uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen kuvassa 12.1. Tukiaan ny virran käyäyymisä ässä piirissä, kun kykin aseeaan ensin asenoon 1 ja käänneään virran asoiuua asenoon 2. U 1 2 U / aseno 1 aseno 2 Kuva 12.1: eaalisen kelan muodosama ransienipiiri. askeaan virran aikariippuvuus. Kun kykin käänneään asenoon 1, vira alkaa kasvaa nollasa ja sen muuos indusoi kelaan lähdejännieen d/d. Koska piirin jännieiden summan äyyy olla yhä suuri kuin jäniehäviö vasuksessa, on voimassa yhälö U d =. 12.1) d Tämä on äydellinen ensimmäisen keraluvun lineaarinen vakiokeroiminen differeniaaliyhälö, jonka normaalimuoo on d d + = U. 12.2) Vakiovira = U 12.3) c Tuomo Nygrén, 21 137
138 UKU 12. TASAANTUMSMÖT E TANSENTT on selväsi ämän yhälön yksiyisrakaisu. Se on voimassa ilaneessa, jossa kykin on ollu hyvin kauan käänneynä asenoon 1. Yhälöä 12.2) vasaava homogeeninen yhälö on d + =. 12.4) d Tämä voidaan rakaisa eroamalla muuuja ja sen yleinen rakaisu on asaanuva eli ransieni vira = K exp ). 12.5) Yhälön 12.2) yleinen rakaisu on siis = +, ja se koosuu asavirrasa ja ransienisa virrasa. Jos ajan nollakohdaksi valiaan asennon 1 kykenäheki, on voimassa alkueho ) =. 12.6) Siis Asennossa 1 vira noudaaa siis yhälöä = exp = + Ke K =. 12.7) ) [ = 1 exp )] = U [ 1 exp )]. 12.8) Täsä nähdään, eä ajan lähesyessä ääreönä vira lähesyy vakioarvoa. akaisu on piirrey kuvaan 12.1. Kun kykin on asennossa 2, on voimassa homogeeninen yhälö 12.4). Jos kykin käänneään asenoon 2 vasa sien, kun vira on asoiunu lähelle arvoa, on ämä rakaisun alkueho. Valisemalla kykenäheki alkuhekeksi siis siirreään ajan nollakohaa rakaisun 13.8) ajan nollakohdan suheen) saadaan alkueho muooon ) = K =, 12.9) joen vira noudaaa yhälöä = exp ). 12.1) Myös ämä rakaisu on piirrey kuvaan 12.1. Kappaleessa 11.2 osoieiin, eä se ehohäviö, jonka ämä vira aiheuaa vasuksessa, on peräisin kelan magneeikenään varasoiuneesa energiasa. 12.2 Transieni C-piiri Transieni C-piiri saadaan kykemällä kelan, vasuksen ja kondensaaorin sarjaankykenä asajännieläheeseen kuva 12.2). Tämän piirin käyäyyminen riippuu komponeien suuruuksisa, ja osoiauuu, eä rakaisu on maemaaisesi ideninen vaimenneun mekaanisen harmonisen värähelijän rakaisun kanssa.
12.2. TANSENTT C-P 139 U C Kuva 12.2: C-piiri. Jokaisella ajanhekellä äyyy piirin jännieiden summan olla yhä suuri kuin jänniehäviöiden summa kondensaaorissa ja vasuksessa. Täsä seuraa yhälö U d d = q C + 12.11) eli d d + + q C = U. 12.12) Kun ämä derivoidaan ajan suheen ja oeaan huomioon, eä = dq/d, saadaan oisen keraluvun homogeeninen vakiokeroiminen lineaarinen differeniaaliyhälö d2 d 2 + d d + C =. 12.13) Sandardimeneelmä ämän yhälön rakaisemiseksi on käyää yrieä joka anaa karakerisisen yhälön = K expk), 12.14) k 2 + k + 1 C =. 12.15) Tämän rakaisu on k = k 1,2 = 2 ± 2 1 4 2 C. 12.16) Jos rakaisun diskriminani ei ole nolla, on juuria kaksi, ja yhälön 12.13) yleinen rakaisu on muooa ) = K 1 expk 1 ) + K 2 expk 2 ). 12.17) negroimisvakioiden K 1 ja K 2 määriämiseksi arviaan kaksi alkuehoa. Kun kykin suljeaan, vira alkaa kasvaa nollasa lähien, joen oinen alkuehdoisa on Kun ämä sijoieaan rakaisuun 12.17), saadaan ) =. 12.18) ) = K 1 + K 2 = K 2 = K 1, 12.19)
14 UKU 12. TASAANTUMSMÖT E TANSENTT joen = K 1 [expk 1 ) expk 2 )]. 12.2) Toinen alkueho saadaan, kun huomaaan, eä kondensaaorin varaus on alussa nolla. Koska myös vira on alussa nolla, saadaan yhälön 12.12) avulla virran muuosnopeudelle alkueho ) d = U d. 12.21) Toisaala yhälön 12.2) mukaisen virran muuosnopeus on d d = K 1[k 1 expk 1 ) k 2 expk 2 )] 12.22) Sovelamalla ähän alkuehoa 12.21) saadaan ) d = K 1 k 1 k 2 ) = U d. 12.23) Koska yhälön 12.16) peruseella karakerisisen yhälön juuren erous on k 1 k 2 = 1 4 2 C, 12.24) saadaan lopula inegroinivakiolle K 1 lauseke K 1 = U k 1 k 2 ) = U 1 4/ 2 C) = U 2 4/C. 12.25) Haeu yksiyisrakaisu on siis ) = K 1 [expk 1 ) expk 2 )] = U 2 4/C [expk 1) expk 2 )]. 12.26) Tämän rakaisun luonne riippuu diskriminanin 1 4/ 2 C) merkisä. isäksi on olemassa apus, jossa diskriminani on nolla ja karakerisisella yhälöllä ion vain yksi juuri. On siis eroeava kolme ilannea. 12.2.1 Aperiodinen apaus 4/ 2 C < 1) Jos diskriminani yhälössä 12.16) on posiiivinen, on sen neliöjuuri reaalinen ja sekä k 1 eä k 2 ova reaalisia ja negaiivisia. Tämä ilanne synyy, jos piirin komponenien suuruude oeuava ehdon 4 2 C < 1. 12.27) Koska k 1 ja k 2 ova negaiivisia ja yhälön 13.24) peruseella k 1 > k 2, on erous expk 1 ) expk 2 ) = exp k 1 ) exp k 2 ) >, 12.28)
12.2. TANSENTT C-P 141 4 << 2 C suuri vaimennus Kuva 12.3: Aperiodinen vira C-piirissä. eli vira on posiiivinen kaikilla kykennän jälkeisillä ajanhekillä. Alkuhekellä kumpikin eksponenifunkio yhälössä 12.26) on ykkösen suuruinen, mua sen jälkeen ensimmäinen eksponenifunkio pienenee hiaammin ajan funkiona kuin oinen. Näinollen vira alkaa kasvaa. opula kumpikin eksponenifunkio lähenee nollaa, joen myös niiden erous lähenee nollaa. Näinollen virralla äyyy olla maksimiarvo jollakin ajanhekellä, joka voidaan laskea kirjoiamalla virran aikaderivaaa nollaksi. Kaavojen yksinkeraisamiseksi arkasellaan ilannea, jossa 2 /C. Silloin yhälössä 12.16) olevaa neliöjuurilausekea voidaan approksimoida sen sarjakehielmällä 1 x) 1/2 1 x/2 ja saadaan Tämän approksimaaion mukaisesi 1 4 2 2 C 1 2 ) = 2 2 C 2 1 C. 12.29) k 1 2 + 2 1 C = 1 ja 12.3) C k 2 2 2 + 1 C, 12.31) missä viimeinen approksimaaio seuraa siiä, eä oleuksen 2 /C peruseella / 1/C). Näin saadaan likimääräinen vira ) U [ exp ) exp C )]. 12.32) Nähdään, eä ässä approksimaaiossa kelan ja kondensaaorin vaikuukse eriyyvä eri eksponenifunkioihin. Koska jälkimmäisen funkion aikavakio on oleuksen mukaan paljon pienempi kuin edellisen / << C), kelan vaikuus häviää nopeasi ja jäljelle jää vain ermi joka riippuu kondensaaorin varauumisa kuvaavasa aikavakiosa C.
142 UKU 12. TASAANTUMSMÖT E TANSENTT 12.2.2 Aperiodinen rajaapaus 4/ 2 C = 1) Kun 4 = 1, 12.33) 2 C on diskriminani yhälössä 12.16) nolla. Silloin k 1 = k 2 = 2 12.34) ja yrie 12.14) anaa vain yhden rakaisun. Sen avulla ei siis saada yhälön 12.13) yleisä rakaisua. Differeniaaliyhälöiden eoriassa käyeään ässä apauksessa avallisesi yrieä expk). On kuienkin olemassa oinenkin apa, mikä perusuu siihen, eä haeun rakaisun äyyy olla rakaisun 12.26) raja-arvo, kun k 1 k 2 eli k 1 k 2 ). Yhälön 12.25) avulla vira 12.26) on = K 1 [expk 1 ) expk 2 )] = U k 1 k 2 ) [expk 1) expk 2 )]. 12.35) Kun k 1 k 2 ), sekä osoiaja eä nimiäjä lähenee nollaa ja sen vuoksi voidaan sovelaa Hospialin säänöä. Siis = U = U lim expk 1 ) expk 2 ) = U k 1 k 2 k 1 k 2 lim expk 2 )[expk 1 k 2 ) 1] k 1 k 2 k 1 k 2 lim expk 2) expk 1 k 2 ) = U k 1 k 2 expk 2). 12.36) Siis haeu rakaisu on ) = U exp ). 12.37) 2 Tää ilannea kusuaan kriiisesi vaimenneuksi. Kriiisesi vaimenneun piirin vira on piirrey kuvaan 12.4. Tässäkin apauksessa vira alkaa kasvaa nollasa, mua ämän aiheuaa lineaarinen ekijä virran lausekkeessa. Ajan kasvaessa, eksponeifunkio voiaa lineaarisen kasvun ja siksi synyy maksimi, jonka jälkeen vira vaimenee kohi nollaa. 4 = 2 C kriiinen vaimennus Kuva 12.4: Vira kriisesi vaimenneussa C-piirissä.
12.2. TANSENTT C-P 143 12.2.3 Periodinen apaus 4/ 2 C > 1) Kun 4 2 C > 1, 12.38) on diskriminani yhälössä 12.16) negaiivinen. Silloin k 1 ja k 2 ova kompleksisia. Voidaan kirjoiaa missä k 12 = 2 ± iω n, 12.39) ω n = Yhälö 12.26) saadaan ny muooon 1 C 2 4 2. 12.4) ) = U 2iω n exp ) [expiω n ) exp iω n )] = U 2 ω n exp ) sin ω n. 2 12.41) Tämä kuvaa kulmaaajuudella ω n vaihelevaa viraa, jonka ampliudi vaimenee eksponeniaalisesi. Suure ω n on piirin ominaiskulmaaajuus. Jos värähelyn periodi T = 2π/ω n on suuri verrauna vaimennuksen aikavakioon τ = 2/, on vaimennus nopeaa. Jos aas τ >> T, mikä on voimassa kun 2 4 1 2 C eli 4 C 2, 12.42) on vaimennus hidasa ja värähely voiva jakua kauan. Hiaasi vaimenevassa värähelyssä kulmaaajuus on suunnilleen ω n = 1 C 2 4 2 1 C = ω, 12.43) eli suunnilleen C-vaihovirapiirin resonanssikulmaaajuuden ω suuruinen. 4 > 2 C 4 >> 2 C heikko vaimennus Kuva 12.5: Vira värähelevässä C-piirissä.
144 UKU 12. TASAANTUMSMÖT E TANSENTT Jos vaimennus ei ole voimakasa, on virran peräkkäisen maksimien välinen aikaero 2π/ω n ja peräkkäisen maksimiarvojen suhde on Tässä on määriely suure exp 2 2π ) ω n = exp π ) = exp D). 12.44) ω n D = π ω n, 12.45) josa käyeään nimiysä logariminen dekremeni. Jos logariminen dekremeni on pieni, värähely vaimeneva hiaasi. Kaikissa edellä käsiellyissä apauksissa jännieen kykeminen C-ransienipiiriin johaa samaan loppuulokseen: Kun virran kulku on pääyny, jännielähde on luovuanu kondensaaorille varauksen Jännieläheen ekemä yö on W = P d = q = CU = U d = U Koska kondensaaorin energia loppuilaneessa on d. 12.46) d = qu = CU 2. 12.47) W C = 1 2 CU 2, 12.48) on puole jännieläheen luovuamasa energiasa varasoiunu kondensaaoriin ja puole on muuunu lämmöksi vasuksessa. Jos piiri oikosuljeaisiin jännieläheen ohise, kondensaaoriin varauunu energia aiheuaisi jälleen ransienin virran, joka muuuisi lämmöksi vasuksessa.