1/2 KURSSIN ARVOSTELU - 3 välikoetta, jokaisessa 4 tehtävää, yht. 12 teht. - 6 pistettä yhdestä tehtävästä - max pisteet 72 (+ lisät harjoituksista) pisteet arvosana 00,00 35,25-35,50 41,25 1 1/2 maksimista 41,50 47,25 2 47,50 53,25 3 2/3 maksimista 53,50 59,25 4 59,50 5 5/6 maksimista - jokaiseen välikokeeseen pitää osallistua - kurssin voi suorittaa myös loppukokeella, mutta tällöin laskuharjoituksista ei saa lisäpisteitä LASKUHARJOITUKSET (laskupäivätyyppisesti) Laskupäivässä voit - käydä laskemassa laskuharjoitustehtäviä yksin tai kavereiden kanssa - kysyä neuvoa laskupäiväavustajilta - näyttää laskemasi laskut laskuharjoitusavustajille, jolloin saat niistä lisäpisteitä kurssin arvostelussa
2/2 Laskuharjoituspisteet - 11 harjoitusta, yhteensä 11 x 6 = 66 tehtävää - laskuharjoituspisteitä (max = 6 p) seuraavasti: laskettu pisteet 00 04 kpl 0 05 09 kpl 1/2 10 14 kpl 1 15 19 kpl 1 1/2 20 24 kpl 2 25 29 kpl 2 1/2 30 34 kpl 3 35 39 kpl 3 1/2 40 44 kpl 4 45 49 kpl 4 1/2 50 54 kpl 5 55 45 kpl 5 1/2 60 66 kpl 6
766329A Aaltoliike ja optiikka Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Kevät 2015
Perustuu oppikirjoihin: H. D. Young and R. A. Freedman University Physics, Addison-Wesley 10th ed., 2000 and 11th ed., 2004 F. L. Pedrotti, (L. M. Pedrotti) and L. S. Pedrotti Introduction to Optics, Prentice-Hall, 2nd ed., 1993 and 3rd ed., 2007 E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, 3rd ed., 1998
Sisältö: 1 Peruskäsitteitä.......................................... 1 1.1 Aaltojen tyypit....................................... 1 1.2 Aaltofunktio ja aaltoyhtälö.............................. 5 1.3 Harmoninen aalto..................................... 9 1.4 Aallon nopeus........................................ 14 1.5 Aallon energia........................................ 17 2 Aaltoliikkeiden yhdistäminen.............................. 21 2.1 Heijastuminen ja läpäisy............................... 21 2.2 Superpositioperiaate................................... 24 2.3 Seisova aaltoliike..................................... 26 2.4 Normaalimuodot...................................... 30 2.5 Fourier-sarjoista...................................... 34 3 Ääni.................................................. 37 3.1 Pitkittäisen aallon nopeus ja energia...................... 37 3.2 Äänen nopeus ideaalikaasussa........................... 41 3.3 Ääniaallot........................................... 42 3.4 Äänen intensiteetti..................................... 45 3.5 Seisovat ääniaallot ja normaalimuodot pillissä.............. 48 3.6 Huojunta............................................ 52 3.7 Doppler-ilmiö....................................... 55 3.8 Shokkiaalto......................................... 59 3.9 Resonanssi.......................................... 62 4 Valo.................................................. 65 4.1 Historiaa lyhyesti..................................... 65 4.2 Sähkömagneettinen aalto............................... 71 4.3 Energia ja liikemäärä.................................. 75 4.4 Polarisaatio......................................... 80 4.5 Sähkömagneettinen spektri............................. 85 4.6 Radiometria......................................... 89 4.7 Fotometria.......................................... 94 4.8 Mustan kappaleen säteily............................. 101 4.9 Valon lähteitä..................................... 104 4.10 Säteilyn ilmaisimia................................. 109 5 Valon eteneminen..................................... 113 5.1 Heijastuminen ja taittuminen........................... 114 5.2 Huygensin periaate................................... 117 5.3 Fermat'n periaate...................................... 119 5.4 Kokonaisheijastus................................... 120 5.5 Polarisaatio.......................................... 123 6 Geometrista optiikkaa................................... 127 6.1 Heijastuminen tasopeilistä............................... 127 6.2 Taittuminen tasopinnassa............................... 130 6.3 Heijastuminen pallopeilistä............................. 132
6.4 Taittuminen pallopinnassa.............................. 138 6.5 Ohuet linssit........................................ 142 6.6 Kuvausvirheet...................................... 148 7 Systeemianalyysi matriisimenetelmällä..................... 151 7.1 Peruspisteet......................................... 151 7.2 Matriisimenetelmä................................... 157 7.3 Systeemimatriisi..................................... 164 7.4 Peruspisteiden sijainti................................. 167 7.5 Sovellutusesimerkkejä................................ 171 8 Optisia instrumentteja.................................. 175 8.1 Kaihtimet, pupillit ja ikkunat.......................... 175 8.2 Prismat........................................... 180 8.3 Kamerat........................................... 188 8.4 Silmä.............................................. 192 8.5 Suurennuslasi ja okulaarit............................. 196 8.6 Mikroskooppi....................................... 201 8.7 Kaukoputket........................................ 204 9 Valoaaltojen superpositio............................... 209 9.1 Valoaalto........................................... 209 9.2 Superpositio........................................ 214 9.3 Samataajuisten aaltojen superpositio..................... 215 9.4 Eritaajuisten aaltojen superpositio....................... 218 10 Valon interferenssi...................................... 225 10.1 Kahden aallon interferenssi............................ 225 10.2 Youngin koe........................................ 229 10.3 Interferenssi virtuaalisilla lähteillä....................... 234 10.4 Interferenssi ohuessa kalvossa.......................... 237 11 Interferometria........................................ 247 11.1 Michelsonin interferometri............................ 247 11.2 Stokesin relaatiot................................... 255 11.3 Monisädeinterferenssi ohuessa tasapaksussa kalvossa....... 257 11.4 Fabry-Perot-interferometri............................ 264 12 Diffraktio............................................. 273 12.1 Fraunhoferin diffraktio kapeassa raossa.................. 274 12.2 Fraunhoferin diffraktio pyöreässä aukossa................ 281 12.3 Kahden raon diffraktio............................... 290 12.4 Monen raon diffraktio................................ 295 12.5 Diffraktiohila...................................... 301 13 Laserin perusteet...................................... 307 13.1 Einsteinin säteilyn kvanttiteoria........................ 307 13.2 Laserin osat........................................ 313 13.3 Laserin toiminta.................................... 316 13.4 Laservalon ominaisuuksia............................. 319-326
1 1 PERUSKÄSITTEITÄ Luonto on täynnä aaltoja. Aaltoliikettä voi syntyä kimmoisissa systeemeissä, jotka poikkeutettuna tasapainotilastaan pyrkivät palaamaan siihen takaisin. Aalto etenee, kun poikkeama (häiriö) etenee systeemissä paikasta toiseen. Tällaisia häiriöitä (aaltoja) ovat esimerkiksi ääniaallot, veden pinnan aaltoilu, maanjäristykset, valo, tv- ja radiolähetykset sekä yleensä sähkömagneettiset aallot. Aaltoja on siis kaikkialla ja niitä joudutaan käsittelemään paljon esimerkiksi fysikaalisissa, teknillisissä ja biologisissa tieteissä. Tämän vuoksi tarvitaan teoreettista aaltoliikeoppia, joka yhtenäistää eri luonnontieteissä esiintyvien aaltoihin liittyvien ilmiöiden kuvausta. Tässä ja seuraavassa kappaleessa, tarkastelemme ns. mekaanisia aaltoja, ts. aaltoja, jotka tarvitsevat jonkin konkreettisen väliaineen missä edetä. Esimerkki tällaisesta aallosta on ääniaalto, joka etenee paineen muutoksina ilmassa. Esimerkkinä ei-mekaanisesta aallosta voidaan mainita vaikkapa valoaalto, joka voi edetä myös tyhjiössä. 1.1 AALTOJEN TYYPIT Mekaaninen aalto on häiriö, joka etenee jossakin materiaalissa eli ns. väliaineessa (medium). Aallon edetessä väliaineen hiukkaset (osaset, partikkelit) poikkeavat hetkellisesti tasapainoasemistaan. Aallon tyyppi riippuu siitä, mihin suuntaan poikkeaminen tapahtuu. Asiaa valaistaan seuraavan sivun kuvassa.
2 Kuvassa (a) väliaineena on jännitetty köysi. Köyttä häiritään heilauttamalla sen toista päätä ylös-alas-suunnassa nopeasti. Syntyy pulssi, joka etenee köyttä pitkin muotonsa säilyttäen. Köyden eri osaset läpikäyvät saman poikkeaman myöhempinä ajanhetkinä kuin köyden pää alussa. Koska osaset poikkevat poikittaissuunnassa (kohtisuorasti, transverse) häiriön etenemissuuntaa vastaan, niin aalto on ns. poikittainen aalto (transverse wave). Poikittaiseen aaltoon liittyy aina myös ns. polarisaation käsite. Jos köyden osasten liike tapahtuu yhdessä ainoassa tasossa, niin kysymyksessä on tasopolarisoitu eli lineaarisesti polarisoitu aalto. Huom! Sähkömagneettinen (ei-mekaaninen) aaltoliike on myös poikittaista aaltoliikettä. Siinä sähkö- ja magneettikentät värähtelevät kohtisuorasti aallon etenemissuuntaa vastaan. Kuvassa (b) väliaineena on sylinterissä oleva neste tai kaasu. Väliaineeseen aiheutetaan häiriö heilauttamalla mäntää kerran nopeasti edestakaisin. Paineen muutos (pulssi) liikkuu pitkin sylinteriä siten, että väliainehiukkaset poikkeavat tasapainoasemistaan pulssin etenemissuunnassa. Aalto on ns. pitkittäinen aalto (longitudinal wave).
3 Kuvassa (c) väliaineen muodostaa astiassa oleva vesi, johon synnytetään pinta-aalto. Veden pinnalla etenevässä aallossa vesiosaset poikkeavat sekä poikittaisessa että pitkittäisessä suunnassa, joten aallolla on sekä poikittainen että pitkittäinen komponentti. Esimerkin aalloilla (kuten kaikilla) on kolme yhteistä seikkaa: 1) Häiriö etenee väliaineessa tietyllä vakionopeudella v, eli ns. aallon etenemisnopeudella (wave speed). On huomattava, että häiriön nopeus ei ole sama kuin väliaineen hiukkasten nopeus niiden värähdellessä tasapainoasemiensa ympäristössä. 2) Väliaine itsessään ei etene paikasta toiseen. Se mikä etenee on häiriö (sen muoto). 3) Systeemin poikkeuttaminen tasapainoasemastaan vaatii energiaa. Aaltoliike kuljettaa siis mukanaan energiaa ja liikemäärää. Muita tyyppijakoja: Aaltoliikkeet voidaan luokitella myös sen mukaan, miten monessa dimensiossa (ulottovuudessa) aalto etenee: - 1-dimensionaalinen aaltoliike esim. aalto jännitetyssä langassa tai kitaran kielessä - 2-dimensionaalinen aaltoliike esim. värähtelevä levy tai pinta-aallot vedessä - 3-dimensionaalinen aaltoliike esim. ääni- ja valoaallot Lisää käsitteitä: - Pulssi: Jos esimerkiksi vieterin päätä poikkeutetaan vain kerran (kuva), niin jokainen vieterin osanen on levossa, kunnes aalto saapuu sen kohdalle. Aallon ohituksen jälkeen osanen on jälleen levossa.
- Pulssijono: Esimerkiksi köyden päätä poikkeutetaan jatkuvasti. - Jaksollinen aalto: Jos köyden pään liikuttelu on jaksollista (periodista), syntyy periodinen aaltojono. Näistä yksinkertaisin on harmoninen aalto (kuva). 4 Voidaan osoittaa (Fourier-analyysi), että mikä tahansa periodinen aalto voidaan esittää harmonisten aaltojen lineaarikombinaationa. Tämän vuoksi harmoniset aallot ovat erityisen tärkeitä ja periaatteessa riittää tarkastella vain niiden teoriaa. - Aaltorintama on 3-ulotteisessa aallossa niiden pisteiden muodostama pinta, jossa aalto on samassa vaiheessa (esim. aaltojen harjojen muodostama pinta). Homogeenisessä ja isotrooppisessa väliaineessa aaltorintama on kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan. - Säde puolestaan on suora, joka on kohtisuorassa aaltorintamaa vastaan, ts. osoittaa aallon etenemissuuntaan. Pistemäinen lähde synnyttää palloaallon, jonka aaltorintamat ovat pallopintoja (kuva a). Kaukana lähteestä pallopinnat suoristuvat lähes tasoiksi. Kyseessä on tasoaalto (kuva b).
5 1.2 AALTOFUNKTIO JA AALTOYHTÄLÖ Aallon ominaisuuksien yksityiskohtaiseen matemaattiseen kuvaamiseen tarvitaan ns. aaltofunktio (wave function). Aaltofunktio on funktio, joka kertoo väliaineen hiukkasten poikkeaman tasapainosta millä tahansa ajanhetkellä. Funktio voi olla aaltofunktio vain, jos se toteuttaa ns. aaltoyhtälön (wave equation). Tarkastellaan esimerkkinä aallon (pulssin) etenemistä jännitetyssä langassa. Asetetaan lanka x- akselin suuntaiseksi ja olkoot langan osasten poikkeamat y- suuntaisia (kuva). Kysymyksessä on poikittainen aalto, jonka aaltofunktio on y= f(,) xt. (1.2.1) Aaltofunktio kertoo paikassa x olevan langan osasen poikkeaman y ajanhetkellä t. Kysymyksessä on siis kahden muuttujan funktio. Tarkastellaan pitkässä kitkattomassa langassa etenevää pulssia. Ajanhetkellä t = 0 langan muoto olkoon y= f( x) (kuva alla). Kun kitkavoimat ovat pieniä, pulssi etenee langassa samanmuotoisena ja vakionopeudella v. Siten ajanhetkellä t langan muoto on
6 y= f( x-v t). (1.2.2) Funktio antaa siis saman muodon pisteessä x=v t ajanhetkellä t kuin mikä langalla oli ajanhetkellä t = 0 pisteessä x = 0. Funktio (1.2.2) esittää positiivisen x-akselin suuntaan etenevää aaltoa. Vastaavasti on helppo päätellä, että negatiivisen x-akselin suuntaan etenevää aaltoa kuvaa funktio y= f( x+v t). Vuonna 1747 Jean Le Rond d'alambert otti matematiikassa käyttöön osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja kirjoitti samana vuonna artikkelin värähtelevistä kielistä, jossa käsite differentiaalinen aaltoyhtälö esiintyy ensimmäisen kerran. Kysymyksessä on lineaarinen toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka yksiulotteisen aallon tapauksessa on muotoa 2 2 y 1 y =. (1.2.3) 2 2 2 x v t On helppo todeta, että funktiot y= f( xmv t) toteuttavat tämän aaltoyhtälön. Aaltoyhtälö on yksi fysiikan tärkeimmistä yhtälöistä. Kaikki pulssit, aallot ja etenevät häiriöt, riippumatta siitä ovatko ne sinimuotoisia tai muuten periodisia, toteuttavat aaltoyhtälön. Kun aaltofunktio tunnetaan, siitä voidaan laskea poikkeaman y lisäksi mm. langan osasten nopeudet y v y (,) xt = = f(,) xt, (1.2.4) t t kiihtyvyydet v 2 y ay (,) xt = = f(,) xt (1.2.5) 2 t t ja langan muoto millä ajanhetkenä tahansa.
7 Vielä aallon nopeudesta (vauhdista) v : Kun aallon etenemistä seurataan ajan funktiona, tietyltä aallon vaiheelta (esim. pulssin huippukohdalta) vaaditaan, että poikkeama y säilyy vakiona, ts. on myös oltava j = xmv t = vakio. Kokonaisdifferentiaali æ j ö æ jö dj = ç dx + ç dt = 1 dx mvdt = 0 è x ø è t ø Antaa tuloksen dx dt = ± v Nopeus on ns. vaihenopeus. ------------------------------------------------- Esimerkki: Esittääkö funktio y= exp( x-v t) aaltoa? Ratkaisu: 1. tapa: kyllä esittää, sillä se on muotoa y= f( x-v t). Aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Huomaa, että kysymyksessä ei ole periodinen aalto. 2. tapa: käytetään aaltoyhtälöä 2 y = exp( x- vt) = exp( x- vt) = y 2 x x 2 y 2 2 =-v exp( x- vt) = v exp( x- vt) = v y 2 t t Kun nämä tulokset sijoitetaan aaltoyhtälöön (1.2.3) Þ y= y, mikä on totta, ts. funktio toteuttaa yhtälön ja esittää siten aaltoa. ------------------------------------------------- Esimerkki: Jännitetyssä köydessä etenevän pulssin muotoa 2 ajanhetkellä t = 0 kuvaa SI-yksiköissä funktio y= 3 /(2x + 1). Mikä funktio kuvaa pulssia ajanhetkellä t, kun pulssi etenee positiivisen x-akselin suuntaan vauhdilla 2 m/s? Hahmottele pulssi koordinaatistoon ajan hetkillä t = 0 ja t = 1 s.
8 Ratkaisu: Vaatimus on, että muuttujat x ja t esiintyvät muodossa x-v t. On siis kirjoitettava 3 3 y = =, 2 2 2( x- vt) + 1 2( x- 2 t) + 1 missä siis v = 2m/s. Tulos on SI-yksiköissä, joten x ja y ovat metreinä ja aika t on sekunteina. Jos yksiköt kirjoitetaan näkyviin, niin edellä esitetty tulos on muotoa 3 3 m y =. m 2 2 2( x- 2 t) + 1 m Ohessa Mathematica-ohjelmalla piirretyt kuvaajat vaadituilla ajanhetkillä t = 0 ja t = 1 s. Kuvaajassa vaaka-akseli (x-akseli) ja pystyakseli (poikkeama- eli y-akseli) ovat metreinä. s Kuvaajista nähdään, että yhden sekunnin aikana pulssi on todellakin edennyt 2 metriä ja vielä siten, että sen muoto säilyy. -------------------------------------------------
9 1.3 HARMONINEN AALTO Mielenkiintoinen ja tärkeä erikoistapaus aallosta on ns. harmoninen aalto, joka on muotoa = sin [ ( ±v )] tai y Acos [ k( x t) ] y A k x t = ±v. (1.3.1) Näissä A ja k ovat vakioita, joiden arvoja voidaan muutella aallon silti menettämättä harmonisuuttaan. Nyt sina = cos( a - p / 2), joten siniä ja kosinia erottaa toisistaan vain p /2:n radiaanin vaihesiirto. Jatkossa riittää siis tarkastella vain jompaa kumpaa näistä harmonisista funktioista. Valitaan sini: [ ] y= Asin k( x±v t). (1.3.2) Harmoninen aalto on kahden muuttujan (x ja t) funktio. Seuraavassa tarkastelemme kahta tavallisimpaa harmonisen aallon esitystapaa: (a) Olkoon t = vakio Kuvassa l on aallon aallonpituus ja A amplitudi. Pisteissä x ja x + l aallolla on sama poikkeama (siis y), joten [ - v ] = [ + l -v ] = Asin [ k( x- t) + kl] Asin kx ( t) Asin kx ( t) Koska sinin periodi on tunnetusti 2p, saadaan v.
10 2p kl = 2p Þ k =. (1.3.3) l Tässä k on ns. etenemisvakio eli ns. aaltoluku. (b) Olkoon x = vakio Kuvassa T on aallon periodi eli jakson aika ja A on amplitudi. Hetkillä t ja t+ T aallolla on sama poikkeama, joten [ - v ] = [ - v + ] = Asin [ k( x- t) -k T] Asin kx ( t) Asin kx ( ( t T)) v v. Nyt saadaan 2p 2p l kvt = 2p Þ v = = = = l f, (1.3.4) kt (2 p / l) T T missä 1 f = (1.3.5) T on aallon taajuus. Usein taajuutta merkitään myös symbolilla n, jota käytetään varsinkin optiikassa. Kulmataajuus w määritellään yhtälöllä w = 2p f. (1.3.6)
11 Edellä esille tulleita suureita käyttäen harmoninen aalto voidaan esittää mm. seuraavissa muodoissa: [ ] [ ] y= Asin k( x±v t), y= Asin kx±wt, é æ x t öù y = Asinê2pç ± l T ú ë è ø. û Kaikissa tapauksissa sinifunktion argumenttia, joka riippuu siis paikasta ja ajasta, sanotaan aallon vaiheeksi j (vaihekulma). Esimerkiksi j = k( x± v t) = kx± wt. (1.3.7) Usein vaiheessa tarvitaan myös vakio-osa, jolloin kirjoitetaan j = kx± wt+ j, (1.3.8) missä j 0 on muuttujista x ja t riippumaton ns. vaihevakio. Monesti kokonaisvaihe kirjoitetaan myös järjestyksessä 0 j = wt ± kx + j. (1.3.9) Näin voidaan tehdä, mutta on muistettava, että valittua järjestystä ei kannata muuttaa kesken kaiken. Tässä kurssissa käytämme pääasiassa järjestystä (1.3.8). Kun x ja t muuttuvat siten, että vaihe j pysyy vakiona, poikkeama y= Asinj säilyy myös vakiona. Vakiovaiheisuus kuvaa aallon tietyn pisteen liikettä; pisteen nopeus on sama kuin aallon nopeus. Aallon tämä ns. vaihenopeus saadaan siis laskemalla (ks. sivu 7) josta dj = k( dx ± v dt) = 0, dx dt = mv. 0
12 ------------------------------------------------- Esimerkki: Etenevää aaltoa kuvaa SI-yksiköissä funktio ( p p p ) y( x, t) = 0.35sin 3 x- 10 t+ / 4. Määritä aallon amplitudi, aaltoluku, aallonpituus, kulmataajuus, taajuus ja vauhti sekä etenemissuunta. Laske lisäksi kohdassa x = 0.10 m olevan väliainehiukkasen poikkeama ajanhetkellä t = 0. Ratkaisu: - amplitudi A = 0,35m (Huom! Yksiköt kirjoitettava näkyviin) - aaltoluku k = 3p (1/m) 2p 2 - aallonpituus l = = m k 3 - kulmataajuus w = 10p (1/s) w - taajuus f = = 5Hz (Huom! 1/s = Hz = Hertsi) 2p 2 1 - vauhti v = l f = m5 = 3.33m/s 3 s - etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Vauhti saadaan myös vaiheesta j = 3p x- 10 pt+ p /4 differentioimalla dj = 3p dx - 10p dt = 0, josta dx 10p v= = =+ 3.33m/s. dt 3p Aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Poikkeama paikassa x = 0.10 m hetkellä t = 0. y(0.10,0) 0.35sin( 3p 0.10 10p 0 p / 4) ( p p ) ( p ) = - +, = 0.35sin 3 /10 + / 4 = 0.35sin 11 / 20 = =+ 0.346m. -------------------------------------------------