Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka virittävät avaruuden Y. GramSchmidin menetelmän nojalla löytyy ortonormaalijoukko {e 1, e 2,..., en} joka virittää aliavaruuden Y. Määritellään lineaarikuvaus P : X Y asettamalla kaikilla x X Px = n (x ek)ek. Harjoitustehtävän nojalla x Px on ortogonaalinen jokaista vektoria ek kohtaan ja tästä seuraa, että x Px Y. Täten P on ortogonaaliprojektio aliavaruudelle Y Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 37 / 71
Vektoreiden välinen etäisyys Määritelmä 8. Olkoon X sisätuloavaruus. Vektoreiden x, y X välinen etäisyys on d(x, y) = x y. Pisteen x X etäisyys joukosta A X on d(x, A) = inf d(x, a). a A Huomautus Koska normi on deniittinen, niin d(x, y) = 0 jos ja vain jos x = y. Sen sijaan d(x, A) voi olla 0 vaikka x / A. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 38 / 71
Esimerkkejä Esimerkki 1 Jos A on äärellinen, niin d(x, A) = min d(x, a) a A eli minimietäisyys saavutetaan jonkin pisteen b A ja x välillä. 2 Pisteen 0 R etäisyys joukosta { 1/n n N } on 0. Kuitenkin d(0, 1/n) = 1/n > 0 kaikilla n N. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 39 / 71
Ortogonaaliprojektio antaa lähimmän pisteen aliavaruudelta Lemma 13. Olkoot X sisätuloavaruus ja P ortogonaaliprojektio aliavaruudelle Y X. Tällöin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja kaikilla x, y X : 1 y Y ja x y Y 2 y = Px 3 y Y ja x y = d(x, Y ). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 40 / 71
Todistuksen alku Todistus. (1) = (2) kuten Lemman 4 todistus. (2) = (3) Oletetaan että y = Px. Tällöin y Y ja x y Y. Pythagoraan lauseen nojalla kaikille z Y pätee x z 2 = x y + y z 2 = x y 2 + y z 2 koska y z Y (Y on aliavaruus). Täten x z 2 x y 2 kaikilla z Y ja yhtäsuuruus pätee täsmälleen silloin kun z = y. Täten x y = d(x, Y ). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 41 / 71
Todistuksen loppu... jatkuu (3) = (1) Oletetaan että y Y ja x y = d(x, Y ), ja osoitetaan että x y Y. Jos x y / Y, niin (x y z) = λ 0 jollain z Y, z = 1. Asetetaan w = y + λz Y. Tällöin ja Lauseen 5 nojalla x w = (x y) (x y z)z x y 2 = (x y z) 2 + x w 2 = λ 2 + x w 2 > x w 2. Tämä on ristiriita koska w Y ja x y = d(x, Y ). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 42 / 71
Esimerkki kun ortogonaaliprojektiota ei ole Olkoot e 1 = (1, 0, 0,...), e 2 = (0, 1, 0, 0,...), e 3 = (0, 0, 1, 0, 0,...),... ja A = span{e 1, e 2,...}. Olkoon x = (1, 1 2, 1 3,...) l2. Tällöin n x 1 k e k 2 = (0, 0,..., 0, 1 n + 1, 1 n + 2,...) kun n. Tästä seuraa että d(x, A) = 0. 2 = k=n+1 1 k 2 0 Jos siis on olemassa ortogonaaliprojektio P : l 2 A, niin edellisen lauseen nojalla Px x = 0, joten x A. Kuitenkin jokaisessa A:n alkiossa on enintään äärellinen määrä nollasta eroavia koordinaatteja, joten x / A. Siis ortogonaaliprojektiota P : l 2 A ei voi olla olemassa. Myöhemmin nähdään että jokaiselle suljetulle aliavaruudelle on olemassa ortogonaaliprojektio. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 43 / 71
Kohti Fourier-analyysia Tarkastellaan sisätuloavaruuttaa C([ π, π]) sisätulolla (f g) = 1 2π π π f (t)g(t) dt, f, g C([ π, π]). Kerroin 1 2π on vain helpottamassa merkintöjä: nyt vakiofunktiolle 1 pätee että (1 1) = 1. Harjoitustehtävän nojalla funktiot 1, 2 sin(kt), 2 cos(kt), k = 1, 2,... moudostavat ortonormaalin joukon sisätuloavaruudessa C([ π, π]). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 44 / 71
Trigonometriset polynomit Määritelmä 9. Trigonometrinen polynomi on funktio, joka on muotoa f (t) = A 0 + n (A k cos(kt) + B k sin(kt)), missä A 0, A 1,..., A n ja B 1, B 2,..., B n ovat vakioita (reaalilukuja). Tämän trigonometrisen polynomin f aste on n jos A n 0 tai B n 0. Välillä [a, b] määriteltyjen trigonometristen polynomien joukkoa merkitään Trig([a, b]). Huomautus Olkoon f yllä olevaa muotoa. Tällöin (f 1) = A 0, (f cos(jt)) = A j 2, (f sin(jt)) = B j 2 kaikilla j = 1, 2,..., n. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 45 / 71
Fourier-kertoimet ja Fourier-sarja Määritelmä 10. Olkoon f C([ π, π]). Lukuja A 0 = 1 2π A k = 1 π B k = 1 π π π π π π π f (t) dt f (t) cos(kt) dt, k = 1, 2,... f (t) sin(kt) dt, k = 1, 2,... kutsutaan funktion f Fourier-kertoimiksi. Sarjaa A 0 + (A k cos(kt) + B k sin(kt)), kutsutaan funktion f Fourier-sarjaksi. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 46 / 71
Huomautuksia Fourier-sarjasta 1 Trigonometrisen polynomin määritelmässä summa on äärellinen mutta Fourier-sarjan määritelmässä ääretön. 2 Jos f on trigonometrinen polynomi, niin f :n Fourier-sarja on yhtä kuin f itse. Korkeamman asteen kertoimet häviävät: A n+1 = B n+1 = A n+2 = B n+2 = = 0. 3 Ei ole selvää suppeneeko jonkin annetun funktion Fourier-sarja vai ei. 4 Vaikka jonkin funktion Fourier-sarja suppenisi, niin ei ole selvää antaako Fourier-sarja alkuperäisen funktion. Merkintä f A 0 + (A k cos(kt) + B k sin(kt)) tarkoittaa, että oikeanpuoleinen sarja on f :n Fourier-sarja (vaikka ei siis välttämättä ole itse f ). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 47 / 71
Fourier-sarja toisin merkinnöin Olkoon e 0 = 1, e 2k = 2 cos(kt), k = 1, 2,... ja e 2k+1 = 2 sin(kt), jolloin {ej} j=0 on ortonormaali joukko. Tällöin funktion f Fourier-kertoimille pätee A 0 = (f e 0 ), A k = 2(f e 2k ), B k = 2(f e 2k+1 ). Funktion f Fourier-sarja voidaan tällöin kirjoittaa muodossa ( A 0 + (A k cos(kt) + B k sin(kt)) = (f e 0 )e 0 + = (f ej)ej. j=0 ) e 2k+1 + B k 2 2 A k e 2k Tämä muistuttaa ortogonaalisen projektion kaavaa. Jotta voisimme käsitellä tällaisia lausekkeita täytyy pystyä tarkastelemaan sarjan suppenemista... Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2017 48 / 71