2 / :03

Transkriptio

1 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / :3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti: jos x, y R + ja c R, niin x y = x y ja c x = x c Voidaan osoittaa, että joukko R + varustettuna yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla on vektoriavaruus (a) Laske 3 = 7 = 9 (b) Mieti, mikä on joukon R + alkoista on nollavektori Nollavektori = Voit tässä vaiheessa rauhassa luonnostella paperille pohdintojasi ja laskujasi, eikä niiden tarvitse olla täsmällisiä tai edes oikein (c) Käydään läpi täsmällisesti nollavektorin määritelmän perusteella, että löytämäsi vektori todellakin on vektoriavaruuden R + nollavektori Toisin sanoen halutaan näyttää, että se toteuttaa vektoriavaruuden määritelmän ehdossa 3 esiintyvän yhtälön Kuuluuko kohtaan (b) antamasi alkio vektoriavaruuteen R +? Ohje: kirjoita vastaukseksi tai Kyllä Ei Olkoon x R + Laske x, kun on kohtaan (a) vastaukseksi antamasi nollavektori x = x kaikilla x R + Toteuttaako (a) -kohdan vastauksesi nollavektorin määritelmän edellisten kohtien perusteella? Ohje: kirjoita vastaukseksi tai Kyllä Ei (a) Tarkasteltavan vektoriavaruuden yhteenlaskun ja skalaarikertolaskun määritelmien mukaan 3 = 7 = 9 ja (b) Mietitään, mikä olisi sellainen joukon R + alkio a, että x a = x kaikilla x R + Toisin sanoen olisi oltava xa = x kaikilla x R + Tämän perusteella vektoriavaruuden R + nollavektori a voisi olla (c) Osoitetaan täsmällisesti, että on vektoriavaruuden R + nollavektori Ensinnäkin R + Lisäksi x = x = x kaikilla x R +, joten vektoriavaruuden R + nollavektori on

2 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 3 / :3 A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is 9, which can be typed in as follows: 9 A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is A correct answer is x, which can be typed in as follows: x A correct answer is

3 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / :3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } ja skalaarikertolasku seuraavasti: jos x, y R + ja c R, niin yhteenlasku x y = x y ja c x = x c Voidaan osoittaa, että joukko R + varustettuna yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla on vektoriavaruus Aiemmassa tehtävässä on selvitetty tämän vektoriavaruuden nollavektori (a) Mieti, mikä joukon R + alkoista on vektorin 6 vastavektori Merkitään tätä vastavektoriehdokasta x x = /6 Voit tässä vaiheessa rauhassa luonnostella paperille pohdintojasi ja laskujasi, eikä niiden tarvitse olla täsmällisiä tai edes oikein (b) Tutkitaan vastavektorin määritelmän avula, onko löytämäsi vektori on vektorin 6 vastavektori Kuuluuko kohtaan (a) antamasi alkio vektoriavaruuteen R +? Ohje: kirjoita vastaukseksi tai Kyllä Ei Laske vektorin 6 ja antamasi vastavektoriehdokkaan x summa 6 x = Mieti, miten laskemasi summa liittyy tehtävän vektoriavaruuden nollavektoriin Voidaanko vastavektorin määritelmän avulla perustella täsmällisesti, että (a)-kohdan vastauksesi on vektorin vastavektori? Ohje: kirjoita vastaukseksi tai Kyllä Ei 6 (a) Mietitään, mikä olisi sellainen joukon R + alkio x, että 6 x = = Toisin sanoen olisi oltava 6x = Tämän perusteella vektorin 6 vastavektori voisi olla 6 (b) Tässä osatehtävässä käydään läpi vastavektorin määritelmän kaksi ehtoa, mutta koska vastaukset täytetään tietokoneella, ei se ole varsinaisesti täsmällinen esitys siitä, että on vektorin 6 vastavektori Osoitetaan se nyt 6 täsmällisesti Aiemman tehtävän perusteella tiedetään, että vektori on vektoriavaruuden nollavektori, joten vektorin 6 vastavektori on sellainen x R +, jolle pätee 6 x = Koska R ja, = 6 = 6 6 on vektorin 6 vastavektori 6

4 / :3 Ratkaisuehdotukset Stack-tehtäviin file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse A correct answer is, which can be typed in as follows: /6 6 A correct answer is A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is Kysymys 3 Pisteet,, Mitkä seuraavista ovat polynomeista koostuvan vektoriavaruuden P alkioita? 7 (a) [ ] 8 3 (b) (c) (d) 6 x π x π + 8 x π + 9 6π x 3 + 8π x + 9π (e) f : R R, x sin(x) + : (f) [ ] Ohje: Kirjoita kaikki valitsemasi vaihtoehdot alla olevaan laatikkoon aakkosjärjestyksessä Kirjoita yhdelle riville vain yksi kirjain (ei sulkeita tai muita merkkejä) b d Ratkaisuehdotus Vektoriavaruus P koostuu polynomeista a n x n + a n x n + + a x + a x + a, missä a n,, a R ja n N Tällöin polynomit ja 6π x 3 + 8π x + 9π ovat vektoriavaruuden P alkioita A correct answer is [b, d], which can be typed in as follows: b d

5 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 6 / :3 Kysymys Pisteet,, Tarkastellaan vektoriavaruutta P Q, joka koostuu niistä polynomiavaruuden P polynomeista, joiden kertoimet kuuluvat rationaalilukujen Q joukkoon Keksi kolme mahdollisimman erilaista polynomiavaruuden P Q alkioita Ohje: Kirjoita kukin alkio omaan vastauslaatikkoonsa Käytä kirjainta x polynomin tuntemattoman symbolina Potenssin saa ^-merkillä, esimerkiksi x kirjoitetaan *x^ (Vastauslaatikon alla oleva tarkistusruutu näyttää miten tarkistusjärjestelmä tulkitsee vastauksesi) : x^3+x^+x Vastauksesi tulkittiin muodossa: x 3 + x + x Vastaus on ok : -*x^ Vastauksesi tulkittiin muodossa: x Vastaus on ok 3: Vastauksesi tulkittiin muodossa: Vastaus on ok Ratkaisuehdotus Polynomiavaruus (vektoriavaruus) P Q koostuu polynomeista a n x n + a n x n + + a x + a x + a, missä a n,, a Q ja n N Esimerkiksi: x 3 + x + x, ja x ovat polynomiavaruuden P Q alkioita A correct answer is x 3 + x + x, which can be typed in as follows: x^3+x^+x A correct answer is x, which can be typed in as follows: -*x^ A correct answer is tans 3, which can be typed in as follows: tans3

6 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 7 / :3 Kysymys Pisteet,, Mikä on vektoriavaruuden P vektorin 9 x x 6 x + vastavektori? Ohje: Käytä kirjainta x polynomin tuntemattoman symbolina Potenssin saa ^-merkillä, esimerkiksi x kirjoitetaan *x^ (Vastauslaatikon alla oleva tarkistusruutu näyttää miten tarkistusjärjestelmä tulkitsee vastauksesi) 9*x^3-7*x^+6*x- Vastauksesi tulkittiin muodossa: The variables found in your answer were: [x] 9 x 3 7 x + 6 x p x n x n Ratkaisuehdotus Vektoriavaruuden P nollavektori on nollapolynomi = x + = On siis löydettävä polynomi q, jolle pätee 9 x x 6 x + + q = Arvataan, että vastavektori on q = 9 x 3 7 x + 6 x 9 x x 6 x + + q ja todetaan laskemalla, että se todella on vastavektori: = 9 x x 6 x x 3 7 x + 6 x = Siis vektorin 9 x x 6 x + vastavektori on 9 x 3 7 x + 6 x A correct answer is 9 x 3 7 x + 6 x, which can be typed in as follows: 9*x^3-7*x^+6*x-

7 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 8 / :3 Kysymys 6 Pisteet,, Merkitään: p = 8 x 3 3 x x 3 q = 8 x 3 + x + x r = x + 8 x + 6 Mitkä seuraavista polynomeista ovat sama polynomi? (a) 6 x x + x + 6 (b) q p (c) x x 3 (d) r (e) 8 x 3 3 x x + (f) x + 8 x + 9 Ohje: Kirjoita kaikki valitsemasi vaihtoehdot alla olevaan laatikkoon aakkosjärjestyksessä Kirjoita yhdelle riville vain yksi kirjain (ei sulkeita tai muita merkkejä) b d Laskemalla saadaan, että (b) q p = 6 x x + x x 3 8 x x = x + 8 x + 6 (d) r = x + 8 x + 6 = q p Näin ollen (b) ja (d) ovat samoja polynomeja A correct answer is [b, d], which can be typed in as follows: b d

8 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse Kysymys 7 Pisteet,, Jokainen matriisi A määrittää lineaarikuvauksen L A kaavalla L A ( x ) = Ax (ks myös kurssimonisteen lause 98 ja esimerkki 99) Tarkastellaan matriisia 3 A = (a) Matriisi A määrää lineaarikuvauksen L A : R p R q Mitä lukuja p ja q ovat? p = 3 ja q = (b) Oletetaan, että x = ( x, x,, x p ) R p Laske kuvavektori L A ( x ) Ohje: Kirjoita vektori alle käyttämällä sulkeina hakasulkeita (ei siis tavallisia sulkeita, kuten normaalisti) ja erottamalla vektorin alkiot pilkuilla Alaindeksit kirjoitetaan vain numerona muuttujan perään Esimerkiksi vektori ( x + x, x x ) kirjoitettaisiin näin: [*x+x, x-x] [-x-3*x+*x3,-*x+6*x+7*x3,8*x+3*x-3*x3,*x+*x-x3] (c) Kirjoita b-kohdan kuvavektori q -matriisina Ohje: Kirjoita matriisi laittamalla jokainen sen alkio (eli b-kohdan kuvavektorin jokainen komponentti) omalle rivilleen Riviä vaihdetaan näppäimistön enter-painikkeella L A ( x ) = [ -x-3*x+*x3 -*x+6*x+7*x3 8*x+3*x-3*x3 *x+*x-x3 ] Vertaa kuvavektoria matriisiin A Huomaatko mitään yhtäläisyyksiä? Correct answer, well done (a) Koska A on 3 -matriisi, niin L A : R 3 R eli p = 3 ja q = (b) Koska L A on matriisin A määräämä, pätee L A 3 ( x ) = A x 6 7 x x 3 3 x x 7 x x x = x = x 3 x x + 8 x 3 x 3 + x + x joten L ( x A ) = ( x 3 3 x x, 7 x x x, 3 x x + 8 x ) (c) Verrataan matriiseja A ja L ( x A ) : x 3 3 x x 7 x x x 3 x x + 8 x x 3 + x + x Huomataan, että vektorissa L ( x A ) näkyvät matriisin A alkiot, A correct answer is 3, which can be typed in as follows: 3 A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is [ x 3 3 x x, 7 x x x, 3 x x + 8 x, x 3 + x + x ], which can 9 / :3

9 / :3 Ratkaisuehdotukset Stack-tehtäviin file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse be typed in as follows: [*x3-3*x-x,7*x3+6*x-*x,(-3*x3)+3*x+8*x,(-x3)+*x+*x] A correct answer is [ x 3 3 x x, 7 x x x, 3 x x + 8 x, x 3 + x + x ], which can be typed in as follows: *x3-3*x-x 7*x3+6*x-*x (-3*x3)+3*x+8*x (-x3)+*x+*x Kysymys 8 Pisteet,, Kurssimateriaalin luvussa 9 kerrotaan, millä tavoin matriisit määräävät lineaarikuvauksia Eräs matriisi B määrää lineaarikuvauksen L B : R R 3, jolla ( x, x ) (7 x 7 x, 3 x + x, 8 x ) Määritä matriisi B Tarkista saamasi ratkaisu kertomalla vektoria ( x, x ) matriisilla B Oletetaan, että ( x, x ) R Kun tulkitaan vektorit matriiseiksi, saadaan vektorin ( x, x ) kuvavektoriksi x 7 x 7 x 7 7 x L([ ]) = 3 x + x = 3 [ ] x 8 x 8 x Siten lineaarikuvaus L on matriisin määräämä lineaarikuvaus 7 7 A correct answer is 3 8

10 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / :3 Kysymys 9 Pisteet,, Vektoreita voidaan kiertää kulman γ verran origon ympäri lineaarikuvauksella, joka on matriisin cos(γ) sin(γ) [ ] sin(γ) cos(γ) määräämä Ohjaat robottikättä, joka lähtee origosta ja ulottuu pisteeseen (, ) Käytä edellä mainittua lineaarikuvausta ja kierrä robotin kättä origon ympäri positiiviseen kiertosuuntaan eli vastapäivään Missä pisteessä robottikäden pää tämän jälkeen on? Ohje: Kirjoita vastauksesi saamasi piste paikkavektorina Luvun neliöjuuri kirjoitetaan sqrt(luku) Esimerkki vastauksesta: (3*sqrt()+/, /) ( (-sqrt(3))-/, sqrt(3)/- ) cos sin On laskettava tulo Ax, missä A = [ ] ja x = (, ) sin cos Lasketaan: cos sin 3 [ ] [ ] = [ ] 3 sin cos 3 joten robottikäden pää on pisteessä ( 3, ), A correct answer is A correct answer is 3 3, which can be typed in as follows: (-sqrt(3))-/, which can be typed in as follows: sqrt(3)/-

11 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / :3 Kysymys Pisteet,, Tutkitaan lineaarikuvausta L : R 3 R, jolle pätee L(,, ) = (, ), L(,, ) = (, ) ja L(,, ) = (, 3) (a) Oletetaan ensin, että ( x, x, x 3 ) R 3 Määritä L( x, x, x 3 ) Ohje: Kirjoita vastaukseksi saamasi vektori vastauslaatikkoon käyttämällä vektorin sulkeina hakasulkeita Merkitse tuntemattomien lukujen indeksit kirjoittamalla indeksi suoraan kirjaimen perään Esimerkiksi x kirjoitetaan x Esimerkki vastausvektorista: [*x, x3, ] [x-x3,*x+*x+3*x3] Vastauksesi tulkittiin muodossa: The variables found in your answer were: [ x x 3, x + x + 3 x 3 ] [ x, x 3, x ] (b) Etsi a-kohdan perusteella matriisi A, jonka määräämä kuvaus L on A = - 3 (c) Tarkista, että matriisi A toimii halutulla tavalla laskemalla A e, Ae ja Ae 3 Ohje: Kirjoita vastaukseksi saamasi vektori vastauslaatikkoon käyttämällä vektorin sulkeina hakasulkeita Esimerkki: [,, 3] A e = [,] A e = [,] A e 3 = [-,3] d) Kun kerrot matriisilla A vektoria (,,), mitkä matriisin alkiot näkyvät tulomatriisissa? Pohdi, miten tämä seuraa siitä, miten matriisikertolasku toimii Entä mitä tapahtuu, kun kerrot matriisia A vektorilla (,,) tai (,,)? e) Miten kantavektorien kuvavektorit näkyvät matriisissa A? (Miten tämä liittyy d-kohtaan?) (a) Hyödyntäen kuvauksen L lineaarisuutta voidaan laskea suoraan: L( x, x, x 3 ) = L( x (,, ) + x (,, ) + x 3 (,, )) = x (, ) + x (, ) + x 3 (, 3) = ( x x 3, 3 x 3 + x + x ) (b) Etsitään matriisi, joka määrää lineaarikuvauksen L Edellisen kohdan tulosta muokkaamalla nähdään, että x x x 3 L x = [ ] = [ ] x 3 x 3 + x + x 3 3 Siis lineaarikuvauksen L määrää matriisi A = [ ] 3 x x x 3

12 3 / :3 Ratkaisuehdotukset Stack-tehtäviin (c) Lasketaan A e = [ ] = [ ] = (, ) = Le 3 A e = [ ] = [ ] = (, ) = Le 3 A e 3 = [ ] = [ ] = (, 3) = Le 3 3 Matriisi A siis määrää kuvauksen L, eli se toimii halutulla tavalla file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 3 (d) Kun matriisia A kertoo vektorilla (,, ), tuloksena on matriisin A ensimmäinen sarake Tämä johtuu siitä, että matriisikertolaskussa tulomatriisiin vaikuttavat vain ensimmäisen sarakkeen alkiot Alla on selventävä esimerkki matriisikertolaskusta a a a 3 b b b 3 c c c 3 a + b + c = a + b + c = a 3 + b 3 + c 3 a a a 3 Vastaavasti vektorit (,, ) ja (,, ) poimivat matriisista vain toisen ja kolmannen sarakkeen alkiot (e) Kantavektorien kuvavektorit vastaavat matriisin sarakkeita Tämä johtuu siitä, että kantavektoreiden kuvavektorit ovat d-kohdan mukaan matriisin sarakevektorit A correct answer is A correct answer is [ ] 3 [ x x 3, 3 x 3 + x + x ] A correct answer is [, ], which can be typed in as follows: [,] A correct answer is [, ], which can be typed in as follows: [,] A correct answer is [, 3], which can be typed in as follows: [-,3], which can be typed in as follows: [x-x3,3*x3+*x+*x]

13 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / :3 Kysymys Pisteet,, Seuraavaksi hyppäämme lukuun, jossa nähdään, että jokainen lineaarikuvaus avaruudelta R m avaruudelle R n on jonkin matriisin määräämä Pidä lukuun tutustuessasi mielessä edellisen tehtävän havainnot Luvun todistuksia ei ole tarpeellista vielä tässä vaiheessa lukea tarkasti läpi Olkooon L A : R R lineaarikuvaus Alla on kuva vektoreista ē ja ē sekä niiden kuvavektoreista L A ( ē ) ja L ( ē A ) Määritä kuvan avulla matriisi A, joka määrää lineaarikuvauksen L A Käytä apunasi määritelmää 8 sekä edellisen tehtävän havaintoja 3 - Tarkista saamasi ratkaisu kertomalla vektoreita ē ja ē matriisilla A Kuvasta nähdään, että = (, ), ē = (, ), L A ( ē ) = (3, ) ja L ( A ) = (, ) Lineaarikuvauksen L A matriisi saadaan suoraan asettamalla kantavektorien ē ja kuvavektorit L A ( ē ) = (3, ) ja L ( A ) = (, ) matriisin sarakkeiksi Siten L A on matriisin 3 A = [ ] määräämä lineaarikuvaus 3 A correct answer is [ ]

14 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / :3 Kysymys Pisteet,, (a) Olkoon L : R R lineaarikuvaus, joka peilaa tason vektorit suoran span((, )) suhteen Päättele kuvan avulla, mitkä ovat kantavektorien e = (, ) ja e = (, ) kuvavektorit kuvauksessa L (Esimerkistä on apua) L( e ) = (, - ) L( e ) = ( -, ) (b) Määritä matriisi, jonka määräämä kuvaus L on - - (a) Piirretään koordinaatistoon suora span((, )) ja kantavektorit e ja e Huomataan, että kun kantavektorit peilataan suoran suhteen, niin vektorit kuvautuvat seuraavasti: L( e ) = (, ) ja L( e ) = (, ) (b) Koska tiedetään kantavektorien kuvat lineaarikuvauksessa L, saadaan lineaarikuvauksen L matriisi suoraan asettamalla kantavektorien kuvavektorit matriisin sarakkeiksi Lineaarikuvaus L on siis matriisin [ ] määrämä lineaarikuvaus A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is, which can be typed in as follows: - A correct answer is, which can be typed in as follows: - A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is [ ]

15 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 6 / :3 Kysymys 3 Pisteet,, Tässä tehtävässä tutkitaan funktioiden muodostamaa vektoriavaruutta F Tutkitaan funktioita f: R R, f(x) = x x + sin(x) g: R R, g(x) = e x + x h: R R, h(x) = sin(x) + e x + x + 3x Merkitään W = span(f, g, h) ja (a) Keksi kolme aliavaruuden W alkiota, jotka poikkeavat alkioista f, g ja h Vastaus : p: R R, p(x) = sin(x)+%e^x+*x^-3*x Vastauksesi tulkittiin muodossa: sin(x) + e x + x 3 x Vastaus : q: R R, q(x) = *(%e^x+x) Vastauksesi tulkittiin muodossa: ( e x + x) Vastaus 3: r: R R, r(x) = (sin(x)+*x^-*x)/+*(%e^x+x)+*%e^x+*x Vastauksesi tulkittiin muodossa: sin(x) + x x + ( + x) + + x e x e x (b) keksi jokin vektoriavaruuden F alkio, joka ei ole aliavaruudessa W s: R R, s(x) = Vastauksesi tulkittiin muodossa: Antamaasi vektoria ei voida esittää vektoreiden f, g ja h lineaarikombinaationa, joten se ei ole aliavaruuden W vektori (c) Voidaan osoittaa, että B = (f, g) on aliavaruuden W kanta Minkä vektorin koordinaattivektori kannan B suhteen on (, )? t: R R, t(x) = *(%e^x+x)-*(sin(x)+*x^-*x) Vastauksesi tulkittiin muodossa: ( e x + x) (sin(x) + x x)

16 7 / :3 Ratkaisuehdotukset Stack-tehtäviin (c) Kyseessä on vektori f + g Se on funktio, jolle pätee ( f + g)(x) = f(x) + g(x) = (sin(x) + x x) + ( e x + x) Etsitty vektori on siis file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse t: R R, t(x) = f(x) + g(x) = sin(x) + e x x + x A correct answer is A correct answer is, which can be typed in as follows: sin(x)+%e^x+*x^-3*x, which can be typed in as follows: *(%e^x+x) sin(x)+ x A correct answer is + ( e x + x) + e x + x (sin(x)+*x^-*x)/+*(%e^x+x)+*%e^x+*x A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is sin(x) + e x + x 3 x ( e x + x) x *(%e^x+x)-*(sin(x)+*x^-*x) ( e x + x) (sin(x) + x x), which can be typed in as follows:, which can be typed in as follows: Kysymys Pisteet,, Määritä matriisi, jonka määräämä lineaarikuvaus projisoi tason vektorit suoralle span((, )) Käytä apuna luonnollisen kannan vektoreiden kuvavektoreita samalla tavalla kuin esimerkeissä 9 ja / -/ -/ / Tarkista saamasi vastaus kertomalla valitsemaasi vektoria matriisilla Määritetään luonnollisen kannan vektorien e = (, ) ja e = (, ) kuvavektorit Merkitään suoran suuntavektoria w = (, ) Projektiot saadaan laskettua seuraavasti: e w w w w w proj w ( e ) = = = (, ) e proj w ( e ) = w = w = (, ) w w w Nämä kuvavektorit ovat lineaarikuvauksen matriisin sarakkeet Siten matriisiksi saadaan B = [ ] A correct answer is [ ]

17 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 8 / :3 Kysymys Pisteet,, Etsi matriisi, jonka määrämä lineaarikuvaus peilaa ensin tason vektorit suoran span((, )) suhteen ja sen jälkeen projisoi ne suoralle span((, )) -/ / / -/ Määritetään aluksi peilauksen määräämän lineaarikuvauksen L matriisi Piirretään koordinaatistoon suora span((, )) ja kantavektorit e = (, ) ja e = (, ) Huomataan, että kun kantavektorit peilataan suoran suhteen, niin vektorit kuvautuvat seuraavasti: L ( e ) = (, ) ja L ( e ) = (, ) Koska tiedetään kantavektorien kuvat lineaarikuvauksessa L, saadaan lineaarikuvauksen L matriisi suoraan asettamalla kantavektorien kuvavektorit matriisin sarakkeiksi Lineaarikuvaus L on siis matriisin määrämä lineaarikuvaus [ ] Määritetään luonnollisen kannan vektorien e = (, ) ja e = (, ) kuvavektorit projektiossa Merkitään suoran suuntavektoria w = (, ) Projektiot saadaan laskettua seuraavasti: proj w ( e ) = = = (, ) Nämä kuvavektorit ovat projektion määrittämän lineaarikuvauksen matriisin sarakkeet Siten matriisiksi saadaan Nyt lineaarikuvauksen matriisi saadaan peilauksen ja projektion lineaarikuvausten matriisien tulona e w w w w w e proj w ( e ) = w = w = (, ) w w w [ ] [ ] [ ] = [ ] Määritetään luonnollisen kannan vektorien e = (, ) ja e = (, ) kuvavektorit Merkitään suoran suuntavektoria w = (, ) Projektiot saadaan laskettua seuraavasti: e w w w w w proj w ( e ) = = = (, ) e proj w ( e ) = w = = (, ) w w w w Nämä kuvavektorit ovat lineaarikuvauksen matriisin sarakkeet Siten matriisiksi saadaan B = [ ] A correct answer is [ ]

18 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse Kysymys 6 Pisteet,, (a) Oletetaan, että T: R R 3 on lineaarikuvaus, jolle pätee T(, ) = (,, ) ja T (, ) = (,, 3) Etsi matriisi, jonka määräämä lineaarikuvaus T on - - (b) Laske löytämäsi matriisin ja vektorin (, ) tulo ja tarkista siten, että löytämäsi matriisi toimii niin kuin pitää (,, ) Laske löytämäsi matriisin ja vektorin (, ) tulo ja tarkista siten, että löytämäsi matriisi toimii niin kuin pitää (,, 3 ) (a) Matriisin sarakkeet ovat luonnollisen kannan vektorien kuvavektorit Toinen niistä jo tiedetään, koska T (, ) = (,, ) Selvitetään toinen: T (, ) = T((, ) (, )) = T (, ) T (, ) = (,, 3) (,, ) = (,, ) Nyt tiedetään, että matriisi määrää kuvauksen T (b) Laskemalla saadaan, että [ ] = ja [ ] = 3 A correct answer is A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is, which can be typed in as follows: 9 / :3

19 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse A correct answer is 3, which can be typed in as follows: 3 / :3

20 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / :3 Kysymys 7 Pisteet,, (a) Keksi lineaarikuvaus L: R R, jolle pätee L(, ) = (, ) ja L(, ) = (, ) Anna vastaukseksi keksimäsi lineaarikuvauksen matriisi Kuinka monta erilaista kuvausta on mahdollista keksiä tässä tapauksessa? Ohje: Kirjoita vastauksesi lukuna alla olevaan vastauslaatikkoon Jos vastauksesi on ääretön, niin kirjoita inf (b) Keksi lineaarikuvaus L: R 3 R, jolle pätee L(,, ) = (, ) ja L(,, ) = ( 3, ) Anna vastaukseksi keksimäsi lineaarikuvauksen matriisi - -3 Kuinka monta erilaista kuvausta on mahdollista keksiä tässä tapauksessa? Ohje: Kirjoita vastauksesi lukuna alla olevaan vastauslaatikkoon Jos vastauksesi on ääretön, niin kirjoita inf inf (a) Määritetään lineaarikuvaus matriisin avulla Tason R luonnollinen kanta on ((, ), (, )) Tehtävänannossa kerrotaan luonnollisen kannan kuvavektorit, ja ne ovat halutun matriisin sarakkeet, joten kuvauksen matriisi on [ ] Kuvaus määritellään siis seuraavasti: x L( x, x ) = [ ] [ x ] = [ ] = ( x, x ) kaikilla x, x R x x Kuvaus on L: R R, L( x, x ) = ( x, x ) Tarkistetaan vielä, että vektorit (,) ja (,) kuvautuvat oikein: L(, ) = (, ) = (, ) ja L(, ) = (, ) = (, ) Monisteen Lauseen mukaan tämä lineaarikuvaus on yksikäsitteinen (b) Määritetään tämäkin lineaarikuvaus matriisin avulla Avaruuden R 3 luonnollinen kanta on ((,, ), (,, ), (,, )) Luonnollisen kannan kuvavektoreista tunnetaan kaksi, ja kolmannelle oletetaan vaikkapa, että L(,, ) = (, ) Kuvavektorit ovat halutun matriisin sarakkeet, joten kuvauksen matriisi on 3 [ ] Kuvaus määritellään seuraavasti:

21 / :3 Ratkaisuehdotukset Stack-tehtäviin file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 3 3 x L( x, x, x 3 ) = [ ] = [ x x ] x + x x x 3 Tarkistetaan taas, että vektorit (,, ) ja (,, ) kuvautuvat oikein: 3 L(,, ) = [ ] 3 L(,, ) = [ ] = (, ) = ( 3, ) ja Huomataan, että kuvavektori L(,, ) voi olla mikä tahansa avaruuden R alkio, koska se ei vaikuta vektoreiden (,, ) ja (,, ) kuvavektoreihin Siis ehdot täyttäviä lineaarikuvauksia on ääretön määrä A correct answer is [ ] A correct answer is, which can be typed in as follows: 3 A correct answer is [ ] A correct answer is, which can be typed in as follows: inf

22 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 3 / :3 Kysymys 8 Avaruudella R on kannat R, S ja T Tiedetään, että erään vektorin v R koordinaattivektori kannan S suhteen on [ v ] S = (, 3) Lisäksi seuraavat kannanvaihtomatriisit ovat tiedossa: Pisteet,, P S R Määritä a) [ v ] T =( 3, ) = [ ], P T S = [ ] b) [ v ] R =( -/, 6/ ) c) P T R = - 3 a) [ v ] T = P T S [ v ] S = [ ] [ ] = [ ] 3 b) Lauseen 87 nojalla P R S = ( P S R ) = [ ] = [ ] Nyt [ v ] R = P R S [ v ] S = [ ] [ ] = [ ] 3 6 a) Lauseen 88 nojalla P T R = P T S P S R = [ ] [ ] = [ ] A correct answer is 3, which can be typed in as follows: 3 A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is, which can be typed in as follows: -/ 6 A correct answer is, which can be typed in as follows: 6/ A correct answer is [ ]

23 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / :3 Kysymys 9 Pisteet,, Tarkastellaan vektoriavaruutta C([, ]) = {f: [, ] R f on jatkuva} Tässä avaruudessa voidaan määritellä sisätulo kaavalla f, g = f(x)g(x) dx Tutkitaan funktioita f : [, ] R, f(x) = x 3 x + ja g : [, ] R, g(x) = x a) Määritä sisätulo f, g f, g = / b) Määritä projektio proj g (f) (Sisätuloavaruuden projektio määritellään samalla kaavalla kuin avaruuden R n tavallinen projektio) proj g (f) = h, missä h : [, ] R, h(x) = -(3*x)/ a) Laskemalla saadaan, että f, g = f(x)g(x) dx = x x x dx x = / + x 3 x = b) Lasketaan ensin sisätulo g, g : Näin ollen projektioksi saadaan eli projektio on funktio g, g = g(x)g(x) dx = dx x 3 = / = 3 3 x f, g 3 x proj g (f) = g = g =, g, g 3 3 x proj g (f) : [, ] R, x A correct answer is, which can be typed in as follows: / A correct answer is 3 x, which can be typed in as follows: -(3*x)/

24 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / :3 Kysymys Pisteet,, Tarkastellaan edelleen vektoriavaruutta C([, ]) = {f: [, ] R f on jatkuva}, jossa on määritelty sisätulo kaavalla f, g = f(x)g(x) dx Keksi kaksi nollasta poikkeavaa alkiota f, g C([, ]), jotka ovat ortogonaaliset, eli kohtisuorassa toisiaan vastaan Voit halutessasi käyttää hyväksi edellistä tehtävää Käytä funktioiden muuttujana x:ää f : [, ] R, f(x) = -*x g : [, ] R, g(x) = x^-(9*x)/+ Tarkastellaan edellisen tehtävän vektoreita f = x x + ja g = x Nämä saattavat olla hieman eri kuin suorittamassasi tehtävässä alkioiden arvonnan vuoksi Tehtävän vektorit g ja f proj g (f) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan lauseen 3 nojalla Edellisen tehtävän ratkaisussa todettiin, että projektiovektori on kuvaus 7 proj g f: [, ] R, x x Nyt erotusfunktio f proj g f näyttää seuraavalta: f proj g f: [, ] R, x x 9 x + A correct answer is x, which can be typed in as follows: -*x A correct answer is x 9 x +, which can be typed in as follows: x^-(9*x)/+

25 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 6 / :3 Kysymys Pisteet,, Tutkitaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span( v, v ), missä v = (,, ) ja v = (, 3, 3) Tällä avaruudella on ortogonaalinen kanta ( w, w ), missä w = (,, ) ja w = (,, ) Merkitään ā = (,, ) Määritä projektio proj ( ā W ) proj ( ā W ) = (, -, - ) Käytetään projektion laskemiseen avaruuden W ortogonaalista kantaa w = (,, ) ja w = (,, ) Nyt proj ā W = proj w (,, ) + proj w (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) = (,, ) + (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) = (,, ) + (,, ) = (,, ) A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is, which can be typed in as follows: - A correct answer is, which can be typed in as follows: -

26 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 7 / :3 Kysymys Pisteet,, Tutkitaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span( v, ), missä v = (,, ) ja v = (,, 3) Etsi aliavaruudelle W ortogonaalinen kanta w, w seuraavasti: Valitse ensimmäiseksi kantavektoriksi ja etsi sitten vektori, joka on ortogonaalinen vektorin v kanssa Käytä tässä apuna projektiota proj w ( v ) w = (, -, - ) w = ( /3, /3, /3 ) Olkoon w = v ja w = v proj ( ) = ( ) w v perp v span( w ) Tällöin vektorit w ja w ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan Lasketaan perp span( w ) v w = ( ) = v proj ( v w ) (,, 3) (,, ) = (,, 3) (,, ) (,, ) (,, ) = (,, 3) (,, ) = (,, ) Nyt koska vektorit w ja w ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin niiden muodostama jono on vapaa Lisäksi aliavaruuden W dimensio on kaksi, joten vektorit w ja w virittävät avaruuden W Näin ollen vektorit (,, ) ja (,, ) muodostavat ortogonaalisen kannan aliavaruudelle W A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is, which can be typed in as follows: - A correct answer is, which can be typed in as follows: - A correct answer is, which can be typed in as follows: /3 3 A correct answer is, which can be typed in as follows: /3 3 A correct answer is, which can be typed in as follows: /3 3

27 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse 8 / :3 Kysymys 3 Pisteet,, Tutkitaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span( v, v ), missä v = (,, ) ja v = (, 3, 3) Tällä avaruudella on ortogonaalinen kanta ( w, w ), missä w = (,, ) ja w = (,, ) Olkoon ā = (,, ) Kirjoita vektori ā summana kahdesta vektorista, joista toinen on aliavaruuden W ja toinen aliavaruuden W alkio ā = (, -, - )+(, 3, -3 ) Koska proj ( ā ) W ja lauseen 3 nojalla ā W proj ( ā W ) = perp ( ā W ) W niin summa ā = proj ( ā W ) + perp ( ā W ) toteuttaa tehtävän ehdot (Tämä on itseasiassa lauseen 33 perusteella \emph{ainoa} tehtävän ehdot toteuttava ratkaisu) Samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä avaruuden W ortogonaalisen kannan avulla laskemalla saadaan jolloin proj ( ā W ) = (,, ), perp ( ā ) = ā W proj ( ā W ) = (,, ) (,, ) = (, 3, 3) Haluamamme summa on siis ā = (,, ) + (, 3, 3) A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is, which can be typed in as follows: - A correct answer is, which can be typed in as follows: - A correct answer is, which can be typed in as follows: A correct answer is 3, which can be typed in as follows: 3 A correct answer is 3, which can be typed in as follows: -3 Supported by Academy of Finland, NSF-SAVI All Rights Reserved WEPS 3