TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku Harjoitus 2 (vko 39/2003) (ihe: tapahtumien todennäköisyys, Laininen luvut 1.6 2.4) 1. Tarkastellaan rinnan- ja sarjaankytketyistä komponenteista muodostuvia systeemejä. Systeemi muodostuu komponenteista k 1, k 2,... ja niiden välisistä kytkennöistä. Määritellään tapahtumat 1, 2,... siten, että i = "komponentti i toimii". Oletetaan, että kaikki komponentit i toimivat toisistaan riippumattomasti todennäköisyydellä 0.7. Millä todennäköisyydellä ao. systeemit toimivat eli virta kulkee piirien läpi? a) 1 2 4 b) 3 1 3 2 4 a) P("systeemi toimii") = P (( ) ) ( ) = 0.7 0.7 + 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 + 0.7 0.7 0.7 = 0.77077 ( 1 2 3 4 ) ( )( ) Huomaa, että ilman riippumattomuusoletusta tehtävälle ei saa numeerista ratkaisua! b) P("systeemi toimii") = P ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 3 2 4 ( 1 2 3 4 )) Tämän lausekkeen sieventäminen on hankalaa, koska tapahtumat ( ) ( ) ja 1 3 2 4 ( 1 2) ( 3 4) eivät ole riippumattomia ja siten niiden leikkauksen todennäköisyyttä ei voi laskea todennäköisyyksien P( ( 1 3) ( 2 4) ) ja P( ( 1 2) ( 3 4) ) tulona. Tapahtumat riippuvat toisistaan ja se on helppo todeta siitä, että ne sisältävät samoja tapahtumia i. Systeemiä ei voi myöskään muodostaa rinnan- ja sarjaankytketyistä osasysteemeistä. Valitaan esim. k (tai yhtä hyvin jokin toinen komponentti) ja tarkastellaan piirin toimintaa kahdessa osassa (komponentti toimii ja komponentti ei toimi). k ei toimi eli : Nyt "systeemi toimii" = ( 1 3) ( 2 4) ja P (" toimii " ) = P ( ) ( ) = 0.7 0.7 + 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 = 0.7399 ( ) 1 3 2 4
k toimii eli : Nyt "systeemi toimii" = ( 1 2) ( 3 4) P"toimii" = P ( ) ( ) = 0.7 + 0.7 0.7 0.7 0.7 + 0.7 0.7 0.7 = 0.8281 ja ( ) ( ) ( )( ) 1 2 3 4 Kokonaistodennäköisyyden kaavalla ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) P " toimii " P " toimii" P P " toimii " P = 0.8281 0.7 + 0.7399 0.3 = 0.80164 2. Heitetään virheetöntä noppaa niin monta kertaa, että saadaan kuutonen ensimmäisen kerran. Merkitään n = "n:llä ensimmäisellä heitolla ei saada yhtään kuutosta". Määritä a) todennäköisyydet P( n ), n = 1, 2, 3,... b) todennäköisyys, että kuutosta ei saada koskaan. Määrittele tämä tapahtuma tapahtumien n avulla ja totea, että tulos on todennäköisyyslaskennan aksioomien nojalla täsmällisesti perusteltavissa. a) P( 1 ) = /6, P( n ) = (/6) n n b) Intuitiivisesti P (" ei koskaan kuutosta ") = lim 0 n = 6 ja tämä on aivan oikein. Tapahtuma "ei koskaan kuutosta" on nimittäin ja tulos seuraa Lainisen kirjan teoreemasta 1.8.1 (ks. n= 1 n kaava (1.2)). Tulos seuraa pohjimmiltaan aksioomasta 3, joka ilmaisee additiivisuuden lisäksi todennäköisyysmitan tärkeän jatkuvuusominaisuuden. 3. Olkoot P() = 0. ja P() = 0.6. Määrää tapahtuman todennäköisyys, kun a) P( ) = 0.1 b) ja ovat toisensa poissulkevia tapahtumia eli joukkoina pistevieraita c) ja ovat riippumattomia (merkitään usein ) d) P( ) = 0.2 Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan P( ) = P() + P() P( ) a) P( ) = 0. + 0.6 0.1 = 1. b) = ja tällöin P( ) = 0 (tyhjän joukon eli mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on aina 0). Tällöin P( ) = P() + P() P( ) = 0. + 0.6 0 = 1.1 > 1, mikä on mahdotonta. nnetut tiedot ovat siis ristiriitaisia eikä todennäköisyyttä voi määrätä. c) Riippumattomille tapahtumille ja pätee P( ) = P()P(). Tässä tapauksessa P( ) = P() + P() P( ) = P() + P() P()P() = 0. + 0.6 0. 0.6 = 0.8 d) Yleisen tulosäännön mukaan P( ) = P( )P(). Tällöin P( ) = P() + P() P( )P() = 0. + 0.6 0.2 0.6 = 0.98
4. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, ja 6. Tarkastellaan silmälukujen summaa satunnaisilmiönä. (a) Mikä on silmälukujen summan otosavaruus? (b) Mikä on todennäköisyys tapahtumalle = "summa on 1"? (c) Mikä on todennäköisyys tapahtumalle = "summa on 11"? (d) Olkoon = "1. nopalla saadaan 2". Mikä on ehdollinen todennäköisyys tapahtumalle ehdolla, että on tapahtunut? (e) Olkoon D = "1. nopalla saadaan ". Mikä on ehdollinen todennäköisyys tapahtumalle ehdolla, että D on tapahtunut? 1. nopan heittoon liittyvä otosavaruus on {1, 2, 3, 4,, 6}. 2. nopan heittoon liittyvä otosavaruus on {1, 2, 3, 4,, 6}. Muodostetaan silmälukujen summalle aputaulukko: 1. noppa 2. noppa 1 2 3 4 6 1 2 3 4 6 7 2 3 4 6 7 8 3 4 6 7 8 9 4 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 (a) putaulukosta nähdään, että kahden nopan heiton silmälukujen summan otosavaruus on {2, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. (b) Tapahtuma = "Summa on 1" on mahdoton, joten P() = 0. (c) Tapahtuma = "Summa on 11" voi tulla tulokseksi täsmälleen kahdella tavalla: 1. nopalla saadaan 6, 2. nopalla saadaan tai 1. nopalla saadaan, 2. nopalla saadaan 6 Koska nämä tavat ovat toisensa poissulkevia ja kummankin todennäköisyys on 1/36, saadaan tapahtuman todennäköisyydeksi toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön perusteella: P() = 1/36 + 1/36 = 2/36 = 1/18 (d) Summaksi ei voi tulla 11, jos 1. nopalla saadaan 2, joten tapahtuma on mahdoton, jos on sattunut. Siten ehdollinen todennäköisyys P( ) = 0 Tämä nähdään myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä: P( ) = P( )/P()
Koska tapahtumat ja ovat toisensa poissulkevia, = joten P( ) = 0 (e) Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella: P( D) = P( D)/P(D) = (1/36)/(1/6) = 1/6. Tarhassa I kasvavista omenoista 80 % on punaisia ja 20 % keltaisia, tarhassa II suhteet ovat päinvastoin. Tarhat ovat yhtä suuret ja tuottavat saman määrän omenoita. Tarhan I punaisista omenoista 20 % sisältää matoja ja keltaisista omenoista 1 %. Tarhan II punaisista omenoista 40 % sisältää matoja ja keltaisista omenoista 3 %. Haluat saada omenan, jossa ei ole matoa. a) Jos valitaan tarhasta I, kannattaako ottaa punainen vai keltainen? b) Jos valitaan tarhasta II, kannattaako ottaa punainen vai keltainen? c) Jos ei tiedetä kummasta tarhasta omena tulee, kannattaako ottaa punainen vai keltainen? a) Kannattaa ottaa keltainen omena, koska se ei sisällä matoa todennäköisyydellä 0.8. b) Kannattaa ottaa keltainen omena, koska se ei sisällä matoa todennäköisyydellä 0.6. c) Jos omena on punainen, se tulee todennäköisyydellä 0.80 tarhasta I ja todennäköisyydellä 0.20 tarhasta II. Perustelu: jos molemmat tarhat tuottavat omenoita määrän, tarha I tuottaa punaisia omenoita 0.8 ja tarha II määrän 0.2. Tällöin punaisia omenoita on yhteensä kappaletta, joista on tuotettu tarhassa 80 %. Tällöin saadaan kokonaistodennäköisyyden kaavalla: P("saadaan omena, jossa ei ole matoa" "valitaan punainen omena") = 0.8 0.8 + 0.2 0.6 = 0.64 + 0.12 = 0.76 (selitys: todennäköisyydellä 0.8 omena tulee tarhasta I, jonka punaisista omenoista 80 % on madottomia ja vastaavasti todennäköisyydellä 0.2 omena tulee tarhasta II, jonka punaisista omenoista 60 % on madottomia) Lasketaan vastaavasti kokonaistodennäköisyys saada keltainen omena ilman matoa. P("saadaan omena, jossa ei ole matoa" "valitaan keltainen omena") = 0.2 0.8 + 0.8 0.6 = 0.17 + 0.2 = 0.69 Kannattaa siis valita punainen omena toisin kuin a- ja b-kohdissa. Tämä tehtävä on esimerkki Simpsonin paradoksista.
6. Johtaja lentää Helsingistä Timbuktuun vaihtaen konetta ensin Kööpenhaminassa, sitten Pariisissa ja vielä kolmannen kerran Kairossa. Hän nousee Helsingissä koneeseen, mutta jokaisessa vaihdossa hänellä on 20 %:n todennäköisyys myöhästyä seuraavasta koneesta. Myöhästyminen missä tahansa vaihdossa aiheuttaa pitkän viivytyksen. a) Millä todennäköisyydellä johtaja saapuu ajoissa Timbuktuun? b) Jos hän ei saavu suunnitelman mukaan Timbuktuun, millä todennäköisyydellä hän on Kööpenhaminassa? Pariisissa? Kairossa? Piirretään puumalli: Hki 0.8 0.8 0.2 Pa 0.8 myöh. 1.0 0.2 Kh 0.2 myöh. myöh. päätyy: Kööpenhaminaan tn:llä 0.2 Pariisiin tn:llä 0.8 0.2 = 0.16 Kairoon tn:llä 0.8 0.8 0.2 = 0.128 Timbuktuun tn:llä 0.8 0.8 0.8 = 0.12 (todennäköisyyksien summa on 1) a) P("ajoissa Timbuktuun") = 0.8 3 = 0.12 b) Kokonaistodennäköisyys: P("myöhästyy") = 0.2+0.16+0.128 = 0.488 (= 1 0.12, koska myöhästyminen on ajoissa ehtimisen komplementtitapahtuma) ayesin kaavalla: 0.2 P( on Kööpenhaminassa myöhästyy) = 0.488 0.410 P( on Pariisissa myöhästyy) = 0.16 0.328 0.488 P( on Kairossa myöhästyy) = 0.128 0.262 0.488 Huomaa, että ehdollisten todennäköisyyksien summa on myös 1. 7. Tietyn saasteen esiintymistä järvissä voidaan tutkia testillä, joka on siten epäluotettava, että testi antaa todennäköisyydellä 0.04 tuloksen "järvi on saastunut", vaikka ko. järvi on todellisuudessa puhdas, ja toisaalta todennäköisyydellä 0.12 saastuneelle järvelle tuloksen "järvi on puhdas". Jos testi antaa tietylle järvelle tuloksen "saastunut", millä todennäköisyydellä järvi todella on saastunut? Ka Timbuktu
Tehtävää ei voi ratkaista annetuilla tiedoilla. Tehdään lisäoletus: Tutkittavista järvistä 3 % on saastuneita. Merkitään: = "järvi on saastunut", = "testitulos: saastunut" Tehtävänannosta saadaan P( ) = 0.04, P( ) = 0.12, P() = 0.3 Vaihtoehto a) pyöritellään kaavoja (sopii vain kylmähermoisille): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = 1 P = 0.88 P = P P = 0.88 0.3 = 0.4664 ( ) ( ) ( ) ( ) P = P P = 0.04 1 0.3 = 0.0188 ( ) ( ) ( ) P = P + P = 0.482 P( ) P ( ) P( ) 0.4664 P ( ) = = = 0.961 P( ) P P + P P 0.482 ( ) ( ) ( ) ( ) Vaihtoehto b) kuvataan tapahtumat taulukon avulla (selkeämpi ratkaisu): 0.12 0.3 0.3 0.3 0.0636 0.0636 0.3 0.04 0.47 0.47 0.0188 0.47 0.0188 0.47 1.0 0.482 0.148 1.0 0.4664 0.0636 0.3 0.0188 0.412 0.47 0.482 0.148 1.0 Taulukon keskellä olevissa ruuduissa on leikkaustapahtumien todennäköisyydet. Taulukon alimmalle riville on laskettu vastaavat sarakesummat ja oikeanpuoleiselle riville on laskettu vastaavat rivisummat. Tästä saadaan P( ) = 0.4664/0.482 0.961. Vaihtoehto c) kuvataan tapahtumat puumallin avulla (visuaalisin vaihtoehto): 0.88 0.3 0.12 0.04 0.3 0.47 0.12 0.04 0.96 Kiinnostuksen kohteena ovat puuhun paksummalla viivalla merkityt haarat. Näistä saadaan: 0.3 0.88 0.4664 P ( ) = = 0.961 0.3 0.88 + 0.47 0.04 0.482
Tehtävän voi siis ratkaista usealla tavalla ja laskutoimitukset ovat oleellisesti samoja. Ratkaisutapa on makuasia, mutta kuvan piirtäminen helpottaa tehtävän hahmottamista. ayesin kaavassa nimittäjä on aina nk. kokonaistodennäköisyys. Tässä tehtävässä nimittäjä P() on kokonaistodennäköisyys, että testi antaa tuloksen "saastunut". Osoittaja on leikkaustapahtuman "järvi on saastunut ja testin tulos on saastunut" todennäköisyys. Pistetehtävä 1. Huumetesteissä on ehdotettu käytettäväksi nopeata pikamenetelmää huumeiden käyttäjien tunnistamiseksi. Testin luotettavuudesta on käytössä seuraavat tiedot: Henkilö, joka käyttää huumeita tulee luokitelluksi oikein huumeiden käyttäjäksi todennäköisyydellä 0.9. Toisaalta henkilö, joka ei käytä huumeita tulee luokitelluksi väärin huumeiden käyttäjäksi todennäköisyydellä 0.0. Oletetaan, että testiä käytetään ihmisjoukkoon, jossa 1 % on huumeiden käyttäjiä. Mikä on todennäköisyys, että huumeiden käyttäjäksi luokiteltu henkilö ei käytä huumeita? Tehtävä kannattaa ratkaista käyttäen apuna puudiagrammia tai taulukkoa. Kaavamuodossa ratkaisu menee näin: D = "testi luokittelee henkilön huumeiden käyttäjäksi" V = "henkilö käyttää huumeita" R = "henkilö ei käytä huumeita" P(D V) = 0.9 P(D R) = 0.0 P(V) = 0.01 P(R) = 1 P(V) = 0.99 P( R) P ( D R) 0.99 0.0 P ( R D) = = 0.846 P( R) P ( D R) + P( V) P ( D V) 0.99 0.0 + 0.01 0.9 Eli suurin osa henkilöistä, jotka testin mukaan käyttävät huumeita, eivät todellisuudessa käytä. Tulos johtuu siitä, että huumeiden käyttäjien suhteellinen osuus testattavista on erittäin pieni. Vastaavaan tilanteeseen saatetaan törmätä, jos pyritään etsimään jotakin harvinaista sairautta sairastavia ihmisiä. Esimerkiksi joistakin syöpäseulonnoista on luovuttu, koska suurin osa tuloksista, joiden mukaan henkilö sairasti syöpää, olivat vääriä.
Pistetehtävä 2. Säkissä on 1000 kolikkoa, joista 80 on tavallisia markan kolikoita. Loput 10 ovat erikoisia sillä tavalla, että 0:ssä on kummallakin puolella klaava ja 100:ssa on kummallakin puolella kruuna. Poimitaan säkistä umpimähkään yksi kolikko. a) Jos kolikkoa heitetään kerran, millä todennäköisyydellä saadaan klaava? b) Jos poimittua kolikkoa heitetään kertaa ja joka kerralla saadaan klaava, millä todennäköisyydellä kolikko on erikoinen? c) Poimittua kolikkoa heitetään 2 kertaa. Määritellään tapahtumat: = "kruuna ensimmäisellä heitolla" = "kruuna toisella heitolla" Ovatko tapahtumat ja riippumattomia? Merkitään H = "kruuna" (heads) ja T = "klaava" (tails). a) Kokonaistodennäköisyys: 1 P( T ) = 0.8 + 0.0 1 + 0.10 0 = 0.47 2 b) Kokonaistodennäköisyys saada klaavaa peräkkäin: 1 P( T ) = 0.8 + 0.0 1 + 0.10 0 = 0.02662 + 0.0 = 0.07662 2, mistä tapauksen "erikoinen kolikko" osuus on 0.0. ayesin kaava: 0.0 1 + 0.10 0 0.0 P (" kolikko on erikoinen " T ) = = 0.63 1 0.07662 0.8 + 0.0 1 + 0.10 0 2 c) Kohdan a) avulla saadaan P() = P() = P(T ) = 1 0.47 = 0.2. Toisaalta 1 2 2 P( ) = P( 2 H) = 0.8 + 0.0 0 + 0.10 1 = 0.312 2 2 Siis ja eivät ole riippumattomia, koska P()P() = 0.2 2 = 0.2762 P( ). Miksi tapahtumat riippuvat toisistaan? Tieto toisen tapahtuman tapahtumisesta antaa lisää tietoa toisen tapahtuman todennäköisyydestä, joten tapahtumat eivät voi olla riippumattomia. Esimerkiksi jos ensimmäisellä heitolla saadaan kruuna, voidaan päätellä, että poimitun kolikon molemmilla puolilla ei voi olla klaavaa. Kahden tapahtuman riippumattomuus voidaan pukea sanallisesti muotoon "tieto toisen tapahtuman tapahtumisesta tai tapahtumatta jäämisestä ei vaikuta toisen tapahtuman tapahtumisen todennäköisyyteen".