Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta

Transkriptio

1 Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta Liikeyhtälön ratkaisu: kartioleikkaus (Kepler I r = k2 /µ + e cosf = a ǫ2 +ǫ cos f k = k ǫ < ellipsi, negativinen energia a = µ 2h ǫ = parabeli, nolla energia ǫ > hyperbeli, positiivinen energia a = µ 2h Kepler II: pintanopeus vakio da/dt = 2 r2 f = 2 k = vakio Kepler III 2 k = πab P P = 2π q a 3 µ Kepler I ja II yhtälö f = f(t, mutta ei ratkea suljetussa muodossa Keplerin yhtälön ratkaiseminen apusuure eksentrinen anomalia Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( Luonnollinen anomalia f = suuntakulma perisentristä Eksentrinen anomalia E = apusuure (E f, f E Keskianomalia M = apusuure, kasvaa tasaisesti ajan mukana Planeetan paikka radallaan hetkellä t, kun ǫ, a, t o tunnettu M = n(t t n = p µ/a 3 µ = G(M sun + M P lan 2 M = E ǫ sin E Keplerin yhtälö ratkaistaan M E iteroimalla 3 R = (x, y = A(cos E ǫ + B sin E ( A = a e x B = b e y b = a p ǫ 2 Tai vaihtoehtoisesti: R = (r cos f, r sin f jossa cos f = cos E ǫ ǫ cos E sin f = q ǫ 2 sin E ǫ cos E r = a( ǫ cos E Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

2 2.5.4 Keplerin yhtälön analyyttinen johto Ellipsiradan vektoriesitys: R = A(cos E ǫ + B sin E Derivoidaan ajan suhteen R = AĖ sin E + BĖ cos E k = R R = = abė (cos 2 E ǫ cos E + sin 2 E {z } ǫ cos E A = a e x B = b e y (cos E ǫė cos E A B sin E Ė sin E B A N A A = B B = A B = B A = ab N N A = B A B = radan normaalivekt. ( N k * k = k = abė( ǫ cos E = a 2p ǫ2 Ė( ǫ cos E toisaalta: parametri p = k2 = a( ǫ 2 µ {z } {z} ellipsin geom. liikevakiot ** k = p µa( ǫ 2 Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( Yhdistetetään yhtälöt * ja ** a 2p ǫ 2Ė( ǫ cos E = p µa( ǫ 2 sievennys Ė( ǫ cos E = q µ a 3 (hyödyllinen yhtälö kun halutaan muuttujanvaihto t E integroidaan E ǫ sin E = r µ a 3(t t {z } M eli E ǫ sin E = M (valittu E = kun M = Nyt välineet laskea planeetan sijainti radallaan: τ a x,y koordinaatit ǫ q M = µ a3(t τ K III 2 E ǫ sin E = M Keplerin yhtälö 3 R = A(cos E ǫ + B sin E Radan vektoriesitys Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

3 Nopeus radalla: Energia: h = 2 v2 µ r Ellipsi: h = µ 2a v 2 = µ( 2 r a Hyperbeli: h = µ 2a v 2 = µ( 2 r + a Parabeli: h = v 2 = 2µ r ts. nopeuden itseisarvo selville a:n ja r : n avulla. (ei riipu ǫ:stä. Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( Miten Kepler päätyi lakeihinsa? Suuri määrä Tycho Brahen havaintoja Mars-planeetan radasta ( tarkkuus Kepler teki oletukset: - rata sulkeutuva - etäisyys ja kulmanopeus suunnan yksikäsitteisiä funktioita - Maan kulmanopeus aina suurempi kuin Marsin kulmanopeus Hahmotellaan Keplerin menetelmä, jätetään ratojen keskinäinen kaltevuus pois (<2 i Marsin periodi S = synodinen periodi; oppositiosta oppositioon kuluva aika Jos radat ympyröitä: n E = 2π P E Maan kulmanop. n M = 2π P M Marsin kulmanop. S n M = S n E 2π P M = P E S Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

4 Radat ei ympyröitä kulmanopeus ei vakio pätee raja-arvona kun otetaan keskiarvo useiden synodisten periodien yli (Suppenee hitaasti useita kymmeniä oppositioita, S 76 vrk. ii Radan muoto (K I Ensin Maan rata: P M PE tunnettu, valitaan ajan yksikkö P E = Lähtökohtana jokin Marsin oppositiohetki t Hetkinä t + k P M (k kokonaisluku Mars samassa pisteessä, mutta Maa ei Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( Mitataan kulma MES, Mars-Aurinko kulma Kulma ESM Auringon sijainti taivaalla kiinteään suuntaan nähden Maan paikka hetkellä t + k P M, yksikkönä Marsin etäisyys hetkellä t Useita kymmeniä ratakierroksia Maan rata Kepler: ǫ Maa hyvin pieni (<.2 Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

5 Marsin rata: Mielivaltainen ajanhetki t i, Mars samassa pisteessä hetkinä t i + k P M Maan sijainti näinä hetkinä tunnettu (edellä määritetty Maan rata Marsin sijainti haarukoimalla Toistetaan sama lukuisilla muilla t i :n arvoilla Marsin rata Menetelmä vaatii suuren määrän havaintoja (kymmenien vuosien ajalta Keplerin menetelmän periaate kuten edellä, mutta laskemalla, ei graafisesti (HUOM: 6 ei analyyttistä geometriaa, ei vektorilaskentaa... Ellipsi ei ollut Keplerin ensimmäinen valinta! Keplerin II laki: samoista havainnoista Keplerin III laki: radan määritys 5 planeetalla ( vuotta myöhemmin Kepler spekuloi: Auringosta lähtevään r voimaan verrannollinen nopeus. ( K II v T r Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( PLANEETAN RATAELEMENTIT Aiemmin johdetut integraalit k, e, τ määräävät planeetan liikkeen: yht. 6 riippumatonta vakiota Radan geometriaa ja planeetan paikkaa laskettaessa mukavampi käyttää varsinaisia rataelementtejä ( a isoakselin puolikas Radan koko ja muoto ǫ eksentrisyys Ratatason orientaatio ( i inklinaatio Ω nousevan solmun pituus Radan orientaatio ratatasossa Planeetan sijainti radalla ω perihelin argumentti τ periheliaika Ratatason esittämiseen tarvitaan vertailukoordinaatisto: valitaan x,y,z koordinaatisto, jossa: - origona aurinko - xy-taso = Maan ratatasoa (ekliptika, x-akseli osoittaa kohti kevättasauspistettä - oikeakätinen z-akseli osoittaa ekliptikan pohjoispuolelle Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

6 Ratatasoon liittyvä (ξ, η, ζ koordinaatisto ( ksi, eta, tseta ξ-akseli osoittaa kohti nousevaa solmua η-akseli: oikeakätinen koordinaatisto ζ-akseli: kohtisuorassa ratatasoa vastaan Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( Planeetan ratataso kallellaan ekliptikaan nähden kulman i (inklinaatio verran Leikkausviivaa nimitetään solmuviivaksi (nodal line laskeva solmu (descending node päätepisteet: nouseva solmu (ascending node ( Ratatason kaltevuus i i Nousevan solmun pituus Ω i 36 longitude of ascending node = etäisyys kevättasauspisteen suunnasta nousevan solmuun mitattuna pitkin ekliptikaa vastapäivään Perihelin argumentti ω (argument of pericenter = Radan perihelin ja nousevan solmun välinen kulma planeetan liikkeen suuntaisesti mitattuna, < ω < 36 Usein käytetään myös kulmaa: perhihelin pituus ω = ω + Ω (longitude of pericenter (huom: kulmat mitataan eri tasoissa HUOM: Kappaleilla joiden liike samansuuntainen kuin Maalla ja muilla planeetoilla, i < 9 (suora liike (prograde, direct, vastakkainen i > 9 (retrograde Sijainti radalla: - periheliaika τ (tai t = aika jolloin planeetta ohittaa perihelinsä - voidaan ilmoittaa antamalla sijainti jonakin toisena hetkenä (eli epookkina, esim. keskianomalia tietyllä epookilla Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

7 2.7 Planeetan paikan laskeminen Aiemmin olleiden kaavojen avulla voidaan laskea planeetan sijainti sen omassa ratatasossa Halutaan suunta Maasta nähtynä vaatii koordinaatiston muunnoksia Alkup. koordinaatisto: rata-ellipsin napakoordinaatisto välivaihe: Aurinkokeskinen ekliptikajärjestelmä Lopullinen: Maakeskinen ekvaattorijärjestelmä (rektaskensio ja deklinaatio 2.7. Koordinaatiston kierto Alkuperäiset koordinaatit x, y. Mitkä ovat koordinaatit x, y systeemissä, joka on kierretty z-akselin ympäri kulman α verran positiiviseen kiertosuuntaan (vastapäivään? Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( Nähdään että: >< x = x cos α + y sin α y = x sin α + y cos α >: z = z tai jos helpompi muistaa: x = r cos ϕ x = r cos(ϕ α y = r sin ϕ y = r sin(ϕ α x = r cos ϕ cos α + r sin ϕ sin α = x cos α + y sin α y = r sin ϕ cos α r cos ϕ sin α = y cos α x sin α Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

8 Matriisimuodossa: kierto z-akselin suhteen: x cos α sin α y A sin α cos α ya z z Vastaavasti kierto x-akselin suhteen: 2 x y A cos α sin ya z sin α cos α z Kierto y-akselin suhteen: 3 x cos α sin α y A ya z sin α cos α z Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( MUISTA: Kierto z:n suhteen: missä on + sin α? x = cos α x + sin α y 2 Muut kiertomatriisit: samat kun permutoidaan xyz syklisesti esim. kierto y-akselin suhteen, permutoidaan y z:n paikalle z cos α sin α x A sin α cos α xa y y 3 HUOM: tapaus, jossa PISTETTÄ P kierretään α vastakkaismerkkinen Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

9 2.7.2 Muunnos xyz ξηζ (Maan ratataso planeetan ratataso. Kierto z-akselin suhteen kulman Ω verran x-akseli yhtyy ξ-akseliin 2. Kierto uuden x-akselin (ξ:n suhteen kulman i verran. 2. x cos Ω sin Ω y A sin Ω cos Ω ya z z ξ x ηa cos i sin y A = ya ζ sin i cos i z z cos Ω sin Ω T cos i sin sin Ω cos Ω A sin i cos i cos Ω sin Ω T cos i sin Ω cos i cos Ω sin ia = muunnos (x, y, z koordinaatit (ξ, η, ζ sin i sin Ω sin i cos Ω cos i Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( Haluttu muunnos (ξ, η, ζ (x, y, z: i:n kierto Ω:n kierto Mutta T on ns. ortogonaalitransformaatio T = T T transponoitu matriisi (T T ik = T ki x ξ ξ cos Ω cos i sin Ω sin i sin Ω ya = ηa = T ηa sin Ω cos i cos Ω sin i cos ηa z ζ ζ sin i cos i ζ Mikä on ξ, η, ζ koordinaattien yhteys ratatason napakoordinaatteihin? ( x, ỹ, z >< x = r cos f ỹ = r sin f >: z = planeetan ξ, η, ζ koordinaatit: >< ξ = r cos(ω + f η = r sin(ω + f (kuvasta >: ζ = Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

10 Saman näkee myös tekemällä ω:n suuruisen kierron z-akselin suhteen ξ cos ω sin( ω ηa sin( ω cos ω ỹa ζ z cos ω sin ω r cos f sin ω cos ω r sin f A cos ω r cos f sin ω r sin f r cos(ω + f sin ω r sin f + cos ω r sin f A r sin(ω + f A Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( Eli kaikkiaan muunnos x, y, z ja x, ỹ, z välillä: x cos Ω sin Ω cos i sin Ω sin i cos ω sin ω ya z sin ω cos ω A sin Ω cos Ω cos i cos Ω sin i sin i cos i cos ω cos Ω sin ω sin Ω cos i sin ω cos Ω cos ω sin Ω sin i sin Ω sin i x cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos i sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i cos Ω sin ỹa sin ω sin i cos ω sin i cos i z Eli jos kirjoitetaan radiusvektori ekliptikakoordinaatistoon x R ya = x I + ỹ J + z K, jossa z cos ω cos Ω sin ω sin Ω cos i I cosω sin Ω + sin ω cos Ω cos ia sin ω sin i sin ω cos Ω cos ω sin Ω cos i J sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos ia cos ω sin i sin Ω sin i K cos Ω sin ia cos i ỹ z Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

11 2.7.3 Planeetan paikan laskeminen Rataelementit tunnetaan Mikä on sijainti hetkellä t? (α, δ. lasketaan kiertoaika ja keskianomalia M = 2π P (t t ; P = 2πq µ a 3 ; µ = G(M Sun + m plan 2. Lasketaan eksentrinen anomalia keplerin yhtälöstä E ǫ sin E = M Iteroimalla 3. Lasketaan x, ỹ koordinaatit x = a(cos E ǫ ỹ = b sin E b = a p ǫ 2 z = 4. Lasketaan I ja J vektorit eo. kaavojen mukaan ja siirrytään ekliptikakoordinaatteihin ya = x I + ỹ J hyvä tarkistaa: z r = p x 2 + y 2 + z 2 = a( ǫ cos E Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( Aikaerotuksen t t laskeminen: Juliaanisten päivämäärien avulla (juokseva numerointi JD = 367 Y 7 AP U2 3 AP U5 + AP U6 + D AP U = INT( M+9 2 >< AP U2 = INT( Y +AP U 4 AP U4 = INT( >< AP U5 = INT( Y +AP U3 AP U4+ 4 >: AP U3 = INT( M 9 7 >: AP U6 = INT( 275M 9 Y = vuosi, M = kk., D = pv. Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (

12 Suunta maasta katsottuna 5. Siirrytään heliosentrisestä ekliptikakoordinaatistosta heliosentriseen ekvaattorijärjestelmään (x, y, z vastaa kiertoa -EKL kulman verran x-akselin suhteen (EKL = x y A cos(ekl sin(ekl ya z sin(ekl cos(ekl z Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 ( Siirretään origo Auringosta Maahan a lasketaan Maan (x,y,z koordinaatit (helppoa koska Maa on Maan ratatasossa >< x m = r m cos(ω + f r = a( ǫ cos E M E f y m = r m sin(ω + f >: z m = b kierretään ekvaattorikoordinaatit x m r m cos(ω + y m A r m sin(ω + f cos(ekl A z m r m sin(ω + f sin(ekl planeetan geosentriset ekvaattorikoordinaatit x g x x y g m C A y y A z g m z z m 7. Rektaskensio α, deklinaatio δ, etäisyys >< x g = cos δ cos α y g = cos δ sin α >: z g = sin δ tan α = y g >< x q g = x 2 g + y 2 g + z 2 g >: sin δ = z g Taivaanmekaniikka, SL24, Luento 4 (