Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma

Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1

2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause 12 3. LUKU: Hausdorn mitta ja tiheydet 17 4. LUKU: Pakkausmitta ja tiheydet 19 JOHDANTO Tiheyspistelauseen mukaan käytetyn mitan suhteen mitallisen joukon A tiheys on 1 melkein kaikilla pisteillä x, jotka kuuluvat joukkoon A. Vastaavasti joukon A komplementin tiheys on 0 melkein kaikilla pisteillä x, jotka kuuluvat joukon A komplementtiin. Usein mittana käytetään Lebesguen mittaa, mutta tiheyspistelauseet pätevät myös yleisemmille mitoille. Mitan derivoinnilla toisen mitan suhteen on suora yhteys joukkojen tiheyksiin. Tässä työssä esiteään tiheyspistelause Radon-mitoille ja tutustutaan erityisesti Hausdorn mitan ja pakkausmitan avulla määriteltyihin tiheyksiin ja niihin liittyviin tuloksiin. Vastaavasti, kuten joukoille, voidaan myös mitoille määritellä tiheys. Mittojen tiheyttä hyödynnetään pakkausmitan yhteydessä.tekstin lukijalta oletetaan, että mitta- ja integraaliteorian perusteet ovat hyvin hallussa. Ensimmäisessä luvussa esitetään perusmääritelmiä ja lauseita, joita tarvitaan todistettaessa tiheyksiin liittyviä tuloksia. Aluksi määritellään Radon-mitta ja mitan rajoittuma. Lisäksi esitetään monessa muussa yhteydessäkin hyödylliset ns. 5r-peitelause ja Vitalin peitelause Radon mitoille. Ensimmäisessä luvussa määritellään myös s- ulotteinen Hausdorn mitta ja s-ulotteinen pakkausmitta. Luvun lopuksi määritellään Minkowskin dimensio, Hausdorn dimensio ja pakkausdimensio. Tässä kirjoitelmassa dimensioita tarvitaan mm. esitettäessä tulos, milloin joukon yläpakkausdimensio ja Hausdorn dimensio ovat yhtäsuuret, kun tiedetään, että sen alatiheys on positiivinen pakkausmitan suhteen melkein kaikilla pisteillä, jotka kuuluvat kyseiseen joukkoon A. Toisessa luvussa määritellään mitan ylä- ja aladerivaatat toisen mitan suhteen. Tärkeimpänä tuloksena esitetään lause, joka antaa perusteet mitan derivoinnille toisen mitan suhteen. Tämän lauseen seurauksena saadaan tiheyspistelause joukoille. Lisäksi seurauksena saadaan lause integraalien dierentioinnille. Kolmannessa luvussa pyritään todistamaan tiheyspistelause s-ulotteiselle Hausdorn mitalle R n :ssä. Luvussa määritellään ala- ja ylätiheydet joukolle Hausdorn mitan avulla. Lisäksi esitetään lause, jonka avulla voidaan tutkia joukkojen tiheyksiä Hausdorn mitan avulla. Neljännessä luvussa määritellään ala- ja ylätiheydet yleisille mitoille. Mittojen tiheyttä hyödynnetään erityisesti tutkittaessa pakkausmitan tiheyttä. Lisäksi esitetään tuloksia, joissa käytetään hyväksi tietoa tutkittavan joukon tiheydestä.

3 MERKINTÖJÄ R reaalilukujen joukko L n n-ulotteinen Lebesguen mitta R n :ssä B(x, r) = {y R n : d(x, y) < r} R n :n avoin pallo B(x, r) = {y R n : d(x, y) r} R n :n suljettu pallo diama = sup{d(x, y) : x, y A}, joukon A halkaisija R n :ssä d(x, y) = x y χ A joukon A karakteristinen funktio P(X) = {A : A X} joukon X kaikkien osajoukkojen kokoelma, X:n potenssijoukko Tekstissä esiintyvä mitta µ on ulkomitta, ellei toisin mainita. Toisin sanoen µ on mitta X:ssä, jos (1) µ( ) = 0, (2) jos A B, niin µ(a) µ(b) (monotonisuus), (3) µ( A i) µ(a i) (subadditiivisuus). 1. LUKU: Esitietoja Ensimmäisessä luvussa esitellään jatkossa tarvittavia perusmääritelmiä ja hyödyllisiä lauseita. Aluksi määritellään Radon-mitta ja mitan rajoittuma. Peitelauseista annetaan 5r-peitelause ja Vitalin peitelause, jotka ovat hyödyllisiä lauseita myös monessa muussa yhteydessä. Näitä lauseita ei todisteta tässä työssä, vaan todistuksiin esitetään vain kirjallisuusviitteet. Luvussa määritellään myös Hausdorn mitta ja pakkausmitta ja näihin liittyen Hausdorn dimensio ja pakkausdimensio. Lisäksi määritellään Minkowskin dimensio ja esitetään lyhyesti myös eri dimensioiden väliset suhteet. 1.1. Määritelmä. Olkoon µ mitta X:ssä. (1) Mitta µ on Borel-mitta, jos kaikki Borel-joukot ovat µ-mitallisia. (2) Mitta µ on Borel-säännöllinen, jos se on Borel-mitta ja jos jokaiselle A X on Borel-joukko B X siten, että A B ja µ(a) = µ(b). 1.2. Määritelmä. Mitta µ on Radon-mitta, jos se on Borel-mitta ja (1) µ(k) < jokaiselle kompaktille K X (2) µ(v ) = sup{µ(k) : K V, K kompakti} avoimille joukoille V X (3) µ(a) = inf{µ(u) : A U, U avoin}, A X. 1.3. Määritelmä. R n :ssä määritelty mitta µ on äärellinen, jos µ(r n ) <. Mitta µ on lokaalisti äärellinen, jos kaikilla x R n on olemassa r > 0 siten, että µ(b(x, r)) <. 1.4. Määritelmä. Mitan µ rajoittuma joukkoon A X, µ A,määritellään µ A (B) = µ(a B) kaikilla B X. 1.5. Lemma. Olkoot µ mitta ja joukot A, B X siten, että A B, B µ-mitallinen ja µ(a) = µ(b) <. Tällöin µ(a C) = µ(b C) kaikilla µ-mitallisilla joukoilla C X.

4 Olkoon C µ-mitallinen joukko, jolloin µ(a) = µ(c A) + µ(a \ C) = µ(b) = µ(c B) + µ(b \ C). Nyt B \ C = (A \ C) ((B \ A) \ C) ja A \ C ja (B \ A) \ C ovat erillisiä, joten µ(b \ C) = µ(a \ C) + µ((b \ A) \ C) = µ(a \ C), sillä koska µ(a) = µ(b) <, niin 0 = µ(b) µ(a) = µ(b \ A). Tällöin siis µ(a C) = µ(b C). 1.6. Lause. Olkoon A X. (1) µ A on mitta. (2) Jos joukko B on µ-mitallinen, niin silloin B on myös µ A - mitallinen. (3) Jos joukko A on µ-mitallinen, µ(a) < ja µ on Borel-säännöllinen, niin µ A on Borel-säännöllinen. Väite (1): Selvästi µ A ( ) = µ(a ) = µ( ) = 0. Olkoot B C X, jolloin A B A C. Nyt µ A (B) = µ(a B) µ(a C) = µ A (C). Olkoot B 1, B 2,... X. µ A ( B i ) = µ(a B i ) = µ( (A B i )) Siis µ A on mitta. µ(a B i ) = µ A (B i ) Väite (2): Olkoon B µ-mitallinen. Tällöin kaikilla E X µ A (E \ B) + µ A (E B) = µ(a (E \ B)) + µ(a (E B)) = µ((a E) \ B) + µ((a E) B) = µ(a E) = µ A (E). Väite (3): Olkoon B Borel-joukko siten, että A B ja µ(a) = µ(b). Siten µ(b \ A) = 0. Olkoon C X ja D Borel-joukko siten, että B C D ja µ(b C) = µ(d). Tällöin C D (X \ B) =: E ja µ A (E) µ(b E) = µ(b D) µ(d) = µ(b C) = µ(a C) = µ A (C). Täten µ A (E) = µ A (C), joten µ A on Borel-säännöllinen.

Seuraavaksi esitellään kaksi peitelausetta, ns. 5r-peitelause ja Vitalin peitelause Radon-mitoille. Peitelauseet ovat hyvin tärkeitä työkaluja mittateoriassa ja yleensä reaalianalyysissä. Peitelauseiden avulla annettu R n :n joukko voidaan peittää tietyntyyppisillä erillisillä joukoilla, yleensä suljetuilla palloilla. 5r-peitelause soveltuu suureen joukkoon peitteitä, kun taas Vitalin peitelauseessa peitteiden vaatimukset rajoittavat sovellettavien peitteiden määrää. Kyseisiä peitelauseita ei tässä yhteydessä todisteta, vaan todistuksiin annetaan vain kirjallisuusviitteet. 1.7. Lause (5r- peitelause). Olkoot A R n rajoitettu ja B = {B(x, r x ) : x A} kokoelma R n :n suljettuja palloja siten, että sup{diam(b) : B B} <. Tällöin löydetään x 1, x 2,... A, joita voi olla numeroituvan monta tai äärellinen määrä, siten, että pallot B(x i, r i ) ovat erillisiä ja Katso esimerkiksi [4] lause 2.1. A B B B(x, r x ) B(x i, 5r i ). 1.8. Seuraus (5r-peitelause, yleinen muoto). Olkoon B kokoelma R n :n suljettuja palloja siten, että sup{diam(b) : B B} <. Tällöin on olemassa erilliset pallot B 1, B 2,... B siten, että B(x, r x ) B(x i, 5r i ). B B Tämän todistuksen idea löytyy esimerkiksi [4] lauseen 2.1 todistuksesta. 1.9. Lause (Vitalin peitelause Radon-mitoille). Olkoot µ Radon-mitta R n :ssä, A R n ja B perhe suljettuja palloja siten, että inf{r : B(x, r) B} = 0 kaikille x A. Tällöin löydetään erilliset pallot B i B siten, että µ(a \ B i ) = 0. Katso esimerkiksi [4] lause 2.8. 1.10. Lause. Olkoot µ Borel-säännöllinen mitta X:ssä, A µ-mitallinen joukko ja ɛ > 0. (1) Jos µ(a) <, niin on olemassa suljettu joukko C A siten, että µ(a \ C) < ɛ. (2) Jos on olemassa avoimet joukot V 1, V 2,... siten, että A V i ja µ(v i ) < kaikilla i, niin on olemassa avoin V siten, että A V ja µ(v \ A) < ɛ. 5 Katso esimerkiksi [4] lause 1.10. 1.11. Huomautus. Lauseen 1.10 kohdassa (1) joukko C voidaan suoraan valita kompaktiksi, kun X = R n.

6 Carathéodoryn konstruktion avulla saadaan luotua paljon erilaisia mittoja. Esimerkiksi Lebesguen mitta saadaan Carathéodoryn konstruktiosta. Seuraavaksi esitetään Carathéodoryn konstruktio ja sen avulla määritellään Hausdorn mitta. 1.12. Carathéodoryn konstruktio. Olkoot X metrinen avaruus, F kokoelma X:n osajoukkoja ja funktio ζ : F [0, ]. Oletetaan, että (1) kaikilla δ > 0 on olemassa E 1, E 2... F siten, että diame i δ ja X = E i. (2) kaikilla δ > 0 on olemassa E F siten, että diame δ ja ζ(e) δ. Määritellään kaikilla 0 < δ ja A X ψ δ (A) = inf{ ζ(e i ) s : A E i, diame i δ, E i F} ja 1.13. Lause. Carathéodoryn kostruktiossa saatu ψ(a) = lim ψ δ (A) = sup ψ δ (A). δ 0 (1) ψ δ on mitta, (2) ψ on Borel-mitta ja (3) jos F:n alkiot ovat Borel-joukkoja, niin ψ on Borel-säännöllinen. Katso esimerkiksi [4] lause 4.1. 1.14. Hausdorn mitta. Olkoon X separoituva metrinen avaruus ja 0 s <. Valitaan Carathéodoryn konstruktiossa F = P(X) ja ζ(e) = (diame) s, missä 0 s = 1 ja diam( ) s = 0. Tällöin ψ = H s on s-ulotteinen Hausdorn mitta. Tätä merkitään Hδ(A) s = inf{ (diame i ) s : A E i, diam(e i ) δ, E i P(X)} ja δ>0 H s (A) = lim H s δ 0 δ(a) = sup Hδ(A). s 1.15. Huomautus. (1) H 0 on lukumäärämitta. (2) Kun X = R n, niin H n = 2 n α(n) 1 L n, missä α(n) = L n (B n (0, 1)) ja L n n-ulotteinen Lebesguen mitta. Täten pallon B(x, r) Hausdorn mitta on H n (B(x, r)) = (2r) n kaikille x R n, 0 < r <. (3) H s on Borel-säännöllinen lauseen 1.13 (3) nojalla, sillä voidaan valita F = {E X : E suljettu} (katso [4] lause 4.4(1)). Pakkausmitta on eräänlainen Hausdorn mitan muunnos. Merkittävin ero Hausdorn mittaan on, että pakkausmitan tapauksessa tutkittavaa joukkoa ei peitetä joukoilla, vaan joukon kokoa tutkitaan pakkaamalla sen sisään palloja. δ>0

7 1.16. Määritelmä. Olkoon 0 s <. Asetetaan kaikilla A R n ja 0 < δ < Pδ s (A) = sup{ (diamb i ) s : B i = B(x i, r i ) kokoelma erillisiä suljettuja palloja siten, että x i A ja diamb i δ} ja P s (A) = lim Pδ s (A) = inf P δ s (A). δ 0 δ>0 Funktiota P s kutsutaan pakkausesimitaksi. 1.17. Huomautus. P s on monotoninen eli P s (A) P s (B), jos A B. Lisäksi P s ( ) = 0. Kuitenkaan P s ei ole mitta, sillä P s ei ole subadditiivinen. 1.18. Määritelmä. Pakkausmitta P s määritellään kaikilla A R n P s (A) = inf{ P s (A i ) : A = A i }. 1.19. Lause. Pakkausmitta P s on Borel-säännöllinen mitta. Selvästi P s ( ) = 0 ja P s (A) P s (B), jos A B. Osoitetaan seuraavaksi, että P s on subadditiivinen. Olkoon ɛ > 0. Olkoot A 1, A 2,... R n ja A i,j siten, että A i j=1 A i,j ja j=1 P s (A i,j ) P s (A i ) + ɛ/2 i. Tällöin A i A i,j. Siten P s ( A i ) j=1 P s (A i,j ) ɛ + j=1 Väite seuraa antamalla ɛ 0. Siis P s on mitta. P s (A i ). Osoitetaan vielä, että P s on Borel-säännöllinen. Huomataan aluksi, että aina Pδ s(a) = Pδ s(a), joten Ps (A) = P s (A). Täten P s (A) = inf{ P s (F i ) : A F i, F i suljettu}. Valitaan kaikilla i suljettu A i,j siten, että A j=1 A i,j, diama i,j 1/i ja j=1 P s (A i,j ) P s (A) + 1/i. Tällöin A j=1 A i,j =: B. Nyt B on Borel-joukko siten, että A B ja siis P s (A) P s (B). Lisäksi P s (B) P s (A i,j ) P s (A i,j ) P s (A) + 1/i. j=1 j=1

8 Kun i saadaan P s (B) P s (A). Siis P s (B) = P s (A). Dimensioista Määritellään seuraavaksi Hausdorn dimensio, Minkowskin dimensio ja pakkausdimensio. 1.20. Lause. Olkoot 0 s < t < ja A X. Tällöin (1) jos H s (A) <, niin H t (A) = 0, (2) jos H t (A) > 0, niin H s (A) =. Olkoot δ > 0 ja A E i siten, että diame i δ ja (diame i) s Hδ s (A) + 1. Tällöin Hδ(A) t (diame i ) t = (diame i ) t s+s δ t s (diame i ) s δ t s (Hδ(A) s + 1). Kun δ 0, niin saadaan väite (1). Kohta (2) seuraa suoraan kohdasta (1) antiteesillä, mutta todistetaan kohta (2) tässä erikseen samaan tapaan kuin kohta (1). Olkoon A E i siten, että diame i δ. Tällöin (diame i ) s = (diame i ) t (t s) δ s t (diame i ) t. Ottamalla epäyhtälöstä inf saadaan Hδ(A) s δ s t Hδ(A). t Kun δ 0, niin saadaan väite (2), sillä tällöin δ s t ja oletuksen mukaan Hδ t(a) > 0, joten Hs (A). Edellisen lauseen havainnon perusteella voimme määritellä joukon Hausdorn dimension. 1.21. Määritelmä. Joukon A X Hausdorn dimensio on dim H A = sup{s : H s (A) > 0} = sup{s : H s (A) = } = inf{t : H t (A) < } = inf{t : H t (A) = 0}. Määritellään seuraavaksi joukon Minkowskin ylä-ja aladimensiot. 1.22. Määritelmä. Olkoon A R n rajoitettu ja epätyhjä ja 0 < ɛ <. Määritellään luku k N(A, ɛ) = min{k : A B(x i, ɛ), x i R n }

eli N(A, ɛ) on pienin määrä ɛ-säteisiä palloja, jotka tarvitaan peittämään joukko A. 9 Joukon A Minkowskin ylä- ja aladimensiot ovat ja dim M A = inf{s : lim sup N(A, ɛ)ɛ s = 0} ɛ 0 = inf{s : lim sup N(A, ɛ)ɛ s < } ɛ 0 = sup{s : lim sup N(A, ɛ)ɛ s = } ɛ 0 = sup{s : lim sup N(A, ɛ)ɛ s > 0} ɛ 0 dim M A = inf{s : lim inf N(A, ɛ)ɛ s = 0} ɛ 0 = inf{s : lim inf N(A, ɛ)ɛ s < } ɛ 0 = sup{s : lim inf N(A, ɛ)ɛ s = } ɛ 0 = sup{s : lim inf N(A, ɛ)ɛ s > 0}. ɛ 0 Jos dim M A = dim M A = s, niin joukon A Minkowskin dimensio on dim M A = s. 1.23. Huomautus. (1) Suoraan määritelmistä seuraa, että dim H A dim M A dim M A. (2) Edellisen kanssa ekvivalentit määritelmät Minkowskin dimensioille ovat ja dim M A = lim sup ɛ 0 dim M A = lim inf ɛ 0 log N(A, ɛ) log(1/ɛ) log N(A, ɛ) log(1/ɛ). Lisäksi, jos luvussa N(A, ɛ) peittävinä joukkoina käytetään ɛ-halkaisijaisia kuutioita, saadaan sama dimensio kuin Minkowskin dimensioiden määritelmistä. Näitä dimensioita kutsutaan vastaavasti ylä- ja alalaatikkodimensioksi. (katso [1] s.41-42) Seuraavaa lausetta tarvitaan myöhemmin tiheyksien yhteydessä. 1.24. Lause. Olkoon joukko A R n rajoitettu ja epätyhjä. Oletetaan, että µ on Radon-mitta R n :ssä ja a, b, r 0 ja s ovat positiivisia lukuja siten, että 0 < µ(a) µ(r n ) < ja 0 < ar s µ(b(x, r)) br s kaikille x A, 0 < r r 0. Tällöin dim H A = dim M A = dim M A = s.

10 Peitetään A joukoilla E i siten, että 0 < diame i r 0 ja A E i. Tällöin voidaan valita pisteet x i A E i, jolloin A voidaan peittää palloilla B(x i, diame i ). Täten b (diame i ) s µ(b(x i, diame i )) µ(a) > 0. Tästä saadaan H s (A) µ(a)/b, joten s dim H A dim M A dim M A. Toisaalta, olkoon 0 < ɛ r 0. Merkitään k = P (A, ɛ) = max{k : on olemassa erilliset pallotb(x i, ɛ), i = 1,..., k, x i A}. Valitaan erilliset pallot B(x i, ɛ), x i A ja i = 1,..., k. Tällöin ap (A, ɛ)ɛ s k µ(b(x i, ɛ)) µ(r n ) <, mistä seuraa, että dim M A s, sillä luvulle P (A, ɛ), pätee N(A, 2ɛ) P (A, ɛ) N(A, ɛ/2) (katso [4] s.78). Siis s dim H A dim M A dim M A s, joten dim H A = dim M A = dim M A = s. 1.25. Määritelmä. Olkoon A R n. Muokatut Minkowskin ylä- ja aladimensiot, joita myös kutsutaan ylä- ja alapakkausdimensioiksi, määritellään seuraavasti: dim p A = inf{sup dim M A i : A = A i, A i rajoitettu} i ja 1.26. Huomautus. Selvästi ja dim p A = inf{sup dim M A i : A = i A i, A i rajoitettu}. dim H A dim p A dim M A dim p A dim p A dim M A. 1.27. Lause. Olkoot 0 s < t < ja A X. Tällöin (1) jos P s (A) <, niin P t (A) = 0, (2) jos P t (A) > 0, niin P s (A) =. Samalla tavalla kuten lause 1.20. Edellisen lauseen perusteella pakkausmitan avulla voidaan määritellä joukon dimensio samalla tavalla kuin Hausdorn mitan yhteydessä.

1.28. Määritelmä. Pakkausmitan avulla voidaan määritellä joukon A R n pakkausdimensio dim p A = inf{s : P s (A) = 0} = inf{s : P s (A) < } = sup{s : P s (A) > 0} = sup{s : P s (A) = }. 1.29. Huomautus. Kaikille A R n pätee dim p A = dim p A. Todistus löytyy esimerkiksi [4] lause 5.11. 1.30. Lause. Kaikille A R n pätee H s (A) P s (A). Riittää osoittaa, että H s (A) P s (A), sillä jos tämä pätee ja A A i ja P s (A i ) P s (A) + ɛ, niin 11 H s (A) H s ( A i ) H s (A i ) P s (A i ) P s (A) + ɛ. Tällöin kun ɛ 0, niin H s (A) P s (A). Voidaan olettaa, että P s (A) <. Olkoon ɛ > 0 ja valitaan δ > 0 siten, että P s δ (A) < P s (A) + ɛ. Olkoot B 1, B 2,... erillisiä suljettuja palloja, joiden keskipisteet ovat A: ssa, diamb i < δ ja (diamb i ) s Pδ s (A) (diamb i ) s + ɛ. (*) Koska Pδ s (A) <, on olemassa k, jolle (diamb i ) s < ɛ. (**) i=k+1 Sovelletaan 5r-peitelausetta (lause 1.7) kokoelmaan suljettuja palloja B(x, r), joille pätee x A, 10r δ ja B(x, r) R n \ k B i. Tällöin löydetään erilliset suljetut pallot B 1, B 2,..., joille diamb i δ/5, keskipisteet ovat A: ssa siten, että A \ k B i 5B j (***) ja yhdistetty kokoelma palloja {B i : i = 1,..., k} {B j : j = 1, 2,...} on erillinen. j=1

12 Siten (*):stä ja (**):stä seuraa k (diamb i ) s + (diamb j) s Pδ s (A) (diamb i ) s + ɛ j=1 = k (diamb i ) s + (diamb i ) s + ɛ i=k+1 k (diamb i ) s + 2ɛ. Siten (diamb j) s 2ɛ. j=1 (***):stä ja edellä lasketusta seuraa k k Hδ(A) s (diamb i ) s + (diam5b j) s = (diamb i ) s + 5 s j=1 j=1 Pδ s (A) + 5 s 2ɛ < P s (A) + (1 + 5 s 2)ɛ. Nyt antamalla δ 0 ja ɛ 0 saamme H s (A) P s (A). (diamb j) s 1.31. Seuraus. Kaikilla A R n dim H A dim p A. 1.32. Huomautus. Lauseessa 1.29 voi olla H s (A) < P s (A). On myös mahdollista, että H s (A) = 0 ja P s (A) =. Itse asiassa tapaus 0 < H s (A) = P s (A) < on harvinainen. 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause Toisessa luvussa keskitytään mittojen derivointiin, joka johtaa lopulta tiheyspistelauseeseen. Aluksi määritellään mitan ylä- ja aladerivaatat toisen mitan suhteen. Tärkeimpänä lauseena esitetään ns. Radon-Nikodym-Lebesgue -lause, joka antaa perusteet mitan derivoinnille toisen mitan suhteen. Lauseen todistamiseksi tarvitaan tietoa mittojen absoluuttisesta jatkuvuudesta ja erästä lemmaa, joka todistetaan ennen varsinaisen lauseen todistusta. Lisäksi tämän lauseen seurauksena saadaan eräs tiheyspistelause. 2.1. Määritelmä. Olkoot µ ja λ lokaalisti äärellisiä Borelin mittoja R n :ssä. Mitan µ ylä- ja aladerivaatat mitan λ suhteen pisteessä x R n ovat ja D(µ, λ, x) = lim sup r 0 D(µ, λ, x) = lim inf r 0 µ(b(x, r)) λ(b(x, r)) µ(b(x, r)) λ(b(x, r)).

13 Jos raja-arvo on olemassa pisteessä x määritellään mitan µ derivaataksi D(µ, λ, x) = D(µ, λ, x) = D(µ, λ, x). 2.2. Huomautus. (1) Tässä tulkitaan 0/0 = 0. (2) Kuvaukset x D(µ, λ, x) ja x D(µ, λ, x) ovat Borelin funktioita. 2.3. Määritelmä. Olkoot µ ja λ mittoja R n :ssä. Jos µ(a) = 0 aina, kun λ(a) = 0 kaikilla A R n, toisin sanoen λ(a) = 0 µ(a) = 0 kaikilla A R n, niin sanotaan, että mitta µ on absoluuttisesti jatkuva mitan λ suhteen. Tätä merkitään µ λ. Seuraavassa lausessa esitetään perusteet mitan µ derivoinnille mitan λ suhteen. 2.4. Lause. Olkoot µ ja λ Radon-mittoja R n :ssä. (1) Derivaatta D(µ, λ, x) on olemassa ja se on äärellistä λ-melkein kaikilla x R n. (2) Kaikille Borel-joukoille A R n pätee D(µ, λ, x)dλ(x) µ(a) A ja yhtäsuuruus pätee kaikille Borel-joukoille A, jos µ λ. (3) µ λ, jos ja vain jos D(µ, λ, x) < µ-melkein kaikilla x R n. Tämän todistamiseksi tarvitsemme seuraavan lemman. 2.5. Lemma. Olkoot µ ja λ Radon-mittoja R n :ssä, 0 < t < ja A R n. (1) Jos D(µ, λ, x) t kaikille x A, niin silloin µ(a) tλ(a). (2) Jos D(µ, λ, x) t kaikille x A, niin silloin µ(a) tλ(a). (1) Olkoon ɛ > 0. Koska λ on Radon-mitta, löydetään määritelmän 1.2(3) perusteella avoin joukko U siten, että A U ja λ(u) λ(a) + ɛ. Vitalin peitelauseen 1.9 perusteella löydetään erilliset suljetut pallot B i U siten, että µ(b i ) (t + ɛ)λ(b i ) ja µ(a \ B i ) = 0. Tällöin µ(a) µ(a ( B i )) + µ(a \ B i ) = µ(a ( B i )) = µ( (A B i )) µ(a B i ) (t + ɛ) µ(b i ) λ(b i ) = (t + ɛ)λ( B i ) (t + ɛ)λ(u) (t + ɛ)(λ(a) + ɛ).

14 Antamalla ɛ 0, saadaan µ(a) tλ(a), mikä oli väite (1). Kohdan (2) voi todistaa samoin. Lauseen 2.4 todistus. Väite (1) Olkoot 0 < r < ja 0 < s < t < ja merkitään A s,t,r = {x B(0, r) : D(µ, λ, x) s < t D(µ, λ, x)} ja A t,r = {x B(0, r) : D(µ, λ, x) t}. Huomautuksen 2.2(2) perusteella joukot A s,t,r ja A t,r ovat Borelin joukkoja ja siten mitallisia. Lemman 2.5 mukaan tλ(a s,t,r ) µ(a s,t,r ) sλ(a s,t,r ) < ja uλ(a u,r ) µ(a u,r ) µ(b(0, r)) <. Näistä epäyhtälöistä seuraa, että λ(a s,t,r ) = 0, koska s < t ja λ( u>0 A u,r) = lim u λ(a u,r ) = 0. Toisaalta {x R n : D(µ, λ, x) < D(µ, λ, x)} = A s,t,r, s,t Q,s<t,r N joten λ({x R n : D(µ, λ, x) < D(µ, λ, x)}) = λ( s,t Q,s<t,r N A s,t,r ) λ(a s,t,r ) = 0. Toisin sanoen joukko, jossa derivaattaa D(µ, λ, x) ei ole olemassa on λ - nollamittainen eli derivaatta D(µ, λ, x) on olemassa λ-melkein kaikilla x R n. Lisäksi käyttämällä lemmaa 2.5(2) saadaan λ({x B(0, r) : D(µ, λ, x) = }) t 1 µ({x B(0, r) : D(µ, λ, x) = }) t 1 µ(b(0, r)). Antamalla t saadaan λ({x B(0, r) : D(µ, λ, x) = }) = 0. Siis D(µ, λ, x) < λ-melkein kaikilla x R n. Väite (2) Olkoon t > 1 ja merkitään A k = {x A : t k D(µ, λ, x) < t k+1 }, kun k Z. Tällöin A k on Borelin joukko ja siten mitallinen ja {x A : 0 < D(µ, λ, x) < } = k Z A k.

15 Nyt käyttämällä lemman 2.5(2) kohtaa apuna saadaan D(µ, λ, x)dλ(x) = D(µ, λ, x)dλ(x) Antamalla t 1 saadaan arvio Merkitään A A = k Z k Z S k Z A k A k D(µ, λ, x)dλ(x) t k+1 λ(a k ) t k Z µ(a k ) tµ(a). D(µ, λ, x)dλ(x) µ(a). A 0 = {x A : D(µ, λ, x) = 0} A = {x A : D(µ, λ, x) = } ja A N = {x A : D(µ, λ, x) ei ole olemassa}. Kohdan (1) perusteella D(µ, λ, x) = D(λ, µ, x) 1 > 0 µ-melkein kaikilla x R n, koska µ λ. Siten µ(a 0 ) = 0. Kohdan (1) perusteella myös λ(a N ) = 0 = λ(a ). Siten koska µ λ, niin µ(a N ) = 0 = µ(a ). Täten µ(a) µ(a \ k Z A k ) + µ( k Z A k ) µ(a 0 A A N ) + µ( k Z Siten käyttämällä lemman 2.5 (1) kohtaa apuna saadaan D(µ, λ, x)dλ(x) D(µ, λ, x)dλ(x) S A Ak = D(µ, λ, x)dλ(x) k Z A k Antamalla t 1 saadaan arvio A k Z t k λ(a k ) t 1 k Z µ(a k ) t 1 µ(a). D(µ, λ, x)dλ(x) µ(a). Siten yhtäsuuruus on voimassa ja kohta (2) on todistettu. A k ) = µ( k Z A k ).

16 Väite (3) Kohdan (1) nojalla D(µ, λ, x) < λ-melkein kaikilla x R n. Koska µ λ ja λ ({x R n : D(µ, λ, x) = }) = 0, niin µ ({x R n : D(µ, λ, x) = }) = 0. Siten D(µ, λ, x) < µ-melkein kaikilla x R n. Olkoon D(µ, λ, x) < µ-melkein kaikilla x R n. Olkoon A R n siten, että λ(a) = 0 ja k = 1, 2, 3... Lemman 2.5 (1) avulla saadaan Siten µ(a) = 0, joten µ λ. µ({x A : D(µ, λ, x) k}) kλ(a) = 0. Lauseen 2.4 seurauksena saamme tiheyspistelauseen Radon-mitoille ja lauseen integraalien dierentioinnille. 2.6. Seuraus. Olkoon λ Radon-mitta R n :ssä. (1) Jos A R n on λ-mitallinen, silloin raja-arvo on olemassa ja λ(a B(x, r)) lim r 0 λ(b(x, r)) lim r 0 λ(a B(x, r)) λ(b(x, r)) λ(a B(x, r)) lim r 0 λ(b(x, r)) = 1 λ-melkein kaikilla x A ja = 0 λ-melkein kaikilla x R n \ A. (2) Jos f : R n R on lokaalisti λ-integroituva, niin 1 lim fdλ = f(x) λ-melkein kaikilla x R n. r 0 λ(b(x, r)) B(x,r) Väite (1) seuraa väitteestä (2), kun asetetaan f = χ A. Todistetaan väite (2). Voidaan olettaa, että f 0. Määritellään Radon-mitta µ siten, että µ(a) = fdλ. Silloin A µ λ ja lause 2.4 (2) antaa D(µ, λ, x)dλ(x) = µ(a) = fdλ, kaikille Borelin joukoille A. A Tämä tarkoittaa, että f(x) = D(µ, λ, x) λ-melkein kaikilla x R n, mikä todistaa väitteen (2). 2.7. Huomautus. Seurausta 2.6 (1) kutsutaan Lebesguen tiheyspistelauseeksi, kun λ = L n, missä L n on n-ulotteinen Lebesguen mitta. A

3. LUKU: Hausdorffin mitta ja tiheydet Seurauksessa 2.6 (1) saimme tulokseksi tiheyspistelauseen Radon-mitoille. Luvussa kolme pyritään todistamaan vastaava tulos Hausdorn mitalle. Hausdorn mitan avulla määritellään ylä- ja alatiheydet joukolle A. Lisäksi esitetään lause, jonka avulla voidaan tutkia joukkojen tiheyksiä Hausdorn mitan avulla. Tällöin yleensä ylätiheydet ovat hyödyllisempiä kuin alatiheydet. 3.1. Määritelmä. Olkoot 0 s <, A R n ja a R n. Joukon A s-ulotteiset yläja alatiheydet pisteessä a määritellään seuraavasti: Θ s (A, a) = lim sup(2r) s H s (A B(a, r)) ja r 0 17 Θ s (A, a) = lim inf r 0 (2r) s H s (A B(a, r)). Jos Θ s (A, a) = Θ s (A, a), niin merkitään Θ s (A, a) = Θ s (A, a) = Θ s (A, a) ja sanotaan, että Θ s (A, a) on joukon A s-ulotteinen tiheys pisteessä a. Kun s = n, niin Θ s (A, a) ja Θ s (A, a) ovat tavallisia Lebesguen tiheyksiä. Lebesguen tiheyspistelauseen (seuraus 2.6 (1)) nojalla Θ n (A, a) = 1 L n -melkein kaikilla a A ja, jos A on L n -mitallinen, niin Θ n (A, a) = 0 L n -melkein kaikilla a R n \ A. Yleensä Hausdorn mitasta voi sanoa paljon vähemmän. Kuitenkin seuraava lause on hyvä korvike tutkittaessa joukkojen lokaaleja ominaisuuksia Hausdorn mitan avulla. 3.2. Lause. Olkoon A R n siten, että H s (A) <. Tällöin (1) 2 s Θ s (A, x) 1 H s -melkein kaikilla x A, (2) jos A on H s - mitallinen, niin Θ s (A, x) = 0 H s -melkein kaikilla x R n \ A. Todistetaan ensimmäiseksi kohdan (1) vasemmanpuoleinen epäyhtälö. Merkitään B k = {x A : H s (A B(x, r)) < k k + 1 rs, kaikilla 0 < r < 1 }, k = 1, 2,... k Tällöin {x A : Θ s (A, x) < 2 s } = B k. k=1 Siis riittää osoittaa, että H s (B k ) = 0 kaikilla k. Kiinnitetään seuraavaksi k ja merkitään t = k/(k+1) ja olkoon ɛ > 0. Nyt joukko B k voidaan peittää joukoilla E 1, E 2,... siten, että 0 < diam(e i ) < 1/k, B k E i ja diam(e i ) s H s (B k ) + ɛ.

18 Jokaisella i valitaan x i B k E i ja olkoon r i = diam(e i ). Tällöin B k E i A B(x i, r i ) ja H s (B k ) H s ( (B k E i )) < H s (B k E i ) H s (A B(x i, r i )) tri s = t (diame i ) s t(h s (B k ) + ɛ). Antamalla ɛ 0 saamme H s (B k ) th s (B k ). Koska H s (B k ) < ja t < 1, niin silloin H s (B k ) = 0. Kohdan (1) oikeanpuoleista epäyhtälöä varten voimme olettaa, että A on Boreljoukko, sillä H s on Borel-säännöllinen huomautuksen 1.15(3) perusteella. Olkoon t > 1 ja B = {x A : Θ s (A, x) > t}. Kuten todistuksen alkuosassa nytkin riittää osoittaa, että H s (B) = 0. Olkoon ɛ > 0 ja δ > 0. Soveltamalla lausetta 1.10 (2) rajoittumaan H s A löydämme avoimen joukon U siten, että B U ja H s A (U) = H s (A U) < H s (B) + ɛ. Kaikilla x B löytyy mielivaltaisen pieniä lukuja r siten, että 0 < r < δ/2, B(x, r) U ja H s (A B(x, r)) > t(2r) s. Nyt Vitalin peitelauseen 1.9 perusteella löydetään erilliset pallot B 1, B 2,..., joille pätee H s (B \ B i) = 0. Täten H s (B) + ɛ > H s (A U) H s (A ( B i )) = H s (A B i ) > t(2r i ) s = t (diamb i ) s thδ(b s ( B i )) = th s δ(b). Viimeinen yhtäsuuruus seuraa tiedosta H s (B \ B i) = 0 ja Hδ s :n subadditiivisuudesta. Nyt antamalla ɛ 0 ja δ 0 ja koska t > 1, saamme H s (B) = 0. Todistetaan lopuksi kohta (2). Olkoon t > 0 ja B = {x R n \ A : Θ s (A, x) > t}. Osoitetaan, että H s (B) = 0, mistä väite seuraa. Olkoon ɛ > 0. Sovelletaan lausetta 1.10 (2) Borel-säännölliseen mittaan H s A. Koska B R n \ A, niin H s A (B) = H s (A B) = 0, joten löydämme lauseen 1.10 (2) perusteella avoimen joukon U siten, että B U ja H s (A U) < ɛ. Nyt jokaisella x B on r x > 0 siten, että B(x, r x ) U ja H s (A B(x, r x )) > t(2r x ) s. 5r-peitelauseen 1.7 nojalla löydetään x 1, x 2,... B siten,

19 että pallot B i = B(x i, r i ) ovat erillisiä ja pallot 5B i peittävät B:n. Siten th (B) s t diam(5b i ) s = t5 s diam(b i ) s = t5 s (2r xi ) s < 5 s H s (A B i ) 5 s H s (A ( B i )) 5 s H s (A U) < 5 s ɛ. Antamalla ɛ 0 saamme H (B) s = 0. Tästä seuraa edelleen, että H s (B) = 0. 3.3. Huomautus. Lauseen 3.2 kohdassa (1) yläraja on tarkka ja alaraja on paras mahdollinen, kun s 1. Alaraja ei välttämättä ole paras mahdollinen, kun s > 1. 4. LUKU: Pakkausmitta ja tiheydet Myös yleisille mitoille voidaan määritellä tiheyksiä samaan tapaan, kuin edellisessä luvussa tehtiin Hausdorn mitalle. Tässä luvussa määritellään yleisten mittojen tiheys ja esitetään tämän perusteella tulos pakkausmitan tiheydelle. Lisäksi esitetään pari tulosta, joissa käytetään hyväksi tietoa tutkittavan joukon tiheydestä. 4.1. Määritelmä. Olkoon 0 s < ja µ mitta R n :ssä. Mitan µ s-ulotteiset ylä- ja alatiheydet pisteessä a R n ovat ja Θ s (µ, a) = lim sup(2r) s µ(b(a, r)) r 0 Θ s (µ, a) = lim inf r 0 (2r) s µ(b(a, r)). Jos Θ s (µ, a) = Θ s (µ, a), niin merkitään Θ s (µ, a) = Θ s (µ, a) = Θ s (µ, a) ja sanotaan, että Θ s (µ, a) on mitan µ s-ulotteinen tiheys pisteessä a. 4.2. Huomautus. Mitan µ tiheyden määritelmä on samanlainen kuin Hausdorn mitan avulla määritelty tiheys, kun määritelmässä käytetään mitan µ rajoittumaa µ A. Tarkastellaan seuraavaksi pakkausmitan tiheyttä. Pakkausmitalle alatiheys on hyödyllisempi kuin ylätiheys. 4.3. Lause. Olkoon A R n siten, että P s (A) <. Tällöin Θ s (P s A, x) = 1 P s melkein kaikilla x A. Lemman 1.5 ja lauseen 1.19 perusteella voidaan olettaa, että A on Borel-joukko. Koska P s (A) <, niin huomautuksen 1.11 nojalla löydetään kompakti K A siten, että P s (A\K) < ɛ ja lauseen 1.10(2) nojalla avoin V A siten, että P s (V \A) < ɛ. Lisäksi lauseen 1.6 (3) nojalla P s A on Borel-säännöllinen, joten P s A on Radon-mitta. Todistetaan ensin, että Θ s (P s A, x) 1 P s -melkein kaikilla x A.

20 Olkoon 0 < t < 1. Merkitään B = {x A : Θ s (P s A, x) < t}. Riittää siis osoittaa, että pätee P s (B) = 0. Olkoon E B ja ɛ > 0. Nyt pakkausesimitan määritelmän nojalla on δ > 0 siten, että Pδ s(e) P s (E) + ɛ. Vitalin peitelauseen 1.9 nojalla löydetään erilliset pallot B i = B(x i, r i ), i = 1, 2,... siten, että diamb i < δ, x i E, P s (A B i ) < t(diamb i ) s ja P s (E \ B i) = 0. Siten P s (E) P s (E ( B i )) + P s (E \ B i ) = P s ( (E B i )) P s ( (A B i )) tp s δ (E) t(p s (E) + ɛ). Antamalla ɛ 0 saadaan P s (E) tp s (E), kun E B. Siten jos B = E i, niin P s (B) P s (A B i ) t (diamb i ) s P s (E i ) t P s (E i ). Siten pakkausmitan määritelmän perusteella P s (B) tp s (B). Koska t oli mielivaltainen, täytyy olla P s (B) = 0. Todistetaan lopuksi, että Θ s (P s A, x) 1 P s -melkein kaikilla x A. Olkoot t > 1 ja r 0 > 0. Merkitään B = {x A : P s (A B(x, r)) t(2r) s, 0 < r < r 0 }. Nyt B on Borel-joukko. Riittää siis osoittaa, että pätee P s (B) = 0. Olkoon ɛ > 0. Sovelletaan lausetta 1.10 ja huomautusta 1.11 mittaan P s A, jolloin löydetään kompakti joukko F ja avoin joukko U siten, että F B U ja P s (A U) < P s (B) + ɛ < P s (F ) + 2ɛ. Olkoon 0 < δ < min{r 0, d(f, R n \ U)}. Valitaan pallot B i, i = 1, 2,... siten, että pallot B i ovat erillisiä ja suljettuja ja niiden keskipisteet ovat F :ssä ja diamb i δ. Tällöin B i U ja t (diamb i ) s P s (A B i ) P s (A U) < P s (B) + ɛ. Täten ottamalla sup edellisen epäyhtälön molemmin puolin saadaan tp s δ (F ) Ps (B) + ɛ ja antamalla δ 0 saadaan tp s (F ) P s (B) + ɛ. Lisäksi tp s (B) t(p s (F ) + ɛ) t(p s (F ) + ɛ) P s (B) + ɛ + ɛt. Antamalla ɛ 0 saamme tp s (B) P s (B) <, joten P s (B) = 0, sillä t > 1. Seuraavaksi todistetaan kaksi tulosta, joissa hyödynnetään tietoa tutkittavan joukon tiheydestä. Näiden todistuksissa tarvitsemme kuitenkin seuraavia lemmoja. 4.4. Lemma. Olkoot µ Radon-mitta R n :ssä, A R n ja 0 < λ <. (1) Jos Θ s (µ, x) λ kaikilla x A, niin µ(a) 2 s λh s (A).

21 (2) Jos Θ s (µ, x) λ kaikilla x A, niin µ(a) 5 s λh s (A). Väite(1): Olkoon δ > 0. Merkitään A δ = {x A : µ(b(x, r)) 2 s λr s kaikilla 0 < r δ}. Jos δ δ, niin A δ A δ ja A = δ>0 A δ, joten µ(a) = lim δ 0 µ(a δ ). Olkoon {E i } A δ :n peite siten, että diame i < δ ja A δ E i. Olkoon x i A δ E i. Tällöin E i B(x i, diame i ) ja joten µ(e i ) µ(b(x i, diame i )) 2 s λ(diame i ) s, µ(a δ ) µ(e i ) 2 s λ (diame i ) s. {E i } on mielivaltainen A δ :n peite, joten ottamalla inf saadaan µ(a δ ) 2 s λh s δ(a) ja antamalla δ 0 saadaan väite µ(a) 2 s λh s (A). Väite (2): Olkoot ɛ > 0 ja V avoin siten, että µ(v ) µ(a) + ɛ ja A V. Koska kaikilla x A Θ s (µ, x) = lim sup(2r) s µ(b(x, r)) λ, r 0 niin r s λ 1 2 s µ(b(x, r))) (*) mielivaltaisen pienillä r > 0. Olkoon B δ kokoelma suljettuja palloja B(x, r) siten, että x A, 0 < 10r < δ, B(x, r) V ja (*) pätee. Nyt 5r-peitelauseen 1.8 nojalla löydetään erilliset pallot B i B δ siten, että A 5B i. Tällöin H s δ(a) 5 s (diamb i ) s = 5 s 2 s r s i 5 s 2 s 5 s λ 1 µ(v ) λ 1 2 s µ(b i ) 5 s λ 1 (µ(a) + ɛ). Antamalla δ 0 ja ɛ 0 saadaan väite µ(a) 5 s λh s (A). 4.5. Lemma. Olkoot µ Radon-mitta R n :ssä, A R n ja 0 < λ <. (1) Jos Θ s (µ, x) λ kaikilla x A, niin µ(a) λp s (A). (2) Jos Θ s (µ, x) λ kaikilla x A, niin µ(a) λp s (A). Samaan tapaan kuin lemma 4.4: Väite (1): Koska kaikilla x A Θ s (µ, x) = lim inf r 0 (2r) s µ(b(x, r)) λ,

22 niin mielivaltaisen pienillä r > 0 pätee r s λ 1 2 s µ(b(x, r))). (*) Olkoot δ > 0 ja B δ kokoelma suljettuja palloja B(x, r) siten, että x A, 0 < r < δ ja (*) pätee. Nyt Vitalin peitelauseen 1.9 nojalla löydetään erilliset pallot B i B δ siten, että µ(a \ B i) = 0 ja µ( B i) µ(a). Tällöin P s δ (A) (diamb i ) s = 2 s r s i 2 s λ 1 2 s µ(b i ) = λ 1 µ(b i ) = λ 1 µ( B i ) λ 1 µ(a). Antamalla δ 0 saadaan µ(a) λp s (A). Lisäksi P s (A) = inf{ P s (A A i )} inf{ λ 1 µ(a A i )} λ 1 µ(a), mikä oli väite. Väite(2): Olkoon δ > 0 ja merkitään A δ = {x A : µ(b(x, r)) 2 s λr s kaikilla 0 < r < δ}. Jos δ δ, niin A δ A δ ja A = δ>0 A δ, joten µ(a) = lim δ 0 µ(a δ ). Olkoon ɛ > 0. Tällöin on olemassa avoin joukko V A, jolle µ(v ) µ(a)+ɛ. Olkoon {B i } A δ :n δ-pakkaus eli B i :t ovat palloja, joiden keskipisteet x i A δ, B i V ja r i < δ. Tällöin µ(a) + ɛ µ(v ) µ(b i ) 2 s λri s = λ (2r i ) s, joten P s (A δ ) P s δ (A δ ) λ 1 (µ(a) + ɛ). Antamalla δ 0 ja ɛ 0 saadaan P s (A) λ 1 µ(a), mikä oli väite. Seuraavissa lauseissa käytetään hyväksi tietoa tutkittavan joukon tiheydestä ja tiheyden olemassa olosta mitan P s suhteen. 4.6. Lause. Olkoon A R n siten, että P s (A) <. Tällöin P s (A) = H s (A), jos ja vain jos tiheys Θ s (A, x) on olemassa ja Θ s (A, x) = 1 P s -melkein kaikilla x A. Olkoon P s (A) = H s (A). Käyttämällä mittojen Borel-säännöllisyyttä ja lemmaa 1.5 voidaan olettaa, että A on Borel-joukko. Tällöin, koska lauseen 1.30 mukaan H s P s, niin P s (B) = H s (B) kaikille Borel-joukoille B A.

Täten lauseiden 3.2(1) ja 4.3 perusteella H s - melkein kaikilla x A 1 = Θ s (P A, x) = lim inf r 0 (2r) s P s (A B(a, r)) = lim inf r 0 (2r) s H s (A B(a, r)) = Θ s (A, x) lim sup(2r) s H s (A B(a, r)) = Θ s (A, x) 1. r 0 Täten Θ s (A, x) = 1 H s -melkein kaikilla x A. Koska H s (B) = P s (B) kaikille Borel-joukoille B A, niin Borel-säännöllisyyden nojalla kaikille A:n osajoukoille C A pätee P s (C) = H s (C). Tällöin Θ s (A, x) = 1 P s -melkein kaikilla x A. Olkoon Θ s (A, x) = 1 P s -melkein kaikilla x A. Olkoon B Borel-joukko siten, että A B ja H s (A) = H s (B). Lemman 1.5 nojalla Θ s (B, x) = lim inf r 0 (2r) s H s (B B(x, r)) = lim inf r 0 (2r) s H s (A B(x, r)) = Θ s (A, x), kaikilla x R n. 23 Lemman 4.5(2) perusteella sovellettuna Radon-mittaan µ = H s B H s (A) H s ({x A : Θ s (B, x) 1}) 1 P s ({x A : Θ s (A, x) 1}) = P s (A), sillä Θ s (A, x) = 1 P s -melkein kaikilla x A. Lisäksi lauseen 1.30 mukaan H s (A) P s (A) <. Siis P s (A) = H s (A). 4.7. Lause. Olkoon A R n Borel-joukko siten, että 0 < H s (A) <. Jos Θ s (A, x) > 0 P s -melkein kaikilla x A, niin dim p A = dim H A. Huomautuksen 1.26 mukaan s = dim H A dim p A. Olkoon B = {x A : Θ s (A, x) = 0} ja C = {x A : Θ s (A, x) > 1}. Tällöin P s (B) = 0 ja lauseen 3.2(1) perusteella H s (C) = 0, jolloin lemmasta 4.5(2) seuraa P s (C \ B) = 0, joten myös P s (B C) = 0. Nyt voimme kirjoittaa A \ (B C) = A i, missä joukot A i ovat rajoitettuja, H s (A i ) > 0 ja joillekin r i > 0, 0 < a i < b i <, a i r s H s (A B(x, r)) b i r s x A i, 0 < r < r i. Täten määritelmän 1.28 ja huomautuksen 1.29 perusteella dim p (B C) s ja lauseen 1.24 mukaan kaikille i 1, dim M A i = dim H A i = s. Siten huomautuksen 1.26 nojalla dim p A i = s. Tällöin myös dim p A = s.

24 Lähteet: [1] Falconer, K., Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons Ltd., 1990 [2] Järvenpää, E., Fraktaaligeometrian muistiinpanot, Jyväskylän yliopisto, kevät 2006 [3] Koskela, P., Reaalianalyysin muistiinpanot, Jyväskylän yliopisto, kevät 2005 [4] Mattila, P., Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, Cambridge studies in advanced mathematics 44, Cambrigde University Press, 1995