissa voidaan korvata kaikki summat integraaleilla ( ) ja partikkelien massat korvataan massa-alkioilla ( dm = ρdv m i ). Lisäksi paikkavektori olisi muotoa ρ A = xi + yj + zk mutta edelleen saadaan l = ρ AC m v A + ρ A (ω ρ A )ρdv = ρ AC m v A + J A ω V

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI: ERI MUODOT Edellä siis saatiin jo varsin näppärän muotoinen lauseke l = ρ AC m v A + J A ω. Tämä yhtälö saadan vielä lyhyempään ja hyvin käyttökelpoiseen muotoon l = J Aω. jos siirtopisteeksi A valitaan (kuten käytännössä aina kannattaa valita): massakeskipiste eli A=C ( ρ AC = 0 ρ AC m v A = 0). kappaleen kiinteä piste ( v A = 0 ρ AC m v A = 0). Viimein voidaan katsoa jäykän kappaleen liikeyhtälöitä!

HYRRÄYHTÄLÖT

HYRRÄYHTÄLÖT: VÄLIKOORDINAATISTO Lähtien liikemäärän momentin taseen yhtälöstä m = dl dt, saadaan hyrräyhtälöt välikoordinaatistossa m ξ = I O ω ξ + Iω ζ Ω η I O ω η Ω ζ m η = I O ω η + I O ω ξ Ω ζ Iω ζ Ω ξ m ζ = I ω ζ + I O ω η Ω ξ I O ω ξ Ω η, joissa (huom! J O on oletettu diagonaaliseksi) Ulkoinen momentti: Välikoordinaatiston kulmanopeus: Kappaleen absoluuttinen kulmanopeus: m = m ξ e ξ + m η e η + m ζ e ζ Ω = Ω ξ e ξ + Ω ηe η + Ω ζ e ζ ω = ω ξ e ξ + ω ηe η + ω ζ e ζ hitausmatriisin J O alkiot (origon suhteen): J ξξ = J ηη = I 0 ja J ζζ = I ja on käytetty oletuksia Kappale on pyörähdyssymmetrinen (tai riittää J ξξ = J ηη) Välikoordinaatiston ζ-akseli yhtyy symmetria-akseliin.

HYRRÄYHTÄLÖT: JOHTO VÄLIKOORDINAATISTOSSA 1. Oletetaan viime luennon symmetria J O diagonaalinen ja vakio välikoord. 2. Valitaan mielivaltaiset kulmanopeudet Välikoordinaatisto: Kappale: Ω = Ω ξ e ξ + Ω ηe η + Ω ζ e ζ ω = ω ξ e ξ + ω η e η + ω ζ e ζ 3. Käytetään liikelakia (jossa m = m ξ e ξ + m η e η + m ζ e ζ ) m = l O 4. Edelliseen yhtälöön täytyy sijoittaa määritelmä l O = J O ω. 5. Ratkaistaan tarvittava derivaatta l O muistaen yhteys ė = Ω e (ja että J O on todellakin välikoordinaatistossa nyt vakio).

HYRRÄYHTÄLÖT: VÄLIKOORDINAATISTO Johdossahan kyseessä on vain liikemäärän momentin muutosnopeuden eri havainnot! Hyrräyhtälöt ovat oikeasti vain tulos muutosnopeuksien tarkastelusta ( ) ( ) dlo dlo ṁ = = + Ω l O, dt dt XY Z jossa alaindeksit viittaavat eri koordinaatiston havaintoihin (luento 4). Oletus: hitausmatriisi saatu vakioksi ξηζ-koordinaatiston suhteen. ξηζ

HYRRÄYHTÄLÖT: ESIMERKKI Luennolla 5 demotetun esimerkin ratkaisu: Oheisen kuvan sauvaan kiinnitetty levy on nivelöity kitkattomasti pisteeseen O. Kappale pyörii symmetria-akselinsa ympäri vakiokulmanopeudella ω s ja pystyakselin ympäri vakiokulmanopeudella ω p. Mikä tulee kulmanopeuskomponentin ω p olla, jotta sauva pysyisi vaakatasossa liikkeen aikana. Kappaleen massa on m ja sen hitausmomentti symmetria-akselin suhteen on I O? ks. Walter Levinin versio: http://www.youtube.com/watch?v=nexiv-wmvuk

HYRRÄYHTÄLÖT: VÄLIKOORDINAATISTO Hyrräyhtälöt välikoordinaatistossa m ξ = I O ω ξ + Iω ζ Ω η I Oω ηω ζ m η = I O ω η + I O ω ξ Ω ζ Iω ζ Ω ξ m ζ = I ω ζ + I O ω η Ω ξ I O ω ξ Ω η, voidaan kirjoittaa myös eulerin kulmien avulla m ξ = I O θ + (I IO ) ϕ 2 cθsθ + I Ψ ϕsθ d m η = I O dt ( ϕsθ) + (I O I) θ ϕcθ I θ Ψ m ζ = I d dt ( ϕcθ + Ψ), joissa siis vain pitää sijoittaa ensimmäisiin yhtälöihin kulmanopeuksien komponentit esitettyinä Eulerin kulmien avulla välikoordinaatistossa (luennolta 3). Täällä näistä ensimmäisiä kutsutaan nimellä kulmanopeusversio ja jälkimmäisiä hiukan vaihtelevalla nimellä Eulerin kulmat sisältävä versio tms.

HYRRÄYHTÄLÖT: ESIMERKKI Oheisen kuvan mukainen tela (säde r, massa m) pyörii pituusakselinsa ympäri vakiokulmanopeudella ω s. Samalla tela pyörii pystykaselin Z ympäri vakiokulmanopeudella ω p. Määritä telaan vaikuttavien ulkoisten voimien resultantti telan massakeskipisteen suhteen. Akselin AB pituus on 2b ja hitausmomentti pyörimisakselin suhteen I = mr 2 /2. Käytä hyrräyhtälöitä välikoordinaatistossa.

HYRRÄYHTÄLÖT: KAPPALEKOORDINAATISTO Luonnonllisesti liikelaista m = dl/dt saadaan myös hyrräyhtälöt kappalekoordinaatistossa m x = I O ω x + (I I O )ω y ω z m y = I O ω y + (I I O )ω x ω z m z = I ω z, joissa (huom! J O :n (diag.) alkiot luonnollisesti vakioita kappalekoord.) Ulkoinen momentti: Kappaleen absoluuttinen kulmanopeus: m = m x i + m y j + m z k ω = ω x i + ω y j + ω z k Hitausmatriisin J O alkiot (origon suhteen): J xx = J yy = I 0 ja J zz = I Jälleen kyseessä on oikeasti vain muutosnopeuksien tarkastelusta muodossa ( ) ( ) dlo dlo ṁ = = + ω l O, dt dt XY Z jonka avulla osaat johtaa yhtälöt itse (kannattaa johtaa - ei ole pitkä homma). xyz

HYRRÄYHTÄLÖT: KAPPALEKOORDINAATISTO Myös hyrräyhtälöt kappalekoordinaatistossa m x = I O ω x + (I I O )ω y ω z m y = I O ω y + (I I O)ω xω z m z = I ω z, voidaan kirjoittaa Eulerin kulmien avulla m x = I 0 d dt (θcψ + ϕsθsψ) + (I I 0 )( ϕsθcψ θsψ)( ϕcθ + Ψ) m y = I 0 d dt ( ϕsθcψ θsψ) (I I O)( θcψ + ϕsθsψ)( ϕcθ + Ψ) m z = I d dt ( ϕcθ + Ψ), joissa siis vain pitää sijoittaa ensimmäisiin yhtälöihin kulmanopeuksien komponentit esitettyinä Eulerin kulmien avulla kappalekoordinaatistossa (luennolta 3). Nimitykset taas kulmanopeusversio kappalekoordinaatistossa jne.

JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKEYHTÄLÖT

LIIKEYHTÄLÖIDEN MUODOSTAMINEN Yleisen jäykän kappaleen liikkeen yhtälöiden muodostaminen ulkomuistista on vaikeaa niiden monimutkaisuuden vuoksi. Kuitenkin meillä on nyt kaikki tarpeelliset yksinkertaiset ja jopa helpohkosti muistettavat rakennuspalikat niiden muodostamiseen! Massan vaikutusmitat, kulmanopeuden esitykset eri koordinaatistoissa, kappaleen partikkelin nopeuden esitykset, liikemäärä ja liikemäärän momentti, sekä liikelait f = ma ja m = dl/dt