CLIFFORDIN ANALYYSIÄ AVARUUDESSA R 3

TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Konetekniikan osasto HEIKKI ORELMA CLIFFORDIN ANALYYSIÄ AVARUUDESSA R 3 Diplomityö Tarkastaja prof. Sirkka-Liisa Eriksson Määrätty osastoneuvoston kokouksessa 11.5.005

Tiivistelmä TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Konetekniikan osasto/ Matematiikan laitos ORELMA, HEIKKI: Cliordin analyysiä avaruudessa R 3 Diplomityö, 101 s. Tarkastaja: prof. Sirkka-Liisa Eriksson Rahoittaja: TTY/ Matematiikan laitos Marraskuu 005 Funktioteoria on analyyttisten kompleksifunktioiden teoriaa kompleksilukujen joukossa. Kompleksiluvut ajatellaan tason pisteinä. Tässä työssä tutkitaan sitä, miten kaksiulotteinen funktioteoria voidaan yleistää kolmiulotteiseen avaruuteen. Yleistämisen edellytyksenä on määritellä tulo kolmiulotteiseen avaruuteen. Tulon määrittäminen tapahtuu käyttämällä sopivaa Cliordin algebraa. Cliordin algebrojen yleinen tarkastelu on tämän työ puitteissa mahdotonta, joten niitä tarkastellaan ainoastaan yhdessä erityistapauksessa Cliordin algebra Cl 0,. Pääpaino työssä on hyperbolisen funktioteorian tutkiminen ja kehittäminen. Hyperbolista funktioteoriaa voi pitää analogisena funktioteorian analyyttisten ja harmonisten funktioiden teorian kanssa. Hyperbolisen funktioteorian avulla kehitetään tärkeä polyharmonisten funktioiden luokka. Polyharmonisilla funktioilla on yhteys osittaisdierentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Funktioteoriassa analyyttisille funktioille voidaan todistaa Cauchyn integraalikaava. Työn lopussa todistetaan Cauchy-tyyppinen integraalikaava eräälle hyperboliselle funktioluokalle, 1- hyperholomorsille funktioille.

3 Abstract Classical complex analysis or classical function theory discusses the properties of analytic functions. The aim of this Master's thesis is to extend the classical function theory to the three-dimensional space. First, some topics concerning Cliord Algebras, particularly Cl 0,, are researched, the main topic of the present thesis being hyperbolic function theory. The hyperbolic function theory is analogous to classical function theory. With the hyperbolic function theory we develop polyharmonic functions that are used in solving partial dierential equations. Another aim for the research was Cauchy-type integral formulas for one particular hyperbolic function class, 1-hyperholomorphic functions.

4 Alkusanat Tämä diplomityö on tehty Tampereen teknillisen yliopiston Matematiikan laitoksella. Aloitin työn tekemisen toukokuussa 005 tutkimusapulaisena matematiikan laitoksella. Työn runko valmistui kesän aikana ja lopullinen kirjallinen ulkoasu syksyn 005 kuluessa. Työni ohjaajana ja tarkastajana on toiminut professori Sirkka-Liisa Eriksson. Häntä haluan kiittää lämpimästi opetuksista, neuvoista, ohjauksesta ja kärsivällisyydestä. Erityisesti haluan kiittää Matematiikan laitosta rahoituksesta, kannustavasta ilmapiiristä ja laadukkaasta opetuksesta. Lisäksi haluan kiittää vanhempiani, veljeäni, kestävyysurheiluseura TePS:iä, ystäviäni ja kaikkia jotka ovat edesauttaneet opintojeni edistymistä. Lopuksi haluan kiittää avovaimoani Mirvaa ymmärtämisestä ja jaksamisesta. Tampereella 18. marraskuuta 005 Heikki Orelma Insinöörinkatu 58 C 0 3370 Tampere Puh. 040 759 7119

Sisältö 1 Johdanto 7 Cliordin algebra Cl 0, ja sen ominaisuuksia 9.1 Cliordin algebra Cl 0,...................... 9. Involuutiot............................. 13.3 Cliordin algebran Cl 0, ja avaruuden R 3 välinen yhteys... 17 3 Derivaatta ja polynomit 0 3.1 Derivaatta ja derivoituvuus................... 0 3. Polynomit Cliordin algebrassa Cl 0,.............. 4 Monogeeniset funktiot 33 5 Hyperboliset funktiot 37 5.1 Hyperholomorset funktiot.................... 43 5. Hyperbolisesti harmoniset funktiot............... 5 5.3 Hyperholomorsten ja hyperbolisesti harmonisten funktioiden välinen yhteys........................... 57 5.4 Polyharmoniset funktiot ja niiden esityslause.......... 70 6 Integraalikaavat 80 6.1 Cauchyn integraalikaava monogeenisille funktioille....... 80 6. Cauchyn integraalikaava 1-hyperholomorsille funktioille... 84 7 Yhteenveto ja päätelmiä 99 5

Lyhenteet ja merkinnät A B joukkojen A ja B suora summa A B joukkojen A ja B leikkaus i imaginaariyksikkö e j luonnollisen kannan j. kantavektori δ ij Kroneckerin delta -symboli f : A B funktio joukosta A joukkoon B N luonnollisten lukujen joukko Z kokonaislukujen joukko R reaalilukujen joukko C kompleksilukujen joukko R bivektorien joukko R 3 + ylempi puoliavaruus Ba, r a-keskinen r-säteinen avoin pallo Cl 0, Cliordin algebra x y vektorien x ja y sisätulo x y vektorien x ja y ulkotulo x alkion x pääinvoluutio x alkion x reversio x alkion x konjugaatti ˆx alkion x ˆ-involuutio normi x 1 alkion x käänteisalkio Re x paravektorin x reaaliosa Pu x paravektorin x vektoriosa D l, D vasen Diracin operaatori D r oikea Diracin operaatori D l, D vasemman Diracin operaattorin liitto-operaatori D r oikean Diracin operaattorin liitto-operaatori Laplacen operaattori P operaattori P Q operaattori Q M k modioitu vasen Diracin operaattori, missä k Z M k modioidun vasemman Diracin operaattorin liitto-operaattori M r modioitu vasen Diracin operaattori, kun k = 1 M l modioitu vasen Diracin operaattori, kun k = 1 LB LaplaceBeltrami -operaattori 6

Luku 1 Johdanto Funktioteoria tutkii analyyttisiä funktioita, integrointia ja kuvauksia kompleksitasossa. Funktioteorian rikkaus ja monipuolisuus antaa aiheen tutkia, onko samankaltaisen funktioteorian kehittäminen mahdollista useampiulotteisissa avaruuksissa. Funktioteorian kehityksen nykyiseen muotoonsa on mahdollistanut kompleksilukujen tulo. Onko siis olemassa kompleksilukujen kaltainen lukujärjestelmä useammassa ulottuvuudessa, jolle jokin funktioteoriaa muistuttava teoria olisi mahdollista perustaa? Useampiulotteista funktioteoriaa on tutkittu 1900-luvun loppupuolen jälkeen mittavasti. Suomalaisen matematiikan menestyneimpiä osa-alueita on ollut ja on funktioteoria. Tämä johtuu suurelta osin Rolf Nevanlinnan 1895-1980 ja hänen oppilaidensa tekemästä työstä. Funktioteorian tutkimus on luonnollisesti herättänyt tutkijoissa ajatuksia teorian yleistämiseksi. Vuonna 1968 Jussi Väisälä pohti artikkelissaan [1] n-ulotteista funktioteoriaa ja tuli siihen tulokseen, että: n-ulotteinen funktioteoria on olemassa, ainakin jossakin mielessä. Merkittäviä tuloksia saatiin odotella 1900-luvun lopulle. Ensin keksittiin vastaus kysymykseen, miten määritellä tulo n-ulotteiseen avaruuteen. Pertti Lounesto 1945-00 toi artikkelissaan [] suomalaisten matemaatikkojen laajempaan tietoisuuteen Cliordin algebrat. Cliordin algebra on William Cliordin 1845-1879 kehittämä assosiatiivinen algebra. Cliord itse käytti algebroistaan nimitystä geometrinen algebra. Cliordin algebrat ovat siis olleet olemassa jo 1800-luvulta lähtien, mutta matematiikassa vähemmän tutkittu tieteen ala. Voidaan jopa sanoa, että Cliordin algebrat olivat unohdettuja, kunnes ne 1960-luvulla löytyivät uudelleen. Cliordin algebrojen uuteen tulemiseen on suurelta osin vaikuttanut fyysikko David Hestenes. Hestenesin työ Cliordin algebrojen parissa, etenkin soveltajana on ollut uraauurtavaa. 1970-luvulla Richard Delanghe julkaisi ensimmäiset tuloksensa monogeeni- 7

8 sista funktioista. 1980-luvulla tutkimustyö funktioteorian yleistämiseksi lähti liikkeelle toden teolla. Syntyi tieteenala, jota kutsutaan Cliordin analyysiksi. Cliordin analyysin tehtävä on pyrkiä kehittämään funktioteoriaa avaruudessa R n Cliordin algebrojen avulla. Teoriaa pyrittiin tekemään tunnetuksi myös suomalaisten matemaatikkojen keskuudessa. Osittain Hestenesin töiden pohjalta Lounesto julkaisi artikkelin [3], missä funktioteoriaa yleistettiin korkeampiin dimensioihin. Nykyisin Cliordin analyysin tutkimus on aktiivista ja laaja-alaista. Onhan teoriassa vielä runsaasti kehitettävää. Varsinaisten sovellusten osalta ollaan vielä aivan alkutaipaleella. Kansainvälisistä merkittävistä Cliordin analyysin tutkijoista kannattaa mainita ainakin Frank Sommen, John Ryan, Heinz Leutwiler, Eric Lehman ja Sirkka-Liisa Eriksson. Tässä työssä on jouduttu rajoittumaan ajan ja resurssien takia tarkastelemaan Cliordin analyysiä vain dimensiossa kolme. Pyrkimyksenä on ollut säilyttää analogia perinteisen funktioteorian kanssa mahdollisuuksien mukaan. Luvussa tarkastellaan tarvittavaa matematiikan välineistöä. Cliordin algebroista tarkastellaan ainoastaan tarvittavaa Cliordin algebraa Cl 0,. Kappaleen on tarkoitus olla enemmän hyödyllinen kuin teoreettinen. Involuutioita tarkastellaan kattavasti niiden myöhemmän tarpeellisuuden takia. Luvussa 3 Määritellään derivaatta vektorimuuttujan Cliordin algebra -arvoisille funktioille. Määritellään derivoituvuus ja todistetaan derivointisääntöjä. Potenssifunktiolle x m todistetaan esityskaavoja ja derivointikaavoja. Luvussa 4 Tarkastellaan monogeenisia funktioita. Monogeeniset funktiot toimivat ikään kuin johdantona hyperboliselle funktioteorialle. Luvussa 5. tarkastellaan hyperbolisia funktioita. Määritellään hyperholomorset ja hyperbolisesti harmoniset funktiot. Todistetaan useita keskeisiä tuloksia funktioluokille ja niiden välille. Luvun lopussa määritellään polyharmoniset funktiot. Luvussa 6 todistetaan Cauchy-tyyppisiä integraalikaavoja. Tärkeimpänä tuloksena tässä luvussa todistetaan Cauchyn integraalikaava 1-hyperholomorsille funktioille. Luvussa 7 kootaan yhteen tulokset ja esitellään mahdollisia jatkotutkimuksen kohteita. Suuri osa tässä työssä käytetyistä tuloksista on otettu lähteistä. Tuloksen yhteydessä on kerrottu lähdeviite, jos tulos on otettu lähteestä. Vastaavasti, jos todistus seuraa jotakin lähdettä, se mainitaan todistuksen yhteydessä.

Luku Cliordin algebra Cl 0, ja sen ominaisuuksia Kompleksianalyysi eli funktioteoria tutkii funktioita jotka ovat kuvauksia kompleksilukujen kunnassa C. Toisaalta kompleksiluvut voidaan ajatella geometrisesti, jolloin ne voidaan samaistaa tason R pisteiksi. Kompleksilukujen avulla mallinnetussa tasossa on kantana alkiot 1 ja i, jolla on ominaisuus i = 1. Näin muodoin tason piste x 0, x 1 voidaan esittää muodossa x = x 0 + x 1 i. Kompleksiluvut muodostuvat reaalilukujoukkojen suorana summana C = R R. Funktioteorian kehityksen nykyiseen muotoonsa on mahdollistanut tason alkioiden välille määritelty tulo. Tämä johtuu kompleksilukujen kunta ominaisuudesta. Jos halutaan kehittää funktioteoriaa kolmiulotteiseen avaruuteen, pitää määritellä tulo jollakin mielekkäällä tavalla. Seuraavaksi tutustutaan siihen, miten mallinnetaan kolmiulotteista avaruutta Cliordin algebralla Cl 0,..1 Cliordin algebra Cl 0, Tutustutaan tässä kappaleessa Cliordin algebraan Cl 0,. Cliordin algebra Cl 0, voidaan samaistaa kvaternionialgebraan [4]. Yleisiä Cliordin algebroita käsitellään lähteessä [5]. Olkoon {e 1, e } vektoriavaruuden R ortonormaali kanta, siis e 1 = e = 1 ja e 1 e..1 9

CL 0, 10 Määritellään tulo kantavektoreiden välille asettamalla e i e j + e j e i = δ ij,. missä δ ij on tavallinen Kroneckerin delta -symboli. Relaatiosta seuraa kantavektorien välille ominaisuudet e 1 = e = 1 ja e 1 e = e e 1..3 Jälkimmäistä ominaisuutta sanotaan antikommutatiivisuudeksi. Kaytetään kantavektorien e 1 ja e tulosta lyhennysmerkintää e 1 := e 1 e.4 ja kutsutaan näin saatua alkiota yksikköbivektoriksi. Yksikköbivektori e 1 on lineaarisesti riippumaton kantavektoreista e 1 ja e. Cliordin algebrassa Cl 0, skalaareiksi sanomme alkioita, joiden neliö on positiivinen, esimerkiksi reaaliluvut. Cliordin algebra Cl 0, on vektoriavaruus, jonka kanta koostuu neljästä elementistä 1 skalaari, e 1, e vektorit, bivektori. Cliordin algebran Cl 0, mielivaltainen alkio on muotoa e 1 x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1.5 eli skalaarin x 0, vektorin x 1 e 1 + e ja bivektorin x 1 e 1 lineaarikombinaatio. Skalaarit ajatellaan reaalilukujen joukkona R, vektorit vektoriavaruuden R alkioina ja bivektorit bivektorien joukon, jota merkitään R, alkioina. Cliordin algebra Cl 0, muodostuu edellisten joukkojen suorana summana Cl 0, = R R R..6 Seurauksena ominaisuuksista.3 kantaelementtien 1, e 1, e ja e 1 välille voidaan kirjoittaa kertolaskutaulu e 1 e e 1 e 1 1 e 1 e e e 1 1 e 1 e 1 e e 1 1.7 Cliordin algebran Cl 0, alkioiden a ja b tulo ab määritellään edellä mainitun taulukon avulla käyttämällä hyväksi kantaelementtien tulon antikommutatiivisuutta, distributiivisuutta ja assosiatiivisuutta. Tutkitaan seuraavaksi vektorien tulon laskusääntöjä.

CL 0, 11 Lause.1.1 Olkoot a, b ja c Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Tällöin 1 ab + c = ab + ac ja b + ca = ba + ca distributiivisuus, abc = abc assosiatiivisuus. Todistus. Olkoon indeksijoukko I = {0, 1,, 1}. Olkoot a, b ja c Cliordin algebran Cl 0, alkioita a = i I b = j I a i e i, b j e j, c = k I c k e k. Kohdan 1 todistus on triviaali, koska kantavektorien tulo on distributiivinen, eli ab + c = a i e i b j e j + c k e k i I j I k I = a i e i b j e j + a i e i c k e k i I j I i I = ab + ac. Todistetaan vektorien a, b ja c assosiatiivisuus. Käytetään todistuksessa hyväksi kantavektorien assosiatiivisuutta. Tällöin abc = a i e i b j e j c k e k i I j I = a i e i b j e j c k e k i,j I k I = a i e i b j e j c k e k, i,j,k I k I k I

CL 0, 1 mihin voidaan soveltaa kantavektorien assosiatiivisuutta. Tulos seuraa tästä, eli abc = a i e i b j e j c k e k i,j,k I = i I = i I = abc. a i e i b j e j c k e k j,k I a i e i b j e j c k e k Kerrottaessa Cliordin algebran Cl 0, vektoreita a ja b keskenään voidaan tulo ab jakaa symmetriseen ja antisymmetriseen osaan j I ab = a b + a b. Symmetristä osaa, jota merkitään a b, kutsutaan sisätuloksi ja antisymmetristä osaa, jota merkitään a b, kutsutaan ulkotuloksi. Tulon ab jakaminen kahteen osaan on erityisen tärkeää sovellettaessa Cliordin algebroja käytännön ongelmiin. Lause.1. [5] Olkoot a ja b Cliordin algebran Cl 0, vektoreita. Tällöin sisätulo saadaan laskettua kaavalla a b = 1 ab + ba k I ja ulkotulo kaavalla a b = 1 ab ba. Todistus. Todistus seuraa lähteessä [5] olevaa todistusta. Olkoot a ja b vektoreita. Lasketaan ab = a b + a b.8 ja ba = b a + b a = a b a b..9 Kun lasketaan.8 ja.9 yhteen, saadaan ab + ba = a b, mistä väite seuraa. Kun vähennetään.9 tulosta.8, saadaan mistä väite seuraa. ab ba = a b,

CL 0, 13. Involuutiot Involuutioilla on tärkeä merkitys Cliordin algebrojen teoriassa. Involuutiot ovat lineaarisia operaattoreita. Involuutiot selkyttävät kalkyyliä ja tuovat uudenlaisia objekteja teoriaan. Esimerkki..1 Olkoon z = x 0 +x 1 i kompleksiluku. Kompleksilukujen joukossa C involuutio on kompleksikonjugaatti : C C, joka määritellään kaavalla z = x 0 x 1 i. Kompleksilukujen joukossa on myös toinen involuutio, nimittäin identiteettikuvaus. Tärkeitä involuutioita Cliordin algebrassa Cl 0, on neljä kappaletta. Seuraavaksi näiden määritelmät. Määritelmä.. Pääinvoluutio Operaattoria : Cl 0, Cl 0,, joka määritellään kaavalla kutsutaan pääinvoluutioksi. x = x 0 x 1 e 1 e + x 1 e 1,.10 Pääinvoluutio vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion x vektoritermien etumerkit. Määritelmä..3 Reversio Operaattoria : Cl 0, Cl 0,, joka määritellään kaavalla x = x 0 + x 1 e 1 + e x 1 e 1,.11 kutsutaan reversioksi. Reversio vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion x bivektoritermin etumerkin. Määritelmä..4 Konjugaatti Operaattoria : Cl 0, määritellään kaavalla Cl 0,, joka kutsutaan konjugaatiksi. x = x 0 x 1 e 1 e x 1 e 1,.1 Konjugatti vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion x sekä vektori- että bivektori termien etumerkit. Konjugaatti voidaan antaa pääinvoluution ja reversion avulla x = x. Konjugaattia kutsutaan usein myös Cliordin konjugaatiksi erotukseksi kompleksikonjugaatista.

CL 0, 14 Määritelmä..5 Operaattori ˆ: Cl 0, Cl 0,, joka määritellään kaavalla on involuutio. ˆx = x 0 + x 1 e 1 e x 1 e 1,.13 Edellisessä määritelmässä olevalla involuutiolla ei ole nimeä. Puhekielessä involuutiota kutsutaan hattu-involuutioksi. Seuraavaksi tutkitaan involuutioiden ominaisuuksia. Todistetaan ensin, että pääinvoluutio on isomorsmi eli laskutoimituksen säilyttävä kuvaus. Lause..6 [6] Olkoot a ja b Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Pääinvoluutiolle pätee ab = a b..14 Todistus. Todistetaan väite kanta-alkiolle. Pääinvoluutio vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion vektoriosan etumerkit, eli e 0 = 1, e 1 = e 1, e = e ja e 1 = e 1. Olkoon indeksijoukko I = {0, 1,, 1}. Jos i I, niin Vektoritermeille puolestaan Bivektorille ja vektorille e 0 e i = e i = e 0 e i = e 0e i. e 1 e = e 1 = e 1 = e 1 e = e 1 e = e 1e. e 1 e 1 = e 1 e 1 e = e = e = e 1e = e 1 e 1 = e 1e 1 ja vastaavasti tulolle e e 1. Väite pätee kantavektorien välillä, eli e i e j = e ie j, kun i, j I. Olkoot nyt alkiot a = i I a i e i ja b = j I b j e j. Tällöin ab = a i e i b j e j i I j I = a i b j e i e j i,j I = i,j I a i b j e ie j = a i e i i I = a b, b j e j j I

CL 0, 15 mikä todistaa väitteen. Edellisessä lauseessa todistettiin pääinvoluution olevan isomorsmi, eli laskutoimituksen säilyttävä operaatio. Vastaavalla todistustekniikalla osoitetaan seuraavaksi, että reversio on anti-isomorsmi. Lause..7 [6] Olkoot a ja b Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Reversiolle pätee ab = b a..15 Todistus. Todistetaan väite kanta-alkiolle. Reversio vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion bivektoriosan etumerkin, eli e 0 = 1, e 1 = e 1, e = e ja e 1 = e 1. Olkoon indeksijoukko I = {0, 1,, 1}. Jos i I, niin Vektoritermeille puolestaan Bivektorille ja vektorille e 0 e j = e j = e je 0. e 1 e = e 1 = e 1 = e 1 = e e 1 = e e 1. e 1 e 1 = e = e = e e 1 = e 1 e 1 e = e 1e 1, ja vastaavasti tulolle e e 1. Väite pätee kantavektorien välillä, eli e i e j = e je i, kun i, j I. Olkoot nyt alkiot a = i I a i e i ja b = j I b j e j. Tällöin ab = a i e i b j e j i I j I = a i b j e i e j i,j I = i,j I a i b j e je i = b j e j j I = a b, a i e i i I mikä todistaa väitteen.

CL 0, 16 Lause..8 [7] Olkoot a ja b Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Hattuinvoluutiolle pätee âb = âˆb..16 Todistus. Todistetaan väite kanta-alkiolle. Hattu-involuutio vaihtaa Cliordin algebran Cl 0, alkion vektoritemin e, ja samalla bivektoritermin e 1 etumerkin, eli ê 0 = 1, ê 1 = e 1, ê = e ja ê 1 = e 1. Olkoon indeksijoukko I = {0, 1,, 1}. Jos i I, niin Vektoritermeille puolestaan Bivektorille ja vektorille ê 0 e j = ê j = ê j ê 0. ê 1 e = ê 1 = e 1 = e 1 = e 1 e = ê 1 ê. ê 1 e 1 = ê = e = e 1 e 1 = ê 1 ê 1, ja vastaavasti tulolle e e 1. Väite pätee kantavektorien välillä, eli ê i e j = ê i ê j, kun i, j I. Olkoot nyt alkiot a = i I a i e i ja b = j I b j e j. Tällöin âˆb = i I a i ê i b j ê j j I = i,j I a i b j ê i ê j = i,j I a i b j ê i e j = âb, mikä todistaa väitteen. Lemma..9 [6] Olkoon z kompleksiluku ja e Cliordin algebran Cl 0, kanta-alkio. Tällöin pätee ze = e z = e z..17

CL 0, 17 Todistus. Todistetaan kuten lähteessä [6]. Olkoon z = x 0 + x 1 e 1 e Cl 0,. Tällöin C ja ze = x 0 + x 1 e 1 e = x 0 e + x 1 e 1 e = e x 0 e x 1 e 1 = e x 0 x 1 e 1 = e z = e z. Involuutioiden sovelluksena saadaan normi ja käänteisalkiot Cliordin algebran Cl 0, alkiolle. Määritelmä..10 Normi Olkoon x Cliordin algebran Cl 0, alkio. Alkion normi määritellään kaavalla x = xx = x x = 0 + 1 + + 1..18 Lause..11 [5] Olkoon x Cliordin algebran Cl 0, alkio ja x 0. Alkion käänteisalkio on tällöin x 1 = x x..19 Todistus. Käyttämällä normin määritelmää x = xx, saadaan ja x 1 x = x x x = x x = 1 xx 1 = x x x = x x = 1..3 Cliordin algebran Cl 0, ja avaruuden R 3 välinen yhteys Kolmiulotteinen avaruus koostuu pisteistä x 0, x 1,. Yleistettäessä funktioteoriaa kolmiulotteiseen avaruuteen tulee laskennallisesti mielekkääksi kuvata edellä mainittu piste Cliordin algebran Cl 0, alkiona x = x 0 + x 1 e 1 + e..0

CL 0, 18 Tällaista alkiota kutsutaan paravektoriksi. Välitön analogia kompleksilukujen kanssa löytyy. Määritellään yllä olevalle paravektorille reaaliosa kaavalla Re x := x 0.1 ja vektoriosa Pu x := x 1 e 1 + e.. Pääinvoluution avulla reaaliosalle saadaan laskukaava seuraavassa lemmassa. Lemma.3.1 Olkoon x = x 0 + x 1 e 1 + e Cl 0, paravektori. Tällöin Re x = x + x..3 Todistus. Olkoon x = x 0 +x 1 e 1 + e paravektori. Tällöin x = x 0 x 1 e 1 e ja siis Re x = x + x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 0 x 1 e 1 e = x 0. Näin voidaan tuoda tulo mukaan kolmiulotteiseen avaruuteen, joka mahdollistaa teorian eteenpäinviemisen. Avaruutta R 3 ajatellaan joukkona R 3 = R R..4 Jatkossa tarkoitetaan joukolla R 3 juuri yllä olevan joukon alkioita, joissa on Cliordin algebran tulo-ominaisuus. Näin olemme saaneet aikaiseksi laskennallisesti melkoisen rikkaan struktuurin. Tutkitaan esimerkkien avulla, mitä oikeastaan näin määriteltyyn joukkoon R 3 sisältyy. Esimerkki.3. Reaaliluvut R sisältyvät joukkoon R 3. Esimerkki.3.3 Kompleksiluvut voidaan ajatella osajoukkona missä e 1 = 1. C = {x 0 + x 1 e 1 x 0, x 1 skalaareja}.5

CL 0, 19 Edelliset kaksi esimerkkiä ovat luonnollisesti myös Cliordin algebran Cl 0, osajoukkoja. Kuten alussa mainittiin, Cliordin algebra Cl 0, voidaan samaistaa kvaternionien algebran kanssa. Käsitellään tätä seuraavassa esimerkissä. Esimerkki.3.4 Kvaternionit ovat joukko H = {z = z 0 + z 1 i + z j + z 3 k z 0, z 1, z, z 3 skalaareja},.6 missä kanta-alkiot toteuttavat laskusäännöt i = j = k = 1, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j ja ijk = 1. Asettamalla i = e 1, j = e, k = e 1 e, toteuttavat alkiot i, j ja k kvaternionialgebran laskusäännöt. Näin ollen Cliffordin algebra Cl 0, on isomornen joukon H kanssa. Kvaternioineja käsitellään kattavasti lähteessä [4].

Luku 3 Derivaatta ja polynomit Edellisessä kappaleessa esitettiin struktuuri, jonka varaan voidaan lähteä rakentamaan analyysin teoriaa. Tässä kappaleessa määritellään Cliordin algebra -arvoisen funktion derivaatta, määritellään funktion derivoituvuus ja tutustutaan polynomeihin ja niiden derivoimiseen Cliordin algebrassa Cl 0,. 3.1 Derivaatta ja derivoituvuus Analyysi perustuu suurelta osin funktion derivaatan ja derivoituvuuden käsitteiden varaan. Derivaatan määrittely perustuu raja-arvon käsitteeseen. Määritelmä 3.1.1 Funktion raja-arvo Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Funktiolla f : Ω Cl 0, on raja-arvo c pisteessä a, jos jokaisella ɛ > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että fz c < ɛ, kun 0 < z a < δ. 3.1 Normi joukossa Ω on tavallinen Euklidinen normi ja Cliordin algebran normi määriteltiin edellisessä kappaleessa. Merkitään raja-arvoa lim fz = c. 3. z a Raja-arvon avulla määritellään funktion f derivaatta muuttujan x i suhteen, kun i = 0, 1,, 1. Määritelmä 3.1. Derivaatta Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon kantavektori e i Cl 0,, kun i = 0, 1,, 1. Funktion f : Ω Cl 0, derivaatta muuttujan x i suhteen määritellään erotusosamäärän raja-arvona f fx + he i fx x = lim. 3.3 x i h 0 h 0

1 Välittömänä seurauksena saadaan varsin käyttökelpoinen tulos. Seuraus 3.1.3 Olkoon f : Ω Cl 0,. Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Jos funktio f kirjoitetaan muotoon niin sen derivaatta muuttujan x i suhteen on f = f 0 + f 1 e 1 + f e + f 1 e 1, 3.4 f x i = f 0 x i + f 1 x i e 1 + f x i e + f 1 x i e 1, 3.5 kun indeksi i kuuluu joukkoon {0, 1,, 1}. Todistus. Olkoon f = f 0 + f 1 e 1 + f e + f 1 e 1. Lasketaan derivaatta suoraan määritelmästä, saadaan f fx + he i fx = lim x i h 0 h f 0 x + he i f 0 x + f 1 x + he i e 1 f 1 xe 1 + = lim h 0 h f 0 x + he i f 0 x f 1 x + he i f 1 x = lim + lim e 1 h 0 h h 0 h f x + he i f x f 1 x + he i f 1 x + lim e + lim h 0 h h 0 h = f 0 x i + f 1 x i e 1 + f x i e + f 1 x i e 1. e 1 Määritelmä 3.1.4 Funktion jatkuva derivoituvuus Funktio f : Ω Cl 0, on jatkuvasti derivoituva avoimessa joukossa Ω R 3, jos sillä on kaikkien muuttujien suhteen jatkuvat osittaisderivaatat jokaisessa joukon Ω pisteessä. Reaaliarvoisten vektorimuuttujan funktioiden derivointia pidetään tunnettuna. Reaaliarvoisen funktioiden teoriaa käsitellään esimerkiksi lähteessä [8]. Osittaisderivaattaa sanotaan jatkuvaksi, jos sen kaikki komponenttifunktiot ovat jatkuvasti osittaisderivoituvia. Määritellään tavanomaiseen tapaan funktioiden f : Ω Cl 0, ja g : Ω Cl 0, yhteenlasku ja tulo pisteittäin, f + gx = fx + gx ja fgx = fxgx. 3.6 Todistetaan seuraavaksi derivointikaavat funktioiden summalle ja tulolle.

Lause 3.1.5 Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko ja λ Cliordin algebran Cl 0, alkio. Olkoot f : Ω Cl 0, ja g : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituvia funktioita. Tällöin 1 x i f + g = f x i + g x i, x i fg = f x i g + f g x i, 3 x i λf = λ f x i. Todistus. Olkoot f : Ω Cl 0, ja g : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituvia funktioita. Nyt f + gx + e i h f + gx f + g = lim x i h 0 h = lim h 0 fx + e i h + gx + e i h fx gx h fx + e i h fx gx + e i h gx = lim + lim h 0 h h 0 h = f x i + g x i, joten kohta 1 on tosi. Tulolle fx + e i hgx + e i h fxgx fg = lim x i h 0 h fx + e i hgx + e i h fxgx + e i h + fxgx + e i h fxgx = lim h 0 h fx + e i h fx gx + e i h gx = lim gx + e i h + fx lim h 0 h h 0 h = f g + f g, x i x i joten kohta on tosi. Kohdan 3 todistus on selvä kohdan perusteella, kun valitaan f = λ vakio ja g = f. 3. Polynomit Cliordin algebrassa Cl 0, Polynomit muodostavat tärkeän funktioluokan myös kolmidimensioisessa funktioteoriassa. Tästä syystä luomme erityisen katsauksen funktioihin x x m, 3.7

3 missä x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 kuuluu Cliordin algebraan Cl 0, ja m luonnollisten lukujen joukkoon N. Polynomien tutkimisen helpottamiseksi otetaan käyttöön seuraavat apukäsitteet. Teoria seuraa lähdettä [6]. Listaa α = α 0, α 1, α, α 1 3.8 kutsutaan multi-indeksiksi, missä α i kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon N jokaisella i = 0, 1,, 1. Multi-indeksipotenssi määritellään Kertoma multi-indeksille määritellään Multi-indeksin normi määritellään kaavalla ja multinomikerroin kaavana m = α x α = x α 0 0 x α 1 1 x α x α 1 1. 3.9 α! = α 0!α 1!α!α 1!. 3.10 α = α 0 + α 1 + α + α 1 3.11 m! α 0!α 1!α!α 1!. 3.1 Multi-indeksiä α = α 0, α 1, α, α 1 sanotaan parilliseksi, jos sen jokainen alkio α i on parillinen. Määritellään vielä yksikkömulti-indeksit ɛ 0 = 1, 0, 0, 0, ɛ 1 = 0, 1, 0, 0, ɛ = 0, 0, 1, 0, ɛ 1 = 0, 0, 0, 1. Polynomien keskeisin tulos on seuraava lause, jossa kehitetään laskentakaava astetta m olevalle monomille. Lause 3..1 [6] Olkoon x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio ja m luonnollinen luku. Tällöin x m = m cαx α, 3.13 α α =m

4 missä kerroin cα on cα = m α 0 α α 0 ɛ 0 m α 0 α α 0 ɛ 0 m α 0 1 α α 0 ɛ 0 ɛ i m α 0 α α 0 ɛ 0 1 m α0, kun α α 0 ɛ 0 on parillinen, 1 m α0 1 e i, kun α α 0 ɛ 0 ɛ i on parillinen, 0, muulloin. Todistus perustuu seuraavaan lemmaan. Lemma 3.. Olkoot x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio, x 1,, x 1 reaalilukuja ja m, n 1, n, n 1 luonnollisia lukuja. Tällöin 1 x 1 e 1 + e + x 1 e 1 m = 1 m 1 + + 1 m, Multinomilause y 1 + y +... + y k n = missä multinomikerroin n 1 +n + +n k =n n n 1,n,...,n k = n! n n 1, n,..., n k n 1!n! n k!. y n 1 1 y n y n k k, 3 Binomikerroin voidaan esittää multinomikertoimien avulla muodossa m m = α α m α0, 0 α α 0 ɛ 0 missä α = α 0, α 1, α, α 1 on multi-indeksi ja ɛ 0 yksikkömulti-indeksi. Todistus. Todistetaan kohta 1 induktiolla. Kohta 1 esitetty lähteessä [6]. Induktio alku saadaan osoittamalla m = 1 todeksi. Tällöin x 1 e 1 + e + x 1 e 1 =x 1 e 1 + e + x 1 e 1 x 1 e 1 + e + x 1 e 1 = 1e 1 + x 1 e 1 e + x 1 x 1 e 1 e 1 + x 1 e e 1 + e + x 1 e e 1 + x 1 x 1 e 1 e 1 + x 1 e 1 e + 1e 1 = 1 1 + + 1, joten induktioalku on tosi. Todistetaan seuraavaksi induktioaskel. Oletetaan, että x 1 e 1 + e +x 1 e 1 m =

5 1 m 1 + + 1 m on tosi. Osoitetaan, että tulos pätee myös indeksillä m + 1. Tällöin x 1 e 1 + e + x 1 e 1 m+1 = x 1 e 1 + e + x 1 e 1 m x }{{} 1 e 1 + e + x 1 e 1 oletus = 1 m 1 + + 1 m x 1 e 1 + e + x 1 e 1 }{{} induktioalku = 1 m 1 + + 1 m 1 1 + + 1 = 1 m+1 1 + + 1 m+1, siis väite pätee ja samalla kohta 1 on tosi. Todistetaan myös kohta induktiolla. Kun k = 1 yhtälön kummatkin puolet ovat y n 1, eli induktioalku on tosi. Oletetaan, että multinomilause pätee arvolla k. Kun sovelletaan binomikaavaa, saadaan y 1 + y +... + y k + y k+1 n = = = = n l=0 n l=0 n n y 1 +... + y k l l }{{} n l l=0 n 1 +...+n k =l n l=0 n 1 +...+n k =l oletus n 1 +...+n k =l n l y n l k+1 l n 1,..., n k l n 1,..., n k y n 1 y n 1 1 y n k k 1 y n k k yn l k+1 yn l k+1 n! l! l!n l! n 1! n k! yn 1 1 y n k k Kun sijoitetaan tulokseen n k+1 = n l eli l = n n k+1, saadaan y 1 + y +... + y k + y k+1 n n n! 1 = n n=n k+1 n 1 +...+n k =n n k+1! n 1! n k! yn 1 1 y n k k+1 n = y n 1 1 y n k k n 1,..., n yn k+1 k+1, k+1 n 1 +...+n k +n k+1 =n mikä todistaa väitteen. k yn k+1 k+1 yn l k+1.

6 Kohta 3. Kun sievennetään lauseketta, saadaan m α m α0 α α 0 ɛ 0 = m! α 0!α 1!α!α 1! m α 0! α 1!α!α 1! m! = α 0!m α 0! m =. Todistetaan Lause 3..1. Todistus seuraa lähdettä [6]. Olkoon x = x 0 +x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cl 0,. Binomikaava on m m y + z m = y k z m k, k k=0 missä m k on binomikerroin. Soveltamalla potenssiin x m binomikaavaa, saadaan x m = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 m m m = x α 0 0 x 1 e 1 + e + x 1 e 1 m α 0. α 0 =0 α 0 Kun käytetään edellisen lemman kohtaa 1, saadaan m m x m = x α 0 0 1 m α 0 1 + + 1 m α 0 = A + B. α 0 =0 α 0 α 0 }{{} + m m α 0 =0 α 0 x α 0 0 1 =:A m α 0 1 1 + + 1 m α 0 1 } {{ } =:B Yllä olevassa yhtälössä oikealla oleva lauseke on jaettu kahteen summaan. Ensimmäisessä summalausekeessa A indeksi m α 0 on parillinen. Jälkimmäisessä summalausekkeessa B puolestaan m α 0 on pariton eli m α 0 1 on parillinen. Tarkastellaan summalausekkeita erikseen. Kun sovelletaan ensimmäiseen summalausekkeeseen A edellisen lemman kohtaa, saadaan A = m m α 0 =0 α 0 x α 0 0 1 m α 0 n 1 +n +n 1 = m α 0 m α0 n 1, n, n 1 n 1 1 n n 1 1.

7 Kun sijoittetaan α 1 = n 1, α = n ja α 1 = n 1 ja ryhmitellään termejä, saadaan m m m α0 A = x α 0 0 x α 1 1 x α x α 1 1. 1 m α0 α 0 =0 α =m α 0 α 0 α α 0 ɛ 0 Kun sovelletaan yhtälön binomikertoimeen m α 0 edellisen lemman kohtaa 3 ja multi-indeksin potenssia, saadaan yhtälö muotoon α 0 =0 α 0 A = α =m m α 0 m α α 0 ɛ 0 α m α0 1 m α0 x α. α α 0 ɛ 0 Väite on tosi, kun m α 0 on parillinen. Jos puolestaan m α 0 1 on parillinen, saadaan m m B = x α m α 0 1 m α0 1 0 0 1 n 1 1 n n 1 1 e i. n 1, n, n 1 n 1 +n +n 1 = m α 0 1 Kun sijoitetaan α 1 = n 1, α = n ja α 1 = n 1 ja ryhmittelellään termejä, saadaan m m m α0 1 B = 1 m α 0 1 α α α 0 ɛ 0 ɛ i e i x α 0 0 x α 1 1 x α x α 1 1. 0 α 0 =0 α =m α 0 1 Kun sovelletaan yhtälön binomikertoimeen m α 0 edellisen lemman kohtaa 3 ja multi-indeksin potenssia, saadaan B = α =m m α 0 1 m α α 0 ɛ 0 ɛ i α m α0 1 m α0 1 e i x α. α α 0 ɛ 0 Olkoot α ja β multi-indeksejä ja m luonnollinen luku. Multinomikerroin kahdelle multi-indeksille määritellään m = m! α, β α!β!. Edellisessä lauseessa saatiin laskukaava monomille, seuraavaksi vastaava tulos binomille.

8 Lause 3..3 [6] Olkoot x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 ja y = y 0 + y 1 e 1 + y e + y 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Tällöin x + y m = m cα + βx α y β, 3.14 α, β α + β =m missä kertoimet cα + β ovat samoja kuin edellisessä lauseessa. Todistus. Lähdettä [6] seuraten. Olkoon γ = γ 0, γ 1, γ, γ 1 multi-indeksi ja olkoot x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 ja y = y 0 + y 1 e 1 + y e + y 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkioita. Kun sovelletaan tuloon x + y γ tavallista binomikaavaa, saadaan x + y γ =x + y γ 0 x + y γ 1 x + y γ x + y γ 1 γ 0 γ 1 x α 0 y γ 0 α 0 = = γ0 α α 0 =0 0 γ γ α 1 =0 γ1 γ 1 x α y γ α x α 1 y γ 1 α1 α 1 γ1 α α =0 α α 1 =0 1 γ i γ0 γ1 γ γ1 α i =0 i=0,1,,1 = α i +β i =γ i i=0,1,,1 α 0 α 1 α α 1 γ 0!γ 1!γ!γ 1! α 0!α 1!α!α 1!β 0!β 1!β!β 1! xα y β. x α 1 y γ 1 α 1 x α 0 y γ 0 α 0 x α 1 y γ 1 α 1 x α y γ α x α 1 y γ 1 α 1 Viimeisessä vaiheessa tehtiin sijoitus α i + β i = γ i. Kun sovelletaan edellistä lausetta, saadaan x + y m = m cγx + y γ γ γ =m = m γ 0!γ 1!γ!γ 1! cγ γ α 0!α 1!α!α 1!β 0!β 1!β β 1! xα y β γ =m α i +β i =γ i i=0,1,,1 = α + β =m = α + β =m m! α 0!α 1!α!α 1!β 0!β 1!β β 1! cα + βxα y β m cα + βx α y β. α, β

9 Tutkitaan seuraavaksi polynomien derivointia. Lähdetään liikkeelle helpoimmasta tapauksesta. Lause 3..4 Olkoon x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio ja m luonnollinen luku. Potenssifunktion x m derivaatta muuttujan x i, i = 0, 1,, 1, suhteen on kun e 0 = 1. x m m 1 = x k e i x m 1 k, 3.15 x i k=0 Todistus. Todistetaan lause induktioilla. Todistetaan induktioalku. Kun m =, kaavan oikea puoli on 1 x k e i x 1 k = e i x + xe i. k=0 Toisaalta tulon derivointissäännön nojalla x i = x i xx = x x + x x x i x i = e i x + xe i, joten induktioalku on tosi. Todistetaan seuraavaksi induktioaskel. Oletetaan, että x m m 1 = x k e i x m 1 k x i k=0 on tosi. Tulon derivointisäännön mukaan x m+1 = xm x + x m x x i x i x i m 1 = x k e i x m 1 k x + x m e i k=0 m 1 = x k e i x m k + x m e i x m m = k=0 m x k e i x m k. k=0

30 Esimerkki 3..5 Funktion x m ensimmäiset derivaatat muuttujan x i suhteen saadaan poimimalla termit alla olevasta Pascalin kolmiosta. m = 1 e i e i x xe i 3 e i xe i x e i 4 e i x 3 xe i e i x x 3 e i 5 e i x 4 xe i x 3 e i x 3 e i x x 4 e i 6 e i x 5 xe i x 4 e i x 3 x 3 e i x 4 e i x x 5 e i Esimerkiksi funktion x 4 derivaatta muuttujan x i suhteen saadaan laskemalla rivillä m = 4 olevat termit yhteen. Siis x 4 x i = e i x 3 + xe i + e i x + x 3 e i. Seuraavaksi todistetaan derivointisääntö polynomeille. Merkitään mielivaltaista osittaisderivaattaa α x m x α = α x m x α 0 0 x α 1 1 x α x α 1 1 missä α = α 0, α 1, α, α 1 on multi-indeksi., 3.16 Lause 3..6 [6] Olkoon x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio ja α = α 1, α, α 1. Tällöin α x m+ α m + α x α 1 1 x α x α = α! m cα + βx β. 3.17 1 1 α, m β β =m Todistus. Derivoimalla kaavaan 3.13 avulla annettua monomia x m+1 kerran muuttujan i suhteen, saadaan x m+1 = m + 1 cαα i x α ɛ i. x i α α =m+1 Kun sijoitetaan β = α ɛ i, α = β + ɛ i ja α i = β i + 1, saadaan x m+1 = m + 1 cβ + ɛ i β i + 1x β x i β + ɛ i β =m = m m + 1 β β i + 1 cβ + ɛ iβ i + 1x β β =m m + 1 = 1! m cβ + ɛ i x β. 1 β β =m

31 Väite on tosi ensimmäiselle derivaatalle. Todistetaan tämän jälkeen induktioaskel. Induktio-oletuksena on tällöin α x m+ α m + α = α! m cα + βx β. x α α, m β β =m Induktio-oletus pätee jokaisella m, siis myös arvolla m+1. Tämä johtuu siitä, että induktio suoritetaan indeksin ɛ i suhteen. Tällöin α +1 x m+ α +1 = α x m+1+ α x α+ɛ i x i x α = m + 1 + α m + 1 α! cα + βx β x i α, m + 1 β = m + α + 1 α, m + 1 α! β =m+1 β =m+1 m + 1 Kun sijoitetaan γ = β ɛ i, β = γ + ɛ i ja β i = γ i + 1, saadaan α +1 x m+ α +1 x α+ɛ i m + α + 1 = α! m + 1 α, m + 1 γ + ɛ i γ =m m + α + 1 α!αi + 1 = α, m m + 1α i + 1 γ =m m + α + 1 = α + ɛ i! m α + ɛ i, m γ γ =m β cα + γ + ɛ i γ i + 1x γ cα + ββ i x β ɛ i. m m + 1 γ γ i + 1 cα + ɛ i + γγ i + 1x γ cα + ɛ i + γx γ. Seuraus 3..7 Olkoon x = x 0 +x 1 e 1 + e +x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio ja α = α 1, α, α 1. Tällöin α x α = α!cα. 3.18 x α Todistus. Valitaan edellisessä lauseessa m = 0, mistä seuraa α x α α = α! 0 cαx β x α α, 0 β = α! α! α!cα = α!cα. β =0

3 Lopuksi todistetaan mielivaltaisen polynomin x k osittaisderivaatan kaava. Lause 3..8 Olkoon x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 Cliordin algebran Cl 0, alkio ja α = α 1, α, α 1. Olkoon lisäksi k α. Tällöin α x k x α = α + β =k k cα + βx β. 3.19 β Todistus. Kun kaavaan 3.17 sijoitetaan m + α = k ja m = k α, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin 0, niin α x k x = k k α α! cα + βx β α α, k α β = α + β =k = α + β =k β =k α k!α!k α! cα + βxβ α!k α!β! k cα + βx β. β

Luku 4 Monogeeniset funktiot Monogeeniset funktiot ovat eräs funktioluokka Cliordin algebra -arvoisten funktioiden joukossa. Monogeeniset funktiot ovat luonnollinen askel siirryttäessä korkeampaan dimensioon kompleksisesta funktioteoriasta. Tähän palataan esimerkin muodossa jäljempänä. Koska Cliordin algebra ei ole kommutatiivinen, on monogeenisia funktioita kahta laatua, sekä oikealta että vasemmalta monogeenisia. Monogeeniset funktiot määritellään Dirac-Fueterintai lyhyesti Diracin-operaattoreiden avulla. Kappale on koottu lähteistä [6] ja [9]. Määritelmä 4.0.9 Diracin operaattorit Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko ja funktio f : Ω Cl 0,. Oletetaan, että funktiolla f on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat. Vasen Diracin operaattori määritellään asettamalla D l f = f f f + e 1 + e 4.1 x 0 x 1 ja oikea Diracin operaattori määritellään asettamalla D r f = f x 0 + f x 1 e 1 + f e. 4. Määritellään monogeeniset funktiot Diracin operaattorien avulla. Määritelmä 4.0.10 Monogeeninen funktio Olkoon avaruuden R 3 avoin joukko. Olkoon f : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituva funktio. Funktio f on vasemmalta monogeeninen, jos ja f on oikealta monogeeninen, jos D l f = 0 4.3 D r f = 0. 4.4 33

34 Diracin operaattorien liitto-operaattorit määritellään asettamalla ja D l f = f x 0 e 1 f x 1 e f 4.5 D r f = f f e 1 f e. 4.6 x 0 x 1 Jatkossa, kun puhutaan Diracin operaattorista, tarkoitataan vasenta Diracin operaattoria. Lisäksi merkitään lyhyesti D := D l. Vastaavasti monogeenisella funktiolla tarkoitetaan vasemmalta monogeenista funktiota, ellei toisin mainita. Laplacen operaattori määritellään asettamalla = + +. 4.7 0 1 Diracin operaattorien avulla voidaan esittää korkeampiasteisia operaattoreita. Yksinkertaisin operaattori, joka voidaan hajottaa Diracin operaattorin avulla on Laplacen operaattori. Kattavampi esitys löytyy lähteestä [10]. Lemma 4.0.11 Olkoon D Diracin operaattori ja D sen liitto-operaattori. Tällöin Laplacen operaattori saadaan = DD = DD. 4.8 Todistus. Lähdetään sieventämään, saadaan DD = e 1 e + e 1 + e x 0 x 1 x 0 x 1 = + + 0 1 =. Vastaavasti saadaan = DD. Laplacen operaattorin avulla määritellään harmoniset funktiot. Määritelmä 4.0.1 Harmoninen funktio Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon funktio f : Ω Cl 0, kahdesti jatkuvasti derivoituva. Jos sanotaan funktiota f harmoniseksi. f = 0, 4.9

35 Harmonisten ja monogeenisten funktioiden välillä on seuraava tärkeä yhteys. Lause 4.0.13 Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon funktio H : Ω C harmoninen. Tällöin funktio on monogeeninen. f = DH 4.10 Todistus. Olkoon H : Ω C harmoninen funktio, eli H = 0. Olkoon f = DH. Kun operoidaan funktiota f vasemmalta Diracin operaattorilla D, saadaan Df = DDH = H = 0. Seuraavaksi pienennetään tutkittavaa funktiojoukkoa siirtymällä paravektoriarvoisiin funktioihin f : Ω R 3. Monogeenisille paravektoriarvoisille funktioille saadaan seuraava mielenkiintoinen tulos: monogeeniset paravektoriarvoiset funktiot toteuttavat niin sanotun M. Rieszin systeemin, mikä on Cauchy-Riemannin systeemin yleistys. Lause 4.0.14 M. Rieszin systeemi [9] Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon f : Ω R 3. Funktio f = f 0 +f 1 e 1 +f e on monogeeninen, jos ja vain jos se toteuttaa M. Rieszin systeemin { f0 x 0 f 1 x 1 f f 1 = f x 1, = 0, f 0 x 1 = f 1 x 0, f 0 = f x 0. 4.11

36 Todistus. Olkoon f : Ω R 3 funktio. Esitetään f muodossa f = f 0 + f 1 e 1 + f e. Suorana laskuna saadaan Df = + e 1 + e f 0 + f 1 e 1 + f e x 0 x 1 jos ja vain jos = f 0 x 0 + f 1 x 0 e 1 + f x 0 e + e 1 f 0 x 1 f 1 x 1 f f 0 f 1 + e 1 + e e 1 f x 1 f0 = f 1 f f1 + e 1 + f 0 x 0 x 1 x 0 x 1 f + e + f 0 f + e 1 f 1 x 0 x 1 =0, { f0 x 0 f 1 x 1 f f 1 = f x 1, = 0, f 0 x 1 = f 1 x 0, f 0 = f x 0. Yhtäpitävyys pätee edellä, koska Cliordin algebran Cl 0, kanta-alkiot ovat lineaarisesti riippumattomat. Esimerkki 4.0.15 Cauchy-Riemannin systeemi Olkoon f : Ω C monogeeninen funktio. Funktio on tällöin muotoa f = f 0 + f 1 e 1. Tällöin M. Rieszin systeemi redusoituu muotoon { f0 x 0 = f 1 x 1, f 0 x 1 = f 1 x 0, joka on Cauchy-Riemannin systeemi. Kompleksifunktioiden teoriassa Cauchy- Riemannin systeemin toteuttavia funktioita kutsutaan analyyttisiksi. Seuraavassa esimerkissä osoitetaan, että potenssifunktiot x m eivät ole monogeenisia. Monogeenisia funktioita ei näin ollen voida ajatella kompleksianalyysin analyyttisten funktioiden yleistyksenä. Esimerkki 4.0.16 Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko ja f : Ω Cl 0, funktio fx = x. Tällöin Df = 1 + e 1 + e = 1. Potenssifunktiot x m eivät ole monogeenisia.

Luku 5 Hyperboliset funktiot Tässä kappaleessa esitetään funktioteorian analyyttisten ja harmonisten funktioiden vastineet kolmiulotteisessa funktioteoriassa. Monogeenisia funktioita ei voitu samaistaa analyyttisen funktioiden kanssa, koska polynomeja ei olisi saatu mukaan teoriaan. On mietittävä miten teoriaa pitäisi muuttaa, jotta polynomit x m saataisiin kuulumaan johonkin selkeästi määrättyyn funktioluokkaan. Ratkaisu ongelmaan ei ole triviaali, ja lopultakin se on vain pitänyt keksiä. Ratkaisuna on metriikan vaihto. Siirrytään Riemannin metriikasta epäeuklidiseen hyperboliseen metriikkaan ds = d 0 + d 1 + d 5.1 ds = dx 0 + d 1 + d. 5. Taso = 0 kompleksitaso on singulaarinen, joten rajoitumme tarkastelemaan ainoastaan ylempää puoliavaruutta R 3 + = {x 0, x 1, R 3 > 0}. 5.3 Metriikan vaihto ja siitä seuraavat operaattorien muutokset sivuutetaan. Lähteessä [9] käsitellään operaattoreita ja metriikan vaihtoa täsmällisesti. Otetaan käyttöön P - ja Q-operaattorit, jotka selkeyttävät hyperbolisten funktioiden määrittelyä. Cliordin algebran Cl 0, mielivaltainen alkio x = x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 voidaan kirjoittaa muodossa x = z 0 + z 1 e, 37

38 missä z 0 ja z 1 ovat kompleksiluvut z 0 = x 0 + x 1 e 1 ja z 1 = + x 1 e 1. Määritellään operaattorit P : Cl 0, C ja Q : Cl 0, C asettamalla ja P x := z 0 5.4 Qx := z 1, 5.5 kun x = z 0 + z 1 e. Kompleksilukujen tapauksessa operaattori P antaa reaaliosan ja operaattori Q imaginaariosan. Operaattoreita P ja Q voidaan ajatella reaaliosan ja imaginaariosan yleistyksenä. Operaattoreille saadaan jatkon kannalta tärkeitä laskukaavoja. Listataan näitä seuraavaan lemmaan. Lemma 5.0.17 [6] Olkoot P ja Q edellä määriteltyjä operaattoreita ja olkoon x = z 0 + z 1 e Cl 0,. Tällöin 1 P x = P x, Q x = 0, 3 P Qx = Qx, 4 QP x = 0. Todistus. Olkoon alkio x = z 0 + z 1 e. Kohta 1 on voimassa, sillä Kohta on voimassa, sillä Kohta 3 on voimassa, sillä P x = P P x = P z 0 = z 0 = P x. Q x = QQx = Qz 1 = 0. P Qx = P z 1 = z 1 = Qx.

39 Kohta 4 on voimassa, sillä QP x = Qz 0 = 0. Operaattorit P ja Q ovat keskeisessä osassa kehitettäessä teoriaa eteenpäin. Tästä syystä tutkitaan seuraavaksi näiden operaattorien ominaisuuksia tarkemmin. Käytetään jatkossa lyhennysmerkintöjä P x := P x ja Q x := Qx. 5.6 Lemma 5.0.18 [6] Jos a ja b kuuluvat Cliordin algebraan Cl 0,, niin tällöin P ab = P ap b QaQ b, 5.7 Qab = aqb + Qab. 5.8 Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Olkoot a = P a + Qae ja b = P b + Qbe. Kun sovelletaan kaavaa.17 saadaan ab = P a + Qae P b + Qbe = P ap b + Qae Qbe + P aqbe + Qae P b = P ap b QaQ b + P aqb + QaP be. Operoimalla tuloon operaattorilla P saamme tuloksen 5.7. Q-osa ei ole vielä aivan halutun näköinen. Qab = P aqb + QaP b = a Qae Qb + Qab Qbe = aqb QaQ be + Qab + QaQ be = aqb + Qab. Pääinvoluution ja operaattorien P sekä Q välille saadaan seuraava käytännöllinen tulos. Lemma 5.0.19 [6] Jos a kuuluu Cliordin algebraan Cl 0,, niin 1 P a = P a,

40 Qa = Q a. Todistus. Olkoon a = P a + Qae. Kun sovelletaan Lemmaa..9, saadaan a = P a + Qae = P a + Q ae = P a Q ae. Todistetaan laskukaavat alkion P - ja Q-osille. Lemma 5.0.0 [6] Olkoon a Cliordin algebran Cl 0, alkio. Tällöin a = P a + Qae, missä P a = ae + e a e 5.9 ja Qa = e a ae. 5.10 Todistus. Todistus seuraa ja täydentää lähteen [6] todistusta. Olkoot a = P a + Qae ja a = P a Q ae. Tällöin e a ae = e P a Q ae P a + Qae e = e P a e Q ae P ae + Qa = Qa, missä sovelletiin Lemmaa..9. Tästä saadaan P a = a Qae = a e a ae e = ae 1 e a e + 1 ae = 1 ae 1 e a e = ae e a e.

41 Lemma 5.0.1 [7] Olkoon a Cliordin algebran Cl 0, alkio. Tällöin a = P a + Qae, missä P a = a + â 5.11 ja Todistus. Olkoon a Cl 0,. Tällöin Qa = â a e. 5.1 â = a 0 + a 1 e 1 a e a 1 e 1. Kun lasketaan alkio a ja â yhteen, saadaan a + â = a 0 + a 1 e 1 + a e + a 1 e 1 + a 0 + a 1 e 1 a e a 1 e 1 = a 0 + a 1 e = P a. Kun vähennetään â ja a toisistaan, saadaan â a = a 0 + a 1 e 1 a e a 1 e 1 a 0 + a 1 e 1 + a e + a 1 e 1 = a e + a 1 e 1. Kun kerrotaan vasemmalta alkiolla e, saadaan â ae = a + a 1 e 1 = Qa. Merkitään redusoitua Diracin operaattoria D 1 f := f x 0 + e 1 f x 1. 5.13 Cliordin algebra -arvoinen funktio f voidaan kirjoittaa P - ja Q-osien avulla muodossa f = P f + Qfe. Laajennetaan seuraavaksi Diracin operaattorin ominaisuuksia. Myös Diracin operaattorilla operoitu funktio voidaan jakaa P - ja Q-osiin, kuten seuraava lemma osoittaa.

4 Lemma 5.0. Olkoon Ω joukon R 3 avoin osajoukko ja olkoon f : Ω R 3 jatkuvasti derivoituva funktio. Tällöin ja P Df = D 1 P f Q f 5.14 QDf = D 1 Qf + P f. 5.15 Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Olkoon f = P f + Qfe funktio. Tällöin Df = DP f + DQfe P f = D 1 P f + e + D 1 Qfe + e Qf e = D 1 P f Q f + D 1 Qf + P f e, missä sovellettiin tulosta.17. Operoimalla tähän operaattoreilla P ja Q väite seuraa. Monogeenisille funktioille saadaan toisenlainen karakterisointi edellisen lemman seurauksena. Lause 5.0.3 [6] Olkoon Ω joukon R 3 avoin osajoukko ja olkoon funkio f : Ω R 3 jatkuvasti derivoituva. Tällöin Df = 0, 5.16 jos ja vain jos { D 1 P f Q f = 0, D 1 Qf + P f = 0. 5.17 Todistus. Olkoon f : Ω R 3 ja Df = 0. Väite seuraa suoraan edellisen lemman nojalla. Olkoon f : Ω R 3 funktio, joka toteuttaa systeemin { D 1 P f Q f = 0, D 1 Qf + P f = 0. Kun sovelletaan tietoa e = 1, saadaan systeemi muotoon { D 1 P f + e Q f = 0, D 1 Qfe + P f e = 0.

43 Kun sovelletaan Lemmaa..9, saadaan systeemi muotoon { Qf D 1 P f + e e = 0, P f D 1 Qfe + e = 0. Kun lasketaan systeemin yhtälöt puolittain yhteen, saadaan Tämä sievenee muotoon mistä saadaan D 1 P f + Qfe + e P f + Qfe = 0. D 1 f + e f = 0, Df = 0. 5.1 Hyperholomorset funktiot Tarvittavat apukäsiteet ja aputulokset on määritelty ja todistettu. Nyt voidaan määritellä modioitu Diracin operaattori ja sen avulla hyperholomorset funktiot. Jäljempänä osoitetaan, että polynomit x m ovat hyperholomor- sia funktioita. Määritelmä 5.1.1 Modioitu Diracin operaattori Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon f : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituva funktio. Modioitu Diracin operaattori määritellään kaavalla M k f = Df + k Q f, 5.18 missä D on Diracin operaattori ja k mielivaltainen kokonaisluku. Modioidun Diracin operaattorin liitto-operaattori määritellään puolestaan kaavalla M k f = Df k Q f. 5.19 Operaattorien summalle saadaan käyttökelpoinen tulos, kuten seuraava lemma osoittaa. Lemma 5.1. Olkoon M k modioitu Diracin operaattori ja M k sen liittooperaatori. Tällöin M k f + M k f = Df + Df = f x 0. 5.0

44 Todistus. Soveltamalla modioidun Diracin operaattorin ja sen liitto-operaattorin määritelmiä, saadaan M k f + M k f = Df + k Q f + Df k Q f = f x 0 + e 1 f x 1 + e f + f x 0 e 1 f x 1 e f = f x 0. Modioidun Diracin operaattorin avulla määritellään k-hyperholomorset funktiot, jotka ovat analogisia funktioteorian analyyttisten funktioiden kanssa. Määritelmä 5.1.3 Hyperholomornen funktio Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon f : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituva funktio. Funktio f on k-hyperholomornen, jos M k f = 0. 5.1 Osoitetaan, että k-hyperholomorsille funktioille saadaan myös toinen karakterisointi. Lause 5.1.4 [6] Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukkoa. Olkoon f : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituva funktio. Funktio f on k-hyperholomornen, jos ja vain jos { D 1 P f Q f + k Q f = 0, D 1 Qf + P f 5. = 0. Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Olkoon f : Ω Cl 0, jatkuvasti derivoituva funktio. Oletetaan, että M k f = 0. Kun operoidaan tähän P - operaatorilla, saadaan P M k f = 0. Kun sovelletaan tähän Lemmaa 5.0., saadaan P Df + k P Q f = 0 D 1 P f Q f + k Q f = 0,

45 joka on sama kuin yhtälöparin ensimmäinen yhtälö. Kun operoidaan yhtälöön M k f = 0 operaattorilla Q, saadaan QM k f = 0 QDf + k QQ f = 0. }{{} =0 Kun soveltetaan Lemmaa 5.0., saadaan D 1 Qf + P f = 0, joka sama kuin yhtälöparin toinen yhtälö. Oletetaan, että { D 1 P f Q f + k Q f = 0, D 1 Qf + P f = 0. Soveltamalla Lemmaa..9, saadaan laskukaava Q f = e Q f = e Qf e. Tehdään seuraavaksi oletuksen yhtälöparille seuraavat asiat. Kerrotaan sen toista yhtälöä vaselta alkiolla ja oikealta alkiolla e. Kerrotaan sen ensimmäistä yhtälöä alkiolla, sovelletaan yllä olevaa laskukaavaa ja käytetään Lemmaa..9. Tällöin yhtälöpari saadaan muotoon { Qf D 1 P f + e e + kq f = 0, P f D 1 Qfe + e = 0. Kun lasketaan yhtälöt puolittain yhteen, saadaan D 1 P f + D 1 Qfe + e P f + e Qf e + kq f = 0. Kun yhdistetään yhtälössä termejä, saadaan D 1 P f + Qfe + e P f + Qfe + k Q f = 0. Kun sijoitetaan P f + Qfe = f, saadaan D 1 f + e f + k Q f = 0

46 eli Df + k Q f = 0. Tämä on sama kuin modioidun Diracin operaattorin määritelmä, joten saadaan M k f = 0. Paravektoriarvoiset k-hyperholomorset funktiot muodostavat tärkeän funktioluokan. Jäljempänä osoitetaan konkreettiset yhtälöt, jotka nämä toteuttavat. Näitä funktioita kutsutaan H k -ratkaisuiksi. Määritelmä 5.1.5 H k -ratkaisu Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon f : Ω R 3 paravektoriarvoinen k-hyperholomornen funktio. Tällöin funktio f on H k -ratkaisu. Lemma 5.1.6 [6] Cliordin algebran Cl 0, alkio x on paravektori, jos ja vain jos e i xe i = x, 5.3 missä e 0 = 1. Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Olkoon x Cl 0,. Oletetaan, että x on paravektori. Tällöin Laskemalla summa saadaan i=0 x = x 0 + x 1 e 1 + e. e i xe i = e 0 xe 0 + e 1 xe 1 + e xe i=0 = x 0 + x 1 e 1 + e = x. Oletetaan, että on tosi. Tällöin e i xe i = x i=0 x + e 1 xe 1 + e xe = x.

47 Kun sijoitetaan yllä olevaan x = x 0 x 1 e 1 e + x 1 e 1, saadaan x = x e 1 xe 1 e xe = x 0 x 1 e 1 e + x 1 e 1 + e 1 + e x 0 + x 1 e 1 + e + x 1 e 1 e 1 + e =x 0 + x 1 e 1 + e. Lause 5.1.7 [6] Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Oletetaan, että funktio f : Ω Cl 0, on 1-hyperholomornen ja x R 3. Tulo fxx on 1-hyperholomornen, jos ja vain jos f on H 1 -ratkaisu. Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Oletetaan, että funktio f : Ω Cl 0, on 1-hyperholomornen ja x R 3. Oletetaan, että tulo fxx on 1-hyperholomornen. Tällöin M 1 fxx = 0. Pitää osoittaa, että f on paravektoriarvoinen. Todistamiseen tarvitaan kaavaa Q fx = Q fx + f = Q f x + f. Modioidun Diracin operaattorin määritelmän mukaan 0 = M 1 fx = Dfx + Q fx. Kun sovelletaan edellä johdettua kaavaa ja tulon derivaatan kaavaa, saadaan 0 = Dfx + fdx + Q f x + f = Dfx + f = M 1 fx + i=0 e i e i + Q f x + f e i fe i + f. i=0 Koska fxx on oletuksen mukaan 1-hyperholomornen ja koska f on 1- hyperholomornen, niin M 1 fx = 0. Edellinen yhtälö tulee muotoon e i fe i = f. i=0

48 Edellisen lemman mukaan funktio f on tällöin paravektori. Oletetaan, että f on H 1 -ratkaisu. Tällöin määritelmän nojalla M 1 f = 0. Kun operoidaan tuloon f x modioidulla Diracin operaattorilla, saadaan M 1 fx = Dfx + Q fx = Dfx + Q f x + f + e i fe i i=0 = Df + Q f x + f f x }{{ } =0 = 0. 5.4 Edellisen lauseen todistuksesta saadaan seuraava kaava 1-hyperholomorsille paravektoriarvoisille funktioille f ja alkiolle x, joka muotoa M 1 fx = M 1 fx. 5.5 Lause 5.1.8 [6] Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Oletetaan, että funktio F : Ω Cl 0, on 1-hyperholomornen. Funktio fx = F xx 1 on 1-hyperholomornen joukossa Ω\{0}, jos ja vain jos fx on paravektoriarvoinen. Todistus. Todistus seuraa lähdettä [6]. Oletetaan, että funktio F : Ω Cl 0, on 1-hyperholomornen ja että fx = F xx 1 on 1-hyperholomornen. Koska fxx = F xx 1 x = F xx 1 x = F x ja fxx on 1-hyperholomornen, niin lauseen 5.1.7 nojalla fx on H 1 - ratkaisu ja näin ollen paravektoriarvoinen. Olkoon fx paravektoriarvoinen. Jos F x = fxx, niin 0 = M 1 F x = M 1 fxx }{{} 5.5 = M 1 fxx,