766329A Aaltoliike ja optiikka

Transkriptio

1 76639A Aaltoliike ja optiikka Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Kevät 5 Perustuu oppikirjoihin: H. D. Young and R. A. Freedman University Physics, Addison-Wesley th ed., and th ed., 4 F. L. Pedrotti, (L. M. Pedrotti) and L. S. Pedrotti Introduction to Optics, Prentice-Hall, nd ed., 993 and 3rd ed., 7 E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, 3rd ed., 998

2 Sisältö: Peruskäsitteitä Aaltojen tyypit Aaltofunktio ja aaltoyhtälö Harmoninen aalto Aallon nopeus Aallon energia Aaltoliikkeiden yhdistäminen Heijastuminen ja läpäisy Superpositioperiaate Seisova aaltoliike Normaalimuodot Fourier-sarjoista Ääni Pitkittäisen aallon nopeus ja energia Äänen nopeus ideaalikaasussa Ääniaallot Äänen intensiteetti Seisovat ääniaallot ja normaalimuodot pillissä Huojunta Doppler-ilmiö Shokkiaalto Resonanssi Valo Historiaa lyhyesti Sähkömagneettinen aalto Energia ja liikemäärä Polarisaatio Sähkömagneettinen spektri Radiometria Fotometria Mustan kappaleen säteily Valon lähteitä Säteilyn ilmaisimia Valon eteneminen Heijastuminen ja taittuminen Huygensin periaate Fermat'n periaate Kokonaisheijastus Polarisaatio Geometrista optiikkaa Heijastuminen tasopeilistä Taittuminen tasopinnassa Heijastuminen pallopeilistä Taittuminen pallopinnassa Ohuet linssit Kuvausvirheet Systeemianalyysi matriisimenetelmällä Peruspisteet Matriisimenetelmä Systeemimatriisi Peruspisteiden sijainti Sovellutusesimerkkejä Optisia instrumentteja Kaihtimet, pupillit ja ikkunat Prismat Kamerat Silmä Suurennuslasi ja okulaarit Mikroskooppi Kaukoputket Valoaaltojen superpositio Valoaalto Superpositio Samataajuisten aaltojen superpositio Eritaajuisten aaltojen superpositio Valon interferenssi Kahden aallon interferenssi Youngin koe Interferenssi virtuaalisilla lähteillä Interferenssi ohuessa kalvossa Interferometria Michelsonin interferometri Stokesin relaatiot Monisädeinterferenssi ohuessa tasapaksussa kalvossa Fabry-Perot-interferometri Diffraktio Fraunhoferin diffraktio kapeassa raossa Fraunhoferin diffraktio pyöreässä aukossa Kahden raon diffraktio Monen raon diffraktio Diffraktiohila Laserin perusteet Einsteinin säteilyn kvanttiteoria Laserin osat Laserin toiminta Laservalon ominaisuuksia

3 PERUSKÄSITTEITÄ Luonto on täynnä aaltoja. Aaltoliikettä voi syntyä kimmoisissa systeemeissä, jotka poikkeutettuna tasapainotilastaan pyrkivät palaamaan siihen takaisin. Aalto etenee, kun poikkeama (häiriö) etenee systeemissä paikasta toiseen. Tällaisia häiriöitä (aaltoja) ovat esimerkiksi ääniaallot, veden pinnan aaltoilu, maanjäristykset, valo, tv- ja radiolähetykset sekä yleensä sähkömagneettiset aallot. Aaltoja on siis kaikkialla ja niitä joudutaan käsittelemään paljon esimerkiksi fysikaalisissa, teknillisissä ja biologisissa tieteissä. Tämän vuoksi tarvitaan teoreettista aaltoliikeoppia, joka yhtenäistää eri luonnontieteissä esiintyvien aaltoihin liittyvien ilmiöiden kuvausta. Kuvassa (a) väliaineena on jännitetty köysi. Köyttä häiritään heilauttamalla sen toista päätä ylös-alas-suunnassa nopeasti. Syntyy pulssi, joka etenee köyttä pitkin muotonsa säilyttäen. Köyden eri osaset läpikäyvät saman poikkeaman myöhempinä ajanhetkinä kuin köyden pää alussa. Koska osaset poikkevat poikittaissuunnassa (kohtisuorasti, transverse) häiriön etenemissuuntaa vastaan, niin aalto on ns. poikittainen aalto (transverse wave). Poikittaiseen aaltoon liittyy aina myös ns. polarisaation käsite. Jos köyden osasten liike tapahtuu yhdessä ainoassa tasossa, niin kysymyksessä on tasopolarisoitu eli lineaarisesti polarisoitu aalto. Huom! Sähkömagneettinen (ei-mekaaninen) aaltoliike on myös poikittaista aaltoliikettä. Siinä sähkö- ja magneettikentät värähtelevät kohtisuorasti aallon etenemissuuntaa vastaan. Tässä ja seuraavassa kappaleessa, tarkastelemme ns. mekaanisia aaltoja, ts. aaltoja, jotka tarvitsevat jonkin konkreettisen väliaineen missä edetä. Esimerkki tällaisesta aallosta on ääniaalto, joka etenee paineen muutoksina ilmassa. Esimerkkinä ei-mekaanisesta aallosta voidaan mainita vaikkapa valoaalto, joka voi edetä myös tyhjiössä.. AALTOJEN TYYPIT Mekaaninen aalto on häiriö, joka etenee jossakin materiaalissa eli ns. väliaineessa (medium). Aallon edetessä väliaineen hiukkaset (osaset, partikkelit) poikkeavat hetkellisesti tasapainoasemistaan. Aallon tyyppi riippuu siitä, mihin suuntaan poikkeaminen tapahtuu. Asiaa valaistaan seuraavan sivun kuvassa. Kuvassa (b) väliaineena on sylinterissä oleva neste tai kaasu. Väliaineeseen aiheutetaan häiriö heilauttamalla mäntää kerran nopeasti edestakaisin. Paineen muutos (pulssi) liikkuu pitkin sylinteriä siten, että väliainehiukkaset poikkeavat tasapainoasemistaan pulssin etenemissuunnassa. Aalto on ns. pitkittäinen aalto (longitudinal wave).

4 3 Kuvassa (c) väliaineen muodostaa astiassa oleva vesi, johon synnytetään pinta-aalto. Veden pinnalla etenevässä aallossa vesiosaset poikkeavat sekä poikittaisessa että pitkittäisessä suunnassa, joten aallolla on sekä poikittainen että pitkittäinen komponentti. Esimerkin aalloilla (kuten kaikilla) on kolme yhteistä seikkaa: ) Häiriö etenee väliaineessa tietyllä vakionopeudella v, eli ns. aallon etenemisnopeudella (wave speed). On huomattava, että häiriön nopeus ei ole sama kuin väliaineen hiukkasten nopeus niiden värähdellessä tasapainoasemiensa ympäristössä. ) Väliaine itsessään ei etene paikasta toiseen. Se mikä etenee on häiriö (sen muoto). 3) Systeemin poikkeuttaminen tasapainoasemastaan vaatii energiaa. Aaltoliike kuljettaa siis mukanaan energiaa ja liikemäärää. Muita tyyppijakoja: Aaltoliikkeet voidaan luokitella myös sen mukaan, miten monessa dimensiossa (ulottovuudessa) aalto etenee: - -dimensionaalinen aaltoliike esim. aalto jännitetyssä langassa tai kitaran kielessä - -dimensionaalinen aaltoliike esim. värähtelevä levy tai pinta-aallot vedessä - 3-dimensionaalinen aaltoliike esim. ääni- ja valoaallot Lisää käsitteitä: - Pulssi: Jos esimerkiksi vieterin päätä poikkeutetaan vain kerran (kuva), niin jokainen vieterin osanen on levossa, kunnes aalto saapuu sen kohdalle. Aallon ohituksen jälkeen osanen on jälleen levossa. - Pulssijono: Esimerkiksi köyden päätä poikkeutetaan jatkuvasti. - Jaksollinen aalto: Jos köyden pään liikuttelu on jaksollista (periodista), syntyy periodinen aaltojono. Näistä yksinkertaisin on harmoninen aalto (kuva). 4 Voidaan osoittaa (Fourier-analyysi), että mikä tahansa periodinen aalto voidaan esittää harmonisten aaltojen lineaarikombinaationa. Tämän vuoksi harmoniset aallot ovat erityisen tärkeitä ja periaatteessa riittää tarkastella vain niiden teoriaa. - Aaltorintama on 3-ulotteisessa aallossa niiden pisteiden muodostama pinta, jossa aalto on samassa vaiheessa (esim. aaltojen harjojen muodostama pinta). Homogeenisessä ja isotrooppisessa väliaineessa aaltorintama on kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan. - Säde puolestaan on suora, joka on kohtisuorassa aaltorintamaa vastaan, ts. osoittaa aallon etenemissuuntaan. Pistemäinen lähde synnyttää palloaallon, jonka aaltorintamat ovat pallopintoja (kuva a). Kaukana lähteestä pallopinnat suoristuvat lähes tasoiksi. Kyseessä on tasoaalto (kuva b).

5 5. AALTOFUNKTIO JA AALTOYHTÄLÖ Aallon ominaisuuksien yksityiskohtaiseen matemaattiseen kuvaamiseen tarvitaan ns. aaltofunktio (wave function). Aaltofunktio on funktio, joka kertoo väliaineen hiukkasten poikkeaman tasapainosta millä tahansa ajanhetkellä. Funktio voi olla aaltofunktio vain, jos se toteuttaa ns. aaltoyhtälön (wave equation). Tarkastellaan esimerkkinä aallon (pulssin) etenemistä jännitetyssä langassa. Asetetaan lanka x- akselin suuntaiseksi ja olkoot langan osasten poikkeamat y- suuntaisia (kuva). Kysymyksessä on poikittainen aalto, jonka aaltofunktio on y= f(,) xt. (..) Aaltofunktio kertoo paikassa x olevan langan osasen poikkeaman y ajanhetkellä t. Kysymyksessä on siis kahden muuttujan funktio. Tarkastellaan pitkässä kitkattomassa langassa etenevää pulssia. Ajanhetkellä t = langan muoto olkoon y= f( x) (kuva alla). Kun kitkavoimat ovat pieniä, pulssi etenee langassa samanmuotoisena ja vakionopeudella v. Siten ajanhetkellä t langan muoto on 6 y= f( x-v t). (..) Funktio antaa siis saman muodon pisteessä x=v t ajanhetkellä t kuin mikä langalla oli ajanhetkellä t = pisteessä x =. Funktio (..) esittää positiivisen x-akselin suuntaan etenevää aaltoa. Vastaavasti on helppo päätellä, että negatiivisen x-akselin suuntaan etenevää aaltoa kuvaa funktio y= f( x+v t). Vuonna 747 Jean Le Rond d'alambert otti matematiikassa käyttöön osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja kirjoitti samana vuonna artikkelin värähtelevistä kielistä, jossa käsite differentiaalinen aaltoyhtälö esiintyy ensimmäisen kerran. Kysymyksessä on lineaarinen toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka yksiulotteisen aallon tapauksessa on muotoa y y =. (..3) x v t On helppo todeta, että funktiot y= f( xmv t) toteuttavat tämän aaltoyhtälön. Aaltoyhtälö on yksi fysiikan tärkeimmistä yhtälöistä. Kaikki pulssit, aallot ja etenevät häiriöt, riippumatta siitä ovatko ne sinimuotoisia tai muuten periodisia, toteuttavat aaltoyhtälön. Kun aaltofunktio tunnetaan, siitä voidaan laskea poikkeaman y lisäksi mm. langan osasten nopeudet y v y (,) xt = = f(,) xt, (..4) t t kiihtyvyydet v y ay (,) xt = = f(,) xt (..5) t t ja langan muoto millä ajanhetkenä tahansa.

6 7 Vielä aallon nopeudesta (vauhdista) v : Kun aallon etenemistä seurataan ajan funktiona, tietyltä aallon vaiheelta (esim. pulssin huippukohdalta) vaaditaan, että poikkeama y säilyy vakiona, ts. on myös oltava j = xmv t = vakio. Kokonaisdifferentiaali æ j ö æ jö dj = ç dx + ç dt = dx mvdt = è x ø è t ø Antaa tuloksen dx dt = ± v Nopeus on ns. vaihenopeus. Esimerkki: Esittääkö funktio y= exp( x-v t) aaltoa? Ratkaisu:. tapa: kyllä esittää, sillä se on muotoa y= f( x-v t). Aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Huomaa, että kysymyksessä ei ole periodinen aalto.. tapa: käytetään aaltoyhtälöä y = exp( x- vt) = exp( x- vt) = y x x y =-v exp( x- vt) = v exp( x- vt) = v y t t Kun nämä tulokset sijoitetaan aaltoyhtälöön (..3) Þ y= y, mikä on totta, ts. funktio toteuttaa yhtälön ja esittää siten aaltoa. Esimerkki: Jännitetyssä köydessä etenevän pulssin muotoa ajanhetkellä t = kuvaa SI-yksiköissä funktio y= 3 /(x + ). Mikä funktio kuvaa pulssia ajanhetkellä t, kun pulssi etenee positiivisen x-akselin suuntaan vauhdilla m/s? Hahmottele pulssi koordinaatistoon ajan hetkillä t = ja t = s. 8 Ratkaisu: Vaatimus on, että muuttujat x ja t esiintyvät muodossa x-v t. On siis kirjoitettava 3 3 y = =, ( x- vt) + ( x- t) + missä siis v = m/s. Tulos on SI-yksiköissä, joten x ja y ovat metreinä ja aika t on sekunteina. Jos yksiköt kirjoitetaan näkyviin, niin edellä esitetty tulos on muotoa 3 3 m y =. m ( x- t) + m Ohessa Mathematica-ohjelmalla piirretyt kuvaajat vaadituilla ajanhetkillä t = ja t = s. Kuvaajassa vaaka-akseli (x-akseli) ja pystyakseli (poikkeama- eli y-akseli) ovat metreinä. Kuvaajista nähdään, että yhden sekunnin aikana pulssi on todellakin edennyt metriä ja vielä siten, että sen muoto säilyy. s

7 9.3 HARMONINEN AALTO Mielenkiintoinen ja tärkeä erikoistapaus aallosta on ns. harmoninen aalto, joka on muotoa = sin [ ( ±v )] tai y Acos [ k( x t) ] y A k x t = ±v. (.3.) Näissä A ja k ovat vakioita, joiden arvoja voidaan muutella aallon silti menettämättä harmonisuuttaan. Nyt sina = cos( a - p / ), joten siniä ja kosinia erottaa toisistaan vain p /:n radiaanin vaihesiirto. Jatkossa riittää siis tarkastella vain jompaa kumpaa näistä harmonisista funktioista. Valitaan sini: [ ] y= Asin k( x±v t). (.3.) Harmoninen aalto on kahden muuttujan (x ja t) funktio. Seuraavassa tarkastelemme kahta tavallisimpaa harmonisen aallon esitystapaa: (a) Olkoon t = vakio Kuvassa l on aallon aallonpituus ja A amplitudi. Pisteissä x ja x + l aallolla on sama poikkeama (siis y), joten [ - v ] = [ + l -v ] = Asin [ k( x- t) + kl] Asin kx ( t) Asin kx ( t) Koska sinin periodi on tunnetusti p, saadaan v. p kl = p Þ k =. (.3.3) l Tässä k on ns. etenemisvakio eli ns. aaltoluku. (b) Olkoon x = vakio Kuvassa T on aallon periodi eli jakson aika ja A on amplitudi. Hetkillä t ja t+ T aallolla on sama poikkeama, joten [ - v ] = [ - v + ] = Asin [ k( x- t) -k T] Asin kx ( t) Asin kx ( ( t T)) v v. Nyt saadaan p p l kvt = p Þ v = = = = l f, (.3.4) kt ( p / l) T T missä f = (.3.5) T on aallon taajuus. Usein taajuutta merkitään myös symbolilla n, jota käytetään varsinkin optiikassa. Kulmataajuus w määritellään yhtälöllä w = p f. (.3.6)

8 Edellä esille tulleita suureita käyttäen harmoninen aalto voidaan esittää mm. seuraavissa muodoissa: [ ] [ ] y= Asin k( x±v t), y= Asin kx±wt, é æ x t öù y = Asinêpç ± l T ú ë è ø. û Kaikissa tapauksissa sinifunktion argumenttia, joka riippuu siis paikasta ja ajasta, sanotaan aallon vaiheeksi j (vaihekulma). Esimerkiksi j = k( x± v t) = kx± wt. (.3.7) Usein vaiheessa tarvitaan myös vakio-osa, jolloin kirjoitetaan j = kx± wt+ j, (.3.8) missä j on muuttujista x ja t riippumaton ns. vaihevakio. Monesti kokonaisvaihe kirjoitetaan myös järjestyksessä j = wt ± kx + j. (.3.9) Näin voidaan tehdä, mutta on muistettava, että valittua järjestystä ei kannata muuttaa kesken kaiken. Tässä kurssissa käytämme pääasiassa järjestystä (.3.8). Kun x ja t muuttuvat siten, että vaihe j pysyy vakiona, poikkeama y= Asinj säilyy myös vakiona. Vakiovaiheisuus kuvaa aallon tietyn pisteen liikettä; pisteen nopeus on sama kuin aallon nopeus. Aallon tämä ns. vaihenopeus saadaan siis laskemalla (ks. sivu 7) josta dj = k( dx ± v dt) =, dx dt = mv. Esimerkki: Etenevää aaltoa kuvaa SI-yksiköissä funktio ( p p p ) y( x, t) =.35sin 3 x- t+ / 4. Määritä aallon amplitudi, aaltoluku, aallonpituus, kulmataajuus, taajuus ja vauhti sekä etenemissuunta. Laske lisäksi kohdassa x =. m olevan väliainehiukkasen poikkeama ajanhetkellä t =. Ratkaisu: - amplitudi A =,35m (Huom! Yksiköt kirjoitettava näkyviin) - aaltoluku k = 3p (/m) p - aallonpituus l = = m k 3 - kulmataajuus w = p (/s) w - taajuus f = = 5Hz (Huom! /s = Hz = Hertsi) p - vauhti v = l f = m5 = 3.33m/s 3 s - etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Vauhti saadaan myös vaiheesta j = 3p x- pt+ p /4 differentioimalla dj = 3p dx - p dt =, josta dx p v= = =+ 3.33m/s. dt 3p Aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Poikkeama paikassa x =. m hetkellä t =. y(.,).35sin( 3p. p p / 4) ( p p ) ( p ) = - +, =.35sin 3 / + / 4 =.35sin / = =+.346m.

9 Kompleksiesitys: Harmoninen aalto esitetään usein kompleksimuodossa 3 i( kx-w t) %, y = Ae joka Eulerin kaavalla avautuu muotoon y% = Acos( kx- wt) + iasin( kx-wt). Kompleksiesitys sisältää siis sekä sini- että kosiniaallon. Erilaisia ilmiöitä tarkasteltaessa on usein laskennollisesti kätevämpää operoida kompleksiesityksellä kuin todellisella sini- tai kosinimuodolla. Monesti kirjoitetaan y x t i( kx-w t) (, ) Re{ Ae } =, jonka reaaliosa siis esittää todellista (reaalista) aaltoa (kosinimuodossa). On myös tavallista, että aallossa reaaliosan ottamista tarkoittava symboli Re jätetään kirjoittamatta. Tällöin on syytä olla varovainen. Jos aaltoon kohdistuvat laskuoperaatiot ovat lineaarisia (yhteenlasku, vakiolla kertominen,...), niin reaaliosa voidaan ottaa vasta lopputuloksesta ja näin saadaan oikea tulos. Mutta, jos laskutoimitukset eivät ole lineaarisia (neliöjuuri, toiseen korottaminen,...) reaaliosa on otettava ennen operaation suorittamista. Tästä on yksi tärkeä poikkeus. Jos lasketaan neliöllisen lausekkeen aikakeskiarvoa, riittää kun reaaliosa otetaan vasta lopputuloksesta. Esimerkki: Kirjoita aallon y( x, t) = Asin( kx- wt+ j ) kompleksiesitys siten, että yxt (,) on kompleksiesityksen reaaliosa. Ratkaisu: ij Koska y( x, t) = Re{ Ae } = Acosj = Asin( j + p / ), kompleksiesityksen on oltava muotoa y% = Ae i( kx wt j p /) 4.4 AALLON NOPEUS Fysikaaliset suureet, jotka määräävät poikittaisen aallon etenemisnopeuden köydessä ovat köyden jännitysvoima (tension) ja köyden massa pituusyksikköä kohti. Jälkimmäista sanotaan myös lineaariseksi massatiheydeksi. Jännitysvoimalla puolestaan tarkoitetaan sitä voimaa, joka tarvittaisiin pitämään köyden osia edelleen yhdessä, jos köysi leikattaisiin poikki. Jännityksen lisääminen kasvattaa palauttavaa voimaa, joka pyrkii oikaisemaan köyden häiriön edetessä siinä. On helppo kuvitella, että jännityksen lisääminen kasvattaa aallon nopeutta. On myös helppo arvata, että massan kasvattaminen hidastaa nopeutta, koska köyden liikkeet tulevat jähmeämmiksi. Johdetaan seuraavassa aallon nopeudelle kaava, ja katsotaan siitä sattuivatko arvauksemme kohdalleen. Seuraavassa kuvassa tarkastellaan täysin notkeaa köyttä, jonka massa pituusyksikköä kohti on m (kg/m) ja johon tasapainoasemassa kohdistuu jännitysvoima F. Oletetaan lisäksi, että köysi on painoton, joten se kuvassa (a) on täsmälleen suorassa.

10 5 Hetkellä t = köyden päähän kohdistetaan lisävoima F y ylöspäin, jolloin köysi lähtee nousemaan. Köysi on painoton, joten noustessaan se muodostaa kuvan (b) mukaisen kolmion, missä piste P erottaa liikkuvan osan vielä liikkumattomasta. Köyden liike on nyt se häiriö (pulssi, aalto), jonka jo aikaisemmin olemme todenneet etenevän vakionopeudella. Nyt siis piste P liikkuu vakionopeudella v. Vakiovoima F y ei tässä tapauksessa johda kiihtyvään liikkeeseen, koska massa, johon voima kohdistuu, kasvaa koko ajan. Siis pisteen P vasemmalla puolella oleva köyden osa liikkuu ylöspäin vakionopeudella v y. Jos liike olisi kiihtyvä, piste P etenisi myös kiihtyvällä nopeudella ja syntyisi ristiriita. Hetkellä t köyden pää on noussut matkan v y t ja piste P edennyt matkan v t (kuvan b tilanne). Voimien ja köyden muodostamista kolmioista voimme kirjoittaa Fy F yt = v Þ v t Fy y = F v v. Seuraavaksi sovellamme mekaniikasta tuttua impulssiteoreemaa. Voiman F y impulssi Ft, y joka on kehittynyt aikavälillä t, menee liikkuvan köydenosan liikemäärän muutokseksi mv y -. Tulee F t = mv. Tässä m= mv t on liikkuvan köydenosan massa. On siis y y v y F t = mvv t y, v ja kun tästä ratkaistaan v, saadaan F v =. (.4.) m 6 Intuitiivinen pohdiskelumme alussa johti siis oikeaan tulokseen. Aallon nopeus kasvaa, kun jännitysvoima ( F ) kasvaa ja pienenee, kun massa pituusyksikköä kohti (m ) kasvaa. Kaavan neliöjuurta emme intuitiivisesti keksineet, mutta se paljastuu helposti yksikkötarkastelulla. Tuloksessa (.4.) jännitysvoima F edustaa väliaineen (köyden) kimmoisuutta ja lineaarinen massatiheys m sen hitautta. Yleisesti pätee kaikille systeemeille kimmoisuus v = (.4.) hitaus Esimerkki: Kolme L:n pituista köyttä yhdistetään, jolloin kokonaispituudeksi tulee 3L. Ensimmäisen osan lineaarinen massatiheys on m, toisen m = 4m ja kolmannen m3 = m/4. Yhdistettyyn köyteen kohdistetaan jännitysvoima F. a) Mikä jännitysvoima vaikuttaa osaköysissä? b) Kuinka kauan pulssilta kestää kulkea köyden läpi? Ratkaisu: Huomaa, että jännitysvoima F vaikuttaa köyden molemmissa päissä. Jos se vaikuttaisi vain toisessa, köysi joutuisi kiihtyvään liikkeeseen (muistele mekaniikkaa). a) Jokaisessa osaköydessä vaikuttaa sama jännitysvoima F. Jos esimerkiksi ensimmäisen ja toisen osaköyden liitoskohdassa

11 7 ensimmäiseen osaan vaikuttaisi jokin muu voima (esim. F /3), niin ensimmäinen osaköysi joutuisi kiihtyvään liikkeeseen, koska sen toisessa päässä vaikuttaa F. b) Pulssin kulkuaika köyden läpi on L L L æ 3 tkok = t + t + t3 = + + = L m m m ö ç + + v v v3 è F F F ø æ ö m 7 m = Lç + + = L. è ø F F.5 AALLON ENERGIA Tarkastellaan taas köydessä positiivisen x-akselin suuntaan etenevää poikittaista aaltoa. Viereisessä kuvassa on esitetty hyvin pieni osa värähtelevästä köydestä pisteen a ympäristöstä. Pisteeseen a kohdistuu jännitysvoima F sekä pystysuorassa suunnassa liikkeen aiheuttava voima F y. Tämä voima F y on juuri se voima, jonka tekemä työ siirtyy köyttä pitkin eteenpäin oikealle. Köyden vasemmassa päässä tämä voima synnytetään käden liikkeellä, ks. kuva sivulla 4. 8 Köyden suunnassa (kulmakerroin y/ x) kokonaisvoima syntyy kahdesta komponentista, kuva (b), ja kuvan perusteella yxt (,) Fy(,) x t =-F, (.5.) x missä negatiivinen merkki on tarpeen, koska suhde Fy / F on negatiivinen silloin kun köyden kulmakerroin (slope) y/ x on positiivinen. Kun piste a liikkuu y-suunnassa, voima F y tekee työtä. Teho on yxt (,) yxt (,) Pxt (,) = Fy(,) xtvy(,) =-F. (.5.) x t Tämä on hetkellinen teho, jolla pisteen a vasemmalla puolella oleva köyden osa siirtää energiaa pisteeseen a. Kaava siis kertoo millä teholla energiaa virtaa köyttä pitkin oikealle. Kaava on voimassa kaikenlaisille köydessä eteneville aalloille. Sinimuotoisten eli harmonisten aaltojen tapauksessa aaltofunktio on y( x, t) = Asin( kx- wt), josta yxt (,) = kacos( kx-wt), x yxt (,) =-wacos( kx-wt), t ja hetkelliseksi tehoksi tulee Kun vielä käytetään relaatioita P( x, t) = FkwA cos ( kx- wt). (.5.3) w =v k ja v = F / m, saadaan P( x, t) = mfw A cos ( kx- wt). (.5.4) Tästä näemme, että energia ei koskaan virtaa aallon etenemissuuntaa vastaan (teho aina positiivinen).

12 9 Funktion cos ( kx- wt) keskimääräinen arvo on /, joten keskimääräiseksi tehoksi saamme Pav = mfw A. (.5.5) Energian siirtymisnopeus on siis verrannollinen amplitudin neliöön ja taajuuden neliöön. Yleistys: P (hitaus) (kimmoisuus) av = w A (.5.6) - Esimerkki: Köyttä ( m = 5. kg/m) jännitetään 8. N:n voimalla. Millä keskimääräisellä teholla köyteen on syötettävä energiaa, jos siihen halutaan synnyttää harmoninen aalto, jonka taajuus on 6 Hz ja amplitudi 6. cm? Ratkaisu: Sovelletaan tulosta (.5.5) - m = 5. kg/m F = 8. N ( N = kg m/s ) w= p f = p 6 /s - A = 6. m Pav = mfw A = kg m» 5W. s s ækg m Nm J ö ç = = = W 3 s s s è ø Esimerkki: Jännitetyssä langassa, jonka lineaarinen massatiheys on.5-3 kg/m, etenee harmoninen aalto éë ùû. y( x, t) =.3mm cos (6.98 m - ) x-(74 s - ) t Millä keskimääräisellä teholla aalto kuljettaa energiaa? Ratkaisu: Keskimääräinen teho yhtälöstä (.5.5) 3 w Pav = mfw A = mv w A = m A, k missä ensin on käytetty tulosta (.4.) F p w w v = ln = =. k p k Aaltofunktiosta luemme: amplitudi -3 A =.3 m kulmataajuus w = 74 s - aaltoluku k = 6.98 m -, ja lineaarinen massatiheys on Lopulta tulee P av = kgm 3 m ms m =.387 W. = mv ja sitten -3 =.5 kg/m. kg m kgm m Nm J Yksikkötarkastelu: m = = = = W. 3 m s s s s s

13 AALTOLIIKKEIDEN YHDISTÄMINEN Kun aalto osuu väliaineen rajapintaan, se heijastuu siitä takaisin joko osittain tai kokonaan. Esimerkiksi äänen osuessa talon seinään se palaa takaisin kaikuna. Missä määrin ja miten takaisinheijastuminen tapahtuu riippuu rajapinnan ominaisuuksista. Väliaineen reunaa kohti etenevä aalto ja jo aikaisemmin väliaineen reunasta takaisin heijastunut aalto voivat esiintyä yhtä aikaa samassa tilassa. Tästä seuraa ilmiöitä, joita sanotaan interferenssiksi. Se miten kaksi (tai useampi) samanaikaista aaltoa poikkeuttaa väliaineen osasia määräytyy ns. superpositioperiaatteesta. Kun systeemissä on kaksi rajapintaa, kuten esimerkiksi molemmista päistään kiinnitetyssä kitaran kielessä, syntyy toistuvia heijastuksia ja osoittautuu, että systeemissä voi edetä vain tietyn taajuiset aallot. Näitä erityisiä taajuuksia ja niihin liittyviä aaltojen muotoja sanotaan systeemin normaalivärähdysmuodoiksi. Nyt tutkimme edellämainittuja ilmiöitä mekaanisten aaltojen tapauksessa. Interferenssi-ilmiöt ovat tärkeitä myös ei-mekaanisilla aalloilla ja valon tapaukseen palaamme tarkemmin myöhemmin.. HEIJASTUMINEN JA LÄPÄISY Tutkitaan aallon heijastumista kahden väliaineen rajapinnasta käyttäen esimerkkinä köydessä etenevää poikittaista aaltoa. Tarkastellaan kahta erilaista tapausta. Kuvassa vasemmalla köyden pää on kiinnitetty, eikä se pääse liikkumaan aallon osuessa siihen. Kuvassa oikealla köyden pää on vapaa ja se pääsee liikkumaan aallon vaikutuksesta ylös-alas-suunnassa. Se ehto miten köysi on kiinnitetty on ns. rajapintaehto (rajaehto, reunaehto, boundary condition). Köyden rajapintaan (seinään, köyden päähän) saapuva pulssi heijastuu (kimpoaa takaisin). Jos pää on kiinnitetty, pulssi palaa takaisin ylösalaisin kääntyneenä. Tämä johtuu seinän köyteen kohdistamasta reaktiovoimasta, joka on yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen kuin saapuvan pulssin seinään kohdistama voima. Pulssin ylösalaisin kääntyminen vastaa vaiheen siirtymistä 8 (puhutaan p :n vaihe-siirrosta). Jos köyden pää on vapaa liikkumaan, siihen ei kohdistu ulkoisia voimia ja heijastunut pulssi ei käänny. Vaihesiirtoa ei siis tapahdu. Kun aalto kohtaa absoluuttisen jäykän seinän, kaikki aallon energia heijastuu takaisin. Yleensä rajapinnat eivät kuitenkaan ole absoluuttisen jäykkiä ja osa aallon energiasta pääsee rajapinnan toiselle puolelle. Osa aallosta siis läpäisee rajapinnan. Viereisessä kuvassa kaksi erivahvuista köyttä on liitetty toisiinsa. Köysien liitoskohta edustaa nyt rajapintaa, jota kohti pulssi saapuu kuvassa (a). Rajapinnassa osa pulssista heijastuu takaisin ja osa menee läpi. Mitä raskaampi jälkimmäinen köysi on sitä vähemmän menee läpi ja

14 3 äärettömän raskaan köyden tapauksessa tilanne vastaa jo edellisen esimerkin seinää. Periodisen aallon tapauksessa läpäisseen aallon - taajuus f ei muutu (helppo ymmärtää) - nopeus v muuttuu, koska m muuttuu - aallonpituus muuttuu yhtälön l =v / f mukaisesti. Kuvassa (yllä) aalto saapuu "kevyemmästä" väliaineesta "raskaampaan", jolloin heijastuneessa aallossa havaitaan p :n vaihesiirto (vrt. köysi kiinnitetty seinään). Jos aalto saapuu raskaammasta väliaineesta kevyempään, vaihesiirtoa ei havaita. Läpimennyt aalto ei koskaan koe vaihesiirtoa. Esimerkki: Köydessä etenee siniaalto y( x, t) = Asin( kx- wt). Aaltoon aiheutetaan (tavalla tai toisella) yht äkkinen 8 asteen vaihesiirto. Osoita, että aalto kääntyy ylösalaisin. Ratkaisu: Vaihesiirto D f tarkoittaa: y( x, t) = Asin( kx- wt+d f ). Tässä D f = p eli 8 ja koska sin( a + b) = sinacos b + cosasin b saadaan y( x, t) = Asin( kx- wt)cos( p) + Acos( kx- wt)sin( p), mistä y( x, t) =-Asin( kx- wt) eli kääntynyt ylösalaisin alkuperäiseen verrattuna. Kuva piirretty ajanhetkellä t = : 4. SUPERPOSITIOPERIAATE Jos useampia aaltoliikkeitä vaikuttaa samanaikaisesti määrättyyn väliaineen pisteeseen, niin pisteen poikkeama tasapainoasemasta saadaan laskemalla yhteen eri aaltoliikkeiden erikseen aiheuttamat poikkeamat. Resultanttiaalto on siis yksittäisten aaltojen summa ja jos esimerkiksi y( xt,) ja y( xt,) edustavat kahden osa-aallon aaltofunktioita, niin kokonaisaaltofunktio on y (,) xt = y(,) xt + y(,) xt. (..) tot Matemaattisesti summautuvuusominaisuus on seurausta aaltoyhtälön (..3) y y = x v t lineaarisuudesta. Lineaarisuus tässä tarkoittaa juuri sitä, että jos y( xt,) ja y( xt,) ovat aaltoyhtälön ratkaisuja, niin myös niiden summa on ratkaisu. Tämä on helposti osoitettavissa sillä y y = ja x v t ja laskemalla nämä yhteen saadaan y y x v t = y y y y x x v t v t josta ( y + y) = ( y + y). x v t Myös summa siis toteuttaa aaltoyhtälön. + = +

15 5 Yksi superpositioperiaatteen seurauksista on se, että kahden aallon kohdatessa ne jatkavat kohtaamisen jälkeen matkaansa täysin muuttumattomina aivan kuin mitään ei olisi tapahtunut. Tässä tarkastelimme aaltojen ns. lineaarista superpositiota. Se on voimassa silloin, kun amplitudi on niin pieni, että väliaineen palauttava voima noudattaa Hooken lakia, ts. on lineaarinen poikkeaman funktio. Jos amplitudi kasvaa suureksi, väliaine menettää elastisuutensa ja superpositioperiaate ei enää ole voimassa. Tästä sinänsä seuraa hyvin mielenkiintoisia ilmiöitä. Esimerkiksi voimakkaan laser-valon vuorovaikuttaessa materian kanssa havaitaan erinäisiä epälineaarisia ilmiöitä. Tällainen ns. epälineaarinen optiikka on yksi modernin optiikan tärkeimmistä tutkimusalueista. Esimerkki: Laske kahden aallon ìy( x, t) =.sin( kx-wt) í îy( x, t) =.9sin( kx- wt+.rad) superpositio eli resultantti(summa-)aalto. Ratkaisu: Lasketaan summa y= y+ y =.sin( a) +.9sin( a +.), missä a = kx- wt sisältää paikka- ja aikariippuvuuden. Tunnetusti sin( a + b) = sinacos b + cosasin b, joten y =.sin( a) +.9sin( a)cos(.) +.9cos( a)sin(.) = sin( a)[. +.9cos(.)] + cos( a).9sin(.) = asin( a) + bcos( a), missä a ja b ovat vakioita. Kun merkitään a= Acos( b ) ja b= Asin( b ) voidaan käyttää uudelleen edellä mainittua trigonometristä identiteettiä ja kirjoittaa y= Asin( a + b), missä A= a + b ja b = arctan( b/ a). Tässä a =. +.9cos(.) =.486 ja b =.9sin(.) =.7573, joten A =.668 ja b =.473. Vastaukseksi kirjoitamme: 6 y=.7sin( kx- wt+.47rad).3 SEISOVA AALTOLIIKE Seisova aalto syntyy superpositioperiaatteen seurauksena silloin, kun annettu aalto esiintyy yhtä aikaa sekä eteenpäin menevänä että takaisin palaavana samassa tilassa samanaikaisesti. Tavallisesti tällainen tilanne havaitaan silloin, kun aalto jossakin etenemisensä pisteessä kokee heijastumisen. Tarkastellaan siis kahta vastakkaisiin suuntiin etenevää harmonista aaltoa, joilla on sama amplitudi, taajuus ja aallonpituus: Resultanttiaalloksi tulee y( x, t) = Asin( kx- w t), (.3.) y( x, t) = Asin( kx+ wt). (.3.) yxt (,) = y(,) xt + y(,) xt = A[sin( kx - wt) + sin( kx + wt)]. (.3.3) Kun tässä kirjoitetaan ja sovelletaan identiteettiä saadaan a = kx+ wt ja b = kx-wt sina + sin b = sin ( a + b)cos ( a - b), y( x, t) = (Asin kx)coswt, (.3.4) joka on seisova aalto. Aalto on esitetty kuvassa alla.

16 7 Suluissa oleva osa (Asin kx ) edustaa aallon ajasta riippumatonta amplitudia, joka riippuu vain paikasta x. Se kertoo, että kaikilla ajanhetkillä köysi muodostaa sinikäyrän, mutta toisin kuin etenevässä aallossa, sinikäyrä pysyy nyt paikoillaan. Se kylläkin värähtelee, hengittää, tekijän cosw t mukaisesti. Kaikki köyden osaset värähtelevät harmonisesti samalla taajuudella. +A -A Solmut (N = node) Seisovan aallon amplitudi on nolla, kun sinkx =, ts. kun p kx= x = mp, missä m =, ±, ±, K l eli siis paikoissa x= m l. (.3.5) Näissä paikoissa poikkeama y on nolla kaikilla ajanhetkillä. Paikkoja sanotaan seisovan aallon solmupisteiksi (nodes, N) tai solmukohdiksi. Solmupisteiden välimatka on l /. Solmupisteissä osa-aallot kumoavat aina toisensa. Kuvut (Antinode) Seisovan aallon amplitudilla on maksimi, kun sin( kx ) =±, ts. kun p p kx= x= + mp, missä m =, ±, ±, K l eli paikoissa æ öl x= ç m+. (.3.6) è ø 8 Näissä paikoissa, solmukohtien puolessa välissä l / :n välein, osaaallot vahvistavat toisiaan ja synnyttävät ns. kuvut. Kupu maksimissa Seisovan aallon värähdellessä ajan funktiona sen poikkeama tasapainosta on maksimissaan, kun ajasta riippuva osa cosw t saa maksimiarvonsa, ts. cosw t =±. Näin käy, kun p wt = p ft = t = mp, missä nyt m =,,, L T eli ajanhetkillä T t = m æ ö ç è ø. (.3.7) Köysi suorana Seisova aalto on kaikkialla nolla, kun cosw t =, ts. kun siis kun æ ö wt = ç m+ p, missä m =,,, L è ø Näillä ajanhetkillä köysi on täysin suora. T t = æ ç m+ öæ ç ö è øè ø. (.3.8) Toisin kuin etenevät aallot, seisovat aallot eivät kuljeta energiaa. Tämä on helppo todeta esimerkiksi laskemalla aallon keskimääräinen teho lähtien hetkellisen teho lausekkeesta (.5.3) ja käyttäen aaltofunktiona seisovaa aaltoa (.3.4). Esimerkki: Positiivisen x-akselin suuntaisen köyden toinen pää on kiinnitetty origoon ( x=, y= ). Köydessä etenee negatiivisen x- akselin suuntaan siniaalto nopeudella 84. m/s, amplitudilla.5 mm ja taajuudella Hz. Tämä aalto heijastuu kiinnityspisteestä x =. Heijastuneen ja tulevan aallon superpositiona syntyy seisova aalto.

17 9 (a) Esitä seisovan aallon aaltofunktio. (b) Paikallista ne köyden pisteet, jotka eivät liiku ollenkaan. (c) Paikallista ne köyden pisteet, jotka liikkuvat eniten ja laske vastaavat maksimipoikkeamat, -nopeudet ja -kiihtyvyydet. Ratkaisu: Alkuperäisen aallon ominaisuudet: -3 A =.5 m, - - w = p f = p s = 754s - p p f w 4ps - k = = = = = 8.98m l v v 84.m/s l v 84.m/s = = =.7m f s - (a) Seisova aalto (.3.4) y( x, t) = (Asin kx)coswt = (3. m)sin(8.98m x)cos(754s t) On vielä varmistettava, että tällä on solmu kohdassa x = : -3 - y(, t) = (3. m)sin() cos(754s t) =, ts. solmu on!! (b) Köysi ei liiku solmukohdissa (.3.5) x= m l =,.35m,.7m,.5m,... (c) Köysi liikkuu eniten kupukohdissa (.3.6) æ öl x= ç m+ =.75m,.55m,.875m,... è ø Kupukohdissa sin( kx ) =±, joten y( t) =± Acoswt v y( t) = dy / dt =mawsinwt ay( t) = dvy/ dt =maw coswt Näiden maksimiarvot saadaan, kun cosw t =± ja sinw t =± : - y = A= (pieni) v y ay 3 3. m max = Aw =.6m/s 3 (suuri) max = Aw = 7m/s (valtava, vrt. g) max Lisäpohdintaa: Miten seisovan aallon yhtälö (.3.4) pitäisi kirjoittaa, jos köyden pää olisi kiinnitetty pisteeseen ( x= x, y= )? Vastaus: y( x, t) = [Asin k( x- x)]cosw t..4 NORMAALIMUODOT Edellisessä tarkastelussa vain toinen köyden päistä oli kiinnitetty ja köysi oletettiin (periaatteessa) äärettömän pitkäksi. Tässä tapauksessa systeemiin sinänsä ei rajoittanut syntyvän seisovan aallon aallonpituutta. Olipa tulevan aallon aallonpituus mikä tahansa aina syntyy seisova aalto. Tarkastellaan nyt miten tilanne muuttuu, kun köyden molemmat päät on kiinnitetty. Molemmista päistä kiinnitettyjä köysiä esiintyy paljon musiikki instrumenteissa, esimerkiksi kitarassa. Kun kitaran kieli saatetaan värähtelemään aalto etenee edestakaisin heijastuen kiinnitetyistä päistä. Nytkin muodostuu seisova aalto eri suuntiin etenevien aaltojen superpositiona. Molemmista päistään kiinnitettyyn köyteen syntyvällä seisovalla aallolla täytyy olla solmupiste köyden molemmissa päissä. Toisaalta, edellisessä kappaleessa totesimme, että seisovan aallon solmupisteet ovat l /:n päässä toisistaan. Tästä seuraa, että köyden pituuden L täytyy olla l /, tai ( l / ), tai 3( l / ), jne.... Saamme siis ehdon L= n l, ( n =,, 3, K). (.4.)

18 3 Tämä tarkoittaa sitä, että jos köyden molemmat päät on kiinnitetty, köysi voi värähdellä vain ehdon (.4.) mukaisilla aallonpituuksilla. Aallonpituudet ovat L l n =, ( n =,, 3, K). (.4.) n Neljä ensimmäistä tämän yhtälön mukaista ns. normaalivärähdysmuotoa on esitetty kuvassa alla. Aallonpituuksia l n vastaavat taajuudet saadaan puolestaan yhtälöstä v v fn = = n ( n =,, 3, K). (.4.3) l L n 3 Matalin taajuus f vastaa suurinta aallonpituutta ja se saadaan, kun n =. Tätä taajuutta sanotaan perustaajuudeksi (fundamental frequency). Kaikki muut taajuudet ovat perustaajuuden monikertoja f, 3 f, 4 f,... ja niitä sanotaan harmonisiksi (harmonics) tai musiikkipiireissä yliääniksi (overtones). Perustaajuus f on ensimmäinen harmoninen, taajuus f = f on toinen harmoninen tai ensimmäinen yliääni, f3 = 3 f on kolmas harmoninen tai toinen yliääni, jne. Jos köysi on kiinnitetty pisteissä x = ja x= L, niin sen n: nnen seisovan aallon aaltofunktioksi tulee (katso.3.4) y ( x, t) = A sin( k x)cos( w t), (.4.4) n sw n n missä A sw on seisovan aallon amplitudi ( = A), k n = p / ln ja w = p f. n n Värähtelevän systeemin normaalimuoto (normal mode) on sellainen liike, missä systeemin kaikki hiukkaset värähtelevät harmonisesti samalla taajuudella siten, että kaikki hiukkaset ohittavat tasapainoasemansa samanaikaisesti ja toisaalta ovat poikkeamansa maksimissa samanaikaisesti. Molemmista päistä kiinnitetty köysi värähtelee siis normaalimuotoisesti ja esimerkiksi edellisen sivun kuva esittää normaalimuotoja arvoilla n =,, 3 ja 4. Köydessä (esim. kitaran kielessä) eri normaalimuodot värähtelevät tavallisesti yhtäaikaa. Värähtely voi siis olla hyvinkin monimutkaista. Eri normaalimuotojen virittyminen värähtelemään riippuu alkuehdoista, ts. siitä miten kieli alun perin saatetaan värähtelemään.

19 33 Toisaalta mikä tahansa köyden liikemuoto voidaan esittää normaalimuotojen lineaarikombinaationa. Monimutkaisen värähtelyn purkamista eri normaalimuodoiksi sanotaan Fourieranalyysiksi. Edellisen sivun kuvassa (alakuvassa) L : n pituista kitaran kieltä näpäytetään etäisyydeltä L /4 vasemmasta reunasta. Kieleen syntyvä monimutkainen värähtely voidaan esittää sinimuotoisten normaalimuotojen kombinaationa (yläkuva). Esimerkki: Erään jättiläissellon kielen pituus on 5. m, lineaarinen massatiheys 4. g/m ja perustaajuus. Hz (alin ihmisen kuulema taajuus). Laske a) aallon nopeus kielessä ja kielen jännitys, b) toisen harmonisen taajuus ja aallonpituus ja c) kielen synnyttämän ääniaallon taajuus ja aallonpituus, kun kieli värähtelee perustaajuudellaan ja toisella harmonisellaan. Oleta äänen nopeudeksi ilmassa 344 m/s. Ratkaisu: Värähtelevästä kielestä on annettu seuraavat tiedot: L = 5.m, -3 m = 4. kg/m ja f =. Hz. a) Kielen pituus on 5. m, joten yhtälön (.4.) l n = L/ n mukaan perustaajuutta ( n = ) vastaava aallonpituus on. m. Nyt aallon nopeus kielessä saadaan laskemalla v= lf=.m.hz = m/s ja jännitys yhtälöstä (.4.) ratkaisemalla -3kg æ mö F = mv = 4. ç = 6N m è s ø b) Toisen harmonisen ( n = ) taajuus on yhtälön (.4.3) mukaan f = v m/s 4.Hz f L =.m = = ja aallonpituus yhtälön (.4.) mukaan 34 l = L / = 5.m. c) Kieli hakkaa ilmaa sillä taajuudella, jolla se värähtelee, joten taajuus ilmassa on sama kuin kielessä. Perusvärähdys f =. Hz Aallonpituus ilmassa l = v 344m/s 7.m f =.Hz = Toinen harmoninen f = 4. Hz Aallonpituus ilmassa l = v 344m/s 8.6m f = 4.Hz =.5 FOURIER-SARJOISTA Kappaleessa. totesimme, että mikä tahansa jaksollinen aalto (myös ei-harmoniset) voidaan esittää harmonisten sini- ja kosiniaaltojen lineaarikombinaationa. Jaksollisen aallon purkamista sen harmonisiin komponentteihin sanotaan Fourier-analyysiksi. Fourier-sarja: Olkoon y( x-v t) mikä tahansa rajoitettu jaksollinen aalto, jonka aallonpituus on l. Voidaan osoittaa (ei johdeta tässä), että sarja A ì é p ù é p ùü + å íamcos m ( x- t) + Bmsin m ( x- t) ý m= î ê ë l v ú û ê ë l v ú ûþ (.5.)

20 35 suppenee kohti funktiota y( x-v t) kaikissa pisteissä, joissa funktio on jatkuva. Epäjatkuvuuskohdissa sarja suppenee kohti funktion toispuoleisten raja-arvojen keskiarvoa. Sarjassa harmonisten termien amplitudit A m ja periodin ( x x + l) ulottuvista integraaleista x + l x B m saadaan yli A = y( x) dx l ò, (.5.) x + l æ p ö Am = y( x)cos m x dx l ò ç è L ø, (.5.3) x x + l æ p ö Bm = y( x)sin m x dx l ò ç è L ø. (.5.4) x Näissä yx ( ) = yxt (, = ). Jos siis funktio yx ( ) tunnetaan, amplitudit A, A m ja B m voidaan laskea ja Fourier-analyysi on suoritettu. Esimerkki: Tee Fourier-analyysi suorakaideaallolle ì M ï, kun - l/ < x <-l/ 4 ï yx (,) = í, kun - l/ 4 x + l/ 4 ï, kun + l/ 4 < x<+ l/ ï ïî M 36 Analyysi: Kannattaa valitan x =- l /, jolloin integroimisväliksi tulee - l/ l/, ts. se sijoittuu symmetrisesti origon suhteen. Edelleen, koska yx ( ) on parillinen funktio ja sini-funktio on pariton, integraali (.5.4) on aina nolla. Riittää, kun laskemme integraalit (.5.) ja (.5.3). Siis ensin l/ l/4 l A = y( x) dx dx l ò = l ò = = l -l/ -l/4 ja sitten l/ l/4 æ p ö æ p ö Am = y( x)cosç m x dx = cosç m x dx l è l ø l è l ø ò ò. -l/ Tässä hyödynnettiin tulon y cos... parillisuutta. Edelleen tulee 4 l l/4 æ p ö æ p ö Am = sin ç m x = sin ç m l m p è l ø mp è ø. Ensimmäisille A =, A Am -kertoimille saadaan: = p, A =, A =- 3 3 p, A =, A = p,... Jaksollinen suorakaideaalto voidan siis esittää harmonisten kosiniaaltojen summana (.5.) æ p ö é ù y( x, t) = + åç sin m cos m ( x- t) m= mp ê v è ø ë p û ú é æp ö æ p ö = + cos ( x t) cos 3 ( x t) p ê ç -v - ç -v ë è l ø 3 è l ø æ p ö æ p ö ù + cosç 5 ( x-vt) - cosç 7 ( x- vt) + L 5 l 7 l ú è ø è ø û

21 37 3 ÄÄNI Yksi ihmisen kannalta tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves). Tarkastelemme nyt ääntä lähinnä ilmassa, mutta yleisesti ottaen ääni voi edetä myös muissa kaasuissa, nesteissä ja myös kiinteissä aineissa. Tässä kappaleessa tarkastelemme ensin yleisesti pitkittäisten aaltojen ominaisuuksia ja tämän jälkeen keskitymme ääniaaltoihin ja erilaisiin kuulemiseen liittyviin ilmiöihin. 3. PITKITTÄISEN AALLON NOPEUS JA ENERGIA Kuten poikittaisen aallon tapauksessa myös pitkittäisen aallon nopeus riippuu väliaineen fysikaalisista ominaisuuksista. Tarkastellaan nyt pitkittäisen aallon nopeutta sylinterissä olevassa nesteessä (tai kaasussa). Johto on täysin analoginen kappaleessa.4 esitetyn johdon kanssa. Nesteen tiheys olkoon r ja sylinterin poikkipinta-ala A. Tasapainotilanteessa neste on levossa ja vakiopaineessa p. Hetkellä t = mäntään kohdistetaan voima ( D p) A ja mäntä lähtee liikkeelle vakionopeudella v y. Syntyy pulssi, joka etenee kuvassa oikealle nopeudella v. 38 Tilanne ajanhetkellä t on esitetty kuvassa (b). Pisteen P vasemmalla puolella nesteen nopeus on v y ja oikealla puolella vielä nolla. Mäntä on liikkunut matkan v ja piste P matkan v t. y t Sovelletaan nytkin impulssiteoreemaa. Liikkuvaan nesteosaan vaikuttava voima on ( D p) A ja sen aiheuttama liikemäärän muutos, ajassa t, on ( rvta) v y -, missä ( rv ta) on nesteosan massa. Tulee siis ( D p) At= ( rvta) v y. Kirjoitetaan seuraavaksi liikkuvaan nesteosaan kohdistuva lisäpaine D p nesteen tilavuusmodulin B (bulk modulus tai modulus of compression eli puristuvuuskerroin) avulla. Aineen tilavuusmoduli B (Pa = N/m ) kertoo miten paljon paine muuttuu ( D p ), kun suhteellista tilavuutta muutetaan ( D V / V ). Se määritellään yhtälöllä ædv ö D p=-bç è V ø. Alkuperäinen tilavuus Av t on pienentynyt määrällä -( Avyt) vy D p=- B = B At v v. Tulee v y B At = ( rvta) vy, v ja kun tästä ratkaistaan v, saadaan Av y t, joten B v =. (3..) r Pitkittäisen aallon nopeus nesteessä (kaasussa) riippuu siis nesteen tilavuusmodulista B ja tiheydestä r.

22 39 Pitkittäisen aallon nopeus kiinteässä aineessa saadaan myös yhtälöstä (3..), kunhan nesteen tilavuusmoduli korvataan kiinteän aineen kimmomodulilla Y (Young s modulus): Y v =. (3..) r Kannattaa huomata nopeuskaavojen (.4.), (3..) ja (3..) samankaltaisuus. Kaikkien kaavojen osoittajassa esiintyy väliaineen kimmoisuutta kuvaava ominaisuus, joka kertoo palauttavan voiman suuruudesta. Nimittäjissä kaikilla on väliaineen hitautta kuvaava ominaisuus. Vastaavaa analogiaa voidaan käyttää myös pitkittäisen aallon energiansiirtonopeuteen. Kappaleessa.5 johdimme köydessä etenevän poikittaisen aallon keskimääräiselle teholle lausekkeen Pav = mfw A, missä F on köyden jännitysvoima (edustaa kimmoisuutta) ja m massa pituusyksikköä kohti (edustaa hitautta). Vastaava suure pitkittäisille aalloille nesteissä tai kaasuissa on keskimääräinen teho pinta-alayksikköä kohti eli intensiteetti I, joka saadaan korvaamalla m r ja F B: I B A josta kiinteille aineille korvaamalla B = r w, (3..3) Y: I = ryw A. (3..4) Esimerkki: Laivan kaikuluotain käyttää vedessä eteneviä ääniaaltoja. Laske äänen nopeus ja aallonpituus 6 Hz:n taajuiselle äänelle vedessä. Veden ( C) tilavuusmoduli on B = Pa ja tiheys r =. kg/m 3. Ratkaisu: 9.8 N/m Nm 3 3. kg/m kg B v = = = = 48m/s r 4 l = v = m/s = m = 5.64m f 6 /s Esimerkki: Matalahkon puheäänen taajuus on noin Hz ja intensiteetti noin 3-6 W/m. Laske äänen nopeus ja amplitudi, 5 kun ilman tilavuusmoduli on.4 Pa ja tiheys. kg/m 3. Ratkaisu: Nopeus: B v = = = = r 5.4 N/m m m kg/m s s Amplitudi yhtälöstä (3..3): I A = rb( p f) -6 Tässä: I = 3 W/m r =. kg/m 3 5 B =.4 N/m f = /s joilla -9 A = m =.9mm!! (aika pieni) Yksikkötarkastelu: W/m Ws /m Js/m Nms = = = = m = m kg N kg kg kg 3 4 m m s ms ms

23 4 3. ÄÄNEN NOPEUS IDEAALIKAASUSSA / Yhtälö (3..) v = ( B / r) pätee pitkittäisille aalloille kaasuissa. Tarkastellaan nyt miten yhtälöä voidaan kehittää ideaalikaasuissa. Tilavuusmodulin B tarkka (infinitesimaalinen) määritelmä on dp B=- V, dv joten nyt on selvitettävä miten ideaalikaasun paine riippuu tilavuudesta. Oletetaan, että äänen eteneminen ideaalikaasussa on adiabaattinen prosessi, ts. lämmön vaihtoa puristumisten ja laajentumisten aikana ei ehdi tapahtua. Näissä olosuhteissa paineen p ja tilavuuden V välillä vallitsee yhteys (tarkemmin termofysiikan kurssilla) pv g = vakio, (3..) missä g = Cp / CV on ominaislämpökapasiteettien (vakiopaineessa ja vakiotilavuudessa) laaduton suhde. Derivoimaalla V:n suhteen dp V g pv g - + g =, dv josta g - dp g pv g p =- =-. g dv V V Tilavuusmodulille saamme B = g p ja äänen nopeudeksi tulee Edelleen ideaalikaasun tilanyhtälöstä m pv = nrt = RT M saamme tiheydelle r = m pm V = RT, g p v =. (3..) r jonka avulla päädytään yhtälöön 4 g RT v =, (3..3) M missä R on yleinen kaasuvakio, M moolimassa ja T lämpötila. Esimerkki: Laske äänen nopeus ilmassa ( C), kun ilman moolimassa on 8.8 g/mol ja g =.4. Ratkaisu: g RT v = M missä g =.4 R = 8.35 J mol - K - T = 93 K ( C) -3 M = 8.8 kg/mol J tulee v = = 344 m/s kg 3.3 ÄÄNIAALLOT Luonnon äänet leviävät äänilähteestä kaikkiin suuntiin moninaisilla amplitudella. Yksinkertaiset ääniaallot ovat kuitenkin sinimuotoisia (harmonisia) aaltoja, joilla on yksikäsitteinen taajuus, amplitudi ja aallonpituus. Ihminen havaitsee ääntä taajuusalueella Hz Hz. Aluetta sanotaan kuuloalueeksi (audible range). Kuuloalueen yläpuolinen taajuusalue on ultraäänialue (ultrasonic) ja alapuolinen infraäänialue (infrasonic). Tarkastellaan ideaalista positiivisen x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa ja kirjoitetaan sen aaltofunktio muodossa

24 43 y( x, t) = Asin( kx- w t). (3.3.) Tässä on muistettava, että ääni on pitkittäistä aaltoliikettä ja poikkeamat tapahtuvat aallon etenemissuunnassa. Kaavassa (3.3.) poikkeama-akseli y on siis samansuuntainen x-akselin kanssa. Amplitudi A on ilmaosasten poikkeama-amplitudi. Ääniaaltoja voidaan kuvata myös paineen vaihteluina ilmanpaineen p a molemmin puolin. Ihminen kuulee nimenomaan paineen vaihtelut, joten on hyödyllistä esittää (3.3.) niiden avulla. Kuvatkoon pxt (,) äänen paineen vaihtelua pa : n ympäristössä, ts. kokonaispaine on pa + pxt (,). Sitä, miten paineen vaihtelu pxt (,) ja hiukkasten poikkeamat yxt (,) riippuvat toisistaan, selvitellään viereisen kuvan avulla. Kuvitteellinen ilmassa oleva sylinteri on x-akselin suuntainen ja sen poikkipinta-ala on S. Tasapainotilassa sylinterin pituus on D x. Kohdalle tuleva ääniaalto siirtää sylinterin vasemman pään paikasta x paikkaan y ja oikean pään paikasta x+d x paikkaan y. Sylinterin tilavuus V = SD x muuttuu määrän V D V= Sy ( - y) = [ yx ( +Dxt,)- yxt (,)], Dx josta D V [ yx ( +Dxt,)- yxt (,)] =. V Dx Muutokset ovat pieniä ja rajalla, kun D x, saamme dv yx ( +Dxt,)- yxt (,) yxt (,) = lim =. (3.3.) V D x D x x 44 Seuraavaksi käytämme tilavuusmodulin B määritelmää (katso sivu 4) B =- dp /( dv / V ). Tässä dp on paineen muutos, joka nyt on pxt (,). Saamme siten dv yxt (,) p(,) x t =- B =-B. (3.3.3) V x Kun tähän sijoitetaan (3.3.) y( x, t) = Asin( kx- w t), tulee Käyttämällä identiteettiä p( x, t) = -BkAcos( kx - w t). sin( a - p / ) =-cosa tulos saadaan muotoon p( x, t) = BkAsin( kx -wt - p / ). (3.3.4) Seuraavassa kuvassa ilmaosasten poikkeamat yxt (,) ja paineen vaihtelut pxt (,) äänessä on piirretty samaan kuvaan (ajan hetki kiinnitetty). Havaitaan, että käyrien vaihe-ero on /4 aallonpituudesta. Kun poikkeamalla on maksimi, paine on nollassa (tasapainoarvossaan p a ) ja päinvastoin, ts. kun paine on maksimissa, poikkeama on nollassa. Tuloksesta (3.3.4) nähdään, että painevaihtelun maksimiarvo on pmax = BkA. (3.3.5) Tämä on ns. paineamplitudi (pressure amplitude).

25 45 Esimerkki: Sivulla 4 laskimme tavallisen puheäänen amplitudiksi.9 m m. Laske vastaava paineamplitudi. Ratkaisu: 5 Tunnetaan: B =.4 N/m -6 A =.9 m v = 344 m/s f = /s Lasketaan: w pmax = BkA= B A= p BfA v v = N/m =.5 Pa Korva on herkkä paineen vaihteluille. Vertaa tulosta ilman paineen tasapainoarvoon p a = 3 Pa (.3 bar). 3.4 ÄÄNEN INTENSITEETTI Aallon intensiteetti I (intensity) on keskimääräinen energia, jonka aalto kuljettaa pinta-alayksikön läpi aikayksikössä: J/(m s). Intensiteetti on siis teho pinta-alayksikköä kohti: W/m. Ääniallon intensiteetille ilmassa pätee sama yhtälö (3..3) mikä muillekin kaasuille tai nesteille, ts. I B A missä r on tiheys. Korva havaitsee paineen vaihtelut, joten käyttökelpoisempi esitysmuoto saadaan paineamplitudin p max avulla. Koska w = v k, A = p /( Bk) ja max v = B / r, intensiteetille (3.4.) saadaan = r w, (3.4.) æ pmax ö B pmax pmax ç I = rb( kv ) = rb =. (3.4.) è Bk ø r B r B 46 Lisäksi voidaan osoittaa, että pistemäisestä äänilähteestä lähtevän äänen intensiteetti on kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön. Tämä on seurausta energian säilymislaista seuraavasti: Olkoon tasaisesti kaikkiin suuntiin lähettävän pistelähteen ääniteho P. Etäisyydellä r teho on jakautunut kuvitellun r -säteisen pallon pintaalalle 4p r. Intensiteetti etäisyydel- lä r on siten I teho P = =. pinta-ala 4pr Vastaavalla tavalla todetaan, että intensiteetti etäisyydellä r on I = P/(4 p r). Molemmissa tapauksissa teho P on sama, joten Tästä seuraa 4prI= 4prI. I I r =. (3.4.3) r Intensiteetti I millä tahansa etäisyydellä r on kääntäen verrannollinen r :een. Desibeliasteikko Korva on herkkä hyvin laajalle intensiteettiskaalalle, aina heikosta - W/m :stä valtavaan yhteen W/m :iin. Tämän vuoksi on järkevää käyttää intensiteetille logaritmista asteikkoa. Äänen intensiteettitaso b (sound intensity level) määritellään

26 47 b = (db)log I, (3.4.4) I missä vertailuintensiteetiksi I on valittu - W/m, joka vastaa suurinpiirtein ihmisen kuulokynnystä (threshold of hearing) taajuudella Hz. Kaavassa I on tutkittavan äänen intensiteetti ja log tarkoittaa -kantaista logaritmia. Desibeli (db) on (/)-osa yksiköstä beli, joka on nimetty puhelimen keksijän Aleksander Graham Bell in mukaan. Kuulokynnystä ( Hz) vastaavan äänen intensiteetti on - W/m ja se vastaa intensiteettitasoa on db. Intensiteetti W/m vastaa intensiteettitasoa db, joka on kuulemisen kipukynnys (threshold of pain). Esimerkki: Sivulla 45 laskimme, että tavallisessa puheäänessä paineen vaihtelu on luokkaa.5 Pa. Laske intensiteetti, kun ilman tiheys on. kg/m 3 5 ja tilavuusmoduli.4 Pa. Mikä on vastaava intensiteettitaso? Ratkaisu: pmax Intensiteettiyhtälöön (3.4.) I = rb sijoitetaan p max =.5 Pa 5 B =.4 N/m r =. kg/m N m ja lasketaan: I = 3.8 = W/m. 4 m kgn Intensiteettitaso (3.4.4):stä -6 I 3.8 b = (db)log = (db)log = 65 db - I 48 Esimerkki: Kuinka paljon intensiteettitaso muuttuu, kun etäisyys pistelähteestä kaksinkertaistuu? Ratkaisu: Olkoot etäisyydet r ja r = r, joten (3.4.3):sta I ær ö = I ç r = è ø 4 ja intensiteettitason muutos on é I I ù é I/ I ù D b = b - b = (db) êlog - log (db) log I I ú= ê I/ I ú ë û ë û é I ù - = (db) êlog = (db) élog(4 ) ù I ú ë û ë û =- (db)log 4 =- (db).66 =- 6. db 3.5 SEISOVAT ÄÄNIAALLOT JA NORMAALI- MUODOT PILLISSÄ Kaasussa (nesteessä) etenevää pitkittäistä aaltoa voidaan kuvata joko paineen vaihteluina tai kaasuhiukkasten (osasten) poikkeamana tasapainosta. Kappaleessa 3.3 osoitimme, että kun paineella on maksimi, niin poikkeama on nollassa ja päinvastoin. Tämän perusteella on ilmeistä, että seisovan ääniaallon tapauksessa käy niin, että kun paineella on kupukohta niin poikkeamalla on solmukohta ja päinvastoin, ts. paineen solmukohdassa poikkeamalla on kupu. Pohditaan seisovan aallon olemusta putkessa olevassa kaasussa. Putken päät voivat olla avoimia tai suljettuja. Putken sisällä putken päähän saapuva ääniaalto heijastuu takaisin putkeen ja muodostaa siellä jo olevan aallon kanssa seisovan aallon (vrt. kappale.3). On kaksi mahdollisuutta:

27 49. Jos heijastuminen tapahtuu suljetusta putken päästä, hiukkasten poikkeamat ovat (pakostakin) nollia ja putken päässä on poikkeaman solmukohta ja paineen kupukohta.. Jos heijastuminen tapahtuu avoimesta putken päästä, paine on ulkoilman paine, ts. putken päässä paineella on solmukohta ja poikkeamalla kupukohta. Lisäksi muistetaan, että seisovassa aallossa kuvut ja solmut esiintyvät l /:n välein. Esimerkki: Kovaääninen (speaker) on suunnattu kohti seinää (ks. kuva). Millä etäisyyksillä seinästä kovaäänisen ja seinän välissä ääntä ei kuulla? Kovaäänisen lähettämän äänen taajuus on Hz ja äänen nopeus ilmassa 344 m/s. Ratkaisu: Korva kuulee paineen vaihtelun, ei ilmaosasten poikkeamia. On siis etsittävä kovaäänisen ja seinän välissä olevassa ilmapatsaassa (ks. kuva) esiintyvän seisovan aallon paineen solmukohdat. Näissä kohdissa paine ei vaihtele, joten ääntä ei kuulla. Huomaa, että kuvassa yllä symbolit N (solmu) ja A (kupu) viittaavat ilmaosasten poikkeamiin, ei paineen vaihteluihin. Paine käyttäytyy viereisen kuvan mukaisesti. Suljetussa päässä (siis seinässä) paineella on kupu. Tässä aallonpituus on l = v 344 m/s.7 f = /s = m, joten kuvan perusteella ääntä ei kuulu kohdissa:. solmu l / 4 =.43 m seinästä,. solmu 3 l / 4 =.9 m seinästä, 3. solmu 5 l / 4 =.5 m seinästä, jne... 5 Urkupillit ja puhallinsoittimet Pitkittäisten seisovien aaltojen tärkeä sovellutusalue on puhallinsoittimet ja erilaiset (urku)pillit. Urkupillejä on periaatteessa kahdenlaisia: avoimia ja suljettuja. Vasemmanpuoleinen kuvasarja alla esittää avoimia pillejä ja oikeanpuoleinen suljettuja. Avoimessa pillissä molemmat päät (huomaa myös vasen pää) ovat avoimia. Suljetussa pillissä toinen pää on suljettu ja toinen on avoin. Kuvissa punaiset käyrät esittävät ilmahiukkasten poikkeamia. Kuten edellä todettiin pillin avoimessa päässä poikkeamalla on kupu ja suljetussa päässä solmu. On huomattava, että käyrät ovat puhtaasti matemaattisia esityksiä. Todellisuudessa ilmaosasten poikkeamat ovat pitkittäisesti pillin suunnassa, ei poikittain niin kuin käyrät on piirretty. Seisovassa aaltoliikkeessä solmukohdan etäisyys viereisestä kupukohdasta on l /4. Suljetun pillin pisin mahdollinen aallonpituus, kuva (a) oikealla, on siten l = 4L, missä L on pillin pituus. Vastaavaksi taajuudeksi laskemme f = v / l = v /(4 L).

28 5 Vastaavat tarkastelut johtavat tuloksiin: Avoin pilli: L l n =, ( n =,, 3, K) (3.5.) n Suljettu pilli: fn = n v. ( n =,, 3, K) (3.5.) L 4L l n =, ( n =, 3, 5, K) (3.5.3) n fn = n v 4. ( n =, 3, 5, K) (3.5.4) L Avoimella pillillä arvo n = vastaa perustaajuutta, n = toista harmonista (ensimmäistä yliääntä) jne. Myös suljetulla pillillä n = vastaa perustaajuutta, mutta nyt parilliset harmoniset puuttuvat. Vain parittomat harmoniset 3 f, 5 f jne. ovat mahdollisia. Esimerkki: Suljetun urkupillin perustaajuus on Hz. Pillin toisen yliäänen taajuus on sama kuin erään avoimen pillin toisen yliäänen taajuus. Kuinka pitkiä pillit ovat? Äänen nopeus ilmassa on 344 m/s. Ratkaisu: Suljetun pillin pituus L S : n = : v v 344 m/s f = Þ L S = = =.399m = 39 cm. 4 L S 4 f 4 /s Suljetun toinen yliääni: 5 f5 = v 4L S (n = 5) Avoimen toinen yliääni: 3 f3 = v L A (n = 3) Yhtä suuret, joten 5v 3v = Þ LA = LS = LS 4LS LA 5 5 =.4699m = 47 cm HUOJUNTA Äänen huojunta (beats) havaitaan äänen amplitudin (ja siten myös voimakkuuden) säännöllisenä vaihteluna. Huojuntaa esiintyy kun ääni syntyy kahden, lähes samataajuisen äänen summana. Esimerkkinä kaksi äänirautaa, joiden taajuudet ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos ääniraudat soivat yhtä aikaa, korva ei havaitse taajuuseroa ja kuullaan vain yksi ääni. Pieni taajuusero aiheuttaa kuitenkin äänen voimakkuuden säännöllisen vaihtelun. Tarkastellaan kahta x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa (huomaa esitystapa) y( xt, ) = Asin( wt-kx) y( xt, ) = Asin( w t-kx) ja kuunnellaan niiden summaa kiinnitetyssä kohdassa x = : y ( t) = y ( t) + y ( t) = Asin( wt) + Asin( w t). tot Tässä nyt w ¹ w, mutta kuitenkin niin, että w» w. Koska pätee tulee [ ] [ ] sina + sin b = sin ( a + b) cos ( a - b),

29 53 Edellä tulos annetaan kulmataajuuksien w avulla. Varsinaisten taajuuksien f avulla kirjoitetaan ( w = p f ) [ ] ( w ± w ) t = p ( f ± f ) t, josta nähdään, että itse äänen taajuus on ( f + f )» f» f, joka on lähes sama kuin alkuperäiset taajuudet. Amplitudin vaihtelutaajuus on ( f - f ), joka on pieni, koska f» f. Korva kuulee kaksi huojahdusta yhden amplitudin jakson aikana (ks. kuva edellisellä sivulla), joten huojuntataajuudeksi (beat frequency) saadaan f - f, (3.6.) missä itseisarvomerkit tarvitaan varmuuden vuoksi, koska emme tiedä kumpi alkuperäisista taajuuksista on suurempi. Esimerkki: Kuvassa alla yhdistetään kaksi aalto, joiden taajuudet ovat f = 8 Hz (punainen) ja f = 6 Hz (sininen). Alakuva esittää niiden summaa. Alussa ( t = ) osa-aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa ja kumoavat toisensa. Summa-aallon amplitudi on minimissä. Ajan kuluessa aallot kehittyvät hieman eri taajuudella ja tulevat samaan vaiheeseen, kun t =.5s. Tällöin summa-aallon amplitudi on maksiminsa. Amplitudi on seuraavan kerran minimissä, kun t =.5s ja maksimissa kun t =.75s, jne Kuvan perusteella amplitudin jaksonaika on. s ja huojunnan jaksonaika.5 s. Vastaavat taajuudet ovat. Hz ja. Hz. Edellä esitetyssä teoriassa johdettujen kaavojen avulla saadaan samat tulokset: amplitudin taajuus: f - f = (8-6) Hz =. Hz huojunnan taajuus: f- f = (8-6) Hz =. Hz Esimerkki: Kitaran kieltä viritetään ääniraudan (94 Hz) avulla. Äänirautaa ja kieltä yhtä aikaa kuunneltaessa kuullaan neljä huojumista sekunnissa. Kuinka suuri kielen jännityksen suhteellinen muutos tarvitaan kitaran virittämiseen? Ratkaisu: - huojuntataajuus f- f = 4Hz - kielen taajuutta on siis muutettava 4 Hz - kielen jännitys F = mv = ml f Jännityksen muuttuessa vähän m ja l luonnollisesti säilyvät ja vain taajuus f muuttuu: df df f f Þ df df F = f, = ml f = ml f = F josta, kun muutokset oletetaan pieniksi (kuten onkin), saadaan DF Df =. F f Kun tähän sijoitetaan D f =± 4 Hz ja f» 94 Hz, saadaan D F 8 =±»±.7, F 94 ts. kielen jännitystä on muutettava noin.7 %. Suuntaa emme tiedä tämän laskun perusteella, mutta se selviää helposti kokeilemalla.

30 DOPPLER - ILMIÖ Ambulannsin lähestyessä katsojaa (kuulijaa) sireenin taajuus kuullaan korkeampana kuin ambulanssin loitotessa. Mistä on kysymys? Kysymys on ns. Doppler-ilmiöstä (Dopplerin ilmiöstä, Doppler effect), jota ensimmäisenä kuvasi itävaltalainen Christian Doppler 8-luvulla. Kun äänilähde ja havaitsija ovat toistensa suhteen liikkeessä, havaitsija kuulee äänen eri taajuisena kuin millä lähde sitä lähettää. 56 Äänilähdettä kohti liikkuva havaitsija kuulee siis korkeamman taajuuden kuin paikoillaan pysyvä kuulija. Liikkuva lähde ja liikkuva havaitsija Oletetaan nyt, että havaitsijan lisäksi myös lähde liikkuu (kuva alla). Olkoon lähteen nopeus v S. Aallon nopeus suhteessa väliaineeseen eli ilmaan on edelleen sama eli v, koska se määräytyy väliaineen ominaisuuksien perusteella, eikä muutu lähteen liikkuessa. Tarkastellaan seuraavassa yksinkertaisuuden vuoksi tapauksia, missä lähde ja havaitsija liikkuvat vain toisiaan yhdistävän janan suuntaisesti. Liikkuva havaitsija Kuvassa äänilähde (S, taajuus f S ) pysyy paikoillaan ja havaitsija (L) liikkuu sitä kohti nopeudella v. Äänen aallonpituus (esim. harjasta harjaan) on l =v / fs, missä v on äänen nopeus ilmassa. Aallon harjat lähestyvät havaitsijaa suhteellisella nopeudella ( v + v ), joten havaitsija kuulee taajuuden f L L v+ vl v + vl æv + vl ö = = =ç f l v/ fs è v ø L S. (3.7.) Aallonpituus ei kuitenkaan enää ole sama kuin edellisessä tapauksessa. Aika, jonka kuluessa lähde lähettää yhden jakson ääntä on jakson aika T = / fs. Tämän ajan kuluessa aalto etenee matkan vt = v / fs kohti kuulijaa ja lähde etenee matkan vst = v S / fs kuulijasta poispäin. Aallonpituus on samassa vaiheessa olevien aallon osien välimatka ja näin siis edellä laskettujen matkojen summa, ts. v vs v + v S l = + =. (3.7.) f f f S S S Havaitsijan kuulemaksi taajuudeksi saadaan nyt f v + v v + v l v v L L = = + L S f S. (3.7.3) Yleinen tapaus: Vastaavilla tarkasteluilla voidaan johtaa yhtälöt kaikille erilaisille tilanteille, joissa havaitsija ja lähde joko liikkuvat eri tavalla toi-

31 57 siinsa nähden tai ovat paikallaan. Yleiseksi Dopplerin ilmiötä kuvaavaksi yhtälöksi voidaan kirjoittaa v S merkkisäännöistä sovitaan yksikäsit- kunhan nopeuksien teisesti. v L ja f L v + v = v + v L S f S, (3.7.4) Merkkisääntö: Äänen nopeus ilmassa on aina positiivinen ja muille nopeuksille positiivinen suunta on suunta havaitsijasta lähteeseen. Esimerkki I: Poliisiauton nopeus on v S = 3 m/s ja sireenin taajuus f S = 3Hz. Laske äänen aallonpituus auton takana ja edessä, kun äänen nopeus ilmassa on v = 34 m/s. 58 Esimerkki II: Minkä taajuisena auton takana levossa oleva havaitsija kuulee sireenin? Ratkaisu: Havaitsija on siis takana levossa, ts. v L =, ja auton nopeus on merkkisäännön mukaan positiivinen. Yleisestä yhtälöstä (3.7.4) laskemme v + vl 34+ fl = fs = 3 Hz = 76 Hz v + vs Esimerkki III: Poliisiauto on levossa ja havaitsija liikkuu siitä poispäin nopeudella vl = 3m/s. Minkä taajuuden havaitsija nyt kuulee? Ratkaisu: Aallonpituus takana venyy. Yhtälöstä (3.7.) saadaan v+ vs (34 + 3) m/s 37 lbehind = = = m =.3 m 3 /s 3 f S Aallonpituus edessä vastaavasti puristuu: v-vs (34-3) m/s 3 lin front = = = m =.3 m f S 3 /s 3 Ratkaisu: Nyt merkkisäännön mukaan v L on sijoitettava yhtälöön (3.7.4) negatiivisena. Lisäksi v S =. Tulee v + vl 34-3 fl = fs = 3 Hz = 74 Hz v + v 34+ S Tärkeä huomio: Havaitsijan ja lähteen keskinäinen suhteellinen nopeus on sama kuin edellisessä esimerkissä. Havaittu taajuus on kuitenkin eri!!

32 59 Esimerkki IV: Poliisiauto ajaa nopeudella v S = 45 m/s havaitsijan auton edellä. Havaitsijan nopeus on vl = 5m/s. Laske havaittu taajuus? Ratkaisu: Merkkisääntö sanoo, että molemmat nopeudet ovat positiivisia, ts. saman suuntaisia kuin etäisyys havaitsijasta lähteeseen. Tulee f L v + vl = fs = 3 Hz = 77 Hz v + v S 3.8 SHOKKIAALTO Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta, jossa lentokone liikkuu nopeudella v S synnyttäen ääniaaltoja, joiden nopeus on v. Lentokoneen edessä ääniaallot pakkautuvat yhteen ja niiden aallonpituus on Doppler-ilmiöstä tutun tarkastelun perusteella l = ( v -v S)/ fs. Tässä vs < v, ts. lentokone lentää ääntä hitaammin. Mitä tapahtuu, kun lähestytään äänen nopeutta? Kaavan mukaan aallonpituus lähenee nollaa ja aallot pakkautuvat yhä lähemmäksi toisiaan. Lentokone puristaa ilmaa kokoon edessään kohdis- 6 taen siihen suuren voiman. Ilma kohdistaa puolestaan lentokoneeseen yhtä suuren, mutta vastakkaissuuntaisen voiman. Ilman vastus kasvaa näin voimakkaasti lentokoneen nopeuden lähestyessä äänen nopeutta. Tätä kutsutaan äänivalliksi. Kun lentokone on ylittänyt äänivallin ja sen nopeus on suurempi kuin äänen nopeus, ei koneen edessä olevan ääniaallon aallonpituutta ja taajuutta enää voida kuvata Doppler-ilmiön yhtälöillä. Kuvassa on esitetty poikkileikkauksena, mitä tällaisessa tilanteessa tapahtuu. Lentokoneen edetessä syntyy edelleen ääniaaltoja. Ääniaallot etenevät palloaaltoina siten, että jokaisen "äänipallon" keskipiste on siinä kohdassa, missä lentokone oli sillä hetkellä kun ääni syntyi. Ajan t kuluttua pisteestä S matkaan lähtenyt aalto on levinnyt v t -säteiselle pallopinnalle ja lentokone on kulkenut matkan v S t paikkaan S. Eri kohdista matkaan lähteneet palloaallot ovat samassa vaiheessa pitkin kuvaan merkittyä viivaa ja näin vahvistavat toisiaan (konstruktiivinen interferenssi). Muodostuu hyvin voimakas ns. shokkiaalto-rintama, joka etenee äänen nopeudella.

33

34 63 Viereisessä kuvassa avoin urkupilli on sijoitettu kaiuttimen viereen siten, että ääni kaiuttimesta voi edetä pillin sisään. Kaiutin lähettää puhdasta siniaaltoa, jonka taajuutta f voidaan säätää. Ilmapatsas pillin sisällä pakotetaan näin värähtelemään kaiuttimen lähettämällä taajuudella. Kun kaiuttimen taajuutta säädetään, äänen amplitudi putkessa on melko alhainen, paitsi silloin kun taajuus sattuu olemaan jokin putken normaalivärähdystaajuuksista (kuva b). Normaalivärähtystaajuuksilla putkessa oleva ilmapatsas on resonanssissa ulkoisen äänilähteen kanssa. Resonanssi-ilmiöitä havaitaan jatkuvasti jokapäiväisessä elämässä. Esimerkiksi Koskilinjan bussin jokin penkeistä saattaa moottorin kierrosluvun vähetessä aloittaa yhtäkkiä hillittömän värähtelyn ja tärinän. Moottorin taajuus vastaa tällöin penkin normaalitaajuutta ja penkkiin siirtyy värähdysenergiaa tehokkaasti. Esimerkki: Suljettua urkupilliä soitetaan lähellä kitaraa, jolloin eräs kielistä alkaa värähdellä. Kielen pituus on 8% pillin pituudesta ja molemmat värähtelevät perustaajuuksillaan. Laske kielessä etenevän aallon nopeuden suhde äänen nopeuteen ilmassa. Ratkaisu: æ v ö K Kieli ç fn = n LK : è ø vk = LK fk æ v ö Ä Pilli ç fn = n 4 LP : v Ä = 4L P f P è ø Resonanssi: fk = fp 64 n =, K = kieli n =, Ä = ääni, P = pilli vk LK fk LK.8LP Lasketaan: = = = =.4 vä 4LPfP 4 LP LP Esimerkki: Säädettävän pituinen suljettu pilli soi lähellä kitaran kieltä, jonka massa on 7.5 g ja pituus 85. cm. Kielen jännitys on 4 N. Kuinka pitkäksi pilli on säädettävä, jotta sen soidessa perusvärähdystaajuudella kielen toinen yliääni virittyisi soimaan. Oleta äänen nopeudeksi ilmassa 34 m/s. Ratkaisu: vk 3 F 3 F Kieli: f3 = 3 = =, n = 3 L L m / L ml Ä Pilli: f = v, n = 4LP Resonanssi: f = f3 vä 3 F Lasketaan: = 4L ml P K K K K K -3 Þ L P mlk = v 6 F Sijoitetaan: m = 7.5 kg L K =.85 m F = 4 N v = 34 Ä Tulee L P = m» 6.9 cm Ä

35 65 4 VALO Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valon luonne on kaksijakoinen:. Klassillisessa optiikassa valoa käsitellään sähkömagneettisena aaltona. Aaltokuvan avulla voidaan helposti selittää valon käyttäytyminen väliaineissa ja niiden rajapinnoilla. Myös interferenssi- ja diffraktioilmiöt ymmärretään helpommin aaltomallilla.. Hiukkasluonne, fotoni-kuva, on käyttökelpoinen, kun tarkastellaan valon ja materiaalin vuorovaikutusta atomaarisella tasolla. Atomien ja molekyylien energiat ovat kvantittuneita ja on käytännöllistä ajatella myös valon muodostuvan energiakvanteista. 4. HISTORIAA LYHYESTI Neljä ajanjaksoa: Antiikista keskiaikaan 6- ja 7-luku 8-luku 9-luvulta nykyaikaan Antiikista keskiaikaan Optiikan ja optisten laitteiden historiaa voidaan seurata aina varhaisantiikkiselle ajalle asti. Esimerkiksi hyväkuntoisia peilejä on löydetty Niilin laaksosta, muinaisen Egyptin ajalta jo 9 luvulta ekr. Kreikkalaiset filosofit, kuten Pythagoras ( ), Demokritus (46-37), Platon (47-347) ja Aristoteles (384-3) kehittivät teorioita näkemisen luonteesta. Valon suoraviivainen eteneminen tun- 66 nettiin ja Euklides (35-65) postuloi, että näkösäteet ovat suoria viivoja ja esineiden näennäinen koko riippuu säteiden muodostamista kulmista. Joitakin esimerkkejä kehityksestä: - Roomalaiset käyttivät polttolaseja - Arabioppineet kehittivät heijastuslakia - 3-luvun maalauksissa esiintyy silmälasipäisiä munkkeja - Leonardo da Vinci (45-59) keksi camera obscuran - Giovanni Della Porta (535-65) tutki linssikombinaatioita Tähän päättyi optiikan kehityksen ensimmäinen aikakausi. Valon luonteeseen liittyviä keksintöjä ja ajatuksia syntyi enemmän tai vähemmän satunnaisesti aina silloin tällöin. 6- ja 7-luku Optiikan teorian ja sovellutusten myötätuuli alkoi modernin tieteen kehityksen ja modernien filosofien myötä 6-luvulla. Keksittiin kaukoputki ja mikroskooppi. Nimiä: Lippershey (587-69), Galilei (564-64), Jansen (588-63), Fontana (58-656), Kepler (57-63). Willebrord Snell (59-66) esitti (keksi uudelleen) taittumislain. René Descartes(596-65): valo on eetterissä etenevä painehäiriö. Vuonna 637 hän kirjoitti: Valo ei ole mitään muuta kuin hyvin hienon aineen tietynlaista liikettä tai vastetta. Tämä aine on läsnä kaikkialla ja täyttää kappaleiden huokoset. Pierre de Fermat (6-665) esitti lyhimmän ajan periaatteen. Francesco Grimaldi (68-663) tutki diffraktiota.

36 67 Robert Hooke (635-73) ehdotti, että valo olisi hyvin nopeasti etenevää väliaineen värähdysliikettä. Hookea pidetään valon aaltoteorian isänä. Newton (64-77) pohti onko valo kiukkassäteilyä vai onko se kaiken täyttävän eetterin aaltoilua. Dispersiotutkimustensa perusteella hän päätyi aluksi lähes nykykäsitykseen: Valkoinen valo koostuu väreistä ja tiettyyn väriin liittyvät valohiukkaset virittävät eetterin värähtelemään tälle värille ominaisella tavalla. Myöhemmin Newton hylkäsi aaltomallin. Syynä oli ratkaisematon ongelma selittää valon suoraviivainen eteneminen aalloilla, jotka tunnetusti leviävät kaikkiin suuntiin. Newton kehitti peilikaukoputken. Samaan aikaan, kun Newton työskenteli Englannissa, Euroopan mantereella vaikutti suuri aaltoteorian kehittäjä hollantilainen Christian Huygens (69-695). Huygensin valon etenemisen periaate: Aaltorintaman AB jokainen piste toimii sekundäärisenä palloaaltojen lähteenä niin että myöhemmän ajanhetken uusi aaltorintama A'B' muodostuu sekundääristen aaltojen verhokäyrästä. Huygensin malli ei sisällä aallonpituuskäsitettä. Ole Christensen Römer (644-7) mittasi valon nopeuden (.4 x 8 m/s) Jupiterin kuun Ion avulla. Newton oli arvostettu tiedemies ja hänen mielipiteensä valon luonteesta vaikeutti aaltoteorian kehittymistä koko 7-luvun ajan. Valon aaltoteoria pääsi kehittymään tehokkaasti vasta 8-luvulla, jota pidetäänkin aaltoteorian vuosisatana. 8-luku Thomas Young (773-89) tutki interferenssiä. 68 Augustin Jean Fresnel (788-87) kehitti diffraktioteoriaa. Hän lisäsi Hyugensin valon etenemismalliin mm. aallonpituuskäsitteen ja interferenssin. Hän ratkaisi myös taaksepäin etenevän aaltorintaman ongelman. Armand Fizeau (89-896) mittasi (849) pyörivään hammasrattaaseen perustuvalla laitteellaan valon nopeudeksi 353 km/s. Myös sähkö- ja magnetismioppi kehittyi. Michael Faraday (79-867) löysi yhteyden sähkömagnetismin ja valon välille. James Clerk Maxwell (83-879) kokosi ja laajensi sähkömagneettisen tietämyksen neljä yhtälöön. Osoitti teoreettisesti, että sähkömagneettinen kenttä voi edetä poikittaisena aaltona eetterissä / nopeudella /( em ). Kun tähän sijoitettiin permittiivisyyden e ja permeabiliteetin m tunnetut arvot, päädyttiin yllättäen valon nopeuteen. Juuri tämä havainto johti Maxwellin päätelmään, että valo olisi sähkömagneettista säteilyä. Valon hyväksyminen aaltoliikkeeksi pakotti hyväksymään myös eetterin olemassaolon. Tuohonkin aikaan ajateltiin vielä, että aaltoliike tarvitsee ilman muuta väliaineen jossa edetä. Eetterin ominaisuuksia tutkittiin paljon ja vuonna 879 Maxwell esitti koejärjestelyn, jolla maan nopeus eetterin suhteen pystyttäisiin mittaamaan. Koska valon nopeus eetterin suhteen on vakio ja maa oletettavasti liikkuu eetterin suhteen, tulisi maan liikkeen vaikuttaa valon nopeuteen, kun se mitataan maan suhteen.

37 69 Albert Michelson (85-93) ja Edward Morley (838-93) suorittivat kokeen erittäin tarkasti, mutta eivät havainneet ennustettua efektiä. Negatiivinen tulos julkaistiin vuonna 887. Maa ei liikkunut eetterin suhteen ja tiedemiehet olivat ymmällään. 9 luvulta nykyaikaan Jules Poincaré (854-9) kyseenalaisti eetterin olemassaolon. Albert Einstein ( ) julkaisi vuonna 95 suppeamman suhteellisuusteoriansa, jossa myös hän hylkäsi eetterihypoteesin. Einstein postuloi: "...tyhjässä avaruudessa valo etenee aina samalla nopeudella c riippumatta valon emittoiman kappaleen liiketilasta". Vuonna 9 Max Planck ( ) esitti Saksan fyysikkoseuralle tutkimuksen, josta nykyisen valon kvanttiteorian katsotaan alkavan. Planck pystyi selittämään mustankappaleen säteilijän spektrin olettamalla, että valo muodostuu energiapaketeista eli kvanteista. Energiakvantin eli fotonin energia E on suoraan verrannollinen sen taajuuteen n (= f) siten, että E = hn, missä verrannollisuuskerroin h on ns. Planckin vakio. Einstein selitti valosähköisen ilmiön valon kvanttimallilla. 9-luvun loppuun mennessä Bohrin, Bornin, Heisenbergin, Schrödingerin, de Broglien, Paulin, Diracin ym. töiden seurauksena kvanttimekaniikasta oli tullut yleisesti hyväksytty teoria. Vähitellen kävi ilmeiseksi, että hiukkas- ja aaltokäsitteitä, jotka makroskooppisessa maailmassa ovat selvästi erillisiä asioita, ei atomaarisessa maailmassa voida erottaa toisistaan. Mielikuva atomista pienenä massajakautumana ei enää ollut riittävä. 7 Havaittiin myös, että hiukkaset aivan aaltojen tapaan pystyvät tuottamaan interferenssi ja diffraktiokuvioita. Siten fotoneilla, protoneilla, elektroneilla, neutroneilla, jne. on sekä materiaalisia että aaltoluonteisia ominaisuuksia. Sekä materiaalisen hiukkasen että sähkömagneettisen kvantin liikemäärä p, aallonpituus l ja nopeus v saadaan samoista yhtälöistä: 4 E - mc p =, c h l =, p pc v =. E Näissä c on valon tyhjiönopeus, h on Planckin vakio, m on hiukkasen lepomassa ja E = mc on hiukkasen kokonaisenergia. Tässä ns. relativistinen massa on m m= =gm, -( v/ c) missä on käytetty merkintää g = - ( v / c) Sähkömagneettinen kvantti on massaton ( m = ), joten E h hc p =, c l = p = E ja pc v = = c, E ja esimerkiksi keskimmäisestä tuloksesta saamme sähkömagneettisen kvantin energialle tutun lausekkeen hc E = = hn, l missä n = c / l on taajuus. Sähkömagneettisella säteilyllä on siis kahtalainen luonne: hiukkasluonne (energiapaketti, fotoni, kvantti) ja aaltoluonne (taajuus, aallonpituus)..

38 7 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN AALTO Sähköön ja magnetismiin liittyvät havainnot yhdistettiin noin 8- luvun puolessa välissä yhtenäiseksi sähkömagnetismin teoriaksi, jonka peruslait tiivistyvät neljään ns. Maxwellin yhtälöön. Maxwellin yhtälöt osoittavat, että muuttuva magneettikenttä toimii sähkökentän lähteenä ja päinvastoin, muuttuva sähkökenttä synnyttää magneettikentän. Sähkökenttä E (sähkökentän voimakkuus, V/m) ja magneettikenttä B (magneettivuon tiheys, Vs/m = T) voivat siis ylläpitää toisiaan ja muodostaa näin sähkömagneettisen aallon, joka etenee avaruudessa. Sähkömagneettinen aalto on poikittaista aaltoliikettä. Aalto muodostuu kahdesta komponentista, sähkökentästä E ja magneettikentästä B. Molemmat komponentit ovat kohtisuorassa aallon etenemissuuntaan nähden ja vielä siten, että ristitulo E B osoittaa aallon etenemissuuntaan. Komponentit ovat kohtisuorassa myös toisiaan vastaan. Esimerkiksi positiivisen x-akselin suuntaan etenevä harmoninen (sinimuotoinen) sähkömagneettinen aalto on ïì E( x, t) = E sin( kx-w t) ˆj í ïî B( x, t) = B ˆ sin( kx-w t) k, missä sähkökenttä on valittu värähtelemään xy-tasossa ja magneettikenttä xz-tasossa. Vektori ĵ on y-akselin suuntainen yksikkövektori ja ˆk z-akselin suuntainen. Värähtelevän sähkökentän amplitudi on E ja magneettikentän B. 7 Sähkömagneettisessa aallossa kentät ovat samassa vaiheessa (sama argumentti sinin sisällä) ja kenttien suuruudet E = E ja B = B kytkeytyvät toisiinsa yhtälöllä B= E, (4..) c missä c on valon tyhjiönopeus m/s. Näin edellä esitetyssä aallossa myös amplitudeille pätee B = E/ c. Esimerkki: Hiilidioksidi(CO )laser emittoi sinimuotoista sähkömagneettista aaltoa aallonpituudella.6 m m siten, että sähkökentän maksimiarvo on.5 V/m. Kirjoita lasersäteen sähkö- 6 ja magneettikentät E ja B ajan ja paikan funktiona, kun laser on käännetty sellaiseen asentoon, että E- kenttä värähtelee z-akselin suunnassa ja säde etenee negatiivisen x-akselin suuntaan. Ratkaisu: Sähkökenttä värähtelee z-suunnassa ja aalto etenee negatiivisen x-akselin suuntaan, joten r ˆ 6 E= E = E sin( kx+w t) k, missä E =.5 V/m. Lisäksi E B osoittaa aallon etenemissuuntaan, ts. -i ˆ-suuntaan, joten magneettikentälle (magneettivuon tiheydelle) voimme kirjoittaa r B= B= B sin( kx+w t)ˆj, koska kˆ ˆj=-ˆi. Magneettikentän amplitudiksi laskemme 6 E.5 V/m -3 Vs = = = 5. 8 B = 5. mt c 3. m/s m ja lisäksi aallon aaltoluvulle ja kulmataajuudelle saamme p p k = = = l.6 m 5 m -

39 73 8 c 3. m/s.6-6 m w = pn = p = p l 4 =.78 s -. CO -laserin aallonpituus sijoittuu infrapuna-alueelle eikä siten ole silmin nähtävää. Huom! Sähkömagneettisten aaltojen yhteydessä taajuuden symboli on n. Sähkömagneettinen aalto eristeessä Edellä tarkastelimme sähkömagneettista aaltoa tyhjiössä. Totesimme, että aallon kuvaamiseen riittää tarkastella vain esim. sähkökenttää, joka suuruus ( E = E ) harmonisen aallon tapauksessa on E( x, t) = E sin( kx- w t), missä aallon tyhjiönopeus saadaan laskemalla c= w / k. Sähkömagneettinen aalto voi edetä myös aineessa. Tavalliset optiset läpinäkyvät materiaalit (ilma, lasi, vesi, ) ovat eristeitä, joissa aalto on muodoltaan sama kuin tyhjiössä E( x, t) = E sin( kx- wt), mutta nopeus on muuttunut arvoon w c v = =, (4..) k n missä c =v on valon nopeuden tyhjiöarvo ja n on väliaineen ns. taitekerroin. Valon nopeus tavallisissa eristeissa on aina pienempi kuin tyhjiönopeus, joten taitekerroin n on aina >. Voidaan kirjoittaa (laske nämä tulokset): nopeus on v = v / n= c/ n taajuus n = n ei muutu 74 aallonpituus l = l / n lyhenee aaltoluku k = nk kasvaa kulmataajuus w = w ei muutu. Näissä alaindeksi viittaa tyhjiöarvoon Esimerkki: Natrium(Na)-lamppu emittoi keltaista valoa taajuudella 5.9 Hz. Laske nopeus ja aallonpituus seuraavissa 4 optisissa materiaaleissa: Tyhjiö n = Ilma n =.7 Vesi n =.33 Lasi n =.5 Timantti n =.4 Ratkaisu: v c = n ja l = v 8 ì c = m/s, missä í n 4 în = 5.9 /s v/() c 8 v /( m/s) l/ nm Tyhjiö Ilma Vesi Lasi Timantti Sähkömagneettinen aalto johteessa Johteessa taitekerroin n on kompleksinen ja aalto absorboituu materiaaliin sitä nopeammin mitä suurempi materiaalin johtavuus on.

40 ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ On tuttu tosiasia, että sähkömagneettinen aalto kuljettaa mukanaan energiaa. Esimerkiksi auringon säteet lämmittävät ihoa. Liikkuvaan energiaan liittyy aina myös liikemäärä. Sähkömagneettisen säteilyn liikemäärä havaitaan ns. säteilypaineena. Irradianssi Sähkömagneettisen aallon intensiteetti eli irradianssi saadaan ns. Poyntingin vektorin S= e c E B, e =tyhjiön permittiivisyys itseisarvon (siis pituuden) S = S aikakeskiarvona I = S. (4.3.) Itse vektori S osoittaa energian virtaussuuntaan. Poyntingin vektorin "keksi" brittifyysikko John Poynting (85-94). Harmonisen aallon irradianssi Sovelletaan tulosta (4.3.) positiivisen x-akselin suuntaan etenevään lineaarisesti polarisoituneeseen (E- ja B-kenttien suunnat kiinnitetty) harmoniseen aaltoon (ks. esimerkki sivulla 7): Poyntingin vektori saa muodon ì ïe( x, t) = E ˆ sin( kx-w t) j í ïîb( x, t) = B ˆ sin( kx-w t) k S= ec E B= e ˆ ˆ c EBsin ( kx- wt) é ë j kù û = e ˆ c EBsin ( kx-wt) i, jonka itseisarvoksi tulee S = e c E B kx- wt. sin ( ) 76 Tämä on hetkellinen energiavirta pinta-alayksikköä kohti aikayksikössä (hetkellinen teho pinta-alayksikköä kohti, W/m ). Koska E ja B vaihtelevat nopeasti (optisella alueella taajuudella 4 Hz - 5 Hz), Poyntingin vektorin suuruus vaihtelee nopeasti ajan funktiona ja hetkellistä arvoa ei pystytä käytännössä mittaamaan. Irradianssi onkin määritelty aikakeskiarvona (4.3.) I = S = e c E B kx- t. sin ( w ) Trigonometristen funktioiden neliöiden, niin sin f () t :n kuin cos f () t :nkin, aikakeskiarvot ovat arvoltaan / (laskuharjoitus), joten I= e ceb. joka voidaan kirjoittaa relaation B = E / c nojalla muotoon I = ece. (4.3.) Voidaan osoittaa, että tulos (4.3.) pätee yleisesti sähkömagneettisille aalloille, ts. ei ainoastaan harmonisille aalloille. Tulos kertoo myös, että sähkömagneettisesta aallosta tarvitsee tarkastella vain toista komponenttia, tavallisesti sähkökenttää. Magneettikenttää tarvitaan vain harvoin ja aina tarvittaessa se voidaan kirjoittaa näkyviin lähtien tunnetusta sähkökennttäkomponentista. Esimerkki: Radioaseman keskimääräinen teho on 5 kw. Oletetaan, että teho jakautuu tasaisesti maan pinnan yläpuoliseen puoliavaruuteen (ks. kuva). Laske amplitudit E ja B, jotka havaitaan km:n korkeudella lentävässä satelliitissa.

41 77 Ratkaisu: Irradianssi (4.3.) on keskimääräinen teho pinta-alayksikköä kohti: josta missä E AV ecpr 3 PAV I = = e ce, (4 pr ) = P, P AV = 5 W - e = AsV - m - 8 c =.998 m/s 3 r = m. Sähkökentän amplitudiksi tulee E WVms =.449».4 V/m (W=VA) m Asm - - ja magneettikentän amplitudille saadaan B - E.449 V/m - Vs - = = = 8.69» 8. 8 c.998 m/s m Kommentti: Tässä sähkökentän amplitudi E on suuruusluokaltaan sitä, mitä havaitaan tavallisissa sähkökokeissa laboratorioissa. Magneettivuon tiheys sitävastoin on hyvin heikko. Tästä johtuen monet sähkömagneettisen aallon havainnointiin tarkoitetut ilmaisimet (detektorit) toimivat mittaamalla nimenomaan sähkökentän aiheuttamaa vastetta anturissa. T. 78 Säteilypaine Vuonna 69 Johannes Kepler esitti, että komeetan pyrstö kääntyy aina poispäin Auringosta, koska Auringon valo aiheuttaa siihen paineen. Sen ajan laboratoriokokeissa tällaista valopainetta ei kuitenkaan pystytty havaitsemaan, onhan kysymys erittäin heikoista voimista. Ajatus säteilypaineesta vaipui unholaan. Vuonna 873 Maxwell pystyi osoittamaan teoreettisesti, että sähkömagneettinen aalto todellakin kohdistaa materiaaliin paineen. Kun sähkömagneettinen aalto kohtaa materiaalin pinnan, se vuorovaikuttaa materiaalissa olevien varausten kanssa. Riippumatta siitä absorboituuko vai heijastuuko aalto, se kohdistaa varauksiin voimia, ja siten voiman itse pintaan. Esimerkiksi johdemateriaaliin aallon sähkökenttä generoi virtoja, jotka kytkeytyvät aallon magneettikenttään voimien välityksellä. Voimien suuruus voidaan laskea sähkömagneettisen teorian avulla. Kun aalto tulee pintaan kohtisuorasti ja absorboituu siihen täydellisesti, säteilypaineen P rad keskimääräiseksi arvoksi saadaan I Prad =, (4.3.3) c missä I on irradianssi. Tämä sama paine kohdistuu luonnollisesti myös säteilyn lähteeseen aallon "poistuessa" siitä. Jos valaistu pinta on täysin heijastava, tuleva valo saapuu nopeudella + c ja heijastuva aalto lähtee nopeudella - c. Tämä vastaa kaksinkertaista liikemäärän muutosta verrattuna absorptioon, joten P rad = I. (4.3.4) c

42 79 Esimerkki: Auringon valon irradianssi juuri ilmakehän ulkopuolella on noin.4 kw/m. Maata kiertävän satelliitin aurinkopaneelien kokonaispinta-ala on 4. m. Oletetaan, että auringon valo osuu paneeleihin kohtisuorasti ja että paneelit absorboivat valon täydellisesti. Laske millä keskimääräisellä teholla energiaa absorboituu ja säteilypaineeseen liittyvä voima. Ratkaisu: Irradianssi (teho pinta-alayksikköä kohti) on Keskimääräiseksi tehoksi laskemme P 3 I =.4 W/m. 3 3 = IA = (.4 W / m )(4.m ) = 5.6 W = 5.6 kw. Säteilypaine on 3 I.4 W / m 6 6 rad Pa P = = =» Pa. c 3. m/s Kokonaisvoimaksi F tulee F = P A= =» rad Pa 4.m.866 N.9 N Energiaa absorboituu huomattavan suurella teholla. Osa muutetaan sähkösi satelliitin laitteita varten ja loput muuttuu paneleissa lämmöksi joko suoraan tai valokennojen epätäydellisyyden takia (hyötysuhde ei ole %). Säteilyn aiheuttama voima vastaa suolahitusen painoa maan pinnalla. Ajan mittaan näinkin pieni, mutta jatkuvasti vaikuttava voima saattaa aiheuttaa ongelmia, jos rataa ei korjata aika ajoin POLARISAATIO Edellä olemme todenneet, että sähkömagneettiseen aaltoon liittyvät kentät ovat vektorisuureita, siten että jokaisessa pisteessä sähkökenttä, magneettikenttä ja Poyntingin vektori, joka kertoo aallon etenemissuunnan, ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja vielä siten, että E B osoittaa aallon etenemissuuntaan. Siten sähkömagneettinen aalto on yksikäsitteisesti määrätty, kun esimerkiksi sähkökenttä on annettu. Tarkastellaan esimerkkinä positiivisen z-akselin suuntaan etenevää sähkömagneettista aaltoa, jonka sähkökenttä värähtelee x-akselin suunnassa: E= E sin( kz-w t)ˆi. Tähän liittyvä magneettikenttä on muotoon B= E ˆ sin( kz-w t) j c ja Poyntingin vektoriksi tulee S= e c E B= e ce sin ( kz -wt)ˆ k. Sähkömagneettisen aallon ns. polarisaation suunta (polarisaatio) on sähkökentän suunta. Polarisaatio antaa käytännössä suunnan sille voimalle (Lorentz-voimalle), jonka sähköisesti varattu hiukkanen kokee ollessaan aallon vaikutuksen alaisena. Lorentz-voimassa F = q( E + v B), missä q on hiukkasen varaus ja v sen nopeus, magneettikentän antama osuus q v B on olematon ei-relativistisilla nopeuksilla. Monet optiset sovellukset perustuvat sähkömagneettisen aallon polarisaation luonteeseen ja sen suunnan manipuloimiseen.

43 8 Esimerkki: Positiivisen z-akselin suuntaan etenevällä aallolla E( z, t) = E sin( kz-wt)ˆi sähkökenttä E värähtelee x- suunnassa ja pysyy koko ajan xz-tasossa. Aalto on lineaarisesti polarisoitunut x-suuntaan. Tarkastellaan positiivisen z-akselin suuntaan etenevää aaltoa yleisemmin. Aallon sähkökentän suunta on xytasossa (ks. kuva) ja se voidaan kirjoittaa kahden komponentin summana E(,) zt = E(,) ztˆi+ E(,) ztˆj missä komponentit ovat ìex( z, t) = Exsin( kz-wt) í îey( z, t) = E ysin( kz- wt+ e) x y Tässä E x ja E y ovat amplitudit x- ja y-suunnassa ja e on komponenttien välinen mahdollinen vaihe-ero. Vaihe-ero määrää polarisaation luonteen. Lineaarinen polarisaatio Jos vaihe-ero on nolla, ts. e =, komponenttiaallot ovat samassa vaiheessa ja kokonaisaalloksi tulee E( z, t) = ( E ˆi+ E ˆj )sin( kz-wt). (4.4.) x y Sähkökentällä on siis vakioamplitudi ( E ˆi+ E ˆj ), x y joka osoittaa aina samaan suuntaan. Amplitudin suuruudeksi tulee 8 E = E + E, x y ja värähtelysuunnan kulmaksi x-akselista mitattuna (ks. kuva) tan a = E / E. y x Kuvassa valo tulee kohti katsojaa z-suuntaan. Jos vaihe-ero on e = p, voidaan kirjoittaa E( z, t) = ( E ˆi-E ˆj )sin( kz-wt), (4.4.) x y koska sin( j+ p) = sinjcosp + cosjsinp =- sinj. Siis myös tällöin päädytään lineaarisesti polarisoituun aaltoon. Edelliseen verrattuna amplitudi on sama, mutta värähdyssuunta on kiertynyt. Ympyräpolarisaatio Toinen tärkeä erikoistapaus saadaan, kun komponenttiaaltojen vaihe-ero on p e =, ja niillä on sama amplitudi, ts. Ex = Ey = E. Tällöin nimittäin, koska sin( j+ p / ) = cosj, tulee E( z, t) = E [sin( kz- wt) ˆi+ cos( kz-wt) ˆj ]. (4.4.3) Tässä sähkökenttävektorin pituus säilyy E = E sin ( kz - wt) + cos ( kz - wt) = E, mutta se pyörii, ts. on ympyräpolarisoitunut. Esimerkki: Tarkastellaan aallon (4.4.3) sähkökenttävektorin käyttäytymista kiinnitetyssä avaruuden pisteessä z =. Vektori on E = E é ˆ ˆ ë sin( - wt) i + cos( -wt) j ù û. Koska sin( - a) =- sina ja cos( - a) = cosa ja kulmataajuus voidaan kirjoittaa muodossa w = pn = p /T, saadaan

44 é æp öˆ æp ö E ˆù E= ê - sin ç t i+ cosç t j è T ø è T ø ú ë û Lasketaan eri ajan hetkillä: Kun t =, E = E é ˆ ˆ ˆ ë i + j ù û =+ E j Kun t = T/4, E = E é ˆ ˆ ˆ ë - i + j ù û =-E i Kun t = T/, E = E é ˆ ˆ ˆ ë i - j ù û =-E j muuttu. Sähkäkenttävektorin kärki piirtää ellipsin ja puhutaan elliptisesti polarisoituneesta aallosta. Molemmat erikoistapaukset edellä (lineaarinen- ja ympyräpolarisaatio) ovat elliptisen polarisaation erikoistapauksia. Esimerkki: Kirjoita lauseke positiivisen x-akselin suuntaan etenevälle lineaarisesti polarisoituneelle aallolle, jonka amplitudi on E ja sähkökenttävektori värähtelee kulmassa 3 xy-tasoon nähden. Lisäksi sähkökentän on oltava positiivisessa maksimissaan (siis arvossa E ) paikassa x = ajan hetkellä t =. Kuvassa sähkökenttävektori kiertää vastapäivään ajan kuluessa. Ratkaisu: Aalto etenee x-akselin suuntaan, joten sähkökentän suunta on yztasossa. Yleinen muoto on E= ( E ˆj+ E k ˆ)sin( kx- wt+ j ), missä y z Kun sähkökenttävektori kiertää kiinnitetyssä paikassa vastapäivään, kun valo tulee kohti katsojaa, valo on ns. vasenkätisesti ympyräpolarisoitunutta. Jos e =- p / ja Ex = Ey = E, aalto on oikeakätisesti ympyräpolarisoitunut (sähkökenttä kiertää kiinnitetyssä paikassa myötäpäivään, kun aalto tulee kohti katsojaa) ja E( z, t) = E [sin( kz-wt) ˆi-cos( kz-wt) ˆj ]. (4.4.4) Elliptinen polarisaatio Yleisessä tapauksessa, kun vaihe-ero on mielivaltainen ja osa-aaltojen amplitudit erisuuria, sähkökenttä pyörii ja samalla sen pituus Paikassa x = ajan hetkellä t = aalto on maksimissa, ts. sin( kx- wt+ j) = sinj = Þ j = p /. Vastauseksi kirjoitamme: æ 3ˆ ö E= E ˆ ç j+ k sin( kx- wt+ p / ). è ø

45 85 Esimerkki: Osoita, että sama-amplitudisten oikea- ja vasenkätisten ympyräpolarisoituneiden aaltojen summa antaa lineaarisesti polarisoituneen aallon. Ratkaisu: E ˆ ˆ R = E[sin( kz-wt) i-cos( kz-wt) j ], missä R on right (oikea) E ˆ ˆ L = E[sin( kz- wt) i+ cos( kz-wt) j ], missä L on left (vasen) ER + ΕL = ( Eˆ i )sin( kz-w t). Tulos on lineaarisesti polarisoitunut SÄHKÖMAGNEETTINEN SPEKTRI Sähkömagneettiset aallot kattavat hyvin laajan taajuusalueen. Niitä 4 on havaittu ainakin taajuusvälillä : : Hz. Taajuuksilla ei ole varsinaista teoreettista ylärajaa. Kuvassa seuraavalla sivulla on esitetty sähkömagneettinen spektri sekä taajuus- että aallonpituusasteikolla. Muunnos asteikkojen välillä toteutetaan yhtälöllä c= l f, missä c = m/s. Taajuudet (ja aallonpituudet) jaetaan erillisiin osa-alueisiin lähinnä sen mukaan miten aallot syntyvät ja/tai miten niitä havaitaan. Alueiden väliset rajat eivät ole tarkkoja, etenkin kun alueet jaetaan tavallisesti vielä osa-alueisiin.

46 87 Opettele jako: - Gammasäteet (Gamma rays) - Röntgensäteet (X-rays) - Ultravioletti (Ultraviolet) - Näkyvä (Visible) - Infrapuna-alue (Infrared) - Mikroaaltoalue (Microwave) - Radioaallot Valo-opissa (optiikassa) olemme erityisesti kiinnostuneita sähkömagneettisen spektrin optisesta alueesta, jonka katsotaan käsittävän: - ultraviolettisäteilyn (UV) - näkyvän alueen (visible) - infrapuna-alueen (IR) Kannattaa huomata, että näkyvä alue kattaa vain hyvin kapean kaistan spektristä, optisen alueen keskipaikkeilla. Aallonpituusrajat ovat 4 nm ja 7 nm, jotka vastaavat taajuuksia 75 THz ja 43 THz. Ihminen aistii näkyvällä alueella eri aallonpituudet eri väreinä seuraavan taulukon mukaisesti: 4 44 nm : violetti nm : keltainen nm : sininen nm : oranssi nm : vihreä 63 7 nm : punainen Tavallinen valkoinen valo sisältää kaikkia näkyvän alueen aallonpituuksia. Erilaisten spektrilamppujen ja/tai suotimien avulla voidaan tuottaa valoa, joka sisältää aaltoja vain hyvin kapealta aallonpituuskaistalta (band of wavelengths). Tällainen valo on lähes monokromaattista (yksiväristä). Absoluuttisen monokromaattinen valo, joka siis sisältäisi vain yhtä aallonpituutta, on saavuttamaton idealisaatio. Kun sanomme esimerkiksi, että kokeessa käytetään 88 monokromaattista valoa, jonka aallonpituus on l = 55 nm, tarkoitamme oikeastaan, että valo sisältää aallonpituuksia enemmän tai vähemmän kapealta aallonpituuskaistalta 55 nm:n ympäristöstä. Laser-valo on tavallisesti hyvin monokromaattista, mutta ei sekään täydellisesti. Näkyvän alueen ulkopuolinen alue on ihmiselle vähintäänkin yhtä tärkeä kuin näkyvä alue. Esimerkiksi maailmanlaajuinen viestintäjärjestelmä (radio, tv) perustuu radioaaltoihin. Mikroaaltoalueen säteilyä käytetään viestinnän (kännykät) lisäksi mm. säätutkissa. Monet kamerat lähettävät infrapunasäteilyä ja mittaavat kohteesta heijastuneen aallon kulkuajan perusteella etäisyyden ja säätävät sen tiedon nojalla fokuksen automaattisesti. Ultraviolettialueen säteilyn aallonpituus on lyhyempää kuin näkyvän valo ja sitä hyödynnetään erilaisissa tarkkuusaparaateissa (mm. silmäkirurgiassa). Röntgensäteiden energia riittää jo ihmisen pehmytkudosten läpäisyyn ja tällä ominaisuudella on paljon sovellutuksia mm. lääketieteissä. Gammasäteilyä syntyy luonnossa esimerkiksi radioaktiivisuuden seurauksena. Näitä hyvin energisiä säteitä käytetään esimerkiksi lääketieteessä tuhoamaan syöpäsoluja. Esimerkki: Hämärässä ihmisen silmän pupillin halkaisija on 6. mm ja silmä on herkimmillään aallonpituudella 5 nm. Silmä aistii vielä valon, jonka irradianssi on.65 pw/m. Kuinka monta fotonia saapuu verkkokalvolle sekunnissa? Ratkaisu: -9 Yhden fotonin energia = hn = hc / l = J, arvoilla h = 6.66 Js, c =.998 m/s ja l = 5 m. Silmään saapuu p (6. - / ) W =.96-7 joulea sekunnissa. Tämä tarkoittaa J/s J = 5.37 s -» 5 fotonia sekunnissa.

47 RADIOMETRIA Radiometria käsittelee sähkömagneettisen säteilyn (aaltoliikkeen) energian ja tehon mittaamista. Radiometrian suureet ja niiden yksiköt (SI-järjestelmässä) on esitetty taulukossa alla. Taulukossa säteilyenergia, säteilyenergian tiheys ja säteilyvirta ovat selkeästi määriteltyjä. Säteilyvirta pinta-alayksikköä kohti voi tarkoittaa pinnan emittoimaa säteilyä (säteilemisvoimakkuus) tai pintaan kohdistuvaa säteilyä (säteilytysvoimakkuus eli irradianssi). Radiometrian suureet: Suure Yksikkö Säteilyenergia Q e J = Ws Symboli Määrittelyyhtälö Säteilyenergian tiheys w e Ws/m 3 dq w e e = dv Säteilyvirta F e W dqe F e = dt Säteilemisvoimakkuus ) M e W/m df M e e = da Säteilytysvoimakkuus ) E e W/m df E e e = da Säteilyintensiteetti I e W/sr dfe Ie = dw Radianssi L e W/(sr m ) die Le = dacosq Taulukossa: e = electromagnetic sr = steradiaani (avaruuskulma) ) = pinnan emittoima säteily ) = pintaan kohdistuva säteily (irradianssi) 9 On huomattava, että aikaisemmin mekaanisten aaltojen yhteydessä määrittelemämme intensiteetti (W/m ) on sähkömagneettisten aaltojen tapauksessa säteilytysvoimakkuus eli irradianssi. Radiometrian säteilyintensiteetti mittaa sen sijaan tehon määrää avaruuskulmaa kohti (W/sr). Radianssi on säteilevän pinnan ominaisuus, joka kertoo pinnan säteilyintensiteetin ( di e) pinnan pintaalayksikköä (da) kohti katsottuna havaitsijan suunnasta q (ks. kuva) Taulukossa edellisellä sivulla suureet on määritelty differentiaalimuodossa (derivaattoina). Jos suureet ovat vakioarvoisia tarkasteltavassa tilanteessa, yhtälöt voidaan kirjoittaa ilman derivointisymboleja. Esimerkiksi pintaan kohdistuva säteilytysvoimakkuus E on määritelmän mukaan säteilyvirta pinta-alayksikköä kohti: e dfe Ee =. da Jos kuitenkin konkreettisessa tilanteessa pinta-alalle A kohdistuu säteilyvirta F e, joka on vakioarvoinen koko pinnan A alueella, säteilytysvoimakkuus voidaan laskea "kaavasta" Fe E e =. A Tutustutaan seuraavassa radiometrian suureisiin esimerkkien avulla:

48 9 Esimerkki: Pistemäinen lähde S säteilee W:n teholla. Kaikki lähteen lähettämä säteily ohjataan kohtisuorasti m:n etäisyydellä olevaan ympyrälevyyn, jonka halkaisija on. m. Laske a) säteilykartion avaruuskulma b) lähteen säteilyintensiteetti c) levyyn kohdistuva säteilytysvoimakkuus Ratkaisu: Säteilyvirta on F e = W. r = m R =.5 m a) Avaruuskulma w A pr.5 w p æ ö = = =.5p ç = (sr) r r è ø b) Säteilyintensiteetti Ie dfe Fe Ie = = ( F e on vakio koko avaruuskulmassa) dw w W W kw = = 73.4» 3.5 p sr sr sr c) Säteilytysvoimakkuus Ee E e dfe Fe W W W = = = = 7.34» 3 da A p(.5m) m m tai myös (tärkeä temppu) E e F F I 73.4 W /sr W = = = =» 3 A r w r m m e e e (huom! sr voidaan jättää tarvittaessa kirjoittamatta näkyviin) 9 Esimerkki: Laske edellisen tehtävän suureiden arvot, kun levy käännetään 3 :een kulmaan. Ratkaisu Lähteen säteilykartio säilyy tietysti samana, jos käännetään pelkästään kohdelevyä, joten a) säteilykartion avaruuskulma on w =.5p (sr) ja kw b) lähteen säteilyintensiteetti on I e» 3 sr c) Levyn pintaan kohdistuva säteilytysvoimakkuus muuttuu, koska kallistunut levy näkyy lähteestä pienempänä ( A cos3 :n kokoisena) ja siihen pääsee lähteen kokonaissäteilyvirrasta F e = W vain osuus Acos3 F e =F e cos3 A Säteilytysvoimakkuudeksi laskemme F e cos3 3 W W E e = = 7.34» A m m Esimerkki Laske edelleen suureiden arvot, jos lähteen säteily kokonaisuudessaan ohjataan kulmaan 3 käännettyyn levyyn. Ratkaisu: SäteilyvirtaF e = W ohjataan käännetylle levylle: r = m R =.5 m a) Lähteestä katsottuna pinta-ala A näkyy koossa A cos3, joten Acos3 3 w = =.5p =.65p (sr)».p (sr) r

49 b) 93 Fe kw =» 5 ja w sr IeAcos3 Ie W Ee = F e = = cos3» 3. A A r r m I e c) Esimerkki: Isotrooppinen lamppu säteilee W:n teholla ja se sijaitsee. m:n korkeudella lattiasta. Laske säteilyintensiteetti ja lattiaan kohdistuva säteilytysvoimakkuus lampun alla Ratkaisu - säteilyvirta on F e = W - isotrooppinen: säteilee samalla tavalla kaikkiin suuntiin, ts. avaruuskulmaan A 4pr w = = = 4p. r r Säteilyintensiteetti on dfe Fe W 5 W W Ie = = = =» 8. dw w 4 p (sr) p sr sr ja säteilytysvoimakkuus dfe dfe Ie 5 W/sr W Ee = = = =». da r dw r p 4. m m Esimerkki: Tarkastellaan 5 mw:n ( =F e ) HeNe-laseria, jonka ulostulopeilin pinta-ala on.5-3 cm ja säteen divergenssikulma a =.3 mrad (ks. kuva). a) Laske avaruuskulma w. b) Laske laser-lähteen radianssi yksiköissä W/(cm sr). Ratkaisu AT pr æa ö æa ö a) w = = = p tan p ç» ç, (a on pieni) R R è ø è ø p -3 = (.3 ) sr 4 94».33-6 sr b) Radianssi lasketaan tietysti siinä suunnassa minne säde etenee, joten cosq = cos= ja tulee -3 die Ie F e 5 W Le = = = = -6-3 das cosq AS was.33 (sr).5 cm 6 W».5 cm sr 6 Laserin peilistä lähtee siis säteilyä.5 wattia avaruuskulmayksikköön peilin pinta-alan yhtä neliösenttimetriä kohti. 4.7 FOTOMETRIA Radiometria soveltuu kaikentaajuisen (sähkömagneettisen) säteilyenergian mittaamiseen. Fotometria sen sijaan soveltuu ainoastaan optisen spektrin näkyvään alueeseen. Radiometria perustuu puhtaasti fysikaalisiin mittauksiin. Fotometriassa otetaan huomioon myös ihmisen silmän herkkyys eri aallonpituuksilla. Fotometriaa sovelletaan esimerkiksi ihmisen työympäristön valaistusta suunniteltaessa. Silmän herkkyys on erilainen eri aallonpituuksilla. Kuvassa seuraavalla sivulla on esitetty "standardisilmän" herkkyyskäyrä W:n säteilyteholla, ts. säteilyvirta on F e = W.

50 95 Fotometriset suureet: Suure 96 Yksikkö Silmä on herkin keltaisella valolla ( l = 555 nm). Herkkyys muuttuu nopeasti aallonpituuden funktiona. Vihreän (5 nm) ja oranssin (6 nm) kohdalla herkkyys on jo pudonnut puoleen maksimistaan. Symboli Määrittelyyhtälö Valomäärä Q v lm s Valomäärän tiheys w v lm s /m 3 dq w v v = dv Valovirta F v lm dqv F v = dt Valaisemisvoimakkuus M v lm/m df M v v = da Valaistusvoimakkuus E v lm/m = lx dfv Ev = da Valovoima I v lm/sr = cd dfv Iv = dw Luminanssi L v cd/m di L v v = dacosq lm = lumen cd = kandela lm s = talbot alaviite v = visual lx = luksi Luminous flux = valovirta, kun F e = W Luminous efficiency = valotehokkuus (suhteellinen herkkyyskäyrä) Silmällä on kyky mukautua valaistusolosuhteisiin. Suhteellinen käyrä esittää herkkyyttä kirkkaassa päivänvalossa. Hämärässä käyrä siirtyy lyhyempiin aallonpituuksiin siten, että huippu on 5 nm:n kohdalla. Hämärässä silmä ei kuitenkaan erota värejä. Annetun herkkyyskäyrän mukaan silmä ei havaitse säteilyä, jonka aallonpituus on yli 7 nm. Jos intensiteetti on hyvin suuri, silmä voi havaita pitempiaaltoistakin säteilyä. Radiometriset ja fotometriset suureet määritellään muodollisesti samalla tavalla ja niiden yksiköt voidaan liittää toisiinsa seuraavasti: On määritelty, että aallonpituudella 555 nm (silmä herkimmillään) radiometrinen säteilyvirta F e = W vastaa fotometristä valovirtaa F v = 685lm. Muilla aallonpituuksilla F v( l) = V ( l) 685lm, kun F e = W, missä silmän herkkyys (valotehokkuus) V( l ) saadaan herkkyyskäyrästä kyseisen aallonpituuden kohdalta.

51 Yleistäen koskemaan muita yksiköitä kirjoitetaan: 97 fotometrinen yksikkö = K( l ) radiometrinen yksikkö, (4.7.) missä K( l ) on säteilyn valotehokkuus: lm K( l) = 685 V( l). (4.7.) W Valovoima (luminious intensity) on valittu yhdeksi fysiikan seitsemästä perussuureesta (pituus, massa, aika, sähkövirta, lämpötila, ainemäärä ja valovoima). Sen yksikkö on kandela (cd), joka määritellään siten, että Lähteen valovoima tiettyyn suuntaan on kandela, kun se lähettää monokromaattista säteilyä ( n = 54 Hz) ja sen säteilyintensiteetti (radiant intensity) kyseiseen suuntaan on /685 W/sr. Yksi kandela vastaa noin yhden kynttilän valovoimaa. Esimerkki: Erään HeNe-laservalolähteen ( l» 633nm) radianssi 6 on.5 Wcm - (sr) -. Mikä on vastaava silmän näkemä luminanssi? Ratkaisu: Radianssin yksikkö Wcm - (sr) - muutetaan luminanssin yksiköksi muunnoksella (4.7.), jolloin luminanssiksi saadaan 6 é W ù Lv =.5 ê K( l) ë cm sr ú û, missä lm lm K( l) = V( l) 685 =.5 685, W W missä V( l ) = V(633nm)».5 herkkyyskäyrästä. Lopulta siis 6é lm W ù 6 lm Lv = = 57 ë ê W cm sr ú û cm sr 98 Esimerkki: Isotrooppinen W:n lamppu on. m:n korkeudella lattiasta (ks. edelliset esimerkit). Sen säteilyintensiteetti on W I e = 8. sr ja lattiaan kohdistama säteilytysvoimakkuus W E e =.. m Oletetaan, että kaikki teho emittoituu punaisena (65 nm) valona. Laske valovoima ja valaistusvoimakkuus lattialla lampun alla. Ratkaisu: Herkkyyskäyrästä luetaan V (65nm)»., joten K lm lm (65nm) = W = W, ja lasketaan valovoima W lm lm I v = » 55 sr W sr ja valaistusvoimakkuus W lm lm E v = = 37» 4 lx m W m Esimerkki: Pieni valonlähde, jonka pinta-ala on 5 cm, säteilee isotrooppisesti 5 W:n teholla valoa, jonka aallonpituus on 5 nm. Laske a) lähteestä tuleva valovirta, b) lähteen valovoima, c) lähteen pinnan valaisemisvoimakkuus, d) valaistusvoimakkuus levyllä joka on m:n etäisyydellä ja kohtisuorassa tulevaa valoa vastaan, e) levyssä olevan pienen reiän läpi pääsevä valovirta, kun reiän halkaisija on 5 cm.

52 99 Ratkaisu: Lähteen säteilyvirta F e = 5 W ja silmän herkkyyskäy-rästä luemme 5 nm:n kohdalta V (5nm)».3. lm 3 a) Valovirta F v = 5W = 3 lm W b) Valovirta jakautuu tasaisesti kaikkiin suuntiin, eli avaruuskulmaan w = 4p. Valovoimaksi saamme I 3 F v 3 lm lm v = = =» w 896 8cd 4 p sr sr c) Lähteen pinnalta valovirta lähtee 5 cm :n alalta, joten valaisemisvoimakkuus on M 3 F v 3 lm 6 lm v = = =.6-4 A 5 m m d) Valovirta jakautuu tasaisesti m:n säteiselle pallopinnalle, joten valaistusvoimakkuudelle m:n etäisyydellä laskemme 3 F v 3 lm lm 3 v = = = 49». lx E A 4 p ( m) m e) Pienen reiän pinta-ala on A= p r, r =.5 cm. Reiän kohdalla valaistusvoimakkuus on kohdan d) mukainen, joten valovirta reiän läpi on lm F = = = m - v Ev A 49 p(.5 m) 4. lm Suureet vielä englanniksi: Radiometriset: Säteilyenergia Radiant energy Säteilyenergian tiheys Radiant energy density 3 Säteilyvirta Radiant flux 4 Säteilemisvoimakkuus Radiant exitance 5 Säteilytysvoimakkuus Irradiance 6 Säteilyintensiteetti Radiant intensity 7 Radianssi Radiance Fotometriset: Valomäärä Luminous energy Valomäärän tiheys Luminous energy density 3 Valovirta Luminous flux 4 Valaisemisvoimakkuus Luminous exitance 5 Valaistusvoimakkuus Illuminance 6 Valovoima Luminous intensity 7 Luminanssi Luminance

53 4.8 MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILY (Blackbody radiation) Musta kappale on kappale, jolla on täydelliset absorptio- ja emissio-ominaisuudet. M = s T 4, (4.8.3) missä s = 5.67 Wm K on ns. Stefan-Boltzmannin vakio. Tulos (4.8.3) on ns. Stefan-Boltzmannin laki. Musta kappale absorboi kaiken siihen osuvan säteilyn. Toisaalta se on myös täydellinen emittoija. Mikään kappale ei voi samassa lämpötilassa emittoida enemmän kuin musta kappale. Mustan kappaleen säteilylain esitti Max Planck v. 9. Lain mukaan säteilemisvoimakkuus aallonpituutta kohti (spektraalinen säteilemisvoimakkuus, spectral radiant exitance) on M l p hc æ ö = 5 ç hc /( lkt ) l èe -ø, (4.8.) missä h, c ja k ovat Planckin vakio, valon tyhjiönopeus ja Boltzmann'in vakio. Huomaa M l :n yksikkö W/m 3 = (W/m )/m, joka on siis säteilemisvoimakkuuden yksikkö jaettuna metrillä. Seuraavan sivun kuvassa M l on piirretty eri lämpötiloissa. Käyrä saa maksimiarvon aallonpituudella, jolle on voimassa hc = =. (4.8.) 5k -3 lmaxt.88 m K Käyrän huippukohta siis siirtyy lämpötilan muuttuessa ja tulosta sanotaankin Wienin siirtymälaiksi. Mustan kappaleen kokonaissäteilemisvoimakkuus saadaan integroimalla yli kaikkien aallonpituuksien: M = ò M dl. Integrointi johtaa tulokseen (laskuharjoitus): l Esimerkki: Musta kappale on. mm:n halkaisijainen reikä ontelosäteilijän seinässä. Lämpötila on 6 K. (a) Millä aallonpituudella musta kappale säteilee eniten aallonpituusyksikköä kohti? (b) Kuinka suuri säteilyteho (säteilyvirta) tulee aukosta aallonpituusalueella nm?

54 3 Ratkaisu: (a) Wienin siirtymälaista (4.8.) laskemme l max = = 6 K m K 48 nm (b) Tarkasti ottaen pitäisi laskea integraali M l = ò M dl, l missä l = 5. nm ja l = 5. nm. Nyt kuitenkin aallonpituuskaista on niin lyhyt, että M l ei juurikaan muutu sillä välillä. Otetaan siis M l vakiona ulos integraalista. Lasketaan sen arvo vaikkapa keskiarvolla l = ( l+ l)/ = 5.5 nm. Ensin välitulos hc lkt ja sitten M = l (6.66 Js)(.998 m/s) (5.5 m)(.38 J K )(6K) l = p (6.66 Js)(.998 m/s) -9 5 (5.5 m) e - æ ö = ç è ø 3 = W/(m m) Säteilytehoksi pinta-alayksikköä kohti integroimme siis M 5.nm 3 W mm 5.nm = ò dl = W/(m m) m = W/m Reiästä A= pr = p(.5 m) =.7854 m tuleva kokonaisteho aallonpituusalueella nm on siis 3 6 = (99.44 )(.7854 )W =.78 W - MA VALON LÄHTEITÄ (Sources of optical radiation) Lähteet: A. Aurinko, taivas B. Hehkuvat kappaleet - mustankappaleen säteilijä - globar - volfram lanka C. Purkauslamput - spektrilamput, monokromaattiset lamput - suuren intensiteetin lähteet a) hiilikaari b) salamavalo c) zirkoniumkaari - loistelamput D. Puolijohdediodit (LED) E. Laserit A. Aurinko Maan ilmakehän ulkopuolelta mitattuna auringon säteilyn tehotiheys aallonpituuden funktiona vastaa lähes täydellisesti mustan

55 5 kappaleen lämpötilassa 6 K lähettämää säteilyä. Maan ilmakehä absorboi ja sirottaa säteilyä. Esimerkiksi infrapuna-alueella on aallonpituuskaistoja, joiden kohdalla maan pinnalle ei pääse ollenkaan säteilyä (kuva). 6 Kuvassa on esitetty W:n kvartsihalogeenilampun spektraalinen säteilemisvoimakkuus (huom. näkyvä alue.4.7 mm): B. Hehkuvat kappaleet Hehkulamput toimivat samalla periaatteella kuin aurinko: Kuumennettu kappale lähettää säteilyä laajalla spektrialueella ja spektrikäyrä muistuttaa mustankappaleen säteilyn spektriä. Varsinaiset kaupalliset mustankappaleen säteilijät toteutetaan onkalon avulla. Onkalon seinämien lämpötila pidetään mahdollisimman tasaisena, jolloin onkalon kylkeen tehty pieni reikä toimii lähes täydellisenä mustana kappaleena. Mustankappaleen säteilijöitä on saatavilla aina nestetypen 96 C asteesta ylös 3 C asteeseen. Globar on piikarbidista valmistettu sauva, jota hehkutetaan sähkövirran avulla. Globarin lämpötila voidaan nostaa aina 4 K asteeseen saakka. Globarin emissiviteetti on hyvä.8.9 (mustalla kappaleella.) ja sitä käytetään infrapunasäteilyn lähteenä. Volframihehkulamppu (tungsten filament) on yleisin näkyvän ja infrapunaisen valon lähde. Hehkulanka on ilmattomassa tilassa lasi- tai kvartsikuvun sisällä. Spektri vastaa melko hyvin mustankappaleen säteilijää. Käytön myötä volframia höyrystyy lasikuvun sisäpintaan ja valoteho heikkenee. Höyrystymistä voidaan ehkäistä käyttämällä täytekaasua, esimerkiksi typpeä tai argonia (noin yhden ilmakehän paineessa). Kvartsihalogeenilampussa (tai volframhalogeenilampussa) täytekaasuna käytetään jodia tai bromia. Halogeenin ansiosta lasikupu pysyy puhtaana. Volframhehkulangan lämpötila voidaan nostaa noin 3 K asteeseen saakka. C. Purkauslamput Purkauslamput perustuvat kaasussa (tai metallihöyryssä) tapahtuvaan sähköpurkaukseen. Kaasu on suljettu lasi- tai kvartsikupuun, jonka sisälle on asennettu elektrodit. Sähkövirran kuljettajina toimivat elektronit, jotka kiihdytetään elektrodien välisen sähkökentän avulla. Nopeasti etenevät elektronit virittävät ja ionisoivat kaasuatomeja tai molekyylejä. Viritystilojen purkautuessa syntyy valoa. Jos kaasun (höyryn) paine on riittävän korkea ja sähkövirta on suuri, saadaan purkauslampusta täytekaasulle ominaisten spektriviivojen lisäksi myös jatkuva spektri. Kun paine ja virta ovat pieniä, jatkuva osa spektristä häviää ja jäljelle jää vain täytekaasulle ominaiset spektriviivat. Esimerkiksi natriumpurkauslampusta saadaan pääasiassa vain keltaista valoa (aallonpituudet 589. nm ja nm). Elohopealampusta saadaan useita värejä, mm. violettia (44.7 nm ja nm), vihreää (546. nm) ja keltaista (577. nm ja 579. nm).

56 7 Kun valoteho halutaan mahdollisimman suureksi, eikä niinkään välitetä spektrin muodosta, käytetään valokaarilamppuja. Hiilikaarilampussa valokaari syntyy ilmassa olevien hiilisauvojen väliin. Kaasun lämpötila valokaaressa (ja hiilisauvojen kärkien lämpötila) on jopa 6 K ja sähkövirta on luokkaa A. Valokaari voidaan synnyttää myös korkeapaineiseen kaasuun, jolloin elektrodit on sijoitettu lasikuvun sisälle. Korkeapainen elohopea-ksenonkaarilamppu on hyvä ultravioletin valon lähde (katso kuva alla). Myös vetykaarilamppua käytetään ultravioletin valon lähteenä. Nykyisissä salamavalolaitteissa kondensaattiriin varastoitu sähköinen energia puretaan nopeasti kaasutäytteisen (ksenon) putken läpi. Kertakäyttöiset salamalamput perustuvat metallin (alumiini tai zirkonium) nopeaan polttamiseen happiatmosfäärissä. D. Puolijohdediodit (LED) 8 Valoa emittoivassa puolijohdediodissa (LED) valo syntyy, kun sähkövirta kulkee pn-rajapinnan läpi. Puolijohdediodi on tavallisesti pakattu ilmatiiviin lasikuvun sisään. Diodin yli kytketään päästösuuntaan pieni jännite, jolloin aukkojen ja elektronien rekombinaatiota tapahtuu pn-rajaliitoksen läheisyydessä. LED valolähteet lähettävät valoa vain pienellä aallonpituuskaistalla. Materiaalivalinnoista riippuen valo on näkyvää (SiC, 58 nm) tai infrapunaista (GaAs, 9 nm). GaAs-LED: Tavallisissa loisteputkissa sähköpurkaus tapahtuu pienipaineisessa elohopeahöyryssä. Lasivaipan sisäpinnalla on loisteainepinnoite, joka absorboi elohopean lähettämän ultraviolettivalon ja muuttaa sen näkyvälle alueelle (fluoresenssi). Loistepinnoitteen materiaalivalinnoilla voidaan vaikuttaa loisteputken väriin. Hg-Xe-kaarilampun spektraalinen emissio: E. Laserit Lasereiden valo on hyvin monokromaattista, jolloin spektrinen säteilyvirta (teho aallonpituusyksikköä kohti) on suuri. Lasersäde pysyy hyvin koossa, joten voidaan saavuttaa suuria säteilyvoimakkuuksia (W/m ). Lasereita käsitellään myöhemmin tarkemmin.

57 Ilmaisimet: A. Termiset detektorit 9 4. SÄTEILYN ILMAISIMIA (Detectors of radiation) A. Termiset detektorit - termopari ja termopylväs - termistori, bolometrit - pyrösähköiset detektorit - Golay B. Kvanttidetektorit - valokenno, valomonistin - fotojohtavat ilmaisimet - fotojänniteilmaisimet - valokuvauslevy Termiset detektorit perustuvat siihen, että ilmaisimeen osuva säteily lämmittää ilmaisinta. Termopari (termoelementti) perustuu lämpösähköiseen ilmiöön: Kun kahden eri metallijohtimen (esim. kupari ja konstantaani) päät liitetään yhteen ja liitoskohtaa lämmitetään, syntyy liitoskohtaan pieni jännite. Jos johtimien toisetkin päät liitetään yhteen saadaan suljettu virtapiiri. Jos liitoskohdat ovat eri lämpötilassa, kulkee piirissä sähkövirta. Termopylväässä on useita termopareja kytkettynä sarjaan. Termistori on pieni puolijohdekomponentti, jonka sähkövastus muuttuu lämpötila funktiona. Bolometrissä on kappale metallia (esim. kupari) tai puhdasta puolijohdetta (esim. germanium), ja säteilyn ilmaiseminen perustuu vastuksen muuttumiseen lämpötilan funktiona. Etenkin infrapunasäteilyä mitattaessa bolometrit jäähdytetään nesteheliumin (4. K) lämpötilaan. Tämä pienentää ympäristöstä tulevaa säteilyä ja kohinaa. Pyrösähköinen detektori perustuu siihen, että lämpötilan muutos joissakin materiaaleissa (esim. TGS, triglycine sulfate) aikaan pintavarauksen muuttumisen. Detektori toimii kuin kondensaattori, jonka varaus on riippuvainen lämpötilasta. Golay-kenno perustuu kaasun lämpölaajenemiseen. Kenno on rakennettu siten, että sen toinen pää pääsee pullistumaan kaasun paineen kasvaessa. Kennoon on kiinnitetty peili ja pullistuminen saa aikaan peilin kääntymisen. Peilin kääntymistä seurataan optisesti. B. Kvanttidetektorit Kvanttidetektorit näkevät valon fotonivirtana. Yksityiset fotonit ovat vuorovaikutuksessa detektorimateriaalin elektronien kanssa. Ilmaisin voi perustua valosähköiseen ilmiöön, jolloin fotoni irrottaa materiaalista elektronin (valokenno). Valokennosta saadaan herkempi valomonistin, kun kytketään sarjaan useita dynodeja, joiden väliin on kytketty elektroneja kiihdyttävä jännite. Katodilta irtoava fotoelektroni irrottaa ensimmäiseltä dynodilta joukon elektroneja, joista kukin irrottaa toiselta dynodilta joukon elektroneja jne. Näin elektronivirta vahvistuu. Ultraviolettialueella ja näkyvän alueen lyhytaaltoisella alueella toimivat valomonistimet ovat niin herkkiä, että yksittäiset fotonit voidaan laskea.

58 Infrapuna-alueella fotonien energia ei riitä irrottamaan fotoelektroneja vaan on käytettävä fotojohtavia ja fotojänniteilmaisimia. Ilmaisimelle saapuvat fotonit virittävät varauksenkuljettajia sidotuista tiloista vapaisiin tiloihin, jolloin vakauksenkuljettajien määrä kasvaa. Fotojohtavissa detektoreissa säteily suurentaa johtavuutta ja fotojännitedetektoreissa säteily saa aikaan jännitteen muuttumisen. Lähi-infrapunassa käytetään puolijohteista CdS ja CdSe valmistettuja fotojohtavia ilmaisimia. Kauempana infrapunassa hyviä ilmaisinmateriaaleja ovat lyijusulfidi (PbS) ja lyijyselenidi (PbSe). Fotojohtavien (a) kadmiumsulfidi (CdS) ja (b) kadmiumselenidi (CdSe) ilmaisimien spektraaliset vastekäyrät: Materiaalien normaali lämpöliike aiheuttaa myös varauksenkuljettajien siirtymistä johtavuusvyöhön. Lämpöliikkeen vaikutukset eivät kuitenkaan saisi hukuttaa alleen fotonien aikaansaamaa signaalia. Tästä syystä fotojohtavat ja fotojännitedetektorit jäähdytetään esimerkiksi nestetypen lämpötilaan (-96 C) etenkin kun niitä käytetään pitkäaaltoisen infrapunasäteilyn havainnointiin. Valokuvauslevyyn osuvat fotonit aiheuttavat kemiallisia reaktioita levyn valoherkässä materiaalissa (hopeabromidi suolasta syntyy vapaata hopeaa ja bromia).

59 3 5 VALON ETENEMINEN Optisella alueella (infrapuna, näkyvä, ultravioletti) sähkömagneettinen kenttä värähtelee hyvin suurella taajuudella (luokkaa 5 Hz). Vastaavasti aallonpituus on hyvin lyhyt (luokkaa -5 cm). On siis odotettavissa, että hyvä approksimaatio valon etenemistä kuvaaviksi laeiksi saadaan, jos aallonpituuden annetaan tyystin hävitä, ts. mennä nollaksi. Osoittautuukin, että näin saatu approksimaatio on niin tarkka, että poikkeamat siitä (erilaiset diffraktioilmiöt) tulevat esille vain erityisen tarkoissa ja huolellisesti laadituissa koeolosuhteissa. Optiikan aluetta, jossa valon aallonpituus jätetään huomiotta ( l ), sanotaan geometriseksi optiikaksi, koska tässä approksimaatiossa optiikan lait voidaan formuloida geometrian sääntöjen avulla. Geometrisessa optiikassa valo etenee äärettömän ohuita käyriä, ns. säteitä (rays), pitkin. Jos säde ei ole äärettömän ohut (esimerkiksi lasersäde) puhutaan sädekimpusta (pencil of rays). Säteiden lisäksi valon etenemistä kuvataan aaltorintamilla (wave fronts, ks. sivu 4), jotka edustavat 3- ulotteisessa aallossa vakiovaiheen pintoja. Säteet ovat homogeenisessa ja isotrooppisessa väliaineessa aina kohtisuorassa aaltorintamia vastaan. 4 Säteille voidaan antaa tarvittaessa myös polarisaatio-ominaisuuksia. Ylempi kuva edustaa ns. luonnollista eli polarisoitumatonta valoa, jossa sähkökenttävektorin suunta vaihtelee nopeasti ja satunnaisesti. Alemmassa kuvassa on esitetty lineaarisesti polarisoitunut valonsäde. Geometrisen optiikan approksimaatio pätee hyvin, kun valon aallonpituus suhteessa optisten komponenttien dimensioihin on hyvin pieni. Kun tämä ehto ei toteudu, valon aaltoluonne synnyttää uusia ilmiöitä, kuten esimerkiksi interferenssi ja diffraktio. Aaltoluonteesta johtuvat optiset ilmiöt kuuluvat ns. fysikaalisen optiikan (physical optics) aihepiiriin, johon perehdymme myöhemmin tässä kurssissa. 5. HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Valon säteen kulkua ohjaavat geometrisen optiikan lait voidaan tiivistää seuraavasti: ) Säteet kulkevat suoraviivaisesti isotrooppisessa, homogeenisessa väliaineessa (homogeeninen = optiset ominaisuudet ovat samat kaikkialla, isotrooppinen = optiset ominaisuudet ovat samat kaikkiin suuntiin). ) Heijastuminen kahden aineen rajapinnassa (kuva seuraavalla sivulla) tapahtuu siten, että tuleva säde (incident) ja heijastunut säde (reflected) ovat samassa tasossa, ns. tulotasossa ja heijastuskulma on yhtä suuri kuin tulokulma: q = q (5..) r i

60 5 3) Taittuminen kahden aineen rajapinnassa tapahtuu siten, että säde noudattaa taittumislakia eli ns. Snelliuksen lakia: sinqi nt vakio sinq = n =, (5..) t missä q t on taitekulma. On huomattava, että myös taittunut säde (refracted) on tulotasossa. 4) Jos valonsäteen kulku käännetään vastakkaissuuntaiseksi, säde palaa lähtöpisteeseensä. (Säteen kulku on käänteinen). i 6 Esimerkki: Paksupohjaisessa lasimaljassa on vettä. Vedessä etenevä valonsäde osuu maljan pohjaan tulokulmalla q a = 6.. Laske heijastuskulma q r ja taitekulma q b, kun veden taitekerroin on n =.33 ja lasin n =.5. a Ratkaisu: Heijastuslaki: q = q = 6. r a b Taittumislaki: nasinqa = nbsinqb na.33 Þ sinqb = sinqa = sin 6. = nb.5 Þ q b = arcsin(.75777) = 49.68» 49.3 Tuleva säde ja rajapinnan normaali määrittelevät tulotason. Kuvassa se on siis paperin taso. Nämä geometrisen optiikan peruslait voidaan johtaa jo 6-luvulla esitetyistä valon etenemisen periaatteista (Huygensin periaate ja Fermat'n periaate). Periaatteiden avulla pyrittiin ymmärtämään teoreettisesti valon luonnetta sekä sitä mekanismia, jolla valo etenee. Lait saadaan myös Maxwellin yhtälöistä. Materiaalin ns. optinen tiheys määräytyy taitekertoimen mukaan. Mitä suurempi taitekerroin sitä tiheämpi materiaali on optisesti. Edellisessä esimerkissä valo siirtyi optisesti harvemmasta aineesta optisesti tiheämpään, ts. na < nb, josta seurasi tulos qb < qa, ts. säde taittuessaan rajapinnalla kääntyi kohti normaalia.

61 7 5. HUYGENSIN PERIAATE Huygensin mukaan valolähteen jokainen piste lähettää jatkuvasti pieniä valopulsseja, jotka etenevät palloaaltoina valon nopeudella joka suuntaan ja joiden yhteisvaikutuksena syntyy aaltorintama. 8 missä v i on valon nopeus väliaineessa i ja v t on valon nopeus väliaineessa t. Edelleen aaltorintaman jokainen piste toimii sekundäärisenä palloaaltojen lähteenä niin, että myöhemmän ajanhetken uusi aaltorintama muodostuu sekundääristen aaltojen verhokäyrästä. Vasemmassa kuvassa etenee tasoaaltorintama. Geometrinen säde on aina kohtisuorassa aaltorintamaa vastaan, joten tasoaaltorintama edustaa suoraan etenevää sädettä. Huygensin periaatteen avulla voidaan mm. johtaa heijastus- ja taittumislait. Esimerkiksi taittumislaki saadaan seuraavasti: Jo Huygens havaitsi, että valo taittuu kahden aineen rajapinnassa kohti normaalia, kun se siirtyy (optisesti) harvemmasta aineesta (optisesti) tiheämpään aineeseen, esimerkiksi ilmasta veteen. On siis voimassa q i > q t ja taittuminen voidaan esittää säteiden ja aaltorintamien avulla seuraavasti (kuva seuraavalla sivulla): Valo saapuu väliaineesta i ja taittuu väliaineeseen t. Aaltorintama ABC kohtaa rajapinnan kohdassa DEF. Pisteestä D lähtevä palloaalto etenee aineessa t matkan DM samassa ajassa kuin säde kulkee aineessa i matkan FI. Siis molempien aika on DM FI aika = = v v, t i Toisaalta kuvan geometriasta ja edellistä tulosta soveltaen saamme sinqi FI / DI FI sinq = DM / DI = i = v DM v. Aineen taitekerroin n määritellään suhteena t n= c/ v, missä c on valon tyhjiönopeus ja v nopeus ko. väliaineessa. Taittumislaki saa tutun muodon n sinq = n sinq. (5..) i i t t t

62 9 5.3 FERMAT'N PERIAATE Fermat'n periaatteen mukaan valo kulkee kahden pisteen välisen matkan siten, että aikaa kuluu mahdollisimman vähän, ts. ajalla on ääriarvo (minimi). Myös Fermat'n periaatteesta voidaan johtaa geometrisen optiikan perusaksiomat. Esimerkiksi taittumislaki saadaan viereisestä kuvasta laskemalla ensin valon käyttämä aika pisteestä A pisteen O kautta pisteeseen B. Kirjoitetaan aika muuttujan x avulla ja minimoidaan se. Lasku johtaa suoraan taittumislakiin (5..). Lisäkommentti: Fermat'n periaate on esimerkki variaatio-laskennasta, jossa yleisesti pyritään minimoimaan jokin määrätty integraali. Esimerkkimme tapauksessa integraali on B ds t = ò, (5.3.) v () s missä v () s on valon nopeus radan kohdassa s. A Esimerkki: Valonsäde läpäisee kohtisuorasti L-paksuisen lasilevyn z-akselin suunnassa (kuva). Laske a) läpäisyaika t, kun levyn taitekerroin on vakio n ja b) läpäisyaika t, kun taitekerroin kasvaa jatkuvasti z-suunnassa yhtälön n ( 3 = n az ) + mukaan. Tässä a on positiivinen vakio. Ratkaisu: a) Valon nopeus levyssä on vakio v =c/ n, joten ajaksi matkalla L laskemme t L n = = L. v c b) Valon nopeus levyssä riippuu z:sta: c c v( z) = = n z n + az 3 ( ) ( 3 ) ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.), missä nyt reitti s on z-akselilla: L L L dz n n 3 n òv( z) c ò c c t = = ( + 3 az ) dz = ( z + az ) = L( + al ) = t ( + al ). 5.4 KOKONAISHEIJASTUS Edellä totesimme, että valo osuessaan rajapintaan sekä heijastuu että taittuu. On kuitenkin olemassa tilanteita, joissa valo ei taitu toiseen väliaineeseen ollenkaan vaan kaikki heijastuu. Puhutaan kokonaisheijastuksesta (total internal reflection). Kun valo tulee optisesti tiheämmästä väliaineesta ja taittuu optisesti harvenpaan, ts. ni > nt (esim. vedestä ilmaan), niin taitekulma on suurempi kuin tulokulma ( q t > q i ) ja säde kääntyy poispäin normaalista

63 Kun tulokulma q = 9 t q i kasvaa, saavutetaan tilanne, jossa taitekulma Tällöin tulokulma q i = q c on ns. kriittinen tulokulma, jolle pätee sin q = nt nt c sin 9 n = n. (5.4.) i Jos tulokulma q i > q c, tapahtuu kokonaisheijastuminen. Esimerkki: Laske kokonaisheijastuksen rajakulma eli kriittinen tulokulma rajapinnoille: vesi ( n =.33) ilma ( n =.) lasi ( n =.5) vesi ( n =.33) lasi ( n =.5) ilma ( n =.) Ratkaisu:. vesi ilma: sinq c = =.7588 Þ q c = lasi vesi: sinq c = =.875 Þ q c = lasi ilma: sinq c = = Þ q c = 4..5 Sovellutus: Kokonaisheijastavat prismat esimerkiksi kiikarissa: q = 45 > q = 4 i Tapahtuu kokonaisheijastus kaikissa heijastuksissa ja säde ei menetä irradianssia. c i Esimerkki: Sukellusveneen periskoopissa käytetään kahta prismaa kokonaisheijastavina komponentteina. Prismat ovat lasia, jonka taitekerroin on.5. (a) Hahmottele kuva periskoopin toimintaperiaatteesta. (b) Periskooppiin tulee pieni vuoto ja alempi prisma peittyy veteen. Miksi periskooppi ei enää toimi? Ratkaisu: a) Molemmissa heijastuksissa tulokulma (45 astetta) on suurempi kuin kriittinen kulma (noin 4 astetta), joten tapahtuu kokonaisheijastus. b) Jos alempi prisma on vedessä, niin kriittinen tulo kulma on 6 astetta (ks. esimerkki edellä), joka on suurempi kuin säteen tulokulma 45 astetta. Kokonaisheijastusta ei tapahdu ja valo "vuotaa" hukkaan. Toinen kokonaisheijastuksen sovellutus on optinen kuitu Valo etenee kuidussa häviöttä kokonaisheijastuen kuidun seinämistä.

64 3 5.5 POLARISAATIO Tavallinen eli ns. luonnollinen valo on satunnaisesti polarisoitunutta. Sähkökenttävektorin Esuunta vaihtelee nopeasti ja satunnaisesti. Matemaattisesti positiivisen z-akselin suuntaan etenevä luonnollinen valo esitetään komponenteilla (ks. 8) ìex ( z, t) = E sin[ kz-wt] í îey ( z, t) = E sin[ kz- wt+ e( t)] missä siis komponenttien amplitudit ovat samat ( Ex = Ey = E) ja vaihe-ero e () t on nyt ajasta riippuva ja se vaihtelee nopeasti ja satunnaisesti. Luonnollista valoa sanotaan myös polarisoitumattomaksi valoksi. Geometrisessa optiikassa: 4 Sähkökentän "pystykomponentit" (johteiden suuntaiset) synnyttävät johteisiin virtoja ja ohmisen vastuksen kautta niiden energia häviää lämpönä ilmaan. Läpi pääsee vain vaakasuuntainen sähkökenttä ja näin valo on muuttunut lineaarisesti polarisoituneeksi. On huomattava, että polarisaattorin ns. transmissioakseli (polarizing axis) on kohtisuorassa johteita vastaan. Täydellinen (ideal) polarisaattori läpäisee 5% luonnollisen valon irradianssista riippumatta transmissioakselin suunnasta: Luonnollinen valo voidaan muuttaa polarisoituneeksi valoksi erilaisilla polarisaattoreilla. Kuvassa alla on esitetty ns. selektiiviseen absorptioon (dichroism) perustuva filtteri (Polaroid-levy), joka tuottaa lineaarisesti polarisoitunutta valoa: Miten lineaarisesti polarisoitunut valo läpäisee lineaarisen polarisaattorin? Asiaa tutkitaan kuvassa alla: Ensimmäinen polarisaattori muuttaa luonnollisen valon lineaarisesti polarisoituneeksi valoksi, joka ohjataan toiseen polarisaattori eli ns. analysaattoriin. Polarisaattoreiden transmissioakseleiden välinen kulma on f, joka on myös analysaattorin transmissioakselin ja analysaattoriin saapuvan lineaarisesti polarisoituneen valon polarisaatiosuunnan välinen kulma (ks. kuva). Analysaattorin läpi mennyt valo on lineaarisesti polarisoitunutta analysaattorin transmissio-

65 5 akselin suunnassa ja sen irradianssille ( I µ E ) pätee ns. Malusin laki I = I f, (5.5.) max cos missä I max on läpi menneen valon maksimi-irradianssi (kun f = ). Esimerkki: Luonnollinen valo, jonka irradianssi on I, läpäisee kaksi peräkkäistä lineaarista polarisaattoria, joiden transmissioakselit muodostavat kulman 3 toistensa suhteen. Laske läpi mennyt irradianssi. Ratkaisu: 6 Kun tulokulma on ns. polarisaatiokulma ( q i = q p ), heijastunut ja taittunut säde muodostavat keskenään 9 :een kulman ja heijastunut valo on täysin lineaarisesti polarisoitunut rajapinnan suunnassa (kohtisuorassa suunnassa tulotasoon nähden, ks. kuva). Jos qi ¹ qp, polarisoituminen on osittaista. Taittunut valo on aina vain osittain polarisoitunutta. Polarisaatiokulma q p saadaan ns. Brewsterin laista: nb tanq p =. (5.5.) n a I = I (luonnollisesta valosta puolet läpäisee) 3 3 I Icos 3 I æ ö = = ç = I è ø 8 Polarisoituminen heijastuksessa Luonnollinen valo polarisoituu, joko osittain tai kokonaan, myös heijastuksessa: Esimerkki: Johda Brewsterin laki lähtien siitä tiedosta, että heijastunut ja taittunut säde muodostavat kulman 9. Ratkaisu: Kuvasta näemme qb + qp = 8-9 = 9, ts. qb = 9 - qp. Tämä tulos sijoitetaan taittumislakiin: nasinqp = nbsinqb = nbsin(9 - qp) = nbcosqp ja tästä kirjoitamme sinq p nb tanq p cosq = = n p Sovellutus: Polaroid-aurinkolasit. Linssien transmissioakseli on pystysuunnassa, jolloin lasit suodattavat erityisen tehokkaasti esim. veden pinnasta heijastunutta valoa, jonka polarisaation suunta on vaakasuunta. a

66 7 6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan eri paikassa ja mahdollisesti eri kokoisena kuin missä se todellisuudessa on. Kuvan muodostuminen voidaan ymmärtää mallintamalla valo säteillä ja soveltamalla yksinkertaisia geometrisen optiikan peruslakeja, geometriaa ja trigonometriaa. 6. HEIJASTUMINEN TASOPEILISTÄ Kun valo saapuu kahden aineen rajapintaan, osa siitä heijastuu takaisin tuloväliaineeseen. Jos rajapinta on karkea (kuva b), heijastuneet säteet lähtevät satunnaisiin suuntiin eikä tapahtumaa voida hallita tarkastelemalla yksittäisiä säteitä. Kysymys on ns. diffuusista heijastumisesta. Diffuusi pinta ei pysty tuottamaan varsinaista optista kuvaa, vaikkakin kaikki esineet ympäristössämme (vaatteet, ihmiset, kirjat, yms.) ovat näkyviä juuri sen ansiosta. Tässä kappaleessa tarkastelemme heijastumista ja optisen kuvan muodostumista hyvin sileästä pinnasta (kuva a). Yhdensuuntainen sädekimppu heijastuu yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Puhutaan peilimäisestä heijastuksesta (specular reflection). 8 Tasopeilissä esinepisteestä (object point) P lähtevät säteet heijastuvat peilistä. Jokaisen säteen heijastuskulma on sama kuin sen tulokulma peilipintaan. Heijastumisen jälkeen jokainen säde näyttää tulevan peilin takaa kuvapisteestä P (image point). Säteet itse eivät kulje kuvapisteen kautta, vaan kuvan paikka voidaan hahmotella säteiden jatkeiden avulla. Yleisesti kuvausteoriassa säteiden jatkeiden muodostamat kuvat ovat ns. valekuvia eli virtuaalisia kuvia (virtual images). Tällaisia valekuvia ei voida projisoida varjostimelle, vaan niitä on katsottava suoraan silmällä. Jos kuva muodostuu itse säteiden leikatessa toisensa, kysymyksessä on ns. todellinen kuva (real image). Tarkastellaan tarkemmin kuvan muodostumista heijastumisessa. Oleelliset säteet on piirretty kuvassa alla: s on esineen etäisyys kuvaavasta pinnasta s ' on kuvan etäisyys Geometrian avulla saadaan tasopeilin ns.kuvausyhtälö: s' = s. (6..)

67 9 Ratkaisu: 3 Tarkastellaan seuraavaksi äärellisen esineen kuvautumista tasopeilissä. Esineen (nuoli) korkeus on y. Jokainen esineen piste kuvautuu kuvapisteeksi, joista muodostuu äärellinen kuva. Tutkitaan nuolen kärjen (pisteen Q) kuvautumista. Kuvaan on piirretty kaksi pisteestä Q lähtevää sädettä, jotka heijastuttuaan jatkavat matkaa vasemmalle. Säteiden jatkeet yhtyvät pisteessä Q ', jonne kuva muodostuu. Taas heijastumislain ja yhtenevien kolmioiden avulla näemme, että kuvan korkeus y ' on sama kuin esineen korkeus y, ts. y' = y. Kuvan korkeuden y ' suhdetta esineen korkeuteen y sanotaan (poikittaiseksi) suurennukseksi m (lateral magnification), siis y ' m =. (6..) y Tasopeilille laskimme edellä tuloksen y= y', joten suurennukseksi tulee yksi. Tasopeili ei siis suurenna tai pienennä. Edellisessä kuvassa kuvanuoli osoittaa samaan suuntaan kuin esinenuoli. Sanotaan, että kuva on oikein päin. Tasopeilin suurennus on aina siis m =+, jossa (+)-merkki tarkoittaa oikeinpäin Esimerkki: Nainen, jonka pituus on 6 cm, näkee itsensä juuri ja juuri kokonaan seinäpeilistä. Naisen silmät ovat 5 cm:n korkeudella lattiasta. Määritä peilin korkeus ja alareunan etäisyys lattiasta. Peilin korkeus on 8 cm. Alareuna on 75 cm:n etäisyydellä lattiasta. Mielenkiintoinen yksityiskohta: tulokset eivät riipu peilin ja katsojan etäisyydestä s. 6. TAITTUMINEN TASOPINNASSA Kuva voi muodostua myös tasomaisen rajapinnan läpi taittuneilla säteillä (esim. vesi-ilma-rajapinnassa): Kulmat q ovat pieniä ja molemmat säteet menevät silmään.

68 3 Taittumislaki: nsinq = nsinq. Pienillä kulmilla sinq» tanq, ja taittumislaki voidaan kirjoittaa n tanq» n tanq, joka kuvan perusteella saadaan muotoon x x n» n. s s' Tästä kirjoitamme kuvausyhtälöksi n =. (6..) n s' s Suurennuksen tutkimme myöhemmin taittavan pallopinnan yhteydessä. Esimerkki: Kala ui m:n syvyydessä. Kuinka syvällä se näyttää uivan? Ratkaisu: Ilman taitekerroin: n =. Veden taitekerroin: n =.33» 4/ 3 Esine: s =. m n 3 Kuva: s' = s = s = 75 cm n HEIJASTUMINEN PALLOPEILISTÄ Pallopeili on esinepisteen O suhteen joko kovera (concave) tai kupera (convex) riippuen siitä onko peilin kaarevuuskeskipiste C samalla tai vastakkaisella puolella kuin esine. Viereisessä kuvassa tarkastellaan kuperaa peiliä. O = esinepiste, I = kuvapiste, V = vertex (huippupiste), s = esineen etäisyys ja s' = kuvan etäisyys V:stä. Jana OC on systeemin ns. optinen akseli. Piste P on mielivaltainen piste pinnalla korkeudella h. Kuvaan on piirretty kaksi esinepisteestä lähtevää sädettä. Toinen, optisen akselin suuntainen säde heijastuu huippupisteestä V suoraan takaisin ja toinen pisteestä P heijastuslain mukaisesti. Heijastuneet säteet divergoivat, mutta niiden jatkeet leikkaavat muodostaen virtuaalisen kuvapisteen I. Etsimme yhtälöä, joka kytkee toisiinsa esineen etäisyyden s kuvapisteen etäisyyden s ' ja peilin kaarevuussäteen R. Kolmiosta OPC kirjoitamme ensin siis a + j+ (8 - q) = 8 ja kolmiosta OPI saamme a + a' + (8 - q) = 8. Sieventämällä tulee q = a + j ja q = a + a' ja nämä yhdistämällä tulee a - a' =- j. (6.3.)

69 33 Kuvan perusteella kirjoitamme myös tulokset h h tana =, tan a' s + d = s' - d ja tan h j = R - d, missä d on pieni väli VQ. Seuraavaksi teemme tärkeän approksimaation. Jos piste P on lähellä huippupistettä V, kulmat a, a ' ja j ovat pieniä ja sarjakehitelmistä (esim. j :lle) 3 5 j j sinj = j- + -L 3! 5! 4 j j cosj = - + -L! 4! riittää ottaa huomioon vain ensimmäiset termit. Voidaan kirjoittaa (esim. j :lle) tanj» sin j» j» h/ R. Tässä siis myös pieni väli d on approksimoitu nollaksi. Yhtälö (6.3.) saa nyt muodon h - h =- h, s s' R mistä pisteen P korkeus h supistuu pois. Kaikki etäisyydet ovat positiivisia ja tulos pätee kuperalle peilille. Vastaava tarkastelu, positiivisia suureita soveltaen johtaa samantapaiseen yhtälöön koveralle peilille. Kun sovelletaan jäljempänä esitettyjä merkkisääntöjä, yhteinen yhtälö molemmille peilityypeille on s + s' = R. (6.3.) Tämä on ensimmäisen kertaluvun teorian mukainen kuvausyhtälö. Säteiden suunnat poikkeavat vain vähän optisesta akselista, joten puhutaan myös ns. paraksiaalisesta approksimaatiosta. Kuvausyhtälön esitti ensimmäisen kerran Gauss vuonna 84 ja hänen mukaansa sitä sanotaan myös Gaussin kuvausyhtälöksi. Merkkisäännöt:. Esineen etäisyys s >, kun esine on samalla puolella kuin pintaan tulevat säteet.. Kuvan etäisyys s ' >, kun kuva on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet. 3. kaarevuussäde R >, kun kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet. - kovera peili R > - kupera peili R < 34 Yhteenvetona merkkisäännöistä voidaan todeta, että positiiviset kuvan ja esineen etäisyydet muodostuvat todellisilla säteillä ja vastaavat siten todellisia esineitä ja kuvia. Negatiiviset etäisyydet muodostuvat säteiden jatkeilla ja vastaavat virtuaalisia (vale-) esineitä ja kuvia. Pallopeilistä saadaan tasopeili asettamalla R. Kuvausyhtälö (6.3.) antaa tällöin s' =- s, joka on tuloksen (6..) yleisempi muoto. Negatiivinen merkki tarkoittaa, että kuva on virtuaalinen kuva, joka siis muodostuu säteiden jatkeiden avulla. Polttoväli f Jos esine on äärettömän kaukana ( s = ), säteet tulevat peiliin optisen akselin suuntaisina ja fokusoituvat polttopisteeseen F kuvausyhtälön (6.3.) mukaan etäisyydelle s' = R/.

70 35 Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): R ì f >, kovera peili f = í (6.3.3) î f <, kupera peili ja kuvausyhtälö (6.3.) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon + =. (6.3.4) s s' f Suurennus lasketaan tarkastelemalla taas äärellisen kokoista (korkeus y) nuolta ja tutkimalla miten sen korkeus muuttuu: Nuolen korkeus on y ja sen kärjen kuvan paikka etsitään kahden säteen avulla. Verteksiin tulevan säteen lähtökulma on sama kuin tulokulma ja optisen akselin suuntainen säde taittuu siten, että sen jatke leikkaa polttopisteen F. Kuva muodostuu heijastuneiden säteiden jatkeiden leikkauspisteeseen. Kuvan kolmioiden avulla kirjoitamme y y' =. s - s' Suurennus määritellään suhteena m= y'/ y, joka etäisyyksien avulla saa muodon s' m =-. (6.3.5) s 36 Esimerkki: Esine, jonka korkeus on 3. cm on cm:n etäisyydellä pallopeilistä, jonka polttoväli on cm. Laske kuvan paikka ja luonne, kun peili on a) kupera b) kovera Ratkaisu: a) kupera peili: f =- cm ja s =+ cm. s + s' = f Þ sf () - ( ) s ' = = cm =- cm»-6.7cm. s- f () -(-) 3 s' (-/3) m=- =- =+».33. s () 3 Kuva on oikeinpäin ( m > ) oleva valekuva ( s ' < ) peilin takana 6.7 cm:n etäisyydellä peilistä. Sen koko on kolmasosa esineen koosta, ts.. cm korkea. b) kovera peili: f =+ cm ja s =+ cm. sf () () s ' = = cm = cm s- f () -() s ' () m =- =- =-. s () Kuva on kääntynyt ( m < ) todellinen kuva ( s ' > ) peilin edessä cm:n etäisyydellä peilistä. Sen koko on sama kuin esineen koko, ts. 3. cm korkea. Kun peilin kaarevuuskeskipiste C (ja siten polttopiste F) on annettu, kuvautuminen voidaan konstruoida graafisesti piirtämällä vähintään kaksi seuraavista "helpoista" säteistä:. Optisen akselin suuntainen säde heijastuu siten, että se tai sen jatke kulkevat polttopisteen kautta.. Peilin huippupisteeseen tuleva säde on helppo piirtää heijastuslain mukaan.

71 37 3. Kohti polttopistettä tuleva säde heijastuu optisen akselin suuntaiseksi. Esimerkki: Piirrä edellisen esimerkin kuvautumiset mittakaavassa. Ratkaisu: a) kupera peili b) kovera peili Huom! Paraksiaalisessa approksimaatiossa tarkastellaan säteitä, jotka kulkevat hyvin lähellä optista akselia. Tämän vuoksi peilejä ei saa piirtää kaareviksi vaan ne on piirrettävä tasomaisiksi. Vain tällöin graafisesti etsitty kuva saadaan kuvausyhtälön (6.3.4) osoittamaan paikkaan suurennusyhtälöstä (6.3.5) lasketun kokoisena TAITTUMINEN PALLOPINNASSA Viereinen kuva esittää kahden materiaalin (taitekertoimet n ja n ) pallomaista koveraa rajapintaa. Pinnan kaarevuuskeskipiste on C, esinepiste O ja kuvapiste I. Kaksi sädettä lähtee esinepisteestä. Toinen läpäisee pinnan huippupisteessä V eikä muuta suuntaansa. Toinen osuu pisteeseen P ja taittuu Snelliuksen lain mukaan n sinq = n sinq. Materiaalissa säteet etääntyvät toisistaan, mutta näyttävät tulevan yhteisestä kuvapisteestä I. Kolmiosta CPO ja CPI kirjoitamme j + q + (8 - a) = 8 j + q + (8 - a') = 8 ja näistä q = a - j ja q = a' - j. Paraksiaalisen approksimaation hengessä kirjoitamme kuvausyhtälön muotoon nq = nq, joka nyt siis saa asun n ( a - j) = n ( a' - j). Kuvan kolmioista saamme (approksimoidaan taas QV» ) h h h tana» a», tan a'» a'» ja tanj» j». s s' R Kuvausyhtälöksi tulee n æh h h h ç - ö = n æ ç - ö è s Rø ès' Rø josta

72 39 n n ( n - n) - =-. s s' R Tässä taas kaikki etäisyydet on ajateltu positiivisiksi. Kun sovelletaan samoja merkkisääntöjä kuin peileille (s. 34) (positiiviset etäisyydet todellisille esineille ja kuville), edellisen sivun kuvassa virtaalisen kuvan etäisyys on negatiivinen ( s ' < ) ja kaarevuussäde on negatiivinen ( R < ). Edellä johdettu kuvausyhtälö voidaan yleistää muotoon n n n - n + =, (6.4.) s s' R joka pätee siis myös kuperalle rajapinnalle. Kun R pallopinnasta tulee tasopinta ja n s' =- s, n mikä on sama kuin aikaisemmin johtamamme tulos (6..). Tässä todellisille esineille ( s > ) kuvan etäisyys on negatiivinen ( s ' < ) tarkoittaen sitä, että kuva on virtuaalinen (vale)kuva, joka muodostuu säteiden jatkeiden avulla. Lauseke poikittaiselle suurennukselle johdetaan seuraavan kuvan avulla. Pienten kulmien approksimaatiossa Snelliuksen laki on esimerkiksi tangenttien avulla muotoa n tanq = n tanq, joten ho hi n = n. s s' 4 Suurennukseksi tulee siis hi ns ' m = =-, (6.4.) h o ns mihin (-)-merkki on lisätty edustamaan kuvan kääntymistä. Tasopinnalle (laske) m =+, joten kuva on esineen kokoinen ja samoin päin. Esimerkki: Esine on 3 cm:n etäisyydellä ilmassa ( n = ) lasiputken edessä. Putken kuperan pallopintaisen pään kaarevuussäde on 5 cm ja putki on täytetty vedellä, jonka taitekerroin on n =.33» 4/3. Laske kuvan sijainti ja laatu. Ratkaisu: Kuvausyhtälö on (6.4.) n n n - n 4/3 4/3- + = Þ + = s s' R 3 cm s' 5 cm Þ 4/3 = - = s' 5 cm 3 cm 3 cm Þ s ' =+ 4 cm. Suurennus yhtälöstä (6.4.) ()( + 4) m =- =-. (4 /3)( + 3) Kuva on putken sisällä ( s ' > ) 4 cm:n etäisyydellä putken päästä. Kuva on todellinen mutta kääntynyt ( m < ) esineeseen verrattuna. Se on saman kokoinen kuin esine.

73 4 Esimerkki: Paksu linssi. Edellisessä esimerkissä materiaali ulottuu niin pitkälle, että kuva muodostuu sen sisälle. Miten tilanne muuttuu, jos jälkimmäinen materiaali ulottuu vain cm:n päähän? Olkoon tällaisen paksun linssin jälkimmäinen pinta kovera pallopinta, jonka kaarevuussäde on sama 5 cm kuin etupinnallakin (kuva alla). Lasketaan mihin kuva nyt muodostuu ja mikä on sen luonne. 4 Kokonaissuurennukseksi laskemme luonnollisesti tulon m= m m = (- )( + /5) =-. 5 Lopullinen kuva on todellinen kuva ja etäisyydellä 9 cm jälkimmäisestä pinnasta. Kuvan koko on /5 esineen koosta ja kuva on kääntynyt. 6.5 OHUET LINSSIT Ratkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 4 cm:n päähän. Nyt kuitenkin toinen pinta taittaa säteet uudelleen ja lopullinen kuva muodostuukin eri paikkaan. Ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii tässä virtuaalisena esineenä toiselle pinnalle. Virtuaalinen esine on pinnan oikealla puolella, kun taas säteet tulevat pintaan vasemmalta. Merkkisääntöjen mukaan esineen etäisyys pinnasta on negatiivinen ja suuruudeltaan (4-) cm= 3cm. Myös kaarevuussäde on negatiivinen (kaarevuuskeskipiste on eri puolella kuin pinnasta lähtevät säteet), joten kuvautuminen toisessa pinnssa saa muodon 4/3-4/3 + = Þs ' =+ 9 cm. -3 cm s' -5 cm Suurennus toisen pinnan kuvautumisessa on (6.4.):n mukaan (- 4/3)( + 9) m = =+. ()(- 3) 5 Linssi on ylivoimaisesti yleisin optinen laite, tasopeilin jälkeen. Yksinkertainen ohut linssi (thin lens) muodostuu kahdesta taittavasta pallopinnasta, jotka ovat niin lähellä toisiaan, että niiden välimatka voidaan approksimoida nollaksi. Linssin kuvausyhtälö johdetaan sovelletaan edellisen esimerkin menetelmää. Linssin taitekerroin olkoon n ja pintojen kaarevuussäteet R ja R. Linssiä ympäröivien materiaalien taitekertoimet olkoon esinetilassa n ja kuvatilassa n 3. Peräkkäiset kuvaukset ovat (6.4.):n ja (6.4.):n mukaan n n n - n + =, s s' R n n3 n3-n + =, m s s' R n s' m =- n s n s' =- n s 3 Ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii esineenä toiselle pinnalle, joten voidaan kirjoittaa s = t- s', missä t on linssin paksuus. Ohuen linssin approksimaatiossa s =- s'.

74 Tulee joista Kun vielä merkitään s 43 n n n - n + =, s s' R n3 n n3-n - =, s' s' R n s' s' ( ') m= m m = n s n 3 - s n n3 n -n n3 -n + = +, s s' R R n = s ja s' = s' saadaan n n3 ( n -n) ( n -n3) + = - ja s s' R R n s' m=- n s 3 n s ' m =- n s, (6.5.) missä siis linssin taitekerroin on n. Tavallisesti linssiä ympäröi sama väliaine (esimerkiksi ilma), jolloin n3 = n ja kuvausyhtälö saa muodon n -n é ù s' + = ê - ú ja m =-. (6.5.) s s' n ër Rû s Ohuen linssin polttoväli f saadaan, kun esine (s) tai kuva ( s ') asetetaan äärettömyyteen. Tulee n -n é ù = ê - ú, (6.5.3) f n ër Rû joka on ns. linssintekijän yhtälö (lensmaker's equation). Polttovälin avulla kuvausyhtälö (6.5.) saa kätevän muodon + = ja s s' f s' m =-. (6.5.4) s 3 Kokoava linssi (converging lens) Linssi kokoaa optisen akselin suuntaiset säteet kulkemaan ns. toisen polttopisteen (second focal point) F kautta. Ensimmäisestä polttopisteestä (first focal point) F lähtevät säteet ohjautuvat optisen akselin suuntaisiksi läpäistyään linssin. Linssi toimii näin, jos sen polttoväli on f >. Tämän vuoksi kokoavaa linssiä sanotaan myös positiiviseksi linssiksi. Linssin polttoväli on positiivinen, kun n > n (esim. lasilinssi ilmassa) ja linssi on keskeltä paksumpi kuin reunoilta, ts. (katso linssintekijän yhtälö) - >. R R Viereisen kuvan ns. meniskuslinssi, tasokupera linssi ja kaksoiskupera linssi ovat kaikki kokoavia linssejä. Hajottava linssi (diverging lens) Linssiin optisen akselin suuntaisesti tulevat säteet hajoavat linssin läpi mentyään niin, että ne näyttävät tulevan toisesta polttopisteestä F. Vastaavasti kohti ensimmäistä polttopistettä F tulevat säteet kääntyvät kulkemaan optisen akselin suuntaisesti. Hajottavan linssin polttoväli on f < ja sitä sanotaankin usein negatiiviseksi linssiksi. Tämä toteutuu, kun n > n ja linssi on reunoilta paksumpi kuin keskeltä. Vieressä esimerkki negatiivisesta meniskuslinssistä. 44

75 45 On huomattava, että jos linssi siirretään väliaineeseen, jonka taitekerroin on suurempi kuin itse linssin taitekerroin, niin kokoava linssi muuttuu hajottavaksi ja hajottava kokoavaksi. Esimerkiksi ilmakupla vedessä on kupera linssi, mutta se on hajottava. Hahmotellaan "suttupaperille": 46 Kuvautumisen graafisessa analyysissä tärkeiden säteitä ovat:. Optisen akselin suuntainen säde (tai sen jatke) kulkee polttopisteen kautta.. Polttopistettä kohti kulkeva säde taittuu optisen akselin suuntaiseksi. 3. Linssin keskipisteen kautta kulkeva säde ei muuta suuntaansa. Esimerkki: Käytössä on hajottava linssi, jonka polttoväli on cm. Halutaan muodostaa oikein päin oleva valekuva, jonka koko on /3 esineen koosta. Mihin esine on sijoitettava? Esitä kuvan muodostuminen myös graafisesti. z-suunnassa kaikki mahtuu 4 cm:n matkalle Valitaan mittakaavaksi: z-suunnassa :3 ( cm kuvassa on 3 cm todellisuudessa) y-suunnassa : (olkoon esineen korkeus cm) 4 cm à 3.3 cm cm à 6.7 cm 3.3 cm à 4.4 cm piirretään: Ratkaisu: Hajottava linssi: f =- cm. Suurennuksen oltava: m=+ / 3 =-s'/ s Þ s' =-s/3 Kuvausyhtälöstä: + = Þ - 3 = Þ - = s s' f s s f s f josta s=- f =+ 4 cm. Esine on sijoitettava 4 cm linssin eteen. Graafinen esitys: Mittakaavan määrittämiseksi lasketaan kuvan paikka s ': s' =- s/3 =- 4 /3 cm»- 3.3 cm (myös linssin edessä) Tarvittavat etäisyydet ovat siis: s on 4 cm linssin edessä s ' on 3.3 cm linssin edessä F on cm linssistä (edessä olevaa tarvitaan kuvaajassa)

76 47 Kun kuvaavassa optisessa systeemissä on useita komponentteja (linssejä, peilejä, pintoja, ), säteiden etenemistä systeemin läpi seurataan vaihe vaiheelta komponentti kerrallaan. Edellisen komponentin muodostama kuva on aina seuraavan komponentin esine, jne Lopullinen suurennus lasketaan komponenttien suurennuksien tulona. Esimerkki: Linssisysteemi muodostuu kahdesta ohuesta linssistä, joiden polttovälit ovat f =+ 5 cm ja f =- 5 cm. Linssien välimatka on 3 cm ja esine sijaitsee 5 cm kokoavan linssin edessä. Laske kuvan paikka ja laatu. Ratkaisu: Hahmotellaan systeemi: Kuvaus. linssillä: s = 5cm, f = 5cm s + s' = f Þ s m = sf = (5)(5) =+ ' cm 37.5 s- f 5-5 s' 37.5 =- =- =- s 5.5 Välikuva on siis 37.5 cm ensimmäisestä linssistä oikealle, kääntynyt ja kooltaan.5 kertainen esineeseen nähden. Kuva on todellinen. Tämä välikuva toimii toiselle linssille esineenä. Se on 7.5 cm:n etäisyydellä toisesta linssistä. cm 48 Kuvaus toisella linssillä: f =-5cm, s =-(37.5-3) =-7.5cm. s m s f (-7.5)(-5) ' = = cm =+ 5 s - f (-7.5) -(-5) s' 5 =- =- =+ s -7.5 Systeemin kokonaissuurennus on m= m m = (-.5)() =-3 Lopullinen kuva on kääntynyt ( m < ) ja todellinen ( s ' > ). Sen koko on 3 esineen koko ja se sijaitsee 5 cm jälkimmäisen linssin takana. cm 6.6 KUVAUSVIRHEET Jokainen esine (valaistu tai itsevalaiseva) koostuu pistelähteistä, jotka lähettävät palloaaltoja. Viereisessä kuvassa esinepisteestä S lähtevä palloaalto etenee kohti optista systeemiä, joka puolestaan fokusoi aallon kuvapisteeseen P. Kuvapiste P ei ole esinepisteen S täydellinen kuva, koska kuvautumiseen vaikuttaa. Sironta. Diffraktio 3. Kuvausvirheet Sironnassa osa säteistä muuttaa suuntaansa esimerkiksi optisissa materiaaleissa olevista tiheysvirheistä. Tämä lähinnä vain vähentää kuvan kirkkautta. Toisaalta kuvapisteeseen saattaa tulla sironneita säteitä muualta kuin esinepisteestä. Kuvan laatu huononee. Diffraktio häiritsee kuvan tarkkuutta, koska optiset systeemit ovat aina äärellisen kokoisia. Diffraktio asettaa perustavaa laatua olevan rajan kuvan tarkkuudelle, eikä sitä voida koskaan ylittää.

77 49 Kuvausvirheet (aberrations) syntyvät kun optinen systeemi ei itsessään pysty tuottamaan yksi-yhteen vastaavuutta esineestä lähtevän ja kuvaan tulevan säteen välille.. Palloaberraatio - kuvan etäisyys riippuu säteen korkeudesta h: 5 Täydellisesti kuvaavia pintoja on olemassa. Tällaisia ovat esimerkiksi ns. kartioleikkauspinnat (ellipsoidi, paraboloidi,...), joista alla esimerkkinä hyperboloidi-pintainen linssi, joka kuvaa täydellisesti (sirontaa ja diffraktiota lukuunottamatta) pisteen F pisteeksi F.. Koma - kun esinepiste ei ole optisella akselilla, eri korkeudet h antavat kuvan eri korkeuksille: Tällaisia pintoja käytetään vain tarkkuusoptiikassa, koska niiden valmistus on kallista ja ne ovat epäkäytännöllisiä. Esimerkiksi edellisessä kuvassa vain yhdellä tietyllä etäisyydellä oleva piste F kuvautuu tarkasti F :ksi. Toisaalta pallopintoja on helppo valmistaa, ne ovat käytännöllisiä ja kuvausvirheitäkin voidaan eliminoida hyvin tehokkaasti. Kuvausvirheet pallopintojen käytössä Paraksiaalinen kuvausyhtälö on täydellinen kuvaaja. Piste kuvautuu täydelliseksi pisteeksi. Tämän vuoksi poikkeamat paraksiaalisen kuvausyhtälön antamista ratkaisuista ovat kuvausvirheitä. 3. Astigmaattisuus - kun esinepiste ei ole optisella akselilla, eri tasojen säteet antavat kuvan eri etäisyydelle: 4. Kentän kaareutuminen - kuva muodostuu kaarevalle "kuvatasolle" 5. Vääristymä - Suurennus muuttuu akselilta ulospäin siirryttäessä Paraksiaalisessa kuvautumisessa: sinj = j Kolmannen kertaluvun teoriassa: 3 sin j = j -j / 3! Kolmannen kertaluvun teorian käyttäminen kuvausyhtälöiden johtamisessa paljastaa viisi kuvausvirhettä, jotka ovat ns. Seidelin aberraatiot:

78 5 7 SYSTEEMIANALYYSI MATRIISIMENETELMÄLLÄ Tässä luvussa tarkastellaan ensin kuvaavan optisen systeemin ns. peruspisteitä käyttäen esimerkkinä paksua linssiä. Sen jälkeen esitellään varsinainen matsiisimenetelmä, jonka avulla paraksiaalisen säteen kulku systeemin läpi voidaan jäljittää systemaattisesti. Edelleen esitellään ns. systeemimatriisi sekä tekniikka, jolla systeemimatriisia voidaan käyttää peruspisteiden määrittämiseen. Lopuksi tarkastellaan muutamia esimerkkejä. 7. PERUSPISTEET Tarkastellaan esimerkkinä paksua linssiä. Lasimateriaalia rajoittaa kaksi taittavaa pallopintaa (kaarevuussäteet R ja R ), jotka ovat etäisyydellä t toisistaan. 5 Paksua linssiä voidaan kuitenkin käsitellä kelposti ohuen linssin tapaan, kun linssille ensin määritetään ns. peruspisteet (kardinaalipisteet, cardinal points). Peruspisteet eivät ole vain paksujen linssien ominaisuuksia, vaan sellaiset ovat olemassa yleisemminkin kuvaaville optisille systeemeille. Kuvan muodostumista hallitaan siis peruspisteillä, joita on olemassa kuusi (6) kappaletta (ks. kuva alla): ) Polttopisteet (focal points): F ja F ) Pääpisteet (principal points): H ja H 3) Solmupisteet (nodal points): N ja N Peruspisteisiin asetetut optista akselia vastaan kohtisuorat pinnat ovat ns. peruspintoja. Paraksiaalisessa approksimaatiossa peruspinnat ovat tasoja (cardinal planes): polttotasot, päätasot ja solmutasot. Kuvausyhtälö on johdettavaissa seuraavasti: Ensimmäisen pinnan esineestä O muodostama kuva toimii esineenä toiselle pinnalle, joka muodostaa sitten lopullisen kuvan I. Linssin paksuus t otetaan huomioon välikuvan (väliesineen) etäisyyttä laskettaessa toisesta pinnasta. Tuloksena on kuvausyhtälö, jonka soveltaminen on hyvin hankalaa (jos ei tehdä ohuen linssin approksimaatiota t ). Kuvassa on esitetty linssisysteemi, josta on piirretty näkyviin vain ensimmäisen linssin ensimmäinen pinta ja viimeisen linssin viimeinen pinta. Kuva esittää systeemin peruspisteiden ja perustasojen merkitystä: Linssisysteemin polttoväli on ns. efektiivinen polttoväli. Etupolttopisteen F (front focal point) paikka mitataan esinepääpisteestä H

79 53 (front principal point) etummaisen efektiivisen polttovälin f avulla. Takapolttopisteen F (back focal point) paikka mitataan kuvapääpisteestä H (back principal point) takimmaisen efektiivisen polttovälin f avulla. Etusolmupistettä N (first nodal point) kohti tuleva säde jatkaa systeemin läpi mentyään saman suuntaisena näyttäen lähtevän takasolmupisteestä N (second nodal point). Tapahtuu vain yhdensuuntaissiirtymä. Jos systeemin esine- ja kuvapuolella on samaa väliainetta, solmupisteet N ja N yhtyvät pääpisteisiin H ja H. Kuuden peruspisteen sijainti on esitetty yksityiskohtaisesti vielä kuvassa alla. On huomattava, että kuvassa esitetyt etäisyydet ovat suunnattuja. Etäisyydet vasemmalle ovat negatiivisia ja oikealle positiivisia. Kannattaa vielä huomata, että r ja s sekä v ja w mittaavat etäisyyttä huippupisteista V ja V, kun taas efektiiviset polttovälit f ja f mittaavat etäisyyttä pääpisteistä H ja H. 54 Miten optisen systeemin r, s, v, w, f ja f lasketaan ja miten niiden tietäminen yksinkertaistaa kuvautumisen analyysiä? Vastaus löytyy ns. systeemimatriisista, johon tutustumme myöhemmin. Nyt teemme yhteenvedon (kaavojen johto kappaleessa 7.5) paksulle linssille. Käytetään yllä olevassa kuvassa esitettyjä symboleja: Systeemimatriisianalyysi kertoo, että paksun linssin etupolttoväli f saadaan yhtälöstä nl -n' nl -n ( nl -n')( nl -n) t = - - (7..) f nr nr nn RR ja takapolttoväli f on sitten n' f =- f. (7..) n Huomaa, että polttovälit ovat yhtä pitkät (merkkiä eli suuntaa vaille), jos linssiä ympäröi sama väliaine (esim. ilma) molemmilta puolilta, ts. kun n' = n. Paksun linssin pääpisteet voidaan paikallistaa käyttämällä kaavoja L nl -n' nl -n r= ft ja s=- ft, (7..3) nr nr ja solmupisteet löytyvät paikoista æ L n' n -n' ö t f ø L L v = ç - + n nr ja w= ç - - t f L n' nr L è Esineen ja kuvan etäisyydet noudattaa kaavoja: f f s o ja - s + o s = ja i æ è L n n -n ö ø. (7..4) s i sekä poikittainen suurennus m ns m =- i, (7..5) ns ' kun etäisyydet s o ja s i ja polttovälit f ja f mitataan päätasoista. Myös tässä s ja s noudattavat normaaleja linssien merkkisään- o i o

80 55 töjä ( s o > vasemmalla ja s i > oikealla, jos valo tulee vasemmalta). f n' =- f = 47,5cm n 56 Ilmassa olevalle linssille n' = n=, josta seuraa r =v ja s= w, joten solmupisteet yhtyvät pääpisteisiin. Myös polttovälit ovat yhtäpitkiä. Lisäksi kuvausyhtälö ja suurennus (7..5) palautuvat normaaleiksi ohuen linssin yhtälöiksi + = ja s s f missä f = f (siis takapolttoväli, huom!). i s i m =-, (7..6) s Esimerkki: Kaksoiskupera linssi, jonka paksuus on 4, cm on vedellä (n' =,33) täytetyn putken tulppana (kuva). Linssin taitekerroin on,5 ja molemmat kaarevuussäteet ovat 5, cm. Laske linssin polttopisteiden ja pääpisteiden paikat. o Takapolttopiste F on 47,5 cm oikealle toisesta pääpisteestä H. Pääpisteet kaavasta (7..3) nl -n' r= ft =,75cm, nr s L n -n L =- ft =,6cm nr L -. Siis ensimmäinen pääpiste H sijaitsee,75 cm oikealle linssin etupinnasta ja toinen pääpiste H sijaitsee,6 cm vasemmalle linssin takapinnasta. Esimerkki: Esine on 5, cm:n päässä edellisen tehtävän linssin edessä (etupinnasta mitattuna). Mihin kuva muodostuu? Ratkaisu: s o = (5, +,75) cm = 5,75 cm (vasemmalla) f = -35,73 cm, f = cm Ratkaisu: Numeroarvoja: n =,, n L =,5. n ' =,33, R =+ 5,cm, R =- 5,cm ja t = 4,cm Kuvausyhtälöstä (7..5): f f - s + o s = i sof Þ si = s + f o = (5,75) (47,5) 5,75 + (-35,73) = 6,86 cm. Etupolttoväli yhtälöstä (7..): nl -n' nl -n ( nl -n')( nl -n) t = - - =-,7984cm -, f nr nr nnl RR Þ f =-35,73cm Kuva on 6,8 cm pääpisteestä H oikealle. Viimeisestä pinnasta se on (6,86 -,6) cm» 58, cm oikealle. Siis etupolttopiste F on 35,73 cm vasemmalle ensimmäisestä pääpisteestä H. Kuvapuolen polttoväli saadaan kaavasta (7..)

81 57 7. MATRIISIMENETELMÄ Kun optisessa systeemissä on useita komponentteja, tarvitaan systemaattinen menetelmä, joka helpottaa analyysiä. Kun tarkastelu rajoitetaan paraksiaalisiin säteisiin, menetelmäksi sopii matriisimenetelmä. 58 Siirtomatriisi Viereisessä kuvassa tarkastellaan säteen etenemistä (siirtymistä) homogeenisessa väliaineessa matkan L. Alkupisteen "koordinaatit" ovat y ja a ja loppupisteessä ne ovat y ja a. Säde etenee suoraviivaisesti, joten kulma pysyy muuttumattomana, ts. a= a. Säteen kulkua systeemin läpi kuvataan korkeuden y (etäisyys optisesta akselista) ja suunnan a (optisen akselin ja säteen välinen kulma) avulla. Kuvassa yllä on esitetty säteen kulku esimerkkisysteemin läpi. Etäisyydellä x ensimmäisestä taittavasta pinnasta sädettä kuvataan korkeuden y ja kulman a avulla. Kulma muuttuu jokaisessa taittumisessa (pisteissä,, 3, 4 ja 5) ja jokaisessa heijastumisessa (pisteessä 6). Säteen korkeus ei näissä pisteissä muutu, mutta se muuttuu niiden välillä. Paraksiaalisessa approksimaatiossa suunnan ja korkeuden muutokset voidaan esittää lineaaristen yhtälöiden avulla, jotka puolestaan on helppo pukea matriirimuotoisiksi (tästä nimi). Kun yksittäisiä taittumisia ja heijastumisia kuvaavat matriisit yhdistetään, koko optinen systeemi on esitettävissä yhdellä matriisilla. Seuraavassa esitetään vaihe vaiheelta miten säteen korkeus ja suuntakulma voidaan määrittää optisen systeemin jokaisessa pisteessä. Kuvan geometriasta voimme helposti laskea: y = y + Ltana. Paraksiaaliselle säteelle pätee tana = a ja saamme lineaarisen yhtälöparin ìy = y + L a í, (7..) îa= y + a joka matriisimuodossa on éy ù é Lùéy ù ê a ú= ê úê a ú ë û ë ûë û. (7..) Näin siirtymisen vaikutusta säteeseen voidaan kuvata -matriisilla, eli ns. siirtomatriisilla. Taittomatriisi Kuvassa seuraavalla sivulla tarkastellaan säteen taittumista pallopinnassa. Etsitään relaatiota taittumisen jälkeisten koordinaattien ( y', a ') ja taittumista edeltävien koordinaattien ( y, a ) välille. Kuvasta: ìa' = q' - f = q' - y R í îa = q - f = q - y R

82 59 6 Heijastusmatriisi Kuvassa alla tarkastellaan heijastumista pallopinnasta. Esimerkkinä käytämme koveraa peiliä (R >, koska lähtevät säteet ovat samalla puolella kuin kaarevuuskeskipiste C). Peilien yhteydessä on tarpeen sopia merkkisäännöt myös säteen kulmalle a. Kulma on positiivinen, jos säde etenee "ylöspäin" (katso pikkukuva) ja negatiivinen, jos säde etenee "alaspäin". ja taittumislain mukaan (huomaa approksimaatio) Siten josta edelleen ( ) nq = n' q' Þ q' = nn' q. n y a' = q - n æ y ö = ç a + - y, n' R n' è Rø R æ n ö n a' = ç - y+ a. Rèn' ø n' = y. Matriisiyh- Tämä on relaatio kulmalle. Korkeudelle pätee tälö pallopinnalle on siis y' éy' ù é ùéyù ê a' ú = ê R( n/ n' -) n/ n' úê a ú. (7..3) ë û ë ûë û Pallopinnan erikoistapaus on tasopinta, johon päästään, kun asetetaan R. Siis tasopinnalle: éy' ù é ùéyù ê a' ú= ê n/ n' úê a ú ë û ë ûë û. Kuvasta: Merkkisäännön mukaan a ja sanoo, että q = q'. Saamme: y a' = q' - R ì a = q + f = q + ï í ï a' = q' - f = q' ïî - y y = q - = a -. R R Lineaariset yhtälöt ovat siis: ìy' = y+ a ï í ïa' =- y+ a î R y R y R. a ' ovat positiivisia ja heijastuslaki (7..4)

83 ja matriisiyhtälöksi tulee siten 6 éy' ù é ùéyù ê a' ú = ê - R úê a ú. (7..5) ë û ë ûë û Linssin matriisi Rakennetaan nyt matriisi, joka esittää paksun linssin vaikutusta säteeseen. Säteen kulkua esittää seuraava kuva: Ensimmäinen taittuminen: Siirto: éyù éyù ê M a ú= ê a ú ë û ë û éyù éyù ê M a ú= ê a ú ë û ë û éy3ù éyù Toinen taittuminen: ê M3 a ú= ê 3 a ú ë û ë û Yhdistämällä yhtälöt saadaan é y3 y y ê ù M3MM M a ú= é ê ù = é ù 3 a ú ê a ú ë û ë û ë û. Paksun linssin vaikutus säteen kulkuun voidaan siis esittää yhdellä matriisilla M= MMM 3, missä kertolasku lasketaan normaaleja matriisin kertolaskusääntöjä soveltaen. Yleistys: Jos siirtoja, heijastuksia ja taittumisia on yhteensä N kpl, on 6 yf y ê é MNMN MM a ú ù = é ù -L ê f a ú (7..6) ë û ë û ja koko systeemiä edustaa yksi matriisi M= M M L MM. (7..7) N N- Merkitään: R = taittomatriisi (refraction matrix) T= siirtomatriisi (translation matrix) Paksun linssin matriisiksi tulee: M = R T R eli é ùé tùé ù M =ên L-n' nlúê n-nl n n' R n' úê ú. (7..8) ë ûë ûë nlr nlû Jos linssin molemmilla puolilla on samaa ainetta ( n' = n) ja jos linssi on ohut ( t = ), saadaan é ùé ùé ù =ên n núê ên n nú ú. (7..9) ë û M - - Matriisikertolasku antaa (laske) L L L ë nr n û ë nlr nlû é ù é ù = ênl n ú = ê ( ) ú, (7..) n R - - f ëê R ûú ë û M - missä nl -næ ö = ç - f n èr R ø on tuttu linssintekijän yhtälö.

84 63 Yhteenveto yksinkertaisista säteenseurantamatriiseista: SYSTEEMIMATRIISI Systeemiä kokonaisuudessaan kuvaavaa matriisia (7..7) sanotaan systeemimatriisiksi tai ABCD-matriisiksi. Systeemimatriisin éa Bù M = ê C D ú ë û elementit kuvaavat optisen systeemin ominaisuuksia. On huomattava, että matriisielementtien arvot riippuvat säteen sisäänmenotasosta (input plane) ja ulostulotasosta (output plane). Edellä esitetyn paksun linssin tapauksessa sisäänmenotasoksi valittiin linssin vasen pinta ja ulostulotasoksi oikea pinta. Jos molemmat tasot siirretään jollekin etäisyydelle linssistä, systeemimatriisi sisältää myös alkutilan ja lopputilan väliset siirtomatriisit. Tällöin matriisielementit muuttuvat ja systeemimatriisi esittää "laajennettua" systeemiä. Kaikissa tapauksissa systeemimatriisilla on ominaisuus: A B Det M = C D n = AD - BC =, (7.3.) n f missä n on alkutilan väliaineen taitekerroin ja n f on lopputilan väliaineen taitekerroin. Tämä tulos voidaan todistaa helposti, kun huomataan, että jokaisen yksittäisen matriisin M i (siirto, taitto, heijastus, ks. edellinen sivu) determinantti on Det M i = tai n. n' Tulomatriisin determinantti on Det = (Det )(Det ) L (Det ), M M M M N josta kaikki muut taitekertoimet supistuvat pois paitsi ensimmäinen (n ) ja viimeinen (n f ) ja tulos on n / n f.

85 65 Tarkastellaan seuraavaksi systeemimatriisin elementtien merkitystä. Säteen koordinaatit olkoot sisäänmenotasossa ( y, a ) ja ulostulotasossa ( y f, a f). Koordinaatit kytkeytyvät toisiinsa systeemimatriisin välityksellä yhtälöllä: éy f ù éa Bùéy ù ê a ú= ê f C D úê a ú ë û ë ûë û Û ìyf = Ay + Ba í. (7.3.) îa f = C y + Da Tarkastellaan nyt tilanteita, joissa kukin matriisielementti on vuorollaan nolla.. D = Tällöin a f = Cy on riippumaton a :sta. Kaikilla korkeudella y olevasta sisäänmenotason pisteestä lähtevillä säteillä on sama kulma a f ulostulotasossa. Tämä tarkoittaa sitä, että sisäänmenotaso on etupolttotaso.. A = Tällöin yf = Ba on riippumaton y :sta. Kaikista sisäänmenotason pisteistä kulmaan a lähtevät säteet osuvat ulostulotasossa pisteeseen y f. Ulostulotaso on siis takapolttotaso. 3. B = Tällöin yf = Ay on riippumaton a :sta. Kaikki sisäänmenotason pisteestä y lähtevät säteet kohtaavat ulostulotasossa pisteessä y f. Kysymyksessä on siis esinepiste ja kuvapiste ja tasot ovat systeemin ns. konjugaattitasoja. Koska A= yf y, elementti A on systeemin suurennus. 4. C = 66 Tällöin a f = Da on riippumaton y :sta. Tilanne on analoginen tapauksen 3 kanssa, kun korkeudet muutetaan kulmiksi. Samansuuntaisina systeemiin tulevat säteet poistuvat systeemistä samansuuntaisina (kuitenkin eri kulmaan). Koska D = a f a, elementti D on systeemin kulmasuurennus.

86 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli V :ssä ja ulostulotaso vastaavasti viimeisen linssin viimeisessä pinnassa eli V :ssa. Lasketaan ensin lausekkeet etäisyyksille p, r ja f, jotka antavat etupolttopisteen F ja esinepääpisteen H sijainnit. Kuvassa alla tarkastellaan polttopisteestä F lähtevää sädettä, joka leikkaa sisäänmenotason korkeudella y. 68 Systeemimatriisista saamme ìyf = Ay + Ba í. îa f = C y + Da Nyt a f =, josta seuraa: C a =- y. D Pienillä kulmilla tana = a ja kuvasta saamme (huomaa merkki) y a =. - p Siten C y D - y =- Þ p =. D p C Tämä on etupolttopisteen etäisyys V :stä. Kuvasta näemme myös, että a = yf (- f), joten f y Ay + Ba f =- =- a a Tässä y a =- DC(ks. yllä), joten æ y ö ç B è ø =- A + a AD f = - B. C Tämä on etupolttopisteen etäisyys etupääpisteestä H. Edelleen laskemalla f AD - BC Det M n = = =. C C nf C Kuvassa positiivinen etäisyys r (H :n etäisyys V :stä) on nyt = - = - f r p f D n æ n ö = ç D-. C n C Cè nf ø

87 69 Lasketaan seuraavaksi lausekkeet etäisyyksille q, s ja f, jotka antavat takapolttopisteen F ja kuvapääpisteen H sijainnit. Kuvassa alla tarkastellaan optisen akselin suuntaisena tulevaa sädettä, joka fokusoituu polttopisteeseen F. Säde leikkaa sisäänmenotason korkeudella y kulmassa a =. ja koska a f = C y + Da eli nyt a = C y + Da saadaan y - D = a C ja siten D - v =. C Vastaavasti saadaan ( n nf) - A w=. C Laskennan tulokset on koottu oheiseen taulukkoon: 7 Suoraviivainen laskeminen (laskuharjoitus) antaa tulokset: A - A q =-, s =, f =-. C C C Alla esitetyn kuvan avulla saadaan vielä solmupisteiden etäisyydet v ja w. Nyt a = a f = a. Merkit huomioiden kirjoitetaan ensin a -y = v Taulukosta kannattaa huomata vielä seuraavat seikat:. Jos n = nf, niin r =v ja s= w, ts. pääpisteet ja solmupisteet ovat samassa paikassa.. Jos n = nf, niin f =- f, ts. molemmat efektiiviset polttovälit ovat yhtä pitkiä. 3. Aina pätee r- s= v -w, ts. pääpisteiden väli on aina sama kuin solmupisteiden väli.

88 7 7.5 SOVELLUTUSESIMERKKEJÄ Esimerkki: Tutkitaan kahden ohuen linssin muodostamaa systeemiä. Linssit voivat olla joko kokoavia tai hajottavia. Systeemimatriisiksi tulee M = LBTL A, missä L A on linssin A matriisi, T on siirto linssistä A linssiin B ja L on linssin B matriisi. Kirjoitetaan: B L M é ù é ù =ê f ú é ù ê úê ú ë - B ûë ûë - fa û L é - f L ù A =ê ú. L L êë - (- )- - fb fa fa fbúû é ùé- Lù ê ú ë ûëê A úû L fa = ê - ú f - B f Systeemin efektiivinen polttoväli f = f =- C, joten L =- C = + -. f f f f f A B A B Edelleen esinepuolen pää- ja solmupisteiden paikat ovat D- -L/ fb f r = v = = = C -/ f f ja vastaavat esinepuolella - A L/ fa f s = w= = =- L C -/ f fa B L 7 Esimerkki: Huygensin okulaari. Sovelletaan edellisen esimerkin tuloksia ns. Huygensin okulaariin, joka muodostuu kahdesta positiivisesta linssistä, joiden välimatka L on linssien polttovälien keskiarvo. Olkoon f A = 3,5 cm ja f B =,83 cm. Linssien välimatkaksi on säädettävä L = ( ),64 fa + fb = cm. Efektiiviselle polttovälille L,64 = + - = + - =,4 f fa fb fafb 3,5,83 (3,5)(,83) josta f =,5 cm. Edelleen f,5 r = v= L=,64 =+ 3,5 cm fb,83 f,5 s = w=- L=-,64 =-,83 cm fa 3,5 Okulaari peruspisteineen ja kolme tärkeää sädettä on esitetty karkeasti mittakaavassa seuraavassa kuvassa: Okulaarin jälkeen divergoivien säteiden jatkeet muodostavat suurennetun valekuvan (ei esitetty kuvassa), joka näkyy silmällä, kun okulaariin katsotaan. Okulaari = Eyepiece.

89 73 Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on,5: Kaarevuussäteet R = 3 cm ja R. Systeemimatriisi on M = RTR, missä R on taittomatriisi. pinnassa, T on siirto pinnasta pintaan ja R on taittomatriisi pinnassa. Kirjoitetaan: é ùé 3ùé ù é ùé 3 ù é 3 ù = ê ú= ê 3 ë ûë ûë û úê ú = ë ûë - ê 9 3û ú. ë- 6 û M ê,5,5 úê ú -,5 3,5 Tarkistus: æ ö Det( M) = -ç - = (ok!) 3 è 6ø Efektiivinen polttoväli: f = f =- = 6 (cm) C ja edelleen: D- - r = v = = = C -/6 - A - 3 s = w= = =- (cm) C -/6 Pääpisteet ja -tasot on piirretty kuvaan. 74 Esimerkki: Paksun linssin yleiset kaavat (katso kappale 7.). Matriisitulosta (7..8) paksun linssin systeemimatriisiksi tulee éa Bù M = ê C D ú ë û, missä ( nl - n) t A = -, nl R n B= t, n L ( nl -n') ( nl -n) ( nl -n')( nl -n) t C = - -, n' R n' R n' n RR n æ ( nl - n') t ö D = ç +. n ' è n L R ø L Sivun 7 taulukon avulla nämä matriisielementit johtava tuloksiin: n' nl -n' nl -n ( nl -n')( nl -n) t = C = - -, f n nr nr nn RR D-n/ n' nl -n' r= = ft ja C nr D- æ n' nl -n' ö v = = t f C ç - + n nr. è L ø L Vastaavat yhtälöt kuvapuolen suureille f, s ja w saadaan suoraviivaisesti samalla periaatteella. L

90 75 8 OPTISIA INSTRUMENTTEJA Tässä kappaleessa tarkastellaan yksinkertaisia optisia instrumentteja, joiden toiminta voidaan ymmärtää geometrisen optiikan periaatteilla. 8. KAIHTIMET, PUPILLIT JA IKKUNAT Kaikki esinepisteestä kohti optista systeemiä lähtevät säteet eivät osallistu kuvan muodostukseen. Säteiden kulkua rajoittaa mm. linssien ja peilien koot (aukot) ja tarkoituksella systeemiin asetetut himmentimet eli kaihtimet. Kaihtimilla vähennetään mm. kuvausvirheitä ja ne ovat tarpeen myös hajavalon rajoittamiseksi. 76 Tulopupilli (Entrance Pupil, E n P) on aukkokaihdin sellaisena kuin systeemiin tuleva säde sen näkee ts. aukkokaihtimen kuva aukkokaihdinta edeltävällä optiikalla muodostettuna. Edellisissä esimerkeissä tulopupilli on itse aukkokaihdin (AS). Lähtöpupilli (Exit Pupil, E x P) on aukkokaihdin sellaisena kuin systeemistä lähtevä säde sen näkee, ts. aukkokaihtimen kuva muodostettuna kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Aukkokaihdin (Aperture Stop, AS) on se systeemin elementti, joka määrää kuinka suuri optisella akselilla olevasta esinepisteestä lähtevä valokartio voi läpäistä systeemin. Se siis kontrolloi kuvan kirkkautta, ei kokoa. Aukkokaihdin voi olla todellinen (esimerkiksi kameran objektiivissa on erillinen säädettävä kaihdin) tai jonkin kuvaavan elementin määräämä (esimerkiksi linssin halkaisija). Pääsäde (Chief Ray) on mikä tahansa säde, joka ei lähde esineen optisella akselilla olevasta pisteestä ja joka kulkee aukkokaihtimen keskipisteen kautta. Kenttäkaihdin (Field Stop, FS) määrää näkökentän suuruuden. Esimerkiksi katsottaessa ikkunasta ulos ikkunat karmit toimivat kenttäkaihtimena. Kamerassa kenttäkaihtimena on filmikehikko. Kenttäkaihdin löydetään "kiertämällä" aukkokaihtimen keskipisteen kautta kulkevaa pääsädettä kunnes jokin komponentti rajoittaa sen kulkua. Kyseinen komponentti on kenttäkaihdin. Edellisessä esimerkissä (Esim. 3) kenttäkaihdin on linssi, koska se rajoittaa pääsädettä ensimmäisenä.

91 77 Tuloikkuna (Entrance Window, E n W) on kenttäkaihtimen kuva kaihdinta edeltävällä optiikalla. 78 Lähtöikkuna (Exit Window, E x W) on kenttäkaihtimen kuva kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Kenttäkaihdin FS rajoittaa näkökulmaa, joka on pääsädekartion kulma, esine puolella kulma a (ks. kuva yllä) tulopupillin (E n P) kohdalla ja kuva puolella kulma a ' lähtöpupillin (E x P) kohdalla. Esimerkki: Esine, jonka korkeus on cm, sijaitsee cm:n etäisyydellä linssistä, jonka polttoväli on +5 cm ja halkaisija 5 cm. Linssin edessä cm:n etäisyydellä sijaitsee kaihdin, jonka halkaisija on cm. a) Laske kuvan paikka ja koko. b) Määritä aukkokaihdin ja laske tulo- ja lähtöpupillin paikka ja koko. c) Piirrä aukkokaihtimen määräämä valokartio systeemin läpi ja esineen kärjestä lähtevä pääsäde. Ratkaisu: a) s = cm ja f = 5cm, joten kuvan paikaksi saadaan sf 5 s' = = cm = cm s- f -5 ja suurennukseksi tulee m=- s'/ s =-, joten kuva on kääntynyt ja cm:n korkuinen. Kuvaaja mittakaavassa: b) Kuvaajan perusteella nähdään suoraan, että esineen optiselta akselilta olevasta pisteestä piirrettyä valokartiota rajoittaa kaihdin, joten se on nyt systeemin aukkokaihdin. Tulopupilli on aukkokaihtimen kuva kaihdinta edeltävällä optiikalla. Nyt edeltävää optiikkaa ei ole, joten itse aukkokaihdin on samalla tulopupilli. Tulopupilli on siis cm linssistä vasemmalle ja sen halkaisija on cm. Lähtöpupilli on aukkokaihdin kuvattuna kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Tässä kuvauksessa s = cm ja f = 5cm, joten sf 5 s ' = = =-/3 cm ja s- f -5 s' m=- = = 5/3 s 3 Lähtöpupilli on siis noin 3,33 cm linssistä vasemmalle ja sen halkaisija on (cm) 5/3» 3,33 cm. c) valokartio ja pääsäde: Valokartio (tai sen jatke) kulkee AS:n ja myös E n P:n ja E x P:n reunojen kautta. Pääsäde (tai sen jatke) kulkee AS:n, E n P:n ja E x P:n keskipisteiden kautta.

92 79 Esimerkki: Sama systeemi kuin edellä. a) Määritä kenttäkaihdin sekä tulo- ja lähtöikkunat. b) Piirrä äärimmäisten pääsäteiden kartio systeemin läpi. c) Laske systeemin näkökulma. Ratkaisu: a) Kiertämällä pääsädettä AS:n keskipisteen ympäri havaitaan (ks. edellisen tehtävän kuva), että linssi rajoittaa sitä ensin, siis: - kenttäkaihdin (FS) on linssi - tuloikkuna (E n W) on linssi (ei kuvaavaa optiikkaa edellä) - lähtöikkuna (E x W) on linssi (ei kuvaavaa optiikkaa takana) b) Mittakaava : sekä z- että y-suunnassa Valokartio (tai sen jatke) kulkee FS:n ja myös E n W:n ja E x W:n reunojen kautta ja AS:n sekä E n P:n ja E x P:n keskipisteiden kautta PRISMAT Taittava prisma muodostuu kahdesta tasosta, jotka ovat kulmassa A toistensa suhteen (katso kuvaa). Taittava kulma A ja tasojen välisen materiaalin taitekerroin n määräävät prisman läpi kulkevan säteen poikkeaman (deviaation) d suuruuden. Tarkastellaan prisman taittokykyä alla olevan kuvan mukaisesti. Valonsäde etenee ns. pääleikkauksessa eli taittavan särmän normaalitasossa. Kuvasta saadaan: ìd = d+ d = ( q- q') + ( q -q') í îa = 8 - (9 - q' ) - (9 - q' ) = q' + q' josta seuraa suoraan d = q+ q - A. Snelliuksen lain mukaan on ìsinq = nsin q' í. îsinq = nsin q' (Tässä kuvassa on "sattuma" että kartio kulkee läheltä AS:n sekä E n P:n ja E x P:n reunoja) c) Näkökulmat (merkitty kuvaan): a EnW:n halkaisija/ 5/ 5 tan( ) = = = Þ a = 3 EnW:n ja E np:n väli 4 a ' ExW:n halkaisija/ 5/ 3 tan( ) = = = Þ a ' = 74 E xw:n ja E xp:n väli / 3 4 Deviaatiokulma d saadaan kulmien A ja q avulla, kun ensin kirjoitetaan sinq = nsin( A- q' ) ja sovelletaan sitten identiteettiä sin( a - b) = sinacos b - cosasin b. Lopulta tulee (kotilasku) d = q+ arcsin é n -sin qsin A-sinqcos Aù- A. (8..) ë û

93 8 Tulos on tarkka, mutta sitä on hankala käyttää. Tilanne yksinkertaistuu huomattavasti, jos säde kulkee prisman läpi symmetrisesti. Tällöin myös poikkeamalla on minimi. Miksi symmetrisesti kulkevan säteen deviaatio on minimissä? Tulos voidaan laskea minimoimalla deviaation lauseketta (8..). Lasku on pitkähkö, joten perustellaan tulos nyt toisin. Seuraava selitys perustuu kokeelliseen havaintoon, jonka mukaan minimideviaatio havaitaan vain yhdellä tulokulman q arvolla: Kuvassa alla säde kulkee prisman läpi symmetrisesti, ts. niin, että q = q = q. Oletetaan nyt, että minimideviaatio tapahtuisi jollakin epäsymmetrisellä ( q ¹ q ) säteen kululla, tulokulmalla q. Säteen kulku on käänteistä, joten vastakkaisesta suunnasta tuleville säteille minimideviaatio tapahtuisi tulokulmalla q. Prismalla olisi siis kaksi eri tulokulmaa, joilla minimideviaatio tapahtuisi. Tämä on vastoin havaintoa, joten oletuksen on oltava väärin. Siispä jos säde kulkee prisman läpi symmetrisesti, deviaatio on minimissään. 8 Minimideviaatiossa sivun 8 yhtälöistä saadaan A + d A d = q - A Þ q = ja A= q ' Þ q ' =. Kun nämä sijoitetaan Snelliuksen lakiin sinq = nsin q', saadaan sin ( d + A) n =. (8..) sin A Tämä tulos on tarkka. Mittaamalla minimideviaatio prismalle, jonka taittava kulma on A, saadaan prismamateriaalin taitekerroin laskettua yo. tuloksesta. Kun taittava kulma A on pieni, sinit voidaan korvata kulmillaan ja saadaan approksimaatio ( d + A) n», A josta edelleen d»( n- ) A. (8..3) Kun A = 5, kaavan virhe on noin %. Kulmalle A = 3 virhe on noin 5%. Dispersio Lasin (optisen materiaalin yleensä) taitekerroin riippuu aallonpituudesta, n= n( l). Säteen suunnan muutos eli deviaatio prismassa on siten myös valon väristä riippuvainen. Tästä seuraa, että prisma hajottaa valkoisen valon väreihin. Materian taitekerroin voidaan ilmaista ns. Cauchy'n kaavalla B C n( l) = A l + l +, (8..4)

94 83 jossa A, B, C, jne., ovat kullekin materiaalille ominaisia, kokeellisesti määritettäviä, vakioita. Tavallisesti riittää kaksi ensimmäistä termiä. Normaalissa tapauksessa kaava (8..4) antaa taitekertoimelle viereisen kuvan mukaisen käyttäytymisen. Dispersio on taitekertoimen aallonpituusriippuvuus, ts. dn B»-. 3 dl l Dispersio ei siis riipu taitekertoimen absoluuttisesta arvosta (A) vaan etupäässä kertoimesta B. Jos B >, niin dndl< ja tilanne on edellisen kuvan mukainen. Puhutaan normaalista dispersiosta. Jos tilanne on päinvastainen tai dndl on epäjatkuva, kysymyksessä on anomaalinen dispersio. Kaikilla aineilla on myös anomaalista dispersiota, mutta tavallisesti anomaalisuus esiintyy näkyvän alueen ulkopuolella. Fraunhoferin viivat Optiikassa aallonpituuksien identifioiminen värien perusteella (punainen, keltainen,...) on aivan liian epätarkkaa. Käytännössä tarvitaan joukko hyvin tarkasti tunnettuja referenssiaallonpituuksia. Optisella alueella aallonpituusstandardeina käytetään erilaisista purkauslampuista saatavia ns. Fraunhoferin viivoja. 84 Fraunhoferin viivoja on hyvin paljon läpi koko optisen alueen. Edellisessä taulukossa on annettu vain kolme näkyvän alueen tärkeintä viivaa. Ne ovat vedyn F- ja C-viivat (sininen ja punainen) sekä natriumin D-viiva (keltainen). F- ja C- viivat edustavat näkyvän alueen reunoja ja D-viiva on keskellä. Optisten lasien valmistajat ilmoittavat lasiensa dispersio-ominaisuudet taitekertoimen n D ja ns. Abben luvun V avulla nd - V =. nf - nc Mitä pienempi on V, sitä suurempi dispersio lasilla on. Tavallisilla optisilla laseilla taitekerroin n D on välillä n D = ja Abben luku välillä V = Suuri dispersio ei välttämättä edellytä suurta taitekerrointa. Prisman dispersiolla D tarkoitetaan prisman kykyä hajottaa valkoinen valo väreihin. On tärkeää erottaa toisistaan prisman deviaatio d ja dispersio D. Asiaa valaisee seuraava kuva: Näkyvän valon keskialueella keltaisen D-viivan deviaatiolle tulee d = d»( n - ) A. Reuna-alueilla punaisen C-viivan deviaatio on ja sinisen F-viivan D D d»( n - ) A, C C d»( n - ) A. F F

95 85 Näissä kaavoissa A on taittava kulma, joka nyt oletetaan pieneksi, katso (8..3). Punaisen ja sinisen viivan deviaatioiden erotus kuvaa nyt dispersiota, ts. D = d - d = ( n -n ) A. F C F C Prismalasin dispersiokyky (dispersive power) määritellään nyt: D nf - nc D = =. d nd - (8..5) - Huomaa että D = V. Esimerkki: Prismalla, jonka taittava kulma on 6 on määritetty seuraavat minimideviaatiokulmat: C-viiva 38 ' punainen D-viiva 38 33' keltainen F-viiva 39 ' sininen Laske prisman dispersiokyky. Ratkaisu: Minimideviaatiokulmat ( aste on 6 minuuttia, ts. ' = (/ 6) ) : C-viiva 38,333 D-viiva F-viiva 39. Tässä taittava kulma A = 6 on suuri, joten on käytettävä tarkkaa tulosta (8..) sin ( d + A) sin ( d + 6 ) n = = = sin ( d + 6) sin A sin 3 Approksimaatiolla (8..3) laskettaessa kaava olisi n= + d / A= + d /6 Tulee: tarkasta approksimaatiosta n C = n D = n F = ja dispersiokyvyksi saamme 86 nf -nc D= =.9 tarkasta (.5 approksimaatiosta). nd - Eri lasilaaduista valmistettuja prismoja voidaan yhdistää (kitata toisiinsa) eri tavoilla. Muutamia esimerkkejä:. Akromaattinen prisma taittaa valoa hajottamatta sitä väreihin: D+ D =, Þ( n - n ) A + ( n - n ) A =. F C F C n Þ A =- -n A. F C nf -nc Huom! Koska A <, prisma on ylösalaisin. Suoraanhajottava prisma ei poikkeuta D-viivaa lainkaan: d D + d D = Þ( n - ) A + ( n - ) A = D D n Þ A =- - A. D nd - Esimerkki: Käytettävissä on kruunulasia ja piilasia, joiden taitekertoimet ovat seuraavat: Kruunu: n C =,57, n D =,53, n F =,536 Pii: n C =,63, n D =,635, n F =,648 Näistä on muodostettava suoraanhajottava prisma. Piilasisen prisman taittava kulma on 5. Laske kruunulasiprisman taittava kulma

96 87 sekä C - ja F -säteiden välinen kulma prisman jälkeen. Oleta prismat ohuiksi ja minimideviaatioehdon toteutuvan kaikille säteille. Ratkaisu: Suoraan hajottava prisma. Kruunulasin taittava kulma: nd A =- A =- 5 = »- 6 nd -.53 F-säteen deviaatio: df = df+ df = ( nf- ) A+ ( nf -) A = ( ) =+.936 C-säteen deviaatio: dc = dc+ dc = ( nc- ) A+ ( nc -) A = ( ) =-.673 Erotus df - dc =.369».63 mrad Prismaspektrometrit Optinen spektrometri on laite, jolla analysoidaan suoraan valolähteestä tulevan tai jonkin näyteaineen läpi menneen säteilyn aallonpituusjakaumaa. Tutkitaan siis mitä aallonpituuksia valossa on ja mitä ei. Spektrometrissä tarvitaan komponentti, joka hajottaa valon väreihin. Prismaspektrometrissä tällaisena ns. dispersiivisenä elementtinä käytetään prismaa, joka antaa eri aallonpituuksille eri deviaatiokulmat. Prismaspektrometrin oleelliset osat on esitetty seuraavassa kuvassa: 88 Analysoitava valo tulee vasemmalta. Se fokusoidaan kapeaan rakoon S (tulorako), josta se kollimoidaan linssillä L yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Rako S on siis linssin polttovälin päässä linssistä. Yhdensuuntainen sädekimppu kulkee prisman läpi, jonka jälkeen kukin aallonpituus etenee omaan suuntaansa, kuitenkin edelleen kollimoituna sädekimppuna. Näitä sädekimppuja katsotaan kaukoputkella T, jota voidaan kiertää prisman ympäri eri aallonpituuksien valitsemiseksi. Kaukoputki on fokusoitu äärettömyyteen, joten sillä nähdään tulorako S (siis sen kuva). Tuloraon väristä voidaan päätellä mitä aallonpituuksia tulee milläkin kulmalla ja spektri voidaan muodostaa. 8.3 KAMERAT 8.3. Neulanreikäkamera (Camera Obscura = pimeä huone) Rakenne: Kuvan muodostuminen: Kuva

97 89 Reikä on pieni, joten kuvapisteeseen pääsee säteitä vain pieneltä alueelta esineestä. Muodostuu kuva, joka on hieman epätarkka. Mitä pienempi reikä sitä tarkempi kuva, kunnes diffraktio alkaa levittää säteitä. Kokeellinen havainto on, että jos filmi on 5 cm:n etäisyydellä reiästä, niin paras reiän halkaisija on.5 mm. Laitteen etuja: - yksinkertainen - ei fokusoivaa optiikkaa, joten esineet kuvautuvat tarkasti filmille kaikilta etäisyyksiltä. Haittoja: - reikä-filmi-välimatka vaikuttaa kuvan tarkkuuteen, joten näkökulmaa on vaikea säätää. - reiän pienuudesta johtuen filmille tulee vain vähän valoa ja valotusajat ovat pakostakin pitkiä. Laite ei sovellu liikkuvien kohteiden kuvaamiseen Linssikamera Parannettu versio neulanreikäkamerasta saadaan, kun reikää suurennetaan ja siihen asennetaan linssi fokusoivaksi elementiksi. Rakenne: Linssin (objektiivi) ja filmin välimatkaa voidaan säätää ja näin kuva saadaan aina teräväksi. 9 Myös linssin polttoväli voidaan vaihtaa: Pitkä polttoväli (kauko-objektiivi) Näkökulma on kapea, joten esineen kuva filmillä on suuri. valokuvassa esine näyttää olevan lähellä. Lyhyt polttoväli (laajakulmaobjektiivi) Näkökulma on leveä, joten esineen kuva filmillä on pieni. Valokuvassa esine vaikuttaa olevan kaukana. Näkökulma on kääntäen verrannollinen polttoväliin, sillä (kuvista) h a», f missä h on filmin koko (esim. korkeus). Filmille tuleva valoteho (irradianssi E e, W/m ) riippuu näkökulman "avaamasta" avaruuskulmasta w w µ f ja tulopupillin pinta-alasta A A µ D, missä D on halkaisija. On siis E e æd ö µ ç f è ø.

98 9 Määritellään f - luku: f f - luku =. D Esimerkiksi, jos linssin polttoväli f = 5mm ja aukon halkaisija D = 5mm, niin 5 f - luku = = 5 ja linssi toimii ns. f /-linssinä (f kautta ) Kun "efektiivistä" halkaisijaa (ts. tulopupillia) kasvatetaan tekijällä, f - luku pienenee tekijällä / ja irradianssi kasvaa tekijällä. Filmin valotus riippuu f -luvusta ja valotusajasta (sulkijan avulla). Esimerkiksi kombinaatiot f /4 ja 5 s ( E e ja t) f /5.6 ja 5 s ( E / e ja t) (5.6= 4) johtavat samaan valotukseen. Kameroissa objektiivin f -lukua säädetään "pykälittäin" aina kertoimella : f /, f /.8, f /4, f /5.6, f /8, f / Esimerkki: Kameran kauko-objektiivin polttoväli on mm ja sen f -luku on säädettävissä välillä f /5.6:sta aina f / 45:een. Laske a) vastaavat efektiiviset halkaisijat ja b) ääritapausten irradianssien suhde Ratkaisu: a) Halkaisija f /5.6: f / 45: b) Koska E ( D/ f ) 9 f mm D = = f -luku f -luku mm D= = 36 mm 5.6 mm D = = 4.4 mm 45 e µ ja tässä f = mm säilyy vakiona, niin irradianssien suhde on halkaisijoiden neliöiden suhde æ/5.6 ö æ 45 ö 6 ç = ç» 8 = = 64 è / 45 ø è5.6 ø Huom! Kameroissa luvut 45 ja 5.6 ovat itse asiassa lukuja 5 ( ) ja ( ) ja näistä laskemalla æ ö 6 ç ( ) 6 5 = = ç è ø 8.4 SILMÄ Silmän toiminta muistuttaa kameran toimintaa. Se rakenne on esitetty kuvassa seuraavalla sivulla. Silmämuna on lähes pallo, jonka halkaisija on noin,5 cm. Etuosassa on kova läpinäkyvä kalvo, ns. sarveiskalvo (cornea). Sarveiskalvon takana on etukammio, joka sisältää ns. kammiovettä (aqueous humor) ja sen takana on silmän linssi eli mykiö (crystalline lens). Linssiä pitää paikoillaan lihaksisto, ns. sädelihakset (ciliary muscle), jotka voivat muuttaa linssin muotoa. Linssin jälkeen silmä on täynnä hyytelömäistä nestettä, ns. lasiaisnestettä (vitreous humor).

99 93 Kammionesteen ja lasiaisnesteen taitekertoimet ovat molemmat noin,336 eli lähellä veden taitekerrointa. Linssin keskimääräinen taitekerroin on noin,437, joten se ei poikkea kovin paljon sitä ympäröivien nesteiden taitekertoimista. Tästä seuraa, että tärkein silmään saapuvan säteen taittuminen tapahtuu ilmasarveiskalvo rajapinnassa (noin 75%), eikä suinkaan itse linssissä (loput 5%). Taittuminen ilma-sarveiskalvokalvo rajapinnassa sekä linssin rajapinnoissa muodostaa todellisen, väärinpäin olevan kuvan valoherkälle verkkokalvolle (retina). Verkkokalvo vastaa kameran filmiä. Verkkokalvon tappi- ja sauvasolut (rods and cones) toimivat valodetektoreina ja lähettävät kuvan sähköisessä muodossa näköhermoa (optic nerve) pitkin aivojen käsiteltäväksi. Linssin edessä on ns. värikalvo eli iiris, jonka keskellä olevasta pyöreästä aukosta eli pupillista valo pääsee silmään. Pupillin koko muuttuu valon kirkkauden mukaan ts. se säätää silmään pääsevän valon intensiteettiä. Jotta esine nähtäisiin tarkasti, kuvan on muodostuttava täsmälleen verkkokalvolle. Silmä mukautuu eri esineen etäisyyksille s muuttamalla linssin polttoväliä f. Linssi-verkkokalvo etäisyys ei muutu. Normaalissa silmässä äärettömyydessä olevan esineen kuva muodostuu verkkokalvolle, kun linssin sädelihakset (mukauttajalihakset) ovat levossa. Lähempänä olevien esineiden tarkkaa näkemistä varten mukauttajalihakset jännittyvät ja muuttavat linssin pintojen 94 kaarevuussäteitä niin, että linssin polttoväli lyhenee. Tätä sanotaan silmän mukautumiseksi (accommodation). Näkemisen etäisyyden äärirajat ovat ns. kaukopiste (far point) ja ns. lähipiste (near point). Normaalin silmän kaukopiste on äärettömyydessä, mutta lähipisteen etäisyys riippuu siitä, miten paljon mukauttajalihakset pystyvät muuttamaan linssin kaarevuussäteitä. Silmän mukautumiskyky heikkenee iän mukana, koska linssi kasvaa koko ajan (se on noin 5% suurempi 6 vuotiailla kuin vuotiailla). Mukauttajalihakset eivät pysty käsittelemään suurta linssiä yhtä helposti kuin pientä. Mukautumiskyvyn heikkenemistä sanotaan vanhuusnäöksi (presbyopia). Lähipiste vuotiailla on noin 7 cm:n etäisyydellä, 3 vuotiailla noin 5 cm:n etäisyydellä ja 5 vuotiailla noin 4 cm:n etäisyydellä. Standardi-ihmisen lähipisteen etäisyydeksi on valittu 5 cm. Viereisessä kuvassa on esitetty tavallisimmat näkövirheet. Kuvassa (a) on normaali silmä, jossa kuva muodostuu tarkasti verkkokalvolle. Kuvan (b) silmä on ns. likinäköinen (myopic) silmä. Silmämuna on polttoväliin nähden liian pitkä, joten kaukana olevan esineen terävä kuva muodostuu verkkokalvon eteen. Pitkänäköisessä (hyperopic) silmässä (c) silmämuna on polttoväliin nähden liian lyhyt ja terävä kuva muodostuu verkkokalvon taakse. Näkövirheitä voidaan korjata silmän eteen asetettavalla linssillä. Likinäköisyyttä korjataan hajottavalla linssillä ja pitkänäköisyyttä kokoavalla linssillä.

100 95 Näön korjaamiseen tarkoitettujen linssien taittovoimakkuutta kuvataan metreinä annetun polttovälin käänteisarvolla. Voimakkuuden yksikkö on diopteri (diopter). Esimerkiksi, jos linssin polttoväli on f =,5 m, niin sen voimakkuus on, diopteria. Jos f = -,5 m, niin voimakkuus on 4, diopteria. Ratkaisu: 96 Esimerkki: Pitkänäköisen silmän lähipiste on cm:n päässä silmän edessä. Millaiset piilolinssit tarvitaan, jotta 5 cm:n etäisyydellä (siis normaalissa lähipisteessä) oleva esine näkyisi tarkasti? Ratkaisu: Tässä tapauksessa linssin on kuvattava normaalissa kaukopisteessä oleva esine (s = ) siihen, mistä se näkyy tarkasti, ts. 5 cm:n etäisyydelle silmästä eli 48 cm:n päähän linssistä ( s ' =-48cm). s + s' = f Þ + 48 cm = Þ f =- 48 cm =-.48 m - f Linssin taittovoimakkuus on.8333 f =.48 m =- eli noin -. diopteria - m Piilolasilinssin pitää kuvata normaalissa lähipisteessä (5 cm) oleva esine sinne, mistä silmä sen näkee vielä hyvin, eli cm:n etäisyydelle silmästä. Siis + = Þ + = (huomaa s':n merkki) s s' f 5 cm - cm f 4- Þ = Þ f = cm = m f cm 3 3 Piilolasilinssin taittovoimakkuuden pitää olla 3 diopteria Esimerkki: Likinäköisen silmän kaukopiste on 5 cm:n etäisyydellä silmän edessä. Millaiset silmälasit tarvitaan, jotta äärettömyydessä oleva esine näkyisi tarkasti? Oletetaan, että silmälaseja pidetään cm:n etäisyydellä silmästä. 8.5 SUURENNUSLASI JA OKULAARIT Esineen näennäinen koko määräytyy verkkokalvolle muodostuvan kuvan koosta. Paljaalla silmällä katsottuna tämä koko riippuu siitä, minkä kokoisessa kulmassa a esine näkyy. Kun pientä esinettä katsotaan tarkasti se tavallisesti tuodaan lähelle silmää niin, että esineen kulmakoko (angular size) on suurempi. Silmä pystyy kuitenkin mukautumaan vain ns. lähipisteeseen (near point) saakka, jonka oletetaan laskuissa olevan 5 cm:n etäisyydellä (ns. standardi-ihmisen lähipiste). Paljaalla silmällä kulmakokoa ei siis saada kovin suureksi.

101 97 Yksinkertainen suurennuslasi (magnifier) on yksittäinen positiivinen linssi, jonka avulla esineestä voidaan muodostaa valekuva, joka on suurempi ja kauempana silmästä kuin esine itse. Tällöin esine voidaan tuoda lähemmäksi silmää ja kulmakoko a M saadaan huomattavasti suuremmaksi kuin ilman linssiä 5 cm:n päässä olevan esineen kulmakoko a. 98 Toinen ääritapaus saavutetaan, kun kuva muodostetaan lähipisteeseen, ts. s ' =- 5 cm. Ohuen linssin kuvausyhtälöstä laskemme + = Þ 5 f = + Þ s = s -5 f s f f ja suurennukseksi tulee 5 M = + (kuva lähipisteessä) (8.5.) f Kun kuva on lähipisteessä, silmälihakset ovat jännittyneessä tilassa. Käytännössä todellinen suurennus on käyttäjäkohtainen. Katsoja siirtää suurennuslasia siten, että virtuaalinen kuva näkyy helposti. Pienipolttovälisellä suurennuslasilla suurennukset (8.5.) ja (8.5.) eivät juurikaan eroa toisistaan ja tavallisesti pelkästään suurennuksesta puhuttaessa tarkoitetaan suurennusta (8.5.). Tavallisten suurennuslasien suurennukset ovat tyypillisesti kahden ( ) ja kymmenen ( ) välillä. Suuremmat suurennukset vaatisivat jo niin lyhytpolttovälistä linssiä, että kuvausvirheet, erityisesti ns. kromaattinen aberraatio, tulevat haitallisiksi. Suurennuslasin kulmasuurennus (angular magnification M) määritellään suhteena am / a, joka kuvan perusteella (paraksiaalisessa approksimaatiossa) saa muodon am h/ s 5 M = = =, a h/ 5 s missä siis esineen etäisyys s on annettava senttimetreinä. Suurennuslasilla virtuaalinen kuva muodostetaan tavallisesti kaukopisteeseen ( s ' = - ), jolloin silmän mukauttajalihakset ovat levossa ja kuvaa on helppo katsoa. Kuva muodostuu kaukopisteeseen (äärettömyyteen), kun esine on polttopisteessä, ts. s= f. Kulmasuurennukseksi tulee 5 M = (kuva kaukopisteessä) (8.5.) f Jos suurennuslasia käytetään katsottaessa jonkin optisen laitteen muodostamaa kuvaa, sitä sanotaan okulaariksi (ocular, eyepiece). Esimerkiksi mikroskoopissa esineen eli objektin lähelle sijoitettu linssi (objektiivi) muodostaa esineestä todellisen kuvan, jota sitten katsotaan suurennuslasilla, eli tässä tapauksessa siis okulaarilla. Optisen laitteen suurennus on sitä suurempi mitä suurempi okulaarin suurennus on. Yksittäinen linssi ei enää riitä, vaan okulaarit ovat yleensä linssisysteemejä, joissa kuvausvirheitä on korjattu. Vieressä esimerkkinä kahdesta linssistä muodostuva ns. Huygensin okulaari, jota käytetään hyvin yleisesti.

102 99 Huygensin okulaarissa kromaattista aberraatio on eliminoitu asettamalla linssien välimatkaksi (L) niiden polttovälien keskiarvo, ts. Laskun etumerkkien perusteella esine h onkin jo alun perinkin okulaarin sisällä seuraavan kuvan mukaisesti: L= ( f+ f ). (8.5.3) Esimerkki: Laske Huygensin okulaarin suurennus, kun linssien polttovälit ovat f = 6.5 mm ja f =.5 mm ja lopullisen kuvan annetaan muodostua silmän kaukopisteeseen. Ratkaisu: f = 6.5 mm f =.5 mm L= ( f+ f ) = mm Esine h (edeltävän optiikan tuottama kuva) kuvataan ensimmäisellä linssillä välikuvaksi h' okulaarin sisään. Välikuvaa h' katsotaan sitten toisella linssillä kuten suurennuslasilla. Jälkimmäisellä linssillä katsomme välikuvaa h' kuten suurennuslasilla, jonka suurennukseksi kirjoitamme 5 5 M = = f.5 =. Tässä on muistettava, että kaavassa luku 5 on 5 cm ja siten myös polttoväli on sijoitettava yksiköissä cm. Okulaarin kokonaissuurennukseksi tulee lopulta m M = 7. Lopullinen kuva muodostuu äärettömyyteen, joten välikuvan on oltava jälkimmäisen linssin polttopisteessä. Tästä seuraa, että ensimmäisessä kuvauksessa kuvan h' täytyy olla etäisyydellä s' = L- f =.875mm. Tästä edelleen esineen h etäisyydeksi laskemme s' f + = Þ s= =-.679 mm s s' f s' - f ja ensimmäisen linssin suurennukseksi tulee s'.875 m =- =- =.7. s -.679

103 8.6 MIKROSKOOPPI Mikroskooppi yksinkertaisimmillaan muodostuu kahdesta positiivisesta linssistä. Lähellä tutkittavaa esinettä eli objektia sijaitsee hyvin lyhytpolttovälinen objektiivilinssi ja lähellä silmää sijaitsee suurennuslasi eli okulaari. Tutkittava esine sijoitetaan objektiivin eteen siten, että sen etäisyys s o on hieman pitempi kuin objektiivin polttoväli f o. Tällöin objektiivi muodostaa esineestä suurennetun todellisen (väli)kuvan etäisyydelle s '. Okulaari toimii suurennuslasina, jolla välikuvaa katsotaan. Jos välikuva sijoitetaan okulaarin polttopisteeseen, lopullinen kuva muodostuu kaukopisteeseen (äärettömyyteen) ja sitä on helppo katsoa. Kuvassa d on mikroskoopin linssien välimatka ja L ns. optinen pituus (polttopisteiden välimatka). o Mikroskoopin suurennus. Mikroskoopissa objektiivi muodostaa esineestä suurennetun välikuvan, jota katsotaan okulaarilla kuten suurennuslasilla. Suurennus muodostuu siis kahdesta tekijästä M = mm, (8.6.) o e joista ensimmäinen ( m o ) on objektiivin poikittainen suurennus ja toinen ( M e) okulaarin kulmasuurennus. Kuvausta objektiivilla hallitaan yhtälöllä s + s' = f Þ s f s ' o o o = s - f o o o ja objektiivin suurennukseksi saadaan s' o fo mo =- =-. so so - fo Okulaarin suurennus on 5 M e =, kun kuva säädetään kaukopisteeseen ja fe 5 M e = +, kun kuva säädetään lähipisteeseen fe Kun lopullinen kuva on säädetty kaukopisteeseen, välikuvan sijaitsee okulaarin polttopisteessä, ts. s' o = fo + L. Alkuperäisen esineen etäisyydeksi laskemme s o s' f ( f + L) f ( f + L) f = = = s' - f f + L- f L o o o o o o o o o o ja objektiivin suurennukseksi tulee m o L =-. f Mikroskoopin kokonaissuurennukseksi saamme L 5 M =- f o f. (8.6.) e Tässä siis L on mikroskoopin optinen pituus (linssien polttopisteiden väli) ja kuva on säädetty kaukopisteeseen, ts. sitä on helppo katsoa. o o o

104 3 Esimerkki: Mikroskoopin objektiivin polttoväli on 3.8 cm ja okulaarin 5. cm. Linssien välimatka on 6.4 cm. Laske suurennus, kun lopullinen kuva on säädetty a) kaukopisteeseen b) lähipisteeseen Ratkaisu: L 5 a) Suurennus (8.6.) M =- f o f, missä e f o = 3.8 cm f e = 5. cm d = 6.4 cm L= d - fo - fe = 7.6 cm Tulee M =- b) Lopullinen kuva on lähipisteessä, ts. okulaari kuvaa välikuvan etäisyydeltä s e lopulliseen etäisyyteen s ' e =- 5 cm: s + e 5cm = 5 Þs e = cm» 4.7cm. - 5.cm 6 Siis välikuva on 4.7 cm okulaarista eli 6.4 cm 4.7 cm =.3 cm objektiivista. Kuvaus objektiivilla ( s ' o =.3 cm): s' o fo s = o 5.53 s' o f = cm - o s' o.3 mo =- =- =-.8 so 5.53 ja kokonaissuurennukseksi tulee æ 5 ö M= mm o e =-.8 ç +»-3 è5. ø 4 Mikroskoopissa objektiivi toimii tulopupillina ja lähtöpupilli on objektiivi kuvattuna okulaarilla. Mikroskoopin läpäisseen sädekimpun maksimienergiatiheys on lähtöpupillin kohdalla, joten silmä kannattaa sijoittaa juuri siihen. Mikroskoopin sisään täsmälleen välikuvan kohdalle sijoitetaan lisäksi ylimääräinen kaihdin, joka toimii kenttäkaihtimena. Silmä näkee siten sekä kuvan että näkökentän täsmällisesti rajatun reunan yhtäaikaa terävänä: 8.7 KAUKOPUTKET Kuten mikroskoopissa niin myös kaukoputkessa objektiivi muodostaa välikuvan, jota katsotaan okulaarilla kuten suurennuslasilla. Kaukoputki eroaa mikroskoopista siinä, että sillä katsotaan kaukana (äärettömyydessä) olevia suuria esineitä. Lisäksi kaukoputkessa objektiivilinssi voidaan korvataan koveralla peilillä. Tähtitieteellisen kaukoputken (astronomical telescope, Keplerian telescope) periaatekuva on esitetty yllä. Objektiivi muodostaa käytännössä äärettömyydessä olevasta esineestä todellisen väli-

105 5 kuvan hyvin lähelle omaa polttopistettään etäisyydelle kuvaa katsotaan okulaarilla kuten suurennuslasilla. f o. Tätä Jos lopullinen kuva tarkennetaan kaukopisteeseen (äärettömyyteen, helppo katsoa), niin välikuva on myös okulaarin polttopisteessä, etäisyydellä f e okulaarista. Suurennus määritellään kulmasuurennuksena: a' h/ fe fo M = =- =-, (8.7.) a h/ fo fe missä miinus-merkki tarkoittaa kuvan kääntymistä. Jos lopullinen kuva tarkennetaan lähipisteeseen ( s ' e =- 5 cm), niin välikuvan etäisyys okulaarista on s' e fe -5 fe 5 fe se = = = s' - f -5 - f 5 + f e e e e ja suurennukseksi tulee a' h / s f f e o o o e (5 e) f æ f ö M = =- =- =- + f =- ç + a h/ f s 5 f f è 5 ø. (8.7.) o e e e Esimerkki: Tähtitieteellisen kaukoputken objektiivin polttoväli on 3 cm ja okulaarin 4 cm. Laske kulmasuurennus, kun lopullinen kuva on säädetty a) kaukopisteeseen b) lähipisteeseen 6 Ratkaisu: fo 3 cm a) M =- =- =-7.5 fe 4 cm Näin menetellään tavallisessa käytössä, koska kuvaa on helppo katsoa kauan silmiä rasittamatta foæ fe ö æ 4 ö b) M =- ç + =- 7.5 ç + = =-8.7 fe è 5ø è 5 ø Suurennus on "parempi" kuin edellä, mutta nyt kuvaa on rasittava katsoa pitkään. Tähtitieteellisen kaukoputken kuva on siis kääntynyt ja suuren kulmasuurennuksen kaukoputkessa objektiivin polttoväli on pitkä ja okulaarin lyhyt. Tähtitieteellisessä kaukoputkessa kuvan kääntyminen ei ole ongelma. Kiikareissa (maakaukoputkissa) kuva ei saa kääntyä. Kiikarit toimivat kuten tähtitieteelliset kaukoputket. Kuva käännetään oikein päin erilaisilla prismasysteemeillä, jotka eivät vaikuta suurennusominaisuuksiin. Vieressä esimerkki ns. Porro-prismojen käytöstä. Kiikareissa usein esiintyvä merkintä, esimerkiksi "6 3" tarkoittaa sitä, että laitteen kulmasuurennus on 6 ja objektiivin halkaisija 3 mm. Kaukoputkissa objektiivi toimii aukkokaihtimena ja siten myös tulopupillina. Lähtöpupilli on objektiivin kuva kuvattuna okulaarilla. Kaukoputkella katsottaessa silmän oma pupilli sijoitetaan silmän pupillin kokoiseksi suunnitellun lähtöpupillin kohdalle.

106 7 Esimerkki: Kiikarissa (6 3) objektiivin polttoväli on 5, cm ja okulaarin halkaisija,5 cm. (a) Laske lähtöpupillin sijainti ja koko ja (b) laske näkökulma ja näkökentän suuruus, kun katsottava esine on yhden kilometrin etäisyydellä. Ratkaisu: Okulaarin polttoväli saadaan laskemalla f f M ja laitteen pituudeksi tulee 5 cm,5 cm -6 o e =- =- = d = fo + fe = 5 cm +,5 cm = 7,5 cm. Aukkokaihdin on objektiivi, jonka kuva kuvattuna okulaarilla on lähtöpupilli. Kuvauksessa s= d = 7,5 cm ja f = fe =,5 cm: sf (7,5)(,5) s' = cm,9 s- f = 5 = cm m=- s'/ s=-,9/7,5 =-.69 Lähtöpupillin halkaisija on.69 3 mm» 5, mm ja se sijaitsee noin,9 cm okulaarista silmän suuntaan. Piirretään kuva: 8 Peilikaukoputkessa objektiivilinssi korvataan koveralla peilillä. Peilikaukoputken yksi selkeä etu on siinä, että peilikuvauksessa ei synny värivirheitä (ei ole taitekerrointa, jonka arvo riippuisi aallonpituudesta). Myös peilin palloaberraatio on helpompi korjata kuin linssien palloaberraatio. Usein peilikaukoputken peili on parabolinen. Erilaisia peilikaukoputkiratkaisuja: (a) Newtonin kaukoputki (b) Cassegrain-kaukoputki (c) Gregoriaaninen kaukoputki Jos kaukoputkella halutaan valokuvata (tai filmata) kohdetta, niin okulaari poistetaan ja filmi asetetaan objektiivin muodostaman todellisen kuvan kohdalle. Useimmissa nykyisin käytössä olevissa peilikaukoputkissa ei ole koskaan käytetty okulaaria. b) Kenttäkaihdin on okulaari, joten näkökulmaksi laskemme a = (okulaarin halk.) / d =,5 /7,5 =,857 (rad) Näkökenttä h etäisyydellä m on h = m a» 86 m

107 9 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa olemme tutkineet valon heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla. Approksimaatiossa valon aaltoluonnetta ei oteta huomioon ja valon eteneminen ymmärretään sädemallin avulla. Valo on kuitenkin aaltoliikettä. Tässä ja seuraavissa kappaleissa tutkimme millaisia ilmiöitä (interferenssi, diffraktio, ) valon aaltoluonteesta seuraa. Aaltoluonteesta johtuvat optiset ilmiöt kuuluvat ns. fysikaalisen optiikan (physical optics) aihepiiriin. 9. VALOAALTO Yleisesti positiivisen x-akselin suuntaan etenevää harmonista aaltoa (esim. köydessä) olemme esittäneet funktiolla y( x, t) = Asin( kx- wt+ j ). Valoaalto muodostuu kahdesta komponentista, sähkökentästä E ja magneettikentästä B. Kentät riippuvat toisistaan yksikäsitteisellä tavalla ja siten riittää tarkastella vain toista, esimerkiksi sähkökenttää E. Positiivisen x-akselin suuntaan etenevän harmonisessa valoaallossa sähkökentän suuruudelle E = E pätee E( x, t) = E sin( kx- wt+ j ). (9..) On huomattava, että funktion esittämä valoaalto on 3-ulotteinen. Näin on, koska ensinnäkin matemaattisesti se toteuttaa 3-ulotteisen aaltoyhtälön E Ñ E = (9..) v t ja toiseksi se täyttää koko 3-ulotteisen avaruuden. Aaltoyhtälössä (9..) paikkaderivaattaoperaattori Ñ Ñ = + + x y z on ns. Laplacen operaattori ja yhtälöä voidaan pitää -ulotteisen aaltoyhtälön E E = x v t yleistyksenä. On suoraviivaista todeta, että aalto (9..) todellakin toteuttaa 3-ulotteisen aaltoyhtälön. Miten sitten aalto (9..) täyttää koko avaruuden? Tarkastellaan aaltoa kiinnitetyllä ajan hetkellä (valitaan t = ja lisäksi j = ), jolloin aalto on "jähmettynyt" avaruuteen muotoon E( x) = E sin( kx). Tutkitaan tätä aaltoa kohdassa x = vakio (kuva alla). Matemaattisesti kysymyksessä on x-akselia vastaan kohtisuorassa oleva pinta, joka tässä tapauksessa on taso. Tällä äärettömän suurella tasolla (millä tahansa y:n ja z:n arvoilla) aallon vaiheella j = kx on vakioarvo ja siten myös sähkökentän E arvo on vakio. Tämä vakiovaiheen pinta on juuri aallon aaltorintama. Aalto muodostuu äärettömän monesta äärettömän tiheään pitkin x-akselia olevasta vakiovaiheen pinnasta täyttäen siten koko avaruuden. Aalto on ns. tasoaalto, koska vakiovaiheen pinnat ovat tasoja. Kun aika vapautetaan juoksemaan, vakiovaiheen tasot etenevät pitkin x-akselia.

108 Esimerkki: Harmoninen tasoaalto E( x, t) = E sin( kx- wt), missä E =., k =. ja w = 3. etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Laske E:n arvo avaruuden pisteissä a) (x, y, z) = (,, ) b) (x, y, z) = (, 3, 4) hetkellä t =.. Huomaa, että molemmat pisteet ovat tasolla x = vakio =, joka on kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan. Ratkaisu: a) E =.sin( ) =.sin(.) =.84 b) E =.sin( ) =.sin(.) =.84 Aalto todellakin täyttää koko avaruuden (3-dim) ja sen vaihe tasolla x = on vakio (. ajan hetkellä t =.) ja siten myös E:n arvo on vakio (.84). Tähän saakka olemme tarkastelleet aaltoja, jotka etenevät vain koordinaattiakseleiden (x, y, tai z) suuntaan. Yleistetään suunta. Vektorin k suuntaan etenevä harmoninen tasoaalto on muotoa E( r, t) = Esin( k r - wt+ j), (9..3) missä k = k ˆ ˆ ˆ xi+ kyj+ kzk (9..4) on ns. aaltovektori, jonka suuntaan aalto siis etenee, k = k = k + k + k = p l (9..5) x y z / on jo tuttu aaltoluku, joka on nyt aaltovektorin pituus ja r = xˆi+ yˆj+ zk ˆ (9..6) on paikkavektori (radiusvektori), jonka osoittamassa paikassa kenttä E lasketaan. Esimerkki: Sähkömagneettinen harmoninen tasoaalto etenee amplitudilla E, kulmataajuudella w ja aallonpituudella l. Kirjoita aaltoa kuvaava funktio, kun aalto etenee a) y-akselin suuntaan b) 3 o :n kulmassa x-akselista mitattuna y-akselin suuntaan. Ratkaisu: Yleinen muoto on E( r, t) = Esin( k r - wt+ j). a) Tässä k = k ˆ ˆ ˆ xi+ kyj+ kzk = ˆi+ k ˆ ˆ ˆ yj+ k = kyj k = k = ky = p / l r = xˆi+ yˆj+ zk ˆ ja pistetuloksi laskemme k r = kxx + k yy + kzz = k yy = ky joten E( r, t) = Esin( ky- wt+ j) b) Nyt 3 k= kx + ky + kz = k + k = k (ok!, pelkkä tarkistus) 4 4 r = xˆi+ yˆj+ zk ˆ ja 3 k r = kxx + k yy + kzz = kx + ky = k ( 3 x + y ), æ ö joten E( r, t) = Esin ç k( 3 x+ y) - wt+ j, missä k = p / l è ø

109 3 Kätevä merkintätapa: Yleisessä tapauksessa funktio (9..3) E( r, t) = E sin( k r- wt+ j ) esittää etenevää harmonista tasoaaltoa alla esitetyn kuvan mukaisesti, jossa siis aaltovektori k kertoo aallon etenemissuunnan ja paikkavektori r osoittaa pisteen P, jossa kentän E arvo lasketaan. 4 Esimerkiksi, jos referenssipiste on asetettu koordinaatiston origoon ja aalto etenee x-akselin suuntaan, niin r = x ja päädymme tuttuun aaltoon E = Esin( kx- wt+ j). Kuvassa referenssikohta (-piste) on sopivasti valittu piste (eräänlainen nollakohta), jonka kautta aalto etenee tarkastelupisteeseen P. Yleisessä tapauksessa koordinaatiston origo ei ole referenssipisteessä. Kuvasta perusteella k r= k ( r+ r ), ja jos origo asetetaan referenssipisteeseen, niin r = ja k r= k r =kr. Tässä pistetulo k r on suoraan vektoreiden pituuksien tulo kr, koska vektorit ovat saman suuntaisia. Aalto (9..3) voidaan kirjoittaa muodossa E= E sin( kr - wt+ j ), (9..7) Monissa sovellutuksissa tarkastella pelkästään aallon (9..7) E= E sin( kr - wt+ j ) aikariippuvuutta pisteessä P, jolloin on tapana kirjoittaa missä on riippumaton ajasta. E = E sin( a - wt), (9..8) a = + kr j 9. SUPERPOSITIO Jo aikaisemmin olemme todenneet, että jos useampi aaltoliike vaikuttaa samanaikaisesti määrätyssä pisteessä, niin aaltojen yhteisvaikutus saadaan laskemalla yhteen eri aaltojen erikseen aiheuttamat vaikutukset. Valoaaltojen tapauksessa on huomattava, että kysymyksessä on vektoriyhteenlasku. Kahden sähkömagneettisen aallon (sähkövektorit E ja E ) superpositio on siis E= E+ E, missä tulos riippuu hyvin merkittävästi vektoreiden keskinäisistä suunnista. Resultanttikentän suuruudelle saamme E= E = E E= ( E + E ) ( E + E ) = E + E + E E.

110 5 Jos esimerkiksi E ^ E, ts. kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, pistetulo on nolla, E E =, ja saadaan E= E + E. Jos taas kentät ovat paralleeleja keskenään ( EP E), pistetulo antaa E E =±EE, missä (+)-merkki tarkoittaa saman suuntaisia kenttiä ja (-)-merkki vastakkaissuuntaisia. Kokonaiskentän suuruudeksi tulee E= E + E ± EE = E ± E. Jatkossa tarkastelemme (ellei toisin mainita) tapauksia, joissa kentät ovat samansuuntaisia ja siten superpositio on "voimakkaimmillaan" ja se voidaan esittää skalaariyhtälöllä E = E+ E. 9.3 SAMATAAJUISTEN AALTOJEN SUPERPOSITIO Viereisessä kuvassa kaksi aaltoa, joilla on sama taajuus ( n = n ) kohtaavat pisteessä P. w = w = w l = l = l ( l = c / n ) k = k = k ( k = p / l) Huom! k ¹ k, koska suunnat poikkeavat Kirjoitetaan ensin aallot erikseen P:ssä yhtälön (9..8) muodossa E = Esin( a- wt), a = kr + j E = Esin( a - wt), a = kr + j Aaltojen vaihe-ero pisteessä P on 6 ( a -wt)-( a- wt) = a -a = k( r - r ) + ( j - j). Vaihe-ero syntyy siis kahdesta termistä. Ensimmäinen k( r - r) muodostuu aaltojen matkaerosta lähteistään ja toinen niiden alkuperäisestä vaiheerosta ( j - j), kun aallot lähtevät lähteistään. Aaltojen aikariippuvuudet (erikseen) pisteessä P ovat E = Esin( a-wt) E = Esin( a -wt) ja resultantiksi tulee E E E = E sin( a - wt) + E sin( a - wt). R = + Soveltamalla trigonometrian identiteettiä sin( A- B) = sin Acos B- cos Asin B, saadaan helposti tulos ER = ( E sina + E sin a)coswt. -( E cosa + E cos a)sinwt Kun vielä merkitään E sina + E sina = E sina E cosa + E cosa = E cosa saadaan, soveltamalla yllä esitettyä identiteettiä uudelleen, tulos ER = E+ E = Esin( a - wt), (9.3.) missä E = E + E + EE cos( a - a) (9.3.) Esina+ Esina tana = (9.3.3) Ecosa+ Ecosa Tässä kannattaa huomata, että resultantilla on sama muoto ja sama taajuus kuin osa-aalloilla. Irradianssi pisteessä P ( I µ E ) riippuu vaihe-erosta a - a termin E E cos( a - a ) välityksellä. Sovellutus: interferenssi-ilmiöt.

111 7 Esimerkki: Kaksi samataajuista tasoaaltoa, joiden molempien sähkökentät värähtelevät z-suunnassa, etenevät toistensa suhteen ristiin, toinen x-suuntaan ja toinen y-suuntaan. SI-yksiköissä aaltoja edustaa funktiot ép ù E( x, t) = 4sin ê x- t+ p ë3 ú û ép ù E( y, t) = sin ê y- t+ p ë3 ú û Laske aaltojen superpositio avaruuden pisteessä (x, y, z) = (5,, ) Ratkaisu: é5p ù é8p ù E(5, t) = 4sin ê - t+ p = 4sin -t ë 3 ú û ê ë 3 ú û On siis ép ù é5p ù E(, t) = sin ê - t + p = sin -t ë 3 ú û ê ë 3 ú û [ a w ] [ a w ] E = E sin - t, missä E = 4 ja a = 8 p /3 E = E sin - t, missä E = ja a = 5 p /3 ja näissä molemmissa w =. Resultantti on ER = E sin( a - wt), missä E = E + E + E E cos( a -a ) ja = cos(5 p /3 8 p /3) = + 6cos( - p) = - 6 = 4 tana E E = = 8 sina + E sina 4 sin(8 p /3) + sin(5 p /3) cosa + E cosa 4 cos(8 p /3) + cos(5 p /3) 4 3/+ - ( 3/) 3 = = =- 4 (- /) + (/) - p p Þ a =- tai 3 3 ja lopulta siis ép ù é p ù ER = sin ê -t ë 3 ú tai ER =-sin t û ê - - ë 3 úû. Merkit ja kulmat on valittava siten, että ehdot (ks. sivu 6) Esina = Esina+ Esina E cosa = E cosa + E cosa 9.4 ERITAAJUISTEN AALTOJEN SUPERPOSITIO Nyt w ¹ w, joten myös k ¹ k (esim. tyhjiössä k = w/ c) ja E = Esin( a- wt), a = kr + j E = Esin( a - wt), a = kr + j Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi (ei muuta ilmiötä), että E = E = E ja j = j = ja lisäksi a = kx ja a = kx, ts. molemmat etenevät x-suuntaan ja molemmilla on sama origo: Siis 3

112 ja resultantti pisteessä P on R 9 E = E sin( k x- w t) (9.4.) E = E sin( k x- w t) (9.4.) [ sin( w ) sin( w )] E = E + E = E k x- t + k x- t. Sovelletaan seuraavaksi identiteettiä [ ] [ ] sin A+ sin B= cos ( A- B) sin ( A+ B). Tässä tapauksessa ( A+ B) = ( k + k ) x- ( w + w ) t ( A- B) = ( k -k ) x- ( w -w ) t ja otetaan (kaukoviisaasti) käyttöön merkinnät ( ) = - w ( ) p = w+ w wg w w ( ) kg = k-k k ( ) p = k+ k jolloin saadaan E = E cos( k x-w t)sin( k x- w t). (9.4.3) R g g p p Tulos (9.4.3) esittää kosiniaallon ja siniaallon tuloa. Siniaallon kulmataajuus on w p ja aaltoluku k p, jotka ovat summautuvien aaltojen vastaavien suureiden keskiarvoja. Kosiniaallon w g ja kg ovat puolestaan alkuperäisten suureiden erotusten puolikkaita ja siten pienempiä kuin siniaallolla. Voidaan siis kirjoittaa w p > wg ja kp kg missä on oletettu, että w > w ja k > k. >, Kun alkuperäisillä aalloilla on lähes sama kulmataajuus ( w» w ), niin wp? wg ja kiinnitetyssä avaruuden pisteessä x= x saadaan kuvaajat (seuraavalla sivulla): Ylemmässä kuvassa resultantin (9.4.3) kosini- ja sinikomponenttien aikariippuvuudet on piirretty erikseen kiinnitetyssä avaruuden pisteessä x= x. Suurempitaajuinen ( w p) sini värähtelee nopeammin. Alemmassa kuvassa komponenttien tulo on piirretty yhtenäisellä viivalla. Verhokäyrä edustaa amplitudin vaihtelua. Resultanttiaalto on siis kahden aallon tulo: Matalan taajuuden aalto moduloi korkean taajuuden aaltoa. Seurauksena on huojunta, jonka taajuus (huojuntataajuus, engl. beat frequency) on kaksinkertainen moduloivan aallon taajuuteen verrattuna (vrt. huojunta äänellä): w = w = w - w. b g Ryhmänopeus Edellistä tarkastelua voidaan soveltaa optiikassa dispersioon. Koska v =c/ n, valon eri aallonpituudet etenevät eri nopeuksilla dispersiivisessä väliaineessa, siis aineessa, jossa n= n( l). Herää kysymys, mikä on useammasta aallonpituudesta muodostuneen valon etenemisnopeus?

113 Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi väliaineessa etenevää valoa, joka muodostuu vain kahdesta eri aallonpituisesta (eri taajuisesta) säteestä. Oletetaan, että säteiden aallonpituudet (taajuudet) poikkeavat vain vähän toisistaan, ts. k ¹ k ja w ¹ w, mutta siten, että k» k = k ja w» w = w. Säteitä edustaa yhtälöt (9.4.) ja (9.4.), jotka yhdessä muodostavat resultantin (9.4.3) ja tilanne on edellisen sivun kuvien (ja teorian) mukainen. Valon vaihenopeus v p on itse resultanttiaallon (9.4.3) nopeus. Edellisen sivun alemmassa kuvassa sitä edustaa yhtenäinen käyrä, jonka kulmataajuus on w p ja aaltoluku k p. Vaihenopeudelle laskemme siis wp ( w+ w) w v p = (9.4.4) kp ( k+ k) k missä viimeinen approksimaatio voidaan tehdä koska w = w k = k. ja Valon ryhmänopeus v g on moduloivan aallon (ns. aaltopaketin) nopeus. Sitä edustaa kuvassa verhokäyrä, jonka kulmataajuus on w g ja aaltoluku k g. Saadaan wg ( w-w) dw v g = (9.4.5) kg ( k-k) dk missä derivaatta voidaan kirjoittaa koska taajuudet ja aaltoluvut poikkeavat vain vähän toisistaan. Ryhmänopeus v g = dw / dk ja vaihenopeus v p = w / k eivät yleisessä tapauksessa ole samat: dw d dvp vg = = ( k vp) = v p + k. dk dk dk Tästä havaitaan, että jos nopeus ei riipu aallonpituudesta, ts. ei ole dispersiota, vg = v p. Tilanne on tällainen esimerkiksi tyhjiössä, missä vg = v p = c. Dispersiivisessä väliaineessa v p = c/ n, missä n= n( l) ja siis myös n= nk ( ). Tällöin dvp d æc ö c ædn ö dn = ç =- ç =-v p. dk dk èn ø n èdk ø n dk Saamme siis é k dn ù vg = v pê - ë n dk ú. û Edelleen, koska k = p / l, josta dk =- ( p / l ) dl =- ( k/ l) dl, kirjoitamme dn dn d dn dk l l dl dk k dl ja saamme lopulta é læ dn öù vg = v p ê + ç n dl ú. ë è øû Kun dispersio on normaali, dn/ dl < ja siten v g < v p. Nämä tulokset johdettiin aaltopaketille, joka muodostui kahdesta eri aallonpituisesta säteestä, mutta ne pätevät yleisemminkin aaltopaketeille, joiden aallonpituusjakauma on esimerkiksi jatkuva. Aaltopaketin etenemistä voidaan karakterisoida joko vaihenopeudella (karkeasti yksittäisten aaltojen nopeuksien keskiarvolla) tai ryhmänopeudella eli itse paketin nopeudella. Jälkimmäinen kertoo millä nopeudella energia siirtyy, joten se on aaltojen (kokonaisuudessaan) nopeuden mitta.

114 3 Esimerkki: Valtameressä pinta-aaltojen nopeus riippuu veden syvyydestä. Syvässä vedessä aallonpituus on suuri ja nopeus on / ægl ö v p = ç, missä g = 9.8 m/s. èp ø Vastaavasti matalassa vedessä aallot ovat enemmänkin "pintaväreilyä", jolloin aallonpituus on lyhyempi ja nopeudelle saadaan / æpt ö v p = ç lr, missä r on tiheys ja T pintajännitys. è ø Osoita, että syvässä vedessä ryhmänopeus on puolet vaihenopeudesta ja vastaavasti matalassa vedessä vg = (3/ ) v p. Ratkaisu: w dw d dvp Yleisesti v p = ja vg = = ( k vp) = vp + k k dk dk dk Syvässä vedessä / / æglö ægö / -/ vp = ç = ç = g k èp ø èk ø / dv p / -/- g v p =- g k =- =- / dk k k k vp ja siten vg = vp - k = vp k Matalassa vedessä / / æpt ö æ T ö vp = ç = k lr ç r è ø è ø / -/ / dv p -/æt ö k æ T ö vp = k k / dk ç r = = k ç r è ø è ø k vp 3 ja siten vg = vp + k = v p!! (huom. vg > v p) k 4 Esimerkki: Optisen lasin dispersiokyky määritellään suhteena (8..5) ( nf -nc) /( nd - ), missä F, C ja D viittaavat näkyvän alueen Fraunhoferin viivoihin l F = 486. nm, l C = nm ja l D = 589. nm. Arvioi ryhmänopeus lasissa, jonka dispersiokyky on /3 ja taitekerroin näkyvän alueen keskellä n D =.5. Ratkaisu: Ryhmänopeus saadaan vaihenopeudesta laskemalla é læ dn öù vg = v p ê + ç n dl ú. ë è øû On siis selvitettävä ) mikä on vaihenopeuden arvo, ) suhde l / n ja 3) derivaatta dn/ dl. Tässä tarkastelu suoritetaan näkyvän valon alueella. ) Vaihenopeus lasketaan c c c v = p n = n = D.5 missä koko näkyvää aluetta edustaa sen "keski"taitekerroin n D. ) Suhde l / n lasketaan l ld 589, nm = =» 393 nm. n n D.5 Tässäkin koko näkyvää aluetta edustaa D-viivan arvot. 3) Derivaatta approksimoidaan lasin dispersiokyvyn avulla dn nf -nc ( nd -) -6» =» nm - dl lf -lc 3( lf -lc) Näillä arvoilla ryhmänopeudeksi tulee c v g =.56

115 5 VALON INTERFERENSSI Moniväriset heijastukset esimerkiksi öljyisestä veden pinnasta, saippuakuplasta, cd-levystä, perhosen siivistä ja värikkäiden lintujen sulista ovat seurausta valon interferenssistä. Interferenssi syntyy, kun kaksi (tai useampia) aaltoa esiintyy samanaikaisesti samassa tilassa. Aaltojen yhteisvaikutuksen määrää superpositioperiaate.. KAHDEN AALLON INTERFERENSSI Tarkastellaan aluksi kahden aallon, E ja E, interferenssiä. Tyypillisessä interferenssikokeessa aallot lähtevät samasta lähteestä, mutta kulkevat eri reittejä ja yhdistyvät sitten jossakin avaruuden pisteessä P. Yhdistyvillä aalloilla on w = w = w, k = k = k, mutta tavallisesti k ¹ k, koska yhdistymispisteessä aaltojen etenemissuunnat eivät välttämättä ole samat. Aallot pisteessä P ovat (ks. kappale 9.3): E = E sin( a -wt), a = kr + j (..) E = E sin( a -wt), a = kr + j (..) Tässä aaltojen polarisaatioiden suunta esitetään kirjoittamalla amplitudit vektoreiksi ja j ja j ovat aaltojen "alkuperäiset" vaiheet (ks. kuva yllä) ja r ja r niiden matkat "lähteistään" pisteeseen P. 6 Superpositioperiaatteen mukaan pisteessä P EP = E+ E. Kun koejärjestelyssä varmistetaan, että kentillä E ja E on sama polarisaatiotila, voidaan kirjoittaa (ks. kappale 9.) missä ja EP = E+ E = Esin( a - wt), (..3) E = E + E + E E cos( a - a ) (..4) E tana = E sina + E cosa + E sina cosa. (..5) Pisteessä P havaittava säteilyn tehotiheys eli irradianssi I on (ks. tulos (4.3.) sivulla 76) I = ece. Tässä tapauksessa yhtälön (..4) perusteella selvästi missä I = I + I + I, (..6) I = e ce on lähteen antama irradianssi P:ssä, I = e ce on lähteen antama irradianssi P:ssä, I = ec EE cos( a - a) on ns. interferenssitermi Jos valo ei interferoisi, yhteinen irradianssi olisi I = I+ I. Termi I on osoitus valon aaltoluonteesta ja se voi aiheuttaa joko irradianssin kasvamisen tai pienenemisen. Nyt edelleen I = ece ece cos( a - a) = II cosd, (..7) missä aaltojen vaihe-ero on d = a - a ja kokonaisirradianssiksi pisteessä P saadaan

116 7 I= I + I + II cosd. (..8) Tämä on ns. interferenssin "laskukaava", jossa vaihe-erolla on interferenssin muodostumisen kannalta ratkaiseva merkitys. Vaiheero muodostuu kahdesta termistä (ks. myös sivu 6) d = a - a = k( r - r) + ( j - j ). Ensimmäinen termi k( r - r) riippuu pisteen P sijainnista avaruudessa. Interferenssin voimakkuus, ja siten myös kokonaisirradianssin voimakkuus, muuttuu paikan funktiona ja voidaan havaita ns. interferenssikuvioita. Toinen termi ( j - j) riippuu säteiden alkuperäisestä vaiheerosta. Jos vaihe-ero vaihtelee satunnaisesti ajan kuluessa, niin lähteiden sanotaan olevan ei-koherentteja. Tällöin cosd keskimääräistyy nollaksi ja interferenssiä ei havaita. Interferenssikokeessa lähteiden ja on oltava keskenään koherentteja, ts. ( j - j) = vakio (= mielellään) on toteuduttava koko ajan. Tämän takia alkuperäinen valo otetaan aina yhdestä lähteestä. Irradianssin ääriarvot saadaan, kun cosd =± : I = I + I + II, kun d = mp, m =, ±, ±, L max I = I + I - II, kun d = ( m + )p, min Kokonaisirradianssi vaihe-eron d funktiona on: 8 Interferenssikuvion erottuvuutta mittaa kontrasti V (contrast, visibility), joka määritellään nollan ja ykkösen välille kaavalla I -I 4 II II V = = = I + I ( I + I ) I + I max min max min. (..9) Jos interferoivien säteiden alkuperäiset irradianssit ovat yhtä suuret, ts. I = I = I, saadaan I max = 4I ja I min =, joka johtaa parhaaseen mahdolliseen kontrastiin (= ). Interferenssikoetta suunniteltaessa osa-aaltojen irradianssit kannattaa siis valita mahdollisimman samoiksi. Esimerkki: Interferenssikuviota muodostavan kahden aallon amplitudien suhde on :. Laske interferenssikuvion kontrasti. Millä amplitudien suhteella kontrastiksi tulee,5? Ratkaisu: E E = Þ I I æe ö = ç = 4 Þ I = 4I E è ø II 4I 4 V = = = =,8 I+ I 4I + I 5 Jos V= II = Þ 4 II = I + I Þ 6II = I + I + II I+ I æ I ö æ I ö 4 ç 4 I ç I Þ I - I I + I = Þ - + = è ø è ø æ I ö 4 ± (4) -4 ì3,98 ( I/ I) Þ ç 7 6,98 I = = ± =í è ø î,7 ( I/ I) Þ E I 3,98 3,73: E = I = =

117 9. YOUNGIN KOE Interferenssin perusteella voidaan todeta, onko jollakin ilmiöllä aaltoluonne. Historiallisesti ajatellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokeet 8-luvun alussa olivat hyvin merkittäviä. Ne vahvistivat valon aaltoliikkeeksi. Youngin interferenssikoe on merkittävä myös siksi, että siinä interferenssikokeen tyypilliset piirteet tulevat esille yksinkertaisessa muodossa. Young itse käytty kokeissaan neulalla tehtyjä pieniä reikiä, mutta yhtä hyvin voidaan käyttää kapeita rakoja, jolloin palloaaltojen asemasta saadaan sylinterimäiset aaltorintamat. Koejärjestely on seuraavan kuvan mukainen: varmistaa, että tuottaa vaihe-eron j - j = k( r - r) Vasemmalta rakoon S (slit) saapuu monokromaattista valoa. Rako toimii sylinterimäisten aaltorintamien lähteenä ja valaisee raot S ja S yhtä voimakkaasti. Siis S ja S ovat yhtä kaukana raosta S. Ne ovat myös yhtä leveitä. Raot S ja S toimivat kokeen varsinaisina lähteinä. Edellä esitetty järjestely varmistaa sen, että alunperin molemmat lähteet saavat 3 valonsa yhdestä ja samasta lähteestä (raosta S). Näin vaihe-ero j - j (kaavassa..8) säilyy vakiona, ja lähteet S ja S ovat keskenään koherentteja. Rakojen S ja S välimatka on a ja varjostin on etäisyydellä s. Valon irradianssia tarkastellaan varjostimella pisteessä P, joka on etäisyydellä y systeemin symmetria-akselista (ks. kuva). Piste P näkyy kulmassa q rakojen keskikohdasta katsottuna ja aaltojen matkat lähteistään pisteeseen P ovat SP= r ja S P= r. Optinen matka Optiikassa ns. optinen matka määritellään tulona nr, missä r on absoluuttinen matka ja n sen väliaineen taitekerroin, jossa matka "tapahtuu". Kun matkat mitataan optisina matkoina, vältytään miettimästä aallonpituuden muuttumista, kun siirrytään väliaineesta toiseen (katso esimerkki tuonnempana). Kaikissa laskuissa voidaan käyttää tyhjiöaallonpituutta. Interferenssitarkasteluissa käytetään aina optisia matkoja. Youngin koejärjestelyssä varjostin on kaukana rakojen välimatkaan verrattuna, ts. s? a. Kuviosta säteiden S P ja S P väliseksi optiseksi matkaeroksi D= n( r - r) = r - r (koe tehdään ilmassa, jossa n» ) tulee y D» asinq» a. s Tätä matkaeroa vastaa vaihe-ero d = k( r - r) = kd: p d = p ay l D= ls. Tässä siis aallonpituus on tyhjiöaallonpituus l = l. Irradianssiksi pisteessä P saadaan (ks...8) I= I + I + II cosd, ja koska koejärjestelyssä varmistettiin, että IS = IS = I (kontrasti on paras mahdollinen), tulee

118 3 I = I + I + I I cosd = I ( + cos d). Edelleen trigonometrisella kaavalla + cosd = cos ( d) saadaan I = 4I cos ç æpay ö è ls ø. (..) Viereisessä kuvassa irradianssi on piirretty symmetria-akselista mitatun etäisyyden y funktiona: Kuviossa havaitaan maksimit, kun cos ( d / ) = ts. kun d /= mp eli p ay mp l s =, josta (max) ls ym = m, m=, ±, ±, K a Sama tulos maksimeille saadaan myös asettamalla optinen matkaero aallonpituuden monikerraksi, jolloin aallot vahvistavat toisiaan: y (max) ls D= mlþ a = mlþ ym = m. s a Vastaavasti minimit saadaan, kun D = ( m + ) l. Tuloksessa (..) tämä tarkoittaa josta y cos ( d / ) =, ts. d / = ( m + / ) p, eli (min) m p ay ( m / ) p l s = + ls = ( m+ ), m=, ±, ±, K a 3 Varjostimella havaittava interferenssikuvio on siis joukko rakojen suuntaisia juovia, joiden välimatka on ls D y= ym+ - ym =. a Kuviosta juovien välimatka D y voidaan mitata ja jos esimerkiksi rakojen välimatka a ja varjostimen etäisyys s tunnetaan, valon aallonpituus voidaan laskea. Edellisessä koejärjestelyssä ensimmäinen rako S varmisti raoista S ja S saatavien säteiden keskinäisen koherenttisuuden. Rako S voidaan kuitenkin jättää pois, jos rakoja S ja S valaistaan laserilla. Laservalo on tunnetusti hyvin monokromaattista ja ennen kaikkea hyvin koherenttia. Alla laserilla toteutettu koe: Esimerkki: Osoita, että valon edetessä materiaalissa, jonka taitekerroin on n, aallonpituuden poikkeaminen tyhjiöaallonpituudesta voidaan kompensoida käyttämällä absoluuttisen matkan sijasta optista matkaa. Ratkaisu: Tarkastellaan absoluuttista matkaa L ja lasketaan montako aallonpituutta l kyseiseen matkaan sisältyy: L L nl l = l/ n = l, missä l on tyhjiöaallonpituus

119 33 Esimerkki: Youngin kokeessa rakojen välimatka on, mm ja varjostin on m:n etäisyydellä. Valon aallonpituus on 658 nm. a) Missä kulmassa rakojen keskeltä katsottuna näkyy keskimaksimin viereinen minimi? b) Laske minimin etäisyys keskimaksimista. c) Kirjoita lauseke interferenssikuvion irradianssille, kun osaaaltojen irradianssien suhde on valittu siten, että kuvion kontrasti on,8 (ks. esimerkki sivulla 8). Ratkaisu: Irradianssi varjostimella: I= I+ I+ II cosd a) Maksimit, kun cosd = eli d = m p Keskimaksimi, kun m = eli d = Minimit, kun cosd =- eli d = ( m + ) p. minimi, kun m = eli d = p b) Koejärjestelyn geometriasta saadaan optinen matkaero D» asinq» aq, josta edelleen vaihe-ero d = kd= paq / l. Asetetaan nyt tämä vaihe-ero vastaamaan. minimin vaihe-eroa paq / l = p, josta suuntakulma q voidaan ratkaista -9 l 658 m q = = =,645 rad»,65 mrad -3 a, m y = qs=,645 m =,645 m»,65 mm (min) -3 I = 4I (sivu 8), joten I = 5I + 4Icosd, missä -3 p p ay p, m d = kd= aq = = y -9 l l L 658 m m æ ö = ç 9 y è m ø c) 34.3 INTERFERENSSI VIRTUAALISILLA LÄHTEILLÄ Youngin kokeessa interferenssikuvio syntyi kahdesta konkreettisesta (oikeasta) lähteestä, S ja S, tulevien säteiden interferoidessa. On myös mahdollista, peilien tai prismojen avulla, luoda koejärjestely, jossa lähteet S ja S ovat eri paikoissa olevia yhden lähteen S kuvia (virtuaalisia lähteitä). Näin esimerkiksi varmistuu automaattisesti lähteiden keskinäinen koherenttisuus. Tarkastellaan muutamia esimerkkejä: Lloydin peilikoe Lloydin koejärjestely muodostuu yhdestä oikeasta lähteestä, joka on kapea rako S, yhdestä tasopeilistä MM' ja varjostimesta (screen). Rakoa S valaistaan monokromaattisella valolla. Osa raosta tulevasta valosta menee suoraan varjostimelle ja osa heijastuen peilin kautta. Varjostin "näkee" kaksi rakoa S ja S' (kuvan mukaisesti) ja interferenssikuvio syntyy samoin kuin Youngin kokeessa. Kaavassa (..) rakojen välimatka a on kaksinkertaisesti raon S kohtisuora etäisyys peilistä.

120 35 Fresnelin kaksoisprismakoe Koejärjestely esitetty viereisessä kuvassa: Yhdestä todellisesta lähteestä S lähtevä valo taittuu kahdessa prismassa niin, että varjostin näkee kaksi virtuaalista lähdettä S ja S. Käytännössä prismojen taittavat kulmat ( a ) ovat vain muutamia asteita. Kuvaan piirretyn säteen deviaatiokulma on siten hyvin approksimoitavissa kaavalla dm = a( n - ). Toisaalta kuvan geometriasta näemme, että d m = ( a/)/ d. Yhdistämällä nämä saamme a = dd = da( n- ). m (max) Varjostimella maksimien paikat y m saadaan nyt suoraan Youngin kokeen tuloksesta, kunhan vielä korvaamme rakojen ja varjostimen etäisyyden s uudella etäisyydellä ( s+ d) : (max) l( s+ d) ym = m d a( n - ). (.3.) 36 Esimerkki: Fresnelin kaksoisprisman (n =,5) ja kapean raon S välimatka on d (kuva). Raon kautta prismaa valaistaan Na-lampulla, jonka aallonpituus on 589,3 nm. Interferenssikuvio muodostuu varjostimelle, joka on kaksi kertaa niin kaukana kuin rako S. Interferenssikuviosta peräkkäisten maksimien välimatkaksi mitataan,3 cm. Laske kaksoisprisman taittava kulma a. Ratkaisu: Maksimien välimatkaksi laskemme (.3.):n avulla (max) (max) (max) l( s+ d) D y = ym+ - ym = da( n- ). -9 Tässä l = 589,3 m s+ d = d + d = 3d n- =,5 (max) - D y =,3 m ja lasketaan l( s+ d) 3l a = = =,5893 rad (max) (max) ddy ( n-) ( n-) Dy =,3376 =,3'

121 37.4 INTERFERENSSI OHUESSA KALVOSSA Värien leikki esimerkiksi öljyisellä vedenpinnalla tai saippuakuplissa on eräs jokapäiväinen interferenssin ilmenemismuoto. Kysymyksessä on valon interferenssi ohuessa läpinäkyvässä kalvossa tai kerroksittaisissa kalvoissa. Tarkastellaan ohutta läpinäkyvää kalvoa tasomaisen lasisubstraatin päällä (kuva). Valon säde osuu kalvon pintaan pisteessä A ja jakautuu kahteen osaan, heijastuneeseen säteeseen ja taittuneeseen säteeseen. Tässä siis alkuperäinen (yhden lähteen) säde jaetaan kahteen osaan, jotka sitten myöhemmässä vaiheessa yhdistyvät interferoiden. 38 Aina säteen kohdatessa rajapinnan tapahtuu sekä heijastuminen, että taittuminen. Kalvon sisällä tapahtuu siis moninkertaisia heijastumisia (kuva) ja yläpinnasta tulee ulos suuri joukko säteitä. Moninkertaisesti heijastuneiden säteiden irradianssi heikkenee kuitenkin nopeasti heijastuskertojen lisääntyessä. Ilmiönä interferenssi ohuessa kalvossa ymmärretään hyvin tutkimalla vain pisteistä A ja C lähteviä säteitä. Tarkka kvantitatiivinen analyysi vaatii tietysti kaikkien säteiden huomioon ottamista. Itseasiassa tarkasti koetulokset selittävää mallia ei sädemallilla voida rakentaa ollenkaan, vaan on tarkasteltava kalvo-substraatti-systeemiä kokonaisuutena Maxwellin yhtälöitä soveltaen. Tarkastellaan nyt tilannetta yksinkertaisen mallin avulla. Kuvassa alla on esitetty yksityiskohtaisesti säteiden käyttäytyminen pisteiden A, B ja C ympäristössä. Säde tulee kalvon pintaan pisteeseen A tulokulmalla q i, mikä on samalla heijastuneen ja loppujen lopuksi myös kalvon kautta kiertäneen säteen lähtökulma. Tässä kokeessa jakautuminen on ns. amplitudin jakautuminen. Toinen jakautumisen tyyppi, ns. aaltorintaman jakautuminen, tapahtuu esimerkiksi Youngin kokeessa. Kokeessa taittunut säde heijastuu kalvo-substraatti rajapinnasta, pisteestä B, ja poistuu kalvosta pisteessä C, heijastuneen säteen suuntaisena. Kaksi paralleelia sädettä yhdistetään pisteeseen P esimerkiksi linssillä (vaikkapa silmän linssillä), jolloin ne interferoivat.

122 39 Pinnasta poistuvien säteiden optinen matkaero D on säteiden optisten matkojen erotus pisteestä A tasolle DC, siis D= n f ( AB + BC) -n ( AD) ( ABn ) f ( ADn ) Kuvan geometriasta on helppo laskea: = -. t ( AB) = cosq t t sinqt ( AC) = ( AB)sinqt = cosqt sin sin n i t f sin t ( AD) = q q q ( AC)sinq = i t t cosq = n cosq, joista viimeisessä käytettiin taittumislakia n sinqi = nf sinqt. Optiseksi matkaeroksi tulee nt f nt f sin qt nt f nt f ( sin qt) cos qt qt qt qt D= - = - = qt, cos cos cos cos josta lopulta t D= ntcosq. (.4.) f Tässä optinen matkaero D on esitetty yksinkertaisuuden vuoksi taitekulman q t avulla. Kyseinen kulma saadaan helposti laskemalla tulokulmasta q i taittumislain avulla. Kun säde tulee pintaan kohtisuorasti, pätee qi = qt = ja (.4.) antaa D= nt f, kuten on odotettavissakin. Seuraavaksi, interferenssitarkastelussa, optinen matkaero D muutetaan vastaavaksi vaihe-eroksi d = kd. Tässä k = p / l on laskettava käyttäen tyhjiöaallonpituutta, koska matkaero annetaan nimen omaan optisena matkaerona. Esitetyn kaltaisessa kokeessa säteiden vaihe-eroon vaikuttaa eräs toinenkin tekijä, nimittäin säteen vaiheen hyppäyksellinen muuttuminen heijastuksessa. Tavallinen "hokema" on, että säde, heijas- t t 4 tuessaan optisesti tiheämmästä väliaineesta kokee p : n vaihesiirron. Todellisuudessa asia ei ole aivan näin yksinkertainen, vaan säteen eri polarisaatiokomponentit kokevat erilaisia vaihesiirtoja. Asia menee monimutkaiseksi, mutta nytkin käyttämällä p : n vaihesiirtoa saadaan kvalitatiivisesti hyviä tuloksia. Olkoon nyt d optisesta matkaerosta tuleva vaihe-ero ja d r heijastuksissa syntyvä vaihe-ero. Kokonaisvaihe-ero on d + dr ja interferenssin laskukaava (..8) on muotoa I I I II d d r = + + cos( + ). Heijastuneessa valossa havaitaan vahvistumista (ns. konstruktiivinen interferenssi) tai heikkenemistä (ns destruktiivinen interferenssi) riippuen vaihe-erosta seuraavasti: konstruktiivinen interferenssi: d + dr = mp (.4.) destruktiivinen interferenssi: d + d = ( m + )p (.4.3) Näissä m on kokonaisluku: m =, ±, ±, K Myöhemmin tarkemmassa analyysissä tulemme havaitsemaan, että heijastuneessa valossa irradianssit I ja I ovat suurin piirtein samat, I» I = I. Tällöin heijastunut kokonaisirradianssi on ts. I = I + d + d r [ cos( )] ja esimerkiksi destruktiivisen interferenssin tapauksessa I =, eli heijastumista ei tapahdu ollenkaan. Esimerkki: Lasisubstraatin ( n =,5) päällä olevaa ohutta öljykalvoa (n f =,3) valaistaan valkoisella valolla kohtisuoraan yläpuolelta. Havaitaan, että heijastuneesta valosta puuttuvat aallonpituudet 55 nm ja 675 nm. Laske öljykalvon paksuus ja kyseisten destruktiivisten interferenssien kertaluvut (siis m:n arvot). r

123 4 Ratkaisu: Kalvoa valaistaan suoraan ylhäältä, joten qi = qt = ja optiseksi matkaeroksi tulee D= nt f, missä t on kalvon paksuus. Tästä aiheutuva vaihe-ero on d = kd. Säde () pisteesa A heijastuu optisesti tiheämmästä väliaineesta, joten se kokee p :n vaihesiirron. Mutta, samoin käy säteelle () sen heijastuessa pisteestä B. Vaihesiirrot kumoutuvat (tai summautuvat p :ksi, joka on sama asia) ja heijastuksien osuus vaihe-eroon voidaan kirjoittaa d r =. Kokonaisvaihe-ero on p d + dr = nt f l ja kun tämä asetetaan toteuttamaan destruktiivinen interferenssi, saadaan p l nft ( m ) p t ( m ) l = + Þ = + n. f Tämän on toteuduttava kahdelle aallonpituudella: l = 55nm kokonaisluvun arvolla m ja l = 675nm kokonaisluvun arvolla m, joilla siis 55 nm 675 nm 675 t = ( m+ ) = ( m + ) Þ ( m+ ) = ( m + ),6,6 55 Tästä nähdään, että m > m ja kokeilemalla m = Þ m = (ei käy) m = Þ m = (ei käy) m = Þ m = (ei käy) m = 3 Þ m = 4, (nyt tärppäsi) Kalvon paksuus: 55 nm 675 nm t = (4 + ) = (3 + ) = 98,65nm»,99mm,6,6 4 Esimerkki: Kiilamainen ilmarako Kaksi lasilevyä asetetaan päällekkäin viereisen kuvan mukaisesti. Levyt koskettavat toisiaan toisesta reunasta ja toiseen reunaan on asetettu esimerkiksi hius pitämään levyjä erillään. Levyjen väliin muodostuu kiilamainen ilmarako. Systeemiä valaistaan ylhäältä valolla, jonka aallonpituus on l. Etäisyyden x kasvaessa kalvon paksuus t kasvaa ja heijastuneessa valossa havaitaan vuorotellen kirkkaita ja tummia juovia interferenssin seurauksena (kuva). Laske millä etäisyyksillä x havaitaan kirkkaat juovat sekä peräkkäisten kirkkaiden juovien väli. Ratkaisu: Tarkastellaan tilannetta etäisyydellä x, jossa kalvon paksuus on t (kuva). Valo tulee lähes kohtisuorasti ja voidaan hyvin approksimoida qi = qt =. Optinen matkaero D= nt ja sitä vastaavaksi vaihe-eroksi tulee p ænt ö d = D= pç l è l ø. Heijastusten vaihesiirrot: - jos n < nþ p:n vaihesiirto B:ssä - jos n > nþ p:n vaihesiirto A:ssä Joka tapauksessa dr = p ja kokonaisvaiheeroksi tulee

124 43 ænt ö d + dr = pç + p. è l ø Nyt haetaan konstruktiivisen interferenssin kohtia (kirkkaita juovia), joten asetetaan vaihe-ero sen mukaisesti d + dr = m p: ænt ö nt l pç + p = m p Þ = ( m - ) Þ t = ( m - ). è l ø l n Kirkkaat juovat havaitaan siis näillä kalvon paksuuksilla. On vielä selvitettävä mitä x:n arvoja nämä paksuudet vastaavat. Kuvasta tan a = d/ L= t/ x, jonka perusteella kirjoitetaan suoraan kirkkaiden juovien paikoiksi L ll x= t = ( m- ), m=,,3k d nd ja peräkkäisten juovien väliksi ll D x= xm+ - xm =. nd Kiilamaista ilmarakoa voidaan soveltaa esimerkiksi lasilevyjen hionnan tasaisuuden testaamiseen. Poikkeamat lasilevyjen tasomaisuudesta näkyvät interferenssijuovien vääristymisenä. Numeerinen esimerkki: Saippuakalvo muodostetaan pieneen suorakulmaiseen rautalankakehikkoon. Kun kehikkoa (kalvoa) pidetään pystyasennossa ja sitä valaistaan HeNe-laserilla (63,8 nm), heijastuneessa valossa havaitaan interferenssijuovia, joita mitataan olevan 5 juovaa senttimetrin matkalla. Miten ne syntyvät? Ratkaisu: 44 Gravitaation vaikutuksesta kalvo "valuu" alaosastaan paksummaksi kuin yläosasta ja näin muodostuu (approksimatiivisesti) kiilamainen kalvo, johon voimme soveltaa edellä esitettyä teoriaa. Kalvossa havaitaan 5 juovaa senttimetrillä, joten peräkkäisten juovien väli on D x = cm =, m. 5 Tämän avulla voimme laskea kiilakulman a. Teorian perusteella ll d l D x= Þ = nd L ndx ja jos oletetaan, että kalvo on käytännössä vettä ( n =,33) saadaan d a» = L l = =,3568 mrad -9 63,8 m -3 nd x,33,6667 m =,44 = '4'' Esimerkki: Newtonin renkaat Edellisen kappaleen koejärjestelyllä voidaan testata levyjen tasomaisuutta. Pintojen pallomaisuutta voidaan puolestaan testata laitteistolla, joka tuottaa ns. Newtonin renkaita. Koejärjestely on esitetty kuvassa seuraavalla sivulla. Tasokupera linssi, jonka kuperan pinnan pallomaisuutta testataan on sijoitettu kupera puoli alaspäin tasaiselle lasilevylle. Nyt muuttuvan paksuinen "kalvo" on linssin ja lasilevyn välinen ilmarako.

125 45 Lähteestä tuleva valo ohjataan ilmarakoon yhdensuuntaisena (kollimoituna) sädekimppuna suoraan ylhäältä päin vasemman kuvan mukaisesti. Interferenssikuviota katsotaan esimerkiksi mikroskoopilla suoraan ylhäältäpäin. r m 46 Rl = ( m- ), n missä m =,, 3,... ja n on "ilmaraon" taitekerroin. Jos esim. rako täytetään vedellä, n =,33. Millään m : n arvolla kirkas rengas ei ole -säteinen, ts. linssin ja lasilevyn kosketuskohtaan (renkaiden keskipisteeseen) tulee tumma piste, kuten näkyy vasemmanpuoleisessa kuvassa (alla). Vasen Oikeanpuoleisessa kuvassa raon paksuus etäisyydellä r m linssin ja lasilevyn kosketuskohdasta on t m. Symmetrian perusteella t m on vakio r m -säteisellä ympyrällä. Ympyrässä havaitaan heijastuneessa valossa interferenssimaksimi (kirkas juova), jos ænt m ö d + dr = pç + p = mp Þ ntm = ( m- ) l. è l ø Kirkkaan renkaan säde saadaan nyt, kun t m kirjoitetaan r m :n avulla. Oikeanpuoleisen kuvan geometriasta kirjoitamme R = ( R- t ) + r = R + t - Rt + r josta rm tm», R kun approksimoidaan t m pieneksi Rt :n rinnalla. m m m m m m kuva esittää Newtonin renkaita, kun linssin pinta on (lähes) täydellinen pallopinta. Oikeanpuoleisen kuvan linssi vaatii selvästi vielä hiomista. Kirkkaiden renkaiden säteet ovat siis

126 47 INTERFEROMETRIA Edellisessä kappaleessa tarkastelimme interferenssiä. Instrumentti, joka on suunniteltu interferenssikuvion muodostamiseen ja sen tutkimiseen (mittaamiseen) on ns. interferometri. 48 Jakamisessa säteille () ja () pyritään saamaan mahdollisimman sama amplitudi. Säde () käy peilissä M ja säde () peilissä M. Molemmat palaavat samaa reittiä takaisin säteenjakajalle, jossa ne yhtyvät ja saapuvat varjostimelle interferoiden. Interferenssikuvion aikaansaaminen vaatii koherentin sädeparin, joka saadaan jakamalla yhdestä lähteestä tuleva valo kahteen, mielellään yhtäsuureen osaan. Jakaminen voidaan tehdä kahdella eri tavalla. Jaetaan aaltorintama (Youngin koe, Lloydin peili, Fresnelin kaksoisprisma) tai jaetaan amplitudi (säteenjakaja, ohut kalvo). Edellisen perusteella myös interferometrit jaetaan karkeasti kahteen luokkaan: aaltorintaman jakavat interferometrit ja amplitudin jakavat interferometrit.. MICHELSONIN INTERFEROMETRI Michelsonin interferometri (kehitti Albert Michelson vuonna 88) on vaikuttanut hyvin paljon modernin fysiikan kehittymiseen. Michelson (ja Morley) osoittivat sen avulla, että eetteriä ei voi olla olemassa ja vaikuttivat siten suhteellisuusteorian kehittymiseen. Michelsonin interferometrillä on myös ensimmäisenä mitattu vuorovesi-ilmiötä ja laitteen avulla metrin standardi on aikoinaan voitu liittää valon aallonpituuteen. Michelsonin interferometrissä valo jaetaan kahteen osaan käyttäen hyväksi osittaista heijastumista (säteenjakajaa); kyseessä on siis amplitudin jakava interferometri. Lähteestä S lähtevä säde jaetaan säteenjakajalla (BS) kahteen osaan, säteeksi () ja säteeksi (). Säteenjakaja on lasilevy, jonka etupinnalle on höyrystetty puoliläpäisevä metalli- tai eristekalvo. Säteen () reitille on lisäksi asetettu ns. kompensaatiolevy, joka on muodoltaan täsmälleen säteenjakajan kaltainen (säteenjako-ominaisuutta lukuunottamatta). Levyn tarkoitus on saattaa säteiden () ja () reitit täsmälleen identtisiksi. Molemmat säteet kulkevat nyt yhtä pitkät matkat lasimateriaalissa. Peilit M ja M on varustettu mikrometriruuveilla, joilla ne voidaan säätää täsmälleen kohtisuoriksi toisiaan vastaa. Lisäksi toista peiliä voidaan siirtää säteen suunnassa niin että säteiden matka-ero voidaan säätää halutuksi.

127 49 Edellä kuvatulla interferometrillä on kaksi kohtisuorassa toisiaan vastaan olevaa optista akselia. Yksinkertaisempi, mutta täysin vastaava analoginen yhden optisen akselin systeemi saadaan poistamalla säteenjakaja ja kiertämällä pystysuoraa optista akselia 9 myötäpäivään (kuva): 5 Analoginen systeemi on siten ohut kalvo (kappale.4), jossa kalvon paksuus t= d on nyt peilien välinen etäisyysero säteenjakajasta, kalvon taitekerroin on ilman taitekerroin n f = ja taitekulma kalvon sisälle on q t = q. Optiseksi matkaeroksi (.4.) säteille () ja () saadaan näin D = n tcosq = dcosq. (..) f t Kun säde on optisen akselin suuntainen ( q = ), optiseksi matkaeroksi tulee d. Tämä tulos on selvä kuvan perusteella. Optista matkaeroa vastaavaksi vaihe-eroksi tulee p d = kd+ dr = dcosq + p, (..) l missä heijastuksista tuleva vaihesiirto on dr = p, koska säde () kokee p :n vaihesiirron yhden kerran, kun taas säde () kokee sen kaksi kertaa (ks. kuva edellisellä sivulla). Varjostimelle syntyy ympyräsymmetrinen interferenssikuvio: jonka irradianssijakauma saadaan nyt vaihe-eron (..) avulla esitettyä kulma q funktiona muodossa I = I + I + I I cosd = I ( + cos d). Tästä esimerkiksi destruktiiviselle interferenssille eli tummille renkaille saadaan, kirjoittamalla d = ( m+ ) p, ensin josta lopulta p dcos q p ( m ) p l + = +, dcosq = ml, m = kok. luku. (..3) Miten kokonaisluku m juoksee rengaskuviossa? Lasketaan: d m = cos q l ja kuvion keskellä q = eli cosq =, josta seuraa m= d/ l. Tässä m on hyvin suuri luku, koska d voi olla jopa useita metrejä. Ulospäin siirryttäessä q kasvaa, cosq pienenee ja siten m pienenee. Edellisestä voidaan päätellä myös seuraavaa. Kun peilien välistä etäisyyttä d kasvatetaan hieman siir-

128 5 tämällä toista peiliä, m:n maksimiarvo keskellä kasvaa. Jos se esimerkiksi kasvaa yhdellä, niin keskipisteenä oleva tumma piste laajenee ensimmäiseksi tummaksi renkaaksi keskipisteen ympärille ja keskelle syntyy uusi tumma piste vastaten uutta m:n maksimiarvoa. Kun peiliä siirretään jatkuvasti, niin interferenssikuvion keskeltä syntyy uusia tummia renkaita, jotka kasvavat keskipisteestä ulospäin. Vastaavasti, jos peilien välistä etäisyyttä pienennetään, tummat renkaat supistuvat kohti keskipistettä, jonne ne lopulta häviävät. Kuvassa alla on vielä esitetty todellinen Michelsonin interferometrin interferenssikuvio: PITUUSMITTAUKSET Michelsonin interferometrillä voidaan mitata pituuksia aallonpituuksina. Tarkastellaan interferenssikuvion keskipistettä, jossa q = ja cosq =. Olkoon siinä aluksi, kun peilien välimatka on d, tumma piste: d = ml. Sitten peiliä M siirretään siten, että peilien välimatkaksi tulee d. Jos keskellä on taas tumma piste, on d = m l. Siten siirrytty matka d- d on 5 d - d = ( m - m) l. Kun peilin siirron aikana lasketaan tummien juovien muutos keskipisteessä, siirtymä saadaan aallonpituuden puolikkaan tarkkuudella. Historiallisesti tärkeä mittaus oli Michelsonin vuonna 893 suorittama metrin prototyypin mittaus Cd:n punaisen spektriviivan aallonpituuksina. Esimerkki: Michelsonin interferometrin toista peiliä siirretään,73 mm, jolloin havaitaan 3:n renkaan muutos kuvion keskellä. Laske käytetyn valon aallonpituus. Ratkaisu: Kuvion keskellä d = ml, josta D d =D ml eli -3 D d,73 m -9 l = = = 486,67 m» 487 nm Dm 3 Esimerkki: Michelsonin interferometrissä molempia peilejä pidetään paikoillaan, mutta toisen säteen reitille asetetaan lasilevy, jonka paksuus on,5 mm ja taitekerroin,5. Monenko renkaan muutos havaitaan, kun käytetyn valon aallonpituus on 63,8 nm. Ratkaisu: Vaikka nyt peili ei liiku, d muuttuu, koska optinen matkaero muuttuu: D d = nt- t, missä t on matka lasilevyn kohdalla ilman lasilevyä nt on optinen matka lasilevyn kohdalla

129 53 Lasketaan D d =D ml, josta -3 Dd tn ( - ),5 m (,5-) D m= = = -9 l l 63,8 m = 8,59» 8 rengasta AALLONPITUUSEROJEN MITTAUS Michelsonin interferometriin ohjataan valoa, joka sisältää kahta toisiaan lähellä olevaa aallonpituutta l ja l ' (siis l' ¹ l, mutta l'» l), joiden aallonpituusero D l = l' - l pitäisi määrittää. Molemmat aallonpituudet muodostavat oman rengaskuvionsa. Kuviot ovat päällekkäin ja sekoittavat toisiaan jonkin verran. Rengaskuvion keskialueella q», eli cosq», ja pätee d = ml ja myös d = m' l', koska molemmilla on tietysti sama d. Kun toista peiliä siirretään varovasti, käy seuraavasti:. Lähtötilanne: kuviot ovat päällekkäin ja interferenssikuvio näkyy terävänä: m = m' + N, N kok. luku Þ d d N l = l' + (*). Siirrossa kuviot kasvavat hieman "eri tahtiin" ja kuviosta tulee epäselvä. 3. Seuraavan terävän kuvion ilmestyessä pätee m = m' + ( N + ) Þ d d ( N ) l = l' + + (**) 54 Kun lasketaan erotus (**)-(*), tulee Dd Dd = +, l l' missä D d = d - d on peilin siirtymä terävästä kuviosta seuraavaan terävään. Tästä ratkaistaan aallonpituusero esimerkiksi laskemalla æ ö æ ' ' d d l - l ö D ç - = Þ D ç = Þ l' - l = ll. èl l ' ø è ll ' ø Dd Tässä voidaan hyvin approksimoida ll'» l, koska l'» l. Tulee l D l =. D d Esimerkki: Natriumin keltaisen dubletin aallonpituudet ovat 589, nm ja 589,6 nm. Valo ohjataan Michelsonin interferometriin ja toista peiliä siirretään hitaasti eteenpäin. Kuinka pitkin peilin välimatkoin interferenssikuvion keskialueella havaitaan kontrastin maksimi. Ratkaisu: Kontrasti on maksimissa, kun molempien kuvioiden tummat (ja samalla kirkkaat) renkaat ovat päällekkäin. Ehto on sama kuin aallonpituuseron mittauksessa edellä. Siis maksimi kontrasti saadaan välein: l (589,3 nm) D d = = = nm» 89 μm. D l,6 nm Tässä aallonpituutena käytettiin dubletin keskiarvoa. Yhtä hyvin voitaisiin käyttää jompaa kumpaa dubletin arvoista. Annetulla tarkkuudella tulos on aina sama.

130 55 Lisäkommentti: Edellisissä esimerkeissä interferometrin peilit oli säädetty täsmälleen toisiaan vastaan kohtisuoraan ja interferenssikuvio oli ympyrämäinen. Jos toista peiliä kallistetaan hieman, tilanne sivun 49 kuvassa vastaa kiilamaista rakoa. Interferenssikuvio muodostuu suorista tasavälisista interferenssijuovista, kuten esimerkissä sivulla 4. Vieressä interferometrin peiliä on kallistettu ja toisen säteen tielle on asetettu kynttilän liekki. Lämpö muuttaa ilman taitekerrointa ja suorat interferenssijuovat vääristyvät muuttuvan optisen matkan seurauksena.. STOKESIN RELAATIOT Stokesin relaatiot liittyvät heijastuksissa ja taittumisissa tapahtuviin tasoaaltorintaman amplitudin muutoksiin. Määritellään heijastus- ja läpäisykertoimet seuraavasti: E i = pintaan tulevan aallon amplitudi E r = heijastuneen aallon amplitudi E = taittuneen aallon amplitudi t Amplitudin - heijastuskerroin: r = Er/ E - läpäisykerroin: t= Et/ Ei i Samanlaiset kertoimet voidaan määritellä myös, jos säde tulee väliaineesta (taitekerroin n ). Erotetaan ne edellä esitetyistä pilkuilla, siis ne ovat r ' ja t '. 56 Valon kulku on käänteistä, joten myös seuraavan vasemman puoleisen kuvan täytyy toteutua. Toisaalta, vasemmassa kuvassa rajapintaan tulee kaksi sädettä, joista molemmat taittuvat ja heijastuvat. Läpäisy- ja heijastuskerrointen t ' ja r ' avulla voidaan johtaa oikean puoleinen kuva. Kuvien täytyy olla fysikaalisesti ekvivalentteja, joten E = ( r + tt') E, i i = ( rt ' + tre ) i, joista tulee r + tt ' = ja r' + r =. Lopulta saadaan ns. Stokesin relaatiot: tt' = - r, (..) r =- r'. (..) Amplitudin muutoksia heijastumisessa ja taittumisessa on kätevää tarkastella valitsemalla aallon esitysmuodoksi kompleksiesitys i( t ) E Ee w - kr = + j. Heijastuminen ja taittuminen tapahtuvat yhdessä pisteessä, joka kannattaa valita origoksi, ts. r = ja lisäksi vaihevakiolla ei ole merkitystä näissä tarkasteluissa, joten valitaan j =. Heijastumis- ja taittumispisteessä aallon muoto on siis ja voidaan kirjoittaa E= i t Ee w

131 57 i t Tuleva aalto: Ei = Eie w i t Taittunut aalto: Et = teie w i( t r ) Heijastunut aalto: Er = reie w -d, missä d on mahdollinen p :n vaihesiirto heijastuksessa. r Stokesin relaation (..) fysikaalinen tulkinta: ip r' =- r = (- ) r = e r, joka tarkoittaa, että jos valon tullessa "ylhäältä", heijastuneessa valossa ei havaita p :n vaihesiirtoa, niin valon tullessa "alhaalta" havaitaan, ja päinvastoin..3 MONISÄDEINTERFERENSSI OHUESSA TASAPAKSUSSA KALVOSSA Palataan interferenssiin ohuessa kalvossa käyttäen nyt edellä määriteltyjä heijastus- ja läpäisykertoimia r ja t. Tarkastellaan ensin kalvon yläpinnasta heijastuneita säteitä ja niiden superpositiota. 58 Yhtälön (.4.) mukaan peräkkäisten heijastuneiden säteiden optinen matkaero on D= nf tcosqt ja vaihe-eroksi tulee (kun d r = ) p d = kd= D. (.3.) l Tässä on huomattava, että heijastuksissa tapahtuvat mahdolliset p : n vaihesiirrot tulevat otetuksi automaattisesti huomioon heijastuskertoimissa, katso (..) ja sen tulkinta sivulla 57. Käytetään säteille kompleksiesitystä. Tuleva säde on Ee iw t ja peräkkäisiä heijastuneita säteitä kuvaaviksi esityksiksi saadaan kuvasta: E = ( re ) e iwt E = ( tt' r' E ) e i wt d ( - ) E = ( tt' r' E ) e i wt d 3 ( ) 3 - E = ( tt' r' E ) e i wt d 5 ( 3 ) 4 - ja niin edelleen. Näistä voidaan päätellä, että N : s heijastunut säde on muotoa ( 3) [ ( ) E = ( tt' r' N- E ) e i wt- N- d ] N Tämä esitys on voimassa kaikille muille säteille paitsi ():lle, joka ei taitu toiseen väliaineeseen ollenkaan. Aaltojen superpositioksi saadaan R i t (N-3) i[ t ( N ) ] å N ttr ' ' Ee w - - d N= N= E = E = ree w +å. Järjestelemällä ( 4) ( ) i w é t - ' ' i d ER E e r tt r e r' N - - e i N - dù = ê + å ú. ë N= û Tarkastellaan hakasuluissa olevaa summaa (N-4) -i( N-) d ( -) -i ( N-) å N= N= kun merkitään N d å( ' ) ( ) r' e = r e N- =å x, N=

132 Siten on 59 i x r' e - d =. N- 3 å x = + x+ x + x +..., missä N= x = r' <. Kysymyksessä on suppeneva geometrinen sarja, jonka summa on S = =. i -x -r' e - d Superpositioksi saamme siten -id iwtæ ttre ' ' ö ER= Ee ç r+ -id -r' e è ø. Käyttäen hyväksi Stokesin relaatioita tt' = - r ja r' =- r tulee -id (-r ) re -id re iwté ù ER= Ee êr- - ú ë û -id -id iwtér( -r e ) -( -r ) re ù = Ee ê -id -re ú ë û 3 -id -id 3 -id -id iwtér-re - re + re ù iwtér( -e ) ù = Ee ê -id -re ú = Ee ê -id ë û -re ú ë û. Tämän aallon amplitudi on -id ér( -e ) ù E ê -id -re ú ë û, ja irradianssi I R on verrannollinen sen neliöön. Nyt amplitudi on kompleksinen, joten sen neliö on E é -e ùé -e ù ë-re ûë-re û id -id é -e - e + ù é ( -cos d) ù = Er ê id -id 4 -re - re + r ú = Er ê 4 ë û ë+ r -r cosd ú û. -id id * R = EE R R = Er ê -id úê id ú d - id id Viimeisessä vaiheessa käytetään identiteettiä cos = ( e + e ). Tulevan säteen irradianssille pätee I i µ E, joten saamme I R 6 é r (-cos d) ù = ê I 4 i + r -r cosd ú, (.3.) ë û mikä on siis heijastuneiden säteiden muodostaman resultanttiaallon irradianssi. Vastaavalla tavalla voidaan johtaa läpimenneen valon irradianssille I T lauseke é (-r ) ù IT = ê I 4 i + r -r cosd ú. (.3.3) ë û Tämä tulos saadaan myös energian säilymislaista I R + I T = I i. Tässä on oletettu, että kalvo ei absorboi energiaa. Minimiheijastus Heijastuneen säteen irradianssi (.3.) on minimissään ( I min R = ), kun cosd =, ts. silloin kun yhtä edestakaista matkaa vastaava vaihe-ero (.3.) on p :n monikerta, siis d = mp. Tästä saadaan vastaavalle optiselle matkaerolle ehto l D= nftcosqt = d = ml. p Tällöin läpi menneen valon irradianssi on maksimissaan, eli max min I = I - I = I. T i R i Heijastuvia säteitä esittävistä lausekkeista (kuva s. 57) voidaan päätellä, että säteet (), (3), (4),... ovat samassa vaiheessa keskenään, mutta vastakkaisessa vaiheessa säteeseen () verrattuna. min Koska I R =, täytyy käydä niin, että säteiden (), (3),... summa kumoaa täysin säteen (). Toisaalta pelkästään säteiden () ja () huomioon ottaminen antaa suhteellisen hyvän tuloksen. Tällaista malliahan käytimme ohuen kalvon interferenssitarkastelussa sivulla 38. Säteiden () ja () amplitudien suhde on

133 E E 6 ttre ' ' = = - r, re mikä on lähellä ykköstä kun r on pieni. Kahden aineen rajapinnassa aineesta (n ) aineeseen (n ) kohtisuorasti pintaan tulevalle säteelle r voidaan laskea kaavasta (ei johdeta) r æn -nö = ç n + n è ø. (.3.4) Ilma-lasi rajapinnalle (lasin n =.5) saadaan r =.4. Siis kaksi ensimmäistä amplitudia kumoavat toisensa 96 prosenttisesti. Maksimiheijastus Läpi menneen valon minimi-irradianssi saadaan (.3.3):sta asettamalla cosd =-. Tulee min æ- r ö IT = ç I i + r, è ø jota vastaa maksimiheijastus 4r max IR = I i. ( + r) Optinen matkaero yhdessä edestakaisessa matkassa lasketaan tässä tapauksessa vaihe-eron d = ( m + )p kautta muotoon D = nf cos q = ( m+ ) l. t Esimerkki: Stokesin relaatiot Valo tulee ilmassa (n =,) olevan lasilevyn ( n f =,5) pintaan kohtisuoraan. a) Laske ensimmäisen () heijastuneen säteen irradianssi suhteessa tulevan säteen irradianssiin. b) Laske toisen (), kolmannen (3) ja neljännen (4) heijastuneen säteen irradianssit suhteessa ensimmäisen () heijastuneen säteen irradianssiin t 6 Ratkaisu: Lasketaan ensin amplitudin heijastuskerroin (.3.4):stä: æn -nö æ,5 ö = ç = =,4 = r' n + n ç,5 è ø è ø r a). heijastunut säde (suhteessa I :aan) I E re = = = r =.4, siis I =,4I I E E b). heijastunut säde (suhteessa I :een) I E tt' r' E (-r )(-r) = = = = ( - r ) =.96 I E re r siis I =.96I 3. heijastunut säde (suhteessa I :een) 3 3 I3 E3 tt' r' E (-r )(-r ) 4 = = = = r ( - r ) =.5 I E re r siis I 3 =.5I 4. heijastunut säde (suhteessa I :een) 5 I4 E4 (-r )(-r ) 8 = = = r ( - r ) =. I E r siis I 4 =.I Esimerkki: Heijastamaton pinnoite Ohuen kalvon (n f =,7) paksuus on,3 µm. Millä näkyvän alueen aallonpituuksilla kalvo ei heijasta ollenkaan. Valo tulee kalvoon kohtisuoraan. Ratkaisu: r (-cos d) IR = I 4 i =, kun cosd = eli d = m p. + r -r cosd Siis lasketaan: p p d = nftcosqt = nft = m p l l

134 63 Tässä cosq t =, koska valo tulee kohtisuorasti, jolloin q t =. Edelleen nt f,7 3nm l= = = nm m m m ja haetaan ne m:n arvot, jotka antavat aallonpituuden näkyvälle alueelle (4-7 nm): m l /nm IR 5 näkyvällä (siis tämä on vastaus) 3 34 UV Esimerkki: Laske heijastunut ( IR/ I i) ja läpi mennyt ( IT / I i) irradianssi edellisen kalvon tapauksessa, kun aallonpituus on 5 nm. Ratkaisu: p æ4,7 3nm ö d = nt f = ç p = 4,8p (,3 µm = 3 nm) l è 5nm ø cosd =,96858 æn f - ö r = =,675 ç n f + è ø IR r ( -cos d),438 = = =,483»,5% 4 Ii + r -r cosd,8743 IT ( -r ),878 = = =,9957» 99,5% 4 Ii + r -r cosd, FABRY-PEROT-INTERFEROMETRI Fabry-Perot-interferometrissä havaitaan interferenssirenkaita, jotka syntyvät moninkertaisissa heijastuksissa kahden yhdensuuntaisen, tasomaisen lasilevyn välissä. Koejärjestely on seuraava: Kahden paralleelin lasilevyn väli muodostaa t-paksuisen "kalvon", jossa säde liikkuu edestakaisin. Moninkertaiset heijastumiset tapahtuvat lasilevyjen sisäpinnoilta, jotka on hiottu erityisen tasaisiksi ja joskus myös hopeoitu heijastuskertoimen suurentamiseksi. Interferenssikuvio muodostuu samankeskisistä ympyröistä (vertaa ympyräkuvion syntymistä Michelsonin interferometrissä). Fabry-Perot'n interferometrin ympyräkuvion kirkkaat juovat (maksimi-intensiteetit) ovat erityisen teräviä, josta syystä laite soveltuu hyvin (paremmin kuin Michelsonin) aallonpituuserojen mittaamiseen. Kalvon paksuus t on interferometrin tärkein parametri. Fabry- Perot'n interferometrissä toista lasilevyä voidaan siirtää ja näin säätää paksuutta t. Jos väli on kiinteä, puhutaan Fabry-Perot'n etalonista.

135 65 Tarkastellaan tilannetta rengaskuvion keskipisteessä: q = q' = q t = D = nt f cos q' = nt f p d = nt f = yhdestä edestakaisesta matkasta syntyvä vaihe-ero l Irradianssi vaihtelee kalvon paksuuden t muuttuessa d :n funktiona Fabry-Perot-interferometrin interferenssirenkaiden irradianssin vaihtelu vaihe- tai matkaeron funktiona (siis t:n muuttuessa) on nimeltään rengasprofiili (fringe profile). Renkaiden terävyys on luonnollisesti merkittävä tekijä instrumentin erotuskyvyn kannalta, ts. lähellä toisiaan olevan kahden aallonpituuden erottamisessa. Airy'n funktio Fabfy-Perot-interferometrin läpi menevän valon irradianssi on yhtälön (.3.3) mukaan Sijoitetaan tähän nyt jolloin I T I T é (-r ) ù = ê I 4 i + r -r cosd ú. ë û cos sin ( / ) d = - d, é (-r ) ù = ê I 4 i + r - r + 4r sin ( d / ) ú. ë û é (-r ) ù = ê I i ( - r ) + 4r sin ( d / ) ú. ë û 66 Nyt voidaan määritellä irradianssin läpäisykerroin T eli ns. transmittanssi (transmittance). Transmittanssi Fabry-Perot-interferometrissä on ns. Airy'n funktio, joka on siis IT T = =. I + [4 r /( - r ) ]sin ( d / ) i Kun vielä määritellään ns. finesse-kerroin F : 4r F =, (.4.) (- r ) Airy'n kaava saadaan kompaktiin muotoon T = + F sin ( d / ). (.4.) Finesse-kerroin F on hyvin herkkä heijastuskertoimen r funktio sillä, kun r : niin F :. Rengasprofiilin kontrasti (määritelmä..9) I V = I max T max T -I + I riippuu primäärisesti heijastuskertoimesta r ja siten myös Finessekertoimesta F seuraavasti: min T min T T -T - /( + F) F V max min = = = = T max + T min + /( + F ) + F + / F Tässä on siis laskettu (.4.):sta:, (.4.3) T = T max =, kun sin( d / ) =, eli d = m p T = Tmin = /( + F), kun sin( d / ) =±, eli d = ( m + ) p Näissä m on kokonaisluku. Voidaan todeta vaihteluvälit: r : F : V :

136 67 Rengasprofiilin muoto, eli transmittanssin (.4.) muoto d :n funktiona, riippuu siten ensisijaisesti heijastuskertoimen r arvosta: Kuvan käyrät vastaavat siis esimerkiksi interferenssikuvion keskikohdassa (myös muualla) havaittavaa irradianssia levyjen etäisyyden t muuttuessa. Kuvassa vaaka-akseli on t:stä tuleva vaihe-ero. Rengasprofiilissa aina T max =, kun d = mp ja Tmin = /( + F), kun d = (m + ) p. Huomataan myös, että T min ei ole koskaan nolla, vaikkakin lähestyy sitä kun r. Vielä tärkeä huomio on se, että rengasprofiili terävöityy maksimien kohdalla sitä terävämmäksi mitä suurempi r on. Maksimien puoliarvoleveys Rengasprofiilin maksimien terävyyttä kuvataan ns. puoliarvoleveydellä, joka on määritelty viereisessä kuvassa. Lasketaan seuraavaksi puoliarvoleveys, ts. millä vaihe-erolla d c rengasprofiilin arvo putoaa puoleen. 68 Viereinen kuva esittää miten maksimit syntyvät vaihe-erolla m p ja arvo on pudonnut puoleen, kun vaihe-ero tästä on kasvanut arvoon m p + dc. Rengasprofiilin (.4.) voidaan siis kirjoittaa T = = T max = + Fsin [( m p + d )/] Þ Fsin [( m p + d c )/] = Þ sin[( m p + d )/ ] =± / Sovelletaan sini-funktioon tässä identiteettiä jolloin ja siis c sin( a + b) = sinacos b + cosasin b, sin[( m p + d ) / ] = sin[( mp + d / ] =± sin( d / ) c c c c sin( d /) =± / c Maksimit säädetään aina mahdollisimman teräviksi, jolloin d c on pieni ja pätee d c»±. (.4.4) F Tästä myös nähdään, että kun r rasvaa, niin F kasvaa ja maksimit terävöityvät. Erotuskyky Jos Fabry-Perot-interferometriin tuleva valo koostuu kahdesta aallonpituudesta, l ja l ', niin interferenssikuvio (myös rengasprofiili) muodostuu kahdesta rengassysteemistä. Erotuskyky mittaa miten lähellä toisiaan olevien aalonpituuksien rengasprofiilit voidaan vielä erottaa toisistaan. Mitä terävämpiä maksimit ovat sitä paremmin lähellä toisiaan olevat rengasprofiilit voidaan erottaa. F F

137 69 Erotusrajaksi on määritelty maksimin puoliarvoleveys: l Tarvittava juovien välinen etäisyys on siis 4 ( D d) min = d c =. (.4.5) F Tätä vaihe-eroa vastaava aallonpituusero saadaan seuraavasti: On siis p d = D, missä D= nt f cos q' l l ' d d 4 =- p D Þ ( D l) l min = ( D d) l min = dl l pd pd F l l ( D l) min = D p F Kaikki tämä tapahtuu transmissiomaksimin läheisyydessä, jossa p l d = D» m p Þ =. l D m Lopputuloksena saadaan l ( D l) min =. (.4.6) mp F Tässä siis ( D l) min on pienin Fabry-Perot-interferometrillä erotettavissa oleva aallonpituusero. 7 Spektroskopioissa määritellään yleisesti erotuskyky R (resolving power) kaavalla l R =, ( D l) min joka Fabry-Perot-interferometrin tapauksessa saa muodon æp ö R= m ç F è ø, (.4.7) missä p F (.4.8) on ns. Finesse (huom. eri kuin finesse-kerroin) Mitä suurempi erotuskyky R sitä pienempiä aallonpituuseroja erotetaan. Miten erotuskyä voidaan kasvattaa? R kasvaa, kun: - F kasvaa, ts. r kasvaa (hopeapinnoitukset) - kertaluku m kasvaa Kertaluku m on suurin interferenssikuvion keskipisteessä. Tämä tarkoittaa sitä, että detektori kannattaa asettaa keskelle interferenssikuviota rengasprofiilia mitattaessa. Keskellä kuviota ( q ' = ) transmissiomaksimin ( d = m p ) kertaluku saadaan kun lasketaan: p p d = nf t m p l D= l = Þ nt n t = ml Þ m= f. f l Siis mitä suurempi on levyjen välimatka t sitä suurempi on m ja vastaavasti R.

138 7 Esimerkki: Ohessa eräällä Fabry-Perot-interferometrillä mitattu rengasprofiili vaihe-eron d (round-trip phase difference) funktiona. Arvioi kuvan perusteella finesse-kerroin F ja siitä edelleen peilien heijastuskerroin r. Ratkaisu: Finesse-kerroin F saadaan esimerkiksi rengasprofiilin kontrastista yhtälön (.4.3) avulla. Kontrastia varten luetaan kuvaajasta transmissiominimille T min =.5, joten Tmax -Tmin -.5 V = = =, josta F 9 T max + T min / = F / V - = Finesse-kerroin saadaan myös yhtälön (.4.4) avulla puoliarvoleveydestä d = d/».46= / F. Tästä F = 8.9» 9. c Heijastuskerroin lasketaan määritelmästä (.4.) 4r F = Þ F( r ) -(F + 4) r + F = (-r ) Þ r = ( + / F) ± (/ F) F + =.6345 ja.8 r». 7 Esimerkki: Fabry-Perot-interferometrin levyjen heijastuskerroin on r =,99. Laitteella tutkitaan vedyn H α viivaa ( l = 656,3 nm), jossa on kaksi komponenttia aallonpituuserolla,36 nm. a) Laske tarvittava erotuskyky, kun komponentit halutaan erottaa toisistaan. b) Laske se levyjen välimatka, joka tuottaa tarvittavan erotuskyvyn. Ratkaisu: a) erotuskyky l 656,3 nm R = = = 4857,4» 483 ( Dl) min,36 nm b) levyjen välimatka: ratkaistaan ensin kertaluku m erotuskyvyn (.4.7) lausekkeesta, jossa finesse-kerroin F voidaan laskea heijastuskertoimen r avulla määritelmää (.4.) käyttäen. Lopuksi sitten peilien välimatka saadaan lausekkeesta m= nt f / l. Siis 4r F = = (-r ) æp ö æ ö R R= ç m F Þm= ç = 38,768» 39 è ø èp ø F ml 39,6563 μm t = =» μm n, f Kommentti: Hyvillä Fabry-Perot-interferometreillä R on luokkaa kymmeniä 7 miljoonia (esim. ).

139 73 DIFFRAKTIO Optisella alueella valon aallonpituus on hyvin lyhyt (: -5 cm). Valoa voidaan hyvin kuvata geometrisen optiikan approksimaatiolla ( l ), jossa siis valoenergia etenee säteinä tai aaltorintamina. Homogeenisessa ja isotrooppisessa väliaineessa säteet etenevät suoraviivaisesti ja esimerkiksi valon tielle asetettu esine muodostaa terävän varjon. 74. FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO KAPEASSA RAOSSA Lasketaan Fraunhoferin diffraktiokuvio, jonka aiheuttaa yksi suorakulmion muotoinen kapea rako (pituus >> leveys). Valonlähde on kaukana, joten rakoon tulevat aaltorintamat ovat tasoaaltoja. Käytännössä tilanne saavutetaan asettamalla valolähde positiivisen linssin polttopisteeseen (kuva). Diffraktiolla tarkoitetaan valon kulun poikkeamista geometrisen optiikan ennustamalta reitiltä. Diffraktio on siis seurausta valon aaltoluonteesta. Sitä esiintyy erityisesti tilanteissa, joissa valo kulkee läheltä esineiden reunoja tai suuri joukko säteitä kohtaa toisensa. Pistelähde terävä reuna geometrinen varjo varjostin Viereisen kuvan kokeessa diffraktio ilmenee valon taipumisena geometrisen varjon alueelle. Varjon reuna ei ole enää terävä ja varjossa nähdään kirkkaita ja tummia juovia. Diffraktion tutkimisessa on tapana erottaa kaksi eri tapausta: Fraunhoferin diffraktio ja Fresnelin diffraktio. Fraunhoferin diffraktiossa valolähde ja varjostin ovat kaukana diffraktion aiheuttamasta esineestä (reunasta, aukosta...), jolloin aaltorintamia voidaan käsitellä tasoaaltoina. Puhutaan myös kaukaisen kentän diffraktiosta. Fresnelin diffraktiossa aaltorintamien kaareutuminen on otettava huomioon ja puhutaankin lähikentän diffraktiosta. Raon leveys on b. Huygensin periaatteen mukaan aaltorintaman saavuttaessa raon tason, jokainen raon piste toimii palloaaltorintaman keskuksena. Näiden uusien aaltojen resultantti pisteessä P lasketaan superpositioperiaatteen mukaisesti. Pisteessä P yhteenlaskettavat aallot eivät ole samassa vaiheessa, koska niiden välille syntyy (optinen) matkaero D. Lasku etenee näin: Jaetaan rako ds : n suuruisiin alkioihin ja lasketaan kunkin alkion tuottama aalto pisteeseen P. Lopuksi lasketaan kokonaisvaikutus integroimalla yli raon. Rakoelementistä ds lähtevä palloaalto pisteessä P on

140 de P 75 æde ö = ç e è r ø i( kr-wt), (..) missä de on amplitudi (yksikköetäisyydellä) ja r optinen matka rakoelementistä ds pisteeseen P (ks. kuva). Palloaallosta: i( kr-w t) Yleisesti palloaallossa "aalto-osa" (esim. e ) on kuten tasoaallossa, mutta amplitudi ei ole vakio vaan pienenee kääntäen verrannollisena etäisyyteen. Pisteen P etäisyys raon keskipisteestä on r, joten kuvan mukaisesti r = r +D= r + ssinq. Kun tämä sijoitetaan (..):een, tulee de P æ de ö = ç e r è +Dø i[ k( r +D-w ) t] æde ö e i[ k( r +D-w ) t] ç r. è ø» Approksimaatio voidaan tehdä, koska D = r. On huomattava, että vastaavaa approksimaatiota ei saa tehdä vaiheessa. Hyvin pienetkin vaiheen muutokset (alle aallonpituuden) saavat aikaan suuria muutoksia lopputuloksessa. Rakoelementistä ds lähtevän säteilyn amplitudi riippuu tietysti alkion suuruudesta (leveydestä ds), ts. de 76 = E ds, L missä E L on raon amplitudi leveysyksikköä kohti. Fraunhoferin diffraktion tapauksessa rakoa valaistaan tasaisesti, joten E L on vakio yli koko raon. Rakoelementin aiheuttamaksi aalloksi pisteessä P tulee siis æ ELds ö i( kr + kssin q-wt ) dep = ç e r è ø ja koko raon tuottama aalto saadaan integroimalla raon leveyden yli + b/ æel ö ikssin q i( kr -wt) EP =ç e ds e r ò. (..) è -b/ ø Lasketaan: + b/ ò -b / e ikssinq ds ik sinq ik sinq + b / iks sinq ik( b/ )sin q -ik( b/ )sinq = é ëe ù û = ( e -e ) -b / = bsin[ kb ( / )sin q] sin[ kb ( / )sin q] ksinq = = b kb ( / )sinq sinc( b ), missä on käytetty merkintää sin sin kb p b = q = b q. (..3) l Kokonaisaalto pisteessä P on siis E P E bsin b r b L i( kr -wt) = e, jonka amplitudi (merkitään sitä E : llä) on Irradianssiksi tulee E R R = EL bsin b r b. e c L sin E e c æ E b ö b R r b I = = ç è ø,

141 josta edelleen 77 I I b = sinc, (..4) missä vakiotekijät on koottu kertoimeksi I. Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvio on siis sinc-funktion neliö. 78 b = (tark):.43p,.46p, 3.47p,... b = (appr):.5p,.5p, 3.5p,... Mielivaltaisen tarkkoja ratkaisuja on helppo laskea tavallisella laskimella (opettele). Taulukosta havaitaan, että approksimaatio on sitä tarkempi mitä kaukaisemmasta sivumaksimista on kysymys. Ensimmäisen sivumaksimin ja päämaksimin irradianssien suhde yhtälön (..4) perusteella on: I I b=.43p b= sin (.43 p) /(.43 p) = =,47. Ensimmäisen sivumaksimin irradinssi on siis vain noin 4.7% päämaksimin irradinssista. Kuvassa diffraktiokuvio (katkoviiva) on piirretty b : n funktiona. Kuvion keskellä on päämaksimi, sillä sincb, kun b (siis kulma q ) ja I = I. Kuvion muut ääriarvot löydetään esimerkiksi laskemalla d æsin b ö æsin b öæbcosb -sin b ö db ç b = ç = b ç b è ø è øè ø Minimit löydetään ensimmäisestä tekijästä (tai suoraan..4:stä) sin b : n nollakohdista (kunhan b ¹ ). Minimeille pätee siis b = sin kb q = mp, missä m =±, ±, K Sivumaksimien paikat saadaan jälkimmäisestä tekijästä bcos b - sin b = Þ tan b = b. b Tämän transkendenttiyhtälön ratkaisut ovat lähellä minimien puolivälejä, ts arvoja b = ( m + ) p. Seuraavassa taulukossa on esitetty tarkat ratkaisut ja ym. approksimaatiolla lasketut: Kuvissa alla on esitetty diffraktiokuvion muodostuminen varjostimelle, jonka etäisyys raosta on L (? b ja? y ):

142 79 Varjostimella kohdassa y: q = y/ L p p y b = kbsinq» bq = b l l L I æsin b ö = Iç è Alla vielä miltä todellinen kuvio näyttää: b ø b) Puoliarvokohdassa (ks. kuva) 8 I I æsinb ö / = ç b = / I è ø sinb/ Þ = b/ Þsinb/ - b/ =. Ratkaistaan numeerisesti iteroimalla laskimella:. arvaus kuvasta b/ = p / =,57 Esimerkki: Fraunhoferin kapean raon diffraktiokokeessa raon leveys on 5l. Laske a) päämaksimin kulmaleveys, ts. raon keskipisteestä katsottuna kulma-aukeama päämaksimin viereisiin. minimeihin, b) päämaksimin puoliarvoleveys (FWHM = Full Width at Half Maximum). Ratkaisu: a) ensimmäiset minimit b =± p (ks.sivu 77). On siis sin (5 ) 5 kb p b p q» q l q pq p l = l = =± Þ q =± /5 =±, rad Päämaksimin kulmaleveys on siten D q =,4rad / sin / / (5 ) / 5 / kb p b p b = q» q l q pq l = l = Þ b/,39 q = /,885 5p = 5p = rad ja lopulta siis puoliarvoleveys on q /»,8rad Puoliarvoleveys (,8 rad) on siis hieman vähemmän kuin puolet koko leveydestä (,4/ =, rad)

143 8. FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO PYÖREÄSSÄ AUKOSSA Pyöreän aukon taipumisilmiöt (diffraktio) ovat tärkeitä, koska linssit, peilit ja aukot optisessa systeemissä ovat tavallisesti pyöreitä. Matemaattinen tarkastelu on kuitenkin suhteellisen vaativa ja johtaa Besselin funktioihin. Lähtötilanne vastaa nyt kapean raon -ulotteista integraalia (..) (katso myös kuvaa sivulla 74). Irradianssin kannalta kiinnostava osa aallossa (..) on sen amplitudi + b/ EL ikssinq ER = e ds r ò. -b / Vastaava amplitudi-integraali pyöreän aukon tapauksessa on - ulotteinen integraali E A isk sinq ER e da r A = òò, missä integraali lasketaan yli -ulotteisen aukon A. Tarkastelupisteen P etäisyys aukon keskipisteestä on r ja E A on aukon amplitudi pinta-alayksikköä kohti. Integraalin laskemiseksi on valittava sopiva pinta-alaelementti da. Olkoon aukon säde R, ja valitaan pinta-alkioksi viereisen kuvan mukainen suorakaiteen muotoinen ohut (paksuus ds) kaistale: da = xds, missä x= R - s, joten da = R - s ds. Tällä valinnalla integraali palautuu -ulotteiseksi, muuttujana s: R EA isk sinq ER = e R -s ds r ò. -R Kun vielä järjestellään 8 E R A æ ö isk sinq ER = R ç e R s ds r R ò - è -R ø saadaan sulkujen sisään fysiikassa usein esiintyvä standardimuotoinen integraali, joka johtaa ns. Besselin funktioihin. Sulkuosa on R pj sin ( g) isk q e R s ds R ò - =, missä g = krsinq, g -R missä J( g ) on ns. ensimmäisen lajin Besselin funktio kertaluvulla yksi. Kyseinen funktio voidaan esittää esimerkiksi sarjamuodossa 3 5 ( g / ) ( g / ) ( g / ) J ( g ) = - + -L, 3 josta nähdään mm. että J ( g)/ g /, kun g. Amplitudiksi pisteessä P saadaan siis josta irradianssille I E R é J( g) ù = I ê ú EAR p J( g) =, r g ë g û, missä g = kdsinq, (..) kun aukon säteen R sijasta käytetään halkaisijaa D= R. Tässä I sisältää taas kaikki vakiot ja se edustaa irradianssia kuvion keskellä, ts. kun g eli q. Tulosta on mielenkiintoista (hyödyllistä) verrata kapean raon vastaavaan tulokseen (..4) I I = ê ú ésin b ù ë b û, missä b = kbsinq.

144 83 Pyöreän aukon tapauksessa kapean raon sini-funktio korvautuu Besselin funktiolla J ja raon leveys b aukon halkaisijalla D. Diffraktiokuvioiden samankaltaisuutta lisää vielä se, että Besselin funktio on hyvin sinin kaltainen: Taulukossa alla on esitetty Besselin funktion J( g ) ensimmäiset nollakohdat sekä vertailun vuoksi vastaavat nollakohdat sinifunktiolle sin b : J ( g ) = sinb = g =, b = g =,p = 3,83 b =,p g =.3p = 7,6 b =,p g =3,4p =,73 b = 3,p g =4,4p =3,34 b = 4,p Erona voidaan todeta, että Besselin funktio vaimenee hitaasti g :n kasvaessa, mutta sini-funktio ei. Pyöreän aukon diffraktiokuvio on ympyräsymmetrinen ja se koostuu kirkkaasta keskimaksimista, jota ympäröi tummat ja nopeasti vaimenevat kirkkaat ympyräjuovat. 84 Diffraktiokuvion kaavan (..) johti ensimmäisenä G. B. Airy (8-89) ja kuvion kirkas keskimaksimi on hänen mukaan nimetty Airyn levyksi (Airy disk). Keskimaksimia ympäröivää ensimmäistä minimiä vastaa funktion J( g ) ensimmäinen nollakohta ( g ¹ ). Ensimmäiselle tummalle renkaalle pätee siis g = kdsin. q = p. Ensimmäiseen minimiin osoittavalle suuntakulmalle tulee siten tai (. p).l sinq = =, ( p / l)d D Dsinq =.l. (..) Tätä kannattaa taas verrata kapean raon vastaavaan tulokseen. Kapeassa raossa ensimmäiselle minimille on voimassa bsinq = l. Esimerkki: Besselin funktiota J( x ) voidaan suurilla argumentin x arvoilla approksimoida muodolla sin x-cos x J( x) =. px a) Arvioi miten hyvin approksimaatio antaa Besselin funktion J( g ) viisi ensimmäistä nollakohtaa (ks. tarkat arvot edellisen sivun taulukosta) b) Laske suuntakulma q diffraktiokuvion. minimiin ja 4. minimiin tarkasti ja a-kohdan approksimaatiota käyttäen. Arvioi approksimaation virhettä. Käytä laskussa aallonpituutta 5 nm ja aukon halkaisijaa,5 mm.

145 85 Ratkaisu: a) Lasketaan approksimaation nollakohdat: sing - cosg J( g) = = pg Þ sing = cosg Þ tang =, josta g = p /4+ mp, missä m on kok. luku. m p /4+ mp tarkka p / 4»,785 g = ei hyvä 5 p / 4» 3,97 g =3,83 kohtalainen 9 p / 4» 7,69 g =7,6 näyttää paranevan 3 3 p / 4», g =, p / 4» 3,35 g =3,34 Selvästi approksimaatio on sitä parempi mitä suurempi g on. b) Kun Besselin funktion nollakohtaa vastaava g tunnetaan, niin vastaava suuntakulma q voidaan ratkaista yhtälöstä sin sin sin kd D g l g = q = q Þ q = l p D Tässä tehtävässä l / D = 5nm /,5mm =, minimi 3,34 l tarkka sinq = =,44Þ q =,43 p D 7 l approx. sinq = =,45 Þ q =,435 4 D,435 -,43 virhe: =,%,43 Tässäkin virhe pienenee, kun siirrytään kauemmaksi keskeltä. Erotuskyky Viereisessä kuvassa kaksi esinepistettä S ja S kuvataan linssillä varjostimelle. Linssi on pyöreä aukko, joten esinepisteiden kuvat ovat pyöreän aukon diffraktiokuvioita. Besselin funktion ensimmäinen nollakohta ( g = ) osoittaa diffraktiokuvion päämaksimiin, joten ensimmäinen tumma rengas saadaan approksimaation g = p /4+ mp arvolla m =.. minimi tarkka approx. virhe: 3,83 l sinq = =, Þ q =,699 p D 5 l sinq = =,5 Þ q =,76 4 D,76 -,699 =,4%,699 Kun esinepisteitä tuodaan lähemmäksi toisiaan, tilanne varjostimella voisivat olla seuraavan sivun kuvien mukainen:

146 87 Kuvassa (b) kuvapisteet erotetaan vielä toisistaan helposti, mutta kuvassa (c) ollaan jo erotuskyvyn rajoilla. 88 Jos linssi on mikroskoopin objektiivi, erotusraja määräytyy periaatteessa samalla tavalla, vaikkakin aaltojen tasomaisuudesta on luovuttava. Tilanne on melkein seuraava: Rayleighin kriteeri: Kaksi kohdetta ovat juuri erotettavissa, jos toisen diffraktiokuvion maksimi on toisen. minimin kohdalla. Seuraavan kuvan perusteella erotusrajalle saadaan: Mikroskooppia käytettäessä tutkittava kohde on "hieman" kauempana kuin objektiivin polttoväli, jolloin mikroskoopin sisälle syntyy todellinen suurennettu kuva, jota sitten katsotaan okulaarilla. Kuvassa yllä esinepisteet on sijoitettu objektiiviin polttovälin päähän, mikä on hyvä approksoimaatio. josta koska Dsin[( D q) ] =.l, min.l ( D q) min =, (..3) D ( D q) on pieni. Tässä D on linssin halkaisija. min Pisteiden A ja B minimietäisyys x min saadaan laskemalla.l xmin = f( D q) min = f. D Suhde D/ f on linssin ns. numeerinen apertuuri, jonka arvo hyvällä mikroskoopin objektiivilla on tyypillisesti noin,. Siten hyvällä l. xmin

147 89 Esimerkki: Valoisassa silmän pupillin halkaisija on noin mm. Kuinka kaukaa mm:n etäisyydellä toisistaan olevat kohteet voidaan vielä erottaa erillisinä? Käytä näkyvän valon edustajana aallonpituutta 5 nm. Ratkaisu: -9.l, 55 m ( D q ) min = =» 33,6-3 D m -5 rad 9.3 KAHDEN RAON DIFFRAKTIO Yhden kapean raon aiheuttama amplitudi tarkastelupisteeseen P laskettiin integraalilla E = ò, + b/ L ikssinq ER e ds r -b / missä s on alkion ds etäisyys raon keskipisteestä, ja kulma q tarkastelupisteen P suuntakulma keskiakselista. Kahden raon kuvio lasketaan samalla integraalilla käyttäen vain eri integrointirajoja. Tilannetta tarkastellaan seuraavassa kuvassa: Erotetaan etäisyydeltä -3 mm m x = =» 5 3 metriä - ( D q ) 33,6 min Kapeat raot ovat nytkin leveydeltään b ja rakojen vastinpisteiden välimatka on a. Amplitudi-integraali menee muotoon -(/ )( a- b) (/ )( a+ b) E ì Lï ü isk sinq isk sinq ï ER = í e ds + e dsý r ïî- (/)( a+ b) (/ )( a-b) ïþ ò ò. Integrointi ja rajojen sijoittaminen johtaa tulokseen E R EL = r ik sinq { (/) i( - a + bk ) sin q (/ ) i( - a - bk ) sin q (/) ia ( + e e e bk ) sin q e (/) ia ( - bk ) sin q} Otetaan seuraavaksi käyttöön merkinnät: b = kb q (.3.) sin

148 9 koskien rakojen leveyttä b ja samanlainen a = ka q (.3.) sin koskien rakojen välimatkaa a. Näillä saadaan (/ ) i( - a+ b) ksinq =- ia + ib, (/ ) i( -a- b) ksinq =-ia - ib, (/ ) i( a+ b) ksinq = ia + ib, (/ ) i( a- b) ksinq = ia - ib, jolloin integraalin kaarisulkuosa menee muotoon - ia+ ib -ia- ib ia+ ib ia-ib { } = { e - e + e -e } { e ia ( e ib - e ib - ) e ia ( e ib - e ib )} ia -ia ib -ib = = ( e + e )( e -e ) = (cos a)(isin b). Amplitudille saamme lopulta E R E = r L b Eb L sin b (isin b)(cos a) = cosa, ib r b ja irradianssille tulee æ L sin I e c ö æ E e c öæ E b ö æ b ö = ç R = ç ç r ç b è ø è øè ø è ø mikä menee muotoon missä cos I I æsin b ö = I ç a, 4 cos a, (.3.3) è b ø æe cöæ Ebö. è øè ø L = ç ç r Tässä I on yhden kapean raon maksimi-irradianssi yhtälön (..4) mukaan. Kahden raon kuviossa siis keskimaksimin irradianssi on 4-kertainen yhteen rakoon verrattuna. 9 Aikaisemmin interferenssin yhteydessä (Youngin koe) osoitimme, että kahden periaatteessa äärettömän ohuen raon interferenssikuvio on (ks. yhtälö..) épa ù I = 4Icos ê sinq = 4Icos a ë l ú. û Yhden raon diffraktiossa puolestaan (yhtälö..4) Kahden raon diffraktiokuvio I I æsin b ö = I ç è b ø. æsin b ö = I ç 4 cos a è b ø muodostuu siten kahden raon interferenssin irradianssin ja yhden raon diffraktion irradianssin tulona:

149 93 Suureet a ja b ovat kulmamitoissa ja ne kytkeytyvät toisiinsa kuten (katso.3. ja.3.) a a a a b b = b Þ = b. (.3.4) Puuttuvat kertaluvut Kahden raon diffraktiokuviossa havaitaan ns. interferenssin puuttuva kertaluku, kun diffraktion minimi sattuu interferenssimaksimin kohdalle. Diffraktion minimit saadaan, kun b = mp Þ bsinq = ml, m =±, ±, K (.3.5) Interferenssin maksimit saadaan, kun a = pp Þ asinq = pl, p =, ±, ±, K (.3.6) Puuttuva kertaluku saadaan, kun molemmat ehdot ovat samanaikaisesti voimassa. Jakamalla yhtälöt puolittain tulee a p =, b m josta (ks. myös.3.4) p p a= b tai a = b. (.3.7) m m Kun rakojen välimatka on jokin raon leveyden monikerta, tämä ehto toteutuu eksaktisti. Esimerkiksi, jos a= b niin p= m. Puuttuvat interferenssin kertaluvut ovat siten p =±, ± 4, K Edellisen sivun diffraktiokuviosta puuttuu selvästi interferenssimaksimit p =± 6, ±, K. Kuvio vastaa siis tilannnetta a = 6b. 94 Esimerkki: Kahden raon systeemissä rakojen vastinpisteiden välimatka on 4 yksittäisen raon leveys. Hahmottele æsin b ö ç b è ø ja cos a samaan kuvaan b :n funktiona ja piirrä sitten yhdistetty kokonaiskuva (.3.3). Mitkä interferenssimaksimit puuttuvat? Ratkaisu: Tässä a = 4bÞ a = 4b, joten ( sin b / b ) :n maksimi, kun cos (4 ) æsin b ö 4I cos (4 b) I = ç b è ø b = ja minimit, kun b = mp b :n maksimit, kun 4b = pp ja minimit "puolessa välissä". Puuttuvatmaksimit: a= 4 bþ p/ m= 4Þ p= 4m, eli p = 4( ±, ±, ± 3, K) =± 4, ± 8, ±, K

150 95 Seuraavassa kuvassa on vielä verrattu yhden raon kuviota (kuva c) kahden raon kuvioon (kuva d). Molemmissa raon leveys on sama..4 MONEN RAON DIFFRAKTIO Kuvassa alla on monen raon systeemi. Rakojen vastinpisteiden välimatka on a ja jokaisen raon leveys on b. Tässäkin lähdetään liikkeelle yhden raon amplitudiintegraalista EL ikssinq ER = e ds r ò johon rakosysteemi rakennetaan valitsemalla integrointirajat sopivasti. Monen raon systeemissä voidaan edelleen hyödyntää aikaisemmin laskettua kahden raon systeeemiä, kun rakoja tarkastellaan pareittain. Yksi pari muodostuu aina keskikohdan suhteen symmetrisesti sijaitsevista raoista.. Pari: Aikaisemman kahden raon tarkastelun perusteella 96 -(/)( a- b) (/)( a+ b) E ì Lï ü isk sinq isk sinq ï ER = í e ds e ds r ò + ò ý ïî- (/ )( a+ b) (/ )( a-b) ïþ. Pari: ì EL bsin b = cosa. r b -(/ )(3 a- b) (/ )(3 a+ b) EL ï isk sinq isk sinq ER = í e ds e ds r ò + ò -(/)(3 a+ b) (/)(3 a-b) ïî Kysymyksessä on täsmälleen sama integraali kuin. parin tapauksessa, kunhan korvataan a 3a eli a 3a. Saadaan siis 3. Pari: jne. E E R R3 EL bsin b = cos3a r b EL bsin b = cos5a r b Kun rakoja on N kpl (ts. rakopareja on N / kpl, siis N on tässä vaiheessa vielä parillinen) saadaan parien kokonaisvaikutukseksi E R EL bsin b = [cos a + cos3 a + cos5 a + L + cos( N - ) a ]. r b ix Koska Re( e ) = cos x, hakasulkuosa saadaan muotoon a ( 3 a 5 a e e e e ( - ) a) i i i i N [ ] = Re L +, missä nyt kaarisulkujen sisään muodostuu geometrinen sarja. Yleisessä tapauksessa geometrisen sarjan summa on n q - Sn = a q -, üï ý ïþ

151 97 missä a on ensimmäinen termi ja q peräkkäisten termien suhde. i Nyt a= e a i ja q= e a. Termien lkm on n= N/, joten ia N ( e ) / æ -ö Nia ia æ e - ö [ ] = Re e = Re ç ia ia -ia e - ç e -e. è ø è ø Eulerin kaavan avulla saadaan æ(cos Na - ) + isin Na ö [ ] = Reç è isina ø Siten lopultakin ja irradianssiksi tulee missä I sisältää kaikki vakiot. æi(cos Na -) -sin Na ö sin Na = Reç =. è -sina ø sina E I R EL bsin b sin Na = r b sina æsin b ö æsin Na ö = I ç ç b, (.4.) è ø è sina ø Vaikka tulos johdettiin parillisella N : n arvolla se pätee myös parittomilla. Tämä voidaan osoittaa valitsemalla rakosysteemin keskikohdaksi keskimmäisen raon keskikohta ja toistamalla edellisten sivujen laskut (ei tehdä sitä nyt). Kun N =, tulos (.4.) antaa suoraan yhden raon tuloksen. Kun N =, saadaan kahden raon tulos, sillä sin a/sina = cosa, jne. Tarkastellaan tarkemmin irradianssin (.4.) tekijää æsin Na ö ç è sina ø, joka kuvaa rakojen välistä interferenssiä. Interferenssikuvion ääriarvot saadaan kirjoittamalla 98 d æsin Na ö æsin Na öæ Ncos Nasina -cosasin Na ö ç = ç ç =. da è sina ø è sina øè sin a ø Minimit saadaan ensimmäisestä tekijästä asettamalla sinna =, kunhan huolehditaan, että sina ¹. Siis Na = pp, josta p a = p, missä (.4.) N p =±, ±, ± 3, K, mutta p¹, ± N, ± N, K Päämaksimit saadaan edellisestä, kun p=, ± N, ± N, K eli a = mp, missä (.4.3) p m = =, ±, ±, ± 3, K N Tällöin tekijä on epämääräinen (muotoa /), mutta L Hospital in säännöllä saadaan raja-arvot sin Na Ncos Na lim = lim =± N. a mp sina a mp cosa Päämaksimeiden irradianssi on siis verrannollinen N : een. Sivumaksimit saadaan derivaatan toisesta tekijästä kirjoittamalla osoittaja nollaksi, ts. Ncos Nasina - cosasin Na = eli Ntana = tan Na. (.4.4) Tämä toteutuu ensinnäkin, kun a =, ± p, ± p, K eli päämaksimien kohdalla. Varsinaiset sivumaksimit saadaan muilla arvoilla. Hyvä approksimaatio tässäkin on olettaa, että sivumaksimit sijaitsevat minimien puolessa välissä, eli paikoissa p a = ( p + ). N

152 99 Esimerkki: Piirrä monen raon systeemin tuottaman Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma, kun rakojen lukumäärä on 8 ja rakojen vastinpisteiden välimatka on 4 yksittäisen raon leveys. Ratkaisu (mathematica-ohjelmalla) 3 Esimerkki: Monen raon systeemissä N = 8 ja a = 4b (ks. edellä). Laske keskimmäisen päämaksimin viereisen ensimmäisen sivumaksimin irradianssi suhteessa päämaksimin irradianssiin a) approksimoimalla sivumaksimit minimien puoleen väliin b) tarkasti Ratkaisu: a) Minimit a = pp /8, missä p = (),,,3,4,5,6,7,(8),9,, K Tässä siis p =,8,6, Keivät kelpaa. Ensimmäinen sivumaksimi on minimien p = ja puolessa välissä, ts æ p p ö p a = ç + =,5 =,875 p. è 8 8ø 8 Ja sitten lasketaan: æsin( a/ 4) ö æsin8a ö Isivu = Iç I,9979 3, 3983 ( a/ 4) ç = è ø è sina ø = 3,647 I æsin() ö æsin(8 ) ö I = I ç ç = I 64 = 64 I () è ø è sin ø joten Isivu 3,647 = =,557» 5,% I 64 keski keski b) Tarkasti sivumaksimin paikka (siis a ) saadaan ratkaisemalla transkendenttinen yhtälö 8tana = tan8a numeerisesti. Iteroinnin lähtöarvoksi kannattaa valita approksimaatio a»,875p : Kohtaa a tarkempi arvo on siis a»,797p. Lasketaan:

153 3 æsin( a/ 4) ö æsin8a ö Isivu = Iç I, ,368 ( a/ 4) ç = è ø è sina ø = 3,33857 I I = 64 I (kuten a-kohdassa) keski Joten Isivu 3,33857 = =,565» 5,% Ikeski 64.5 DIFFRAKTIOHILA Edellä tarkastelimme diffraktiota monessa raossa. Käytännön laite, joka soveltaa johdettua teoriaa on diffraktiohila. Monen raon diffraktiokuvio muodostuu itse asiassa interferenssimaksimeista (ks. keskimmäinen kuva esimerkissä sivulla 99), jotka vähitellen vaimenevat diffraktion vaikutuksesta (ks. ylin kuva esimerkissä) kun siirrytään kauemmaksi kuvion keskeltä. Kun rakojen lukumäärä N kasvaa, käy niin, että sivumaksimit pienenevät käytännössä olemattomiin ja irradianssi keskittyy kokonaan päämaksimeille. Päämaksimit saadaan yhtälöstä (.4.3) josta p a = asinq = mp, l asinq = ml, m =, ±, ±, K (.5.) Tämä on ns. hilayhtälö, joka siis kertoo maksimien suunnat. Yhtälössä vakio a (rakojen välimatka) on ns. hilavakio ja kokonaisluku m ns. kertaluku. 3 Monokromaattinen valo Kun hilaan saapuu monokromaattista valoa, valon irradianssi jakautuu eri kertalukuihin viereisen kuvan mukaisesti. Eri kertalukujen suuntakulmat voidaan laskea ratkaisemalla ne hilayhtälöstä (.5.): q = arcsin[ m l/ a]. Viereiseen kuvaan on merkitty ensimmäisen kertaluvun suuntakulma q. Eri kertalukujen irradianssit saadaan puolestaan soveltamalla monen raon diffraktion teoriaa, joka on esitetty edellisessä kappaleessa. Esimerkki: Hilaan ohjataan HeNe-laserin valoa, jonka aallonpituus on 63,8 nm. Hilassa on 6 rakoa millimetrillä ja rakojen leveys on /4 peräkkäisten rakojen välimatkasta. a) Mihin kertalukuihin ja suuntiin laservalon irradianssi jakautuu? b) Laske kertalukujen suhteelliset irradianssit. -3 Ratkaisu: Hilavakio a = mm = m 6 6 a) Lasketaan suuntakulmaa sin qm = ml/ a= m,37968 m= sinq = Þ q = m=± sinq =±,37968 Þ q =±,3 m=± sinq =±,75936 Þ q =± 49,4 m=± 3 sinq 3 =±,394 > ei enää mahdollinen Irradianssi jakautuu kolmeen kertalukuun (, ± ja ± ) b) Kertaluvut ovat interferenssin maksimeita, joille pätee (.4.3): a = mp. Interferenssimaksimit ovat sinänsä kaikki yhtä voimakkaita, mutta niitä vaimentaa diffraktiotekijä (sin b / b ) sitä enemmän mitä suurempiin kertalukuihin mennään (esimerkki

154 33 sivulla 99). Koska nyt a= 4b eli b = a/4 = mp /4, suhteelliset irradianssit saadaan laskemalla [sin( mp / 4) /( mp / 4)]. Lasketaan: m = [sin()/()] = m =± [sin( p / 4)/( p / 4)] =,8 m =± [sin( p / 4) /( p / 4)] =,45 Ei-monokromaattinen valo Myös ei-monokromaattinen valo jakautuu kertalukuihin. Lisäksi jokaiseen kertalukuun muodostuu spektri, ts. eri aallonpituudet jakautuvat kertaluvun sisällä hieman eri suuntiin. Esimerkki: Hilassa on 4 rakoa millimetrillä (4 uraa/mm). Laske näkyvän valon (4 nm 7 nm) kulmajakautuma a) toisessa kertaluvussa b) kolmannessa kertaluvussa 34 Tärkeä havainto: Mitä suurempi kertaluku sitä leveämpi kulmajakauma. Hilan erotuskyky Tarkastellaan tilannetta, jossa hilaan saapuva valo koostuu kahdesta aallonpituudesta l ja l+ dl, missä dl on pieni. Syntyy kaksi monen raon diffraktiokuviota (.4.) -3 Ratkaisu: Hilavakio a = mm = m Aallonpituuskaista: l = 4 m l 7-9 = m a) m = (lasketaan vain positiivisia kertalukuja) q = arcsin( l/ a) = 8,7 q = arcsin( l / a) = 34,, kulmajakauma D q = 5,4 b) m = 3 q = arcsin(3 l/ a) = 8,7 q = arcsin(3 l / a) = 57,, kulmajakauma D q = 8,4 Hilan erotuskyvyllä tarkoitetaan hilan kykyä tuottaa lähellä toisiaan olevista aallonpituuksista erilliset piikit tietyssä kertaluvussa. Oleellinen kysymys siis on: Milloin päämaksimit vielä erotetaan toisistaan? Esim. kuvassa yllä nollannen kertaluvun piikit eivät erotu, mutta jo ensimmäisessä kertaluvussa ne näyttäisivät erottuvan. Toisessa ja kolmannessa erottuminen on jo selvää.

155 35 Rayleigh'n, kriteeri: Piikit erotetaan, kun l+ dl:n maksimi osuu l :n. minimin kohdalle. Tämä tilanne on esitetty kuvassa alla. Hilayhtälö (ks. myös.4.3) p asinq = ml = l N antaa päämaksimit, kun p=, ± N, ± N, K ja niitä seuraavat. minimit saadaan seuraavilla arvoilla eli p +. Kirjoitetaan: p l+ dl:n maksimit: asin q = m( l+ dl) = ( l+ dl) N p + l:n minimit: asinq = l N Näistä saadaan p p+ p ( l+ dl) = l = l+ l Þ mdl = l/ N N N N N ja erotuskyvyksi voidaan kirjoittaa l R = = mn, (.5.) ( Dl) min missä ( D l) min = dl on minimi aallonpituusero, joka Rayleigh n kriteerin mukaan on erotettavissa. Hilan, jossa on N rakoa, erotuskyky on verrannollinen diffraktion kertalukuun. Toisaalta vakiokertaluvussa erotuskyky paranee rakojen määrän kasvaessa. 36 Esimerkki: Hilan on kyettävä erottamaan ensimmäisessä kertaluvussa vähintään, nm:n aallonpituuseroja koko näkyvällä alueella (4-7 nm). Hilan leveyden on oltava cm. a) Laske vaadittava rakojen lukumäärä. b) Laske mihin kulmaväliin, nm:n aallonpituusero avautuu aallonpituudella 5 nm ensimmäisessä kertaluvussa. c) Mitä matkaa tämä kulmaero vastaa varjostimella, joka on sijoitettu m:n etäisyydelle hilasta? Ratkaisu: a) m = ja ( D l) min =, nm. Erotuskyvystä (.5.) tulee l l N = = = 7. m ( Dl) min, nm Tiukin vaatimus on 7 nm:n alueella, joten sitä käytettiin yllä. Tällä arvolla 4 nm:n alueella ( D l) min = 4nm/ 7 =,6nm, joten hilat toimii varmasti vaaditusti. - b) Hilavakio: a = m» 857, nm 7 Hilayhtälöstä ( m = ) asinq = l derivoimalla (l :n suhteen) dq acosq = Þ d l Dl Dl Dl Dl D q = = = = acosq a -sin q a -( l/ a) a -l Tässä: D l =,nm, l = 5nm ja a = 857, nm ÞD q = 35,6μrad c) varjostimella väli on D q m =,36 mm.

156 37 3 LASERIN PERUSTEET 38 Laser on todennäköisesti tärkein optinen laite, joka on kehitetty viimeisten 5 vuoden aikana. Sana LASER on tunnuslyhenne (akronyymi) sanoista Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Kyseessä on siis optinen valon vahvistin. Laserin toiminnan periaatteen optisena vahvistimena teki mahdolliseksi Albert Einsteinin jo vuonna 96 esittämä stimuloidun emission olemassaolo. Teorialle ei löydetty sovellutuksia ennen kuin vuonna 954 C. H. Townes et al. kehittivät mikroaalto-alueella toimivan ns. maserin (microwave amplifier based on stimulated emission of radiation). Townesin idean laajensivat optiselle alueelle Townes ja Schawlow vuonna 958, josta he saivat Nobelin palkinnon. Ensimmäisen varsinaisen laserin rakensi T. H. Maiman vuonna EINSTEININ SÄTEILYN KVANTTITEORIA Tutkiessaan v. 96 sähkömagneettisen säteilyn ja materian vuorovaikutusta Einstein osoitti, että aineen ja säteilyn tasapaino edellyttää aikaisemmin tuntemattoman, ns. stimuloidun emission huomioon ottamista. Aineen ja sähkömagneettisen säteilyn vuorovaikutus voidaan selittää kolmen prosessin avulla: (a) stimuloitu absorptio, (b) spontaani emissio ja (c) stimuloitu emissio. (a) Stimuloitu absorptio: Atomi siirtyy perustilasta ( E ) viritystilaan ( E ), kun tulevan fotonin energia vastaa energiaeroa hn = E- E. (b) Spontaani emissio: Atomi on aluksi viritetyssä tilassa ( E ) ja siirtyy itsekseen, ilman ulkoista ärsykettä perustilaan ( E ). Siirtymässä vapautuu fotoni, jonka energia on E - E = hn. (c) Stimuloitu emissio: Stimuloitu emissio edellyttää ulkoisen säteilyn vaikutusta. Atomi on aluksi viritetyssä tilassa ( E ). Kun ulkoinen fotoni, jonka energia on hn = E - E, ohittaa atomin, se stimuloi atomin siirtymään perustilaan. Prosessissa atomi vapauttaa fotonin, jonka energia, suunta, vaihe ja polarisaatio ovat samat kuin emission aiheuttaman fotonin. Tuloksena on siis kaksi identtistä fotonia yhden sijasta, ts. säteen irradianssin kasvu. Stimuloitu emissio tekee valon vahvistamisen laserissa mahdolliseksi.

157 39 Einsteinin A ja B kertoimet Viereisessä kuvassa tarkastellaan materiaa, joka koostuu atomeista ja joka on termodynaamisessa tasapainossa mustan kappaleen säteilykentän kanssa. Atomien energiat ovat E ja E ja tietty määrä 3 Stimuloitu emissio ( B ) Nopeus, jolla ulkoisen säteilykentän fotonit stimuloivat atomeja siirtymään ylätilasta E alatilaan E, on verrannollinen ylätilan populaatioon N ja lisäksi säteilykentän fotonitiheyteen rn ( ): ædn ö ç è dt ø se =-B N rn ( ). Tässä siis rn ( ) on taajuudella n = ( E - E)/ h olevien fotonien tiheys materiassa. atomeista on energiatilassa E ja tietty määrä tilassa E. Termodynaamisessa tasapainossa tilassa E olevien atomien lukumäärä N ja tilassa E olevien atomien lukumäärä N pysyvät muuttumattomina. Samoin käyttäytyy materiassa olevien fotonien lukumäärä, sillä emissio- ja absorptioprosessit, jotka lisäävät ja vähentävät fotonien määrää, tapahtuvat vakionopeudella. Seuraavan sivun kuvassa tarkastellaan niitä prosesseja (spontaani emissio, stimuloitu emissio ja absorptio), jotka muuttavat atomien lukumääriä eri tiloissa. Säteilyn kvanttiteorian ja laserin toiminnan kannalta merkittäviä suureita ovat kuvassa esitetyt ns. Einsteinin kertoimet A, B ja B. Spontaani emissio ( A ) Atomit siirtyvät spontaanisti tilasta E tilaan E ja lisäävät säteilykentän fotonien (energia hn = E - E) lukumäärää. Samalla tilan E populaatio N pienenee. Populaation vähenemisnopeus on verrannollinen populaatioon N kaikilla ajanhetkillä: ædn ö ç è dt ø spont =-A N. Absorptio ( B ) Absorptio on myös stimuloitu prosessi ja se myös riippuu ulkoisten fotonien tiheydestä. Stimuloitu absorptio ja stimuloitu emissio ovat toisilleen vastakkaisia prosesseja. Nopeus, jolla atomeita siirtyy alatilasta E ylätilaan E on verrannollinen alatilan populaatioon N ja säteilykentän fotonitiheyteen rn ( ): ædn ö ç è dt ø abs =-B N rn ( ). Tästä absorption aiheuttamaksi ylätilan populaation muutosnopeudeksi voidaan kirjoittaa ædn ö ç è dt ø abs =+ B N rn ( ).

158 3 Seuraava tehtävämme on selvittää miten Einsteinin kertoimet riippuvat toisistaan. Kertoimien väliset yhteydet saadaan käyttämällä hyväksi Einsteinin oletuksia ja johtopäätöksiä:. Säteilykenttä ja atomit ovat termodynaamisessa tasapainossa lämpötilassa T.. Säteilykenttä noudattaa mustan kappaleen säteilylakia: 3 8pn h 3 c h / kt e n rn ( ) = Tilojen populaatiot noudattavat Boltzmannin jakaumaa: N N = exp[ -( E - E )/ kt ] = exp[ - hn / kt ]. 4. Populaatiot N ja N ovat ajasta riippumattomia. Näiden oletuksien perusteella voidaan kirjoittaa ensin ylätilan populaation N muutosnopeudelle dn =-N A - NB rn ( ) + NB rn ( ) =, dt josta sitten fotonitiheydelle tulee NA A A rn ( ) = = =. N NB -NB N B -B B exp[ hn / kt] -B Verrataan tätä kohdan mustan kappaleen lakiin: A 3 8phn = 3 exp[ n / ]- c exp[ hn / kt ]-, B B B h kt josta havaitaan välittömästi, että A B 3 8pn h = ja B 3 = B (3..) c 3 Näistä tuloksista voidaan päätellä seuraavaa: ) Einsteinin kertoimet A, B ja B riippuvat toisistaan. Kun yksi tunnetaan, mittausten tai laskujen tuloksena, muut saadaan laskettua. ) Stimuloidun emission kerroin B ja stimuloidun absorption kerroin B ovat yhtä suuret. Tämä merkitsee sitä, että stimuloitu emissio ja absorptio ovat vastakkaisia prosesseja. On kuitenkin huomattava, että populaatioiden muutosnopeudet eivät ole samat: koska N ¹ N. dn dt dn = NB rn ( ) ¹ NB rn ( ) =, dt - Jos N > N, stimuloitu emissio ylittää absorption ja säteilykentän fotonien lukumäärä kasvaa. Tämä merkitsee rn ( ): n kasvua, ts. säteily vahvistuu. - jos N < N, absorptio ylittää stimuloidun emission ja säteilykentän fotonien lukumäärä pienenee, säteily vaimenee. Jotta laser saataisiin toimimaan, on oltava N > N. Tämä tilanne on käänteinen Boltzmannin jakauman mukaisiin populaatioihin ja sitä sanotaankin miehitysinversioksi. 3 3) Koska B / A µ / n, taajuuden kasvaessa B pienenee suhteessa A : een hyvin nopeasti. Kerroin B liittyy lasertoiminnalle välttämättömään stimuloituun emissioon. Kerroin A liittyy puolestaan spontaaniin emissioon, joka on hyödytön prosessi laserin kannalta. On siis ilmeistä, että taajuuden kasvaessa (aallonpituuden lyhentyessä) spontaani emissio ottaa vallan ja laserin saaminen toimimaan vaikeutuu.

159 33 4) Einsteinin kertoimien väliset relaatiot johdettiin termodynaamisessa tasapainossa. Relaatiot ovat kuitenkin yleisemminkin voimassa, koska ne ovat atomeille ominaisia, ei ympäristölle LASERIN OSAT Laser on optinen oskillaattori, joka emittoi voimakkaan ja hyvin kollimoidun säteen koherenttia valoa. Laserin pääosat ovat: - pumppu (ulkoinen energialähde) - laserväliaine (vahvistiväliaine) - resonaattori (optinen takaisinkytkentä) Pumppu (pumppausmekanismi) Pumppu on ulkoinen energialähde, jonka avulla laserväliaineeseen saadaan syntymään miehitysinversio. Pumppu voi olla optinen, sähköinen, kemiallinen tai termodynaaminen. Oleellista on se, että laserväliaineeseen muodostuu fotonisäteilykenttä, joka aiheuttaa energiatasojen välisiä siirtymiä ja sitäkautta miehitysinversion. Esimerkki: He-Ne-laser. Viereisessä kuvassa on esitetty laser-toiminnan kannalta oleelliset energiatasot. Varsinaisena laserväliaineena toimii Neon-atomit. Helium-atomit vain auttavat pumppauksessa, joka tapahtuu sähköisen purkauksen avulla. Kuvassa pumppausta edustavat vaiheet ja. Sähköpurkausputken sähkökentässä kiihdytetyt elektronit virittävät (törmäämällä) He-atomeita kuvassa esitetyille energiatiloille. Kyseiset tilat eivät voi purkautua sähkömagneettisella säteilyllä perustilaan, joten tilat ovat pitkäikäisiä (metastabiileja). Toisaalta Neatomeilla on viritystiloja, jotka ovat lähellä kyseisiä He-atomin tiloja. Käy niin, että He-atomien törmäillessä Ne-atomeihin, niiden viritysenergia siirtyy Ne-atomeille kuvan mukaisesti (vaihe ). Siihen miten miehitysinversio syntyy palaamme myöhemmin. Historiallisesti merkittävä laser oli T. Maimannin rakentama rubiinilaser (ensimmäinen laser, v. 96, pulssilaser), joka toimi punaisella aallonpituudella nm.

160 35 Varsinaisena laserväliaineena toimii Cr 3+ -ionit, joita on epäpuhtautena (.5-paino-%) rubiini(al O 3 )-sauvassa. Cr 3+ -ionien pumppaamiseen viritystiloille Maimann käytti ns. optista pumppua. Kyseessä oli rubiinisauvaa kiertävä Xe-purkauslamppu, jolla Cr 3+ -ionien siirtymiä vastaavia fotoneita kohdistettiin väliaineeseen. Laserväliaine Laserit nimetään yleensä laserväliaineen mukaan; esimerkiksi He- Ne-laser, CO -laser, jne. Laserväliaine voi olla kaasua, nestettä tai kiinteää ainetta. Väliaine määrää syntyvän laser-valon aallonpituuden. Mahdollisia laserväliaineita on suuri määrä, joten myös mahdollisten laser-aallonpituuksien kirjo on suuri. Se ulottuu aina ultravioletista infrapunaan. Keskeinen vaatimus laserväliaineelle on, että sen atomien, ionien tai molekyylien energiatasoille voidaan toteuttaa miehitysinversio. Resonaattori Resonaattori on eräänlainen optinen takaisinkytkentälaite, joka aiheuttaa fotonien edestakaisen liikkeen laserväliaineessa. Aina läpäistessään väliaineen säde vahvistuu stimuloidun emission vaikutuksesta miehitysinversion ollessa voimassa. 36 Yksinkertaisimmillaan resonaattori muodostuu kahdesta taso- tai pallopeilistä, joista toinen on täysin heijastava ja toinen osittain läpäisevä. Peilien geometria ja välimatka määräävät laserissa syntyvän valon sähkömagneettisen kentän rakenteen. Resonaattorin teoria pohjautuu paljolti Fabry-Perot-etalonin teoriaan. Fabry-Perot- etalonia (interferometriä) tarkastelimme kappaleessa.4 Todettiin, että transmissiomaksimit saadaan (syntyy resonanssi), kun n tcosq = ml, f missä t on peilien välimatka, n f peilien välisen aineen taitekerroin ja q t valon etenemissuunnan ja optisen akselin välinen kulma resonaattorin (etalonin) sisällä. Laserissa valo syntyy etalonin sisällä ja vain suunnassa q t = syntyvä valo vahvistuu. Jos n f» (kaasulaser) ja resonaattorin pituus on t = L, resonanssi syntyy ehdolla L= m l, missä m on kokonaisluku. Peilien välimatkan on siis oltava laserväliaineessa syntyvän aallonpituuden puolikkaan monikerta. Näin ollen resonaattoriin syntyy seisova aaltoliike, resonanssi. 3.3 LASERIN TOIMINTA Hyvä kvalitatiivinen mielikuva laserin toiminnasta saadaan seuraavan sivun kuvan avulla. Kuva esittää tyypillisen atomin lasertoiminnalle oleellisia energiatasoja. Sopiva pumppu tuottaa energiaa, joka on riittävä siirtämään suuren määrän atomeja perustilasta E viritettyihin tiloihin E 3. Osa atomeista palaa spontaanisti suoraan perustilaan, mutta osa siirtyy nopeasti ja säteilemättä energiatasolle E, joka on lasertoiminnan t

161 37 ylempi energiataso. Erikoiseksi tämän tilan tekee se, että sen elinaika on suhteellisen pitkä, luokkaa -3 s. Kysymyksessä on ns. metastabiili tila. Normaalit tilat purkautuvat n. -8 :ssa sekunnissa. Atomeita virtaa koko ajan pumppauksen kestäessä tilalta E 3 tilalle E, johon ne siis kertyvät. 38 He-Ne-laser (kuva sivulla 34) toimii pääasiassa kahdella aallonpituudella; infrapunaisella l =.53 μm ja punaisella (tutulla) l = 63.8 nm. Kuvasta on helppo tunnistaa edellisen sivun periaatekuvaa vastaavat energiarakenteet ja siirtymäketjut. Seuraavaksi tutkimme laserin toimintaa hieman eri näkökulmasta tarkastelemalla miten fotonipopulaatio kasvaa resonaattorissa. Lasertoiminnan alatila on kuvassa esitetty tila E, joka on normaali tila, joten sinne päätyneet atomit purkautuvat nopeasti perustilaan. Tilan E miehitysluku N on siis aina hyvin pieni. Tilojen E ja E välille syntyy siis pumppauksen seurauksena miehitysinversio, ts. N > N. Kun miehitysinversio on syntynyt, fotoni, jolla on energia hn = E - E, aiheuttaa stimuloidun emission ja valon vahvistumisen. On kuitenkin huomattava, että kyseinen fotoni voi stimuloida myös absorption, ts. atomin siirtymisen tilasta E tilaan E. Koska kuitenkin N > N ja B = B, stimuloituja emissioita tapahtuu enemmän ja valo todellakin vahvistuu. Jos pumppu toimii jatkuvasti, tilasta E perustilaan E siirtyvät atomit virittyvät uudelleen tilalle E 3 ja prosessi jatkuu, kuten edellä kuvattiin. Kuva (a) Laserväliaine on optisen resonaattorin peilien välissä. Peilien välimatka on säädetty niin, että se on lasersiirtymän taajuutta vastaavan aallonpituuden puolikkaan monikerta. Resonaattorin peili on täysin heijastava ja peili osittain heijastava ja osittain läpäisevä. Aluksi useimmat atomit ovat perustilassaan (musta täplä). Kuva (b) Ulkoista energiaa pumpataan väliaineeseen, jolloin useimmat atomit siirtyvät viritettyihin tiloihin (avoin täplä) ja miehitysinversio kehittyy. Kuva (c) Valon vahvistusprosessi käynnistyy, kun viritettyjä atomeita alkaa spontaanin emission mekanismilla siirtyä alempaan laser-tilaan.

162 39 Koska kysymyksessä on spontaani emissio, fotonit säteilevät satunnaisiin suuntiin. Monet esimerkiksi karkaavat resonaattorista ja tulevat ulos laserin sivulta. Joukossa on kuitenkin useita fotoneita ( siemenfotoneita ), jotka etenevät laserin optisen akselin suunnassa. Nämä siemenfotonit pysyvät resonaattorin sisällä ja käynnistävät stimuloidun emission kulkiessaan edestakaisin laserväliaineen läpi. Kuva (d,e) Stimuloidussa emissiossa identtisten, samaan suuntaan etenevien fotonien lukumäärä kasvaa ja valon voimistuu. 3 Kuva (f) Peili on osittain läpäisevä, joten osa fotoneista pääsee ulos resonaattorista ja muodostaa lasersäteen. 3.4 LASERVALON OMINAISUUKSIA Laservalolla on lähinnä neljä sellaista ominaisuutta, jotka erottavat sen tavallisesta valosta ja tekevät sen käyttökelpoiseksi moniin sovellutuksiin. Laservalo on monokromaattista, koherenttia, yhdensuuntaista ja hyvin kirkasta. Tarkastellaan seuraavassa näitä neljää ominaisuutta hieman yksityiskohtaisemmin. Miksi laservalo sitten on erityisen monokromaattista verrattuna spektrilamppuihin? No, tämä johtuu stimuloidusta emissiosta. Spontaanin emission viivanleveyden alueelta resonaattorilla valitaan vain hyvin terävä (Fabry-Perot-etalonin maksimin levyinen) aallonpituus (kuva) vahvistettavaksi stimuloidulla emissiolla. Laservalon monokromaattisuudesta saa hyvän käsityksen seuraavasta taulukosta, missä HeNe-laseria verrataan tavalliseen natrium-purkauslamppuun ja hyvin terävään cadmium-lamppuun Monokromaattisuus Laservalo on monokromaattista, koska laserväliaineessa valo syntyy kahden hyvin määritellyn energiatason välisessä siirtymässä (katso kuva a seuraavalla sivulla). Myös tavallisen spektrilampun valo syntyy tällaisen ns. fluoresenssiprosessin seurauksena. Tunnetusti tällainen valo ei ole absoluuttisen monokromaattista, vaan sen viiva on leventynyt (kuva b).

163 Koherenttisuus Laservalo on hyvin koherenttia, kun taas tavalliset lähteet (spektrilamput esimerkiksi) ovat parhaimmillaankin vain osittain koherentteja. Sähkömagneettisella aallolla voi olla ajallista (temporal) tai paikallista (avaruus, spatial) koherenssia. Ajallinen koherenssi on mitta valon monokromaattisuudelle kun taas paikallinen koherenssi kertoo valon aaltorintamien eheydestä. Asian selkeyttämiseksi tarkastellaan esimerkkinä mekaanisia aaltoja. Viereisessä kuvassa tyynen vesilammikon keskellä on pieni korkinpalanen, jota voidaan liikutella ylös-alas vakioamplitudilla ja vakiotaajuudella. Korkin edestakainen liike synnyttää lammen pintaan säännöllisiä aaltoja, jotka etenevät korkista poispäin säteittäisesti. Koska korkin värähtelytaajuus on tarkasti vakio, syntyvien ympyräaaltojen aallonpituus on tarkasti vakio (hyvä monokromaattisuus). Kahden pisteen, jotka ovat eri etäisyyksillä (samalla linjalla) korkista, välinen vaihe-ero voidaan laskea tarkasti, kun pisteiden välimatka mitataan. Pisteiden välillä vaiheet korreloivat täydellisesti. Värähtelylähteellä on hyvä ajallinen koherenssi. Seuraavaksi tarkastellaan korkin ympärille piirrettyä ympyrää. Jos korkki on pistemäinen, aallot ovat tarkasti ympyräaaltoja, ja pitkin mielivaltaisen ympyrän kehää vaihe pysyy vakiona. Aaltorintamat ovat ehyitä ja lähteellä on hyvä avaruuskoherenssi. 3 Millainen olisi sitten epäkoherentti lähde? Korvataan edellisessä esimerkissä korkki suurella joukolla (esim. sata) korkkeja, jotka värähtelevät eri taajuuksilla sattumanvaraisissa vaiheissa toistensa suhteen. Lammen pinnalle syntyvä aaltokuvio on monimutkainen ja epäsäännöllinen. Kahden pisteen välistä vaihe-eroa ei voida ennustaa, eikä se ole ajan suhteen vakio. Tämä pätee sekä aallon etenemissuunnassa (ajalliselle koherenssille) että aaltorintaman suunnassa (avaruuskoherenssille). Värähtelylähde on sekä ajallisesti, että paikallisesti epäkoherentti. Samaa ajatusmallia voidaan soveltaa valolähteisiin. Tavallisessa valolähteissä valo syntyy toisistaan riippumattomista atomistisista lähteistä. Dopplerin ym. ilmiöistä johtuen emittoituvien fotonien aallonpituudet eivät ole täsmälleen samoja, vaikka kyse olisi samojen energiatilojen välisistä siirtymistä. Tavallisen valolähteen valo on epäkoherenttia. Laservalo syntyy stimuloitujen emissioiden kautta. Tämä takaa sen, että syntyvien fotonien aallonpituudet ovat hyvin tarkasti samat ja fotonit etenevät samassa vaiheessa samaan suuntaan. Laservalo on syntynyt (periaatteessa) yhden atomin emittoimasta siemenfotonista, joten laservaloa voidaan pitää pistemäisenä valolähteenä. Näistä asioista johtuen laservalo on hyvin koherenttia sekä ajallisesti että avaruudellisesti Yhdensuuntaisuus Laservalon yhdensuuntaisuus on suora seuraus siitä, että aktiivinen väliaine sijoitetaan resonaattoriin. Esimerkiksi, jos resonaattorissa käytetään tasopeilejä, vain säteet, jotka ovat kohtisuorassa peilejä vastaan, pysyvät resonaattorissa ja vahvistuvat. Lasersäde ei ole kuitenkaan täysin yhdensuuntaista, vaan sillä on diffraktion aiheuttamaa divergenssiä.

164 33 Oletetaan, että resonaattorista ulos tulevan laser-säteen halkaisija on D. Kun tasoaaltorintama kulkee pyöreän reiän (halkaisija D) 34 Esimerkki: Erään HeNe-laserin resonaattoriin peilien heijastuskertoimet ovat r = (täysin heijastava) ja r =,99 (noin % läpäisee). Peilien välimatka on L = 5 cm. Neonin spektriviivan aallonpituus on λ = 63,8 nm ja puoliarvoleveys (ks. kuvat a ja b sivulla 3) on Δλ =, nm. a) Montako aallonpituutta (ns. moodia) laserista tulee ulos? b) Mikä on moodien aallonpituusero? c) Laske moodien puoliarvoleveys. Ohje: Finesse-kerroin on F = 4 rr /(- rr ), kun r ¹ r. Ratkaisu: a) Resonaattori on Fabry-Perot-etalon, joka mahdollistaa seuraavien aallonpituuksien (moodien) syntymisen (ks. sivu 36): L l m =, missä m on kokonaisluku (kertoo moodin) m läpi, havaitaan reiän jälkeen diffraktiokuvio, jossa päämaksimin (Airyn levyn) kulmaleveys on.44l q =. D Lasersäteen divergenssi noudattaa samantapaista yhtälöä. Yhtälössä esiintyvän kertoimen numeroarvoon vaikuttaa resonaattorin peilien muoto. Jos peilit ovat pallopeilejä (kuva), divergenssi lasketaan kaavasta.7l q = D Kirkkaus Tavallisen pienen HeNe-laserin valoteho on luokkaa mw. Kokonaisteho on siis suhteellisen pieni. Aallonpituusyksikköä ja pinta-alayksikköä kohti laskettu valoteho on kuitenkin useita kertalukuja suurempi kuin tavallisen valolähteen. Tässä mielessä HeNe-laser on kirkkaampi kuin Aurinko. Laserin sisällä syntyy valoa vain neonin spektriviivan alueella λ :n ympäristössä. Vain ne moodit syntyvät, jotka sattuvat kyseiselle alueelle. Siis lasketaan peräkkäisten moodien välimatka ja katsotaan montako moodia mahtuu puoliarvoleveyteen Δλ. Derivoidaan dlm L L l l =- =-» ÞD l m =, kun D m = dm m ( L/ l ) L L m

165 Tästä 35-9 (63,8 m) D l m =» =,5m -3 8, m,8 nm. Puoliarvoleveyteen, nm mahtuu moodeja,,5,8 = Vastaus: Laserista tulee ulos 3 aallonpituutta. 36 Neonin spektriviiva on jo itsessään hyvin monokromaattista, Δλ =, nm. Yksimoodi-HeNe-laserista tulee ulos vielä monta kertaa monokromaattisempaa valoa puoliarvoleveydellä (Δλ) FWHM =,6 nm. b) Moodien aallonpituusero laskettiin edellä:,8 nm. c) Fabry-Perot-etalonin maksimin puoliarvoleveys (FWHM) on vaihe-eron avulla lausuttuna yhtälön (.4.4) mukaan 4 ( D d ) FWHM =, F josta saadaan (katso tulos (.4.6) sivulla ) l ( D l) FWHM =. mp F Kertaluku voidaan kirjoittaa m= L/ l ja Finesse-kerroin on F = 4,99 /( -,99) = 396, joten -9 l (63,8 m) -5 ( D l) FWHM = = =,56 m Lp F,5m p 396 =,6 nm. Kommentti: HeNe-laser on helppo saada toimimaan ns. yksimoodilaserina. Esimerkiksi säädetään kolmesta palavasta moodista keskimmäinen aivan keskelle neonin spektriviivaa, jolloin kaksi muuta siirtyvät sen verran sivulle, että ne eivät enää pala. Tästä näemme selkeästi mikä on laser-resonaattorin merkitys laservalon korkealle monokromaattisuusasteelle: