Determinoiruvuuden aksiooma
|
|
- Ari Parviainen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta ylinumeroituva valintaaksiooma on tahan valttamaton: korvaamalla valinta-aksiooma determinoituvuuden aksioomalla voidaan todistaa numeroituva valinta-aksiooma Leb(R) = P(R). 1. Peleista Tassa esitelmassa peli G(A; W ) on pari (A; W ), missa A on mika tahansa joukko ja W A N = ff j f : N! Ag on voittojoukko. Pelin siirrolla n pelaaja I valitsee ensin jonkun alkion a n 2 A ja sitten pelaaja II valitsee alkion b n 2 A. Pelaaja II voittaa pelin G(A; W ) jos jono (a 0 ; b 0 ; a 1 ; b 1 ; : : : ) on voittojoukossa W. Muuten pelaaja I voittaa. Pelaajan II strategia on funktio, joka saa arvokseen joukon A alkioita ja jonka argumentteja ovat aarelliset joukon A jonot (pelaajaan I tekemat siirtosarjat): : [ 1 n=1 A n! A: Vastaavasti pelaajan I strategia on funktio : [ 1 A n! A: Strategia on voittostrategia mikali pelaaja voittaa pelin aina noudattamalla tata strategiaa. Peli on determinoitu jos jommalla kummalla pelaajalla on voittostrategia Esimerkki. Olkoon W 0 [0; 1] R, A = f0; 1; : : : 9g ja W = f(a n ) 1 j 0; a 0 a 1 a 2 2 W 0 g: Pelaajat siis valitsevat vuorotellen reaaliluvun desimaaleja. Pelaaja II pyrkii osumaan joukkoon W 0 ja pelaaja I puolestaan joukkoon [0; 1] n W 0. Nyt
2 2. ZF, ZFC JA ZF+AD 2 Jos [0; 1] n W 0 sisaltaa avoimen valin (1=10; 2=10), niin pelaajalla I on helppo voittostrategia: jokaisella siirrolla han pelaa luvun 1. Lopullinen luku on talloin vaistamatta valin (1=10; 2=10) sisalla. Eli (x) = 1 kaikilla x 2 [ n A n on pelaajan I voittostrategia. Jos [0; 1] n W 0 on numeroituva, niin pelaajalla II on voittostrategia: Han numeroi taman joukon [0; 1] n W 0 = fq i j i 2 Ng ja diagonalisoi: siirrolla n valitsee luvun q n n:n desimaalin. Talla tavalla valittu luku ei voi olla mikaan naista q n. Huom: tassa ei kaytetty valinta-aksioomaa joukon numeroimiseksi, silla oletuksena oli, etta joukko on numeroituva, eli on olemassa bijektio f : N! [0; 1]nW 0. Samoin jos W 0 on numeroituva, niin I:lla on voittostrategia. Kehittamalla naita argumentteja nahdaan esimerkiksi, etta jos W 0 on avoin ja W 0 = [0; 1], niin pelaajalla II on voittostrategia (esim. Cantorin joukon komplementti). Oletetaan, etta on joku joukko W 0 [0; 1] siten, etta tama peli ei ole determinoitu. Ylla olevasta seuraa mm. etta talloin kumpikaan joukoista W 0 ja [0; 1] n W 0 ei voi olla numeroituva eika edes laiha (tihean avoimen komplementti). Itse asiassa sellainen joukko ei voi olla edes Lebesgue-mitallinen. Voiko tama peli olla ei determinoitu? Vastaus alla. Seuraavassa merkitaan N = N N Yleistetaan hieman esimerkin 1.1 pelia: Olkoon A = N ja W N = N N. Jos varustetaan N tulotopologialla, niin siita on helppo konstruoida jatkuva bijektio reaalilukuihin b: N! R, mika kaytannossa tarkoittaa reaalilukujen esttamista paattymattomana desimaalilukuna, jonka desimaalit saavat olla mita tahansa luonnollisia lukuja (vrt. ketjumurtoluku). Topologista avaruutta N = N N kutsutaan Bairen avaruudeksi (the Baire space - eri asia kuin a Baire space, joka on mika tahansa avaruus, jossa patee Bairen lause). Determinoituvuuden aksiooma (AD). Peli G(N; W ) on determinoitu kaikilla W N. 2. ZF, ZFC ja ZF+AD Ei ole tarkoitus perehtya ZF:n aksioomiin kunnolla, tassa ne kuitenkin ovat kokonaisuuden vuoksi: Aksioomajoukko ZF: (i) 8x8y(8z(z 2 x, z 2 y) ) x = y) (ii) 8x[9y(y 2 x) ) 9y(y 2 x ^ :9z(z 2 y ^ z 2 x))]
3 3 (iii) Olkoon ' kaava, jossa vapaina esiintyvat vain x; z; w 1 ; : : : ; w n. Talloin seuraava on aksiooma: 8z8w 1 : : : w n 9y8x(x 2 y, (x 2 z ^ ')) (iv) 8x8y9z(x 2 z ^ y 2 z) (v) 8F 9A 8Y 8x(x 2 Y ^ Y 2 F ) x 2 A) (vi) Olkoon ' kaava, jossa vapaina esiintyvat vain x; z; w 1 ; : : : ; w n. Talloin seuraava on aksiooma: 8A 8w 1 ; : : : ; w n [(8x 2 A9!y') ) 9Y 8x 2 A9y 2 Y ']: (vii) 9X (? 2 X and 8y(y 2 X ) S(y) 2 X)) (viii) 8x9y8z(z x ) z 2 y) Naista aksioomista voi johtaa jo hyvin paljon matematiikkaa. Muun muassa on helppo konstruoida taydellinen jarjestetty kunta. Yleensa kuitenkin kaytossa on hieman laajempi aksioomajoukko, nimittain ZFC = ZF + Valinta-aksiooma. Valinta-aksiooma (AC). Jokainen joukko voidaan hyvinjarjestaa, t.s. jokaista joukkoa A kohti on olemassa R A A, joka maarittelee joukkoon A lineaarijarjestyksen s.e. jokaisella A:n osajoukolla on R-pienin alkio (hyvin jarjestys). Tama on ekvivalenttia sen kanssa, etta mielivaltaisella joukkoperheella (X i ) i2i on valintafunktio f : I! [ i2i X i f(i) 2 X i ja sen kanssa, etta mielivaltaisella joukkoperheella kuten ylla, tulojoukko i2i X i on epatyhja. Myos tunnetusti ekvivalenttia Zornin lemman ja Tychonovin lauseen kanssa. Seuraavassa on joitain faktoja. Jos T on aksioomajoukko, niin merkitaan Con(T) lausetta, joka sanoo, etta T on ristiriidaton. Godel: mistaan ristiriidattomasta aksioomajoukosta ei voi todistaa, etta se askioomajoukko itse on ristiriidaton, eli T! Con(T ) () T on ristiriitainen Tasta huolimatta voidaan todistaa: Con(ZF)!Con(ZFC) ja Con(ZF)!Con(ZF+:AC) AD! :AC, mutta AD implikoi AC:n numeroituville joukoille. Con(ZF+AD)!Con(ZFC) Viimeinen implikoi, etta AD:ta ei voi todistaa ZFC:sta eika ZF:sta (miakali nama ovat ristiriidattomia). Toiseksi viimeinen on helppo todistaa diagonalisoimalla: 2.1. Lause. Valinta-aksioomasta seuraa, etta G(N; W ) voi olla epadeterminoitu. Seuraavassa lukijalta oletetaan hieman tiatamysta ordinaaleista.
4 3. ZF + AD ) Leb(R) = P(R) 4 Todistus. Kaikkia pelaajan I strategioita on yhta paljon kuin funktioita : 1[ n=1 (N) n! N; eli kontiinumin verran: 2!. Valinta-aksiooman nojalla kaikki pelaajan I strategiat voidaan laittaa hyvinjarjestykseen: f j < 2! g ja myos pelaajan II strategiat: f j < 2! g. Nyt joukkoa A voi rakentaa diagonalisoimalla induktiolla. Oletetaan, etta vaiheessa on valittu joukot fx 2 N j < g ja fy 2 N j < g. Seuraavaksi otetaan strategia ja valitaan joku y siten etta y on siirtosarja, jossa pelaaja I on pelannut siirtoja (b 0 ; b 1 ; :::) ja II on kayttanyt strategiaa. (Tarvittava y aina loytyy, silla siirtosarjoja on 0 kappaletta.) Seuraavaksi taas valitaan x silla tavalla, etta se on siirtosarja, joka tulee pelatuksi jos II pelaa (a 0 ; a 1 ; a 2 ; :::) ja I on kayttanyt strategiaa. Selvasti joukot Y = fy j < 2! g ja X = fx j < 2! g ovat erilliset ja jokaista I:n strategiaa kohti loytyy b = fb 0 ; b 1 ; :::g siten etta pelissa, jossa II pelaa (b 0 ; b 1 ; :::) strategiaa vastaan, niin lopullinen jono on joukossa Y ja pain vastoin. Siis G(N; X) ei voi olla determinoitu Lause. Determinoituvuuden aksioomasta seuraa numeroituva valinta-aksiooma, eli etta jokaisella numeroituvalla perheella reaalilukujoukkoja on valintafunktio. Todistus. Olkoon P = fx 0 ; X 1 ; X 2 ; : : : g numeroituva kokoelma reaalilukujen osajoukkoja. Voidaan olettaa, etta ne on valin (0; 1) osajoukkoja. Osoitamme, etta loytyy valintafunktio f : N! P, f(i) 2 X i kaikilla i. Pelataan seuraavaa pelia G(N; W ): pelaaja I valitsee jonon (a 0 ; a 1 ; a 2 ; : : : ) lukuja a i 2 f0; 1g ja pelaaja II valitsee (b 0 ; b 1 ; b 2 ; : : : ) myos s.e. b i 2 f0; 1g ja II voittaa jos ja vain jos reaaliluku 0; b 0 b 1 b 2 : : : (binaariluku) on joukossa X a0. Selvastikaan pelaajalla I ei ole voittostrategiaa: kun han on pelannut a 0, II voi valita reaaliluvun b 2 X a0 ja pelata sen desimaaleja. Koska peli on determinoitu AD:n nojalla, niin pelaajalla II on voittostrategia. Jos tama voittostrategia on, voidaan valintafunktio maaritella f(n) = reaaliluku, jonka m:s desimaali on (n; 0; : : : ; 0): {z } m 1kpl 3. ZF + AD ) Leb(R) = P(R) Jos x 2 N, merkitaan x n = x f0; : : : ; n 1g ja O xn = fy 2 N j y n = x ng. Joukot O xn ovat avoimia ja muodostavat avaruuden N topologialle numeroituvan kannan ja samalla jokaiselle x 2 N numeroituvan ymparistokannan.
5 Lemma. Jokaiselle A R loytyy sellainen mitallinen B R, etta B A ja jos Z B n A on mitallinen, niin m(z) = 0. Todistus. Jos A on rajoitettu, niin tama on selvaa, valitaan vain Borel joukko B s.e. m(b) = m(a). Jos A on rajoittamaton, niin A on numeroituva yhdiste rajoitettuja A = [ n C n, jolloin jokaiselle C n voidaan valita tallainen joukko B n. Jos nyt Z [ n B n na on mitallinen, niin se on numeroituva yhdiste mitallisista B n nc n ja joikaisen naista mitta on nolla Lemma. Olkoon f : N! R jatkuva. Talloin Rng f = f[n ] on Lebesguemitallinen. Todistus. Tahan todistukseen ei tarvita valinta- eika determinoituvuuden aksioomaa. Olkoon A = f[n ] Jatkuvuuden nojalla kaikilla a 2 N patee ff(a)g = \ n2n f[o an] = \ n2n f[o an] (Kaikilla " loytyy n s.e. f[o an] B(f(a); ") jne..) Tasta seuraa A = [ 1\ a2n f[o an] = [ 1\ a2n f[o an]: Merkitaan A s = f[o s ], missa s = x n joillain x ja n (eli s on aarellinen jono). Ylla olevan lemman nojalla jokaista A s kohti loytyy mitallinen B s A s siten etta jos Z B s n A s on mitallinen, niin sen mitta on nolla. A:n mitallisuuden toteamiseksi riittaa osoittaa, etta m (B n A) = 0, missa B = B?, eli B A ja B kuten ylla olevassa lemmassa. Koska A s on mitallinen, voidaan valita niin, etta A s B s A s. Talloin saadaan ja B n A = B n [ A = 1\ a2n [ 1\ a2n B an [ B s s2seq B s n 1[ B s_k! : F Tarkistetaan viela viimeinen kuuluvuus: jos x 2 B, mutta x =2 S s2seq (B s n S 1 B s_k ), niin kaikilla aarellisilla jonoilla x =2 (B s n S 1 B s_k ), eli mm. x =2 B n S 1 B hki eli loytyy k 0 s.e. x 2 B hk0 i jatkamalla induktiivisesti huomataan, etta kaikilla n loytyy k n s.e. x 2 B hk0 ;k 1 ;:::;kni, eli x 2 T 1 B hk0 ;k 1 ;:::;kni, mika on ristiriita sen kanssa, etta x =2 B n S a2n T 1 B an. Toisaalta kaikilla s Z s = B s n 1[ B s_k B s n 1[ A s_k ;
6 3. ZF + AD ) Leb(R) = P(R) 6 jolloin B s :n maaritelman nojalla m(z s ) = 0 (Z s on selvasti mitallinen Borel-joukko). Mutta F:n nojalla B na S s2seq Z s, joka on numeroituva yhdiste! Siis m (B na) = Lause. Determinoituvuuden aksioomasta seuraa, etta kaikki reaalilukujen osajoukot ovat Lebesgue mitallisia. Todistus. Lemman 3.1 nojalla riittaa osoittaa, etta jos S R on sellainen, etta kaikilla mitallisilla Z S m(z) = 0, niin m (S) = 0. Olkoon siis S sellainen, etta kaikilla mitallisilla Z S mitta on nolla. Kiinnitetaan " ja osoitetaan, etta m (S) < ". Koska " on m.v., tasta lopulta seuraa, etta m (S) = 0. Jokaista n 2 N kohti maaritellaan kokoelma avoimia joukkoja K n seuraavasti: Jos G 2 K n, niin G on aarellinen yhdiste avoimia valeja, joiden paatepisteet ovat rationaalilukuja. m(g) "=2 2n+1. Jokainen K n on numeroituva, joten voidaan kirjoittaa K n = fg n 0 ; Gn 1 ; Gn 2 ; Gn 3 ; : : : g. (Tassa on kaytetty numeroituvaa valintaa). Maaritellaan peli G(N; W ) seuraavasti. Pelaaja I valitsee lukuja 0 ja 1 ja yrittaa muodostaa binaariluvun a 2 S ja II pulestaan valitsee joukkoja H n 2 K n siten etta a 2 S 1 H n. Tarkemmin pelaaja I voittaa siirtosarjalla (a 0 ; b 0 ; a 1 ; b 1 ; a 2 ; : : : ) jos ja vain jos a n 2 f0; 1g a 2 S (missa a on binaariluku a = 0; a 0 a 1 a 2 : : : ) a =2 G n bn. Pelaajan II voittojoukko W siis muodostuu niista jonoista jotka eivat toteuta jotain ehdoista (i) (iii). Osoitamme ensin, etta pelaajalla I ei ole voittostrategiaa. Vastaoletus: on pelaajan I voittostrategia. Maaritellaan kuvaus f : N! R seuraavasti. Jos b = (b 0 ; b 1 ; : : : ), niin olkoon a = (a 0 ; a 1 ; a 2 : : : ) jono niita luonnollisia lukuja, joilla strategiaa vastaa kun pelaaja II pelaa lukuja b 0 ; b 1 ; : : :. Asetetaan f(b) = a, missa a on reaaliluku a = 0; a 0 a 1 a 2 : : :. Vaite on etta f on jatkuva. Olkoon b 2 N ja " > 0. Olkoon k s.e. 2 k < ". Silloin jos a = 0; a 0 a 1 a 2 2 (f(b) "; f(b)+"), niin jonon a ja f(b) binaaridesimaalit eroavat aikaisintaan desimaalissa k, eli jos otetaan kaikki sellaiset jonot b 0, jotka eroavat jonosta (b 0 ; b 1 ; :::) aikaisintaan desimaalissa k, saadaan avoin joukko avaruudessa N, jonka kuva sisaltyy f(b):n "-ymparistoon. Toisaalta, koska oli voittostrategia, niin f(b) 2 S, eli f[n ] = Z S. Lemman 3.2 nojalla Z on mitallinen ja S:n maaritelman nojalla m(z) = 0. Mutta jos se on nollamittainen, niin taatusti loytyy jokin jono joukkoja H n 2 K n s.e. S S n H n. Siis II pystyisi
7 7 nyt voittamaan pelin pelaamalla jokaisella siirolla talla tavalla valitun H n :n, mika on ristiriita sen kanssa, etta olisi voittostrategia pelaajalle I. Determinoituvuuden aksiooman nojalla tasta seuraa, etta pelaajalla II on voittostrategia. Olkoon tama strategia. Jokaista aarellista jonoa s = (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n ) kohti valitaan G n s, joka on strategian antama siirto sen jalkeen kun I on pelannut jonon s. Koska on S voittostrategia, S niin kaikilla jonoilla (a 0 ; a 1 ; :::), joilla a = 1 0; a 0 a 1 ; ::: 2 S patee a 2 G n an = fg s j s = (a 0 ; : : : ; a n ); n 2 Ng, joten 1[ [ S n=1 s2f0;1g n G s : Jos s 2 f0; 1g n, niin G s 2 K n maaritelman mukaan, eli m(g s ) "=2 2(n+1), joten ottamalla huomioon, etta jonoja s f0; 1g n on 2 n kappaletta saadaan [ 1 [ 1X [ m(s) m G s m G s n=1 s2f0;1g n s2f0;1g n 1X 1X X s2f0;1g n m(g s ) 2 n " 2 2n+1 = 1X 1X X s2f0;1g n " 2 2n+1 " = ": 2n+1 Siis m(s) < " mielivaltaisella ", mika riittaa todistukseksi.
8 8 Kirjallisuutta [Jech] Jech, T., Set Theory. ISBN Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.
d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
LisätiedotLuonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta
Solmu 1/2019 19 Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta Tuomas Korppi Johdanto Kuten lukija varmaan tietääkin, luonnollisille luvuille voidaan tehdä induktiotodistuksia. Tämä mahdollisuus on ominainen
LisätiedotHieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).
Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei
LisätiedotVastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotPysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
LisätiedotLUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotTopologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedot2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.
Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotU missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A
Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotU β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)
1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotMatemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotMetristyvät topologiset avaruudet
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Arttu Ojanperä Metristyvät topologiset avaruudet Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2016 Tampereen Yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö OJANPERÄ,
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotAnalyysi I (mat & til) Demonstraatio IX
Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX 16.11. 2018 II välikoe 19.11. klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa 12.11. mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
Lisätiedot1 Joukkojen mahtavuuksista
1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
LisätiedotYleistettyjen jonojen käyttö topologiassa
Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotTehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2
Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
Lisätiedot