MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita, että wx, t = uαx, α 2 t on toteuttaa yhtälön kaikilla α R. a w = 0 Motivaatio: Lämpöyhtälölle riittää tarkastella muotoa, ossa a = ; Lämpöyhtälön luonnollisessa skaalauksessa aika skaalautuu paikan skaalauksen neliössä. a Todistus. Derivoinnin ketusäännöllä saadaan missä tahansa pisteessä x, t x, t = ux, t/a = t/au tx, t/a = a u tx, t/a, ossa siis u t x, t/a tarkoittaa u:n aikaderivaattaa pisteessä x, t/a. Lisäksi kaikilla =,..., n pätee 2 v x 2 x, t = u xx x, t/a, koska x:n suhteen funktiota ei muuteta, oten x, t vx, t = a u tx, t/a ux, t/a = ut x, t/a a ux, t/a = 0. a }{{} =0, koska u t a u=0. Näin ollen funktio v toteuttaa yhtälön v = 0. b Todistus. Olkoon α R. Ketusäännön mukaisesti missä tahansa pisteessä x, t x, t = uαx, α2 t = α 2 u t αx, α 2 t.
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207 Vastaavasti kaikilla =,..., n 2 w x 2 x, t = 2 x 2 uαx, α 2 t = αux αx, α 2 t = α 2 u xx x αx, α 2 t, oten x, t a wx, t = α2 u t αx, α 2 t a α 2 uαx, α 2 t = α 2 u t αx, α 2 t a uαx, α 2 t = 0. }{{} =0, koska u t a u=0. Näin ollen funktio w toteuttaa yhtälön a w = 0. 2. Olkoon Hx, t = H t x = 2 e x /, x R n, t > 0, 4πt n/2 lämpöydin. Näytä suoralla laskulla, että se on lämpöyhtälön ratkaisu oukossa R n 0,. Motivaatio: Gaussin funktio on lämpöyhtälön perusratkaisu. Todistus. Olkoon x, t R n 0,. Koska x 2 = x 2 + + x 2 n, niin derivoimalla saadaan millä tahansa =,..., n H x x, t = osta edelleen tulon derivointisäännöllä 2 H x 2 x, t = = 2 2x x 2 e + 2t + x2 2, 2x. 2 2
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207 Muuttuan t suhteen puolestaan saadaan H Näin ollen saadaan x 2 e + n/2+ 4π n/2 x, t = 4πt = n2t + x 2 2 H x, t Hx, t = x 2 2. x 2 + n2t 2 x 2 + n2t 2 oten H on lämpöyhtälön ratkaisu oukossa R n 0,. e x 2 = 0, 3. Jatkoa edelliseen tehtävään Määritellään ux, t = H t gx = kun g CR n on raoitettu. R n e x y 2 / gy dy, x R n, t > 0, a Osoita, että b Osoita, että sup ux, t sup gx kaikilla t > 0. x R n x R n lim ux, t = gx kaikilla x Rn. c Minkä ongelman ratkaisu funktio u on? Muotoile huolella oletukset funktiosta u. Motivaatio: Lämpöyhtälön ratkaisu koko avaruudessa saadaan alkuakauman konvoluutiona lämpöytimen kanssa; Ratkaisussa lämpötilat tasoittuvat aan kuluessa. a Tässä sup on supremum, eli pienin yläraa, oka on maksimin laaennus tilanteisiin, oissa maksimia ei saavuteta. 3
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207 Todistus. Olkoon t > 0. Millä tahansa x R n saadaan arvioimalla itseisarvot integraalin sisälle sekä arvioimalla g :tä sen supremumilla ux, t = e x y 2 gy dy R n e x y 2 gy dy R n e x y 2 sup gz dy R n z R n w = sup gz 2 z R n dw R n e = sup z R n gz = sup z R n gz, ossa tehtiin muuttuanvaihto w = x y a hyödynnettiin tietoa e w 2 dw = Hw, t dw = kaikilla t > 0. R n R n Koska saatu epäyhtälö pätee kaikilla x R n, niin ottamalla puolittain supremum saadaan sup ux, t sup gx kaikilla t > 0. x R n x R n b Todistus. Lauseen 3.9 perusteella oletus g L R n ei ole todistuksen mukaan välttämätön koska g on raoitettu riittää näyttää, että H t kuuluu "hyvien ytimien luokkaan", eli että se toteuttaa: i Jokaisella t > 0 pätee R n H t x dx =, ii On olemassa M > 0 siten, että okaisella t > 0 pätee R n H t x dx M, iii Jokaisella δ > 0 pätee lim H t x dx = 0. x >δ Tässä ominaisuus i pätee, kuten a-kohdassa o todettiin. Ominaisuus ii puolestaan pätee kohdan i perusteella automaattisesti vakiolla M =, koska H t on ei-negatiivinen. 4
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207 Näytetään ominaisuus iii. Olkoon δ > 0. Saadaan H t x dx = ct n/2 dx = c x >δ x >δ y >t /2 δ e y 2 4 dy. Viimeisessä vaiheessa käytettiin muuttuanvaihtoa y = t /2 x. Koska funktio y e y 2 4 on integroituva yli koko avaruuden, niin viimeisen lausekkeen integraali voidaan kiroittaa myös muodossa e y 2 4 dy e y 2 4 dy. 2 R n B0,t /2 δ Kun t 0, säde t /2 δ lähestyy ääretöntä. Tästä seuraa että lim e y 2 4 dy = B0,t /2 δ R n e y 2 4 dy, mistä voidaan päätellä että lauseke 2 a siten myös lähestyy nollaa kun t 0. Nyt Lauseen 3.9 mukaan kaikilla x R n. lim H t gx = gx Myös Fourierin muunnosta voitaisiin tässä käyttää, os funktiot g a ĝ oletettaisiin lisäksi integroituvaksi; Kaikilla x R n saataisiin vaihtamalla raa-arvon a integroinnin ärestystä lim ux, t = lim 2π n R n Ht gξe ix ξ dξ = 2π n lim Ĥ t ξĝξe ix ξ dξ R n = 2π n R n lim e t ξ 2 ĝξe ix ξ dξ = 2π n R n ĝξe ix ξ dξ = gx, koska luentomonisteen perusteella Ĥtξ = e t ξ 2. c Funktio u on lämpöyhtälön Cauchyn ongelman ratkaisu oukossa R n 0,, eli u u = 0 oukossa Rn 0,, u = g oukossa R n {t = 0}. Oletukset funktiosta u ovat tyypillisesti u C 2 R n 0, sekä lim ux, t = gx 0 kaikilla x 0 R n. x,t x 0,0 5
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207 4. Oletetaan, että Ω R n on avoin a raoitettu sekä T > 0. Muotoile a todista minimiperiaate lämpöyhtälölle oukossa Ω T. Muotoile huolella oletukset funktiosta u. Motivaatio: Symmetrisyyden perusteella miniperiaate seuraa helposti maksimiperiaatteesta; Raoitetussa oukossa lämpöyhtälön ratkaisu saavuttaa sekä maksiminsa että miniminsä parabolisella reunalla. Lämpöyhtälö oukossa Ω T on u u = 0 oukossa Ω T, u = g oukossa Γ T, missä Ω T = Ω 0, T a Γ T = Ω [0, T ] Ω {t = 0} ovat avaruus aika-sylinteri a sylinterin parabolinen reuna. Lämpöyhtälön minimiperiaate: Olkoon Ω R n avoin a raoitettu. Oletetaan, että u on lämpöyhtälön u u = 0 ratkaisu oukossa Ω T siten, että sen toiset osittaisderivaatat paikan suhteen sekä ensimmäinen osittaisderivaatta aan suhteen ovat atkuvia oukossa Ω T, a funktio itse on atkuva oukossa Ω T. Tällöin se saavuttaa miniminsä oukossa Γ T, eli toisin sanoen min u = min u. Ω T Γ T Todistus. Todistetaan tämä hyödyntäen luentomonisteessa todistettua maksimiperiaatetta Lause 5.7. Funktio v = u on myös derivoituvuusoletukset toteuttava lämpöyhtälön ratkaisu oukossa Ω T, sillä u v = u + u = u = 0, oten siihen voidaan soveltaa maksimiperiaatetta Näin ollen saadaan min Ω T u = min Ω T eli minimiperiaate u:lle. v = max max v = max v. Ω T Γ T Ω T v = max Γ T v = min v = min u, Γ T Γ T 6
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207 5. Jatkoa edelliseen tehtävään Oletetaan, että u a v ovat lämpöyhtälön ratkaisua oukossa Ω T. Todista vertailuperiaate: Jos u v parabolisella reunalla Γ T, niin u v oukossa Ω T. Motivaatio: Minimiperiaatteesta seuraa helposti vertailuperiaate; Jos kaksi ratkaisua ovat ärestyksessä parabolisella reunalla, ovat ne samassa ärestyksessä myös tarkasteltavan oukon sisällä. Todistus. Oletetaan u v parabolisella reunalla Γ T. Koska u a v toteuttavat lämpöyhtälön oukossa Ω T, niin myös funktio w = v u toteuttaa sen, sillä w = u u v u = v u = 0. Minimiperiaatteen mukaan w saavuttaa miniminsä parabolisella reunalla Γ T. Koska w 0 parabolisella reunalla Γ T, on tämä minimiarvo ei-negatiivinen, oten w on einegatiivinen myös oukossa Ω T. Toisin sanoen u v oukossa Ω T. 6. Jatkoa edelliseen tehtävään Todista stabiilisuustulos: Jos u v ε parabolisella reunalla Γ T, niin u v ε oukossa Ω T. Motivaatio: Maksimi- a minimiperiaatteista seuraa helposti stabiilisuustulos; Jos kaksi ratkaisua ovat lähellä toisiaan parabolisella reunalla, ovat ne lähellä toisiaan myös tarkasteltavan oukon sisällä. Todistus. Oletetaan u v ε parabolisella reunalla Γ T. Myös funktio w = u v toteuttaa lämpöyhtälön kuten tehtävässä 5. Maksimi- a minimiperiaatteiden mukaan w saavuttaa sekä maksiminsa että miniminsä parabolisella reunalla Γ T. Koska w ε parabolisella reunalla Γ T, niin tämä maksimiarvo on korkeintaan ε a minimiarvo vähintään ε. Näin ollen w ε myös oukossa Ω T. Toisin sanoen u v ε oukossa Ω T. 7