Matematiikkalehti /205 http://solmu.math.helsiki.fi
2 Solmu /205 Solmu /205 ISSN-L 458-8048 ISSN 459-0395 (Paiettu) ISSN 458-8048 (Verkkolehti) Matematiika ja tilastotietee laitos PL 68 (Gustaf Hällströmi katu 2b) 0004 Helsigi yliopisto http://solmu.math.helsiki.fi Päätoimittaja: Ae-Maria Ervall-Hytöe, tutkija, Matematiika ja tilastotietee laitos, Helsigi yliopisto Toimitussihteeri: Juha Ruokolaie, FT, Matematiika ja tilastotietee laitos, Helsigi yliopisto Sähköposti: toimitus@solmu.math.helsiki.fi Toimittajat: Pekka Alestalo, dosetti, Matematiika ja systeemiaalyysi laitos, Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu Sirkka-Liisa Eriksso, professori, Matematiika laitos, Tamperee tekillie yliopisto Aapo Halko, FT, Matematiika ja tilastotietee laitos, Helsigi yliopisto Camilla Hollati, apulaisprofessori, Matematiika ja systeemiaalyysi laitos, Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu Marjatta Näätäe, dosetti, Matematiika ja tilastotietee laitos, Helsigi yliopisto Heikki Pokela, tutiopettaja, Tapiola lukio Atti Rasila, vahempi yliopistolehtori, Matematiika ja systeemiaalyysi laitos, Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu Mikko Sillapää, professori, Matemaattiste tieteide laitos ja Biologia laitos, Oulu yliopisto Samuli Siltae, professori, Matematiika ja tilastotietee laitos, Helsigi yliopisto Kimmo Vehkalahti, yliopistolehtori, tilastotiede, Sosiaalitieteide laitos, Helsigi yliopisto Esa Vesalaie, tutkijatohtori, Matematiika ja tilastotietee laitos, Jyväskylä yliopisto Tieteelliset asiatutijat: Heikki Apiola, dosetti, Matematiika ja systeemiaalyysi laitos, Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu Mika Koskeoja, yliopistolehtori, Matematiika ja tilastotietee laitos, Helsigi yliopisto Liisa Näveri, FT, Opettajakoulutuslaitos, Helsigi yliopisto Graafie avustaja: Marjaaa McBree Yliopistoje ja korkeakouluje yhteyshekilöt: Ari Koistie, FM, ari.koistie@metropolia.fi, Metropolia Ammattikorkeakoulu Juha Lehrbäck, tutkijatohtori, juha.lehrback@jyu.fi, Matematiika ja tilastotietee laitos, Jyväskylä yliopisto Jorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi, Sovelletu matematiika laitos, Lappeeraa tekillie yliopisto Jorma Merikoski, emeritusprofessori, jorma.merikoski@uta.fi, Iformaatiotieteide yksikkö, Tamperee yliopisto Matti Nuortio, tutkijatohtori, matti.uortio@oulu.fi, Bioceter Oulu, Oulu yliopisto Petri Rosedahl, assistetti, petri.rosedahl@utu.fi, Matematiika laitos, Turu yliopisto Atti Viholaie, tutkijatohtori, atti.viholaie@uef.fi, Fysiika ja matematiika laitos, Itä-Suome yliopisto Numeroo 2/205 tarkoitetut kirjoitukset pyydämme lähettämää 3.3.205 meessä. Kiitämme taloudellisesta tuesta Jey ja Atti Wihuri rahastoa. Huom! Solmu paperiversio postitetaa vai iihi kouluihi, jotka ovat sitä eriksee pyytäeet. Toivomme, että lehteä kopioidaa kouluissa kaikille halukkaille.
Solmu /205 3 Sisällys Pääkirjoitus: Opetussuuitelmaa ohjelmoitia (Ae-Maria Ervall-Hytöe)............. 4 Tilastoje lukutaitoa opettamassa (Jey Ståhlberg)........................................ 6 Matematiikkadiplomit syksyllä 204 (Marjatta Näätäe).................................. 0 Koodaamista Ohkola koululla (Sari Auramo)..............................................2 Hoi koodimaailma vikkejä aloittelevalle ohjelmoijalle (Tiia Romu)......................4 Summie arvioiti itegraalie avulla (Ae-Maria Ervall-Hytöe)....................... 6 Math Girls -kirjoja (Tarja Shakespeare).................................................... 2 Riemai ζ-fuktio (Katja Kulmala ja Esa V. Vesalaie)................................. 23 Vuode 934 ylioppilaskoetehtävä (Lehtori K.)............................................. 30
4 Solmu /205 Opetussuuitelmaa ohjelmoitia Pääkirjoitus Uude opetussuuitelma myötä matematiika opetuksee tulee suuria uudistuksia. Uudistuksista eite äkyvyyttä ovat asaitusti saaeet ohjelmoitiopetus peruskoulussa ja lukio pitkä ja lyhye matematiika yhteie kurssi. Uudistuksista o iloittu. Niitä o kauhisteltu. Niihi o suhtauduttu epävarmuudella. Niistä o revitty raflaavia otsikoita. Muista itse esi järkyttyeei ähtyäi otsiko, joka kertoi, että jakokulma jää pois ohjelmoitiuudistukse tilalta. Mite e voivat tehdä tämä jakokulmalle, mieti. Jakokulma oli ollut miulle aia hyvi tärkeä. Opiskellessai lukuteoria alkeita koi saavai jakokulmasta hahmotuskykyä kogruessie ja murtolukuje omiaisuuksie ymmärtämisee. Kyse ei ollut vai jakokulmasta työkalua, vaa jakokulma ymmärtämise suomista mahdollisuuksista. Toivuttuai alkujärkytyksestä pohdi asiaa tarkemmi. Miulle jakokulma o ollut tärkeä, mutta se, että joki o miulle tärkeä, ei tarkoita, että suuri osa oppilaista pitäisi asiaa tärkeää, oppisi asiaa syvällisesti tai edes muistaisi asiaa välttävästi puoli vuotta se jälkee, ku asia o koulussa käyty läpi. Ohjelmoitiuudistus vaatii tuteja, ja e tuit ovat aia jostai muusta pois. Varsiaisesti ei ole alaluokilla kyse ohjelmoiista siiä mielessä kui moi se ymmärtää, vaa algoritmise ajattelu kehittämisestä. Sitä voi kehittää leikeissä ja peleissä, kyällä ja paperilla, ja hyvi moella muulla tavalla. Algoritmie ajattelu o kiiteä osa matematiikkaa. Ohjelmoititehtävää voi hoitaa vaikka se jakokulmaki. Se o itse asiassa eriomaie esimerkki algoritmista. Tätä vaste tutuu loogiselta, että matematiika tutimäärää väheetää, vaikka se toki kauhistuttaa. Riskiä o, että matematiika perusteoria hallita heikkeee, ku liikaa keskitytää koeisii, tai liikaa luotetaa, että tietokoeet kuiteki hoitavat se kaike ajattelu. Tuteja voisi hyvi ottaa muistaki aieista. Esimerkiksi alaluokille ehdotettu toiste oppilaide käskyttämie komeoi Mee kolme askelta vasemmalle, pysähdy, mee kaksi oikealle tuo mahdollisuuksia vaikka koulu liikutatueille: Miltä kuulostaisi aarteeetsitä komeoi viisi askelta oikealle, kiipeä kuusi puolaa, katso tago taa, je tai kilpailu vaikka joukkueissa: kolme metriä ryömitää, eljätoista haaraperushyppyä, kahdeksa juoksuaskelta, eljä pallo pompotusta... Ole käyttäyt tietokoeita kuusivuotiaasta. Pieeä treeasi päässälaskua isäi tekemillä yksikertaisilla ohjelmilla. Kuulemma vahempai kuulivat eätykse rikkoutumisesta kertova fafaari joskus puoli seitsemältä viikoloppuaamua. Matematiika tutkijaa ole hyötyyt tietotekiikasta paljo. Laita esimerkiksi tietokoee summaamaa yhtee vaikkapa satatuhatta kärkimuodo Fourier-kerroita, tavoitteeai oma työsketelyhypoteesii ripeä kumoamie tai jokilaise vahvistukse sille saamie. Tämä o huomattavasti mielekkäämpää kui yrittää hoitaa homma kyällä ja paperilla (eemmä tai vähemmä mahdotota) tai yrittää kehittää ja todistaa tulos, jolla ei mahdollisesti ole mitää todellisuuspohjaa. Paitsi, että koe tietokoeella laskemise hyödylliseksi, o se miusta myös hauskaa, o valtava mukava odot-
Solmu /205 5 taa laskuje valmistumista ja jäittää, oko omassa arvauksessa mitää tolkkua. Tätä samaa hauskuutta matematiika opiskeluu toivoisi myös kouluihi: iovatiivisia ja fiksuja tapoja käyttää tietokoeita ja algoritmiikkaa sellaisii ogelmii, jotka koululaiste mielestä ovat mielekiitoisia. Tässä o mielestäi uudistukse valtava potetiaali. Tietokoeita käytetää arkielämässä paljo, iide käyttämie o luoollista, jote o luoollista käyttää iitä myös koulussa. Uudistus oli väistämätö, sillä tietokoeet ovat ii kiiteä osa arkielämää, että jokaise o syytä iide toimiasta jotai ymmärtää. Ogelmaksi voi kuiteki koitua, että uudistus o toteutettu valtava opealla aikataululla. Uudistukse päätöksestä toteutuksee o hyvi vähä aikaa, ja uudistus tulee koko peruskouluu yhtä aikaa. Opettajia ei ole koulutettu. Vaikka tarkoitus ei olekaa tehdä hieoja ja suuria ohjelmia, voi uudistus olla hyvi hakala ja pelottava iille opettajille, joilla ei ole mitää ohjelmoititaustaa, sillä uude opettelu ja se sama tie opettamie o aia vaativaa. Olisi luultavasti ollut parempi toteuttaa uudistus vähitelle, portaittai. Aluksi opetusta olisi voitu tarjota vai joillai luokka-asteilla, ja vähitelle olisi laajeettu. Aluksi opetusta olisivat ataeet opettajat, joilla o tietotekistä taustaa, ja vähitelle myös muut. Moet myös pelkäävät, että jos opettaja ei ole riittävä motivoituut, ii oppilaat vai pelaavat luokassa. Seki mahdollisuus o olemassa, mutta toisaalta jo pitkää o opettajilla ollut mahdollisuus laittaa oppilaat katsomaa vaikka televisiota. Opettajie kädejälki tulee uudistuksessa äkymää paljo, sillä opetussuuitelmassa o moi asia jätetty avoimeksi, mukaa lukie ohjelmoitii käytettävä tutimäärä. Verkosta löytyy hyvää materiaalia, jolla iokas opettaja jopa täysi vailla ohjelmoititaustaa pääsee jo pitkälle. Sivu http://koodi206.fi kaattaa ehdottomasti lukea. Siellä o myös likkejä muuhu materiaalii. Hyvää materiaalia kaikelaisii algoritmise ajattelu harjoituksii o Majava-kilpailu (http://www.majava-kilpailu.fi) vahoissa tehtävissä, joita löytyy kilpailu materiaalipakista. Lisäksi halusimme Solmussa tukea opettajia ja ataa ideoita omaa opiskeluu ja opettamisee, jote julkaisemme tää vuoa kirjoituksia ohjelmoii opettamisesta ja oppimisesta. Esimmäiset kirjoitukset ovat Sari Auramolta ja Tiia Romulta, ja e ilmestyvät jo tässä umerossa. Ae-Maria Ervall-Hytöe PS. Tässä umerossa o myös Tarja Shakespeare arvio Math Girls -kirjasarjasta. Satui itse saamaa hyvältä ystävältäi yhde kirjasarja osa hiljattai lahjaksi. Aioa valitukse aihe o: Miksei äitä ollut jo silloi, ku kuului varsiaisee kohderyhmää?
6 Solmu /205 Tilastoje lukutaitoa opettamassa Mite saada uoret iostumaa tilastoje maailmasta? Matematiikaopettaja Raimo Huhtala o oistuut tässä tehtävässä eriomaisesti. Jey Ståhlberg (Kirjoitus o aikaisemmi julkaistu Tieto&treditlehde umerossa 5/204.) Tilastokeskus tekee paljo yhteistyötä opettajie kassa, jotta uorte kiiostusta tilastoihi ja iide käyttöö voitaisii edistää jo mahdollisimma varhaisessa vaiheessa. Rovaieme Lyseopuisto lukio matematiikaopettaja Raimo Huhtala o yksi Tilastokeskukse yhteistyökumppai, joka aktiivisesti hyödytää Tilastokoulua opetuksessaa. maiio apu tilastotietee perusteide ja käsitteide oppimisessa ja ymmärtämisessä. Tilastokoulu sivut ovat mielestäi oistueet, sillä opiskelijat voivat edetä siellä omaa tahtii alkeista syvällisempää osaamisee. Tämä o myös opettaja kaalta merkittävä asia, koska samalla kurssilla o eri-ikäisiä ja sekä laaja että lyhye matematiika opiskelijoita. Tieteki o helpottavaa, että opettaja ei tarvitse valmistella kaikkea kurssilla tarvittavaa opetusmateriaalia. Opettaja voi luottaa Tilastokouluu tietäe, että taustalla o asiatutijoita. Mikä motivoi oppilaita? Tilastokeskus esittää seuraavaksi vuode matematiika opettajaksi FM Raimo Huhtalaa. Se o selvää, että opiskelijoide o ähtävä tilastoopiskelussa itsellee tulevaisuude hyötyä. Moet, esimerkiksi psykologiaa opiskelemaa aikovat osallistuvat tilasto-opiskeluu tietäe, että pääsykokeessa tilastoje osaamista vaaditaa. Mikä Tilastokoulussa o mielestäsi hyvää? Lukiolaiset tarvitsevat tilastoje luku- ja käyttötaitoja mm. historia, yhteiskutaopi, maatietee, psykologia ja totta kai myös tilastoihi perustuvassa todeäköisyyslaskeassa. Tilastokeskukse Tilastokoulu o Mite hyödyät Tilastokoulua opetussuuitelmassa? Ku viimeksi tehtii lukio opetussuuitelmaa (OPS), ii kirjoiti OPSii koulukohtaise Tilastotietee kurssi. Oppikirjaa tällä kurssilla ei tarvita, siitä kiitos Tilastokoulu.
Solmu /205 7 Opiskelijat opiskelevat pari kolme hege ryhmissä Tilastokoulua läppäreitä käyttäe. Välillä harjoitellaa excel-taitoja tilastofuktioita käyttäe ja tekemällä graafeja esimerkiksi väestö- tai taloudellisista tilastoista. Kurssi lopputyöä opiskelijat tekevät kyselytutkimukse oma mielekiitosa mukaa esimerkiksi kouluruoasta, elitavoista, harrastuksista je. Tuotoksea voi olla posteri, powerpoit-esitys tai excelsivusto, joka opiskelijat esittelevät toisillee. Tällä hetkellä käyissä olevassa kasaivälisessä matematiikkaprojektissa, jossa o mukaa yksitoista koulua eri puolilta Eurooppaa, opiskelijai käyttävät tilastotaitoja tutkiessaa eri maide taloutta. Tilastokoulu ataa opiskelijoille eriomaise lähtötaso projektia varte. Projekti lopputuotokse eri maide opiskelijat esittelevät yhdessä keväällä 205 Madridissa. Opiskelijoide oma halu ja ito käyttää aikaasa tilastotaitoje oppimisee ja tutkimukse tekemisee o motivoiut miua käyttämää myös vapaa-aikaai ohjauksee, saoo Raimo Huhtala. Sara Piiraie (vas.) ja Ira Pekkala osallistuvat käyissä olevaa tilastokilpailuu. Mitä tilastokilpailut ovat tuoeet tullessaa? Esimmäie osallistumie tilastokilpailuu vuoa 2009 alkoi juuri tilastokurssiltai, ku huomasi kilpailu etissä. Alkukilpailu ja kasallise loppukilpailu voitti Justus Mutae. Etelä-Afrika Durbaissa Justus voitti myös maailmalaajuise loppukilpailu vahimpie sarja. Saimme siis mukava yhdeksä päivä ulkomaareissu, ja päälle päätteeksi myös joukkuekilpailu voitto tuli Suomee. Seuraava kilpailu oli vuoa 20 ja tällä kertaa posterikilpailu. Kolme opiskelijaai halusi osallistua kierrätysaiheisella posterilla. Posteri voitti sekä kasallise että Dubliissa järjestety kasaivälise kilpailu. Tilastokoulu ovi tilastoje maailmaa Tilastokoulu sisältää Tilastokeskukse asiatutijoide tekemiä kursseja eri aiheista. Kursseja o tällä hetkellä yhteesä viisi ja kursseja ja oppimateriaaleja päivitetää ja lisätää jatkuvasti. Tilastoje ABC -kurssi tarjoaa perustiedot tilastoje ymmärtämiselle ja käyttämiselle sekä tilastollise tutkimukse tekemiselle. Työmarkkiatilastot -kurssi opettaa työmarkkiatilastoii peruskäsitteet, työmarkkiatilastoje, kute palkka- ja työvoimakustaustilastoje, muodostamise sekä työmarkkioide aalysoii ii kotimaiste kui kasaivälisteki aieistoje pohjalta. Ideksit -kurssi tutustuttaa erilaisii idekseihi, joita ovat muu muassa hita-, kustaus- ja määräideksit, ideksie lasketakaavoihi sekä iide eroihi. Väestötietee perusteet -kurssi taas kuvaa väestötietee keskeiset käsitteet, tarkastelee väestömuutoksii vaikuttavia tekijöitä sekä väestökehitykse ja yhteiskua taloudellise ja sosiaalise kehitykse välistä suhdetta. Kasataloude tilipito -kurssilla käydää läpi kasataloude tilipido käyttöalueet ja se historia, se tärkeimmät määritelmät ja käsitteet sekä kasataloude tilipido laskea yleiset periaatteet. Jokaise Tilastokoulu kurssi yhteydessä o havaiollistavia esimerkkejä ja hyödyllisiä harjoitustehtäviä kurssi aiheesee liittye. Tilastokoulusta löytyy myös eri luokka-asteille suuattuja harjoitustehtäviä. Lisäksi Tilastokoulu tarjoaa tiedolähdevikkejä opettajille ja opiskelijoille sekä esimerkiksi opiäytetyötä tekevälle ja tietoa Tilastokeskukse tarjoamista koulutuspalveluista. Tilastokoulua ja se oppimateriaaleja voivat hyödytää kaikki tilastotiedosta ja tilastoista kiiostueet yläkoulusta lähtie. Tilastokoulu yhteydessä voi myös pelata Tilastovisaa, joka tutustuttaa yksityiskohtaisii tilastollisii tietoihi sekä Tilastokeskukse toimitaa ja tarjotaa. Tilastokoulu löytyy verkko-osoitteesta http:// tilastokoulu.stat.fi.
8 Solmu /205 Kolmas kilpailu oli vuoa 203 ja taas posterikilpailu. Tällä kertaa kaksi opiskelijaai päättivät osallistua porotaloutta tutkivalla posterilla. Silloiki tuli voitto sekä kasallisessa että kasaivälisessä kilpailussa. osaltaa motivoieet opiskelijoitai. Moessa Euroopa maassa tilastotiedettä opetetaa omaa oppiaieea lukiossa. Mielestäi pari kurssia tilastotiedettä tulisi olla pakollisea myös suomalaisissa lukioissa. Meestykse myötä opiskelijoide kiiostus tilastokurssille o tieteki lisäätyyt. Mikä o kilpailuissa meestymise salaisuus? Kilpailuu osallistumie vaatii opiskelijoilta aikalailla viitseliäisyyttä, sillä hyvä tutkimukse ja tutkimusjulistee tekemie vaatii taitoje lisäksi yllättävä paljo työtä ja aikaa, helposti jopa kymmeiä tuteja. Totta kai myös opettaja o oltava valmis ohjaamisee. Tärkeää opiskelijoille o myös se, että Helsigi yliopisto myötää vapaa aloituspaika ylemmä sarja tilastoje luku- ja käyttötaitokilpailu voittajille. Nii ja oha kilpailussa opiskelijoille palkitojaki. Millaisia muita opetustapoja käytät työssäsi? Matematiika opettamie lukiossa o todella kiireistä laajoista kurssisisällöistä johtue. Nyt symboliste laskimie käyttööoto myötä kiirettä tutuu lisäävä laskime käyttöopetus opiskelijoille. E missää tapauksessa ole kokoaa luopuut matematiika opetuksessa periteisestä opettajajohtoisesta opetuksesta. Apuvälieiä luokassai o Smart Board ja sitä käytä yhdessä Mathematica ja Math Desktop -ohjelmilla. Näitä ohjelmia olemme käyttäeet myös kasaivälisissä matematiikkaprojekteissa, joissa ole ollut opiskelijoidei kassa mukaa kahdeksa vuotta. Näitä Comeius-projekteja o tukeut myös Tekologiateollisuude 00-vuotissäätiö. Noi 80 opiskelijaa o ollut mukaa projekteissa. Matematiika opiskelu toiste eurooppalaiste opiskelijoide kassa ja projektitapaamiset eri maissa ovat Reija Heleius (kesk.) johtaa kasaivälistä ISLPprojektia ja vastaa projekti koordioiista vuosia 2009 207. Jey Ståhlberg (vas.) työsketeli korkeakouluharjoittelijaa projekti parissa kesällä 204. Jaaa Kesti o ISLP-projekti Suome maavastaava. Suomalaisuorilla voittoputki Tähä meessä Suomi o pärjäyt kasaivälisissä kilpailuissa loistavasti: lukiosarja o voitettu jo kolme kertaa peräkkäi. Viimeisi, vuode 203 lukiosarja voitto tuli jällee Raimo Huhtala luotsaamalle joukkueelle Rovaiemeltä. Matemaattiste aieide opettajie liitto MAOL ry, Suome Tilastoseura ry ja Tilastokeskus järjestävät joka toie vuosi käyistyvä Suome kasallise tilastoje luku- ja käyttötaitokilpailu, jossa yläkoulu- ja lukioikäiset uoret pääsevät joukkueia äyttämää taitosa tilastoje oivaltavasta käytöstä. Kilpailu ideaa o, että jokaie joukkue tekee piee tutkimukse valitsemastaa aiheesta: määrittää tutkimuskysymykse, kartoittaa taustatietoja, kerää ja aalysoi tutkimusaieisto sekä tiivistää tutkimukse kulu sekä tulokset posterii eli tietotauluu. Jokaie kilpailuu osallistuva koulu valitsee parhaa posteri yläkoulu- ja lukiosarjasta ja lähettää e Tilastokeskuksee Suome kasallise raadi arvioitavaksi. Suome sarjoje voittajaposterit jatkavat matkaasa kasaivälisee tilastoje luku- ja käyttötaitokilpailuu.
Solmu /205 9 Kasaivälise kilpailu järjestää Kasaivälise tilastoistituuti (ISI) alaisuudessa toimiva tilastotietee opetusta sekä tilastoje luku- ja käyttötaitoa edistävä järjestö IASE (Iteratioal Associatio of Statistical Educatio). sekä Assistat Professor Pedro Campos (Uiversity of Porto) Portugalista ja Assistat Director Geeral Steve MacFeely (Cetral Statistical Office) Irlaista. Kilpailu o osa laajempaa ISLP-projektia (Iteratioal Statistical Literacy Project). Projekti tavoitteea o kasvattaa aktiivisia ja osaavia kasalaisia, jotka kykeevät ymmärtämää ja hyödytämää tilastoja sekä umerotietoa eri elämävaiheissa. Kilpailu edistää samalla kouluje, kasalliste tilastovirastoje, opettajajärjestöje ja tilastoseuroje välistä yhteistyötä ja verkottumista sekä tukee kouluja kokreettisesti tilastoje opetuksessa ja käytössä. ISLP-projektilla o maavastaavia tällä hetkellä yli 80 maassa jokaisessa maaosassa. Maavastaavie tehtävää o koordioida toimitaa projekti toimitasuuitelma mukaisesti omassa maassaa. ISLP-projekti johtajistoo kuuluvat projekti johtaja Tilastokeskukse kehittämispäällikkö Reija Heleius Seuraava kasaivälie tilastoposterikilpailu o juuri käyistyyt. Voittajaposterit julkistetaa kesällä 205, ku kasaivälise tilastoistituuti 60. maailmakogressi kokootuu Brasiliassa. Solmu matematiikkadiplomit Peruskoululaisille tarkoitetut Solmu matematiikkadiplomit I IX tehtäviee ovat tulostettavissa osoitteessa http://solmu.math.helsiki.fi/diplomi.html Opettajalle lähetetää pyyöstä vastaukset koulu sähköpostii. Pyyö voi lähettää osoitteella marjatta.aatae(at)helsiki.fi Ym. osoitteessa o diplomitehtäville oheislukemistoa, joka varmasti kiiostaa muitaki kui diplomie tekijöitä: Lukujärjestelmistä Desimaaliluvut, mitä e oikeastaa ovat? Murtolukuje laskutoimituksia Negatiivisista luvuista Hiuka osittelulaista Lausekkeet, kaavat ja yhtälöt Äärettömistä joukoista Erkki Luoma-aho: Matematiika peruskäsitteide historia Fuktiosta Gaussi jalajäljissä K. Väisälä: Algebra Yläkoulu geometriaa Geometrise todistamise harjoitus K. Väisälä: Geometria Lukuteoria diplomitehtävät
0 Solmu /205 Matematiikkadiplomit syksyllä 204 Marjatta Näätäe Helsigi yliopisto Diplomitehtävie uusia vastauspyytöjä tuli alkusyksyllä 204 seuraavilta paikkakuilta, myös sama paikkakua useilta eri kouluilta: Jyväskylä, Laitila, Turku, Pieksämäki, Eurajoki, Lohja, Kempele, Vataa, Vihti, Helsiki, Myämäki, Oulu, Kuusamo, Espoo, Ylitorio, Ulvila, Lahti, Lappeerata, Tampere, Ruokolahti, Naatali, Seiäjoki, Ylöjärvi, Luumäki, Raua, Porvoo, Kemimaa, Kemi, Ii, Rauma, Kouvola, Siilijärvi, Tyrävä, Valkeakoski, Hyvikää, Pirkkala, Kaus, Masku, Jämijärvi, Lempäälä, Imatra, Mättä-Vilppula, Tohmajärvi, Lavia, Salo, Suoejoki, Kirkkoummi, Hakasalmi, Haapavesi, Orimattila, Sipoo, Hämeelia, Laukaa, Mätsälä, Alavus, Nurmijärvi, Jalasjärvi, Nokia kaupuki, Kotka, Kauhajoki, Varkaus, Pälkäe, Sievi. Opettajie palautetta Opettajat pyysivät vastauksia tehtävii ja mukaa tuli paljo oma-aloitteisia kiitosviestejä. Ne kertovat myös koulu arkipäivästä: - Aiva mahtava paketti! Hieo juttu uo diplomit! :) - Moet lapset kaipaavat lisäpuuhaa ja pohdittavaa matematiikatueille ja muuteki. - Aloittelevalle luokaopettajalle oli ihaaa, ku kollega vikkasi tästä. - Alaluokilla kokoaiset luokat iostuvat matikkadiplomeista ja alusta alkae o eroja oppilaide opeudessa, erot kasvavat myöhemmi. Jo 3. luokalla voi olla oppilas, joka tekee V. diplomia. - Moista opettajista diplomi vaikuttaa erittäi hyvältä työkalulta oppilaide eriyttämisee. Jotkut luokat ovat aloittaeet matematiikassa itseäise eteemise ja opeille laskijoille diplomitehtävät ovat tutueet todella mielekkäiltä. Ylöspäi eriyttäessä opettajista tutuu, että kirjoje materiaalit eivät riitä, jote he ovat ioissaa diplomista. Moet kertovat, että luokalla o oppilas, joka saa aia kaike tehtyä matika tueilla todella opeasti, eikä saa tarpeeksi haastetta koulu kirjoista/lisätehtävistä. Opettajat haluavat yrittää motivoida matemaattisee ajatteluu varsiki iitä oppilaita, jotka kaipaavat haasteita ja ylöspäi eriyttämistä. Miulla o useampia hyviä matemaatikoalkuja luokassai ja ajatteli tsempata heitä suorittamaa diplomi. Keväällä saamai matikkadiplomi o saaut suure suosio. Hieoa! Nyt o haastetta, mitä ataa iille, jotka tekevät tehtäväsä sujuvasti. - Koulu työsketelyolosuhteet voivat olla hyvi karuja: Ole yt töissä home-evakossa urheiluhalli kahvilassa, jote miu olisi kätevämpi saada koulu sähköposti sijasta omaa sähköpostiii vastaukset. - Diplomissa o hyviä tehtäviä, jotka raketavat oppilaille laajempaa pohjaa osaamisee. Tällaisia tosiaa kaivataa, sillä oppikirja ei sitä tarjoa.
Solmu /205 - Tehtäviä käytetää myös peruskoulu oppimäärä kertauksee Ammattiopistossa. - Jotkut opettajat eivät käytä oppikirjaa, heille diplomi oli mukava tuttavuus! - Opettajat kyselevät, miltä tasolta pitäisi diplomie teko aloittaa, esim. Oko tuo VI sopiva vaikeusaste juuri 6. luokalle? Voiko se suorittaa, vaikkei ole aiempia diplomeita suorittautkaa? Ja saisiko siihe vastauksia? Olisi teetättämässä esimmäistä kertaa matematiikkadiplomeita kasi- ja ysiluokkalaisille ja miksipä ei myös seiskaluokkalaisille opeimmmille oppilaille. Mitä diplomeita suosittelisit ja saisiko ratkaisuja? - Voiko kopioida vastaukset luokaopettajille, jotta he pääsevät tarkistamaa oma luokkasa papereita? Itselläi o imittäi 3 luokkaa ja yt äyttää, että joka luokalla o useita diplomi suorittajia ja oma aikai ei riitä... vai oko vastauksie kopioimie luokaopettajille vastoi toivottua toimitaa? - Oli palkitsevaa tutea useide opettajie ilmaisema ilo: Aurikoisi syysterveisi ja iostueista diplomilaskijoista iloite ; Ja kiitos diplomeista, e ovat iostaeet äitä pieempiäki! ; Olemme päättäeet aloittaa matikkadiplomi suorittamise kaikilla luokka-asteilla eli -6. luokilla. P.S. Hieoa työtä matika oppimisee ja oivaltamisee! ; Kiitos äistä mielekiitoisista tehtäväpaketeista ; Ole ottaut eljä vuotta sitte käyttööi matikkadiplomit eri luokkie kassa. Ole todella iloiut iistä, koska tehtävät ovat moipuolisia ja matika kirjoje ormaalitehtävistä poikkeavia. Ne avaavat miulle ja oppilaille uusia ulottuvuuksia matemaattiste tehtävie pohdiskeluihi. Kiitos suuattomasti teille! ; Ole kiitollie siitä, että saa lahjakkaille oppilaille lisämateriaalia sekä motivoitua myös muita atautumaa matemaattisee pohdiskeluu ; Esiksi kiitokset matikkadiplomista - se avulla matematiika opetusta saa eriytettyä ylöspäi ja toivo mukaa oppilaat saavat motivaatiota matematiika harjoitteluu ja pohditaa! - Myös diplomie ulkoasua kiiteltii: Kiitoksia haastavasta ja visuaalisesti hieosta matematiikkadiplomista! - Pieetki koulut ovat aktiivisia: Me olemme piei, oi 80 oppilaa yläkoulu, mutta matemaattie harrastus esimerkiksi kerhotoimia muodossa o aktiivista. - Tytöt ovat mukaa iolla: Miu kahdeksasluokkalaiset tytöt iostuivat matematiikkadiplomi tekemisestä. Ajatteli, että aloittaisimme diplomista VII. Oko tarkoitus, että tulosta heille tehtäviä vähitelle ja he tuovat iitä miulle tarkistettavaksi omaa tahtiisa? Oppitueilla emme valitettavasti ehdi iitä käyttää. Vastauksia opettajie kysymyksii Yksi opettaja voi pyytää vaikka kaikkie tasoje vastaukset ja jakaa iitä koulussaa muille, samalla ohjeistae, että tarkoitus o pitää vastaukset koulu sisällä. Diplomit ovat toisistaa riippumattomia, aloittaa voi siltä tasolta, joka tutuu kulleki parhaite sopiva. Myös kertaus voi olla paikallaa. Diplomie umeroiti ei vastaa suoraa luoka umeroa, esimerkiksi 5. luokkalaie voi hyvi aloittaa diplomi IV:stä. Viimeisistä diplomeista VII, VIII, IX löytyy miettimistä lukiolaiselleki. IX esittelee myös matematiika aloja, joihi ei koulussa ehkä törmätä. Alaluokilla koko luokka äyttää selviävä iolla tehtävistä. Se jälkee, ku erot oppilaide välillä ovat eättäeet kasvaa, tehtäviä voi käyttää eriyttämisee. O hieoa huomata, että opettaja ottaa huomioo vaikka yhdeki oppilaasa muista poikkeavat tarpeet. Jos oppilas pitkästyy tuilla, joka asiat hä o jo ehtiyt omaksua, opettaja o valmis äkemää vaivaa saadaksee oppilaalle sopiva vaikeustaso tehtäviä. Diplomit o yritetty tehdä ii, että opettaja lisätyö olisi mahdollisimma piei, jote vastaukset o kirjoitettu hyvi yksityiskohtaisiksi. Tehtäviä voi käyttää myös kotitehtäviä, ellei tuilla ole aikaa. Opettajalla o vapaus valita parhaite sopiva tapa. Tieto diplomeista o leviyt opettajalta toiselle, Facebooki kautta, kirjoituksista mm. Dimesiossa ja Luokaopettaja-lehdessä. Erityisesti Oulu seutu o aktiivie, kiitos diplomeista tietoa jakaeelle Oulu Luma-keskukselle! Opettajie kommetit tuovat esille tarpee kehittää lisää tapoja huolehtia äistä iokkaista vaikka kesäleirejä järjestämällä. Heille voisi myös olla hauskaa löytää toisesa, erityisesti, jos ovat samalta seudulta. Luma-keskukset ovat järjestäeet kerho- ja leiritoimitaa omilla paikkakuillaa, myös aielaitoksilla o tällaista toimitaa. Kokemuksia äistä ja tietoa tulevasta toimiasta kerätää osoitteesee http: //solmu.math.helsiki.fi kohtaa Valmeus, kerhot, leirit ja pelit. Diplomitehtävät voi tulostaa verkosta, jote iitä voi käyttää koko maa kouluissa. Ne eivät vaadi uusia kalliita välieitä. Tehtävät tehdää käsi ja äi harjoitetaa kovi pieelle huomiolle ykyisi jäävää, mutta tärkeää hieomotoriikkaa.
2 Solmu /205 Koodaamista Ohkola koululla Sari Auramo Ohkola koulu, Mätsälä OPS 206 puhuttaa koulumaailmaa. Moet uudistukset otetaa helpottueia ja tyytyväisiä vastaa, moet se sijaa herättävät keskustelua ja epäilyä. Ja toki suhtautumie eri asioihi riippuu hekilöstä. Yksi mielipiteitä jakava ja keskustelua herättävä asia o tietotekiika opetukse lisäätymie ja siiä ehkä erityisesti ohjelmoiista ja koodaamisesta puhumie. Koska koko tietotekiika opettamie ja hyödytämie koulumaailmassa o vielä hyvi riippuvaista yksittäise opettaja omasta iostuksesta, joski toki myös valtavasti käytettävissä olevasta laitekaasta, verkkoje toimivuudesta ja kouluttautumise mahdollisuuksista, o tärkeää, että äitä tulevaki OPS: sisältöjä puretaa tarpeeksi käytäöläheisii osii. Opetus vuosiluokilla 2 -kohdasta OPS 206 -luooksessa löytyy tämä teksti: Käytäö taidot ja oma tuottamie: Koulutyössä harjoitellaa laitteide, ohjelmistoje ja palveluide käyttöä ja opetellaa iide keskeisiä käyttö- ja toimitaperiaatteita. Samoi harjoitellaa äppäitaitoja sekä muita teksti tuottamise ja käsittely perustaitoja. Oppilaat saavat ja jakavat keskeää kokemuksia digitaalise media parissa työsketelystä sekä ikäkaudelle sopivasta ohjelmoiista. Opetus vuosiluokilla 3 6 -luooksessa puolestaa kirjoitetaa äi: Ohjelmoitia kokeillessaa oppilaat saavat kokemuksia siitä, mite tekologia toimita riippuu ihmise tekemistä ratkaisuista. Täytyy myötää, että oli itseki äistä esi kertaa kuullessai hämmetyyt. Oeksi ole kuiteki saaut jo se verra käytäö kokemuksia tästä, että eää ei huoleta. Päivastoi, ole hyvi iostuut koodaamisesta koulussa. O ollut mielekästä aloittaa koodaamise tai ohjelmoimise harjoittelu jo yt. E ole aia iha varma, kumpaa termiä pitäisi käyttää. Sopivia sovelluksia o jo tarjolla iteretissä paljo. Mitä siis olemme teheet? Ole luokaopettaja ja opeta viikoittai tietotekiikkaa kaikille alakoulu luokka-asteille 6. Kaikki oppilaamme ykkösistä kuutosii ovat jo koodaeet jotai. Tämä o tapahtuut hyödytämällä erilaisia ilmaisia sivustoja verkossa. Koodaustuti-sivuja käytimme oppilaide kassa jo keväällä 204. Silloi siiä oli vielä hassuja alkuvaikeuksia, eli ohjeet tulivat milloi milläki kielellä. Se ei kuitekaa haitaut, vaa oli iha hauskaa. Koodaustuti o yhde tui mittaie johdatus tietojekäsittelytieteesee, joka toteutetaa haluttua ajakohtaa. Koodaustui tarkoituksea o tutustuttaa koodaamisee ja tehdä sitä arkipäiväiseksi. Eli tämä o hyvä tapa aloittaa. Perustehtävät voi tehdä eri Kirjoittaja pitää blogia tieto- ja viestitätekiika käytöstä koulussa osoitteessa http://luokaopettajajatietotekiikka. blogspot.fi
Solmu /205 3 teemoilla: Agry Birds, Froze tai Flappy Bird. Oppilaat o helppo motivoida äide avulla. Perustehtävie kesto o oi tuti. Tarjolla o myös lisäharjoituksia peräti 20 tuille. Sieltä löytyy kursseja 4+ -ikäisille, vielä lukutaidottomille lapsille, 6+ -ikäisille lukutaitoisille oppilaille, 8+ -ikäisille tarkoitettu jatkokurssi ja vielä eljäski yli 0-vuotiaille suuattu kurssi. Kuki kesto siis oi 20 tutia. Koodaustuti tarjoaa siis todella paljo valmista materiaalia koodaamise opetteluu alakoulussa. Opettaja pääsee helpolla ja oppii itseki samalla. Kerro aia kaikista tällaisista sivuista oppilaittei huoltajille ja kysy heiltä luva heidä lapsesa rekisteröitii, jolloi oppilaat pääsevät seuraamaa omaa edistymistää. Tehtäviä voi toki tehdä rekisteröitymättäki. Koodaamistaha ei äillä sivuille tehdä millää tietokoekielellä, vaa erilaisia käskyjä oikeaa järjestyksee laittamalla. http://koodaustuti.fi/ Toie hyvä, suomekielie sivusto o imeltää Scratch. Sieki voi rekisteröityä, mutta harjoittelu oistuu myös ilma sitä. Scratchissa ohjelmoidaa valitut hahmot tekemää haluttuja toimia. Miäki huomasi syksyllä viettäeei mota välitutia luokassa, ku yriti saada kissa ja koira kommuikoimaa keskeää. Sivuilla voi katsoa muide tekemiä esimerkkejä. Tätä ole käyttäyt lähiä 4.-6. luokkalaiste kassa. Löysi muute äskettäi Avoioppikirja.fi -sivustolta Matti Nelimarka, Noora Vaiio ja Nyyti Kiuse julkaisema oppaa ohjelmoii alkeista alakoululaisille ja heidä opettajillee. Siiä esitellää imeomaa Scratch-sovellusta. Opas o julkaistu avoimella CC-BY-SA-lisessillä. Kaattaa tutustua, ohjeet ovat hyvi selkeät! http://scratch.mit.edu/ Muita koodaamise opetteluu sopivia sivuja ovat esimerkiksi http://www.codecademy.com/ http://lightbot.com/ Käytätö o opettaut, ettei koodaamista tarvitse pelätä. Harjoittelu alakoulussa sujuu tässä esiteltyje tyyliste sivustoje avulla. Oppilaat ovat moesti opettajiaa taitavampia, jote opettaja ei tarvitse osata ja ymmärtää kaikkea ee esimmäistä koodaustutia. O muute hurja mukava tue, ku oistuu saamaa possu kulkemaa reiti läpi tai kissa saomaa miau! Verkko-Solmu oppimateriaalit Osoitteesta http://solmu.math.helsiki.fi/oppimateriaalit.html löytyvät oppimateriaalit: Esiaskeleet Eisteii avaruusaikaa, osa : Kiematiikka: aika, paikka ja liike (Teuvo Lauriolli) Kilpailumatematiika opas (Matti Lehtie) Geometria perusteita (Matti Lehtie) Geometria (K. Väisälä) Lukualueide laajetamisesta (Tuomas Korppi) Jaksolliset desimaaliesitykset algebrallisesta äkökulmasta (Jaska Porae ja Petti Haukkae) Algebra (Tauo Metsäkylä ja Marjatta Näätäe) Algebra (K. Väisälä) Matemaattista fysiikkaa lukiolaiselle : Mekaiikkaa (Markku Halmetoja ja Jorma Merikoski) Matemaattista fysiikkaa lukiolaiselle 2: Sähköoppia (Markku Halmetoja ja Jorma Merikoski) Lukuteoria helmiä lukiolaisille (Jukka Pihko) Matematiika peruskäsitteide historia (Erkki Luoma-aho) Matematiika historia (Matti Lehtie) Reaaliaalyysiä eglaiksi (William Trech)
4 Solmu /205 Hoi koodimaailma vikkejä aloittelevalle ohjelmoijalle Tiia Romu Koodaus sisältyy vuoa 206 voimaa tulevaa opetussuuitelmaa. Moie muide kouluaieide tavoi koodaukse opettelu o tarkoitus olla yleissivistävää. Digitaaliste palveluide ykyisiä ja tulevia käyttäjiä oppilailla o oikeus ymmärtää perusasioita palveluide tuottamisesta. Kaikista ei siis tarvitse tulla koodareita vaa tarkoitus o tarjota peruskäsitteitä ja ymmärrystä ohjelmoiista. Ohjelmoii opetuksesta vastaavat todeäköisimmi luokaopettajat ja matematiika aieeopettajat. Vaikka matematiika sisältöjä uudessa opetussuuitelmassa karsitaa, ei ohjelmoii opetus ole matematiika tavoitteilta pois. Loogie ja abstrakti ajattelu sekä luovuus ovat tarpee myös ohjelmoiissa ja kehittyvät se myötä. Ohjelmoitia tulevaisuudessa opettavilla opettajilla ei välttämättä itsellää ole kokemusta ohjelmoiista. Vasta-alkajalle iteret tarjoaa paljo valmiita materiaaleja ja opetusympäristöjä, mutta valia vaikeus voi olla suuri. Tärkeitä o vai rohkeasti aloittaa jostai. Ohjelmoitia, kute matematiikkaaki, oppii parhaite tekemällä. Ole koout lista aloittelijoille sopivista sivustoista teksti loppuu. Valmistuttuai matematiika opettajaksi vaihdoi kuiteki sama tie alaa ja hakeudui koodaamaa työksei. Työurai alkumetreillä kirjoiti muutamia ajatuksia ylös koodaukse opettelusta. Toivo iide oleva avuksi myös iille opettajille, joille koodaus ei ole etuudestaa tuttua mutta jotka haluavat itseki oppia ohjelmoimaa. Älä pelkää virheitä Ku aloitat, älä turhaa pelkää koodia tai virheide tekemistä. Harva pystyy kirjoittamaa matemaattisia todistuksia suoraa ilma suttupaperia tai erilaisia apukuvia. Sama koskee myös ohjelmoitia. Harva, jos kukaa, pystyy kirjoittamaa suoraa toimivaa koodia. Virheet siis opettavat siua eteepäi. Opettele tekemää pieiä asioita Aloita pieestä ja yksikertaisesta ja tee yksi asia kerrallaa. Tällöi saat palautetta opeammi siitä, oletko eteemässä oikeaa suutaa. Tee yhdessä Aloita opiskelu yhdessä kollegasi, ystäväsi tai miksei vaikka luokkasi kassa. Koodaukse ei tarvitse olla yksi puurtamista vaa se voi olla myös yhdessä tekemistä. Apua saa kysyä ja kaikkea ei tarvitse tietää. Harvoi työelämässäkää koodia tehdää täysi yksi. Kysy aia, ku kysymys mieleesi tulee. Tyhmiä kysymyksiä ei ole. Opettele lukemaa Samalla ku opettelet kirjoittamaa koodia, opettele myös lukemaa sitä. Jos aloitat opiskelu esimerkiksi kollegasi kassa voitte lukea toie toistee koodia. Kirjoittaja o koulutukseltaa matematiika opettaja, mutta toimii ohjelmistosuuittelijaa Futuricella. Hä o ohjaut mm. koodikoulua lapsille.
Solmu /205 5 Netistä löytyy myös paljo erilaisia esimerkkejä ja valmiita toteutuksia, joita voit lukea. O hyvä lukea ii vertaisilta kui jo paljo koodia kirjoittaeilta. Tee se, mikä pelottaa eite Heittäydy rohkeasti epämukavuusalueellesi. Ohjelmoiti o pitkälti ogelmaratkaisua. Ku teet se, mikä pelottaa siua eite, pääset myös eteepäi. Ohjelmoiti o välillä vaikeaa, jote ole ylpeä saavutuksistasi! Likkejä: http://koodikoulu.fi http://scratch.mit.edu http://csuplugged.org http://www.codeschool.com http://www.codecademy.com http://code.org/lear http://mooc.cs.helsiki.fi http://stackoverflow.com Tehtäviä pohdittavaksi Paperipio A0-paperi mittasuhteet ovat 2 : ja pita-ala yksi eliömetri. A o paperi, jossa A0 o leikattu kahtia pitemmä sivu keskeltä. A2 puolestaa o puolikas A:stä je. Laske kymmeesosamillimetri tarkkuudella A4-paperi ympärysmitta. Yksi koekirjoituspaperiarkki o paksuudeltaa oi 0, mm. Jos tavallise A4-arki paloittelisi pieiksi A50- kokoiseksi papereiksi, ja A50-arkit kasaisi pioksi, ii kuika korkea piosta tulisi? Väärä paioie kolikko 2 kolikosta yksi o hiema eri paioie kui muut. Kuika selvität käyttäe tasapaiovaakaa, mikä kolikoista o eri paioie, ja paiaako se vähemmä vai eemmä kui muut, käyttäe puituskertoja mahdollisimma vähä? Viidesti jaollie o jaollie vai yhdellä luvulla. 2, 3 ja 5 ovat jaollisia kuki kahdella luvulla. 4 o jaollie kolmella luvulla. 6 o jaollie eljällä luvulla. Motako lukua o välillä 000000, jotka ovat jaollisia täsmällee seitsemällä luvulla? Kreikkalaie hautausmaa Kerrotaa, että erää kreikkalaise matemaatiko hautakivee o kaiverrettu oheise kaltaie kuvio, jossa o ympyräpohjaie kartio, lieriö ja puolipallo. Kuika suuria ovat puolipallo ja lieriö tilavuudet, jos kartio tilavuus o yksi litra? Liukuportaat Kahde kerrokse välille o aseettu liukuportaat. Ku virta oli poikki, havaitsi että kulje kerroksesta toisee 60 sekuissa suuasta riippumatta. Täää liukuportaissa oli virta, ja iide suuta oli yläkerrasta alas. Ylhäältä alas pääsi 40 sekuissa kävelle samalla opeudella kui aiemmiki. Kauako kuluisi, jos vai seisoisi portaissa ja ataisi liukuportaide kuljettaa miua? Tehtävät lähetti Aki Halme.
6 Solmu /205 Summie arvioiti itegraalie avulla Ae-Maria Ervall-Hytöe Matematiika ja tilastotietee laitos, Helsigi yliopisto Johdato Moelaisia summia voi arvioida itegraalie avulla. Itegraaleilla saavutettava hyöty o se, että usei o paljo helpompi laskea itegraali arvo kui kertoa mikä joki summa arvo o. Esimerkkiä otettakoo summa = + + +, 2 N N joka suuruudesta voi olla hakala saoa mitää kovi kokreettista, mutta jota vastaavasta itegraalista N x dx o helppo saoa paljoki. Tämä esimerkki o teksti lopussa harjoitustehtävää. Tarkkoja arvoja tämä meetelmä ei yleesä aa, mutta varsi usei täysi riittäviä. Nyrkkisäätö o se, että kuha fuktio käyttäytyy suhteellise kiltisti, arvioiti toimii melko hyvi. Yksikertaisuudessaa kyse o siitä, että valitaa sopiva fuktio, joka itegraali sopivalla välillä o varmasti suurempi, ja joki fuktio, joka itegraali sopivalla välillä o varmasti pieempi kui aettu summa. Jotta arvioiissa olisi järkeä, vaaditaa luoollisestiki, että suuruusluokka ei saa heittää kovikaa paljo. Tämä o yksi esimerkki yleisemmästä s. voileipäperiaatteesta, eli siitä, että litistetää tarkasteltava fuktio joideki muide, hyvi tuettuje fuktioide välii. Tarkasteltava fuktio o siis kuvitteellie juusto, ja vertailukohtia toimivat fuktiot ovat kuvitteellise sämpylä puolet. Yksikertaisuude vuoksi oletetaa kaikkialla, että N o positiivie kokoaisluku. Tämä ei ole rajoittava oletus, mutta yksikertaistaa hiema otaatiota ja tarkasteluje yksityiskohtia. Perusperiaate Halutaa tarkastella summaa f(), N missä f(x) o (positiivisilla) reaaliluvuilla määritelty positiivie fuktio. Yksikertaisuude vuoksi oletetaa lisäksi, että f(x) o kasvava tai laskeva (eli se arvo ei saa heittelehtiä, vaa se o mootoie). Jokaie summattava voidaa ajatella muodossa f(), eli sellaise suorakulmio alaa, joka yksi sivu o ja kohtisuora sivu o f(), ks. kuva : Tämä kirjoitukse kuvat o tehty GeoGebralla, http://www.geogebra.org.
Solmu /205 7 Jos halutaaki laskea summa f() + f(2) + f(3), vastaa se seuraava kuvio ala laskemista: Tätä summaa voidaa arvioida alaspäi itegroimalla fuktiota f(x) väli [,4] yli, kute seuraavasta kuvasta huomataa: ja toisaalta, summaa voidaa arvioida ylöspäi itegroimalla fuktiota f(x) väli [0,3] yli, kute seuraavasta kuvasta huomataa: Koska esimerkkifuktio o laskeva tällä välillä, saadaa summaa mioroitua itegroide summa lähtöpisteestä yhdellä lisättyy loppupisteesee. Sitä voidaa majoroida itegroimalla pisteestä, joka o yksi vähemmä kui summa alkupiste, pisteesee, joka o summa loppupiste. Tämä voidaa muotoilla seuraavaksi lauseeksi: Lause. Jos reaaliluvuilla määritelty itegroituva fuktio f(x) o laskeva, ii N+ f(x) dx N f() N Jos fuktio o puolestaa ouseva, ii N+ f(x) dx N f() 0 N 0 f(x) dx. f(x) dx. Todistus. Todistus o samalaie sekä ousevalle että laskevalle fuktiolle, jote keskitytää laskeva fuktio tarkasteluu. Koska fuktio o laskeva, pätee ku y x, jote + f(y) f() f(x), f(x) dx ja vastaavasti myös f() + = f() f() dx + f(x) dx. dx = f() Siispä, fuktio arvoa yhdessä pisteessä voidaa arvioida seuraavasti ylös- ja alaspäi: + f(x) dx f() Summaamalla epäyhtälöketju saadaa N + f(x) dx N N f(x) dx. f() f(x) dx,
8 Solmu /205 ja koska ja saadaa N+ N N + f(x) dx f(x) dx = f(x) dx = N N+ N 0 f() f(x) dx f(x) dx, N kute väitettiiki. Lause o todistettu. Siirrytää yt tarkastelemaa esimerkkejä. Harmoie sarja Harmoiseksi sarjaksi kutsutaa summaa =. 0 f(x) dx, Tämä sarja hajaatuu, eli toisi saoe, osasummat N lähestyvät ääretötä, ku N kasvaa. Tätä sarjaa o käsitelty esimerkiksi Alestalo kirjoituksessa []. Sarja hajaatumie o helppo todistaa. Käsitellää se esi, ja aalysoidaa se jälkee osasummie käytöstä hiema tarkemmi. Lause. Harmoie sarja hajaatuu. = Todistus. Jaotellaa sarja osiksi ii, että tiedetää kaikkie osie oleva suurempia kui joki aettu vakio. Jos tällaisia osia o ääretö määrä, o summa suuruudeki pakko olla ääretö. Siispä, kirjoitetaa sarja uusiksi: = =. k=0 2 k <2 k+ Tarkastellaa pikkusummia 2 k <2 k+. Huomataa, että summassa o 2 k termiä. Lisäksi jokaise termi suuruus o > 2 k+, sillä 2 k < 2 k+. Nyt summaa o helppo arvioida: 2 k <2 k+ > 2k = 2k+ 2 k+ = 2. 2 k <2 k+ Täte koko summaa voidaa arvioida = = Todistus o valmis. k=0 2 k <2 k+ > k=0 2 =. Yllä oleva todistus o alkeellie ja yksikertaie, mutta se ei kerro juuri mitää summa kasvuvauhdista. Tiedämme, että summa kasvaa rajatta, mutta hyvi vähä mitää muuta. Jos haluamme tietää, mite summa oikeasti käyttäytyy, o hyödyllistä käyttää yllä esiteltyä periaatetta. Lause. Harmoise sarja osasummille pätee N missä 0 < g(n) <. = l N + g(n), Todistus. Haetaa summalle itegraalie avulla hyvä ylä- ja alaraja. Aloitetaa alarajasta. Edetää kute edellä esitety periaattee mukaa pitääki. Kuva alku äyttää tältä: Alaraja o siis N N+ > dx = [l x]n+ = l(n + ). x Katsotaa seuraavaksi ylärajaa. Kuva alku äyttää tällä kertaa tältä: Ylärajaksi tulee siis N N < dx 0 x,
Solmu /205 9 mutta äi arvioimie o harviaise huoo idea, sillä N dx x =. Tämä arvio ei siis kerro mitää. 0 Ogelma voidaa kuiteki kiertää poistamalla esimmäie termi, eli arvoa = vastaava termi, sillä silloi summaa 2 N vastaava ylärajaitegraali oki Siispä N Tiedämme yt, että N = + l(n + ) < dx x = l N. 2 N N < + l N. < + l N. Logaritmie summa Arvioidaa seuraavaksi summaa l. N O selvää, että jos N, ii summaki läheee ääretötä, sillä myös summattavat kasvavat rajatta. Kiiostavaa oki siis selvittää, kuika opeasti tällaiset summat kasvavat. Lause. Logaritmisummille pätee l = N l N N + h(n), N missä < h(n) < l N 2 l 2 + 2. Todistus. Tilae o yt hiema erilaie kui aiemmi: logaritmi o kasvava, ei laskeva fuktio. Tämä ei kuitekaa paljo vaikuta laskuihi. Aioa eroavaisuus o se, että aiemmi yläraja ataeet itegraalit atavatki yt alaraja, ja aiemmi alaraja ataeet itegraalit atavat yläraja. Aloitetaa alaraja määrittämisellä. Kuva äyttää tällaiselta: Lähdetää muokkaamaa alarajaa: l(n + ) = l N + (l(n + ) l N) > l N. Siispä l N < N Tämä todistaa väittee. < + l N. Näi saatu arvio o jo erittäi hyvä. Tiedämme, että pietä vakiota vaille summa N käyttäytyy kui l N. Luoollie jatkokysymys tieteki o: Voidaako saoa jotai erotuksesta N l N, ku N lähestyy ääretötä? Itse asiassa voidaa, ja tämä erotukse raja-arvo tuetaa Euleri tai Euleri ja Mascheroi vakioa, ja se suuruuski o hyvi tuettu: lim N l N 0,5772. N Tarkastellaa seuraavaksi toista esimerkkiä. Kaattaa huomioida, että l = 0, jote summa esimmäisestä termistä ei tarvitse välittää. Tämä o itse asiassa eriomaie asia, sillä jos itegroisimme ollasta alkae fuktiota l, olisimme arvioide kassa pulassa (logaritmi vaihtaa merkkiää ykkösessä, ja lähestyy miius ääretötä olla läheisyydessä). Alaraja o l = N l > l x dx. N 2 N Seuraavaksi o itegroitava l x. Tämä oistuu helposti osittaisitegroitia käyttäe (jos osittaisitegroiti o vieras käsite, voi kaava tarkistaa derivoimalla): l x dx = x l x dx = x l x x + C. Itegraali arvoksi siis saadaa jote N N l x dx = N l N N +, l > N l N N +. Määritetää yt yläraja. Kuva äyttää tällä kertaa tällaiselta:
20 Solmu /205 missä < h(n) < l N 2 l 2 + 2, eli e ( ) N N < N! < e2 N e 4 ( ) N N. e Laskuje helpottamiseksi kirjoitetaa l = l = l N + N 2 N Ylärajaksi saadaa yt l = l N + N < l N + ja itegraali arvoksi saadaa N 2 Siispä ja Täte N 2 N N+ 2 2 N l l x dx l x dx = N l N 2 l 2 N + 2. l. l < N l N N 2 l 2 + 2 + l N N N l > N l N N +. l = N l N N + h(n), missä < h(n) < l N 2 l 2 + 2, kute väitettiiki. Todistus o valmis. Tämä arvio o itse asiassa jossai mielessä jopa hämmästyttävä, sillä pätee l N = N l N, N eli o melkei sama, summataako logaritmit luvuista,2,...,n yhtee vai käytetääkö pelkästää suurita arvoa, eli arvoa l N. Suoraa seurauksea saadaa myös N! = N = N = e l = = e N l N N+h(N) = ( ) N N e h(n), e Stirligi kaava ataa tälle tulolle vielä tarkemma arvio N! ( ) N N 2π, e missä tarkoittaa, että kaava virhe o selvästi pieempi kui aettu termi, eli virhetermi ja aetu termi osamäärä lähestyy ollaa luvu N lähestyessä ääretötä. Suuruusluokka o kuiteki jo alkeellisi tarkastelui saamassamme kaavassa oikei. Harjoitustehtäviä Tehtävä. Suppeeeko vai hajaatuuko sarja =? Tehtävä 2. Mitä voit saoa osasummista N? Tehtävä 3. Riemai ζ-fuktioksi kutsutaa sarjaa ζ(s) = = s, ku Rs > (reaaliluvuilla s tämä ehto yksikertaisesti vai tarkoittaa s > ). Tiedetää esimerkiksi, että ζ(2) = π2 6. Kuika hyviä arvioita Riemai ζ-fuktio arvoista saadaa tarkastelemalla katkaistuja summia, eli osasummia s? N Vihje: tarkastele arvio virhettä, eli erotusta Viitteet ζ(s) N s = s. >N [] P. Alestalo, Harmoie sarja. Solmu 3/204.
Solmu /205 2 Math Girls -kirjoja Tarja Shakespeare Hiroshi Yuki: Math Girls Talk About Equatios & Graphs, Beto Books, 204, 62 sivua. Math Girls Talk About Itegers, Beto Books, 204, 220 sivua. Hita Adlibris-verkkokirjakaupassa 5,90 euroa. Kirjoje kieli o eglati. Japailaie Hiroshi Yuki julkaisi verkkosivuillaa magaa matematiika aloje aiheita. Lukijat pyysivät hätä koostamaa äistä kirja. Näi sytyivät Math Girls -kirjat. Moet lukijat kokivat ämä kirjat matemaattiselta sisällöltää liia haastaviksi, ja pyysivät Hiroshia kirjoittamaa korkeamma matematiika perusteista. Näi saivat alkusa Math Girls Talk About -kirjat, jotka sopivat yläaste- ja lukioikäisille. Hiroshi paiottaa, että matematiikka ei ole vai ogelmie ratkaisua. Se o määrätietoista työsketelyä ja syvällistä ajattelua. Se o kysymyksiä ja vastauste etsimistä. Hä opastaa mite ja miksi helpoki matematiika tehtävä vastaus o kirjoitettava lukijalle helposti luettavaa selkeää muotoo. Matematiikka o kommuikoitia. Math Girls -kirjoje idea perustuu ystävie välisee vuoropuheluu heidä pohtiessaa matemaattista ogelmaa tai keskustellessaa matemaattisesta aiheesta. Matemaattie keskustelu, kute arkipäiväie säästä puhumie, sisältää epäily, ymmärrykse, vastalausee, kritiiki ja kiitokse. Kirja päähekilöt ovat samaikäiset matematiikkaa rakastava kertoja ja matematiikkaero Miruka, vuotta uorempi kymmeesluokkalaie Tetra, sekä kertoja serkku kahdeksasluokkalaie Yuri. Lapsille o tarjolla moia matemaattisaiheisia kirjoja, mutta yläaste- ja lukiolaisille tarjota kutistuu lähiä oppikirjoihi. Yhtälöitä rakastavalla kertojalla o usei tapaa meä koulusa kirjastoo miettimää matematiikkaa koulu jälkee. Usei Tetra o jo siellä ratkomassa omia matematiika tehtäviä ja toisiaa pyytää apua käsitteide selvetämiseksi tai ogelma ratkaisemiseksi. Kertoja o Tetra apuopettaja, joide välillä käydää keskustelua myös kyällä ja paperilla. Tetra o tavallie koululaie, jolle matematiika alkutaival vaatii työtä. Kertoja serkku Yuri saattaa yllättäe pistäytyä kertoja luoa tekemää läksyjä. Yuri
22 Solmu /205 o huoleto ja suorasukaie tyttö eikä matematiikka kuulu häe lempiaieisii. Miruka o osittai mystie hekilö, joka oistuu ilmestymää muide luo kui aave, appaa ilmasta keskusteluaihee ja johdattelee kuulijasa matematiika korkeampii salaisuuksii. Kirjoissa ei ole varsiaista luvusta toisee jatkuvaa tariajuota. Ylätaso juoi o uorte arkie elämä, jossa kiiostus matematiikkaa yhdistää heitä. Luvut ovat itseäisiä kokoaisuuksia, jotka raketuvat matemaattisesta aiheesta esimerkiksi alkuluvut. Luku voi alkaa tapaamisesta kirjastossa ja päättyä kirjastovirkailija rouva Mizutai kuulutuksee Kirjasto o suljettu. Kirjat voi lukea sätillisesti etukaesta takakatee tai lukija voi aloittaa lukemise itsellee tutuimmasta aiheesta, vaikka kellomatematiikasta. Math Girls Talk About -kirjoje lukuje lopussa o muutamia tehtäviä ja vastaukset perusteluiee löytyvät iihi kirja lopusta. Kirjoissa uorte keskustelu o oistuttu kuvaamaa luoollisesti sekä tasapaioisesti, jolloi matemaattie asia ei huku uorte yleisee keskusteluu. Käätäjä Toy Gozalez o käyttäyt hyvää peruseglatia matemaattisessa keskustelussa. Nuorte tueilmaisuissa o joitai haastavampia saoja, mutta iide ohittamie ei riko lukukokemusta. Hiroshi Yuki kirjoje matemaattie ulkoasu o siisti ja helppolukuie, ja oikolukuu o paostettu. Kertoja euvoo Tetralle yhtälöide ja yhtälöryhmie ratkaisemise tarkasti ja perustellusti välivaiheiee. Hiroshi pitää tarkasti kiii pedattisesta tyylistää, joka kataa läpi kirjoje. Kupa peruskoulu matematiika kirjoistaki löytyisi yhtä tasokasta tekstiä. Ku Tetra toteaa, että joku juttu o vai yksityiskohtia, joista ei tarvitse häe mielestää välittää, kertoja apakasti perustelle oikoo Tetra käsityksiä kohti matemaattise ajattelu vaatimuksia. Miksi lukea? Jotta lukija ymmärtää, että matematiikka o luoteeltaa syvällistä ymmärtämistä, keskustelua ja että se voi olla mielekiitoista varsiki pieryhmässä, eikä vai ulkoa opittuje temppuje soveltamista. Itseopiskelukirjaa se tarjoaa pohdittavia äkökulmia ja huomioita matemaattisii yksityiskohtii löyhä taria kuljettaessa lukijaa eteepäi. Equatios ad Graphs sisältää aihepiirit: Kirjaimet ja idettisyys, Yhtälöpari, Yhtälöt ja käyrät, Verrato ja käätäe verraollisuus sekä Leikkaukset ja tagetti. Itegers sisältää aihepiirit: Jaollisuus, Alkuluvut, Numeroarvaus ja mystie 3, Kellomatematiikkaa sekä Matemaattie iduktio. Sisällysluettelot ja äytesivut kirjoihi löytyvät kustataja Beto Booksi verkkosivulta http://www. betobooks.com/publicatios/ Solmu matematiika verkkosaakirja Solmu matematiika verkkosaakirja o otettu käyttöö osoitteessa http://solmu.math.helsiki.fi/saakirja/a.html Sekä sisältöä että tekiikkaa koskevat kokemukset ovat meille arvokkaita ja kaikelaiset paraus- sekä korjausehdotukset tervetulleita. Palautetta voi lähettää osoitteella toimitus(at)solmu.math.helsiki.fi