[B] = [F ] [q][v] = Vs. m 2

Luku 7 Magneettikenttä 7.1 Loentz-voima Liikkuviin vaauksiin kohdistuu sähkökentän aiheuttaman voiman lisäksi toinenkin voima, joka selitetään magneettikentän avulla. Vasinaisesti magneettikenttä on havaittu magneettisten mateiaalien ja vitajohtimien välisten voimavaikutusten avulla, mutta kaikki nämä havainnot voidaan palauttaa yksittäiseen liikkuvaan vaaukseen vaikuttavaan voimaan. Havaintojen peusteella voidaan määitellä vektoikenttä B siten, että nopeudella v liikkuvaan vaaukseen q vaikuttava nopeudesta iippuva voima on F = qv B. (7.1) Tämä voima on siis veannollinen vaauksen suuuuteen ja vauhtiin, mutta kohtisuoassa vaauksen nopeutta vastaan. Vektoin B suunta on sovittu sellaiseksi, että v, B ja F muodostavat oikeakätisen jäjestelmän. Vektoikenttää B kutsutaan magneettivuon tiheydeksi. Se syntyy jossakin osassa avauutta kulkevien sähkövitojen vaikutuksesta. On huomattava, että B ei ole nimeltään magneettikenttä, vaikka se onkin magneettikenttää kuvaava suue. Yhtälön (7.1) peusteella magneettivuon tiheyden yksikkö olisi Ns/(Cm), mutta tällaista mekintää ei tästä yksiköstä käytetä. Osoittautuu, että magneettivuon tiheyden yksikkö voidaan esittää myös muodoisssa [B] = [F ] [q][v] = Vs m 2 = Wb m 2 = T. Tässä esiintyvä yksikkö Wb on nimeltään webe ja T nimeltään tesla. Kaikenkaikkiaan avauudessa voi siis vaikuttaa sähkömagneettinen kenttä, joka koostuu sähkökentästä E ja magneettivuon tiheydestä B. Liikkuvaan sähkövaaukseen q kohdistuu tässä kentässä kokonaisvoima c Tuomo Nygén, 21 F = q(e + v B). (7.2) 79

8 LUKU 7. MAGNEETTIKENTTÄ Tästä käytetään nimitystä Loentz-voima (joskus pelkkää yhtälön (7.1) mukaista voimaa sanotaan Loentz-voimaksi). Loentz-voima kytkee sähkömagneettiset ilmiöt mekaniikan avulla havaintomaailmaan. Toinen tapa, jolla sähkömagneettiset ilmiöt voidaan suoaan havaita, liittyy ilmassa tapahtuvin sähköpukauksiin, jotka näkyvät kipinöintinä tai salamointina ilmakehässä. 7.2 Sähkövita Sähkökentän vaikutuksesta vaaukset voivat olla liikkeessä johteissa, puolijohteissa, elektolyyteissä tai plasmassa. Tällöin ne kuljettavat sähkövitaa. Vaauksenkuljettajat voivat olla sekä positiivisia että negatiivisia (esim. elektolyyteissä) tai vain negatiivisia. Metalleissa vaauksenkuljettajina toimivat johde-elektonit. Vaikka vitaa kuljettava metalli on kokonaisuudessaan neutaali, johde-elektoneilla on oma negatiivinen vaaustiheytensä (ytimistä aiheutuva positiivinen vaaustiheys kompensoi tämän). Vitatiheys määitellään kaavalla j = ρ()v(), (7.3) missä ρ on vaauksenkuljettajien vaaustiheys (negatiivinen, kun vaauksenkuljettajina toimivat johde-elektonit) ja v() on vaauksen vitausnopeus. Koska j on vektoi, joka on paikan funktio, se on vektoikenttä. Vitatiheyden yksikkö on [j] = C m 3 m s = C/s m 2 = A m 2. Vitatiheyden vuo pienen pinnan δs lävitse on sähkövita δi = j δs. (7.4) Suuen pinnan lävitse kulkeva sähkövita saadaan integoimalla. Siis I = j ds. (7.5) Sähkövian yksikkö on S [I] = [j][s] = A m 2 m2 = A. Ampeei on SI-peusyksikkö ja se määitellään kokeellisesti vitajohtimien välisten voimavaikutusten avulla. Kaikki muut yksiköt lasketaan ampeein ja mekaniikan peusyksiköiden avulla. Tavallisessa vitapiiissä sähkövita kulkee johtimessa. Tällöin vitatiheys ja johtimen poikkipintavektoi ovat samansuuntaisia, joten yhtälössä (7.5) on j ds = jds. Jos vitatiheys johtimen koko poikkipinnalla on vakiosuuuinen, on johtimessa kulkeva vita siis I = js.

7.3. MAGNEETTIVUON TIHEYDEN LÄHTEETTÖMYYS 81 Tämä on tilanne tasavitapiieissä ja hyvällä takkuudella myös tavallisissa vaihtovitapiieissä. Jos vaihtovian taajuus on hyvin suui, tilanne on toinen; silloin vita kulkee johtimien pintakeoksissa, joten vitatiheys ei ole vakio johtimien poikkipinnoilla. 7.3 Magneettivuon tiheyden lähteettömyys Toisin kuin sähkökenttä, magneettikenttä ei synny paikallaan olevista (magneettisista) vaauksista vaan sen aiheuttavat liikkuvat sähkövaaukset, siis sähköviat. Magneettikentällä ei ole lähteitä; ts. magneettikentän kenttäviivat ovat suljettuja silmukoita. Koska voimaviivat eivät lähde mistään pisteestä eivätkä pääty mihinkään, magneettivuo suljetun pinnan lävitse on nolla, eli Φ B = B ds =. (7.6) S Tilanne on siis sikäli samanlainen kuin sähkökentälle kuvan 3.1 b tapauksessa, jossa jokainen suljetun pinnan lävistävä voimaviiva tulee myös ulos. Soveltamalla tähän Gaussin lausetta saadaan B dτ =, (7.7) V missä V on pinnan S sisäänsä sulkema tilavuus. Koska tämä on voimassa kaikille tilavuuksille V, niin välttämättä B =. (7.8) Matemaattisesti ilmaistuna magneettivuon tiheys on lähteetön. Se siis noudattaa Gaussin lakia muistuttavaa yhtälöä, jossa lähdetemi on nolla. Tämä takoittaa sitä, että magneettisia vaauksia ei ole olemassa. Magneettivuon tiheyden lähteettömyys on voimassa täysin yleisesti, siis myös ajasta iippuvassa tilanteessa. a) b) I B B I Kuva 7.1: Suoan vitajohtimen ja ympyänmuotoisen vitasilmukan aiheuttama magneettikenttä.

82 LUKU 7. MAGNEETTIKENTTÄ Kuva 7.1 esittää pitkän suoan vitajohtimen ja ympyänmuotoisen vitasilmukan aiheuttamia magneettikenttiä. Kenttäviivat kietävät vitajohtimia siten, että vian suuntaan katsottaessa kietosuunta on oikeakätinen. Kenttäviivat kulkevat ympyänmuotoisen vitasilmukan lävitse. Magneettivuon yksikkö on Vs = Wb (webe). 7.4 Ampèen laki Magneettikenttä syntyy sähkövian vaikutuksesta. Kun tutkitaan magneettikentän käyttäytymistä vitajohtimien ympäistössä ajasta iippumattomassa tilanteessa, havaitaan, että on voimassa yhtälö C B ds = µ S j ds = µ I, (7.9) missä S on pinta, jonka euna on suljettu käyä C, luonnonvakio µ on tyhjiön pemeabiilisuus ja I on käyän C lävitse kulkeva kokonaisvita. On syytä huomata, että I voi olla positiivinen tai negatiivinen ja sen etumekki määäytyy vitatiheyden integaalista pinnan S yli. Tähän puolestaan vaikuttaa sekä vitatiheyden suunta että pinta-alavektoin suunta. Pinta-alavektoin suunta taas on sellainen, että siihen suuntaan katsottaessa viivaintegaalin kietosuunta on oikeakätinen. Tätä havainnollistaa kuva 7.2. Kuvassa 7.2 a valittu kietosuunta pitkin käyää C on sellainen, että vitatiheyden voimaviivat lävistävät pinnan S pinta-alavektoin suuntaan, jolloin integaalissa (7.9) pistetulo j ds > ja käyän C läpi kulkeva vita on positiivinen. Kuvassa 7.2 b kietosuunta on valittu päinvastaiseksi, joten pinta-alavektoin suuntakin muuttuu päinvastaiseksi. Silloin j ds < ja vita on negatiivinen. Tietysti on mahdollista, että pistetulon j ds mekki vaihtelee pinnan ei osissa, ja silloin käyän C läpi kulkeva kokonaisvita voi olla positiivinen tai negatiivinen. a) b) j C S j C I > I < S Kuva 7.2: Positiivisen ja negatiivisen vian suunnan määittely.

7.5. MAGNEETTINEN SKALAARIPOTENTIAALI JA VEKTORIPOTENTIAALI83 Kun yhtälön (7.9) vasemmalle puolelle sovelletaan Stokesin lausetta, saadaan S B ds = µ S j ds. (7.1) Tämä tulos on voimassa kaikille pinnoille S, joita ajoittaa mikä tahansa suljettu käyä C. Näinollen B = µ j. (7.11) Yhtälöstä (7.9) käytetään nimitystä Ampèen lain integaalimuoto ja yhtälöstä (7.11) nimitystä Ampèen lain diffeentiaalimuoto. Pemeabiilisuus on SI-yksiköihin liittyvä luonnonvakio, jonka yksikkö on Ampèen lain peusteella [µ ] = [B] [j][s] = Vs/m2 A/m 2 m = Vs Am. (7.12) 7.5 Magneettinen skalaaipotentiaali ja vektoipotentiaali Sellaisissa avauuden alueissa, joissa ei kulje sähkövitaa, on voimassa B =, (7.13) joten magneettivuon tiheys käyttäytyy kuin konsevatiivinen sähkökenttä. Silloin magneettivuon tiheys voidaan esittää skalaaikentän gadientin avulla muodossa B = φ m, (7.14) missä φ m on magneettinen skalaaipotentiaali. Tämä yhtälö on voimassa vain alueissa, joissa vitatiheys on nolla. Koska magneettivuon tiheys on lähteetön, voidaan yleisessä tilanteessa asettaa B = A, (7.15) sillä mille tahansa vektoikentälle A on voimassa ( A) =. Näin määitelty kenttän A on nimeltään vektoipotentiaali. 7.6 Biot-Savatin laki Yhtälössä (7.15) käytetyn vektoipotentiaalin täytyy toteuttaa myös Ampèen laki. Siis välttämättä ( A) = µ j, (7.16) eli ( A) 2 A = µ j. (7.17)

84 LUKU 7. MAGNEETTIKENTTÄ Voidaan osoittaa, että A ei vaikuta magneettivuon tiheyteen (magneetivuon tiheys ippuu vain vektoipotentiaalin oottoista), joten se voidaan valita mielivaltaisesti. Staattisten kenttien tapauksessa valitaan tavallisesti yksinketaisin mahdollinen ehto A =. (7.18) Tästä käytetään nimitystä Coulombin mitta. Kun käytetään Coulombin mittaa ja Ampèen lakia, yhtälö (7.17) saa muodon 2 A = µ j. (7.19) Tämä on Poissonin yhtälö ja siis matemaattisesti identtinen sähköstaattiselle potentiaalille kijoitetun Poissonin yhtälön kanssa. Eona on vain, että (7.19) on vektoiyhtälö, mutta se voidaan tietysti esittää kolmena skalaaiyhtälönä 2 A x = µ j x, (7.2) 2 A y = µ j y, (7.21) 2 A z = µ j z, (7.22) joista jokainen on samaa muotoa kuin sähköstaattiselle potentiaalille kijoitettu Poissonin yhtälö (6.2); sähköstaattista potentiaalia vastaa vektoipotentiaalin komponentti, vaaustiheyttä vitatiheyden komponentti ja vakiota ε vakio 1/µ. Vaaustiheyden ρ aiheuttama Coulombin potentiaali on esitetty tilavuusintegaalina yhtälössä (2.16). Vaikka tämä onkin johdettu Coulombin laista, se on tietenkin Poissonin yhtälön atkaisu. Koska vektoipotentiaalin komponentit ovat myös Poissonin yhtälön atkaisuja, täytyy niiden olla matemaattisesti samaa muotoa kuin Coulombin potentiaali. Yhtälöiden (7.2) (7.22) atkaisut voidaan koota yhdeksi vektoiyhtälöksi, jolloin tulos on A() = µ j( )dτ 4π. (7.23) Tässä on täkeää ymmätää, että on se avauuden piste, missä vektoipotentiaali lasketaan ja on integoimismuuttuja. Yhtälö (7.23) on tulkitava siten, että vektoipotentiaaliin paikassa vaikuttavat kaikkialla avauudessa kulkevat sähköviat; integoinnin avulla lasketaan yhteen kaikissa paikoissa kulkevien vitatiheyksien vaikutukset. Jokainen vitaelementti aiheuttaa vektoipotentiaalin, jolla on sama suunta kuin vitaelementillä itsellään. Lisäksi nähdään, että vaikutus pienenee kääntäen veannollisena etäisyyteen. Tulos (7.23) saatiin valitsemalla A =. Näin saatiin vektoipotentiaali, joka on matemaattisesti samaa muotoa kuin Coulombin potentiaali. Tämä on syy, miksi ehdosta A = käytetään nimitystä Coulombin mitta. Magneettivuon tiheys saadaan nyt laskemalla vektoipotentiaalin oottoi. Roottoissa deivaatat on laskettava paikkamuuttujan komponenttien suhteen ( on nimittäin integoimismuuttuja). Roottoiopeaattoi voidaan siitää integaalin sisälle,

7.6. BIOT-SAVARTIN LAKI 85 ja silloin huomataan, että oottoi on laskettava vakiovektoin j( ) ja skalaaikentän 1/ tulosta. Tätä voidaan kehittää edelleen, jolloin saadaan [ j( ] [ ) 1 = ] j( )+ 1 [ ] 1 j( ) = j( ). (7.24) Tässä on otettu huomioon, että j( ) =, koska j ei ole :n funktio. Seuaavaksi lasketaan gadientti [ ] 1 =. (7.25) 3 Näiden tulosten avulla B() = A = µ j( ) ( )dτ. (7.26) 4π 3 Tämä on nimeltään Biot-Savatin laki ja sen avulla voidaan laskea tunnetun vitatiheysjakautuman aiheuttama magneettivuon tiheys. Tämä vastaa Coulombin lakia sähköstatiikassa; Coulombin lain avulla voidaan laskea tunnetun vaaustiheyden aiheuttama sähkökenttä. On mielenkiintoista havaita sähkökenttiä ja magneettikenttiä kuvaavien yhtälöiden samankaltaisuus. Sähkökenttä aiheutuu vaaustiheydestä ja magneettikenttä vitatiheydestä. Sähköstaattista potentiaalia ja vektoipotentiaalia kuvaavat yhtälöt ovat matemaattisesti samanlaisia; eona on vain, että vektoipotentiaalissa on vitatiheys siinä paikassa missä sähköstaattisessa potentiaalissa on vaaustiheys, ja lisäksi sähköstaattisen potentiaalin kaavassa esiintyvä ε on vektoipontentiaalin kaavassa kovattu vakiolla 1/µ. Samankaltainen vastaavuus vallitsee sähkökentän ja magneettivuon tiheyden kaavojen välillä. Sähkökentän kaavassa olevaa temiä ρ( )( ) vastaa magneettivuon tiheyden kaavassa temi j( ) ( ). Kuva 7.3 esittää Biot-Savatin lain soveltamista ohuen vitajohtimen aiheuttamaan kenttään. Paikassa oleva vitaelementti aiheuttaa magneettivuon tiheyselementin db paikkaan. Vitaelementillä on jokin pituus δl ja poikkipinta δs. Ilmeisesti δτ = δsδl. Kun määitellään pituuselementti vian suuntaiseksi vektoiksi,!l!s!"!l I - O!B P Kuva 7.3: Biot-Savatin laki.

86 LUKU 7. MAGNEETTIKENTTÄ voidaan kijoittaa jδτ = I δl δτ = Iδl. (7.27) δs δl Tämän avulla Biot-Savatin laki saadaan muotoon B() = µ I 4π dl ( ) ( ) 3, (7.28) missä integointi suoitetaan pitkin vitajohdinta. Ääettömän ohuen vitajohtimen tapauksessa siis yhtälön (7.26) tilavuusintegaali kutistui viivaintegaaliksi. Tämä tulos antaa mahdollisuuden laskea vitajohtimien aiheuttamia magneettikenttiä. Ohuen vitajohtimen aiheuttama vektoipotentiaali voidaan ilmeisesti samalla peiaatteella esittää muodosssa A() = µ I 4π dl ( ). (7.29) 7.7 Ampèen lain soveltaminen Kappaleessa 3 nähtiin, että Gaussin laki antaa tehokkaan tavan laskea symmetisten vaausjakautumien aiheuttamia sähkökenttiä. Samantapainen menetelmä on olemassa myös magneettikenttien laskemiseksi, sillä symmetisten vitajaukautumien aiheuttamien magneettikenttien laskeminen onnistuu helposti Ampèen lain avulla. 7.7.1 Tasosymmetinen vitajakautuma Takastellaan vitajakautumaa, jossa vitatiheys saa vakioavot yhdensuuntaisilla tasoilla ja vian suunta on kaikkialla sama sekä näiden tasojen suuntainen. Kun valitaan z-akseli osoittamaan kohtisuoaan näitä tasoja vastaan ja x-akseli valitaan osoittamaan vian suuntaan, on vitatiheys vain z:n funktio, siis j = j x (z)u x. Tällöin vitatiheys on vakiovektoi jokaisella xy-tason suuntaisella tasolla. Tällainen vitatiheys on tasosymmetinen, jos z:n nollakohta voidaan valita siten, että j x (z) on paillinen funktio, ts. j x (z) = j x ( z). Biot-Bavatin laista seuaa, että magneettivuon tiheys on yz-tason suuntainen. Tasosymmetiasta seuaa edelleen, että vitajakautuman aiheuttamalla magneettivuon tiheydellä on vain y-komponentti; siis B = B y u y. Lisäksi B y on paiton z:n funktio, eli B y (z) = B y ( z). Soveltamalla Ampèen lakia kuvan 7.4 a mukaiseen integointitiehen ja käyttämällä hyväksi Stokesin lausetta saadaan B ds = B ds = µ j ds, (7.3) josta edelleen B y (z)l + B y ( z)l = 2LB y (z) = µ C S z z S j x (z )dz L = 2Lµ z j x (z )dz, (7.31)

7.7. AMPÈREN LAIN SOVELTAMINEN 87 a) y b) B y j L a/2 -a/2 a/2 z -a/2 z C Kuva 7.4: a) Tasosymmetinen vitajakauma. b) Homogeenisen vitalevyn aiheuttama magneettivuon tiheys. ja B y (z) = µ z j x (z )dz. (7.32) Mikäli j x = j x () on vakio alueessa a/2 < z < a/2 ja nolla sen ulkopuolella, kyseessä on homogeeninen vitalevy. Tällöin yhtälöstä (7.32) saadaan alueessa a/2 < z < a/2 ja B y (z) = µ j x ()z (7.33) B y (z) = ± µ j x ()a (7.34) 2 muualla (tässä plusmekki on voimassa alueessa z < a/2 ja miinusmekki alueessa z > a/2). Tämä on esitetty kuvassa 7.4 b olettaen, että j x () >. Hyvin ohuen levyn tapauksessa vitatiheys on epäkäytännöllinen suue. Sen sijaan voidaan määitellä uutena suueena vian voimakkuus pituusyksikköä kohti vitaa vastaan kohtisuoassa suunnassa. Tästä käytetään nimitystä vitakate J. Vitakatteen yksikkö on A/m. Jos yhtälössä (7.34) annetaan levyn paksuuden lähetä nollaa pitäen levyssä kulkevaa kokonaisvitaa samana, voidaan tulo j x ()a kovata vitakatteella J x. Tämän avulla lausuttuna ohuessa levyssä kulkevan vian aiheuttama magneettivuon tiheys on B y (z) = ± µ J x 2, (7.35) missä plusmekki on voimassa alueessa z < ja miinusmekki alueessa z >. 7.7.2 Sylinteisymmetinen akselin suuntainen vitajakautuma Jos vitatiheys on sylinteisymmetinen, on myös sen aiheuttama magneettikenttä sylinteisymmetinen. Sylinteisymmetinen akselin suuntainen vitatiheys on sylinteikoodinaatistossa esitettynä muotoa j = j z ()u z, (7.36)

88 LUKU 7. MAGNEETTIKENTTÄ kun on lisäksi oletettu, että vitatiheys ei muutu sylintein akselin suunnassa. Biot- Savatin lain peusteella magneettivuon tiheyden täytyy olla kohtisuoassa symmetia-akselia vastaan. Silloin magneettivuon tiheyden lähteettömyydestä ja sylinteisymmetiasta seuaa, että kentän voimaviivat ovat ympyöitä, joten magneettivuon tiheydellä on vain atsimuuttikomponentti. Siis B = B ϕ ()u ϕ. (7.37) Soveltamalla Ampèen lakia -säteiseen ympyään saadaan mistä C B ds = 2πB ϕ = 2πµ B ϕ = µ j z ( )d, (7.38) j z ( )d. (7.39) Jos vitatiheys on nolla alueessa > R, on tämän alueen ulkopuolella voimassa B ϕ = µ R 2π j z ( )d = µ I 2π 2π, (7.4) missä I on kokonaisvita. Tulos osoittaa, että kenttä sylinteisymmetisen vitajakautuman ulkopuolella on iippumaton siitä, mikä vitajakautuman muoto on; ääettömän ohut vitajohdin aiheuttaa samanmuotoisen kentän kuin todellinen vitajakautuma. Tämä viittaa siihen, että magneettikenttien laskemiseen voitaisiin käyttää kuvitteellisia vitoja samalla tavalla kuin kuvalähteitä käytetään staattisten sähkökenttien laskemiseen. Näin täytyy ollakin, sillä käytettäessä Coulombin mittaa vektoipotentiaali toteuttaa Laplacen yhtälön alueissa, missä vitatiheys on nolla. Jos lisäksi vitatiheys on vakio j z = j z () alueessa < R, saadaan tässä alueessa magneettivuon tiheydeksi B ϕ = µ j z () 7.7.3 Ampeein määitelmä d = µ j z (). (7.41) 2 Sähkövita on SI-jäjestelmässä sähköopin peussuue, ja sen yksikkö on ampeei (A). Kaikki muut sähkömagnetismin yksiköt määitellään ampeein ja mekaniikan yksikköjen avulla. Ampeein määittelyssä käytetään hyväksi Loentz-voimaa ja yhtälön (7.4) esittämää kenttää. Vitajohtimessa kulkeva sähkövita aiheutuu liikkuvista viankuljettajista. Jos johde-elektonien lukumääätiheys on N e, on niiden vaaustiheys ρ e = en e (tästä huolimatta johtimen kokonaisvaaustiheys on nolla!), ja niiden liikkuessa keskimäääisellä nopeudella v on yhtälön (7.3) mukaisesti vitatiheys j = en e v. Johdinelementissä, jonka pituus on δl ja poikkipinta δs, on N e δlδs johde-elektonia. Kun

7.7. AMPÈREN LAIN SOVELTAMINEN 89 a) B 21 b) I 1 F 21 F 12 I 2 B 12 F 21 I 1 B 21 I 2 B 12 F 12 Kuva 7.5: Yhdensuuntaisten vitajohtimien välinen voima. johdin on magneettikentässä, johdinelementin yhteen elektoniin kohdistuu keskimääin Loentz-voima ev B, joten koko johdinelementtiin kohdistuva voima on δf = (N e δlδs)( ev B) = δl( en e vδs) B = δl(jδs) B = Iδl B, (7.42) missä I on johtimessa kulkeva vita ja vektoin δl suunta on vian suunta. Takastellaan kahta pitkää suoaa yhdensuuntaista vitajohdinta, joiden välinen etäisyys on a (kuva 7.5). Toisessa kulkee vita I 1 ja toisessa vita I 2. Yhtälön (7.42) mukaisesti johdin 1 aiheuttaa johtimen 2 kohdalla magneettikentän, jonka vuon tiheys on B 12 = µ I 1 /(2πa) ja johdin 2 johtimen 1 kohdalla magneettikentän, jonka vuon tiheys on B 21 = µ I 2 /(2πa). Magneettikentät ovat kohtisuoassa vitoja vastaan. Kuvan 7.5 a tapauksessa viat ovat samansuuntaisia, jolloin johtimien välille syntyy vetovoima, kuvan 7.5 b tapauksessa vastakkaissuuntaisia, jolloin johtimet hylkivät toisiaan. Kummassakin tapauksessa voiman suuuus pituusyksikköä kohti on F = I 1 B 21 = I 2 B 12 = µ I 1 I 2 l 2πa. (7.43) On syytä huomata, että tämä tulos on sopusoinnussa mekaniikan vaikutuksen ja vastavaikutuksen lain kanssa, kuten tulee ollakin. SI-yksikköjäjestelmässä määitellään ampeei yhtälön (7.43) avulla. Jos johtimien välinen etäisyys on 1 m ja kummassakin johtimessa kulkee yhtä suui vita, niin vian suuuus on 1 A, mikäli johtimien välillä vaikuttava voima pituusyksikköä kohti on 2 1 7 N/m. 7.7.4 Sylinteisymmetinen akselia kietävä vitajakautuma Vitajakautuma voi olla sylinteisymmetinen myös siten, että vita kietää sylinteiakselia. Tällöin vitatiheys sylinteikoodinaatistossa kijoitettuna on j = j ϕ ()u ϕ, (7.44) kun oletetaan lisäksi, että vitatiheys ei muutu sylintein akselin suunnassa. Kahdessa edellisessä kappaleessa käytettiin Ampèen lain integaalimuotoa; sovelletaan nyt samaa lakia diffeentiaalimuodossa.

9 LUKU 7. MAGNEETTIKENTTÄ Kun vitatiheys ei iipu sylinteikoodinaatiston muuttujista ϕ ja z, ei magneettivuon tiheyskään voi iippua niistä. Silloin kaikki ϕ:n ja z:n suhteen lasketut osittaisdeivaatat ovat nollia, joten Ampèen laki voidaan yhtälön (35) avulla kijoittaa muotoon B = 1 u u ϕ u z d/d B B ϕ B z = 1 d(b ϕ ) u z db z d d u ϕ = µ j ϕ ()u ϕ. (7.45) Tämän peusteella db z d = µ j ϕ () (7.46) ja d(b ϕ ) = B ϕ = vakio. (7.47) d Lisäksi magneettivuon tiheyden on oltava lähteetön. Divegenssin sylinteikoodinaatistoesityksen (34) avulla B = 1 d(b ) d = B = vakio. (7.48) Mikäli vakiot tuloksissa (7.47) ja (7.48) eivät ole nollia, kentät ovat ääettömiä z- akselilla, mikä on fysikaalisesti mahdotonta. Näinollen vakioiden on välttämättä oltava nollia, joten myös B ϕ = B =. Tästä seuaa, että magneettikenttä on kaikkialla z-akselin suuntainen. Jos j ϕ () vain kun < max, niin ilmeisesti B z (), kun. Silloin B z saadaan integoimalla yhtälöstä (7.46) muotoon B z () = µ j ϕ ( ) d. (7.49) Tästä nähdään, että sähköviat, jotka ovat lähempänä z-akselia kuin kenttäpiste, eivät vaikuta ollenkaan magneettikenttään. Tilanne on päinvastainen kuin symmetisten vaausjakautumien tapauksessa, missä vaaukset, jotka ovat kauempana akselista tai pallon keskipisteestä kuin kenttäpiste, eivät vaikuta sähkökenttään. Jos vita kulkee ohuessa δr:n paksuisessa keoksessa, jonka sisäsäde on R, on yhtälön (7.46) peusteella B z () = µ R+δR R j ϕ ( ) d = µ J ϕ (7.5) alueessa < R ja B z () = vitasylintein ulkopuolella. Tässä J ϕ on vitasylintein vitakate. Yhtälö (7.5) voidaan johtaa myös Ampèen lain integaalimuodon avulla. Ottamalla integointitieksi suoakaide C, jonka yksi L:n mittainen sivu on z-akselin

7.8. MAGNEETTIMOMENTTI 91 A L B Q B d D C P I Kuva 7.6: Suoa solenoidi. suuntainen ja etäisyydellä akselista, kaksi muuta ääettömyyteen ulottuvaa sivua kohtisuoassa akselia vastaan ja neljäs sivu z-akselin suuntainen ääettömyydessä saadaan B ds = B z ()L = µ L j ϕ ( ) d, (7.51) C josta suoaan seuaa yhtälö (7.5). Samalla menetelmällä voidaan laskea pitkän suoan solenoidin sisällä vaikuttava magneettikenttä (kuva 7.6). Solenoidin keskiosissa kenttä on homogeeninen. Jos käämissä kulkeva vita on I ja N on käämin kieosten lukumäää pituusyksikköä kohti, kulkee silmukan ABCD lävitse kokonaisvita N IL. Kun jätetään solenoidin ulkopuolella vaikuttava heikko kenttä huomiotta ja sovelletaan Ampèen lakia, saadaan BL = µ NIL B = µ NI. (7.52) Lähellä solenoidin päitä kenttä on heikompi, ja se voidaan laskea Biot-Savatin lain avulla. 7.8 Magneettimomentti Takastellaan kuvan 7.7 mukaista xy-tasossa sijaitsevaa ympyänmuotoista vitasilmukkaa. Avauudessa vaikuttaa magneettikenttä, jonka vuon tiheys B = B x u x + B z u z. Yhtälön (7.42) peusteella vitaelementtiin Iδl vaikuttaa voima δf = Iδl B. (7.53) Tämän voiman momentti silmukan keskipisteen suhteen on δt = δf = I (δl B) = I[( B)δl ( δl)b] = I( B)δl, (7.54) sillä ja δl ovat kohtisuoassa toisiaan vastaan. Koska B = B x cos ϕ ja δl = δϕu ϕ, saadaan voiman momentti muotoon δt = I 2 B x cos ϕδϕ u ϕ. (7.55)

92 LUKU 7. MAGNEETTIKENTTÄ a) z b) B m " u " y x " I!l y x u R Kuva 7.7: Vitasilmukka magneettikentässä. Sylinteikoodinaatiston atsimutaalinen yksikkövektoi kateesisen koodinaatiston yksikkövektoien avulla lausuttuna on u ϕ = sin ϕ u x + cos ϕ u y, joten δt = I 2 B x ( sin ϕ cos ϕδϕ u x + cos 2 ϕδϕ u y ). (7.56) Vitasilmukkaan vaikuttava kokonaisvääntömomentti saadaan integoimalla δt silmukan ympäi. Siis 2π 2π T = I 2 B x sin ϕ cos ϕdϕ u x + cos 2 ϕdϕ u y. (7.57) Ensimmäinen tässä olevista integaaleista on nolla ja toisen integaalin avo on π. Näinollen T = I(π 2 )B x u y = mb x u y, (7.58) missä m = π 2 I on vitasilmukan magneettimomentti. Jos magneettimomentti määitellään vektoina m = π 2 Iu z, (7.59) saadaan yhtälö (7.58) muotoon T = m B. (7.6) Magneettimomentti on siis vitasilmukan pinta-alan ja vian tulo ja se osoittaa sellaiseen suuntaan, että siihen suuntaan katsottaessa vita kietää silmukassa oikeakätisesti. Yhtälö (7.6) on matemaattisesti samaa muotoa kuin yhtälö (2.47); dipolimomenttia vastaa magneettimomentti ja sähkökenttää magneettivuon tiheys. Tästä seuaa että magneettimomentilla on potentiaalienegia magneettikentässä ja yhtälön (2.48) peusteella se voidaan suoaan kijoittaa muotoon W = m B. (7.61)

7.9. BIOT-SAVARTIN LAIN SOVELTAMINEN 93 Magneettimomentin yksikkö on [m] = [I][S] = Am 2. (7.62) 7.9 Biot-Savatin lain soveltaminen Kun magneettikentän laskeminen ei onnistu Ampèen lain avulla, voidaan soveltaa Biot-Savatin lakia. Tämä vastaa sähkökenttien laskemisessa havaittua tilannetta, jossa Gaussin lain soveltamisen sijasta käytettiin Coulombin lakia. Tällöin oli tajolla kaksi vaihtoehtoa; joko laskettiin suoaan sähkökenttä tai ensin potentiaali ja sen gadientin avulla sähkökenttä. Tilanne on samanlainen magneettikentän tapauksessa; joko lasketaan suoaan magneettivuon tiheys yhtälön (7.26) tai (7.28) avulla tai ensin vektoipotentiaali yhtälön (7.23) tai (7.29) avulla ja sen jälkeen magneettivuon tiheys laskemalla vektoipotentiaalin oottoi. 7.9.1 Pieni ympyänmuotoinen vitasilmukka Ympyänmuotoisen vitasilmukan aiheuttaman magneettikentän takan lausekkeen laskeminen kaikkialla avauudessa on matemaattisesti vaativa tehtävä. Sen vuoksi lasketaan kenttä kaukana silmukasta, ts. takastellaan pienen silmukan aiheuttamaa kenttää. Käytetään menetelmää, jossa lasketaan ensin vektoipotentiaali. Tässäkin tapauksessa vitajakautuma on sylinteisymmetinen, mutta tosin kuin aiemmissa esimekeissä, se ei ole vakio silmukkaa vastaan kohtisuoassa suunnassa. Tällöin myöskään magneettivuon tiheys tässä suunnassa ei ole vakio, mistä seuaa, että kentän laskeminen ei onnistu Ampèen lain avulla. Asetetaan R-säteinen vitasilmukka kuvan 7.8 a mukaisesti xy-tasoon. Sylinteisymmetian vuoksi iittää, että lasketaan vektoipotentiaali xz-tason pisteessä = xu x + zu z. Paikassa = Ru R oleva vian suuntainen pituuselementti on a) z b) # " u " y x "!l y x u R Kuva 7.8: Ympyänmuotoinen vitasilmukka.

94 LUKU 7. MAGNEETTIKENTTÄ δl = Rδϕu ϕ. Tässä on syytä huomata, että yksikkövektoit u R ja u ϕ ovat pallokoodinaatiston yksikkövektoeita ja atsimuuttikulman ϕ funktioita. Ilmeisesti joten = xu x + zu z Ru R, (7.63) ( ) 2 = x 2 + R 2 2xRu x u R + z 2 = 2 + R 2 2xR cos ϕ ( 2 2xR cos ϕ = 2 1 2xR ) cos ϕ ( 2 = 2 1 2R ) sin θ cos ϕ. (7.64) Tässä lauseketta on appoksimoitu ottamalla huomioon, että R kaukana silmukasta. Lisäksi on tehty sijoitus x/ = sin θ. Vektoipotentiaalin lausekkeessa on nimittäjässä tekijä, joten on laskettava 1 = 1 ( 1 2R ) 1/2 sin θ cos ϕ 1 (1 + R ) sin θ cos ϕ. (7.65) Tässä appoksimaatio on tehty käyttäen sajakehitelmää (1 + x) 1/2 = 1 x/2 + 3x 2 /8... ja ottaen huomioon, että R/ 1. Kun tämä tulos sekä lauseke δl = Rδϕu ϕ sijoitetaan yhtälöön (7.29), saadaan vektoipotentiaaliksi A(, θ) = µ IR 4π 2π dϕu ϕ + µ IR 2 sin θ 4π 2 2π cos ϕ dϕu ϕ. (7.66) Kuvan 7.8 b avulla nähdään, että u ϕ = sin ϕu x + cos ϕu y. Tämän avulla voidaan osoittaa, että yhtälön (7.66) ensimmäinen integaali on nolla. Se on ilmeistä myös siksi, että silmukan vastakkaisilla puolella olevat yksikkövektoit u ϕ (ϕ) ja u ϕ (ϕ + π) ovat vastavektoeita. Vektoipotentiaali on siis A(, θ) = µ IR 2 sin θ 4π 2 2π sin ϕ cos ϕ dϕu x + 2π cos 2 ϕ dϕu y. (7.67) Tässäkin ensimmäinen integaaleista on nolla. Toisen integaalin avo on π, joten A(, θ) = µ IR 2 sin θ u 4 2 y = µ m sin θ u 4π 2 y, (7.68) missä m = πr 2 I on vitasilmukan magneettimomentti. Sylinteisymmetian vuoksi tulos on voimassa, olipa xz-tason suunta valittu miten tahansa, ja sen vuoksi voidaan kijoittaa yleinen tulos A = µ m sin θ 4π 2 u ϕ = µ m 4π 3. (7.69)

7.9. BIOT-SAVARTIN LAIN SOVELTAMINEN 95 Tämä muistuttaa suuesti sähködipolin potentiaalia φ = p /(4πε 3 ). Magneettivuon tiheys voidaan nyt laskea ottamalla vektoipotentiaalin oottoi. Se kannattaa laskea pallokoodinaatistossa. Yhtälön (32) avulla B = A = µ m 4π 2 sin θ u u θ sin θu ϕ / / θ / ϕ sin θ (sin θ/ 2 ) = µ m 4π 3 (2 cos θu + sin θu θ ), (7.7) mikä on samaa muotoa kuin sähködipolin aiheuttama sähkökenttä yhtälössä (2.35); dipolimomenttia p vastaa magneettimomentti m ja pemittiivisyyttä ε vastaa pemeabiilisuuden käänteisavo 1/µ. Tämä takoittaa sitä, että magneettimomentin aiheuttama magneettikenttä kaukana magneettimomentista on matemaattisesti saman muotoinen kuin sähködipolin aiheuttama sähkökenttä. Siksi pienestä vitasilmukasta käytetäänkin toisinaan nimitystä magneettidipoli. Sähködipolin ja magneettidipolin välillä on kuitenkin oleellinen eo. Sähködipoli sisältää positiivisen ja negatiivisen vaauksen ja sähkökentän voimaviivat kulkevat positiivisesta vaauksesta negatiiviseen. Magneettidipolissa vastaavia magneettisia vaauksia ei ole ja kenttäviivat sulkeutuvat magneettidipolin sisällä, missä ne kulkevat päinvastaiseen suuntaan kuin sähkökentän kenttäviivat sähködipolin sisällä. Vitasilmukan kenttä voidaan tietysti kaukana silmukasta ilmaista myös magneettisen skalaaipotentiaalin gadientin avulla. Koska yhtälön (7.7) mukainen magneettivuon tiheys on matemaattisesti samaa muotoa kuin yhtälön (2.35) sähkökenttä, täytyy myös magneettisen skalaaipotentiaalin olla samaa muotoa kuin dipolipotentiaali yhtälössä (2.34). Voidaan siis suoaan kijoittaa magneettisen skalaaipotentiaalin lauseke φ m = µ m 4π 3. (7.71) On syytä huomata, että magneettivuon tiheys voidaan laskea joko ottamalla oottoi vektoipotentiaalista tai gadientti magneettisesta skalaaipotentiaalista. Vektoipotentiaali ja magneettinen skalaaipotentiaali ovat siis (alueissa, joissa ei kulje sähkövitaa) vaihtoehtoisia tapoja esittää magneettikenttää kuvaava infomaatio. 7.9.2 Magneettikenttä ympyänmuotoisen vitasilmukan akselilla Lasketaan seuaavaksi ympyänmuotoisen vitasilmukan aiheuttaman magneettivuon tiheyden lauseke, joka on voimassa silmukan akselilla myös lähellä silmukkaa. Kuvassa 7.9 on R-säteinen silmukka xy-tasossa ja siinä kulkee vita I. Kenttä lasketaan pisteessä, joka on z-akselilla. Positiivisella y-akselilla sijaitseva negatiivisen x-akselin suuntainen vitaelementti Iδl 1 aiheuttaa magneettivuon tiheyden δb 1, joka on yz-tasossa. Negatiivisella y-akselilla oleva samansuuuinen mutta vastakkaissuuntainen vitaelementti Iδl 1 aiheuttaa magneettivuon tiheyden δb 2, joka on myös yz-tasossa. Kentät δb 1 ja δb 2 muodostavat θ:n suuuisen kulman z-akselin

96 LUKU 7. MAGNEETTIKENTTÄ!B 2 z "!B 1!l 2 x R I - "!l 1 y Kuva 7.9: Ympyänmuotoisen vitasilmukan aiheuttama kenttä silmukan akselilla. kanssa. Tästä seuaa, että niiden xy-tason suuntaiset komponentit kumoavat toisensa ja z-komponentit ovat yhtä suuet ja samansuuntaiset. Siis iittää, että lasketaan komponentti δb z = δb 1 cos θ, missä δb 1 = µ I 4π δl 1 ( ) 3 = µ I δl 1 4π 2. (7.72) Tässä on otettu huomioon, että δl 1 ja ( ) ovat kohtisuoassa toisiaan vastaan. Jokainen vitaelementti aiheuttaa samansuuuisen komponentin δb z, joten B z () = µ I dl 1 cos θ 4π 2 = µ I R 4π R2 + 1 dl 2 (R 2 + 2 1 ) µ IR = 4π(R 2 + 2 ) 2πR = µ IR 2. (7.73) 3/2 2(R 2 + 2 ) 3/2 Kuvassa 7.9 valitulla vian suunnalla magneettivuon tiheys osoittaa positiivisen z-akselin suntaan. Kun vian suunta muutetaan päinvastaiseksi, kenttä osoittaa negatiivisen z-akselin suuntaan. Tämä tulos on voimassa, kaikilla etäisyyksillä silmukasta, mutta ainoastaan silmukan akselilla. Silmukan keskipisteessä vaikuttava magneettivuon tiheys on B z () = µ I 2R. (7.74)