Lujuusoi jatkokurssi I. I. LUJUUSOPIN PRUSYHTÄLÖT Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I. JÄNNITYSTILA. Jäitstila käsite ja komoetit Kuassa. o mielialtaie kolmiulotteie kaale jota kuormitetaa ja tuetaa site että se o tasaaiossa. Kuormitus muodostuu kaalee itaa aikuttaista itaoimista (esim. aie ja kaalee kaikkii osii aikuttaista tilauusoimista (esim. aiooima. Kuormitukse seurauksea kaalee isteisii st rasituksia. Pistee P kohdalla oleia rasituksia oidaa tutkia jakamalla kaale jollaki P P ΔA ΔF Kua. Jäitsektori määrittel. leikkauksella kahtee osaa kua. mukaisesti. Valitu leikkaukse määrittelee se ormaali suutaie ksikköektori. Pistee P sisältäää itaelemettii Δ A kohdistuie sisäiste oimie resultatti o Δ F. Pisteesee P liittä itaelemeti Δ A joka ormaali suuta o jäitsektori o raja-aro lim ΔA 0 ΔF ΔA df da (. Kaaa. raja-arossa oletetaa että elemeti Δ A ieetessä iste P s se sisällä ja resultati Δ F aikutusiste lähest rajatta istettä P. Ku aieelle oletetaa kotiuumimalli (jatkua aie raja-aro. o olemassa. Jäitsektori lauseke riiuu alitusta leikkauksesta eli ektorista. Kaalee istee P jäitstila tarkoittaa kaikkie se kautta asetettuje itaelemettie jäitsektorie muodostamaa joukkoa. Kaalee jäitstilakettä muodostuu se kaikkie isteide jäitstiloista. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.3 dn df da dq da Kuassa. o differetiaalielemettii da kohdistua oimaektori df suorakulmaiset komoetit dn ja dq. dn o ormaali suutaie ja sitä saotaa ormaalioimadifferetiaaliksi. dq o itaelemeti da suutaie ja o imeltää leikkausoimadifferetiaali. Voidaa siis kirjoittaa df dn + dq (. Sijoittamalla tämä htälöö (. saadaa dn dq + + (.3 da da jossa ektoria saotaa ormaalijäitsektoriksi ja ektoria leikkausjäitsektoriksi. Kuassa. o jäitsektori jako komoetteihi ja. Pistee P jäitstila tutemie edellttää kaikkie siihe liittie itaelemettie jäitsektorie tutemista. Näitä itaelemettejä o ääretö määrä. Möhemmi tullaa osoittamaa että riittää tutea kolme toisiaa astaa kohtisuorassa olea itaelemeti jäitsektorit. Nämä kolme itaelemettiä alitaa koordiaattitasoista jolloi iide ormaalit oat koordiaattiakseleide suutaiset. Kuassa.3 da da ja da oat tällaiset itaelemetit ormaalie ollessa koordiaattiakseleide egatiiisii suutii. Näide itaelemettie jäitsektorit oat ja. Ne oidaa jakaa koordiaattiakseleide suutaisiksi komoeteiksi jolloi kuhuki itaelemettii tulee ksi ormaalijäits- ja kaksi leikkausjäitskomoettia kua.3 mukaisesti. Ku koordiaattiakseleide ositiiisii suutii oleia ksikköektoreita merkitää i j ja k saadaa itaelemettie da da ja Kua. Jäitsektori komoetit. da jäitsektoreiksi kua.3 erusteella Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.4 Δ da da P da P da da Δ da Δ P P Kua.3 Jäitstila komoetit. Lujuusoi erushtälöt
i i i j j j k k k Lujuusoi jatkokurssi I.5 (.4 Kaaassa (.4 o kätett merkitätaaa jossa esimmäie alaideksi ilmaisee itaelemeti ormaali suua ja leikkausjäitskomoeteissa toie alaideksi ilmaisee jäitskomoeti suua. Pistettä P mielialtaise lähellä olea istee P jäitstila oidaa hallita kättämällä kua.3 mukaisia itaelemettejä da da ja da joide ormaalit oat koordiaattiakseleide ositiiisii suutii. Näide itaelemettie jäitsektorit oat kua.3 mukaa i + i + i + j + j + j + k k k (.5 Ku iste P lähest istettä P oima ja astaoima eriaatteesta seuraa että ja ts. je. d P d d Kua.4 Jäitselemetti. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.6 Pistee P jäitstila haaiollistamisee oidaa kättää kua.4 mukaista differetiaalisuutaissärmiötä joka siuje ituudet ajatellaa äärettömä ieiksi. Tällöi särmiö astakkaiste siuje astijäitskomoetit oat htä suuria ja astakkaissuutaisia. Pistee P kautta kulkeia tahoja saotaa egatiiisiksi tahoiksi ja muita ositiiisiksi tahoiksi. Nimitkset johtuat ormaalie suuista. Itse särmiötä saotaa jäitselemetiksi. Kuasta.4 ilmeee mös jäitskomoettie merkkisoimus. Positiiise taho jäitskomoetti o ositiiie jos se o koordiaattiakseli ositiiisee suutaa mutta egatiiise taho jäitskomoetti o ositiiie jos se o koordiaattiakseli egatiiisee suutaa. Pistee jäitstila o tuettu ku tuetaa sitä astaaa jäitselemeti ositiiiste tahoje jäitskomoetit. Nämä oidaa järjestää kolmiriiseksi eliömatriisiksi [ S ] jota saotaa jäitsmatriisiksi. Jäitsmatriisi kuki aakarii sisältää hde taho jäitskomoetit ja se lauseke o [ S] siu ormaali (.6. Jäitskomoettie tasaaiohtälöt Yleesä kuormitetu kaalee jäitstila o erilaie se eri isteissä. Näi oletettii kuassa.3 isteille P ja P. Siirrttäessä kaalee isteestä se lähiaauriisteesee ei jäitstila aihtelu oi olla täsi mielialtaista aa se o taahduttaa statiika säätöje mukaisesti. Tästä seuraa että jäitskomoettie o toteutettaa kaalee isteissä tiett osittaisdifferetiaalihtälöt joita saotaa jäitskomoettie tasaaiohtälöiksi... Tasojäitstila Johdetaa tasaaiohtälöt esi tasojäitstila taauksessa jolloi ai -taso suutaiset jäits- ja tilauusoimakomoetit oat ollasta oikkeaia ja lisäksi - koordiaatista riiumattomia. Tällöi oidaa tarkastella kua.5 mukaista kaalee osaa joka siuje ituudet oat Δ ja Δ sekä aksuus s. Koska Δ ja Δ oletetaa hi ieiksi (ja loulta Δ Δ 0 jäitskomoetit oidaa olettaa akioiksi kullaki kua.5 alkio siulla. Näitä edustaat siuje keskiisteisii iirrett jäitskomoetit. Siirrttäessä siulta AB siulle CD saa komoetti lisäkse Δ jota aroksimoidaa differetiaalilla eli Δ Δ jossa ilku Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.7 jälkee merkitt alaideksi tarkoittaa derioitia kseise suuree suhtee. Siu CD -suutaie ormaalijäits o siis + Δ. Vastaaasti saadaa kua.5 muut jäitskomoetit. lemettii aikuttaat lisäksi - ja -akseli + Δ suutaiset tilauusoimat f ja f. + Δ Tilauusoimat oiat aiheutua esimerkiksi aiooimasta tai kaalee örimisestä. Jos aiooima f + Δ f aikuttaa -akseli egatiiisee Δ suutaa o f 0 ja f ρg + Δ jossa ρ o kaalee materiaali Δ tihes. Koska tarkasteltaa kaale o tasaaiossa o mös se jokaie osa tasaaiossa. Tämä ätee Kua.5 Tasojäitstila tasaaiohtälöt. mös kua.5 alkioo. Tasaaio tasossa merkitsee sitä että oimatasaaio toteutuu - ja -suuissa ja istee A suhtee toteutuu momettitasaaio. Momettitasaaiohtälö istee A suhtee o Δ Δ s Δ ( + Δ Δ s + ( + Δ Δ Δ Δ ( + Δ Δ s ( + Δ ΔΔ s f ΔΔ s + f ΔΔ s 0 ΔΔ s Δ Δ s + Δ Δ Δ + + Δ + + Δ f + f Δ 0 Ku Δ Δ 0 saadaa tulokseksi leikkausjäitste arittaie htäsuuruus eli (.7 Voimatasaaio -suuassa ataa ( + Δ Δ s Δ + ( + Δ Δ s + f ΔΔ s 0 Δ s + josta seuraa htälö (.7 aulla kaaa (.8 esimmäie htälö. Voimatasaaiohtälöstä -suuassa saadaa astaaalla taalla kaaa (.8 toie htälö. + + f 0 + + f 0 (.8 Yhtälöt (.8 oat jäitskomoettie tasaaiohtälöt tasojäitstilassa. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.8.. Yleie jäitstila Yleisessä kolmiulotteisessa taauksessa tarkastellaa kua.6 mukaista suorakulmaise särmiö muotoista materiaalialkiota joho aikuttaat tilauusoimat - ja - ja -suuissa oat f f ja f. + Δ + Δ + Δ + + Δ Δ + Δ Δ + + Δ Δ Δ + Δ Δ Kua.6 Tasaaiohtälöt leisessä taauksessa. Momettihtälöistä - - ja -akseleide suhtee seuraaat leikkausjäitste arittaiset htäsuuruudet (.9 Jäitsmatriisi o smmetrie ja sille oidaa kirjoittaa lauseke [ S] (.0 Voimatasaaioista - - ja -akseleide suuissa saadaa jäitskomoettie tasaaiohtälöt Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.9 + + + + + + + f + f + f 0 0 0 (. Kaalee jäitstilakettä o siis statiika kaalta mahdollie ai jos se toteuttaa osittaisdifferetiaalihtälöt (...3 Jäitskomoettie trasformoiti Kute kohdassa. esitettii riittää istee P jäitstila hallitsemisee kolme siihe liittä toisiaa astaa kohtisuora itaelemeti jäitsektorie tutemie. Tämä merkitsee jäitselemeti ositiiiste tahoje hdeksä jäitskomoeti tutemista. Kohdassa. ätettii leikkausjäitste arittaie htäsuuruus jote taritaa ai kuusi jäitskomoettia. Seuraaassa ätetää mite isteesee P liittä mielialtaise itaelemeti jäitskomoetit oidaa määrittää ku ämä kuusi jäitskomoettia tuetaa..3. Tasojäitstila Tutkitaa aluksi kua.7 tasojäitstilaa -tasossa. Määritetää jäitskomoetit itaelemetissä BC joka ormaali o -akseli suutaa ku jäitskomoetit ja tuetaa. Pitaelemeti BC ksikköormaali olkoo a i + bj (. jossa a cos( cosθ ja b cos( siθ. lemeti BC jäitsektori o i + j (.3 Ku itaelemeti BC alaa merkitää A oat itaelemettie PC ja PB alat A siθ ja A cos θ. Kua.7 kolmioelemeti tasaaiosta - ja -suuissa saadaa A A A cos θ A cosθ A siθ 0 A siθ 0 (.4 joista ratkeaa jäitsektori aaka- ja stkomoetille lausekkeet cos θ + cos θ + siθ siθ a + a + b b (.5 Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.0 θ θ A cosθ A siθ θ Kaaoje (.3 ja (.5 erusteella suua jäitsektoriksi saadaa ( a + b i + ( a + b j (.6 Kua.7 Jäitskomoettie trasformoiti. Kaaassa (.6 mielialtaise suua jäitsektori o lausuttu jäitskomoettie ja sekä ektori suutakosiie a ja b aulla. Kuasta.7 saadaa lisäksi itaelemeti BC ormaali- ja leikkausjäits ja cosθ + siθ + siθ a + cosθ b b + a (.7 Sijoittamalla ja kaaasta (.5 kaaaa (.7 saadaa tulos a ( + ab + ab + b (a b (.8 Kättämällä kaaoja a cos θ (+ cos θ ab siθcosθ siθ ja b si θ ( cos oidaa htälöt (.8 kirjoittaa muotoo θ ( + + ( ( siθ + ( + ( cos θ + cosθ cosθ siθ siθ (.9 Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I. jossa o saatu sijoittamalla komoeti lausekkeesee kulma θ aikalle kulma θ + π /. Kaaat (.9 oat tasojäitstila jäitskomoettie trasformoitikaaat joilla oidaa laskea jäitskomoetit kulma θ kierteessä - koordiaatistossa kuha -koordiaatisto komoetit tuetaa..3. Yleie jäitstila Tarkastellaa leistä kolmiulotteista taausta. Kua.7 kolmioelemeti sijasta kätetää kua.8 kaaleesta istee P kohdalta leikattua tetraedrielemettiä jolloi tuetaa se koordiaattitasoje suutaiste itaelemettie PCD PBD ja PBC jäitskomoetit ja määritetää -koordiaatistoo ähde iossa aseossa olea itaelemeti BCD jäitsektori. Pitaelemeti BCD ksikköormaali o a i + bj + ck (.0 jossa a cos( b cos( ja c cos( sekä a + b + c (. Kua.8 Jäitskomoettie trasformoiti. Pitaelemeti BCD jäitsektori o komoettimuodossa i + j + k (. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I. Ku elemeti BCD alaa merkitää A oat itaelemettie PCD PBD ja PBC alat astaaasti Aa Ab ja Ac. Tetraedri tasaaiohtälöistä - - ja -suuissa seuraa A A A Aa Aa + Aa + Ab Ab + Ab + Ac 0 Ac 0 Ac 0 (.3 joista ratkeaa jäitsektori komoetille lausekkeet a + b + c a + b + c a + b + c (.4 Kaaoje (.0 ja (.4 erusteella saadaa jäitsektorille lauseke ( a + b + c i + ( a + b + c j + ( a + b + ck (.5 jote mielialtaise suua jäitsektori o lausuttu -koordiaatisto jäitskomoettie ja ektori suutakosiie a b ja c aulla. Ottamalla kättöö matriisimerkiät kaaa (.5 oidaa esittää muodossa { } a + a + a + b + b + b + c c c (.6 Tämä oidaa edellee tulkita matriisituloksi a c { } b [ S ]{ } jossa [ S ] o tarkasteluisteesee liittä jäitsmatriisi ja { } (.7 tarkasteltaa io suua ormaali suutaie ksikköektori joka o materiaalista ulosäi. Vektori komoetti ormaali suutaa o a + b + c + ( ab + bc + ac (.8 ja taso ABC suutaie leikkausjäitskomoetti ( a + b + c + ( a + b + c + ( a + b + c (.9 Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.3 Valitsemalla -koordiaatisto site että -akseli o ektori suutaa sekä - ja -akseli oat itaelemeti BCD määräämässä tasossa oidaa merkitä. Leikkausjäitkset ja saadaa jakamalla komoetteihi - ja -akseleide suuissa. Yllä esitetllä taalla oidaa laskea muutki - koordiaatisto jäitskomoetit ja. Ne oidaa kuiteki laskea sstemaattisemmi ku kätetää aua koordiaatisto kiertomatriisia cos( cos( cos( Q cos( cos( cos( (.30 cos( cos( cos( [ ] Voidaa todistaa (siuutetaa että o oimassa T [ S] [ Q] [ S][ Q] (.3 jolloi [ S ] o -koordiaatisto jäitsmatriisi..4 Pääjäitkset ja -suuat dellä johdettii mielialtaise suua ormaalijäitkselle lausekkeet (.9 (tasojäitstila ja (.8 (leie jäitstila. Näide aulla oidaa tutkia ormaalijäitkse ääriaroja eli ääjäitksiä ja iide esiitmissuutia eli ääsuutia. Osoittautuu lisäksi että ääsuuissa leikkausjäits o olla..4. Tasojäitstila Tarkastellaa aluksi tasojäitstilaa jolloi ääriaro ehdoksi tulee kaaasta (.9 θ 0 ( siθ + cosθ 0 (.3 taθ (.33 Koska taθ ta( θ + π tulee kaaasta (.33 kaksi ääriarokohtaa θ arcta ja θ θ + π / (.34 Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.4 Lujuusoi erushtälöt Normaalijäitksellä o kaksi ääriaroa jotka esiität toisiaa astaa kohtisuorissa suuissa. Näitä suutia saotaa ääsuuiksi. Kaaoista (.9 ja (.3 seuraa että leikkausjäits o ääsuuissa olla. Pääsuutie ormaalijäitkset oat ääjäitkset jotka saadaa kaaasta (.9 sijoittamalla siihe tulos (.33. Kaaasta (.9 seuraa järjestelemällä + + + θ θ ta cos ( ( (.35 josta saadaa kaaa (.33 aulla ääjäitkset. Trigoometria mukaa o oimassa tulos θ θ ta / cos + ± josta seuraa + ± + + ± + + + ± + ( 4 ( ( ta ( ( ta ( ( ta ( θ θ θ ( + ± + (.36 Pääjäits esiit siiä kaaasta (.34 saataassa suuassa θ joka toteuttaa ehdo 0 si θ. Kaaasta (.9 oidaa astaaalla taalla lötää leikkausjäitkse ääriarot ja sekä iide esiitmissuuat. Tulokseksi saadaa (johto siuutetaa 4 / ku 4 / ku π θ θ π θ θ + + + (.37.4. Yleie jäitstila Tutkitaa sitte leise kolmiulotteise taaukse -akseli suutaista ormaalijäitstä joka o htälö (.8 mukaa
Lujuusoi jatkokurssi I.5 a + b + c + ( ab + bc + ac (.38 Taoitteea o tämä jäitkse ääriaroje lötämie ku tutkitaa se aihtelua suutakosiie a b ja c fuktioa. Ääriaroja etsittäessä o otettaa huomioo että a b ja c eiät ole riiumattomia muuttujia aa iitä sitoo htälö (.. Olkoot seuraaassa a ja b riiumattomat muuttujat jolloi ääriaroehdoksi tulee 0 ja 0 (.39 a b dellä oleasta tuleat aatimukset a + cc a + ( b + cc + ( b b + a + bc + a c + c + bc + b ac ac a b 0 0 (.40 a + a + b + b + c + ( c + ( a + a + b + c c b + c c a b 0 0 (.4 Yhtälö (.4 erusteella tästä seuraa + c 0 ja + c 0 (.4 a b Koska c a b cc a a c a a / c. Samalla taalla saadaa c b b / c jote kaaasta (.4 tuleat ehdot a (.43 b c joka merkitsee sitä että ääjäitsektori o ormaali suutaie ja siis ääsuua leikkausjäits o olla. Nätetää että jokaisella jäitstilalla o aiaki kolme ääsuutaa. Merkitää ääjäitstä jolloi ääsuualle ätee i + j + k (.44 (a i + bj + ck ( a + b + c i + ( a + b + c j + ( a + b + c k (.45 Kaaa (.45 ksikköektoreide kertoimista saadaa htälöt ( a + b + c 0 a + ( b + c 0 a + b + ( c 0 (.46 Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.6 Yhtälöt (.45 oat suutakosiie a b ja c homogeeie htälörhmä. Koska a + b + c ei triiaaliratkaisu a b c 0 kelaa. i-triiaaleja ratkaisuja o olemassa ai jos rhmä (.44 kerroidetermiatti o olla eli 0 (.47 Kehittämällä determiatti (.38 äädtää htälöö 3 I 3 + I I 0 (.48 jossa o merkitt I + + I + + I 3 det [ S] (.49 Yhtälö (.48 juuret ja 3 oat ääjäitkset. Kutaki ääjäitstä astaa htälöide (.46 mukaisesti ääsuuta. Kaaasta (.47 äk että ääjäitkset oat jäitsmatriisi [ S ] omiaisarot. Koska [ S ] o reaalie ja smmetrie matriisi o sillä reaaliset omiaisarot eli ääjäitkset oat reaaliset (todistus siuutetaa. Ne oiat eritistaauksissa olla keskeää htä suuria. Voidaa osoittaa että smmetrise matriisi omiaisektorit oat ortogoaaliset eli ääsuuat oat kohtisuorassa toisiaa astaa. Pääjäitkset oat riiumattomia siitä mikä koordiaatisto jäitskomoeteista e o laskettu. Tästä seuraa että kertoimet I I ja I 3 eiät riiu kätettäästä koordiaatistosta. Näitä kertoimia saotaa jäitsmatriisi ääiariateiksi. Ku ääjäitkset o laskettu saadaa ääsuuat htälöistä (.46 ja (.. Jos ääjäitkset oat eri suuria astaa kutaki ääjäitstä ksikäsitteie ääsuuta. Jos kaksi ääjäitstä o htä suuria saadaa kolmatta ääjäitstä astaaa ääsuuta ksikäsitteisesti määrätksi ja kaikki tätä astaa kohtisuorat suuat oat mös ääsuutia. Tätä taausta saotaa sliterimäiseksi jäitstilaksi. Jos kaikki kolme ääjäitstä oat htä suuria oat kaikki suuat ääsuutia eikä leikkausjäitstä esii missää suuassa. Kseessä o allomaie jäitstila. Ku ääjäitkset ja 3 järjestetää algebrallisee suuruusjärjestksee (etumerkki otetaa huomioo kätetää merkiöissä roomalaisia alaideksejä eli I II ja III jolloi I o suuri ääjäits. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.7 Leikkausjäitkse ääriarot ja iide esiitmissuuat saadaa astaaalla taalla kaaasta (.9. Ääriaroiksi tulee (todistus siuutetaa 3 3 ± ± ± ± ± 3 ± (.50 ja e esiität ääsuutie uolessa älissä. Ääriaroista suuri esiit I- ja IIIsuua uolessa älissä ja se o ma I III (.5.5 Jäitskomoettie reuaehdot Tarkastellaa jäitskomoettie ja kaalee reuaialla aikuttaie tuettuje itaoimie htettä. Kaalee sisäisteissä o jäitskomoettie tasaaiohtälöide oltaa oimassa kute kohdassa. esitettii. Näide htälöide toteuttamise lisäksi kaalee jäitstilaketä o oltaa reua isteissä tasaaiossa itakuormituste kassa. Tästä aatimuksesta seuraaie htälöide johtamiseksi tarkastellaa ielä kua.8 kaaleesta leikattua tetraedrielemettiä olettae kuiteki että taho BCD ht kaalee ulkoitaa. Oletetaa lisäksi että taho BCD itaoimaektori t tuetaa eli t t i + t j + t k (.5 Kua.8 tetraedri tasaaioehdoista koordiaattiakseleide suuissa saadaa aalogisesti kaaoje (.4 kassa t a + b + c t a + b + c t a + b + c (.53 Ku tetraedriä ieeetää rajatta ii että taho BCD s kaalee ulkoialla tulee iste P kaalee reualle ja htälöt (.53 koskeat äi olle reua istee jäitskomoetteja. -taso suutaisessa tasojäitstilassa htälöt (.53 ksikertaistuat muotoo t a + b t a + b (.54 Yhtälöt (.53 oat jäitskomoettie reuaehdot jotka kaalee jäitstilaketä o toteutettaa iissä kaalee ulkoia isteissä joissa aikuttaia itaoimia tuetaa. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.8 MUODONMUUTOSTILA. Siirtmä käsite ja komoetit Tarkastellaa kua. kaaletta Ω joka isteet siirtät ulkoise kuormitukse johdosta site että siirtmie taahduttua e muodostaat kaalee Ω. simerkiksi iste A siirt asemaa A ja iste B asemaa B. Siirtmät oiat aiheu- u B tua jäkä kaalee liikkeestä (traslaatio ja rotaatio Ω ja/tai kaa- Ω lee muodo muuttumisesta. Jäkä u A A A kaalee liikkeessä kaalee isteide asemat toisiisa ähde eiät muutu. Kaalee muodo muuttuessa se isteet siirtät toisiisa äh- A A A de. Seuraaassa A tutkitaa ai muodo muuttumisesta aiheutuia siirtmiä. Kua. istee A koordiaatit oat alkutilassa ( A A A ja loutilassa ( A A A. Pistee A siirtmäektori o u A ( i + ( j + ( k (. A A Kua. Siirtmäektori. A A Pistee A siirtmäkomoetit koordiaattiakseleide suuissa oat A A u A w (. A A A A A A A A Kaalee kaikkie isteide siirtmäektorit muodostaat se siirtmäketä u( u( i + ( j + w(k (.3 jossa siirtmäketä komoetit u ( ( ja w ( sisältäät kaalee Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.9 kaikkie isteide koordiaattiakseleide suutaiset siirtmät. Taaomaise lieaarise lujuusoi tehtäissä tarkastellaa ai ieiä siirtmiä. Kuassa. o siirtmiä haaiollisuussistä suuresti liioiteltu.. Muodomuutostila käsite ja komoetit dl dl Kua. Muodomuutostila. Kute edellä maiittii kaalee muodo muuttuessa se isteide keskiäiset asemat muuttuat. Tällöi kaalee isteide äliset etäisdet ja se isteitä hdistäie jaoje äliset kulmat muuttuat muodomuutoste seurauksea. Muodomuutoste tarkastelemiseksi määritellää kaalee istee P muodomuutostila ii että se sisältää kaikkie isteestä P se lähiaauriisteisii ( A B K iirrettje iiaelemettie ( dl dl K emät ja kaikkie isteestä P alkaie kohtisuorie iiaelemettiarie ( dl ja dl K äliste suorie kulmie liukumat. Näitä emiä ja liukumia o ääretö määrä. Kute möhemmi osoitetaa riittää istee muodomuutostila hallitsemisee kuiteki koordiaattiakseleide suutaiste iiaelemettiarie emie ja iide äliste liukumie tutemie. Kaalee kaikkie isteide muodomuutostilat muodostaat se muodomuutostilaketä... Aksiaalie muodomuutostila Δ u + Δu Kua.3 Vemä. Tutkitaa aluksi kua.3 ksiulotteista taausta jossa isteestä P alkaa iiaelemeti PA ituus ee muodomuutosta o Δ. kuormitukse seurauksea iste P siirt asemaa P ja A asemaa A siirtmäkomoettie ollessa -suuassa u ja u + Δu astaaasti. Viiaelemeti ituus o muuttuut määrä Δ u ja se suhteellie ituude muutos o Δ u / Δ. Tällöi -akseli suutaie emä isteessä P o määritelmä mukaa Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.0 Δu Δ u Δ Δ lim u Δ 0 (.4 jossa Δ 0 site että iste P A. Kaaa (.4 o kiemaattie htälö joka ataa emä ja siirtmä älise htede... Tasomuodomuutostila Tarkastellaa seuraaaksi leise muodomuutostila eritistaausta jossa muodomuutoksia o ai -tasossa eli tasomuodomuutostilaa. Huomattakoo että kseessä ei ole tasojäitstila. Muodomuutoskomoettie lausekkeide johtamiseksi tutkitaa kua.4 mukaisia tarkasteluisteestä P alkaia koordiaattiakseleide suutaisia iiaelemettejä Δ ja Δ. α + Δ u Δ Δ Δ α Δ u + u Δ Kua.4 Tasomuodomuutostila. Ku istee P siirtmäkomoetteja - ja -suuissa merkitää u ja oat isteide A ja B siirtmäkomoetit astaaasti A : u + u Δ ja + Δ B : u + u Δ ja + Δ (.5 jossa siirtmie muutoksia o aroksimoitu differetiaaleilla. Siirtmistä aiheutuat muodomuutokset oidaa jakaa kahtee osaa kua.4 mukaisesti. Koska isteet P ja A siirtät -suuassa erisuuret matkat aiheutuu tästä iiaelemeti Δ emä -suuassa. Samoi isteet P ja B siirtät -suuassa erisuuret matkat jote iiaelemettii Δ st emä -suuassa. Kuassa.4 (a o siirtmäeroista stät iiaelemettie emät. Näi saadaa - ja -akseleide suutaisiksi emäkomoeteiksi ja isteessä P aalogisesti kaaa (.4 kassa Δu Δ u Δ Δ Δ Δ Δ lim u lim Δ 0 Δ 0 Δ (.6 Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I. Pisteet P ja A siirtät mös -suuassa eri matkat josta aiheutuu iiaelemeti Δ käätmie kua.4 (b mukaisesti. Samoi isteet P ja B siirtät - suuassa eri matkat ja tästä aiheutuu iiaelemeti Δ käätmie. Viiaelemettie Δ ja Δ käätmisestä aiheutuu iide älise suora kulma APB muutos jota saotaa - ja -akseleide äliseksi liukumaksi. Koska kulma α kuassa.4 (b o todellisuudessa hi iei oidaa kättää ariota α taα. Mös emä o hi iei jote oidaa kättää mös ariota PA P A. Näistä oletuksista seuraa Δ α ta α (.7 Δ Vastaaalla taalla saadaa tulos α u. Voidaa äi olle kirjoittaa tulos (.8 α + α u + Näi saadaa tasomuodomuutostilalle kiemaattiset htälöt jotka ataat muodomuutos- ja siirtmäkomoettie älise htede. (.9 u u + Tasomuodomuutostilassa istee muodomuutoskomoetit oat - ja -akseli suutaiste iiaelemettie emät ja sekä äide iiaelemettie älise suora kulma liukuma. Möhemmi osoitetaa että äide aulla oidaa laskea kaikkie tarkasteluisteestä alkaie iiaelemettie emät ja mikä tahasa siitä alkaa kohtisuora iiaelemettiari älise suora kulma liukuma. Komoetit ja riittäät istee tasomuodomuutostila hallitsemisee...3 Yleie muodomuutostila Yleisessä kolmiulotteisessa taauksessa istee muodomuutostilaa oidaa tarkastella kua.5 tarkasteluisteestä P alkaie koordiaattiakselie suutaiste iiaelemettie Δ Δ ja Δ aulla. Muodomuutoksessa iiaelemetit eät emie ollessa ja. Samalla iiaelemetit käätät ii että iide äliset suorie kulmie liukumat oat ja jossa alaideksit ilmaiseat mikä kahde iiaelemeti älise suora kulma liukumasta o ksms. Yleisessä taauksessa istee muodomuutoskomoetit oat emät ja. sekä liukumat ja. Möhemmi osoitetaa että ämä kuusi komoettia riittäät istee muodomuutostila hallitsemisee. Siirtmäkomoettie htes muodomuutoskomoetteihi lödetää ku suori- Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I. tetaa tasomuodomuutostila htedessä esitett tarkastelu kaikissa kolmessa koordiaattitasossa. Tulokseksi saadaa htälöt u u + u + w w + w (.0 Yhtälöitä (.0 saotaa kiemaattisiksi htälöiksi. Ne ilmaiseat äide suureide älise geometrise htede mutta eiät sisällä mitää tietoa siitä mistä ämä suureet aiheutuat. P Δ Δ Δ ( + Δ Ω π π P ( + Δ Ω π ( + Δ Liukumie ja ja sijasta kätetää mös muodomuutoskomoetteja jotka määritellää htälöillä / / (. Kua.5 Yleie muodomuutostila. / Muodomuutoskomoetit oidaa järjestää muodomuutosmatriisiksi [ V ] joka kuki aakarii sisältää samaa iiaelemettii liittät komoetit eli [ V] (. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.3.3 Muodomuutoskomoettie hteesoiuushtälöt Tasomuodomuutostila kolme muodomuutoskomoettia ja saadaa kiemaattiste htälöide (.9 mukaa laskettua kahdesta siirtmäkomoetista u ja. Näi olle o ilmeistä että muodomuutoskomoetit eiät ole toisistaa riiumattomia aa iide älille o johdettaissa htes. Kaaoista (.9 seuraa (.3 u u + jote o oltaa oimassa + (.4 Yhtälö (.4 o muodomuutoskomoettie hteesoiuushtälö tasomuodomuutostilassa. Yhtälö (.4 toteutumie takaa että kaale selit ehjää muodomuutoksesta eli kua.4 mukaiset muotoasa muuttaeet suorakulmioelemetit PACB muodostaat hteäise kaalee muodomuutokse jälkeeki. Yleisessä kolmiulotteisessa taauksessa kuusi muodomuutoskomoettia ja saadaa kiemaattiste htälöide (.0 mukaa kolmesta siirtmäkomoetista u ja w. Taaski o ilmeistä että muodomuutoskomoetit eiät ole toisistaa riiumattomia aa iide älille oidaa johtaa kolme hteesoiuushtälöä. Nämä saadaa käsittelemällä kaaoja (.0 samaa taaa kui edellä. Tulos oidaa esittää kahdessa aihtoehtoisessa muodossa A : + + + B : ( ( ( + + + + (.5.4 Muodomuutoskomoettie trasformoiti.4. Tasomuodomuutostila Kohdassa. todettii että istee tasomuodomuutostila hallitaa muodomuutoskomoettie ja aulla. Seuraaassa esitetää mite tämä taahtuu. Tarkastellaa kua.6 mukaista iiaelemettiä PA joka ituus o ee muodomuutosta Δ s ja koordiaattiakseleide suutaiset rojektiot Δ ja Δ. Muodomuutokse seurauksea PA tulee asemaa P A jossa se ituus o Δ s. Pistee P siirtmäkomoetit oat u ja sekä istee A siirtmäkomoetit u + Δu ja + Δ. Lisäksille Δ u ja Δ kätetää aroksimaatioita Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.4 Δ u u Δ + u Δ Δ Δ + Δ (.6 Kuassa.6 (b iiaelemetti PA o siirrett suutasa säilttäe ii että isteet P ja P htät eli PA o asemassa P A. Silloi Δ u A C ja Δ CA. Taoitteea o lötää kua.6 (b -koordiaatisto muodomuutoskomoetit ja. u + Δu A P P u Δs Δs Δ (a + Δ Δ A P Δucos θ α θ Δs Δ DA cos α D (b Δ A Δu A C Δ Δ siθ Kua.6 Muodomuutoskomoettie trasformoiti. Määritetää esi emäkomoetti. Koska kulma α o hi iei oidaa kättää ariota DAcos α DA jolloi saadaa Vemä DA DAcosα Δucosθ + Δ siθ (.7 o määritelmäsä ja kaaoje (.6 ja (.7 mukaa DA Δ Δ Δ Δ u + u cosθ + + siθ (.8 Δs Δs Δs Δs Δs Ku kaaaa (.8 sijoitetaa Δ / Δs cosθ ja Δ / Δs siθ sekä otetaa lisäksi huomioo htälö (.9 saadaa tulos cos θ + si θ + siθcosθ (.9 Vemä saadaa kaaasta (.9 sijoittamalla kulma θ aikalle θ + π /. Lasketaa ielä liukuma lauseke. -akseli suutaise iiaelemeti käätmiskulma o α. Kua.6 (b erusteella saadaa AD α taα ja AD Δ cosθ Δusiθ DA siα (.0 Δs jossa DA siα Δs α 0. Yhtälö (.6 aulla saadaa tulokseksi α ( siθcosθ + cos θ u si θ (. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.5 -akseli suutaise iiaelemeti käätmiskulma β saadaa kulma α lausekkeesta sijoittamalla kulma θ aikalle θ + π /. Tällöi seuraa tulos β + ( siθcosθ + si θ u cos θ (. Liukuma o α β jote ( siθcosθ + (cos θ si θ (.3 Kättämällä trigoometria kaaoja ja liukuma uolikasta saadaa trasformoitikaaat muotoo ( ( ( + + + ( siθ + ( cosθ + cosθ cosθ siθ siθ (.4 Vertaamalla saatuja trasformoitihtälöitä tasojäitstila jäitskomoettie astaaii htälöihi haaitaa iide olea täsmällee samaa muotoa..4. Yleie muodomuutostila dellä saatu astaauus jäitstila ja muodomuutostila älillä o oimassa mös leisessä kolmiulotteisessa taauksessa. Tämä merkitsee sitä että kaaleessa jäitksille johdetuista tuloksista saadaa astitulokset muodomuutoksille koraamalla kaaoissa jäitskomoetit astaailla muodomuutoskomoeteilla. simerkiksi ektori a i + bj + ck suutaise iiaelemeti emäksi saadaa kaaa (.8 erusteella a + b + c + ( ab + bc + ac (.5 Vastaaasti -koordiaatisto muodomuutoskomoetit oidaa laskea koordiaatisto komoeteista kaaa (.3 erusteella seuraaasti T [ V] [ Q] [ V][ Q] (.6 jossa [ Q ] o kiertomatriisi (.30 ja [ V ] muodomuutosmatriisi (.. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.6.5 Pääemät ja -suuat Jäitstila ja muodomuutostila aalogiasta seuraa että muodomuutostilalle oidaa esittää ääjäitksiä ja -suutia astaaat käsitteet..5. Tasomuodomuutostila Tasomuodomuutostilassa emäkomoetilla o kaksi ääriaroa ja jotka esiität toisiaa astaa kohtisuorissa suuissa θ ja θ. Pääemät ja oat kaaa (.36 ojalla ( + ± + (.7 Vastaaat ääsuuat oat htälö (.34 erusteella θ arcta ja θ θ + π / (.8 o emäkomoeti suuri aro ja se iei aro. Pääsuutie älie liukuma o olla. Pääsuutie iiaelemetit säilttäät muodomuutoksessa suutasa eli sät kohtisuorassa toisiaa astaa e aioastaa eät tai kutistuat ituussuuassa..5. Yleie muodomuutostila Yleisessä kolmiulotteisessa taauksessa muodomuutostilalla o kolme ääemää toisiaa astaa kohtisuorissa ääsuuissa eli ääsuutie äliset liukumat oat ollia. Pääemät saadaa kaaa (.48 erusteella htälöstä 3 J 3 + J J 0 (.9 jossa kaaa (.49 mukaisesti J + + J + + J 3 det [ ] V (.30 Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.7 Pääsuuat saadaa kaaa (.46 mukaisesti ratkaisemalla kutaki ääemää astaaa htälörhmä ( a + ( a + a + b + ( b + b + c 0 c 0 c 0 (.3 jossa lisäksi a + b + c. Pääemät oat muodomuutosmatriisi [ V ] omiaisarot ja ääsuuat se omiaisektorit. Koska [ V ] o reaalie ja smmetrie matriisi oat ääemät reaaliset. Yhtälö (.9 kertoimet J J ja J 3 oat muodomuutostila ääiariatit jotka eiät riiu kätettäästä koordiaatistosta. Jos kaikki ääemät oat erisuuria saadaa rhmästä (.3 kutaki ääemää astaaa ksikäsitteie ääsuuta. Jos kaksi ääemistä o htä suuria saadaa kolmatta ääemää astaaa ääsuuta ksikäsitteisesti määrätksi ja kaikki tätä astaa kohtisuorat suuat oat mös ääsuutia. Kseessä o sliterimäie muodomuutostilatila. Jos kaikki ääemät oat htä suuria oat kaikki suuat ääsuutia ja liukumaa ei esii mikää suutie älillä. Tällaista taausta saotaa allomaiseksi muodomuutostilaksi..6 Siirtmäkomoettie reuaehdot Jos kaalee ia isteessä tuetaa itaoimaektori t o jäitskomoettie reuaehtoje (.53 oltaa oimassa. Toie mahdollisuus o että tuetaa reua isteessä se siirtmäektori. Tästä seuraa tarkasteluistee P siirtmäkomoeteille reuaehdot u u~ ~ w w ~ (.3 jossa u ~ ~ ja w ~ oat tuetut siirtmäkomoetit. Siirtmäkomoettie reuaehdot liittät taallisesti kaalee tuetaa ja usei o u~ ~ w ~ 0. Kolmae reuaehtotaaukse muodostaat sekareuaehdot jolloi kaalee ia isteessä o kuki koordiaattiakseli suuassa aettu joko itaoimakomoetti tai siirtmäkomoetti. Tarkasteluistee reuaehtohtälöiksi tulee tällöi hdistelmä htälöistä (.53 ja (.3. Tiet koordiaattiakseli suutaa ei oida ataa sekä siirtmä- että itaoimakomoettia aa jomikumi iistä. dellä oletettii reuaehtoje liittä -koordiaatisto akseleide suutii. Yleisessä taauksessa reuaehdot liittät kussaki reua isteessä koordiaatistoo ähde kierteesee -koordiaatistoo. Tällaiset iot reuaehdot oidaa muutaa -koordiaatistoo koordiaatisto kierrolla. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.8 3 JÄNNITYS- JA MUODONMUUTOSTILAN YHTYS 3. Materiaalimalleista Jäits- ja muodomuutostila oat ktkeässä toisiisa ja ktkeä ataia htälöitä saotaa materiaalihtälöiksi eli kostitutiiisiksi htälöiksi. Materiaalihtälöt o etsittää kokeellisesti ja e oat todellisilla aieilla mutkikkaita. Tästä johtue lujuusoissa kätetää materiaalimalleja joide kostitutiiiset htälöt oat ksikertaisia ja aalttisesti esitettäissä mutta sisältäät aieide tärkeimmät omiaisuudet. Materiaalille oletetaa kotiuumimalli jolloi aiee ajatellaa jakaatua jatkuasti kaaleesee. Kotiuumi o homogeeie jos se materiaalihtälöt oat samat kaikissa isteissä ja isotrooie jos materiaalihtälöt oat suuasta riiumattomat. äisotrooisia ja eähomogeeisia materiaaleja oat mm. uu alssattu teräs ja lasikuituahisteie muoi. Jos kostitutiiisissa htälöissä o aika mukaa o materiaali ajasta riiua. Ajasta riiuia materiaaleja oat esimerkiksi esteet muoit asfaltti lakat tekstiilikuidut leesä orgaaiset aieet ja metallit korkeissa lämötiloissa. Ajasta riiumattomat materiaalit oidaa jakaa iihi stä muodomuutokse erusteella jäkkii kimmoisii ja lastisii materiaaleihi. Jäkässä materiaalissa ei ole muodomuutoksia. Kimmoise materiaali muodomuutokset alautuat mutta lastise materiaali muodomuutoksista aiaki osa jää alautumatta ku kuormitukset oistetaa. Materiaali o lieaarie jos kostitutiiiset htälöt oat jäits- ja muodomuutostila suureide älisiä lieaarisia htälöitä. 3. Kimmoteoria Tarkastellaa lieaarisesti kimmoista materiaalia jolloi materiaalihtälöt oat ajasta riiumattomia jäits- ja muodomuutoskomoettie älisiä lieaarisia htälöitä. Ku lämötila aikutusta ei oteta huomioo materiaalihtälöt oat tällöi muotoa 3 4 5 6 3 4 5 6 3 3 33 43 53 63 4 4 34 44 54 64 5 5 35 45 55 65 6 6 36 46 56 66 (3. jossa o otettu huomioo jäits- ja muodomuutosmatriisi smmetriss. Ku Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.9 materiaali oletetaa homogeeiseksi oat kertoimet ij htälössä (3. materiaalille omiaisia akioita. Yhtälöissä (3. o 36 materiaaliakiota joista ai o erilaista sillä oidaa osoittaa että ij ji. Jos materiaalilla o smmetriaomiaisuuksia ieeee toisistaa riiumattomie materiaaliakioide lukumäärä. Yksikertaisita taausta edustaa isotrooie materiaali jolla materiaaliomiaisuudet oat suuasta riiumattomat. Seurauksea o että isotrooisella materiaalilla o ai kaksi aaata materiaaliakiota. Tekillisessä kirjallisuudessa äiksi alitaa taallisesti kimmomoduuli ja Poissoi akio ν jotka o helo mitata. Usei kätetää aua mös liukumoduulia G / [ (+ ν ]. Toie soelluskeloie materiaali o ortotrooie materiaali jolla o kolmessa toisiaa astaa kohtisuorassa suuassa erilaiset omiaisuudet eli kullaki suualla o oma kimmomoduuli ja kullaki suutaarilla oma liukumoduuli ja Poissoi akio jolloi materiaaliakioita o hdeksä. Rajoitutaa isotrooise materiaali tarkasteluu jolloi materiaalihtälöt oat (+ ν ( ν (+ ν ( ν (+ ν ( ν [( ν + ν( + ] [( ν + ν( + ] [( ν + ν( + ] G G G (3. Yhtälöistä (3. saadaa jäitskomoetit ku muodomuutoskomoetit tuetaa. Muodomuutoskomoettie suhtee ratkaistut materiaalihtälöt oat [ ν( + ] [ ν( + ] / G / G [ ν( + ] / G (3.3 Rhmää (3. tai (3.3 saotaa leistetksi Hooke laiksi. Materiaalihtälöistä äk että isotrooisessa materiaalissa jäits- ja muodomuutostiloje ääsuuat htät. Näi ei ole eäisotrooisessa materiaalissa. Yhtälöt (3. oidaa laittaa muotoo G G G + λe + λe + λe G G G e + + λ ν / [(+ ν ( ν ] (3.4 Liukumoduuli G ja λ oat Lamé akiot joita kätetää akioide ja ν asemesta. Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.30 Suureelle e saadaa tulkita tarkastelemalla kua.5 differetiaalisärmiö muodomuutoksesta johtuaa tilauude muutosta. Alkutilassa tilauus o ΔΔΔ ja muodomuutostilassa V m (+ Δ(+ Δ(+ Δ. Saadaa siis V 0 V m V + Δ V (+ + + + + + + + V (3.5 0 0 (+ + + V V + ev (3.6 Vm 0 0 0 Vm V0 ΔV e + + (3.7 V V 0 0 jote e o suhteellie tilauude muutos. Se oidaa lausua jäitskomoettie aulla sijoittamalla emäkomoetit htälöstä (3.3 jolloi saadaa ν e + + ( + + (3.8 Ku tarkastellaa jäitselemettiä joka tahoihi kohdistuu hdrostaattie aie eli ja 0 saadaa htälöstä (3.8 e 3( ν / K (3.9 e 3( ν Vakiota K saotaa materiaali uristusmoduuliksi. Jos materiaali o kokoouristumatota eli se e 0 o kaaa (3.8 mukaa silloi ν 0 5. Koska toisaalta K > 0 ku e 0 saadaa lisäksi ehto ν 0 5 ja edellee 0 ν 0 5. 3.. Tasojäitstila Tasojäitstila (TJT kostitutiiiset htälöt saadaa htälöistä (3.3 sijoittamalla 0 jolloi tasojäitstila o -tasossa. Tulokseksi saadaa ( ν ( ν ν ( + 0 0 / G (3.0 Kaaasta (3.0 saadaa muodomuutoskomoetit ku jäitskomoetit tuetaa. Ratkaisemalla htälöt (3.0 jäitskomoettie suhtee saadaa Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.3 ν G ( + ν ν 0 ( + ν (3. 3.. Tasomuodomuutostila Tasomuodomuutostila (TMT kostitutiiiset htälöt saadaa htälöistä (3. ottamalla huomioo että 0 jolloi tasomuodomuutostila o -taso suutaie. Tulokseksi saadaa (+ ν ( ν (+ ν ( ν ( (+ ν ( ν [( ν + ν ] [( ν + ν ] + G 0 0 (3. Kaaasta (3. saadaa jäitskomoetit ku muodomuutoskomoetit tuetaa. Ratkaisemalla htälöt (3. muodomuutoskomoettie suhtee saadaa + ν + ν [( ν ν ] [( ν ν ] / G 0 (3.3 4 YHTNVTO dellä esitetssä lieaarise lujuusoi erusteoriassa kätettäät tutemattomat fuktiot oat Jäitskomoetit 6 kl Muodomuutoskomoetit 6 kl Siirtmäkomoetit u w 3 kl joide ratkaisemie o lujuusoi taoitteea. Tutemattomie ratkaisemiseksi oat kätettäissä seuraaat riiumattomat osittaisdifferetiaalihtälöt ja htälöt Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.3 Jäitskomoettie tasaaiohtälöt 3 kl + + + + + + + f + f + f 0 0 0 Kiemaattiset htälöt 6 kl u u + u + w w + w Materiaalihtälöt 6 kl [ ν( + ] [ ν( + ] / G / G [ ν( + ] / G Yhteesä 5 kl Yhtälöitä ja tutemattomia o siis sama määrä. Ku tilauusoimat sekä itakuormitukset ja tueat o aettu o tehtää matemaattisesti ksikäsitteie. Kaalee reua isteissä ksmksee tuleat reuaehdot oat Pitaoimaektori o aettu. Jäitskomoettie reuaehdot. Siirtmäektori o aettu. Siirtmäkomoettie reuaehdot. Sekareuaehdot. Yhdistelmä jäits- ja siirtmäkomoettie reuaehtoja. Kuassa 4. o esitett kaaio lujuusoi erussuureista sekä iitä koskeista ja ktkeistä htälöistä. Voidaa osoittaa että jokaisella lieaarise lujuusoi tehtäällä o aia olemassa ksikäsitteie ratkaisu. Se lötämie aalttisesti o kuiteki usei hi aikeaa mutta oistuu taallisesti likimääräisesti umeerisilla meetelmillä joista tärkei o elemettimeetelmä (FM. Lieaarise lujuusoi ogelmassa o aia ohjimmiltaa ksms edellä kuatu htälöjärjestelmä reua-arotehtää ratkaisemisesta. Soellettaessa lujuusoia eri rakeeteihi kaattaa ottaa huomioo äide eritisiirteet. Näi saadaa tiettihi rakeeteihi soeltuia lujuusoi teorioita (alkkiteoria laattateoria kuoriteoria joissa edellä esitettjä erushtälöitä o kehitelt tarkoituksemukaisee muotoo kätössä oi olla erustutemattomista johdettuja suureita (taiutusmometti jäitsresultatti suutakulma tai osa tutemattomista o merkitksettömi- Lujuusoi erushtälöt
Lujuusoi jatkokurssi I.33 ä oletettu olliksi. Nämä lujuusoi eritisteoriat eiät ulkoiselta olemukseltaa älttämättä muistuta eää koikaa aljo tässä käsiteltjä erushtälöitä mutta o hä muistaa että iissä o joka taauksessa sisää rakeettua erushtälöide mukaiset fsikaaliset ja geometriset laialaisuudet. Reuaehdot JÄNNITYSTILA Yhteesoiuushtälöt Tasaaiohtälöt Materiaalihtälöt MUODONMUUTOSTILA Kiemaattiset htälöt SIIRTYMÄTILA u w Reuaehdot Kua 4. Lujuusoi htälöjärjestelmä. Lujuusoi erushtälöt